https://projekte.zum.de/api.php?action=feedcontributions&user=Katrin+WWU-8&feedformat=atomZUM Projektwiki - Benutzerbeiträge [de]2024-03-28T10:03:42ZBenutzerbeiträgeMediaWiki 1.39.6https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=50862Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-06-20T23:18:59Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und<br />
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Darstellungsformen==<br />
<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{Box<br />
|Definition<br />
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g \colon \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.<br />
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. <br />
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.<br />
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. <br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, kannst du [https://www.youtube.com/watch?v=cCetvDxbTQk hier] noch einmal nachvollziehen.<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)<br />
|Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützpunkt <math>A</math>, Richtungsvektor <math>\vec{v}</math> und Parameter <math>t</math> abhängt. Wähle verschiedene Stützpunkte und Richtungsvektoren und verändere den Parameter. Wo liegt der Punkt <math>P</math>, wenn du <math>t < 0</math>, <math>t = 0</math> und <math>t > 0</math> wählst? Was bedeutet dies anschaulich? Dazu kannst du dir auch die Gerade <math>g</math> anzeigen lassen. <br />
<br />
<br />
<ggb_applet id="avyg7hmy" width="100%" height="100%"/><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|* Für <math>t < 0</math> liegt der Punkt <math>P</math> hinter dem Punkt <math>A</math>, d.h. man geht auf der Gerade vom Stützpunkt aus gesehen rückwärts. <br />
* Für <math>t = 0</math> liegt der Punkt <math>P</math> genau auf dem Punkt <math>A</math>, d.h. sie sind identisch, man befindet sich also genau auf dem Stützpunkt. <br />
* Für <math>t > 0</math> liegt der Punkt <math>P</math> vor dem Punkt <math>A</math>, d.h. man geht auf der Gerade vom Stützpunkt aus gesehen vorwärts. <br />
|Lösung anzeigen<br />
|Lösung verbergen<br />
}}<br />
<br />
<br />
Bearbeite nun entweder die analoge Aufgabe (I) oder die digitale Aufgabe (II):<br />
<br />
(I) Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. <br />
<br />
'''a)''' <math>A(1|2|2), B(5|{-}4|7)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9), B(0|0|3)</math><br />
<br />
Wie du im obigen Video gesehen hast, gibt es unendlich viele Lösungen, denn es sind immer Vielfache des Richtungsvektors möglich. Daher ist es möglich, dass deine Lösung hier zwar nicht aufgefürt, aber dennoch korrekt ist. Dazu überprüfe, ob dein Richtungsvektor ein Vielfaches einer der angegeben Richtungsvektoren ist. Beachte das auch bei allen folgenden Aufgaben!<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
(II) Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20364580}}<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen auf Punkt und Richtungsvektor<br />
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.<br />
<br />
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|2)</math> und hat den Richtungsvektor <math>\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Überlege dir wie der Stützvektor der Geraden lauten muss und stelle dann die passende Geradengleichung mit dem Richtungsvektor auf.<br />
|Tipp Aufgabe a) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''b)''' Stelle eine Geradengleichung für die <math>x_1</math>-Achse auf.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Überlege dir einen geschickten Aufpunkt; wie muss dann der Richtungsvektor aussehen?<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur Geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. <br />
|Tipp Aufgabe c) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''d)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.<br />
<br />
'''e)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu d).<br />
|Tipp Aufgabe e) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe e) verbergen<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>x_1 \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> oder noch einfacher <math>x_1 \colon \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math><br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe d) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe d) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe e) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe e) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Punktprobe===<br />
<br />
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade oder daneben liegt, kannst du [https://www.youtube.com/watch?v=1kJ9Nq8zXlI hier] noch einmal nachschauen.<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Punktprobe<br />
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 3: Punktprobe mit einer Geraden I<br />
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
<br />
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt, denn:<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}<br />
<br />
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
2 &&\; = \;&& 7 &&\; + \;&& 5r \\<br />
3 &&\; = \;&& 0 &&\; - \;&& 3r \\<br />
-1 &&\; = \;&& 4 &&\; + \;&& 5r<br />
\end{alignat}\right\vert<br />
<br />
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
r &&\; = \;&& -1 \\<br />
r &&\; = \;&& -1 \\<br />
r &&\; = \;&& -1<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
Somit liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, denn:<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}<br />
<br />
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
2 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& r \\<br />
-1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r \\<br />
-1 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 3r<br />
\end{alignat}\right\vert<br />
<br />
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
r &&\; = \;&& 1 \\<br />
r &&\; = \;&& -\frac{1}{3} \\<br />
r &&\; = \;&& -\frac{2}{3}<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
Es ergibt sich ein Widerspruch. Somit liegt der Punkt <math>P</math> nicht auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden II<br />
|Für welche Werte <math> s, r \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} </math>? <br />
<br />
'''a)''' <math>P(13|3|0)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(5|{-}2|0)</math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Berechne zunächst mithilfe der ersten Gleichung einen Wert für <math>r</math>. Was könnte man nun machen?<br />
|Tipp 1 Aufgabe a) und b) anzeigen<br />
|Tipp 1 Aufgabe a) und b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Setze nun den ausgerechneten Wert für <math>r</math> in die beiden anderen Gleichungen ein und berechne <math>s</math>.<br />
|Tipp 2 Aufgabe a) und b) anzeigen<br />
|Tipp 2 Aufgabe a) und b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt, denn:<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix} 13 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}<br />
<br />
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
13 &&\; = \;&& 9 &&\; + \;&& 2r \\<br />
3 &&\; = \;&& -s &&\; + \;&& r \\<br />
0 &&\; = \;&& 2s &&\; + \;&& r<br />
\end{alignat}\right\vert<br />
<br />
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
r &&\; = \;&& 2 \\<br />
3 &&\; = \;&& -s &&\; + \;&& 2 \\<br />
0 &&\; = \;&& 2s &&\; + \;&& 2<br />
\end{alignat}\right\vert<br />
<br />
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
r &&\; = \;&& 2 \\<br />
s &&\; = \;&& -1 \\<br />
s &&\; = \;&& -1 <br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
Somit liegt der Punkt <math>P</math> für <math>r = 2</math> und <math>s = -1</math> auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Es gibt keine Lösung, denn:<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}<br />
<br />
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
5 &&\; = \;&& 9 &&\; + \;&& 2r \\<br />
-2 &&\; = \;&& -s &&\; + \;&& r \\<br />
0 &&\; = \;&& 2s &&\; + \;&& r<br />
\end{alignat}\right\vert<br />
<br />
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
r &&\; = \;&& -2 \\<br />
-2 &&\; = \;&& -s &&\; + \;&& -2 \\<br />
0 &&\; = \;&& 2s &&\; + \;&& -2<br />
\end{alignat}\right\vert<br />
<br />
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
r &&\; = \;&& 2 \\<br />
s &&\; = \;&& 0 \\<br />
s &&\; = \;&& 1 <br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb keine Werte für Punkt <math>s, r</math> gibt, sodass der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 5: Besondere Geraden im Raum<br />
|Kreuze alle(!) richtigen Antworten an!<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
===Spurpunkte einer Geraden===<br />
<br />
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, kannst du [https://www.youtube.com/watch?v=OCO28fT5Aww hier] noch einmal nachvollziehen.<br />
<br />
Falls du nicht mehr weißt, was die Koordinatenebenen sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: <br />
<br />
{{Lösung versteckt|<br />
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).<br />
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]<br />
|Tipp anzeigen<br />
|Tipp verbergen<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 6: Spurpunkte einer Geraden (Besondere Lage)<br />
|Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du den Aufpunktvektor <math>\vec{a}</math> und den Richtungsvektor <math>\vec{u}</math> mit den Schiebereglern entsprechend anpassen. Anschließend kannst du dir die drei Spurpunkte und ggf. auch die Ebenen anzeigen lassen, indem du das entsprechende Feld ankreuzt. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:<br />
<br />
<ggb_applet id="ynkzgreu" width="100%" height="100%" /><br />
<br />
Untersuche die Geraden, die aus folgenden Aufpunkt- und Richtungsvektoren hervorgehen, auf Spurpunkte und schreibe die Spurpunkte auf. Was sagt die Lage der Geraden über die Anzahl der Spurpunkte aus? <br />
<br />
'''a)''' <math>\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''b)''' <math>\vec{a} = \begin{pmatrix} 1,5 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}, \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''c)''' <math>\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''d)''' <math>\vec{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1,5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Betrachte mal ggf. vorhandene Parallelitäten der Geraden zu den Koordinatenebenen. Fällt dir nun etwas auf?<br />
|Tipp für alle Aufgaben anzeigen<br />
|Tipp für alle Aufgaben verbergen<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die drei Spurpunkte lauten <math>S_{12}(4,5|0,5|0)</math>, <math>S_{13}(6|0|1)</math> und <math>S_{23}(0|2|{-}3)</math>. Da die Gerade nicht parallel zu den Koordinatenebenen verläuft, besitzt sie drei Spurpunkte.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die zwei Spurpunkte lauten <math>S_{12}(4,5|3|0)</math> und <math>S_{23}(0|3|{-}3)</math>. Da die Gerade parallel zur <math>x_1x_3</math>-Ebene verläuft, hat sie keinen Schnittpunkt mit dieser und besitzt folglich nur zwei Spurpunkte.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Der einzige Spurpunkt lautet <math>S_{23}(0|2|3)</math>. Da die Gerade sowohl parallel zur <math>x_1x_2</math>-Ebene als auch parallel zur <math>x_1x_3</math>-Ebene verläuft, hat sie keine Schnittpunkte mit diesen und besitzt folglich nur einen Spurpunkt.<br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die zwei Spurpunkte lauten <math>S_{12}(3|0|0)</math> und <math>S_{23}(0|0|{-}1,5)</math>. Da die Gerade innerhalb der <math>x_1x_3</math>-Ebene verläuft, hat sie unendlich viele Schnittpunkte mit dieser.<br />
|Lösung Aufgabe d) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe d) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 7: Spurpunkte einer Geraden <br />
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math>.<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|# Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 7 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -7</math>. Setze nun <math>r = -7</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} + (-7) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -7 \\ 0 \end{pmatrix}</math>.<br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = r</math>. Setze nun <math>r = 0</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 7 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -7</math>. Setze nun <math>r = -7</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} + (-7) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -7 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Hinweis (war nicht in der Aufgabe gefordert): Man erkennt, dass es sich um den selben Schnittpunkt handelt wie der Schnittpunkt der Gerade mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene, also: <math>S_{12} = S_{23}</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|# Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -2</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math>.<br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math><br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 = 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|# Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 4 + r \cdot (-4) \Leftrightarrow r = 1</math>. Setze nun <math>r = 1</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>.<br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 0 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 = 0</math>. Man erhält keine Lösung für den Parameter <math>r</math>, aber auch keinen Widerspruch. Somit hat die Gerade unendlich viele Spurpunkte mit er <math>x_1x_2</math>-Ebene, da sie innerhalb dieser Ebene verläuft. <br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = -\frac{1}{2}</math>. Setze nun <math>r = -\frac{1}{2}</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{23}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + (-\frac{1}{2}) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}</math>.<br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Hervorhebung1<br />
}}<br />
<br />
<br />
==Lagebeziehungen von Geraden==<br />
<br />
====Parallele und identische Geraden====<br />
{{Box|1=Infobox zur Lagebeziehung zweier Geraden Teil 1<br />
|2= Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''.<br />
<br />
[[Datei:Zwei identische Geraden.png|links|mini|Zwei identische Geraden]]<br />
[[Datei:Zwei parallele Geraden.png|rechts|mini|Zwei parallele Geraden]]<br />
<br />
Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein. <br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.<br />
<br />
[[Datei:Zwei Geraden schneiden sich.png|links|mini|Zwei Geraden schneiden sich]]<br />
[[Datei:Zwei windschiefe Geraden.png|rechts|mini|Zwei windschiefe Geraden]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.<br />
<br />
<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.<br />
<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 8: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel.<br />
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 9: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel.<br />
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 10: Lage erkennen|2= Betrachte die folgenden Geraden <math>g</math> und <math>h</math>. Wie verlaufen die Geraden zueinander. Entscheide ohne Nutzung des GTR.<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
'''b)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Hier brauchst du kaum rechnen. Schaue dir die Aufpunkte nochmal genau an. |2= Tipp zu c|3= Tipp zu c}}<br />
<br />
'''d)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''e)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> 2\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Stützvektoren identisch sind, weißt du, dass der Punkt <math>(2|2|5)</math> auf beiden Geraden liegt und somit die beiden Geraden ''identisch'' sind.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Aufpunkt <math>(2|2|2)</math> von der Gerade <math>h</math> nicht auf der Geraden von <math> g</math> <br />
<br />
<math> \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
2 &&\; = \;&& 1 &&\; +\;&& r\cdot1\\<br />
<br />
2 &&\; =\;&& 1 &&\; +\;&& r\cdot2\\<br />
<br />
2 &&\; =\;&& 1 &&\; +\;&& r\cdot3<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Formen wir dies um zu r erhalten wir<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; = \;&& r\cdot1\\<br />
<br />
1 &&\; =\;&& r\cdot2\\<br />
<br />
1 &&\; =\;&& r\cdot3<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Formen wir weiter zu <math>r</math> um, erhalten wir<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; = \;&& r\\<br />
<br />
0.5 &&\; =\;&& r\\<br />
<br />
0.333 &&\; =\;&& r<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
und damit liegt der Punkt nicht auf der Geraden.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''schneiden''. Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear und damit ''schneiden'' sich die beiden Geraden im Aufpunkt <math>(1|2|3)</math> selbst.|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die vierte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies kannst du wie folgt berechnen.<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; +\;&& r\cdot1 &&\; =\;&& 3 &&\; +\;&& t\cdot1\\<br />
<br />
1 &&\; +\;&& r\cdot2 &&\; =\;&& 3 &&\; +\;&& t\cdot4\\<br />
<br />
1 &&\; +\;&& r\cdot3 &&\; =\;&& 4 &&\; +\;&& t\cdot3<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
r\cdot1 &&\; -\;&& t\cdot1 &&\; = \;&& 2 \\<br />
<br />
r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot4 &&\; = \;&& 2 \\<br />
<br />
r\cdot3 &&\; -\;&& t\cdot3 &&\; = \;&& 3 <br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird <br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot2 &&\; = \;&& 4 \\<br />
<br />
r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot4 &&\; = \;&& 2 \\<br />
<br />
r\cdot3 &&\; -\;&& t\cdot3 &&\; = \;&& 3 <br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
t\cdot2 &&\; =\;&& 2 \\<br />
<br />
r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot4 &&\; =\;&& 2 \\<br />
<br />
r\cdot3 &&\; -\;&& t\cdot3 &&\; =\;&& 3 <br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
erhälst du <math>t=1</math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt, erhälst du für <math>r=3</math>. Setzt du dies in die letzte Zeile ein, erhälst du <math>6=3</math>, eine falsche Aussage. Damit sind die beiden Geraden windschief zueinander.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe d|3=Lösung Aufgabe d}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die fünfte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Aufpunkt <math>(2|3|4)</math> der Geraden <math>h</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe e|3=Lösung Aufgabe e}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 11: Flugerlaubnis erteilen?|2=<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Fluglotsenschüler Karl überwacht gerade zwei Flugzeuge. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es befindet sich bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und fliegt innerhalb von 5 Sekunden zum Punkt <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls ist das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies befindet sich in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120{,}2 \\ 96{,}4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher, ob die beiden Flugzeuge ohne Probleme weiterfliegen können oder kollidieren. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Formel zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
'''b)''' Wie schnell (in <math>\tfrac{km}{h}</math>) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann in verschiedene Einheiten angegeben werden, z.B.: <math>\tfrac{km}{h}</math>, <math>\tfrac{m}{s}</math> etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von <math>\tfrac{m}{s}</math> zu <math>\tfrac{km}{h}</math> umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
Die Batterien deines GTRs haben den Geist aufgegeben. Es ist immer noch kein Strom vorhanden und der Fluglotse stellt dir die alles entscheidene Frage:<br />
<br />
'''c)''' Können alle Flugzeuge weiterfliegen, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du, indem du folgendes berechnest:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies musst du in ein Gleichugssystem umformen und dies dann zu <math>x</math>,<math>y</math> und <math>z</math> auflösen:<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
510 &&\; =\;&& 10 &&\; +\;&& 5\cdot x\\<br />
<br />
410 &&\; =\;&& 10 &&\; +\;&& 5\cdot y\\<br />
<br />
350 &&\; =\;&& 0 &&\; +\;&& 5\cdot z<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
<br />
Zunächst bringst du die Zahlen auf die andere Seite:<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
500 &&\; =\;&& 5\cdot x\\<br />
<br />
400 &&\; =\;&& 5\cdot y\\<br />
<br />
350 &&\; =\;&& 5\cdot z<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
und formst dann zu <math>x</math>,<math>y</math> und <math>z</math> um:<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
100 &&\; =\;&& x\\<br />
<br />
80 &&\; =\;&& y\\<br />
<br />
70 &&\; =\;&& z<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
Und erhälst damit direkt den Richtungsvektor.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du wie folgt:<br />
Du kennst den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ z\end{pmatrix}</math>. Nun musst du <math>z</math> berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von <math>175{,}49</math> besitzt. Dies kannst du mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49=\sqrt[]{120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem du beide Seiten zum Quadart nimmst, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49^{2}=120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Du formst zu <math>z^{2}</math> um und ziehst dann die Wurzel. Du erhälst gerundet <math>84</math> und <math>-84</math>. Da es sich hier jedoch nicht um ein U-Boot handelt, welches abtaucht, sondern um ein Flugzeug, welches in die Höhe geht, ist hier <math>84</math> die einzig mögliche Antwort.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Du berechnest die Geschwindigkeit, indem du die Länge des Richtungsvektors berechnest. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<br />
<math> L=\sqrt[]{100^{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145{,}95</math>. <br />
<br />
Du erhälst also eine Geschwindigkeit von <math>145{,}95</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Es gilt: <math>3{,}6</math> <math>\tfrac{km}{h}</math><math>=1</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. <br />
Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:<br />
<br />
<math>145{,}95 \cdot3{,}6= 525{,}42</math> <br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>525{,}42</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt in einer Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von <math>175{,}49</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:<br />
<br />
<math>175{,}49\cdot3{,}6= 631{,}76</math><br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>631{,}76</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. <br />
Dies erhälst du, wenn du mit dem GTR die beiden Geraden geleichsetzt. Alternativ wollen wir dir hier noch einmal Lösung ohne GTR zeigen.<br />
Du erhälst die Lösung, indem dubeide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
10 &&\; +\;&& t\cdot100 &&\; =\;&& 5 &&\; +\;&& s\cdot120{,}2\\<br />
<br />
10 &&\; +\;&& t\cdot80 &&\; =\;&& 0 &&\; +\;&& s\cdot96{,}4\\<br />
<br />
0 &&\; +\;&& t\cdot70 &&\; =\;&& 0 &&\; +\;&& s\cdot84<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
<br />
Dann formst du dieses so um, dass alle Zahlen auf einer Seite sind:<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
5 &&\; =\;&& s\cdot120{,}2 &&\; -\;&& t\cdot100 \\<br />
<br />
10 &&\; =\;&& s\cdot96{,}4 &&\; -\;&& t\cdot80\\<br />
<br />
0 &&\; =\;&& s\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
und du multiplizierst die erste Zeile mit <math>4</math>, die zweite Zeile mit <math>5</math>:<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
20 &&\; = \;&& s\cdot480{,}8 &&\; -\;&& t\cdot400 \\<br />
<br />
50 &&\; =\;&& s\cdot482 &&\; -\;&& t\cdot400\\<br />
<br />
0 &&\; =\;&& s\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Nun subtrahiere die zweite Zeile von der ersten Zeile:<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}30 &&\; = \;&& s\cdot{-}1{,}2 \\<br />
<br />
50 &&\; =\;&& s\cdot482 &&\; -\;&& t\cdot400\\<br />
<br />
0 &&\; =\;&& s\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
also folgt:<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
25 &&\; = \;&& s \\<br />
<br />
50 &&\; =\;&& s\cdot482 &&\; -\;&& t\cdot400\\<br />
<br />
0 &&\; =\;&& s\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Du erhälst also <math>s=25 </math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt und umformst, erhälst du:<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
25 &&\; = \;&& s \\<br />
<br />
30 &&\; =\;&& t \\<br />
<br />
0 &&\; =\;&& 25\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Setzen wir nun in die letzte Zeile <math>t=30</math> ein, so erhalten wir dort <math>0=0</math> und wissen damit, dass sich die Geraden schneiden.<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Anwendungen==</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=50861Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-06-20T22:57:52Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und<br />
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Darstellungsformen==<br />
<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{Box<br />
|Definition<br />
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g \colon \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.<br />
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. <br />
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.<br />
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. <br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, kannst du [https://www.youtube.com/watch?v=cCetvDxbTQk hier] noch einmal nachvollziehen.<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)<br />
|Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützpunkt <math>A</math>, Richtungsvektor <math>\vec{v}</math> und Parameter <math>t</math> abhängt. Wähle verschiedene Stützpunkte und Richtungsvektoren und verändere den Parameter. Wo liegt der Punkt <math>P</math>, wenn du <math>t < 0</math>, <math>t = 0</math> und <math>t > 0</math> wählst? Was bedeutet dies anschaulich? Dazu kannst du dir auch die Gerade <math>g</math> anzeigen lassen. <br />
<br />
<br />
<ggb_applet id="avyg7hmy" width="100%" height="100%"/><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|* Für <math>t < 0</math> liegt der Punkt <math>P</math> hinter dem Punkt <math>A</math>, d.h. man geht auf der Gerade vom Stützpunkt aus gesehen rückwärts. <br />
* Für <math>t = 0</math> liegt der Punkt <math>P</math> genau auf dem Punkt <math>A</math>, d.h. sie sind identisch, man befindet sich also genau auf dem Stützpunkt. <br />
* Für <math>t > 0</math> liegt der Punkt <math>P</math> vor dem Punkt <math>A</math>, d.h. man geht auf der Gerade vom Stützpunkt aus gesehen vorwärts. <br />
|Lösung anzeigen<br />
|Lösung verbergen<br />
}}<br />
<br />
<br />
Bearbeite nun entweder die analoge Aufgabe (I) oder die digitale Aufgabe (II):<br />
<br />
(I) Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. <br />
<br />
'''a)''' <math>A(1|2|2), B(5|{-}4|7)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9), B(0|0|3)</math><br />
<br />
Wie du im obigen Video gesehen hast, gibt es unendlich viele Lösungen, denn es sind immer Vielfache des Richtungsvektors möglich. Daher ist es möglich, dass deine Lösung hier zwar nicht aufgefürt, aber dennoch korrekt ist. Dazu überprüfe, ob dein Richtungsvektor ein Vielfaches einer der angegeben Richtungsvektoren ist. Beachte das auch bei allen folgenden Aufgaben!<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
(II) Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20364580}}<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen auf Punkt und Richtungsvektor<br />
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.<br />
<br />
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|2)</math> und hat den Richtungsvektor <math>\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Überlege dir wie der Stützvektor der Geraden lauten muss und stelle dann die passende Geradengleichung mit dem Richtungsvektor auf.<br />
|Tipp Aufgabe a) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''b)''' Stelle eine Geradengleichung für die <math>x_1</math>-Achse auf.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Überlege dir einen geschickten Aufpunkt; wie muss dann der Richtungsvektor aussehen?<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur Geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. <br />
|Tipp Aufgabe c) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''d)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.<br />
<br />
'''e)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu d).<br />
|Tipp Aufgabe e) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe e) verbergen<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>x_1 \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> oder noch einfacher <math>x_1 \colon \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math><br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe d) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe d) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe e) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe e) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Punktprobe===<br />
<br />
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade oder daneben liegt, kannst du [https://www.youtube.com/watch?v=1kJ9Nq8zXlI hier] noch einmal nachschauen.<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Punktprobe<br />
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 3: Punktprobe mit einer Geraden I<br />
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
<br />
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt, denn:<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}<br />
<br />
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
2 &&\; = \;&& 7 &&\; + \;&& 5r \\<br />
3 &&\; = \;&& 0 &&\; - \;&& 3r \\<br />
-1 &&\; = \;&& 4 &&\; + \;&& 5r<br />
\end{alignat}\right\vert<br />
<br />
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
r &&\; = \;&& -1 \\<br />
r &&\; = \;&& -1 \\<br />
r &&\; = \;&& -1<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
Somit liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, denn:<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}<br />
<br />
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
2 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& r \\<br />
-1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r \\<br />
-1 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 3r<br />
\end{alignat}\right\vert<br />
<br />
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
r &&\; = \;&& 1 \\<br />
r &&\; = \;&& -\frac{1}{3} \\<br />
r &&\; = \;&& -\frac{2}{3}<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
Es ergibt sich ein Widerspruch. Somit liegt der Punkt <math>P</math> nicht auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden II<br />
|Für welche Werte <math> s, r \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} </math>? <br />
<br />
'''a)''' <math>P(13|3|0)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(5|{-}2|0)</math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Berechne zunächst mithilfe der ersten Gleichung einen Wert für <math>r</math>. Was könnte man nun machen?<br />
|Tipp 1 Aufgabe a) und b) anzeigen<br />
|Tipp 1 Aufgabe a) und b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Setze nun den ausgerechneten Wert für <math>r</math> in die beiden anderen Gleichungen ein und berechne <math>s</math>.<br />
|Tipp 2 Aufgabe a) und b) anzeigen<br />
|Tipp 2 Aufgabe a) und b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt, denn:<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix} 13 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}<br />
<br />
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
13 &&\; = \;&& 9 &&\; + \;&& 2r \\<br />
3 &&\; = \;&& -s &&\; + \;&& r \\<br />
0 &&\; = \;&& 2s &&\; + \;&& r<br />
\end{alignat}\right\vert<br />
<br />
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
r &&\; = \;&& 2 \\<br />
3 &&\; = \;&& -s &&\; + \;&& 2 \\<br />
0 &&\; = \;&& 2s &&\; + \;&& 2<br />
\end{alignat}\right\vert<br />
<br />
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
r &&\; = \;&& 2 \\<br />
s &&\; = \;&& -1 \\<br />
s &&\; = \;&& -1 <br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
Somit liegt der Punkt <math>P</math> für <math>r = 2</math> und <math>s = -1</math> auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Es gibt keine Lösung, denn:<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}<br />
<br />
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
5 &&\; = \;&& 9 &&\; + \;&& 2r \\<br />
-2 &&\; = \;&& -s &&\; + \;&& r \\<br />
0 &&\; = \;&& 2s &&\; + \;&& r<br />
\end{alignat}\right\vert<br />
<br />
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
r &&\; = \;&& -2 \\<br />
-2 &&\; = \;&& -s &&\; + \;&& -2 \\<br />
0 &&\; = \;&& 2s &&\; + \;&& -2<br />
\end{alignat}\right\vert<br />
<br />
\Leftrightarrow\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
r &&\; = \;&& 2 \\<br />
s &&\; = \;&& 0 \\<br />
s &&\; = \;&& 1 <br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb keine Werte für Punkt <math>s, r</math> gibt, sodass der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 5: Besondere Geraden im Raum<br />
|Kreuze alle(!) richtigen Antworten an!<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
===Spurpunkte einer Geraden===<br />
<br />
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, kannst du [https://www.youtube.com/watch?v=OCO28fT5Aww hier] noch einmal nachvollziehen.<br />
<br />
Falls du nicht mehr weißt, was die Koordinatenebenen sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: <br />
<br />
{{Lösung versteckt|<br />
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).<br />
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]<br />
|Tipp anzeigen<br />
|Tipp verbergen<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 6: Spurpunkte einer Geraden (Besondere Lage)<br />
|Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du den Aufpunktvektor <math>\vec{a}</math> und den Richtungsvektor <math>\vec{u}</math> mit den Schiebereglern entsprechend anpassen. Anschließend kannst du dir die drei Spurpunkte und ggf. auch die Ebenen anzeigen lassen, indem du das entsprechende Feld ankreuzt. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:<br />
<br />
<ggb_applet id="ynkzgreu" width="100%" height="100%" /><br />
<br />
Untersuche die Geraden, die aus folgenden Aufpunkt- und Richtungsvektoren hervorgehen, auf Spurpunkte und schreibe die Spurpunkte auf. Was sagt die Lage der Geraden über die Anzahl der Spurpunkte aus? <br />
<br />
'''a)''' <math>\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''b)''' <math>\vec{a} = \begin{pmatrix} 1,5 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}, \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''c)''' <math>\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''d)''' <math>\vec{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1,5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Betrachte mal ggf. vorhandene Parallelitäten der Geraden zu den Koordinatenebenen. Fällt dir nun etwas auf?<br />
|Tipp für alle Aufgaben anzeigen<br />
|Tipp für alle Aufgaben verbergen<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die drei Spurpunkte lauten <math>S_{12}(4,5|0,5|0)</math>, <math>S_{13}(6|0|1)</math> und <math>S_{23}(0|2|{-}3)</math>. Da die Gerade nicht parallel zu den Koordinatenebenen verläuft, besitzt sie drei Spurpunkte.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die zwei Spurpunkte lauten <math>S_{12}(4,5|3|0)</math> und <math>S_{23}(0|3|{-}3)</math>. Da die Gerade parallel zur <math>x_1x_3</math>-Ebene verläuft, hat sie keinen Schnittpunkt mit dieser und besitzt folglich nur zwei Spurpunkte.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Der einzige Spurpunkt lautet <math>S_{23}(0|2|3)</math>. Da die Gerade sowohl parallel zur <math>x_1x_2</math>-Ebene als auch parallel zur <math>x_1x_3</math>-Ebene verläuft, hat sie keine Schnittpunkte mit diesen und besitzt folglich nur einen Spurpunkt.<br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die zwei Spurpunkte lauten <math>S_{12}(3|0|0)</math> und <math>S_{23}(0|0|{-}1,5)</math>. Da die Gerade innerhalb der <math>x_1x_3</math>-Ebene verläuft, hat sie unendlich viele Schnittpunkte mit dieser.<br />
|Lösung Aufgabe d) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe d) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 7: Spurpunkte einer Geraden <br />
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math>.<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|# Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 7 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -7</math>. Setze nun <math>r = -7</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} + (-7) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -7 \\ 0 \end{pmatrix}</math>.<br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = r</math>. Setze nun <math>r = 0</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}</math><br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 7 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -7</math>. Setze nun <math>r = -7</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} + (-7) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -7 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Hinweis (war nicht in der Aufgabe gefordert): Man erkennt, dass es sich um den selben Schnittpunkt handelt wie der Schnittpunkt der Gerade mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene, also: <math>S_{12} = S_{23}</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|# Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -2</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math>.<br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math><br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 = 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|# Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 4 + r \cdot (-4) \Leftrightarrow r = 1</math>. Setze nun <math>r = 1</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>.<br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 0 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 = 0</math>. Man erhält keine Lösung für den Parameter <math>r</math>, aber auch keinen Widerspruch. Somit hat die Gerade unendlich viele Spurpunkte mit er <math>x_1x_2</math>-Ebene, da sie innerhalb dieser Ebene verläuft. <br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = -\frac{1}{2}</math>. Setze nun <math>r = -\frac{1}{2}</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{23}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + (-\frac{1}{2}) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}</math>.<br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Hervorhebung1<br />
}}<br />
<br />
<br />
==Lagebeziehungen von Geraden==<br />
<br />
====Parallele und identische Geraden====<br />
{{Box|1=Infobox zur Lagebeziehung zweier Geraden Teil 1<br />
|2= Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''.<br />
<br />
[[Datei:Zwei identische Geraden.png|links|mini|Zwei identische Geraden]]<br />
[[Datei:Zwei parallele Geraden.png|rechts|mini|Zwei parallele Geraden]]<br />
<br />
Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein. <br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.<br />
<br />
[[Datei:Zwei Geraden schneiden sich.png|links|mini|Zwei Geraden schneiden sich]]<br />
[[Datei:Zwei windschiefe Geraden.png|rechts|mini|Zwei windschiefe Geraden]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.<br />
<br />
<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.<br />
<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 8: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel.<br />
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 9: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel.<br />
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 10: Lage erkennen|2= Betrachte die folgenden Geraden <math>g</math> und <math>h</math>. Wie verlaufen die Geraden zueinander. Entscheide ohne Nutzung des GTR.<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
'''b)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Hier brauchst du kaum rechnen. Schaue dir die Aufpunkte nochmal genau an. |2= Tipp zu c|3= Tipp zu c}}<br />
<br />
'''d)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''e)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> 2\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Stützvektoren identisch sind, weißt du, dass der Punkt <math>(2|2|5)</math> auf beiden Geraden liegt und somit die beiden Geraden ''identisch'' sind.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Aufpunkt <math>(2|2|2)</math> von der Gerade <math>h</math> nicht auf der Geraden von <math> g</math> <br />
<br />
<math> \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
2 &&\; = \;&& 1 &&\; +\;&& r\cdot1\\<br />
<br />
2 &&\; =\;&& 1 &&\; +\;&& r\cdot2\\<br />
<br />
2 &&\; =\;&& 1 &&\; +\;&& r\cdot3<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Formen wir dies um zu r erhalten wir<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; = \;&& r\cdot1\\<br />
<br />
1 &&\; =\;&& r\cdot2\\<br />
<br />
1 &&\; =\;&& r\cdot3<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Formen wir weiter zu <math>r</math> um, erhalten wir<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; = \;&& r\\<br />
<br />
0.5 &&\; =\;&& r\\<br />
<br />
0.333 &&\; =\;&& r<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
und damit liegt der Punkt nicht auf der Geraden.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''schneiden''. Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear und damit ''schneiden'' sich die beiden Geraden im Aufpunkt <math>(1|2|3)</math> selbst.|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die vierte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies kannst du wie folgt berechnen.<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; +\;&& r\cdot1 &&\; =\;&& 3 &&\; +\;&& t\cdot1\\<br />
<br />
1 &&\; +\;&& r\cdot2 &&\; =\;&& 3 &&\; +\;&& t\cdot4\\<br />
<br />
1 &&\; +\;&& r\cdot3 &&\; =\;&& 4 &&\; +\;&& t\cdot3<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
r\cdot1 &&\; -\;&& t\cdot1 &&\; = \;&& 2 \\<br />
<br />
r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot4 &&\; = \;&& 2 \\<br />
<br />
r\cdot3 &&\; -\;&& t\cdot3 &&\; = \;&& 3 <br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird <br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot2 &&\; = \;&& 4 \\<br />
<br />
r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot4 &&\; = \;&& 2 \\<br />
<br />
r\cdot3 &&\; -\;&& t\cdot3 &&\; = \;&& 3 <br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
t\cdot2 &&\; =\;&& 2 \\<br />
<br />
r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot4 &&\; =\;&& 2 \\<br />
<br />
r\cdot3 &&\; -\;&& t\cdot3 &&\; =\;&& 3 <br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
erhälst du <math>t=1</math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt, erhälst du für <math>r=3</math>. Setzt du dies in die letzte Zeile ein, erhälst du <math>6=3</math>, eine falsche Aussage. Damit sind die beiden Geraden windschief zueinander.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe d|3=Lösung Aufgabe d}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die fünfte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Aufpunkt <math>(2|3|4)</math> der Geraden <math>h</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe e|3=Lösung Aufgabe e}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 11: Flugerlaubnis erteilen?|2=<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es befindet sich bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und fliegt innerhalb von 5 Sekunden zum Punkt <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls ist das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies befindet sich in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120{,}2 \\ 96{,}4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Nutze deinen GTR und hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Formel zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
'''b)''' Wie schnell (in <math>\tfrac{km}{h}</math>) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann in verschiedene Einheiten angegeben werden, z.B.: <math>\tfrac{km}{h}</math>, <math>\tfrac{m}{s}</math> etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von <math>\tfrac{m}{s}</math> zu <math>\tfrac{km}{h}</math> umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
Die Batterien deines GTRs haben den Geist aufgegeben. Es ist immer noch kein Strom vorhanden und der Fluglotse stellt dir die alles entscheidene Frage:<br />
<br />
'''c)''' Können alle Flugzeuge weiterfliegen, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du, indem du folgendes berechnest:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies musst du in ein Gleichugssystem umformen und dies dann zu <math>x</math>,<math>y</math> und <math>z</math> auflösen:<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
510 &&\; =\;&& 10 &&\; +\;&& 5\cdot x\\<br />
<br />
410 &&\; =\;&& 10 &&\; +\;&& 5\cdot y\\<br />
<br />
350 &&\; =\;&& 0 &&\; +\;&& 5\cdot z<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
<br />
Zunächst bringst du die Zahlen auf die andere Seite:<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
500 &&\; =\;&& 5\cdot x\\<br />
<br />
400 &&\; =\;&& 5\cdot y\\<br />
<br />
350 &&\; =\;&& 5\cdot z<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
und formst dann zu <math>x</math>,<math>y</math> und <math>z</math> um:<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
100 &&\; =\;&& x\\<br />
<br />
80 &&\; =\;&& y\\<br />
<br />
70 &&\; =\;&& z<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
Und erhälst damit direkt den Richtungsvektor.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du wie folgt:<br />
Du kennst den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ z\end{pmatrix}</math>. Nun musst du <math>z</math> berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von <math>175{,}49</math> besitzt. Dies kannst du mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49=\sqrt[]{120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem du beide Seiten zum Quadart nimmst, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49^{2}=120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Du formst zu <math>z^{2}</math> um und ziehst dann die Wurzel. Du erhälst gerundet <math>84</math> und <math>-84</math>. Da es sich hier jedoch nicht um ein U-Boot handelt, welches abtaucht, sondern um ein Flugzeug, welches in die Höhe geht, ist hier <math>84</math> die einzig mögliche Antwort.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Du berechnest die Geschwindigkeit, indem du die Länge des Richtungsvektors berechnest. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<br />
<math> L=\sqrt[]{100^{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145{,}95</math>. <br />
<br />
Du erhälst also eine Geschwindigkeit von <math>145{,}95</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Es gilt: <math>3{,}6</math> <math>\tfrac{km}{h}</math><math>=1</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. <br />
Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:<br />
<br />
<math>145{,}95 \cdot3{,}6= 525{,}42</math> <br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>525{,}42</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt in einer Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von <math>175{,}49</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:<br />
<br />
<math>175{,}49\cdot3{,}6= 631{,}76</math><br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>631{,}76</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. <br />
Dies erhälst du, wenn du mit dem GTR die beiden Geraden geleichsetzt. Alternativ wollen wir dir hier noch einmal Lösung ohne GTR zeigen.<br />
Du erhälst die Lösung, indem dubeide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
10 &&\; +\;&& t\cdot100 &&\; =\;&& 5 &&\; +\;&& s\cdot120{,}2\\<br />
<br />
10 &&\; +\;&& t\cdot80 &&\; =\;&& 0 &&\; +\;&& s\cdot96{,}4\\<br />
<br />
0 &&\; +\;&& t\cdot70 &&\; =\;&& 0 &&\; +\;&& s\cdot84<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
<br />
Dann formst du dieses so um, dass alle Zahlen auf einer Seite sind:<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
5 &&\; =\;&& s\cdot120{,}2 &&\; -\;&& t\cdot100 \\<br />
<br />
10 &&\; =\;&& s\cdot96{,}4 &&\; -\;&& t\cdot80\\<br />
<br />
0 &&\; =\;&& s\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
und du multiplizierst die erste Zeile mit <math>4</math>, die zweite Zeile mit <math>5</math>:<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
20 &&\; = \;&& s\cdot480{,}8 &&\; -\;&& t\cdot400 \\<br />
<br />
50 &&\; =\;&& s\cdot482 &&\; -\;&& t\cdot400\\<br />
<br />
0 &&\; =\;&& s\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Nun subtrahiere die zweite Zeile von der ersten Zeile:<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}30 &&\; = \;&& s\cdot{-}1{,}2 \\<br />
<br />
50 &&\; =\;&& s\cdot482 &&\; -\;&& t\cdot400\\<br />
<br />
0 &&\; =\;&& s\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
also folgt:<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
25 &&\; = \;&& s \\<br />
<br />
50 &&\; =\;&& s\cdot482 &&\; -\;&& t\cdot400\\<br />
<br />
0 &&\; =\;&& s\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Du erhälst also <math>s=25 </math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt und umformst, erhälst du:<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
25 &&\; = \;&& s \\<br />
<br />
30 &&\; =\;&& t \\<br />
<br />
0 &&\; =\;&& 25\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Setzen wir nun in die letzte Zeile <math>t=30</math> ein, so erhalten wir dort <math>0=0</math> und wissen damit, dass sich die Geraden schneiden.<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Anwendungen==</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=49894Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-05-21T08:02:32Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und<br />
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Darstellungsformen==<br />
<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{Box<br />
|Definition<br />
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g \colon \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.<br />
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. <br />
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.<br />
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. <br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: <br />
<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk|900}}<br />
<br />
<br />
Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter abhängt: <br />
<br />
<ggb_applet id="EfrTd7YR" width="900" height="500&quot;&quot;" border="888888" /><br />
<br />
<br />
<span style="color: Red"> ????''Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden <math>g</math> liegen, möglich.''????</span><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)<br />
|Bearbeite entweder die analoge Aufgabe (I) oder die digitale Aufgabe (II):<br />
<br />
(I) Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. <br />
<br />
'''a)''' <math>A(1|2|2), B(5|{-}4|7)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9), B(0|0|3)</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
(II) Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pc62b4ck318}}<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)<br />
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.<br />
<br />
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. <br />
|Tipp Aufgabe a) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''b)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wie könnte eine Geradengleichung der <math>x_1</math>-Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Punktprobe===<br />
<br />
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|1kJ9Nq8zXlI|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Punktprobe<br />
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 3: Punktprobe mit einer Geraden I<br />
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
<br />
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt für <math>t = -1</math>, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt nicht auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden II<br />
|Für welchen Wert <math>s </math> mit <math> s \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>? <br />
<br />
'''a)''' <math>P(13|3|0)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(12|{-}1|6{,}5)</math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = -1</math> mit <math>r = 2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 2{,}5</math> mit <math>r = 1{,}5</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Spurpunkte einer Geraden===<br />
<br />
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video.<br />
<br />
Falls du nicht mehr weißt, was die Koordinatenebenen sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: <br />
<br />
{{Lösung versteckt|<br />
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).<br />
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]<br />
|Tipp anzeigen<br />
|Tipp verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!<br />
|Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene. <br />
In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du <math>= 0</math> gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box <br />
|Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten<br />
|Gegeben ist die Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet (du kannnst es natürlich auch selbst versuchen und dann deine Lösung kontrollieren):<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 \neq 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Hervorhebung1<br />
}}<br />
<br />
Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:<br />
<br />
<ggb_applet id="KrHVKfjB" width="900" height="402" border="888888" /><br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 5: Spurpunkte einer Geraden I<br />
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Der Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene ist nicht vorhanden, da sich ein Widerspruch in der Gleichung ergibt.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 6: Geraden im Koordinatensystem<br />
|Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
==Lagebeziehungen von Geraden==<br />
<br />
====Parallele und identische Geraden====<br />
{{Box|1=Infobox zur Lagebeziehung zweier Geraden Teil 1<br />
|2= Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''.<br />
<br />
[[Datei:Zwei identische Geraden.png|links|mini|Zwei identische Geraden]]<br />
[[Datei:Zwei parallele Geraden.png|rechts|mini|Zwei parallele Geraden]]<br />
<br />
Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein. <br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.<br />
<br />
[[Datei:Zwei Geraden schneiden sich.png|links|mini|Zwei Geraden schneiden sich]]<br />
[[Datei:Zwei windschiefe Geraden.png|rechts|mini|Zwei windschiefe Geraden]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.<br />
<br />
<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.<br />
<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 7: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel.<br />
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 8: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel.<br />
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 9: Lage erkennen|2= Betrachte die folgenden Geraden <math>g</math> und <math>h</math>. Wie verlaufen die Geraden zueinander. Entscheide ohne Nutzung des GTR.<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
'''b)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Hier brauchst du kaum rechnen. Schaue dir die Aufpunkte nochmal genau an. |2= Tipp zu c|3= Tipp zu c}}<br />
<br />
'''d)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''e)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> 2\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Stützvektoren identisch sind, weißt du, dass der Punkt <math>(2|2|5)</math> auf beiden Geraden liegt und somit die beiden Geraden ''identisch'' sind.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Aufpunkt <math>(2|2|2)</math> von der Gerade <math>h</math> nicht auf der Geraden von <math> h \colon \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
2 &&\; = \;&& 1 &&\; +\;&& r\cdot1\\<br />
<br />
2 &&\; =\;&& 1 &&\; +\;&& r\cdot2\\<br />
<br />
2 &&\; =\;&& 1 &&\; +\;&& r\cdot3<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Formen wir dies um zu r erhalten wir<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; = \;&& r\cdot1\\<br />
<br />
1 &&\; =\;&& r\cdot2\\<br />
<br />
1 &&\; =\;&& r\cdot3<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Formen wir weiter zu <math>r</math> um, erhalten wir<br />
<math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math> und damit liegt der Punkt nicht auf der Geraden.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''schneiden''. Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear und damit ''schneiden'' sich die beiden Geraden sich im Aufpunkt <math>(1|2|3)</math> selbst.|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die vierte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies kannst du wie folgt berechnen.<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; +\;&& r\cdot1 &&\; =\;&& 2 &&\; +\;&& t\cdot1\\<br />
<br />
1 &&\; +\;&& r\cdot2 &&\; =\;&& 3 &&\; +\;&& t\cdot4\\<br />
<br />
1 &&\; +\;&& r\cdot3 &&\; =\;&& 4 &&\; +\;&& t\cdot3<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
r\cdot1 &&\; -\;&& t\cdot1 &&\; = \;&& 1 \\<br />
<br />
r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot4 &&\; = \;&& 2 \\<br />
<br />
r\cdot3 &&\; -\;&& t\cdot3 &&\; = \;&& 3 <br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird <br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot2 &&\; = \;&& 2 \\<br />
<br />
r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot4 &&\; = \;&& 2 \\<br />
<br />
r\cdot3 &&\; -\;&& t\cdot3 &&\; = \;&& 3 <br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
t\cdot2 &&\; =\;&& 2 \\<br />
<br />
r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot4 &&\; =\;&& 2 \\<br />
<br />
r\cdot3 &&\; -\;&& t\cdot3 &&\; =\;&& 3 <br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
erhälst du <math>t=1</math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt, erhälst du für <math>r=3</math>. Setzt du dies in die letzte Zeile ein, erhälst du <math>6=3</math>, eine falsche Aussage. Damit sind die beiden Geraden windschief zueinander.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe e|3=Lösung Aufgabe e}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die fünfte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Aufpunkt <math>(2|3|4)</math> der Geraden h auf der Geraden g liegt: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe e|3=Lösung Aufgabe e}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 11: Flugerlaubnis erteilen?|2=<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es befindet sich bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und fliegt innerhalb von 5 Sekunden zum Punkt <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls ist das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies befindet sich in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120{,}2 \\ 96{,}4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Nutze deinen GTR und hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Formel zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
'''b)''' Wie schnell (in <math>\tfrac{km}{h}</math>) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann in verschiedene Einheiten angegeben werden, z.B.: <math>\tfrac{km}{h}</math>, <math>\tfrac{m}{s}</math> etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von <math>\tfrac{m}{s}</math> zu <math>\tfrac{km}{h}</math> umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
Die Batterien deines GTRs haben den Geist aufgegeben. Es ist immer noch kein Strom vorhanden und der Fluglotse stellt dir die alles entscheidene Frage:<br />
<br />
'''c)''' Können alle Flugzeuge weiterfliegen, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du, indem du folgendes berechnest:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies musst du in ein Gleichugssystem umformen und dies dann zu <math>x</math>,<math>y</math> und <math>z</math> auflösen:<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
510 &&\; =\;&& 10 &&\; +\;&& 5\cdot x\\<br />
<br />
410 &&\; =\;&& 10 &&\; +\;&& 5\cdot y\\<br />
<br />
350 &&\; =\;&& 0 &&\; +\;&& 5\cdot z<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
<br />
Zunächst bringst du die Zahlen auf die andere Seite:<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
500 &&\; =\;&& 5\cdot x\\<br />
<br />
400 &&\; =\;&& 5\cdot y\\<br />
<br />
350 &&\; =\;&& 5\cdot z<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
und formst dann zu <math>x</math>,<math>y</math>, und <math>z</math> um:<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
100 &&\; =\;&& x\\<br />
<br />
80 &&\; =\;&& y\\<br />
<br />
70 &&\; =\;&& z<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
Und erhälst damit direkt den Richtungsvektor.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du wie folgt:<br />
Du kennst den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun musst du <math>z</math> berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von <math>175{,}49</math> besitzt. Dies kannst du mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49=\sqrt[]{120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem du beide Seiten zum quadart nimmst, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49^{2}=120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Du formst zu <math>z^{2}</math> um und ziehst dann die Wurzel. Du erhälst gerundet <math>84</math>. <br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Du berechnest die Geschwindigkeit, indem du die Länge des Richtungsvektors berechnest. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<br />
<math> L=\sqrt[]{100^{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145{,}95</math>. <br />
<br />
Du erhälst also eine Geschwindigkeit von <math>145{,}95</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Es gilt: <math>3{,}6</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>=1 <math>\tfrac{m}{s}</math>. <br />
Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:<br />
<br />
<math>145{,}95 \cdot3{,}6= 525{,}42</math> <br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>525{,}42</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt in einer Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von <math>175{,}49</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:<br />
<br />
<math>175{,}49\cdot3{,}6= 631{,}76</math><br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>631{,}76</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. <br />
Dies erhälst du, wenn du mit dem GTR die beiden Geraden geleichsetzt. Alternativ wollen wir dir hier noch einmal Lösung ohne GTR zeigen.<br />
Du erhälst die Lösung, indem dubeide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
10 &&\; +\;&& t\cdot100 &&\; =\;&& 5 &&\; +\;&& s\cdot120{,}2\\<br />
<br />
10 &&\; +\;&& t\cdot80 &&\; =\;&& 0 &&\; +\;&& s\cdot96{,}4\\<br />
<br />
0 &&\; +\;&& t\cdot70 &&\; =\;&& 0 &&\; +\;&& s\cdot84<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
<br />
Dann formst du dieses so um, dass alle Zahlen auf einer Seite sind:<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
5 &&\; =\;&& s\cdot120{,}2 &&\; -\;&& t\cdot100 \\<br />
<br />
10 &&\; =\;&& s\cdot96{,}4 &&\; -\;&& t\cdot80\\<br />
<br />
0 &&\; =\;&& s\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
und du multiplizierst die erste Zeile mit <math>4</math>, die zweite Zeile mit <math>5</math>:<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
20 &&\; = \;&& s\cdot480{,}8 &&\; -\;&& t\cdot400 \\<br />
<br />
50 &&\; =\;&& s\cdot482 &&\; -\;&& t\cdot400\\<br />
<br />
0 &&\; =\;&& s\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Nun subtrahiere die zweite Zeile von der ersten Zeile:<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}30 &&\; = \;&& s\cdot{-}1{,}2 \\<br />
<br />
50 &&\; =\;&& s\cdot482 &&\; -\;&& t\cdot400\\<br />
<br />
0 &&\; =\;&& s\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
also folgt:<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
25 &&\; = \;&& s \\<br />
<br />
50 &&\; =\;&& s\cdot482 &&\; -\;&& t\cdot400\\<br />
<br />
0 &&\; =\;&& s\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Du erhälst also <math>s=25 </math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt und umformst, erhälst du:<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
25 &&\; = \;&& s \\<br />
<br />
30 &&\; =\;&& t \\<br />
<br />
0 &&\; =\;&& 25\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Setzen wir nun in die letzte Zeile <math>t=30</math> ein, so erhalten wir dort <math>0=0</math> und wissen damit, dass sich die Geraden schneiden.<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Anwendungen==</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=49880Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-05-20T07:40:01Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und<br />
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Darstellungsformen==<br />
<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{Box<br />
|Definition<br />
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g \colon \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.<br />
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. <br />
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.<br />
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. <br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: <br />
<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk|900}}<br />
<br />
<br />
Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter abhängt: <br />
<br />
<ggb_applet id="EfrTd7YR" width="900" height="500&quot;&quot;" border="888888" /><br />
<br />
<br />
<span style="color: Red"> ????''Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden <math>g</math> liegen, möglich.''????</span><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)<br />
|Bearbeite entweder die analoge Aufgabe (I) oder die digitale Aufgabe (II):<br />
<br />
(I) Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. <br />
<br />
'''a)''' <math>A(1|2|2), B(5|{-}4|7)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9), B(0|0|3)</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
(II) Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pc62b4ck318}}<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)<br />
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.<br />
<br />
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. <br />
|Tipp Aufgabe a) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''b)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wie könnte eine Geradengleichung der <math>x_1</math>-Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Punktprobe===<br />
<br />
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|1kJ9Nq8zXlI|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Punktprobe<br />
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 3: Punktprobe mit einer Geraden I<br />
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
<br />
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt für <math>t = -1</math>, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt nicht auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden II<br />
|Für welchen Wert <math>s </math> mit <math> s \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>? <br />
<br />
'''a)''' <math>P(13|3|0)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(12|{-}1|6{,}5)</math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = -1</math> mit <math>r = 2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 2{,}5</math> mit <math>r = 1{,}5</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Spurpunkte einer Geraden===<br />
<br />
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video.<br />
<br />
Falls du nicht mehr weißt, was die Koordinatenebenen sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: <br />
<br />
{{Lösung versteckt|<br />
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).<br />
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]<br />
|Tipp anzeigen<br />
|Tipp verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!<br />
|Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene. <br />
In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du <math>= 0</math> gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box <br />
|Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten<br />
|Gegeben ist die Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet (du kannnst es natürlich auch selbst versuchen und dann deine Lösung kontrollieren):<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 \neq 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Hervorhebung1<br />
}}<br />
<br />
Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:<br />
<br />
<ggb_applet id="KrHVKfjB" width="900" height="402" border="888888" /><br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 5: Spurpunkte einer Geraden I<br />
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Der Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene ist nicht vorhanden, da sich ein Widerspruch in der Gleichung ergibt.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 6: Geraden im Koordinatensystem<br />
|Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
==Lagebeziehungen von Geraden==<br />
<br />
====Parallele und identische Geraden====<br />
{{Box|1=Infobox zur Lagebeziehung zweier Geraden Teil 1<br />
|2= Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''.<br />
<br />
[[Datei:Zwei identische Geraden.png|links|mini|Zwei identische Geraden]]<br />
[[Datei:Zwei parallele Geraden.png|rechts|mini|Zwei parallele Geraden]]<br />
<br />
Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein. <br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.<br />
<br />
[[Datei:Zwei Geraden schneiden sich.png|links|mini|Zwei Geraden schneiden sich]]<br />
[[Datei:Zwei windschiefe Geraden.png|rechts|mini|Zwei windschiefe Geraden]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.<br />
<br />
<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.<br />
<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 7: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel.<br />
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 8: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel.<br />
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 9: Lage erkennen|2= Betrachte die folgenden Geraden <math>g</math> und <math>h</math>. Wie verlaufen die Geraden zueinander. Entscheide ohne Nutzung des GTR.<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
'''b)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Hier brauchst du kaum rechnen. Schaue dir die Aufpunkte nochmal genau an. |2= Tipp zu c|3= Tipp zu c}}<br />
<br />
'''d)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''e)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> 2\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Stützvektoren identisch sind, weißt du, dass der Punkt <math>(2|2|5)</math> auf beiden Geraden liegt und somit die beiden Geraden ''identisch'' sind.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Aufpunkt <math>(2|2|2)</math> von der Gerade <math>h</math> nicht auf der Geraden von <math> h \colon \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
2 &&\; = \;&& 1 &&\; +\;&& r\cdot1\\<br />
<br />
2 &&\; =\;&& 1 &&\; +\;&& r\cdot2\\<br />
<br />
2 &&\; =\;&& 1 &&\; +\;&& r\cdot3<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Formen wir dies um zu r erhalten wir<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; = \;&& r\cdot1\\<br />
<br />
1 &&\; =\;&& r\cdot2\\<br />
<br />
1 &&\; =\;&& r\cdot3<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Formen wir weiter zu <math>r</math> um, erhalten wir<br />
<math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math> und damit liegt der Punkt nicht auf der Geraden.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''schneiden''. Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear und damit ''schneiden'' sich die beiden Geraden sich im Aufpunkt <math>(1|2|3)</math> selbst.|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die vierte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies kannst du wie folgt berechnen.<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; +\;&& r\cdot1 &&\; =\;&& 2 &&\; +\;&& t\cdot1\\<br />
<br />
1 &&\; +\;&& r\cdot2 &&\; =\;&& 3 &&\; +\;&& t\cdot4\\<br />
<br />
1 &&\; +\;&& r\cdot3 &&\; =\;&& 4 &&\; +\;&& t\cdot3<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
r\cdot1 &&\; -\;&& t\cdot1 &&\; = \;&& 1 \\<br />
<br />
r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot4 &&\; = \;&& 2 \\<br />
<br />
r\cdot3 &&\; -\;&& t\cdot3 &&\; = \;&& 3 <br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird <br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot2 &&\; = \;&& 2 \\<br />
<br />
r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot4 &&\; = \;&& 2 \\<br />
<br />
r\cdot3 &&\; -\;&& t\cdot3 &&\; = \;&& 3 <br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
t\cdot2 &&\; =\;&& 2 \\<br />
<br />
r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot4 &&\; =\;&& 2 \\<br />
<br />
r\cdot3 &&\; -\;&& t\cdot3 &&\; =\;&& 3 <br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
erhälst du <math>t=1</math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt, erhälst du für <math>r=3</math>. Setzt du dies in die letzte Zeile ein, erhälst du <math>6=3</math>, eine falsche Aussage. Damit sind die beiden Geraden windschief zueinander.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe e|3=Lösung Aufgabe e}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die fünfte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Aufpunkt <math>(2|3|4)</math> der Geraden h auf der Geraden g liegt: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe e|3=Lösung Aufgabe e}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 11: Flugerlaubnis erteilen?|2=<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es befindet sich bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und fliegt innerhalb von 5 Sekunden zum Punkt <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls ist das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies befindet sich in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120{,}2 \\ 96{,}4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Nutze deinen GTR und hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Formel zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
'''b)''' Wie schnell (in <math>\tfrac{km}{h}</math>) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann in verschiedene Einheiten angegeben werden, z.B.: <math>\tfrac{km}{h}</math>, <math>\tfrac{m}{s}</math> etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von <math>\tfrac{m}{s}</math> zu <math>\tfrac{km}{h}</math> umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
Die Batterien deines GTRs haben den Geist aufgegeben. Es ist immer ncoh kein Strom vorhanden und der Fluglotse stellt dir die alles entscheidene Frage:<br />
<br />
'''c)''' Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du, indem du folgendes berechnest:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies musst du in ein Gleichugssystem umformen und dies dann zu <math>x</math>,<math>y</math> und <math>z</math> auflösen:<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
510 &&\; =\;&& 10 &&\; +\;&& 5\cdot x\\<br />
<br />
410 &&\; =\;&& 10 &&\; +\;&& 5\cdot y\\<br />
<br />
350 &&\; =\;&& 0 &&\; +\;&& 5\cdot z<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
<br />
Zunächst bringst du die Zahlen auf die andere Seite:<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
500 &&\; =\;&& 5\cdot x\\<br />
<br />
400 &&\; =\;&& 5\cdot y\\<br />
<br />
350 &&\; =\;&& 5\cdot z<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
und formst dann zu <math>x</math>,<math>y</math>, und <math>z</math> um:<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
100 &&\; =\;&& x\\<br />
<br />
80 &&\; =\;&& y\\<br />
<br />
70 &&\; =\;&& z<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
Und erhälst damit direkt den Richtungsvektor.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du wie folgt:<br />
Du kennst den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun musst du <math>z</math> berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von <math>175{,}49</math> besitzt. Dies kannst du mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49=\sqrt[]{120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem du beide Seiten zum quadart nimmst, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49^{2}=120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Du formst zu <math>z^{2}</math> um und ziehst dann die Wurzel. Du erhälst gerundet <math>84</math>. <br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Du berechnest die Geschwindigkeit, indem du die Länge des Richtungsvektors berechnest. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<br />
<math> L=\sqrt[]{100^{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145{,}95</math>. <br />
<br />
Du erhälst also eine Geschwindigkeit von <math>145{,}95</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Es gilt: <math>3{,}6</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>=1 <math>\tfrac{m}{s}</math>. <br />
Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:<br />
<br />
<math>145{,}95 \cdot3{,}6= 525{,}42</math> <br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>525{,}42</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt in einer Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von <math>175{,}49</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:<br />
<br />
<math>175{,}49\cdot3{,}6= 631{,}76</math><br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>631{,}76</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. <br />
Dies erhälst du, wenn du mit dem GTR die beiden Geraden geleichsetzt. Alternativ wollen wir dir hier noch einmal Lösung ohne GTR zeigen.<br />
Du erhälst die Lösung, indem dubeide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
10 &&\; +\;&& t\cdot100 &&\; =\;&& 5 &&\; +\;&& s\cdot120{,}2\\<br />
<br />
10 &&\; +\;&& t\cdot80 &&\; =\;&& 0 &&\; +\;&& s\cdot96{,}4\\<br />
<br />
0 &&\; +\;&& t\cdot70 &&\; =\;&& 0 &&\; +\;&& s\cdot84<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
<br />
Dann formst du dieses so um, dass alle Zahlen auf einer Seite sind:<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
5 &&\; =\;&& s\cdot120{,}2 &&\; -\;&& t\cdot100 \\<br />
<br />
10 &&\; =\;&& s\cdot96{,}4 &&\; -\;&& t\cdot80\\<br />
<br />
0 &&\; =\;&& s\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
und du multiplizierst die erste Zeile mit <math>4</math>, die zweite Zeile mit <math>5</math>:<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
20 &&\; = \;&& s\cdot480{,}8 &&\; -\;&& t\cdot400 \\<br />
<br />
50 &&\; =\;&& s\cdot482 &&\; -\;&& t\cdot400\\<br />
<br />
0 &&\; =\;&& s\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Nun subtrahiere die zweite Zeile von der ersten Zeile:<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}30 &&\; = \;&& s\cdot{-}1{,}2 \\<br />
<br />
50 &&\; =\;&& s\cdot482 &&\; -\;&& t\cdot400\\<br />
<br />
0 &&\; =\;&& s\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
also folgt:<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
25 &&\; = \;&& s \\<br />
<br />
50 &&\; =\;&& s\cdot482 &&\; -\;&& t\cdot400\\<br />
<br />
0 &&\; =\;&& s\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Du erhälst also <math>s=25 </math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt und umformst, erhälst du:<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
25 &&\; = \;&& s \\<br />
<br />
30 &&\; =\;&& t \\<br />
<br />
0 &&\; =\;&& 25\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Setzen wir nun in die letzte Zeile <math>t=30</math> ein, so erhalten wir dort <math>0=0</math> und wissen damit, dass sich die Geraden schneiden.<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Anwendungen==</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=49879Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-05-20T07:28:08Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und<br />
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Darstellungsformen==<br />
<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{Box<br />
|Definition<br />
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g \colon \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.<br />
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. <br />
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.<br />
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. <br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: <br />
<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk|900}}<br />
<br />
<br />
Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter abhängt: <br />
<br />
<ggb_applet id="EfrTd7YR" width="900" height="500&quot;&quot;" border="888888" /><br />
<br />
<br />
<span style="color: Red"> ????''Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden <math>g</math> liegen, möglich.''????</span><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)<br />
|Bearbeite entweder die analoge Aufgabe (I) oder die digitale Aufgabe (II):<br />
<br />
(I) Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. <br />
<br />
'''a)''' <math>A(1|2|2), B(5|{-}4|7)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9), B(0|0|3)</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
(II) Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pc62b4ck318}}<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)<br />
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.<br />
<br />
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. <br />
|Tipp Aufgabe a) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''b)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wie könnte eine Geradengleichung der <math>x_1</math>-Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Punktprobe===<br />
<br />
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|1kJ9Nq8zXlI|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Punktprobe<br />
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 3: Punktprobe mit einer Geraden I<br />
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
<br />
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt für <math>t = -1</math>, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt nicht auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden II<br />
|Für welchen Wert <math>s </math> mit <math> s \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>? <br />
<br />
'''a)''' <math>P(13|3|0)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(12|{-}1|6{,}5)</math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = -1</math> mit <math>r = 2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 2{,}5</math> mit <math>r = 1{,}5</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Spurpunkte einer Geraden===<br />
<br />
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video.<br />
<br />
Falls du nicht mehr weißt, was die Koordinatenebenen sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: <br />
<br />
{{Lösung versteckt|<br />
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).<br />
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]<br />
|Tipp anzeigen<br />
|Tipp verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!<br />
|Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene. <br />
In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du <math>= 0</math> gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box <br />
|Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten<br />
|Gegeben ist die Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet (du kannnst es natürlich auch selbst versuchen und dann deine Lösung kontrollieren):<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 \neq 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Hervorhebung1<br />
}}<br />
<br />
Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:<br />
<br />
<ggb_applet id="KrHVKfjB" width="900" height="402" border="888888" /><br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 5: Spurpunkte einer Geraden I<br />
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Der Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene ist nicht vorhanden, da sich ein Widerspruch in der Gleichung ergibt.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 6: Geraden im Koordinatensystem<br />
|Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
==Lagebeziehungen von Geraden==<br />
<br />
====Parallele und identische Geraden====<br />
{{Box|1=Infobox zur Lagebeziehung zweier Geraden Teil 1<br />
|2= Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''.<br />
<br />
[[Datei:Zwei identische Geraden.png|links|mini|Zwei identische Geraden]]<br />
[[Datei:Zwei parallele Geraden.png|rechts|mini|Zwei parallele Geraden]]<br />
<br />
Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein. <br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.<br />
<br />
[[Datei:Zwei Geraden schneiden sich.png|links|mini|Zwei Geraden schneiden sich]]<br />
[[Datei:Zwei windschiefe Geraden.png|rechts|mini|Zwei windschiefe Geraden]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.<br />
<br />
<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.<br />
<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 7: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel.<br />
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 8: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel.<br />
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 9: Lage erkennen|2= Betrachte die folgenden Geraden <math>g</math> und <math>h</math>. Wie verlaufen die Geraden zueinander. Entscheide ohne Nutzung des GTR.<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
'''b)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Hier brauchst du kaum rechnen. Schaue dir die Aufpunkte nochmal genau an. |2= Tipp zu c|3= Tipp zu c}}<br />
<br />
'''d)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''e)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> 2\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Stützvektoren identisch sind, weißt du, dass der Punkt <math>(2|2|5)</math> auf beiden Geraden liegt und somit die beiden Geraden ''identisch'' sind.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Aufpunkt <math>(2|2|2)</math> von der Gerade <math>h</math> nicht auf der Geraden von <math> h \colon \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
2 &&\; = \;&& 1 &&\; +\;&& r\cdot1\\<br />
<br />
2 &&\; =\;&& 1 &&\; +\;&& r\cdot2\\<br />
<br />
2 &&\; =\;&& 1 &&\; +\;&& r\cdot3<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Formen wir dies um zu r erhalten wir<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; = \;&& r\cdot1\\<br />
<br />
1 &&\; =\;&& r\cdot2\\<br />
<br />
1 &&\; =\;&& r\cdot3<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Formen wir weiter zu <math>r</math> um, erhalten wir<br />
<math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math> und damit liegt der Punkt nicht auf der Geraden.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''schneiden''. Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear und damit ''schneiden'' sich die beiden Geraden sich im Aufpunkt <math>(1|2|3)</math> selbst.|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die vierte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies kannst du wie folgt berechnen.<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
1 &&\; +\;&& r\cdot1 &&\; = \;&& 2 &&\; +\;&& t\cdot1\\<br />
<br />
1 &&\; +\;&& r\cdot2 &&\; =\;&& 3 &&\; +\;&& t\cdot4\\<br />
<br />
1 &&\; +\;&& r\cdot3 &&\; =\;&& 4 &&\; +\;&& t\cdot3<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
r\cdot1 &&\; -\;&& t\cdot1 &&\; = \;&& 1 \\<br />
<br />
r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot4 &&\; = \;&& 2 \\<br />
<br />
r\cdot3 &&\; -\;&& t\cdot3 &&\; = \;&& 3 <br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird <br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot2 &&\; = \;&& 2 \\<br />
<br />
r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot4 &&\; = \;&& 2 \\<br />
<br />
r\cdot3 &&\; -\;&& t\cdot3 &&\; = \;&& 3 <br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
t\cdot2 &&\; = \;&& 2 \\<br />
<br />
r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot4 &&\; = \;&& 2 \\<br />
<br />
r\cdot3 &&\; -\;&& t\cdot3 &&\; = \;&& 3 <br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
erhälst du <math>t=1</math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt, erhälst du für <math>r=3</math>. Setzt du dies in die letzte Zeile ein, erhälst du <math>6=3</math>, eine falsche Aussage. Damit sind die beiden Geraden windschief zueinander.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe e|3=Lösung Aufgabe e}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die fünfte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Aufpunkt <math>(2|3|4)</math> der Geraden h auf der Geraden g liegt: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe e|3=Lösung Aufgabe e}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 11: Flugerlaubnis erteilen?|2=<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es befindet sich bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und fliegt innerhalb von 5 Sekunden zum Punkt <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls ist das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies befindet sich in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120{,}2 \\ 96{,}4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Formel zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
'''b)''' Wie schnell (in <math>\tfrac{km}{h}</math>) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann in verschiedene Einheiten angegeben werden, z.B.: <math>\tfrac{km}{h}</math>, <math>\tfrac{m}{s}</math> etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von <math>\tfrac{m}{s}</math> zu <math>\tfrac{km}{h}</math> umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
'''c)''' Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du, indem du folgendes berechnest:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies musst du in ein Gleichugssystem umformen und dies dann zu <math>x</math>,<math>y</math> und <math>z</math> auflösen:<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
510 &&\; = \;&& 10 &&\; +\;&& 5\cdotx\\<br />
<br />
410 &&\; =\;&& 10 &&\; +\;&& 5\cdoty\\<br />
<br />
350 &&\; =\;&& 0 &&\; +\;&& 5\cdotz<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
<br />
Zunächst bringst du die Zahlen auf die andere Seite:<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
500 &&\; = \;&& 5\cdotx\\<br />
<br />
400 &&\; =\;&& 5\cdoty\\<br />
<br />
350 &&\; =\;&& 5\cdotz<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
und formst dann zu <math>x</math>,<math>y</math>, und <math>z</math> um:<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
100 &&\; = \;&& x\\<br />
<br />
80 &&\; =\;&& y\\<br />
<br />
70 &&\; =\;&& z<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
Und erhälst damit direkt den Richtungsvektor.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du wie folgt:<br />
Du kennst den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun musst du <math>z</math> berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von <math>175{,}49</math> besitzt. Dies kannst du mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49=\sqrt[]{120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem du beide Seiten zum quadart nimmst, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49^{2}=120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Du formst zu <math>z^{2}</math> um und ziehst dann die Wurzel. Du erhälst gerundet <math>84</math>. <br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Du berechnest die Geschwindigkeit, indem du die Länge des Richtungsvektors berechnest. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<br />
<math> L=\sqrt[]{100^{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145{,}95</math>. <br />
<br />
Du erhälst also eine Geschwindigkeit von <math>145{,}95</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Es gilt: <math>3{,}6</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>=1 <math>\tfrac{m}{s}</math>. <br />
Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:<br />
<br />
<math>145{,}95 \cdot3{,}6= 525{,}42</math> <br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>525{,}42</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt in einer Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von <math>175{,}49</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:<br />
<br />
<math>175{,}49\cdot3{,}6= 631{,}76</math><br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>631{,}76</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. <br />
Dies erhälst du, wenn du mit dem GTR die beiden Geraden geleichsetzt. Alternativ wollen wir dir hier noch einmal Lösung ohne GTR zeigen.<br />
Du erhälst die Lösung, indem dubeide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
10 &&\; +\;&& t\cdot100 &&\; = \;&& 5 &&\; +\;&& s\cdot120{,}2\\<br />
<br />
10 &&\; +\;&& t\cdot80 &&\; =\;&& 0 &&\; +\;&& s\cdot96{,}4\\<br />
<br />
0 &&\; +\;&& t\cdot70 &&\; =\;&& 0 &&\; +\;&& s\cdot84<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
<br />
Dann formst du dieses so um, dass alle Zahlen auf einer Seite sind:<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
5 &&\; = \;&& s\cdot120{,}2 &&\; -\;&& t\cdot100 \\<br />
<br />
10 &&\; =\;&& s\cdot96{,}4 &&\; -\;&& t\cdot80\\<br />
<br />
0 &&\; =\;&& s\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
und du multiplizierst die erste Zeile mit <math>4</math>, die zweite Zeile mit <math>5</math>:<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
20 &&\; = \;&& s\cdot480{,}8 &&\; -\;&& t\cdot400 \\<br />
<br />
50 &&\; =\;&& s\cdot482 &&\; -\;&& t\cdot400\\<br />
<br />
0 &&\; =\;&& s\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Nun subtrahiere die zweite Zeile von der ersten Zeile:<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
{-}30 &&\; = \;&& s\cdot{-}1{,}2 \\<br />
<br />
50 &&\; =\;&& s\cdot482 &&\; -\;&& t\cdot400\\<br />
<br />
0 &&\; =\;&& s\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
also folgt:<br />
<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
25 &&\; = \;&& s \\<br />
<br />
50 &&\; =\;&& s\cdot482 &&\; -\;&& t\cdot400\\<br />
<br />
0 &&\; =\;&& s\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Du erhälst also <math>s=25 </math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt und umformst, erhälst du:<br />
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}<br />
25 &&\; = \;&& s \\<br />
<br />
30 &&\; =\;&& t \\<br />
<br />
0 &&\; =\;&& 25\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70<br />
\end{alignat}\right\vert</math><br />
<br />
<br />
Setzen wir nun in die letzte Zeile <math>t=30</math> ein, so erhalten wir dort <math>0=0</math> und wissen damit, dass sich die Geraden schneiden.<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Anwendungen==</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=49791Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-05-18T14:48:30Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und<br />
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Darstellungsformen==<br />
<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{Box<br />
|Definition<br />
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g \colon \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.<br />
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. <br />
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.<br />
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. <br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: <br />
<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk|900}}<br />
<br />
<br />
Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter abhängt: <br />
<br />
<ggb_applet id="EfrTd7YR" width="900" height="500&quot;&quot;" border="888888" /><br />
<br />
<br />
<span style="color: Red"> ????''Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden <math>g</math> liegen, möglich.''????</span><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)<br />
|Bearbeite entweder die analoge Aufgabe (I) oder die digitale Aufgabe (II):<br />
<br />
(I) Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. <br />
<br />
'''a)''' <math>A(1|2|2), B(5|{-}4|7)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9), B(0|0|3)</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
(II) Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pc62b4ck318}}<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)<br />
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.<br />
<br />
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. <br />
|Tipp Aufgabe a) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''b)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wie könnte eine Geradengleichung der <math>x_1</math>-Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Punktprobe===<br />
<br />
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|1kJ9Nq8zXlI|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Punktprobe<br />
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 3: Punktprobe mit einer Geraden I<br />
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
<br />
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt für <math>t = -1</math>, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt nicht auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden II<br />
|Für welchen Wert <math>s </math> mit <math> s \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>? <br />
<br />
'''a)''' <math>P(13|3|0)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(12|{-}1|6{,}5)</math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = -1</math> mit <math>r = 2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 2{,}5</math> mit <math>r = 1{,}5</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Spurpunkte einer Geraden===<br />
<br />
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video.<br />
<br />
Falls du nicht mehr weißt, was die Koordinatenebenen sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: <br />
<br />
{{Lösung versteckt|<br />
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).<br />
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]<br />
|Tipp anzeigen<br />
|Tipp verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!<br />
|Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene. <br />
In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du <math>= 0</math> gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box <br />
|Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten<br />
|Gegeben ist die Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet (du kannnst es natürlich auch selbst versuchen und dann deine Lösung kontrollieren):<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 \neq 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Hervorhebung1<br />
}}<br />
<br />
Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:<br />
<br />
<ggb_applet id="KrHVKfjB" width="900" height="402" border="888888" /><br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 5: Spurpunkte einer Geraden I<br />
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Der Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene ist nicht vorhanden, da sich ein Widerspruch in der Gleichung ergibt.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 6: Geraden im Koordinatensystem<br />
|Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
==Lagebeziehungen von Geraden==<br />
<br />
====Parallele und identische Geraden====<br />
{{Box|1=Infobox zur Lagebeziehung zweier Geraden Teil 1<br />
|2= Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''.<br />
<br />
[[Datei:Zwei identische Geraden.png|links|mini|Zwei identische Geraden]]<br />
[[Datei:Zwei parallele Geraden.png|rechts|mini|Zwei parallele Geraden]]<br />
<br />
Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein. <br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.<br />
<br />
[[Datei:Zwei Geraden schneiden sich.png|links|mini|Zwei Geraden schneiden sich]]<br />
[[Datei:Zwei windschiefe Geraden.png|rechts|mini|Zwei windschiefe Geraden]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.<br />
<br />
<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.<br />
<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 7: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel.<br />
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 8: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel.<br />
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 9: Lage erkennen|2= Betrachte die folgenden Geraden <math>g</math> und <math>h</math>. Wie verlaufen die Geraden zueinander. Entscheide ohne Nutzung des GTR oder besser: Löse im Kopf.<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
'''b)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''d)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> 2\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Stützvektoren identisch sind, weißt du, dass der Punkt <math>(2|2|5)</math> auf beiden Geraden liegt und somit die beiden Geraden ''identisch'' sind.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Aufpunkt <math>(2|2|2)</math> von der Gerade <math>h</math> nicht auf der Geraden von <math> h \colon \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <br />
<br />
<math><br />
2=1+r\cdot1<br />
<br />
2=1+r\cdot2<br />
<br />
2=1+r\cdot3<br />
</math><br />
Formen wir dies um zu r erhalten wir<br />
<br />
<math><br />
1=r\cdot1<br />
<br />
1=r\cdot2<br />
<br />
1=r\cdot3<br />
<br />
</math><br />
Formen wir weiter zu <math>r</math> um, erhalten wir<br />
<math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math> und damit liegt der Punkt nicht auf der Geraden.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''schneiden''. Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear und damit ''schneiden'' sich die beiden Geraden sich im Aufpunkt <math>(1|2|3)</math> selbst.|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die vierte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Aufpunkt <math>(2|3|4)</math> der Geraden h auf der Geraden g liegt: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe d|3=Lösung Aufgabe d}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 10: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander? Nenne, falls vorhanden, den Schnittpunkt. Damit es nicht zu viel zu berechnen gibt, kannst du sicher annehmen, dass kein Richtungsvektor der einen Gleichung kollinear zu einem anderen Richtungsvektor ist. Du darfst deinen Taschenrechnernutzen.<br />
<br />
'''a)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
<br />
'''b)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Dies erhält man, indem man beide Geradengleichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu <math>r</math> und <math>t</math> umformt:<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot5 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot4=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird:<br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot8=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<br />
<math><br />
-t\cdot3=0 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
erhälst du für <math>t=0</math>. Dies setzt du in der zweiten Zeile ein und erhälst <math>r=1</math>. In der untersten Zeile überprüfst du, ob die Ergebnisse stimmen. Setze dazu für <math>t</math> und <math>r</math> die Ergebnisse ein. Du erhälst <math>3=3</math>, was eine wahre Aussage ist. Daher schneiden sich die beiden Geraden.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies kannst du wie folgt berechnen.<br />
<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot1 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot1=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird <br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot2=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<math><br />
t\cdot2=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
erhälst du <math>t=1</math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt, erhälst du für <math>r=3</math>. Setzt du dies in die letzte Zeile ein, erhälst du <math>6=3</math>, eine falsche Aussage. Damit sind die beiden Geraden windschief zueinander.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 11: Flugerlaubnis erteilen?|2=<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es befindet sich bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und fliegt innerhalb von 5 Sekunden zum Punkt <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls ist das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies befindet sich in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120{,}2 \\ 96{,}4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Formel zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
'''b)''' Wie schnell (in <math>\tfrac{km}{h}</math>) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann in verschiedene Einheiten angegeben werden, z.B.: <math>\tfrac{km}{h}</math>, <math>\tfrac{m}{s}</math> etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von <math>\tfrac{m}{s}</math> zu <math>\tfrac{km}{h}</math> umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
'''c)''' Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du, indem du folgendes berechnest:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies musst du in ein Gleichugssystem umformen und dies dann zu <math>x</math>,<math>y</math> und <math>z</math> auflösen:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5\cdot x </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5\cdot y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5 \cdot z </math><br />
<br />
Zunächst bringst du die Zahlen auf die andere Seite:<br />
<br />
<math><br />
500=5\cdot x </math><br />
<br />
<math><br />
400=5\cdot y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 5 \cdot z </math><br />
<br />
und formst dann zu <math>x</math>,<math>y</math>, und <math>z</math> um:<br />
<br />
<math><br />
100=x </math><br />
<br />
<math><br />
80=y </math><br />
<br />
<math><br />
70=z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du wie folgt:<br />
Du kennst den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun musst du <math>z</math> berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von <math>175{,}49</math> besitzt. Dies kannst du mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49=\sqrt[]{120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem du beide Seiten zum quadart nimmst, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49^{2}=120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Du formst zu <math>z^{2}</math> um und ziehst dann die Wurzel. Du erhälst gerundet <math>84</math>. <br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Du berechnest die Geschwindigkeit, indem du die Länge des Richtungsvektors berechnest. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<br />
<math> L=\sqrt[]{100^{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145{,}95</math>. <br />
<br />
Du erhälst also eine Geschwindigkeit von <math>145{,}95</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Es gilt: <math>3{,}6</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>=1 <math>\tfrac{m}{s}</math>. <br />
Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:<br />
<br />
<math>145{,}95 \cdot3{,}6= 525{,}42</math> <br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>525{,}42</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt in einer Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von <math>175{,}49</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:<br />
<br />
<math>175{,}49\cdot3{,}6= 631{,}76</math><br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>631{,}76</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot100=5+s \cdot120{,}2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot80=0+s \cdot96{,}4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t \cdot70=0+s \cdot84 </math><br />
<br />
Dies formst du um:<br />
<br />
<br />
<math><br />
5=s \cdot120{,}2-t \cdot100 </math><br />
<br />
<math><br />
10=s \cdot96{,}4 -t \cdot80</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
<br />
und du multiplizierst die erste Zeile mit <math>4</math>, die zweite Zeile mit <math>5</math>:<br />
<br />
<br />
<math><br />
20=s \cdot480{,}8-t \cdot400 </math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Nun subtrahiere die zweite Zeile von der ersten Zeile:<br />
<br />
<br />
<math><br />
-30=s \cdot{-}1{,}2 </math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
also folgt:<br />
<br />
<math><br />
25=s</math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Du erhälst also <math>s=25 </math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt und umformst, erhälst du:<br />
<math><br />
25=s</math><br />
<br />
<math><br />
30=t</math><br />
<br />
<math><br />
0=25 \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Setzen wir nun in die letzte Zeile <math>t=30</math> ein, so erhalten wir dort <math>0=0</math> und wissen damit, dass sich die Geraden schneiden.<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Anwendungen==</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=49788Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-05-18T14:45:35Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und<br />
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Darstellungsformen==<br />
<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{Box<br />
|Definition<br />
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g \colon \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.<br />
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. <br />
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.<br />
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. <br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: <br />
<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk|900}}<br />
<br />
<br />
Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter abhängt: <br />
<br />
<ggb_applet id="EfrTd7YR" width="900" height="500&quot;&quot;" border="888888" /><br />
<br />
<br />
<span style="color: Red"> ????''Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden <math>g</math> liegen, möglich.''????</span><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)<br />
|Bearbeite entweder die analoge Aufgabe (I) oder die digitale Aufgabe (II):<br />
<br />
(I) Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. <br />
<br />
'''a)''' <math>A(1|2|2), B(5|{-}4|7)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9), B(0|0|3)</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
(II) Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pc62b4ck318}}<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)<br />
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.<br />
<br />
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. <br />
|Tipp Aufgabe a) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''b)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wie könnte eine Geradengleichung der <math>x_1</math>-Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Punktprobe===<br />
<br />
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|1kJ9Nq8zXlI|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Punktprobe<br />
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 3: Punktprobe mit einer Geraden I<br />
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
<br />
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt für <math>t = -1</math>, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt nicht auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden II<br />
|Für welchen Wert <math>s </math> mit <math> s \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>? <br />
<br />
'''a)''' <math>P(13|3|0)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(12|{-}1|6{,}5)</math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = -1</math> mit <math>r = 2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 2{,}5</math> mit <math>r = 1{,}5</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Spurpunkte einer Geraden===<br />
<br />
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video.<br />
<br />
Falls du nicht mehr weißt, was die Koordinatenebenen sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: <br />
<br />
{{Lösung versteckt|<br />
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).<br />
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]<br />
|Tipp anzeigen<br />
|Tipp verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!<br />
|Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene. <br />
In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du <math>= 0</math> gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box <br />
|Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten<br />
|Gegeben ist die Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet (du kannnst es natürlich auch selbst versuchen und dann deine Lösung kontrollieren):<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 \neq 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Hervorhebung1<br />
}}<br />
<br />
Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:<br />
<br />
<ggb_applet id="KrHVKfjB" width="900" height="402" border="888888" /><br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 5: Spurpunkte einer Geraden I<br />
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Der Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene ist nicht vorhanden, da sich ein Widerspruch in der Gleichung ergibt.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 6: Geraden im Koordinatensystem<br />
|Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
==Lagebeziehungen von Geraden==<br />
<br />
====Parallele und identische Geraden====<br />
{{Box|1=Infobox zur Lagebeziehung zweier Geraden Teil 1<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''.<br />
<br />
[[Datei:Zwei identische Geraden.png|links|mini|Zwei identische Geraden]]<br />
[[Datei:Zwei parallele Geraden.png|rechts|mini|Zwei parallele Geraden]]<br />
<br />
Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein. <br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.<br />
<br />
[[Datei:Zwei Geraden schneiden sich.png|links|mini|Zwei Geraden schneiden sich]]<br />
[[Datei:Zwei windschiefe Geraden.png|rechts|mini|Zwei windschiefe Geraden]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.<br />
<br />
<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.<br />
<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 7: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel.<br />
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 8: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel.<br />
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 9: Lage erkennen|2= Betrachte die folgenden Geraden <math>g</math> und <math>h</math>. Wie verlaufen die Geraden zueinander. Entscheide ohne Nutzung des GTR oder besser: Löse im Kopf.<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
'''b)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''d)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> 2\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Stützvektoren identisch sind, weißt du, dass der Punkt <math>(2|2|5)</math> auf beiden Geraden liegt und somit die beiden Geraden ''identisch'' sind.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Aufpunkt <math>(2|2|2)</math> von der Gerade <math>h</math> nicht auf der Geraden von <math> h \colon \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <br />
<br />
<math><br />
2=1+r\cdot1<br />
<br />
2=1+r\cdot2<br />
<br />
2=1+r\cdot3<br />
</math><br />
Formen wir dies um zu r erhalten wir<br />
<br />
<math><br />
1=r\cdot1<br />
<br />
1=r\cdot2<br />
<br />
1=r\cdot3<br />
<br />
</math><br />
Formen wir weiter zu <math>r</math> um, erhalten wir<br />
<math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math> und damit liegt der Punkt nicht auf der Geraden.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''schneiden''. Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear und damit ''schneiden'' sich die beiden Geraden sich im Aufpunkt <math>(1|2|3)</math> selbst.|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die vierte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Aufpunkt <math>(2|3|4)</math> der Geraden h auf der Geraden g liegt: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe d|3=Lösung Aufgabe d}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 10: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander? Nenne, falls vorhanden, den Schnittpunkt. Damit es nicht zu viel zu berechnen gibt, kannst du sicher annehmen, dass kein Richtungsvektor der einen Gleichung kollinear zu einem anderen Richtungsvektor ist. Du darfst deinen Taschenrechnernutzen.<br />
<br />
'''a)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
<br />
'''b)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Dies erhält man, indem man beide Geradengleichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu <math>r</math> und <math>t</math> umformt:<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot5 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot4=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird:<br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot8=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<br />
<math><br />
-t\cdot3=0 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
erhälst du für <math>t=0</math>. Dies setzt du in der zweiten Zeile ein und erhälst <math>r=1</math>. In der untersten Zeile überprüfst du, ob die Ergebnisse stimmen. Setze dazu für <math>t</math> und <math>r</math> die Ergebnisse ein. Du erhälst <math>3=3</math>, was eine wahre Aussage ist. Daher schneiden sich die beiden Geraden.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies kannst du wie folgt berechnen.<br />
<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot1 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot1=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird <br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot2=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<math><br />
t\cdot2=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
erhälst du <math>t=1</math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt, erhälst du für <math>r=3</math>. Setzt du dies in die letzte Zeile ein, erhälst du <math>6=3</math>, eine falsche Aussage. Damit sind die beiden Geraden windschief zueinander.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 11: Flugerlaubnis erteilen?|2=<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es befindet sich bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und fliegt innerhalb von 5 Sekunden zum Punkt <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls ist das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies befindet sich in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120{,}2 \\ 96{,}4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Formel zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
'''b)''' Wie schnell (in <math>\tfrac{km}{h}</math>) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann in verschiedene Einheiten angegeben werden, z.B.: <math>\tfrac{km}{h}</math>, <math>\tfrac{m}{s}</math> etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von <math>\tfrac{m}{s}</math> zu <math>\tfrac{km}{h}</math> umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
'''c)''' Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du, indem du folgendes berechnest:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies musst du in ein Gleichugssystem umformen und dies dann zu <math>x</math>,<math>y</math> und <math>z</math> auflösen:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5\cdot x </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5\cdot y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5 \cdot z </math><br />
<br />
Zunächst bringst du die Zahlen auf die andere Seite:<br />
<br />
<math><br />
500=5\cdot x </math><br />
<br />
<math><br />
400=5\cdot y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 5 \cdot z </math><br />
<br />
und formst dann zu <math>x</math>,<math>y</math>, und <math>z</math> um:<br />
<br />
<math><br />
100=x </math><br />
<br />
<math><br />
80=y </math><br />
<br />
<math><br />
70=z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du wie folgt:<br />
Du kennst den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun musst du <math>z</math> berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von <math>175{,}49</math> besitzt. Dies kannst du mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49=\sqrt[]{120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem du beide Seiten zum quadart nimmst, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49^{2}=120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Du formst zu <math>z^{2}</math> um und ziehst dann die Wurzel. Du erhälst gerundet <math>84</math>. <br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Du berechnest die Geschwindigkeit, indem du die Länge des Richtungsvektors berechnest. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<br />
<math> L=\sqrt[]{100^{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145{,}95</math>. <br />
<br />
Du erhälst also eine Geschwindigkeit von <math>145{,}95</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Es gilt: <math>3{,}6</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>=1 <math>\tfrac{m}{s}</math>. <br />
Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:<br />
<br />
<math>145{,}95 \cdot3{,}6= 525{,}42</math> <br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>525{,}42</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt in einer Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von <math>175{,}49</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:<br />
<br />
<math>175{,}49\cdot3{,}6= 631{,}76</math><br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>631{,}76</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot100=5+s \cdot120{,}2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot80=0+s \cdot96{,}4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t \cdot70=0+s \cdot84 </math><br />
<br />
Dies formst du um:<br />
<br />
<br />
<math><br />
5=s \cdot120{,}2-t \cdot100 </math><br />
<br />
<math><br />
10=s \cdot96{,}4 -t \cdot80</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
<br />
und du multiplizierst die erste Zeile mit <math>4</math>, die zweite Zeile mit <math>5</math>:<br />
<br />
<br />
<math><br />
20=s \cdot480{,}8-t \cdot400 </math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Nun subtrahiere die zweite Zeile von der ersten Zeile:<br />
<br />
<br />
<math><br />
-30=s \cdot{-}1{,}2 </math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
also folgt:<br />
<br />
<math><br />
25=s</math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Du erhälst also <math>s=25 </math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt und umformst, erhälst du:<br />
<math><br />
25=s</math><br />
<br />
<math><br />
30=t</math><br />
<br />
<math><br />
0=25 \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Setzen wir nun in die letzte Zeile <math>t=30</math> ein, so erhalten wir dort <math>0=0</math> und wissen damit, dass sich die Geraden schneiden.<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Anwendungen==</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=49786Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-05-18T14:41:40Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und<br />
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Darstellungsformen==<br />
<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{Box<br />
|Definition<br />
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g \colon \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.<br />
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. <br />
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.<br />
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. <br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: <br />
<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk|900}}<br />
<br />
<br />
Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter abhängt: <br />
<br />
<ggb_applet id="EfrTd7YR" width="900" height="500&quot;&quot;" border="888888" /><br />
<br />
<br />
<span style="color: Red"> ????''Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden <math>g</math> liegen, möglich.''????</span><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)<br />
|Bearbeite entweder die analoge Aufgabe (I) oder die digitale Aufgabe (II):<br />
<br />
(I) Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. <br />
<br />
'''a)''' <math>A(1|2|2), B(5|{-}4|7)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9), B(0|0|3)</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
(II) Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pc62b4ck318}}<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)<br />
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.<br />
<br />
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. <br />
|Tipp Aufgabe a) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''b)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wie könnte eine Geradengleichung der <math>x_1</math>-Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Punktprobe===<br />
<br />
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|1kJ9Nq8zXlI|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Punktprobe<br />
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 3: Punktprobe mit einer Geraden I<br />
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
<br />
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt für <math>t = -1</math>, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt nicht auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden II<br />
|Für welchen Wert <math>s </math> mit <math> s \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>? <br />
<br />
'''a)''' <math>P(13|3|0)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(12|{-}1|6{,}5)</math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = -1</math> mit <math>r = 2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 2{,}5</math> mit <math>r = 1{,}5</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Spurpunkte einer Geraden===<br />
<br />
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video.<br />
<br />
Falls du nicht mehr weißt, was die Koordinatenebenen sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: <br />
<br />
{{Lösung versteckt|<br />
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).<br />
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]<br />
|Tipp anzeigen<br />
|Tipp verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!<br />
|Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene. <br />
In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du <math>= 0</math> gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box <br />
|Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten<br />
|Gegeben ist die Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet (du kannnst es natürlich auch selbst versuchen und dann deine Lösung kontrollieren):<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 \neq 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Hervorhebung1<br />
}}<br />
<br />
Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:<br />
<br />
<ggb_applet id="KrHVKfjB" width="900" height="402" border="888888" /><br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 5: Spurpunkte einer Geraden I<br />
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Der Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene ist nicht vorhanden, da sich ein Widerspruch in der Gleichung ergibt.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 6: Geraden im Koordinatensystem<br />
|Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
==Lagebeziehungen von Geraden==<br />
<br />
====Parallele und identische Geraden====<br />
{{Box|1=Infobox zur Lagebeziehung zweier Geraden Teil 1<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''.<br />
[[Datei:Zwei identische Geraden.png|links|mini|Zwei identische Geraden]]<br />
[[Datei:Zwei parallele Geraden.png|rechts|mini|Zwei parallele Geraden]]<br />
Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein. <br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.<br />
<br />
[[Datei:Zwei Geraden schneiden sich.png|links|mini|Zwei Geraden schneiden sich]]<br />
[[Datei:Zwei windschiefe Geraden.png|rechts|mini|Zwei windschiefe Geraden]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.<br />
<br />
<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.<br />
<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 7: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel.<br />
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 8: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel.<br />
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 9: Lage erkennen|2= Betrachte die folgenden Geraden <math>g</math> und <math>h</math>. Wie verlaufen die Geraden zueinander. Entscheide ohne Nutzung des GTR oder besser: Löse im Kopf.<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
'''b)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''d)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> 2\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Stützvektoren identisch sind, weißt du, dass der Punkt <math>(2|2|5)</math> auf beiden Geraden liegt und somit die beiden Geraden ''identisch'' sind.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Aufpunkt <math>(2|2|2)</math> von der Gerade <math>h</math> nicht auf der Geraden von <math> h \colon \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <br />
<br />
<math><br />
2=1+r\cdot1<br />
<br />
2=1+r\cdot2<br />
<br />
2=1+r\cdot3<br />
</math><br />
Formen wir dies um zu r erhalten wir<br />
<br />
<math><br />
1=r\cdot1<br />
<br />
1=r\cdot2<br />
<br />
1=r\cdot3<br />
<br />
</math><br />
Formen wir weiter zu <math>r</math> um, erhalten wir<br />
<math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math> und damit liegt der Punkt nicht auf der Geraden.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''schneiden''. Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear und damit ''schneiden'' sich die beiden Geraden sich im Aufpunkt <math>(1|2|3)</math> selbst.|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die vierte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Aufpunkt <math>(2|3|4)</math> der Geraden h auf der Geraden g liegt: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe d|3=Lösung Aufgabe d}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 10: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander? Nenne, falls vorhanden, den Schnittpunkt. Damit es nicht zu viel zu berechnen gibt, kannst du sicher annehmen, dass kein Richtungsvektor der einen Gleichung kollinear zu einem anderen Richtungsvektor ist. Du darfst deinen Taschenrechnernutzen.<br />
<br />
'''a)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
<br />
'''b)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Dies erhält man, indem man beide Geradengleichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu <math>r</math> und <math>t</math> umformt:<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot5 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot4=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird:<br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot8=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<br />
<math><br />
-t\cdot3=0 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
erhälst du für <math>t=0</math>. Dies setzt du in der zweiten Zeile ein und erhälst <math>r=1</math>. In der untersten Zeile überprüfst du, ob die Ergebnisse stimmen. Setze dazu für <math>t</math> und <math>r</math> die Ergebnisse ein. Du erhälst <math>3=3</math>, was eine wahre Aussage ist. Daher schneiden sich die beiden Geraden.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies kannst du wie folgt berechnen.<br />
<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot1 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot1=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird <br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot2=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<math><br />
t\cdot2=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
erhälst du <math>t=1</math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt, erhälst du für <math>r=3</math>. Setzt du dies in die letzte Zeile ein, erhälst du <math>6=3</math>, eine falsche Aussage. Damit sind die beiden Geraden windschief zueinander.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 11: Flugerlaubnis erteilen?|2=<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es befindet sich bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und fliegt innerhalb von 5 Sekunden zum Punkt <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls ist das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies befindet sich in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120{,}2 \\ 96{,}4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Formel zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
'''b)''' Wie schnell (in <math>\tfrac{km}{h}</math>) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann in verschiedene Einheiten angegeben werden, z.B.: <math>\tfrac{km}{h}</math>, <math>\tfrac{m}{s}</math> etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von <math>\tfrac{m}{s}</math> zu <math>\tfrac{km}{h}</math> umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
'''c)''' Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du, indem du folgendes berechnest:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies musst du in ein Gleichugssystem umformen und dies dann zu <math>x</math>,<math>y</math> und <math>z</math> auflösen:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5\cdot x </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5\cdot y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5 \cdot z </math><br />
<br />
Zunächst bringst du die Zahlen auf die andere Seite:<br />
<br />
<math><br />
500=5\cdot x </math><br />
<br />
<math><br />
400=5\cdot y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 5 \cdot z </math><br />
<br />
und formst dann zu <math>x</math>,<math>y</math>, und <math>z</math> um:<br />
<br />
<math><br />
100=x </math><br />
<br />
<math><br />
80=y </math><br />
<br />
<math><br />
70=z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du wie folgt:<br />
Du kennst den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun musst du <math>z</math> berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von <math>175{,}49</math> besitzt. Dies kannst du mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49=\sqrt[]{120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem du beide Seiten zum quadart nimmst, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49^{2}=120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Du formst zu <math>z^{2}</math> um und ziehst dann die Wurzel. Du erhälst gerundet <math>84</math>. <br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Du berechnest die Geschwindigkeit, indem du die Länge des Richtungsvektors berechnest. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<br />
<math> L=\sqrt[]{100^{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145{,}95</math>. <br />
<br />
Du erhälst also eine Geschwindigkeit von <math>145{,}95</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Es gilt: <math>3{,}6</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>=1 <math>\tfrac{m}{s}</math>. <br />
Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:<br />
<br />
<math>145{,}95 \cdot3{,}6= 525{,}42</math> <br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>525{,}42</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt in einer Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von <math>175{,}49</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:<br />
<br />
<math>175{,}49\cdot3{,}6= 631{,}76</math><br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>631{,}76</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot100=5+s \cdot120{,}2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot80=0+s \cdot96{,}4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t \cdot70=0+s \cdot84 </math><br />
<br />
Dies formst du um:<br />
<br />
<br />
<math><br />
5=s \cdot120{,}2-t \cdot100 </math><br />
<br />
<math><br />
10=s \cdot96{,}4 -t \cdot80</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
<br />
und du multiplizierst die erste Zeile mit <math>4</math>, die zweite Zeile mit <math>5</math>:<br />
<br />
<br />
<math><br />
20=s \cdot480{,}8-t \cdot400 </math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Nun subtrahiere die zweite Zeile von der ersten Zeile:<br />
<br />
<br />
<math><br />
-30=s \cdot{-}1{,}2 </math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
also folgt:<br />
<br />
<math><br />
25=s</math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Du erhälst also <math>s=25 </math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt und umformst, erhälst du:<br />
<math><br />
25=s</math><br />
<br />
<math><br />
30=t</math><br />
<br />
<math><br />
0=25 \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Setzen wir nun in die letzte Zeile <math>t=30</math> ein, so erhalten wir dort <math>0=0</math> und wissen damit, dass sich die Geraden schneiden.<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Anwendungen==</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=49785Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-05-18T14:19:25Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und<br />
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Darstellungsformen==<br />
<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{Box<br />
|Definition<br />
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g \colon \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.<br />
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. <br />
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.<br />
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. <br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: <br />
<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk|900}}<br />
<br />
<br />
Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter abhängt: <br />
<br />
<ggb_applet id="EfrTd7YR" width="900" height="500&quot;&quot;" border="888888" /><br />
<br />
<br />
<span style="color: Red"> ????''Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden <math>g</math> liegen, möglich.''????</span><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)<br />
|Bearbeite entweder die analoge Aufgabe (I) oder die digitale Aufgabe (II):<br />
<br />
(I) Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. <br />
<br />
'''a)''' <math>A(1|2|2), B(5|{-}4|7)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9), B(0|0|3)</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
(II) Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pc62b4ck318}}<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)<br />
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.<br />
<br />
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. <br />
|Tipp Aufgabe a) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''b)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wie könnte eine Geradengleichung der <math>x_1</math>-Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Punktprobe===<br />
<br />
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|1kJ9Nq8zXlI|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Punktprobe<br />
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 3: Punktprobe mit einer Geraden I<br />
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
<br />
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt für <math>t = -1</math>, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt nicht auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden II<br />
|Für welchen Wert <math>s </math> mit <math> s \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>? <br />
<br />
'''a)''' <math>P(13|3|0)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(12|{-}1|6{,}5)</math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = -1</math> mit <math>r = 2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 2{,}5</math> mit <math>r = 1{,}5</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Spurpunkte einer Geraden===<br />
<br />
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video.<br />
<br />
Falls du nicht mehr weißt, was die Koordinatenebenen sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: <br />
<br />
{{Lösung versteckt|<br />
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).<br />
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]<br />
|Tipp anzeigen<br />
|Tipp verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!<br />
|Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene. <br />
In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du <math>= 0</math> gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box <br />
|Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten<br />
|Gegeben ist die Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet (du kannnst es natürlich auch selbst versuchen und dann deine Lösung kontrollieren):<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 \neq 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Hervorhebung1<br />
}}<br />
<br />
Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:<br />
<br />
<ggb_applet id="KrHVKfjB" width="900" height="402" border="888888" /><br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 5: Spurpunkte einer Geraden I<br />
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Der Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene ist nicht vorhanden, da sich ein Widerspruch in der Gleichung ergibt.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 6: Geraden im Koordinatensystem<br />
|Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
==Lagebeziehungen von Geraden==<br />
<br />
====Parallele und identische Geraden====<br />
{{Box|1=Infobox zur Lagebeziehung zweier Geraden Teil 1<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein. <br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.<br />
<br />
[[Datei:Zwei identische Geraden.png|links|mini|Zwei identische Geraden]]<br />
[[Datei:Zwei parallele Geraden.png|rechts|mini|Zwei parallele Geraden]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.<br />
<br />
[[Datei:Zwei Geraden schneiden sich.png|links|mini|Zwei Geraden schneiden sich]]<br />
[[Datei:Zwei windschiefe Geraden.png|rechts|mini|Zwei windschiefe Geraden]]<br />
<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.<br />
<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 7: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel.<br />
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 8: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel.<br />
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 9: Lage erkennen|2= Betrachte die folgenden Geraden <math>g</math> und <math>h</math>. Wie verlaufen die Geraden zueinander. Entscheide ohne Nutzung des GTR oder besser: Löse im Kopf.<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
'''b)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''d)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> 2\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Stützvektoren identisch sind, weißt du, dass der Punkt <math>(2|2|5)</math> auf beiden Geraden liegt und somit die beiden Geraden ''identisch'' sind.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Aufpunkt <math>(2|2|2)</math> von der Gerade <math>h</math> nicht auf der Geraden von <math> h \colon \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <br />
<br />
<math><br />
2=1+r\cdot1<br />
<br />
2=1+r\cdot2<br />
<br />
2=1+r\cdot3<br />
</math><br />
Formen wir dies um zu r erhalten wir<br />
<br />
<math><br />
1=r\cdot1<br />
<br />
1=r\cdot2<br />
<br />
1=r\cdot3<br />
<br />
</math><br />
Formen wir weiter zu <math>r</math> um, erhalten wir<br />
<math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math> und damit liegt der Punkt nicht auf der Geraden.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''schneiden''. Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear und damit ''schneiden'' sich die beiden Geraden sich im Aufpunkt <math>(1|2|3)</math> selbst.|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die vierte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Aufpunkt <math>(2|3|4)</math> der Geraden h auf der Geraden g liegt: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe d|3=Lösung Aufgabe d}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 10: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander? Nenne, falls vorhanden, den Schnittpunkt. Damit es nicht zu viel zu berechnen gibt, kannst du sicher annehmen, dass kein Richtungsvektor der einen Gleichung kollinear zu einem anderen Richtungsvektor ist. Du darfst deinen Taschenrechnernutzen.<br />
<br />
'''a)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
<br />
'''b)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Dies erhält man, indem man beide Geradengleichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu <math>r</math> und <math>t</math> umformt:<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot5 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot4=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird:<br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot8=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<br />
<math><br />
-t\cdot3=0 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
erhälst du für <math>t=0</math>. Dies setzt du in der zweiten Zeile ein und erhälst <math>r=1</math>. In der untersten Zeile überprüfst du, ob die Ergebnisse stimmen. Setze dazu für <math>t</math> und <math>r</math> die Ergebnisse ein. Du erhälst <math>3=3</math>, was eine wahre Aussage ist. Daher schneiden sich die beiden Geraden.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies kannst du wie folgt berechnen.<br />
<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot1 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot1=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird <br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot2=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<math><br />
t\cdot2=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
erhälst du <math>t=1</math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt, erhälst du für <math>r=3</math>. Setzt du dies in die letzte Zeile ein, erhälst du <math>6=3</math>, eine falsche Aussage. Damit sind die beiden Geraden windschief zueinander.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 11: Flugerlaubnis erteilen?|2=<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es befindet sich bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und fliegt innerhalb von 5 Sekunden zum Punkt <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls ist das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies befindet sich in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120{,}2 \\ 96{,}4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Formel zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
'''b)''' Wie schnell (in <math>\tfrac{km}{h}</math>) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann in verschiedene Einheiten angegeben werden, z.B.: <math>\tfrac{km}{h}</math>, <math>\tfrac{m}{s}</math> etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von <math>\tfrac{m}{s}</math> zu <math>\tfrac{km}{h}</math> umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
'''c)''' Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du, indem du folgendes berechnest:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies musst du in ein Gleichugssystem umformen und dies dann zu <math>x</math>,<math>y</math> und <math>z</math> auflösen:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5\cdot x </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5\cdot y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5 \cdot z </math><br />
<br />
Zunächst bringst du die Zahlen auf die andere Seite:<br />
<br />
<math><br />
500=5\cdot x </math><br />
<br />
<math><br />
400=5\cdot y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 5 \cdot z </math><br />
<br />
und formst dann zu <math>x</math>,<math>y</math>, und <math>z</math> um:<br />
<br />
<math><br />
100=x </math><br />
<br />
<math><br />
80=y </math><br />
<br />
<math><br />
70=z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du wie folgt:<br />
Du kennst den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun musst du <math>z</math> berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von <math>175{,}49</math> besitzt. Dies kannst du mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49=\sqrt[]{120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem du beide Seiten zum quadart nimmst, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49^{2}=120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Du formst zu <math>z^{2}</math> um und ziehst dann die Wurzel. Du erhälst gerundet <math>84</math>. <br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Du berechnest die Geschwindigkeit, indem du die Länge des Richtungsvektors berechnest. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<br />
<math> L=\sqrt[]{100^{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145{,}95</math>. <br />
<br />
Du erhälst also eine Geschwindigkeit von <math>145{,}95</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Es gilt: <math>3{,}6</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>=1 <math>\tfrac{m}{s}</math>. <br />
Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:<br />
<br />
<math>145{,}95 \cdot3{,}6= 525{,}42</math> <br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>525{,}42</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt in einer Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von <math>175{,}49</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:<br />
<br />
<math>175{,}49\cdot3{,}6= 631{,}76</math><br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>631{,}76</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot100=5+s \cdot120{,}2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot80=0+s \cdot96{,}4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t \cdot70=0+s \cdot84 </math><br />
<br />
Dies formst du um:<br />
<br />
<br />
<math><br />
5=s \cdot120{,}2-t \cdot100 </math><br />
<br />
<math><br />
10=s \cdot96{,}4 -t \cdot80</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
<br />
und du multiplizierst die erste Zeile mit <math>4</math>, die zweite Zeile mit <math>5</math>:<br />
<br />
<br />
<math><br />
20=s \cdot480{,}8-t \cdot400 </math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Nun subtrahiere die zweite Zeile von der ersten Zeile:<br />
<br />
<br />
<math><br />
-30=s \cdot{-}1{,}2 </math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
also folgt:<br />
<br />
<math><br />
25=s</math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Du erhälst also <math>s=25 </math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt und umformst, erhälst du:<br />
<math><br />
25=s</math><br />
<br />
<math><br />
30=t</math><br />
<br />
<math><br />
0=25 \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Setzen wir nun in die letzte Zeile <math>t=30</math> ein, so erhalten wir dort <math>0=0</math> und wissen damit, dass sich die Geraden schneiden.<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Anwendungen==</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=49784Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-05-18T14:18:09Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und<br />
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Darstellungsformen==<br />
<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{Box<br />
|Definition<br />
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g \colon \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.<br />
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. <br />
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.<br />
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. <br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: <br />
<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk|900}}<br />
<br />
<br />
Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter abhängt: <br />
<br />
<ggb_applet id="EfrTd7YR" width="900" height="500&quot;&quot;" border="888888" /><br />
<br />
<br />
<span style="color: Red"> ????''Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden <math>g</math> liegen, möglich.''????</span><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)<br />
|Bearbeite entweder die analoge Aufgabe (I) oder die digitale Aufgabe (II):<br />
<br />
(I) Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. <br />
<br />
'''a)''' <math>A(1|2|2), B(5|{-}4|7)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9), B(0|0|3)</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
(II) Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pc62b4ck318}}<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)<br />
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.<br />
<br />
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. <br />
|Tipp Aufgabe a) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''b)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wie könnte eine Geradengleichung der <math>x_1</math>-Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Punktprobe===<br />
<br />
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|1kJ9Nq8zXlI|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Punktprobe<br />
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 3: Punktprobe mit einer Geraden I<br />
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
<br />
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt für <math>t = -1</math>, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt nicht auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden II<br />
|Für welchen Wert <math>s </math> mit <math> s \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>? <br />
<br />
'''a)''' <math>P(13|3|0)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(12|{-}1|6{,}5)</math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = -1</math> mit <math>r = 2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 2{,}5</math> mit <math>r = 1{,}5</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Spurpunkte einer Geraden===<br />
<br />
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video.<br />
<br />
Falls du nicht mehr weißt, was die Koordinatenebenen sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: <br />
<br />
{{Lösung versteckt|<br />
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).<br />
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]<br />
|Tipp anzeigen<br />
|Tipp verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!<br />
|Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene. <br />
In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du <math>= 0</math> gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box <br />
|Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten<br />
|Gegeben ist die Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet (du kannnst es natürlich auch selbst versuchen und dann deine Lösung kontrollieren):<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 \neq 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Hervorhebung1<br />
}}<br />
<br />
Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:<br />
<br />
<ggb_applet id="KrHVKfjB" width="900" height="402" border="888888" /><br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 5: Spurpunkte einer Geraden I<br />
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Der Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene ist nicht vorhanden, da sich ein Widerspruch in der Gleichung ergibt.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 6: Geraden im Koordinatensystem<br />
|Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
==Lagebeziehungen von Geraden==<br />
<br />
====Parallele und identische Geraden====<br />
{{Box|1=Infobox zur Lagebeziehung zweier Geraden Teil 1<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein. <br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.<br />
<br />
[[Datei:Zwei identische Geraden.png|links|mini|Zwei identische Geraden]]<br />
[[Datei:Zwei parallele Geraden.png|rechts|mini|Zwei parallele Geraden]]<br />
<br />
Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.<br />
[[Datei:Zwei Geraden schneiden sich.png|links|mini|Zwei Geraden schneiden sich]]<br />
[[Datei:Zwei windschiefe Geraden.png|rechts|mini|Zwei windschiefe Geraden]]<br />
<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 7: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel.<br />
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 8: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel.<br />
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 9: Lage erkennen|2= Betrachte die folgenden Geraden <math>g</math> und <math>h</math>. Wie verlaufen die Geraden zueinander. Entscheide ohne Nutzung des GTR oder besser: Löse im Kopf.<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
'''b)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''d)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> 2\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Stützvektoren identisch sind, weißt du, dass der Punkt <math>(2|2|5)</math> auf beiden Geraden liegt und somit die beiden Geraden ''identisch'' sind.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Aufpunkt <math>(2|2|2)</math> von der Gerade <math>h</math> nicht auf der Geraden von <math> h \colon \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <br />
<br />
<math><br />
2=1+r\cdot1<br />
<br />
2=1+r\cdot2<br />
<br />
2=1+r\cdot3<br />
</math><br />
Formen wir dies um zu r erhalten wir<br />
<br />
<math><br />
1=r\cdot1<br />
<br />
1=r\cdot2<br />
<br />
1=r\cdot3<br />
<br />
</math><br />
Formen wir weiter zu <math>r</math> um, erhalten wir<br />
<math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math> und damit liegt der Punkt nicht auf der Geraden.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''schneiden''. Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear und damit ''schneiden'' sich die beiden Geraden sich im Aufpunkt <math>(1|2|3)</math> selbst.|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die vierte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Aufpunkt <math>(2|3|4)</math> der Geraden h auf der Geraden g liegt: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe d|3=Lösung Aufgabe d}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 10: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander? Nenne, falls vorhanden, den Schnittpunkt. Damit es nicht zu viel zu berechnen gibt, kannst du sicher annehmen, dass kein Richtungsvektor der einen Gleichung kollinear zu einem anderen Richtungsvektor ist. Du darfst deinen Taschenrechnernutzen.<br />
<br />
'''a)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
<br />
'''b)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Dies erhält man, indem man beide Geradengleichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu <math>r</math> und <math>t</math> umformt:<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot5 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot4=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird:<br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot8=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<br />
<math><br />
-t\cdot3=0 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
erhälst du für <math>t=0</math>. Dies setzt du in der zweiten Zeile ein und erhälst <math>r=1</math>. In der untersten Zeile überprüfst du, ob die Ergebnisse stimmen. Setze dazu für <math>t</math> und <math>r</math> die Ergebnisse ein. Du erhälst <math>3=3</math>, was eine wahre Aussage ist. Daher schneiden sich die beiden Geraden.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies kannst du wie folgt berechnen.<br />
<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot1 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot1=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird <br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot2=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<math><br />
t\cdot2=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
erhälst du <math>t=1</math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt, erhälst du für <math>r=3</math>. Setzt du dies in die letzte Zeile ein, erhälst du <math>6=3</math>, eine falsche Aussage. Damit sind die beiden Geraden windschief zueinander.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 11: Flugerlaubnis erteilen?|2=<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es befindet sich bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und fliegt innerhalb von 5 Sekunden zum Punkt <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls ist das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies befindet sich in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120{,}2 \\ 96{,}4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Formel zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
'''b)''' Wie schnell (in <math>\tfrac{km}{h}</math>) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann in verschiedene Einheiten angegeben werden, z.B.: <math>\tfrac{km}{h}</math>, <math>\tfrac{m}{s}</math> etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von <math>\tfrac{m}{s}</math> zu <math>\tfrac{km}{h}</math> umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
'''c)''' Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du, indem du folgendes berechnest:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies musst du in ein Gleichugssystem umformen und dies dann zu <math>x</math>,<math>y</math> und <math>z</math> auflösen:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5\cdot x </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5\cdot y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5 \cdot z </math><br />
<br />
Zunächst bringst du die Zahlen auf die andere Seite:<br />
<br />
<math><br />
500=5\cdot x </math><br />
<br />
<math><br />
400=5\cdot y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 5 \cdot z </math><br />
<br />
und formst dann zu <math>x</math>,<math>y</math>, und <math>z</math> um:<br />
<br />
<math><br />
100=x </math><br />
<br />
<math><br />
80=y </math><br />
<br />
<math><br />
70=z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du wie folgt:<br />
Du kennst den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun musst du <math>z</math> berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von <math>175{,}49</math> besitzt. Dies kannst du mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49=\sqrt[]{120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem du beide Seiten zum quadart nimmst, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49^{2}=120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Du formst zu <math>z^{2}</math> um und ziehst dann die Wurzel. Du erhälst gerundet <math>84</math>. <br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Du berechnest die Geschwindigkeit, indem du die Länge des Richtungsvektors berechnest. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<br />
<math> L=\sqrt[]{100^{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145{,}95</math>. <br />
<br />
Du erhälst also eine Geschwindigkeit von <math>145{,}95</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Es gilt: <math>3{,}6</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>=1 <math>\tfrac{m}{s}</math>. <br />
Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:<br />
<br />
<math>145{,}95 \cdot3{,}6= 525{,}42</math> <br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>525{,}42</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt in einer Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von <math>175{,}49</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:<br />
<br />
<math>175{,}49\cdot3{,}6= 631{,}76</math><br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>631{,}76</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot100=5+s \cdot120{,}2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot80=0+s \cdot96{,}4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t \cdot70=0+s \cdot84 </math><br />
<br />
Dies formst du um:<br />
<br />
<br />
<math><br />
5=s \cdot120{,}2-t \cdot100 </math><br />
<br />
<math><br />
10=s \cdot96{,}4 -t \cdot80</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
<br />
und du multiplizierst die erste Zeile mit <math>4</math>, die zweite Zeile mit <math>5</math>:<br />
<br />
<br />
<math><br />
20=s \cdot480{,}8-t \cdot400 </math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Nun subtrahiere die zweite Zeile von der ersten Zeile:<br />
<br />
<br />
<math><br />
-30=s \cdot{-}1{,}2 </math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
also folgt:<br />
<br />
<math><br />
25=s</math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Du erhälst also <math>s=25 </math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt und umformst, erhälst du:<br />
<math><br />
25=s</math><br />
<br />
<math><br />
30=t</math><br />
<br />
<math><br />
0=25 \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Setzen wir nun in die letzte Zeile <math>t=30</math> ein, so erhalten wir dort <math>0=0</math> und wissen damit, dass sich die Geraden schneiden.<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Anwendungen==</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=49781Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-05-18T14:15:16Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und<br />
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Darstellungsformen==<br />
<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{Box<br />
|Definition<br />
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g \colon \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.<br />
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. <br />
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.<br />
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. <br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: <br />
<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk|900}}<br />
<br />
<br />
Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter abhängt: <br />
<br />
<ggb_applet id="EfrTd7YR" width="900" height="500&quot;&quot;" border="888888" /><br />
<br />
<br />
<span style="color: Red"> ????''Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden <math>g</math> liegen, möglich.''????</span><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)<br />
|Bearbeite entweder die analoge Aufgabe (I) oder die digitale Aufgabe (II):<br />
<br />
(I) Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. <br />
<br />
'''a)''' <math>A(1|2|2), B(5|{-}4|7)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9), B(0|0|3)</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
(II) Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pc62b4ck318}}<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)<br />
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.<br />
<br />
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. <br />
|Tipp Aufgabe a) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''b)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wie könnte eine Geradengleichung der <math>x_1</math>-Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Punktprobe===<br />
<br />
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|1kJ9Nq8zXlI|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Punktprobe<br />
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 3: Punktprobe mit einer Geraden I<br />
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
<br />
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt für <math>t = -1</math>, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt nicht auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden II<br />
|Für welchen Wert <math>s </math> mit <math> s \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>? <br />
<br />
'''a)''' <math>P(13|3|0)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(12|{-}1|6{,}5)</math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = -1</math> mit <math>r = 2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 2{,}5</math> mit <math>r = 1{,}5</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Spurpunkte einer Geraden===<br />
<br />
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video.<br />
<br />
Falls du nicht mehr weißt, was die Koordinatenebenen sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: <br />
<br />
{{Lösung versteckt|<br />
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).<br />
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]<br />
|Tipp anzeigen<br />
|Tipp verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!<br />
|Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene. <br />
In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du <math>= 0</math> gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box <br />
|Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten<br />
|Gegeben ist die Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet (du kannnst es natürlich auch selbst versuchen und dann deine Lösung kontrollieren):<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 \neq 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Hervorhebung1<br />
}}<br />
<br />
Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:<br />
<br />
<ggb_applet id="KrHVKfjB" width="900" height="402" border="888888" /><br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 5: Spurpunkte einer Geraden I<br />
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Der Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene ist nicht vorhanden, da sich ein Widerspruch in der Gleichung ergibt.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 6: Geraden im Koordinatensystem<br />
|Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
==Lagebeziehungen von Geraden==<br />
<br />
====Parallele und identische Geraden====<br />
{{Box|1=Infobox zur Lagebeziehung zweier Geraden Teil 1<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein. <br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.<br />
<br />
[[Datei:Zwei identische Geraden.png|mini|Zwei identische Geraden]]<br />
[[Datei:Zwei parallele Geraden.png|mini|Zwei parallele Geraden]]<br />
<br />
Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.<br />
[[Datei:Zwei Geraden schneiden sich.png|mini|Zwei Geraden schneiden sich]]<br />
[[Datei:Zwei windschiefe Geraden.png|mini|Zwei windschiefe Geraden]]<br />
<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 7: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel.<br />
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 8: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel.<br />
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 9: Lage erkennen|2= Betrachte die folgenden Geraden <math>g</math> und <math>h</math>. Wie verlaufen die Geraden zueinander. Entscheide ohne Nutzung des GTR oder besser: Löse im Kopf.<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
'''b)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''d)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> 2\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Stützvektoren identisch sind, weißt du, dass der Punkt <math>(2|2|5)</math> auf beiden Geraden liegt und somit die beiden Geraden ''identisch'' sind.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Aufpunkt <math>(2|2|2)</math> von der Gerade <math>h</math> nicht auf der Geraden von <math> h \colon \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <br />
<br />
<math><br />
2=1+r\cdot1<br />
<br />
2=1+r\cdot2<br />
<br />
2=1+r\cdot3<br />
</math><br />
Formen wir dies um zu r erhalten wir<br />
<br />
<math><br />
1=r\cdot1<br />
<br />
1=r\cdot2<br />
<br />
1=r\cdot3<br />
<br />
</math><br />
Formen wir weiter zu <math>r</math> um, erhalten wir<br />
<math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math> und damit liegt der Punkt nicht auf der Geraden.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''schneiden''. Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear und damit ''schneiden'' sich die beiden Geraden sich im Aufpunkt <math>(1|2|3)</math> selbst.|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die vierte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Aufpunkt <math>(2|3|4)</math> der Geraden h auf der Geraden g liegt: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe d|3=Lösung Aufgabe d}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 10: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander? Nenne, falls vorhanden, den Schnittpunkt. Damit es nicht zu viel zu berechnen gibt, kannst du sicher annehmen, dass kein Richtungsvektor der einen Gleichung kollinear zu einem anderen Richtungsvektor ist. Du darfst deinen Taschenrechnernutzen.<br />
<br />
'''a)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
<br />
'''b)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Dies erhält man, indem man beide Geradengleichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu <math>r</math> und <math>t</math> umformt:<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot5 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot4=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird:<br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot8=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<br />
<math><br />
-t\cdot3=0 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
erhälst du für <math>t=0</math>. Dies setzt du in der zweiten Zeile ein und erhälst <math>r=1</math>. In der untersten Zeile überprüfst du, ob die Ergebnisse stimmen. Setze dazu für <math>t</math> und <math>r</math> die Ergebnisse ein. Du erhälst <math>3=3</math>, was eine wahre Aussage ist. Daher schneiden sich die beiden Geraden.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies kannst du wie folgt berechnen.<br />
<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot1 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot1=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird <br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot2=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<math><br />
t\cdot2=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
erhälst du <math>t=1</math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt, erhälst du für <math>r=3</math>. Setzt du dies in die letzte Zeile ein, erhälst du <math>6=3</math>, eine falsche Aussage. Damit sind die beiden Geraden windschief zueinander.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 11: Flugerlaubnis erteilen?|2=<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es befindet sich bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und fliegt innerhalb von 5 Sekunden zum Punkt <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls ist das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies befindet sich in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120{,}2 \\ 96{,}4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Formel zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
'''b)''' Wie schnell (in <math>\tfrac{km}{h}</math>) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann in verschiedene Einheiten angegeben werden, z.B.: <math>\tfrac{km}{h}</math>, <math>\tfrac{m}{s}</math> etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von <math>\tfrac{m}{s}</math> zu <math>\tfrac{km}{h}</math> umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
'''c)''' Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du, indem du folgendes berechnest:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies musst du in ein Gleichugssystem umformen und dies dann zu <math>x</math>,<math>y</math> und <math>z</math> auflösen:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5\cdot x </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5\cdot y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5 \cdot z </math><br />
<br />
Zunächst bringst du die Zahlen auf die andere Seite:<br />
<br />
<math><br />
500=5\cdot x </math><br />
<br />
<math><br />
400=5\cdot y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 5 \cdot z </math><br />
<br />
und formst dann zu <math>x</math>,<math>y</math>, und <math>z</math> um:<br />
<br />
<math><br />
100=x </math><br />
<br />
<math><br />
80=y </math><br />
<br />
<math><br />
70=z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du wie folgt:<br />
Du kennst den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun musst du <math>z</math> berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von <math>175{,}49</math> besitzt. Dies kannst du mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49=\sqrt[]{120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem du beide Seiten zum quadart nimmst, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49^{2}=120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Du formst zu <math>z^{2}</math> um und ziehst dann die Wurzel. Du erhälst gerundet <math>84</math>. <br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Du berechnest die Geschwindigkeit, indem du die Länge des Richtungsvektors berechnest. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<br />
<math> L=\sqrt[]{100^{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145{,}95</math>. <br />
<br />
Du erhälst also eine Geschwindigkeit von <math>145{,}95</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Es gilt: <math>3{,}6</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>=1 <math>\tfrac{m}{s}</math>. <br />
Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:<br />
<br />
<math>145{,}95 \cdot3{,}6= 525{,}42</math> <br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>525{,}42</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt in einer Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von <math>175{,}49</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:<br />
<br />
<math>175{,}49\cdot3{,}6= 631{,}76</math><br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>631{,}76</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot100=5+s \cdot120{,}2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot80=0+s \cdot96{,}4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t \cdot70=0+s \cdot84 </math><br />
<br />
Dies formst du um:<br />
<br />
<br />
<math><br />
5=s \cdot120{,}2-t \cdot100 </math><br />
<br />
<math><br />
10=s \cdot96{,}4 -t \cdot80</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
<br />
und du multiplizierst die erste Zeile mit <math>4</math>, die zweite Zeile mit <math>5</math>:<br />
<br />
<br />
<math><br />
20=s \cdot480{,}8-t \cdot400 </math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Nun subtrahiere die zweite Zeile von der ersten Zeile:<br />
<br />
<br />
<math><br />
-30=s \cdot{-}1{,}2 </math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
also folgt:<br />
<br />
<math><br />
25=s</math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Du erhälst also <math>s=25 </math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt und umformst, erhälst du:<br />
<math><br />
25=s</math><br />
<br />
<math><br />
30=t</math><br />
<br />
<math><br />
0=25 \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Setzen wir nun in die letzte Zeile <math>t=30</math> ein, so erhalten wir dort <math>0=0</math> und wissen damit, dass sich die Geraden schneiden.<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Anwendungen==</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=49780Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-05-18T14:14:24Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und<br />
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Darstellungsformen==<br />
<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{Box<br />
|Definition<br />
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g \colon \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.<br />
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. <br />
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.<br />
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. <br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: <br />
<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk|900}}<br />
<br />
<br />
Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter abhängt: <br />
<br />
<ggb_applet id="EfrTd7YR" width="900" height="500&quot;&quot;" border="888888" /><br />
<br />
<br />
<span style="color: Red"> ????''Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden <math>g</math> liegen, möglich.''????</span><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)<br />
|Bearbeite entweder die analoge Aufgabe (I) oder die digitale Aufgabe (II):<br />
<br />
(I) Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. <br />
<br />
'''a)''' <math>A(1|2|2), B(5|{-}4|7)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9), B(0|0|3)</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
(II) Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pc62b4ck318}}<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)<br />
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.<br />
<br />
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. <br />
|Tipp Aufgabe a) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''b)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wie könnte eine Geradengleichung der <math>x_1</math>-Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Punktprobe===<br />
<br />
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|1kJ9Nq8zXlI|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Punktprobe<br />
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 3: Punktprobe mit einer Geraden I<br />
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
<br />
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt für <math>t = -1</math>, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt nicht auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden II<br />
|Für welchen Wert <math>s </math> mit <math> s \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>? <br />
<br />
'''a)''' <math>P(13|3|0)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(12|{-}1|6{,}5)</math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = -1</math> mit <math>r = 2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 2{,}5</math> mit <math>r = 1{,}5</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Spurpunkte einer Geraden===<br />
<br />
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video.<br />
<br />
Falls du nicht mehr weißt, was die Koordinatenebenen sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: <br />
<br />
{{Lösung versteckt|<br />
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).<br />
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]<br />
|Tipp anzeigen<br />
|Tipp verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!<br />
|Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene. <br />
In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du <math>= 0</math> gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box <br />
|Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten<br />
|Gegeben ist die Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet (du kannnst es natürlich auch selbst versuchen und dann deine Lösung kontrollieren):<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 \neq 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Hervorhebung1<br />
}}<br />
<br />
Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:<br />
<br />
<ggb_applet id="KrHVKfjB" width="900" height="402" border="888888" /><br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 5: Spurpunkte einer Geraden I<br />
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Der Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene ist nicht vorhanden, da sich ein Widerspruch in der Gleichung ergibt.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 6: Geraden im Koordinatensystem<br />
|Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
==Lagebeziehungen von Geraden==<br />
<br />
====Parallele und identische Geraden====<br />
{{Box|1=Infobox zur Lagebeziehung zweier Geraden Teil 1<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein. <br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.<br />
<br />
[[Datei:Zwei identische Geraden.png|mini|Zwei identische Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Zwei parallele Geraden.png|mini|Zwei parallele Geraden]]<br />
<br />
Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.<br />
<br />
<br />
[[Datei:Zwei Geraden schneiden sich.png|mini|Zwei Geraden schneiden sich]]<br />
[[Datei:Zwei windschiefe Geraden.png|mini|Zwei windschiefe Geraden]]<br />
<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 7: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel.<br />
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 8: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel.<br />
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 9: Lage erkennen|2= Betrachte die folgenden Geraden <math>g</math> und <math>h</math>. Wie verlaufen die Geraden zueinander. Entscheide ohne Nutzung des GTR oder besser: Löse im Kopf.<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
'''b)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''d)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> 2\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Stützvektoren identisch sind, weißt du, dass der Punkt <math>(2|2|5)</math> auf beiden Geraden liegt und somit die beiden Geraden ''identisch'' sind.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Aufpunkt <math>(2|2|2)</math> von der Gerade <math>h</math> nicht auf der Geraden von <math> h \colon \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <br />
<br />
<math><br />
2=1+r\cdot1<br />
<br />
2=1+r\cdot2<br />
<br />
2=1+r\cdot3<br />
</math><br />
Formen wir dies um zu r erhalten wir<br />
<br />
<math><br />
1=r\cdot1<br />
<br />
1=r\cdot2<br />
<br />
1=r\cdot3<br />
<br />
</math><br />
Formen wir weiter zu <math>r</math> um, erhalten wir<br />
<math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math> und damit liegt der Punkt nicht auf der Geraden.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''schneiden''. Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear und damit ''schneiden'' sich die beiden Geraden sich im Aufpunkt <math>(1|2|3)</math> selbst.|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die vierte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Aufpunkt <math>(2|3|4)</math> der Geraden h auf der Geraden g liegt: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe d|3=Lösung Aufgabe d}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 10: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander? Nenne, falls vorhanden, den Schnittpunkt. Damit es nicht zu viel zu berechnen gibt, kannst du sicher annehmen, dass kein Richtungsvektor der einen Gleichung kollinear zu einem anderen Richtungsvektor ist. Du darfst deinen Taschenrechnernutzen.<br />
<br />
'''a)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
<br />
'''b)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Dies erhält man, indem man beide Geradengleichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu <math>r</math> und <math>t</math> umformt:<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot5 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot4=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird:<br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot8=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<br />
<math><br />
-t\cdot3=0 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
erhälst du für <math>t=0</math>. Dies setzt du in der zweiten Zeile ein und erhälst <math>r=1</math>. In der untersten Zeile überprüfst du, ob die Ergebnisse stimmen. Setze dazu für <math>t</math> und <math>r</math> die Ergebnisse ein. Du erhälst <math>3=3</math>, was eine wahre Aussage ist. Daher schneiden sich die beiden Geraden.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies kannst du wie folgt berechnen.<br />
<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot1 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot1=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird <br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot2=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<math><br />
t\cdot2=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
erhälst du <math>t=1</math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt, erhälst du für <math>r=3</math>. Setzt du dies in die letzte Zeile ein, erhälst du <math>6=3</math>, eine falsche Aussage. Damit sind die beiden Geraden windschief zueinander.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 11: Flugerlaubnis erteilen?|2=<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es befindet sich bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und fliegt innerhalb von 5 Sekunden zum Punkt <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls ist das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies befindet sich in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120{,}2 \\ 96{,}4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Formel zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
'''b)''' Wie schnell (in <math>\tfrac{km}{h}</math>) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann in verschiedene Einheiten angegeben werden, z.B.: <math>\tfrac{km}{h}</math>, <math>\tfrac{m}{s}</math> etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von <math>\tfrac{m}{s}</math> zu <math>\tfrac{km}{h}</math> umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
'''c)''' Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du, indem du folgendes berechnest:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies musst du in ein Gleichugssystem umformen und dies dann zu <math>x</math>,<math>y</math> und <math>z</math> auflösen:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5\cdot x </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5\cdot y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5 \cdot z </math><br />
<br />
Zunächst bringst du die Zahlen auf die andere Seite:<br />
<br />
<math><br />
500=5\cdot x </math><br />
<br />
<math><br />
400=5\cdot y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 5 \cdot z </math><br />
<br />
und formst dann zu <math>x</math>,<math>y</math>, und <math>z</math> um:<br />
<br />
<math><br />
100=x </math><br />
<br />
<math><br />
80=y </math><br />
<br />
<math><br />
70=z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du wie folgt:<br />
Du kennst den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun musst du <math>z</math> berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von <math>175{,}49</math> besitzt. Dies kannst du mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49=\sqrt[]{120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem du beide Seiten zum quadart nimmst, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49^{2}=120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Du formst zu <math>z^{2}</math> um und ziehst dann die Wurzel. Du erhälst gerundet <math>84</math>. <br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Du berechnest die Geschwindigkeit, indem du die Länge des Richtungsvektors berechnest. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<br />
<math> L=\sqrt[]{100^{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145{,}95</math>. <br />
<br />
Du erhälst also eine Geschwindigkeit von <math>145{,}95</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Es gilt: <math>3{,}6</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>=1 <math>\tfrac{m}{s}</math>. <br />
Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:<br />
<br />
<math>145{,}95 \cdot3{,}6= 525{,}42</math> <br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>525{,}42</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt in einer Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von <math>175{,}49</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:<br />
<br />
<math>175{,}49\cdot3{,}6= 631{,}76</math><br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>631{,}76</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot100=5+s \cdot120{,}2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot80=0+s \cdot96{,}4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t \cdot70=0+s \cdot84 </math><br />
<br />
Dies formst du um:<br />
<br />
<br />
<math><br />
5=s \cdot120{,}2-t \cdot100 </math><br />
<br />
<math><br />
10=s \cdot96{,}4 -t \cdot80</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
<br />
und du multiplizierst die erste Zeile mit <math>4</math>, die zweite Zeile mit <math>5</math>:<br />
<br />
<br />
<math><br />
20=s \cdot480{,}8-t \cdot400 </math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Nun subtrahiere die zweite Zeile von der ersten Zeile:<br />
<br />
<br />
<math><br />
-30=s \cdot{-}1{,}2 </math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
also folgt:<br />
<br />
<math><br />
25=s</math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Du erhälst also <math>s=25 </math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt und umformst, erhälst du:<br />
<math><br />
25=s</math><br />
<br />
<math><br />
30=t</math><br />
<br />
<math><br />
0=25 \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Setzen wir nun in die letzte Zeile <math>t=30</math> ein, so erhalten wir dort <math>0=0</math> und wissen damit, dass sich die Geraden schneiden.<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Anwendungen==</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Datei:Zwei_identische_Geraden.png&diff=49779Datei:Zwei identische Geraden.png2021-05-18T14:12:29Z<p>Katrin WWU-8: Hochgeladen mit VisualEditor Seite</p>
<hr />
<div>{{Information<br />
|description = Zwei identische Geraden<br />
|source = Eigene Arbeit<br />
|author = [[User:Katrin WWU-8|Katrin WWU-8]]<br />
}}<br />
<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Datei:Zwei_Geraden_schneiden_sich.png&diff=49778Datei:Zwei Geraden schneiden sich.png2021-05-18T14:11:23Z<p>Katrin WWU-8: Hochgeladen mit VisualEditor Seite</p>
<hr />
<div>{{Information<br />
|description = Zwei Geraden schneiden sich<br />
|source = Eigene Arbeit<br />
|author = [[User:Katrin WWU-8|Katrin WWU-8]]<br />
}}<br />
<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Datei:Zwei_parallele_Geraden.png&diff=49777Datei:Zwei parallele Geraden.png2021-05-18T14:10:38Z<p>Katrin WWU-8: Hochgeladen mit VisualEditor Seite</p>
<hr />
<div>{{Information<br />
|description = Zwei parallele Geraden<br />
|source = Eigene Arbeit<br />
|author = [[User:Katrin WWU-8|Katrin WWU-8]]<br />
}}<br />
<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Datei:Zwei_windschiefe_Geraden.png&diff=49775Datei:Zwei windschiefe Geraden.png2021-05-18T14:08:44Z<p>Katrin WWU-8: Hochgeladen mit VisualEditor Seite</p>
<hr />
<div>{{Information<br />
|description = Zwei windschiefe Geraden<br />
|source = Eigene Arbeit<br />
|author = [[User:Katrin WWU-8|Katrin WWU-8]]<br />
}}<br />
<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=49768Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-05-18T14:03:43Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und<br />
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Darstellungsformen==<br />
<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{Box<br />
|Definition<br />
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g \colon \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.<br />
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. <br />
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.<br />
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. <br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: <br />
<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk|900}}<br />
<br />
<br />
Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter abhängt: <br />
<br />
<ggb_applet id="EfrTd7YR" width="900" height="500&quot;&quot;" border="888888" /><br />
<br />
<br />
<span style="color: Red"> ????''Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden <math>g</math> liegen, möglich.''????</span><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)<br />
|Bearbeite entweder die analoge Aufgabe (I) oder die digitale Aufgabe (II):<br />
<br />
(I) Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. <br />
<br />
'''a)''' <math>A(1|2|2), B(5|{-}4|7)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9), B(0|0|3)</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
(II) Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pc62b4ck318}}<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)<br />
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.<br />
<br />
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. <br />
|Tipp Aufgabe a) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''b)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wie könnte eine Geradengleichung der <math>x_1</math>-Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Punktprobe===<br />
<br />
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|1kJ9Nq8zXlI|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Punktprobe<br />
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 3: Punktprobe mit einer Geraden I<br />
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
<br />
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt für <math>t = -1</math>, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt nicht auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden II<br />
|Für welchen Wert <math>s </math> mit <math> s \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>? <br />
<br />
'''a)''' <math>P(13|3|0)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(12|{-}1|6{,}5)</math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = -1</math> mit <math>r = 2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 2{,}5</math> mit <math>r = 1{,}5</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Spurpunkte einer Geraden===<br />
<br />
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video.<br />
<br />
Falls du nicht mehr weißt, was die Koordinatenebenen sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: <br />
<br />
{{Lösung versteckt|<br />
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).<br />
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]<br />
|Tipp anzeigen<br />
|Tipp verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!<br />
|Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene. <br />
In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du <math>= 0</math> gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box <br />
|Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten<br />
|Gegeben ist die Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet (du kannnst es natürlich auch selbst versuchen und dann deine Lösung kontrollieren):<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 \neq 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Hervorhebung1<br />
}}<br />
<br />
Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:<br />
<br />
<ggb_applet id="KrHVKfjB" width="900" height="402" border="888888" /><br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 5: Spurpunkte einer Geraden I<br />
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Der Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene ist nicht vorhanden, da sich ein Widerspruch in der Gleichung ergibt.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 6: Geraden im Koordinatensystem<br />
|Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
==Lagebeziehungen von Geraden==<br />
<br />
====Parallele und identische Geraden====<br />
{{Box|1=Infobox zur Lagebeziehung zweier Geraden Teil 1<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein. <br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.<br />
<br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|800px|rahmenlos|Identische Geraden]] <br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|links|rahmenlos|800px|Parallele Geraden]]<br />
<br />
<br />
<br />
Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.<br />
<br />
<br />
<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|800px|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|links|4000px|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 7: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel.<br />
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 8: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel.<br />
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 9: Lage erkennen|2= Betrachte die folgenden Geraden <math>g</math> und <math>h</math>. Wie verlaufen die Geraden zueinander. Entscheide ohne Nutzung des GTR oder besser: Löse im Kopf.<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
'''b)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''d)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> 2\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Stützvektoren identisch sind, weißt du, dass der Punkt <math>(2|2|5)</math> auf beiden Geraden liegt und somit die beiden Geraden ''identisch'' sind.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Aufpunkt <math>(2|2|2)</math> von der Gerade <math>h</math> nicht auf der Geraden von <math> h \colon \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <br />
<br />
<math><br />
2=1+r\cdot1<br />
<br />
2=1+r\cdot2<br />
<br />
2=1+r\cdot3<br />
</math><br />
Formen wir dies um zu r erhalten wir<br />
<br />
<math><br />
1=r\cdot1<br />
<br />
1=r\cdot2<br />
<br />
1=r\cdot3<br />
<br />
</math><br />
Formen wir weiter zu <math>r</math> um, erhalten wir<br />
<math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math> und damit liegt der Punkt nicht auf der Geraden.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''schneiden''. Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear und damit ''schneiden'' sich die beiden Geraden sich im Aufpunkt <math>(1|2|3)</math> selbst.|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die vierte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Aufpunkt <math>(2|3|4)</math> der Geraden h auf der Geraden g liegt: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe d|3=Lösung Aufgabe d}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 10: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander? Nenne, falls vorhanden, den Schnittpunkt. Damit es nicht zu viel zu berechnen gibt, kannst du sicher annehmen, dass kein Richtungsvektor der einen Gleichung kollinear zu einem anderen Richtungsvektor ist. Du darfst deinen Taschenrechnernutzen.<br />
<br />
'''a)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
<br />
'''c)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Dies erhält man, indem man beide Geradengleichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu <math>r</math> und <math>t</math> umformt:<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot5 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot4=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird:<br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot8=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<br />
<math><br />
-t\cdot3=0 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
erhälst du für <math>t=0</math>. Dies setzt du in der zweiten Zeile ein und erhälst <math>r=1</math>. In der untersten Zeile überprüfst du, ob die Ergebnisse stimmen. Setze dazu für <math>t</math> und <math>r</math> die Ergebnisse ein. Du erhälst <math>3=3</math>, was eine wahre Aussage ist. Daher schneiden sich die beiden Geraden.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies kannst du wie folgt berechnen.<br />
<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot1 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot1=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird <br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot2=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<math><br />
t\cdot2=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
erhälst du <math>t=1</math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt, erhälst du für <math>r=3</math>. Setzt du dies in die letzte Zeile ein, erhälst du <math>6=3</math>, eine falsche Aussage. Damit sind die beiden Geraden windschief zueinander.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 11: Flugerlaubnis erteilen?|2=<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es befindet sich bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und fliegt innerhalb von 5 Sekunden zum Punkt <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls ist das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies befindet sich in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120{,}2 \\ 96{,}4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Formel zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
'''b)''' Wie schnell (in <math>\tfrac{km}{h}</math>) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann in verschiedene Einheiten angegeben werden, z.B.: <math>\tfrac{km}{h}</math>, <math>\tfrac{m}{s}</math> etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von <math>\tfrac{m}{s}</math> zu <math>\tfrac{km}{h}</math> umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
'''c)''' Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du, indem du folgendes berechnest:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies musst du in ein Gleichugssystem umformen und dies dann zu <math>x</math>,<math>y</math> und <math>z</math> auflösen:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5\cdot x </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5\cdot y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5 \cdot z </math><br />
<br />
Zunächst bringst du die Zahlen auf die andere Seite:<br />
<br />
<math><br />
500=5\cdot x </math><br />
<br />
<math><br />
400=5\cdot y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 5 \cdot z </math><br />
<br />
und formst dann zu <math>x</math>,<math>y</math>, und <math>z</math> um:<br />
<br />
<math><br />
100=x </math><br />
<br />
<math><br />
80=y </math><br />
<br />
<math><br />
70=z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du wie folgt:<br />
Du kennst den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun musst du <math>z</math> berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von <math>175{,}49</math> besitzt. Dies kannst du mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49=\sqrt[]{120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem du beide Seiten zum quadart nimmst, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49^{2}=120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Du formst zu <math>z^{2}</math> um und ziehst dann die Wurzel. Du erhälst gerundet <math>84</math>. <br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Du berechnest die Geschwindigkeit, indem du die Länge des Richtungsvektors berechnest. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<br />
<math> L=\sqrt[]{100^{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145{,}95</math>. <br />
<br />
Du erhälst also eine Geschwindigkeit von <math>145{,}95</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Es gilt: <math>3{,}6</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>=1 <math>\tfrac{m}{s}</math>. <br />
Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:<br />
<br />
<math>145{,}95 \cdot3{,}6= 525{,}42</math> <br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>525{,}42</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt in einer Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von <math>175{,}49</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:<br />
<br />
<math>175{,}49\cdot3{,}6= 631{,}76</math><br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>631{,}76</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot100=5+s \cdot120{,}2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot80=0+s \cdot96{,}4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t \cdot70=0+s \cdot84 </math><br />
<br />
Dies formst du um:<br />
<br />
<br />
<math><br />
5=s \cdot120{,}2-t \cdot100 </math><br />
<br />
<math><br />
10=s \cdot96{,}4 -t \cdot80</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
<br />
und du multiplizierst die erste Zeile mit <math>4</math>, die zweite Zeile mit <math>5</math>:<br />
<br />
<br />
<math><br />
20=s \cdot480{,}8-t \cdot400 </math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Nun subtrahiere die zweite Zeile von der ersten Zeile:<br />
<br />
<br />
<math><br />
-30=s \cdot{-}1{,}2 </math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
also folgt:<br />
<br />
<math><br />
25=s</math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Du erhälst also <math>s=25 </math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt und umformst, erhälst du:<br />
<math><br />
25=s</math><br />
<br />
<math><br />
30=t</math><br />
<br />
<math><br />
0=25 \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Setzen wir nun in die letzte Zeile <math>t=30</math> ein, so erhalten wir dort <math>0=0</math> und wissen damit, dass sich die Geraden schneiden.<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Anwendungen==</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=49717Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-05-18T07:12:45Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und<br />
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Darstellungsformen==<br />
<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{Box<br />
|Definition<br />
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g \colon \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.<br />
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. <br />
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.<br />
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. <br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: <br />
<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk|900}}<br />
<br />
<br />
Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter abhängt: <br />
<br />
<ggb_applet id="EfrTd7YR" width="900" height="500&quot;&quot;" border="888888" /><br />
<br />
<br />
<span style="color: Red"> ????''Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden <math>g</math> liegen, möglich.''????</span><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)<br />
|Bearbeite entweder die analoge Aufgabe (I) oder die digitale Aufgabe (II):<br />
<br />
(I) Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. <br />
<br />
'''a)''' <math>A(1|2|2), B(5|{-}4|7)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9), B(0|0|3)</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
(II) Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pc62b4ck318}}<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)<br />
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.<br />
<br />
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. <br />
|Tipp Aufgabe a) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''b)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wie könnte eine Geradengleichung der <math>x_1</math>-Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Punktprobe===<br />
<br />
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|1kJ9Nq8zXlI|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Punktprobe<br />
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 3: Punktprobe mit einer Geraden I<br />
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
<br />
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt für <math>t = -1</math>, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt nicht auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden II<br />
|Für welchen Wert <math>s </math> mit <math> s \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>? <br />
<br />
'''a)''' <math>P(13|3|0)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(12|{-}1|6{,}5)</math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = -1</math> mit <math>r = 2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 2{,}5</math> mit <math>r = 1{,}5</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Spurpunkte einer Geraden===<br />
<br />
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video.<br />
<br />
Falls du nicht mehr weißt, was die Koordinatenebenen sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: <br />
<br />
{{Lösung versteckt|<br />
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).<br />
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]<br />
|Tipp anzeigen<br />
|Tipp verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!<br />
|Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene. <br />
In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du <math>= 0</math> gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box <br />
|Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten<br />
|Gegeben ist die Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet (du kannnst es natürlich auch selbst versuchen und dann deine Lösung kontrollieren):<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 \neq 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Hervorhebung1<br />
}}<br />
<br />
Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:<br />
<br />
<ggb_applet id="KrHVKfjB" width="900" height="402" border="888888" /><br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 5: Spurpunkte einer Geraden I<br />
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Der Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene ist nicht vorhanden, da sich ein Widerspruch in der Gleichung ergibt.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 6: Geraden im Koordinatensystem<br />
|Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
==Lagebeziehungen von Geraden==<br />
<br />
====Parallele und identische Geraden====<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein. <br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.<br />
<br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|800px|rahmenlos|Identische Geraden]] <br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|links|rahmenlos|800px|Parallele Geraden]]<br />
<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 7: Lage erkennen|2= Betrachte die folgenden Geraden <math>g</math> und <math>h</math>. Wie verlaufen die Geraden zueinander? Erkläre, warum hier kaum gerechnet werden muss.<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
'''b)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> 2\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Stützvektoren identisch sind, weißt du, dass der Punkt <math>(2|2|5)</math> auf beiden Geraden liegt und somit die beiden Geraden ''identisch'' sind.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Aufpunkt <math>(2|2|2)</math> von der Gerade <math>h</math> nicht auf der Geraden von <math> h \colon \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <br />
<br />
<math><br />
2=1+r\cdot1<br />
<br />
2=1+r\cdot2<br />
<br />
2=1+r\cdot3<br />
</math><br />
Formen wir dies um zu r erhalten wir<br />
<br />
<math><br />
1=r\cdot1<br />
<br />
1=r\cdot2<br />
<br />
1=r\cdot3<br />
<br />
</math><br />
Formen wir weiter zu <math>r</math> um, erhalten wir<br />
<math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math> und damit liegt der Punkt nicht auf der Geraden.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Aufpunkt <math>(2|3|4)</math> der Geraden h auf der Geraden g liegt: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
====windschiefe und sich schneidene Geraden====<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.<br />
<br />
<br />
<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|800px|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|links|4000px|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 8: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander? Nenne, falls vorhanden, den Schnittpunkt. Damit es nicht zu viel zu berechnen gibt, kannst du sicher annehmen, dass kein Richtungsvektor der einen Gleichung kollinear zu einem anderen Richtungsvektor ist.<br />
<br />
'''a)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Dies erhält man, indem man beide Geradengleichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu <math>r</math> und <math>t</math> umformt:<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot5 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot4=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird:<br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot8=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<br />
<math><br />
-t\cdot3=0 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
erhälst du für <math>t=0</math>. Dies setzt du in der zweiten Zeile ein und erhälst <math>r=1</math>. In der untersten Zeile überprüfst du, ob die Ergebnisse stimmen. Setze dazu für <math>t</math> und <math>r</math> die Ergebnisse ein. Du erhälst <math>3=3</math>, was eine wahre Aussage ist. Daher schneiden sich die beiden Geraden.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Aufpunkt <math>(1|2|3)</math> selbst.|2=Lösung Aufgabe e b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies kannst du wie folgt berechnen.<br />
<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot1 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot1=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird <br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot2=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<math><br />
t\cdot2=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
erhälst du <math>t=1</math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt, erhälst du für <math>r=3</math>. Setzt du dies in die letzte Zeile ein, erhälst du <math>6=3</math>, eine falsche Aussage. Damit sind die beiden Geraden windschief zueinander.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 9: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 10: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 11: Flugerlaubnis erteilen?|2=<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es befindet sich bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und fliegt innerhalb von 5 Sekunden zum Punkt <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls ist das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies befindet sich in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120{,}2 \\ 96{,}4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Formel zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
'''b)''' Wie schnell (in <math>\tfrac{km}{h}</math>) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann in verschiedene Einheiten angegeben werden, z.B.: <math>\tfrac{km}{h}</math>, <math>\tfrac{m}{s}</math> etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von <math>\tfrac{m}{s}</math> zu <math>\tfrac{km}{h}</math> umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
'''c)''' Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du, indem du folgendes berechnest:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies musst du in ein Gleichugssystem umformen und dies dann zu <math>x</math>,<math>y</math> und <math>z</math> auflösen:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5\cdot x </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5\cdot y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5 \cdot z </math><br />
<br />
Zunächst bringst du die Zahlen auf die andere Seite:<br />
<br />
<math><br />
500=5\cdot x </math><br />
<br />
<math><br />
400=5\cdot y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 5 \cdot z </math><br />
<br />
und formst dann zu <math>x</math>,<math>y</math>, und <math>z</math> um:<br />
<br />
<math><br />
100=x </math><br />
<br />
<math><br />
80=y </math><br />
<br />
<math><br />
70=z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du wie folgt:<br />
Du kennst den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun musst du <math>z</math> berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von <math>175{,}49</math> besitzt. Dies kannst du mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49=\sqrt[]{120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem du beide Seiten zum quadart nimmst, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49^{2}=120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Du formst zu <math>z^{2}</math> um und ziehst dann die Wurzel. Du erhälst gerundet <math>84</math>. <br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Du berechnest die Geschwindigkeit, indem du die Länge des Richtungsvektors berechnest. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<br />
<math> L=\sqrt[]{100^{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145{,}95</math>. <br />
<br />
Du erhälst also eine Geschwindigkeit von <math>145{,}95</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Es gilt: <math>3{,}6</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>=1 <math>\tfrac{m}{s}</math>. <br />
Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:<br />
<br />
<math>145{,}95 \cdot3{,}6= 525{,}42</math> <br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>525{,}42</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt in einer Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von <math>175{,}49</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also:<br />
<br />
<math>175{,}49\cdot3{,}6= 631{,}76</math><br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>631{,}76</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot100=5+s \cdot120{,}2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot80=0+s \cdot96{,}4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t \cdot70=0+s \cdot84 </math><br />
<br />
Dies formst du um:<br />
<br />
<br />
<math><br />
5=s \cdot120{,}2-t \cdot100 </math><br />
<br />
<math><br />
10=s \cdot96{,}4 -t \cdot80</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
<br />
und du multiplizierst die erste Zeile mit <math>4</math>, die zweite Zeile mit <math>5</math>:<br />
<br />
<br />
<math><br />
20=s \cdot480{,}8-t \cdot400 </math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Nun subtrahiere die zweite Zeile von der ersten Zeile:<br />
<br />
<br />
<math><br />
-30=s \cdot{-}1{,}2 </math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
also folgt:<br />
<br />
<math><br />
25=s</math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Du erhälst also <math>s=25 </math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt und umformst, erhälst du:<br />
<math><br />
25=s</math><br />
<br />
<math><br />
30=t</math><br />
<br />
<math><br />
0=25 \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Setzen wir nun in die letzte Zeile <math>t=30</math> ein, so erhalten wir dort <math>0=0</math> und wissen damit, dass sich die Geraden schneiden.<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Anwendungen==</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=49716Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-05-18T06:54:50Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und<br />
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Darstellungsformen==<br />
<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{Box<br />
|Definition<br />
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g \colon \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.<br />
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. <br />
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.<br />
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. <br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: <br />
<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk|900}}<br />
<br />
<br />
Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter abhängt: <br />
<br />
<ggb_applet id="EfrTd7YR" width="900" height="500&quot;&quot;" border="888888" /><br />
<br />
<br />
<span style="color: Red"> ????''Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden <math>g</math> liegen, möglich.''????</span><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)<br />
|Bearbeite entweder die analoge Aufgabe (I) oder die digitale Aufgabe (II):<br />
<br />
(I) Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. <br />
<br />
'''a)''' <math>A(1|2|2), B(5|{-}4|7)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9), B(0|0|3)</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
(II) Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pc62b4ck318}}<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)<br />
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.<br />
<br />
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. <br />
|Tipp Aufgabe a) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''b)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wie könnte eine Geradengleichung der <math>x_1</math>-Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Punktprobe===<br />
<br />
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|1kJ9Nq8zXlI|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Punktprobe<br />
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 3: Punktprobe mit einer Geraden I<br />
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
<br />
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt für <math>t = -1</math>, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt nicht auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden II<br />
|Für welchen Wert <math>s </math> mit <math> s \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>? <br />
<br />
'''a)''' <math>P(13|3|0)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(12|{-}1|6{,}5)</math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = -1</math> mit <math>r = 2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 2{,}5</math> mit <math>r = 1{,}5</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Spurpunkte einer Geraden===<br />
<br />
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video.<br />
<br />
Falls du nicht mehr weißt, was die Koordinatenebenen sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: <br />
<br />
{{Lösung versteckt|<br />
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).<br />
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]<br />
|Tipp anzeigen<br />
|Tipp verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!<br />
|Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene. <br />
In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du <math>= 0</math> gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box <br />
|Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten<br />
|Gegeben ist die Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet (du kannnst es natürlich auch selbst versuchen und dann deine Lösung kontrollieren):<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 \neq 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Hervorhebung1<br />
}}<br />
<br />
Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:<br />
<br />
<ggb_applet id="KrHVKfjB" width="900" height="402" border="888888" /><br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 5: Spurpunkte einer Geraden I<br />
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Der Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene ist nicht vorhanden, da sich ein Widerspruch in der Gleichung ergibt.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 6: Geraden im Koordinatensystem<br />
|Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
==Lagebeziehungen von Geraden==<br />
<br />
====Parallele und identische Geraden====<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein. <br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.<br />
<br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|800px|rahmenlos|Identische Geraden]] <br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|links|rahmenlos|800px|Parallele Geraden]]<br />
<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 7: Lage erkennen|2= Betrachte die folgenden Geraden <math>g</math> und <math>h</math>. Wie verlaufen die Geraden zueinander? Erkläre, warum hier kaum gerechnet werden muss.<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
'''b)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> 2\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Stützvektoren identisch sind, weißt du, dass der Punkt <math>(2|2|5)</math> auf beiden Geraden liegt und somit die beiden Geraden ''identisch'' sind.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Aufpunkt <math>(2|2|2)</math> von der Gerade <math>h</math> nicht auf der Geraden von <math> h \colon \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <br />
<br />
<math><br />
2=1+r\cdot1<br />
<br />
2=1+r\cdot2<br />
<br />
2=1+r\cdot3<br />
</math><br />
Formen wir dies um zu r erhalten wir<br />
<br />
<math><br />
1=r\cdot1<br />
<br />
1=r\cdot2<br />
<br />
1=r\cdot3<br />
<br />
</math><br />
Formen wir weiter zu <math>r</math> um, erhalten wir<br />
<math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math> und damit liegt der Punkt nicht auf der Geraden.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Aufpunkt <math>(2|3|4)</math> der Geraden h auf der Geraden g liegt: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
====windschiefe und sich schneidene Geraden====<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.<br />
<br />
<br />
<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|800px|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|links|4000px|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 8: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander? Nenne, falls vorhanden, den Schnittpunkt. Damit es nicht zu viel zu berechnen gibt, kannst du sicher annehmen, dass kein Richtungsvektor der einen Gleichung kollinear zu einem anderen Richtungsvektor ist.<br />
<br />
'''a)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Dies erhält man, indem man beide Geradengleichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu <math>r</math> und <math>t</math> umformt:<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot5 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot4=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird:<br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot8=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<br />
<math><br />
-t\cdot3=0 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
erhälst du für <math>t=0</math>. Dies setzt du in der zweiten Zeile ein und erhälst <math>r=1</math>. In der untersten Zeile überprüfst du, ob die Ergebnisse stimmen. Setze dazu für <math>t</math> und <math>r</math> die Ergebnisse ein. Du erhälst <math>3=3</math>, was eine wahre Aussage ist. Daher schneiden sich die beiden Geraden.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Aufpunkt <math>(1|2|3)</math> selbst.|2=Lösung Aufgabe e b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies kannst du wie folgt berechnen.<br />
<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot1 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot1=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird <br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot2=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<math><br />
t\cdot2=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
erhälst du <math>t=1</math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt, erhälst du für <math>r=3</math>. Setzt du dies in die letzte Zeile ein, erhälst du <math>6=3</math>, eine falsche Aussage. Damit sind die beiden Geraden windschief zueinander.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 9: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 10: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 11: Flugerlaubnis erteilen?|2=<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es befindet sich bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und fliegt innerhalb von 5 Sekunden zum Punkt <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls ist das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies befindet sich in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120{,}2 \\ 96{,}4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Formel zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
'''b)''' Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann in verschiedene Einheiten angegeben werden, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
'''c)''' Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du, indem du folgendes berechnest:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies musst du in ein Gleichugssystem umformen und dies dann zu <math>x</math>,<math>y</math> und <math>z</math> auflösen:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5\cdot x </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5\cdot y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5 \cdot z </math><br />
<br />
Zunächst bringst du die Zahlen auf die andere Seite:<br />
<br />
<math><br />
500=5\cdot x </math><br />
<br />
<math><br />
400=5\cdot y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 5 \cdot z </math><br />
<br />
und formst dann zu x,y, und z um:<br />
<br />
<math><br />
100=x </math><br />
<br />
<math><br />
80=y </math><br />
<br />
<math><br />
70=z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du wie folgt:<br />
Du kennst den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun musst du <math>z</math> berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von <math>175{,}49</math> besitzt. Dies kannst du mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49=\sqrt[]{120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem du beide Seiten zum quadart nimmst, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49^{2}=120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Du formst zu <math>z^{2}</math> um und ziehst dann die Wurzel. Du erhälst gerundet <math>84</math>. <br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Du berechnest die Geschwindigkeit, indem du die Länge des Richtungsvektors berechnest. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<math> L=\sqrt[]{100^{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145{,}95}</math>. <br />
<br />
Du erhälst also eine Geschwindigkeit von <math>145{,}95</math> m/s. Es gilt: <math>3{,}6</math>km/h=1m/s. <br />
Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>145{,}95 \cdot3{,}6= 525{,}42</math> <br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>525{,}42</math>km/h.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt in einer Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von <math>175{,}49</math> m/s. Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>175{,}49 \cdot3{,}6= 631{,}76</math><br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>631{,}76</math>km/h.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot100=5+s \cdot120{,}2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot80=0+s \cdot96{,}4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t \cdot70=0+s \cdot84 </math><br />
<br />
Dies formst du um:<br />
<br />
<br />
<math><br />
5=s \cdot120{,}2-t \cdot100 </math><br />
<br />
<math><br />
10=s \cdot96{,}4 -t \cdot80</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
<br />
und du multiplizierst die erste Zeile mit <math>4</math>, die zweite Zeile mit <math>5</math>:<br />
<br />
<br />
<math><br />
20=s \cdot480{,}8-t \cdot400 </math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Nun subtrahiere die zweite Zeile von der ersten Zeile:<br />
<br />
<br />
<math><br />
-30=s \cdot{-}1{,}2 </math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
also folgt:<br />
<br />
<math><br />
25=s</math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Du erhälst also <math>s=25 </math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt und umformst, erhälst du:<br />
<math><br />
25=s</math><br />
<br />
<math><br />
30=t</math><br />
<br />
<math><br />
0=25 \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Setzen wir nun in die letzte Zeile <math>t=30</math> ein, so erhalten wir dort <math>0=0</math> und wissen damit, dass sich die Geraden schneiden.<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Anwendungen==</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=49714Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-05-18T06:47:19Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und<br />
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Darstellungsformen==<br />
<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{Box<br />
|Definition<br />
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g \colon \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.<br />
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. <br />
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.<br />
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. <br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: <br />
<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk|900}}<br />
<br />
<br />
Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter abhängt: <br />
<br />
<ggb_applet id="EfrTd7YR" width="900" height="500&quot;&quot;" border="888888" /><br />
<br />
<br />
<span style="color: Red"> ????''Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden <math>g</math> liegen, möglich.''????</span><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)<br />
|Bearbeite entweder die analoge Aufgabe (I) oder die digitale Aufgabe (II):<br />
<br />
(I) Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. <br />
<br />
'''a)''' <math>A(1|2|2), B(5|{-}4|7)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9), B(0|0|3)</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
(II) Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pc62b4ck318}}<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)<br />
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.<br />
<br />
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. <br />
|Tipp Aufgabe a) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''b)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wie könnte eine Geradengleichung der <math>x_1</math>-Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Punktprobe===<br />
<br />
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|1kJ9Nq8zXlI|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Punktprobe<br />
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 3: Punktprobe mit einer Geraden I<br />
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
<br />
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt für <math>t = -1</math>, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt nicht auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden II<br />
|Für welchen Wert <math>s </math> mit <math> s \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>? <br />
<br />
'''a)''' <math>P(13|3|0)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(12|{-}1|6{,}5)</math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = -1</math> mit <math>r = 2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 2{,}5</math> mit <math>r = 1{,}5</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Spurpunkte einer Geraden===<br />
<br />
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video.<br />
<br />
Falls du nicht mehr weißt, was die Koordinatenebenen sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: <br />
<br />
{{Lösung versteckt|<br />
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).<br />
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]<br />
|Tipp anzeigen<br />
|Tipp verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!<br />
|Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene. <br />
In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du <math>= 0</math> gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box <br />
|Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten<br />
|Gegeben ist die Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet (du kannnst es natürlich auch selbst versuchen und dann deine Lösung kontrollieren):<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 \neq 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Hervorhebung1<br />
}}<br />
<br />
Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:<br />
<br />
<ggb_applet id="KrHVKfjB" width="900" height="402" border="888888" /><br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 5: Spurpunkte einer Geraden I<br />
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Der Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene ist nicht vorhanden, da sich ein Widerspruch in der Gleichung ergibt.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 6: Geraden im Koordinatensystem<br />
|Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
==Lagebeziehungen von Geraden==<br />
<br />
====Parallele und identische Geraden====<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein. <br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.<br />
<br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|800px|rahmenlos|Identische Geraden]] <br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|links|rahmenlos|800px|Parallele Geraden]]<br />
<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 7: Lage erkennen|2= Betrachte die folgenden Geraden <math>g</math> und <math>h</math>. Wie verlaufen die Geraden zueinander? Erkläre, warum hier kaum gerechnet werden muss.<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
'''b)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> 2\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Stützvektoren identisch sind, weißt du, dass der Punkt <math>(2|2|5)</math> auf beiden Geraden liegt und somit die beiden Geraden ''identisch'' sind.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Aufpunkt <math>(2|2|2)</math> von der Gerade <math>h</math> nicht auf der Geraden von <math> h \colon \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <br />
<br />
<math><br />
2=1+r\cdot1<br />
<br />
2=1+r\cdot2<br />
<br />
2=1+r\cdot3<br />
</math><br />
Formen wir dies um zu r erhalten wir<br />
<br />
<math><br />
1=r\cdot1<br />
<br />
1=r\cdot2<br />
<br />
1=r\cdot3<br />
<br />
</math><br />
Formen wir weiter zu <math>r</math> um, erhalten wir<br />
<math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math> und damit liegt der Punkt nicht auf der Geraden.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Aufpunkt <math>(2|3|4)</math> der Geraden h auf der Geraden g liegt: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
====windschiefe und sich schneidene Geraden====<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.<br />
<br />
<br />
<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|800px|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|links|4000px|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 8: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander? Nenne, falls vorhanden, den Schnittpunkt. Damit es nicht zu viel zu berechnen gibt, kannst du sicher annehmen, dass kein Richtungsvektor der einen Gleichung kollinear zu einem anderen Richtungsvektor ist.<br />
<br />
'''a)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)'''<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Dies erhält man, indem man beide Geradengleichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu <math>r</math> und <math>t</math> umformt:<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot5 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot4=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird:<br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot8=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<br />
<math><br />
-t\cdot3=0 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
erhälst du für <math>t=0</math>. Dies setzt du in der zweiten Zeile ein und erhälst <math>r=1</math>. In der untersten Zeile überprüfst du, ob die Ergebnisse stimmen. Setze dazu für <math>t</math> und <math>r</math> die Ergebnisse ein. Du erhälst <math>3=3</math>, was eine wahre Aussage ist. Daher schneiden sich die beiden Geraden.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Aufpunkt <math>(1|2|3)</math> selbst.|2=Lösung Aufgabe e b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies kannst du wie folgt berechnen.<br />
<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot1 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot1=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit <math>2</math> multipliziert wird <br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot2=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<math><br />
t\cdot2=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
erhälst du <math>t=1</math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt, erhälst du für <math>r=3</math>. Setzt du dies in die letzte Zeile ein, erhälst du <math>6=3</math>, eine falsche Aussage. Damit sind die beiden Geraden windschief zueinander.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 9: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 10: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 11: Flugerlaubnis erteilen?|2=<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 5 Sekunden im Punkt <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120{,}2 \\ 96{,}4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Formel zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
'''b)''' Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann in verschiedene Einheiten angegeben werden, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
'''c)''' Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du, indem du folgendes berechnest:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies musst du in ein Gleichugssystem umformen und dies dann zu <math>x</math>,<math>y</math> und <math>z</math> auflösen:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5\cdot x </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5\cdot y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5 \cdot z </math><br />
<br />
Zunächst bringst du die Zahlen auf die andere Seite:<br />
<br />
<math><br />
500=5\cdot x </math><br />
<br />
<math><br />
400=5\cdot y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 5 \cdot z </math><br />
<br />
und formst dann zu x,y, und z um:<br />
<br />
<math><br />
100=x </math><br />
<br />
<math><br />
80=y </math><br />
<br />
<math><br />
70=z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Wobei <math>t</math> für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du wie folgt:<br />
Du kennst den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun musst du <math>z</math> berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von <math>175{,}49</math> besitzt. Dies kannst du mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49=\sqrt[]{120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem du beide Seiten zum quadart nimmst, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49^{2}=120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Du formst zu <math>z^{2}</math> um und ziehst dann die Wurzel. Du erhälst gerundet <math>84</math>. <br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Du berechnest die Geschwindigkeit, indem du die Länge des Richtungsvektors berechnest. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<math> L=\sqrt[]{100^{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145{,}95}</math>. <br />
<br />
Du erhälst also eine Geschwindigkeit von <math>145{,}95</math> m/s. Es gilt: <math>3{,}6</math>km/h=1m/s. <br />
Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>145{,}95 \cdot3{,}6= 525{,}42</math> <br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>525{,}42</math>km/h.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt in einer Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von <math>175{,}49</math> m/s. Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>175{,}49 \cdot3{,}6= 631{,}76</math><br />
<br />
also eine Geschwindigkeit von <math>631{,}76</math>km/h.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot100=5+s \cdot120{,}2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot80=0+s \cdot96{,}4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t \cdot70=0+s \cdot84 </math><br />
<br />
Dies formst du um:<br />
<br />
<br />
<math><br />
5=s \cdot120{,}2-t \cdot100 </math><br />
<br />
<math><br />
10=s \cdot96{,}4 -t \cdot80</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
<br />
und du multiplizierst die erste Zeile mit <math>4</math>, die zweite Zeile mit <math>5</math>:<br />
<br />
<br />
<math><br />
20=s \cdot480{,}8-t \cdot400 </math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Nun subtrahiere die zweite Zeile von der ersten Zeile:<br />
<br />
<br />
<math><br />
-30=s \cdot{-}1{,}2 </math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
also folgt:<br />
<br />
<math><br />
25=s</math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Du erhälst also <math>s=25 </math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt und umformst, erhälst du:<br />
<math><br />
25=s</math><br />
<br />
<math><br />
30=t</math><br />
<br />
<math><br />
0=25 \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Setzen wir nun in die letzte Zeile <math>t=30</math> ein, so erhalten wir dort <math>0=0</math> und wissen damit, dass sich die Geraden schneiden.<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Anwendungen==</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=49202Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-05-08T14:03:05Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und<br />
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Darstellungsformen==<br />
<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{Box<br />
|Definition<br />
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g \colon \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.<br />
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. <br />
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.<br />
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. <br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: <br />
<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk|900}}<br />
<br />
<br />
Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter abhängt: <br />
<br />
<ggb_applet id="EfrTd7YR" width="900" height="500&quot;&quot;" border="888888" /><br />
<br />
<br />
<span style="color: Red"> ????''Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden <math>g</math> liegen, möglich.''????</span><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)<br />
|Bearbeite entweder die analoge Aufgabe (I) oder die digitale Aufgabe (II):<br />
<br />
(I) Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. <br />
<br />
'''a)''' <math>A(1|2|2), B(5|{-}4|7)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9), B(0|0|3)</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
(II) Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pc62b4ck318}}<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)<br />
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.<br />
<br />
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. <br />
|Tipp Aufgabe a) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''b)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wie könnte eine Geradengleichung der <math>x_1</math>-Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Punktprobe===<br />
<br />
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|1kJ9Nq8zXlI|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Punktprobe<br />
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 3: Punktprobe mit einer Geraden I<br />
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
<br />
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt für <math>t = -1</math>, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt nicht auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden II<br />
|Für welchen Wert <math>s </math> mit <math> s \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>? <br />
<br />
'''a)''' <math>P(13|3|0)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(12|{-}1|6{,}5)</math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = -1</math> mit <math>r = 2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 2{,}5</math> mit <math>r = 1{,}5</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Spurpunkte einer Geraden===<br />
<br />
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video.<br />
<br />
Falls du nicht mehr weißt, was die Koordinatenebenen sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: <br />
<br />
{{Lösung versteckt|<br />
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).<br />
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]<br />
|Tipp anzeigen<br />
|Tipp verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!<br />
|Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene. <br />
In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du <math>= 0</math> gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box <br />
|Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten<br />
|Gegeben ist die Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet (du kannnst es natürlich auch selbst versuchen und dann deine Lösung kontrollieren):<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 \neq 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Hervorhebung1<br />
}}<br />
<br />
Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:<br />
<br />
<ggb_applet id="KrHVKfjB" width="900" height="402" border="888888" /><br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 5: Spurpunkte einer Geraden I<br />
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Der Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene ist nicht vorhanden, da sich ein Widerspruch in der Gleichung ergibt.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 6: Geraden im Koordinatensystem<br />
|Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
==Lagebeziehungen von Geraden==<br />
<br />
====Parallele und identische Geraden====<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein. <br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.<br />
<br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|800px|rahmenlos|Identische Geraden]] <br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|links|rahmenlos|800px|Parallele Geraden]]<br />
<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 7: Lage erkennen|2= Betrachte de folgenden Geraden g und h. Wie verlaufen die Geraden zueinander? Erkläre, warum hier kaum gerechnet werden muss.<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
'''b)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, liegt ein Punkt sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1 \colon \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
====windschiefe und sich schneidene Geraden====<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.<br />
<br />
<br />
<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|800px|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|links|4000px|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 8: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander? Nenne, falls vorhanden, den Schnittpunkt. Damit es nihct zu viel zu berechnen gibt, kannst du sicher annehmen, dass kein Richtungsvektor der einen Gleichung kollinear zu einem anderen Richtungsvektor ist.<br />
<br />
'''a)'''<math>g_1 \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2 \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)'''<math>h_1 \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2 \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)'''<math>i_1 \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2 \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Dies erhält man, indem man beide Geradengleiichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu r und t umformt:<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot5 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot4=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\ast2-t\ast5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit 2 multipliziert wird:<br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot8=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\ast2-t\ast5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<br />
<math><br />
-t\cdot3=0 </math><br />
<br />
<math><br />
r\ast2-t\ast5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
erhälst du für <math>t=0</math>. Dies setzt du in der zweiten Zeile ein und erhälst <math>r=1</math>. In der untersten Zeile überprüfst du, ob die Ergebnisse stimmen. Setze dazu für t und r die Ergebnisse ein. Du erhälst <math>3=3</math>, was eine wahre Aussage ist. Daher schneiden sich die beiden Geraden.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Ortsvektoren selbst.|2=Lösung Aufgabe e b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies kannst du wie folgt berechnen.<br />
<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot1 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot1=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit 2 multipliziert wird <br />
<br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot2=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<math><br />
t\cdot2=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
erhälst du <math>t=1</math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt, erhälst du für <math>r=3</math>. Setzt du dies in die letzte Zeile ein, erhälst du <math>6=3</math>, eine falsche Aussage. Damit sind die beiden Geraden windschief zueinander.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 9: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 10: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 11: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 5sek auf <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von <math>175{,}49</math>m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120{,}2 \\ 96{,}4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[2]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
'''b)''' Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann in verschiedene Einheiten angegeben werden, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
'''c)''' Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du, indem du folgendes berechnest:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies musst du in ein Gleichugssystem umformen und dies dann zu x,y und z auflösen:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5\cdot x </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5\cdot y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5 \cdot z </math><br />
<br />
Zunächst bringst du die Zahlen auf die andere Seite:<br />
<br />
<math><br />
500=5\cdot x </math><br />
<br />
<math><br />
400=5\cdot y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 5 \cdot z </math><br />
<br />
und formst dann zu x,y, und z um:<br />
<br />
<math><br />
100=x </math><br />
<br />
<math><br />
80=y </math><br />
<br />
<math><br />
70=z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du wie folgt:<br />
Du kennst den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun musst du z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von <math>175{,}49</math>m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von <math>175{,}49</math> beträgt. Dies kannst du mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49=\sqrt[2]{120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem du beide Seiten zum Quadart nimmst, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49^{2}=120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Du formst zu <math>z^{2}</math> um und ziehst dann die Wurzel. Du erhälst <math>183{,}998</math>, gerundet 184.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Du berechnest die Geschwindigkeit, indem du die Länge des Richtungsvektors berechnest. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<math> L=\sqrt[2]{100{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145{,}95}</math>. <br />
<br />
Du erhälst also eine Geschwindigkeit von <math>145{,}95</math> m/s. Es gilt: <math>3{,}6</math>km/h=1m/s. <br />
Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>145{,}95 \cdot3{,}6= 525{,}42</math><br />
<math>525{,}42</math>km/h.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt laut Text nach einer Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math>m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von <math>175{,}49</math>m/s.Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>175{,}49 \cdot3{,}6= 631{,}76</math><br />
<math>631{,}76</math>km/h.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot100=5+s \cdot120{,}2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot80=0+s \cdot96{,}4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t \cdot70=0+s \cdot84 </math><br />
<br />
Dies formst du um:<br />
<br />
<br />
<math><br />
5=s \cdot120{,}2-t \cdot100 </math><br />
<br />
<math><br />
10=s \cdot96{,}4 -t \cdot80</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
<br />
und du multiplizierst die erste Zeile mit 4, die zweite Zeile mit 5:<br />
<br />
<br />
<math><br />
20=s \cdot480{,}8-t \cdot400 </math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Nun subtrahiere die zweite Zeile von der ersten Zeile:<br />
<br />
<br />
<math><br />
-30=s \cdot{-}1{,}2 </math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
<br />
Du erhälst <math>s=25 </math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt und umformst, erhälst du <math>t=30</math>. Es folgt das Ergebis, dass sich die Flugbahn beider Flugzeuge schneiden. Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Anwendungen==</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=49201Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-05-08T13:44:58Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und<br />
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Darstellungsformen==<br />
<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{Box<br />
|Definition<br />
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g \colon \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.<br />
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. <br />
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.<br />
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. <br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: <br />
<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk|900}}<br />
<br />
<br />
Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter abhängt: <br />
<br />
<ggb_applet id="EfrTd7YR" width="900" height="500&quot;&quot;" border="888888" /><br />
<br />
<br />
<span style="color: Red"> ????''Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden <math>g</math> liegen, möglich.''????</span><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)<br />
|Bearbeite entweder die analoge Aufgabe (I) oder die digitale Aufgabe (II):<br />
<br />
(I) Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. <br />
<br />
'''a)''' <math>A(1|2|2), B(5|{-}4|7)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9), B(0|0|3)</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
(II) Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pc62b4ck318}}<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)<br />
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.<br />
<br />
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. <br />
|Tipp Aufgabe a) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''b)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wie könnte eine Geradengleichung der <math>x_1</math>-Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Punktprobe===<br />
<br />
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|1kJ9Nq8zXlI|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Punktprobe<br />
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 3: Punktprobe mit einer Geraden I<br />
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
<br />
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt für <math>t = -1</math>, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt nicht auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden II<br />
|Für welchen Wert <math>s </math> mit <math> s \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>? <br />
<br />
'''a)''' <math>P(13|3|0)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(12|{-}1|6{,}5)</math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = -1</math> mit <math>r = 2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 2{,}5</math> mit <math>r = 1{,}5</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Spurpunkte einer Geraden===<br />
<br />
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video.<br />
<br />
Falls du nicht mehr weißt, was die Koordinatenebenen sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: <br />
<br />
{{Lösung versteckt|<br />
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).<br />
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]<br />
|Tipp anzeigen<br />
|Tipp verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!<br />
|Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene. <br />
In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du <math>= 0</math> gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box <br />
|Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten<br />
|Gegeben ist die Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet (du kannnst es natürlich auch selbst versuchen und dann deine Lösung kontrollieren):<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 \neq 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Hervorhebung1<br />
}}<br />
<br />
Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:<br />
<br />
<ggb_applet id="KrHVKfjB" width="900" height="402" border="888888" /><br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 5: Spurpunkte einer Geraden I<br />
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Der Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene ist nicht vorhanden, da sich ein Widerspruch in der Gleichung ergibt.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 6: Geraden im Koordinatensystem<br />
|Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
==Lagebeziehungen von Geraden==<br />
<br />
====Parallele und identische Geraden====<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein. <br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.<br />
<br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|800px|rahmenlos|Identische Geraden]] <br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|links|rahmenlos|800px|Parallele Geraden]]<br />
<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 7: Lage erkennen|2= Betrachte de folgenden Geraden g und h. Wie verlaufen die Geraden zueinander? Erkläre, warum hier kaum gerechnet werden muss.<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
'''b)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, liegt ein Punkt sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1 \colon \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
====windschiefe und sich schneidene Geraden====<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.<br />
<br />
<br />
<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|800px|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|links|4000px|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 8: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander? Nenne, falls vorhanden, den Schnittpunkt. Damit es nihct zu viel zu berechnen gibt, kannst du sicher annehmen, dass kein Richtungsvektor der einen Gleichung kollinear zu einem anderen Richtungsvektor ist.<br />
<br />
'''a)'''<math>g_1 \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2 \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)'''<math>h_1 \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2 \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)'''<math>i_1 \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2 \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Dies erhält man, indem man beide Geradengleiichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu r und t umformt:<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot5 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot4=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\ast2-t\ast5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit 2 multipliziert wird:<br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot8=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\ast2-t\ast5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<math><br />
-t\cdot3=0 </math><br />
<br />
<math><br />
r\ast2-t\ast5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
erhälst du für <math>t=0</math>. Dies setzt du in der zweiten Zeile ein und erhälst <math>r=1</math>. In der untersten Zeile überprüfst du, ob die Ergebnisse stimmen. Setze dazu für t und r die Ergebnisse ein. Du erhälst <math>3=3</math>, was eine wahre Aussage ist. Daher schneiden sich die beiden Geraden.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Ortsvektoren selbst.|2=Lösung Aufgabe e b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies kannst du wie folgt berechnen.<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot1 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot1=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit 2 multipliziert wird <br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot2=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<math><br />
t\cdot2=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
erhälst du <math>t=1</math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt, erhälst du für <math>r=3</math>. Setzt du dies in die letzte Zeile ein, erhälst du <math>6=3</math>, eine falsche Aussage. Damit sind die beiden Geraden windschief zueinander.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 9: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 10: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 11: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 5sek auf <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von <math>175{,}49</math>m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120{,}2 \\ 96{,}4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[2]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
'''b)''' Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann in verschiedene Einheiten angegeben werden, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
'''c)''' Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du, indem du folgendes berechnest:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies musst du in ein Gleichugssystem umformen und dies dann zu x,y und z auflösen:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5\cdot x </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5\cdot y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5 \cdot z </math><br />
<br />
Zunächst bringst du die Zahlen auf die andere Seite:<br />
<math><br />
500=5\cdot x </math><br />
<br />
<math><br />
400=5\cdot y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 5 \cdot z </math><br />
<br />
und formst dann zu x,y, und z um:<br />
<br />
<math><br />
100=x </math><br />
<br />
<math><br />
80=y </math><br />
<br />
<math><br />
70=z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
Dies erhälst du wie folgt:<br />
Du kennst den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun musst du z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von <math>175{,}49</math>m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von <math>175{,}49</math> beträgt. Dies kannst du mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49=\sqrt[2]{120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem du beide Seiten zum Quadart nimmst, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49^{2}=120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Du formst zu <math>z^{2}</math> um und ziehst dann die Wurzel. Du erhälst <math>183{,}998</math>, gerundet 184.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Du berechnest die Geschwindigkeit, indem du die Länge des Richtungsvektors berechnest. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<math> L=\sqrt[2]{100{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145{,}95}</math>. <br />
<br />
Du erhälst also eine Geschwindigkeit von <math>145{,}95</math> m/s. Es gilt: <math>3{,}6</math>km/h=1m/s. <br />
Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>145{,}95 \cdot3{,}6= 525{,}42</math><br />
<math>525{,}42</math>km/h.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt laut Text nach einer Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math>m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von <math>175{,}49</math>m/s.Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>175{,}49 \cdot3{,}6= 631{,}76</math><br />
<math>631{,}76</math>km/h.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot100=5+s \cdot120{,}2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot80=0+s \cdot96{,}4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t \cdot70=0+s \cdot84 </math><br />
<br />
Dies formst du um:<br />
<math><br />
5=s \cdot120{,}2-t \cdot100 </math><br />
<br />
<math><br />
10=s \cdot96{,}4 -t \cdot80</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
<br />
und du multiplizierst die erste Zeile mit 4, die zweite Zeile mit 5:<br />
<math><br />
20=s \cdot480{,}8-t \cdot400 </math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Nun subtrahiere die zweite Zeile von der ersten Zeile:<br />
<math><br />
-30=s \cdot{-}1{,}2 </math><br />
<br />
<math><br />
50=s \cdot482 -t \cdot400</math><br />
<br />
<math><br />
0=s \cdot84 -t \cdot70</math><br />
<br />
Du erhälst <math>t=25 </math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt und umformst, erhälst du <math>s=30</math><br />
<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Anwendungen==</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=49200Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-05-08T12:55:14Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und<br />
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Darstellungsformen==<br />
<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{Box<br />
|Definition<br />
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g \colon \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.<br />
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. <br />
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.<br />
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. <br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: <br />
<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk|900}}<br />
<br />
<br />
Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter abhängt: <br />
<br />
<ggb_applet id="EfrTd7YR" width="900" height="500&quot;&quot;" border="888888" /><br />
<br />
<br />
<span style="color: Red"> ????''Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden <math>g</math> liegen, möglich.''????</span><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)<br />
|Bearbeite entweder die analoge Aufgabe (I) oder die digitale Aufgabe (II):<br />
<br />
(I) Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. <br />
<br />
'''a)''' <math>A(1|2|2), B(5|{-}4|7)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9), B(0|0|3)</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
(II) Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pc62b4ck318}}<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)<br />
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.<br />
<br />
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. <br />
|Tipp Aufgabe a) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''b)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wie könnte eine Geradengleichung der <math>x_1</math>-Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Punktprobe===<br />
<br />
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|1kJ9Nq8zXlI|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Punktprobe<br />
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 3: Punktprobe mit einer Geraden I<br />
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
<br />
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt für <math>t = -1</math>, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt nicht auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden II<br />
|Für welchen Wert <math>s </math> mit <math> s \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>? <br />
<br />
'''a)''' <math>P(13|3|0)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(12|{-}1|6{,}5)</math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = -1</math> mit <math>r = 2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 2{,}5</math> mit <math>r = 1{,}5</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Spurpunkte einer Geraden===<br />
<br />
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video.<br />
<br />
Falls du nicht mehr weißt, was die Koordinatenebenen sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: <br />
<br />
{{Lösung versteckt|<br />
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).<br />
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]<br />
|Tipp anzeigen<br />
|Tipp verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!<br />
|Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene. <br />
In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du <math>= 0</math> gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box <br />
|Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten<br />
|Gegeben ist die Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet (du kannnst es natürlich auch selbst versuchen und dann deine Lösung kontrollieren):<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 \neq 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Hervorhebung1<br />
}}<br />
<br />
Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:<br />
<br />
<ggb_applet id="KrHVKfjB" width="900" height="402" border="888888" /><br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 5: Spurpunkte einer Geraden I<br />
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Der Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene ist nicht vorhanden, da sich ein Widerspruch in der Gleichung ergibt.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 6: Geraden im Koordinatensystem<br />
|Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
==Lagebeziehungen von Geraden==<br />
<br />
====Parallele und identische Geraden====<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein. <br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.<br />
<br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|800px|rahmenlos|Identische Geraden]] <br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|links|rahmenlos|800px|Parallele Geraden]]<br />
<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 7: Lage erkennen|2= Betrachte de folgenden Geraden g und h. Wie verlaufen die Geraden zueinander? Erkläre, warum hier kaum gerechnet werden muss.<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
'''b)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, liegt ein Punkt sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1 \colon \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
====windschiefe und sich schneidene Geraden====<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.<br />
<br />
<br />
<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|800px|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|links|4000px|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 8: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander? Nenne, falls vorhanden, den Schnittpunkt. Damit es nihct zu viel zu berechnen gibt, kannst du sicher annehmen, dass kein Richtungsvektor der einen Gleichung kollinear zu einem anderen Richtungsvektor ist.<br />
<br />
'''a)'''<math>g_1 \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2 \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)'''<math>h_1 \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2 \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)'''<math>i_1 \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2 \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Dies erhält man, indem man beide Geradengleiichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu r und t umformt:<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot5 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot4=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\ast2-t\ast5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit 2 multipliziert wird:<br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot8=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\ast2-t\ast5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, <br />
<br />
<math><br />
-t\cdot3=0 </math><br />
<br />
<math><br />
r\ast2-t\ast5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
erhälst du für t= 0. Dies setzt du in der zweiten Zeile ein und erhälst r=1. In der untersten Zeile überprüfst du, ob die Ergebnisse stimmen. Setze dazu für t und r die Ergebnisse ein. Du erhälst 3=3, was eine ware Aussage ist.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Ortsvektoren selbst.|2=Lösung Aufgabe e b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies kannst du wie folgt berechnen.<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot1 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot1=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Wenn die erste Zeile mit 2 multipliziert wird und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird, erhälst du t= <math>\frac{1}{6}</math><br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 9: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 10: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 11: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 5sek auf <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von <math>175{,}49</math>m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120{,}2 \\ 96{,}4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
'''b)''' Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
'''c)''' Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5\cdot x </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5\cdot y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5 \cdot z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
Dies erhalten wir wie folgt:<br />
Wir kennen den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von <math>175{,}49</math>m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von <math>175{,}49</math> beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49=\sqrt[2]{120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49^{2}=120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten <math>183{,}998</math> und runden auf 84.<br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<math> L=\sqrt[2]{100{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145{,}95}</math>. <br />
<br />
Wir erhalten also eine Geschwindigkeit von <math>145{,}95</math> m/s. Es gilt: <math>3{,}6</math>km/h=1m/s. <br />
Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>145{,}95 \cdot3{,}6= 525{,}42</math><br />
<math>525{,}42</math>km/h.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt laut Text nach einer Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math>m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von <math>175{,}49</math>m/s.Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>175{,}49 \cdot3{,}6= 631{,}76</math><br />
<math>631{,}76</math>km/h.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot100=5+s \cdot120{,}2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot80=10+s \cdot96{,}4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t \cdot70=0+s \cdot84 </math><br />
<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Anwendungen==</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=49197Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-05-08T12:26:14Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und<br />
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Darstellungsformen==<br />
<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{Box<br />
|Definition<br />
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g \colon \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.<br />
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. <br />
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.<br />
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. <br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: <br />
<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk|900}}<br />
<br />
<br />
Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter abhängt: <br />
<br />
<ggb_applet id="EfrTd7YR" width="900" height="500&quot;&quot;" border="888888" /><br />
<br />
<br />
<span style="color: Red"> ????''Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden <math>g</math> liegen, möglich.''????</span><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)<br />
|Bearbeite entweder die analoge Aufgabe (I) oder die digitale Aufgabe (II):<br />
<br />
(I) Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. <br />
<br />
'''a)''' <math>A(1|2|2), B(5|{-}4|7)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9), B(0|0|3)</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
(II) Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pc62b4ck318}}<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)<br />
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.<br />
<br />
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. <br />
|Tipp Aufgabe a) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''b)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wie könnte eine Geradengleichung der <math>x_1</math>-Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Punktprobe===<br />
<br />
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|1kJ9Nq8zXlI|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Punktprobe<br />
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 3: Punktprobe mit einer Geraden I<br />
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
<br />
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1), g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt für <math>t = -1</math>, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt nicht auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden II<br />
|Für welchen Wert <math>s </math> mit <math> s \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>? <br />
<br />
'''a)''' <math>P(13|3|0)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(12|{-}1|6{,}5)</math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = -1</math> mit <math>r = 2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 2{,}5</math> mit <math>r = 1{,}5</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Spurpunkte einer Geraden===<br />
<br />
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video.<br />
<br />
Falls du nicht mehr weißt, was die Koordinatenebenen sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: <br />
<br />
{{Lösung versteckt|<br />
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).<br />
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]<br />
|Tipp anzeigen<br />
|Tipp verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!<br />
|Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene. <br />
In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du <math>= 0</math> gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box <br />
|Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten<br />
|Gegeben ist die Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet (du kannnst es natürlich auch selbst versuchen und dann deine Lösung kontrollieren):<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 \neq 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Hervorhebung1<br />
}}<br />
<br />
Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:<br />
<br />
<ggb_applet id="KrHVKfjB" width="900" height="402" border="888888" /><br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 5: Spurpunkte einer Geraden I<br />
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math> definiert durch <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Der Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene ist nicht vorhanden, da sich ein Widerspruch in der Gleichung ergibt.<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene anzeigen<br />
|Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 6: Geraden im Koordinatensystem<br />
|Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
==Lagebeziehungen von Geraden==<br />
<br />
====Parallele und identische Geraden====<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein. <br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.<br />
<br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|800px|rahmenlos|Identische Geraden]] <br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|links|rahmenlos|800px|Parallele Geraden]]<br />
<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 7: Lage erkennen|2= Betrachte de folgenden Geraden g und h. Wie verlaufen die Geraden zueinander? Erkläre, warum hier kaum gerechnet werden muss.<br />
<br />
'''a)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
'''b)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, liegt ein Punkt sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1 \colon \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
====windschiefe und sich schneidene Geraden====<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.<br />
<br />
<br />
<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|800px|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|links|4000px|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 8: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander? Nenne, falls vorhanden, den Schnittpunkt.<br />
<br />
'''a)'''<math>g_1 \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2 \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)'''<math>h_1 \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2 \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)'''<math>i_1 \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2 \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Dies erhält man, indem man beide Geradengelichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu r und t umformt:<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot5 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot4=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\ast2-t\ast5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Nehmen die erste Zeile mal 2, subtrahieren von der ersten Zeile die zweite Zeile und erhalen für t= 0 und r=1.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden''ich im Ortsvektoren selbst.|2=Lösung Aufgabe e b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen widaran<br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot1=2+t\cdot1 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot2=3+t\cdot4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r\cdot3=4+t\cdot3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r\cdot1-t\cdot1=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot2-t\cdot4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r\cdot3-t\cdot3=3 </math><br />
<br />
Nehmen die erste Zeile mal 2, subtrahieren von der ersten Zeile die zweite Zeile und erhalen für t= <math>\frac{1}{6}</math><br />
<br />
daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 9: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 10: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 11: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 5sek auf <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von <math>175{,}49</math>m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120{,}2 \\ 96{,}4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
'''b)''' Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
'''c)''' Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5\cdotx </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5\cdoty </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5 \cdotz </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
Dies erhalten wir wie folgt:<br />
Wir kennen den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von <math>175{,}49</math>m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von <math>175{,}49</math> beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49=\sqrt[2]{120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175{,}49^{2}=120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten <math>183{,}998</math> und runden auf 84.<br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<math> L=\sqrt[2]{100{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145{,}95}</math>. <br />
<br />
Wir erhalten also eine Geschwindigkeit von <math>145{,}95</math> m/s. Es gilt: <math>3{,}6</math>km/h=1m/s. <br />
Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>145{,}95 \cdot3{,}6= 525{,}42</math><br />
<math>525{,}42</math>km/h.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt laut Text nach einer Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math>m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von <math>175{,}49</math>m/s.Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>175{,}49 \cdot3{,}6= 631{,}76</math><br />
<math>631{,}76</math>km/h.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot100=5+s \cdot120{,}2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t \cdot80=10+s \cdot96{,}4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t \cdot70=0+s \cdot84 </math><br />
<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Anwendungen==</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=48197Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-04-29T09:19:56Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und<br />
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Darstellungsformen==<br />
<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{Box<br />
|Definition<br />
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g: \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.<br />
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. <br />
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.<br />
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. <br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: <br />
<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk|900}}<br />
<br />
<br />
Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter abhängt: <br />
<br />
<ggb_applet id="EfrTd7YR" width="900" height="500&quot;&quot;" border="888888" /><br />
<br />
<br />
<span style="color: Red"> ????''Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden <math>g</math> liegen, möglich.''????</span><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)<br />
|Wähle eine der beiden Aufgaben aus:<br />
<br />
1. Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. <br />
<br />
'''a)''' <math>A(1|2|2)</math>, <math>B(5|{-}4|7)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9)</math>, <math>B(0|0|3)</math><br />
<br />
'''c)''' <math>A(7|{-}2|7)</math>, <math>B(1|1|1)</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
2. Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pc62b4ck318}}<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)<br />
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.<br />
<br />
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. <br />
|Tipp Aufgabe a) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''b)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wie könnte eine Geradengleichung der <math>x_1</math>-Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 3: Geraden im Koordinatensystem<br />
|Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}<br />
<br />
Falls du nicht mehr weißt, was die <math>x_1x_2</math>-, <math>x_1x_3</math>- und <math>x_2x_3</math>-Ebene sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: <br />
<br />
{{Lösung versteckt|<br />
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).<br />
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]<br />
|Tipp anzeigen<br />
|Tipp verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
===Punktprobe===<br />
<br />
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|1kJ9Nq8zXlI|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Punktprobe<br />
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden I<br />
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
<br />
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt für <math>t = -1</math>, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt nicht auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 5: Punktprobe mit einer Geraden II<br />
|Für welchen Wert <math>s </math> mit <math> s \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math>? <br />
<br />
'''a)''' <math>P(-9|{-}12|{-}11)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(12|{-}1|6,5)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)''' <math>P(4|{-}11|{-}7)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2s \\ -3s \\ -s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 5</math> mit <math>r = -2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 2,5</math> mit <math>r = 1,5</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 3</math> mit <math>r = -2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Spurpunkte einer Geraden===<br />
<br />
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!<br />
|Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene. <br />
In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du <math>= 0</math> gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box <br />
|Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten<br />
|Gegeben ist die Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet:<br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math><br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 \neq 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.<br />
|Hervorhebung1<br />
}}<br />
<br />
Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:<br />
<br />
<ggb_applet id="KrHVKfjB" width="900" height="402" border="888888" /><br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 6: Spurpunkte einer Geraden I<br />
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math> definiert durch <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} ... \\ ... \\ ... \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} ... \\ ... \\ ... \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|... <br />
|Lösung anzeigen<br />
|Lösung verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Lagebeziehungen von Geraden==<br />
<br />
====Parallele und identische Geraden====<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein. <br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.<br />
<br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|800px|rahmenlos|Identische Geraden]] <br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|links|rahmenlos|800px|Parallele Geraden]]<br />
<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 7: Lage erkennen|2= Betrachte de folgenden Geraden g und h. Wie verlaufen die Geraden zueinander? Erkläre, warum hier kaum gerechnet werden muss.<br />
<br />
'''a)''' <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
'''b)''' <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)''' <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, liegt ein Punkt sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
====windschiefe und sich schneidene Geraden====<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.<br />
<br />
<br />
<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|800px|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|links|4000px|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 8: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander? Nenne, falls vorhanden, den Schnittpunkt.<br />
<br />
'''a)'''<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)'''<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)'''<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Dies erhält man, indem man beide Geradengelichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu r und t umformt:<br />
<br />
<math><br />
1+r*1=2+t*4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*2=3+t*5 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*3=4+t*3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r*1-t*4=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r*2-t*5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r*3-t*3=3 </math><br />
<br />
Nehmen die erste Zeile mal 2, subtrahieren von der ersten Zeile die zweite Zeile und erhalen für t= 0 und r=1.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden''ich im Ortsvektoren selbst.|2=Lösung Aufgabe e b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen widaran<br />
<br />
<math><br />
1+r*1=2+t*1 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*2=3+t*4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*3=4+t*3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r*1-t*1=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r*2-t*4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r*3-t*3=3 </math><br />
<br />
Nehmen die erste Zeile mal 2, subtrahieren von der ersten Zeile die zweite Zeile und erhalen für t= 1/6<br />
<br />
daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 9: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 10: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 11: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 5sek auf <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 175,49m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120,2 \\ 96,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
'''b)''' Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
'''c)''' Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5*x </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5*y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5*z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
Dies erhalten wir wie folgt:<br />
Wir kennen den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 175,49m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 175,49 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175,49=\sqrt[2]{120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175,49^{2}=120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 83,998 und runden auf 84.<br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<math> L=\sqrt[2]{100{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145,95}</math>. <br />
<br />
Wir erhalten also eine Geschwindigkeit von 145,95 m/s. Es gilt: 3,6km/h=1m/s. <br />
Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>145,95*3,6= 525,42</math><br />
525,42km/h.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt laut Text nach einer Sekunde eine Strecke von 175,49m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von 175,49m/s.Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>175,49*3,6= 631,76</math><br />
631,76km/h.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t*100=5+s*120,2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t*80=10+s*96,4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t*70=0+s*84 </math><br />
<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Anwendungen==</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=48194Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-04-29T09:03:30Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und<br />
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Darstellungsformen==<br />
<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{Box<br />
|Definition<br />
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g: \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.<br />
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. <br />
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.<br />
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. <br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: <br />
<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk|900}}<br />
<br />
<br />
Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter abhängt: <br />
<br />
<ggb_applet id="EfrTd7YR" width="900" height="500&quot;&quot;" border="888888" /><br />
<br />
<br />
<span style="color: Red"> ????''Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden <math>g</math> liegen, möglich.''????</span><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)<br />
|Wähle eine der beiden Aufgaben aus:<br />
<br />
1. Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. <br />
<br />
'''a)''' <math>A(1|2|2)</math>, <math>B(5|{-}4|7)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9)</math>, <math>B(0|0|3)</math><br />
<br />
'''c)''' <math>A(7|{-}2|7)</math>, <math>B(1|1|1)</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
2. Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pc62b4ck318}}<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)<br />
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.<br />
<br />
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. <br />
|Tipp Aufgabe a) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''b)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wie könnte eine Geradengleichung der <math>x_1</math>-Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 3: Geraden im Koordinatensystem<br />
|Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}<br />
<br />
Falls du nicht mehr weißt, was die <math>x_1x_2</math>-, <math>x_1x_3</math>- und <math>x_2x_3</math>-Ebene sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: <br />
<br />
{{Lösung versteckt|<br />
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).<br />
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]<br />
|Tipp anzeigen<br />
|Tipp verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
===Punktprobe===<br />
<br />
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|1kJ9Nq8zXlI|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Punktprobe<br />
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden I<br />
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
<br />
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt für <math>t = -1</math>, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt nicht auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 5: Punktprobe mit einer Geraden II<br />
|Für welchen Wert <math>s </math> mit <math> s \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math>? <br />
<br />
'''a)''' <math>P(-9|{-}12|{-}11)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(12|{-}1|6,5)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)''' <math>P(4|{-}11|{-}7)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2s \\ -3s \\ -s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 5</math> mit <math>r = -2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 2,5</math> mit <math>r = 1,5</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 3</math> mit <math>r = -2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Spurpunkte einer Geraden===<br />
<br />
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!<br />
|Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene. <br />
In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du <math>= 0</math> gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box <br />
|Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten<br />
|Gegeben ist die Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet:<br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math><br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 \neq 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.<br />
|Hervorhebung1<br />
}}<br />
<br />
Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:<br />
<br />
<ggb_applet id="KrHVKfjB" width="900" height="402" border="888888" /><br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 6: Spurpunkte einer Geraden I<br />
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math> definiert durch <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} ... \\ ... \\ ... \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} ... \\ ... \\ ... \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|... <br />
|Lösung anzeigen<br />
|Lösung verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Lagebeziehungen von Geraden==<br />
<br />
====Parallele und identische Geraden====<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein. <br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.<br />
<br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|800px|rahmenlos|Identische Geraden]]<br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|links|800px|rahmenlos|Parallele Geraden]]<br />
<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 7: Lage erkennen|2= Betrachte de folgenden Geraden g und h. Wie verlaufen die Geraden zueinander? Erkläre, warum hier kaum gerechnet werden muss.<br />
<br />
'''a)''' <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
'''b)''' <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)''' <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, liegt ein Punkt sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
====windschiefe und sich schneidene Geraden====<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.<br />
<br />
<br />
<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|mitte|600px|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|links|6000px|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 8: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander? Nenne, falls vorhanden, den Schnittpunkt.<br />
<br />
'''a)'''<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)'''<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)'''<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Dies erhält man, indem man beide Geradengelichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu r und t umformt:<br />
<br />
<math><br />
1+r*1=2+t*4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*2=3+t*5 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*3=4+t*3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r*1-t*4=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r*2-t*5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r*3-t*3=3 </math><br />
<br />
Nehmen die erste Zeile mal 2, subtrahieren von der ersten Zeile die zweite Zeile und erhalen für t= 0 und r=1.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden''ich im Ortsvektoren selbst.|2=Lösung Aufgabe e b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen widaran<br />
<br />
<math><br />
1+r*1=2+t*1 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*2=3+t*4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*3=4+t*3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r*1-t*1=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r*2-t*4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r*3-t*3=3 </math><br />
<br />
Nehmen die erste Zeile mal 2, subtrahieren von der ersten Zeile die zweite Zeile und erhalen für t= 1/6<br />
<br />
daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 9: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 10: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 11: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 5sek auf <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 175,49m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120,2 \\ 96,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
'''b)''' Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
'''c)''' Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5*x </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5*y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5*z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
Dies erhalten wir wie folgt:<br />
Wir kennen den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 175,49m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 175,49 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175,49=\sqrt[2]{120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175,49^{2}=120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 83,998 und runden auf 84.<br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<math> L=\sqrt[2]{100{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145,95}</math>. <br />
<br />
Wir erhalten also eine Geschwindigkeit von 145,95 m/s. Es gilt: 3,6km/h=1m/s. <br />
Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>145,95*3,6= 525,42</math><br />
525,42km/h.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt laut Text nach einer Sekunde eine Strecke von 175,49m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von 175,49m/s.Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>175,49*3,6= 631,76</math><br />
631,76km/h.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t*100=5+s*120,2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t*80=10+s*96,4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t*70=0+s*84 </math><br />
<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Anwendungen==</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=48192Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-04-29T08:48:43Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und<br />
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Darstellungsformen==<br />
<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{Box<br />
|Definition<br />
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g: \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.<br />
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. <br />
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.<br />
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. <br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: <br />
<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk|900}}<br />
<br />
<br />
Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter abhängt: <br />
<br />
<ggb_applet id="EfrTd7YR" width="900" height="500&quot;&quot;" border="888888" /><br />
<br />
<br />
<span style="color: Red"> ????''Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden <math>g</math> liegen, möglich.''????</span><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)<br />
|Wähle eine der beiden Aufgaben aus:<br />
<br />
1. Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. <br />
<br />
'''a)''' <math>A(1|2|2)</math>, <math>B(5|{-}4|7)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9)</math>, <math>B(0|0|3)</math><br />
<br />
'''c)''' <math>A(7|{-}2|7)</math>, <math>B(1|1|1)</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
2. Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pc62b4ck318}}<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)<br />
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.<br />
<br />
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. <br />
|Tipp Aufgabe a) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''b)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wie könnte eine Geradengleichung der <math>x_1</math>-Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 3: Geraden im Koordinatensystem<br />
|Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}<br />
<br />
Falls du nicht mehr weißt, was die <math>x_1x_2</math>-, <math>x_1x_3</math>- und <math>x_2x_3</math>-Ebene sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: <br />
<br />
{{Lösung versteckt|<br />
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).<br />
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]<br />
|Tipp anzeigen<br />
|Tipp verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
===Punktprobe===<br />
<br />
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|1kJ9Nq8zXlI|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Punktprobe<br />
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden I<br />
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
<br />
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt für <math>t = -1</math>, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt nicht auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 5: Punktprobe mit einer Geraden II<br />
|Für welchen Wert <math>s </math> mit <math> s \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math>? <br />
<br />
'''a)''' <math>P(-9|{-}12|{-}11)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(12|{-}1|6,5)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)''' <math>P(4|{-}11|{-}7)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2s \\ -3s \\ -s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 5</math> mit <math>r = -2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 2,5</math> mit <math>r = 1,5</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 3</math> mit <math>r = -2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Spurpunkte einer Geraden===<br />
<br />
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!<br />
|Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene. <br />
In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du <math>= 0</math> gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box <br />
|Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten<br />
|Gegeben ist die Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet:<br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math><br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 \neq 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.<br />
|Hervorhebung1<br />
}}<br />
<br />
Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:<br />
<br />
<ggb_applet id="KrHVKfjB" width="900" height="402" border="888888" /><br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 6: Spurpunkte einer Geraden I<br />
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math> definiert durch <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} ... \\ ... \\ ... \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} ... \\ ... \\ ... \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|... <br />
|Lösung anzeigen<br />
|Lösung verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Lagebeziehungen von Geraden==<br />
<br />
====Parallele und identische Geraden====<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein. <br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|600px|rahmenlos|Identische Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|links|600px|rahmenlos|Parallele Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 7: Lage erkennen|2= Betrachte de folgenden Geraden g und h. Wie verlaufen die Geraden zueinander? Erkläre, warum hier kaum gerechnet werden muss.<br />
<br />
'''a)''' <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
'''b)''' <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)''' <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, liegt ein Punkt sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
====windschiefe und sich schneidene Geraden====<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.<br />
<br />
<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|600px|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
<br />
<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|links|6000px|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 8: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander? Nenne, falls vorhanden, den Schnittpunkt.<br />
<br />
'''a)'''<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)'''<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)'''<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Dies erhält man, indem man beide Geradengelichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu r und t umformt:<br />
<br />
<math><br />
1+r*1=2+t*4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*2=3+t*5 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*3=4+t*3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r*1-t*4=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r*2-t*5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r*3-t*3=3 </math><br />
<br />
Nehmen die erste Zeile mal 2, subtrahieren von der ersten Zeile die zweite Zeile und erhalen für t= 0 und r=1.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden''ich im Ortsvektoren selbst.|2=Lösung Aufgabe e b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen widaran<br />
<br />
<math><br />
1+r*1=2+t*1 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*2=3+t*4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*3=4+t*3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r*1-t*1=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r*2-t*4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r*3-t*3=3 </math><br />
<br />
Nehmen die erste Zeile mal 2, subtrahieren von der ersten Zeile die zweite Zeile und erhalen für t= 1/6<br />
<br />
daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 9: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 10: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 11: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 5sek auf <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 175,49m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120,2 \\ 96,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
'''b)''' Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
'''c)''' Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5*x </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5*y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5*z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
Dies erhalten wir wie folgt:<br />
Wir kennen den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 175,49m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 175,49 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175,49=\sqrt[2]{120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175,49^{2}=120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 83,998 und runden auf 84.<br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<math> L=\sqrt[2]{100{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145,95}</math>. <br />
<br />
Wir erhalten also eine Geschwindigkeit von 145,95 m/s. Es gilt: 3,6km/h=1m/s. <br />
Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>145,95*3,6= 525,42</math><br />
525,42km/h.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt laut Text nach einer Sekunde eine Strecke von 175,49m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von 175,49m/s.Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>175,49*3,6= 631,76</math><br />
631,76km/h.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t*100=5+s*120,2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t*80=10+s*96,4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t*70=0+s*84 </math><br />
<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Anwendungen==</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=48190Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-04-29T08:11:30Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und<br />
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Darstellungsformen==<br />
<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{Box<br />
|Definition<br />
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g: \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.<br />
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. <br />
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.<br />
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. <br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: <br />
<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk|900}}<br />
<br />
<br />
Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter abhängt: <br />
<br />
<ggb_applet id="EfrTd7YR" width="900" height="500&quot;&quot;" border="888888" /><br />
<br />
<br />
<span style="color: Red"> ????''Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden <math>g</math> liegen, möglich.''????</span><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)<br />
|Wähle eine der beiden Aufgaben aus:<br />
<br />
1. Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. <br />
<br />
'''a)''' <math>A(1|2|2)</math>, <math>B(5|{-}4|7)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9)</math>, <math>B(0|0|3)</math><br />
<br />
'''c)''' <math>A(7|{-}2|7)</math>, <math>B(1|1|1)</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
2. Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pc62b4ck318}}<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)<br />
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.<br />
<br />
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. <br />
|Tipp Aufgabe a) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''b)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wie könnte eine Geradengleichung der <math>x_1</math>-Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 3: Geraden im Koordinatensystem<br />
|Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}<br />
<br />
Falls du nicht mehr weißt, was die <math>x_1x_2</math>-, <math>x_1x_3</math>- und <math>x_2x_3</math>-Ebene sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: <br />
<br />
{{Lösung versteckt|<br />
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).<br />
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]<br />
|Tipp anzeigen<br />
|Tipp verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
===Punktprobe===<br />
<br />
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|1kJ9Nq8zXlI|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Punktprobe<br />
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden I<br />
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
<br />
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt für <math>t = -1</math>, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt nicht auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 5: Punktprobe mit einer Geraden II<br />
|Für welchen Wert <math>s </math> mit <math> s \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math>? <br />
<br />
'''a)''' <math>P(-9|{-}12|{-}11)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(12|{-}1|6,5)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)''' <math>P(4|{-}11|{-}7)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2s \\ -3s \\ -s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 5</math> mit <math>r = -2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 2,5</math> mit <math>r = 1,5</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 3</math> mit <math>r = -2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Spurpunkte einer Geraden===<br />
<br />
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!<br />
|Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene. <br />
In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du <math>= 0</math> gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box <br />
|Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten<br />
|Gegeben ist die Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet:<br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math><br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 \neq 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.<br />
|Hervorhebung1<br />
}}<br />
<br />
Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:<br />
<br />
<ggb_applet id="KrHVKfjB" width="900" height="402" border="888888" /><br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 6: Spurpunkte einer Geraden I<br />
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math> definiert durch <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} ... \\ ... \\ ... \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} ... \\ ... \\ ... \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|... <br />
|Lösung anzeigen<br />
|Lösung verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Lagebeziehungen von Geraden==<br />
<br />
====Parallele und identische Geraden====<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein. <br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|600px|rahmenlos|Identische Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|mitte|600px|rahmenlos|Parallele Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 7: Lage erkennen|2= Betrachte de folgenden Geraden g und h. Wie verlaufen die Geraden zueinander? Erkläre, warum hier kaum gerechnet werden muss.<br />
<br />
'''a)''' <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
'''b)''' <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)''' <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, liegt ein Punkt sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
====windschiefe und sich schneidene Geraden====<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.<br />
<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|600px|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|mitte|6000px|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 8: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
'''a)'''<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)'''<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)'''<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Dies erhält man, indem man beide Geradengelichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu r und t umformt:<br />
<br />
<math><br />
1+r*1=2+t*4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*2=3+t*5 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*3=4+t*3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r*1-t*4=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r*2-t*5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r*3-t*3=3 </math><br />
<br />
Nehmen die erste Zeile mal 2, subtrahieren von der ersten Zeile die zweite Zeile und erhalen für t= 0 und r=1.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden''ich im Ortsvektoren selbst.|2=Lösung Aufgabe e b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen widaran<br />
<br />
<math><br />
1+r*1=2+t*1 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*2=3+t*4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*3=4+t*3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r*1-t*1=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r*2-t*4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r*3-t*3=3 </math><br />
<br />
Nehmen die erste Zeile mal 2, subtrahieren von der ersten Zeile die zweite Zeile und erhalen für t= 1/6<br />
<br />
daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 9: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 10: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 11: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 5sek auf <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 175,49m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120,2 \\ 96,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
'''b)''' Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
'''c)''' Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5*x </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5*y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5*z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
Dies erhalten wir wie folgt:<br />
Wir kennen den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 175,49m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 175,49 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175,49=\sqrt[2]{120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175,49^{2}=120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 83,998 und runden auf 84.<br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<math> L=\sqrt[2]{100{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145,95}</math>. <br />
<br />
Wir erhalten also eine Geschwindigkeit von 145,95 m/s. Es gilt: 3,6km/h=1m/s. <br />
Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>145,95*3,6= 525,42</math><br />
525,42km/h.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt laut Text nach einer Sekunde eine Strecke von 175,49m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von 175,49m/s.Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>175,49*3,6= 631,76</math><br />
631,76km/h.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t*100=5+s*120,2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t*80=10+s*96,4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t*70=0+s*84 </math><br />
<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Anwendungen==</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=48189Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-04-29T08:10:06Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und<br />
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Darstellungsformen==<br />
<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{Box<br />
|Definition<br />
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g: \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.<br />
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. <br />
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.<br />
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. <br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: <br />
<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk|900}}<br />
<br />
<br />
Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter abhängt: <br />
<br />
<ggb_applet id="EfrTd7YR" width="900" height="500&quot;&quot;" border="888888" /><br />
<br />
<br />
<span style="color: Red"> ????''Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden <math>g</math> liegen, möglich.''????</span><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)<br />
|Wähle eine der beiden Aufgaben aus:<br />
<br />
1. Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. <br />
<br />
'''a)''' <math>A(1|2|2)</math>, <math>B(5|{-}4|7)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9)</math>, <math>B(0|0|3)</math><br />
<br />
'''c)''' <math>A(7|{-}2|7)</math>, <math>B(1|1|1)</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
2. Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pc62b4ck318}}<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)<br />
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.<br />
<br />
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. <br />
|Tipp Aufgabe a) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''b)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wie könnte eine Geradengleichung der <math>x_1</math>-Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 3: Geraden im Koordinatensystem<br />
|Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}<br />
<br />
Falls du nicht mehr weißt, was die <math>x_1x_2</math>-, <math>x_1x_3</math>- und <math>x_2x_3</math>-Ebene sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: <br />
<br />
{{Lösung versteckt|<br />
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).<br />
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]<br />
|Tipp anzeigen<br />
|Tipp verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
===Punktprobe===<br />
<br />
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|1kJ9Nq8zXlI|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Punktprobe<br />
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden I<br />
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
<br />
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt für <math>t = -1</math>, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt nicht auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 5: Punktprobe mit einer Geraden II<br />
|Für welchen Wert <math>s </math> mit <math> s \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math>? <br />
<br />
'''a)''' <math>P(-9|{-}12|{-}11)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(12|{-}1|6,5)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)''' <math>P(4|{-}11|{-}7)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2s \\ -3s \\ -s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 5</math> mit <math>r = -2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 2,5</math> mit <math>r = 1,5</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 3</math> mit <math>r = -2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Spurpunkte einer Geraden===<br />
<br />
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!<br />
|Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene. <br />
In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du <math>= 0</math> gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box <br />
|Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten<br />
|Gegeben ist die Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet:<br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math><br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 \neq 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.<br />
|Hervorhebung1<br />
}}<br />
<br />
Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:<br />
<br />
<ggb_applet id="KrHVKfjB" width="900" height="402" border="888888" /><br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 6: Spurpunkte einer Geraden I<br />
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math> definiert durch <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} ... \\ ... \\ ... \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} ... \\ ... \\ ... \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|... <br />
|Lösung anzeigen<br />
|Lösung verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Lagebeziehungen von Geraden==<br />
<br />
====Parallele und identische Geraden====<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein. <br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|600px|rahmenlos|Identische Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|mitte|600px|rahmenlos|Parallele Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 7: Lage erkennen|2= Betrachte de folgenden Geraden g und h. Wie verlaufen die Geraden zueinander? Erkläre, warum hier kaum gerechnet werden muss.<br />
<br />
'''a)''' <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
'''b)''' <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)''' <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, liegt ein Punkt sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
====windschiefe und sich schneidene Geraden====<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.<br />
<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|600px|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|mitte|6000px|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 8: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
'''a)'''<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)'''<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)'''<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Dies erhält man, indem man beide Geradengelichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu r und t umformt:<br />
<br />
<math><br />
1+r*1=2+t*4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*2=3+t*5 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*3=4+t*3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r*1-t*4=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r*2-t*5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r*3-t*3=3 </math><br />
<br />
Nehmen die erste Zeile mal 2, subtrahieren von der ersten Zeile die zweite Zeile und erhalen für t= 0 und r=1.<br />
<br />
|2=2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden''ich im Ortsvektoren selbst.|2=Lösung Aufgabe e b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen widaran<br />
<br />
<math><br />
1+r*1=2+t*1 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*2=3+t*4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*3=4+t*3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r*1-t*1=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r*2-t*4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r*3-t*3=3 </math><br />
<br />
Nehmen die erste Zeile mal 2, subtrahieren von der ersten Zeile die zweite Zeile und erhalen für t= 1/6<br />
<br />
daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 9: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 10: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 11: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 5sek auf <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 175,49m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120,2 \\ 96,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
'''b)''' Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
'''c)''' Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5*x </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5*y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5*z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
Dies erhalten wir wie folgt:<br />
Wir kennen den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 175,49m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 175,49 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175,49=\sqrt[2]{120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175,49^{2}=120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 83,998 und runden auf 84.<br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<math> L=\sqrt[2]{100{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145,95}</math>. <br />
<br />
Wir erhalten also eine Geschwindigkeit von 145,95 m/s. Es gilt: 3,6km/h=1m/s. <br />
Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>145,95*3,6= 525,42</math><br />
525,42km/h.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt laut Text nach einer Sekunde eine Strecke von 175,49m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von 175,49m/s.Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>175,49*3,6= 631,76</math><br />
631,76km/h.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t*100=5+s*120,2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t*80=10+s*96,4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t*70=0+s*84 </math><br />
<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Anwendungen==</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=48188Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-04-29T08:07:42Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und<br />
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Darstellungsformen==<br />
<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{Box<br />
|Definition<br />
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g: \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.<br />
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. <br />
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.<br />
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. <br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: <br />
<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk|900}}<br />
<br />
<br />
Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter abhängt: <br />
<br />
<ggb_applet id="EfrTd7YR" width="900" height="500&quot;&quot;" border="888888" /><br />
<br />
<br />
<span style="color: Red"> ????''Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden <math>g</math> liegen, möglich.''????</span><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)<br />
|Wähle eine der beiden Aufgaben aus:<br />
<br />
1. Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. <br />
<br />
'''a)''' <math>A(1|2|2)</math>, <math>B(5|{-}4|7)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9)</math>, <math>B(0|0|3)</math><br />
<br />
'''c)''' <math>A(7|{-}2|7)</math>, <math>B(1|1|1)</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
2. Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pc62b4ck318}}<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)<br />
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.<br />
<br />
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. <br />
|Tipp Aufgabe a) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''b)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wie könnte eine Geradengleichung der <math>x_1</math>-Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 3: Geraden im Koordinatensystem<br />
|Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}<br />
<br />
Falls du nicht mehr weißt, was die <math>x_1x_2</math>-, <math>x_1x_3</math>- und <math>x_2x_3</math>-Ebene sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: <br />
<br />
{{Lösung versteckt|<br />
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).<br />
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]<br />
|Tipp anzeigen<br />
|Tipp verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
===Punktprobe===<br />
<br />
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|1kJ9Nq8zXlI|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Punktprobe<br />
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden I<br />
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
<br />
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt für <math>t = -1</math>, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt nicht auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 5: Punktprobe mit einer Geraden II<br />
|Für welchen Wert <math>s </math> mit <math> s \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math>? <br />
<br />
'''a)''' <math>P(-9|{-}12|{-}11)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(12|{-}1|6,5)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)''' <math>P(4|{-}11|{-}7)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2s \\ -3s \\ -s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 5</math> mit <math>r = -2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 2,5</math> mit <math>r = 1,5</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 3</math> mit <math>r = -2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Spurpunkte einer Geraden===<br />
<br />
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!<br />
|Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene. <br />
In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du <math>= 0</math> gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box <br />
|Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten<br />
|Gegeben ist die Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet:<br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math><br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 \neq 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.<br />
|Hervorhebung1<br />
}}<br />
<br />
Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:<br />
<br />
<ggb_applet id="KrHVKfjB" width="900" height="402" border="888888" /><br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 6: Spurpunkte einer Geraden I<br />
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math> definiert durch <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} ... \\ ... \\ ... \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} ... \\ ... \\ ... \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|... <br />
|Lösung anzeigen<br />
|Lösung verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Lagebeziehungen von Geraden==<br />
<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit der Lagebeziehung von Geraden im Raum.<br />
|3= Merksatz}}<br />
====Parallele und identische Geraden====<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein. <br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|600px|rahmenlos|Identische Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|mitte|600px|rahmenlos|Parallele Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2= Betrachte de folgenden Geraden g und h. Wie verlaufen die Geraden zueinander? Erkläre, warum hier kaum gerechnet werden muss.<br />
<br />
'''a)''' <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
'''b)''' <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)''' <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, liegt ein Punkt sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
====windschiefe und sich schneidene Geraden====<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.<br />
<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|600px|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|mitte|6000px|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
'''a)'''<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)'''<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)'''<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Dies erhält man, indem man beide Geradengelichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu r und t umformt:<br />
<br />
<math><br />
1+r*1=2+t*4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*2=3+t*5 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*3=4+t*3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r*1-t*4=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r*2-t*5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r*3-t*3=3 </math><br />
<br />
Nehmen die erste Zeile mal 2, subtrahieren von der ersten Zeile die zweite Zeile und erhalen für t= 0 und r=1.<br />
<br />
|2=2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden''ich im Ortsvektoren selbst.|2=Lösung Aufgabe e b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen widaran<br />
<br />
<math><br />
1+r*1=2+t*1 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*2=3+t*4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*3=4+t*3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r*1-t*1=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r*2-t*4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r*3-t*3=3 </math><br />
<br />
Nehmen die erste Zeile mal 2, subtrahieren von der ersten Zeile die zweite Zeile und erhalen für t= 1/6<br />
<br />
daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box |1= Merksatz |2=<br /><br />
Zwei Geraden...<br />
<br />
sind ''identisch''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden<br />
sind ''parallel''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt '''nicht''' auf der anderen Geraden.<br />
''schneiden'' sich <br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''wahre Aussage''' in Form eines Punktes heraus<br />
sind zueinander ''windschief''<br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''falsche Aussage''' heraus<br />
<br />
<br /> .<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 5sek auf <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 175,49m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120,2 \\ 96,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
'''b)''' Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
'''c)''' Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5*x </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5*y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5*z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
Dies erhalten wir wie folgt:<br />
Wir kennen den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 175,49m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 175,49 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175,49=\sqrt[2]{120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175,49^{2}=120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 83,998 und runden auf 84.<br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<math> L=\sqrt[2]{100{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145,95}</math>. <br />
<br />
Wir erhalten also eine Geschwindigkeit von 145,95 m/s. Es gilt: 3,6km/h=1m/s. <br />
Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>145,95*3,6= 525,42</math><br />
525,42km/h.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt laut Text nach einer Sekunde eine Strecke von 175,49m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von 175,49m/s.Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>175,49*3,6= 631,76</math><br />
631,76km/h.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t*100=5+s*120,2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t*80=10+s*96,4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t*70=0+s*84 </math><br />
<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Anwendungen==</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=48184Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-04-29T06:56:43Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und<br />
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Darstellungsformen==<br />
<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{Box<br />
|Definition<br />
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g: \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.<br />
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. <br />
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.<br />
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. <br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: <br />
<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk|900}}<br />
<br />
<br />
Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter abhängt: <br />
<br />
<ggb_applet id="EfrTd7YR" width="900" height="500&quot;&quot;" border="888888" /><br />
<br />
<br />
<span style="color: Red"> ????''Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden <math>g</math> liegen, möglich.''????</span><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)<br />
|Wähle eine der beiden Aufgaben aus:<br />
<br />
1. Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. <br />
<br />
'''a)''' <math>A(1|2|2)</math>, <math>B(5|{-}4|7)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9)</math>, <math>B(0|0|3)</math><br />
<br />
'''c)''' <math>A(7|{-}2|7)</math>, <math>B(1|1|1)</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
2. Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pc62b4ck318}}<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)<br />
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.<br />
<br />
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. <br />
|Tipp Aufgabe a) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''b)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wie könnte eine Geradengleichung der <math>x_1</math>-Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 3: Geraden im Koordinatensystem<br />
|Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}<br />
<br />
Falls du nicht mehr weißt, was die <math>x_1x_2</math>-, <math>x_1x_3</math>- und <math>x_2x_3</math>-Ebene sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: <br />
<br />
{{Lösung versteckt|<br />
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).<br />
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]<br />
|Tipp anzeigen<br />
|Tipp verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
===Punktprobe===<br />
<br />
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|1kJ9Nq8zXlI|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Punktprobe<br />
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden I<br />
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
<br />
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt für <math>t = -1</math>, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt nicht auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 5: Punktprobe mit einer Geraden II<br />
|Für welchen Wert <math>s </math> mit <math> s \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math>? <br />
<br />
'''a)''' <math>P(-9|{-}12|{-}11)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(12|{-}1|6,5)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)''' <math>P(4|{-}11|{-}7)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2s \\ -3s \\ -s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 5</math> mit <math>r = -2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 2,5</math> mit <math>r = 1,5</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 3</math> mit <math>r = -2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Spurpunkte einer Geraden===<br />
<br />
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!<br />
|Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene. <br />
In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du <math>= 0</math> gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box <br />
|Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten<br />
|Gegeben ist die Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet:<br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math><br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 \neq 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.<br />
|Hervorhebung1<br />
}}<br />
<br />
Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:<br />
<br />
<ggb_applet id="KrHVKfjB" width="900" height="402" border="888888" /><br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 6: Spurpunkte einer Geraden I<br />
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math> definiert durch <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} ... \\ ... \\ ... \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} ... \\ ... \\ ... \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|... <br />
|Lösung anzeigen<br />
|Lösung verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Lagebeziehungen von Geraden==<br />
<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit der Lagebeziehung von Geraden im Raum.<br />
|3= Merksatz}}<br />
==== Parallele und identische Geraden ====<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in '''identisch''', '''parallel''', '''sich schneidend''' und '''windschief zueinander'''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander '''kollinear''' (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich '''identisch''' oder '''parallel''' sein. <br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|600px|rahmenlos|Identische Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|mitte|600px|rahmenlos|Parallele Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden '''parallel''' oder '''identisch''' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden '''identisch'''. Andernfalls sind die Geraden '''parallel''' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2= Betrachte de folgenden Geraden g und h. Wie verlaufen die Geraden zueinander? Erkläre, warum hier kaum gerechnet werden muss.<br />
<br />
'''a)''' <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
'''b)''' <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)''' <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, liegt ein Punkt sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
==== windschiefe und sich schneidene Geraden ====<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich '''schneiden''' oder '''windschief''' zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.<br />
<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|600px|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|mitte|6000px|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden '''schneiden''' oder zueinader '''winschief zueinander''' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so '''schneiden''' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden '''windschief''' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
'''a)'''<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)'''<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)'''<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Dies erhält man, indem man beide Geradengelichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu r und t umformt:<br />
<br />
<math><br />
1+r*1=2+t*4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*2=3+t*5 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*3=4+t*3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r*1-t*4=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r*2-t*5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r*3-t*3=3 </math><br />
<br />
Nehmen die erste Zeile mal 2, subtrahieren von der ersten Zeile die zweite Zeile und erhalen für t= 0 und r=1.<br />
<br />
|2=2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden''ich im Ortsvektoren selbst.|2=Lösung Aufgabe e b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen widaran<br />
<br />
<math><br />
1+r*1=2+t*1 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*2=3+t*4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*3=4+t*3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<br />
<math><br />
r*1-t*1=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r*2-t*4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r*3-t*3=3 </math><br />
<br />
Nehmen die erste Zeile mal 2, subtrahieren von der ersten Zeile die zweite Zeile und erhalen für t= 1/6<br />
<br />
daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box |1= Merksatz |2=<br /><br />
Zwei Geraden...<br />
<br />
sind ''identisch''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden<br />
sind ''parallel''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt '''nicht''' auf der anderen Geraden.<br />
''schneiden'' sich <br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''wahre Aussage''' in Form eines Punktes heraus<br />
sind zueinander ''windschief''<br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''falsche Aussage''' heraus<br />
<br />
<br /> .<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 5sek auf <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 175,49m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120,2 \\ 96,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
'''b)''' Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
'''c)''' Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5*x </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5*y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5*z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
Dies erhalten wir wie folgt:<br />
Wir kennen den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 175,49m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 175,49 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175,49=\sqrt[2]{120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175,49^{2}=120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 83,998 und runden auf 84.<br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<math> L=\sqrt[2]{100{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145,95}</math>. <br />
<br />
Wir erhalten also eine Geschwindigkeit von 145,95 m/s. Es gilt: 3,6km/h=1m/s. <br />
Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>145,95*3,6= 525,42</math><br />
525,42km/h.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt laut Text nach einer Sekunde eine Strecke von 175,49m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von 175,49m/s.Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>175,49*3,6= 631,76</math><br />
631,76km/h.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t*100=5+s*120,2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t*80=10+s*96,4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t*70=0+s*84 </math><br />
<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Anwendungen==</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=48065Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-04-26T12:12:50Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> und<br />
* Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Darstellungsformen==<br />
<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{Box<br />
|Definition<br />
|Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form <math>g: \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}</math> beschreiben.<br />
* Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung''' oder '''Parametergleichung''' der Geraden <math>g</math> mit dem '''Parameter''' <math>k</math>. <br />
* Setzt man für <math>k</math> irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden <math>g</math> ein, so ergibt sich der Ortsvektor <math>\vec{x}</math> (auch <math>\vec{OX}</math> genannt) eines Punktes <math>X</math> der Geraden <math>g</math>.<br />
* Der Vektor <math>\vec{OA}</math> heißt '''Stützvektor'''. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt <math>A</math> (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
* Der Vektor <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math> heißt '''Richtungsvekor'''. <br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: <br />
<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk|900}}<br />
<br />
<br />
Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter abhängt: <br />
<br />
<ggb_applet id="EfrTd7YR" width="900" height="500&quot;&quot;" border="888888" /><br />
<br />
<br />
<span style="color: Red"> ????''Anmerkung zu den Lösungen: Wie du wahrscheinlich im obigen Video mitbekommen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind auch Vielfache der Richtungsvektoren oder andere Stützvektoren, wenn sie auf der Geraden <math>g</math> liegen, möglich.''????</span><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)<br />
|Wähle eine der beiden Aufgaben aus:<br />
<br />
1. Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. <br />
<br />
'''a)''' <math>A(1|2|2)</math>, <math>B(5|{-}4|7)</math><br />
<br />
'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9)</math>, <math>B(0|0|3)</math><br />
<br />
'''c)''' <math>A(7|{-}2|7)</math>, <math>B(1|1|1)</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Zwei mögliche Geraden sind <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>.<br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
2. Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu. <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pc62b4ck318}}<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt <math>P</math> verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist. <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)<br />
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.<br />
<br />
'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden. <br />
|Tipp Aufgabe a) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''b)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Wie könnte eine Geradengleichung der <math>x_1</math>-Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).<br />
|Tipp Aufgabe b) anzeigen<br />
|Tipp Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Eine mögliche Gerade ist <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>. <br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem: <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 3: Geraden im Koordinatensystem<br />
|Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}<br />
<br />
Falls du nicht mehr weißt, was die <math>x_1x_2</math>-, <math>x_1x_3</math>- und <math>x_2x_3</math>-Ebene sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: <br />
<br />
{{Lösung versteckt|<br />
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).<br />
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]<br />
|Tipp anzeigen<br />
|Tipp verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
===Punktprobe===<br />
<br />
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|1kJ9Nq8zXlI|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Merksatz: Punktprobe<br />
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden I<br />
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. <br />
<br />
'''a)''' <math>P(2|3|{-}1)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist erfüllt für <math>t = -1</math>, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt nicht auf der Geraden <math>g</math>.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 5: Punktprobe mit einer Geraden II<br />
|Für welchen Wert <math>s </math> mit <math> s \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math>? <br />
<br />
'''a)''' <math>P(-9|{-}12|{-}11)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''b)''' <math>P(12|{-}1|6,5)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
'''c)''' <math>P(4|{-}11|{-}7)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2s \\ -3s \\ -s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 5</math> mit <math>r = -2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe a) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe a) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 2,5</math> mit <math>r = 1,5</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe b) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe b) verbergen<br />
}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|Die Punktprobe ist für <math>s = 3</math> mit <math>r = -2</math> erfüllt.<br />
|Lösung Aufgabe c) anzeigen<br />
|Lösung Aufgabe c) verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Spurpunkte einer Geraden===<br />
<br />
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video:<br />
<br />
{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww|900}}<br />
<br />
{{Box<br />
|Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!<br />
|Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene. <br />
In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du <math>= 0</math> gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.<br />
|Merksatz<br />
}}<br />
<br />
{{Box <br />
|Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten<br />
|Gegeben ist die Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet:<br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math><br />
# Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 \neq 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.<br />
|Hervorhebung1<br />
}}<br />
<br />
Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:<br />
<br />
<ggb_applet id="KrHVKfjB" width="900" height="402" border="888888" /><br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 6: Spurpunkte einer Geraden I<br />
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math> definiert durch <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} ... \\ ... \\ ... \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} ... \\ ... \\ ... \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|... <br />
|Lösung anzeigen<br />
|Lösung verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
|Farbe={{Farbe|orange}} <br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|Aufgabe 7: Spurpunkte einer Geraden II<br />
|Sei eine Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Bestimme den Punkt <math>p</math> so, dass die Gerade <math>g</math> folgende Spurpunkte besitzt: <math>S_{12}(...|...|...)</math>, <math>S_{13}(...|...|...)</math> und <math>S_{23}(...|...|...)</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|... <br />
|Lösung anzeigen<br />
|Lösung verbergen<br />
}}<br />
<br />
|Arbeitsmethode <br />
}} <br />
<br />
===Strecken===<br />
<br />
===Graphische Darstellung von Geraden im Raum===<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Lagebeziehungen von Geraden==<br />
<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit der Lagebeziehung von Geraden im Raum.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in ''identisch'', ''parallel'', ''geschnitten'' und ''windschief''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich ''identisch'' oder ''parallel'' sein. <br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|rahmenlos|Identische Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|mitte|rahmenlos|Parallele Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden ''parallel'' oder ''identisch'' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden ''identisch''. Andernfalls sind die Geraden echt ''parallel''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
b)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, liegt ein Punkt sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich ''schneiden'' oder ''windschief'' zueinander sein.<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|mitte|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden ''schneiden'' oder zueinader ''winschief'' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so ''schneiden'' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden ''windschief'' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
b)<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Dies erhält man, indem man beide Geradengelichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu r und t umformt:<br />
<br />
<math><br />
1+r*1=2+t*4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*2=3+t*5 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*3=4+t*3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<math><br />
r*1-t*4=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r*2-t*5=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r*3-t*3=3 </math><br />
<br />
Nehmen die erste Zeile mal 2, subtrahieren von der ersten Zeile die zweite Zeile und erhalen für t= 0 und r=1.<br />
<br />
|2=2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden''ich im Ortsvektoren selbst.|2=Lösung Aufgabe e b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen widaran<br />
<math><br />
1+r*1=2+t*1 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*2=3+t*4 </math><br />
<br />
<math><br />
1+r*3=4+t*3 </math><br />
<br />
Dies formen wir um:<br />
<math><br />
r*1-t*1=1 </math><br />
<br />
<math><br />
r*2-t*4=2 </math><br />
<br />
<math><br />
r*3-t*3=3 </math><br />
<br />
Nehmen die erste Zeile mal 2, subtrahieren von der ersten Zeile die zweite Zeile und erhalen für t= 1/6<br />
<br />
daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=19038875" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box |1= Merksatz |2=<br /><br />
Zwei Geraden...<br />
<br />
sind ''identisch''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden<br />
sind ''parallel''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt '''nicht''' auf der anderen Geraden.<br />
''schneiden'' sich <br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''wahre Aussage''' in Form eines Punktes heraus<br />
sind zueinander ''windschief''<br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''falsche Aussage''' heraus<br />
<br />
<br /> .<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 5sek auf <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 175,49m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120,2 \\ 96,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
b) Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5*x </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5*y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5*z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
Dies erhalten wir wie folgt:<br />
Wir kennen den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 175,49m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 175,49 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175,49=\sqrt[2]{120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175,49^{2}=120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 83,998 und runden auf 84.<br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<math> L=\sqrt[2]{100{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145,95}</math>. <br />
<br />
Wir erhalten also eine Geschwindigkeit von 145,95 m/s. Es gilt: 3,6km/h=1m/s. <br />
Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>145,95*3,6= 525,42</math><br />
525,42km/h.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt laut Text nach einer Sekunde eine Strecke von 175,49m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von 175,49m/s.Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>175,49*3,6= 631,76</math><br />
631,76km/h.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t*100=5+s*120,2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t*80=10+s*96,4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t*70=0+s*84 </math><br />
<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Geraden und ihre Anwendungen==</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=47932Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-04-25T07:40:24Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Einführung==<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk}}<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1 | 2=Stelle eine Gleichung einer Geraden in Parameterdarstellung auf, die durch folgende Punkte verläuft: A(1/2/3), B(1/3/4) | 3=Aufgabe}}<br />
<br />
<br />
===Lagebeziehungen von Geraden===<br />
<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit der Lagebeziehung von Geraden im Raum.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in ''identisch'', ''parallel'', ''geschnitten'' und ''windschief''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich ''identisch'' oder ''parallel'' sein. <br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|rahmenlos|Identische Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|mitte|rahmenlos|Parallele Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden ''parallel'' oder ''identisch'' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden ''identisch''. Andernfalls sind die Geraden echt ''parallel''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
b)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, liegt ein Punkt sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich ''schneiden'' oder ''windschief'' zueinander sein.<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|mitte|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden ''schneiden'' oder zueinader ''winschief'' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so ''schneiden'' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden ''windschief'' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
b)<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt .|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden'' sich.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen wir daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=19038875" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box |1= Merksatz |2=<br /><br />
Zwei Geraden...<br />
<br />
sind ''identisch''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden<br />
sind ''parallel''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt '''nicht''' auf der anderen Geraden.<br />
''schneiden'' sich <br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''wahre Aussage''' in Form eines Punktes heraus<br />
sind zueinander ''windschief''<br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''falsche Aussage''' heraus<br />
<br />
<br /> .<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 5sek auf <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 175,49m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120,2 \\ 96,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
b) Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5*x </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5*y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5*z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
Dies erhalten wir wie folgt:<br />
Wir kennen den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 175,49m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 175,49 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175,49=\sqrt[2]{120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175,49^{2}=120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 83,998 und runden auf 84.<br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<math> L=\sqrt[2]{100{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145,95}</math>. <br />
<br />
Wir erhalten also eine Geschwindigkeit von 145,95 m/s. Es gilt: 3,6km/h=1m/s. <br />
Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>145,95*3,6= 525,42</math><br />
525,42km/h.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt laut Text nach einer Sekunde eine Strecke von 175,49m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von 175,49m/s.Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>175,49*3,6= 631,76</math><br />
631,76km/h.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t*100=5+s*120,2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t*80=10+s*96,4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t*70=0+s*84 </math><br />
<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=47931Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-04-25T07:39:38Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Einführung==<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk}}<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1 | 2=Stelle eine Gleichung einer Geraden in Parameterdarstellung auf, die durch folgende Punkte verläuft: A(1/2/3), B(1/3/4) | 3=Aufgabe}}<br />
<br />
<br />
===Lagebeziehungen von Geraden===<br />
<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit der Lagebeziehung von Geraden im Raum.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in ''identisch'', ''parallel'', ''geschnitten'' und ''windschief''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich ''identisch'' oder ''parallel'' sein. <br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|rahmenlos|Identische Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|mitte|rahmenlos|Parallele Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden ''parallel'' oder ''identisch'' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden ''identisch''. Andernfalls sind die Geraden echt ''parallel''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
b)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, liegt ein Punkt sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich ''schneiden'' oder ''windschief'' zueinander sein.<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|mitte|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden ''schneiden'' oder zueinader ''winschief'' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so ''schneiden'' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden ''windschief'' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
b)<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt .|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden'' sich.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen wir daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=19038875" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Box |1= Merksatz |2=<br /><br />
Zwei Geraden...<br />
<br />
sind ''identisch''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden<br />
sind ''parallel''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt '''nicht''' auf der anderen Geraden.<br />
''schneiden'' sich <br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''wahre Aussage''' in Form eines Punktes heraus<br />
sind zueinander ''windschief''<br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''falsche Aussage''' heraus<br />
<br />
<br /> .<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 5sek auf <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 175,49m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120,2 \\ 96,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
b) Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5*x </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5*y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5*z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
Dies erhalten wir wie folgt:<br />
Wir kennen den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 175,49m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 175,49 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175,49=\sqrt[2]{120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175,49^{2}=120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 83,998 und runden auf 84.<br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<math> L=\sqrt[2]{100{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145,95}</math>. <br />
<br />
Wir erhalten also eine Geschwindigkeit von 145,95 m/s. Es gilt: 3,6km/h=1m/s. <br />
Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>145,95*3,6= 525,42</math><br />
525,42km/h.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt laut Text nach einer Sekunde eine Strecke von 175,49m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von 175,49m/s.Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>175,49*3,6= 631,76</math><br />
631,76km/h.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t*100=5+s*120,2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t*80=10+s*96,4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t*70=0+s*84 </math><br />
<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=47754Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-04-20T15:36:41Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Einführung==<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk}}<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1 | 2=Stelle eine Gleichung einer Geraden in Parameterdarstellung auf, die durch folgende Punkte verläuft: A(1/2/3), B(1/3/4) | 3=Aufgabe}}<br />
<br />
<br />
===Lagebeziehungen von Geraden===<br />
<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit der Lagebeziehung von Geraden im Raum.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in ''identisch'', ''parallel'', ''geschnitten'' und ''windschief''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich ''identisch'' oder ''parallel'' sein. <br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|rahmenlos|Identische Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|mitte|rahmenlos|Parallele Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden ''parallel'' oder ''identisch'' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden ''identisch''. Andernfalls sind die Geraden echt ''parallel''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
b)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, liegt ein Punkt sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich ''schneiden'' oder ''windschief'' zueinander sein.<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|mitte|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden ''schneiden'' oder zueinader ''winschief'' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so ''schneiden'' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden ''windschief'' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
b)<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt .|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden'' sich.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen wir daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=19038875" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box |1= Merksatz |2=<br /><br />
Zwei Geraden...<br />
<br />
sind ''identisch''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden<br />
sind ''parallel''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt '''nicht''' auf der anderen Geraden.<br />
''schneiden'' sich <br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''wahre Aussage''' in Form eines Punktes heraus<br />
sind zueinander ''windschief''<br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''falsche Aussage''' heraus<br />
<br />
<br /> .<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 5sek auf <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 175,49m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120,2 \\ 96,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
b) Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5*x </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5*y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5*z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
Dies erhalten wir wie folgt:<br />
Wir kennen den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 175,49m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 175,49 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175,49=\sqrt[2]{120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175,49^{2}=120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 83,998 und runden auf 84.<br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<math> L=\sqrt[2]{100{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145,95}</math>. <br />
<br />
Wir erhalten also eine Geschwindigkeit von 145,95 m/s. Es gilt: 3,6km/h=1m/s. <br />
Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>145,95*3,6= 525,42</math><br />
525,42km/h.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt laut Text nach einer Sekunde eine Strecke von 175,49m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von 175,49m/s.Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>175,49*3,6= 631,76</math><br />
631,76km/h.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t*100=5+s*120,2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t*80=10+s*96,4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t*70=0+s*84 </math><br />
<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=47753Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-04-20T15:34:34Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Einführung==<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk}}<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1 | 2=Stelle eine Gleichung einer Geraden in Parameterdarstellung auf, die durch folgende Punkte verläuft: A(1/2/3), B(1/3/4) | 3=Aufgabe}}<br />
<br />
<br />
===Lagebeziehungen von Geraden===<br />
<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit der Lagebeziehung von Geraden im Raum.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in ''identisch'', ''parallel'', ''geschnitten'' und ''windschief''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich ''identisch'' oder ''parallel'' sein. <br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|rahmenlos|Identische Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|mitte|rahmenlos|Parallele Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden ''parallel'' oder ''identisch'' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden ''identisch''. Andernfalls sind die Geraden echt ''parallel''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
b)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, liegt ein Punkt sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich ''schneiden'' oder ''windschief'' zueinander sein.<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|mitte|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden ''schneiden'' oder zueinader ''winschief'' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so ''schneiden'' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden ''windschief'' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
b)<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt .|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden'' sich.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen wir daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=19038875" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box |1= Merksatz |2=<br /><br />
Zwei Geraden...<br />
<br />
sind ''identisch''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden<br />
sind ''parallel''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt '''nicht''' auf der anderen Geraden.<br />
''schneiden'' sich <br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''wahre Aussage''' in Form eines Punktes heraus<br />
sind zueinander ''windschief''<br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''falsche Aussage''' heraus<br />
<br />
<br /> .<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 5sek auf <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 175,49m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120,2 \\ 96,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
b) Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5*x </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5*y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5*z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
Dies erhalten wir wie folgt:<br />
Wir kennen den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 175,49m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 175,49 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175,49=\sqrt[2]{120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175,49^{2}=120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 83,998 und runden auf 84.<br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<math> L=\sqrt[2]{100{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145,95}</math>. <br />
<br />
Wir erhalten also eine Geschwindigkeit von 145,95 m/s. Es gilt: 3,6km/h=1m/s. <br />
Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>145,95*3,6= 525,42</math><br />
525,42km/h.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt laut Text nach einer Sekunde eine Strecke von 175,49m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von 175,49m/s.Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>175,49*3,6= 631,76</math><br />
631,76km/h.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t*100=5+s*120,2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t*80=10+s*96,4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t*70=0+s*84 </math><br />
<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 5: |2=Ordne die Paare zu.<br />
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=18639143" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=47752Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-04-20T15:33:13Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Einführung==<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk}}<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1 | 2=Stelle eine Gleichung einer Geraden in Parameterdarstellung auf, die durch folgende Punkte verläuft: A(1/2/3), B(1/3/4) | 3=Aufgabe}}<br />
<br />
<br />
===Lagebeziehungen von Geraden===<br />
<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit der Lagebeziehung von Geraden im Raum.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in ''identisch'', ''parallel'', ''geschnitten'' und ''windschief''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich ''identisch'' oder ''parallel'' sein. <br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|rahmenlos|Identische Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|mitte|rahmenlos|Parallele Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden ''parallel'' oder ''identisch'' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden ''identisch''. Andernfalls sind die Geraden echt ''parallel''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
b)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, liegt ein Punkt sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich ''schneiden'' oder ''windschief'' zueinander sein.<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|mitte|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden ''schneiden'' oder zueinader ''winschief'' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so ''schneiden'' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden ''windschief'' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
b)<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt .|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden'' sich.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen wir daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=19038875" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box |1= Merksatz |2=<br /><br />
Zwei Geraden...<br />
<br />
sind ''identisch''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden<br />
sind ''parallel''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt '''nicht''' auf der anderen Geraden.<br />
''schneiden'' sich <br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''wahre Aussage''' in Form eines Punktes heraus<br />
sind zueinander ''windschief''<br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''falsche Aussage''' heraus<br />
<br />
<br /> .<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 5sek auf <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 175,49m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120,2 \\ 96,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
b) Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5*x </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5*y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5*z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
Dies erhalten wir wie folgt:<br />
Wir kennen den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 175,49m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 175,49 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175,49=\sqrt[2]{120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175,49^{2}=120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 83,998 und runden auf 84.<br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<math> L=\sqrt[2]{100{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145,95}</math>. <br />
<br />
Wir erhalten also eine Geschwindigkeit von 145,95 m/s. Es gilt: 3,6km/h=1m/s. <br />
Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>145,95*3,6= 525,42</math><br />
525,42km/h.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt laut Text nach einer Sekunde eine Strecke von 175,49m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von 175,49m/s.Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>175,49*3,6= 631,76</math><br />
631,76km/h.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t*100=5+s*120,2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t*80=10+s*96,4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t*70=0+s*84 </math><br />
<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: |2=Ordne die Paare zu.<br />
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=18639143" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=47751Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-04-20T15:27:59Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Einführung==<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk}}<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1 | 2=Stelle eine Gleichung einer Geraden in Parameterdarstellung auf, die durch folgende Punkte verläuft: A(1/2/3), B(1/3/4) | 3=Aufgabe}}<br />
<br />
<br />
===Lagebeziehungen von Geraden===<br />
<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit der Lagebeziehung von Geraden im Raum.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in ''identisch'', ''parallel'', ''geschnitten'' und ''windschief''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich ''identisch'' oder ''parallel'' sein. <br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|rahmenlos|Identische Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|mitte|rahmenlos|Parallele Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden ''parallel'' oder ''identisch'' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden ''identisch''. Andernfalls sind die Geraden echt ''parallel''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
b)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, liegt ein Punkt sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich ''schneiden'' oder ''windschief'' zueinander sein.<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|mitte|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden ''schneiden'' oder zueinader ''winschief'' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so ''schneiden'' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden ''windschief'' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
b)<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt .|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden'' sich.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen wir daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=19038875" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box |1= Merksatz |2=<br /><br />
Zwei Geraden...<br />
<br />
sind ''identisch''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden<br />
sind ''parallel''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt '''nicht''' auf der anderen Geraden.<br />
''schneiden'' sich <br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''wahre Aussage''' in Form eines Punktes heraus<br />
sind zueinander ''windschief''<br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''falsche Aussage''' heraus<br />
<br />
<br /> .<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 5sek auf <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 175,49m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120,2 \\ 96,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
b) Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:<br />
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um:<br />
<br />
<math><br />
510=10+5*x </math><br />
<br />
<math><br />
410=10+5*y </math><br />
<br />
<math><br />
350= 0+5*z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
Dies erhalten wir wie folgt:<br />
Wir kennen den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 175,49m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 175,49 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 175,49=\sqrt[2]{120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 175,49^{2}=120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 83,998 und runden auf 84.<br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. <br />
<br />
Fugzeug Aer:<br />
<math> L=\sqrt[2]{100{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. <br />
<br />
<math> L=145,95}</math>. <br />
<br />
Wir erhalten also eine Geschwindigkeit von 145,95 m/s. Es gilt: 3,6km/h=1m/s. <br />
Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>145,95*3,6= 525,42</math><br />
525,42km/h.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Amadeus legt laut Text nach einer Sekunde eine Strecke von 175,49m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von 175,49m/s.Umgerechnet in km/h sind das also:<br />
<br />
<math>175,49*3,6= 631,76</math><br />
631,76km/h.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:<br />
<br />
<br />
<math><br />
10+t*100=5+s*120,2 </math><br />
<br />
<math><br />
10+t*80=10+s*96,4 </math><br />
<br />
<math><br />
0+t*70=0+s*84 </math><br />
<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=47750Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-04-20T14:56:56Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Einführung==<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk}}<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1 | 2=Stelle eine Gleichung einer Geraden in Parameterdarstellung auf, die durch folgende Punkte verläuft: A(1/2/3), B(1/3/4) | 3=Aufgabe}}<br />
<br />
<br />
===Lagebeziehungen von Geraden===<br />
<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit der Lagebeziehung von Geraden im Raum.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in ''identisch'', ''parallel'', ''geschnitten'' und ''windschief''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich ''identisch'' oder ''parallel'' sein. <br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|rahmenlos|Identische Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|mitte|rahmenlos|Parallele Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden ''parallel'' oder ''identisch'' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden ''identisch''. Andernfalls sind die Geraden echt ''parallel''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
b)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, liegt ein Punkt sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich ''schneiden'' oder ''windschief'' zueinander sein.<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|mitte|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden ''schneiden'' oder zueinader ''winschief'' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so ''schneiden'' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden ''windschief'' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
b)<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt .|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden'' sich.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen wir daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=19038875" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box |1= Merksatz |2=<br /><br />
Zwei Geraden...<br />
<br />
sind ''identisch''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden<br />
sind ''parallel''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt '''nicht''' auf der anderen Geraden.<br />
''schneiden'' sich <br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''wahre Aussage''' in Form eines Punktes heraus<br />
sind zueinander ''windschief''<br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''falsche Aussage''' heraus<br />
<br />
<br /> .<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 10sek auf <math> \begin{pmatrix} 1239,75 \\ 1040 \\ 1287,5 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 164,85m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 98,88 \\ 82,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
b) Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>.<br />
L= |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:<br />
<math> \begin{pmatrix} 1239,75 \\ 1040 \\ 1287,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 10 \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um:<br />
<br />
<math><br />
1239,75=10+10*x </math><br />
<br />
<math><br />
1040 =10+10*y </math><br />
<br />
<math><br />
1287,5 = 0+10*z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
Dies erhalten wir wie folgt:<br />
Wir kennen den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 98,88 \\ 82,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 164,85m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 164,85 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 164,85=\sqrt[2]{98,88^{2}+82,4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 164,85^{2}=98,88^{2}+82,4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 102,997 und runden auf 103.<br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt it der Formel:<br />
<math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 96\\ 80 \\ 100 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Liesbeth hat nach dem Text eine Geschwindigkeit von 160 m/s<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 8 \cdot \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 10 \cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen.<br />
<br />
<br />
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=47749Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-04-20T14:52:53Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Einführung==<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk}}<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1 | 2=Stelle eine Gleichung einer Geraden in Parameterdarstellung auf, die durch folgende Punkte verläuft: A(1/2/3), B(1/3/4) | 3=Aufgabe}}<br />
<br />
<br />
===Lagebeziehungen von Geraden===<br />
<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit der Lagebeziehung von Geraden im Raum.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in ''identisch'', ''parallel'', ''geschnitten'' und ''windschief''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich ''identisch'' oder ''parallel'' sein. <br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|rahmenlos|Identische Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|mitte|rahmenlos|Parallele Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden ''parallel'' oder ''identisch'' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden ''identisch''. Andernfalls sind die Geraden echt ''parallel''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
b)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, liegt ein Punkt sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich ''schneiden'' oder ''windschief'' zueinander sein.<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|mitte|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden ''schneiden'' oder zueinader ''winschief'' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so ''schneiden'' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden ''windschief'' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
b)<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt .|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden'' sich.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen wir daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel<br />
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=19038875" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box |1= Merksatz |2=<br /><br />
Zwei Geraden...<br />
<br />
sind ''identisch''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden<br />
sind ''parallel''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt '''nicht''' auf der anderen Geraden.<br />
''schneiden'' sich <br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''wahre Aussage''' in Form eines Punktes heraus<br />
sind zueinander ''windschief''<br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''falsche Aussage''' heraus<br />
<br />
<br /> .<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 10sek auf <math> \begin{pmatrix} 1239,75 \\ 1040 \\ 1287,5 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 164,85m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 98,88 \\ 82,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
b) Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>.<br />
L= |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:<br />
<math> \begin{pmatrix} 1239,75 \\ 1040 \\ 1287,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 10 \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um:<br />
<br />
<math><br />
1239,75=10+10*x </math><br />
<br />
<math><br />
1040 =10+10*y </math><br />
<br />
<math><br />
1287,5 = 0+10*z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
Dies erhalten wir wie folgt:<br />
Wir kennen den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 98,88 \\ 82,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 164,85m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 164,85 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 164,85=\sqrt[2]{98,88^{2}+82,4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 164,85^{2}=98,88^{2}+82,4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 102,997 und runden auf 103.<br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt it der Formel:<br />
<math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 96\\ 80 \\ 100 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Liesbeth hat nach dem Text eine Geschwindigkeit von 160 m/s<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 8 \cdot \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 10 \cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}</math>. Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
Flugzeug Aer und Liesbeth<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=47748Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-04-20T14:19:20Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Einführung==<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk}}<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1 | 2=Stelle eine Gleichung einer Geraden in Parameterdarstellung auf, die durch folgende Punkte verläuft: A(1/2/3), B(1/3/4) | 3=Aufgabe}}<br />
<br />
<br />
===Lagebeziehungen von Geraden===<br />
<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit der Lagebeziehung von Geraden im Raum.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in ''identisch'', ''parallel'', ''geschnitten'' und ''windschief''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich ''identisch'' oder ''parallel'' sein. <br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|rahmenlos|Identische Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|mitte|rahmenlos|Parallele Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden ''parallel'' oder ''identisch'' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden ''identisch''. Andernfalls sind die Geraden echt ''parallel''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
b)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, liegt ein Punkt sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich ''schneiden'' oder ''windschief'' zueinander sein.<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|mitte|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden ''schneiden'' oder zueinader ''winschief'' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so ''schneiden'' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden ''windschief'' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
b)<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt .|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden'' sich.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen wir daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box |1= Merksatz |2=<br /><br />
Zwei Geraden...<br />
<br />
sind ''identisch''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden<br />
sind ''parallel''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt '''nicht''' auf der anderen Geraden.<br />
''schneiden'' sich <br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''wahre Aussage''' in Form eines Punktes heraus<br />
sind zueinander ''windschief''<br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''falsche Aussage''' heraus<br />
<br />
<br /> .<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 10sek auf <math> \begin{pmatrix} 1239,75 \\ 1040 \\ 1287,5 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 164,85m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 98,88 \\ 82,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
b) Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>.<br />
L= |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:<br />
<math> \begin{pmatrix} 1239,75 \\ 1040 \\ 1287,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 10 \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um:<br />
<br />
<math><br />
1239,75=10+10*x </math><br />
<br />
<math><br />
1040 =10+10*y </math><br />
<br />
<math><br />
1287,5 = 0+10*z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
Dies erhalten wir wie folgt:<br />
Wir kennen den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 98,88 \\ 82,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 164,85m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 164,85 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 164,85=\sqrt[2]{98,88^{2}+82,4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 164,85^{2}=98,88^{2}+82,4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 102,997 und runden auf 103.<br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt it der Formel:<br />
<math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 96\\ 80 \\ 100 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Liesbeth hat nach dem Text eine Geschwindigkeit von 160 m/s<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 8 \cdot \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 10 \cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}</math>. Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
Flugzeug Aer und Liesbeth<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=47747Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-04-20T14:12:36Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Einführung==<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk}}<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1 | 2=Stelle eine Gleichung einer Geraden in Parameterdarstellung auf, die durch folgende Punkte verläuft: A(1/2/3), B(1/3/4) | 3=Aufgabe}}<br />
<br />
<br />
===Lagebeziehungen von Geraden===<br />
<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit der Lagebeziehung von Geraden im Raum.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in ''identisch'', ''parallel'', ''geschnitten'' und ''windschief''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich ''identisch'' oder ''parallel'' sein. <br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|rahmenlos|Identische Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|mitte|rahmenlos|Parallele Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden ''parallel'' oder ''identisch'' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden ''identisch''. Andernfalls sind die Geraden echt ''parallel''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
b)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich ''schneiden'' oder ''windschief'' zueinander sein.<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|mitte|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden ''schneiden'' oder zueinader ''winschief'' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so ''schneiden'' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden ''windschief'' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
b)<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt .|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden'' sich.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen wir daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box |1= Merksatz |2=<br /><br />
Zwei Geraden...<br />
<br />
sind ''identisch''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden<br />
sind ''parallel''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt '''nicht''' auf der anderen Geraden.<br />
''schneiden'' sich <br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''wahre Aussage''' in Form eines Punktes heraus<br />
sind zueinander ''windschief''<br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''falsche Aussage''' heraus<br />
<br />
<br /> .<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 10sek auf <math> \begin{pmatrix} 1239,75 \\ 1040 \\ 1287,5 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 164,85m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 98,88 \\ 82,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
b) Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>.<br />
L= |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:<br />
<math> \begin{pmatrix} 1239,75 \\ 1040 \\ 1287,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 10 \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um:<br />
<br />
<math><br />
1239,75=10+10*x </math><br />
<br />
<math><br />
1040 =10+10*y </math><br />
<br />
<math><br />
1287,5 = 0+10*z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
Dies erhalten wir wie folgt:<br />
Wir kennen den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 98,88 \\ 82,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 164,85m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 164,85 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 164,85=\sqrt[2]{98,88^{2}+82,4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 164,85^{2}=98,88^{2}+82,4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 102,997 und runden auf 103.<br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt it der Formel:<br />
<math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 96\\ 80 \\ 100 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Liesbeth hat nach dem Text eine Geschwindigkeit von 160 m/s<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 8 \cdot \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 10 \cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}</math>. Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
Flugzeug Aer und Liesbeth<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=47746Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-04-20T14:10:43Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Einführung==<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk}}<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1 | 2=Stelle eine Gleichung einer Geraden in Parameterdarstellung auf, die durch folgende Punkte verläuft: A(1/2/3), B(1/3/4) | 3=Aufgabe}}<br />
<br />
<br />
===Lagebeziehungen von Geraden===<br />
<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit der Lagebeziehung von Geraden im Raum.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in ''identisch'', ''parallel'', ''geschnitten'' und ''windschief''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich ''identisch'' oder ''parallel'' sein. <br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|rahmenlos|Identische Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|mitte|rahmenlos|Parallele Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden ''parallel'' oder ''identisch'' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden ''identisch''. Andernfalls sind die Geraden echt ''parallel''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
b)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich ''schneiden'' oder ''windschief'' zueinander sein.<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|mitte|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden ''schneiden'' oder zueinader ''winschief'' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so ''schneiden'' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden ''windschief'' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
b)<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt .|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden'' sich.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen wir daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box |1= Merksatz |2=<br /><br />
Zwei Geraden...<br />
<br />
sind ''identisch''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden<br />
sind ''parallel''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt '''nicht''' auf der anderen Geraden.<br />
''schneiden'' sich <br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''wahre Aussage''' in Form eines Punktes heraus<br />
sind zueinander ''windschief''<br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''falsche Aussage''' heraus<br />
<br />
<br /> .<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 10sek auf <math> \begin{pmatrix} 1239,75 \\ 1040 \\ 1287,5 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 164,85m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 98,88 \\ 82,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?<br />
<br />
b) Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?<br />
<br />
c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.<br />
<br />
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:<br />
<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>.<br />
L= |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:<br />
<math> \begin{pmatrix} 1239,75 \\ 1040 \\ 1287,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 10 \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um:<br />
<br />
<math><br />
1239,75=10+10*x </math><br />
<math><br />
1040 =10+10*y </math><br />
<math><br />
1287,5 = 0+10*z </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
Dies erhalten wir wie folgt:<br />
Wir kennen den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 98,88 \\ 82,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 164,85m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 164,85 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 164,85=\sqrt[2]{98,88^{2}+82,4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 164,85^{2}=98,88^{2}+82,4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 102,997 und runden auf 103.<br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt it der Formel:<br />
<math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 96\\ 80 \\ 100 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Liesbeth hat nach dem Text eine Geschwindigkeit von 160 m/s<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 8 \cdot \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 10 \cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}</math>. Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
Flugzeug Aer und Liesbeth<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=47740Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-04-20T09:46:20Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Einführung==<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk}}<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1 | 2=Stelle eine Gleichung einer Geraden in Parameterdarstellung auf, die durch folgende Punkte verläuft: A(1/2/3), B(1/3/4) | 3=Aufgabe}}<br />
<br />
<br />
===Lagebeziehungen von Geraden===<br />
<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit der Lagebeziehung von Geraden im Raum.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in ''identisch'', ''parallel'', ''geschnitten'' und ''windschief''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich ''identisch'' oder ''parallel'' sein. <br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|rahmenlos|Identische Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|mitte|rahmenlos|Parallele Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden ''parallel'' oder ''identisch'' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden ''identisch''. Andernfalls sind die Geraden echt ''parallel''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
b)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich ''schneiden'' oder ''windschief'' zueinander sein.<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|mitte|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden ''schneiden'' oder zueinader ''winschief'' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so ''schneiden'' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden ''windschief'' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
b)<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt .|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden'' sich.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen wir daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box |1= Merksatz |2=<br /><br />
Zwei Geraden...<br />
<br />
sind ''identisch''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden<br />
sind ''parallel''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt '''nicht''' auf der anderen Geraden.<br />
''schneiden'' sich <br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''wahre Aussage''' in Form eines Punktes heraus<br />
sind zueinander ''windschief''<br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''falsche Aussage''' heraus<br />
<br />
<br /> .<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Fugzeug der Marke Aer. Es startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 10sek auf <math> \begin{pmatrix} 1239,75 \\ 1040 \\ 1287,5 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 164,85m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 98,88 \\ 82,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Fugzeuge?<br />
<br />
b) Welches der Flugzeuge ist das schnellste?<br />
<br />
c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Siehe oben: Parameterdarstellung |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Um die Parameterdarstellung aufzustellen, musst du wissen, wie man die Geschwindigkeit berechnet. Die Geschwindigkeit wird aus der Länge des Richtungsvektoren emittelt. |2=Tipp zu b |3=Tipp zu a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir die Richtungsvektoren an. Sind sie kollinear?|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht|2=2. Tipp |3=2. Tipp}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:<br />
<math> \begin{pmatrix} 1239,75 \\ 1040 \\ 1287,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 10 \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
Dies erhalten wir wie folgt:<br />
Wir kennen den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 98,88 \\ 82,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 164,85m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 164,85 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 164,85=\sqrt[2]{98,88^{2}+82,4^{2}+z^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 164,85^{2}=98,88^{2}+82,4^{2}+z^{2}</math><br />
<br />
<br />
Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 102,997 und runden auf 103.<br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt it der Formel:<br />
<math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 96\\ 80 \\ 100 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Liesbeth hat nach dem Text eine Geschwindigkeit von 160 m/s<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 8 \cdot \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 10 \cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}</math>. Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
Flugzeug Aer und Liesbeth<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=47739Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-04-20T09:42:55Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Einführung==<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk}}<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1 | 2=Stelle eine Gleichung einer Geraden in Parameterdarstellung auf, die durch folgende Punkte verläuft: A(1/2/3), B(1/3/4) | 3=Aufgabe}}<br />
<br />
<br />
===Lagebeziehungen von Geraden===<br />
<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit der Lagebeziehung von Geraden im Raum.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in ''identisch'', ''parallel'', ''geschnitten'' und ''windschief''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich ''identisch'' oder ''parallel'' sein. <br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|rahmenlos|Identische Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|mitte|rahmenlos|Parallele Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden ''parallel'' oder ''identisch'' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden ''identisch''. Andernfalls sind die Geraden echt ''parallel''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
b)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich ''schneiden'' oder ''windschief'' zueinander sein.<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|mitte|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden ''schneiden'' oder zueinader ''winschief'' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so ''schneiden'' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden ''windschief'' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
b)<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt .|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden'' sich.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen wir daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box |1= Merksatz |2=<br /><br />
Zwei Geraden...<br />
<br />
sind ''identisch''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden<br />
sind ''parallel''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt '''nicht''' auf der anderen Geraden.<br />
''schneiden'' sich <br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''wahre Aussage''' in Form eines Punktes heraus<br />
sind zueinander ''windschief''<br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''falsche Aussage''' heraus<br />
<br />
<br /> .<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen drei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Fugzeug der Marke Aer startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 10sek auf <math> \begin{pmatrix} 1239,75 \\ 1040 \\ 1287,5 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 164,85m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 98,88 \\ 82,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Fugzeuge?<br />
<br />
b) Welches der Flugzeuge ist das schnellste?<br />
<br />
c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Siehe oben: Parameterdarstellung |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Um die Parameterdarstellung aufzustellen, musst du wissen, wie man die Geschwindigkeit berechnet. Die Geschwindigkeit wird aus der Länge des Richtungsvektoren emittelt. |2=Tipp zu b |3=Tipp zu a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir die Richtungsvektoren an. Sind sie kollinear?|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht|2=2. Tipp |3=2. Tipp}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:<br />
<math> \begin{pmatrix} 1239,75 \\ 1040 \\ 1287,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 10 \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen zu x,y,z um.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
Dies erhalten wir wie folgt:<br />
Wir kennen den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 98,88 \\ 82,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 164,85m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 164,85 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 164,85=\sqrt[2]{98,88**2+82,4**2+z_{2}}</math><br />
<br />
<br />
Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 164,85**2=98,88**2+82,4**2+z**2</math><br />
<br />
<br />
Wir formen zu z**2 um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 102,997 und runden auf 103.<br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt it der Formel:<br />
<math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 96\\ 80 \\ 100 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Liesbeth hat nach dem Text eine Geschwindigkeit von 160 m/s<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 8 \cdot \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 10 \cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}</math>. Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
Flugzeug Aer und Liesbeth<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=47738Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-04-20T09:40:41Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Einführung==<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk}}<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1 | 2=Stelle eine Gleichung einer Geraden in Parameterdarstellung auf, die durch folgende Punkte verläuft: A(1/2/3), B(1/3/4) | 3=Aufgabe}}<br />
<br />
<br />
===Lagebeziehungen von Geraden===<br />
<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit der Lagebeziehung von Geraden im Raum.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in ''identisch'', ''parallel'', ''geschnitten'' und ''windschief''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich ''identisch'' oder ''parallel'' sein. <br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|rahmenlos|Identische Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|mitte|rahmenlos|Parallele Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden ''parallel'' oder ''identisch'' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden ''identisch''. Andernfalls sind die Geraden echt ''parallel''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
b)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich ''schneiden'' oder ''windschief'' zueinander sein.<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|mitte|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden ''schneiden'' oder zueinader ''winschief'' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so ''schneiden'' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden ''windschief'' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
b)<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt .|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden'' sich.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen wir daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box |1= Merksatz |2=<br /><br />
Zwei Geraden...<br />
<br />
sind ''identisch''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden<br />
sind ''parallel''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt '''nicht''' auf der anderen Geraden.<br />
''schneiden'' sich <br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''wahre Aussage''' in Form eines Punktes heraus<br />
sind zueinander ''windschief''<br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''falsche Aussage''' heraus<br />
<br />
<br /> .<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen drei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Fugzeug der Marke Aer startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 10sek auf <math> \begin{pmatrix} 1239,75 \\ 1040 \\ 1287,5 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 164,85m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 98,88 \\ 82,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Fugzeuge?<br />
<br />
b) Welches der Flugzeuge ist das schnellste?<br />
<br />
c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Siehe oben: Parameterdarstellung |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Um die Parameterdarstellung aufzustellen, musst du wissen, wie man die Geschwindigkeit berechnet. Die Geschwindigkeit wird aus der Länge des Richtungsvektoren emittelt. |2=Tipp zu b |3=Tipp zu a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir die Richtungsvektoren an. Sind sie kollinear?|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht|2=2. Tipp |3=2. Tipp}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:<br />
<math> \begin{pmatrix} 1239,75 \\ 1040 \\ 1287,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 10 \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen zu x,y,z um.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
Dies erhalten wir wie folgt:<br />
Wir kennen den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 98,88 \\ 82,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 164,85m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 164,85 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<br />
<br />
<math> 164,85=\sqrt[2]{98,88**2+82,4**2+z^2}</math><br />
<br />
<br />
Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<br />
<br />
<math> 164,85**2=98,88**2+82,4**2+z**2</math><br />
<br />
<br />
Wir formen zu z**2 um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 102,997 und runden auf 103.<br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt it der Formel:<br />
<math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 96\\ 80 \\ 100 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Liesbeth hat nach dem Text eine Geschwindigkeit von 160 m/s<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 8 \cdot \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 10 \cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}</math>. Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
Flugzeug Aer und Liesbeth<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=47737Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-04-20T09:32:32Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Einführung==<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk}}<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1 | 2=Stelle eine Gleichung einer Geraden in Parameterdarstellung auf, die durch folgende Punkte verläuft: A(1/2/3), B(1/3/4) | 3=Aufgabe}}<br />
<br />
<br />
===Lagebeziehungen von Geraden===<br />
<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit der Lagebeziehung von Geraden im Raum.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in ''identisch'', ''parallel'', ''geschnitten'' und ''windschief''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich ''identisch'' oder ''parallel'' sein. <br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|rahmenlos|Identische Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|mitte|rahmenlos|Parallele Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden ''parallel'' oder ''identisch'' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden ''identisch''. Andernfalls sind die Geraden echt ''parallel''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
b)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich ''schneiden'' oder ''windschief'' zueinander sein.<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|mitte|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden ''schneiden'' oder zueinader ''winschief'' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so ''schneiden'' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden ''windschief'' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
b)<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt .|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden'' sich.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen wir daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box |1= Merksatz |2=<br /><br />
Zwei Geraden...<br />
<br />
sind ''identisch''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden<br />
sind ''parallel''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt '''nicht''' auf der anderen Geraden.<br />
''schneiden'' sich <br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''wahre Aussage''' in Form eines Punktes heraus<br />
sind zueinander ''windschief''<br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''falsche Aussage''' heraus<br />
<br />
<br /> .<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen drei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Fugzeug der Marke Aer startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 10sek auf <math> \begin{pmatrix} 1239,75 \\ 1040 \\ 1287,5 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Nach 1sek hat es eine Strecke von 164,85m erreicht und befindet sich bei <math> \begin{pmatrix} 103,88 \\ 92,4 \\ x \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Fugzeuge?<br />
<br />
b) Welches der Flugzeuge ist das schnellste?<br />
<br />
c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Siehe oben: Parameterdarstellung |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Um die Parameterdarstellung aufzustellen, musst du wissen, wie man die Geschwindigkeit berechnet. Die Geschwindigkeit wird aus der Länge des Richtungsvektoren emittelt. |2=Tipp zu b |3=Tipp zu a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir die Richtungsvektoren an. Sind sie kollinear?|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht|2=2. Tipp |3=2. Tipp}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:<br />
<math> \begin{pmatrix} 1239,75 \\ 1040 \\ 1287,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 10 \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen zu x,y,z um.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
Dies erhalten wir wie folgt:<br />
Wir wiisen, dass sich das Flugzeug nach einer Sekunde bei <math> \begin{pmatrix} 103,88 \\ 92,4 \\ x \end{pmatrix}</math>. <br />
. Zudem kennen wir den Ortsvektor, es gilt also:<br />
<math>\begin{pmatrix} 103,88 \\ 92,4 \\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} x\\ y \\ z\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> . Formen wir dies in einem Gleichungssystem um erhalten wir für den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 98,88 \\ 82,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug innerhalb einer Sekunde eine Länge von 164,85m geflogen ist. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 164,85 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<math> 164,85=\sqrt[2]{98,88**2+82,4**2+z**2}</math><br />
Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<math> 164,85**2=98,88**2+82,4**2+z**2</math><br />
Wir formen zu z**2 um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 102,997 und runden auf 103.<br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt it der Formel:<br />
<math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 96\\ 80 \\ 100 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Liesbeth hat nach dem Text eine Geschwindigkeit von 160 m/s<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 8 \cdot \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 10 \cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}</math>. Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
Flugzeug Aer und Liesbeth<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=47702Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-04-19T15:36:27Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Einführung==<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk}}<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1 | 2=Stelle eine Gleichung einer Geraden in Parameterdarstellung auf, die durch folgende Punkte verläuft: A(1/2/3), B(1/3/4) | 3=Aufgabe}}<br />
<br />
<br />
===Lagebeziehungen von Geraden===<br />
<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit der Lagebeziehung von Geraden im Raum.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in ''identisch'', ''parallel'', ''geschnitten'' und ''windschief''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich ''identisch'' oder ''parallel'' sein. <br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|rahmenlos|Identische Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|mitte|rahmenlos|Parallele Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden ''parallel'' oder ''identisch'' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden ''identisch''. Andernfalls sind die Geraden echt ''parallel''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
b)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich ''schneiden'' oder ''windschief'' zueinander sein.<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|mitte|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden ''schneiden'' oder zueinader ''winschief'' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so ''schneiden'' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden ''windschief'' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
b)<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt .|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden'' sich.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen wir daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box |1= Merksatz |2=<br /><br />
Zwei Geraden...<br />
<br />
sind ''identisch''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden<br />
sind ''parallel''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt '''nicht''' auf der anderen Geraden.<br />
''schneiden'' sich <br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''wahre Aussage''' in Form eines Punktes heraus<br />
sind zueinander ''windschief''<br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''falsche Aussage''' heraus<br />
<br />
<br /> .<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen drei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Fugzeug der Marke Aer startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 10sek auf <math> \begin{pmatrix} 1239,75 \\ 1040 \\ 1287,5 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Nach 1sek hat es eine Strecke von 164,85m erreicht und befindet sich bei <math> \begin{pmatrix} 103,88 \\ 92,4 \\ x \end{pmatrix}</math>. <br />
<br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
<br />
a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Fugzeuge?<br />
<br />
b) Welches der Flugzeuge ist das schnellste?<br />
<br />
c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Siehe oben: Parameterdarstellung |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Um die Parameterdarstellung aufzustellen, musst du wissen, wie man die Geschwindigkeit berechnet. Die Geschwindigkeit wird aus der Länge des Richtungsvektoren emittelt. |2=Tipp zu b |3=Tipp zu a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir die Richtungsvektoren an. Sind sie kollinear?|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht|2=2. Tipp |3=2. Tipp}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:<br />
<math> \begin{pmatrix} 1239,75 \\ 1040 \\ 1287,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 10 \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen zu x,y,z um.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
Dies erhalten wir wie folgt:<br />
Wir wiisen, dass sich das Flugzeug nach einer Sekunde bei <math> \begin{pmatrix} 103,88 \\ 92,4 \\ x \end{pmatrix}</math>. <br />
. Zudem kennen wir den Ortsvektor, es gilt also:<br />
<math>\begin{pmatrix} 103,88 \\ 92,4 \\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} x\\ y \\ z\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> . Formen wir dies im Gleichungssystem um erhalten wir für den Richtungsvektor:<br />
<math> \begin{pmatrix} 98,88 \\ 82,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug innerhalb einer Sekunde eine Länge von 164,85m geflogen ist. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 164,85 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:<br />
<math> 164,85=\sqrt[2]{98,88**2+82,4**2+z**2}</math><br />
Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:<br />
<math> 164,85**2=98,88**2+82,4**2+z**2</math><br />
Wir formen zu z**2 um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 102,997 und runden auf 103.<br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt it der Formel:<br />
<math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 96\\ 80 \\ 100 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Liesbeth hat nach dem Text eine Geschwindigkeit von 160 m/s<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 8 \cdot \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 10 \cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}</math>. Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
Flugzeug Aer und Liesbeth<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=47522Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-04-18T13:45:35Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Einführung==<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk}}<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1 | 2=Stelle eine Gleichung einer Geraden in Parameterdarstellung auf, die durch folgende Punkte verläuft: A(1/2/3), B(1/3/4) | 3=Aufgabe}}<br />
<br />
<br />
===Lagebeziehungen von Geraden===<br />
<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit der Lagebeziehung von Geraden im Raum.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in ''identisch'', ''parallel'', ''geschnitten'' und ''windschief''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich ''identisch'' oder ''parallel'' sein. <br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|rahmenlos|Identische Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|mitte|rahmenlos|Parallele Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden ''parallel'' oder ''identisch'' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden ''identisch''. Andernfalls sind die Geraden echt ''parallel''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
b)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich ''schneiden'' oder ''windschief'' zueinander sein.<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|mitte|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden ''schneiden'' oder zueinader ''winschief'' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so ''schneiden'' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden ''windschief'' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
b)<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt .|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden'' sich.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen wir daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box |1= Merksatz |2=<br /><br />
Zwei Geraden...<br />
<br />
sind ''identisch''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden<br />
sind ''parallel''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt '''nicht''' auf der anderen Geraden.<br />
''schneiden'' sich <br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''wahre Aussage''' in Form eines Punktes heraus<br />
sind zueinander ''windschief''<br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''falsche Aussage''' heraus<br />
<br />
<br /> .<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen drei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Fugzeug der Marke Aer startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und fliegt mit einem Vektor von <math> \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}</math> pro Minute. Ebenfalls möchte das Flugzeug Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich 10sek später <math> \begin{pmatrix} 993,8 \\ 834 \\ 1030 \end{pmatrix}</math>. Das Flugzeug Liesbeth befindet sich beim Start in <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Es hat eine Geschwindigkeit von 160 m/s und befindet sich nach 1 sek bei <math> \begin{pmatrix} 97 \\ 81 \\ X \end{pmatrix}</math>. <br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Fugzeuge?<br />
b) Welches der Flugzeuge ist das schnellste?<br />
c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Siehe oben: Parameterdarstellung |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Um die Parameterdarstellung aufzustellen, musst du wissen, wie man die Geschwindigkeit berechnet. Die Geschwindigkeit wird aus der Länge des Richtungsvektoren emittelt. |2=Tipp zu b |3=Tipp zu a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir die Richtungsvektoren an. Sind sie kollinear?|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht|2=2. Tipp |3=2. Tipp}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
Flugzeug Liesbeth:<br />
<math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 96\\ 80 \\ 100 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt it der Formel:<br />
<math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 96\\ 80 \\ 100 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Liesbeth hat nach dem Text eine Geschwindigkeit von 160 m/s<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 8 \cdot \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 10 \cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}</math>. Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus und Liesbeth:<br />
Die Richtungsvektoren sind mit <math> \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}= 1,03 \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix} </math> kollinear. Daher müssen sie parallel oder identisch sein. Der Ortsvektor liegt jeodch nicht auf der Geraden der anderen Geradengleichung, weshalb sie parallel sein müssen.<br />
<br />
Flugzeug Aer und Liesbeth<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}</div>Katrin WWU-8https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_%E2%80%93_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum/Geraden_im_Raum&diff=47521Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum2021-04-18T13:42:28Z<p>Katrin WWU-8: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Geraden im Raum'''. <br />
Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Einführung==<br />
===Parameterdarstellung einer Geraden===<br />
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk}}<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1 | 2=Stelle eine Gleichung einer Geraden in Parameterdarstellung auf, die durch folgende Punkte verläuft: A(1/2/3), B(1/3/4) | 3=Aufgabe}}<br />
<br />
<br />
===Lagebeziehungen von Geraden===<br />
<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit der Lagebeziehung von Geraden im Raum.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in ''identisch'', ''parallel'', ''geschnitten'' und ''windschief''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich ''identisch'' oder ''parallel'' sein. <br />
<br />
[[Datei:Identische Geraden.png|links|rahmenlos|Identische Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Parallele Geraden.png|mitte|rahmenlos|Parallele Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden ''parallel'' oder ''identisch'' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden ''identisch''. Andernfalls sind die Geraden echt ''parallel''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
b)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich ''schneiden'' oder ''windschief'' zueinander sein.<br />
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]<br />
<br />
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|mitte|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]<br />
<br />
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden ''schneiden'' oder zueinader ''winschief'' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so ''schneiden'' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden ''windschief'' zueinander.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?<br />
<br />
a)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
b)<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt .|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden'' sich.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen wir daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box |1= Merksatz |2=<br /><br />
Zwei Geraden...<br />
<br />
sind ''identisch''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden<br />
sind ''parallel''<br />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)<br />
* Ortsvektor der einen Geraden liegt '''nicht''' auf der anderen Geraden.<br />
''schneiden'' sich <br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''wahre Aussage''' in Form eines Punktes heraus<br />
sind zueinander ''windschief''<br />
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)<br />
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''falsche Aussage''' heraus<br />
<br />
<br /> .<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: |2=Flugerlaubnis erteilen?<br />
<br />
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen drei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Fugzeug der Marke Aer startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und fliegt mit einem Vektor von <math> \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}</math> pro Minute. Ebenfalls möchte das Flugzeug Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich 10sek später <math> \begin{pmatrix} 993,8 \\ 834 \\ 1030 \end{pmatrix}</math>. Das Flugzeug Liesbeth befindet sich beim Start in <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Es hat eine Geschwindigkeit von 160 m/s und befindet sich nach 1 sek bei <math> \begin{pmatrix} 97 \\ 81 \\ X \end{pmatrix}</math>. <br />
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: <br />
a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Fugzeuge?<br />
b) Welches der Flugzeuge ist das schnellste?<br />
c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Siehe oben: Parameterdarstellung |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Um die Parameterdarstellung aufzustellen, musst du wissen, wie man die Geschwindigkeit berechnet. Die Geschwindigkeit wird aus der Länge des Richtungsvektoren emittelt. |2=Tipp zu b |3=Tipp zu a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir die Richtungsvektoren an. Sind sie kollinear?|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht|2=2. Tipp |3=2. Tipp}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Flugzeug Aer:<br />
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math><br />
<br />
Flugzeug Amadeus:<br />
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
<br />
Flugzeug Liesbeth:<br />
<math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 96\\ 80 \\ 100 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt it der Formel:<br />
<math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 96\\ 80 \\ 100 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> <br />
Flugzeug Amadeus:<br />
Das Flugzeug Liesbeth hat nach dem Text eine Geschwindigkeit von 160 m/s<br />
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Flugzeug Aer und Amadeus: <br />
Sie schneiden sich für<br />
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 8 \cdot \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 10\cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}</math>. Da es jedoch icht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.<br />
<br />
Flugzeug Amadeus und Liesbeth:<br />
Die Richtungsvektoren sind mit <math> \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}= 1,03 \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix} </math> kollinear. Daher müssen sie parallel oder identisch sein. Der Ortsvektor liegt jeodch nicht auf der Geraden der anderen Geradengleichung, weshalb sie parallel sein müssen.<br />
<br />
Flugzeug Aer und Liesbeth<br />
<br />
<br />
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}</div>Katrin WWU-8