https://projekte.zum.de/api.php?action=feedcontributions&user=Laura+WWU-8&feedformat=atomZUM Projektwiki - Benutzerbeiträge [de]2024-03-29T10:07:21ZBenutzerbeiträgeMediaWiki 1.39.6https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50859Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-20T18:44:53Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Punktprobe | <br />
Gegeben ist die Ebene <math>E</math> mit<br />
<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''a)''' Liegt der Punkt <math>A (7|5|{-}3)</math> in der Ebene?<br />
<br />
'''b)''' Liegt der Punkt <math>B (7|1|8)</math> in der Ebene? <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ {-}3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
5 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
{-}3 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat keine Lösung (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>A</math> liegt also nicht in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
8 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat die Lösung <math>r=1</math> und <math>s=2</math> (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>B</math> liegt also in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachtet man, wie im Tipp angegeben, die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene, so ist also der Schnittpunkt mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene gesucht. <br />
Um die Lösung zu erhalten kann also für <math>\vec{x}</math> den Vektor <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> einsetzen. Berechnet man mithilfe der dritten Zeile den Parameter, ergibt sich aus <br />
<math>0 = {-}256+r \cdot 8</math> das Ergebnis <math>r=32</math>. Damit lassen sich im Anschluss die fehlenden Koordinaten berechnen. <br />
Es ergibt sich insgesamt als Lösung:<br />
<math>\vec{OP} \colon =\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
Also taucht das U-Boot im Punkt <math>P ({-}4697 | 2106 | 0)</math> auf. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Geradlinig begrenzte Flächen==<br />
{{Box|Merksatz: Geradlinig begrenzte Flächen| <br />
Nicht immer ist es ausreichend zu wissen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt. Betrachtet man Sachaufgaben, so ist häufig eine begrenzte Fläche gegeben, die als Ebene modelliert wird. Die Ebene ist also in der Realität beschränkt. Dabei muss dann zunächst untersucht werden, durch welche Werte der Parameter die Fläche begrenzt wird. Es bietet sich häufig an, dafür die Eckpunkte zu betrachten. Stellt man fest, dass ein zu untersuchender Punkt in der Ebene liegt, muss im zweiten Schritt daher untersucht werden, ob die berechneten Parameter im „erlaubten Bereich“ liegen.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Dachfläche |In der Skizze ist das Dach eines Hauses zu sehen. Die im Bild sichtbare Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{v}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> gehören (Angaben in m). <br />
Die Dachfläche misst <math>9</math>m mal <math>7</math>m. <br />
<br />
'''a)''' Bestimmen Sie eine Parametergleichung für die Ebene, in der die Dachfläche liegt. <br />
<br />
'''b)''' Man kann alle Punkte der Dachfläche beschreiben, indem man die Parameter für die Ebene einschränkt. Führen Sie dies durch. <br />
<br />
'''c)''' Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte der Dachfläche an. Bestimmen Sie außerdem drei Punkte, die außerhalb der Dachfläche, aber in derselben Ebene wie die Dachfläche liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Eine Parametergleichung für die Ebene lautet: <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>|2=Lösung zu a) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>|\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}| = 2</math> ; <math> |\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}| = \sqrt{8}</math><br />
<br />
Für die Parameter gilt: <math>0 \le r \le 4{,}5</math> und <math>0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math><br />
<br />
Die Punkte der Dachfläche können beschrieben werden durch die Parameterdarstellung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} ; 0 \le r \le 4{,}5 ; 0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math>|2=Lösung zu b) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>\vec{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>B ({-}4{,}95|9|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>C ({-}4{,}95|0|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>D (0|0|4)</math><br />
<br />
Punkte, die außerhalb der Dachfläche liegen:<br />
z.B.: <br />
<br />
<math>r=5, s=4 </math> <math>P_1({-}8|{-}1|12)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s={-}1</math> <math>P_2(2|11|2)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s=0 </math> <math>P_3(0|11|4)</math>|2=Lösung zu c) anzeigen |3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Verfahren: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Skalarprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese zwei Gleichungen können auf diese Weise aufgestellt werden, da <math> \vec{n} </math> orthogonal auf der Ebene steht. Daher wissen wir, dass <math> \vec{n} </math> orthogonal auf den beiden Spannvektoren steht. Außerdem ist bekannt, dass das Skalarprodukt von zwei orthogonalen Vektoren gleich Null ist.<br />
Im Folgenden bilden diese beiden Gleichungen ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Für das Gleichungssystem gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. Löse es, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest.<br />
Wichtig: Das <math>n</math>, das du frei wählst, muss in beiden Gleichungen enthalten sein. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform <br />
<br />
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Berechne einen Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Alternativ lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \ast \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. Man erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform- und Koordinatenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
Zusatz: Bestimme auch die Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> <br />
<br />
Die Koeffizienten der Koordinatengleichung können wir dem Normalenvektor entnehmen. <br />
Ansatz der Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OQ} \cdot \vec{n}</math>. Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man also das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OQ}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>{-}3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + ({-}6) \cdot 3 = {-}23</math>.<br />
Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3={-}23</math>|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
==&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform==<br />
<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | 2= Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <br />
<br />
Hieraus folgt:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
n_1 &&\; - \;&& n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
n_1 &&\; - \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Willst du das Gleichungssystem per Hand lösen kannst du in der ersten Gleichung auf beiden Seite <math>+n_2</math> rechnen und erhält <math>n_1 = n_2</math>. Das Ergebnis für <math>n_1</math> setzt du in die zweite Gleichung ein und berechnest so <math>n_3</math> in Abhängigkeit von <math>n_2</math> und erhälst:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}2n_2 + 4n_3 &= 0 & &\mid +2n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 4n_3 &= 2n_2 & &\mid :4\\<br />
\Leftrightarrow & & n_3 &= \tfrac{1}{2} n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_2 \\ n_2 \\ \tfrac{1}{2} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=12</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=12</math> <br />
| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}2n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in den vorherigen Aufgaben. Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 1n_1 + 3n_2 &= 0 & &\mid -3n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & n_1 &= -3n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von <math>n_2</math> abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch <math>n_3</math> und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} {-}3n_2 \\ n_2 \\ -\tfrac{7}{3} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_2</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_2 = {-}3</math> ist, dann folgt für <math>n_1 = 9</math> und für <math>n_3 = 7</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zum Aufstellen einer möglichen Parametergleichung wählen wir beispielsweise den Punkt <math>A</math> als Aufpukt. Die Richtungsvektoren können beispielsweise berechnet werden durch <math>\vec{AB}</math> als ersten Richtungsvektor und <math>\vec{AC}</math> als zweiten. Somit setzt sich die Ebenengleichung wie folgt zusammen:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \vec{OA} + s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AC}</math>.<br />
<br />
Damit ergibt sich:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Da ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein muss gilt <br />
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}6n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Um das Gleichungssystem per Hand zu lösen, behalten wir die erste Gleichung bei und ersetzen die zweite durch die Summe der beiden Gleichungen wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}9n_1 &&\; + \;&& 0n_2 &&\; + \;&& 7n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Zur Berechnung eines allgemeinen Normalenvektors formen wir die zweite Gleichung um und erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}9n_1 + 7n_2 &= 0 & &\mid -7n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & {-}9n_1 &= {-}7n_3 & &\mid :{-}7\\<br />
\Leftrightarrow & & \tfrac{9}{7}n_1 &= n_3 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen von <math>n_3=\tfrac{9}{7}n_1</math> in die erste Gleichung erhalten wir auch <math>n_2</math> als von <math>n_1</math> abhängigen Wert mit <math>n_2=\tfrac{15}{7}</math>. Damit ergibt sich der allgemeine Normalenvektor:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{15}{7} n_1 \\ \tfrac{9}{7} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = {-}7</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}15</math> und für <math>n_3 = {-}9</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Außerdem nutzen wir <math>A</math> als Aufpunkt und erhalten somit:<br />
<br />
<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir nutzen den eben berechneten Normalenvektor auch zum Aufstellen der Koordinatenform.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Skalarprodukts des Normalenvektors mit dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>(-7 \cdot 7) + ((-15) \cdot 2) + ((-9) \cdot (-1)) =-70</math><br />
<br />
Damit ergibt sich folgende Koordinatengleichung:<br />
<br />
<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=-70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50;Arbeiten mit den unterschiedlichen Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Modellierung eines Tisches (Koordinaten- und Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
Zusatz: Gebe auch die Normalenform an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und könnte beim Aufstellen der Normalen- oder Parametergleichung der Ebene als Aufpunkt genutzt werden. <br />
Den Normalenvektor, dessen Einträge wir als Koeffizienten der Koordinatengleichung der Ebene nutzen, berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Das heißt, wir erhalten für den Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OT}</math>:<br />
<br />
<math>0 \cdot 4 + 0 \cdot 5 + ({-}8) \cdot 8={-}64</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:{-}8x_3={-}64</math> <br />
<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in Aufgabe 9 "Normalenvektor berechnen". Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 28n_1 + 24n_2 &= 0 & &\mid -24n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 28n_1 &= -24n_2 & &\mid :(-24)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{28}{24}n_1 &= n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{7}{6}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von <math>n_1</math> abhängigen Werte, in die zweite Gleichung erhalten wir auch <math>n_3</math> und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}7}{6} n_1 \\ -\tfrac{196}{3} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 6</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}7</math> und für <math>n_3 = 392</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix} </math> <br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{o}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /></div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50858Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-20T18:38:47Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Punktprobe | <br />
Gegeben ist die Ebene <math>E</math> mit<br />
<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''a)''' Liegt der Punkt <math>A (7|5|{-}3)</math> in der Ebene?<br />
<br />
'''b)''' Liegt der Punkt <math>B (7|1|8)</math> in der Ebene? <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ {-}3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
5 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
{-}3 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat keine Lösung (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>A</math> liegt also nicht in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
8 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat die Lösung <math>r=1</math> und <math>s=2</math> (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>B</math> liegt also in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachtet man, wie im Tipp angegeben, die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene, so ist also der Schnittpunkt mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene gesucht. <br />
Um die Lösung zu erhalten kann also für <math>\vec{x}</math> den Vektor <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> einsetzen. Berechnet man mithilfe der dritten Zeile den Parameter, ergibt sich aus <br />
<math>0 = {-}256+r \cdot 8</math> das Ergebnis <math>r=32</math>. Damit lassen sich im Anschluss die fehlenden Koordinaten berechnen. <br />
Es ergibt sich insgesamt als Lösung:<br />
<math>\vec{OP} \colon =\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
Also taucht das U-Boot im Punkt <math>P ({-}4697 | 2106 | 0)</math> auf. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Geradlinig begrenzte Flächen==<br />
{{Box|Merksatz: Geradlinig begrenzte Flächen| <br />
Nicht immer ist es ausreichend zu wissen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt. Betrachtet man Sachaufgaben, so ist häufig eine begrenzte Fläche gegeben, die als Ebene modelliert wird. Die Ebene ist also in der Realität beschränkt. Dabei muss dann zunächst untersucht werden, durch welche Werte der Parameter die Fläche begrenzt wird. Es bietet sich häufig an, dafür die Eckpunkte zu betrachten. Stellt man fest, dass ein zu untersuchender Punkt in der Ebene liegt, muss im zweiten Schritt daher untersucht werden, ob die berechneten Parameter im „erlaubten Bereich“ liegen.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Dachfläche |In der Skizze ist das Dach eines Hauses zu sehen. Die im Bild sichtbare Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{v}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> gehören (Angaben in m). <br />
Die Dachfläche misst <math>9</math>m mal <math>7</math>m. <br />
<br />
'''a)''' Bestimmen Sie eine Parametergleichung für die Ebene, in der die Dachfläche liegt. <br />
<br />
'''b)''' Man kann alle Punkte der Dachfläche beschreiben, indem man die Parameter für die Ebene einschränkt. Führen Sie dies durch. <br />
<br />
'''c)''' Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte der Dachfläche an. Bestimmen Sie außerdem drei Punkte, die außerhalb der Dachfläche, aber in derselben Ebene wie die Dachfläche liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Eine Parametergleichung für die Ebene lautet: <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>|2=Lösung zu a) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>|\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}| = 2</math> ; <math> |\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}| = \sqrt{8}</math><br />
<br />
Für die Parameter gilt: <math>0 \le r \le 4{,}5</math> und <math>0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math><br />
<br />
Die Punkte der Dachfläche können beschrieben werden durch die Parameterdarstellung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} ; 0 \le r \le 4{,}5 ; 0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math>|2=Lösung zu b) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>\vec{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>B ({-}4{,}95|9|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>C ({-}4{,}95|0|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>D (0|0|4)</math><br />
<br />
Punkte, die außerhalb der Dachfläche liegen:<br />
z.B.: <br />
<br />
<math>r=5, s=4 </math> <math>P_1({-}8|{-}1|12)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s={-}1</math> <math>P_2(2|11|2)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s=0 </math> <math>P_3(0|11|4)</math>|2=Lösung zu c) anzeigen |3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Verfahren: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Skalarprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese zwei Gleichungen können auf diese Weise aufgestellt werden, da <math> \vec{n} </math> orthogonal auf der Ebene steht. Daher wissen wir, dass <math> \vec{n} </math> orthogonal auf den beiden Spannvektoren steht. Außerdem ist bekannt, dass das Skalarprodukt von zwei orthogonalen Vektoren gleich Null ist.<br />
Im Folgenden bilden diese beiden Gleichungen ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Für das Gleichungssystem gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. Löse es, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest.<br />
Wichtig: Das <math>n</math>, das du frei wählst, muss in beiden Gleichungen enthalten sein. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform <br />
<br />
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Berechne einen Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Alternativ lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \ast \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. Man erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform- und Koordinatenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
Zusatz: Bestimme auch die Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> <br />
<br />
Die Koeffizienten der Koordinatengleichung können wir dem Normalenvektor entnehmen. <br />
Ansatz der Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OQ} \cdot \vec{n}</math>. Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man also das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OQ}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>{-}3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + ({-}6) \cdot 3 = {-}23</math>.<br />
Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3={-}23</math>|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
==&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform==<br />
<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | 2= Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <br />
<br />
Hieraus folgt:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
n_1 &&\; - \;&& n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
n_1 &&\; - \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Willst du das Gleichungssystem per Hand lösen kannst du in der ersten Gleichung auf beiden Seite <math>+n_2</math> rechnen und erhält <math>n_1 = n_2</math>. Das Ergebnis für <math>n_1</math> setzt du in die zweite Gleichung ein und berechnest so <math>n_3</math> in Abhängigkeit von <math>n_2</math> und erhälst:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}2n_2 + 4n_3 &= 0 & &\mid +2n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 4n_3 &= 2n_2 & &\mid :4\\<br />
\Leftrightarrow & & n_3 &= \tfrac{1}{2} n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_2 \\ n_2 \\ \tfrac{1}{2} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=12</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=12</math> <br />
| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}2n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in den vorherigen Aufgaben. Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 1n_1 + 3n_2 &= 0 & &\mid -3n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & n_1 &= -3n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von <math>n_2</math> abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch <math>n_3</math> und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} {-}3n_2 \\ n_2 \\ -\tfrac{7}{3} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_2</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_2 = {-}3</math> ist, dann folgt für <math>n_1 = 9</math> und für <math>n_3 = 7</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zum Aufstellen einer möglichen Parametergleichung wählen wir beispielsweise den Punkt <math>A</math> als Aufpukt. Die Richtungsvektoren können beispielsweise berechnet werden durch <math>\vec{AB}</math> als ersten Richtungsvektor und <math>\vec{AC}</math> als zweiten. Somit setzt sich die Ebenengleichung wie folgt zusammen:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \vec{OA} + s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AC}</math>.<br />
<br />
Damit ergibt sich:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Da ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein muss gilt <br />
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}6n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Um das Gleichungssystem per Hand zu lösen, behalten wir die erste Gleichung bei und ersetzen die zweite durch die Summe der beiden Gleichungen wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}9n_1 &&\; + \;&& 0n_2 &&\; + \;&& 7n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Zur Berechnung eines allgemeinen Normalenvektors formen wir die zweite Gleichung um und erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}9n_1 + 7n_2 &= 0 & &\mid -7n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & {-}9n_1 &= {-}7n_3 & &\mid :{-}7\\<br />
\Leftrightarrow & & \tfrac{9}{7}n_1 &= n_3 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen von <math>n_3=\tfrac{9}{7}n_1</math> in die erste Gleichung erhalten wir auch <math>n_2</math> als von <math>n_1</math> abhängigen Wert mit <math>n_2=\tfrac{15}{7}</math>. Damit ergibt sich der allgemeine Normalenvektor:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{15}{7} n_1 \\ \tfrac{9}{7} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = {-}7</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}15</math> und für <math>n_3 = {-}9</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Außerdem nutzen wir <math>A</math> als Aufpunkt und erhalten somit:<br />
<br />
<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir nutzen den eben berechneten Normalenvektor auch zum Aufstellen der Koordinatenform.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Skalarprodukts des Normalenvektors mit dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>(-7 \cdot 7) + ((-15) \cdot 2) + ((-9) \cdot (-1)) =-70</math><br />
<br />
Damit ergibt sich folgende Koordinatengleichung:<br />
<br />
<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=-70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50;Arbeiten mit den unterschiedlichen Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Modellierung eines Tisches (Koordinaten- und Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
Zusatz: Gebe auch die Normalenform an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und könnte beim Aufstellen der Normalen- oder Parametergleichung der Ebene als Aufpunkt genutzt werden. <br />
Den Normalenvektor, dessen Einträge wir als Koeffizienten der Koordinatengleichung der Ebene nutzen, berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Das heißt, wir erhalten für den Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OT}</math>:<br />
<br />
<math>0 \cdot 4 + 0 \cdot 5 + ({-}8) \cdot 8={-}64</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:{-}8x_3={-}64</math> <br />
<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in Aufgabe 9 "Normalenvektor berechnen". Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 28n_1 + 24n_2 &= 0 & &\mid -24n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 28n_1 &= -24n_2 & &\mid :(-24)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{28}{24}n_1 &= n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{7}{6}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von <math>n_1</math> abhängigen Werte, in die zweite Gleichung erhalten wir auch <math>n_3</math> und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}7}{6} n_1 \\ -\tfrac{196}{3} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 6</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}7</math> und für <math>n_3 = 392</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix} </math> <br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{o}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /></div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50857Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-20T18:36:57Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Punktprobe | <br />
Gegeben ist die Ebene <math>E</math> mit<br />
<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''a)''' Liegt der Punkt <math>A (7|5|{-}3)</math> in der Ebene?<br />
<br />
'''b)''' Liegt der Punkt <math>B (7|1|8)</math> in der Ebene? <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ {-}3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
5 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
{-}3 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat keine Lösung (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>A</math> liegt also nicht in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
8 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat die Lösung <math>r=1</math> und <math>s=2</math> (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>B</math> liegt also in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachtet man, wie im Tipp angegeben, die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene, so ist also der Schnittpunkt mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene gesucht. <br />
Um die Lösung zu erhalten kann also für <math>\vec{x}</math> den Vektor <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> einsetzen. Berechnet man mithilfe der dritten Zeile den Parameter, ergibt sich aus <br />
<math>0 = {-}256+r \cdot 8</math> das Ergebnis <math>r=32</math>. Damit lassen sich im Anschluss die fehlenden Koordinaten berechnen. <br />
Es ergibt sich insgesamt als Lösung:<br />
<math>\vec{OP} \colon =\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
Also taucht das U-Boot im Punkt <math>P ({-}4697 | 2106 | 0)</math> auf. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Geradlinig begrenzte Flächen==<br />
{{Box|Merksatz: Geradlinig begrenzte Flächen| <br />
Nicht immer ist es ausreichend zu wissen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt. Betrachtet man Sachaufgaben, so ist häufig eine begrenzte Fläche gegeben, die als Ebene modelliert wird. Die Ebene ist also in der Realität beschränkt. Dabei muss dann zunächst untersucht werden, durch welche Werte der Parameter die Fläche begrenzt wird. Es bietet sich häufig an, dafür die Eckpunkte zu betrachten. Stellt man fest, dass ein zu untersuchender Punkt in der Ebene liegt, muss im zweiten Schritt daher untersucht werden, ob die berechneten Parameter im „erlaubten Bereich“ liegen.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Dachfläche |In der Skizze ist das Dach eines Hauses zu sehen. Die im Bild sichtbare Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{v}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> gehören (Angaben in m). <br />
Die Dachfläche misst <math>9</math>m mal <math>7</math>m. <br />
<br />
'''a)''' Bestimmen Sie eine Parametergleichung für die Ebene, in der die Dachfläche liegt. <br />
<br />
'''b)''' Man kann alle Punkte der Dachfläche beschreiben, indem man die Parameter für die Ebene einschränkt. Führen Sie dies durch. <br />
<br />
'''c)''' Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte der Dachfläche an. Bestimmen Sie außerdem drei Punkte, die außerhalb der Dachfläche, aber in derselben Ebene wie die Dachfläche liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Eine Parametergleichung für die Ebene lautet: <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>|2=Lösung zu a) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>|\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}| = 2</math> ; <math> |\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}| = \sqrt{8}</math><br />
<br />
Für die Parameter gilt: <math>0 \le r \le 4{,}5</math> und <math>0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math><br />
<br />
Die Punkte der Dachfläche können beschrieben werden durch die Parameterdarstellung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} ; 0 \le r \le 4{,}5 ; 0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math>|2=Lösung zu b) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>\vec{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>B ({-}4{,}95|9|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>C ({-}4{,}95|0|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>D (0|0|4)</math><br />
<br />
Punkte, die außerhalb der Dachfläche liegen:<br />
z.B.: <br />
<br />
<math>r=5, s=4 </math> <math>P_1({-}8|{-}1|12)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s={-}1</math> <math>P_2(2|11|2)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s=0 </math> <math>P_3(0|11|4)</math>|2=Lösung zu c) anzeigen |3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Verfahren: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Skalarprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese zwei Gleichungen können auf diese Weise aufgestellt werden, da <math> \vec{n} </math> orthogonal auf der Ebene steht. Daher wissen wir, dass <math> \vec{n} </math> orthogonal auf den beiden Spannvektoren steht. Außerdem ist bekannt, dass das Skalarprodukt von zwei orthogonalen Vektoren gleich Null ist.<br />
Im Folgenden bilden diese beiden Gleichungen ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Für das Gleichungssystem gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. Löse es, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest.<br />
Wichtig: Das <math>n</math>, das du frei wählst, muss in beiden Gleichungen enthalten sein. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform <br />
<br />
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Berechne einen Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Alternativ lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \ast \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. Man erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform- und Koordinatenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
Zusatz: Bestimme auch die Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> <br />
<br />
Die Koeffizienten der Koordinatengleichung können wir dem Normalenvektor entnehmen. <br />
Ansatz der Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OQ} \cdot \vec{n}</math>. Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man also das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OQ}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>{-}3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + ({-}6) \cdot 3 = {-}23</math>.<br />
Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3={-}23</math>|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
==&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform==<br />
<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | 2= Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <br />
<br />
Hieraus folgt:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
n_1 &&\; - \;&& n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
n_1 &&\; - \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Willst du das Gleichungssystem per Hand lösen kannst du in der ersten Gleichung auf beiden Seite <math>+n_2</math> rechnen und erhält <math>n_1 = n_2</math>. Das Ergebnis für <math>n_1</math> setzt du in die zweite Gleichung ein und berechnest so <math>n_3</math> in Abhängigkeit von <math>n_2</math> und erhälst:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}2n_2 + 4n_3 &= 0 & &\mid +2n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 4n_3 &= 2n_2 & &\mid :4\\<br />
\Leftrightarrow & & n_3 &= \tfrac{1}{2} n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_2 \\ n_2 \\ \tfrac{1}{2} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=12</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=12</math> <br />
| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}2n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in den vorherigen Aufgaben. Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 1n_1 + 3n_2 &= 0 & &\mid -3n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & n_1 &= -3n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von <math>n_2</math> abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch <math>n_3</math> und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} {-}3n_2 \\ n_2 \\ -\tfrac{7}{3} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_2</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_2 = {-}3</math> ist, dann folgt für <math>n_1 = 9</math> und für <math>n_3 = 7</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zum Aufstellen einer möglichen Parametergleichung wählen wir beispielsweise den Punkt <math>A</math> als Aufpukt. Die Richtungsvektoren können beispielsweise berechnet werden durch <math>\vec{AB}</math> als ersten Richtungsvektor und <math>\vec{AC}</math> als zweiten. Somit setzt sich die Ebenengleichung wie folgt zusammen:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \vec{OA} + s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AC}</math>.<br />
<br />
Damit ergibt sich:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Da ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein muss gilt <br />
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}6n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Um das Gleichungssystem per Hand zu lösen, behalten wir die erste Gleichung bei und ersetzen die zweite durch die Summe der beiden Gleichungen wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}9n_1 &&\; + \;&& 0n_2 &&\; + \;&& 7n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Zur Berechnung eines allgemeinen Normalenvektors formen wir die zweite Gleichung um und erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}9n_1 + 7n_2 &= 0 & &\mid -7n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & {-}9n_1 &= {-}7n_3 & &\mid :{-}7\\<br />
\Leftrightarrow & & \tfrac{9}{7}n_1 &= n_3 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen von <math>n_3=\tfrac{9}{7}n_1</math> in die erste Gleichung erhalten wir auch <math>n_2</math> als von <math>n_1</math> abhängigen Wert mit <math>n_2=\tfrac{15}{7}</math>. Damit ergibt sich der allgemeine Normalenvektor:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{15}{7} n_1 \\ \tfrac{9}{7} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = {-}7</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}15</math> und für <math>n_3 = {-}9</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Außerdem nutzen wir <math>A</math> als Aufpunkt und erhalten somit:<br />
<br />
<math>E\colon \\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir nutzen den eben berechneten Normalenvektor auch zum Aufstellen der Koordinatenform.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Skalarprodukts des Normalenvektors mit dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>(-7 \cdot 7) + ((-15) \cdot 2) + ((-9) \cdot (-1)) =-70</math><br />
<br />
Damit ergibt sich folgende Koordinatengleichung:<br />
<br />
<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=-70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50;Arbeiten mit den unterschiedlichen Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Modellierung eines Tisches (Koordinaten- und Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
Zusatz: Gebe auch die Normalenform an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und könnte beim Aufstellen der Normalen- oder Parametergleichung der Ebene als Aufpunkt genutzt werden. <br />
Den Normalenvektor, dessen Einträge wir als Koeffizienten der Koordinatengleichung der Ebene nutzen, berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Das heißt, wir erhalten für den Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OT}</math>:<br />
<br />
<math>0 \cdot 4 + 0 \cdot 5 + ({-}8) \cdot 8={-}64</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:{-}8x_3={-}64</math> <br />
<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in Aufgabe 9 "Normalenvektor berechnen". Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 28n_1 + 24n_2 &= 0 & &\mid -24n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 28n_1 &= -24n_2 & &\mid :(-24)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{28}{24}n_1 &= n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{7}{6}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von <math>n_1</math> abhängigen Werte, in die zweite Gleichung erhalten wir auch <math>n_3</math> und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}7}{6} n_1 \\ -\tfrac{196}{3} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 6</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}7</math> und für <math>n_3 = 392</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix} </math> <br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{o}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /></div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50856Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-20T18:33:40Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Punktprobe | <br />
Gegeben ist die Ebene <math>E</math> mit<br />
<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''a)''' Liegt der Punkt <math>A (7|5|{-}3)</math> in der Ebene?<br />
<br />
'''b)''' Liegt der Punkt <math>B (7|1|8)</math> in der Ebene? <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ {-}3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
5 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
{-}3 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat keine Lösung (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>A</math> liegt also nicht in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
8 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat die Lösung <math>r=1</math> und <math>s=2</math> (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>B</math> liegt also in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachtet man, wie im Tipp angegeben, die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene, so ist also der Schnittpunkt mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene gesucht. <br />
Um die Lösung zu erhalten kann also für <math>\vec{x}</math> den Vektor <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> einsetzen. Berechnet man mithilfe der dritten Zeile den Parameter, ergibt sich aus <br />
<math>0 = {-}256+r \cdot 8</math> das Ergebnis <math>r=32</math>. Damit lassen sich im Anschluss die fehlenden Koordinaten berechnen. <br />
Es ergibt sich insgesamt als Lösung:<br />
<math>\vec{OP} \colon =\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
Also taucht das U-Boot im Punkt <math>P ({-}4697 | 2106 | 0)</math> auf. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Geradlinig begrenzte Flächen==<br />
{{Box|Merksatz: Geradlinig begrenzte Flächen| <br />
Nicht immer ist es ausreichend zu wissen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt. Betrachtet man Sachaufgaben, so ist häufig eine begrenzte Fläche gegeben, die als Ebene modelliert wird. Die Ebene ist also in der Realität beschränkt. Dabei muss dann zunächst untersucht werden, durch welche Werte der Parameter die Fläche begrenzt wird. Es bietet sich häufig an, dafür die Eckpunkte zu betrachten. Stellt man fest, dass ein zu untersuchender Punkt in der Ebene liegt, muss im zweiten Schritt daher untersucht werden, ob die berechneten Parameter im „erlaubten Bereich“ liegen.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Dachfläche |In der Skizze ist das Dach eines Hauses zu sehen. Die im Bild sichtbare Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{v}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> gehören (Angaben in m). <br />
Die Dachfläche misst <math>9</math>m mal <math>7</math>m. <br />
<br />
'''a)''' Bestimmen Sie eine Parametergleichung für die Ebene, in der die Dachfläche liegt. <br />
<br />
'''b)''' Man kann alle Punkte der Dachfläche beschreiben, indem man die Parameter für die Ebene einschränkt. Führen Sie dies durch. <br />
<br />
'''c)''' Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte der Dachfläche an. Bestimmen Sie außerdem drei Punkte, die außerhalb der Dachfläche, aber in derselben Ebene wie die Dachfläche liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Eine Parametergleichung für die Ebene lautet: <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>|2=Lösung zu a) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>|\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}| = 2</math> ; <math> |\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}| = \sqrt{8}</math><br />
<br />
Für die Parameter gilt: <math>0 \le r \le 4{,}5</math> und <math>0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math><br />
<br />
Die Punkte der Dachfläche können beschrieben werden durch die Parameterdarstellung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} ; 0 \le r \le 4{,}5 ; 0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math>|2=Lösung zu b) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>\vec{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>B ({-}4{,}95|9|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>C ({-}4{,}95|0|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>D (0|0|4)</math><br />
<br />
Punkte, die außerhalb der Dachfläche liegen:<br />
z.B.: <br />
<br />
<math>r=5, s=4 </math> <math>P_1({-}8|{-}1|12)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s={-}1</math> <math>P_2(2|11|2)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s=0 </math> <math>P_3(0|11|4)</math>|2=Lösung zu c) anzeigen |3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Verfahren: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Skalarprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese zwei Gleichungen können auf diese Weise aufgestellt werden, da <math> \vec{n} </math> orthogonal auf der Ebene steht. Daher wissen wir, dass <math> \vec{n} </math> orthogonal auf den beiden Spannvektoren steht. Außerdem ist bekannt, dass das Skalarprodukt von zwei orthogonalen Vektoren gleich Null ist.<br />
Im Folgenden bilden diese beiden Gleichungen ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Für das Gleichungssystem gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. Löse es, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest.<br />
Wichtig: Das <math>n</math>, das du frei wählst, muss in beiden Gleichungen enthalten sein. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform <br />
<br />
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Berechne einen Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Alternativ lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \ast \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. Man erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform- und Koordinatenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
Zusatz: Bestimme auch die Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> <br />
<br />
Die Koeffizienten der Koordinatengleichung können wir dem Normalenvektor entnehmen. <br />
Ansatz der Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OQ} \cdot \vec{n}</math>. Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man also das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OQ}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>{-}3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + ({-}6) \cdot 3 = {-}23</math>.<br />
Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3={-}23</math>|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
==&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform==<br />
<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | 2= Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <br />
<br />
Hieraus folgt:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
n_1 &&\; - \;&& n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
n_1 &&\; - \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Willst du das Gleichungssystem per Hand lösen kannst du in der ersten Gleichung auf beiden Seite <math>+n_2</math> rechnen und erhält <math>n_1 = n_2</math>. Das Ergebnis für <math>n_1</math> setzt du in die zweite Gleichung ein und berechnest so <math>n_3</math> in Abhängigkeit von <math>n_2</math> und erhälst:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}2n_2 + 4n_3 &= 0 & &\mid +2n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 4n_3 &= 2n_2 & &\mid :4\\<br />
\Leftrightarrow & & n_3 &= \tfrac{1}{2} n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_2 \\ n_2 \\ \tfrac{1}{2} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=12</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=12</math> <br />
| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}2n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in den vorherigen Aufgaben. Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 1n_1 + 3n_2 &= 0 & &\mid -3n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & n_1 &= -3n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von <math>n_2</math> abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch <math>n_3</math> und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} {-}3n_2 \\ n_2 \\ -\tfrac{7}{3} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_2</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_2 = {-}3</math> ist, dann folgt für <math>n_1 = 9</math> und für <math>n_3 = 7</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zum Aufstellen einer möglichen Parametergleichung wählen wir beispielsweise den Punkt <math>A</math> als Aufpukt. Die Richtungsvektoren können beispielsweise berechnet werden durch <math>\vec{AB}</math> als ersten Richtungsvektor und <math>\vec{AC}</math> als zweiten. Somit setzt sich die Ebenengleichung wie folgt zusammen:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \vec{OA} + s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AC}</math>.<br />
<br />
Damit ergibt sich:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Da ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein muss gilt <br />
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}6n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Um das Gleichungssystem per Hand zu lösen, behalten wir die erste Gleichung bei und ersetzen die zweite durch die Summe der beiden Gleichungen wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}9n_1 &&\; + \;&& 0n_2 &&\; + \;&& 7n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Zur Berechnung eines allgemeinen Normalenvektors formen wir die zweite Gleichung um und erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}9n_1 + 7n_2 &= 0 & &\mid -7n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & {-}9n_1 &= {-}7n_3 & &\mid :{-}7\\<br />
\Leftrightarrow & & \tfrac{9}{7}n_1 &= n_3 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen von <math>n_1</math> und <math>n_3=\tfrac{9}{7}n_1</math> in die erste Gleichung erhalten wir auch <math>n_2</math> als von <math>n_1</math> abhängigen Wert mit <math>n_2=\tfrac{15}{7}</math>. Damit ergibt sich der allgemeine Normalenvektor:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{15}{7} n_1 \\ \tfrac{9}{7} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = {-}7</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}15</math> und für <math>n_3 = {-}9</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Außerdem nutzen wir <math>\vec{OA}</math> als Aufpunkt und erhalten somit:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir nutzen den eben berechneten Normalenvektor auch zum Aufstellen der Koordinatenform.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Skalarprodukts des Normalenvektors mit dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>(-7 \cdot 7) + ((-15) \cdot 2) + ((-9) \cdot (-1)) =-70</math><br />
<br />
Damit ergibt sich folgende Koordinatengleichung:<br />
<br />
<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=-70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50;Arbeiten mit den unterschiedlichen Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Modellierung eines Tisches (Koordinaten- und Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
Zusatz: Gebe auch die Normalenform an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und könnte beim Aufstellen der Normalen- oder Parametergleichung der Ebene als Aufpunkt genutzt werden. <br />
Den Normalenvektor, dessen Einträge wir als Koeffizienten der Koordinatengleichung der Ebene nutzen, berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Das heißt, wir erhalten für den Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OT}</math>:<br />
<br />
<math>0 \cdot 4 + 0 \cdot 5 + ({-}8) \cdot 8={-}64</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:{-}8x_3={-}64</math> <br />
<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in Aufgabe 9 "Normalenvektor berechnen". Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 28n_1 + 24n_2 &= 0 & &\mid -24n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 28n_1 &= -24n_2 & &\mid :(-24)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{28}{24}n_1 &= n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{7}{6}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von <math>n_1</math> abhängigen Werte, in die zweite Gleichung erhalten wir auch <math>n_3</math> und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}7}{6} n_1 \\ -\tfrac{196}{3} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 6</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}7</math> und für <math>n_3 = 392</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix} </math> <br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{o}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /></div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50855Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-20T18:31:22Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Punktprobe | <br />
Gegeben ist die Ebene <math>E</math> mit<br />
<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''a)''' Liegt der Punkt <math>A (7|5|{-}3)</math> in der Ebene?<br />
<br />
'''b)''' Liegt der Punkt <math>B (7|1|8)</math> in der Ebene? <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ {-}3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
5 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
{-}3 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat keine Lösung (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>A</math> liegt also nicht in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
8 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat die Lösung <math>r=1</math> und <math>s=2</math> (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>B</math> liegt also in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachtet man, wie im Tipp angegeben, die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene, so ist also der Schnittpunkt mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene gesucht. <br />
Um die Lösung zu erhalten kann also für <math>\vec{x}</math> den Vektor <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> einsetzen. Berechnet man mithilfe der dritten Zeile den Parameter, ergibt sich aus <br />
<math>0 = {-}256+r \cdot 8</math> das Ergebnis <math>r=32</math>. Damit lassen sich im Anschluss die fehlenden Koordinaten berechnen. <br />
Es ergibt sich insgesamt als Lösung:<br />
<math>\vec{OP} \colon =\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
Also taucht das U-Boot im Punkt <math>P ({-}4697 | 2106 | 0)</math> auf. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Geradlinig begrenzte Flächen==<br />
{{Box|Merksatz: Geradlinig begrenzte Flächen| <br />
Nicht immer ist es ausreichend zu wissen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt. Betrachtet man Sachaufgaben, so ist häufig eine begrenzte Fläche gegeben, die als Ebene modelliert wird. Die Ebene ist also in der Realität beschränkt. Dabei muss dann zunächst untersucht werden, durch welche Werte der Parameter die Fläche begrenzt wird. Es bietet sich häufig an, dafür die Eckpunkte zu betrachten. Stellt man fest, dass ein zu untersuchender Punkt in der Ebene liegt, muss im zweiten Schritt daher untersucht werden, ob die berechneten Parameter im „erlaubten Bereich“ liegen.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Dachfläche |In der Skizze ist das Dach eines Hauses zu sehen. Die im Bild sichtbare Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{v}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> gehören (Angaben in m). <br />
Die Dachfläche misst <math>9</math>m mal <math>7</math>m. <br />
<br />
'''a)''' Bestimmen Sie eine Parametergleichung für die Ebene, in der die Dachfläche liegt. <br />
<br />
'''b)''' Man kann alle Punkte der Dachfläche beschreiben, indem man die Parameter für die Ebene einschränkt. Führen Sie dies durch. <br />
<br />
'''c)''' Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte der Dachfläche an. Bestimmen Sie außerdem drei Punkte, die außerhalb der Dachfläche, aber in derselben Ebene wie die Dachfläche liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Eine Parametergleichung für die Ebene lautet: <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>|2=Lösung zu a) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>|\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}| = 2</math> ; <math> |\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}| = \sqrt{8}</math><br />
<br />
Für die Parameter gilt: <math>0 \le r \le 4{,}5</math> und <math>0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math><br />
<br />
Die Punkte der Dachfläche können beschrieben werden durch die Parameterdarstellung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} ; 0 \le r \le 4{,}5 ; 0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math>|2=Lösung zu b) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>\vec{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>B ({-}4{,}95|9|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>C ({-}4{,}95|0|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>D (0|0|4)</math><br />
<br />
Punkte, die außerhalb der Dachfläche liegen:<br />
z.B.: <br />
<br />
<math>r=5, s=4 </math> <math>P_1({-}8|{-}1|12)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s={-}1</math> <math>P_2(2|11|2)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s=0 </math> <math>P_3(0|11|4)</math>|2=Lösung zu c) anzeigen |3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Verfahren: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Skalarprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese zwei Gleichungen können auf diese Weise aufgestellt werden, da <math> \vec{n} </math> orthogonal auf der Ebene steht. Daher wissen wir, dass <math> \vec{n} </math> orthogonal auf den beiden Spannvektoren steht. Außerdem ist bekannt, dass das Skalarprodukt von zwei orthogonalen Vektoren gleich Null ist.<br />
Im Folgenden bilden diese beiden Gleichungen ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Für das Gleichungssystem gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. Löse es, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest.<br />
Wichtig: Das <math>n</math>, das du frei wählst, muss in beiden Gleichungen enthalten sein. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform <br />
<br />
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Berechne einen Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Alternativ lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \ast \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. Man erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform- und Koordinatenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
Zusatz: Bestimme auch die Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> <br />
<br />
Die Koeffizienten der Koordinatengleichung können wir dem Normalenvektor entnehmen. <br />
Ansatz der Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OQ} \cdot \vec{n}</math>. Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man also das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OQ}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>{-}3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + ({-}6) \cdot 3 = {-}23</math>.<br />
Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3={-}23</math>|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
==&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform==<br />
<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | 2= Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <br />
<br />
Hieraus folgt:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
n_1 &&\; - \;&& n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
n_1 &&\; - \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Willst du das Gleichungssystem per Hand lösen kannst du in der ersten Gleichung auf beiden Seite <math>+n_2</math> rechnen und erhält <math>n_1 = n_2</math>. Das Ergebnis für <math>n_1</math> setzt du in die zweite Gleichung ein und berechnest so <math>n_3</math> in Abhängigkeit von <math>n_2</math> und erhälst:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}2n_2 + 4n_3 &= 0 & &\mid +2n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 4n_3 &= 2n_2 & &\mid :4\\<br />
\Leftrightarrow & & n_3 &= \tfrac{1}{2} n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_2 \\ n_2 \\ \tfrac{1}{2} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=12</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=12</math> <br />
| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}2n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in den vorherigen Aufgaben. Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 1n_1 + 3n_2 &= 0 & &\mid -3n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & n_1 &= -3n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} {-}3n_2 \\ n_2 \\ -\tfrac{7}{3} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_2</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_2 = {-}3</math> ist, dann folgt für <math>n_1 = 9</math> und für <math>n_3 = 7</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zum Aufstellen einer möglichen Parametergleichung wählen wir beispielsweise den Punkt <math>A</math> als Aufpukt. Die Richtungsvektoren können beispielsweise berechnet werden durch <math>\vec{AB}</math> als ersten Richtungsvektor und <math>\vec{AC}</math> als zweiten. Somit setzt sich die Ebenengleichung wie folgt zusammen:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \vec{OA} + s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AC}</math>.<br />
<br />
Damit ergibt sich:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Da ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein muss gilt <br />
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}6n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Um das Gleichungssystem per Hand zu lösen, behalten wir die erste Gleichung bei und ersetzen die zweite durch die Summe der beiden Gleichungen wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}9n_1 &&\; + \;&& 0n_2 &&\; + \;&& 7n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Zur Berechnung eines allgemeinen Normalenvektors formen wir die zweite Gleichung um und erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}9n_1 + 7n_2 &= 0 & &\mid -7n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & {-}9n_1 &= {-}7n_3 & &\mid :{-}7\\<br />
\Leftrightarrow & & \tfrac{9}{7}n_1 &= n_3 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen von <math>n_1</math> und <math>n_3=\tfrac{9}{7}n_1</math> in die erste Gleichung erhalten wir auch <math>n_2</math> als von <math>n_1</math> abhängigen Wert mit <math>n_2=\tfrac{15}{7}</math>. Damit ergibt sich der allgemeine Normalenvektor:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{15}{7} n_1 \\ \tfrac{9}{7} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = {-}7</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}15</math> und für <math>n_3 = {-}9</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Außerdem nutzen wir <math>\vec{OA}</math> als Aufpunkt und erhalten somit:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir nutzen den eben berechneten Normalenvektor auch zum Aufstellen der Koordinatenform.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Skalarprodukts des Normalenvektors mit dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>(-7 \cdot 7) + ((-15) \cdot 2) + ((-9) \cdot (-1)) =-70</math><br />
<br />
Damit ergibt sich folgende Koordinatengleichung:<br />
<br />
<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=-70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50;Arbeiten mit den unterschiedlichen Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Modellierung eines Tisches (Koordinaten- und Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
Zusatz: Gebe auch die Normalenform an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und könnte beim Aufstellen der Normalen- oder Parametergleichung der Ebene als Aufpunkt genutzt werden. <br />
Den Normalenvektor, dessen Einträge wir als Koeffizienten der Koordinatengleichung der Ebene nutzen, berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Das heißt, wir erhalten für den Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OT}</math>:<br />
<br />
<math>0 \cdot 4 + 0 \cdot 5 + ({-}8) \cdot 8={-}64</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:{-}8x_3={-}64</math> <br />
<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in Aufgabe 9 "Normalenvektor berechnen". Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 28n_1 + 24n_2 &= 0 & &\mid -24n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 28n_1 &= -24n_2 & &\mid :(-24)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{28}{24}n_1 &= n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{7}{6}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von <math>n_1</math> abhängigen Werte, in die zweite Gleichung erhalten wir auch <math>n_3</math> und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}7}{6} n_1 \\ -\tfrac{196}{3} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 6</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}7</math> und für <math>n_3 = 392</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix} </math> <br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{o}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /></div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50854Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-20T18:24:01Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Punktprobe | <br />
Gegeben ist die Ebene <math>E</math> mit<br />
<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''a)''' Liegt der Punkt <math>A (7|5|{-}3)</math> in der Ebene?<br />
<br />
'''b)''' Liegt der Punkt <math>B (7|1|8)</math> in der Ebene? <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ {-}3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
5 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
{-}3 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat keine Lösung (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>A</math> liegt also nicht in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
8 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat die Lösung <math>r=1</math> und <math>s=2</math> (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>B</math> liegt also in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachtet man, wie im Tipp angegeben, die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene, so ist also der Schnittpunkt mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene gesucht. <br />
Um die Lösung zu erhalten kann also für <math>\vec{x}</math> den Vektor <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> einsetzen. Berechnet man mithilfe der dritten Zeile den Parameter, ergibt sich aus <br />
<math>0 = {-}256+r \cdot 8</math> das Ergebnis <math>r=32</math>. Damit lassen sich im Anschluss die fehlenden Koordinaten berechnen. <br />
Es ergibt sich insgesamt als Lösung:<br />
<math>\vec{OP} \colon =\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
Also taucht das U-Boot im Punkt <math>P ({-}4697 | 2106 | 0)</math> auf. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Geradlinig begrenzte Flächen==<br />
{{Box|Merksatz: Geradlinig begrenzte Flächen| <br />
Nicht immer ist es ausreichend zu wissen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt. Betrachtet man Sachaufgaben, so ist häufig eine begrenzte Fläche gegeben, die als Ebene modelliert wird. Die Ebene ist also in der Realität beschränkt. Dabei muss dann zunächst untersucht werden, durch welche Werte der Parameter die Fläche begrenzt wird. Es bietet sich häufig an, dafür die Eckpunkte zu betrachten. Stellt man fest, dass ein zu untersuchender Punkt in der Ebene liegt, muss im zweiten Schritt daher untersucht werden, ob die berechneten Parameter im „erlaubten Bereich“ liegen.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Dachfläche |In der Skizze ist das Dach eines Hauses zu sehen. Die im Bild sichtbare Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{v}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> gehören (Angaben in m). <br />
Die Dachfläche misst <math>9</math>m mal <math>7</math>m. <br />
<br />
'''a)''' Bestimmen Sie eine Parametergleichung für die Ebene, in der die Dachfläche liegt. <br />
<br />
'''b)''' Man kann alle Punkte der Dachfläche beschreiben, indem man die Parameter für die Ebene einschränkt. Führen Sie dies durch. <br />
<br />
'''c)''' Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte der Dachfläche an. Bestimmen Sie außerdem drei Punkte, die außerhalb der Dachfläche, aber in derselben Ebene wie die Dachfläche liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Eine Parametergleichung für die Ebene lautet: <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>|2=Lösung zu a) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>|\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}| = 2</math> ; <math> |\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}| = \sqrt{8}</math><br />
<br />
Für die Parameter gilt: <math>0 \le r \le 4{,}5</math> und <math>0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math><br />
<br />
Die Punkte der Dachfläche können beschrieben werden durch die Parameterdarstellung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} ; 0 \le r \le 4{,}5 ; 0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math>|2=Lösung zu b) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>\vec{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>B ({-}4{,}95|9|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>C ({-}4{,}95|0|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>D (0|0|4)</math><br />
<br />
Punkte, die außerhalb der Dachfläche liegen:<br />
z.B.: <br />
<br />
<math>r=5, s=4 </math> <math>P_1({-}8|{-}1|12)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s={-}1</math> <math>P_2(2|11|2)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s=0 </math> <math>P_3(0|11|4)</math>|2=Lösung zu c) anzeigen |3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Verfahren: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Skalarprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese zwei Gleichungen können auf diese Weise aufgestellt werden, da <math> \vec{n} </math> orthogonal auf der Ebene steht. Daher wissen wir, dass <math> \vec{n} </math> orthogonal auf den beiden Spannvektoren steht. Außerdem ist bekannt, dass das Skalarprodukt von zwei orthogonalen Vektoren gleich Null ist.<br />
Im Folgenden bilden diese beiden Gleichungen ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Für das Gleichungssystem gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. Löse es, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest.<br />
Wichtig: Das <math>n</math>, das du frei wählst, muss in beiden Gleichungen enthalten sein. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform <br />
<br />
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Berechne einen Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Alternativ lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \ast \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. Man erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform- und Koordinatenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
Zusatz: Bestimme auch die Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> <br />
<br />
Die Koeffizienten der Koordinatengleichung können wir dem Normalenvektor entnehmen. <br />
Ansatz der Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OQ} \cdot \vec{n}</math>. Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man also das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OQ}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>{-}3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + ({-}6) \cdot 3 = {-}23</math>.<br />
Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3={-}23</math>|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
==&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform==<br />
<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | 2= Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <br />
<br />
Hieraus folgt:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
n_1 &&\; - \;&& n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
n_1 &&\; - \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Willst du das Gleichungssystem per Hand lösen kannst du in der ersten Gleichung auf beiden Seite <math>+n_2</math> rechnen und erhält <math>n_1 = n_2</math>. Das Ergebnis für <math>n_1</math> setzt du in die zweite Gleichung ein und berechnest so <math>n_3</math> in Abhängigkeit von <math>n_2</math> und erhälst:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}2n_2 + 4n_3 &= 0 & &\mid +2n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 4n_3 &= 2n_2 & &\mid :4\\<br />
\Leftrightarrow & & n_3 &= \tfrac{1}{2} n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_2 \\ n_2 \\ \tfrac{1}{2} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=12</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=12</math> <br />
| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}2n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in den vorherigen Aufgaben. Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 1n_1 + 3n_2 &= 0 & &\mid -3n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & n_1 &= -3n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} {-}3n_2 \\ n_2 \\ -\tfrac{7}{3} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_2</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_2 = {-}3</math> ist, dann folgt für <math>n_1 = 9</math> und für <math>n_3 = 7</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zum Aufstellen einer möglichen Parametergleichung wählen wir beispielsweise den Punkt <math>A</math> als Aufpukt. Die Richtungsvektoren können beispielsweise berechnet werden durch <math>\vec{AB}</math> als ersten Richtungsvektor und <math>\vec{AC}</math> als zweiten. Somit setzt sich die Ebenengleichung wie folgt zusammen:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \vec{OA} + s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AC}</math>.<br />
<br />
Damit ergibt sich:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Da ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein muss gilt <br />
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}6n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Um das Gleichungssystem per Hand zu lösen, behalten wir die erste Gleichung bei und ersetzen die zweite durch die Summe der beiden Gleichungen wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}9n_1 &&\; + \;&& 0n_2 &&\; + \;&& 7n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Zur Berechnung eines allgemeinen Normalenvektors formen wir die zweite Gleichung um und erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}9n_1 + 7n_2 &= 0 & &\mid -7n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & {-}9n_1 &= {-}7n_3 & &\mid :{-}7\\<br />
\Leftrightarrow & & \tfrac{9}{7}n_1 &= n_3 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen von <math>n_1</math> und <math>n_3=\tfrac{9}{7}n_1</math> in die erste Gleichung erhalten wir auch <math>n_2</math> als von <math>n_1</math> abhängigen Wert mit <math>n_2=\tfrac{15}{7}</math>. Damit ergibt sich der allgemeine Normalenvektor:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{15}{7} n_1 \\ \tfrac{9}{7} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = {-}7</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}15</math> und für <math>n_3 = {-}9</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Außerdem nutzen wir <math>\vec{OA}</math> als Aufpunkt und erhalten somit:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir nutzen den eben berechneten Normalenvektor auch zum Aufstellen der Koordinatenform.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Skalarprodukts des Normalenvektors mit dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>(-7 \cdot 7) + ((-15) \cdot 2) + ((-9) \cdot (-1)) =-70</math><br />
<br />
Damit ergibt sich folgende Koordinatengleichung:<br />
<br />
<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=-70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50;Arbeiten mit den unterschiedlichen Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Modellierung eines Tisches (Koordinaten- und Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
Zusatz: Gebe auch die Normalenform an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und könnte beim Aufstellen der Normalen- oder Parametergleichung der Ebene als Aufpunkt genutzt werden. <br />
Den Normalenvektor, dessen Einträge wir als Koeffizienten der Koordinatengleichung der Ebene nutzen, berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Das heißt, wir erhalten für den Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OT}</math>:<br />
<br />
<math>0 \cdot 4 + 0 \cdot 5 + ({-}8) \cdot 8={-}64</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:{-}8x_3={-}64</math> <br />
<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in Aufgabe 9 "Normalenvektor berechnen". Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 28n_1 + 24n_2 &= 0 & &\mid -24n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 28n_1 &= -24n_2 & &\mid :(-24)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{28}{24}n_1 &= n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{7}{6}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von <math>n_1</math> abhängigen Werte, in die zweite Gleichung erhalten wir auch <math>n_3</math> und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}7}{6} n_1 \\ -\tfrac{196}{3} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 6</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}7</math> und für <math>n_3 = 392</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix} </math> <br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /></div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50853Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-20T18:20:04Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Punktprobe | <br />
Gegeben ist die Ebene <math>E</math> mit<br />
<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''a)''' Liegt der Punkt <math>A (7|5|{-}3)</math> in der Ebene?<br />
<br />
'''b)''' Liegt der Punkt <math>B (7|1|8)</math> in der Ebene? <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ {-}3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
5 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
{-}3 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat keine Lösung (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>A</math> liegt also nicht in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
8 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat die Lösung <math>r=1</math> und <math>s=2</math> (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>B</math> liegt also in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachtet man, wie im Tipp angegeben, die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene, so ist also der Schnittpunkt mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene gesucht. <br />
Um die Lösung zu erhalten kann also für <math>\vec{x}</math> den Vektor <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> einsetzen. Berechnet man mithilfe der dritten Zeile den Parameter, ergibt sich aus <br />
<math>0 = {-}256+r \cdot 8</math> das Ergebnis <math>r=32</math>. Damit lassen sich im Anschluss die fehlenden Koordinaten berechnen. <br />
Es ergibt sich insgesamt als Lösung:<br />
<math>\vec{OP} \colon =\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
Also taucht das U-Boot im Punkt <math>P ({-}4697 | 2106 | 0)</math> auf. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Geradlinig begrenzte Flächen==<br />
{{Box|Merksatz: Geradlinig begrenzte Flächen| <br />
Nicht immer ist es ausreichend zu wissen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt. Betrachtet man Sachaufgaben, so ist häufig eine begrenzte Fläche gegeben, die als Ebene modelliert wird. Die Ebene ist also in der Realität beschränkt. Dabei muss dann zunächst untersucht werden, durch welche Werte der Parameter die Fläche begrenzt wird. Es bietet sich häufig an, dafür die Eckpunkte zu betrachten. Stellt man fest, dass ein zu untersuchender Punkt in der Ebene liegt, muss im zweiten Schritt daher untersucht werden, ob die berechneten Parameter im „erlaubten Bereich“ liegen.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Dachfläche |In der Skizze ist das Dach eines Hauses zu sehen. Die im Bild sichtbare Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{v}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> gehören (Angaben in m). <br />
Die Dachfläche misst <math>9</math>m mal <math>7</math>m. <br />
<br />
'''a)''' Bestimmen Sie eine Parametergleichung für die Ebene, in der die Dachfläche liegt. <br />
<br />
'''b)''' Man kann alle Punkte der Dachfläche beschreiben, indem man die Parameter für die Ebene einschränkt. Führen Sie dies durch. <br />
<br />
'''c)''' Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte der Dachfläche an. Bestimmen Sie außerdem drei Punkte, die außerhalb der Dachfläche, aber in derselben Ebene wie die Dachfläche liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Eine Parametergleichung für die Ebene lautet: <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>|2=Lösung zu a) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>|\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}| = 2</math> ; <math> |\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}| = \sqrt{8}</math><br />
<br />
Für die Parameter gilt: <math>0 \le r \le 4{,}5</math> und <math>0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math><br />
<br />
Die Punkte der Dachfläche können beschrieben werden durch die Parameterdarstellung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} ; 0 \le r \le 4{,}5 ; 0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math>|2=Lösung zu b) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>\vec{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>B ({-}4{,}95|9|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>C ({-}4{,}95|0|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>D (0|0|4)</math><br />
<br />
Punkte, die außerhalb der Dachfläche liegen:<br />
z.B.: <br />
<br />
<math>r=5, s=4 </math> <math>P_1({-}8|{-}1|12)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s={-}1</math> <math>P_2(2|11|2)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s=0 </math> <math>P_3(0|11|4)</math>|2=Lösung zu c) anzeigen |3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Verfahren: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Skalarprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese zwei Gleichungen können auf diese Weise aufgestellt werden, da <math> \vec{n} </math> orthogonal auf der Ebene steht. Daher wissen wir, dass <math> \vec{n} </math> orthogonal auf den beiden Spannvektoren steht. Außerdem ist bekannt, dass das Skalarprodukt von zwei orthogonalen Vektoren gleich Null ist.<br />
Im Folgenden bilden diese beiden Gleichungen ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Für das Gleichungssystem gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. Löse es, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest.<br />
Wichtig: Das <math>n</math>, das du frei wählst, muss in beiden Gleichungen enthalten sein. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform <br />
<br />
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Berechne einen Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Alternativ lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \ast \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. Man erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform- und Koordinatenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
Zusatz: Bestimme auch die Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> <br />
<br />
Die Koeffizienten der Koordinatengleichung können wir dem Normalenvektor entnehmen. <br />
Ansatz der Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OQ} \cdot \vec{n}</math>. Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man also das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OQ}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>{-}3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + ({-}6) \cdot 3 = {-}23</math>.<br />
Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3={-}23</math>|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
==&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform==<br />
<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | 2= Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <br />
<br />
Hieraus folgt:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
n_1 &&\; - \;&& n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
n_1 &&\; - \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Willst du das Gleichungssystem per Hand lösen kannst du in der ersten Gleichung auf beiden Seite <math>+n_2</math> rechnen und erhält <math>n_1 = n_2</math>. Das Ergebnis für <math>n_1</math> setzt du in die zweite Gleichung ein und berechnest so <math>n_3</math> in Abhängigkeit von <math>n_2</math> und erhälst:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}2n_2 + 4n_3 &= 0 & &\mid +2n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 4n_3 &= 2n_2 & &\mid :4\\<br />
\Leftrightarrow & & n_3 &= \tfrac{1}{2} n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_2 \\ n_2 \\ \tfrac{1}{2} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=12</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=12</math> <br />
| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}2n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in den vorherigen Aufgaben. Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 1n_1 + 3n_2 &= 0 & &\mid -3n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & n_1 &= -3n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} {-}3n_2 \\ n_2 \\ -\tfrac{7}{3} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_2</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_2 = {-}3</math> ist, dann folgt für <math>n_1 = 9</math> und für <math>n_3 = 7</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zum Aufstellen einer möglichen Parametergleichung wählen wir beispielsweise den Punkt <math>A</math> als Aufpukt. Die Richtungsvektoren können beispielsweise berechnet werden durch <math>\vec{AB}</math> als ersten Richtungsvektor und <math>\vec{AC}</math> als zweiten. Somit setzt sich die Ebenengleichung wie folgt zusammen:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \vec{OA} + s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AC}</math>.<br />
<br />
Damit ergibt sich:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Da ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein muss gilt <br />
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}6n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Um das Gleichungssystem per Hand zu lösen, behalten wir die erste Gleichung bei und ersetzen die zweite durch die Summe der beiden Gleichungen wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}9n_1 &&\; + \;&& 0n_2 &&\; + \;&& 7n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Zur Berechnung eines allgemeinen Normalenvektors formen wir die zweite Gleichung um und erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}9n_1 + 7n_2 &= 0 & &\mid -7n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & {-}9n_1 &= {-}7n_3 & &\mid :{-}7\\<br />
\Leftrightarrow & & \tfrac{9}{7}n_1 &= n_3 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen von <math>n_1</math> und <math>n_3=\tfrac{9}{7}n_1</math> in die erste Gleichung erhalten wir auch <math>n_2</math> als von <math>n_1</math> abhängigen Wert mit <math>n_2=\tfrac{15}{7}</math>. Damit ergibt sich der allgemeine Normalenvektor:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{15}{7} n_1 \\ \tfrac{9}{7} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = {-}7</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}15</math> und für <math>n_3 = {-}9</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Außerdem nutzen wir <math>\vec{OA}</math> als Aufpunkt und erhalten somit:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir nutzen den eben berechneten Normalenvektor auch zum Aufstellen der Koordinatenform.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Skalarprodukts des Normalenvektors mit dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>(-7 \cdot 7) + ((-15) \cdot 2) + ((-9) \cdot (-1)) =-70</math><br />
<br />
Damit ergibt sich folgende Koordinatengleichung:<br />
<br />
<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=-70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50;Arbeiten mit den unterschiedlichen Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Modellierung eines Tisches (Koordinaten- und Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
Zusatz: Gebe auch die Normalenform an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und könnte beim Aufstellen der Normalen- oder Parametergleichung der Ebene als Aufpunkt genutzt werden. <br />
Den Normalenvektor, dessen Einträge wir als Koeffizienten der Koordinatengleichung der Ebene nutzen, berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Das heißt, wir erhalten für den Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OT}</math>:<br />
<br />
<math>0 \cdot 4 + 0 \cdot 5 + ({-}8) \cdot 8={-}64</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:{-}8x_3={-}64</math> <br />
<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in Aufgabe 9 "Normalenvektor berechnen". Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 28n_1 + 24n_2 &= 0 & &\mid -24n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 28n_1 &= -24n_2 & &\mid :(-24)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{28}{24}n_1 &= n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{7}{6}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von <math>n_1</math> abhängigen Werte, in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}7}{6} n_1 \\ -\tfrac{196}{3} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 6</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}7</math> und für <math>n_3 = 392</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix} </math> <br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /></div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50852Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-20T18:18:32Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Punktprobe | <br />
Gegeben ist die Ebene <math>E</math> mit<br />
<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''a)''' Liegt der Punkt <math>A (7|5|{-}3)</math> in der Ebene?<br />
<br />
'''b)''' Liegt der Punkt <math>B (7|1|8)</math> in der Ebene? <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ {-}3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
5 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
{-}3 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat keine Lösung (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>A</math> liegt also nicht in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
8 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat die Lösung <math>r=1</math> und <math>s=2</math> (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>B</math> liegt also in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachtet man, wie im Tipp angegeben, die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene, so ist also der Schnittpunkt mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene gesucht. <br />
Um die Lösung zu erhalten kann also für <math>\vec{x}</math> den Vektor <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> einsetzen. Berechnet man mithilfe der dritten Zeile den Parameter, ergibt sich aus <br />
<math>0 = {-}256+r \cdot 8</math> das Ergebnis <math>r=32</math>. Damit lassen sich im Anschluss die fehlenden Koordinaten berechnen. <br />
Es ergibt sich insgesamt als Lösung:<br />
<math>\vec{OP} \colon =\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
Also taucht das U-Boot im Punkt <math>P ({-}4697 | 2106 | 0)</math> auf. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Geradlinig begrenzte Flächen==<br />
{{Box|Merksatz: Geradlinig begrenzte Flächen| <br />
Nicht immer ist es ausreichend zu wissen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt. Betrachtet man Sachaufgaben, so ist häufig eine begrenzte Fläche gegeben, die als Ebene modelliert wird. Die Ebene ist also in der Realität beschränkt. Dabei muss dann zunächst untersucht werden, durch welche Werte der Parameter die Fläche begrenzt wird. Es bietet sich häufig an, dafür die Eckpunkte zu betrachten. Stellt man fest, dass ein zu untersuchender Punkt in der Ebene liegt, muss im zweiten Schritt daher untersucht werden, ob die berechneten Parameter im „erlaubten Bereich“ liegen.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Dachfläche |In der Skizze ist das Dach eines Hauses zu sehen. Die im Bild sichtbare Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{v}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> gehören (Angaben in m). <br />
Die Dachfläche misst <math>9</math>m mal <math>7</math>m. <br />
<br />
'''a)''' Bestimmen Sie eine Parametergleichung für die Ebene, in der die Dachfläche liegt. <br />
<br />
'''b)''' Man kann alle Punkte der Dachfläche beschreiben, indem man die Parameter für die Ebene einschränkt. Führen Sie dies durch. <br />
<br />
'''c)''' Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte der Dachfläche an. Bestimmen Sie außerdem drei Punkte, die außerhalb der Dachfläche, aber in derselben Ebene wie die Dachfläche liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Eine Parametergleichung für die Ebene lautet: <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>|2=Lösung zu a) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>|\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}| = 2</math> ; <math> |\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}| = \sqrt{8}</math><br />
<br />
Für die Parameter gilt: <math>0 \le r \le 4{,}5</math> und <math>0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math><br />
<br />
Die Punkte der Dachfläche können beschrieben werden durch die Parameterdarstellung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} ; 0 \le r \le 4{,}5 ; 0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math>|2=Lösung zu b) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>\vec{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>B ({-}4{,}95|9|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>C ({-}4{,}95|0|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>D (0|0|4)</math><br />
<br />
Punkte, die außerhalb der Dachfläche liegen:<br />
z.B.: <br />
<br />
<math>r=5, s=4 </math> <math>P_1({-}8|{-}1|12)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s={-}1</math> <math>P_2(2|11|2)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s=0 </math> <math>P_3(0|11|4)</math>|2=Lösung zu c) anzeigen |3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Verfahren: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Skalarprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese zwei Gleichungen können auf diese Weise aufgestellt werden, da <math> \vec{n} </math> orthogonal auf der Ebene steht. Daher wissen wir, dass <math> \vec{n} </math> orthogonal auf den beiden Spannvektoren steht. Außerdem ist bekannt, dass das Skalarprodukt von zwei orthogonalen Vektoren gleich Null ist.<br />
Im Folgenden bilden diese beiden Gleichungen ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Für das Gleichungssystem gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. Löse es, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest.<br />
Wichtig: Das <math>n</math>, das du frei wählst, muss in beiden Gleichungen enthalten sein. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform <br />
<br />
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Berechne einen Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Alternativ lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \ast \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. Man erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform- und Koordinatenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
Zusatz: Bestimme auch die Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> <br />
<br />
Die Koeffizienten der Koordinatengleichung können wir dem Normalenvektor entnehmen. <br />
Ansatz der Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OQ} \cdot \vec{n}</math>. Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man also das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OQ}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>{-}3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + ({-}6) \cdot 3 = {-}23</math>.<br />
Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3={-}23</math>|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
==&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform==<br />
<br />
<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | 2= Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <br />
<br />
Hieraus folgt:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
n_1 &&\; - \;&& n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
n_1 &&\; - \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Willst du das Gleichungssystem per Hand lösen kannst du in der ersten Gleichung auf beiden Seite <math>+n_2</math> rechnen und erhält <math>n_1 = n_2</math>. Das Ergebnis für <math>n_1</math> setzt du in die zweite Gleichung ein und berechnest so <math>n_3</math> in Abhängigkeit von <math>n_2</math> und erhälst:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}2n_2 + 4n_3 &= 0 & &\mid +2n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 4n_3 &= 2n_2 & &\mid :4\\<br />
\Leftrightarrow & & n_3 &= \tfrac{1}{2} n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_2 \\ n_2 \\ \tfrac{1}{2} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=12</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=12</math> <br />
| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
<br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <br />
<br />
Hieraus folgt:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
n_1 &&\; - \;&& n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
n_1 &&\; - \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Willst du das Gleichungssystem per Hand lösen kannst du in der ersten Gleichung auf beiden Seite <math>+n_2</math> rechnen und erhält <math>n_1 = n_2</math>. Das Ergebnis für <math>n_1</math> setzt du in die zweite Gleichung ein und berechnest so <math>n_3</math> in Abhängigkeit von <math>n_2</math> und erhälst:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}2n_2 + 4n_3 &= 0 & &\mid +2n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 4n_3 &= 2n_2 & &\mid :4\\<br />
\Leftrightarrow & & n_3 &= \tfrac{1}{2} n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_2 \\ n_2 \\ \tfrac{1}{2} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=12</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=12</math> <br />
|Beispiel}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}2n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in den vorherigen Aufgaben. Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 1n_1 + 3n_2 &= 0 & &\mid -3n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & n_1 &= -3n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} {-}3n_2 \\ n_2 \\ -\tfrac{7}{3} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_2</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_2 = {-}3</math> ist, dann folgt für <math>n_1 = 9</math> und für <math>n_3 = 7</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zum Aufstellen einer möglichen Parametergleichung wählen wir beispielsweise den Punkt <math>A</math> als Aufpukt. Die Richtungsvektoren können beispielsweise berechnet werden durch <math>\vec{AB}</math> als ersten Richtungsvektor und <math>\vec{AC}</math> als zweiten. Somit setzt sich die Ebenengleichung wie folgt zusammen:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \vec{OA} + s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AC}</math>.<br />
<br />
Damit ergibt sich:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Da ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein muss gilt <br />
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}6n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Um das Gleichungssystem per Hand zu lösen, behalten wir die erste Gleichung bei und ersetzen die zweite durch die Summe der beiden Gleichungen wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}9n_1 &&\; + \;&& 0n_2 &&\; + \;&& 7n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Zur Berechnung eines allgemeinen Normalenvektors formen wir die zweite Gleichung um und erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}9n_1 + 7n_2 &= 0 & &\mid -7n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & {-}9n_1 &= {-}7n_3 & &\mid :{-}7\\<br />
\Leftrightarrow & & \tfrac{9}{7}n_1 &= n_3 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen von <math>n_1</math> und <math>n_3=\tfrac{9}{7}n_1</math> in die erste Gleichung erhalten wir auch <math>n_2</math> als von <math>n_1</math> abhängigen Wert mit <math>n_2=\tfrac{15}{7}</math>. Damit ergibt sich der allgemeine Normalenvektor:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{15}{7} n_1 \\ \tfrac{9}{7} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = {-}7</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}15</math> und für <math>n_3 = {-}9</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Außerdem nutzen wir <math>\vec{OA}</math> als Aufpunkt und erhalten somit:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir nutzen den eben berechneten Normalenvektor auch zum Aufstellen der Koordinatenform.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Skalarprodukts des Normalenvektors mit dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>(-7 \cdot 7) + ((-15) \cdot 2) + ((-9) \cdot (-1)) =-70</math><br />
<br />
Damit ergibt sich folgende Koordinatengleichung:<br />
<br />
<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=-70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50;Arbeiten mit den unterschiedlichen Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Modellierung eines Tisches (Koordinaten- und Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
Zusatz: Gebe auch die Normalenform an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und könnte beim Aufstellen der Normalen- oder Parametergleichung der Ebene als Aufpunkt genutzt werden. <br />
Den Normalenvektor, dessen Einträge wir als Koeffizienten der Koordinatengleichung der Ebene nutzen, berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Das heißt, wir erhalten für den Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OT}</math>:<br />
<br />
<math>0 \cdot 4 + 0 \cdot 5 + ({-}8) \cdot 8={-}64</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:{-}8x_3={-}64</math> <br />
<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in Aufgabe 9 "Normalenvektor berechnen". Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 28n_1 + 24n_2 &= 0 & &\mid -24n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 28n_1 &= -24n_2 & &\mid :(-24)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{28}{24}n_1 &= n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{7}{6}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von <math>n_1</math> abhängigen Werte, in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}7}{6} n_1 \\ -\tfrac{196}{3} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 6</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}7</math> und für <math>n_3 = 392</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix} </math> <br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /></div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50851Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-20T18:14:36Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Punktprobe | <br />
Gegeben ist die Ebene <math>E</math> mit<br />
<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''a)''' Liegt der Punkt <math>A (7|5|{-}3)</math> in der Ebene?<br />
<br />
'''b)''' Liegt der Punkt <math>B (7|1|8)</math> in der Ebene? <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ {-}3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
5 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
{-}3 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat keine Lösung (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>A</math> liegt also nicht in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
8 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat die Lösung <math>r=1</math> und <math>s=2</math> (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>B</math> liegt also in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachtet man, wie im Tipp angegeben, die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene, so ist also der Schnittpunkt mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene gesucht. <br />
Um die Lösung zu erhalten kann also für <math>\vec{x}</math> den Vektor <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> einsetzen. Berechnet man mithilfe der dritten Zeile den Parameter, ergibt sich aus <br />
<math>0 = {-}256+r \cdot 8</math> das Ergebnis <math>r=32</math>. Damit lassen sich im Anschluss die fehlenden Koordinaten berechnen. <br />
Es ergibt sich insgesamt als Lösung:<br />
<math>\vec{OP} \colon =\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
Also taucht das U-Boot im Punkt <math>P ({-}4697 | 2106 | 0)</math> auf. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Geradlinig begrenzte Flächen==<br />
{{Box|Merksatz: Geradlinig begrenzte Flächen| <br />
Nicht immer ist es ausreichend zu wissen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt. Betrachtet man Sachaufgaben, so ist häufig eine begrenzte Fläche gegeben, die als Ebene modelliert wird. Die Ebene ist also in der Realität beschränkt. Dabei muss dann zunächst untersucht werden, durch welche Werte der Parameter die Fläche begrenzt wird. Es bietet sich häufig an, dafür die Eckpunkte zu betrachten. Stellt man fest, dass ein zu untersuchender Punkt in der Ebene liegt, muss im zweiten Schritt daher untersucht werden, ob die berechneten Parameter im „erlaubten Bereich“ liegen.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Dachfläche |In der Skizze ist das Dach eines Hauses zu sehen. Die im Bild sichtbare Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{v}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> gehören (Angaben in m). <br />
Die Dachfläche misst <math>9</math>m mal <math>7</math>m. <br />
<br />
'''a)''' Bestimmen Sie eine Parametergleichung für die Ebene, in der die Dachfläche liegt. <br />
<br />
'''b)''' Man kann alle Punkte der Dachfläche beschreiben, indem man die Parameter für die Ebene einschränkt. Führen Sie dies durch. <br />
<br />
'''c)''' Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte der Dachfläche an. Bestimmen Sie außerdem drei Punkte, die außerhalb der Dachfläche, aber in derselben Ebene wie die Dachfläche liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Eine Parametergleichung für die Ebene lautet: <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>|2=Lösung zu a) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>|\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}| = 2</math> ; <math> |\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}| = \sqrt{8}</math><br />
<br />
Für die Parameter gilt: <math>0 \le r \le 4{,}5</math> und <math>0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math><br />
<br />
Die Punkte der Dachfläche können beschrieben werden durch die Parameterdarstellung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} ; 0 \le r \le 4{,}5 ; 0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math>|2=Lösung zu b) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>\vec{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>B ({-}4{,}95|9|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>C ({-}4{,}95|0|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>D (0|0|4)</math><br />
<br />
Punkte, die außerhalb der Dachfläche liegen:<br />
z.B.: <br />
<br />
<math>r=5, s=4 </math> <math>P_1({-}8|{-}1|12)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s={-}1</math> <math>P_2(2|11|2)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s=0 </math> <math>P_3(0|11|4)</math>|2=Lösung zu c) anzeigen |3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Verfahren: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Skalarprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese zwei Gleichungen können auf diese Weise aufgestellt werden, da <math> \vec{n} </math> orthogonal auf der Ebene steht. Daher wissen wir, dass <math> \vec{n} </math> orthogonal auf den beiden Spannvektoren steht. Außerdem ist bekannt, dass das Skalarprodukt von zwei orthogonalen Vektoren gleich Null ist.<br />
Im Folgenden bilden diese beiden Gleichungen ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Für das Gleichungssystem gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. Löse es, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest.<br />
Wichtig: Das <math>n</math>, das du frei wählst, muss in beiden Gleichungen enthalten sein. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform <br />
<br />
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Berechne einen Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Alternativ lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \ast \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. Man erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform- und Koordinatenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
Zusatz: Bestimme auch die Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> <br />
<br />
Die Koeffizienten der Koordinatengleichung können wir dem Normalenvektor entnehmen. <br />
Ansatz der Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OQ} \cdot \vec{n}</math>. Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man also das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OQ}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>{-}3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + ({-}6) \cdot 3 = {-}23</math>.<br />
Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3={-}23</math>|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
==&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform==<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
<br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <br />
<br />
Hieraus folgt:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
n_1 &&\; - \;&& n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
n_1 &&\; - \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Willst du das Gleichungssystem per Hand lösen kannst du in der ersten Gleichung auf beiden Seite <math>+n_2</math> rechnen und erhält <math>n_1 = n_2</math>. Das Ergebnis für <math>n_1</math> setzt du in die zweite Gleichung ein und berechnest so <math>n_3</math> in Abhängigkeit von <math>n_2</math> und erhälst:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}2n_2 + 4n_3 &= 0 & &\mid +2n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 4n_3 &= 2n_2 & &\mid :4\\<br />
\Leftrightarrow & & n_3 &= \tfrac{1}{2} n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_2 \\ n_2 \\ \tfrac{1}{2} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=12</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=12</math> <br />
|Beispiel}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}2n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in den vorherigen Aufgaben. Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 1n_1 + 3n_2 &= 0 & &\mid -3n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & n_1 &= -3n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} {-}3n_2 \\ n_2 \\ -\tfrac{7}{3} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_2</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_2 = {-}3</math> ist, dann folgt für <math>n_1 = 9</math> und für <math>n_3 = 7</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zum Aufstellen einer möglichen Parametergleichung wählen wir beispielsweise den Punkt <math>A</math> als Aufpukt. Die Richtungsvektoren können beispielsweise berechnet werden durch <math>\vec{AB}</math> als ersten Richtungsvektor und <math>\vec{AC}</math> als zweiten. Somit setzt sich die Ebenengleichung wie folgt zusammen:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \vec{OA} + s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AC}</math>.<br />
<br />
Damit ergibt sich:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Da ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein muss gilt <br />
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}6n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Um das Gleichungssystem per Hand zu lösen, behalten wir die erste Gleichung bei und ersetzen die zweite durch die Summe der beiden Gleichungen wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}9n_1 &&\; + \;&& 0n_2 &&\; + \;&& 7n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Zur Berechnung eines allgemeinen Normalenvektors formen wir die zweite Gleichung um und erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}9n_1 + 7n_2 &= 0 & &\mid -7n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & {-}9n_1 &= {-}7n_3 & &\mid :{-}7\\<br />
\Leftrightarrow & & \tfrac{9}{7}n_1 &= n_3 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen von <math>n_1</math> und <math>n_3=\tfrac{9}{7}n_1</math> in die erste Gleichung erhalten wir auch <math>n_2</math> als von <math>n_1</math> abhängigen Wert mit <math>n_2=\tfrac{15}{7}</math>. Damit ergibt sich der allgemeine Normalenvektor:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{15}{7} n_1 \\ \tfrac{9}{7} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = {-}7</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}15</math> und für <math>n_3 = {-}9</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Außerdem nutzen wir <math>\vec{OA}</math> als Aufpunkt und erhalten somit:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir nutzen den eben berechneten Normalenvektor auch zum Aufstellen der Koordinatenform.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Skalarprodukts des Normalenvektors mit dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>(-7 \cdot 7) + ((-15) \cdot 2) + ((-9) \cdot (-1)) =-70</math><br />
<br />
Damit ergibt sich folgende Koordinatengleichung:<br />
<br />
<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=-70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50;Arbeiten mit den unterschiedlichen Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Modellierung eines Tisches (Koordinaten- und Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
Zusatz: Gebe auch die Normalenform an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und könnte beim Aufstellen der Normalen- oder Parametergleichung der Ebene als Aufpunkt genutzt werden. <br />
Den Normalenvektor, dessen Einträge wir als Koeffizienten der Koordinatengleichung der Ebene nutzen, berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Das heißt, wir erhalten für den Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OT}</math>:<br />
<br />
<math>0 \cdot 4 + 0 \cdot 5 + ({-}8) \cdot 8={-}64</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:{-}8x_3={-}64</math> <br />
<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in Aufgabe 9 "Normalenvektor berechnen". Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 28n_1 + 24n_2 &= 0 & &\mid -24n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 28n_1 &= -24n_2 & &\mid :(-24)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{28}{24}n_1 &= n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{7}{6}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von <math>n_1</math> abhängigen Werte, in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}7}{6} n_1 \\ -\tfrac{196}{3} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 6</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}7</math> und für <math>n_3 = 392</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix} </math> <br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /></div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50850Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-20T18:10:53Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Punktprobe | <br />
Gegeben ist die Ebene <math>E</math> mit<br />
<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''a)''' Liegt der Punkt <math>A (7|5|{-}3)</math> in der Ebene?<br />
<br />
'''b)''' Liegt der Punkt <math>B (7|1|8)</math> in der Ebene? <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ {-}3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
5 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
{-}3 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat keine Lösung (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>A</math> liegt also nicht in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
8 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat die Lösung <math>r=1</math> und <math>s=2</math> (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>B</math> liegt also in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachtet man, wie im Tipp angegeben, die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene, so ist also der Schnittpunkt mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene gesucht. <br />
Um die Lösung zu erhalten kann also für <math>\vec{x}</math> den Vektor <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> einsetzen. Berechnet man mithilfe der dritten Zeile den Parameter, ergibt sich aus <br />
<math>0 = {-}256+r \cdot 8</math> das Ergebnis <math>r=32</math>. Damit lassen sich im Anschluss die fehlenden Koordinaten berechnen. <br />
Es ergibt sich insgesamt als Lösung:<br />
<math>\vec{OP} \colon =\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
Also taucht das U-Boot im Punkt <math>P ({-}4697 | 2106 | 0)</math> auf. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Geradlinig begrenzte Flächen==<br />
{{Box|Merksatz: Geradlinig begrenzte Flächen| <br />
Nicht immer ist es ausreichend zu wissen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt. Betrachtet man Sachaufgaben, so ist häufig eine begrenzte Fläche gegeben, die als Ebene modelliert wird. Die Ebene ist also in der Realität beschränkt. Dabei muss dann zunächst untersucht werden, durch welche Werte der Parameter die Fläche begrenzt wird. Es bietet sich häufig an, dafür die Eckpunkte zu betrachten. Stellt man fest, dass ein zu untersuchender Punkt in der Ebene liegt, muss im zweiten Schritt daher untersucht werden, ob die berechneten Parameter im „erlaubten Bereich“ liegen.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Dachfläche |In der Skizze ist das Dach eines Hauses zu sehen. Die im Bild sichtbare Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{v}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> gehören (Angaben in m). <br />
Die Dachfläche misst <math>9</math>m mal <math>7</math>m. <br />
<br />
'''a)''' Bestimmen Sie eine Parametergleichung für die Ebene, in der die Dachfläche liegt. <br />
<br />
'''b)''' Man kann alle Punkte der Dachfläche beschreiben, indem man die Parameter für die Ebene einschränkt. Führen Sie dies durch. <br />
<br />
'''c)''' Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte der Dachfläche an. Bestimmen Sie außerdem drei Punkte, die außerhalb der Dachfläche, aber in derselben Ebene wie die Dachfläche liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Eine Parametergleichung für die Ebene lautet: <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>|2=Lösung zu a) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>|\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}| = 2</math> ; <math> |\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}| = \sqrt{8}</math><br />
<br />
Für die Parameter gilt: <math>0 \le r \le 4{,}5</math> und <math>0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math><br />
<br />
Die Punkte der Dachfläche können beschrieben werden durch die Parameterdarstellung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} ; 0 \le r \le 4{,}5 ; 0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math>|2=Lösung zu b) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>\vec{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>B ({-}4{,}95|9|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>C ({-}4{,}95|0|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>D (0|0|4)</math><br />
<br />
Punkte, die außerhalb der Dachfläche liegen:<br />
z.B.: <br />
<br />
<math>r=5, s=4 </math> <math>P_1({-}8|{-}1|12)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s={-}1</math> <math>P_2(2|11|2)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s=0 </math> <math>P_3(0|11|4)</math>|2=Lösung zu c) anzeigen |3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Verfahren: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Skalarprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese zwei Gleichungen können auf diese Weise aufgestellt werden, da <math> \vec{n} </math> orthogonal auf der Ebene steht. Daher wissen wir, dass <math> \vec{n} </math> orthogonal auf den beiden Spannvektoren steht. Außerdem ist bekannt, dass das Skalarprodukt von zwei orthogonalen Vektoren gleich Null ist.<br />
Im Folgenden bilden diese beiden Gleichungen ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Für das Gleichungssystem gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. Löse es, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest.<br />
Wichtig: Das <math>n</math>, das du frei wählst, muss in beiden Gleichungen enthalten sein. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform <br />
<br />
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Berechne einen Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Alternativ lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \ast \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. Man erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform- und Koordinatenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
Zusatz: Bestimme auch die Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> <br />
<br />
Die Koeffizienten der Koordinatengleichung können wir dem Normalenvektor entnehmen. <br />
Ansatz der Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OQ} \cdot \vec{n}</math>. Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man also das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OQ}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>{-}3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + ({-}6) \cdot 3 = {-}23</math>.<br />
Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3={-}23</math>|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
==&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform==<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
<br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <br />
<br />
Hieraus folgt:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
n_1 &&\; - \;&& n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
n_1 &&\; - \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Willst du das Gleichungssystem per Hand lösen kannst du in der ersten Gleichung auf beiden Seite <math>+n_2</math> rechnen und erhält <math>n_1 = n_2</math>. Das Ergebnis für <math>n_1</math> setzt du in die zweite Gleichung ein und berechnest so <math>n_3</math> in Abhängigkeit von <math>n_2</math> und erhälst:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}2n_2 + 4n_3 &= 0 & &\mid +2n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 4n_3 &= 2n_2 & &\mid :4\\<br />
\Leftrightarrow & & n_3 &= \tfrac{1}{2} n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_2 \\ n_2 \\ \tfrac{1}{2} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=12</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=12</math> <br />
|Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}2n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in den vorherigen Aufgaben. Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 1n_1 + 3n_2 &= 0 & &\mid -3n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & n_1 &= -3n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} {-}3n_2 \\ n_2 \\ -\tfrac{7}{3} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_2</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_2 = {-}3</math> ist, dann folgt für <math>n_1 = 9</math> und für <math>n_3 = 7</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zum Aufstellen einer möglichen Parametergleichung wählen wir beispielsweise den Punkt <math>A</math> als Aufpukt. Die Richtungsvektoren können beispielsweise berechnet werden durch <math>\vec{AB}</math> als ersten Richtungsvektor und <math>\vec{AC}</math> als zweiten. Somit setzt sich die Ebenengleichung wie folgt zusammen:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \vec{OA} + s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AC}</math>.<br />
<br />
Damit ergibt sich:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Da ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein muss gilt <br />
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}6n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Um das Gleichungssystem per Hand zu lösen, behalten wir die erste Gleichung bei und ersetzen die zweite durch die Summe der beiden Gleichungen wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}9n_1 &&\; + \;&& 0n_2 &&\; + \;&& 7n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Zur Berechnung eines allgemeinen Normalenvektors formen wir die zweite Gleichung um und erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}9n_1 + 7n_2 &= 0 & &\mid -7n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & {-}9n_1 &= {-}7n_3 & &\mid :{-}7\\<br />
\Leftrightarrow & & \tfrac{9}{7}n_1 &= n_3 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen von <math>n_1</math> und <math>n_3=\tfrac{9}{7}n_1</math> in die erste Gleichung erhalten wir auch <math>n_2</math> als von <math>n_1</math> abhängigen Wert mit <math>n_2=\tfrac{15}{7}</math>. Damit ergibt sich der allgemeine Normalenvektor:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{15}{7} n_1 \\ \tfrac{9}{7} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = {-}7</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}15</math> und für <math>n_3 = {-}9</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Außerdem nutzen wir <math>\vec{OA}</math> als Aufpunkt und erhalten somit:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir nutzen den eben berechneten Normalenvektor auch zum Aufstellen der Koordinatenform.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Skalarprodukts des Normalenvektors mit dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>(-7 \cdot 7) + ((-15) \cdot 2) + ((-9) \cdot (-1)) =-70</math><br />
<br />
Damit ergibt sich folgende Koordinatengleichung:<br />
<br />
<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=-70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50;Arbeiten mit den unterschiedlichen Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Modellierung eines Tisches (Koordinaten- und Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
Zusatz: Gebe auch die Normalenform an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und könnte beim Aufstellen der Normalen- oder Parametergleichung der Ebene als Aufpunkt genutzt werden. <br />
Den Normalenvektor, dessen Einträge wir als Koeffizienten der Koordinatengleichung der Ebene nutzen, berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Das heißt, wir erhalten für den Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OT}</math>:<br />
<br />
<math>0 \cdot 4 + 0 \cdot 5 + ({-}8) \cdot 8={-}64</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:{-}8x_3={-}64</math> <br />
<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in Aufgabe 9 "Normalenvektor berechnen". Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 28n_1 + 24n_2 &= 0 & &\mid -24n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 28n_1 &= -24n_2 & &\mid :(-24)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{28}{24}n_1 &= n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{7}{6}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von <math>n_1</math> abhängigen Werte, in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}7}{6} n_1 \\ -\tfrac{196}{3} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 6</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}7</math> und für <math>n_3 = 392</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix} </math> <br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /></div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50849Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-20T18:05:39Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Punktprobe | <br />
Gegeben ist die Ebene <math>E</math> mit<br />
<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''a)''' Liegt der Punkt <math>A (7|5|{-}3)</math> in der Ebene?<br />
<br />
'''b)''' Liegt der Punkt <math>B (7|1|8)</math> in der Ebene? <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ {-}3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
5 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
{-}3 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat keine Lösung (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>A</math> liegt also nicht in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
8 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat die Lösung <math>r=1</math> und <math>s=2</math> (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>B</math> liegt also in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachtet man, wie im Tipp angegeben, die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene, so ist also der Schnittpunkt mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene gesucht. <br />
Um die Lösung zu erhalten kann also für <math>\vec{x}</math> den Vektor <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> einsetzen. Berechnet man mithilfe der dritten Zeile den Parameter, ergibt sich aus <br />
<math>0 = {-}256+r \cdot 8</math> das Ergebnis <math>r=32</math>. Damit lassen sich im Anschluss die fehlenden Koordinaten berechnen. <br />
Es ergibt sich insgesamt als Lösung:<br />
<math>\vec{OP} \colon =\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
Also taucht das U-Boot im Punkt <math>P ({-}4697 | 2106 | 0)</math> auf. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Geradlinig begrenzte Flächen==<br />
{{Box|Merksatz: Geradlinig begrenzte Flächen| <br />
Nicht immer ist es ausreichend zu wissen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt. Betrachtet man Sachaufgaben, so ist häufig eine begrenzte Fläche gegeben, die als Ebene modelliert wird. Die Ebene ist also in der Realität beschränkt. Dabei muss dann zunächst untersucht werden, durch welche Werte der Parameter die Fläche begrenzt wird. Es bietet sich häufig an, dafür die Eckpunkte zu betrachten. Stellt man fest, dass ein zu untersuchender Punkt in der Ebene liegt, muss im zweiten Schritt daher untersucht werden, ob die berechneten Parameter im „erlaubten Bereich“ liegen.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Dachfläche |In der Skizze ist das Dach eines Hauses zu sehen. Die im Bild sichtbare Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{v}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> gehören (Angaben in m). <br />
Die Dachfläche misst <math>9</math>m mal <math>7</math>m. <br />
<br />
'''a)''' Bestimmen Sie eine Parametergleichung für die Ebene, in der die Dachfläche liegt. <br />
<br />
'''b)''' Man kann alle Punkte der Dachfläche beschreiben, indem man die Parameter für die Ebene einschränkt. Führen Sie dies durch. <br />
<br />
'''c)''' Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte der Dachfläche an. Bestimmen Sie außerdem drei Punkte, die außerhalb der Dachfläche, aber in derselben Ebene wie die Dachfläche liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Eine Parametergleichung für die Ebene lautet: <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>|2=Lösung zu a) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>|\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}| = 2</math> ; <math> |\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}| = \sqrt{8}</math><br />
<br />
Für die Parameter gilt: <math>0 \le r \le 4{,}5</math> und <math>0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math><br />
<br />
Die Punkte der Dachfläche können beschrieben werden durch die Parameterdarstellung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} ; 0 \le r \le 4{,}5 ; 0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math>|2=Lösung zu b) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>\vec{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>B ({-}4{,}95|9|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>C ({-}4{,}95|0|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>D (0|0|4)</math><br />
<br />
Punkte, die außerhalb der Dachfläche liegen:<br />
z.B.: <br />
<br />
<math>r=5, s=4 </math> <math>P_1({-}8|{-}1|12)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s={-}1</math> <math>P_2(2|11|2)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s=0 </math> <math>P_3(0|11|4)</math>|2=Lösung zu c) anzeigen |3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Verfahren: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Skalarprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese zwei Gleichungen können auf diese Weise aufgestellt werden, da <math> \vec{n} </math> orthogonal auf der Ebene steht. Daher wissen wir, dass <math> \vec{n} </math> orthogonal auf den beiden Spannvektoren steht. Außerdem ist bekannt, dass das Skalarprodukt von zwei orthogonalen Vektoren gleich Null ist.<br />
Im Folgenden bilden diese beiden Gleichungen ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Für das Gleichungssystem gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. Löse es, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest.<br />
Wichtig: Das <math>n</math>, das du frei wählst, muss in beiden Gleichungen enthalten sein. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform <br />
<br />
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Berechne einen Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform- und Koordinatenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
Zusatz: Bestimme auch die Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> <br />
<br />
Die Koeffizienten der Koordinatengleichung können wir dem Normalenvektor entnehmen. <br />
Ansatz der Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OQ} \cdot \vec{n}</math>. Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man also das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OQ}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>{-}3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + ({-}6) \cdot 3 = {-}23</math>.<br />
Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3={-}23</math>|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
==&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform==<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
<br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <br />
<br />
Hieraus folgt:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
n_1 &&\; - \;&& n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
n_1 &&\; - \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Willst du das Gleichungssystem per Hand lösen kannst du in der ersten Gleichung auf beiden Seite <math>+n_2</math> rechnen und erhält <math>n_1 = n_2</math>. Das Ergebnis für <math>n_1</math> setzt du in die zweite Gleichung ein und berechnest so <math>n_3</math> in Abhängigkeit von <math>n_2</math> und erhälst:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}2n_2 + 4n_3 &= 0 & &\mid +2n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 4n_3 &= 2n_2 & &\mid :4\\<br />
\Leftrightarrow & & n_3 &= \tfrac{1}{2} n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_2 \\ n_2 \\ \tfrac{1}{2} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=12</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=12</math> <br />
|Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}2n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in den vorherigen Aufgaben. Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 1n_1 + 3n_2 &= 0 & &\mid -3n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & n_1 &= -3n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} {-}3n_2 \\ n_2 \\ -\tfrac{7}{3} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_2</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_2 = {-}3</math> ist, dann folgt für <math>n_1 = 9</math> und für <math>n_3 = 7</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zum Aufstellen einer möglichen Parametergleichung wählen wir beispielsweise den Punkt <math>A</math> als Aufpukt. Die Richtungsvektoren können beispielsweise berechnet werden durch <math>\vec{AB}</math> als ersten Richtungsvektor und <math>\vec{AC}</math> als zweiten. Somit setzt sich die Ebenengleichung wie folgt zusammen:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \vec{OA} + s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AC}</math>.<br />
<br />
Damit ergibt sich:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Da ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein muss gilt <br />
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}6n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Um das Gleichungssystem per Hand zu lösen, behalten wir die erste Gleichung bei und ersetzen die zweite durch die Summe der beiden Gleichungen wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}9n_1 &&\; + \;&& 0n_2 &&\; + \;&& 7n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Zur Berechnung eines allgemeinen Normalenvektors formen wir die zweite Gleichung um und erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}9n_1 + 7n_2 &= 0 & &\mid -7n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & {-}9n_1 &= {-}7n_3 & &\mid :{-}7\\<br />
\Leftrightarrow & & \tfrac{9}{7}n_1 &= n_3 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen von <math>n_1</math> und <math>n_3=\tfrac{9}{7}n_1</math> in die erste Gleichung erhalten wir auch <math>n_2</math> als von <math>n_1</math> abhängigen Wert mit <math>n_2=\tfrac{15}{7}</math>. Damit ergibt sich der allgemeine Normalenvektor:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{15}{7} n_1 \\ \tfrac{9}{7} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = {-}7</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}15</math> und für <math>n_3 = {-}9</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Außerdem nutzen wir <math>\vec{OA}</math> als Aufpunkt und erhalten somit:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir nutzen den eben berechneten Normalenvektor auch zum Aufstellen der Koordinatenform.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Skalarprodukts des Normalenvektors mit dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>(-7 \cdot 7) + ((-15) \cdot 2) + ((-9) \cdot (-1)) =-70</math><br />
<br />
Damit ergibt sich folgende Koordinatengleichung:<br />
<br />
<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=-70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50;Arbeiten mit den unterschiedlichen Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Modellierung eines Tisches (Koordinaten- und Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
Zusatz: Gebe auch die Normalenform an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und könnte beim Aufstellen der Normalen- oder Parametergleichung der Ebene als Aufpunkt genutzt werden. <br />
Den Normalenvektor, dessen Einträge wir als Koeffizienten der Koordinatengleichung der Ebene nutzen, berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Das heißt, wir erhalten für den Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OT}</math>:<br />
<br />
<math>0 \cdot 4 + 0 \cdot 5 + ({-}8) \cdot 8={-}64</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:{-}8x_3={-}64</math> <br />
<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in Aufgabe 9 "Normalenvektor berechnen". Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 28n_1 + 24n_2 &= 0 & &\mid -24n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 28n_1 &= -24n_2 & &\mid :(-24)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{28}{24}n_1 &= n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{7}{6}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von <math>n_1</math> abhängigen Werte, in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}7}{6} n_1 \\ -\tfrac{196}{3} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 6</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}7</math> und für <math>n_3 = 392</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix} </math> <br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /></div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50848Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-20T17:59:41Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Punktprobe | <br />
Gegeben ist die Ebene <math>E</math> mit<br />
<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''a)''' Liegt der Punkt <math>A (7|5|{-}3)</math> in der Ebene?<br />
<br />
'''b)''' Liegt der Punkt <math>B (7|1|8)</math> in der Ebene? <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ {-}3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
5 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
{-}3 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat keine Lösung (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>A</math> liegt also nicht in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
8 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat die Lösung <math>r=1</math> und <math>s=2</math> (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>B</math> liegt also in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachtet man, wie im Tipp angegeben, die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene, so ist also der Schnittpunkt mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene gesucht. <br />
Um die Lösung zu erhalten kann also für <math>\vec{x}</math> den Vektor <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> einsetzen. Berechnet man mithilfe der dritten Zeile den Parameter, ergibt sich aus <br />
<math>0 = {-}256+r \cdot 8</math> das Ergebnis <math>r=32</math>. Damit lassen sich im Anschluss die fehlenden Koordinaten berechnen. <br />
Es ergibt sich insgesamt als Lösung:<br />
<math>\vec{OP} \colon =\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
Also taucht das U-Boot im Punkt <math>P ({-}4697 | 2106 | 0)</math> auf. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Geradlinig begrenzte Flächen==<br />
{{Box|Merksatz: Geradlinig begrenzte Flächen| <br />
Nicht immer ist es ausreichend zu wissen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt. Betrachtet man Sachaufgaben, so ist häufig eine begrenzte Fläche gegeben, die als Ebene modelliert wird. Die Ebene ist also in der Realität beschränkt. Dabei muss dann zunächst untersucht werden, durch welche Werte der Parameter die Fläche begrenzt wird. Es bietet sich häufig an, dafür die Eckpunkte zu betrachten. Stellt man fest, dass ein zu untersuchender Punkt in der Ebene liegt, muss im zweiten Schritt daher untersucht werden, ob die berechneten Parameter im „erlaubten Bereich“ liegen.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Dachfläche |In der Skizze ist das Dach eines Hauses zu sehen. Die im Bild sichtbare Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{v}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> gehören (Angaben in m). <br />
Die Dachfläche misst <math>9</math>m mal <math>7</math>m. <br />
<br />
'''a)''' Bestimmen Sie eine Parametergleichung für die Ebene, in der die Dachfläche liegt. <br />
<br />
'''b)''' Man kann alle Punkte der Dachfläche beschreiben, indem man die Parameter für die Ebene einschränkt. Führen Sie dies durch. <br />
<br />
'''c)''' Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte der Dachfläche an. Bestimmen Sie außerdem drei Punkte, die außerhalb der Dachfläche, aber in derselben Ebene wie die Dachfläche liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Eine Parametergleichung für die Ebene lautet: <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>|2=Lösung zu a) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>|\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}| = 2</math> ; <math> |\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}| = \sqrt{8}</math><br />
<br />
Für die Parameter gilt: <math>0 \le r \le 4{,}5</math> und <math>0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math><br />
<br />
Die Punkte der Dachfläche können beschrieben werden durch die Parameterdarstellung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} ; 0 \le r \le 4{,}5 ; 0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math>|2=Lösung zu b) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>\vec{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>B ({-}4{,}95|9|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>C ({-}4{,}95|0|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>D (0|0|4)</math><br />
<br />
Punkte, die außerhalb der Dachfläche liegen:<br />
z.B.: <br />
<br />
<math>r=5, s=4 </math> <math>P_1({-}8|{-}1|12)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s={-}1</math> <math>P_2(2|11|2)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s=0 </math> <math>P_3(0|11|4)</math>|2=Lösung zu c) anzeigen |3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Verfahren: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Skalarprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese zwei Gleichungen können auf diese Weise aufgestellt werden, da <math> \vec{n} </math> orthogonal auf der Ebene steht. Daher wissen wir, dass <math> \vec{n} </math> orthogonal auf den beiden Spannvektoren steht. Außerdem ist bekannt, dass das Skalarprodukt von zwei orthogonalen Vektoren gleich Null ist.<br />
Im Folgenden bilden diese beiden Gleichungen ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Für das Gleichungssystem gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. Löse es, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest.<br />
Wichtig: Das <math>n</math>, das du frei wählst, muss in beiden Gleichungen enthalten sein. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform <br />
<br />
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform- und Koordinatenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
Zusatz: Bestimme auch die Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> <br />
<br />
Die Koeffizienten der Koordinatengleichung können wir dem Normalenvektor entnehmen. <br />
Ansatz der Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OQ} \cdot \vec{n}</math>. Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man also das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OQ}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>{-}3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + ({-}6) \cdot 3 = {-}23</math>.<br />
Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3={-}23</math>|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
==&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform==<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
<br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <br />
<br />
Hieraus folgt:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
n_1 &&\; - \;&& n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
n_1 &&\; - \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Willst du das Gleichungssystem per Hand lösen kannst du in der ersten Gleichung auf beiden Seite <math>+n_2</math> rechnen und erhält <math>n_1 = n_2</math>. Das Ergebnis für <math>n_1</math> setzt du in die zweite Gleichung ein und berechnest so <math>n_3</math> in Abhängigkeit von <math>n_2</math> und erhälst:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}2n_2 + 4n_3 &= 0 & &\mid +2n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 4n_3 &= 2n_2 & &\mid :4\\<br />
\Leftrightarrow & & n_3 &= \tfrac{1}{2} n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_2 \\ n_2 \\ \tfrac{1}{2} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=12</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=12</math> <br />
|Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}2n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in den vorherigen Aufgaben. Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 1n_1 + 3n_2 &= 0 & &\mid -3n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & n_1 &= -3n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} {-}3n_2 \\ n_2 \\ -\tfrac{7}{3} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_2</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_2 = {-}3</math> ist, dann folgt für <math>n_1 = 9</math> und für <math>n_3 = 7</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zum Aufstellen einer möglichen Parametergleichung wählen wir beispielsweise den Punkt <math>A</math> als Aufpukt. Die Richtungsvektoren können beispielsweise berechnet werden durch <math>\vec{AB}</math> als ersten Richtungsvektor und <math>\vec{AC}</math> als zweiten. Somit setzt sich die Ebenengleichung wie folgt zusammen:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \vec{OA} + s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AC}</math>.<br />
<br />
Damit ergibt sich:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Da ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein muss gilt <br />
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}6n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Um das Gleichungssystem per Hand zu lösen, behalten wir die erste Gleichung bei und ersetzen die zweite durch die Summe der beiden Gleichungen wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}9n_1 &&\; + \;&& 0n_2 &&\; + \;&& 7n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Zur Berechnung eines allgemeinen Normalenvektors formen wir die zweite Gleichung um und erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}9n_1 + 7n_2 &= 0 & &\mid -7n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & {-}9n_1 &= {-}7n_3 & &\mid :{-}7\\<br />
\Leftrightarrow & & \tfrac{9}{7}n_1 &= n_3 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen von <math>n_1</math> und <math>n_3=\tfrac{9}{7}n_1</math> in die erste Gleichung erhalten wir auch <math>n_2</math> als von <math>n_1</math> abhängigen Wert mit <math>n_2=\tfrac{15}{7}</math>. Damit ergibt sich der allgemeine Normalenvektor:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{15}{7} n_1 \\ \tfrac{9}{7} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = {-}7</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}15</math> und für <math>n_3 = {-}9</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Außerdem nutzen wir <math>\vec{OA}</math> als Aufpunkt und erhalten somit:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir nutzen den eben berechneten Normalenvektor auch zum Aufstellen der Koordinatenform.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Skalarprodukts des Normalenvektors mit dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>(-7 \cdot 7) + ((-15) \cdot 2) + ((-9) \cdot (-1)) =-70</math><br />
<br />
Damit ergibt sich folgende Koordinatengleichung:<br />
<br />
<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=-70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50;Arbeiten mit den unterschiedlichen Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Modellierung eines Tisches (Koordinaten- und Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
Zusatz: Gebe auch die Normalenform an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und könnte beim Aufstellen der Normalen- oder Parametergleichung der Ebene als Aufpunkt genutzt werden. <br />
Den Normalenvektor, dessen Einträge wir als Koeffizienten der Koordinatengleichung der Ebene nutzen, berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Das heißt, wir erhalten für den Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OT}</math>:<br />
<br />
<math>0 \cdot 4 + 0 \cdot 5 + ({-}8) \cdot 8={-}64</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:{-}8x_3={-}64</math> <br />
<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in Aufgabe 9 "Normalenvektor berechnen". Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 28n_1 + 24n_2 &= 0 & &\mid -24n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 28n_1 &= -24n_2 & &\mid :(-24)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{28}{24}n_1 &= n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{7}{6}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von <math>n_1</math> abhängigen Werte, in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}7}{6} n_1 \\ -\tfrac{196}{3} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 6</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}7</math> und für <math>n_3 = 392</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix} </math> <br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /></div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50847Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-20T17:54:50Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Punktprobe | <br />
Gegeben ist die Ebene <math>E</math> mit<br />
<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''a)''' Liegt der Punkt <math>A (7|5|{-}3)</math> in der Ebene?<br />
<br />
'''b)''' Liegt der Punkt <math>B (7|1|8)</math> in der Ebene? <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ {-}3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
5 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
{-}3 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat keine Lösung (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>A</math> liegt also nicht in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
8 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat die Lösung <math>r=1</math> und <math>s=2</math> (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>B</math> liegt also in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachtet man, wie im Tipp angegeben, die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene, so ist also der Schnittpunkt mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene gesucht. <br />
Um die Lösung zu erhalten kann also für <math>\vec{x}</math> den Vektor <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> einsetzen. Berechnet man mithilfe der dritten Zeile den Parameter, ergibt sich aus <br />
<math>0 = {-}256+r \cdot 8</math> das Ergebnis <math>r=32</math>. Damit lassen sich im Anschluss die fehlenden Koordinaten berechnen. <br />
Es ergibt sich insgesamt als Lösung:<br />
<math>\vec{OP} \colon =\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Geradlinig begrenzte Flächen==<br />
{{Box|Merksatz: Geradlinig begrenzte Flächen| <br />
Nicht immer ist es ausreichend zu wissen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt. Betrachtet man Sachaufgaben, so ist häufig eine begrenzte Fläche gegeben, die als Ebene modelliert wird. Die Ebene ist also in der Realität beschränkt. Dabei muss dann zunächst untersucht werden, durch welche Werte der Parameter die Fläche begrenzt wird. Es bietet sich häufig an, dafür die Eckpunkte zu betrachten. Stellt man fest, dass ein zu untersuchender Punkt in der Ebene liegt, muss im zweiten Schritt daher untersucht werden, ob die berechneten Parameter im „erlaubten Bereich“ liegen.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Dachfläche |In der Skizze ist das Dach eines Hauses zu sehen. Die im Bild sichtbare Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{v}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> gehören (Angaben in m). <br />
Die Dachfläche misst <math>9</math>m mal <math>7</math>m. <br />
<br />
'''a)''' Bestimmen Sie eine Parametergleichung für die Ebene, in der die Dachfläche liegt. <br />
<br />
'''b)''' Man kann alle Punkte der Dachfläche beschreiben, indem man die Parameter für die Ebene einschränkt. Führen Sie dies durch. <br />
<br />
'''c)''' Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte der Dachfläche an. Bestimmen Sie außerdem drei Punkte, die außerhalb der Dachfläche, aber in derselben Ebene wie die Dachfläche liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Eine Parametergleichung für die Ebene lautet: <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>|2=Lösung zu a) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>|\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}| = 2</math> ; <math> |\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}| = \sqrt{8}</math><br />
<br />
Für die Parameter gilt: <math>0 \le r \le 4{,}5</math> und <math>0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math><br />
<br />
Die Punkte der Dachfläche können beschrieben werden durch die Parameterdarstellung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} ; 0 \le r \le 4{,}5 ; 0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math>|2=Lösung zu b) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>\vec{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>B ({-}4{,}95|9|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>C ({-}4{,}95|0|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>D (0|0|4)</math><br />
<br />
Punkte, die außerhalb der Dachfläche liegen:<br />
z.B.: <br />
<br />
<math>r=5, s=4 </math> <math>P_1({-}8|{-}1|12)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s={-}1</math> <math>P_2(2|11|2)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s=0 </math> <math>P_3(0|11|4)</math>|2=Lösung zu c) anzeigen |3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Verfahren: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Skalarprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese zwei Gleichungen können auf diese Weise aufgestellt werden, da <math> \vec{n} </math> orthogonal auf der Ebene steht. Daher wissen wir, dass <math> \vec{n} </math> orthogonal auf den beiden Spannvektoren steht. Außerdem ist bekannt, dass das Skalarprodukt von zwei orthogonalen Vektoren gleich Null ist.<br />
Im Folgenden bilden diese beiden Gleichungen ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Für das Gleichungssystem gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. Löse es, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest.<br />
Wichtig: Das <math>n</math>, das du frei wählst, muss in beiden Gleichungen enthalten sein. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform <br />
<br />
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform- und Koordinatenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
Zusatz: Bestimme auch die Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> <br />
<br />
Die Koeffizienten der Koordinatengleichung können wir dem Normalenvektor entnehmen. <br />
Ansatz der Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OQ} \cdot \vec{n}</math>. Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man also das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OQ}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>{-}3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + ({-}6) \cdot 3 = {-}23</math>.<br />
Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3={-}23</math>|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
==&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform==<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
<br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <br />
<br />
Hieraus folgt:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
n_1 &&\; - \;&& n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
n_1 &&\; - \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Willst du das Gleichungssystem per Hand lösen kannst du in der ersten Gleichung auf beiden Seite <math>+n_2</math> rechnen und erhält <math>n_1 = n_2</math>. Das Ergebnis für <math>n_1</math> setzt du in die zweite Gleichung ein und berechnest so <math>n_3</math> in Abhängigkeit von <math>n_2</math> und erhälst:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}2n_2 + 4n_3 &= 0 & &\mid +2n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 4n_3 &= 2n_2 & &\mid :4\\<br />
\Leftrightarrow & & n_3 &= \tfrac{1}{2} n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_2 \\ n_2 \\ \tfrac{1}{2} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=12</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=12</math> <br />
|Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}2n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in den vorherigen Aufgaben. Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 1n_1 + 3n_2 &= 0 & &\mid -3n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & n_1 &= -3n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} {-}3n_2 \\ n_2 \\ -\tfrac{7}{3} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_2</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_2 = {-}3</math> ist, dann folgt für <math>n_1 = 9</math> und für <math>n_3 = 7</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zum Aufstellen einer möglichen Parametergleichung wählen wir beispielsweise den Punkt <math>A</math> als Aufpukt. Die Richtungsvektoren können beispielsweise berechnet werden durch <math>\vec{AB}</math> als ersten Richtungsvektor und <math>\vec{AC}</math> als zweiten. Somit setzt sich die Ebenengleichung wie folgt zusammen:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \vec{OA} + s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AC}</math>.<br />
<br />
Damit ergibt sich:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Da ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein muss gilt <br />
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}6n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Um das Gleichungssystem per Hand zu lösen, behalten wir die erste Gleichung bei und ersetzen die zweite durch die Summe der beiden Gleichungen wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}9n_1 &&\; + \;&& 0n_2 &&\; + \;&& 7n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Zur Berechnung eines allgemeinen Normalenvektors formen wir die zweite Gleichung um und erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}9n_1 + 7n_2 &= 0 & &\mid -7n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & {-}9n_1 &= {-}7n_3 & &\mid :{-}7\\<br />
\Leftrightarrow & & \tfrac{9}{7}n_1 &= n_3 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen von <math>n_1</math> und <math>n_3=\tfrac{9}{7}n_1</math> in die erste Gleichung erhalten wir auch <math>n_2</math> als von <math>n_1</math> abhängigen Wert mit <math>n_2=\tfrac{15}{7}</math>. Damit ergibt sich der allgemeine Normalenvektor:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{15}{7} n_1 \\ \tfrac{9}{7} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = {-}7</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}15</math> und für <math>n_3 = {-}9</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Außerdem nutzen wir <math>\vec{OA}</math> als Aufpunkt und erhalten somit:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir nutzen den eben berechneten Normalenvektor auch zum Aufstellen der Koordinatenform.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Skalarprodukts des Normalenvektors mit dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>(-7 \cdot 7) + ((-15) \cdot 2) + ((-9) \cdot (-1)) =-70</math><br />
<br />
Damit ergibt sich folgende Koordinatengleichung:<br />
<br />
<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=-70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50;Arbeiten mit den unterschiedlichen Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Modellierung eines Tisches (Koordinaten- und Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
Zusatz: Gebe auch die Normalenform an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und könnte beim Aufstellen der Normalen- oder Parametergleichung der Ebene als Aufpunkt genutzt werden. <br />
Den Normalenvektor, dessen Einträge wir als Koeffizienten der Koordinatengleichung der Ebene nutzen, berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Das heißt, wir erhalten für den Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OT}</math>:<br />
<br />
<math>0 \cdot 4 + 0 \cdot 5 + ({-}8) \cdot 8={-}64</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:{-}8x_3={-}64</math> <br />
<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in Aufgabe 9 "Normalenvektor berechnen". Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 28n_1 + 24n_2 &= 0 & &\mid -24n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 28n_1 &= -24n_2 & &\mid :(-24)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{28}{24}n_1 &= n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{7}{6}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von <math>n_1</math> abhängigen Werte, in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}7}{6} n_1 \\ -\tfrac{196}{3} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 6</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}7</math> und für <math>n_3 = 392</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix} </math> <br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /></div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50819Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-18T19:36:26Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Punktprobe | <br />
Gegeben ist die Ebene <math>E</math> mit<br />
<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''a)''' Liegt der Punkt <math>A (7|5|{-}3)</math> in der Ebene?<br />
<br />
'''b)''' Liegt der Punkt <math>B (7|1|8)</math> in der Ebene? <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ {-}3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
5 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
{-}3 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat keine Lösung (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>A</math> liegt also nicht in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
8 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat die Lösung <math>r=1</math> und <math>s=2</math> (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>B</math> liegt also in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachtet man, wie im Tipp angegeben, die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene, so ist also der Schnittpunkt mit der <math>x_3</math>-Achse gesucht. <br />
Um die Lösung zu erhalten kann also für <math>\vec{x}</math> den Vektor <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> einsetzen. Berechnet man mithilfe der dritten Zeile den Parameter, ergibt sich aus <br />
<math>0 = {-}256+r \cdot 8</math> das Ergebnis <math>r=32</math>. Damit lassen sich im Anschluss die fehlenden Koordinaten berechnen. <br />
Es ergibt sich insgesamt als Lösung:<br />
<math>g \colon =\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Geradlinig begrenzte Flächen==<br />
{{Box|Merksatz: Geradlinig begrenzte Flächen| <br />
Nicht immer ist es ausreichend zu wissen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt. Betrachtet man Sachaufgaben, so ist häufig eine begrenzte Fläche gegeben, die als Ebene modelliert wird. Die Ebene ist also in der Realität beschränkt. Dabei muss dann zunächst untersucht werden, durch welche Werte der Parameter die Fläche begrenzt wird. Es bietet sich häufig an, dafür die Eckpunkte zu betrachten. Stellt man fest, dass ein zu untersuchender Punkt in der Ebene liegt, muss im zweiten Schritt daher untersucht werden, ob die berechneten Parameter im „erlaubten Bereich“ liegen.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Dachfläche | <br />
In der Skizze ist das Dach eines Hauses zu sehen. Die im Bild sichtbare Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{v}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> gehören (Angaben in m). <br />
Die Dachfläche misst <math>9</math>m mal <math>7</math>m. <br />
<br />
'''a)''' Bestimmen Sie eine Parametergleichung für die Ebene, in der die Dachfläche liegt. <br />
<br />
'''b)''' Man kann alle Punkte der Dachfläche beschreiben, indem man die Parameter für die Ebene einschränkt. Führen Sie dies durch. <br />
<br />
'''c)''' Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte der Dachfläche an. Bestimmen Sie außerdem drei Punkte, die außerhalb der Dachfläche, aber in derselben Ebene wie die Dachfläche liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Eine Parametergleichung für die Ebene lautet: <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>|2=Lösung zu a) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>|\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}| = 2</math> ; <math> |\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}| = \sqrt{8}</math><br />
<br />
Für die Parameter gilt: <math>0 \le r \le 4{,}5</math> und <math>0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math><br />
<br />
Die Punkte der Dachfläche können beschrieben werden durch die Parameterdarstellung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} ; 0 \le r \le 4{,}5 ; 0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math>|2=Lösung zu b) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>\vec{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>B ({-}4{,}95|9|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>C ({-}4{,}95|0|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>D (0|0|4)</math><br />
<br />
Punkte, die außerhalb der Dachfläche liegen:<br />
z.B.: <br />
<br />
<math>r=5, s=4 </math> <math>P_1({-}8|{-}1|12)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s={-}1</math> <math>P_2(2|11|2)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s=0 </math> <math>P_3(0|11|4)</math>|2=Lösung zu c) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
|Arbeitsmethode }} <br />
<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Verfahren: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Skalarprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese zwei Gleichungen können auf diese Weise aufgestellt werden, da <math> \vec{n} </math> orthogonal auf der Ebene steht. Daher wissen wir, dass <math> \vec{n} </math> orthogonal auf den beiden Spannvektoren steht. Außerdem ist bekannt, dass das Skalarprodukt von zwei orthogonalen Vektoren gleich Null ist.<br />
Im Folgenden bilden diese beiden Gleichungen ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Für das Gleichungssystem gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. Löse es, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest.<br />
Wichtig: Das <math>n</math>, das du frei wählst, muss in beiden Gleichungen enthalten sein. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform <br />
<br />
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform- und Koordinatenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
Zusatz: Bestimme auch die Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> <br />
<br />
Die Koeffizienten der Koordinatengleichung können wir dem Normalenvektor entnehmen. <br />
Ansatz der Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OQ} \cdot \vec{n}</math>. Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man also das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OQ}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>{-}3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + ({-}6) \cdot 3 = {-}23</math>.<br />
Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3={-}23</math>|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
<br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <br />
<br />
Hieraus folgt:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
n_1 &&\; - \;&& n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
n_1 &&\; - \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Willst du das Gleichungssystem per Hand lösen kannst du in der ersten Gleichung auf beiden Seite <math>+n_2</math> rechnen und erhält <math>n_1 = n_2</math>. Das Ergebnis für <math>n_1</math> setzt du in die zweite Gleichung ein und berechnest so <math>n_3</math> in Abhängigkeit von <math>n_2</math> und erhälst:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}2n_2 + 4n_3 &= 0 & &\mid +2n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 4n_3 &= 2n_2 & &\mid :4\\<br />
\Leftrightarrow & & n_3 &= \tfrac{1}{2} n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_2 \\ n_2 \\ \tfrac{1}{2} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=12</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=12</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}2n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in den vorherigen Aufgaben. Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 1n_1 + 3n_2 &= 0 & &\mid -3n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & n_1 &= -3n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} {-}3n_2 \\ n_2 \\ -\tfrac{7}{3} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_2</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_2 = {-}3</math> ist, dann folgt für <math>n_1 = 9</math> und für <math>n_3 = 7</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zum Aufstellen einer möglichen Parametergleichung wählen wir beispielsweise den Punkt <math>A</math> als Aufpukt. Die Richtungsvektoren können beispielsweise berechnet werden durch <math>\vec{AB}</math> als ersten Richtungsvektor und <math>\vec{AC}</math> als zweiten. Somit setzt sich die Ebenengleichung wie folgt zusammen:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \vec{OA} + s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AC}</math>.<br />
<br />
Damit ergibt sich:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Da ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein muss gilt <br />
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}6n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Um das Gleichungssystem per Hand zu lösen, behalten wir die erste Gleichung bei und ersetzen die zweite durch die Summe der beiden Gleichungen wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}9n_1 &&\; + \;&& 0n_2 &&\; + \;&& 7n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Zur Berechnung eines allgemeinen Normalenvektors formen wir die zweite Gleichung um und erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}9n_1 + 7n_2 &= 0 & &\mid -7n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & {-}9n_1 &= {-}7n_3 & &\mid :{-}7\\<br />
\Leftrightarrow & & \tfrac{9}{7}n_1 &= n_3 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen von <math>n_1</math> und <math>n_3=\tfrac{9}{7}n_1</math> in die erste Gleichung erhalten wir auch <math>n_2</math> als von <math>n_1</math> abhängigen Wert mit <math>n_2=\tfrac{15}{7}</math>. Damit ergibt sich der allgemeine Normalenvektor:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{15}{7} n_1 \\ \tfrac{9}{7} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = {-}7</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}15</math> und für <math>n_3 = {-}9</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Außerdem nutzen wir <math>\vec{OA}</math> als Aufpunkt und erhalten somit:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir nutzen den eben berechneten Normalenvektor auch zum Aufstellen der Koordinatenform.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Skalarprodukts des Normalenvektors mit dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>(-7 \cdot 7) + ((-15) \cdot 2) + ((-9) \cdot (-1)) =-70</math><br />
<br />
Damit ergibt sich folgende Koordinatengleichung:<br />
<br />
<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=-70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===&#x2B50;Arbeiten mit den unterschiedlichen Ebenengleichungen===<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Modellierung eines Tisches (Koordinaten- und Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
Zusatz: Gebe auch die Normalenform an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und könnte beim Aufstellen der Normalen- oder Parametergleichung der Ebene als Aufpunkt genutzt werden. <br />
Den Normalenvektor, dessen Einträge wir als Koeffizienten der Koordinatengleichung der Ebene nutzen, berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Das heißt, wir erhalten für den Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OT}</math>:<br />
<br />
<math>0 \cdot 4 + 0 \cdot 5 + ({-}8) \cdot 8={-}64</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:{-}8x_3={-}64</math> <br />
<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in Aufgabe 9 "Normalenvektor berechnen". Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 28n_1 + 24n_2 &= 0 & &\mid -24n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 28n_1 &= -24n_2 & &\mid :(-24)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{28}{24}n_1 &= n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{7}{6}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von <math>n_1</math> abhängigen Werte, in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}7}{6} n_1 \\ -\tfrac{196}{3} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 6</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}7</math> und für <math>n_3 = 392</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix} </math> <br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /></div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50818Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-18T19:29:37Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Punktprobe | <br />
Gegeben ist die Ebene <math>E</math> mit<br />
<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''a)''' Liegt der Punkt <math>A (7|5|{-}3)</math> in der Ebene?<br />
<br />
'''b)''' Liegt der Punkt <math>B (7|1|8)</math> in der Ebene? <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ {-}3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
5 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
{-}3 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat keine Lösung (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>A</math> liegt also nicht in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
8 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat die Lösung <math>r=1</math> und <math>s=2</math> (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>B</math> liegt also in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachtet man, wie im Tipp angegeben, die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene, so ist also der Schnittpunkt mit der <math>x_3</math>-Achse gesucht. <br />
Um die Lösung zu erhalten kann also für <math>\vec{x}</math> den Vektor <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> einsetzen. Berechnet man mithilfe der dritten Zeile den Parameter, ergibt sich aus <br />
<math>0 = {-}256+r \cdot 8</math> das Ergebnis <math>r=32</math>. Damit lassen sich im Anschluss die fehlenden Koordinaten berechnen. <br />
Es ergibt sich insgesamt als Lösung:<br />
<math>g \colon =\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Geradlinig begrenzte Flächen==<br />
{{Box|Merksatz: Geradlinig begrenzte Flächen| <br />
Nicht immer ist es ausreichend zu wissen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt. Betrachtet man Sachaufgaben, so ist häufig eine begrenzte Fläche gegeben, die als Ebene modelliert wird. Die Ebene ist also in der Realität beschränkt. Dabei muss dann zunächst untersucht werden, durch welche Werte der Parameter die Fläche begrenzt wird. Es bietet sich häufig an, dafür die Eckpunkte zu betrachten. Stellt man fest, dass ein zu untersuchender Punkt in der Ebene liegt, muss im zweiten Schritt daher untersucht werden, ob die berechneten Parameter im „erlaubten Bereich“ liegen.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Dachfläche | <br />
In der Skizze ist das Dach eines Hauses zu sehen. Die im Bild sichtbare Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{v}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> gehören (Angaben in m). <br />
Die Dachfläche misst <math>9</math>m mal <math>7</math>m. <br />
<br />
'''a)''' Bestimmen Sie eine Parametergleichung für die Ebene, in der die Dachfläche liegt. <br />
<br />
'''b)''' Man kann alle Punkte der Dachfläche beschreiben, indem man die Parameter für die Ebene einschränkt. Führen Sie dies durch. <br />
<br />
'''c)''' Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte der Dachfläche an. Bestimmen Sie außerdem drei Punkte, die außerhalb der Dachfläche, aber in derselben Ebene wie die Dachfläche liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Eine Parametergleichung für die Ebene lautet: <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>|2=Lösung zu a) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>|\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}| = 2</math>; <math> |\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}| = \sqrt{8}</math><br />
<br />
Für die Parameter gilt: <math>0 \le r \le 4{,}5</math> und <math>0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math><br />
<br />
Die Punkte der Dachfläche können beschrieben werden durch die Parameterdarstellung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} ; 0 \le r \le 4{,}5 ; 0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math>|2=Lösung zu b) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>\vec{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>B ({-}4{,}95|9|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>C ({-}4{,}95|0|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>D (0|0|4)</math><br />
<br />
Punkte, die außerhalb der Dachfläche liegen:<br />
z.B.: <br />
<br />
<math>r=5, s=4 </math> <math>P_1({-}8|{-}1|12)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s={-}1</math> <math>P_2(2|11|2)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s=0 </math> <math>P_3(0|11|4)</math>|2=Lösung zu c) anzeigen |3=Lösung verbergen}}| Arbeitsmethode }} <br />
<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Verfahren: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Skalarprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese zwei Gleichungen können auf diese Weise aufgestellt werden, da <math> \vec{n} </math> orthogonal auf der Ebene steht. Daher wissen wir, dass <math> \vec{n} </math> orthogonal auf den beiden Spannvektoren steht. Außerdem ist bekannt, dass das Skalarprodukt von zwei orthogonalen Vektoren gleich Null ist.<br />
Im Folgenden bilden diese beiden Gleichungen ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Für das Gleichungssystem gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. Löse es, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest.<br />
Wichtig: Das <math>n</math>, das du frei wählst, muss in beiden Gleichungen enthalten sein. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform <br />
<br />
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform- und Koordinatenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
Zusatz: Bestimme auch die Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> <br />
<br />
Die Koeffizienten der Koordinatengleichung können wir dem Normalenvektor entnehmen. <br />
Ansatz der Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OQ} \cdot \vec{n}</math>. Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man also das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OQ}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>{-}3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + ({-}6) \cdot 3 = {-}23</math>.<br />
Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3={-}23</math>|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
<br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <br />
<br />
Hieraus folgt:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
n_1 &&\; - \;&& n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
n_1 &&\; - \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Willst du das Gleichungssystem per Hand lösen kannst du in der ersten Gleichung auf beiden Seite <math>+n_2</math> rechnen und erhält <math>n_1 = n_2</math>. Das Ergebnis für <math>n_1</math> setzt du in die zweite Gleichung ein und berechnest so <math>n_3</math> in Abhängigkeit von <math>n_2</math> und erhälst:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}2n_2 + 4n_3 &= 0 & &\mid +2n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 4n_3 &= 2n_2 & &\mid :4\\<br />
\Leftrightarrow & & n_3 &= \tfrac{1}{2} n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_2 \\ n_2 \\ \tfrac{1}{2} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=12</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=12</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}2n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in den vorherigen Aufgaben. Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 1n_1 + 3n_2 &= 0 & &\mid -3n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & n_1 &= -3n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} {-}3n_2 \\ n_2 \\ -\tfrac{7}{3} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_2</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_2 = {-}3</math> ist, dann folgt für <math>n_1 = 9</math> und für <math>n_3 = 7</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zum Aufstellen einer möglichen Parametergleichung wählen wir beispielsweise den Punkt <math>A</math> als Aufpukt. Die Richtungsvektoren können beispielsweise berechnet werden durch <math>\vec{AB}</math> als ersten Richtungsvektor und <math>\vec{AC}</math> als zweiten. Somit setzt sich die Ebenengleichung wie folgt zusammen:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \vec{OA} + s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AC}</math>.<br />
<br />
Damit ergibt sich:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Da ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein muss gilt <br />
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}6n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Um das Gleichungssystem per Hand zu lösen, behalten wir die erste Gleichung bei und ersetzen die zweite durch die Summe der beiden Gleichungen wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}9n_1 &&\; + \;&& 0n_2 &&\; + \;&& 7n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Zur Berechnung eines allgemeinen Normalenvektors formen wir die zweite Gleichung um und erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}9n_1 + 7n_2 &= 0 & &\mid -7n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & {-}9n_1 &= {-}7n_3 & &\mid :{-}7\\<br />
\Leftrightarrow & & \tfrac{9}{7}n_1 &= n_3 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen von <math>n_1</math> und <math>n_3=\tfrac{9}{7}n_1</math> in die erste Gleichung erhalten wir auch <math>n_2</math> als von <math>n_1</math> abhängigen Wert mit <math>n_2=\tfrac{15}{7}</math>. Damit ergibt sich der allgemeine Normalenvektor:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{15}{7} n_1 \\ \tfrac{9}{7} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = {-}7</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}15</math> und für <math>n_3 = {-}9</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Außerdem nutzen wir <math>\vec{OA}</math> als Aufpunkt und erhalten somit:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir nutzen den eben berechneten Normalenvektor auch zum Aufstellen der Koordinatenform.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Skalarprodukts des Normalenvektors mit dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>(-7 \cdot 7) + ((-15) \cdot 2) + ((-9) \cdot (-1)) =-70</math><br />
<br />
Damit ergibt sich folgende Koordinatengleichung:<br />
<br />
<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=-70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===&#x2B50;Arbeiten mit den unterschiedlichen Ebenengleichungen===<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Modellierung eines Tisches (Koordinaten- und Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
Zusatz: Gebe auch die Normalenform an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und könnte beim Aufstellen der Normalen- oder Parametergleichung der Ebene als Aufpunkt genutzt werden. <br />
Den Normalenvektor, dessen Einträge wir als Koeffizienten der Koordinatengleichung der Ebene nutzen, berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Das heißt, wir erhalten für den Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OT}</math>:<br />
<br />
<math>0 \cdot 4 + 0 \cdot 5 + ({-}8) \cdot 8={-}64</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:{-}8x_3={-}64</math> <br />
<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in Aufgabe 9 "Normalenvektor berechnen". Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 28n_1 + 24n_2 &= 0 & &\mid -24n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 28n_1 &= -24n_2 & &\mid :(-24)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{28}{24}n_1 &= n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{7}{6}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von <math>n_1</math> abhängigen Werte, in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}7}{6} n_1 \\ -\tfrac{196}{3} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 6</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}7</math> und für <math>n_3 = 392</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix} </math> <br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /></div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50817Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-18T19:22:32Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Punktprobe | <br />
Gegeben ist die Ebene <math>E</math> mit<br />
<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''a)''' Liegt der Punkt <math>A (7|5|{-}3)</math> in der Ebene?<br />
<br />
'''b)''' Liegt der Punkt <math>B (7|1|8)</math> in der Ebene? <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ {-}3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
5 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
{-}3 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat keine Lösung (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>A</math> liegt also nicht in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
8 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat die Lösung <math>r=1</math> und <math>s=2</math> (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>B</math> liegt also in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachtet man, wie im Tipp angegeben, die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene, so ist also der Schnittpunkt mit der <math>x_3</math>-Achse gesucht. <br />
Um die Lösung zu erhalten kann also für <math>\vec{x}</math> den Vektor <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> einsetzen. Berechnet man mithilfe der dritten Zeile den Parameter, ergibt sich aus <br />
<math>0 = {-}256+r \cdot 8</math> das Ergebnis <math>r=32</math>. Damit lassen sich im Anschluss die fehlenden Koordinaten berechnen. <br />
Es ergibt sich insgesamt als Lösung:<br />
<math>g \colon =\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Geradlinig begrenzte Flächen==<br />
{{Box|Merksatz: Geradlinig begrenzte Flächen| <br />
Nicht immer ist es ausreichend zu wissen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt. Betrachtet man Sachaufgaben, so ist häufig eine begrenzte Fläche gegeben, die als Ebene modelliert wird. Die Ebene ist also in der Realität beschränkt. Dabei muss dann zunächst untersucht werden, durch welche Werte der Parameter die Fläche begrenzt wird. Es bietet sich häufig an, dafür die Eckpunkte zu betrachten. Stellt man fest, dass ein zu untersuchender Punkt in der Ebene liegt, muss im zweiten Schritt daher untersucht werden, ob die berechneten Parameter im „erlaubten Bereich“ liegen.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Dachfläche | <br />
In der Skizze ist das Dach eines Hauses zu sehen. Die im Bild sichtbare Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{v}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> gehören (Angaben in m). <br />
Die Dachfläche misst <math>9</math>m mal <math>7</math>m. <br />
<br />
'''a)''' Bestimmen Sie eine Parametergleichung für die Ebene, in der die Dachfläche liegt. <br />
<br />
'''b)''' Man kann alle Punkte der Dachfläche beschreiben, indem man die Parameter für die Ebene einschränkt. Führen Sie dies durch. <br />
<br />
'''c)''' Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte der Dachfläche an. Bestimmen Sie außerdem drei Punkte, die außerhalb der Dachfläche, aber in derselben Ebene wie die Dachfläche liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Eine Parametergleichung für die Ebene lautet: <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>|2=Lösung zu a) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>|\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}\| = 2</math>; <math> |\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}| = \sqrt{8}</math><br />
<br />
Für die Parameter gilt: <math>0 \le r \le 4{,}5</math> und <math>0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math><br />
<br />
Die Punkte der Dachfläche können beschrieben werden durch die Parameterdarstellung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} ; 0 \le r \le 4{,}5 ; 0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math>|2=Lösung zu b) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>\vec{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>B ({-}4{,}95|9|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>C ({-}4{,}95|0|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>D (0|0|4)</math><br />
<br />
Punkte, die außerhalb der Dachfläche liegen:<br />
z.B.: <br />
<math>r=5, s=4 </math> <math>P_1({-}8|{-}1|12)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s={-}1</math> <math>P_2(2|11|2)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s=0 </math> <math>P_3(0|11|4)</math>|2=Lösung zu c) anzeigen |3=Lösung verbergen}}| Arbeitsmethode }} <br />
<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Verfahren: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Skalarprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese zwei Gleichungen können auf diese Weise aufgestellt werden, da <math> \vec{n} </math> orthogonal auf der Ebene steht. Daher wissen wir, dass <math> \vec{n} </math> orthogonal auf den beiden Spannvektoren steht. Außerdem ist bekannt, dass das Skalarprodukt von zwei orthogonalen Vektoren gleich Null ist.<br />
Im Folgenden bilden diese beiden Gleichungen ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Für das Gleichungssystem gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. Löse es, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest.<br />
Wichtig: Das <math>n</math>, das du frei wählst, muss in beiden Gleichungen enthalten sein. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform <br />
<br />
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform- und Koordinatenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
Zusatz: Bestimme auch die Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> <br />
<br />
Die Koeffizienten der Koordinatengleichung können wir dem Normalenvektor entnehmen. <br />
Ansatz der Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OQ} \cdot \vec{n}</math>. Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man also das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OQ}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>{-}3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + ({-}6) \cdot 3 = {-}23</math>.<br />
Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3={-}23</math>|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
<br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <br />
<br />
Hieraus folgt:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
n_1 &&\; - \;&& n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
n_1 &&\; - \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Willst du das Gleichungssystem per Hand lösen kannst du in der ersten Gleichung auf beiden Seite <math>+n_2</math> rechnen und erhält <math>n_1 = n_2</math>. Das Ergebnis für <math>n_1</math> setzt du in die zweite Gleichung ein und berechnest so <math>n_3</math> in Abhängigkeit von <math>n_2</math> und erhälst:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}2n_2 + 4n_3 &= 0 & &\mid +2n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 4n_3 &= 2n_2 & &\mid :4\\<br />
\Leftrightarrow & & n_3 &= \tfrac{1}{2} n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_2 \\ n_2 \\ \tfrac{1}{2} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=12</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=12</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}2n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in den vorherigen Aufgaben. Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 1n_1 + 3n_2 &= 0 & &\mid -3n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & n_1 &= -3n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} {-}3n_2 \\ n_2 \\ -\tfrac{7}{3} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_2</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_2 = {-}3</math> ist, dann folgt für <math>n_1 = 9</math> und für <math>n_3 = 7</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zum Aufstellen einer möglichen Parametergleichung wählen wir beispielsweise den Punkt <math>A</math> als Aufpukt. Die Richtungsvektoren können beispielsweise berechnet werden durch <math>\vec{AB}</math> als ersten Richtungsvektor und <math>\vec{AC}</math> als zweiten. Somit setzt sich die Ebenengleichung wie folgt zusammen:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \vec{OA} + s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AC}</math>.<br />
<br />
Damit ergibt sich:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Da ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein muss gilt <br />
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}6n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Um das Gleichungssystem per Hand zu lösen, behalten wir die erste Gleichung bei und ersetzen die zweite durch die Summe der beiden Gleichungen wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}9n_1 &&\; + \;&& 0n_2 &&\; + \;&& 7n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Zur Berechnung eines allgemeinen Normalenvektors formen wir die zweite Gleichung um und erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}9n_1 + 7n_2 &= 0 & &\mid -7n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & {-}9n_1 &= {-}7n_3 & &\mid :{-}7\\<br />
\Leftrightarrow & & \tfrac{9}{7}n_1 &= n_3 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen von <math>n_1</math> und <math>n_3=\tfrac{9}{7}n_1</math> in die erste Gleichung erhalten wir auch <math>n_2</math> als von <math>n_1</math> abhängigen Wert mit <math>n_2=\tfrac{15}{7}</math>. Damit ergibt sich der allgemeine Normalenvektor:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{15}{7} n_1 \\ \tfrac{9}{7} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = {-}7</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}15</math> und für <math>n_3 = {-}9</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Außerdem nutzen wir <math>\vec{OA}</math> als Aufpunkt und erhalten somit:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir nutzen den eben berechneten Normalenvektor auch zum Aufstellen der Koordinatenform.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Skalarprodukts des Normalenvektors mit dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>(-7 \cdot 7) + ((-15) \cdot 2) + ((-9) \cdot (-1)) =-70</math><br />
<br />
Damit ergibt sich folgende Koordinatengleichung:<br />
<br />
<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=-70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===&#x2B50;Arbeiten mit den unterschiedlichen Ebenengleichungen===<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Modellierung eines Tisches (Koordinaten- und Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
Zusatz: Gebe auch die Normalenform an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und könnte beim Aufstellen der Normalen- oder Parametergleichung der Ebene als Aufpunkt genutzt werden. <br />
Den Normalenvektor, dessen Einträge wir als Koeffizienten der Koordinatengleichung der Ebene nutzen, berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Das heißt, wir erhalten für den Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OT}</math>:<br />
<br />
<math>0 \cdot 4 + 0 \cdot 5 + ({-}8) \cdot 8={-}64</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:{-}8x_3={-}64</math> <br />
<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in Aufgabe 9 "Normalenvektor berechnen". Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 28n_1 + 24n_2 &= 0 & &\mid -24n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 28n_1 &= -24n_2 & &\mid :(-24)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{28}{24}n_1 &= n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{7}{6}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von <math>n_1</math> abhängigen Werte, in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}7}{6} n_1 \\ -\tfrac{196}{3} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 6</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}7</math> und für <math>n_3 = 392</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix} </math> <br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /></div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50816Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-18T19:21:00Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Punktprobe | <br />
Gegeben ist die Ebene <math>E</math> mit<br />
<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''a)''' Liegt der Punkt <math>A (7|5|{-}3)</math> in der Ebene?<br />
<br />
'''b)''' Liegt der Punkt <math>B (7|1|8)</math> in der Ebene? <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ {-}3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
5 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
{-}3 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat keine Lösung (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>A</math> liegt also nicht in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
8 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat die Lösung <math>r=1</math> und <math>s=2</math> (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>B</math> liegt also in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachtet man, wie im Tipp angegeben, die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene, so ist also der Schnittpunkt mit der <math>x_3</math>-Achse gesucht. <br />
Um die Lösung zu erhalten kann also für <math>\vec{x}</math> den Vektor <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> einsetzen. Berechnet man mithilfe der dritten Zeile den Parameter, ergibt sich aus <br />
<math>0 = {-}256+r \cdot 8</math> das Ergebnis <math>r=32</math>. Damit lassen sich im Anschluss die fehlenden Koordinaten berechnen. <br />
Es ergibt sich insgesamt als Lösung:<br />
<math>g \colon =\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Geradlinig begrenzte Flächen==<br />
{{Box|Merksatz: Geradlinig begrenzte Flächen| <br />
Nicht immer ist es ausreichend zu wissen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt. Betrachtet man Sachaufgaben, so ist häufig eine begrenzte Fläche gegeben, die als Ebene modelliert wird. Die Ebene ist also in der Realität beschränkt. Dabei muss dann zunächst untersucht werden, durch welche Werte der Parameter die Fläche begrenzt wird. Es bietet sich häufig an, dafür die Eckpunkte zu betrachten. Stellt man fest, dass ein zu untersuchender Punkt in der Ebene liegt, muss im zweiten Schritt daher untersucht werden, ob die berechneten Parameter im „erlaubten Bereich“ liegen.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Dachfläche | <br />
In der Skizze ist das Dach eines Hauses zu sehen. Die im Bild sichtbare Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{v}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> gehören (Angaben in m). <br />
Die Dachfläche misst <math>9</math>m mal <math>7</math>m. <br />
<br />
'''a)''' Bestimmen Sie eine Parametergleichung für die Ebene, in der die Dachfläche liegt. <br />
<br />
'''b)''' Man kann alle Punkte der Dachfläche beschreiben, indem man die Parameter für die Ebene einschränkt. Führen Sie dies durch. <br />
<br />
'''c)''' Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte der Dachfläche an. Bestimmen Sie außerdem drei Punkte, die außerhalb der Dachfläche, aber in derselben Ebene wie die Dachfläche liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Eine Parametergleichung für die Ebene lautet: <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>|2=Lösung zu a) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>|\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}\| = 2</math>; <math> |\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}| = \sqrt{8}</math><br />
<br />
Für die Parameter gilt: <math>0 \le r \le 4{,}5</math> und <math>0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math><br />
<br />
Die Punkte der Dachfläche können beschrieben werden durch die Parameterdarstellung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} ; 0 \le r \le 4{,}5 ; 0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math>|2=Lösung zu b) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>\vec{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>B ({-}4{,}95|9|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>C ({-}4{,}95|0|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>D (0|0|4)</math><br />
<br />
Punkte, die außerhalb der Dachfläche liegen:<br />
z.B.: <br />
<br />
<math>r=5, s=4 </math> <math>P_1({-}8|{-}1|12)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s={-}1</math> <math>P_2(2|11|2)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s=0 </math> <math>P_3(0|11|4)</math>|2=Lösung zu c) anzeigen |3=Lösung verbergen}}| Arbeitsmethode }} <br />
<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Verfahren: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Skalarprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese zwei Gleichungen können auf diese Weise aufgestellt werden, da <math> \vec{n} </math> orthogonal auf der Ebene steht. Daher wissen wir, dass <math> \vec{n} </math> orthogonal auf den beiden Spannvektoren steht. Außerdem ist bekannt, dass das Skalarprodukt von zwei orthogonalen Vektoren gleich Null ist.<br />
Im Folgenden bilden diese beiden Gleichungen ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Für das Gleichungssystem gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. Löse es, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest.<br />
Wichtig: Das <math>n</math>, das du frei wählst, muss in beiden Gleichungen enthalten sein. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform <br />
<br />
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform- und Koordinatenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
Zusatz: Bestimme auch die Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> <br />
<br />
Die Koeffizienten der Koordinatengleichung können wir dem Normalenvektor entnehmen. <br />
Ansatz der Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OQ} \cdot \vec{n}</math>. Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man also das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OQ}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>{-}3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + ({-}6) \cdot 3 = {-}23</math>.<br />
Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3={-}23</math>|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
<br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <br />
<br />
Hieraus folgt:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
n_1 &&\; - \;&& n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
n_1 &&\; - \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Willst du das Gleichungssystem per Hand lösen kannst du in der ersten Gleichung auf beiden Seite <math>+n_2</math> rechnen und erhält <math>n_1 = n_2</math>. Das Ergebnis für <math>n_1</math> setzt du in die zweite Gleichung ein und berechnest so <math>n_3</math> in Abhängigkeit von <math>n_2</math> und erhälst:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}2n_2 + 4n_3 &= 0 & &\mid +2n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 4n_3 &= 2n_2 & &\mid :4\\<br />
\Leftrightarrow & & n_3 &= \tfrac{1}{2} n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_2 \\ n_2 \\ \tfrac{1}{2} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=12</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=12</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}2n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in den vorherigen Aufgaben. Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 1n_1 + 3n_2 &= 0 & &\mid -3n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & n_1 &= -3n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} {-}3n_2 \\ n_2 \\ -\tfrac{7}{3} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_2</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_2 = {-}3</math> ist, dann folgt für <math>n_1 = 9</math> und für <math>n_3 = 7</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zum Aufstellen einer möglichen Parametergleichung wählen wir beispielsweise den Punkt <math>A</math> als Aufpukt. Die Richtungsvektoren können beispielsweise berechnet werden durch <math>\vec{AB}</math> als ersten Richtungsvektor und <math>\vec{AC}</math> als zweiten. Somit setzt sich die Ebenengleichung wie folgt zusammen:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \vec{OA} + s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AC}</math>.<br />
<br />
Damit ergibt sich:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Da ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein muss gilt <br />
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}6n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Um das Gleichungssystem per Hand zu lösen, behalten wir die erste Gleichung bei und ersetzen die zweite durch die Summe der beiden Gleichungen wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}9n_1 &&\; + \;&& 0n_2 &&\; + \;&& 7n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Zur Berechnung eines allgemeinen Normalenvektors formen wir die zweite Gleichung um und erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}9n_1 + 7n_2 &= 0 & &\mid -7n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & {-}9n_1 &= {-}7n_3 & &\mid :{-}7\\<br />
\Leftrightarrow & & \tfrac{9}{7}n_1 &= n_3 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen von <math>n_1</math> und <math>n_3=\tfrac{9}{7}n_1</math> in die erste Gleichung erhalten wir auch <math>n_2</math> als von <math>n_1</math> abhängigen Wert mit <math>n_2=\tfrac{15}{7}</math>. Damit ergibt sich der allgemeine Normalenvektor:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{15}{7} n_1 \\ \tfrac{9}{7} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = {-}7</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}15</math> und für <math>n_3 = {-}9</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Außerdem nutzen wir <math>\vec{OA}</math> als Aufpunkt und erhalten somit:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir nutzen den eben berechneten Normalenvektor auch zum Aufstellen der Koordinatenform.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Skalarprodukts des Normalenvektors mit dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>(-7 \cdot 7) + ((-15) \cdot 2) + ((-9) \cdot (-1)) =-70</math><br />
<br />
Damit ergibt sich folgende Koordinatengleichung:<br />
<br />
<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=-70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===&#x2B50;Arbeiten mit den unterschiedlichen Ebenengleichungen===<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Modellierung eines Tisches (Koordinaten- und Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
Zusatz: Gebe auch die Normalenform an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und könnte beim Aufstellen der Normalen- oder Parametergleichung der Ebene als Aufpunkt genutzt werden. <br />
Den Normalenvektor, dessen Einträge wir als Koeffizienten der Koordinatengleichung der Ebene nutzen, berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Das heißt, wir erhalten für den Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OT}</math>:<br />
<br />
<math>0 \cdot 4 + 0 \cdot 5 + ({-}8) \cdot 8={-}64</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:{-}8x_3={-}64</math> <br />
<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in Aufgabe 9 "Normalenvektor berechnen". Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 28n_1 + 24n_2 &= 0 & &\mid -24n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 28n_1 &= -24n_2 & &\mid :(-24)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{28}{24}n_1 &= n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{7}{6}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von <math>n_1</math> abhängigen Werte, in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}7}{6} n_1 \\ -\tfrac{196}{3} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 6</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}7</math> und für <math>n_3 = 392</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix} </math> <br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /></div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50815Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-18T19:06:22Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Punktprobe | <br />
Gegeben ist die Ebene <math>E</math> mit<br />
<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''a)''' Liegt der Punkt <math>A (7|5|{-}3)</math> in der Ebene?<br />
<br />
'''b)''' Liegt der Punkt <math>B (7|1|8)</math> in der Ebene? <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ {-}3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
5 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
{-}3 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat keine Lösung (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>A</math> liegt also nicht in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
8 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat die Lösung <math>r=1</math> und <math>s=2</math> (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>B</math> liegt also in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachtet man, wie im Tipp angegeben, die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene, so ist also der Schnittpunkt mit der <math>x_3</math>-Achse gesucht. <br />
Um die Lösung zu erhalten kann also für <math>\vec{x}</math> den Vektor <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> einsetzen. Berechnet man mithilfe der dritten Zeile den Parameter, ergibt sich aus <br />
<math>0 = {-}256+r \cdot 8</math> das Ergebnis <math>r=32</math>. Damit lassen sich im Anschluss die fehlenden Koordinaten berechnen. <br />
Es ergibt sich insgesamt als Lösung:<br />
<math>g \colon =\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Geradlinig begrenzte Flächen==<br />
{{Box|Merksatz: Geradlinig begrenzte Flächen| <br />
Nicht immer ist es ausreichend zu wissen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt. Betrachtet man Sachaufgaben, so ist häufig eine begrenzte Fläche gegeben, die als Ebene modelliert wird. Die Ebene ist also in der Realität beschränkt. Dabei muss dann zunächst untersucht werden, durch welche Werte der Parameter die Fläche begrenzt wird. Es bietet sich häufig an, dafür die Eckpunkte zu betrachten. Stellt man fest, dass ein zu untersuchender Punkt in der Ebene liegt, muss im zweiten Schritt daher untersucht werden, ob die berechneten Parameter im „erlaubten Bereich“ liegen.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Dachfläche | <br />
In der Skizze ist das Dach eines Hauses zu sehen. Die im Bild sichtbare Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{v}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> gehören (Angaben in m). <br />
Die Dachfläche misst <math>9</math>m mal <math>7</math>m. <br />
<br />
'''a)''' Bestimmen Sie eine Parametergleichung für die Ebene, in der die Dachfläche liegt. <br />
<br />
'''b)''' Man kann alle Punkte der Dachfläche beschreiben, indem man die Parameter für die Ebene einschränkt. Führen Sie dies durch. <br />
<br />
'''c)''' Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte der Dachfläche an. Bestimmen Sie außerdem drei Punkte, die außerhalb der Dachfläche, aber in derselben Ebene wie die Dachfläche liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Eine Parametergleichung für die Ebene lautet: <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>|2=Lösung zu a) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>|\\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0} \end{pmatrix}| = 2</math>; <math> |\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}| = \sqrt{8}</math><br />
<br />
Für die Parameter gilt: <math>0 \le r \le 4{,}5</math> und <math>0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math><br />
<br />
Die Punkte der Dachfläche können beschrieben werden durch die Parameterdarstellung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} ; 0 \le r \le 4{,}5 ; 0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math>|2=Lösung zu b) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>\vec{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0} \end{pmatrix} + \frac{7}{\sqrt{8}} \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 } \end{pmatrix}</math> also <math>B ({-}4{,}95|9|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + 4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0} \end{pmatrix} + \frac{7}{\sqrt{8}} \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 } \end{pmatrix}</math> also <math>C ({-}4{,}95|0|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + 4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0} \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 } \end{pmatrix}</math> also <math>D (0|0|4)</math><br />
<br />
Punkte, die außerhalb der Dachfläche liegen:<br />
z.B.: <br />
<br />
<math>r=5, s=4 </math> <math>P_1({-}8|{-}1|12)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s={-}1</math> <math>P_2(2|11|2)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s=0 </math> <math>P_3(0|11|4)</math>|2=Lösung zu c) anzeigen |3=Lösung verbergen}}| Arbeitsmethode }} <br />
<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Verfahren: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Skalarprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese zwei Gleichungen können auf diese Weise aufgestellt werden, da <math> \vec{n} </math> orthogonal auf der Ebene steht. Daher wissen wir, dass <math> \vec{n} </math> orthogonal auf den beiden Spannvektoren steht. Außerdem ist bekannt, dass das Skalarprodukt von zwei orthogonalen Vektoren gleich Null ist.<br />
Im Folgenden bilden diese beiden Gleichungen ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Für das Gleichungssystem gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. Löse es, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest.<br />
Wichtig: Das <math>n</math>, das du frei wählst, muss in beiden Gleichungen enthalten sein. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform <br />
<br />
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform- und Koordinatenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
Zusatz: Bestimme auch die Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> <br />
<br />
Die Koeffizienten der Koordinatengleichung können wir dem Normalenvektor entnehmen. <br />
Ansatz der Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OQ} \cdot \vec{n}</math>. Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man also das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OQ}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>{-}3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + ({-}6) \cdot 3 = {-}23</math>.<br />
Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3={-}23</math>|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
<br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <br />
<br />
Hieraus folgt:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
n_1 &&\; - \;&& n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
n_1 &&\; - \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Willst du das Gleichungssystem per Hand lösen kannst du in der ersten Gleichung auf beiden Seite <math>+n_2</math> rechnen und erhält <math>n_1 = n_2</math>. Das Ergebnis für <math>n_1</math> setzt du in die zweite Gleichung ein und berechnest so <math>n_3</math> in Abhängigkeit von <math>n_2</math> und erhälst:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}2n_2 + 4n_3 &= 0 & &\mid +2n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 4n_3 &= 2n_2 & &\mid :4\\<br />
\Leftrightarrow & & n_3 &= \tfrac{1}{2} n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_2 \\ n_2 \\ \tfrac{1}{2} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=12</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=12</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}2n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in den vorherigen Aufgaben. Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 1n_1 + 3n_2 &= 0 & &\mid -3n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & n_1 &= -3n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} {-}3n_2 \\ n_2 \\ -\tfrac{7}{3} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_2</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_2 = {-}3</math> ist, dann folgt für <math>n_1 = 9</math> und für <math>n_3 = 7</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zum Aufstellen einer möglichen Parametergleichung wählen wir beispielsweise den Punkt <math>A</math> als Aufpukt. Die Richtungsvektoren können beispielsweise berechnet werden durch <math>\vec{AB}</math> als ersten Richtungsvektor und <math>\vec{AC}</math> als zweiten. Somit setzt sich die Ebenengleichung wie folgt zusammen:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \vec{OA} + s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AC}</math>.<br />
<br />
Damit ergibt sich:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Da ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein muss gilt <br />
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}6n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Um das Gleichungssystem per Hand zu lösen, behalten wir die erste Gleichung bei und ersetzen die zweite durch die Summe der beiden Gleichungen wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}9n_1 &&\; + \;&& 0n_2 &&\; + \;&& 7n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Zur Berechnung eines allgemeinen Normalenvektors formen wir die zweite Gleichung um und erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}9n_1 + 7n_2 &= 0 & &\mid -7n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & {-}9n_1 &= {-}7n_3 & &\mid :{-}7\\<br />
\Leftrightarrow & & \tfrac{9}{7}n_1 &= n_3 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen von <math>n_1</math> und <math>n_3=\tfrac{9}{7}n_1</math> in die erste Gleichung erhalten wir auch <math>n_2</math> als von <math>n_1</math> abhängigen Wert mit <math>n_2=\tfrac{15}{7}</math>. Damit ergibt sich der allgemeine Normalenvektor:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{15}{7} n_1 \\ \tfrac{9}{7} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = {-}7</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}15</math> und für <math>n_3 = {-}9</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Außerdem nutzen wir <math>\vec{OA}</math> als Aufpunkt und erhalten somit:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir nutzen den eben berechneten Normalenvektor auch zum Aufstellen der Koordinatenform.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Skalarprodukts des Normalenvektors mit dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>(-7 \cdot 7) + ((-15) \cdot 2) + ((-9) \cdot (-1)) =-70</math><br />
<br />
Damit ergibt sich folgende Koordinatengleichung:<br />
<br />
<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=-70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===&#x2B50;Arbeiten mit den unterschiedlichen Ebenengleichungen===<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Modellierung eines Tisches (Koordinaten- und Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
Zusatz: Gebe auch die Normalenform an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und könnte beim Aufstellen der Normalen- oder Parametergleichung der Ebene als Aufpunkt genutzt werden. <br />
Den Normalenvektor, dessen Einträge wir als Koeffizienten der Koordinatengleichung der Ebene nutzen, berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Das heißt, wir erhalten für den Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OT}</math>:<br />
<br />
<math>0 \cdot 4 + 0 \cdot 5 + ({-}8) \cdot 8={-}64</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:{-}8x_3={-}64</math> <br />
<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in Aufgabe 9 "Normalenvektor berechnen". Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 28n_1 + 24n_2 &= 0 & &\mid -24n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 28n_1 &= -24n_2 & &\mid :(-24)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{28}{24}n_1 &= n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{7}{6}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von <math>n_1</math> abhängigen Werte, in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}7}{6} n_1 \\ -\tfrac{196}{3} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 6</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}7</math> und für <math>n_3 = 392</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix} </math> <br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /></div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50814Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-18T18:57:41Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Punktprobe | <br />
Gegeben ist die Ebene <math>E</math> mit<br />
<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''a)''' Liegt der Punkt <math>A (7|5|{-}3)</math> in der Ebene?<br />
<br />
'''b)''' Liegt der Punkt <math>B (7|1|8)</math> in der Ebene? <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ {-}3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
5 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
{-}3 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat keine Lösung (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>A</math> liegt also nicht in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
8 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat die Lösung <math>r=1</math> und <math>s=2</math> (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>B</math> liegt also in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachtet man, wie im Tipp angegeben, die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene, so ist also der Schnittpunkt mit der <math>x_3</math>-Achse gesucht. <br />
Um die Lösung zu erhalten kann also für <math>\vec{x}</math> den Vektor <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> einsetzen. Berechnet man mithilfe der dritten Zeile den Parameter, ergibt sich aus <br />
<math>0 = {-}256+r \cdot 8</math> das Ergebnis <math>r=32</math>. Damit lassen sich im Anschluss die fehlenden Koordinaten berechnen. <br />
Es ergibt sich insgesamt als Lösung:<br />
<math>g \colon =\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Geradlinig begrenzte Flächen==<br />
{{Box|Merksatz: Geradlinig begrenzte Flächen| <br />
Nicht immer ist es ausreichend zu wissen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt. Betrachtet man Sachaufgaben, so ist häufig eine begrenzte Fläche gegeben, die als Ebene modelliert wird. Die Ebene ist also in der Realität beschränkt. Dabei muss dann zunächst untersucht werden, durch welche Werte der Parameter die Fläche begrenzt wird. Es bietet sich häufig an, dafür die Eckpunkte zu betrachten. Stellt man fest, dass ein zu untersuchender Punkt in der Ebene liegt, muss im zweiten Schritt daher untersucht werden, ob die berechneten Parameter im „erlaubten Bereich“ liegen.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Dachfläche | <br />
In der Skizze ist das Dach eines Hauses zu sehen. Die im Bild sichtbare Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{v}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> gehören (Angaben in m). <br />
Die Dachfläche misst <math>9</math>m mal <math>7</math>m. <br />
<br />
'''a)''' Bestimmen Sie eine Parametergleichung für die Ebene, in der die Dachfläche liegt. <br />
<br />
'''b)''' Man kann alle Punkte der Dachfläche beschreiben, indem man die Parameter für die Ebene einschränkt. Führen Sie dies durch. <br />
<br />
'''c)''' Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte der Dachfläche an. Bestimmen Sie außerdem drei Punkte, die außerhalb der Dachfläche, aber in derselben Ebene wie die Dachfläche liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Eine Parametergleichung für die Ebene lautet: <math>E\colon \vec{x} =\begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0} \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 } \end{pmatrix}</math>|2=Lösung zu a) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>|\\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0} \end{pmatrix}| = 2</math>; <math> |\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}| = \sqrt{8}</math><br />
<br />
Für die Parameter gilt: <math>0 \le r \le 4{,}5</math> und <math>0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math><br />
<br />
Die Punkte der Dachfläche können beschrieben werden durch die Parameterdarstellung <math>\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} ; 0 \le r \le 4{,}5 ; 0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math>|2=Lösung zu b) anzeigen |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>\vec{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0} \end{pmatrix} + \frac{7}{\sqrt{8}} \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 } \end{pmatrix}</math> also <math>B ({-}4{,}95|9|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + 4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0} \end{pmatrix} + \frac{7}{\sqrt{8}} \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 } \end{pmatrix}</math> also <math>C ({-}4{,}95|0|8{,}95)</math><br />
<br />
<math>\vec{OD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + 4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0} \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 } \end{pmatrix}</math> also <math>D (0|0|4)</math><br />
<br />
Punkte, die außerhalb der Dachfläche liegen:<br />
z.B.: <br />
<br />
<math>r=5, s=4 </math> <math>P_1({-}8|{-}1|12)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s={-}1</math> <math>P_2(2|11|2)</math><br />
<br />
<math>r={-}1, s=0 </math> <math>P_3(0|11|4)</math>|2=Lösung zu c) anzeigen |3=Lösung verbergen}}| Arbeitsmethode }} <br />
<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Verfahren: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Skalarprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese zwei Gleichungen können auf diese Weise aufgestellt werden, da <math> \vec{n} </math> orthogonal auf der Ebene steht. Daher wissen wir, dass <math> \vec{n} </math> orthogonal auf den beiden Spannvektoren steht. Außerdem ist bekannt, dass das Skalarprodukt von zwei orthogonalen Vektoren gleich Null ist.<br />
Im Folgenden bilden diese beiden Gleichungen ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Für das Gleichungssystem gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. Löse es, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest.<br />
Wichtig: Das <math>n</math>, das du frei wählst, muss in beiden Gleichungen enthalten sein. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform <br />
<br />
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform- und Koordinatenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
Zusatz: Bestimme auch die Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> <br />
<br />
Die Koeffizienten der Koordinatengleichung können wir dem Normalenvektor entnehmen. <br />
Ansatz der Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OQ} \cdot \vec{n}</math>. Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man also das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OQ}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>{-}3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + ({-}6) \cdot 3 = {-}23</math>.<br />
Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3={-}23</math>|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
<br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <br />
<br />
Hieraus folgt:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
n_1 &&\; - \;&& n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
n_1 &&\; - \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Willst du das Gleichungssystem per Hand lösen kannst du in der ersten Gleichung auf beiden Seite <math>+n_2</math> rechnen und erhält <math>n_1 = n_2</math>. Das Ergebnis für <math>n_1</math> setzt du in die zweite Gleichung ein und berechnest so <math>n_3</math> in Abhängigkeit von <math>n_2</math> und erhälst:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}2n_2 + 4n_3 &= 0 & &\mid +2n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 4n_3 &= 2n_2 & &\mid :4\\<br />
\Leftrightarrow & & n_3 &= \tfrac{1}{2} n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_2 \\ n_2 \\ \tfrac{1}{2} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=12</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=12</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}2n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in den vorherigen Aufgaben. Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 1n_1 + 3n_2 &= 0 & &\mid -3n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & n_1 &= -3n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} {-}3n_2 \\ n_2 \\ -\tfrac{7}{3} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_2</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_2 = {-}3</math> ist, dann folgt für <math>n_1 = 9</math> und für <math>n_3 = 7</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zum Aufstellen einer möglichen Parametergleichung wählen wir beispielsweise den Punkt <math>A</math> als Aufpukt. Die Richtungsvektoren können beispielsweise berechnet werden durch <math>\vec{AB}</math> als ersten Richtungsvektor und <math>\vec{AC}</math> als zweiten. Somit setzt sich die Ebenengleichung wie folgt zusammen:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \vec{OA} + s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AC}</math>.<br />
<br />
Damit ergibt sich:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Da ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein muss gilt <br />
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}6n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Um das Gleichungssystem per Hand zu lösen, behalten wir die erste Gleichung bei und ersetzen die zweite durch die Summe der beiden Gleichungen wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}9n_1 &&\; + \;&& 0n_2 &&\; + \;&& 7n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Zur Berechnung eines allgemeinen Normalenvektors formen wir die zweite Gleichung um und erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}9n_1 + 7n_2 &= 0 & &\mid -7n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & {-}9n_1 &= {-}7n_3 & &\mid :{-}7\\<br />
\Leftrightarrow & & \tfrac{9}{7}n_1 &= n_3 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen von <math>n_1</math> und <math>n_3=\tfrac{9}{7}n_1</math> in die erste Gleichung erhalten wir auch <math>n_2</math> als von <math>n_1</math> abhängigen Wert mit <math>n_2=\tfrac{15}{7}</math>. Damit ergibt sich der allgemeine Normalenvektor:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{15}{7} n_1 \\ \tfrac{9}{7} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = {-}7</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}15</math> und für <math>n_3 = {-}9</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Außerdem nutzen wir <math>\vec{OA}</math> als Aufpunkt und erhalten somit:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir nutzen den eben berechneten Normalenvektor auch zum Aufstellen der Koordinatenform.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Skalarprodukts des Normalenvektors mit dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>(-7 \cdot 7) + ((-15) \cdot 2) + ((-9) \cdot (-1)) =-70</math><br />
<br />
Damit ergibt sich folgende Koordinatengleichung:<br />
<br />
<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=-70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===&#x2B50;Arbeiten mit den unterschiedlichen Ebenengleichungen===<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Modellierung eines Tisches (Koordinaten- und Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
Zusatz: Gebe auch die Normalenform an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und könnte beim Aufstellen der Normalen- oder Parametergleichung der Ebene als Aufpunkt genutzt werden. <br />
Den Normalenvektor, dessen Einträge wir als Koeffizienten der Koordinatengleichung der Ebene nutzen, berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Das heißt, wir erhalten für den Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OT}</math>:<br />
<br />
<math>0 \cdot 4 + 0 \cdot 5 + ({-}8) \cdot 8={-}64</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:{-}8x_3={-}64</math> <br />
<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in Aufgabe 9 "Normalenvektor berechnen". Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 28n_1 + 24n_2 &= 0 & &\mid -24n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 28n_1 &= -24n_2 & &\mid :(-24)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{28}{24}n_1 &= n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{7}{6}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von <math>n_1</math> abhängigen Werte, in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}7}{6} n_1 \\ -\tfrac{196}{3} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 6</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}7</math> und für <math>n_3 = 392</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix} </math> <br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /></div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50780Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-18T13:06:42Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Punktprobe | <br />
Gegeben ist die Ebene <math>E</math> mit<br />
<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''a)''' Liegt der Punkt <math>A (7|5|{-}3)</math> in der Ebene?<br />
<br />
'''b)''' Liegt der Punkt <math>B (7|1|8)</math> in der Ebene? <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ {-}3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
5 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
{-}3 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat keine Lösung (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>A</math> liegt also nicht in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
8 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat die Lösung <math>r=1</math> und <math>s=2</math> (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>B</math> liegt also in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachtet man, wie im Tipp angegeben, die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene, so ist also der Schnittpunkt mit der <math>x_3</math>-Achse gesucht. <br />
Um die Lösung zu erhalten kann also für <math>\vec{x}</math> den Vektor <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> einsetzen. Berechnet man mithilfe der dritten Zeile den Parameter, ergibt sich aus <br />
<math>0 = {-}256+r \cdot 8</math> das Ergebnis <math>r=32</math>. Damit lassen sich im Anschluss die fehlenden Koordinaten berechnen. <br />
Es ergibt sich insgesamt als Lösung:<br />
<math>g \colon =\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Geradlinig begrenzte Flächen==<br />
{{Box|Merksatz: Geradlinig begrenzte Flächen| <br />
Nicht immer ist es ausreichend zu wissen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt. Betrachtet man Sachaufgaben, so ist häufig eine begrenzte Fläche gegeben, die als Ebene modelliert wird. Die Ebene ist also in der Realität beschränkt. Dabei muss dann zunächst untersucht werden, durch welche Werte der Parameter die Fläche begrenzt wird. Es bietet sich häufig an, dafür die Eckpunkte zu betrachten. Stellt man fest, dass ein zu untersuchender Punkt in der Ebene liegt, muss im zweiten Schritt daher untersucht werden, ob die berechneten Parameter im „erlaubten Bereich“ liegen.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe: Dachfläche | <br />
In der Skizze ist das Dach eines Hauses zu sehen. Die im Bild sichtbare Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{v}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> gehören (Angaben in m). <br />
Die Dachfläche misst <math>9</math>m mal <math>7</math>m. <br />
<br />
'''a)''' Bestimmen Sie eine Parametergleichung für die Ebene, in der die Dachfläche liegt. <br />
<br />
'''b)''' Man kann alle Punkte der Dachfläche beschreiben, indem man die Parameter für die Ebene einschränkt. Führen Sie dies durch. <br />
<br />
'''c)''' Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte der Dachfläche an. Bestimmen Sie außerdem drei Punkte, die außerhalb der Dachfläche, aber in derselben Ebene wie die Dachfläche liegen. <br />
| Arbeitsmethode }}<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Verfahren: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Skalarprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese zwei Gleichungen können auf diese Weise aufgestellt werden, da <math> \vec{n} </math> orthogonal auf der Ebene steht. Daher wissen wir, dass <math> \vec{n} </math> orthogonal auf den beiden Spannvektoren steht. Außerdem ist bekannt, dass das Skalarprodukt von zwei orthogonalen Vektoren gleich Null ist.<br />
Im Folgenden bilden diese beiden Gleichungen ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Für das Gleichungssystem gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. Löse es, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest.<br />
Wichtig: Das <math>n</math>, das du frei wählst, muss in beiden Gleichungen enthalten sein. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform <br />
<br />
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform- und Koordinatenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
Zusatz: Bestimme auch die Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in Aufgabe 9 "Normalenvektor berechnen". Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 28n_1 + 24n_2 &= 0 & &\mid -24n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 28n_1 &= -24n_2 & &\mid :(-24)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{28}{24}n_1 &= n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{7}{6}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_1 abhängigen Werte, in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}7}{6} n_1 \\ -\tfrac{196}{3} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 6</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}7</math> und für <math>n_3 = 392</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix} </math> <br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
<br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <br />
<br />
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt <br />
<br />
<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Man berechnet <math>d</math> indem man für <math>x_1, x_2</math> und <math>x_3</math> die Koordinaten des Stützvektors von E einsetzt: <math>d=2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=11</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=11</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}2n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in den vorherigen Aufgaben. Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 1n_1 + 3n_2 &= 0 & &\mid -3n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & n_1 &= -3n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} {-}3n_2 \\ n_2 \\ -\tfrac{7}{3} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_2</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_2 = {-}3</math> ist, dann folgt für <math>n_1 = 9</math> und für <math>n_3 = 7</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zum Aufstellen einer möglichen Parametergleichung wählen wir beispielsweise den Punkt <math>A</math> als Aufpukt. Die Richtungsvektoren können beispielsweise berechnet werden durch <math>\vec{AB}</math> als ersten Richtungsvektor und <math>\vec{AC}</math> als zweiten. Somit setzt sich die Ebenengleichung wie folgt zusammen:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \vec{OA} + s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AC}</math>.<br />
<br />
Damit ergibt sich:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Da ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein muss gilt <br />
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}6n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Um das Gleichungssystem per Hand zu lösen, behalten wir die erste Gleichung bei und ersetzen die zweite durch die Summe der beiden Gleichungen wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}9n_1 &&\; + \;&& 0n_2 &&\; + \;&& 7n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Zur Berechnung eines allgemeinen Normalenvektors formen wir die zweite Gleichung um und erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}9n_1 + 7n_2 &= 0 & &\mid -7n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & {-}9n_1 &= {-}7n_3 & &\mid :{-}7\\<br />
\Leftrightarrow & & \tfrac{9}{7}n_1 &= n_3 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen von <math>n_1</math> und <math>n_3=\tfrac{9}{7}n_1</math> in die erste Gleichung erhalten wir auch <math>n_2</math> als von <math>n_1</math> abhängigen Wert mit <math>n_2=\tfrac{15}{7}</math>. Damit ergibt sich der allgemeine Normalenvektor:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{15}{7} n_1 \\ \tfrac{9}{7} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = {-}7</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}15</math> und für <math>n_3 = {-}9</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Außerdem nutzen wir <math>\vec{OA}</math> als Aufpunkt und erhalten somit:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir nutzen den eben berechneten Normalenvektor auch zum Aufstellen der Koordinatenform.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Skalarprodukts des Normalenvektors mit dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>(-7 \cdot 7) + ((-15) \cdot 2) + ((-9) \cdot (-1)) =-70</math><br />
<br />
Damit ergibt sich folgende Koordinatengleichung:<br />
<br />
<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=-70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50779Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-18T13:02:40Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Punktprobe | <br />
Gegeben ist die Ebene <math>E</math> mit<br />
<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''a)''' Liegt der Punkt <math>A (7|5|{-}3)</math> in der Ebene?<br />
<br />
'''b)''' Liegt der Punkt <math>B (7|1|8)</math> in der Ebene? <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ {-}3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
5 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
{-}3 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat keine Lösung (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>A</math> liegt also nicht in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
8 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat die Lösung <math>r=1</math> und <math>s=2</math> (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>B</math> liegt also in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachtet man, wie im Tipp angegeben, die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene, so ist also der Schnittpunkt mit der <math>x_3</math>-Achse gesucht. <br />
Um die Lösung zu erhalten kann also für <math>\vec{x}</math> den Vektor <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> einsetzen. Berechnet man mithilfe der dritten Zeile den Parameter, ergibt sich aus <br />
<math>0 = {-}256+r \cdot 8</math> das Ergebnis <math>r=32</math>. Damit lassen sich im Anschluss die fehlenden Koordinaten berechnen. <br />
Es ergibt sich insgesamt als Lösung:<br />
<math>g \colon =\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Geradlinig begrenzte Flächen==<br />
{{Box|Merksatz: Geradlinig begrenzte Flächen| <br />
Nicht immer ist es ausreichend zu wissen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt. Betrachtet man Sachaufgaben, so ist häufig eine begrenzte Fläche gegeben, die als Ebene modelliert wird. Die Ebene ist also in der Realität beschränkt. Dabei muss dann zunächst untersucht werden, durch welche Werte der Parameter die Fläche begrenzt wird. Es bietet sich häufig an, dafür die Eckpunkte zu betrachten. Stellt man fest, dass ein zu untersuchender Punkt in der Ebene liegt, muss im zweiten Schritt daher untersucht werden, ob die berechneten Parameter im „erlaubten Bereich“ liegen.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe: Dachfläche | <br />
In der Skizze ist das Dach eines Hauses zu sehen. Die im Bild sichtbare Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u}=\begin{pmatrix= 0 \\ {-}2 \\ 0} \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0} \end{pmatrix}</math> gehören (Angaben in m). <br />
Die Dachfläche misst <math>9</math>m mal <math>7</math>m. <br />
<br />
'''a)''' Bestimmen Sie eine Parametergleichung für die Ebene, in der die Dachfläche liegt. <br />
<br />
'''b)''' Man kann alle Punkte der Dachfläche beschreiben, indem man die Parameter für die Ebene einschränkt. Führen Sie dies durch. <br />
<br />
'''c)''' Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte der Dachfläche an. Bestimmen Sie außerdem drei Punkte, die außerhalb der Dachfläche, aber in derselben Ebene wie die Dachfläche liegen. <br />
| Arbeitsmethode }}<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Box | Verfahren: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Skalarprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese zwei Gleichungen können auf diese Weise aufgestellt werden, da <math> \vec{n} </math> orthogonal auf der Ebene steht. Daher wissen wir, dass <math> \vec{n} </math> orthogonal auf den beiden Spannvektoren steht. Außerdem ist bekannt, dass das Skalarprodukt von zwei orthogonalen Vektoren gleich Null ist.<br />
Im Folgenden bilden diese beiden Gleichungen ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Für das Gleichungssystem gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. Löse es, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest.<br />
Wichtig: Das <math>n</math>, das du frei wählst, muss in beiden Gleichungen enthalten sein. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform <br />
<br />
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform- und Koordinatenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
Zusatz: Bestimme auch die Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in Aufgabe 9 "Normalenvektor berechnen". Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 28n_1 + 24n_2 &= 0 & &\mid -24n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 28n_1 &= -24n_2 & &\mid :(-24)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{28}{24}n_1 &= n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{7}{6}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_1 abhängigen Werte, in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}7}{6} n_1 \\ -\tfrac{196}{3} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 6</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}7</math> und für <math>n_3 = 392</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix} </math> <br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
<br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <br />
<br />
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt <br />
<br />
<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Man berechnet <math>d</math> indem man für <math>x_1, x_2</math> und <math>x_3</math> die Koordinaten des Stützvektors von E einsetzt: <math>d=2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=11</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=11</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}2n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in den vorherigen Aufgaben. Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 1n_1 + 3n_2 &= 0 & &\mid -3n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & n_1 &= -3n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} {-}3n_2 \\ n_2 \\ -\tfrac{7}{3} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_2</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_2 = {-}3</math> ist, dann folgt für <math>n_1 = 9</math> und für <math>n_3 = 7</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zum Aufstellen einer möglichen Parametergleichung wählen wir beispielsweise den Punkt <math>A</math> als Aufpukt. Die Richtungsvektoren können beispielsweise berechnet werden durch <math>\vec{AB}</math> als ersten Richtungsvektor und <math>\vec{AC}</math> als zweiten. Somit setzt sich die Ebenengleichung wie folgt zusammen:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \vec{OA} + s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AC}</math>.<br />
<br />
Damit ergibt sich:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Da ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein muss gilt <br />
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}6n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Um das Gleichungssystem per Hand zu lösen, behalten wir die erste Gleichung bei und ersetzen die zweite durch die Summe der beiden Gleichungen wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}9n_1 &&\; + \;&& 0n_2 &&\; + \;&& 7n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Zur Berechnung eines allgemeinen Normalenvektors formen wir die zweite Gleichung um und erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}9n_1 + 7n_2 &= 0 & &\mid -7n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & {-}9n_1 &= {-}7n_3 & &\mid :{-}7\\<br />
\Leftrightarrow & & \tfrac{9}{7}n_1 &= n_3 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen von <math>n_1</math> und <math>n_3=\tfrac{9}{7}n_1</math> in die erste Gleichung erhalten wir auch <math>n_2</math> als von <math>n_1</math> abhängigen Wert mit <math>n_2=\tfrac{15}{7}</math>. Damit ergibt sich der allgemeine Normalenvektor:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{15}{7} n_1 \\ \tfrac{9}{7} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = {-}7</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}15</math> und für <math>n_3 = {-}9</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Außerdem nutzen wir <math>\vec{OA}</math> als Aufpunkt und erhalten somit:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir nutzen den eben berechneten Normalenvektor auch zum Aufstellen der Koordinatenform.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Skalarprodukts des Normalenvektors mit dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>(-7 \cdot 7) + ((-15) \cdot 2) + ((-9) \cdot (-1)) =-70</math><br />
<br />
Damit ergibt sich folgende Koordinatengleichung:<br />
<br />
<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=-70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50778Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-18T13:00:53Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Punktprobe | <br />
Gegeben ist die Ebene <math>E</math> mit<br />
<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''a)''' Liegt der Punkt <math>A (7|5|{-}3)</math> in der Ebene?<br />
<br />
'''b)''' Liegt der Punkt <math>B (7|1|8)</math> in der Ebene? <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ {-}3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
5 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
{-}3 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat keine Lösung (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>A</math> liegt also nicht in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
8 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat die Lösung <math>r=1</math> und <math>s=2</math> (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>B</math> liegt also in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachtet man, wie im Tipp angegeben, die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene, so ist also der Schnittpunkt mit der <math>x_3</math>-Achse gesucht. <br />
Um die Lösung zu erhalten kann also für <math>\vec{x}</math> den Vektor <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> einsetzen. Berechnet man mithilfe der dritten Zeile den Parameter, ergibt sich aus <br />
<math>0 = {-}256+r \cdot 8</math> das Ergebnis <math>r=32</math>. Damit lassen sich im Anschluss die fehlenden Koordinaten berechnen. <br />
Es ergibt sich insgesamt als Lösung:<br />
<math>g \colon =\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
== Geradlinig begrenzte Flächen ==<br />
{{Box|Merksatz: Geradlinig begrenzte Flächen| <br />
Nicht immer ist es ausreichend zu wissen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt. Betrachtet man Sachaufgaben, so ist häufig eine begrenzte Fläche gegeben, die als Ebene modelliert wird. Die Ebene ist also in der Realität beschränkt. Dabei muss dann zunächst untersucht werden, durch welche Werte der Parameter die Fläche begrenzt wird. Es bietet sich häufig an, dafür die Eckpunkte zu betrachten. Stellt man fest, dass ein zu untersuchender Punkt in der Ebene liegt, muss im zweiten Schritt daher untersucht werden, ob die berechneten Parameter im „erlaubten Bereich“ liegen.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe: Dachfläche | <br />
In der Skizze ist das Dach eines Hauses zu sehen. Die im Bild sichtbare Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u}=\begin{pmatrix= 0 \\ {-}2 \\ 0} \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0} \end{pmatrix}</math> gehören (Angaben in m). <br />
Die Dachfläche misst <math>9</math>m mal <math>7</math>m. <br />
<br />
'''a)''' Bestimmen Sie eine Parametergleichung für die Ebene, in der die Dachfläche liegt. <br />
<br />
'''b)''' Man kann alle Punkte der Dachfläche beschreiben, indem man die Parameter für die Ebene einschränkt. Führen Sie dies durch. <br />
<br />
'''c)''' Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte der Dachfläche an. Bestimmen Sie außerdem drei Punkte, die außerhalb der Dachfläche, aber in derselben Ebene wie die Dachfläche liegen. <br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|blau}} }}<br />
<br />
{{Box | Verfahren: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Skalarprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese zwei Gleichungen können auf diese Weise aufgestellt werden, da <math> \vec{n} </math> orthogonal auf der Ebene steht. Daher wissen wir, dass <math> \vec{n} </math> orthogonal auf den beiden Spannvektoren steht. Außerdem ist bekannt, dass das Skalarprodukt von zwei orthogonalen Vektoren gleich Null ist.<br />
Im Folgenden bilden diese beiden Gleichungen ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Für das Gleichungssystem gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. Löse es, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest.<br />
Wichtig: Das <math>n</math>, das du frei wählst, muss in beiden Gleichungen enthalten sein. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform <br />
<br />
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform- und Koordinatenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
Zusatz: Bestimme auch die Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in Aufgabe 9 "Normalenvektor berechnen". Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 28n_1 + 24n_2 &= 0 & &\mid -24n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 28n_1 &= -24n_2 & &\mid :(-24)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{28}{24}n_1 &= n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{7}{6}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_1 abhängigen Werte, in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}7}{6} n_1 \\ -\tfrac{196}{3} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 6</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}7</math> und für <math>n_3 = 392</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix} </math> <br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
<br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <br />
<br />
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt <br />
<br />
<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Man berechnet <math>d</math> indem man für <math>x_1, x_2</math> und <math>x_3</math> die Koordinaten des Stützvektors von E einsetzt: <math>d=2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=11</math>. <br />
<br />
Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=11</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}2n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in den vorherigen Aufgaben. Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 1n_1 + 3n_2 &= 0 & &\mid -3n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & n_1 &= -3n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} {-}3n_2 \\ n_2 \\ -\tfrac{7}{3} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_2</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_2 = {-}3</math> ist, dann folgt für <math>n_1 = 9</math> und für <math>n_3 = 7</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zum Aufstellen einer möglichen Parametergleichung wählen wir beispielsweise den Punkt <math>A</math> als Aufpukt. Die Richtungsvektoren können beispielsweise berechnet werden durch <math>\vec{AB}</math> als ersten Richtungsvektor und <math>\vec{AC}</math> als zweiten. Somit setzt sich die Ebenengleichung wie folgt zusammen:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \vec{OA} + s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AC}</math>.<br />
<br />
Damit ergibt sich:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Da ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein muss gilt <br />
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}6n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Um das Gleichungssystem per Hand zu lösen, behalten wir die erste Gleichung bei und ersetzen die zweite durch die Summe der beiden Gleichungen wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}9n_1 &&\; + \;&& 0n_2 &&\; + \;&& 7n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Zur Berechnung eines allgemeinen Normalenvektors formen wir die zweite Gleichung um und erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}9n_1 + 7n_2 &= 0 & &\mid -7n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & {-}9n_1 &= {-}7n_3 & &\mid :{-}7\\<br />
\Leftrightarrow & & \tfrac{9}{7}n_1 &= n_3 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen von <math>n_1</math> und <math>n_3=\tfrac{9}{7}n_1</math> in die erste Gleichung erhalten wir auch <math>n_2</math> als von <math>n_1</math> abhängigen Wert mit <math>n_2=\tfrac{15}{7}</math>. Damit ergibt sich der allgemeine Normalenvektor:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{15}{7} n_1 \\ \tfrac{9}{7} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = {-}7</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}15</math> und für <math>n_3 = {-}9</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Außerdem nutzen wir <math>\vec{OA}</math> als Aufpunkt und erhalten somit:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir nutzen den eben berechneten Normalenvektor auch zum Aufstellen der Koordinatenform.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Skalarprodukts des Normalenvektors mit dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>(-7 \cdot 7) + ((-15) \cdot 2) + ((-9) \cdot (-1)) =-70</math><br />
<br />
Damit ergibt sich folgende Koordinatengleichung:<br />
<br />
<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=-70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50766Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-18T08:43:38Z<p>Laura WWU-8: /* Die Punktprobe */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Punktprobe | <br />
Gegeben ist die Ebene <math>E</math> mit<br />
<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''a)''' Liegt der Punkt <math>A (7|5|{-}3)</math> in der Ebene?<br />
<br />
'''b)''' Liegt der Punkt <math>B (7|1|8)</math> in der Ebene? <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ {-}3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
5 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
{-}3 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat keine Lösung (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>A</math> liegt also nicht in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
8 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat die Lösung <math>r=1</math> und <math>s=2</math> (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>B</math> liegt also in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachtet man, wie im Tipp angegeben, die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene, so ist also der Schnittpunkt mit der <math>x_3</math>-Achse gesucht. <br />
Um die Lösung zu erhalten kann also für <math>\vec{x}</math> den Vektor <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> einsetzen. Berechnet man mithilfe der dritten Zeile den Parameter, ergibt sich aus <br />
<math>0 = {-}256+r \cdot 8</math> das Ergebnis <math>r=32</math>. Damit lassen sich im Anschluss die fehlenden Koordinaten berechnen. <br />
Es ergibt sich insgesamt als Lösung:<br />
<math>g \colon =\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Verfahren: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Skalarprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese zwei Gleichungen können auf diese Weise aufgestellt werden, da <math> \vec{n} </math> orthogonal auf der Ebene steht. Daher wissen wir, dass <math> \vec{n} </math> orthogonal auf den beiden Spannvektoren steht. Außerdem ist bekannt, dass das Skalarprodukt von zwei orthogonalen Vektoren gleich Null ist.<br />
Im Folgenden bilden diese beiden Gleichungen ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Für das Gleichungssystem gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. Löse es, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest.<br />
Wichtig: Das <math>n</math>, das du frei wählst, muss in beiden Gleichungen enthalten sein. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform <br />
<br />
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in Aufgabe 9 "Normalenvektor berechnen". Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 28n_1 + 24n_2 &= 0 & &\mid -24n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 28n_1 &= -24n_2 & &\mid :(-24)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{28}{24}n_1 &= n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{7}{6}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_1 abhängigen Werte, in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}7}{6} n_1 \\ -\tfrac{196}{3} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 6</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}7</math> und für <math>n_3 = 392</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix} </math> <br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}2n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in den vorherigen Aufgaben. Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 1n_1 + 3n_2 &= 0 & &\mid -3n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & n_1 &= -3n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} {-}3n_2 \\ n_2 \\ -\tfrac{7}{3} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_2</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_2 = {-}3</math> ist, dann folgt für <math>n_1 = 9</math> und für <math>n_3 = 7</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zum Aufstellen einer möglichen Parametergleichung wählen wir beispielsweise den Punkt <math>A</math> als Aufpukt. Die Richtungsvektoren können beispielsweise berechnet werden durch <math>\vec{AB}</math> als ersten Richtungsvektor und <math>\vec{AC}</math> als zweiten. Somit setzt sich die Ebenengleichung wie folgt zusammen:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \vec{OA} + s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AC}</math>.<br />
<br />
Damit ergibt sich:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Da ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein muss gilt <br />
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}6n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Um das Gleichungssystem per Hand zu lösen, behalten wir die erste Gleichung bei und ersetzen die zweite durch die Summe der beiden Gleichungen wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}9n_1 &&\; + \;&& 0n_2 &&\; + \;&& 7n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Zur Berechnung eines allgemeinen Normalenvektors formen wir die zweite Gleichung um und erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}9n_1 + 7n_2 &= 0 & &\mid -7n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & {-}9n_1 &= {-}7n_3 & &\mid :{-}7\\<br />
\Leftrightarrow & & \tfrac{9}{7}n_1 &= n_3 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen von <math>n_1</math> und <math>n_3=\tfrac{9}{7}n_1</math> in die erste Gleichung erhalten wir auch <math>n_2</math> als von <math>n_1</math> abhängigen Wert mit <math>n_2=\tfrac{15}{7}</math>. Damit ergibt sich der allgemeine Normalenvektor:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{15}{7} n_1 \\ \tfrac{9}{7} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = {-}7</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}15</math> und für <math>n_3 = {-}9</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Außerdem nutzen wir <math>\vec{OA}</math> als Aufpunkt und erhalten somit:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir nutzen den eben berechneten Normalenvektor auch zum Aufstellen der Koordinatenform.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Skalarprodukts des Normalenvektors mit dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>(-7 \cdot 7) + ((-15) \cdot 2) + ((-9) \cdot (-1)) =-70</math><br />
<br />
Damit ergibt sich folgende Koordinatengleichung:<br />
<br />
<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=-70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50765Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-18T08:42:59Z<p>Laura WWU-8: /* Die Punktprobe */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Punktprobe | <br />
Gegeben ist die Ebene <math>E</math> mit<br />
<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''a)''' Liegt der Punkt <math>A (7|5|{-}3)</math> in der Ebene?<br />
'''b)''' Liegt der Punkt <math>B (7|1|8)</math> in der Ebene? <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ {-}3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
5 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
{-}3 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat keine Lösung (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>A</math> liegt also nicht in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
8 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat die Lösung <math>r=1</math> und <math>s=2</math> (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>B</math> liegt also in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachtet man, wie im Tipp angegeben, die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene, so ist also der Schnittpunkt mit der <math>x_3</math>-Achse gesucht. <br />
Um die Lösung zu erhalten kann also für <math>\vec{x}</math> den Vektor <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> einsetzen. Berechnet man mithilfe der dritten Zeile den Parameter, ergibt sich aus <br />
<math>0 = {-}256+r \cdot 8</math> das Ergebnis <math>r=32</math>. Damit lassen sich im Anschluss die fehlenden Koordinaten berechnen. <br />
Es ergibt sich insgesamt als Lösung:<br />
<math>g \colon =\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Verfahren: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Skalarprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese zwei Gleichungen können auf diese Weise aufgestellt werden, da <math> \vec{n} </math> orthogonal auf der Ebene steht. Daher wissen wir, dass <math> \vec{n} </math> orthogonal auf den beiden Spannvektoren steht. Außerdem ist bekannt, dass das Skalarprodukt von zwei orthogonalen Vektoren gleich Null ist.<br />
Im Folgenden bilden diese beiden Gleichungen ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Für das Gleichungssystem gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. Löse es, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest.<br />
Wichtig: Das <math>n</math>, das du frei wählst, muss in beiden Gleichungen enthalten sein. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform <br />
<br />
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in Aufgabe 9 "Normalenvektor berechnen". Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 28n_1 + 24n_2 &= 0 & &\mid -24n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 28n_1 &= -24n_2 & &\mid :(-24)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{28}{24}n_1 &= n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{7}{6}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_1 abhängigen Werte, in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}7}{6} n_1 \\ -\tfrac{196}{3} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 6</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}7</math> und für <math>n_3 = 392</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix} </math> <br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}2n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in den vorherigen Aufgaben. Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 1n_1 + 3n_2 &= 0 & &\mid -3n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & n_1 &= -3n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} {-}3n_2 \\ n_2 \\ -\tfrac{7}{3} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_2</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_2 = {-}3</math> ist, dann folgt für <math>n_1 = 9</math> und für <math>n_3 = 7</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zum Aufstellen einer möglichen Parametergleichung wählen wir beispielsweise den Punkt <math>A</math> als Aufpukt. Die Richtungsvektoren können beispielsweise berechnet werden durch <math>\vec{AB}</math> als ersten Richtungsvektor und <math>\vec{AC}</math> als zweiten. Somit setzt sich die Ebenengleichung wie folgt zusammen:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \vec{OA} + s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AC}</math>.<br />
<br />
Damit ergibt sich:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Da ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein muss gilt <br />
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}6n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Um das Gleichungssystem per Hand zu lösen, behalten wir die erste Gleichung bei und ersetzen die zweite durch die Summe der beiden Gleichungen wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}9n_1 &&\; + \;&& 0n_2 &&\; + \;&& 7n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Zur Berechnung eines allgemeinen Normalenvektors formen wir die zweite Gleichung um und erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}9n_1 + 7n_2 &= 0 & &\mid -7n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & {-}9n_1 &= {-}7n_3 & &\mid :{-}7\\<br />
\Leftrightarrow & & \tfrac{9}{7}n_1 &= n_3 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen von <math>n_1</math> und <math>n_3=\tfrac{9}{7}n_1</math> in die erste Gleichung erhalten wir auch <math>n_2</math> als von <math>n_1</math> abhängigen Wert mit <math>n_2=\tfrac{15}{7}</math>. Damit ergibt sich der allgemeine Normalenvektor:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{15}{7} n_1 \\ \tfrac{9}{7} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = {-}7</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}15</math> und für <math>n_3 = {-}9</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Außerdem nutzen wir <math>\vec{OA}</math> als Aufpunkt und erhalten somit:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir nutzen den eben berechneten Normalenvektor auch zum Aufstellen der Koordinatenform.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Skalarprodukts des Normalenvektors mit dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>(-7 \cdot 7) + ((-15) \cdot 2) + ((-9) \cdot (-1)) =-70</math><br />
<br />
Damit ergibt sich folgende Koordinatengleichung:<br />
<br />
<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=-70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50763Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-18T08:40:09Z<p>Laura WWU-8: /* Die Punktprobe */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Punktprobe | <br />
Gegeben ist die Ebene <math>E</math> mit<br />
<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''a''' Liegt der Punkt <math>A (7|5|{-}3)</math> in der Ebene?<br />
'''b''' Liegt der Punkt <math>B (7|1|8)</math> in der Ebene? <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ {-}3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
5 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
{-}3 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat keine Lösung (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>A</math> liegt also nicht in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\<br />
1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\<br />
8 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS hat die Lösung <math>r=1</math> und <math>s=2</math> (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).<br />
Der Punkt <math>B</math> liegt also in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachtet man, wie im Tipp angegeben, die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene, so ist also der Schnittpunkt mit der <math>x_3</math>-Achse gesucht. <br />
Um die Lösung zu erhalten kann also für <math>\vec{x}</math> den Vektor <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> einsetzen. Berechnet man mithilfe der dritten Zeile den Parameter, ergibt sich aus <br />
<math>0 = {-}256+r \cdot 8</math> das Ergebnis <math>r=32</math>. Damit lassen sich im Anschluss die fehlenden Koordinaten berechnen. <br />
Es ergibt sich insgesamt als Lösung:<br />
<math>g \colon =\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Verfahren: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Skalarprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese zwei Gleichungen können auf diese Weise aufgestellt werden, da <math> \vec{n} </math> orthogonal auf der Ebene steht. Daher wissen wir, dass <math> \vec{n} </math> orthogonal auf den beiden Spannvektoren steht. Außerdem ist bekannt, dass das Skalarprodukt von zwei orthogonalen Vektoren gleich Null ist.<br />
Im Folgenden bilden diese beiden Gleichungen ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Löse das Gleichungssystem, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest.<br />
Wichtig: Das <math>n</math>, das du frei wählst, muss in beiden Gleichungen vorkommen. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform <br />
<br />
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in Aufgabe 9 "Normalenvektor berechnen". Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 28n_1 + 24n_2 &= 0 & &\mid -24n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 28n_1 &= -24n_2 & &\mid :(-24)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{28}{24}n_1 &= n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{7}{6}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_1 abhängigen Werte, in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}7}{6} n_1 \\ -\tfrac{196}{3} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 6</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}7</math> und für <math>n_3 = 392</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix} </math> <br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}2n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in den vorherigen Aufgaben. Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 1n_1 + 3n_2 &= 0 & &\mid -3n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & n_1 &= -3n_2 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} {-}3n_2 \\ n_2 \\ -\tfrac{7}{3} n_2 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_2</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_2 = {-}3</math> ist, dann folgt für <math>n_1 = 9</math> und für <math>n_3 = 7</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zum Aufstellen einer möglichen Parametergleichung wählen wir beispielsweise den Punkt <math>A</math> als Aufpukt. Die Richtungsvektoren können beispielsweise berechnet werden durch <math>\vec{AB}</math> als ersten Richtungsvektor und <math>\vec{AC}</math> als zweiten. Somit setzt sich die Ebenengleichung wie folgt zusammen:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \vec{OA} + s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AC}</math>.<br />
<br />
Damit ergibt sich:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Da ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein muss gilt <br />
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}6n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Um das Gleichungssystem per Hand zu lösen, behalten wir die erste Gleichung bei und ersetzen die zweite durch die Summe der beiden Gleichungen wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}9n_1 &&\; + \;&& 0n_2 &&\; + \;&& 7n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Zur Berechnung eines allgemeinen Normalenvektors formen wir die zweite Gleichung um und erhalten:<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & {-}9n_1 + 7n_2 &= 0 & &\mid -7n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & {-}9n_1 &= {-}7n_3 & &\mid :{-}7\\<br />
\Leftrightarrow & & \tfrac{9}{7}n_1 &= n_3 <br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
Durch Einsetzen von <math>n_1</math> und <math>n_3=\tfrac{9}{7}n_1</math> in die erste Gleichung erhalten wir auch <math>n_2</math> als von <math>n_1</math> abhängigen Wert mit <math>n_2=\tfrac{15}{7}</math>. Damit ergibt sich der allgemeine Normalenvektor:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{15}{7} n_1 \\ \tfrac{9}{7} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = {-}7</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}15</math> und für <math>n_3 = {-}9</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Außerdem nutzen wir <math>\vec{OA}</math> als Aufpunkt und erhalten somit:<br />
<br />
<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir nutzen den eben berechneten Normalenvektor auch zum Aufstellen der Koordinatenform.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Skalarprodukts des Normalenvektors mit dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>(-7 \cdot 7) + ((-15) \cdot 2) + ((-9) \cdot (-1)) =-70</math><br />
<br />
Damit ergibt sich folgende Koordinatengleichung:<br />
<br />
<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=-70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50529Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-03T13:40:19Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachtet man, wie im Tipp angegeben, die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene, so ist also der Schnittpunkt mit der <math>x_3</math>-Achse gesucht. <br />
Um die Lösung zu erhalten kann also für <math>\vec{x}</math> den Vektor <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> einsetzen. Berechnet man mithilfe der dritten Zeile den Parameter, ergibt sich aus <br />
<math>0 = {-}256+r \cdot 8</math> das Ergebnis <math>r=32</math>. Damit lassen sich im Anschluss die fehlenden Koordinaten berechnen. <br />
Es ergibt sich insgesamt als Lösung:<br />
<math>g \colon =\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Vektorprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese beiden Gleichungen bilden im Folgenden ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Löse das Gleichungssystem, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform <br />
<br />
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollte ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=6</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-7</math> und <math>n_3=392</math>. Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt <br />
<br />
<math>n_1-n_2=0</math> <br />
<br />
<math>n_1-3n_2+4n_3 =0</math>. <br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man durch Einsetzen in die Gleichungen des Gleichungssystems und Umformen <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OA}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=11</math>. <br />
<br />
Die Koordinatengleichung lautet somit: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=11</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<math>n_1+3n_2=0</math> <br />
<br />
<math>-2n_1+n_2+3n_3=0</math>.<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=9</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-3</math> und <math>n_3=7</math>. <br />
<br />
Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}</math>.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50527Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-03T13:19:08Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==Spurpunkte==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit der Koordinatenebene. <br />
Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform <math>g:\vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u}</math>. <br />
Gesucht sind die Spurpunkte der Geraden. Da es im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenebenen gibt <br />
(die <math>x_1x_2</math>, <math>x_1x_3</math> und <math>x_2x_3</math>-Ebene) <br />
lassen sich drei Spurpunkte berechnen:<br />
<br />
<math>S_1</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_2x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_2</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_3</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_2</math>-Ebene | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung der Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Den Spurpunkt <math>S_1</math> berechnet man folgendermaßen:<br />
<br />
'''1.''' Setze die erste Koordinate der Geradegleichung gleich Null und berechne den den dazugehörigen Parameter λ.<br />
<br />
'''2.''' Setze λ in die Geradegleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.<br />
<br />
Für <math>S_2</math> und <math>S_3</math> geht man auf gleicher Weise vor.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Spurpunkte berechnen | 2= Gegeben ist die Geradengleichung <math>g\colon\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Zum Berechnen von Spurpunkt <math>S_1</math> setzen wir die <math> x_1</math>-Koordinate von <math>S_1</math> gleich Null: <math>S_1(0|?|?)</math>.<br />
<br />
'''1.''' <math>x_1 = 0</math> in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um <math>\lambda</math> zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>1 + \lambda = 0</math> → <math>\lambda = {-}1</math></div><br />
<br />
'''2.''' <math>\lambda</math> in die Geradengleichung einsetzt, um den Spurpunkt zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>g \colon \vec{s_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + {-}1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Antwort: Der Spurpunkt <math>S_1</math> hat die Koordinaten <math>(0|{-}6|5)</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Spurpunkte | <br />
<br />
Berechne nun die übrigen beiden Spurpunkte <math>S_2</math> und <math>S_3</math> aus dem vorherigen Beispiel und stelle die Ebenengleichung dazu auf.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.'''<math>{-}4 + s \cdot 2 = 0</math> → <math>s = 2</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_2</math> hat die Koordinaten <math>(3|0|2)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.''' <math>4 - s = 0 </math>→ <math>s = 4</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_3</math> hat die Koordinaten <math>(5|4|0)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ {-}3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Spurpunkte berechnen | <br />
<br />
Gib die Schnittpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen an (Spurpunkte der Geraden)<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math>S_1 = (0 | 3 | 2), S_2 = (1{,}5 | 0 | 0{,}5), S_3 = (2 | {-}1 | 0)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''b)''' <math>S_1 = (0 | 5 | 5), S_2 = ({-}5 | 0 | 5), <br />
<br />
S_3</math> kann in diesem Fall nicht berechnet werden. Was heißt dies für unsere Gerade?|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Unsere Gerade aus Aufgabe '''b)''' schneidet die <math>x_1x_2</math>-Ebene nicht.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Vektorprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese beiden Gleichungen bilden im Folgenden ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Löse das Gleichungssystem, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform <br />
<br />
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollte ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=6</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-7</math> und <math>n_3=392</math>. Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt <br />
<br />
<math>n_1-n_2=0</math> <br />
<br />
<math>n_1-3n_2+4n_3 =0</math>. <br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man durch Einsetzen in die Gleichungen des Gleichungssystems und Umformen <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OA}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=11</math>. <br />
<br />
Die Koordinatengleichung lautet somit: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=11</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<math>n_1+3n_2=0</math> <br />
<br />
<math>-2n_1+n_2+3n_3=0</math>.<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=9</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-3</math> und <math>n_3=7</math>. <br />
<br />
Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}</math>.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50526Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-03T13:17:57Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==Spurpunkte==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit der Koordinatenebene. <br />
Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform <math>g:\vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u}</math>. <br />
Gesucht sind die Spurpunkte der Geraden. Da es im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenebenen gibt <br />
(die <math>x_1x_2</math>, <math>x_1x_3</math> und <math>x_2x_3</math>-Ebene) <br />
lassen sich drei Spurpunkte berechnen:<br />
<br />
<math>S_1</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_2x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_2</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_3</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_2</math>-Ebene | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung der Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Den Spurpunkt <math>S_1</math> berechnet man folgendermaßen:<br />
<br />
'''1.''' Setze die erste Koordinate der Geradegleichung gleich Null und berechne den den dazugehörigen Parameter λ.<br />
<br />
'''2.''' Setze λ in die Geradegleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.<br />
<br />
Für <math>S_2</math> und <math>S_3</math> geht man auf gleicher Weise vor.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Spurpunkte berechnen | 2= Gegeben ist die Geradengleichung <math>g\colon\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Zum Berechnen von Spurpunkt <math>S_1</math> setzen wir die <math> x_1</math>-Koordinate von <math>S_1</math> gleich Null: <math>S_1(0|?|?)</math>.<br />
<br />
'''1.''' <math>x_1 = 0</math> in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um <math>\lambda</math> zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>1 + \lambda = 0</math> → <math>\lambda = {-}1</math></div><br />
<br />
'''2.''' <math>\lambda</math> in die Geradengleichung einsetzt, um den Spurpunkt zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>g \colon \vec{s_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + {-}1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Antwort: Der Spurpunkt <math>S_1</math> hat die Koordinaten <math>(0|{-}6|5)</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Spurpunkte | <br />
<br />
Berechne nun die übrigen beiden Spurpunkte <math>S_2</math> und <math>S_3</math> aus dem vorherigen Beispiel und stelle die Ebenengleichung dazu auf.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.'''<math>{-}4 + s \cdot 2 = 0</math> → <math>s = 2</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_2</math> hat die Koordinaten <math>(3|0|2)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.''' <math>4 - s = 0 </math>→ <math>s = 4</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_3</math> hat die Koordinaten <math>(5|4|0)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ {-}3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Spurpunkte berechnen | <br />
<br />
Gib die Schnittpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen an (Spurpunkte der Geraden)<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math>S_1 = (0 | 3 | 2), S_2 = (1{,}5 | 0 | 0{,}5), S_3 = (2 | {-}1 | 0)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''b)''' <math>S_1 = (0 | 5 | 5), S_2 = ({-}5 | 0 | 5), <br />
<br />
S_3</math> kann in diesem Fall nicht berechnet werden. Was heißt dies für unsere Gerade?|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Unsere Gerade aus Aufgabe '''b)''' schneidet die <math>x_1x_2</math>-Ebene nicht.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Vektorprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese beiden Gleichungen bilden im Folgenden ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Löse das Gleichungssystem, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform <br />
<br />
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollte ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=6</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-7</math> und <math>n_3=392</math>. Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt <br />
<br />
<math>n_1-n_2=0</math> <br />
<br />
<math>n_1-3n_2+4n_3 =0</math>. <br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man durch Einsetzen in die Gleichungen des Gleichungssystems und Umformen <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OA}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=11</math>. <br />
<br />
Die Koordinatengleichung lautet somit: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=11</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<math>n_1+3n_2=0</math> <br />
<br />
<math>-2n_1+n_2+3n_3=0</math>.<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=9</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-3</math> und <math>n_3=7</math>. <br />
<br />
Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}</math>.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50524Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-03T13:00:51Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==Spurpunkte==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit der Koordinatenebene. <br />
Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform <math>g:\vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u}</math>. <br />
Gesucht sind die Spurpunkte der Geraden. Da es im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenebenen gibt <br />
(die <math>x_1x_2</math>, <math>x_1x_3</math> und <math>x_2x_3</math>-Ebene) <br />
lassen sich drei Spurpunkte berechnen:<br />
<br />
<math>S_1</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_2x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_2</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_3</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_2</math>-Ebene | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung der Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Den Spurpunkt <math>S_1</math> berechnet man folgendermaßen:<br />
<br />
'''1.''' Setze die erste Koordinate der Geradegleichung gleich Null und berechne den den dazugehörigen Parameter λ.<br />
<br />
'''2.''' Setze λ in die Geradegleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.<br />
<br />
Für <math>S_2</math> und <math>S_3</math> geht man auf gleicher Weise vor.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Spurpunkte berechnen | 2= Gegeben ist die Geradengleichung <math>g\colon\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Zum Berechnen von Spurpunkt <math>S_1</math> setzen wir die <math> x_1</math>-Koordinate von <math>S_1</math> gleich Null: <math>S_1(0|?|?)</math>.<br />
<br />
'''1.''' <math>x_1 = 0</math> in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um <math>\lambda</math> zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>1 + \lambda = 0</math> → <math>\lambda = {-}1</math></div><br />
<br />
'''2.''' <math>\lambda</math> in die Geradengleichung einsetzt, um den Spurpunkt zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>g \colon \vec{s_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + {-}1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Antwort: Der Spurpunkt <math>S_1</math> hat die Koordinaten <math>(0|{-}6|5)</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Spurpunkte | <br />
<br />
Berechne nun die übrigen beiden Spurpunkte <math>S_2</math> und <math>S_3</math> aus dem vorherigen Beispiel und stelle die Ebenengleichung dazu auf.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.'''<math>{-}4 + s \cdot 2 = 0</math> → <math>s = 2</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_2</math> hat die Koordinaten <math>(3|0|2)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.''' <math>4 - s = 0 </math>→ <math>s = 4</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_3</math> hat die Koordinaten <math>(5|4|0)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ {-}3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Spurpunkte berechnen | <br />
<br />
Gib die Schnittpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen an (Spurpunkte der Geraden)<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math>S_1 = (0 | 3 | 2), S_2 = (1{,}5 | 0 | 0{,}5), S_3 = (2 | {-}1 | 0)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''b)''' <math>S_1 = (0 | 5 | 5), S_2 = ({-}5 | 0 | 5), <br />
<br />
S_3</math> kann in diesem Fall nicht berechnet werden. Was heißt dies für unsere Gerade?|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Unsere Gerade aus Aufgabe '''b)''' schneidet die <math>x_1x_2</math>-Ebene nicht.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Vektorprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese beiden Gleichungen bilden im Folgenden ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Löse das Gleichungssystem, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben sei die Ebenengleichung in Parameterform <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollte ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=6</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-7</math> und <math>n_3=392</math>. Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}<math></math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt <br />
<br />
<math>n_1-n_2=0</math> <br />
<br />
<math>n_1-3n_2+4n_3 =0</math>. <br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man durch Einsetzen in die Gleichungen des Gleichungssystems und Umformen <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OA}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=11</math>. <br />
<br />
Die Koordinatengleichung lautet somit: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=11</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<math>n_1+3n_2=0</math> <br />
<br />
<math>-2n_1+n_2+3n_3=0</math>.<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=9</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-3</math> und <math>n_3=7</math>. <br />
<br />
Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}</math>.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und den Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \cdot \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50523Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-03T12:59:09Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.<br />
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==Spurpunkte==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit der Koordinatenebene. <br />
Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform <math>g:\vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u}</math>. <br />
Gesucht sind die Spurpunkte der Geraden. Da es im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenebenen gibt <br />
(die <math>x_1x_2</math>, <math>x_1x_3</math> und <math>x_2x_3</math>-Ebene) <br />
lassen sich drei Spurpunkte berechnen:<br />
<br />
<math>S_1</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_2x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_2</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_3</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_2</math>-Ebene | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung der Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Den Spurpunkt <math>S_1</math> berechnet man folgendermaßen:<br />
<br />
'''1.''' Setze die erste Koordinate der Geradegleichung gleich Null und berechne den den dazugehörigen Parameter λ.<br />
<br />
'''2.''' Setze λ in die Geradegleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.<br />
<br />
Für <math>S_2</math> und <math>S_3</math> geht man auf gleicher Weise vor.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Spurpunkte berechnen | 2= Gegeben ist die Geradengleichung <math>g\colon\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Zum Berechnen von Spurpunkt <math>S_1</math> setzen wir die <math> x_1</math>-Koordinate von <math>S_1</math> gleich Null: <math>S_1(0|?|?)</math>.<br />
<br />
'''1.''' <math>x_1 = 0</math> in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um <math>\lambda</math> zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>1 + \lambda = 0</math> → <math>\lambda = {-}1</math></div><br />
<br />
'''2.''' <math>\lambda</math> in die Geradengleichung einsetzt, um den Spurpunkt zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>g \colon \vec{s_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + {-}1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Antwort: Der Spurpunkt <math>S_1</math> hat die Koordinaten <math>(0|{-}6|5)</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Spurpunkte | <br />
<br />
Berechne nun die übrigen beiden Spurpunkte <math>S_2</math> und <math>S_3</math> aus dem vorherigen Beispiel und stelle die Ebenengleichung dazu auf.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.'''<math>{-}4 + s \cdot 2 = 0</math> → <math>s = 2</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_2</math> hat die Koordinaten <math>(3|0|2)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.''' <math>4 - s = 0 </math>→ <math>s = 4</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_3</math> hat die Koordinaten <math>(5|4|0)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ {-}3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Spurpunkte berechnen | <br />
<br />
Gib die Schnittpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen an (Spurpunkte der Geraden)<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math>S_1 = (0 | 3 | 2), S_2 = (1{,}5 | 0 | 0{,}5), S_3 = (2 | {-}1 | 0)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''b)''' <math>S_1 = (0 | 5 | 5), S_2 = ({-}5 | 0 | 5), <br />
<br />
S_3</math> kann in diesem Fall nicht berechnet werden. Was heißt dies für unsere Gerade?|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Unsere Gerade aus Aufgabe '''b)''' schneidet die <math>x_1x_2</math>-Ebene nicht.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | <br />
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung des Normalenvektors | <br />
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Vektorprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese beiden Gleichungen bilden im Folgenden ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Löse das Gleichungssystem, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben sei die Ebenengleichung in Parameterform <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollte ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt schöne Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=6</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-7</math> und <math>n_3=392</math>. Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}<math></math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt <br />
<br />
<math>n_1-n_2=0</math> <br />
<br />
<math>n_1-3n_2+4n_3 =0</math>. <br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man durch Einsetzen in die Gleichungen des Gleichungssystems und Umformen <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OA}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=11</math>. <br />
<br />
Die Koordinatengleichung lautet somit: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=11</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<math>n_1+3n_2=0</math> <br />
<br />
<math>-2n_1+n_2+3n_3=0</math>.<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=9</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-3</math> und <math>n_3=7</math>. <br />
<br />
Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}</math>.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und den Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \cdot \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50510Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-02T12:08:07Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
{{LearningApp|app=17029668|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==Spurpunkte==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit der Koordinatenebene. <br />
Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform <math>g:\vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u}</math>. <br />
Gesucht sind die Spurpunkte der Geraden. Da es im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenebenen gibt <br />
(die <math>x_1x_2</math>, <math>x_1x_3</math> und <math>x_2x_3</math>-Ebene) <br />
lassen sich drei Spurpunkte berechnen:<br />
<br />
<math>S_1</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_2x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_2</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_3</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_2</math>-Ebene | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung der Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Den Spurpunkt <math>S_1</math> berechnet man folgendermaßen:<br />
<br />
'''1.''' Setze die erste Koordinate der Geradegleichung gleich Null und berechne den den dazugehörigen Parameter λ.<br />
<br />
'''2.''' Setze λ in die Geradegleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.<br />
<br />
Für <math>S_2</math> und <math>S_3</math> geht man auf gleicher Weise vor.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Spurpunkte berechnen | 2= Gegeben ist die Geradengleichung <math>g\colon\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Zum Berechnen von Spurpunkt <math>S_1</math> setzen wir die <math> x_1</math>-Koordinate von <math>S_1</math> gleich Null: <math>S_1(0|?|?)</math>.<br />
<br />
'''1.''' <math>x_1 = 0</math> in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um <math>\lambda</math> zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>1 + \lambda = 0</math> → <math>\lambda = {-}1</math></div><br />
<br />
'''2.''' <math>\lambda</math> in die Geradengleichung einsetzt, um den Spurpunkt zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>g \colon \vec{s_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + {-}1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Antwort: Der Spurpunkt <math>S_1</math> hat die Koordinaten <math>(0|{-}6|5)</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Spurpunkte | <br />
<br />
Berechne nun die übrigen beiden Spurpunkte <math>S_2</math> und <math>S_3</math> aus dem vorherigen Beispiel und stelle die Ebenengleichung dazu auf.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.'''<math>{-}4 + s \cdot 2 = 0</math> → <math>s = 2</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_2</math> hat die Koordinaten <math>(3|0|2)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.''' <math>4 - s = 0 </math>→ <math>s = 4</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_3</math> hat die Koordinaten <math>(5|4|0)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ {-}3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Spurpunkte berechnen | <br />
<br />
Gib die Schnittpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen an (Spurpunkte der Geraden)<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math>S_1 = (0 | 3 | 2), S_2 = (1{,}5 | 0 | 0{,}5), S_3 = (2 | {-}1 | 0)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''b)''' <math>S_1 = (0 | 5 | 5), S_2 = ({-}5 | 0 | 5), <br />
<br />
S_3</math> kann in diesem Fall nicht berechnet werden. Was heißt dies für unsere Gerade?|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Unsere Gerade aus Aufgabe '''b)''' schneidet die <math>x_1x_2</math>-Ebene nicht.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung des Normalenvektors | Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Vektorprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese beiden Gleichungen bilden im Folgenden ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Löse das Gleichungssystem, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben sei die Ebenengleichung in Parameterform <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math>I \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math>II \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 1n_1 & + & 2n_2 & + & 1n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & 2n_1 & + & 2n_2 & - & 1n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollte ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt schöne Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=6</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-7</math> und <math>n_3=392</math>. Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}<math></math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt <br />
<br />
<math>n_1-n_2=0</math> <br />
<br />
<math>n_1-3n_2+4n_3 =0</math>. <br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man durch Einsetzen in die Gleichungen des Gleichungssystems und Umformen <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OA}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=11</math>. <br />
<br />
Die Koordinatengleichung lautet somit: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=11</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<math>n_1+3n_2=0</math> <br />
<br />
<math>-2n_1+n_2+3n_3=0</math>.<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=9</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-3</math> und <math>n_3=7</math>. <br />
<br />
Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}</math>.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und den Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \cdot \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50509Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-02T12:06:44Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
{{LearningApp|app=17029668|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==Spurpunkte==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit der Koordinatenebene. <br />
Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform <math>g:\vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u}</math>. <br />
Gesucht sind die Spurpunkte der Geraden. Da es im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenebenen gibt <br />
(die <math>x_1x_2</math>, <math>x_1x_3</math> und <math>x_2x_3</math>-Ebene) <br />
lassen sich drei Spurpunkte berechnen:<br />
<br />
<math>S_1</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_2x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_2</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_3</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_2</math>-Ebene | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung der Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Den Spurpunkt <math>S_1</math> berechnet man folgendermaßen:<br />
<br />
'''1.''' Setze die erste Koordinate der Geradegleichung gleich Null und berechne den den dazugehörigen Parameter λ.<br />
<br />
'''2.''' Setze λ in die Geradegleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.<br />
<br />
Für <math>S_2</math> und <math>S_3</math> geht man auf gleicher Weise vor.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Spurpunkte berechnen | 2= Gegeben ist die Geradengleichung <math>g\colon\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Zum Berechnen von Spurpunkt <math>S_1</math> setzen wir die <math> x_1</math>-Koordinate von <math>S_1</math> gleich Null: <math>S_1(0|?|?)</math>.<br />
<br />
'''1.''' <math>x_1 = 0</math> in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um <math>\lambda</math> zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>1 + \lambda = 0</math> → <math>\lambda = {-}1</math></div><br />
<br />
'''2.''' <math>\lambda</math> in die Geradengleichung einsetzt, um den Spurpunkt zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>g \colon \vec{s_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + {-}1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Antwort: Der Spurpunkt <math>S_1</math> hat die Koordinaten <math>(0|{-}6|5)</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Spurpunkte | <br />
<br />
Berechne nun die übrigen beiden Spurpunkte <math>S_2</math> und <math>S_3</math> aus dem vorherigen Beispiel und stelle die Ebenengleichung dazu auf.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.'''<math>{-}4 + s \cdot 2 = 0</math> → <math>s = 2</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_2</math> hat die Koordinaten <math>(3|0|2)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.''' <math>4 - s = 0 </math>→ <math>s = 4</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_3</math> hat die Koordinaten <math>(5|4|0)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ {-}3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Spurpunkte berechnen | <br />
<br />
Gib die Schnittpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen an (Spurpunkte der Geraden)<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math>S_1 = (0 | 3 | 2), S_2 = (1{,}5 | 0 | 0{,}5), S_3 = (2 | {-}1 | 0)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''b)''' <math>S_1 = (0 | 5 | 5), S_2 = ({-}5 | 0 | 5), <br />
<br />
S_3</math> kann in diesem Fall nicht berechnet werden. Was heißt dies für unsere Gerade?|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Unsere Gerade aus Aufgabe '''b)''' schneidet die <math>x_1x_2</math>-Ebene nicht.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung des Normalenvektors | Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Vektorprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese beiden Gleichungen bilden im Folgenden ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Löse das Gleichungssystem, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben sei die Ebenengleichung in Parameterform <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math>I \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math>II \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 1n_1 & + & 2n_2 & + & 1n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & 2n_1 & + & 2n_2 & - & 1n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollte ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt schöne Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 28n_1 & + & 24n_2 & + & 0n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & {-}21n_1 & + & 10n_2 & + & 0{,}5n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\<br />
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=6</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-7</math> und <math>n_3=392</math>. Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}<math></math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt <br />
<br />
<math>n_1-n_2=0</math> <br />
<br />
<math>n_1-3n_2+4n_3 =0</math>. <br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man durch Einsetzen in die Gleichungen des Gleichungssystems und Umformen <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OA}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=11</math>. <br />
<br />
Die Koordinatengleichung lautet somit: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=11</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<math>n_1+3n_2=0</math> <br />
<br />
<math>-2n_1+n_2+3n_3=0</math>.<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=9</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-3</math> und <math>n_3=7</math>. <br />
<br />
Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}</math>.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und den Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \cdot \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50508Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-02T12:02:30Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
{{LearningApp|app=17029668|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==Spurpunkte==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit der Koordinatenebene. <br />
Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform <math>g:\vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u}</math>. <br />
Gesucht sind die Spurpunkte der Geraden. Da es im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenebenen gibt <br />
(die <math>x_1x_2</math>, <math>x_1x_3</math> und <math>x_2x_3</math>-Ebene) <br />
lassen sich drei Spurpunkte berechnen:<br />
<br />
<math>S_1</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_2x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_2</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_3</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_2</math>-Ebene | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung der Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Den Spurpunkt <math>S_1</math> berechnet man folgendermaßen:<br />
<br />
'''1.''' Setze die erste Koordinate der Geradegleichung gleich Null und berechne den den dazugehörigen Parameter λ.<br />
<br />
'''2.''' Setze λ in die Geradegleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.<br />
<br />
Für <math>S_2</math> und <math>S_3</math> geht man auf gleicher Weise vor.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Spurpunkte berechnen | 2= Gegeben ist die Geradengleichung <math>g\colon\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Zum Berechnen von Spurpunkt <math>S_1</math> setzen wir die <math> x_1</math>-Koordinate von <math>S_1</math> gleich Null: <math>S_1(0|?|?)</math>.<br />
<br />
'''1.''' <math>x_1 = 0</math> in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um <math>\lambda</math> zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>1 + \lambda = 0</math> → <math>\lambda = {-}1</math></div><br />
<br />
'''2.''' <math>\lambda</math> in die Geradengleichung einsetzt, um den Spurpunkt zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>g \colon \vec{s_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + {-}1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Antwort: Der Spurpunkt <math>S_1</math> hat die Koordinaten <math>(0|{-}6|5)</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Spurpunkte | <br />
<br />
Berechne nun die übrigen beiden Spurpunkte <math>S_2</math> und <math>S_3</math> aus dem vorherigen Beispiel und stelle die Ebenengleichung dazu auf.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.'''<math>{-}4 + s \cdot 2 = 0</math> → <math>s = 2</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_2</math> hat die Koordinaten <math>(3|0|2)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.''' <math>4 - s = 0 </math>→ <math>s = 4</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_3</math> hat die Koordinaten <math>(5|4|0)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ {-}3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Spurpunkte berechnen | <br />
<br />
Gib die Schnittpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen an (Spurpunkte der Geraden)<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math>S_1 = (0 | 3 | 2), S_2 = (1{,}5 | 0 | 0{,}5), S_3 = (2 | {-}1 | 0)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''b)''' <math>S_1 = (0 | 5 | 5), S_2 = ({-}5 | 0 | 5), <br />
<br />
S_3</math> kann in diesem Fall nicht berechnet werden. Was heißt dies für unsere Gerade?|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Unsere Gerade aus Aufgabe '''b)''' schneidet die <math>x_1x_2</math>-Ebene nicht.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung des Normalenvektors | Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Vektorprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese beiden Gleichungen bilden im Folgenden ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Löse das Gleichungssystem, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben sei die Ebenengleichung in Parameterform <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math>I \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math>II \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 1n_1 & + & 2n_2 & + & 1n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & 2n_1 & + & 2n_2 & - & 1n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollte ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt schöne Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math><br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 28n_1 & + & 24n_2 & + & 0n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & {-}21n_1 & + & 10n_2 & + & 0{,}5n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=6</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-7</math> und <math>n_3=392</math>. Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}<math></math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt <br />
<br />
<math>n_1-n_2=0</math> <br />
<br />
<math>n_1-3n_2+4n_3 =0</math>. <br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man durch Einsetzen in die Gleichungen des Gleichungssystems und Umformen <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OA}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=11</math>. <br />
<br />
Die Koordinatengleichung lautet somit: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=11</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<math>n_1+3n_2=0</math> <br />
<br />
<math>-2n_1+n_2+3n_3=0</math>.<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=9</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-3</math> und <math>n_3=7</math>. <br />
<br />
Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}</math>.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und den Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \cdot \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50507Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-06-02T11:43:58Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; + \;&& ({-}2)s &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1 \\<br />
2 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\<br />
0 &&\; + \;&& 3s &&\; + \;&& 4t &&\; = \;&& {-}1<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.<br />
<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
\;&& s &&\; = \;&& 1 \\<br />
\;&& t &&\; = \;&& {-}1\\<br />
\;&& 0 &&\; = \;&& 0<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
<br />
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\<br />
0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\<br />
0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6<br />
\end{alignat}\right\vert</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
{{LearningApp|app=17029668|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==Spurpunkte==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit der Koordinatenebene. <br />
Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform <math>g:\vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u}</math>. <br />
Gesucht sind die Spurpunkte der Geraden. Da es im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenebenen gibt <br />
(die <math>x_1x_2</math>, <math>x_1x_3</math> und <math>x_2x_3</math>-Ebene) <br />
lassen sich drei Spurpunkte berechnen:<br />
<br />
<math>S_1</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_2x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_2</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_3</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_2</math>-Ebene | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung der Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Den Spurpunkt <math>S_1</math> berechnet man folgendermaßen:<br />
<br />
'''1.''' Setze die erste Koordinate der Geradegleichung gleich Null und berechne den den dazugehörigen Parameter λ.<br />
<br />
'''2.''' Setze λ in die Geradegleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.<br />
<br />
Für <math>S_2</math> und <math>S_3</math> geht man auf gleicher Weise vor.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Spurpunkte berechnen | 2= Gegeben ist die Geradengleichung <math>g\colon\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Zum Berechnen von Spurpunkt <math>S_1</math> setzen wir die <math> x_1</math>-Koordinate von <math>S_1</math> gleich Null: <math>S_1(0|?|?)</math>.<br />
<br />
'''1.''' <math>x_1 = 0</math> in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um <math>\lambda</math> zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>1 + \lambda = 0</math> → <math>\lambda = {-}1</math></div><br />
<br />
'''2.''' <math>\lambda</math> in die Geradengleichung einsetzt, um den Spurpunkt zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>g \colon \vec{s_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + {-}1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Antwort: Der Spurpunkt <math>S_1</math> hat die Koordinaten <math>(0|{-}6|5)</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Spurpunkte | <br />
<br />
Berechne nun die übrigen beiden Spurpunkte <math>S_2</math> und <math>S_3</math> aus dem vorherigen Beispiel und stelle die Ebenengleichung dazu auf.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.'''<math>{-}4 + s \cdot 2 = 0</math> → <math>s = 2</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_2</math> hat die Koordinaten <math>(3|0|2)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.''' <math>4 - s = 0 </math>→ <math>s = 4</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_3</math> hat die Koordinaten <math>(5|4|0)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ {-}3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Spurpunkte berechnen | <br />
<br />
Gib die Schnittpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen an (Spurpunkte der Geraden)<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math>S_1 = (0 | 3 | 2), S_2 = (1{,}5 | 0 | 0{,}5), S_3 = (2 | {-}1 | 0)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''b)''' <math>S_1 = (0 | 5 | 5), S_2 = ({-}5 | 0 | 5), <br />
<br />
S_3</math> kann in diesem Fall nicht berechnet werden. Was heißt dies für unsere Gerade?|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Unsere Gerade aus Aufgabe '''b)''' schneidet die <math>x_1x_2</math>-Ebene nicht.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung des Normalenvektors | Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Vektorprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese beiden Gleichungen bilden im Folgenden ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Löse das Gleichungssystem, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben sei die Ebenengleichung in Parameterform <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math>I \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math>II \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 1n_1 & + & 2n_2 & + & 1n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & 2n_1 & + & 2n_2 & - & 1n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollte ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt schöne Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalengleichung''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatengleichung''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. <br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 28n_1 & + & 24n_2 & + & 0n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & {-}21n_1 & + & 10n_2 & + & 0{,}5n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=6</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-7</math> und <math>n_3=392</math>. Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}<math></math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt <br />
<br />
<math>n_1-n_2=0</math> <br />
<br />
<math>n_1-3n_2+4n_3 =0</math>. <br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man durch Einsetzen in die Gleichungen des Gleichungssystems und Umformen <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OA}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=11</math>. <br />
<br />
Die Koordinatengleichung lautet somit: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=11</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<math>n_1+3n_2=0</math> <br />
<br />
<math>-2n_1+n_2+3n_3=0</math>.<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=9</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-3</math> und <math>n_3=7</math>. <br />
<br />
Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}</math>.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und den Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \cdot \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50422Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-05-31T16:31:55Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>r,s</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+r \cdot \vec{u}+s \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & {-}2r & + & 0s & = & {-}2\\<br />
\text{II}\quad & 0r & + & 1s & = & {-}1\\<br />
\text{III}\quad & 3r & + & 4s & = & {-}1<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
Aus der ersten Gleichung folgt <math>r=1</math>, die zweite Gleichung ergibt <math>s={-}1</math>.<br />
Die dritte Gleichung ist für diese Werte ebenfalls erfüllt, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 6 & + & 0s & + & {-}3t & = & 4{,}5\\<br />
\text{II}\quad & 0 & + & 6s & + & 3t & = & 4{,}5\\<br />
\text{III}\quad & 0 & + & 0s & + & 12t & = & 6<br />
\end{array}</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
{{LearningApp|app=17029668|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==Spurpunkte==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit der Koordinatenebene. <br />
Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform <math>g:\vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u}</math>. <br />
Gesucht sind die Spurpunkte der Geraden. Da es im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenebenen gibt <br />
(die <math>x_1x_2</math>, <math>x_1x_3</math> und <math>x_2x_3</math>-Ebene) <br />
lassen sich drei Spurpunkte berechnen:<br />
<br />
<math>S_1</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_2x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_2</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_3</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_2</math>-Ebene | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung der Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Den Spurpunkt <math>S_1</math> berechnet man folgendermaßen:<br />
<br />
'''1.''' Setze die erste Koordinate der Geradegleichung gleich Null und berechne den den dazugehörigen Parameter λ.<br />
<br />
'''2.''' Setze λ in die Geradegleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.<br />
<br />
Für <math>S_2</math> und <math>S_3</math> geht man auf gleicher Weise vor.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Spurpunkte berechnen | 2= Gegeben ist die Geradengleichung <math>g\colon\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Zum Berechnen von Spurpunkt <math>S_1</math> setzen wir die <math> x_1</math>-Koordinate von <math>S_1</math> gleich Null: <math>S_1(0|?|?)</math>.<br />
<br />
'''1.''' <math>x_1 = 0</math> in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um <math>\lambda</math> zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>1 + \lambda = 0</math> → <math>\lambda = {-}1</math></div><br />
<br />
'''2.''' <math>\lambda</math> in die Geradengleichung einsetzt, um den Spurpunkt zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>g \colon \vec{s_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + {-}1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Antwort: Der Spurpunkt <math>S_1</math> hat die Koordinaten <math>(0|{-}6|5)</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Spurpunkte | <br />
<br />
Berechne nun die übrigen beiden Spurpunkte <math>S_2</math> und <math>S_3</math> aus dem vorherigen Beispiel und stelle die Ebenengleichung dazu auf.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.'''<math>{-}4 + s \cdot 2 = 0</math> → <math>s = 2</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_2</math> hat die Koordinaten <math>(3|0|2)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.''' <math>4 - s = 0 </math>→ <math>s = 4</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_3</math> hat die Koordinaten <math>(5|4|0)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ {-}3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Spurpunkte berechnen | <br />
<br />
Gib die Schnittpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen an (Spurpunkte der Geraden)<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math>S_1 = (0 | 3 | 2), S_2 = (1{,}5 | 0 | 0{,}5), S_3 = (2 | {-}1 | 0)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''b)''' <math>S_1 = (0 | 5 | 5), S_2 = ({-}5 | 0 | 5), <br />
<br />
S_3</math> kann in diesem Fall nicht berechnet werden. Was heißt dies für unsere Gerade?|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Unsere Gerade aus Aufgabe '''b)''' schneidet die <math>x_1x_2</math>-Ebene nicht.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung des Normalenvektors | Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Vektorprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese beiden Gleichungen bilden im Folgenden ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Löse das Gleichungssystem, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben sei die Ebenengleichung in Parameterform <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math>I \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math>II \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 1n_1 & + & 2n_2 & + & 1n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & 2n_1 & + & 2n_2 & - & 1n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollte ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt schöne Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalengleichung''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatengleichung''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. <br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1+x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 28n_1 & + & 24n_2 & + & 0n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & {-}21n_1 & + & 10n_2 & + & 0{,}5n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=6</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-7</math> und <math>n_3=392</math>. Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}<math></math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt <br />
<br />
<math>n_1-n_2=0</math> <br />
<br />
<math>n_1-3n_2+4n_3 =0</math>. <br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man durch Einsetzen in die Gleichungen des Gleichungssystems und Umformen <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OA}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=11</math>. <br />
<br />
Die Koordinatengleichung lautet somit: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=11</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<math>n_1+3n_2=0</math> <br />
<br />
<math>-2n_1+n_2+3n_3=0</math>.<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=9</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-3</math> und <math>n_3=7</math>. <br />
<br />
Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}</math>.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und den Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \cdot \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50421Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-05-31T16:28:52Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.<br />
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss geprüft werden, ob die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist, folgt hier direkt, ohne weiteres Prüfen, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. <br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>r,s</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+r \cdot \vec{u}+s \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & {-}2r & + & 0s & = & {-}2\\<br />
\text{II}\quad & 0r & + & 1s & = & {-}1\\<br />
\text{III}\quad & 3r & + & 4s & = & {-}1<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
Aus der ersten Gleichung folgt <math>r=1</math>, die zweite Gleichung ergibt <math>s={-}1</math>.<br />
Die dritte Gleichung ist für diese Werte ebenfalls erfüllt, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 6 & + & 0s & + & {-}3t & = & 4{,}5\\<br />
\text{II}\quad & 0 & + & 6s & + & 3t & = & 4{,}5\\<br />
\text{III}\quad & 0 & + & 0s & + & 12t & = & 6<br />
\end{array}</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
{{LearningApp|app=17029668|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==Spurpunkte==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit der Koordinatenebene. <br />
Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform <math>g:\vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u}</math>. <br />
Gesucht sind die Spurpunkte der Geraden. Da es im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenebenen gibt <br />
(die <math>x_1x_2</math>, <math>x_1x_3</math> und <math>x_2x_3</math>-Ebene) <br />
lassen sich drei Spurpunkte berechnen:<br />
<br />
<math>S_1</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_2x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_2</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_3</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_2</math>-Ebene | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung der Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Den Spurpunkt <math>S_1</math> berechnet man folgendermaßen:<br />
<br />
'''1.''' Setze die erste Koordinate der Geradegleichung gleich Null und berechne den den dazugehörigen Parameter λ.<br />
<br />
'''2.''' Setze λ in die Geradegleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.<br />
<br />
Für <math>S_2</math> und <math>S_3</math> geht man auf gleicher Weise vor.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Spurpunkte berechnen | 2= Gegeben ist die Geradengleichung <math>g\colon\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Zum Berechnen von Spurpunkt <math>S_1</math> setzen wir die <math> x_1</math>-Koordinate von <math>S_1</math> gleich Null: <math>S_1(0|?|?)</math>.<br />
<br />
'''1.''' <math>x_1 = 0</math> in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um <math>\lambda</math> zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>1 + \lambda = 0</math> → <math>\lambda = {-}1</math></div><br />
<br />
'''2.''' <math>\lambda</math> in die Geradengleichung einsetzt, um den Spurpunkt zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>g \colon \vec{s_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + {-}1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Antwort: Der Spurpunkt <math>S_1</math> hat die Koordinaten <math>(0|{-}6|5)</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Spurpunkte | <br />
<br />
Berechne nun die übrigen beiden Spurpunkte <math>S_2</math> und <math>S_3</math> aus dem vorherigen Beispiel und stelle die Ebenengleichung dazu auf.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.'''<math>{-}4 + s \cdot 2 = 0</math> → <math>s = 2</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_2</math> hat die Koordinaten <math>(3|0|2)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.''' <math>4 - s = 0 </math>→ <math>s = 4</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_3</math> hat die Koordinaten <math>(5|4|0)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ {-}3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Spurpunkte berechnen | <br />
<br />
Gib die Schnittpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen an (Spurpunkte der Geraden)<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math>S_1 = (0 | 3 | 2), S_2 = (1{,}5 | 0 | 0{,}5), S_3 = (2 | {-}1 | 0)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''b)''' <math>S_1 = (0 | 5 | 5), S_2 = ({-}5 | 0 | 5), <br />
<br />
S_3</math> kann in diesem Fall nicht berechnet werden. Was heißt dies für unsere Gerade?|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Unsere Gerade aus Aufgabe '''b)''' schneidet die <math>x_1x_2</math>-Ebene nicht.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung des Normalenvektors | Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Vektorprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese beiden Gleichungen bilden im Folgenden ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Löse das Gleichungssystem, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben sei die Ebenengleichung in Parameterform <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math>I \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math>II \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 1n_1 & + & 2n_2 & + & 1n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & 2n_1 & + & 2n_2 & - & 1n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollte ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt schöne Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalengleichung''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatengleichung''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. <br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1+x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 28n_1 & + & 24n_2 & + & 0n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & {-}21n_1 & + & 10n_2 & + & 0{,}5n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=6</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-7</math> und <math>n_3=392</math>. Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}<math></math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt <br />
<br />
<math>n_1-n_2=0</math> <br />
<br />
<math>n_1-3n_2+4n_3 =0</math>. <br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man durch Einsetzen in die Gleichungen des Gleichungssystems und Umformen <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OA}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=11</math>. <br />
<br />
Die Koordinatengleichung lautet somit: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=11</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<math>n_1+3n_2=0</math> <br />
<br />
<math>-2n_1+n_2+3n_3=0</math>.<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=9</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-3</math> und <math>n_3=7</math>. <br />
<br />
Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}</math>.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und den Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \cdot \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50420Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-05-31T16:19:45Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>, die nicht auf einer Geraden liegen.<br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf:<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>r,s</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+r \cdot \vec{u}+s \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & {-}2r & + & 0s & = & {-}2\\<br />
\text{II}\quad & 0r & + & 1s & = & {-}1\\<br />
\text{III}\quad & 3r & + & 4s & = & {-}1<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
Aus der ersten Gleichung folgt <math>r=1</math>, die zweite Gleichung ergibt <math>s={-}1</math>.<br />
Die dritte Gleichung ist für diese Werte ebenfalls erfüllt, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 6 & + & 0s & + & {-}3t & = & 4{,}5\\<br />
\text{II}\quad & 0 & + & 6s & + & 3t & = & 4{,}5\\<br />
\text{III}\quad & 0 & + & 0s & + & 12t & = & 6<br />
\end{array}</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
{{LearningApp|app=17029668|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==Spurpunkte==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit der Koordinatenebene. <br />
Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform <math>g:\vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u}</math>. <br />
Gesucht sind die Spurpunkte der Geraden. Da es im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenebenen gibt <br />
(die <math>x_1x_2</math>, <math>x_1x_3</math> und <math>x_2x_3</math>-Ebene) <br />
lassen sich drei Spurpunkte berechnen:<br />
<br />
<math>S_1</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_2x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_2</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_3</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_2</math>-Ebene | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung der Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Den Spurpunkt <math>S_1</math> berechnet man folgendermaßen:<br />
<br />
'''1.''' Setze die erste Koordinate der Geradegleichung gleich Null und berechne den den dazugehörigen Parameter λ.<br />
<br />
'''2.''' Setze λ in die Geradegleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.<br />
<br />
Für <math>S_2</math> und <math>S_3</math> geht man auf gleicher Weise vor.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Spurpunkte berechnen | 2= Gegeben ist die Geradengleichung <math>g\colon\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Zum Berechnen von Spurpunkt <math>S_1</math> setzen wir die <math> x_1</math>-Koordinate von <math>S_1</math> gleich Null: <math>S_1(0|?|?)</math>.<br />
<br />
'''1.''' <math>x_1 = 0</math> in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um <math>\lambda</math> zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>1 + \lambda = 0</math> → <math>\lambda = {-}1</math></div><br />
<br />
'''2.''' <math>\lambda</math> in die Geradengleichung einsetzt, um den Spurpunkt zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>g \colon \vec{s_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + {-}1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Antwort: Der Spurpunkt <math>S_1</math> hat die Koordinaten <math>(0|{-}6|5)</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Spurpunkte | <br />
<br />
Berechne nun die übrigen beiden Spurpunkte <math>S_2</math> und <math>S_3</math> aus dem vorherigen Beispiel und stelle die Ebenengleichung dazu auf.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.'''<math>{-}4 + s \cdot 2 = 0</math> → <math>s = 2</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_2</math> hat die Koordinaten <math>(3|0|2)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.''' <math>4 - s = 0 </math>→ <math>s = 4</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_3</math> hat die Koordinaten <math>(5|4|0)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ {-}3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Spurpunkte berechnen | <br />
<br />
Gib die Schnittpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen an (Spurpunkte der Geraden)<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math>S_1 = (0 | 3 | 2), S_2 = (1{,}5 | 0 | 0{,}5), S_3 = (2 | {-}1 | 0)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''b)''' <math>S_1 = (0 | 5 | 5), S_2 = ({-}5 | 0 | 5), <br />
<br />
S_3</math> kann in diesem Fall nicht berechnet werden. Was heißt dies für unsere Gerade?|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Unsere Gerade aus Aufgabe '''b)''' schneidet die <math>x_1x_2</math>-Ebene nicht.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung des Normalenvektors | Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Vektorprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese beiden Gleichungen bilden im Folgenden ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Löse das Gleichungssystem, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben sei die Ebenengleichung in Parameterform <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math>I \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math>II \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 1n_1 & + & 2n_2 & + & 1n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & 2n_1 & + & 2n_2 & - & 1n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollte ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt schöne Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalengleichung''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatengleichung''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. <br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1+x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 28n_1 & + & 24n_2 & + & 0n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & {-}21n_1 & + & 10n_2 & + & 0{,}5n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=6</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-7</math> und <math>n_3=392</math>. Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}<math></math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt <br />
<br />
<math>n_1-n_2=0</math> <br />
<br />
<math>n_1-3n_2+4n_3 =0</math>. <br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man durch Einsetzen in die Gleichungen des Gleichungssystems und Umformen <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OA}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=11</math>. <br />
<br />
Die Koordinatengleichung lautet somit: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=11</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<math>n_1+3n_2=0</math> <br />
<br />
<math>-2n_1+n_2+3n_3=0</math>.<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=9</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-3</math> und <math>n_3=7</math>. <br />
<br />
Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}</math>.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und den Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \cdot \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50419Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-05-31T16:18:15Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini]]<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>, die nicht auf einer Geraden liegen.<br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf:<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>r,s</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+r \cdot \vec{u}+s \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & {-}2r & + & 0s & = & {-}2\\<br />
\text{II}\quad & 0r & + & 1s & = & {-}1\\<br />
\text{III}\quad & 3r & + & 4s & = & {-}1<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
Aus der ersten Gleichung folgt <math>r=1</math>, die zweite Gleichung ergibt <math>s={-}1</math>.<br />
Die dritte Gleichung ist für diese Werte ebenfalls erfüllt, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 6 & + & 0s & + & {-}3t & = & 4{,}5\\<br />
\text{II}\quad & 0 & + & 6s & + & 3t & = & 4{,}5\\<br />
\text{III}\quad & 0 & + & 0s & + & 12t & = & 6<br />
\end{array}</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
{{LearningApp|app=17029668|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==Spurpunkte==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit der Koordinatenebene. <br />
Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform <math>g:\vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u}</math>. <br />
Gesucht sind die Spurpunkte der Geraden. Da es im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenebenen gibt <br />
(die <math>x_1x_2</math>, <math>x_1x_3</math> und <math>x_2x_3</math>-Ebene) <br />
lassen sich drei Spurpunkte berechnen:<br />
<br />
<math>S_1</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_2x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_2</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_3</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_2</math>-Ebene | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung der Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Den Spurpunkt <math>S_1</math> berechnet man folgendermaßen:<br />
<br />
'''1.''' Setze die erste Koordinate der Geradegleichung gleich Null und berechne den den dazugehörigen Parameter λ.<br />
<br />
'''2.''' Setze λ in die Geradegleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.<br />
<br />
Für <math>S_2</math> und <math>S_3</math> geht man auf gleicher Weise vor.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Spurpunkte berechnen | 2= Gegeben ist die Geradengleichung <math>g\colon\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Zum Berechnen von Spurpunkt <math>S_1</math> setzen wir die <math> x_1</math>-Koordinate von <math>S_1</math> gleich Null: <math>S_1(0|?|?)</math>.<br />
<br />
'''1.''' <math>x_1 = 0</math> in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um <math>\lambda</math> zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>1 + \lambda = 0</math> → <math>\lambda = {-}1</math></div><br />
<br />
'''2.''' <math>\lambda</math> in die Geradengleichung einsetzt, um den Spurpunkt zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>g \colon \vec{s_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + {-}1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Antwort: Der Spurpunkt <math>S_1</math> hat die Koordinaten <math>(0|{-}6|5)</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Spurpunkte | <br />
<br />
Berechne nun die übrigen beiden Spurpunkte <math>S_2</math> und <math>S_3</math> aus dem vorherigen Beispiel und stelle die Ebenengleichung dazu auf.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.'''<math>{-}4 + s \cdot 2 = 0</math> → <math>s = 2</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_2</math> hat die Koordinaten <math>(3|0|2)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.''' <math>4 - s = 0 </math>→ <math>s = 4</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_3</math> hat die Koordinaten <math>(5|4|0)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ {-}3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Spurpunkte berechnen | <br />
<br />
Gib die Schnittpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen an (Spurpunkte der Geraden)<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math>S_1 = (0 | 3 | 2), S_2 = (1{,}5 | 0 | 0{,}5), S_3 = (2 | {-}1 | 0)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''b)''' <math>S_1 = (0 | 5 | 5), S_2 = ({-}5 | 0 | 5), <br />
<br />
S_3</math> kann in diesem Fall nicht berechnet werden. Was heißt dies für unsere Gerade?|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Unsere Gerade aus Aufgabe '''b)''' schneidet die <math>x_1x_2</math>-Ebene nicht.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung des Normalenvektors | Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Vektorprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese beiden Gleichungen bilden im Folgenden ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Löse das Gleichungssystem, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben sei die Ebenengleichung in Parameterform <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math>I \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math>II \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 1n_1 & + & 2n_2 & + & 1n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & 2n_1 & + & 2n_2 & - & 1n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollte ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt schöne Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalengleichung''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatengleichung''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. <br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1+x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 28n_1 & + & 24n_2 & + & 0n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & {-}21n_1 & + & 10n_2 & + & 0{,}5n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=6</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-7</math> und <math>n_3=392</math>. Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}<math></math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt <br />
<br />
<math>n_1-n_2=0</math> <br />
<br />
<math>n_1-3n_2+4n_3 =0</math>. <br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man durch Einsetzen in die Gleichungen des Gleichungssystems und Umformen <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OA}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=11</math>. <br />
<br />
Die Koordinatengleichung lautet somit: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=11</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<math>n_1+3n_2=0</math> <br />
<br />
<math>-2n_1+n_2+3n_3=0</math>.<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=9</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-3</math> und <math>n_3=7</math>. <br />
<br />
Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}</math>.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und den Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \cdot \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Datei:Darstellung-_Ebene_in_Parameterform_.jpg&diff=50418Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg2021-05-31T16:17:55Z<p>Laura WWU-8: Hochgeladen mit VisualEditor Seite</p>
<hr />
<div>{{Information<br />
|description = Ebene Parameterform<br />
|source = Eigene Arbeit<br />
|author = [[User:Laura WWU-8|Laura WWU-8]]<br />
}}<br />
<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50277Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-05-27T09:09:52Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>, die nicht auf einer Geraden liegen.<br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf:<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe| <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>r,s</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+r \cdot \vec{u}+s \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & {-}2r & + & 0s & = & {-}2\\<br />
\text{II}\quad & 0r & + & 1s & = & {-}1\\<br />
\text{III}\quad & 3r & + & 4s & = & {-}1<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
Aus der ersten Gleichung folgt <math>r=1</math>, die zweite Gleichung ergibt <math>s={-}1</math>.<br />
Die dritte Gleichung ist für diese Werte ebenfalls erfüllt, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 6 & + & 0s & + & {-}3t & = & 4{,}5\\<br />
\text{II}\quad & 0 & + & 6s & + & 3t & = & 4{,}5\\<br />
\text{III}\quad & 0 & + & 0s & + & 12t & = & 6<br />
\end{array}</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
{{LearningApp|app=17029668|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==Spurpunkte==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit der Koordinatenebene. <br />
Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform <math>g:\vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u}</math>. <br />
Gesucht sind die Spurpunkte der Geraden. Da es im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenebenen gibt <br />
(die <math>x_1x_2</math>, <math>x_1x_3</math> und <math>x_2x_3</math>-Ebene) <br />
lassen sich drei Spurpunkte berechnen:<br />
<br />
<math>S_1</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_2x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_2</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_3</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_2</math>-Ebene | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung der Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Den Spurpunkt <math>S_1</math> berechnet man folgendermaßen:<br />
<br />
'''1.''' Setze die erste Koordinate der Geradegleichung gleich Null und berechne den den dazugehörigen Parameter λ.<br />
<br />
'''2.''' Setze λ in die Geradegleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.<br />
<br />
Für <math>S_2</math> und <math>S_3</math> geht man auf gleicher Weise vor.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Spurpunkte berechnen | 2= Gegeben ist die Geradengleichung <math>g\colon\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Zum Berechnen von Spurpunkt <math>S_1</math> setzen wir die <math> x_1</math>-Koordinate von <math>S_1</math> gleich Null: <math>S_1(0|?|?)</math>.<br />
<br />
'''1.''' <math>x_1 = 0</math> in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um <math>\lambda</math> zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>1 + \lambda = 0</math> → <math>\lambda = {-}1</math></div><br />
<br />
'''2.''' <math>\lambda</math> in die Geradengleichung einsetzt, um den Spurpunkt zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>g \colon \vec{s_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + {-}1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Antwort: Der Spurpunkt <math>S_1</math> hat die Koordinaten <math>(0|{-}6|5)</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Spurpunkte | <br />
<br />
Berechne nun die übrigen beiden Spurpunkte <math>S_2</math> und <math>S_3</math> aus dem vorherigen Beispiel und stelle die Ebenengleichung dazu auf.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.'''<math>{-}4 + s \cdot 2 = 0</math> → <math>s = 2</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_2</math> hat die Koordinaten <math>(3|0|2)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.''' <math>4 - s = 0 </math>→ <math>s = 4</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_3</math> hat die Koordinaten <math>(5|4|0)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ {-}3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Spurpunkte berechnen | <br />
<br />
Gib die Schnittpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen an (Spurpunkte der Geraden)<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math>S_1 = (0 | 3 | 2), S_2 = (1{,}5 | 0 | 0{,}5), S_3 = (2 | {-}1 | 0)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''b)''' <math>S_1 = (0 | 5 | 5), S_2 = ({-}5 | 0 | 5), <br />
<br />
S_3</math> kann in diesem Fall nicht berechnet werden. Was heißt dies für unsere Gerade?|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Unsere Gerade aus Aufgabe '''b)''' schneidet die <math>x_1x_2</math>-Ebene nicht.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung des Normalenvektors | Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Vektorprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese beiden Gleichungen bilden im Folgenden ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Löse das Gleichungssystem, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben sei die Ebenengleichung in Parameterform <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math>I \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math>II \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 1n_1 & + & 2n_2 & + & 1n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & 2n_1 & + & 2n_2 & - & 1n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollte ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt schöne Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalengleichung''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatengleichung''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. <br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1+x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 28n_1 & + & 24n_2 & + & 0n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & {-}21n_1 & + & 10n_2 & + & 0{,}5n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=6</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-7</math> und <math>n_3=392</math>. Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}<math></math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt <br />
<br />
<math>n_1-n_2=0</math> <br />
<br />
<math>n_1-3n_2+4n_3 =0</math>. <br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man durch Einsetzen in die Gleichungen des Gleichungssystems und Umformen <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OA}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=11</math>. <br />
<br />
Die Koordinatengleichung lautet somit: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=11</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<math>n_1+3n_2=0</math> <br />
<br />
<math>-2n_1+n_2+3n_3=0</math>.<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=9</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-3</math> und <math>n_3=7</math>. <br />
<br />
Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}</math>.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und den Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \cdot \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50276Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-05-27T09:08:41Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>, die nicht auf einer Geraden liegen.<br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf:<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe|{{Lösung versteckt|1= <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
| 2=Infobox | 3=Einklappen}}|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>r,s</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+r \cdot \vec{u}+s \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & {-}2r & + & 0s & = & {-}2\\<br />
\text{II}\quad & 0r & + & 1s & = & {-}1\\<br />
\text{III}\quad & 3r & + & 4s & = & {-}1<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
Aus der ersten Gleichung folgt <math>r=1</math>, die zweite Gleichung ergibt <math>s={-}1</math>.<br />
Die dritte Gleichung ist für diese Werte ebenfalls erfüllt, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 6 & + & 0s & + & {-}3t & = & 4{,}5\\<br />
\text{II}\quad & 0 & + & 6s & + & 3t & = & 4{,}5\\<br />
\text{III}\quad & 0 & + & 0s & + & 12t & = & 6<br />
\end{array}</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
{{LearningApp|app=17029668|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==Spurpunkte==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit der Koordinatenebene. <br />
Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform <math>g:\vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u}</math>. <br />
Gesucht sind die Spurpunkte der Geraden. Da es im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenebenen gibt <br />
(die <math>x_1x_2</math>, <math>x_1x_3</math> und <math>x_2x_3</math>-Ebene) <br />
lassen sich drei Spurpunkte berechnen:<br />
<br />
<math>S_1</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_2x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_2</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_3</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_2</math>-Ebene | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung der Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Den Spurpunkt <math>S_1</math> berechnet man folgendermaßen:<br />
<br />
'''1.''' Setze die erste Koordinate der Geradegleichung gleich Null und berechne den den dazugehörigen Parameter λ.<br />
<br />
'''2.''' Setze λ in die Geradegleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.<br />
<br />
Für <math>S_2</math> und <math>S_3</math> geht man auf gleicher Weise vor.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Spurpunkte berechnen | 2= Gegeben ist die Geradengleichung <math>g\colon\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Zum Berechnen von Spurpunkt <math>S_1</math> setzen wir die <math> x_1</math>-Koordinate von <math>S_1</math> gleich Null: <math>S_1(0|?|?)</math>.<br />
<br />
'''1.''' <math>x_1 = 0</math> in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um <math>\lambda</math> zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>1 + \lambda = 0</math> → <math>\lambda = {-}1</math></div><br />
<br />
'''2.''' <math>\lambda</math> in die Geradengleichung einsetzt, um den Spurpunkt zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>g \colon \vec{s_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + {-}1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Antwort: Der Spurpunkt <math>S_1</math> hat die Koordinaten <math>(0|{-}6|5)</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Spurpunkte | <br />
<br />
Berechne nun die übrigen beiden Spurpunkte <math>S_2</math> und <math>S_3</math> aus dem vorherigen Beispiel und stelle die Ebenengleichung dazu auf.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.'''<math>{-}4 + s \cdot 2 = 0</math> → <math>s = 2</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_2</math> hat die Koordinaten <math>(3|0|2)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.''' <math>4 - s = 0 </math>→ <math>s = 4</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_3</math> hat die Koordinaten <math>(5|4|0)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ {-}3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Spurpunkte berechnen | <br />
<br />
Gib die Schnittpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen an (Spurpunkte der Geraden)<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math>S_1 = (0 | 3 | 2), S_2 = (1{,}5 | 0 | 0{,}5), S_3 = (2 | {-}1 | 0)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''b)''' <math>S_1 = (0 | 5 | 5), S_2 = ({-}5 | 0 | 5), <br />
<br />
S_3</math> kann in diesem Fall nicht berechnet werden. Was heißt dies für unsere Gerade?|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Unsere Gerade aus Aufgabe '''b)''' schneidet die <math>x_1x_2</math>-Ebene nicht.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung des Normalenvektors | Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Vektorprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese beiden Gleichungen bilden im Folgenden ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Löse das Gleichungssystem, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest. |<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben sei die Ebenengleichung in Parameterform <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math>I \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math>II \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 1n_1 & + & 2n_2 & + & 1n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & 2n_1 & + & 2n_2 & - & 1n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollte ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt schöne Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalengleichung''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatengleichung''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. <br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1+x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 28n_1 & + & 24n_2 & + & 0n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & {-}21n_1 & + & 10n_2 & + & 0{,}5n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=6</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-7</math> und <math>n_3=392</math>. Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}<math></math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt <br />
<br />
<math>n_1-n_2=0</math> <br />
<br />
<math>n_1-3n_2+4n_3 =0</math>. <br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man durch Einsetzen in die Gleichungen des Gleichungssystems und Umformen <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OA}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=11</math>. <br />
<br />
Die Koordinatengleichung lautet somit: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=11</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<math>n_1+3n_2=0</math> <br />
<br />
<math>-2n_1+n_2+3n_3=0</math>.<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=9</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-3</math> und <math>n_3=7</math>. <br />
<br />
Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}</math>.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und den Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \cdot \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50275Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-05-27T09:05:15Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>, die nicht auf einer Geraden liegen.<br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf:<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe|{{Lösung versteckt|1= <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
| 2=Infobox | 3=Einklappen}}|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>r,s</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+r \cdot \vec{u}+s \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & {-}2r & + & 0s & = & {-}2\\<br />
\text{II}\quad & 0r & + & 1s & = & {-}1\\<br />
\text{III}\quad & 3r & + & 4s & = & {-}1<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
Aus der ersten Gleichung folgt <math>r=1</math>, die zweite Gleichung ergibt <math>s={-}1</math>.<br />
Die dritte Gleichung ist für diese Werte ebenfalls erfüllt, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 6 & + & 0s & + & {-}3t & = & 4{,}5\\<br />
\text{II}\quad & 0 & + & 6s & + & 3t & = & 4{,}5\\<br />
\text{III}\quad & 0 & + & 0s & + & 12t & = & 6<br />
\end{array}</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
{{LearningApp|app=17029668|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==Spurpunkte==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit der Koordinatenebene. <br />
Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform <math>g:\vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u}</math>. <br />
Gesucht sind die Spurpunkte der Geraden. Da es im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenebenen gibt <br />
(die <math>x_1x_2</math>, <math>x_1x_3</math> und <math>x_2x_3</math>-Ebene) <br />
lassen sich drei Spurpunkte berechnen:<br />
<br />
<math>S_1</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_2x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_2</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_3</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_2</math>-Ebene | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung der Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Den Spurpunkt <math>S_1</math> berechnet man folgendermaßen:<br />
<br />
'''1.''' Setze die erste Koordinate der Geradegleichung gleich Null und berechne den den dazugehörigen Parameter λ.<br />
<br />
'''2.''' Setze λ in die Geradegleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.<br />
<br />
Für <math>S_2</math> und <math>S_3</math> geht man auf gleicher Weise vor.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Spurpunkte berechnen | 2= Gegeben ist die Geradengleichung <math>g\colon\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Zum Berechnen von Spurpunkt <math>S_1</math> setzen wir die <math> x_1</math>-Koordinate von <math>S_1</math> gleich Null: <math>S_1(0|?|?)</math>.<br />
<br />
'''1.''' <math>x_1 = 0</math> in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um <math>\lambda</math> zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>1 + \lambda = 0</math> → <math>\lambda = {-}1</math></div><br />
<br />
'''2.''' <math>\lambda</math> in die Geradengleichung einsetzt, um den Spurpunkt zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>g \colon \vec{s_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + {-}1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Antwort: Der Spurpunkt <math>S_1</math> hat die Koordinaten <math>(0|{-}6|5)</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Spurpunkte | <br />
<br />
Berechne nun die übrigen beiden Spurpunkte <math>S_2</math> und <math>S_3</math> aus dem vorherigen Beispiel und stelle die Ebenengleichung dazu auf.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.'''<math>{-}4 + s \cdot 2 = 0</math> → <math>s = 2</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_2</math> hat die Koordinaten <math>(3|0|2)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.''' <math>4 - s = 0 </math>→ <math>s = 4</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_3</math> hat die Koordinaten <math>(5|4|0)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ {-}3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Spurpunkte berechnen | <br />
<br />
Gib die Schnittpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen an (Spurpunkte der Geraden)<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math>S_1 = (0 | 3 | 2), S_2 = (1{,}5 | 0 | 0{,}5), S_3 = (2 | {-}1 | 0)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''b)''' <math>S_1 = (0 | 5 | 5), S_2 = ({-}5 | 0 | 5), <br />
<br />
S_3</math> kann in diesem Fall nicht berechnet werden. Was heißt dies für unsere Gerade?|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Unsere Gerade aus Aufgabe '''b)''' schneidet die <math>x_1x_2</math>-Ebene nicht.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | {{Lösung versteckt|1= Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung des Normalenvektors | {{Lösung versteckt|1= Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Vektorprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese beiden Gleichungen bilden im Folgenden ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Löse das Gleichungssystem, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest. | 2=Infobox | 3=Einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben sei die Ebenengleichung in Parameterform <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math>I \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math>II \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 1n_1 & + & 2n_2 & + & 1n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & 2n_1 & + & 2n_2 & - & 1n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollte ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt schöne Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalengleichung''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatengleichung''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. <br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1+x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 28n_1 & + & 24n_2 & + & 0n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & {-}21n_1 & + & 10n_2 & + & 0{,}5n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=6</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-7</math> und <math>n_3=392</math>. Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}<math></math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt <br />
<br />
<math>n_1-n_2=0</math> <br />
<br />
<math>n_1-3n_2+4n_3 =0</math>. <br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man durch Einsetzen in die Gleichungen des Gleichungssystems und Umformen <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OA}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=11</math>. <br />
<br />
Die Koordinatengleichung lautet somit: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=11</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<math>n_1+3n_2=0</math> <br />
<br />
<math>-2n_1+n_2+3n_3=0</math>.<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=9</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-3</math> und <math>n_3=7</math>. <br />
<br />
Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}</math>.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und den Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \cdot \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50274Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-05-27T09:03:30Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|{{Lösung versteckt|1= Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
| 2=Infobox | 3=Einklappen}}|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>, die nicht auf einer Geraden liegen.<br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf:<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> <br />
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe|{{Lösung versteckt|1= <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
| 2=Infobox | 3=Einklappen}}|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>r,s</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+r \cdot \vec{u}+s \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & {-}2r & + & 0s & = & {-}2\\<br />
\text{II}\quad & 0r & + & 1s & = & {-}1\\<br />
\text{III}\quad & 3r & + & 4s & = & {-}1<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
Aus der ersten Gleichung folgt <math>r=1</math>, die zweite Gleichung ergibt <math>s={-}1</math>.<br />
Die dritte Gleichung ist für diese Werte ebenfalls erfüllt, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math>, <br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und <br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 6 & + & 0s & + & {-}3t & = & 4{,}5\\<br />
\text{II}\quad & 0 & + & 6s & + & 3t & = & 4{,}5\\<br />
\text{III}\quad & 0 & + & 0s & + & 12t & = & 6<br />
\end{array}</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
{{LearningApp|app=17029668|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==Spurpunkte==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit der Koordinatenebene. <br />
Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform <math>g:\vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u}</math>. <br />
Gesucht sind die Spurpunkte der Geraden. Da es im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenebenen gibt <br />
(die <math>x_1x_2</math>, <math>x_1x_3</math> und <math>x_2x_3</math>-Ebene) <br />
lassen sich drei Spurpunkte berechnen:<br />
<br />
<math>S_1</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_2x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_2</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_3</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_2</math>-Ebene | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung der Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Den Spurpunkt <math>S_1</math> berechnet man folgendermaßen:<br />
<br />
'''1.''' Setze die erste Koordinate der Geradegleichung gleich Null und berechne den den dazugehörigen Parameter λ.<br />
<br />
'''2.''' Setze λ in die Geradegleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.<br />
<br />
Für <math>S_2</math> und <math>S_3</math> geht man auf gleicher Weise vor.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Spurpunkte berechnen | 2= Gegeben ist die Geradengleichung <math>g\colon\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Zum Berechnen von Spurpunkt <math>S_1</math> setzen wir die <math> x_1</math>-Koordinate von <math>S_1</math> gleich Null: <math>S_1(0|?|?)</math>.<br />
<br />
'''1.''' <math>x_1 = 0</math> in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um <math>\lambda</math> zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>1 + \lambda = 0</math> → <math>\lambda = {-}1</math></div><br />
<br />
'''2.''' <math>\lambda</math> in die Geradengleichung einsetzt, um den Spurpunkt zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>g \colon \vec{s_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + {-}1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Antwort: Der Spurpunkt <math>S_1</math> hat die Koordinaten <math>(0|{-}6|5)</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Spurpunkte | <br />
<br />
Berechne nun die übrigen beiden Spurpunkte <math>S_2</math> und <math>S_3</math> aus dem vorherigen Beispiel und stelle die Ebenengleichung dazu auf.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.'''<math>{-}4 + s \cdot 2 = 0</math> → <math>s = 2</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_2</math> hat die Koordinaten <math>(3|0|2)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.''' <math>4 - s = 0 </math>→ <math>s = 4</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_3</math> hat die Koordinaten <math>(5|4|0)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ {-}3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Spurpunkte berechnen | <br />
<br />
Gib die Schnittpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen an (Spurpunkte der Geraden)<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math>S_1 = (0 | 3 | 2), S_2 = (1{,}5 | 0 | 0{,}5), S_3 = (2 | {-}1 | 0)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''b)''' <math>S_1 = (0 | 5 | 5), S_2 = ({-}5 | 0 | 5), <br />
<br />
S_3</math> kann in diesem Fall nicht berechnet werden. Was heißt dies für unsere Gerade?|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Unsere Gerade aus Aufgabe '''b)''' schneidet die <math>x_1x_2</math>-Ebene nicht.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | {{Lösung versteckt|1= Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung des Normalenvektors | {{Lösung versteckt|1= Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Vektorprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese beiden Gleichungen bilden im Folgenden ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Löse das Gleichungssystem, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest. | 2=Infobox | 3=Einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben sei die Ebenengleichung in Parameterform <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math>I \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math>II \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 1n_1 & + & 2n_2 & + & 1n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & 2n_1 & + & 2n_2 & - & 1n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollte ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt schöne Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalengleichung''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatengleichung''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. <br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1+x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 28n_1 & + & 24n_2 & + & 0n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & {-}21n_1 & + & 10n_2 & + & 0{,}5n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=6</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-7</math> und <math>n_3=392</math>. Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}<math></math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt <br />
<br />
<math>n_1-n_2=0</math> <br />
<br />
<math>n_1-3n_2+4n_3 =0</math>. <br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man durch Einsetzen in die Gleichungen des Gleichungssystems und Umformen <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OA}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=11</math>. <br />
<br />
Die Koordinatengleichung lautet somit: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=11</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<math>n_1+3n_2=0</math> <br />
<br />
<math>-2n_1+n_2+3n_3=0</math>.<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=9</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-3</math> und <math>n_3=7</math>. <br />
<br />
Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}</math>.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und den Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \cdot \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50273Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-05-27T08:40:43Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|{{Lösung versteckt|1= Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
| 2=Infobox | 3=Einklappen}}|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>, die nicht auf einer Geraden liegen.<br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf:<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>A(1|10|7)</math>, <math>B(12|4|3)</math> und <math>C(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor zum Punkt <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe|{{Lösung versteckt|1= <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
| 2=Infobox | 3=Einklappen}}|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>r,s</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+r \cdot \vec{u}+s \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & {-}2r & + & 0s & = & {-}2\\<br />
\text{II}\quad & 0r & + & 1s & = & {-}1\\<br />
\text{III}\quad & 3r & + & 4s & = & {-}1<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
Aus der ersten Gleichung folgt <math>r=1</math>, die zweite Gleichung ergibt <math>s={-}1</math>.<br />
Die dritte Gleichung ist für diese Werte ebenfalls erfüllt, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math>m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math><br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math><br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, in dem du annimmst, dass die Spitze mittig auf der Grundfläche steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene E wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Hinweis |3=Hinweis verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 6 & + & 0s & + & {-}3t & = & 4{,}5\\<br />
\text{II}\quad & 0 & + & 6s & + & 3t & = & 4{,}5\\<br />
\text{III}\quad & 0 & + & 0s & + & 12t & = & 6<br />
\end{array}</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von Geogebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
{{LearningApp|app=17029668|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==Spurpunkte==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit der Koordinatenebene. <br />
Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform <math>g:\vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u}</math>. <br />
Gesucht sind die Spurpunkte der Geraden. Da es im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenebenen gibt <br />
(die <math>x_1x_2</math>, <math>x_1x_3</math> und <math>x_2x_3</math>-Ebene) <br />
lassen sich drei Spurpunkte berechnen:<br />
<br />
<math>S_1</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_2x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_2</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_3</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_2</math>-Ebene | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung der Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Den Spurpunkt <math>S_1</math> berechnet man folgendermaßen:<br />
<br />
'''1.''' Setze die erste Koordinate der Geradegleichung gleich Null und berechne den den dazugehörigen Parameter λ.<br />
<br />
'''2.''' Setze λ in die Geradegleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.<br />
<br />
Für <math>S_2</math> und <math>S_3</math> geht man auf gleicher Weise vor.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Spurpunkte berechnen | 2= Gegeben ist die Geradengleichung <math>g\colon\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Zum Berechnen von Spurpunkt <math>S_1</math> setzen wir die <math> x_1</math>-Koordinate von <math>S_1</math> gleich Null: <math>S_1(0|?|?)</math>.<br />
<br />
'''1.''' <math>x_1 = 0</math> in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um <math>\lambda</math> zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>1 + \lambda = 0</math> → <math>\lambda = {-}1</math></div><br />
<br />
'''2.''' <math>\lambda</math> in die Geradengleichung einsetzt, um den Spurpunkt zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>g \colon \vec{s_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + {-}1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Antwort: Der Spurpunkt <math>S_1</math> hat die Koordinaten <math>(0|{-}6|5)</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Spurpunkte | <br />
<br />
Berechne nun die übrigen beiden Spurpunkte <math>S_2</math> und <math>S_3</math> aus dem vorherigen Beispiel und stelle die Ebenengleichung dazu auf.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.'''<math>{-}4 + s \cdot 2 = 0</math> → <math>s = 2</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_2</math> hat die Koordinaten <math>(3|0|2)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.''' <math>4 - s = 0 </math>→ <math>s = 4</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_3</math> hat die Koordinaten <math>(5|4|0)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ {-}3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Spurpunkte berechnen | <br />
<br />
Gib die Schnittpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen an (Spurpunkte der Geraden)<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math>S_1 = (0 | 3 | 2), S_2 = (1{,}5 | 0 | 0{,}5), S_3 = (2 | {-}1 | 0)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''b)''' <math>S_1 = (0 | 5 | 5), S_2 = ({-}5 | 0 | 5), <br />
<br />
S_3</math> kann in diesem Fall nicht berechnet werden. Was heißt dies für unsere Gerade?|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Unsere Gerade aus Aufgabe '''b)''' schneidet die <math>x_1x_2</math>-Ebene nicht.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | {{Lösung versteckt|1= Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung des Normalenvektors | {{Lösung versteckt|1= Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Vektorprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese beiden Gleichungen bilden im Folgenden ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Löse das Gleichungssystem, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest. | 2=Infobox | 3=Einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben sei die Ebenengleichung in Parameterform <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math>I \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math>II \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 1n_1 & + & 2n_2 & + & 1n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & 2n_1 & + & 2n_2 & - & 1n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollte ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt schöne Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalengleichung''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatengleichung''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. <br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1+x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 28n_1 & + & 24n_2 & + & 0n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & {-}21n_1 & + & 10n_2 & + & 0{,}5n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=6</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-7</math> und <math>n_3=392</math>. Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}<math></math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt <br />
<br />
<math>n_1-n_2=0</math> <br />
<br />
<math>n_1-3n_2+4n_3 =0</math>. <br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man durch Einsetzen in die Gleichungen des Gleichungssystems und Umformen <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OA}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=11</math>. <br />
<br />
Die Koordinatengleichung lautet somit: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=11</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<math>n_1+3n_2=0</math> <br />
<br />
<math>-2n_1+n_2+3n_3=0</math>.<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=9</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-3</math> und <math>n_3=7</math>. <br />
<br />
Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}</math>.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und den Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \cdot \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=50272Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-05-27T08:35:53Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|{{Lösung versteckt|1= Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parameter <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch: <br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder <br />
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder<br />
* zwei sich schneidende Geraden, oder<br />
* zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.<br />
| 2=Infobox | 3=Einklappen}}|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>, die nicht auf einer Geraden liegen.<br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt <math>\vec{OA}</math> und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
''<span style="color: red">Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher nicht eindeutig.</span>''| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf:<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>A(1|10|7)</math>, <math>B(12|4|3)</math> und <math>C(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor zum Punkt <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe|{{Lösung versteckt|1= <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
| 2=Infobox | 3=Einklappen}}|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>r,s</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+r \cdot \vec{u}+s \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & {-}2r & + & 0s & = & {-}2\\<br />
\text{II}\quad & 0r & + & 1s & = & {-}1\\<br />
\text{III}\quad & 3r & + & 4s & = & {-}1<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
Aus der ersten Gleichung folgt <math>r=1</math>, die zweite Gleichung ergibt <math>s={-}1</math>.<br />
Die dritte Gleichung ist für diese Werte ebenfalls erfüllt, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Kirchturm | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math>m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math><br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math><br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, in dem du annimmst, dass die Spitze mittig auf der Grundfläche steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene E wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Hinweis |3=Hinweis verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 6 & + & 0s & + & {-}3t & = & 4{,}5\\<br />
\text{II}\quad & 0 & + & 6s & + & 3t & = & 4{,}5\\<br />
\text{III}\quad & 0 & + & 0s & + & 12t & = & 6<br />
\end{array}</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von Geogebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
{{LearningApp|app=17029668|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==Spurpunkte==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit der Koordinatenebene. <br />
Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform <math>g:\vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u}</math>. <br />
Gesucht sind die Spurpunkte der Geraden. Da es im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenebenen gibt <br />
(die <math>x_1x_2</math>, <math>x_1x_3</math> und <math>x_2x_3</math>-Ebene) <br />
lassen sich drei Spurpunkte berechnen:<br />
<br />
<math>S_1</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_2x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_2</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_3</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1x_2</math>-Ebene | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung der Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Den Spurpunkt <math>S_1</math> berechnet man folgendermaßen:<br />
<br />
'''1.''' Setze die erste Koordinate der Geradegleichung gleich Null und berechne den den dazugehörigen Parameter λ.<br />
<br />
'''2.''' Setze λ in die Geradegleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.<br />
<br />
Für <math>S_2</math> und <math>S_3</math> geht man auf gleicher Weise vor.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Spurpunkte berechnen | 2= Gegeben ist die Geradengleichung <math>g\colon\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Zum Berechnen von Spurpunkt <math>S_1</math> setzen wir die <math> x_1</math>-Koordinate von <math>S_1</math> gleich Null: <math>S_1(0|?|?)</math>.<br />
<br />
'''1.''' <math>x_1 = 0</math> in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um <math>\lambda</math> zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>1 + \lambda = 0</math> → <math>\lambda = {-}1</math></div><br />
<br />
'''2.''' <math>\lambda</math> in die Geradengleichung einsetzt, um den Spurpunkt zu berechnen<br />
<br />
<div align="center"><math>g \colon \vec{s_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + {-}1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Antwort: Der Spurpunkt <math>S_1</math> hat die Koordinaten <math>(0|{-}6|5)</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Spurpunkte | <br />
<br />
Berechne nun die übrigen beiden Spurpunkte <math>S_2</math> und <math>S_3</math> aus dem vorherigen Beispiel und stelle die Ebenengleichung dazu auf.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.'''<math>{-}4 + s \cdot 2 = 0</math> → <math>s = 2</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_2</math> hat die Koordinaten <math>(3|0|2)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.''' <math>4 - s = 0 </math>→ <math>s = 4</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_3</math> hat die Koordinaten <math>(5|4|0)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ {-}3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Spurpunkte berechnen | <br />
<br />
Gib die Schnittpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen an (Spurpunkte der Geraden)<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math>S_1 = (0 | 3 | 2), S_2 = (1{,}5 | 0 | 0{,}5), S_3 = (2 | {-}1 | 0)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''b)''' <math>S_1 = (0 | 5 | 5), S_2 = ({-}5 | 0 | 5), <br />
<br />
S_3</math> kann in diesem Fall nicht berechnet werden. Was heißt dies für unsere Gerade?|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Unsere Gerade aus Aufgabe '''b)''' schneidet die <math>x_1x_2</math>-Ebene nicht.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Ein U-Boot taucht auf | <br />
<br />
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalenvektor | {{Lösung versteckt|1= Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Berechnung des Normalenvektors | {{Lösung versteckt|1= Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Vektorprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese beiden Gleichungen bilden im Folgenden ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Löse das Gleichungssystem, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest. | 2=Infobox | 3=Einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen | <br />
<br />
Gegeben sei die Ebenengleichung in Parameterform <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math>I \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math>II \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 1n_1 & + & 2n_2 & + & 1n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & 2n_1 & + & 2n_2 & - & 1n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollte ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt schöne Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform<br />
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalengleichung''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatengleichung''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. <br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \cdot \vec{n}</math>. <br />
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OP}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=22</math>.<br />
Lösung: <math>E\colon 2x_1+x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform | <br />
<br />
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.<br />
<br />
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | <br />
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. <br />
<br />
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]<br />
<br />
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 28n_1 & + & 24n_2 & + & 0n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & {-}21n_1 & + & 10n_2 & + & 0{,}5n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=6</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-7</math> und <math>n_3=392</math>. Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{align}<br />
& & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\<br />
\Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\<br />
\Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020<br />
\end{align}</math></div><br />
<br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.) <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.<br />
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{0}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}<math></math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
===&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | <br />
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt <br />
<br />
<math>n_1-n_2=0</math> <br />
<br />
<math>n_1-3n_2+4n_3 =0</math>. <br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man durch Einsetzen in die Gleichungen des Gleichungssystems und Umformen <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=d</math>. <br />
<br />
Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OA}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>d=11</math>. <br />
<br />
Die Koordinatengleichung lautet somit: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=11</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | <br />
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<math>n_1+3n_2=0</math> <br />
<br />
<math>-2n_1+n_2+3n_3=0</math>.<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=9</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-3</math> und <math>n_3=7</math>. <br />
<br />
Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}</math>.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und den Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \cdot \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | <br />
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x}=\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum&diff=50271Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum2021-05-27T08:16:59Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum"!<br />
<br />
Hier entsteht im Sommersemester 2021 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe Q1 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].<br />
<br />
[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad<br />
}}<br />
<br />
Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung. Die ersten beiden Items sind Beispielitems.<br />
<br />
<quiz display="simple"><br />
{ Dies ist eine Beispielfrage. }<br />
- Diese Antwortalternative ist '''falsch'''. Das zeigt das '''Minus'''-Zeichen in der Quelltextbearbeitung an.<br />
+ Diese Antwortalternative ist '''richtig'''. Das zeigt das '''Plus'''-Zeichen in der Quelltextbearbeitung an.<br />
<br />
{ Was ergibt 1+1? }<br />
- 1<br />
+ 2<br />
- 3<br />
- 4<br />
</quiz><br />
<br />
Thema a:<br />
<br />
<quiz display="simple"><br />
{ Gegeben ist der Punkt <math> A(1|2|-3)</math> und der Punkt <math> A'(-2|5|3{,}5)</math>. Welcher Vektor beschreibt die Verschiebung des Punktes <math> A </math> auf den Punkt <math> A' </math> ? }<br />
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ -6{,}5 \end{pmatrix} </math><br />
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} </math><br />
+ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 6{,}5 \end{pmatrix} </math><br />
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} </math><br />
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 6{,}5 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
{ Die Bewegung eines Fußgängers wird durch den Vektor <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> beschrieben. Welcher der folgenden Vektoren beschreibt die Bewegung einer entgegenkommenden Joggerin mit doppelter Geschwindigkeit? }<br />
+ <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} </math><br />
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} </math><br />
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} </math><br />
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ -1 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
{ Gegeben ist das Dreieck <math>ABC</math>. Welche der folgenden Aussagen treffen auf das abgebildete Dreieck zu? [[Datei:Dreieck glsch rchtwklg.jpg|rahmenlos|225x225px]] }<br />
+ <math> |\vec{AB}| = |\vec{AC}| </math><br />
- <math> |\vec{BC}| = |\vec{AC}| </math><br />
- <math> \vec{AB} = \vec{AC} </math><br />
- Es gilt <math> |\vec{AC}|^2 = |\vec{BC}|^2 + |\vec{AB}|^2 </math>.<br />
+ Es gilt <math> |\vec{BC}|^2 = |\vec{AC}|^2 + |\vec{AB}|^2 </math>.<br />
</quiz><br />
<br />
Thema b:<br />
<br />
<quiz display="simple"><br />
{ Welche der folgenden Geraden verlaufen durch die Punkte <math>A(1|0|{-}2)</math> und <math>B(3|4|0)</math>? }<br />
+ <math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
+ <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math><br />
- <math>g_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}, k \in \mathbb{R} </math><br />
+ <math>g_4: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + l \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}, l \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{ Welche Aussagen sind wahr? }<br />
+ Wenn zwei Geraden zueinander windschief sind, dann sind ihre Richtungsvektoren nicht zueinander parallel.<br />
- Wenn die Richtungsvektoren zweier Geraden im Raum nicht zueinander parallel sind, dann schneiden sich die Geraden.<br />
+ Wenn sich zwei Geraden im Raum scheiden, dann sind ihre Richtungsvektoren nicht zueinander parallel.<br />
- Zwei Geraden mit parallelen Richtungsvektoren haben nie gemeinsame Punkte.<br />
- Wenn zwei Geraden mindestens einen gemeinsamen Punkt haben, dann sind ihre Richtungsvektoren nicht parallel.<br />
<br />
{ Welche Sachsituationen können zu der Geraden <math>g</math> definiert durch <br />
<br />
<math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
passen? }<br />
- Ein Heißluftballon startet im Punkt <math>(3|7|8)</math> und befindet sich im Sinkflug.<br />
+ Ein Flugzeug befindet sich zum Zeitpunkt <math>r = 0</math> im Punkt <math>(3|7|8)</math> und fliegt mit einer Geschwindigkeit von <math>5</math> km/min.<br />
- Ein U-Boot steigt pro Sekunde um <math>7</math> m auf.<br />
+ Ein Vogel befindet sich in <math>8</math> km Höhe. Nach drei Minuten ist die Position desselben Vogels um <math>9</math> km in <math>x_1</math>-Richtung und <math>12</math> km in <math>x_2</math>-Richtung verschoben und die Höhe des Vogels hat sich nicht verändert.<br />
+ Ein GPS-Tracker an einer Taube, die in <math>(3|7|8)</math> gestartet ist, zeigt nach <math>5</math> min die Koordinaten <math>(18|27|8)</math> an.<br />
</quiz><br />
<br />
Thema c:<br />
<quiz display="simple"><br />
<br />
{ Prüfe, welche der Vektoren orthogonal zueinander sind. }<br />
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} </math> , <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} </math><br />
+ <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} </math> , <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
+ <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 10 \\ -5 \\ 10 \end{pmatrix} </math> , <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} -11 \\ -2 \\ 10 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<br />
{ Welche Aussagen sind wahr? }<br />
+ Wenn zwei Vektoren <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> orthogonal zueinander sind, gilt für den eingeschlossenen Winkel <math> \alpha </math>, dass <math> \cos(\alpha) = 0 </math>.<br />
- Um den Winkel zwischen zwei Geraden zu bestimmen, muss das Skalarprodukt der Ortsvektoren Null sein.<br />
- Das Skalarprodukt zweier gleicher Vektoren ist immer Null.<br />
+ Wenn der Winkel <math> \alpha = 0^\circ </math> ist, haben die Vektoren dieselbe Richtung.<br />
- Der Winkel <math> \alpha </math> zwischen zwei Vektoren wird mit folgender Formel berechnet: <math> \cos (\alpha) = \frac{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}{\vec{a} \ast \vec{b}} </math>.<br />
+ Für das Skalarprodukt gilt das Kommutativgesetz.<br />
<br />
<br />
{ Wie groß ist der Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} </math> und <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math>? Runde sinnvoll.} <br />
- 1°<br />
- 129°<br />
- 48°<br />
+ 51°<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
Thema d (Fragen 1-3 für GK & LK. Fragen 4-5 nur LK):<br />
<br />
<quiz display="simple"><br />
{ Welche der folgenden Parametergleichungen beschreiben eine Ebene? }<br />
- <math>E: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math><br />
+ <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math><br />
- <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math><br />
- <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
<br />
{ Sei <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} </math> eine Gerade. Welche Aussagen zu Spurpunkten treffen zu? }<br />
- Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Koordinatenebene.<br />
- Der Punkt <math>{S_3}(5|4|0)</math> ist der Spurpunkt der <math>{x_1x_2}</math>-Ebene.<br />
- Der Punkt <math>(0|0|0)</math> ist nie Spurpunkt einer Geraden.<br />
- Den Spurpunkt der <math>{x_1x_2}</math>-Ebene berechnet man, indem man die <math>{x_3}</math>-Koordinate gleich 0 setzt.<br />
- Jede Gerade hat drei verschiedene Spurpunkte.<br />
- Der Punkt <math>{S_2} (1|0|8)</math> ist Spurpunkt der <math>{x_2x_3}</math>-Ebene.<br />
<br />
<br />
{ Eine Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt A <math>(0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u} = (0|{-}2|0)</math> und <math>\vec{v} = ({-}2|0|2)</math> gehören. Der Punkt <math>(0|9|4)</math> ist die untere Ecke des Daches. Alle Punkte des Daches können beschrieben werden durch die Einschränkung der Ebenengleichung mit den Parametern <math>t=3</math> und <math>s=4</math>.} <br />
- Die Ebene, in der das Dach liegt, lässt sich durch die Gleichung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math> beschreiben.<br />
- Der Punkt <math>({-}2|0|4)</math> liegt in der Ebene .<br />
- Der Punkt <math>(-4|0|4)</math> liegt innerhalb der Dachfläche.<br />
- Der Punkt <math>(0|{-}10|0)</math> liegt in der Ebene, aber außerhalb der Dachfläche.<br />
<br />
<br />
{ Welche Aussagen zum Thema Normalenvektor treffen zu? }<br />
- Die Eckfahne beim Fußball kann geometrisch als Normalenvektor des Fußballfeldes interpretiert werden.<br />
- Der Normalenvektor einer Ebene ist eindeutig.<br />
- Das Skalarprodukt eines Normalenvektors und eines Richtungsvektors derselben Ebene ist 0.<br />
- Selbst bei einer Straße mit Steigung stellt modellhaft eine Straßenlaterne einen Normalenvektor dar.<br />
- Vektor <math>\vec{n}</math> ist ein Normalenvektor der Ebene. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]<br />
<br />
<br />
{ Gegeben ist eine Ebene in Parameterform. <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math> }<br />
- <math>E: 2x_1-1{,}5x_2-x_3=2{,}5 </math> ist die zugehörige Koordinatenform.<br />
- <math>E: 2x_1+1{,}5x_2+x_3=2{,}5 </math> ist die zugehörige Koordinatenform.<br />
- <math>E: 2x_1+1{,}5x_2+x_3=0 </math> ist die zugehörige Koordinatenform.<br />
- <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot\ [ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} ] = 0</math> ist die zugehörige Normalenform. <br />
<br />
</quiz><br />
<br />
Thema e (Fragen 1-3 für GK. Fragen 4-6 für LK):<br />
<br />
<quiz display="simple"><br />
{ Welche Aussagen sind wahr? }<br />
- Eine Gerade und eine Ebene können windschief zueinander liegen.<br />
+ Wenn eine Gerade in einer Ebene liegt, dann ist jeder Punkt auf der Geraden auch ein Punkt in der Ebene.<br />
+ Wenn eine Gerade und eine Ebene keinen gemeinsamen Punkt haben, liegen sie parallel zueinander.<br />
<br />
<br />
{ Seien die Gleichungen einer Gerade <math> g </math> und einer Ebene <math> E </math> gegeben. Um die Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene zu untersuchen, hat Noah die Gleichungen gleichgesetzt. Mit dem Gauß-Verfahren erhält er das folgende Gleichungssystem: <math> \begin{vmatrix} r+2s-3t=6 \\ s-2t=2 \\ 0=0 \end{vmatrix} </math>. Wie muss Noah sein Ergebnis interpretieren?}<br />
+ Die Gerade liegt in der Ebene.<br />
- Die Gerade liegt parallel zur Ebene.<br />
- Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt.<br />
<br />
<br />
{ Betrachte folgende Aufgabe:<br />
<br />
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px"><br />
Der Sinkflug eines Flugzeuges wird durch die Gerade <math>g \colon \vec{x} = \left( \begin{smallmatrix} 0\\ 1\\ 10 \end{smallmatrix} \right) + t \cdot \left( \begin{smallmatrix} -4\\ 4\\ -0{,}25 \end{smallmatrix} \right)</math> modelliert. Der Parameter <math>t</math> entspricht dabei der Zeit in Minuten ab dem Beginn des Sinkfluges. Der Boden wird durch die Ebene <math>B: \vec{x} = \left( \begin{smallmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{smallmatrix} \right) + r \cdot \left( \begin{smallmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{smallmatrix} \right) + s \cdot \left( \begin{smallmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{smallmatrix} \right)</math> modelliert.<br />
<br />
Wo landet das Flugzeug?<br />
</div><br />
<br />
Wie könntest du bei der Bearbeitung der Aufgabe vorgehen? }<br />
- Ich setze den Stützvektor der Gerade in die Ebenengleichung ein und berechne so die Parameter <math> r </math> und <math> s </math>.<br />
+ Ich setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich und löse das LGS. Ich setze den Parameter <math> t </math> in die Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt zu berechnen.<br />
+ Ich setze den Punkt <math>P=\left( \begin{smallmatrix} x_1\\ x_2\\ 0 \end{smallmatrix} \right) </math> mit der Gerade <math> g </math> gleich und löse das Gleichungssystem. Durch das Einsetzen von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> in <math> P </math> ergibt sich der Schnittpunkt.<br />
<br />
<br />
{ Welche Aussagen sind wahr? }<br />
- Eine Gerade und eine Ebene können windschief zueinander liegen.<br />
+ Wenn eine Gerade in einer Ebene liegt, dann ist jeder Punkt auf der Geraden auch ein Punkt in der Ebene.<br />
+ Wenn die Normalenvektoren zweier Ebenen kolinear sind, dann schneiden sich die Ebenen nicht.<br />
<br />
<br />
{ Seien <math>E: 3x_1-4x_2-x_3=3 </math> und <math>F: -6x_1+8x_2+2x_3=-3 </math> zwei Ebenen und <math>g: \vec{x} = \left( \begin{smallmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{smallmatrix} \right) + t \cdot \left( \begin{smallmatrix} 9\\ -12 \\ -3 \end{smallmatrix} \right), t \in \mathbb{R} </math> eine Gerade im Raum. Wie liegen <math> E </math> , <math> F </math> und <math> g </math> zueinander?}<br />
- Die Ebenen sind identisch.<br />
+ Die Ebenen sind parallel.<br />
- Die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden.<br />
+ Der Winkel zwischen der Gerade <math> g </math> und der Ebene <math> F </math> beträgt <math> 90^{\circ} </math>.<br />
+ Die Gerade <math> g </math> liegt orthogonal zu beiden Ebenen.<br />
- Die Gerade <math> g </math> liegt parallel zur Ebene <math> E </math>.<br />
<br />
<br />
{ Welche Fragestellungen in den gegebenen Situationen könnten durch die Berechnung des Winkels zwischen einer Geraden und einer Ebene beantwortet werden? }<br />
+ Ein Flugzeug fliegt auf einer Geraden in Richtung des ebenen Erdbodens. Um eine weiche Landung sicherstellen zu können, muss das Flugzeug in einem Winkel von <math> 3,2^{\circ} </math> laden. Wird diese Vorgabe eingehalten?<br />
- Ein Regalbrett, dass durch das Rechteck <math> ABCD </math> beschrieben wird, soll in einem Winkel von <math> 90^{\circ} </math> zur Wand montiert werden. Ist das Regalbrett korrekt montiert?<br />
- Eine Zeltwand wird durch zwei Stangen gehalten, die auf ebenem Boden verankert werden. Um auch bei Sturm für Stabilität zu sorgen, sollte der Winkel in der Spitze des Zelts <math> 60^{\circ} </math> betragen. Steht das Zelt stabil?<br />
</quiz><br />
<br />
Thema f (nur LK):<br />
<br />
<quiz display="simple"><br />
{ Welche Abstände lassen sich unter keinen Umständen sinnvoll definieren? }<br />
- Der Abstand zwischen zwei parallelen Geraden. <br />
+ Der Abstand zwischen zwei unterschiedlichen, nicht parallelen Ebenen. <br />
- Der Abstand von einem Punkt zu einer Ebene. <br />
- Der Abstand einer Geraden zu einer parallelen Ebene.<br />
+ Der Abstand zwischen zwei sich schneidenden Geraden. <br />
- Der Abstand von einem Punkt zu einer Geraden.<br />
- Der Abstand zwischen windschiefen Geraden.<br />
- Der Abstand zwischen parallelen Ebenen. <br />
+ Der Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene, die sich schneiden.<br />
<br />
<br />
{ Wie könntest du den Abstand des Punktes <math> P(6|7|-3) </math> von der Geraden <math> g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}</math> sicher bestimmen? }<br />
- 1. Eine Hilfsebene <math> H </math> aufstellen, die die Gerade <math> g </math> enthält. 2. Die zu <math> H </math> orthogonale Gerade <math> f </math> durch <math> P </math> bestimmen. 3. Den Schnittpunkt <math> S </math> von <math> f </math> mit <math> H </math> bestimmen und den Abstand <math> d(P,S)</math> berechnen.<br />
+ 1. Eine Hilfsebene <math> H </math> aufstellen, die <math> P </math> enthält und orthgonal zu <math> g </math> ist. 2. Den Schnittpunkt <math> S </math> zwischen <math> g </math> und <math> H </math> bestimmen. 3. Den Abstand <math> d(P,S) </math> berechnen.<br />
- 1. Einen beliebigen Punkt <math> R </math> auf der Geraden <math> g </math> wählen. 2. Den Abstand <math> d(P,R)</math> berechnen.<br />
+ 1. Einen beliebigen Verbindungsvektor vom Punkt <math> P </math> zu einem Geradenpunkt <math> L </math> (in Abhängigkeit vom Parameter <math> t</math> ) aufstellen. 2. <math> t </math> so bestimmen, dass der Verbindungsvektor orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden ist. 3. Für dieses <math> t </math> den Abstand <math> d(P,L) </math> berechnen.<br />
<br />
{ Welche Fragestellungen in den gegebenen Situationen könnten durch die Berechnung des Abstandes eines Punktes <math> P </math> zu einer Ebene <math> E </math> beantwortet werden?<br />
}<br />
- Lukas ist <math>1,80m</math> groß und steht auf einer Wiese unter einer Seilbahn. Er möchte wissen, wie nah ihm die Gondeln höchstens kommen können. Er kennt seine Position und den Verlauf der Seilbahn.<br />
+ Eine Drohne schwebt in der Luft an einer Stelle über der Dachfläche eines Hauses. Hält sie die nötige Entfernung von <math>5m</math> zur Dachfläche ein? <br />
- Julia und Juan wohnen gegenüber. Sie möchten eine Schnur von Julias Fenster in der 1. Etage zu Juans Fenster in der Hauswand in der 2. Etage spannen. Wie lang muss die Schnur sein? <br />
- Ein Schiff fährt auf einer geradlinigen Route und ein U-Boot taucht entlang einer Geraden im Meer. Wie nah könnten sie sich höchstens kommen?<br />
+ Eine Glühbirne hängt über einem Tisch. Kann Nuria mit ihrem Kopf die Glühbirne berühren, wenn sie auf dem Tisch steht? Sie ist <math>1,40m</math> groß. <br />
</quiz><br />
<br />
Thema g:<br />
<br />
<quiz display="simple"><br />
{Löse das Lineare Gleichungssystem ohne Hilfsmittel mit dem Gauß-Verfahren. Welche Lösung ist korrekt?<br />
<br />
<math>\begin{align} 2x + 2y + 2z & = 0 \\ -2x +2y + 4z & = 12 \\ z & = 2\\ \end{align}</math> }<br />
<br />
+ <math> x=-2,~y=0,~z=2 </math><br />
- <math> x=-3,~y=1,~z=2 </math><br />
- <math> x=0,~y=-2,~z=2 </math><br />
- das Lineare Gleichungssystem hat keine Lösung<br />
<br />
{ Gegeben ist das folgende Lineare Gleichungssystem (LGS): <br />
<br />
<math>\begin{align} 3x + 2y + z & = 4 \\ 3x +2y & = 5 \\ 3x + 2y + az & = 2\\ \end{align}</math><br />
<br />
Welche der folgenden Aussagen stimmt nicht?}<br />
- Das LGS hat für a=1 unendlich viele Lösungen<br />
- Das LGS hat für a=1 keine Lösung<br />
+ Es gibt ein a aus den reelen Zahlen, sodass das LGS genau eine Lösung hat<br />
<br />
<br />
{ Bringe die Schritte des Gauß-Verfahrens in die richtige Reihenfolge<br />
<br />
a) Durch Addition und Subtraktion von Gleichungen die einzelnen Variablen eliminieren.<br />
<br />
b) Das Lineare Gleichungssystem in die Zeilenstufenform bringen.<br />
<br />
c) Die zugehörigen Variablen alle untereinander bringen.<br />
<br />
d) Durch Einsetzen die Variablen berechnen.<br />
<br />
e) Mit Hilfe von geschickter Multiplikation und Division der Gleichungen, gleiche Faktoren vor den Variablen erzeugen.<br />
<br />
f) Alle Variablen auf die eine Seite der Gleichung bringen und den Rest auf die andere Seite.<br />
Alle Variablen auf die eine Seite der Gleichung bringen und den Rest auf die andere }<br />
<br />
<br />
- a, b, c, d, e, f<br />
- c, a, b, f, e, d<br />
- a, c, b, f, d, e<br />
+ f, c, e, a, b, d<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
{{Box|Wie geht es nun weiter?|'''Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:'''<br />
*Suche dir aus den folgenden Kapiteln eines (oder mehrere) aus. In jedem Kapitel gibt es auch Knobelaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.<br />
<br />
'''Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:'''<br />
*bei den Aufgaben 1 - 3, gehe zum Kapitel [[/Punkte und Vektoren im Raum|Punkte und Vektoren im Raum]]<br />
*bei den Aufgaben 4 - 6, gehe zum Kapitel [[/Geraden im Raum|Geraden im Raum]]<br />
*bei den Aufgaben 7 - 9, gehe zum Kapitel [[/Winkel und Skalarprodukt (Vektoren bzw. Geraden)|Winkel und Skalarprodukt (Vektoren bzw. Geraden)]]<br />
*bei den Aufgaben 10 - 12, gehe zum Kapitel [[/Ebenen im Raum|Ebenen im Raum]]<br />
*bei den Aufgaben 13 - 15, gehe zum Kapitel [[/Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen)|Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen)]]<br />
*bei den Aufgaben 16 - 18, gehe zum Kapitel [[/Abstände von Objekten im Raum|Abstände von Objekten im Raum]]<br />
*bei den Aufgaben 19 - 21, gehe zum Kapitel [[/Lineare Gleichungssysteme|Lineare Gleichungssysteme]]|Frage<br />
}}<br />
<br />
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}<br />
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=49441Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-05-09T19:14:09Z<p>Laura WWU-8: /* Die Parameterform und die Punktprobe */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|{{Lösung versteckt|1= Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt A und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq 0</math> und <math>\vec{v} \neq 0</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parameter <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen reichen, statt eines Punktes und zwei Vektoren, auch:<br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen <br />
* Gerade und Punkt <br />
* zwei sich schneidende Geraden<br />
* zwei parallele Geraden<br />
| 2=Infobox | 3=Einklappen}}|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>, die nicht auf einer Geraden liegen.<br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt <math>\vec{OA}</math> und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
''<span style="color: red">Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher nicht eindeutig.</span>''| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus der Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf:<br />
<br />
a) <math>A(1|{-}3|2)</math> <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>A(1|10|7)</math> <math>B(12|4|3)</math> und <math>C(2|1|2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor zum Punkt <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe|{{Lösung versteckt|1= <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
| 2=Infobox | 3=Einklappen}}|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>r,s</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+r \cdot \vec{u}+s \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & {-}2r & + & 0s & = & {-}2\\<br />
\text{II}\quad & 0r & + & 1s & = & {-}1\\<br />
\text{III}\quad & 3r & + & 4s & = & {-}1<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
Aus der ersten Gleichung folgt <math>r=1</math>, die zweite Gleichung ergibt <math>s={-}1</math>.<br />
Die dritte Gleichung ist für diese Werte ebenfalls erfüllt, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Die Parameterform im Sachzusammenhang | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math>m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math><br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math><br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, in dem du annimmst, dass die Spitze mittig auf der Grundfläche steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene E wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Hinweis |3=Hinweis verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene der in a) errechneten Ebene?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 6 & + & 0s & + & {-}3t & = & 4{,}5\\<br />
\text{II}\quad & 0 & + & 6s & + & 3t & = & 4{,}5\\<br />
\text{III}\quad & 0 & + & 0s & + & 12t & = & 6<br />
\end{array}</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von Geogebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
{{LearningApp|app=17029668|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==Spurpunkte==<br />
<br />
{{Box | Erinnerung: Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit der Koordinatenebene. <br />
<br />
Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform <math>g:\vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u}</math>. <br />
<br />
Gesucht sind die Spurpunkte der Geraden. Da es im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenebenen gibt <br />
<br />
(die <math>x_1</math>-<math>x_2</math>, <math>x_1</math>-<math>x_3</math> und <math>x_2</math>-<math>x_3</math>-Ebene) <br />
<br />
lassen sich drei Spurpunkte berechnen.<br />
<br />
<math>S_1</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_2-x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_2</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1-x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_3</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1-x_2</math>-Ebene | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Berechnung der Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Den Spurpunkt '''<math>S_1</math>''' berechnet man folgendermaßen:<br />
<br />
'''1.''' Setze die erste Koordinate der Geradegleichung gleich Null und berechne den den dazugehörigen Parameter λ.<br />
<br />
'''2.''' Setze λ in die Geradegleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.<br />
<br />
Für <math>S_2</math> und <math>S_3</math> geht man auf gleicher Weise vor.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Spurpunkte berechnen | 2= Gegeben ist die Geradengleichung <math>g\colon\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Zum Berechnen von Spurpunkt <math>S_1</math> setzen wir die <math> x_1</math>-Koordinate von <math>S_1</math> gleich Null: <math>S_1(0|?|?)</math>.<br />
<br />
'''1.''' <math>x_1</math> = 0 in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um <math>s</math> zu berechnen<br />
<br />
<math>1 + s = 0</math> → <math>s = {-}1</math><br />
<br />
'''2.''' <math>s</math> in die Geradengleichung einsetzt, um den Spurpunkt zu berechnen<br />
<br />
<math>g \colon \vec{s_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + {-}1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix} </math> <br />
<br />
Antwort: Der Spurpunkt <math>S_1</math> hat die Koordinaten <math>(0|{-}6|5)</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Spurpunkte | Berechne nun die übrigen beiden Spurpunkte <math>S_2</math> und <math>S_3</math> aus dem vorherigen Beispiel und stelle die Ebenengleichung dazu auf.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.'''<math>{-}4 + s \cdot 2 = 0</math> → <math>s = 2</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_2</math> hat die Koordinaten <math>(3|0|2)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.''' 4 - s = 0 → s = 4<br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_3</math> hat die Koordinaten <math>(5|4|0)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ {-}3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Spurpunkte berechnen | Gib die Schnittpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen an (Spurpunkte der Geraden)<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math>S_1 = (0 | 3 | 2), S_2 = (1{,}5 | 0 | 0{,}5), S_3 = (2 | {-}1 | 0)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''b)''' <math>S_1 = (0 | 5 | 5), S_2 = ({-}5 | 0 | 5), <br />
<br />
S_3</math> kann in diesem Fall nicht berechnet werden. Was heißt dies für unsere Gerade?|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Unsere Gerade aus Aufgabe '''b)''' schneidet die <math>x_1-x_2</math>-Ebene nicht.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 9: Spurpunkte berechnen (Textaufgabe) | In einem Koordinatensystem mit der Einheit m (Meter) befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 I 4378 I {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Erinnerung: Normalenvektor | {{Lösung versteckt|1= Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
<br />
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px"><br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
</div> <br />
<br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Berechnung des Normalenvektors | {{Lösung versteckt|1= Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Vektorprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese beiden Gleichungen bilden im Folgenden ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Löse das Gleichungssystem, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest. | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 10&#x2B50;: Normalenvektor berechnen | Gegeben sei die Ebenengleichung in Parameterform <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''I''' <math>\begin{pmatrix} n1 \\ n2 \\ n3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und '''II''' <math>\begin{pmatrix} n1 \\ n2 \\ n3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<math>\begin{array}{crcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 1n_1 & + & 2n_2 & + & 1n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & 2n_1 & + & 2n_2 & - & 1n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollte ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & <br />
&\mid -4n2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= {-}4n_2 & <br />
&\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -tfrac{3}{4} &= n_2<br />
\end{align}</math><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n1 \\ tfrac{3}{4} n1 \\ tfrac{1}{2} n1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>'''n_1'''</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt schöne Zahlen raus kommen. Wenn <math>'''n_1 = 4'''</math> ist, dann folgt für <math>'''n_2 = 3'''</math> und für <math>'''n_3 = 2'''</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalen- und Koordinatenform | {{Lösung versteckt|1= Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts A und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt A und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalengleichung''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon \vec{x}=(\vec{x}-A) \cdot \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene E ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatengleichung''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten a, b, c ungleich null sein. <br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatengleichung der Ebene E, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene. | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x}=[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1+x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OA} \cdot \vec{v}</math>. <br />
Den Wert für <math>d</math> berechnet man indem man die Koordinaten des Punktes <math>P(4|1|3)</math> einsetzt für <math>x_1, x_2, x_3</math> einsetzt.<br />
Lösung:<math>E\colon 2x_1+x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt A liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen der Normalenform | Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform. | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -1-2 \\ 2-1 \\ -3-3 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung:<math>E\colon \vec{x}=[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}] \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist 8 Einheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt. | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung:<math>E\colon \vec{x}=[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}] \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht zum Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0,5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0,5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
I <math>28n_1+24n_2=0</math><br />
<br />
II <math>-21n_1+10n_2+0,5n_3=0</math>.<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=6</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-7</math> und <math>n_3=392</math>. Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Berechne die Zahl z derart, dass R in der Ebene liegt. <br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>6 \cdot (-30) - 7 \cdot 20 + 392z=0</math><br />
<br />
<math>\Leftrightarrow -180-140+392z=0</math><br />
<br />
<math>\Leftrightarrow -320+392z=0</math><br />
<br />
<math> \Leftrightarrow 392z=320</math><br />
<br />
<math> \Leftrightarrow z=0,8163</math><br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt T der Baumspitze S auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt T entspricht dem Schnitt der Ebene E mit der Geraden, die durch S verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>-2+4r+2(1+5r)+(15+7r)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math> LE.<br />
<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene E mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Angenommen alle Koeffizienten sind gleich Null: Dann fallen alle Variablen weg und die Gleichung <math>0=d</math> beschreibt keine Ebene mehr.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten d, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in d unterscheiden haben sie den gleichen Normalenvektor <math>\vec{n}</math>, der orthogonal zur Ebene liegt. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit.<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
=== &#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform ===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Ein Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math>. Hieraus folgt <math>n_1-n_2=0</math> <math>n_1-3n_2+4n_3 =0</math>. Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man durch Einsetzen in die Gleichungen des Gleichungssystems und Umformen <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=d</math>. Man berechnet <math>d</math> indem man für <math>x_1, x_2</math> und <math>x_3</math> die Koordinaten des Stützvektors von E einsetzt: <math>d=2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=11</math>. Koordinatengleichung: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=11</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<math>n_1+3n_2=0</math> <br />
<br />
<math>-2n_1+n_2+3n_3=0</math>.<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=9</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-3</math> und <math>n_3=7</math>. <br />
<br />
Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}</math>.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir durch <math>d=\vec{n} \cdot \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>2 \cdot 9 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | Die Ebene E ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene E. | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x}=(\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>-7x_1-15x_2-9x_3=70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=49437Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-05-09T19:11:11Z<p>Laura WWU-8: /* Die Punktprobe */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|{{Lösung versteckt|1= Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt A und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq 0</math> und <math>\vec{v} \neq 0</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parameter <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen reichen, statt eines Punktes und zwei Vektoren, auch:<br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen <br />
* Gerade und Punkt <br />
* zwei sich schneidende Geraden<br />
* zwei parallele Geraden<br />
| 2=Infobox | 3=Einklappen}}|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0,1,2)</math>, <math>B(2,0,4)</math>, <math>C(4,8,0)</math>, die nicht auf einer Geraden liegen.<br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt <math>\vec{OA}</math> und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
''<span style="color: red">Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher nicht eindeutig.</span>''| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus der Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf:<br />
<br />
a) <math>A(1,{-}3,2)</math> <math>B(2,2,15)</math> und <math>C({-}4, 1,{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>A(1, 10, 7)</math> <math>B(12,4,3)</math> und <math>C(2,1,2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5,4,1), B(2,{-}6,3), C(3,0,8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor zum Punkt <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe|{{Lösung versteckt|1= <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
| 2=Infobox | 3=Einklappen}}|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>r,s</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+r \cdot \vec{u}+s \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & {-}2r & + & 0s & = & {-}2\\<br />
\text{II}\quad & 0r & + & 1s & = & {-}1\\<br />
\text{III}\quad & 3r & + & 4s & = & {-}1<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
Aus der ersten Gleichung folgt <math>r=1</math>, die zweite Gleichung ergibt <math>s={-}1</math>.<br />
Die dritte Gleichung ist für diese Werte ebenfalls erfüllt, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Die Parameterform im Sachzusammenhang | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math>m.<br />
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6|0|0)</math><br />
Punkt <math>D (0|6|0)</math><br />
Punkt <math>S (3|3|12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, in dem du annimmst, dass die Spitze mittig auf der Grundfläche steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene E wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Hinweis |3=Hinweis verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene der in a) errechneten Ebene?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 6 & + & 0s & + & {-}3t & = & 4{,}5\\<br />
\text{II}\quad & 0 & + & 6s & + & 3t & = & 4{,}5\\<br />
\text{III}\quad & 0 & + & 0s & + & 12t & = & 6<br />
\end{array}</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von Geogebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
{{LearningApp|app=17029668|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==Spurpunkte==<br />
<br />
{{Box | Erinnerung: Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit der Koordinatenebene. <br />
<br />
Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform <math>g:\vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u}</math>. <br />
<br />
Gesucht sind die Spurpunkte der Geraden. Da es im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenebenen gibt <br />
<br />
(die <math>x_1</math>-<math>x_2</math>, <math>x_1</math>-<math>x_3</math> und <math>x_2</math>-<math>x_3</math>-Ebene) <br />
<br />
lassen sich drei Spurpunkte berechnen.<br />
<br />
<math>S_1</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_2-x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_2</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1-x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>S_3</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1-x_2</math>-Ebene | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Berechnung der Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Den Spurpunkt '''<math>S_1</math>''' berechnet man folgendermaßen:<br />
<br />
'''1.''' Setze die erste Koordinate der Geradegleichung gleich Null und berechne den den dazugehörigen Parameter λ.<br />
<br />
'''2.''' Setze λ in die Geradegleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.<br />
<br />
Für <math>S_2</math> und <math>S_3</math> geht man auf gleicher Weise vor.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Spurpunkte berechnen | 2= Gegeben ist die Geradengleichung <math>g\colon\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Zum Berechnen von Spurpunkt <math>S_1</math> setzen wir die <math> x_1</math>-Koordinate von <math>S_1</math> gleich Null: <math>S_1(0|?|?)</math>.<br />
<br />
'''1.''' <math>x_1</math> = 0 in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um <math>s</math> zu berechnen<br />
<br />
<math>1 + s = 0</math> → <math>s = {-}1</math><br />
<br />
'''2.''' <math>s</math> in die Geradengleichung einsetzt, um den Spurpunkt zu berechnen<br />
<br />
<math>g \colon \vec{s_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + {-}1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix} </math> <br />
<br />
Antwort: Der Spurpunkt <math>S_1</math> hat die Koordinaten <math>(0|{-}6|5)</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Spurpunkte | Berechne nun die übrigen beiden Spurpunkte <math>S_2</math> und <math>S_3</math> aus dem vorherigen Beispiel und stelle die Ebenengleichung dazu auf.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.'''<math>{-}4 + s \cdot 2 = 0</math> → <math>s = 2</math><br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_2</math> hat die Koordinaten <math>(3|0|2)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.''' 4 - s = 0 → s = 4<br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>S_3</math> hat die Koordinaten <math>(5|4|0)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ {-}3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Spurpunkte berechnen | Gib die Schnittpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen an (Spurpunkte der Geraden)<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math>S_1 = (0 | 3 | 2), S_2 = (1{,}5 | 0 | 0{,}5), S_3 = (2 | {-}1 | 0)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''b)''' <math>S_1 = (0 | 5 | 5), S_2 = ({-}5 | 0 | 5), <br />
<br />
S_3</math> kann in diesem Fall nicht berechnet werden. Was heißt dies für unsere Gerade?|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Unsere Gerade aus Aufgabe '''b)''' schneidet die <math>x_1-x_2</math>-Ebene nicht.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 9: Spurpunkte berechnen (Textaufgabe) | In einem Koordinatensystem mit der Einheit m (Meter) befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 I 4378 I {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Erinnerung: Normalenvektor | {{Lösung versteckt|1= Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
<br />
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px"><br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
</div> <br />
<br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Berechnung des Normalenvektors | {{Lösung versteckt|1= Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Vektorprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese beiden Gleichungen bilden im Folgenden ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Löse das Gleichungssystem, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest. | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 10&#x2B50;: Normalenvektor berechnen | Gegeben sei die Ebenengleichung in Parameterform <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''I''' <math>\begin{pmatrix} n1 \\ n2 \\ n3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und '''II''' <math>\begin{pmatrix} n1 \\ n2 \\ n3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<math>\begin{array}{crcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 1n_1 & + & 2n_2 & + & 1n_3 & = & 0\\<br />
\text{II}\quad & 2n_1 & + & 2n_2 & - & 1n_3 & = & 0<br />
\end{array}</math><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollte ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
& & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & <br />
&\mid -4n2\\<br />
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= {-}4n_2 & <br />
&\mid :(-4)\\<br />
\Leftrightarrow & & -tfrac{3}{4} &= n_2<br />
\end{align}</math><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n1 \\ tfrac{3}{4} n1 \\ tfrac{1}{2} n1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>'''n_1'''</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt schöne Zahlen raus kommen. Wenn <math>'''n_1 = 4'''</math> ist, dann folgt für <math>'''n_2 = 3'''</math> und für <math>'''n_3 = 2'''</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalen- und Koordinatenform | {{Lösung versteckt|1= Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts A und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt A und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalengleichung''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon \vec{x}=(\vec{x}-A) \cdot \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene E ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatengleichung''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten a, b, c ungleich null sein. <br />
<br />
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatengleichung der Ebene E, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene. | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x}=[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1+x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OA} \cdot \vec{v}</math>. <br />
Den Wert für <math>d</math> berechnet man indem man die Koordinaten des Punktes <math>P(4|1|3)</math> einsetzt für <math>x_1, x_2, x_3</math> einsetzt.<br />
Lösung:<math>E\colon 2x_1+x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt A liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen der Normalenform | Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform. | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -1-2 \\ 2-1 \\ -3-3 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung:<math>E\colon \vec{x}=[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}] \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist 8 Einheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt. | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung:<math>E\colon \vec{x}=[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}] \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht zum Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0,5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0,5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem: <br />
<br />
I <math>28n_1+24n_2=0</math><br />
<br />
II <math>-21n_1+10n_2+0,5n_3=0</math>.<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=6</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-7</math> und <math>n_3=392</math>. Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Berechne die Zahl z derart, dass R in der Ebene liegt. <br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>6 \cdot (-30) - 7 \cdot 20 + 392z=0</math><br />
<br />
<math>\Leftrightarrow -180-140+392z=0</math><br />
<br />
<math>\Leftrightarrow -320+392z=0</math><br />
<br />
<math> \Leftrightarrow 392z=320</math><br />
<br />
<math> \Leftrightarrow z=0,8163</math><br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt T der Baumspitze S auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt T entspricht dem Schnitt der Ebene E mit der Geraden, die durch S verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>-2+4r+2(1+5r)+(15+7r)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math> LE.<br />
<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene E mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Angenommen alle Koeffizienten sind gleich Null: Dann fallen alle Variablen weg und die Gleichung <math>0=d</math> beschreibt keine Ebene mehr.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten d, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in d unterscheiden haben sie den gleichen Normalenvektor <math>\vec{n}</math>, der orthogonal zur Ebene liegt. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit.<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
=== &#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform ===<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Ein Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math>. Hieraus folgt <math>n_1-n_2=0</math> <math>n_1-3n_2+4n_3 =0</math>. Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man durch Einsetzen in die Gleichungen des Gleichungssystems und Umformen <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=d</math>. Man berechnet <math>d</math> indem man für <math>x_1, x_2</math> und <math>x_3</math> die Koordinaten des Stützvektors von E einsetzt: <math>d=2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=11</math>. Koordinatengleichung: <math>E\colon 2x_1+2x_2+x_3=11</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<math>n_1+3n_2=0</math> <br />
<br />
<math>-2n_1+n_2+3n_3=0</math>.<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=9</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-3</math> und <math>n_3=7</math>. <br />
<br />
Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}</math>.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir durch <math>d=\vec{n} \cdot \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>2 \cdot 9 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | Die Ebene E ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene E. | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \vec{x}=(\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>-7x_1-15x_2-9x_3=70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=49397Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-05-09T15:52:48Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|{{Lösung versteckt|1= Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt A und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq 0</math> und <math>\vec{v} \neq 0</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parameter <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen reichen, statt eines Punktes und zwei Vektoren, auch:<br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen <br />
* Gerade und Punkt <br />
* zwei sich schneidende Geraden<br />
* zwei parallele Geraden<br />
| 2=Infobox | 3=Einklappen}}|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0,1,2)</math>, <math>B(2,0,4)</math>, <math>C(4,8,0)</math>, die nicht auf einer Geraden liegen.<br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt <math>\vec{OA}</math> und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
''<span style="color: red">Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher nicht eindeutig.</span>''| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus der Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf:<br />
<br />
a) <math>A(1,{-}3,2)</math> <math>B(2,2,15)</math> und <math>C({-}4, 1,{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>A(1, 10, 7)</math> <math>B(12,4,3)</math> und <math>C(2,1,2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5,4,1), B(2,{-}6,3), C(3,0,8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor zum Punkt <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe|{{Lösung versteckt|1= <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
| 2=Infobox | 3=Einklappen}}|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1,1,{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>r,s</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+r \cdot \vec{u}+s \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & {-}2r & + & 0s & = & {-}2\\<br />
\text{II}\quad & 0r & + & 1s & = & {-}1\\<br />
\text{III}\quad & 3r & + & 4s & = & {-}1<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
Aus der ersten Gleichung folgt <math>r=1</math>, die zweite Gleichung ergibt <math>s={-}1</math>.<br />
Die dritte Gleichung ist für diese Werte ebenfalls erfüllt, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Die Parameterform im Sachzusammenhang | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math>m.<br />
<math>A(0,0,0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6,6,0)</math>. <br />
<br />
'''a)''' Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6,0,0)</math><br />
Punkt <math>D (0,6,0)</math><br />
Punkt <math>S (3,3,12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, in dem du annimmst, dass die Spitze mittig auf der Grundfläche steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene E wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Hinweis |3=Hinweis verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)''' Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5, 4{,}5, 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene der in a) errechneten Ebene?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 6 & + & 0s & + & {-}3t & = & 4{,}5\\<br />
\text{II}\quad & 0 & + & 6s & + & 3t & = & 4{,}5\\<br />
\text{III}\quad & 0 & + & 0s & + & 12t & = & 6<br />
\end{array}</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von Geogebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform | <br />
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:<br />
{{LearningApp|app=17029668|width=100%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==Spurpunkte==<br />
<br />
<nowiki>{{Box | Erinnerung: Spurpunkte | </nowiki>{{Lösung versteckt|1= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Berechnung der Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Den Spurpunkt <math>'''S_1'''</math> berechnet man folgendermaßen:<br />
<br />
'''1.''' Setze die erste Koordinate der Geradegleichung gleich Null und berechne den den dazugehörigen Parameter λ.<br />
<br />
'''2.''' Setze λ in die Geradegleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.<br />
<br />
Für <math>'''S_2''' und '''S_3'''</math> geht man auf gleicher Weise vor.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Spurpunkte berechnen | 2= Gegeben ist die Geradengleichung <math> g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + λ \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Zum Berechnen von Spurpunkt <math> '''S_1'''</math> setzen wir die <math> x_1</math>-Koordinate von <math>'''S_1'''</math> gleich Null: <math>'''S_1'''(0|?|?)</math>.<br />
<br />
'''1.''' <math>x_1</math> = 0 in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um λ zu berechnen<br />
<br />
1 + λ = 0 → λ = {-}1<br />
<br />
'''2.''' λ in die Geradengleichung einsetzt, um den Spurpunkt zu berechnen<br />
<br />
<math>g \colon \vec{s_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + {-}1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix} </math> <br />
<br />
Antwort: Der Spurpunkt S1 hat die Koordinaten <math>(0|{-}6|5)</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Spurpunkte | Berechne nun die übrigen beiden Spurpunkte <math>'''S_2''' und '''S_3'''</math> aus dem vorherigen Beispiel und stelle die Ebenengleichung dazu auf.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.'''<math> {-}4 + λ \cdot 2 = 0 → λ = 2<br />
<br />
'''2.''' <math>g \cdot \vec{s_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>'''S_2'''</math> hat die Koordinaten <math>(3|0|2)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.''' 4 - λ = 0 → λ = 4<br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>'''S_3'''</math> hat die Koordinaten <math>(5|4|0)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ {-}3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<nowiki>{{Box | Aufgabe 8: Spurpunkte berechnen | Gib die Schnittpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen an (Spurpunkte der Geraden).</nowiki><br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math>'''S_1''' = (0|3|2), '''S_2''' = (1{,}5|0|0{,}5), '''S_3''' = (2|{-}1|0)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''b)''' <math>'''S_1''' = (0|5|5), '''S_2''' = ({-}5|0|5), <br />
<br />
'''S_3'''</math> kann in diesem Fall nicht berechnet werden. Was heißt dies für unsere Gerade?|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Arbeitsmethode|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<nowiki>{{Box | Aufgabe 9: Spurpunkte berechnen (Textaufgabe) | In einem Koordinatensystem mit der Einheit m (Meter) befindet sich ein U-Boot im Punkt</nowiki><math> A({-}6713|4378|-256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt P erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Arbeitsmethode|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen }}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Erinnerung: Normalenvektor | {{Lösung versteckt|1= Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
<br />
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px"><br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
</div> <br />
<br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Berechnung des Normalenvektors | {{Lösung versteckt|1= Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Vektorprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n1 \\ n2 \\ n3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese beiden Gleichungen bilden im Folgenden ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Löse das Gleichungssystem, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest. | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 10&#x2B50;: Normalenvektor berechnen | Gegeben sei die Ebenengleichung in Parameterform <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''I''' <math>\begin{pmatrix} n1 \\ n2 \\ n3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und '''II''' <math>\begin{pmatrix} n1 \\ n2 \\ n3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<math>\begin{array}{crcrcr}\\<br />
<br />
\text{I}\quad & 1n1 & + & 2n2 & + & 1n3 & = & 0\\<br />
<br />
\text{II}\quad & 2n1 & + & 2n2 & - & 1n3 & = & 0\\<br />
<br />
\end{array}</math><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollte ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
& & 3n1 + 4n2 &= 0 & &\mid -4n2\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3n1 &= -4n2 & &\mid :(-4)\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & -tfrac{3}{4} &= n2\\ <br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n1 \\ tfrac{3}{4} n1 \\ tfrac{1}{2} n1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>'''n_1'''</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt schöne Zahlen raus kommen. Wenn <math>'''n_1 = 4'''</math> ist, dann folgt für <math>'''n_2 = 3'''</math> und für <math>'''n_3 = 2'''</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalen- und Koordinatenform | {{Lösung versteckt|1= Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts A und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt A und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalengleichung''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E:\vec{x}=(\vec{x}-A) \cdot \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene E ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatengleichung''' der Form <math>E:ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten a, b, c ungleich null sein. <br />
<br />
Ist <math>E:ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatengleichung der Ebene E, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene. | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 9: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E:2x_1+x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OA} \cdot \vec{v}</math>. <br />
Den Wert für <math>d</math> berechnet man indem man die Koordinaten des Punktes <math>P(4|1|3)</math> einsetzt für <math>x_1, x_2, x_3</math> einsetzt.<br />
Lösung:<math>E:2x_1+x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt A liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 10: Aufstellen der Normalenform | Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform. | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -1-2 \\ 2-1 \\ -3-3 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung:<math>E:\vec{x}=[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}] \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 11: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist 8 Einheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt. | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung:<math>E:\vec{x}=[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}] \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 12: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht zum Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0,5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0,5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<math>28n_1+24n_2=0</math> <br />
<br />
<math>-21n_1+10n_2+0,5n_3=0</math>.<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=6</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-7</math> und <math>n_3=392</math>. Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:6x_1-7x_2+392x_3=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Berechne die Zahl z derart, dass R in der Ebene liegt. <br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>6 \cdot (-30) - 7 \cdot 20 + 392z=0</math><br />
<br />
<math>\Leftrightarrow -180-140+392z=0</math><br />
<br />
<math>\Leftrightarrow -320+392z=0</math><br />
<br />
<math> \Leftrightarrow 392z=320</math><br />
<br />
<math> \Leftrightarrow z=0,8163</math><br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 13: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E:x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt T der Baumspitze S auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt T entspricht dem Schnitt der Ebene E mit der Geraden, die durch S verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>-2+4r+2(1+5r)+(15+7r)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math> LE.<br />
<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 14: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E:ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene E mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Angenommen alle Koeffizienten sind gleich Null: Dann fallen alle Variablen weg und die Gleichung <math>0=d</math> beschreibt keine Ebene mehr.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E:ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten d, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in d unterscheiden haben sie den gleichen Normalenvektor <math>\vec{n}</math>, der orthogonal zur Ebene liegt. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E:ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit.<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
==Überführung der Parameterform in die Koordinatenform==<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Ein Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math>. Hieraus folgt <math>n_1-n_2=0</math> <math>n_1-3n_2+4n_3 =0</math>. Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man durch Einsetzen in die Gleichungen des Gleichungssystems und Umformen <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=d</math>. Man berechnet <math>d</math> indem man für <math>x_1, x_2</math> und <math>x_3</math> die Koordinaten des Stützvektors von E einsetzt: <math>d=2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=11</math>. Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=11</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 15: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<math>n_1+3n_2=0</math> <br />
<br />
<math>-2n_1+n_2+3n_3=0</math>.<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=9</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-3</math> und <math>n_3=7</math>. <br />
<br />
Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}</math>.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir durch <math>d=\vec{n} \cdot \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>2 \cdot 9 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 16: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | Die Ebene E ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene E. | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=(\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>-7x_1-15x_2-9x_3=70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}</div>Laura WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Ebenen_im_Raum&diff=49396Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum2021-05-09T15:40:58Z<p>Laura WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.<br />
<br />
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br /><br />
<br />
==Die Parameterform und die Punktprobe==<br />
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|{{Lösung versteckt|1= Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt A und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq 0</math> und <math>\vec{v} \neq 0</math>, die nicht parallel zueinander sind.<br />
<br />
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math><br />
<br />
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parameter <math>s</math> und <math>t</math>.<br />
<br />
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen reichen, statt eines Punktes und zwei Vektoren, auch:<br />
<br />
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen <br />
* Gerade und Punkt <br />
* zwei sich schneidende Geraden<br />
* zwei parallele Geraden<br />
| 2=Infobox | 3=Einklappen}}|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=<br />
Gegeben sind die Punkte <math>A(0,1,2)</math>, <math>B(2,0,4)</math>, <math>C(4,8,0)</math>, die nicht auf einer Geraden liegen.<br />
<br />
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt <math>\vec{OA}</math> und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten. <br />
<br />
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>. <br />
<br />
''<span style="color: red">Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher nicht eindeutig.</span>''| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus der Punkten | <br />
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf:<br />
<br />
a) <math>A(1,{-}3,2)</math> <math>B(2,2,15)</math> und <math>C({-}4, 1,{-}5)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
b) <math>A(1, 10, 7)</math> <math>B(12,4,3)</math> und <math>C(2,1,2)</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
Kannst du hierzu auch jeweils zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?<br />
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math> <br />
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5,4,1), B(2,{-}6,3), C(3,0,8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.<br />
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben. <br />
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor zum Punkt <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform | <br />
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen. <br />
<br />
{{LearningApp|app=19928923|width=90%|height=500px}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Die Punktprobe===<br />
<br />
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe|{{Lösung versteckt|1= <br />
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.<br />
<br />
Möchte man wissen, ob ein Punkt <math>P</math> in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor <math>\vec{OP}</math> für den Vektor <math>\vec{x}</math> einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.<br />
<br />
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.<br />
| 2=Infobox | 3=Einklappen}}|Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=<br />
Liegt der Punkt <math>A({-}1,1,{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?<br />
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>r,s</math> geben, für die gilt: <br />
<br />
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+r \cdot \vec{u}+s \cdot \vec{v}</math></div><br />
<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math></div><br />
<br />
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen<br />
<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & {-}2r & + & 0s & = & {-}2\\<br />
\text{II}\quad & 0r & + & 1s & = & {-}1\\<br />
\text{III}\quad & 3r & + & 4s & = & {-}1<br />
\end{array}</math></div><br />
<br />
Aus der ersten Gleichung folgt <math>r=1</math>, die zweite Gleichung ergibt <math>s={-}1</math>.<br />
Die dritte Gleichung ist für diese Werte ebenfalls erfüllt, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Die Parameterform im Sachzusammenhang | <br />
<br />
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math>m.<br />
<math>A(0,0,0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6,6,0)</math>. <br />
<br />
'''a)'''Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:<br />
Punkt <math>B (6,0,0)</math><br />
Punkt <math>D (0,6,0)</math><br />
Punkt <math>S (3,3,12)</math>. <br />
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, in dem du annimmst, dass die Spitze mittig auf der Grundfläche steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen.<br />
<br />
Eine mögliche Parameterform der Ebene E wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math><br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Hinweis |3=Hinweis verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''b)'''Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten (4{,}5, 4{,}5, 6) übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene der in a) errechneten Ebene?<br />
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen. <br />
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div><br />
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:<br />
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\<br />
\text{I}\quad & 6 & + & 0s & {-}3t & = & 4{,}5\\<br />
\text{II}\quad & 0 & + & 6s & 3t & = & 4{,}5\\<br />
\text{III}\quad & 0 & + & 0s & 12t & = & 6<br />
\end{array}</math></div><br />
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>. <br />
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.<br />
<br />
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach. <br />
<br />
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von Geogebra:<br />
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos]] <br />
<br />
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
==Spurpunkte==<br />
<br />
{{Box | Erinnerung: Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit der Koordinatenebene. Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform <math>g:\vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u}</math>. Gesucht sind die Spurpunkte der Geraden. Da es im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenebenen gibt (die <math>x_1-x_2-, x_1-x_3- und x_2-x_3</math>-Ebene) lassen sich drei Spurpunkte berechnen.<br />
<br />
<math>'''S_1'''</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_2-x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>'''S_2'''</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1-x_3</math>-Ebene<br />
<br />
<math>'''S_3'''</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1-x_2</math>-Ebene| Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Berechnung der Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Den Spurpunkt <math>'''S_1'''</math> berechnet man folgendermaßen:<br />
<br />
'''1.''' Setze die erste Koordinate der Geradegleichung gleich Null und berechne den den dazugehörigen Parameter λ.<br />
<br />
'''2.''' Setze λ in die Geradegleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.<br />
<br />
Für <math>'''S_2''' und '''S_3'''</math> geht man auf gleicher Weise vor.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Beispiel: Spurpunkte berechnen | 2= Gegeben ist die Geradengleichung <math> g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + λ \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Zum Berechnen von Spurpunkt <math> '''S_1'''</math> setzen wir die <math> x_1</math>-Koordinate von <math>'''S_1'''</math> gleich Null: <math>'''S_1'''(0|?|?)</math>.<br />
<br />
'''1.''' <math>x_1</math> = 0 in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um λ zu berechnen<br />
<br />
1 + λ = 0 → λ = {-}1<br />
<br />
'''2.''' λ in die Geradengleichung einsetzt, um den Spurpunkt zu berechnen<br />
<br />
<math>g \colon \vec{s_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + {-}1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix} </math> <br />
<br />
Antwort: Der Spurpunkt S1 hat die Koordinaten <math>(0|{-}6|5)</math>.| 3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 7: Spurpunkte | Berechne nun die übrigen beiden Spurpunkte <math>'''S_2''' und '''S_3'''</math> aus dem vorherigen Beispiel und stelle die Ebenengleichung dazu auf.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.'''<math> {-}4 + λ \cdot 2 = 0 → λ = 2<br />
<br />
'''2.''' <math>g \cdot \vec{s_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>'''S_2'''</math> hat die Koordinaten <math>(3|0|2)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''1.''' 4 - λ = 0 → λ = 4<br />
<br />
'''2.''' <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<math>'''S_3'''</math> hat die Koordinaten <math>(5|4|0)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ {-}3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 8: Spurpunkte berechnen | Gib die Schnittpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen an (Spurpunkte der Geraden).<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math>'''S_1''' = (0|3|2), '''S_2''' = (1{,}5|0|0{,}5), '''S_3''' = (2|{-}1|0)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''b)''' <math>'''S_1''' = (0|5|5), '''S_2''' = ({-}5|0|5), <br />
<br />
'''S_3'''</math> kann in diesem Fall nicht berechnet werden. Was heißt dies für unsere Gerade?|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Unsere Gerade aus Aufgabe '''b)''' schneidet die <math>x_1-x_2</math>-Ebene nicht.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 9: Spurpunkte berechnen (Textaufgabe) | In einem Koordinatensystem mit der Einheit m (Meter) befindet sich ein U-Boot im Punkt<math> A({-}6713|4378|-256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt P erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==&#x2B50; Normalenvektor==<br />
<br />
{{Box | Erinnerung: Normalenvektor | {{Lösung versteckt|1= Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.<br />
<br />
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px"><br />
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. <br />
</div> <br />
<br />
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Berechnung des Normalenvektors | {{Lösung versteckt|1= Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Vektorprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n1 \\ n2 \\ n3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.<br />
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.<br />
Diese beiden Gleichungen bilden im Folgenden ein Gleichungssystem.<br />
<br />
Löse das Gleichungssystem, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest. | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 10&#x2B50;: Normalenvektor berechnen | Gegeben sei die Ebenengleichung in Parameterform <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>.<br />
<br />
Berechne den Normalenvektor der Ebene.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= '''I''' <math>\begin{pmatrix} n1 \\ n2 \\ n3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und '''II''' <math>\begin{pmatrix} n1 \\ n2 \\ n3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math><br />
<br />
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen ist das LGS nicht eindeutig lösbar!<br />
<br />
<math>\begin{array}{crcrcr}\\<br />
<br />
\text{I}\quad & 1n1 & + & 2n2 & + & 1n3 & = & 0\\<br />
<br />
\text{II}\quad & 2n1 & + & 2n2 & - & 1n3 & = & 0\\<br />
<br />
\end{array}</math><br />
<br />
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollte ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
& & 3n1 + 4n2 &= 0 & &\mid -4n2\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3n1 &= -4n2 & &\mid :(-4)\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & -tfrac{3}{4} &= n2\\ <br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:<br />
<br />
<math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n1 \\ tfrac{3}{4} n1 \\ tfrac{1}{2} n1 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>'''n_1'''</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt schöne Zahlen raus kommen. Wenn <math>'''n_1 = 4'''</math> ist, dann folgt für <math>'''n_2 = 3'''</math> und für <math>'''n_3 = 2'''</math> .<br />
<br />
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
==Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==<br />
<br />
{{Box | Merksatz: Normalen- und Koordinatenform | {{Lösung versteckt|1= Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts A und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt A und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalengleichung''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E:\vec{x}=(\vec{x}-A) \cdot \vec{n}=0</math>. <br />
<br />
Zusätzlich lässt sich jede Ebene E ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatengleichung''' der Form <math>E:ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten a, b, c ungleich null sein. <br />
<br />
Ist <math>E:ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatengleichung der Ebene E, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene. | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 9: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform | <br />
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E:2x_1+x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OA} \cdot \vec{v}</math>. <br />
Den Wert für <math>d</math> berechnet man indem man die Koordinaten des Punktes <math>P(4|1|3)</math> einsetzt für <math>x_1, x_2, x_3</math> einsetzt.<br />
Lösung:<math>E:2x_1+x_2+5x_3=22</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene? <br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt A liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 10: Aufstellen der Normalenform | Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform. | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -1-2 \\ 2-1 \\ -3-3 \end{pmatrix}</math>. <br />
Normalengleichung:<math>E:\vec{x}=[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}] \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 11: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist 8 Einheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt. | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von <math>\vec{TP}</math>.<br />
Normalengleichung:<math>E:\vec{x}=[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}] \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 12: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) | <br />
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht zum Himmel zeigt.<br />
Vor dem Rathaus nimmt Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0,5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.<br />
<br />
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0,5 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<math>28n_1+24n_2=0</math> <br />
<br />
<math>-21n_1+10n_2+0,5n_3=0</math>.<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=6</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-7</math> und <math>n_3=392</math>. Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:6x_1-7x_2+392x_3=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.<br />
<br />
'''c)''' Berechne die Zahl z derart, dass R in der Ebene liegt. <br />
| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>6 \cdot (-30) - 7 \cdot 20 + 392z=0</math><br />
<br />
<math>\Leftrightarrow -180-140+392z=0</math><br />
<br />
<math>\Leftrightarrow -320+392z=0</math><br />
<br />
<math> \Leftrightarrow 392z=320</math><br />
<br />
<math> \Leftrightarrow z=0,8163</math><br />
<br />
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 13: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E:x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.<br />
Wo liegt der Schattenpunkt T der Baumspitze S auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt T entspricht dem Schnitt der Ebene E mit der Geraden, die durch S verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.<br />
<br />
Geradengleichung: <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:<br />
<br />
<math>-2+4r+2(1+5r)+(15+7r)=-6.</math><br />
<br />
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math><br />
<br />
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.<br />
<br />
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math> LE.<br />
<br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 14: Reflexion zur Koordinatenform | <br />
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E:ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene E mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Angenommen alle Koeffizienten sind gleich Null: Dann fallen alle Variablen weg und die Gleichung <math>0=d</math> beschreibt keine Ebene mehr.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E:ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten d, dann sind die Ebenen zueinander parallel.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in d unterscheiden haben sie den gleichen Normalenvektor <math>\vec{n}</math>, der orthogonal zur Ebene liegt. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E:ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit.<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
==Überführung der Parameterform in die Koordinatenform==<br />
<br />
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Ein Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math>. Hieraus folgt <math>n_1-n_2=0</math> <math>n_1-3n_2+4n_3 =0</math>. Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man durch Einsetzen in die Gleichungen des Gleichungssystems und Umformen <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=d</math>. Man berechnet <math>d</math> indem man für <math>x_1, x_2</math> und <math>x_3</math> die Koordinaten des Stützvektors von E einsetzt: <math>d=2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=11</math>. Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=11</math>| Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 15: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein. <br />
<br />
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>. <br />
<br />
Hieraus folgt das Gleichungssystem <br />
<br />
<math>n_1+3n_2=0</math> <br />
<br />
<math>-2n_1+n_2+3n_3=0</math>.<br />
<br />
Wählt man z.B. <math>n_1=9</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-3</math> und <math>n_3=7</math>. <br />
<br />
Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}</math>.<br />
<br />
Das <math>d</math> berechnen wir durch <math>d=\vec{n} \cdot \vec{OA}</math>:<br />
<br />
<math>2 \cdot 9 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math><br />
<br />
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math><br />
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 16: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | Die Ebene E ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene E. | Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math><br />
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=(\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math><br />
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>-7x_1-15x_2-9x_3=70</math><br />
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}</div>Laura WWU-8