https://projekte.zum.de/api.php?action=feedcontributions&user=Dirk+G+WWU-7&feedformat=atomZUM Projektwiki - Benutzerbeiträge [de]2024-03-29T05:00:04ZBenutzerbeiträgeMediaWiki 1.39.6https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8&diff=39410Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-82020-12-11T13:01:11Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Fit für VERA-8"!<br />
<br />
Hier entsteht im Wintersemester 2020/2021 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 8 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].<br />
<br />
[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad}}<br />
<br />
==Diagnosetest==<br />
<br />
<quiz display="simple"><br />
<br />
{ Wie werden nicht sichtbare Linien in einem Schrägbild gezeichnet? }<br />
- Sie werden fett gezeichnet.<br />
- Sie werden nicht gezeichnet.<br />
+ Sie werden gestrichelt gezeichnet.<br />
<br />
{ Ein reguläres Tetraeder ist ein Pyramide, die... }<br />
+ ...eine dreieckige Grundfläche besitzt.<br />
+ ...vier kongruente gleichseitige Dreiecke als Fläche hat.<br />
- ...sechs ungleich lange Kanten hat.<br />
<br />
{ Wann nennt man eine Figur unmöglich? }<br />
+ Wenn unerlaubte Wechsel in der Perspektive eingebaut werden.<br />
- Sie sind unsichtbar.<br />
- Wenn mehr als zwei Seiten parallel zueinander sind.<br />
<br />
{ Löse die folgende Gleichung nach <math>x</math> auf: <math>5x-45=35</math> }<br />
+ <math>x=16</math><br />
- <math>x=8</math><br />
- <math>x=80</math><br />
- <math>x=2</math><br />
<br />
{ Welche Aussage ist wahr? }<br />
- Die Variable wird immer mit <math>x</math> bezeichnet.<br />
+ Eine mögliche Äquivalenzumformung ist das Addieren oder Subtrahieren derselben Zahl auf beiden Seiten einer Gleichung.<br />
+ Mit <math>\mathbb{L}</math> beschreibt man die Lösung einer Gleichung.<br />
<br />
{ Entscheide, welche der Gleichungen zu folgendem Rätsel passt: Wenn man zum Fünffachen einer Unbekannten <math>2</math> addiert, entspricht das dem Doppelten dieser Unbekannten, wenn von diesem <math>10</math> substrahiert wird. }<br />
- <math>5x+2=\frac{2}{x}-10</math><br />
- <math>\frac{x}{5}+2=2x-10</math><br />
+ <math>5x+2=2x-10</math><br />
- <math>\frac{5}{x}+2=\frac{x}{2}-10</math><br />
<br />
{Ein Würfel wird <math>100</math> mal geworfen und <math>15</math> mal kommt die Würfelzahl 4 heraus. Dann ist <math>15</math> die...}<br />
- ... relative Häufigkeit.<br />
+ ... absolute Häufigkeit.<br />
<br />
{[[Datei:Stochastik Bayestheorem Urnenversuch.png|mini|zentriert]] Die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig zwei rote Kugeln aus Urne A zu ziehen, ist größer als die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig zwei weiße Kugeln aus Urne B zu ziehen.}<br />
- wahr<br />
+ falsch<br />
<br />
{Welche der folgenden Aussagen treffen auf ein Laplace-Experiment zu?}<br />
+ Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich.<br />
- Das Werfen des Würfels mit den Seiten 1,1,1,3,5,5 ist ein Laplace-Experiment.<br />
+ Das Werfen einer Münze ist ein Laplace-Experiment.<br />
<br />
{ Was sind 5 % von 200 €? }<br />
- 5 €<br />
+ 10 €<br />
- 20 €<br />
- 40 €<br />
<br />
{ Kerim überlegt: Ein Sparkonto mit Zinsen ist das Gleiche wie ein Sparschwein, in welches ich monatlich etwas Geld einzahle. Stimmt Kerims Überlegung? }<br />
- Ja, denn der Geldbetrag verändert sich nicht.<br />
- Ja, denn ich bekomme bei beiden gleich viele Zinsen.<br />
+ Nein, denn ich bekomme bei dem Sparkonto zusätzliches Geld von der Bank.<br />
- Nein, ich bekomme zwar bei beiden Zinsen, aber ich bekomme bei der Bank mehr Zinsen.<br />
<br />
{ Ordne den Prozentwert eine der Größen aus der Zinsrechnung zu: }<br />
- Er entspricht dem Kapital.<br />
+ Er entspricht den Zinsen.<br />
- Er entspricht dem Zinssatz.<br />
- Er entspricht dem Prozentsatz.<br />
<br />
{ [[Datei:Geogebra-export.png|mini|rechts| 300px]]Welche Funktionsgleichung passt zu dem rechts abgebildeten Funktionsgraphen? }<br />
- <math> f(x)= -\frac{1}{2}x+3 </math><br />
- <math> f(x)= 2x+3 </math><br />
+ <math> f(x)= \frac{1}{2}x-\frac{3}{2} </math><br />
- <math> f(x)= 2x-\frac{3}{2} </math><br />
<br />
{ Bei der Nullstelle einer linearen Funktion gilt im Allgemeinen }<br />
+ <math> f(x)=0 </math>.<br />
- <math> x=0 </math>.<br />
<br />
{ Welchen Schnittpunkt haben die beiden Funktionsgleichungen <math> f(x)=3x-2 </math> und <math> g(x)=-\frac{1}{3}x+4</math> ? </br> }<br />
- <math> S(0,2|-1{,}4)</math>.<br />
- <math> S(1{,}2|3{,}6)</math>.<br />
+ <math> S(1{,}8|3{,}4)</math><br />
<br />
{ Das Prisma besteht aus zwei Grundflächen, die... }<br />
- senkrecht aufeinander liegen.<br />
+ parallel und deckungsgleich zueinander liegen.<br />
- in der Form gleich, aber in der Größe unterschiedlich sind.<br />
<br />
{ Ein gegebenes Prisma besteht aus 5 Seitenflächen. Die einzelnen Seitenflächen haben die Form eines Rechtecks mit <math>a=12 </math> cm und <math>b=20 </math> cm. Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>G=36 </math> cm<sup>2</sup>. Für die Größe des Oberflächeninhalts gilt: }<br />
- <math>O=192 </math> cm<sup>2</sup>.<br />
- <math>O=1236 </math> cm<sup>2</sup>.<br />
+ <math>O=1272 </math> cm<sup>2</sup>.<br />
- <math>O=156 </math> cm<sup>2</sup>.<br />
<br />
<br />
{ Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Es seien <math>O=12000 </math> cm<sup>2</sup>, <math>M=5000 </math> cm<sup>2</sup> und <math>h=250 </math> cm. Für das Volumen des Prismas gilt:}<br />
+ <math>V=875000 </math> cm<sup>3</sup>.<br />
- <math>V=800000 </math> cm<sup>3</sup>.<br />
- <math>V=1100000 </math> cm<sup>3</sup>.<br />
<br />
<br />
{ Vereinfache den folgenden Term: <math> 5x+3y-(2x+y)+4y-(y-x)</math>. Kreuze die richtige Lösung an.}<br />
- <math>6x+9y</math><br />
- <math>2x+7y</math><br />
+ <math>4x+5y</math><br />
<br />
{ Was fehlt in der Klammer? <math>-6x+18xy=-6x \cdot (...)</math> }<br />
+ <math>1-3y</math><br />
- <math>1+3y</math><br />
- <math>-1+3y</math><br />
- <math>x+3xy</math><br />
<br />
{Löse unter Verwendung einer binomischen Formel. <math> (3-2x)^2 = ... </math> }<br />
- <math> 9-6x+4x^2 </math><br />
- <math> 9-3x+4x </math><br />
+ <math> 9-12x+4x^2 </math><br />
- <math> 9+12x-4x^2 </math><br />
<br />
</quiz><br />
<br />
<br />
Die Lernpfadkapitel:<br />
<br />
*[[/Unmögliche Figuren und Schrägbilder|Unmögliche Figuren und Schrägbilder]]<br />
*[[/Einfache Gleichungen|Einfache Gleichungen]]<br />
*[[/Stochastik|Stochastik]]<br />
*[[/Zinsrechnung|Zinsrechnung]]<br />
*[[/Lineare Funktionen|Lineare Funktionen]]<br />
*[[/Volumen und Oberfläche des Prismas|Volumen und Oberfläche des Prismas]]<br />
*[[/Terme|Terme]]</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=39409Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-11T12:42:39Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist dreimal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächst eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein. Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen".<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas addieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit dem Seitenflächeninhalt addieren) (Die Breite mit dem Seitenflächeninhalt multiplizieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenflächen mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Größen miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit m<sup>2</sup> ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm<sup>2</sup> mit dm<sup>3</sup> usw.) (Sinnvoll addieren kann man nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten oder Volumen mit Volumen) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen Flächen des Prismas. Die '''Oberfläche eines Prismas''' ergibt sich aus den '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, zusammen mit den '''''beiden'' Grundflächen'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 7: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 3{,}2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 38{,}4 \text{ cm}^2 = 92{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>92{,}4 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + 92{,}4 \text{ cm}^2 = 97{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>97{,}4 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 8: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt und <math>O</math> der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 </math> dm<sup>2</sup> und <br/><br />
<math>G = 250 </math> cm<sup>2</sup>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Oberflächeninhalt nach <math>M</math> um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 9: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung? <br><br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck|center]][[Datei:Sechseck.png|mini|Sechseck|center]] <br><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Seitenflächen. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
<br />
'''Oberflächeninhalt <math>O</math> = Grundflächeninhalt 1 + Grundflächeninhalt 2 + Rechteckflächeninhalt 1 + Rechteckflächeninhalt 2 + ... + Rechteckflächeninhalt <math>n</math>''' <br><br />
<br />
Die Grundflächeninhalte sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen des regelmäßigen <math> n </math>-Ecks als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel <br />
<br />
'''Oberflächeninhalt = 2 <math> \cdot</math> Grundflächeninhalt + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächeninhalt''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem Volumen eines Prismas. Du berechnest den '''Rauminhalt eines Prismas''', indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt, ''umgangssprachlich'' einen '''''massiven Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 7 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 9 \text{ cm} = 13500 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>13500 \text{ cm}^3</math> oder <math>13{,}5 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 \ und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach <math>G</math> um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen. | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>G</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>h</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
==Ausblick==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit weiterführenden Inhalten, die später wichtig werden können. Zum Beispiel gibt es auch '''Prismen mit unregelmäßigen Grundflächen'''. Außerdem wirst du auch '''schräge Prismen''' kennenlernen, die dann aber eine etwas abgeänderte Definition bei Prismen erfordern.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 12: Unregelmäßige Grundflächen|2= Du hast bereits mit Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen gearbeitet, dir darüber aber kaum Gedanken gemacht, weil du rechtwinklige Dreiecke oder Parallelogramme kennst und recht einfach berechnen kannst. Aber es gibt auch kompliziertere Fälle. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z. B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander! Bist du fertig, klicke auf das blaue Häkchen unten rechts.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 13: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? Bist du fertig, klicke auf das blaue Häkchen unten rechts.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe, falls du es dir nicht vorstellen kannst | 3= Hilfe einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Gleich bleiben Winkel in den Grundflächen, da wir die oberste und unterste Karte nicht verändern und sie "Rechtecke" bleiben. Das Volumen bzw. die Höhe würden sich nur ändern, wenn man Karten wegnimmt oder dazulegt. <br><br />
Die veränderte Form des Körpers bzw. der Oberfläche ist eine logische Folge der Verschiebungen der Karten, was du auch auf dem zweiten Bild der Hilfe sehen kannst. Bei den bisher bekannten "geraden" Prismen haben wir zwischen Grundflächen und Seitenflächen immer rechte Winkel von 90°. Bei "schrägen" Prismen muss es aber Winkel geben, die ungleich 90° sind. [[Datei:Vorderansichten Seitenflächen von "geraden" und "schrägen" Prismen.png|center|mini]]<br />
| 2= Hinweise zur Lösung | 3= Hinweise einklappen }}<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=39408Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-11T12:40:39Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist dreimal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächst eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein. Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen".<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas addieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit dem Seitenflächeninhalt addieren) (Die Breite mit dem Seitenflächeninhalt multiplizieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenflächen mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Größen miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit m<sup>2</sup> ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm<sup>2</sup> mit dm<sup>3</sup> usw.) (Sinnvoll addieren kann man nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten oder Volumen mit Volumen) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen Flächen des Prismas. Die '''Oberfläche eines Prismas''' ergibt sich aus den '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, zusammen mit den '''''beiden'' Grundflächen'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 7: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 3{,}2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 38{,}4 \text{ cm}^2 = 92{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>92{,}4 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + 92{,}4 \text{ cm}^2 = 97{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>97{,}4 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 8: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt und <math>O</math> der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 </math> dm<sup>2</sup> und <br/><br />
<math>G = 250 </math> cm<sup>2</sup>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Oberflächeninhalt nach <math>M</math> um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 9: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung? <br><br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck|center]][[Datei:Sechseck.png|mini|Sechseck|center]] <br><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Seitenflächen. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
<br />
'''Oberflächeninhalt <math>O</math> = Grundflächeninhalt 1 + Grundflächeninhalt 2 + Rechteckflächeninhalt 1 + Rechteckflächeninhalt 2 + ... + Rechteckflächeninhalt <math>n</math>''' <br><br />
<br />
Die Grundflächeninhalte sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen des regelmäßigen <math> n </math>-Ecks als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel <br />
<br />
'''Oberflächeninhalt = 2 <math> \cdot</math> Grundflächeninhalt + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächeninhalt''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem Volumen eines Prismas. Du berechnest den '''Rauminhalt eines Prismas''', indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt, ''umgangssprachlich'' einen '''''massiven Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 7 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 9 \text{ cm} = 13500 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>13500 \text{ cm}^3</math> oder <math>13{,}5 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 \ und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach <math>G</math> um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen. | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>G</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>h</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
==Ausblick==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit weiterführenden Inhalten, die später wichtig werden können. Zum Beispiel gibt es auch '''Prismen mit unregelmäßigen Grundflächen'''. Außerdem wirst du auch '''schräge Prismen''' kennenlernen, die dann aber eine etwas abgeänderte Definition bei Prismen erfordern.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 12: Unregelmäßige Grundflächen|2= Du hast bereits mit Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen gearbeitet, dir darüber aber kaum Gedanken gemacht, weil du rechtwinklige Dreiecke oder Parallelogramme kennst und recht einfach berechnen kannst. Aber es gibt auch kompliziertere Fälle. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z. B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander! Bist du fertig, klicke auf das blaue Häkchen unten rechts.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 13: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? Bist du fertig, klicke auf das blaue Häkchen unten rechts.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe, falls du es dir nicht vorstellen kannst | 3= Hilfe einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Gleich bleiben Winkel in den Grundflächen, da wir die oberste und unterste Karte nicht verändern und sie "Rechtecke" bleiben. Das Volumen bzw. die Höhe würden sich nur ändern, wenn man Karten wegnimmt oder dazu packt. <br><br />
Die veränderte Form des Körpers bzw. der Oberfläche ist eine logische Folge der Verschiebungen der Karten, was du auch auf dem zweiten Bild der Hilfe sehen kannst. Bei den bisher bekannten "geraden" Prismen haben wir zwischen Grundflächen und Seitenflächen immer rechte Winkel von 90°. Bei "schrägen" Prismen muss es aber Winkel geben, die ungleich 90° sind. [[Datei:Vorderansichten Seitenflächen von "geraden" und "schrägen" Prismen.png|center|mini]]<br />
| 2= Hinweise zur Lösung | 3= Hinweise einklappen }}<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=39407Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-11T12:39:07Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist dreimal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächst eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein. Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen".<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas addieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit dem Seitenflächeninhalt addieren) (Die Breite mit dem Seitenflächeninhalt multiplizieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenflächen mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Größen miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit m<sup>2</sup> ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm<sup>2</sup> mit dm<sup>3</sup> usw.) (Sinnvoll addieren kann man nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten oder Volumen mit Volumen) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen Flächen des Prismas. Die '''Oberfläche eines Prismas''' ergibt sich aus den '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, zusammen mit den '''''beiden'' Grundflächen'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 7: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 3{,}2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 38{,}4 \text{ cm}^2 = 92{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>92{,}4 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + 92{,}4 \text{ cm}^2 = 97{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>97{,}4 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 8: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt und <math>O</math> der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 </math> dm<sup>2</sup> und <br/><br />
<math>G = 250 </math> cm<sup>2</sup>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Oberflächeninhalt nach <math>M</math> um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 9: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung? <br><br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck|center]][[Datei:Sechseck.png|mini|Sechseck|center]] <br><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Seitenflächen. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
<br />
'''Oberflächeninhalt <math>O</math> = Grundflächeninhalt 1 + Grundflächeninhalt 2 + Rechteckflächeninhalt 1 + Rechteckflächeninhalt 2 + ... + Rechteckflächeninhalt <math>n</math>''' <br><br />
<br />
Die Grundflächeninhalte sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen des regelmäßigen <math> n </math>-Ecks als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel <br />
<br />
'''Oberflächeninhalt = 2 <math> \cdot</math> Grundflächeninhalt + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächeninhalt''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem Volumen eines Prismas. Du berechnest den '''Rauminhalt eines Prismas''', indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt, ''umgangssprachlich'' einen '''''massiven Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 7 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 9 \text{ cm} = 13500 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>13500 \text{ cm}^3</math> oder <math>13{,}5 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 \ und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach <math>G</math> um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen. | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>G</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>h</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
==Ausblick==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit weiterführenden Inhalten, die später wichtig werden können. Zum Beispiel gibt es auch '''Prismen mit unregelmäßigen Grundflächen'''. Außerdem wirst du auch '''schräge Prismen''' kennenlernen, die dann aber eine etwas abgeänderte Definition bei Prismen erfordern.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 12: Unregelmäßige Grundflächen|2= Du hast bereits mit Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen gearbeitet, dir darüber aber kaum Gedanken gemacht, weil du rechtwinklige Dreiecke oder Parallelogramme kennst und recht einfach berechnen kannst. Aber es gibt auch kompliziertere Fälle. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z. B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander! Bist du fertig, klicke auf das blaue Häkchen unten rechts.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 13: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? Bist du fertig, klicke auf das blaue Häkchen unten rechts.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe, falls du es dir nicht vorstellen kannst | 3= Hilfe einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Gleich bleiben Winkel in den Grundflächen, da wir die oberste und unterste Karte nicht verändern und sie "Rechtecke" bleiben. Das Volumen bzw. die Höhe würden sich nur ändern, wenn man Karten wegnimmt oder dazu packt. <br><br />
Die veränderte Form des Körpers bzw. der Oberfläche ist eine logische Folge der Verschiebungen der Karten, was du auch auf dem zweiten Bild der Hilfe sehen kannst. Bei den bisher bekannten "geraden" Prismen haben wir zwischen Grundflächen und Seitenflächen immer rechte Winkel von 90°. Bei "schrägen" Prismen muss es aber Winkel geben, die ungleich 90° sind. [[Datei:Vorderansichten Seitenflächen von "geraden" und "schrägen" Prismen.png|mini]]<br />
| 2= Hinweise zur Lösung | 3= Hinweise einklappen }}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Datei:Vorderansichten_Seitenfl%C3%A4chen_von_%22geraden%22_und_%22schr%C3%A4gen%22_Prismen.png&diff=39406Datei:Vorderansichten Seitenflächen von "geraden" und "schrägen" Prismen.png2020-12-11T12:38:22Z<p>Dirk G WWU-7: Hochgeladen mit VisualEditor Seite</p>
<hr />
<div>{{Information<br />
|description = Vorderansichten von Seitenflächen von "geraden" und schrägen" Prismen erstellt mit Geogebra<br />
|source = Eigene Arbeit<br />
|author = [[User:Dirk G WWU-7|Dirk G WWU-7]]<br />
}}<br />
<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}[[Category:Mathematik]]</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=39404Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-11T12:14:41Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist dreimal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächst eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein. Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen".<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas addieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit dem Seitenflächeninhalt addieren) (Die Breite mit dem Seitenflächeninhalt multiplizieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenflächen mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Größen miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit m<sup>2</sup> ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm<sup>2</sup> mit dm<sup>3</sup> usw.) (Sinnvoll addieren kann man nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten oder Volumen mit Volumen) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen Flächen des Prismas. Die '''Oberfläche eines Prismas''' ergibt sich aus den '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, zusammen mit den '''''beiden'' Grundflächen'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 7: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 3{,}2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 38{,}4 \text{ cm}^2 = 92{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>92{,}4 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + 92{,}4 \text{ cm}^2 = 97{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>97{,}4 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 8: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt und <math>O</math> der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 </math> dm<sup>2</sup> und <br/><br />
<math>G = 250 </math> cm<sup>2</sup>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Oberflächeninhalt nach <math>M</math> um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 9: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung? <br><br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck|center]][[Datei:Sechseck.png|mini|Sechseck|center]] <br><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Seitenflächen. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
<br />
'''Oberflächeninhalt <math>O</math> = Grundflächeninhalt 1 + Grundflächeninhalt 2 + Rechteckflächeninhalt 1 + Rechteckflächeninhalt 2 + ... + Rechteckflächeninhalt <math>n</math>''' <br><br />
<br />
Die Grundflächeninhalte sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen des regelmäßigen <math> n </math>-Ecks als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel <br />
<br />
'''Oberflächeninhalt = 2 <math> \cdot</math> Grundflächeninhalt + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächeninhalt''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem Volumen eines Prismas. Du berechnest den '''Rauminhalt eines Prismas''', indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt, ''umgangssprachlich'' einen '''''massiven Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 7 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 9 \text{ cm} = 13500 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>13500 \text{ cm}^3</math> oder <math>13{,}5 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 \ und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach <math>G</math> um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen. | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>G</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>h</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
==Ausblick==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit weiterführenden Inhalten, die später wichtig werden können. Zum Beispiel gibt es auch '''Prismen mit unregelmäßigen Grundflächen'''. Außerdem wirst du auch '''schräge Prismen''' kennenlernen, die dann aber eine etwas abgeänderte Definition bei Prismen erfordern.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 12: Unregelmäßige Grundflächen|2= Du hast bereits mit Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen gearbeitet, dir darüber aber kaum Gedanken gemacht, weil du rechtwinklige Dreiecke oder Parallelogramme kennst und recht einfach berechnen kannst. Aber es gibt auch kompliziertere Fälle. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z. B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander! Bist du fertig, klicke auf das blaue Häkchen unten rechts.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 13: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? Bist du fertig, klicke auf das blaue Häkchen unten rechts.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe, falls du es dir nicht vorstellen kannst | 3= Hilfe einklappen}} <br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Gleich bleiben Winkel in den Grundflächen, da wir die oberste und unterste Karte nicht verändern und sie "Rechtecke" bleiben. Das Volumen bzw. die Höhe würden sich nur ändern, wenn man Karten wegnimmt oder dazu packt. <br><br />
Die veränderte Form des Körpers bzw. der Oberfläche ist eine logische Folge der Verschiebungen der Karten, was du auch auf dem zweiten Bild der Hilfe sehen kannst. Bei den bisher bekannten "geraden" Prismen haben wir zwischen Grundflächen und Seitenflächen immer rechte Winkel von 90°. Bei "schrägen" Prismen muss es aber Winkel geben, die ungleich 90° sind. <br />
| 2= Hinweise zur Lösung | 3= Hinweise einklappen }}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=39403Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-11T11:32:45Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist dreimal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächst eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein. Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen".<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas addieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit dem Seitenflächeninhalt addieren) (Die Breite mit dem Seitenflächeninhalt multiplizieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenflächen mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Größen miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit m<sup>2</sup> ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm<sup>2</sup> mit dm<sup>3</sup> usw.) (Sinnvoll addieren kann man nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten oder Volumen mit Volumen) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen Flächen des Prismas. Die '''Oberfläche eines Prismas''' ergibt sich aus den '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, zusammen mit den '''''beiden'' Grundflächen'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 7: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 3{,}2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 38{,}4 \text{ cm}^2 = 92{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>92{,}4 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + 92{,}4 \text{ cm}^2 = 97{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>97{,}4 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 8: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt und <math>O</math> der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 </math> dm<sup>2</sup> und <br/><br />
<math>G = 250 </math> cm<sup>2</sup>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Oberflächeninhalt nach <math>M</math> um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 9: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung? <br><br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck|center]][[Datei:Sechseck.png|mini|Sechseck|center]] <br><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Seitenflächen. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
<br />
'''Oberflächeninhalt <math>O</math> = Grundflächeninhalt 1 + Grundflächeninhalt 2 + Rechteckflächeninhalt 1 + Rechteckflächeninhalt 2 + ... + Rechteckflächeninhalt <math>n</math>''' <br><br />
<br />
Die Grundflächeninhalte sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen des regelmäßigen <math> n </math>-Ecks als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel <br />
<br />
'''Oberflächeninhalt = 2 <math> \cdot</math> Grundflächeninhalt + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächeninhalt''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem Volumen eines Prismas. Du berechnest den '''Rauminhalt eines Prismas''', indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt, ''umgangssprachlich'' einen '''''massiven Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 7 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 9 \text{ cm} = 13500 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>13500 \text{ cm}^3</math> oder <math>13{,}5 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 \ und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach <math>G</math> um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen. | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>G</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>h</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
==Ausblick==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit weiterführenden Inhalten, die später wichtig werden können. Zum Beispiel gibt es auch '''Prismen mit unregelmäßigen Grundflächen'''. Außerdem wirst du auch '''schräge Prismen''' kennenlernen, die dann aber eine etwas abgeänderte Definition bei Prismen erfordern.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 12: Unregelmäßige Grundflächen|2= Du hast bereits mit Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen gearbeitet, dir darüber aber kaum Gedanken gemacht, weil du rechtwinklige Dreiecke oder Parallelogramme kennst und recht einfach berechnen kannst. Aber es gibt auch kompliziertere Fälle. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z. B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander! Bist du fertig, klicke auf das blaue Häkchen unten rechts.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 13: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe, falls du es dir nicht vorstellen kannst | 3= Hilfe einklappen}} <br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=39402Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-11T11:30:49Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist dreimal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächst eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein. Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen".<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas addieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit dem Seitenflächeninhalt addieren) (Die Breite mit dem Seitenflächeninhalt multiplizieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenflächen mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Größen miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit m<sup>2</sup> ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm<sup>2</sup> mit dm<sup>3</sup> usw.) (Sinnvoll addieren kann man nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten oder Volumen mit Volumen) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen Flächen des Prismas. Die '''Oberfläche eines Prismas''' ergibt sich aus den '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, zusammen mit den '''''beiden'' Grundflächen'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 7: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 3{,}2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 38{,}4 \text{ cm}^2 = 92{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>92{,}4 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + 92{,}4 \text{ cm}^2 = 97{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>97{,}4 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 8: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt und <math>O</math> der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 </math> dm<sup>2</sup> und <br/><br />
<math>G = 250 </math> cm<sup>2</sup>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Oberflächeninhalt nach <math>M</math> um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 9: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung? <br><br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck|center]][[Datei:Sechseck.png|mini|Sechseck|center]] <br><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Seitenflächen. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
<br />
'''Oberflächeninhalt <math>O</math> = Grundflächeninhalt 1 + Grundflächeninhalt 2 + Rechteckflächeninhalt 1 + Rechteckflächeninhalt 2 + ... + Rechteckflächeninhalt <math>n</math>''' <br><br />
<br />
Die Grundflächeninhalte sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen des regelmäßigen <math> n </math>-Ecks als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel <br />
<br />
'''Oberflächeninhalt = 2 <math> \cdot</math> Grundflächeninhalt + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächeninhalt''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem Volumen eines Prismas. Du berechnest den '''Rauminhalt eines Prismas''', indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt, ''umgangssprachlich'' einen '''''massiven Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 7 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 9 \text{ cm} = 13500 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>13500 \text{ cm}^3</math> oder <math>13{,}5 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 \ und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach <math>G</math> um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen. | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>G</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>h</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
==Ausblick==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit weiterführenden Inhalten, die später wichtig werden können. Zum Beispiel gibt es auch '''Prismen mit unregelmäßigen Grundflächen'''. Außerdem wirst du auch '''schräge Prismen''' kennenlernen, die dann aber eine etwas abgeänderte Definition bei Prismen erfordern.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 12: Unregelmäßige Grundflächen|2= Du hast bereits mit Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen gearbeitet, dir darüber aber kaum Gedanken gemacht, weil du rechtwinklige Dreiecke oder Parallelogramme kennst und recht einfach berechnen kannst. Aber es gibt auch kompliziertere Fälle. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z. B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander! <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 13: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe, falls du es dir nicht vorstellen kannst | 3= Hilfe einklappen}} <br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=39401Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-11T11:13:06Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist dreimal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächst eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein. Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen".<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas addieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit dem Seitenflächeninhalt addieren) (Die Breite mit dem Seitenflächeninhalt multiplizieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenflächen mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Größen miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit m<sup>2</sup> ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm<sup>2</sup> mit dm<sup>3</sup> usw.) (Sinnvoll addieren kann man nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten oder Volumen mit Volumen) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen Flächen des Prismas. Die '''Oberfläche eines Prismas''' ergibt sich aus den '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, zusammen mit den '''''beiden'' Grundflächen'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 7: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 3{,}2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 38{,}4 \text{ cm}^2 = 92{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>92{,}4 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + 92{,}4 \text{ cm}^2 = 97{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>97{,}4 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 8: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt und <math>O</math> der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 </math> dm<sup>2</sup> und <br/><br />
<math>G = 250 </math> cm<sup>2</sup>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Oberflächeninhalt nach <math>M</math> um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 9: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung? <br><br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck|center]][[Datei:Sechseck.png|mini|Sechseck|center]] <br><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Seitenflächen. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
<br />
'''Oberflächeninhalt <math>O</math> = Grundflächeninhalt 1 + Grundflächeninhalt 2 + Rechteckflächeninhalt 1 + Rechteckflächeninhalt 2 + ... + Rechteckflächeninhalt <math>n</math>''' <br><br />
<br />
Die Grundflächeninhalte sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen des regelmäßigen <math> n </math>-Ecks als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel <br />
<br />
'''Oberflächeninhalt = 2 <math> \cdot</math> Grundflächeninhalt + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächeninhalt''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem Volumen eines Prismas. Du berechnest den '''Rauminhalt eines Prismas''', indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt, ''umgangssprachlich'' einen '''''massiven Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 7 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 9 \text{ cm} = 13500 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>13500 \text{ cm}^3</math> oder <math>13{,}5 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 \ und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach <math>G</math> um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen. | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>G</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>h</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
==Ausblick==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit weiterführenden Inhalten, die später wichtig werden können. Zum Beispiel gibt es auch '''Prismen mit unregelmäßigen Grundflächen'''. Außerdem wirst du auch '''schräge Prismen''' kennenlernen, die dann aber eine etwas abgeänderte Definition bei Prismen erfordern.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 12: Unregelmäßige Grundformen|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 13: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe, falls du es dir nicht vorstellen kannst | 3= Hilfe einklappen}} <br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=39400Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-11T11:04:10Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist dreimal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächst eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein. Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen".<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas addieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit dem Seitenflächeninhalt addieren) (Die Breite mit dem Seitenflächeninhalt multiplizieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenflächen mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Größen miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit m<sup>2</sup> ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm<sup>2</sup> mit dm<sup>3</sup> usw.) (Sinnvoll addieren kann man nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten oder Volumen mit Volumen) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen Flächen des Prismas. Die '''Oberfläche eines Prismas''' ergibt sich aus den '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, zusammen mit den '''''beiden'' Grundflächen'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 7: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 3{,}2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 38{,}4 \text{ cm}^2 = 92{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>92{,}4 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + 92{,}4 \text{ cm}^2 = 97{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>97{,}4 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 8: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt und <math>O</math> der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Oberflächeninhalt nach <math>M</math> um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 9: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung? <br><br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck|center]][[Datei:Sechseck.png|mini|Sechseck|center]] <br><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Seitenflächen. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
<br />
'''Oberflächeninhalt <math>O</math> = Grundflächeninhalt 1 + Grundflächeninhalt 2 + Rechteckflächeninhalt 1 + Rechteckflächeninhalt 2 + ... + Rechteckflächeninhalt <math>n</math>''' <br><br />
<br />
Die Grundflächeninhalte sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen des regelmäßigen <math> n </math>-Ecks als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel <br />
<br />
'''Oberflächeninhalt = 2 <math> \cdot</math> Grundflächeninhalt + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächeninhalt''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem Volumen eines Prismas. Du berechnest den '''Rauminhalt eines Prismas''', indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt, ''umgangssprachlich'' einen '''''massiven Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 7 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 9 \text{ cm} = 13500 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>13500 \text{ cm}^3</math> oder <math>13{,}5 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 \ und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach <math>G</math> um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen. | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>G</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>h</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
==Ausblick==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit weiterführenden Inhalten, die später wichtig werden können. Zum Beispiel gibt es auch '''Prismen mit unregelmäßigen Grundflächen'''. Außerdem wirst du auch '''schräge Prismen''' kennenlernen, die dann aber eine etwas abgeänderte Definition bei Prismen erfordern.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 12: Unregelmäßige Grundformen|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 13: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe, falls du es dir nicht vorstellen kannst | 3= Hilfe einklappen}} <br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=39399Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-11T10:59:31Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist dreimal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächst eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein. Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen".<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas addieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit dem Seitenflächeninhalt addieren) (Die Breite mit dem Seitenflächeninhalt multiplizieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenflächen mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Größen miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit m<sup>2</sup> ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm<sup>2</sup> mit dm<sup>3</sup> usw.) (Sinnvoll addieren kann man nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten oder Volumen mit Volumen) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen Flächen des Prismas. Die '''Oberfläche eines Prismas''' ergibt sich aus den '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, zusammen mit den '''''beiden'' Grundflächen'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 7: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 3{,}2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 38{,}4 \text{ cm}^2 = 92{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>92{,}4 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + 92{,}4 \text{ cm}^2 = 97{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>97{,}4 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 8: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt und <math>O</math> der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Oberflächeninhalt nach <math>M</math> um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 9: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung? <br><br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck|center]][[Datei:Sechseck.png|mini|Sechseck|center]] <br><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
<br />
'''Oberflächeninhalt <math>O</math> = Grundflächeninhalt 1 + Grundflächeninhalt 2 + Rechteckflächeninhalt 1 + Rechteckflächeninhalt 2 + ... + Rechteckflächeninhalt <math>n</math>''' <br><br />
<br />
Die Grundflächeninhalte sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen des regelmäßigen <math> n </math>-Ecks als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel <br />
<br />
'''Oberflächeninhalt = 2 <math> \cdot</math> Grundflächeninhalt + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächeninhalt''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem Volumen eines Prismas. Du berechnest den '''Rauminhalt eines Prismas''', indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt, ''umgangssprachlich'' einen '''''massiven Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 7 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 9 \text{ cm} = 13500 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>13500 \text{ cm}^3</math> oder <math>13{,}5 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 \ und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach <math>G</math> um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen. | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>G</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>h</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
==Ausblick==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit weiterführenden Inhalten, die später wichtig werden können. Zum Beispiel gibt es auch '''Prismen mit unregelmäßigen Grundflächen'''. Außerdem wirst du auch '''schräge Prismen''' kennenlernen, die dann aber eine etwas abgeänderte Definition bei Prismen erfordern.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 12: Unregelmäßige Grundformen|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 13: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe, falls du es dir nicht vorstellen kannst | 3= Hilfe einklappen}} <br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=39398Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-11T10:47:34Z<p>Dirk G WWU-7: /* Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist dreimal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächst eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein. Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen".<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas addieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit dem Seitenflächeninhalt addieren) (Die Breite mit dem Seitenflächeninhalt multiplizieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenflächen mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Größen miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit m<sup>2</sup> ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm<sup>2</sup> mit dm<sup>3</sup> usw.) (Sinnvoll addieren kann man nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten oder Volumen mit Volumen) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen Flächen des Prismas. Die '''Oberfläche eines Prismas''' ergibt sich aus den '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, zusammen mit den '''''beiden'' Grundflächen'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung? <br><br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck|center]][[Datei:Sechseck.png|mini|Sechseck|center]] <br><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
<br />
'''Oberflächeninhalt <math>O</math> = Grundflächeninhalt 1 + Grundflächeninhalt 2 + Rechteckflächeninhalt 1 + Rechteckflächeninhalt 2 + ... + Rechteckflächeninhalt <math>n</math>''' <br><br />
<br />
Die Grundflächeninhalte sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen des regelmäßigen <math> n </math>-Ecks als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel <br />
<br />
'''Oberflächeninhalt = 2 <math> \cdot</math> Grundflächeninhalt + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächeninhalt''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
<br />
Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 3{,}2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 38{,}4 \text{ cm}^2 = 92{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>92{,}4 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + 92{,}4 \text{ cm}^2 = 97{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>97{,}4 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt und <math>O</math> der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Oberflächeninhalt nach <math>M</math> um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem Volumen eines Prismas. Du berechnest den '''Rauminhalt eines Prismas''', indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt, ''umgangssprachlich'' einen '''''massiven Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 9 \text{ cm} = 13500 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>13500 \text{ cm}^3</math> oder <math>13{,}5 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 \ und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach <math>G</math> um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen. | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>G</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>h</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
==Ausblick==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit weiterführenden Inhalten, die später wichtig werden können. Zum Beispiel gibt es auch '''Prismen mit unregelmäßigen Grundflächen'''. Außerdem wirst du auch '''schräge Prismen''' kennenlernen, die dann aber eine etwas abgeänderte Definition bei Prismen erfordern.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 12: Unregelmäßige Grundformen|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 13: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe, falls du es dir nicht vorstellen kannst | 3= Hilfe einklappen}} <br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=39397Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-11T10:46:44Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist dreimal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächst eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein. Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen".<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas addieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit dem Seitenflächeninhalt addieren) (Die Breite mit dem Seitenflächeninhalt multiplizieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenflächen mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Größen miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit m<sup>2</sup> ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm<sup>2</sup> mit dm<sup>3</sup>usw.) (Sinnvoll addieren kann man nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten oder Volumen mit Volumen) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen Flächen des Prismas. Die '''Oberfläche eines Prismas''' ergibt sich aus den '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, zusammen mit den '''''beiden'' Grundflächen'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung? <br><br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck|center]][[Datei:Sechseck.png|mini|Sechseck|center]] <br><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
<br />
'''Oberflächeninhalt <math>O</math> = Grundflächeninhalt 1 + Grundflächeninhalt 2 + Rechteckflächeninhalt 1 + Rechteckflächeninhalt 2 + ... + Rechteckflächeninhalt <math>n</math>''' <br><br />
<br />
Die Grundflächeninhalte sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen des regelmäßigen <math> n </math>-Ecks als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel <br />
<br />
'''Oberflächeninhalt = 2 <math> \cdot</math> Grundflächeninhalt + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächeninhalt''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
<br />
Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 3{,}2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 38{,}4 \text{ cm}^2 = 92{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>92{,}4 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + 92{,}4 \text{ cm}^2 = 97{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>97{,}4 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt und <math>O</math> der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Oberflächeninhalt nach <math>M</math> um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem Volumen eines Prismas. Du berechnest den '''Rauminhalt eines Prismas''', indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt, ''umgangssprachlich'' einen '''''massiven Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 9 \text{ cm} = 13500 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>13500 \text{ cm}^3</math> oder <math>13{,}5 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 \ und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach <math>G</math> um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen. | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>G</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>h</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
==Ausblick==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit weiterführenden Inhalten, die später wichtig werden können. Zum Beispiel gibt es auch '''Prismen mit unregelmäßigen Grundflächen'''. Außerdem wirst du auch '''schräge Prismen''' kennenlernen, die dann aber eine etwas abgeänderte Definition bei Prismen erfordern.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 12: Unregelmäßige Grundformen|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 13: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe, falls du es dir nicht vorstellen kannst | 3= Hilfe einklappen}} <br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8&diff=38848Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-82020-12-07T17:21:06Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Fit für VERA-8"!<br />
<br />
Hier entsteht im Wintersemester 2020/2021 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 8 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].<br />
<br />
[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad}}<br />
<br />
==Diagnosetest==<br />
<br />
<quiz display="simple"><br />
<br />
{ Wie werden nicht sichtbare Linien in einem Schrägbild gezeichnet? }<br />
- Sie werden fett gezeichnet.<br />
- Sie werden nicht gezeichnet.<br />
+ Sie werden gestrichelt gezeichnet.<br />
<br />
{ Ein regulärer Tetraeder ist ein Pyramide, die... }<br />
+ ...eine dreieckige Grundfläche besitzt.<br />
+ ...vier kongruente gleichseitige Dreiecke als Fläche hat.<br />
- ...sechs ungleich lange Kanten hat.<br />
<br />
{ Wann nennt man eine Figur unmöglich? }<br />
+ Unmöglichen Figuren basieren darauf, dass unerlaubte Wechsel in der Perspektive eingebaut werden.<br />
- Sie sind unsichtbar.<br />
- Wenn mehr als zwei Seiten parallel zueinander sind.<br />
<br />
{ Löse die folgende Gleichung nach <math>x</math> auf: <math>5x-45=35</math> }<br />
- <math>x=16</math><br />
- <math>x=8</math><br />
<br />
{ Welche Aussage ist wahr? }<br />
- Die Variable wird immer mit <math>x</math> bezeichnet.<br />
- Eine mögliche Äquivalenzumformung ist das Addieren oder Subtrahieren derselben Zahl auf beiden Seiten einer Gleichung.<br />
- Mit <math>\mathbb{L}</math> beschreibt man die Lösung einer Gleichung.<br />
<br />
{ Entscheide, welche der Gleichungen zu folgendem Rätsel passt: Das Fünffache einer Unbekannten addiert mit <math>2</math> entspricht dem Doppelten dieser Unbekannten subtrahiert mit <math>10</math>. }<br />
- <math>5x+2=\frac{2}{x}-10</math><br />
- <math>\frac{x}{5}+2=2x-10</math><br />
- <math>5x+2=2x-10</math><br />
- <math>\frac{5}{x}+2=\frac{x}{2}-10</math><br />
<br />
{Ein Würfel wird <math>100</math> mal geworfen und <math>15</math> mal kommt die Würfelzahl 4 heraus. Dann ist <math>15</math> die...}<br />
- ... relative Häufigkeit.<br />
+ ... absolute Häufigkeit.<br />
<br />
{[[Datei:Stochastik Bayestheorem Urnenversuch.png|mini|zentriert]] Die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig zwei rote Kugeln aus Urne A zu ziehen, ist größer als die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig zwei weiße Kugeln aus Urne B zu ziehen.}<br />
- wahr<br />
+ falsch<br />
<br />
{Welche der folgenden Aussagen treffen auf ein Laplace-Experiment zu?}<br />
+ Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich.<br />
- Das Werfen des Würfels mit den Seiten 1,1,1,3,5,5 ist ein Laplace-Experiment.<br />
+ Das Werfen einer Münze ist ein Laplace-Experiment.<br />
<br />
{ Dummy zu Thema d) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema d) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema d) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ [[Datei:Geogebra-export.png|mini|rechts| 300px]]Welche Funktionsgleichung passt zu dem rechts abgebildeten Funktionsgraphen? }<br />
- <math> f(x)= -\frac{1}{2}x+3 </math><br />
- <math> f(x)= 2x+1 </math><br />
+ <math> f(x)= \frac{1}{2}x-\frac{3}{2} </math><br />
- <math> f(x)= 2x-\frac{3}{2} </math><br />
<br />
{ Bei der Nullstelle einer linearen Funktion gilt im Allgemeinen }<br />
+ <math> f(x)=0 </math>.<br />
- <math> x=0 </math>.<br />
<br />
{ Gegeben sind die beiden Funktionsgleichungen <math> f(x)=3x-2 </math> und <math> g(x)=-\frac{1}{3}x+4</math>. </br> Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Wähle alle richtigen Aussagen aus. Es können auch mehrere Aussagen richtig sein. }<br />
- Die beiden Geraden schneiden sich in ''keinem'' Punkt.<br />
+ Die beiden Geraden haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.<br />
+ Die Gerade <math>f</math> steigt.<br />
- Die Gerade <math>g</math> hat die Steigung <math>4</math> und den <math>y</math>-Abschnitt <math>-\frac{1}{3}</math>.<br />
<br />
<br />
{ Das Prisma besteht aus zwei Grundflächen, die... }<br />
- senkrecht aufeinander liegen.<br />
+ parallel und deckungsgleich zueinander liegen.<br />
- in der Form gleich, aber in der Größe unterschiedlich sind.<br />
<br />
{ Ein gegebenes Prisma besteht aus 5 Seitenflächen. Die einzelnen Seitenflächen haben die Form eines Rechtecks mit <math>a=12 \text{ cm}</math> und <math>b=2 \text{ dm}</math>. Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>G=36 \text{ cm}^2</math>. Für die Größe des Oberflächeninhalts gilt: }<br />
- <math>O=192 \text{ cm}^2.</math><br />
- <math>O=1236 \text{ cm}^2.</math><br />
+ <math>O=1272 \text{ cm}^2.</math><br />
- <math>O=156 \text{ cm}^2.</math><br />
<br />
<br />
{ Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Es seien <math>O=1{,}2 \text{ m}^2</math>, <math>M=5000 \text{ cm}^2</math> und <math>h=25 \text{ dm}</math>. Für das Volumen des Prismas gilt:}<br />
+ <math>V=875 \text{ dm}^3.</math><br />
- <math>V=800 \text{ dm}^3.</math><br />
- <math>V=1{,}1 \text{ m}^3.</math><br />
<br />
<br />
{ Vereinfache den folgenden Term: <math> 5x+3y-(2x+y)+4y-(y-x)</math>. Kreuze die richtige Lösung an.}<br />
- <math>6x+9y</math><br />
- <math>2x+7y</math><br />
+ <math>4x+5y</math><br />
<br />
{ Was fehlt in der Klammer? <math>-6x+18xy=-6x \cdot (...)</math> }<br />
+ <math>1-3y</math><br />
- <math>1+3y</math><br />
- <math>-1+3y</math><br />
- <math>x+3xy</math><br />
<br />
{Löse unter Verwendung einer binomischen Formel. <math> (3-2x)^2 = ... </math> }<br />
- <math> 9-6x+4x^2 </math><br />
- <math> 9-3x+4x </math><br />
+ <math> 9-12x+4x^2 </math><br />
- <math> 9+12x-4x^2 </math><br />
<br />
</quiz><br />
<br />
<br />
Die Lernpfadkapitel:<br />
<br />
*[[/Unmögliche Figuren und Schrägbilder|Unmögliche Figuren und Schrägbilder]]<br />
*[[/Einfache Gleichungen|Einfache Gleichungen]]<br />
*[[/Stochastik|Stochastik]]<br />
*[[/Zinsrechnung|Zinsrechnung]]<br />
*[[/Lineare Funktionen|Lineare Funktionen]]<br />
*[[/Volumen und Oberfläche des Prismas|Volumen und Oberfläche des Prismas]]<br />
*[[/Terme|Terme]]</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38739Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-06T19:20:56Z<p>Dirk G WWU-7: /* Volumen eines Prismas */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist dreimal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächst eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein. Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen".<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas addieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenflächeninhalt addieren) (Die Breite mit der Seitenflächeninhalt multiplizieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Größen miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen Flächen des Prismas. Die '''Oberfläche eines Prismas''' ergibt sich aus den '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, zusammen mit den '''''beiden'' Grundflächen'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung? <br><br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck|center]][[Datei:Sechseck.png|mini|Sechseck|center]] <br><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
<br />
'''Oberflächeninhalt <math>O</math> = Grundflächeninhalt 1 + Grundflächeninhalt 2 + Rechteckflächeninhalt 1 + Rechteckflächeninhalt 2 + ... + Rechteckflächeninhalt <math>n</math>''' <br><br />
<br />
Die Grundflächeninhalte sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen des regelmäßigen <math> n </math>-Ecks als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel <br />
<br />
'''Oberflächeninhalt = 2 <math> \cdot</math> Grundflächeninhalt + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächeninhalt''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
<br />
Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 3{,}2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 38{,}4 \text{ cm}^2 = 92{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>92{,}4 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + 92{,}4 \text{ cm}^2 = 97{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>97{,}4 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt und <math>O</math> der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Oberflächeninhalt nach <math>M</math> um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem Volumen eines Prismas. Du berechnest den '''Rauminhalt eines Prismas''', indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt, ''umgangssprachlich'' einen '''''massiven Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 9 \text{ cm} = 13500 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>13500 \text{ cm}^3</math> oder <math>13{,}5 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 \ und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach <math>G</math> um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen. | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>G</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>h</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
==Ausblick==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit weiterführenden Inhalten, die später wichtig werden können. Zum Beispiel gibt es auch '''Prismen mit unregelmäßigen Grundflächen'''. Außerdem wirst du auch '''schräge Prismen''' kennenlernen, die dann aber eine etwas abgeänderte Definition bei Prismen erfordern.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 12: Unregelmäßige Grundformen|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 13: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe, falls du es dir nicht vorstellen kannst | 3= Hilfe einklappen}} <br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38691Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-06T13:56:27Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist dreimal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächst eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein. Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen".<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas addieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenflächeninhalt addieren) (Die Breite mit der Seitenflächeninhalt multiplizieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Größen miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen Flächen des Prismas. Die '''Oberfläche eines Prismas''' ergibt sich aus den '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, zusammen mit den '''''beiden'' Grundflächen'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung? <br><br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck|center]][[Datei:Sechseck.png|mini|Sechseck|center]] <br><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
<br />
'''Oberflächeninhalt <math>O</math> = Grundflächeninhalt 1 + Grundflächeninhalt 2 + Rechteckflächeninhalt 1 + Rechteckflächeninhalt 2 + ... + Rechteckflächeninhalt <math>n</math>''' <br><br />
<br />
Die Grundflächeninhalte sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen des regelmäßigen <math> n </math>-Ecks als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel <br />
<br />
'''Oberflächeninhalt = 2 <math> \cdot</math> Grundflächeninhalt + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächeninhalt''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
<br />
Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 3{,}2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 38{,}4 \text{ cm}^2 = 92{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + 92{,}4 \text{ cm}^2 = 94{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>94{,}4 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt und <math>O</math> der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Oberflächeninhalt nach <math>M</math> um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem Volumen eines Prismas. Du berechnest den '''Rauminhalt eines Prismas''', indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt, ''umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 9 \text{ cm} = 13500 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>13500 \text{ cm}^3</math> oder <math>13{,}5 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 \ und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach <math>G</math> um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen. | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>G</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>h</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
==Ausblick==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit weiterführenden Inhalten, die später wichtig werden können. Zum Beispiel gibt es auch '''Prismen mit unregelmäßigen Grundflächen'''. Außerdem wirst du auch '''schräge Prismen''' kennenlernen, die dann aber eine etwas abgeänderte Definition bei Prismen erfordern.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 12: Unregelmäßige Grundformen|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 13: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe, falls du es dir nicht vorstellen kannst | 3= Hilfe einklappen}} <br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38685Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-06T12:55:12Z<p>Dirk G WWU-7: /* Volumen eines Prismas */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist dreimal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächst eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein. Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen".<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas addieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenflächeninhalt addieren) (Die Breite mit der Seitenflächeninhalt multiplizieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Größen miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen Flächen des Prismas. Die '''Oberfläche eines Prismas''' ergibt sich aus den '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, zusammen mit den '''''beiden'' Grundflächen'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck]][[Datei:Sechseck.png|mini|Sechseck]] <br><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
<br />
'''Oberflächeninhalt <math>O</math> = Grundflächeninhalt 1 + Grundflächeninhalt 2 + Rechteckflächeninhalt 1 + Rechteckflächeninhalt 2 + ... + Rechteckflächeninhalt <math>n</math>''' <br><br />
<br />
Die Grundflächeninhalte sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen des regelmäßigen <math> n </math>-Ecks als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel <br />
<br />
'''Oberflächeninhalt = 2 <math> \cdot</math> Grundflächeninhalt + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächeninhalt''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
<br />
Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 3{,}2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 38{,}4 \text{ cm}^2 = 92{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + 92{,}4 \text{ cm}^2 = 94{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>94{,}4 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt und <math>O</math> der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Oberflächeninhalt nach <math>M</math> um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem Volumen eines Prismas. Du berechnest den '''Rauminhalt eines Prismas''', indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt, ''umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 9 \text{ cm} = 13500 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>13500 \text{ cm}^3</math> oder <math>13{,}5 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 \ und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach <math>G</math> um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen. | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>G</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>h</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
==Ausblick==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit weiterführenden Inhalten, die später wichtig werden können. Zum Beispiel gibt es auch '''Prismen mit unregelmäßigen Grundflächen'''. Außerdem wirst du auch '''schräge Prismen''' kennenlernen, die dann aber eine etwas abgeänderte Definition bei Prismen erfordern.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 12: Unregelmäßige Grundformen|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 13: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe, falls du es dir nicht vorstellen kannst | 3= Hilfe einklappen}} <br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38683Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-06T12:51:50Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist dreimal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächst eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein. Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen".<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas addieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenflächeninhalt addieren) (Die Breite mit der Seitenflächeninhalt multiplizieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Größen miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen Flächen des Prismas. Die '''Oberfläche eines Prismas''' ergibt sich aus den '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, zusammen mit den '''''beiden'' Grundflächen'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck]][[Datei:Sechseck.png|mini|Sechseck]] <br><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
<br />
'''Oberflächeninhalt <math>O</math> = Grundflächeninhalt 1 + Grundflächeninhalt 2 + Rechteckflächeninhalt 1 + Rechteckflächeninhalt 2 + ... + Rechteckflächeninhalt <math>n</math>''' <br><br />
<br />
Die Grundflächeninhalte sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen des regelmäßigen <math> n </math>-Ecks als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel <br />
<br />
'''Oberflächeninhalt = 2 <math> \cdot</math> Grundflächeninhalt + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächeninhalt''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
<br />
Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 3{,}2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 38{,}4 \text{ cm}^2 = 92{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + 92{,}4 \text{ cm}^2 = 94{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>94{,}4 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt und <math>O</math> der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Oberflächeninhalt nach <math>M</math> um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''Volumen eines Prismas'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt, ''umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 9 \text{ cm} = 13500 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>13500 \text{ cm}^3</math> oder <math>13{,}5 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 \ und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach <math>G</math> um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen. | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>G</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>h</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
==Ausblick==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit weiterführenden Inhalten, die später wichtig werden können. Zum Beispiel gibt es auch '''Prismen mit unregelmäßigen Grundflächen'''. Außerdem wirst du auch '''schräge Prismen''' kennenlernen, die dann aber eine etwas abgeänderte Definition bei Prismen erfordern.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 12: Unregelmäßige Grundformen|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 13: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe, falls du es dir nicht vorstellen kannst | 3= Hilfe einklappen}} <br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38682Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-06T12:50:37Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist dreimal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächst eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein. Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen".<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas addieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenflächeninhalt addieren) (Die Breite mit der Seitenflächeninhalt multiplizieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Größen miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen Flächen des Prismas. Die '''Oberfläche eines Prismas''' ergibt sich aus den '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, zusammen mit den '''''beiden'' Grundflächen'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck]][[Datei:Sechseck.png|mini|Sechseck]] <br><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
<br />
'''Oberflächeninhalt <math>O</math> = Grundflächeninhalt 1 + Grundflächeninhalt 2 + Rechteckflächeninhalt 1 + Rechteckflächeninhalt 2 + ... + Rechteckflächeninhalt <math>n</math>''' <br><br />
<br />
Die Grundflächeninhalte sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen des regelmäßigen <math> n </math>-Ecks als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel <br />
<br />
'''Oberflächeninhalt = 2 <math> \cdot</math> Grundflächeninhalt + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächeninhalt''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
<br />
Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 3{,}2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 38{,}4 \text{ cm}^2 = 92{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + 92{,}4 \text{ cm}^2 = 94{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>94{,}4 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt und <math>O</math> der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Oberflächeninhalt nach <math>M</math> um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''Volumen eines Prismas'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt, ''umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 9 \text{ cm} = 13500 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>13500 \text{ cm}^3</math> oder <math>13{,}5 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 \ und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach <math>G</math> um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen. | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>G</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>h</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
==Ausblick==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit weiterführenden Inhalten, die später wichtig werden können. Zum Beispiel gibt es auch '''Prismen mit unregelmäßigen Grundflächen'''. Außerdem wirst du auch '''schräge Prismen''' kennenlernen, die dann aber eine etwas abgeänderte Definition bei Prismen erfordern.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 12: Unregelmäßige Grundformen|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 13: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe | 3= Hilfe einklappen}} <br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38681Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-06T12:49:52Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist dreimal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächst eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein. Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen".<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas addieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenflächeninhalt addieren) (Die Breite mit der Seitenflächeninhalt multiplizieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Größen miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen Flächen des Prismas. Die '''Oberfläche eines Prismas''' ergibt sich aus den '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, zusammen mit den '''''beiden'' Grundflächen'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck]][[Datei:Sechseck.png|mini|Sechseck]] <br><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
<br />
'''Oberflächeninhalt <math>O</math> = Grundflächeninhalt 1 + Grundflächeninhalt 2 + Rechteckflächeninhalt 1 + Rechteckflächeninhalt 2 + ... + Rechteckflächeninhalt <math>n</math>''' <br><br />
<br />
Die Grundflächeninhalte sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen des regelmäßigen <math> n </math>-Ecks als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel <br />
<br />
'''Oberflächeninhalt = 2 <math> \cdot</math> Grundflächeninhalt + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächeninhalt''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
<br />
Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 3{,}2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 38{,}4 \text{ cm}^2 = 92{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + 92{,}4 \text{ cm}^2 = 94{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>94{,}4 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt und <math>O</math> der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Oberflächeninhalt nach <math>M</math> um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''Volumen eines Prismas'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt, ''umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 9 \text{ cm} = 13500 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>13500 \text{ cm}^3</math> oder <math>13{,}5 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 \ und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach <math>G</math> um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen. | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>G</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>h</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
==Ausblick==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit weiterführenden Inhalten, die später wichtig werden können. Zum Beispiel gibt es auch '''Prismen mit unregelmäßigen Grundflächen'''. Außerdem wirst du auch '''schräge Prismen''' kennenlernen, die dann aber eine etwas abgeänderte Definition bei Prismen erfordert.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 12: Unregelmäßige Grundformen|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 13: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe | 3= Hilfe einklappen}} <br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38680Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-06T12:48:17Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist dreimal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächst eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein. Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen".<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas addieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenflächeninhalt addieren) (Die Breite mit der Seitenflächeninhalt multiplizieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Größen miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen Flächen des Prismas. Die '''Oberfläche eines Prismas''' ergibt sich aus den '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, zusammen mit den '''''beiden'' Grundflächen'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck]][[Datei:Sechseck.png|mini|Sechseck]] <br><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
<br />
'''Oberflächeninhalt <math>O</math> = Grundflächeninhalt 1 + Grundflächeninhalt 2 + Rechteckflächeninhalt 1 + Rechteckflächeninhalt 2 + ... + Rechteckflächeninhalt <math>n</math>''' <br><br />
<br />
Die Grundflächeninhalte sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen des regelmäßigen <math> n </math>-Eck als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel <br />
<br />
'''Oberflächeninhalt = 2 <math> \cdot</math> Grundflächeninhalt + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächeninhalt''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
<br />
Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 3{,}2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 38{,}4 \text{ cm}^2 = 92{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + 92{,}4 \text{ cm}^2 = 94{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>94{,}4 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt und <math>O</math> der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Oberflächeninhalt nach <math>M</math> um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''Volumen eines Prismas'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt, ''umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 9 \text{ cm} = 13500 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>13500 \text{ cm}^3</math> oder <math>13{,}5 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 \ und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach <math>G</math> um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen. | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>G</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>h</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
==Ausblick==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit weiterführenden Inhalten, die später wichtig werden können. Zum Beispiel gibt es auch '''Prismen mit unregelmäßigen Grundflächen'''. Außerdem wirst du auch '''schräge Prismen''' kennenlernen, die dann aber eine etwas abgeänderte Definition bei Prismen erfordert.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 12: Unregelmäßige Grundformen|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 13: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe | 3= Hilfe einklappen}} <br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38679Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-06T12:40:08Z<p>Dirk G WWU-7: /* Volumen eines Prismas */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist dreimal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächst eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein. Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen".<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas addieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenflächeninhalt addieren) (Die Breite mit der Seitenflächeninhalt multiplizieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Größen miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen Flächen des Prismas. Die '''Oberfläche eines Prismas''' ergibt sich aus den '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, zusammen mit den '''''beiden'' Grundflächen'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck]][[Datei:Sechseck.png|mini|Sechseck]] <br><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
<br />
'''Oberflächeninhalt <math>O</math> = Grundflächeninhalt 1 + Grundflächeninhalt 2 + Rechteckflächeninhalt 1 + Rechteckflächeninhalt 2 + ... + Rechteckflächeninhalt <math>n</math>''' <br><br />
<br />
Die Grundflächeninhalte sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen des regelmäßigen <math> n </math>-Eck als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel <br />
<br />
'''Oberflächeninhalt = 2 <math> \cdot</math> Grundflächeninhalt + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächeninhalt''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
<br />
Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 3{,}2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 38{,}4 \text{ cm}^2 = 92{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + 92{,}4 \text{ cm}^2 = 94{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>94{,}4 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt und <math>O</math> der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Oberflächeninhalt nach <math>M</math> um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''Volumen eines Prismas'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt, ''umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 9 \text{ cm} = 13500 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>13500 \text{ cm}^3</math> oder <math>13{,}5 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 \ und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach <math>G</math> um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen. | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>G</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>h</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
==Ausblick==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit weiterführenden Inhalten, die später wichtig werden können. Zum Beispiel gibt es auch Prismen mit unregelmäßigen Grundflächen. Außerdem wirst du auch schräge Prismen kennenlernen, die dann aber eine etwas andere Definition bei Prismen erfordert.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 11: Unregelmäßige Grundformen|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 12: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe | 3= Hilfe einklappen}} <br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38676Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-06T12:38:12Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist dreimal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächst eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein. Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen".<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas addieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenflächeninhalt addieren) (Die Breite mit der Seitenflächeninhalt multiplizieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Größen miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen Flächen des Prismas. Die '''Oberfläche eines Prismas''' ergibt sich aus den '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, zusammen mit den '''''beiden'' Grundflächen'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck]][[Datei:Sechseck.png|mini|Sechseck]] <br><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
<br />
'''Oberflächeninhalt <math>O</math> = Grundflächeninhalt 1 + Grundflächeninhalt 2 + Rechteckflächeninhalt 1 + Rechteckflächeninhalt 2 + ... + Rechteckflächeninhalt <math>n</math>''' <br><br />
<br />
Die Grundflächeninhalte sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen des regelmäßigen <math> n </math>-Eck als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel <br />
<br />
'''Oberflächeninhalt = 2 <math> \cdot</math> Grundflächeninhalt + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächeninhalt''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
<br />
Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 3{,}2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 38{,}4 \text{ cm}^2 = 92{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + 92{,}4 \text{ cm}^2 = 94{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>94{,}4 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt und <math>O</math> der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Oberflächeninhalt nach <math>M</math> um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''<u>Volumen eines Prismas</u>'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt. ''Umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 9 \text{ cm} = 13500 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>13500 \text{ cm}^3</math> oder <math>13{,}5 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 \ und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach <math>G</math> um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen. | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>G</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>h</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
== Ausblick ==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit weiterführenden Inhalten, die später wichtig werden können. Zum Beispiel gibt es auch Prismen mit unregelmäßigen Grundflächen. Außerdem wirst du auch schräge Prismen kennenlernen, die dann aber eine etwas andere Definition bei Prismen erfordert.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 11: Unregelmäßige Grundformen|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 12: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe | 3= Hilfe einklappen}} <br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38672Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-06T12:26:03Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist dreimal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächst eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein. Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen".<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas addieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenflächeninhalt addieren) (Die Breite mit der Seitenflächeninhalt multiplizieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Größen miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen Flächen des Prismas. Die '''Oberfläche eines Prismas''' ergibt sich aus den '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, zusammen mit den '''''beiden'' Grundflächen'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck]][[Datei:Sechseck.png|mini|Sechseck]] <br><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
<br />
'''Oberflächeninhalt <math>O</math> = Grundflächeninhalt 1 + Grundflächeninhalt 2 + Rechteckflächeninhalt 1 + Rechteckflächeninhalt 2 + ... + Rechteckflächeninhalt <math>n</math>''' <br><br />
<br />
Die Grundflächeninhalte sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen des regelmäßigen <math> n </math>-Eck als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel <br />
<br />
'''Oberflächeninhalt = 2 <math> \cdot</math> Grundflächeninhalt + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächeninhalt''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
<br />
Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 3{,}2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 38{,}4 \text{ cm}^2 = 92{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + 92{,}4 \text{ cm}^2 = 94{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>94{,}4 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt und <math>O</math> der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Oberflächeninhalt nach <math>M</math> um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 10: Unregelmäßige Grundformen|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''<u>Volumen eines Prismas</u>'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt. ''Umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 9 \text{ cm} = 13500 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>13500 \text{ cm}^3</math> oder <math>13{,}5 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 \ und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach <math>G</math> um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen. | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>G</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>h</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 12: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''3. Schritt:''' Weil das für dich auch zu uninteressant ist, nimmst du den Stapel und verdrehst einige Karte mal nach links und mal nach rechts. Nur die oberste und unterste Karte liegen parallel zueinander. '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe | 3= Hilfe einklappen}} <br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38666Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-06T12:19:00Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist dreimal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächst eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein. Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen".<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas addieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenflächeninhalt addieren) (Die Breite mit der Seitenflächeninhalt multiplizieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Größen miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen Flächen des Prismas. Die '''Oberfläche eines Prismas''' ergibt sich aus den '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, zusammen mit den '''''beiden'' Grundflächen'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck]][[Datei:Sechseck.png|mini|Sechseck]] <br><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
<br />
'''Oberfläche <math>O</math> = Grundfläche 1 + Grundfläche 2 + Rechteckfläche 1 + Rechteckfläche 2 + ... + Rechteckfläche <math>n</math>''' <br><br />
<br />
Die Grundflächen sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen des regelmäßigen <math> n </math>-Eck als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel <br />
<br />
'''Oberfläche = 2 <math> \cdot</math> Grundfläche + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächen''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
<br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 3{,}2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 38{,}4 \text{ cm}^2 = 92{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + 92{,}4 \text{ cm}^2 = 94{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>94{,}4 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt und <math>O</math> der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Oberflächeninhalt nach <math>M</math> um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 10: Unregelmäßige Grundformen|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''<u>Volumen eines Prismas</u>'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt. ''Umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 9 \text{ cm} = 13500 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>13500 \text{ cm}^3</math> oder <math>13{,}5 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 \ und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach <math>G</math> um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen. | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>G</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>h</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 12: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''3. Schritt:''' Weil das für dich auch zu uninteressant ist, nimmst du den Stapel und verdrehst einige Karte mal nach links und mal nach rechts. Nur die oberste und unterste Karte liegen parallel zueinander. '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe | 3= Hilfe einklappen}} <br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38662Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-06T12:14:46Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist dreimal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächst eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein. Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen".<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas addieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenflächeninhalt addieren) (Die Breite mit der Seitenflächeninhalt multiplizieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Größen miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen Flächen des Prismas. Die '''Oberfläche eines Prismas''' ergibt sich aus den '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, zusammen mit den '''''beiden'' Grundflächen'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck]][[Datei:Sechseck.png|mini|Sechseck]]<br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
'''Oberfläche <math>O</math> = Grundfläche 1 + Grundfläche 2 + Rechteckfläche 1 + Rechteckfläche 2 + ... + Rechteckfläche <math>n</math>''' <br><br />
Die Grundflächen sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen dem regelmäßigen <math> n </math>-Eck als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel '''Oberfläche = 2 <math> \cdot</math> Grundfläche + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächen''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 3{,}2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 38{,}4 \text{ cm}^2 = 92{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + 92{,}4 \text{ cm}^2 = 94{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>94{,}4 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt und <math>O</math> der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Oberflächeninhalt nach <math>M</math> um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 10: Unregelmäßige Grundformen|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''<u>Volumen eines Prismas</u>'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt. ''Umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 9 \text{ cm} = 13500 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>13500 \text{ cm}^3</math> oder <math>13{,}5 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 \ und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach <math>G</math> um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen. | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>G</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>h</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 12: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''3. Schritt:''' Weil das für dich auch zu uninteressant ist, nimmst du den Stapel und verdrehst einige Karte mal nach links und mal nach rechts. Nur die oberste und unterste Karte liegen parallel zueinander. '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe | 3= Hilfe einklappen}} <br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38661Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-06T12:13:00Z<p>Dirk G WWU-7: /* Oberfläche eines Prismas */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist dreimal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächst eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein. Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen".<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas addieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenflächeninhalt addieren) (Die Breite mit der Seitenflächeninhalt multiplizieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Größen miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen Flächen des Prismas. Die '''Oberfläche eines Prismas''' ergibt sich aus den '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, zusammen mit den '''''beiden'' Grundflächen'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck]][[Datei:Sechseck.png|mini|Sechseck]]<br />
<ggb_applet id="smb2kSyd" width="835" height="690" border="888888"></ggb_applet><br />
<br />
<ggb_applet id="UNUbmbpg" width="835" height="690" border="888888" /><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
'''Oberfläche <math>O</math> = Grundfläche 1 + Grundfläche 2 + Rechteckfläche 1 + Rechteckfläche 2 + ... + Rechteckfläche <math>n</math>''' <br><br />
Die Grundflächen sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen dem regelmäßigen <math> n </math>-Eck als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel '''Oberfläche = 2 <math> \cdot</math> Grundfläche + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächen''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 3{,}2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 38{,}4 \text{ cm}^2 = 92{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + 92{,}4 \text{ cm}^2 = 94{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>94{,}4 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt und <math>O</math> der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Oberflächeninhalt nach <math>M</math> um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 10: Unregelmäßige Grundformen|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''<u>Volumen eines Prismas</u>'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt. ''Umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 9 \text{ cm} = 13500 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>13500 \text{ cm}^3</math> oder <math>13{,}5 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 \ und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach <math>G</math> um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen. | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>G</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>h</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 12: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''3. Schritt:''' Weil das für dich auch zu uninteressant ist, nimmst du den Stapel und verdrehst einige Karte mal nach links und mal nach rechts. Nur die oberste und unterste Karte liegen parallel zueinander. '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe | 3= Hilfe einklappen}} <br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38660Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-06T12:07:57Z<p>Dirk G WWU-7: /* Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist dreimal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächst eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein. Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen".<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas addieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenflächeninhalt addieren) (Die Breite mit der Seitenflächeninhalt multiplizieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Größen miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen '''Flächen''' des Prismas. Die '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, ergeben gemeinsam mit den '''''beiden'' Grundflächen''' die '''<u>Oberfläche eines Prismas</u>'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck]][[Datei:Sechseck.png|mini|Sechseck]]<br />
<ggb_applet id="smb2kSyd" width="835" height="690" border="888888"></ggb_applet><br />
<br />
<ggb_applet id="UNUbmbpg" width="835" height="690" border="888888" /><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
'''Oberfläche <math>O</math> = Grundfläche 1 + Grundfläche 2 + Rechteckfläche 1 + Rechteckfläche 2 + ... + Rechteckfläche <math>n</math>''' <br><br />
Die Grundflächen sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen dem regelmäßigen <math> n </math>-Eck als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel '''Oberfläche = 2 <math> \cdot</math> Grundfläche + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächen''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 3{,}2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 38{,}4 \text{ cm}^2 = 92{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + 92{,}4 \text{ cm}^2 = 94{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>94{,}4 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt und <math>O</math> der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Oberflächeninhalt nach <math>M</math> um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 10: Unregelmäßige Grundformen|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''<u>Volumen eines Prismas</u>'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt. ''Umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 9 \text{ cm} = 13500 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>13500 \text{ cm}^3</math> oder <math>13{,}5 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 \ und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach <math>G</math> um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen. | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>G</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>h</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 12: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''3. Schritt:''' Weil das für dich auch zu uninteressant ist, nimmst du den Stapel und verdrehst einige Karte mal nach links und mal nach rechts. Nur die oberste und unterste Karte liegen parallel zueinander. '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe | 3= Hilfe einklappen}} <br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38659Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-06T12:06:44Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist dreimal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächst eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein! Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen"!<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas addieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenflächeninhalt addieren) (Die Breite mit der Seitenflächeninhalt multiplizieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Größen miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen '''Flächen''' des Prismas. Die '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, ergeben gemeinsam mit den '''''beiden'' Grundflächen''' die '''<u>Oberfläche eines Prismas</u>'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck]][[Datei:Sechseck.png|mini|Sechseck]]<br />
<ggb_applet id="smb2kSyd" width="835" height="690" border="888888"></ggb_applet><br />
<br />
<ggb_applet id="UNUbmbpg" width="835" height="690" border="888888" /><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
'''Oberfläche <math>O</math> = Grundfläche 1 + Grundfläche 2 + Rechteckfläche 1 + Rechteckfläche 2 + ... + Rechteckfläche <math>n</math>''' <br><br />
Die Grundflächen sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen dem regelmäßigen <math> n </math>-Eck als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel '''Oberfläche = 2 <math> \cdot</math> Grundfläche + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächen''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 3{,}2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 38{,}4 \text{ cm}^2 = 92{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + 92{,}4 \text{ cm}^2 = 94{,}4 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>94{,}4 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt und <math>O</math> der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Oberflächeninhalt nach <math>M</math> um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 10: Unregelmäßige Grundformen|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''<u>Volumen eines Prismas</u>'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt. ''Umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=3{,}2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 9 \text{ cm} = 13500 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>13500 \text{ cm}^3</math> oder <math>13{,}5 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 \ und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach <math>G</math> um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen. | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>G</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>h</math> umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 12: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''3. Schritt:''' Weil das für dich auch zu uninteressant ist, nimmst du den Stapel und verdrehst einige Karte mal nach links und mal nach rechts. Nur die oberste und unterste Karte liegen parallel zueinander. '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe | 3= Hilfe einklappen}} <br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38627Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-06T10:14:10Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist drei mal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächste eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein! Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen"!<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas addieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenfläche addieren) (Die Breite mit der Seitenfläche multiplizieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Vorgaben miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen '''Flächen''' des Prismas. Die '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, ergeben gemeinsam mit den '''''beiden'' Grundflächen''' die '''<u>Oberfläche eines Prismas</u>'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck]][[Datei:Sechseck.png|mini|Sechseck]]<br />
<ggb_applet id="smb2kSyd" width="835" height="690" border="888888"></ggb_applet><br />
<br />
<ggb_applet id="UNUbmbpg" width="835" height="690" border="888888" /><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
'''Oberfläche <math>O</math> = Grundfläche 1 + Grundfläche 2 + Rechteckfläche 1 + Rechteckfläche 2 + ... + Rechteckfläche <math>n</math>''' <br><br />
Die Grundflächen sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen dem regelmäßigen <math> n </math>-Eck als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel '''Oberfläche = 2 <math> \cdot</math> Grundfläche + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächen''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 6,4 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 76,8 \text{ cm}^2 = 130,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2,5 \text{ cm}^2 + 130,8 \text{ cm}^2 = 135,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>135,8 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt und O der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach M um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach M umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 10: Unregelmäßige Grundformen|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''<u>Volumen eines Prismas</u>'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt. ''Umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 10 \text{ cm} = 15000 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>15000 \text{ cm}^3</math> oder <math>15 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt, O der Oberflächeninhalt, h die Höhe und V das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach G um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach G umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach h umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 12: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''3. Schritt:''' Weil das für dich auch zu uninteressant ist, nimmst du den Stapel und verdrehst einige Karte mal nach links und mal nach rechts. Nur die oberste und unterste Karte liegen parallel zueinander. '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Datei:Sechseck.png&diff=38626Datei:Sechseck.png2020-12-06T10:12:50Z<p>Dirk G WWU-7: Hochgeladen mit VisualEditor Seite</p>
<hr />
<div>{{Information<br />
|description = Sechseck mit Geogebra erstellt<br />
|source = Eigene Arbeit<br />
|author = [[User:Dirk G WWU-7|Dirk G WWU-7]]<br />
}}<br />
<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}[[Category:Mathematik]]</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38624Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-06T10:09:53Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist drei mal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächste eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein! Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen"!<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas addieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenfläche addieren) (Die Breite mit der Seitenfläche multiplizieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Vorgaben miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen '''Flächen''' des Prismas. Die '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, ergeben gemeinsam mit den '''''beiden'' Grundflächen''' die '''<u>Oberfläche eines Prismas</u>'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck]]<br />
<ggb_applet id="smb2kSyd" width="835" height="690" border="888888"></ggb_applet><br />
<br />
<ggb_applet id="UNUbmbpg" width="835" height="690" border="888888" /><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
'''Oberfläche <math>O</math> = Grundfläche 1 + Grundfläche 2 + Rechteckfläche 1 + Rechteckfläche 2 + ... + Rechteckfläche <math>n</math>''' <br><br />
Die Grundflächen sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen dem regelmäßigen <math> n </math>-Eck als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel '''Oberfläche = 2 <math> \cdot</math> Grundfläche + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächen''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 6,4 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 76,8 \text{ cm}^2 = 130,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2,5 \text{ cm}^2 + 130,8 \text{ cm}^2 = 135,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>135,8 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt und O der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach M um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach M umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 10: Unregelmäßige Grundformen|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''<u>Volumen eines Prismas</u>'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt. ''Umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 10 \text{ cm} = 15000 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>15000 \text{ cm}^3</math> oder <math>15 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt, O der Oberflächeninhalt, h die Höhe und V das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach G um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach G umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach h umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 12: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''3. Schritt:''' Weil das für dich auch zu uninteressant ist, nimmst du den Stapel und verdrehst einige Karte mal nach links und mal nach rechts. Nur die oberste und unterste Karte liegen parallel zueinander. '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38623Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-06T10:08:38Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist drei mal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächste eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein! Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen"!<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas addieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenfläche addieren) (Die Breite mit der Seitenfläche multiplizieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Vorgaben miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen '''Flächen''' des Prismas. Die '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, ergeben gemeinsam mit den '''''beiden'' Grundflächen''' die '''<u>Oberfläche eines Prismas</u>'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
<br />
<ggb_applet id="smb2kSyd" width="835" height="690" border="888888"></ggb_applet><br />
<br />
<ggb_applet id="UNUbmbpg" width="835" height="690" border="888888" /><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck]]<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
'''Oberfläche <math>O</math> = Grundfläche 1 + Grundfläche 2 + Rechteckfläche 1 + Rechteckfläche 2 + ... + Rechteckfläche <math>n</math>''' <br><br />
Die Grundflächen sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen dem regelmäßigen <math> n </math>-Eck als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel '''Oberfläche = 2 <math> \cdot</math> Grundfläche + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächen''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 6,4 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 76,8 \text{ cm}^2 = 130,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2,5 \text{ cm}^2 + 130,8 \text{ cm}^2 = 135,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>135,8 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt und O der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach M um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach M umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 10: Unregelmäßige Grundformen|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''<u>Volumen eines Prismas</u>'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt. ''Umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 10 \text{ cm} = 15000 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>15000 \text{ cm}^3</math> oder <math>15 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt, O der Oberflächeninhalt, h die Höhe und V das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach G um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach G umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach h umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 12: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''3. Schritt:''' Weil das für dich auch zu uninteressant ist, nimmst du den Stapel und verdrehst einige Karte mal nach links und mal nach rechts. Nur die oberste und unterste Karte liegen parallel zueinander. '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Datei:F%C3%BCnfeck.png&diff=38622Datei:Fünfeck.png2020-12-06T10:05:50Z<p>Dirk G WWU-7: Hochgeladen mit VisualEditor Seite</p>
<hr />
<div>{{Information<br />
|description = Fünfeck mit Geogebra erstellt<br />
|source = Eigene Arbeit<br />
|author = [[User:Dirk G WWU-7|Dirk G WWU-7]]<br />
}}<br />
<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}[[Category:Mathematik]]</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38614Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-05T21:41:22Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist drei mal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächste eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein! Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen"!<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas addieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenfläche addieren) (Die Breite mit der Seitenfläche multiplizieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Vorgaben miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen '''Flächen''' des Prismas. Die '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, ergeben gemeinsam mit den '''''beiden'' Grundflächen''' die '''<u>Oberfläche eines Prismas</u>'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
<br />
<ggb_applet id="smb2kSyd" width="835" height="690" border="888888"></ggb_applet><br />
<br />
<ggb_applet id="UNUbmbpg" width="835" height="690" border="888888" /><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
'''Oberfläche <math>O</math> = Grundfläche 1 + Grundfläche 2 + Rechteckfläche 1 + Rechteckfläche 2 + ... + Rechteckfläche <math>n</math>''' <br><br />
Die Grundflächen sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen dem regelmäßigen <math> n </math>-Eck als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel '''Oberfläche = 2 <math> \cdot</math> Grundfläche + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächen''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 6,4 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 76,8 \text{ cm}^2 = 130,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2,5 \text{ cm}^2 + 130,8 \text{ cm}^2 = 135,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>135,8 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt und O der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach M um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach M umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 10: Unregelmäßige Grundformen|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''<u>Volumen eines Prismas</u>'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt. ''Umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 10 \text{ cm} = 15000 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>15000 \text{ cm}^3</math> oder <math>15 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt, O der Oberflächeninhalt, h die Höhe und V das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach G um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach G umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach h umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 12: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''3. Schritt:''' Weil das für dich auch zu uninteressant ist, nimmst du den Stapel und verdrehst einige Karte mal nach links und mal nach rechts. Nur die oberste und unterste Karte liegen parallel zueinander. '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38613Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-05T21:38:46Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist drei mal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächste eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein! Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen"!<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas addieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenfläche addieren) (Die Breite mit der Seitenfläche multiplizieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Vorgaben miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen '''Flächen''' des Prismas. Die '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, ergeben gemeinsam mit den '''''beiden'' Grundflächen''' die '''<u>Oberfläche eines Prismas</u>'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
<br />
<ggb_applet id="smb2kSyd" width="835" height="690" border="888888"></ggb_applet><br />
<br />
<ggb_applet id="UNUbmbpg" width="835" height="690" border="888888" /><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
'''Oberfläche <math>O</math> = Grundfläche 1 + Grundfläche 2 + Rechteckfläche 1 + Rechteckfläche 2 + ... + Rechteckfläche <math>n</math>''' <br><br />
Die Grundflächen sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen dem regelmäßigen <math> n </math>-Eck als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel '''Oberfläche = 2 <math> \cdot</math> Grundfläche + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächen''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 6,4 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 76,8 \text{ cm}^2 = 130,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2,5 \text{ cm}^2 + 130,8 \text{ cm}^2 = 135,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>135,8 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt und O der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach M um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach M umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 10: Unregelmäßige Grundformen|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''<u>Volumen eines Prismas</u>'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt. ''Umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 10 \text{ cm} = 15000 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>15000 \text{ cm}^3</math> oder <math>15 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt, O der Oberflächeninhalt, h die Höhe und V das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach G um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach G umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach h umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 12: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''3. Schritt:''' Weil das für dich auch zu uninteressant ist, nimmst du den Stapel und verdrehst einige Karte mal nach links und mal nach rechts. Nur die oberste und unterste Karte liegen parallel zueinander. '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38611Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-05T21:35:21Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist drei mal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächste eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein! Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen"!<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas addieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenfläche addieren) (Die Breite mit der Seitenfläche multiplizieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Vorgaben miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen '''Flächen''' des Prismas. Die '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, ergeben gemeinsam mit den '''''beiden'' Grundflächen''' die '''<u>Oberfläche eines Prismas</u>'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
<br />
<ggb_applet id="smb2kSyd" width="835" height="690" border="888888"></ggb_applet><br />
<br />
<ggb_applet id="UNUbmbpg" width="835" height="690" border="888888" /><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
'''Oberfläche <math>O</math> = Grundfläche 1 + Grundfläche 2 + Rechteckfläche 1 + Rechteckfläche 2 + ... + Rechteckfläche <math>n</math>''' <br><br />
Die Grundflächen sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen dem regelmäßigen <math> n </math>-Eck als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel '''Oberfläche = 2 <math> \cdot</math> Grundfläche + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächen''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Fläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Fläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 6,4 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 76,8 \text{ cm}^2 = 130,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2,5 \text{ cm}^2 + 130,8 \text{ cm}^2 = 135,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>135,8 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt und O der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach M um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach M umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 10: Unregelmäßige Grundformen|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''<u>Volumen eines Prismas</u>'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt. ''Umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 10 \text{ cm} = 15000 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>15000 \text{ cm}^3</math> oder <math>15 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt, O der Oberflächeninhalt, h die Höhe und V das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach G um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach G umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach h umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 12: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''3. Schritt:''' Weil das für dich auch zu uninteressant ist, nimmst du den Stapel und verdrehst einige Karte mal nach links und mal nach rechts. Nur die oberste und unterste Karte liegen parallel zueinander. '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38610Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-05T21:30:29Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist drei mal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächste eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein! Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen"!<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas addieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenfläche addieren) (Die Breite mit der Seitenfläche multiplizieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Vorgaben miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen '''Flächen''' des Prismas. Die '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, ergeben gemeinsam mit den '''''beiden'' Grundflächen''' die '''<u>Oberfläche eines Prismas</u>'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
<br />
<ggb_applet id="smb2kSyd" width="835" height="690" border="888888"></ggb_applet><br />
<br />
<ggb_applet id="UNUbmbpg" width="835" height="690" border="888888" /><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
'''Oberfläche <math>O</math> = Grundfläche 1 + Grundfläche 2 + Rechteckfläche 1 + Rechteckfläche 2 + ... + Rechteckfläche <math>n</math>''' <br><br />
Die Grundflächen sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen dem regelmäßigen <math> n </math>-Eck als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel '''Oberfläche = 2 <math> \cdot</math> Grundfläche + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächen''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Fläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Fläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 6,4 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 76,8 \text{ cm}^2 = 130,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2,5 \text{ cm}^2 + 130,8 \text{ cm}^2 = 135,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>135,8 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt und O der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach M um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach M umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 10: Unregelmäßige Grundformen|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''<u>Volumen eines Prismas</u>'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt. ''Umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 10 \text{ cm} = 15000 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>15000 \text{ cm}^3</math> oder <math>15 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt, O der Oberflächeninhalt, h die Höhe und V das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach G um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach G umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach h umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 12: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''3. Schritt:''' Weil das für dich auch zu uninteressant ist, nimmst du den Stapel und verdrehst einige Karte mal nach links und mal nach rechts. Nur die oberste und unterste Karte liegen parallel zueinander. '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38609Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-05T21:28:02Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist drei mal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächste eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein! Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen"!<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas addieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenfläche addieren) (Die Breite mit der Seitenfläche multiplizieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Vorgaben miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen '''Flächen''' des Prismas. Die '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, ergeben gemeinsam mit den '''''beiden'' Grundflächen''' die '''<u>Oberfläche eines Prismas</u>'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
<br />
<ggb_applet id="smb2kSyd" width="835" height="690" border="888888"></ggb_applet><br />
<br />
<ggb_applet id="UNUbmbpg" width="835" height="690" border="888888" /><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
'''Oberfläche <math>O</math> = Grundfläche 1 + Grundfläche 2 + Rechteckfläche 1 + Rechteckfläche 2 + ... + Rechteckfläche <math>n</math>''' <br><br />
Die Grundflächen sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen dem regelmäßigen <math> n </math>-Eck als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel '''Oberfläche = 2 <math> \cdot</math> Grundfläche + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächen''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Fläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Fläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a \cdot </math> Seitenlänge <math> b \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 6,4 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 76,8 \text{ cm}^2 = 130,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2,5 \text{ cm}^2 + 130,8 \text{ cm}^2 = 135,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>135,8 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt und O der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach M um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach M umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 10: Unregelmäßige Grundformen|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''<u>Volumen eines Prismas</u>'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt. ''Umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 10 \text{ cm} = 15000 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>15000 \text{ cm}^3</math> oder <math>15 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt, O der Oberflächeninhalt, h die Höhe und V das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach G um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach G umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach h umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 12: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''3. Schritt:''' Weil das für dich auch zu uninteressant ist, nimmst du den Stapel und verdrehst einige Karte mal nach links und mal nach rechts. Nur die oberste und unterste Karte liegen parallel zueinander. '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38608Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-05T21:26:25Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist drei mal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächste eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein! Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen"!<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas addieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenfläche addieren) (Die Breite mit der Seitenfläche multiplizieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Vorgaben miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen '''Flächen''' des Prismas. Die '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, ergeben gemeinsam mit den '''''beiden'' Grundflächen''' die '''<u>Oberfläche eines Prismas</u>'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
<br />
<ggb_applet id="smb2kSyd" width="835" height="690" border="888888"></ggb_applet><br />
<br />
<ggb_applet id="UNUbmbpg" width="835" height="690" border="888888" /><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
'''Oberfläche <math>O</math> = Grundfläche 1 + Grundfläche 2 + Rechteckfläche 1 + Rechteckfläche 2 + ... + Rechteckfläche <math>n</math>''' <br><br />
Die Grundflächen sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen dem regelmäßigen <math> n </math>-Eck als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel '''Oberfläche = 2 <math> \cdot</math> Grundfläche + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächen''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Fläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Fläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a \cdot </math> Seitenlänge <math> b \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 6,4 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 76,8 \text{ cm}^2 = 130,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2,5 \text{ cm}^2 + 130,8 \text{ cm}^2 = 135,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>135,8 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt und O der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach M um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach M umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 10: Prismen mit unregelmäßiger Grundform|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''<u>Volumen eines Prismas</u>'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt. ''Umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 10 \text{ cm} = 15000 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>15000 \text{ cm}^3</math> oder <math>15 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt, O der Oberflächeninhalt, h die Höhe und V das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach G um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach G umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach h umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 12: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''3. Schritt:''' Weil das für dich auch zu uninteressant ist, nimmst du den Stapel und verdrehst einige Karte mal nach links und mal nach rechts. Nur die oberste und unterste Karte liegen parallel zueinander. '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38607Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-05T21:22:19Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist drei mal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächste eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein! Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen"!<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas addieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenfläche addieren) (Die Breite mit der Seitenfläche multiplizieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Vorgaben miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen '''Flächen''' des Prismas. Die '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, ergeben gemeinsam mit den '''''beiden'' Grundflächen''' die '''<u>Oberfläche eines Prismas</u>'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
<br />
<ggb_applet id="smb2kSyd" width="835" height="690" border="888888"></ggb_applet><br />
<br />
<ggb_applet id="UNUbmbpg" width="835" height="690" border="888888" /><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
'''Oberfläche <math>O</math> = Grundfläche 1 + Grundfläche 2 + Rechteckfläche 1 + Rechteckfläche 2 + ... + Rechteckfläche <math>n</math>''' <br><br />
Die Grundflächen sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen dem regelmäßigen <math> n </math>-Eck als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel '''Oberfläche = 2 <math> \cdot</math> Grundfläche + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächen''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Fläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Fläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a \cdot </math> Seitenlänge <math> b \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 6,4 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 76,8 \text{ cm}^2 = 130,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2,5 \text{ cm}^2 + 130,8 \text{ cm}^2 = 135,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>135,8 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt und O der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach M um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach M umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box | 1= Prismen mit unregelmäßiger Grundform|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''<u>Volumen eines Prismas</u>'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt. ''Umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 10 \text{ cm} = 15000 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>15000 \text{ cm}^3</math> oder <math>15 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt, O der Oberflächeninhalt, h die Höhe und V das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach G um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach G umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach h umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 12: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''3. Schritt:''' Weil das für dich auch zu uninteressant ist, nimmst du den Stapel und verdrehst einige Karte mal nach links und mal nach rechts. Nur die oberste und unterste Karte liegen parallel zueinander. '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? <br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}}</div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38606Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-05T21:14:01Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist drei mal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächste eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein! Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen"!<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas addieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenfläche addieren) (Die Breite mit der Seitenfläche multiplizieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Vorgaben miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen '''Flächen''' des Prismas. Die '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, ergeben gemeinsam mit den '''''beiden'' Grundflächen''' die '''<u>Oberfläche eines Prismas</u>'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
<br />
<ggb_applet id="smb2kSyd" width="835" height="690" border="888888"></ggb_applet><br />
<br />
<ggb_applet id="UNUbmbpg" width="835" height="690" border="888888" /><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
'''Oberfläche <math>O</math> = Grundfläche 1 + Grundfläche 2 + Rechteckfläche 1 + Rechteckfläche 2 + ... + Rechteckfläche <math>n</math>''' <br><br />
Die Grundflächen sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen dem regelmäßigen <math> n </math>-Eck als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel '''Oberfläche = 2 <math> \cdot</math> Grundfläche + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächen''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Fläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Fläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a \cdot </math> Seitenlänge <math> b \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 6,4 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 76,8 \text{ cm}^2 = 130,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2,5 \text{ cm}^2 + 130,8 \text{ cm}^2 = 135,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>135,8 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt und O der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach M um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach M umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box | 1= Prismen mit unregelmäßiger Grundform|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''<u>Volumen eines Prismas</u>'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt. ''Umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 10 \text{ cm} = 15000 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>15000 \text{ cm}^3</math> oder <math>15 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt, O der Oberflächeninhalt, h die Höhe und V das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach G um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach G umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach h umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box |Aufgabe 12: Gedankenexperiment | Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''3. Schritt:''' Weil das für dich auch zu uninteressant ist, nimmst du den Stapel und verdrehst einige Karte mal nach links und mal nach rechts. Nur die oberste und unterste Karte liegen parallel zueinander. '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? | Hinweis }}<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
<br />
<br />
<br /></div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38605Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-05T21:12:00Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist drei mal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächste eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein! Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen"!<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas addieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenfläche addieren) (Die Breite mit der Seitenfläche multiplizieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Vorgaben miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen '''Flächen''' des Prismas. Die '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, ergeben gemeinsam mit den '''''beiden'' Grundflächen''' die '''<u>Oberfläche eines Prismas</u>'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
<br />
<ggb_applet id="smb2kSyd" width="835" height="690" border="888888"></ggb_applet><br />
<br />
<ggb_applet id="UNUbmbpg" width="835" height="690" border="888888" /><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
'''Oberfläche <math>O</math> = Grundfläche 1 + Grundfläche 2 + Rechteckfläche 1 + Rechteckfläche 2 + ... + Rechteckfläche <math>n</math>''' <br><br />
Die Grundflächen sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen dem regelmäßigen <math> n </math>-Eck als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel '''Oberfläche = 2 <math> \cdot</math> Grundfläche + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächen''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Fläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Fläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a \cdot </math> Seitenlänge <math> b \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 6,4 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 76,8 \text{ cm}^2 = 130,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2,5 \text{ cm}^2 + 130,8 \text{ cm}^2 = 135,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>135,8 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt und O der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach M um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach M umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box | 1= Prismen mit unregelmäßiger Grundform|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''<u>Volumen eines Prismas</u>'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt. ''Umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 10 \text{ cm} = 15000 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>15000 \text{ cm}^3</math> oder <math>15 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt, O der Oberflächeninhalt, h die Höhe und V das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach G um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach G umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach h umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box |Aufgabe 12: Gedankenexperiment | Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''3. Schritt:''' Weil das für dich auch zu uninteressant ist, nimmst du den Stapel und verdrehst einige Karte mal nach links und mal nach rechts. Nur die oberste und unterste Karte liegen parallel zueinander. '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? | Hinweis }}<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
<br />
<br />
<br /></div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38604Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-05T21:09:57Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist drei mal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächste eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein! Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen"!<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas addieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenfläche addieren) (Die Breite mit der Seitenfläche multiplizieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Vorgaben miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen '''Flächen''' des Prismas. Die '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, ergeben gemeinsam mit den '''''beiden'' Grundflächen''' die '''<u>Oberfläche eines Prismas</u>'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
<br />
<ggb_applet id="smb2kSyd" width="835" height="690" border="888888"></ggb_applet><br />
<br />
<ggb_applet id="UNUbmbpg" width="835" height="690" border="888888" /><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
'''Oberfläche <math>O</math> = Grundfläche 1 + Grundfläche 2 + Rechteckfläche 1 + Rechteckfläche 2 + ... + Rechteckfläche <math>n</math>''' <br><br />
Die Grundflächen sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen dem regelmäßigen <math> n </math>-Eck als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel '''Oberfläche = 2 <math> \cdot</math> Grundfläche + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächen''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Fläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Fläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a \cdot </math> Seitenlänge <math> b \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 6,4 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 76,8 \text{ cm}^2 = 130,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2,5 \text{ cm}^2 + 130,8 \text{ cm}^2 = 135,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>135,8 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt und O der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach M um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach M umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box | 1= Prismen mit unregelmäßiger Grundform|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
{{ Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''<u>Volumen eines Prismas</u>'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt. ''Umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 10 \text{ cm} = 15000 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>15000 \text{ cm}^3</math> oder <math>15 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt, O der Oberflächeninhalt, h die Höhe und V das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach G um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach G umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach h umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box |Aufgabe 12: Gedankenexperiment | Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''3. Schritt:''' Weil das für dich auch zu uninteressant ist, nimmst du den Stapel und verdrehst einige Karte mal nach links und mal nach rechts. Nur die oberste und unterste Karte liegen parallel zueinander. '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? | Hinweis }}<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
<br />
<br />
<br /></div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38603Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-05T21:03:11Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist drei mal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächste eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein! Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen"!<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas addieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenfläche addieren) (Die Breite mit der Seitenfläche multiplizieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Vorgaben miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
{{Box |1= Merke |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen '''Flächen''' des Prismas. Die '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, ergeben gemeinsam mit den '''''beiden'' Grundflächen''' die '''<u>Oberfläche eines Prismas</u>'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
|3= Merksatz}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
<br />
<ggb_applet id="smb2kSyd" width="835" height="690" border="888888"></ggb_applet><br />
<br />
<ggb_applet id="UNUbmbpg" width="835" height="690" border="888888" /><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
'''Oberfläche <math>O</math> = Grundfläche 1 + Grundfläche 2 + Rechteckfläche 1 + Rechteckfläche 2 + ... + Rechteckfläche <math>n</math>''' <br><br />
Die Grundflächen sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen dem regelmäßigen <math> n </math>-Eck als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel '''Oberfläche = 2 <math> \cdot</math> Grundfläche + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächen''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Fläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Fläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a \cdot </math> Seitenlänge <math> b \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 6,4 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 76,8 \text{ cm}^2 = 130,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2,5 \text{ cm}^2 + 130,8 \text{ cm}^2 = 135,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>135,8 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt und O der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach M um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach M umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box | 1= Prismen mit unregelmäßiger Grundform|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''<u>Volumen eines Prismas</u>'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt. ''Umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.<br />
<br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 10 \text{ cm} = 15000 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>15000 \text{ cm}^3</math> oder <math>15 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt, O der Oberflächeninhalt, h die Höhe und V das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach G um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach G umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach h umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box |Aufgabe 12: Gedankenexperiment | Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''3. Schritt:''' Weil das für dich auch zu uninteressant ist, nimmst du den Stapel und verdrehst einige Karte mal nach links und mal nach rechts. Nur die oberste und unterste Karte liegen parallel zueinander. '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? | Hinweis }}<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
<br />
<br />
<br /></div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38602Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-05T20:55:31Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist drei mal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächste eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein! Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen"!<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas addieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenfläche addieren) (Die Breite mit der Seitenfläche multiplizieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Vorgaben miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen '''Flächen''' des Prismas. Die '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, ergeben gemeinsam mit den '''''beiden'' Grundflächen''' die '''<u>Oberfläche eines Prismas</u>'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
<br /><br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
<br />
<ggb_applet id="smb2kSyd" width="835" height="690" border="888888"></ggb_applet><br />
<br />
<ggb_applet id="UNUbmbpg" width="835" height="690" border="888888" /><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
'''Oberfläche <math>O</math> = Grundfläche 1 + Grundfläche 2 + Rechteckfläche 1 + Rechteckfläche 2 + ... + Rechteckfläche <math>n</math>''' <br><br />
Die Grundflächen sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen dem regelmäßigen <math> n </math>-Eck als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel '''Oberfläche = 2 <math> \cdot</math> Grundfläche + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächen''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Fläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Fläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a \cdot </math> Seitenlänge <math> b \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen n-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 6,4 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 76,8 \text{ cm}^2 = 130,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2,5 \text{ cm}^2 + 130,8 \text{ cm}^2 = 135,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>135,8 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt und O der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach M um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach M umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box | 1= Prismen mit unregelmäßiger Grundform|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''<u>Volumen eines Prismas</u>'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt. ''Umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.<br />
<br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 10 \text{ cm} = 15000 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>15000 \text{ cm}^3</math> oder <math>15 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt, O der Oberflächeninhalt, h die Höhe und V das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach G um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach G umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach h umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box |Aufgabe 12: Gedankenexperiment | Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''3. Schritt:''' Weil das für dich auch zu uninteressant ist, nimmst du den Stapel und verdrehst einige Karte mal nach links und mal nach rechts. Nur die oberste und unterste Karte liegen parallel zueinander. '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? | Hinweis }}<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
<br />
<br />
<br /></div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38601Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-05T20:52:23Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist drei mal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächste eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein! Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen"!<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas addieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenfläche addieren) (Die Breite mit der Seitenfläche multiplizieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Vorgaben miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen '''Flächen''' des Prismas. Die '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, ergeben gemeinsam mit den '''''beiden'' Grundflächen''' die '''<u>Oberfläche eines Prismas</u>'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
<br /><br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
<br />
<ggb_applet id="smb2kSyd" width="835" height="690" border="888888"></ggb_applet><br />
<br />
<ggb_applet id="UNUbmbpg" width="835" height="690" border="888888" /><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
'''Oberfläche <math>O</math> = Grundfläche 1 + Grundfläche 2 + Rechteckfläche 1 + Rechteckfläche 2 + ... + Rechteckfläche <math>n</math>''' <br><br />
Die Grundflächen sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen dem regelmäßigen <math> n </math>-Eck als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel '''Oberfläche = 2 <math> \cdot</math> Grundfläche + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächen''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Fläche eines regelmäßigen <math> n </math>-Ecks|3=Berechung Fläche eines regelmäßigen <math> n </math>-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a \cdot </math> Seitenlänge <math> b \cdot </math> <math> n </math><br />
|2=Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen <math> n </math>-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen <math> n </math>-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 6,4 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 76,8 \text{ cm}^2 = 130,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2,5 \text{ cm}^2 + 130,8 \text{ cm}^2 = 135,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>135,8 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt und O der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach M um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach M umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box | 1= Prismen mit unregelmäßiger Grundform|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''<u>Volumen eines Prismas</u>'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt. ''Umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.<br />
<br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 10 \text{ cm} = 15000 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>15000 \text{ cm}^3</math> oder <math>15 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt, O der Oberflächeninhalt, h die Höhe und V das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach G um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach G umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach h umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box |Aufgabe 12: Gedankenexperiment | Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''3. Schritt:''' Weil das für dich auch zu uninteressant ist, nimmst du den Stapel und verdrehst einige Karte mal nach links und mal nach rechts. Nur die oberste und unterste Karte liegen parallel zueinander. '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? | Hinweis }}<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
<br />
<br />
<br /></div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38600Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-05T20:49:25Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist drei mal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächste eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein! Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen"!<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas addieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenfläche addieren) (Die Breite mit der Seitenfläche multiplizieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Vorgaben miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen '''Flächen''' des Prismas. Die '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, ergeben gemeinsam mit den '''''beiden'' Grundflächen''' die '''<u>Oberfläche eines Prismas</u>'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
<br /><br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
<br />
<ggb_applet id="smb2kSyd" width="835" height="690" border="888888"></ggb_applet><br />
<br />
<ggb_applet id="UNUbmbpg" width="835" height="690" border="888888" /><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
'''Oberfläche <math>O</math> = Grundfläche 1 + Grundfläche 2 + Rechteckfläche 1 + Rechteckfläche 2 + ... + Rechteckfläche <math>n</math>''' <br><br />
Die Grundflächen sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen dem regelmäßigen <math> n </math>-Eck als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel '''Oberfläche = 2 <math> \cdot</math> Grundfläche + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächen''' bzw.<br><br />
''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> <br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines regelmäßigen <math> n </math>-Ecks|3= Berechung Fläche eines regelmäßigen <math> n </math>-Ecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a \cdot </math> Seitenlänge <math> b \cdot </math> <math> n </math><br />
|2= Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen <math> n </math>-Ecks|3= Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen <math> n </math>-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 6,4 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 76,8 \text{ cm}^2 = 130,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2,5 \text{ cm}^2 + 130,8 \text{ cm}^2 = 135,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>135,8 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt und O der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach M um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach M umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box | 1= Prismen mit unregelmäßiger Grundform|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''<u>Volumen eines Prismas</u>'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt. ''Umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.<br />
<br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 10 \text{ cm} = 15000 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>15000 \text{ cm}^3</math> oder <math>15 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt, O der Oberflächeninhalt, h die Höhe und V das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach G um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach G umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach h umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box |Aufgabe 12: Gedankenexperiment | Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''3. Schritt:''' Weil das für dich auch zu uninteressant ist, nimmst du den Stapel und verdrehst einige Karte mal nach links und mal nach rechts. Nur die oberste und unterste Karte liegen parallel zueinander. '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? | Hinweis }}<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
<br />
<br />
<br /></div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38599Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-05T20:38:03Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist drei mal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächste eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein! Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen"!<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas addieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenfläche addieren) (Die Breite mit der Seitenfläche multiplizieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Vorgaben miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen '''Flächen''' des Prismas. Die '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, ergeben gemeinsam mit den '''''beiden'' Grundflächen''' die '''<u>Oberfläche eines Prismas</u>'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
<br /><br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
<br />
<ggb_applet id="smb2kSyd" width="835" height="690" border="888888"></ggb_applet><br />
<br />
<ggb_applet id="UNUbmbpg" width="835" height="690" border="888888" /><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
'''Oberfläche <math>O</math> = Grundfläche 1 + Grundfläche 2 + Rechteckfläche 1 + Rechteckfläche 2 + ... + Rechteckfläche <math>n</math>''' <br><br />
Die Grundflächen sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen dem regelmäßigen n-Eck als Grundfläche haben die n Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel '''Oberfläche = 2 <math> \cdot</math> Grundfläche + <math> n \cdot </math> Rechteckflächen''' bzw.<br><br />
''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot G </math> + <math>n \cdot A </math>''' <br> <br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math><br />
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a \cdot </math> Seitenlänge <math> b \cdot </math> <math> n </math><br />
|2= Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen <math> n </math>-Ecks|3= Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen <math> n </math>-Ecks}}<br />
<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n </math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n </math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math><br />
|2= Berechnung Fläche eines regelmäßigen <math> n </math>-Ecks|3= Berechung Fläche eines regelmäßigen <math> n </math>-Ecks}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 6,4 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 76,8 \text{ cm}^2 = 130,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2,5 \text{ cm}^2 + 130,8 \text{ cm}^2 = 135,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>135,8 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt und O der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach M um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach M umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box | 1= Prismen mit unregelmäßiger Grundform|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''<u>Volumen eines Prismas</u>'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt. ''Umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.<br />
<br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 10 \text{ cm} = 15000 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>15000 \text{ cm}^3</math> oder <math>15 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt, O der Oberflächeninhalt, h die Höhe und V das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach G um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach G umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach h umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box |Aufgabe 12: Gedankenexperiment | Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''3. Schritt:''' Weil das für dich auch zu uninteressant ist, nimmst du den Stapel und verdrehst einige Karte mal nach links und mal nach rechts. Nur die oberste und unterste Karte liegen parallel zueinander. '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? | Hinweis }}<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
<br />
<br />
<br /></div>Dirk G WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Volumen_und_Oberfl%C3%A4che_des_Prismas&diff=38598Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas2020-12-05T20:27:31Z<p>Dirk G WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info<br />
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Prismen'''. <br />
Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.<br />
<br />
Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:<br />
<br />
* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen. <br />
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> <br />
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.<br />
<br />
Wir wünschen dir viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
==Das Prisma==<br />
<br />
{{Box|1=Definition<br />
|2=Ein '''Prisma''' ist ein Körper, der durch zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sowie durch Rechtecke begrenzt wird.<br />
<br />
Die beiden zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecke heißen '''Grundflächen''' und die Rechtecke '''Seitenflächen'''.<br />
<br />
Alle Seitenflächen bilden zusammen die '''Mantelfläche''' des Prismas und als '''Höhe''' des Prismas wird der Abstand der Grundflächen voneinander bezeichnet.<br />
[[Datei:Prismen1.png|zentriert|mini|700x700px|alt=|Vier Prismen mit unterschiedlichen, orange eingefärbten Grundflächen. Die Höhe der Prismen entspricht der Länge der schwarzen Linien.]]<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
==Prismen und andere Körper==<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnungen zu überprüfen.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Prismen oder keine Prismen?.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Körper '''1''' ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.<br />
*Körper '''2''' ist ein Prisma mit quadratischen Grundflächen. Körper '''2''' ist zudem ein Quader.<br />
*Körper '''3''' ist ein Prisma mit sechseckigen Grundflächen.<br />
*Körper '''4''' ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.<br />
*Körper '''5''' ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke, sondern Kreisschnitte sind.<br />
*Körper '''6''' ist ein Prisma mit rechtwinkligen Dreiecken als Grundflächen.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Netze|2= Welches dieser Körpernetze kann man zu einem Prisma zusammensetzen? Ordne die Netze richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. Solltest du nicht mehr wissen, was das Netz eines Körpers ist oder wie du es zeichnest, guck doch einmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder#Schr.C3.A4gbilder und Netze|hier]] nach.<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pkenm61bj20}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
[[Datei:Netze.png|zentriert|mini|700x700px]]<br />
*Netz '''1''' kann zu einer Pyramide mit abgeflachter Spitze, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''2''' kann zu einem Würfel und damit zu einem Prisma zusammengesetzt werden. <br />
*Netz '''3''' kann zu einem Prisma mit dreieckigen Grundflächen zusammengesetzt werden.<br />
*Netz '''4''' kann zu einem Zylinderschnitt, aber nicht zu einem Prisma zusammengesetzt werden.<br />
|Erklärung|Einklappen}}|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften:<br />
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen.<br />
* Das Prisma ist drei mal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind.<br />
{{Lösung versteckt|<br />
* Zeichne zunächste eine der Grundflächen ein.<br />
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat.<br />
|Tipps| Einklappen}}<br />
{{Lösung versteckt| Dein gezeichnetes Netz könnte etwa so aussehen: [[Datei:Netz zeichnen.png|zentriert|mini|700x700px|Beachte, dass es sehr viele Möglichkeiten gibt, ein Körpernetz zu zeichnen. Dadurch, dass die Längenverhältnisse, nicht aber die Längen der kurzen oder langen Seiten der Grundflächen vorgegeben sind, kann das Netz des Prismas unterschiedlich groß werden.]]<br />
|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" />|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box|1= Aufgabe 4: Lückentext|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''.<br />
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten==<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein! Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen"!<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas addieren) (!Die Breite mit der Grundfläche eines Prismas multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit einer Seitenflächen und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Seitenfläche addieren) (Die Breite mit der Seitenfläche multiplizieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Seitenfläche mit einer Grundfläche multiplizieren)<br />
<br />
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Vorgaben miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit <math> \text{ m}^2 </math> ergibt nichts Sinnvolles, dafür <math> \text{ dm}^2 </math> mit <math> \text{ dm}^3 </math>usw.) (Nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten, Volumen mit Volumen kann man sinnvoll miteinander addieren) (!Nein, niemals)<br />
<br />
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)<br />
<br />
Die Einheiten der Länge, z.B. cm oder m, stehen ohne Exponent, weil ... (!dort kein Exponent existiert) (!der Exponent eigentlich 0 ist und eine Null kann fast immer weggelassen werden) (der Exponent eigentlich 1 ist und man eine einfachere Schreibweise bevorzugt)<br />
<br /><br />
</div><br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 6: Ordnen|2= Längen, Flächen und Volumen haben jeweils eigene Einheiten. Ordne die angegeben Einheiten richtig zu! Wenn du fertig und zufrieden bist, klicke unten rechts auf den blauen Haken.{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=15299865}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
==Oberfläche eines Prismas==<br />
In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen '''Flächen''' des Prismas. Die '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, ergeben gemeinsam mit den '''''beiden'' Grundflächen''' die '''<u>Oberfläche eines Prismas</u>'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen.<br />
<br /><br />
<br />
{{Box |1= Aufgabe 7: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung?<br />
<br />
<ggb_applet id="smb2kSyd" width="835" height="690" border="888888"></ggb_applet><br />
<br />
<ggb_applet id="UNUbmbpg" width="835" height="690" border="888888" /><br />
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen.<br />
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Flächen der Rechtecke. Mathematisch ausgedrückt: <br><br />
'''Oberfläche <math>O</math> = Grundfläche 1 + Grundfläche 2 + Rechteckfläche 1 + Rechteckfläche 2 + ... + Rechteckfläche <math>n</math>''' <br><br />
Die Grundflächen sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen dem regelmäßigen n-Eck als Grundfläche haben die n Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel '''Oberfläche = 2 <math> \cdot</math> Grundfläche + <math> n \cdot </math> Rechteckflächen''' bzw.<br><br />
''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot G </math> + <math>n \cdot A </math>''' <br> <br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math>|2= Berechnung Fläche eines Rechtecks|3= Berechnung Fläche eines Rechtecks}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{Grundseite } g \cdot \text{Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math>|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n </math>-Eck <math> n </math><br />
= <math> \frac{\text{Grundseite } g \cdot \text{Höhe zur Grundseite } h_g}{2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math>|2= Berechnung Fläche eines regelmäßigen <math> n </math>-Ecks|3= Berechung Fläche eines regelmäßigen <math> n </math>-Ecks}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math><br />
= Seitenlänge <math> a \cdot </math> Seitenlänge <math> b \cdot </math> <math> n </math>|2= Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen <math> n </math>-Ecks|3= Berechnung Mantelfläche eines regelmäßigen <math> n </math>-Ecks}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 8: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2,5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 6,4 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 + 76,8 \text{ cm}^2 = 130,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>130,8 \text{ cm}^2</math> . <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2,5 \text{ cm}^2 + 130,8 \text{ cm}^2 = 135,8 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>135,8 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br><br />
<math>\begin{align} <br />
G = a \cdot h_a = 8 \text{ cm} \cdot 4{,}5 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>36 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Mantelfläche: <br><br />
<math>\begin{align}<br />
M = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} + 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2 + 90 \text{ cm}^2 = 234 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>234 \text{ cm}^2</math>. <br><br />
Berechnung der Oberfläche:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 36 \text{ cm}^2 + 234 \text{ cm}^2 = 306 \text{ cm}^2.<br />
\end{align}</math><br />
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 9: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt und O der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> <br />
<br />
<math>O = 18 \text{ dm}^2</math> und <br/><br />
<math>G = 250 \text{ cm}^2</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach M um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/><br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 18 \text{ dm}^2 = 1800 \text{ cm}^2 \\<br />
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach M umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= 4 \cdot M \\<br />
<br />
&\Leftrightarrow& 325 \text{ cm}^2 &= M<br />
<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Damit ist die fehlende Größe <math>M = 325 \text{ cm}^2 = 3{,}25 \text{ dm}^2</math><br />
<br />
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box | 1= Prismen mit unregelmäßiger Grundform|2= Es gibt auch Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z.B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander!<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}}<br />
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Hervorhebung1}}<br />
<br />
==Volumen eines Prismas==<br />
In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem '''<u>Volumen eines Prismas</u>'''. Du berechnest den '''Rauminhalt''' eines Prismas indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt. ''Umgangssprachlich'' ein '''''massiver Körper'''''.<br />
<br />
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wisst, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.<br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Fläche <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /><br />
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks: <math>a=2</math> cm, <math>b=2{,}5</math> cm und <math>c=6{,}4</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} <br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = G \cdot h = 2,5 \text{ cm}^2\cdot 12 \text{ cm} = 30\text{ cm}^3.<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>30 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br />
<br />
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 8 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br><br />
<math>\begin{align}<br />
V = 1500 \text{ cm}^2 \cdot 10 \text{ cm} = 15000 \text { cm}^3<br />
\end{align}</math> <br><br />
A: Das Volumen beträgt <math>15000 \text{ cm}^3</math> oder <math>15 \text{ dm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt, O der Oberflächeninhalt, h die Höhe und V das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ <br />
M &= 700 \text{ cm}^2 und \\<br />
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach G um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen | 2= 3.Tipp | 3= 3. <br />
Tipp einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br />
<br />
<math> \begin{align}<br />
O = 35 \text{ dm}^2 = 3500 \text{ cm}^2 \\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach G umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \text{ cm}^2\\<br />
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\<br />
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2<br />
\end{alignat}</math><br />
<br />
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach h umgestellt:<br />
<br />
<math>\begin{alignat}{2}<br />
&\quad& V &= h \cdot G \\<br />
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 3500 \text{ cm}^3\\<br />
&\Leftrightarrow& 10 \text{ cm} &= h <br />
\end{alignat}</math> <br><br />
<br />
A: Die Höhe beträgt <math>10 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. <br />
<br />
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
<br />
{{Box |Aufgabe 12: Gedankenexperiment | Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''3. Schritt:''' Weil das für dich auch zu uninteressant ist, nimmst du den Stapel und verdrehst einige Karte mal nach links und mal nach rechts. Nur die oberste und unterste Karte liegen parallel zueinander. '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? | Hinweis }}<br />
<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}}<br />
<br />
<br />
<br /></div>Dirk G WWU-7