Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/exponentielles Wachstum: Unterschied zwischen den Versionen
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==3.1 Exponentielles Wachstum: Beispiele und Anwendungen== | ==3.1 Exponentielles Wachstum: Beispiele und Anwendungen== | ||
===3.1.1 W<sub>n</sub> gesucht=== | |||
{{Box|Anwendungsaufgabe 1: Bevölkerungswachstum (W<sub>n</sub> gesucht)|Die Bevölkerung in Indien beträgt zur Zeit 1,38 Milliarden Einwohner (2020). Die jährliche Zunahme beträgt derzeit 0,8%. <br> | {{Box|Anwendungsaufgabe 1: Bevölkerungswachstum (W<sub>n</sub> gesucht)|Die Bevölkerung in Indien beträgt zur Zeit 1,38 Milliarden Einwohner (2020). Die jährliche Zunahme beträgt derzeit 0,8%. <br> | ||
Wie viele Einwohner hat Indien im Jahr 2025?|Üben}} | Wie viele Einwohner hat Indien im Jahr 2025?|Üben}} | ||
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{{Lösung versteckt|1=Du kannst die Formel auch nach n umstellen. Die Lösung erfolgt durch Logarithmieren. Eine Erklärung hierzu, findest du unten auf der Seite.|2=Hinweis zur Berechnung von n (Logarithmieren)|3=Verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=Du kannst die Formel auch nach n umstellen. Die Lösung erfolgt durch Logarithmieren. Eine Erklärung hierzu, findest du unten auf der Seite.|2=Hinweis zur Berechnung von n (Logarithmieren)|3=Verbergen}} | ||
===3.1.2 W<sub>0</sub> gesucht=== | |||
{{Box|Anwendungsaufgabe 2: Klimawandel (W<sub>0</sub> gesucht)|[[Datei:Iceberg-g3d68c08ff 1920.jpg|rechts|rahmenlos|100x100px]]Im Jahr 2021 ist die Fläche der Arktis mit 4,7 Mio km² deutlich kleiner als noch vor rund 30 Jahren. Die Abnahme beträgt mit leichten Schwankungen jährlich ca. 1,7%.<br> | {{Box|Anwendungsaufgabe 2: Klimawandel (W<sub>0</sub> gesucht)|[[Datei:Iceberg-g3d68c08ff 1920.jpg|rechts|rahmenlos|100x100px]]Im Jahr 2021 ist die Fläche der Arktis mit 4,7 Mio km² deutlich kleiner als noch vor rund 30 Jahren. Die Abnahme beträgt mit leichten Schwankungen jährlich ca. 1,7%.<br> | ||
Wie groß war die Fläche vor 30 Jahren?|Üben}} | Wie groß war die Fläche vor 30 Jahren?|Üben}} | ||
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===3.1.3 q bzw. p% gesucht=== | |||
{{Box|Anwendungsaufgabe 3: Mietpreissteigerung (q und p% gesucht)|[[Datei:House-g7ece683db 1280.png|rechts|rahmenlos|100x100px]]Die Miete für eine Wohnung stieg innerhalb von 5 Jahren von 600€ auf 730€.<br> | {{Box|Anwendungsaufgabe 3: Mietpreissteigerung (q und p% gesucht)|[[Datei:House-g7ece683db 1280.png|rechts|rahmenlos|100x100px]]Die Miete für eine Wohnung stieg innerhalb von 5 Jahren von 600€ auf 730€.<br> | ||
Um wie viel Prozent ist die Miete durchschnittlich pro Jahr gestiegen? |Üben}} | Um wie viel Prozent ist die Miete durchschnittlich pro Jahr gestiegen? |Üben}} | ||
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===3.1.4 n gesucht=== | |||
{{Box|Anwendungsaufgabe 4: Temperaturabnahme (n gesucht)|[[Datei:Tea-pot-gc1ced1e73 1280.png|rechts|rahmenlos|100x100px]]Eine Tasse Tee wird mit kochendem Wasser (100°C) aufgegossen. Die Temperatur sinkt jede Minute um 5%. Es wird empfohlen, Getränke nicht heißer als 65°C zu trinken. <br> | {{Box|Anwendungsaufgabe 4: Temperaturabnahme (n gesucht)|[[Datei:Tea-pot-gc1ced1e73 1280.png|rechts|rahmenlos|100x100px]]Eine Tasse Tee wird mit kochendem Wasser (100°C) aufgegossen. Die Temperatur sinkt jede Minute um 5%. Es wird empfohlen, Getränke nicht heißer als 65°C zu trinken. <br> | ||
Nach wie vielen Minuten ist der Tee kalt genug? |Üben}} | Nach wie vielen Minuten ist der Tee kalt genug? |Üben}} | ||
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{{Box|Übung 7: ANTON-APP|Bearbeite die Übungen zum exponentiellen Wachstum in der [https://anton.app/de/ ANTON-App].|Üben}} | {{Box|Übung 7: ANTON-APP|Bearbeite die Übungen zum exponentiellen Wachstum in der [https://anton.app/de/ ANTON-App].|Üben}} | ||
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==3.2 Anwendung des exponentiellen Wachstums: Zinseszinsrechnung== | |||
{{Box|1=Zinseszins|2=Zinseszins bedeutet, dass ein Startkapital Zinsen erwirtschaftet und diese Zinsen werden dem Vermögen am Jahresende gutgeschrieben. So werden in Zukunft diese Zinsen ebenfalls verzinst.<br> | {{Box|1=Zinseszins|2=Zinseszins bedeutet, dass ein Startkapital Zinsen erwirtschaftet und diese Zinsen werden dem Vermögen am Jahresende gutgeschrieben. So werden in Zukunft diese Zinsen ebenfalls verzinst.<br> | ||
Das Kapital nach n Jahren wird mit der Formel <br> | Das Kapital nach n Jahren wird mit der Formel <br> | ||
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==3.3 Anwendung des exponentiellen Wachstums: Halbwertszeit und Generationszeit (Verdopplungszeit)== | |||
Einstieg: evtl. Bierschaumzerfall (Untersuchtung auf [https://www.leifiphysik.de/kern-teilchenphysik/radioaktivitaet-einfuehrung/versuche/bierschaumzerfall leifiphysik]) | Einstieg: evtl. Bierschaumzerfall (Untersuchtung auf [https://www.leifiphysik.de/kern-teilchenphysik/radioaktivitaet-einfuehrung/versuche/bierschaumzerfall leifiphysik]) | ||
{{Box|1=Halbwertszeit|2=Die Halbwertszeit T<sub><math>\tfrac{1}{2}</math></sub> gibt an, nach welcher Zeitspanne sich die Ausgangsmenge radioaktiven Materials halbiert hat.<br> | {{Box|1=Halbwertszeit|2=Die Halbwertszeit T<sub><math>\tfrac{1}{2}</math></sub> gibt an, nach welcher Zeitspanne sich die Ausgangsmenge radioaktiven Materials halbiert hat.<br> | ||
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{{Box|1=Übung zum Logarithmieren|2=Löse S. 84 Nr. 21b mithilfe des Taschenrechners:<br> | {{Box|1=Übung zum Logarithmieren|2=Löse S. 84 Nr. 21b mithilfe des Taschenrechners:<br> | ||
3<sup>x</sup> = 50 also ist <br> | 3<sup>x</sup> = 50 also ist <br> | ||
x = < | x = log<sub>3</sub>50<br> | ||
x ≈ 3,56|3=Üben}} | x ≈ 3,56|3=Üben}} | ||
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{{Fortsetzung|weiter=4 Die Exponentialfunktion|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Exponentialfunktion}} | {{Fortsetzung|weiter=4 Die Exponentialfunktion|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Exponentialfunktion}} |
Aktuelle Version vom 3. Dezember 2024, 15:50 Uhr
1) Lineares und exponentielles Wachstum (Einstieg)
2) Wachstumsrate und Wachstumsfaktor
3) Exponentielles Wachstum
4) Die Exponentialfunktion
3 Exponentielles Wachstum
Prognose für das Jahr 2030: n = 11
W11 = W0 ∙ q11
= 7,70 ∙ 1,02511
Die Gleichung Wn = W0 · qn heißt Exponentialgleichung, da die Variable n im Exponenten steht.
Erinnerung vermehrter/verminderter Grundwert in der Prozentrechnung:
vermehrter Grundert: G+ = G · p+% (mit p+% = 1+p% = q)
Applet von C. Buß-Haskert Originallink https://www.geogebra.org/m/jtgzqdtf
3.1 Exponentielles Wachstum: Beispiele und Anwendungen
3.1.1 Wn gesucht
geg: W0 = 1,38 Mrd.; p% = 0,8% = 0,008, also ist q = 1+0,008 = 1,008; n = 5 (von 2020 - 2025)
ges: W5
Wn = W0 · qn
W5 = 1,38 · 1,0085
= 1,436
Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 8):
3.1.2 W0 gesucht
geg: W30 = 4,7 Mio km²; p% = -1,7% = -0,017, also ist q = 1-0,017 = 0,983; n = 30
ges: W0
Wn = W0 · qn | : qn
W0 =
W0 =
=
≈ 7,86
3.1.3 q bzw. p% gesucht
geg: W0 = 600 €; W5 = 730 €; n = 5
ges: q bzw. p%
Wn = W0 · qn | : W0
= qn |
= q
1,04 ≈ q
p% = q - 1 = 0,04 = 4%
3.1.4 n gesucht
geg: W0 = 100°C; Wn = 65°C ; p% = -5% = -0,05, also q = 1-0,05 = 0,95
ges: n
Wn = W0 · qn | Löse durch systematisches Probieren (Wertetabelle)
Für n = 1 gilt:
W1 = W0 · q1 |
= 100 · 0,951
= 95 (°C)
...
Für n = 8 gilt:
W8 = W0 · q8 |
= 100 · 0,958
≈ 66,3 (°C)
Für n = 9 gilt:
W9 = W0 · q9 |
= 100 · 0,959
≈ 63,0 (°C)
Du kannst die Lösung auch durch Logarithmieren lösen:
Wn = W0 · qn
65 = 100 · 0,95n |:100
0,65 = 0,95n |log
log0,950,65 = n
8,4 ≈ n
geg: W0 = 200 g; p% = 30% = 0,3, also q = 1+0,3 = 1,3
ges: W1; W2; ...; W5
geg: W0 = 200 g; p% = 30% = 0,3, also q = 1+0,3 = 1,3; Wn = 1200 g
ges: n
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 4. Löse durch systematische Probieren.
Lösung:
für n = 6 ist W6 = ... ≈965,4 g
für n = 7 ist W7 = ... ≈ 1254,9 g
geg: W0 = 18700 €; p% = 0,9% = 0,009, also q = 1+0,009 = 1,009; n = 2 (von 2013 bis 2015)
ges: W2
geg: W2 = 22500 €; p% = 0,9% = 0,009, also q = 1+0,009 = 1,009
ges: W0 (2013) und W1 (2014)
geg: W0 = 26200 €(im Jahr 2018); p% = 2,3% = 0,023, also q = 1+0,023 = 1,023; n = 5 (von 2018 bis 2023)
ges: W5
geg: W0 = ... (Bevölkerungszahlen im Jahr 2010); p% = 1,2% = 0,012, also q = 1+0,012= 1,012 usw.; n = 40 (von 2010 bis 2050)
ges: W40
geg: W0 = 100% (Lichtintensität); p% = -11% = -0,11, also q = 1-0,11 = 0,89; n = 10 (in 10m Tiefe)
ges: W10
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1.
Lösung: W10 = ... ≈ 31,2%
geg: Luftdruck in Meereshöhe W0=1013 hPa; Abnahme je 100m p%=-1,23%=-0,0123, also q=1-0,0123 = 0,9877; Höhe des Kilimandscharo 5895m = 58,95· 100 m, also x = 58,95 und des Mt. Everest 8848m = 88,48·100 m, also x = 88,48
ges: Luftdruck auf den Bergen, also Wx
Wx = W0 · qx
= 1013 · 0,987758,95
≈ 488,4 (hPa)
Bestimme zunächst den Luftdruck in 500 m Höhe (also x = 5) und in 841 m Höhe (also x = 8,41). Danach berechne den Unterschied von beiden. dies ist W.
Gib die Funktionsgleichung bei GeoGebra ein. Wx = 1013 · 0,9887x:100
x steht hier für die Höhe, in der der Luftdruck berechnet werden soll.
3.2 Anwendung des exponentiellen Wachstums: Zinseszinsrechnung
Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein exponentielles Wachstum.
geg:K = 7500€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1 + 0,015 =1,015; n = 5
K5 = K0 ∙ q5
= 7500 ∙ 1,0155
a) geg:...
ges: q; Kn
q = 1 + p% = 1 + 0,015 = 1,015
b) geg:...
ges: p%; Kn
p% = q - 1 = 1,035 - 1 = 0,035 = 3,5%
c) geg: ...
ges: K0; p%
d)geg: ...
ges: q und p%
Stelle die Formel nach q um und setzte die gegebene Größen ein. Bestimme so den Wert für q.
e) geg: ...
ges: q; n
q = 1 + p% = ...
Bestimme n durch Probieren.
Rechne zunächst mit einem Betrag von z.B. K0 = 1000€
geg: K0 = 1000€; Kn = 2 ∙ 1000€ = 2000€; p% = 1,8% = 0,0018, q = 1 + 0,018 = 1,018
Stelle die passende Gleichung auf und gib diese bei GeoGebra ein. Löse damit Aufgabenteil c) und d),
(Kn=7200∙1,018n
x
Vergleiche die beiden Angebote:
Angebot A:
geg: K0 = 10000€; p% = 2,25% = 0,0225, also q = 1,0225; n = 7 Jahre
ges: Kn
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne.
Angebot B:
geg: K0 = 10000€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1,015; n = 7 Jahre; auf das Kapital nach 7 Jahren K7 gibt es zusätzlich 10%.
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne.
Berechne dann das Endkapital, indem du auf K7 noch einmal einen Aufschlag von 10% rechnest:
Endkapital KEnde = K7 ∙ 1,1 ...
a) geg: K0 = 2800€; n = 5; K5 = 3607,75€;
ges: Zinssatz p% (Berechne zunächst q und damit dann p%).
b) K0 = 5000€; p% = 4,5 = 0,045, also q = 1,045; Kn = 2 ∙ 5000€ = 10000€ ("verdoppelt")
ges: n
Löse durch Probieren!
c) geg: n = 8 Jahre; p% = 5,25% = 0,0525, also q = 1 + 0,0525 = 1,0525; K8 = 6776,25€
ges: K0
Vergleiche deine Lösungen zu den Aufgaben oben (bunte Mischung)
K0 = 500€; K0 = 4500€
p% = 1,2%; p% = 1%; p% = 3,5%; p% = 5,2%;
q=1,015; q = 1,01; q =1,03
Kn=8079,63€; Kn = 11685,39€; Kn = 11098,45€
3.3 Anwendung des exponentiellen Wachstums: Halbwertszeit und Generationszeit (Verdopplungszeit)
Einstieg: evtl. Bierschaumzerfall (Untersuchtung auf leifiphysik)
Das nachfolgende Applet stellt den Zerfallsprozess anschaulich dar:
- Halbwertszeit (Atome)
Direkter Link: https://www.geogebra.org/m/cq62nsqj
Applet von Hegius, Mathezone
Das nachfolgende Applet stellt den Verdopplungsprozess anschaulich dar:
- Generationszeit/ Verdopplungszeit (Bakterien)
Direkter Link: passt das Applet??
Applet von Hegius, R. Schürz
geg: Wismut 210 mit T = 5 Tage; q = 0,5 und Ausgangsmenge W0 = 100g.
Zeit = 30 Tage, in 5 Tagesabschnitten, also für n = 1, 2, 3, 4, 5 und 6
ges: Wertetabelle:
W1 = W0 · 0,51
= 100 · 0,5 = 50 (g)
W2 = W0 · 0,52
= 100 · 0,52 = 25 (g)
W3 = W0 · 0,53
= 100 · 0,53 = 12,5 (g)
...
geg: Radium-229 mit T = 240 s; q = 0,5 und Ausgangsmenge W0 = 48g.
Zeit = 6 Minuten = 360 s
ges: n; Wn
n = = = 1,5
geg: Radium-229 mit T = 240 s; q = 0,5 und Ausgangsmenge W0 = 48mg.
Wn = 1,5 mg
ges: n; t (Zeit)
1,5 = 48 · 0,5n
Löse durch systematisches Probieren.
geg: Generationszeit T2 = 45 Tage; W0 = 10 (Ratten); q = 2; t = 3 Monate = 90 Tage; n = = = 2
geg: Generationszeit T2 = 45 Tage = 1,5 Monate; q = 2; W0 = 10 (Ratten); Wn = 80 Mio;
ges: n; t
geg: n = 23 (wie in Nr. 8b)
geg: q = 2; W0 = 50 Bakterien; T2 = 30 Minuten = 0,5 Stunden; t= 3,5 Stunden; n = = = 7
geg: q = 2; T2 = 3 Wochen; Wn = 100·W0
ges: n; t
Wn = W0·qn | Setze q = 2 und Wn = 100·W0 ein
Löse durch systematisches Probieren.
ges: n; Wn
n = ≈ 6,4
Wn = W0 · qn
geg: W0 = 400; W18,8 = 2·400 = 800; n = 18,8
ges: q
Wn = W0 · qn
800 = 400 · q18,8 |:400
2 = q18,8 |
= q
1,038 ≈ q
geg: W0 = 400; n = 2h = 120min; q = 1,038
ges: Wn
geg: W0 = 100% (die gesamte Menge des Stoffe ist noch da); W6 = 100% - 34% = 66%; n = 6
ges: q
W6 = W0 · q6 | Umstellen nach q
= q
= q
0,933 ≈ q
Nun berechne die Halbwertszeit:
geg: W0 = 100%; Wn = 50%; q = 0,933
ges: n
Wn = W0 · qn
0,5 = 1 · 0,993n
Löse durch Probieren.
Für n = 9 gilt: W9 ≈ 0,54
Für n = 10 gilt: W10 ≈ 0,4998
geg: W0 = 100%; W24 = 300% (verdreifacht); n = 24
ges: q (prozentuales Wachstum pro Tag); p%
...
Einschub: Logarithmieren
Ist beim exponentiellen Wachstum der Exponent n gesucht, kannst du diesen Wert durch systematisches Probieren erhalten. Eine genauere Möglichkeit ist das Logarithmieren.
Falls du einen Taschenrechner nutzt, der diese Möglichkeit nicht hat, tippe wie folgt:
x =