Benutzer:Buss-Haskert/Lernpfad Zuordnungen und Dreisatz/Proportionale Zuordnungen

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1. Zuordnungen
2. Proportionale Zuordnungen und Dreisatz
3. Umgekehrt proportionale Zuordnungen und Dreisatz
4. Bunte Mischung - Übungen
5. Checkliste

2. Proportionale Zuordnungen und Dreisatz

Proportionale Zuordnungen

Wie kannst du die Anzahl der Fruchtgummis in einer Packung ermitteln, ohne sie alle zu zählen?
a) Notiere deine Ideen in deinem Heft.

b) Welche Zuordnung liegt vor? Stelle sie auf verschiedene Arten dar.

Es liegt die Zuordnung Anzahl der Weingummi$\rightarrow$Gewicht[g].
Mögliche Darstellungen sind die Textform, eine Wertetabelle, der Graph (Schaubild) und die Rechenvorschrift.

2.1 Proportionale Zuordnungen erkennen

Eigenschaften proportionaler Zuordnungen

Eine proportionale Zuordnung liegt vor, wenn zum Doppelten (Dreifachen,…) der Eingabegröße das Doppelte (Dreifache…) der Ausgabegröße gehört.

Für jedes Wertepaar in der Wertetabelle gilt Quotientengleichheit:
${\tfrac {y}{x}}$ = y : x = 2,3 : 1= 4,6 : 2 = 6,9 : 3 = … = 2,3 (Jedes Weingummi ist gleich schwer und wiegt 2,3 g).

Für das Schaubild gilt: Alle Punkte einer proportionalen Zuordnung liegen auf einer Geraden durch den Ursprung, also durch den Punkt (0I0).

Die Rechenvorschrift lautet: Gewicht = 2,3·Anzahl der Weingummi.

Zusammenfassung:

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Übung 6: Proportionale Zuordnungen erkennen

Bearbeite das Quiz und die folgenden Learningapps. Welche Strategien nutzt du, um zu entscheiden, ob die Zuordnungen proportional sind oder nicht? Diskutiere deine Ideen mit deiner Partnerin/deinem Partner.

Die Zuordnung Gewicht des Käses (g) → Preis (€) ist proportional, denn doppelt so viel Käse kostet doppelt so viel.
Die Zuordnung Alter eines Kindes → Körpergröße ist nicht proportional, denn wenn ein Kind doppelt so alt ist, ist es nicht auch doppelt so groß.

Das nachfolgende Video erklärt, wie du die Proportionalität bei Wertetabellen prüfen kannst (Quotientengleichheit)

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Übung 7: Proportionale Zuordnungen erkennen

Löse die Aufgaben aus dem Buch.

• S. 30, Nr. 1 (Darstellung: Tabelle)
• S. 30, Nr. 2 (Darstellung: Text)
• S. 30, Nr. 3 (Darstellung: Tabelle)
• S. 30, Nr. 4 (Darstellung: Rechenvorschrift)
• S. 30, Nr. 5 (Darstellung: Schaubild)

In der Tabelle sind die Rechenschritte schon vorgegeben. Denke daran, dass bei proportionalen Zuordnungen immer dem Doppelten/Dreifachen... der Eingabegröße auch das Doppelte/Dreifache... der Ausgabegröße zugeordnet ist.

Überprüfe/Begründe mit der Überlegung, ob dem Doppelten/Dreifachen... der Eingabegröße auch das Doppelte/Dreifache... der Ausgabegröße zugeordnet ist.
a) Ist ein doppelt so altes Kind auch doppelt so groß?
b) Bekommst du für doppelt so viele Arbeitsstunden einen doppelt so hohen Lohn?

...

Für proportionale Zuordnungen gilt, dass dem Doppelten/Dreifachen... der Eingabegröße das Doppelte/Dreifache ...der Ausgabegröße zugeordnet wird. Ergänze Rechenpfeile in der 1. Zeile und berechne ebenso den Wert der zugeordnete Größe.

Überlege zunächst, welche Zuordnung vorliegt. Dann gib die Rechenvorschrift an, wie du die zugeordnete Größe berechnen kannst.
a) Zuordnung: Anzahl Hefte → Kosten (€) ist proportional.
Wenn 1 Heft 45ct kostet, dann kosten 2 Hefte 2·45ct=90ct und 3 Hefte kosten 3·45ct=135ct; also kosten x Hefte x·45ct.
Rechenvorschrift: Kosten = Anzahl der Hefte · 45ct (oder y = x·45 (oder y = x·45)

Löse die weiteren Aufgaben ebenso.

Zeichne die Wertepaare als Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde die Punkte zu einer Ursprungsgeraden.
Lies dann die fehlenden Werte mithilfe des Graphen ab. (Du kannst auch GeoGebra nutzen.)
Achte auf die Einteilung der Achsen.
Wähle bei a) 1cm für eine Eiskugel (x-Achse) und 1cm für 100ct (y-Achse).
Wähle bei b) 1cm für 1 Kiwi (x-Achse) und 1cm für 1 € (y-Achse).
Wähle bei c) 1cm für 10cm Füllhöhe (x-Achse) und 1cm für 100cm³ Volumen (y-Achse).

2.2 Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen: Mathematik richtig lecker!

Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen

Wie viel benötigen wir von jeder Zutat für ein Klassenrezept?
a) Welche Zuordnung liegt vor? Kannst du die Mengen für ein Klassenrezept berechnen? Notiere deine Ideen in deinem Heft.

b) Berate deine Ideen mit deiner Partnerin/deinem Partner. Wie könnt ihr eure Ideen übersichtlich darstellen?

Die Zuordnung lautet: Anzahl der Portionen $\rightarrow$ Menge der Zutat.

Das Rezept gibt die Menge der Zutaten für 5 Portionen an. Kannst du ausrechnen, welche Mengen du für nur 1 Portion benötigen würdest? Wie viele Portionen benötigt ihr für eure Klasse? Stelle deine Ideen übersichtlich dar.

Kannst du die Tabellen ausfüllen? Welchen Zwischenschritt wählst du?

Die Zuordnung Anzahl der Portionen $\rightarrow$ Menge der Zutat ist proportional, denn für doppelt so viele Portionen benötigt man auch die doppelte Menge der Zutaten. Daher können wir mit drei Schritten die Mengen für ein Klassenrezept berechnen:

Originallink https://www.geogebra.org/m/mhdpgesr

Applet des FLINK-Teams

Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen

Bei einer proportionalen Zuordnung kann die gesuchte Größe mit dem Dreisatz (3 Schritte) berechnet werden.

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Übung 8: Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen

Fülle die Lücken in den nachfolgenden LearningApps aus.

Übung 9: Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Gib die Zuordnung als Pfeilbild an und prüfe, ob diese proportional ist. Rechne dann mit dem Dreisatz (Tabelle).

• S. 36, Nr. 1
• S. 36, Nr. 3
• S. 36, Nr. 4
• S. 36, Nr. 6
• S. 36, Nr. 7
• S. 36, Nr. 8

Du musst nicht immer die Einheit (1) als Zwischengröße wählen. Der Wert, den du als Zwischenschritt wählst, muss nur ein Teiler der beiden Eingabegrößen sein. Hier bietet sich als Zwischenwert 250g an:

In Teil b) bietet sich 0,5 kg als Zwischengröße an und in Teil c) 0,90€.

Bestimme zunächst die Fläche der Wand, die schon gestrichen wurde.
Flächeninhalt (Rechteck) = Länge·Breite

Übung 10: Jetzt bist du dran - Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen

Du hast nun schon viele Anwendungen für proportionale Zuordnungen kennen gelernt. Kennst du noch andere Anwendungen?

Überlege dir drei Aufgaben zum Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen und löse diese Aufgaben. Gib den Schwierigkeitsgrad deiner Aufgaben an (* leicht, ** mittel, *** schwer) und lade sie im Gruppenorder auf IServ hoch.

2.3 Angebote vergleichen

Ein Supermarkt bietet eine 150g-Packung Cookies für 1,95 an.
Auf dem Markt werden selbst gebackene Cookies in Tüten zu je 250g für 3,00€ verkauft.
Vergleiche die Angebote.

Berechne mit dem Dreisatz für beide Angebote den Preis für je 50g Cookies.

Supermarkt:
150g 1,95
50g 0,65€
Markt:
250g 3,00
50g 0,60€

Also ist das Angebot auf dem Markt günstiger.

Übung 11: Angebote vergleichen

Löse die Aufgabe aus dem Buch.

• S. 36, Nr. 5

2.4 Vermischte Übungen zu proportionalen Zuordnungen

Übung 12 - Vermischte Übungen

Umfangreiche Aufgaben zu proportionalen Zuordnungen findest du:

• auf der Seite Aufgabenfuchs: Proportionale Zuordnung
• auf GeoGebra: Übungen des FLINK-Teams Dreisatz bei direkter Proportionalität

Klicke dazu die Links an und bearbeite die Übungen.

3. Umgekehrt proportionale Zuordnungen