Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisteile: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}} | {{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}} | ||
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{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder|Kreis und Zylinder - Startseite]]<br> | {{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder|Kreis und Zylinder - Startseite]]<br> | ||
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisumfang|1 Kreisumfang]]<br> | [[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisumfang|1 Kreisumfang]]<br> | ||
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisfläche|2 Kreisfläche]]<br> | [[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisfläche|2 Kreisfläche]]<br> | ||
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisteile|3 Kreisteile]] | [[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisteile|3 Kreisteile]]<br> | ||
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Zylinder|4 Zylinder]]<br> | |||
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Zusammengesetzte Körper|5 Zusammengesetzte Körper]] | |||
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==3 Kreisteile== | ==3 Kreisteile== | ||
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<ggb_applet id="KTdCkyVv" width="950" height="550" border="888888" /> | <ggb_applet id="KTdCkyVv" width="950" height="550" border="888888" /> | ||
Applet von GeoGebra Translation Team German, Pöchtrager<br> | Applet von GeoGebra Translation Team German, Pöchtrager<br> | ||
{{Box|Übung 1 - Begriffe|Bearbeite die nachfolgenden Apps (Autor: FLINK-Team, GeoGebra)|Üben}} | |||
{{LearningApp|app=ph5k4j3kj21|width=100%|height=600px}} | |||
<ggb_applet id="vfesfj5z" width="800" height="640" border="888888" /> | |||
===3.1 Kreisring=== | ===3.1 Kreisring=== | ||
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{{Lösung versteckt|1=Den Flächeninhalt des schwarzen, blauen und roten Ringes berechne ebenso. Wähle jeweils der Radius des äußeren und inneren Kreises passend:<br> | {{Lösung versteckt|1=Den Flächeninhalt des schwarzen, blauen und roten Ringes berechne ebenso. Wähle jeweils der Radius des äußeren und inneren Kreises passend:<br> | ||
schwarzer Ring: r<sub>a</sub> = 32cm; r<sub>i</sub> = 24cm.<br> | schwarzer Ring: r<sub>a</sub> = 32cm; r<sub>i</sub> = 24cm.<br> | ||
blauer Ring: | blauer Ring: r<sub>a</sub> = 24cm; r<sub>i</sub> = 16cm.<br> | ||
roter Ring: r<sub>a</sub> = 18cm; r<sub>i</sub> = 8cm.<br> | roter Ring: r<sub>a</sub> = 18cm; r<sub>i</sub> = 8cm.<br> | ||
Der gelbe Kreis ist ein ganzer Kreis mit dem Radius r = 8cm.|2=Tipp 3|3=Verbergen}} | Der gelbe Kreis ist ein ganzer Kreis mit dem Radius r = 8cm.|2=Tipp 3|3=Verbergen}} | ||
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{{Box|Übung | {{Box|Übung 2|Löse die Aufgabe aus dem Buch und prüfe deine Ergebnisse mit dem Applet oben. | ||
* S. 150 Nr. 6|Üben}} | * S. 150 Nr. 6|Üben}} | ||
{{Box| | {{Lösung versteckt|1=Berechne zunächst r<sub>2</sub>.<br> | ||
r<sub>2</sub>=r<sub>1</sub>+a|2=Tipp zu Nr. 6b|3=Verbergen}} | |||
{{Box|Übung 3|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/kreis/kreisflaeche.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben | |||
* 5 | * 5 | ||
* 23|Üben}} | * 23|Üben}} | ||
{{Box|Übung | {{Box|Übung 4 - Anwendung|Löse die nachfolgenden LearningApps.|Üben}} | ||
{{LearningApp|app=ppwg6p33j21|width=100%|height=600px}} | {{LearningApp|app=ppwg6p33j21|width=100%|height=600px}} | ||
{{LearningApp|app=pnpgfj31a21|width=100%|heigth=600px}} | {{LearningApp|app=pnpgfj31a21|width=100%|heigth=600px}} | ||
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<br> | <br> | ||
{{Box|Übung | {{Box|Übung 5|Löse die folgende LearningApp zu Mittelpunktswinkeln und ihren Bezeichnungen|Üben}} | ||
{{LearningApp|app=p3o29ay9n20|width=100%|heigth=600px}} | {{LearningApp|app=p3o29ay9n20|width=100%|heigth=600px}} | ||
{{Box|Übung | {{Box|Übung 6|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/kreis/teilkreis.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben | ||
* 1 | * 1 | ||
* 2 | * 2 | ||
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<br> | <br> | ||
{{Box|Übung | {{Box|Übung 7|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine ausführliche und übersichtliche Darstellung. | ||
* S. 138 Nr. 2 | * S. 138 Nr. 2 | ||
* S. 138 Nr. 3|Üben}} | * S. 138 Nr. 3|Üben}} | ||
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<ggb_applet id="hgc5mhz3" width="936" height="814" border="888888" /> | <ggb_applet id="hgc5mhz3" width="936" height="814" border="888888" /> | ||
<br> | <br> | ||
{{Box|1=Formeln umstellen|2=[[Datei:Aufgabe Formel Kreisausschnitt umstellen.png|rechts|rahmenlos]]a) geg: A<sub>S</sub> = 38,6 cm²; α = 108°<br> | |||
===Formeln umstellen=== | |||
{{Box|1=Formeln umstellen|2=[[Datei:Aufgabe Formel Kreisausschnitt umstellen.png|rechts|rahmenlos|150x150px]] a) geg: A<sub>S</sub> = 38,6 cm²; α = 108°<br> | |||
ges: r<br> | ges: r<br> | ||
[[Datei:Aufgabe Formel Kreisbogen umstellen.png|rahmenlos]] b) geg: b = 6cm; α = 48°<br> | <br> | ||
<br> | |||
<br> | |||
[[Datei:Aufgabe Formel Kreisbogen umstellen.png|rechts|rahmenlos|150x150px]] b) geg: b = 6cm; α = 48°<br> | |||
ges: r <br> | ges: r <br> | ||
[Datei:Formel umstellen Kreisausschnitt nach Winkel.png|rahmenlos]] c) geg: r = 8,5 cm; A<sub>S</sub> = 70,6 cm²<br> | <br> | ||
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[[Datei:Formel umstellen Kreisausschnitt nach Winkel.png|rechts|rahmenlos|150x150px]] c) geg: r = 8,5 cm; A<sub>S</sub> = 70,6 cm²<br> | |||
ges: α<br> | ges: α<br> | ||
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Stelle jeweils die Formeln nach der gesuchten Größe um. Prüfe deine Lösungen mithilfe des obigen Applets.|3=Unterrichtsidee}} | Stelle jeweils die Formeln nach der gesuchten Größe um. Prüfe deine Lösungen mithilfe des obigen Applets.|3=Unterrichtsidee}} | ||
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Formel Kreisausschnitt umstellen nach r.png|rahmenlos|467x467px]]|2=Tipp zu a|3=Verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=[[Datei:Formel Kreisausschnitt umstellen nach r.png|rahmenlos|467x467px]]|2=Tipp zu a|3=Verbergen}} | ||
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{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Formel Kreisausschnitt umstellen nach Winkel.png|rahmenlos|400x400px]]|2=Tipp zu c|3=Verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=[[Datei:Formel Kreisausschnitt umstellen nach Winkel.png|rahmenlos|400x400px]]|2=Tipp zu c|3=Verbergen}} | ||
{{#ev:youtube|gct3CCDPsH0|800|center|||start=120&end=176}} | {{#ev:youtube|gct3CCDPsH0|800|center|||start=120&end=176}} | ||
{{Box|Übung | {{Box|Übung 8|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Stelle dazu die entsprechenden Formeln nach der gesuchten Größe um. Prüfe deine Lösung mit dem Applet oben. | ||
* S. 138 Nr. 4 | * S. 138 Nr. 4 | ||
* S. 138 Nr. 5 | * S. 138 Nr. 5 | ||
* S. 138 Nr. 6 | * S. 138 Nr. 6 | ||
* S. 138 Nr. 7 (Wähle hier die Übungen aus, bei denen du noch Schwierigkeiten in Nr. 4 bzw. Nr. 5 hattest.)|Üben}} | * S. 138 Nr. 7 (Wähle hier die Übungen aus, bei denen du noch Schwierigkeiten in Nr. 4 bzw. Nr. 5 hattest.)|Üben}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Der Bogen b ist genauso lang wie der Radius r...<br> | |||
1. Idee (leicht): Setzte eine Zahl ein, z.B. b=1, dann ist auch r=1 (b soll genauso lang sein wie r) und stelle die Gleichung nach α um:<br> | |||
b=2·π·r·<math>\tfrac{\alpha}{360}</math><br> | |||
1=2·π·1·<math>\tfrac{\alpha}{360}</math> |·360<br> | |||
360 = 2·π·1·α |:(2·π)<br> | |||
<math>\tfrac{360}{2\pi}</math> = α<br> | |||
57,3° ≈ α<br> | |||
<br> | |||
2. Idee (schwieriger, allgemein): Schreibe die Gleichung mit nur einer Variablen, z.B. r, denn b=r.<br> | |||
b=2·π·r·<math>\tfrac{\alpha}{360}</math> &nbps; |b=r<br> | |||
r=2·π·r·<math>\tfrac{\alpha}{360}</math> |·360<br> | |||
r·360 = 2·π·r·α |:(2·π·r)<br> | |||
<math>\tfrac{360}{2\pi r}</math> = α |r kürzen <br> | |||
<math>\tfrac{360}{2\pi}</math> = α<br> | |||
57,3° ≈ α<br> | |||
<br> | |||
b) Gehe ebenso vor, also z.B. b=2, r=1 (b ist doppelt so groß wie r)<br> | |||
oder b = 2r einsetzen<br> | |||
Lösung: α ≈ 114,6°<br> | |||
Gege ebenso vor, also z.B. b=1, r=2 (b ist halb so groß wie r)<br> | |||
oder b=0,5r<br> | |||
α ≈ 28,6°<br>|2=Tipp zu Nr. 6|3=Verbergen}} | |||
===Anwendungsaufgaben=== | ===Anwendungsaufgaben=== | ||
{{Box|Übung | {{Box|Übung 9 - Anwendungen|Löse die Aufgabe aus dem Buch und die Aufgaben auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/kreis/kreis.shtml '''Aufgabenfuchs'''] | ||
* S. 138 Nr. 8 | * S. 138 Nr. 8 | ||
* 12 | * 12 | ||
Zeile 141: | Zeile 186: | ||
* 42 | * 42 | ||
* 43|Üben}} | * 43|Üben}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Du findest im Aufgabentext Informationen zum Radius und zum Mittelpunktswinkel. |2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}} | |||
{{Box|Übung | {{Box|Übung 10 - Profiaufgaben|[[Datei:Scheibenwischeraufgabe.png|rechts|rahmenlos|300x300px]]* Scheibenwischer<br> | ||
Der Scheibenwischer eines Autos hat eine Länge von 48cm. Vom Drehpunkt bis zum unteren Ende des Wischerblattes sind es 16cm. Der Scheibenwischer | Der Scheibenwischer eines Autos hat eine Länge von 48cm. Vom Drehpunkt bis zum unteren Ende des Wischerblattes sind es 16cm. Der Scheibenwischer schwenkt über einen Winkel von 150° hin und her. Berechne den Flächeninhalt der erfassten Fläche. | ||
<br> | <br> | ||
<br> | <br> | ||
<br> | <br> | ||
[[Datei:Wendeltreppe Stufe.png|rechts|rahmenlos| | [[Datei:Wendeltreppe Stufe.png|rechts|rahmenlos|300x300px]]* Wendeltreppe<br> | ||
Eine Wendeltreppe besteht aus 12 Stufen, die zusammen eine vollständige Drehung ergeben. Die Stufen einer Wendeltreppe haben die im Bild angegebenen Maße. Bestimme den Flächeninhalt einer Treppenstufe.|Üben}} | Eine Wendeltreppe besteht aus 12 Stufen, die zusammen eine vollständige Drehung ergeben. Die Stufen einer Wendeltreppe haben die im Bild angegebenen Maße. Bestimme den Flächeninhalt einer Treppenstufe.|Üben}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Der Mittelpunktswinkel α beträgt 360°:12 = 30°, da 12 Stufen genau 360° ergeben.|2=Tipp | {{Lösung versteckt|1=Verwende zur Überprüfung deiner Rechnungen das Applet:<br> | ||
<ggb_applet id="ruaau9qb" width="1904" height="948" border="888888" /><br>|2=Tipp Animation|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Es handelt sich um einen Ausschnitt eines Kreisringes.<br> | |||
A = A<sub>Kreisring</sub> · <math>\tfrac{\alpha}{360^\circ}</math>|2=Tipp zur Rechnung|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Der Mittelpunktswinkel α beträgt 360°:12 = 30°, da 12 Stufen genau 360° ergeben.|2=Tipp zur Aufgabe Wendeltreppe|3=Verbergen}} | |||
===Zusammenfassung=== | |||
{{#ev:youtube|_qjewJyQCJo|800|center}} | |||
{{Fortsetzung|weiter=4 Zylinder|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Zylinder}} |
Version vom 28. April 2022, 18:51 Uhr
1 Kreisumfang
2 Kreisfläche
3 Kreisteile
4 Zylinder
5 Zusammengesetzte Körper
3 Kreisteile
Welche Arten von Kreisteilen gibt es?
Mache dich mit den verschiedenen Begriffen vertraut:
Applet von GeoGebra Translation Team German, Pöchtrager
3.1 Kreisring
Für die Fläche des weißen Ringes, berechne zunächst den Flächeninhalt der gesamte Scheibe A1 mit dem Radius raußen = 40cm. Subtrahiere anschließend den Flächeninhalt des inneren Kreises A2 mit dem Radius rinnen = 32cm.
AKreisring weiß = A1 - A2
= π·ra² - π·ri²
= π·40² - π·32²
= π·(40² - 32²)
Den Flächeninhalt des schwarzen, blauen und roten Ringes berechne ebenso. Wähle jeweils der Radius des äußeren und inneren Kreises passend:
schwarzer Ring: ra = 32cm; ri = 24cm.
blauer Ring: ra = 24cm; ri = 16cm.
roter Ring: ra = 18cm; ri = 8cm.
Vergleiche deine Lösung zu a)
Aweiß = 1809,56 cm²
Aschwarz = 1407,43 cm²
Ablau = 1005,31 cm²
Arot = 603,19 cm²
Agelb = 201,06 cm²
Für die Berechnungen der Flächeninhalte der Kreisringe hast du immer vom äußeren Kreis den inneren Kreis subtrahiert. Leite so die Formel her:
AKreisring = Aaußen - Ainnen
= π·r²a - π·r²i | π als gleichen Faktor ausklammern
Die Formel wird veranschaulicht im nachfolgenden Applet:
Berechne zunächst r2.
3.2 Kreisausschnitt AS und Kreisbogen b
Beobachte den Zusammenhang zwischen der Fläche des Kreisausschnittes und dem Mittelpunktswinkel α im nachfolgenden Applet:
Applet von IT Wombat
Beispiele:
geg: r = 5cm; α = 72°
Berechne den Flächeninhalt des Kreisausschnittes AS:
AS = π·r²· |Werte einsetzen
= π·5²·
b = 2·π·r· |Werte einsetzen
= 2·π·5·
Prüfe deine Lösungen mithilfe des Applets:
Formeln umstellen
Der Bogen b ist genauso lang wie der Radius r...
1. Idee (leicht): Setzte eine Zahl ein, z.B. b=1, dann ist auch r=1 (b soll genauso lang sein wie r) und stelle die Gleichung nach α um:
b=2·π·r·
1=2·π·1· |·360
360 = 2·π·1·α |:(2·π)
= α
57,3° ≈ α
2. Idee (schwieriger, allgemein): Schreibe die Gleichung mit nur einer Variablen, z.B. r, denn b=r.
b=2·π·r· &nbps; |b=r
r=2·π·r· |·360
r·360 = 2·π·r·α |:(2·π·r)
= α |r kürzen
= α
57,3° ≈ α
b) Gehe ebenso vor, also z.B. b=2, r=1 (b ist doppelt so groß wie r)
oder b = 2r einsetzen
Lösung: α ≈ 114,6°
Gege ebenso vor, also z.B. b=1, r=2 (b ist halb so groß wie r)
oder b=0,5r
Anwendungsaufgaben
Verwende zur Überprüfung deiner Rechnungen das Applet:
Es handelt sich um einen Ausschnitt eines Kreisringes.