https://projekte.zum.de/api.php?action=feedcontributions&user=Buss-Haskert&feedformat=atomZUM Projektwiki - Benutzerbeiträge [de]2024-03-28T09:26:03ZBenutzerbeiträgeMediaWiki 1.39.6https://projekte.zum.de/index.php?title=Herta-Lebenstein-Realschule&diff=93270Herta-Lebenstein-Realschule2024-03-25T13:21:24Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div><br /><br />
{{Vorlage:Projektstartseite<br />
<br />
|Titel des Projekts = Lernpfade im Unterricht <br />
<br />
|Farbe=#00008B<br />
<br />
|Bild=Schullogo HLR.jpg<br />
<br />
|Beschreibung des Projekts= [https://www.herta-lebenstein-realschule.de/ Herta-Lebenstein.Realschule]<br />
<br />
|Weitere Hinweise= <br />
}}<br />
<br />
{{Navigation verstecken|[[Datei:QR Code Startseite HLR.png|rahmenlos]]|QR Code zur Seite}}<br />
==='''<big>Mathematik</big>'''===<br />
'''Klasse 5''' <br />
<br />
*[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Natürliche Zahlen|1) Natürliche Zahlen]] <small>von [[Benutzer:J. Twardzik| Frau Twardzik]] und [[Benutzer:Neukirch| Frau Neukirch]]</small><br />
<br />
*[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Addition und Subtraktion|2) Addition und Subtraktion]] <small>von [[Benutzer:J. Twardzik| Frau Twardzik]] und [[Benutzer:Neukirch| Frau Neukirch]]</small><br />
<br />
*[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Multiplikation und Division|3) Multiplikation und Division]] <small>von [[Benutzer:J. Twardzik| Frau Twardzik]] und [[Benutzer:Neukirch| Frau Neukirch]]</small><br />
<br />
*[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Geometrie|4) Geometrie]] <small>von [[Benutzer:J. Twardzik| Frau Twardzik]] und [[Benutzer:Neukirch| Frau Neukirch]]</small><br />
<br />
*[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Größen|5) Größen]] <small>von [[Benutzer:J. Twardzik| Frau Twardzik]] und [[Benutzer:Neukirch| Frau Neukirch]]</small><br />
<br />
*[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Flächen und Körper|6) Flächen und Körper]] <small>von [[Benutzer:J. Twardzik| Frau Twardzik]] und [[Benutzer:Neukirch| Frau Neukirch]]</small><br />
<br />
*[https://www.geogebra.org/m/pge8d4x3 7) Link zum Geogebra-Buch zur Einführung von Brüchen (Flink-Team)]<br />
<br />
<br />
'''Klasse 6''' <br />
<br />
*[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Kreis und Winkel|1) Kreis und Winkel]] <small>von [[Benutzer:J. Twardzik| Frau Twardzik]] und [[Benutzer:Neukirch| Frau Neukirch]]</small><br />
*[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Teilbarkeit|2) Lernpfad Teilbarkeit]] <small>von [[Benutzer:J. Frintrup|Herrn Frintrup]], [[Benutzer:J. Twardzik| Frau Twardzik]] und [[Benutzer:Neukirch| Frau Neukirch]]</small><br />
<br />
*<small>[https://www.alice.edu.tum.de/bruchrechnen.html#/ 3) Bruchteile & Bruchzahlen greifen & begreifen (tum.de)]</small><br />
*[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Brüche|3) Brüche entdecken]] <small>von [[Benutzer:J. Frintrup|Herrn Frintrup]], [[Benutzer:J. Twardzik| Frau Twardzik]], [[Benutzer:Neukirch| Frau Neukirch]] und [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]] </small><br />
*[[Herta-Lebenstein-Realschule/Rechnen mit Brüchen|4) Rechnen mit Brüchen]] <small>von [[Benutzer:J. Frintrup|Herrn Frintrup]],[[Benutzer:J. Twardzik| Frau Twardzik]],[[Benutzer:Neukirch| Frau Neukirch]] und [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Flächeninhalt und Rauminhalt|5) Flächeninhalt und Rauminhalt]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]] </small><br />
*[[Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbrüche selbständig erarbeiten|6.1) Dezimalbrüche selbständig erarbeiten]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
*[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Rechnen mit Dezimalbrüchen|6.2) Rechnen mit Dezimalbrüchen]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Ganze Zahlen|7) Ganze Zahlen]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
<br />
<br /><br />
<br />
'''Klasse 7'''<br />
<br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Lernpfad Zuordnungen und Dreisatz|1) Zuordnungen und Dreisatz]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Einführung Rationale Zahlen|2) Einführung Rationale Zahlen]] <small> von [[Benutzer:Buss-Haskert| Frau Buß-Haskert]] und [[Benutzer:Neukirch| Frau Neukirch]]</small><br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Dreiecke|3) Dreiecke]]<small> von [[Benutzer:Buss-Haskert| Frau Buß-Haskert]]</small><br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Terme|4) Terme]]<small> von [[Benutzer:Buss-Haskert| Frau Buß-Haskert]] und [[Benutzer:Neukirch| Frau Neukirch]]</small><br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen|5) Gleichungen - Halte die Waage im Gleichgewicht]]<small> von [[Benutzer:Buss-Haskert| Frau Buß-Haskert]] und [[Benutzer:Neukirch| Frau Neukirch]]</small><br />
*[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung|6) Prozentrechnung]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]] </small><br />
<br />
'''Klasse 8'''<br />
<br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Terme(mit Klammern)|1) Terme (mit Klammern)]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
*[[Buss-Haskert/Gleichungen (mit Klammern)|2) Gleichungen (mit Klammern)]] <small> von [[Benutzer:J. Twardzik| Frau Twardzik]] und [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke|3) Vierecke und Dreiecke]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]] und [[Benutzer:J. Twardzik| Frau Twardzik]]</small><br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und Zinsrechnung|4) Prozent- und Zinsrechnung]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]] und [[Benutzer:J. Twardzik| Frau Twardzik]]</small><br />
*[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub|5) Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Prismen|6) Prismen - Projekt: Verpackungen gestalten]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]] und [[Benutzer:J. Twardzik| Frau Twardzik]]</small><br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Daten|Daten (im Aufbau)]]<small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
<br />
'''Klasse 9'''<br />
<br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme|1) Lineare Gleichungssysteme]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
*[[Buss-Haskert/Zweistufige Zufallsexperimente|2) Zweistufige Zufallsexperimente]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Potenzen|3) Potenzen und Wurzeln]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras|4) Satz des Pythagoras]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
*[[Herta-Lebenstein-Realschule/Ähnlichkeit und Strahlensätze|5) Ähnlichkeit und Strahlensätze]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder|6) Kreis und Zylinder]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
<br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Lineare_Gleichungssysteme/Break-Even-Point|Sozialwissenschaften und Mathematik - Break-Even-Point und Preisbildung]] <small>von Herrn Walde und [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
<br />
<br />
'''Klasse 10'''<br />
<br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische_Funktionen|1 Quadratische Funktionen und Gleichungen]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
**[[Herta-Lebenstein-Realschule/Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen sportlich erarbeiten|1.1) Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen sportlich erarbeiten]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
**[[Buss-Haskert/Quadratische Gleichungen|1.2) Quadratische Gleichungen]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Körper|2) Körper]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion|3) Exponentialfunktion]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
**[[Benutzer:Buss-Haskert/Zinseszins|Einschub: Zinseszinsrechnung]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie|4) Trigonometrie]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
<br />
<br><br />
<br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik|Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik (2023 BS)]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
<br />
<br />
'''Zusammenfassungen'''<br />
<br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Zusammenfassung Einheiten|Einheiten (Länge, Fläche, Volumen)]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
*[[Benutzer:Schulten/Bruchrechnung_(Wiederholung)|Bruchrechnung (Wiederholung)]] <small>von J.Schulten</small><br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Zusammenfassung Prozentrechnung|Prozentrechnung: Zusammenfassung]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
<br />
<br />
==='''<big>Deutsch</big>'''===<br />
<br />
'''Klasse 5'''<br />
<br />
*[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfade Grammatik Klasse 5|Lernpfade Grammatik Klasse 5 (PH Ludwigsburg)]]<br />
*[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Zeitformen|Zeitformen]]<small> von [[Benutzer:J. Twardzik| Frau Twardzik]]</small><br />
*[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lesepfad: Rico, Oskar und die Tieferschatten|Lesepfad: Rico, Oskar und die Tieferschatten]] <small>von der PH Ludwigsburg</small><br />
*[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lesepfad: Märchen|Lesepfad: Märchen]] <small>von der PH Ludwigsburg</small><br />
<br />
'''Klasse 7''' <br />
<br />
*[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Balladen|Balladen]]<small> von [[Benutzer:J. Twardzik| Frau Twardzik]]</small><br />
*[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Aktiv und Passiv|Aktiv und Passiv]] <small>von [[Benutzer:J. Twardzik| Frau Twardzik]]</small><br />
*[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Getrennt- und Zusammenschreibung|Getrennt- und Zusammenschreibung]] <small>von [[Benutzer:J. Twardzik| Frau Twardzik]]</small><br />
*[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Schreibung von Eigennamen|Schreibung von Eigennamen]] <small>von [[Benutzer:J. Twardzik| Frau Twardzik]]</small><br />
<br />
<br />
<br />
'''Klasse 8'''<br />
<br />
*[[Benutzer:SHornemann/Nominalisierung|Nominalisierung]] <small>von [[Benutzer:SHornemann| Frau Hornemann]]</small><br />
<br />
<br />
==='''<big>Englisch</big>'''===<br />
<br />
'''Klasse 6'''<br />
<br />
*[[Benutzer:R.Feld/comparison of adjectives| comparison of adjectives]] <small>von [[Benutzer:R.Feld| Herrn Feld]]</small><br />
<br />
'''Klasse 8'''<br />
<br />
*[[Benutzer:R.Feld/New York| New York]] <small>von [[Benutzer:R.Feld| Herrn Feld]]</small><br />
<br />
<br />
'''Klasse 10'''<br />
<br />
*[[Benutzer:R.Feld/How to analyze a cartoon| How to analyze a cartoon]] <small>von [[Benutzer:R.Feld| Herrn Feld]]</small><br />
<br />
==='''<big>Geschichte</big>'''===<br />
<br />
'''Klasse 6'''<br />
<br />
*[[Benutzer:R.Feld/Die griechischen Götter| Die griechischen Götter]] <small>von [[Benutzer:R.Feld| Herrn Feld]]</small><br />
<br />
'''Klasse 8'''<br />
<br />
*[[Benutzer:R.Feld/Aufklärung| Aufklärung]] <small>von [[Benutzer:R.Feld| Herrn Feld]]</small><br />
<br />
==='''<big>Physik</big>'''===<br />
<br />
'''Klasse 5'''<br />
<br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Akustik|Wie wir hören (im Aufbau)]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Optik|Wie wir sehen (im Aufbau)]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
<br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Wärmelehre| Sonnenenergie und Wärme (im Aufbau)]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
<br />
'''Klasse 6'''<br />
<br />
*[[Buss-Haskert/Strom und Magnetismus| Strom und Magnetismus]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Lichtbrechung| Optik: Lichtbrechnung]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
<br />
'''Klasse 8'''<br />
<br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Elektrische Stromkreise|Elektrische Stromkreise (im Aufbau)]] <small>von [[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]]</small><br />
<br />
<br />
==='''<big>Politik</big>'''===<br />
<br />
'''Klasse 10'''<br />
<br />
*[[Benutzer:SHornemann/Soziale Sicherung|Soziale Sicherung]] <small>von [[Benutzer:SHornemann| Frau Hornemann]]</small><br />
<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:Deutsch]]<br />
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]<br />
<br />
<br />
==='''<big>Technik</big>'''===<br />
'''Klasse 7'''<br />
<br />
*[[Benutzer:J. Frintrup/Einführung in die Technik|Einführung in die Technik]] von <small>[[Benutzer:J. Frintrup|Herrn Frintrup]]</small><br />
<br />
<br />
*[[Benutzer:J. Frintrup/Holztechnik|Holztechnik]] von <small>[[Benutzer:J. Frintrup|Herrn Frintrup]]</small><br />
<br />
*[[Benutzer:J. Frintrup/Kunststofftechnik|Kunststofftechnik]] von <small>[[Benutzer:J. Frintrup|Herrn Frintrup]]</small><br />
<br />
===Lernpfad zum Erstellen eines Lernpfades===<br />
<br />
Auf diesen Seiten sind die Formatierungsmöglichkeiten für einen Lernpfad im Projektwiki erläutert:<br />
<br />
*[[Benutzer:Buss-Haskert/Lernpfad - Möglichkeiten|Lernpfad: Möglichkeiten eines Lernpfades]]</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad_Prozentrechnung/7)_Prozente_rund_um_Stadtlohn_(vermischte_%C3%9Cbungen)&diff=93269Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)2024-03-25T13:19:09Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/1) Absoluter und relativer Vergleich|1) Absoluter und relativer Vergleich]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/2) Prozentschreibweise|2) Prozentschreibweise]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/3) Grundbegriffe der Prozentrechnung|3) Grundbegriffe der Prozentrechnung]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/4) Prozentsatz p% berechnen|4) Prozentsatz p% berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/5) Prozentwert W berechnen|5) Prozentwert W berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/6) Grundwert G berechnen|6) Grundwert G berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)|7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/Checkliste|8) Checkliste]]}}<br />
==7) Prozente rund um Stadtlohn (Vermischte Übungen)==<br />
<br />
<br />
Diese Aufgabensammlung wurde von Frau Urban erstellt.<br />
<br />
Sie umfasst fünf Themengebiete, die jeweils in drei Unterthemen aufgeteilt sind.<br />
Wähle aus jedem Unterthema mindestens eine Aufgabe aus. (*) leicht ,(**) mittel oder (***) schwer.<br />
Insgesamt sammle mindestens 25 Sternchen "*".<br />
<br />
Schreibe dazu die Lösung der Aufgaben ausführlich in dein Heft.<br />
<br />
(geg:...; ges:... usw. )<br />
<br />
Kontrolliere deine Rechnung durch Eingabe deiner Ergebnisse. Hake dann mit einem andersfarbigen Stift deine Lösung ab.<br />
<br />
===7.1) Einkaufen in Stadtlohn===<br />
<br />
[[Datei:PS4-Console-wDS4.png|mini|alternativtext=|zentriert|306x306px]]<br />
====Einkaufen in Stadtlohn: Multimedia====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Videospiel kostet im Laden 60€. Durch eine Rabattaktion wird das Spiel um 19% reduziert.<br />
<br />
Patrick freut sich darüber sehr!<br />
<br />
Wie viel Euro kann er einsparen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=60€;'''p%'''= 19% = 0,19<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Patrick kann durch die Rabattaktion '''11,40()'''Euro sparen. <br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein PC-Spiel kostet 45€. Nur heute gibt es das Angebot, bei dem man beim Kauf dieses Spiels 9,90€ einsparen kann.<br />
<br />
Um wie viel Prozent wurde der Preis reduziert? <br />
<br />
<small>geg: '''G'''=45€;'''W'''= 9,90 €<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Der Preis des Spiels wurde um '''22%()'''reduziert.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1(***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Beim Kauf einer CD spart Luisa 2,10€. Das sind 14% des ursprünglichen Preises. <br />
<br />
Wie teuer war die CD ursprünglich? <br />
<br />
<small>geg: '''W'''=2,10€;'''p%'''= 14% <br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Die CD kostete ursprünglich '''15()'''€.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Racing-bicycle-161449 1280.png|mini|<small><small><small><small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay </small></small></small></small>|alternativtext=|center|158x158px]]<br />
====Einkaufen in Stadtlohn: Fahrzeuge====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
<br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Skateboard kostet 75€. Im Schlussverkauf wird es um 32% reduziert. <br />
<br />
Wie viel € hat man gespart? <br />
<br />
<small>geg: '''G'''=75€; '''p%'''= 32% = 0,32<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Man hat '''24()'''Euro gespart.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
<br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Fahrrad kostet 375€. Bei einer Rabattaktion spart Jakob 45€. <br />
<br />
Wie viel Prozent konnte Jakob vom ursprünglichen Preis einsparen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=375€; '''W'''= 45 €<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Jakob konnte '''12%()'''einsparen.<br />
</div></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
<br />
Aufgabe 2(***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Händler kann den Preis eines gebrauchten Elektro-Rollers um maximal 14% reduzieren. Das sind 175€.<br />
<br />
Wie teuer war der Roller ursprünglich? <br />
<br />
<small>geg: '''W'''=175€; '''p%'''= 14% <br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Der Elektro-Roller kostete ursprünglich '''1250()'''€.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Blue-295177 1280.png|mini|<small><small><small><small>Bild von Clker-Free-Vector-Images auf Pixabay</small></small></small></small>|alternativtext=|center|141x141px]]<br />
====Einkaufen in Stadtlohn: Mode====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Modehaus in Stadtlohn baut um und bietet daher einen Räumungs-Verkauf an, bei dem es viele Schnäppchen gibt.<br />
<br />
Sophie freut sich über den Räumungs-Verkauf, denn auf die Outdoorjacke für 129,99 , die sie sich ausgesucht hat, erhält sie an der Kasse 40%. <br />
<br />
<small>a) Wie viel € hat sie gespart?<br />
<br />
b) Wie viel € zahlt sie nun für die Jacke? <br />
<br />
<br />
geg: '''G'''=129,99€; '''p%'''= 40% = 0,4<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: a) Man hat '''52()'''Euro gespart.<br />
b) Sie zahlt nun '''77,99()'''Euro.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Modehaus in Stadtlohn baut um und bietet daher einen Räumungs-Verkauf an, bei dem es viele Schnäppchen gibt.<br />
Jenny findet einen Pullover, der 59,99€ kosten sollte und nun um 20€ reduziert wurde. Sie fragt sich, um wie viel Prozent der Pullover reduziert wurde. <br />
<br />
<small>geg: '''G'''=59,99€; '''W'''= 20 €<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Jakob konnte '''33,3%()'''einsparen. <br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3(***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Modehaus in Stadtlohn baut um und bietet daher einen Räumungs-Verkauf an, bei dem es viele Schnäppchen gibt.<br />
<br />
Mark findet zwei Jeans mit unterschiedlichem Angebot. <br />
<br />
<small>1. Angebot: Eine Jeans, die 99,99€ kostet, wird um 60€ reduziert.<br />
2. Angebot: Eine Jeans, die 79,99€ kostet, wird um 45€ reduziert.<br />
<br />
Nun überlegt er, bei welcher Jeans er prozentual mehr einsparen könnte.<br />
<br />
geg: Angebot 1:'''G'''= 99,99€; '''W'''= 60€ ;<br />
<br />
Angebot 2: '''G'''= 79,99€; '''W'''= 45€<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Beim 1. Angebot spart er '''60%|60,0%()''', beim 2. Angebot '''56%|56,3%()''', also kann er bei Angebot '''1()''' prozentual mehr sparen. (Runde auf 1 Stelle nach dem Komma.)<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Football-157930 1280.png|mini|<small><small><small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay </small></small></small>|center|132x132px]]<br />
===7.2) Freizeit in Stadtlohn===<br />
====Freizeit in Stadtlohn: Fußball====<br />
<br />
[[Datei:Freizeit in Stadtlohn Fußball 2.png]]<br />
[[Datei:Freizeit in Stadtlohn Fußball 1.png]]<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
In der Saison 16/17 hat eine Mannschaft des Vereins SuS Stadtlohn ca. 18% er Spiele gewonnen.<br />
Wie viele Spiele sind das?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''= 22 ; '''p%'''= 18% = 0,18<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Die Mannschaft hat '''4()''' Spiele gewonnen.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Wie viel Prozent der Spiele hat die Mannschaft des Vereins SuS Stadtlohn in den Saisons 12/13 und 16/17 jeweils gewonnen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''= 22 ; '''W'''= 18<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Die Mannschaft hat in der Saison 12/13 '''82%()''' und in der Saison 16/17'''18%()''' der Spiele gewonnen.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Als Sportler ist es besonders wichtig, sich ausgewogen und gesund zu ernähren.<br />
<br />
Fußballer Sebastian weiß, dass er täglich 65g Eiweiß, 85g Fette und 320g Kohlenhydrate benötigt. Wie viel Prozent des Tagesbedarfes jedes einzelnen Elements werden mit einer Müsli-Portion gedeckt? <br />
[[Datei:Freizeit in Stadtlohn Fußball 3.png|200x200px]]<br />
<br />
<small>geg: Eiweiß: '''G'''= 65 g ; '''W'''= 8,2 g; Fette: ...<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Er hat mit einer Portion Müsli '''12,6%()''' des Tagesbedarfs an Eiweiß, '''7,5%()''' des Tagesbedarfes an Fetten und '''10,4%()''' des Tagesbedarfs an Kohlenhydraten gedeckt. (Runde auf 1 Stelle nach dem Komma.)<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Runner-309053 1280.png|mini|<small><small>Bild von Clker-Free-Vector-Images auf Pixabay </small></small>|center]]<br />
<br />
====Freizeit in Stadtlohn: Silvesterlauf====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Jedes Jahr findet am Vormittag des 31. Dezembers der Silvesterlauf in Stadtlohn statt. 2018 ist bereits der 35. Lauf in Folge.<br />
<br />
Ein Sportler wiegt 68kg. Beim Silvesterlauf verliert er 3% seines Gewichts. <br />
<br />
Wie viel kg hat er verloren?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''= 68kg; '''p%'''= 3% = 0,03<br />
<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Der Sportler hat ungefähr '''2()''' kg an Gewicht verloren.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Jedes Jahr findet am Vormittag des 31. Dezembers der Silvesterlauf in Stadtlohn statt. 2018 ist bereits der 35. Lauf in Folge.<br />
<br />
2018 nahmen 630 Läufer/innen am Silvesterlauf teil. Von diesen Sportler/innen haben bereits 30% eine Zusage für den Lauf im kommenden Jahr gemacht. Wie viele sind das?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''= 630; '''p%'''= 30%<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Eine Zusage für den Lauf im nächsten Jahr haben '''189()''' Läufer gemacht.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Jedes Jahr findet am Vormittag des 31. Dezembers der Silvesterlauf in Stadtlohn statt. 2018 ist bereits der 35. Lauf in Folge.<br />
<br />
<br />
48 von 99 Männern liefen die 15000m Strecke in einer Zeit von unter einer Stunde und zehn Minuten. In der gleichen Zeit schafften es 6 von 26 Frauen ins Ziel. Wie viel Prozent der Männer und wie viel Prozent der Frauen liefen in der oben angegebenen Zeit? <br />
<br />
<small>geg: Männer '''W'''= 48; '''G'''= 99;<br />
Frauen: '''W'''= 6; '''G'''=26<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Von den Männern haben '''48,5%()''' die Strecke unter 70 Minuten geschafft, von den Frauen '''23,1%()'''. (Runde auf 1 Stelle nach dem Komma.)<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Swimming-pool-149632 1280.png|mini|<small><small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay</small></small>|center|150x150px ]]<br />
====Freizeit in Stadtlohn: Hallen- und Freibad in Stadtlohn====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Schwimmerbecken im Freibad hat 8 Bahnen. 37,5% dieser Bahnen sind durch das Training einer Schwimm-Mannschaft belegt. <br />
<br />
Wie viele Bahnen sind das?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=8 Bahnen; '''p%'''=37,5%<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Es sind '''3()''' Bahnen durch die Schwimm-Mannschaft belegt.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Schwimmbecken besteht aus einem Schwimmer- und einem Nichtschwimmer-Bereich. Die Wasseroberfläche des Nichtschwimmer-Bereichs beträgt 187m². Das sind 17% der Gesamtwasseroberfläche. <br />
<br />
Wie groß ist die Fläche des gesamten Schwimmbeckens? <br />
<br />
<small>geg: '''W'''= 187 m²;'''p%'''= 17%<br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Es sind '''1100()'''m² Wasseroberfläche insgesamt.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das untenstehende Säulendiagramm zeigt ein Beispiel für die täglichen Besucherzahlen im Hallenbad innerhalb von einer Woche. <br />
<br />
[[Datei:Hallen und Freibad Aufgabe 3 .png|mini|alternativtext=|links|300x300px]]<br />
<br />
Wie viel Prozent der Badegäste besuchten am Wochenende das Bad? <br />
<br />
<small>geg: G='''1176()''';<br />
W='''457()'''<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Am Wochenende besuchten rund '''39%|38,9()''' der Besucher das Hallenbad.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:HLR-Schulname mit Logo.jpg|mini|center]]<br />
===7.3) Herta-Lebenstein-Realschule Stadtlohn===<br />
====Herta-Lebenstein-Realschule: Kurseinteilung 8er====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Kreisdiagramm gibt die prozentuale Aufteilung der Schüler/innen der 8. Klassen auf die unterschiedlichen Kurse an. <br />
[[Datei:Kurseinteilung Anwendungsaufgabe 1.1.png|mini]]<br />
Fülle die dazugehörigen Felder aus:<br />
<br />
FR p% ='''13%()'''<br />
<br />
NL p%='''20%()'''<br />
<br />
Bio p%='''18%()'''<br />
<br />
SW p%='''30%()'''<br />
<br />
TC p%='''19%()'''<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Stellt die prozentuale Verteilung der Anzahl der Schüler/innen auf die verschiedenen Kurse in einem Kreisdiagramm dar. <br />
[[Datei:Kurseinteilung Anwendungsaufgabe 1.2.png|mini]]<br />
<small>a) Berechnet zuerst für jeden prozentualen Anteil den entsprechenden Mittelpunktswinkel mithilfe des Dreisatzes. Bedenke: 100% entsprechen 360° .Runde auf Einer, wenn nötig.<br />
<br />
FR '''47()'''°<br />
<br />
NL ''72()'''°<br />
<br />
Bio '''65()'''°<br />
<br />
SW '''108()'''°<br />
<br />
TC '''68()'''°<br />
<br />
b) Zeichnet nun das Kreisdiagramm mithilfe der in a) berechneten Winkel. <br />
Du kannst dein Diagramm mithilfe des Diagramms in Aufgabe 1(*) prüfen. </small><br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"></div><br />
</div><br />
<br />
====Herta-Lebenstein-Realschule: Anzahl der Schüler/innen an den weiterführenden Schulen im Schuljahr 2018/2019 in %====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Anzahl der Schüler an den weiterführenden Schulen Stadtlohn Aufgabe 2.1.png|mini|center]]<br />
<br />
Fülle die dazugehörigen Felder aus:<br />
<br />
LBS p%='''25%()'''<br />
<br />
HLR p%='''25%()'''<br />
<br />
St.Anna p%='''15%()'''<br />
<br />
GSG p%='''35%()'''<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Stellt die prozentuale Verteilung der Anzahl der Schüler/innen auf die verschiedenen Schulen in einem Kreisdiagramm dar. <br />
[[Datei:Anzahl der Schüler an den weiterführenden Schulen Stadtlohn Aufgabe 2.2.png|mini|center]]<br />
<small>a) Berechnet zuerst für jeden prozentualen Anteil den entsprechenden Mittelpunktswinkel mithilfe des Dreisatzes. Bedenke: 100% entsprechen 360° .Runde auf Einer, wenn nötig.<br />
<br />
LBS '''90()'''°<br />
<br />
HLR '''90()'''°<br />
<br />
St.Anna '''54()'''°<br />
<br />
GSG '''126()'''°<br />
<br />
b) Zeichnet nun das Kreisdiagramm mithilfe der in a) berechneten Winkel. <br />
Du kannst dein Diagramm mithilfe des Diagramms in Aufgabe 2(*) prüfen. </small><br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"></div><br />
</div><br />
<br />
====Herta-Lebenstein-Realschule: Anzahl der Schüler/innen an den weiterführenden Schulen im Schuljahr 2018/2019 in %====<br />
<br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Schülerzahlen der HLR Schuljahr 2018 2019 in %.png|mini|center]]<br />
<br />
Fülle die dazugehörigen Felder aus:<br />
<br />
5er p%='''16%()''' <math>\hat{=}</math>'''58()'''°<br />
<br />
6er p%='''13%()''' <math>\hat{=}</math>'''47()'''°<br />
<br />
7er p%='''14%()''' <math>\hat{=}</math>'''50()'''°<br />
<br />
8er p%='''17%()''' <math>\hat{=}</math>'''61()'''°<br />
<br />
9er p% = 18% <math>\hat{=}</math>'''65()'''°<br />
<br />
10er p%='''22%()''' <math>\hat{=}</math>'''79()'''°<br />
Stellt die prozentuale Verteilung der Anzahl der Schüler/innen auf die verschiedenen Schulen in einem Kreisdiagramm dar. Du kannst dein Diagramm mithilfe des gegebenen Diagramms prüfen.<br />
</div><br />
<br />
<br />
===7.4) Stadtlohn in Zahlen===<br />
<br />
[[Datei:Asphalt-157687 1280.png|mini|<small><small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixaba</small></small>|center]]<br />
====Stadtlohn in Zahlen: Straßennetz in Stadtlohn====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das gesamte Straßennetz in Stadtlohn beträgt insgesamt 270km. <br />
Davon sind 11% Kreisstraßen und 13,5km Landstraßen.<br />
<br />
a) Wie lang sind die Kreisstraßen?<br />
<small> geg: '''G'''=270km; '''p%'''=11%<br />
ges: '''W'''<br />
Rechnung:...<br />
Die Kreisstraßen sind '''29,7()'''km lang.</small><br />
<br />
b) Wie viel Prozent des gesamten Straßennetzes sind Landstraßen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=270km ; '''W'''=13,5km<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Es sind insgesamt '''5%()''' des Straßennetzes Landstraßen.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
In Stadtlohn gibt es viele unterschiedliche Straßen. Die Stadtstraßen betragen 83,7km. Das sind 31% des gesamten Straßennetzes in Stadtlohn. <br />
<br />
Wie lang ist das gesamte Straßennetz?<br />
<br />
<small>geg: '''W'''=83,7km ; '''p%'''=31%<br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Das gesamte Straßennetz ist '''270()'''km lang.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
[[Datei:Stadtlohn in Zahlen Straßennetz in Stadtlohn 1.3.png|mini]]<br />
<br />
a) Erläutere, was in der Tabellen dargestellt wird.<br />
b) Berechne die fehlenden Werte: Länge in km bzw. Länge in %.<br />
<br />
Rechnung: ....<br />
<br />
Antwort: Vergleiche deine Werte mit den Angaben aus Aufgabe 1(*) und (**).<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
[[Datei:Agriculture-147828 1280.png|mini|<small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay</small>|center]]<br />
<br />
====Stadtlohn in Zahlen: Flächennutzung in Stadtlohn====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Insgesamt besitzt die Stadt Stadtlohn 7900 ha Fläche. <br />
<br />
Davon sind: 61 % Landwirtschaftsfläche und 316 ha Verkehrsfläche<br />
<br />
a) Wie groß ist die Landwirtschaftsfläche?<br />
<br />
<small> geg: '''G'''=7900ha; '''p%'''=61%<br />
ges: '''W'''<br />
Rechnung:...<br />
Die Landwirtschaftsfläche ist '''4819()'''ha groß.</small><br />
<br />
b) Wie viel Prozent der gesamten Fläche sind Verkehrsflächen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=7900ha ; '''W'''=316ha<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Es sind insgesamt '''4%()''' der gesamten Flächen sind Verkehrsflächen.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Flächennutzung in Stadtlohn Tabelle 2.2.png|mini|center]]<br />
a) Erläutert, was in der Tabelle dargestellt wird. <br />
<br />
b) Berechnet die fehlenden Werte: Fläche in ha bzw. Fläche in %.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Landwirtschaft:'''4819()'''ha <math>\hat{=}</math> 61% <br />
<br />
Wald: 1659 ha <math>\hat{=}</math> '''21%()'''<br />
<br />
Wasser:158 ha <math>\hat{=}</math> '''2%()'''<br />
<br />
Gebäude,-...:'''948()'''ha <math>\hat{=}</math> 12%<br />
<br />
Verkehr:'''316()'''ha <math>\hat{=}</math> 4%<br />
<br />
INSGESAMT:7900 <math>\hat{=}</math> 100%<br />
</div><br />
c) Betrachtet nur die Landwirtschafts- und Waldflächen. <br />
<br />
· Wie viel ha betragen diese beiden Flächen zusammen? '''6478()'''ha <br />
<br />
· Wie viel Prozent dieser Fläche entfällt davon auf die Landwirtschaftsfläche?<br />
<small>geg: '''G'''6478ha; '''W'''=4816ha<br />
ges:'''p%'''<br />
Rechnung:... (Runde auf Einer)</small><br />
Die Landwirtschaftsfläche beträgt ca.'''74()'''% der Wald- und Landwirtschaftsfläche.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />[[Datei:Community-150124 1280.png|mini|<small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay</small>|center]]<br />
====Stadtlohn in Zahlen: Einwohner in Stadtlohn====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
[[Datei:Einwohner in Stadtlohn 3.1.png|mini|center]]<br />
<br />
Der Kreis Borken setzt sich aus mehreren Städten wie Ahaus, Gescher, Velen, … zusammen.<br />
<br />
Stadtlohn ist ebenfalls eine Stadt im Kreis Borken. Bei der Berechnung der Einwohner des Kreis Borkens werden also die Einwohner aller Städte zusammengezählt. <br />
<br />
Wie viel Prozent aller Einwohner des Kreis Borkens lebten 2015 in der Stadt Stadtlohn?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=369666; '''W'''=20844<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung:...(Runde auf eine Nachkommastelle.)</small><br />
<br />
Es lebten im Jahr 2015 '''5,6%''' aller Einwohner des Kreises Borken in der Stadt Stadtlohn.<br />
</div> <br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Einwohner in Stadtlohn 3.2.png|mini|center]]<br />
Der Kreis Borken setzt sich aus mehreren Städten wie Ahaus, Gescher, Velen, … zusammen.<br />
Stadtlohn ist ebenfalls eine Stadt im Kreis Borken. Bei der Berechnung der Einwohner des Kreis Borkens werden also die Einwohner aller Städte zusammengezählt. <br />
<br />
a) Wie viel Prozent aller Einwohner des Kreis Borkens lebten 2014 in der Stadt Stadtlohn?<br />
<small>geg: '''G'''=365191; '''W'''=20545<br />
<br />
ges:'''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ... (Runde auf eine Nachkommastelle.)</small><br />
</div><br />
<br />
b) 2001 betrug die Einwohnerzahl Stadtlohns 5,6% der Einwohnerzahl des Kreis Borkens. Wie viele Einwohner gab es im Jahr 2001 in der Stadt Stadtlohn? <br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<small>geg:'''G'''=362834; '''p%'''=5,6%<br />
<br />
ges:'''W'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Im Jahr 2001 gab es ca. '''20319()'''Einwohner in der Stadt Stadtlohn.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3(***)<br />
[[Datei:Einwohner in Stadtlohn 3.3.png|mini|center]]<br />
a) Erläutert, was in der Tabelle dargestellt wird. Beachtet dabei die Zeilen und Spalten. <br />
<br />
b) 2001 betrug die Einwohnerzahl Stadtlohns 5,6% der Einwohnerzahl des Kreis Borkens. Wie viele Einwohner gab es im Jahr 2001 in der Stadt Stadtlohn? Runde sinnvoll. <br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<small>geg:'''G'''=362834; '''p%'''=5,6%<br />
<br />
ges:'''W'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Im Jahr 2001 gab es ca. '''20319()'''Einwohner in der Stadt Stadtlohn.<br />
</div><br />
c) 1950 lebten 4,7% der Einwohner des Kreises in der Stadt Stadtlohn. Wie viele Einwohner lebten im gesamten Kreis? Runde sinnvoll. <br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<small>geg:'''W'''=10466; '''p%'''=4,7%<br />
<br />
ges:'''G'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Im Jahr 1950 lebten im gesamten Kreis Borken '''222681()'''Menschen.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Datei:Ballot-32201 1280.png|mini|<small>Bild von Clker-Free-Vector-Images auf Pixabay</small>|center |246x246px]]<br />
<br />
===7.5) Politik in Stadtlohn===<br />
<br />
<br />
====Politik in Stadtlohn: Kommunalwahlen 2020 in Stadtlohn====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Bei der Kommunalwahl 2014 haben in Stadtlohn 10520 Menschen ihre Stimme abgegeben. <br />
<br />
Davon sind 34,41% an die CDU gegangen und 3394 Stimmen an die UWG gegangen<br />
<br />
a) Wie viele Stimmen hat die CDU bekommen? <br />
<br />
<small> geg: '''G'''=10520 Stimmen; '''p%'''=34,41%<br />
ges: '''W'''<br />
Rechnung:...<br />
Die CDU bekam '''3620()'''Stimmen.</small><br />
<br />
b) Wie viel Prozent der Stimmen gingen an die UWG?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=10520 ; '''W'''=3394<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Die UWG erhielt '''32,26%()''' der Stimmen [auf zwei Nachkommastellen gerundet].<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Bei der Kommunalwahl 2020 hat die FDP 1449 Stimmen bekommen. Das waren 13,77% der gesamten Stimmen. <br />
<br />
Wie viele Stimmen wurden insgesamt abgegeben?<br />
<br />
<small>geg: '''W'''=1449 Stimmen ; '''p%'''=13,77%<br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Insgesamt wurden '''10522()'''Stimmen abgegeben.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Erstelle selbst eine Aufgabe zum Ergebnis der Kommunalwahl. Link zu den Ergebnissen: https://www.stadtlohn.de/portal/seiten/informationsseite-wahlen-in-stadtlohn-900000045-28240.html<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
====Politik in Stadtlohn: Europawahl 2019 in Stadtlohn====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Bei der Europawahl haben in Stadtlohn nicht alle Wahlberechtigten gewählt. <br />
<br />
Die Wahlbeteiligung in Stadtlohn lag bei 69,818%. Es wurden 10597 Stimmen abgegeben.<br />
<br />
Berechnet die Anzahl der Wahlberechtigten insgesamt.<br />
<br />
<small> geg: '''W'''=10597 Stimmen; '''p%'''=69,818%<br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Die Anzahl der Wahlberechtigten insgesamt betrug '''15178()'''.<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (**) <br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Bei der Europawahl 2019 wurden in Stadtlohn insgesamt 10541 gültige Stimmen abgegeben. Die Partei FDP erhielt 831 davon. <br />
<br />
a) Wie viel Prozent der gesamten Stimmen hat die Partei FDP erhalten?<br />
<small>geg: '''G'''=10541 Stimmen; '''W'''=831 Stimmen<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
Die FDP erhielten '''7,88%()''' der Stimmen [Runde auf 2 Nachkommastellen].<br />
<br />
b) Habt ihr schon einmal von der 5%-Hürde gehört? Nur die Parteien, die mehr als 5% der abgegebenen Stimmen erhalten haben, kommen in das Parlament. Wie viele Stimmen hat die Partei FDP mehr erhalten, als sie für die sie 5%-Hürde hätte erhalten müssen?<br />
<small>geg: '''G''' = 10541 Stimmen; '''p%'''=7,88%<br />
<br />
ges:'''W'''<br />
Rechnung: ...</small><br />
Die Partei FDP hat 831 Stimmen erhalten. Das sind '''304()''' Stimmen mehr, als sie für die 5%-Hürde hätte erhalten müssen.<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Erstelle selbst eine Aufgabe zum Ergebnis der Europawahl 2019. Link zu den Ergebnissen: https://www.stadtlohn.de/portal/seiten/informationsseite-wahlen-in-stadtlohn-900000045-28240.html<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
====Politik in Stadtlohn: Bürgermeisterwahlen 2020====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Bei der Bürgermeisterwahl im Jahr 2020 gaben 10497 Stadtlohner/innen ihre (gültige) Stimme ab.<br />
<br />
Wie viele Stimmen erhielten die beiden Kandidaten Herr Wewers und Herr Dittmann? <br />
<br />
<small>geg: '''G'''=10776 Stimmen; '''p%'''=49,185%; '''p%'''=51,815%<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Herr Wewers erhielt'''5058()''' Stimmen, Herr Dittmann'''5439()'''.<br />
<br />
</div> <br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Der Bürgermeister der Stadt Stadtlohn wurde 2020 gewählt.<br />
<br />
Immer wieder lassen sich bei der Auswertung ungültige Stimmen entdecken, die nicht gewertet werden können. Eine Stimme ist z.B. ungültig, wenn man mehr Felder ankreuzt, als man darf. <br />
<br />
Insgesamt gab es 279 ungültige Stimmen und 10497 gültige Stimmen insgesamt<br />
<br />
Zudem gehen leider nicht alle Einwohner, die wahlberechtigt sind und damit wählen gehen dürfen, auch wirklich wählen. Bei dieser Wahl lag die Wahlbeteiligung lediglich bei ca. 64,91%. <br />
<br />
Wie viele Wahlberechtigte gab es insgesamt? <br />
<br />
<small>geg: W = '''10776()''';p% = '''64,91%()'''<br />
ges:'''G()'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Es gab insgesamt '''16601()'''Wahlberechtigte.<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3(***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Erstelle selbst eine Aufgabe zum Ergebnis der Bürgermeisterwahl in Stadtlohn 2020. Link zu den Ergebnissen: https://www.stadtlohn.de/portal/seiten/informationsseite-wahlen-in-stadtlohn-900000045-28240.html<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=8) Checkliste|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/Checkliste|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung}}<br />
<br />
<br /></div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad_Prozentrechnung/7)_Prozente_rund_um_Stadtlohn_(vermischte_%C3%9Cbungen)&diff=93268Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)2024-03-25T13:08:18Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/1) Absoluter und relativer Vergleich|1) Absoluter und relativer Vergleich]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/2) Prozentschreibweise|2) Prozentschreibweise]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/3) Grundbegriffe der Prozentrechnung|3) Grundbegriffe der Prozentrechnung]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/4) Prozentsatz p% berechnen|4) Prozentsatz p% berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/5) Prozentwert W berechnen|5) Prozentwert W berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/6) Grundwert G berechnen|6) Grundwert G berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)|7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/Checkliste|8) Checkliste]]}}<br />
==7) Prozente rund um Stadtlohn (Vermischte Übungen)==<br />
<br />
<br />
Diese Aufgabensammlung wurde von Frau Urban erstellt.<br />
<br />
Sie umfasst fünf Themengebiete, die jeweils in drei Unterthemen aufgeteilt sind.<br />
Wähle aus jedem Unterthema mindestens eine Aufgabe aus. (*) leicht ,(**) mittel oder (***) schwer.<br />
Insgesamt sammle mindestens 25 Sternchen "*".<br />
<br />
Schreibe dazu die Lösung der Aufgaben ausführlich in dein Heft.<br />
<br />
(geg:...; ges:... usw. )<br />
<br />
Kontrolliere deine Rechnung durch Eingabe deiner Ergebnisse. Hake dann mit einem andersfarbigen Stift deine Lösung ab.<br />
<br />
===7.1) Einkaufen in Stadtlohn===<br />
<br />
[[Datei:PS4-Console-wDS4.png|mini|alternativtext=|zentriert|306x306px]]<br />
====Einkaufen in Stadtlohn: Multimedia====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Videospiel kostet im Laden 60€. Durch eine Rabattaktion wird das Spiel um 19% reduziert.<br />
<br />
Patrick freut sich darüber sehr!<br />
<br />
Wie viel Euro kann er einsparen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=60€;'''p%'''= 19% = 0,19<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Patrick kann durch die Rabattaktion '''11,40()'''Euro sparen. <br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein PC-Spiel kostet 45€. Nur heute gibt es das Angebot, bei dem man beim Kauf dieses Spiels 9,90€ einsparen kann.<br />
<br />
Um wie viel Prozent wurde der Preis reduziert? <br />
<br />
<small>geg: '''G'''=45€;'''W'''= 9,90 €<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Der Preis des Spiels wurde um '''22%()'''reduziert.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1(***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Beim Kauf einer CD spart Luisa 2,10€. Das sind 14% des ursprünglichen Preises. <br />
<br />
Wie teuer war die CD ursprünglich? <br />
<br />
<small>geg: '''W'''=2,10€;'''p%'''= 14% <br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Die CD kostete ursprünglich '''15()'''€.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Racing-bicycle-161449 1280.png|mini|<small><small><small><small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay </small></small></small></small>|alternativtext=|center|158x158px]]<br />
====Einkaufen in Stadtlohn: Fahrzeuge====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
<br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Skateboard kostet 75€. Im Schlussverkauf wird es um 32% reduziert. <br />
<br />
Wie viel € hat man gespart? <br />
<br />
<small>geg: '''G'''=75€; '''p%'''= 32% = 0,32<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Man hat '''24()'''Euro gespart.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
<br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Fahrrad kostet 375€. Bei einer Rabattaktion spart Jakob 45€. <br />
<br />
Wie viel Prozent konnte Jakob vom ursprünglichen Preis einsparen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=375€; '''W'''= 45 €<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Jakob konnte '''12%()'''einsparen.<br />
</div></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
<br />
Aufgabe 2(***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Händler kann den Preis eines gebrauchten Elektro-Rollers um maximal 14% reduzieren. Das sind 175€.<br />
<br />
Wie teuer war der Roller ursprünglich? <br />
<br />
<small>geg: '''W'''=175€; '''p%'''= 14% <br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Der Elektro-Roller kostete ursprünglich '''1250()'''€.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Blue-295177 1280.png|mini|<small><small><small><small>Bild von Clker-Free-Vector-Images auf Pixabay</small></small></small></small>|alternativtext=|center|141x141px]]<br />
====Einkaufen in Stadtlohn: Mode====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Modehaus in Stadtlohn baut um und bietet daher einen Räumungs-Verkauf an, bei dem es viele Schnäppchen gibt.<br />
<br />
Sophie freut sich über den Räumungs-Verkauf, denn auf die Outdoorjacke für 129,99 , die sie sich ausgesucht hat, erhält sie an der Kasse 40%. <br />
<br />
<small>a) Wie viel € hat sie gespart?<br />
<br />
b) Wie viel € zahlt sie nun für die Jacke? <br />
<br />
<br />
geg: '''G'''=129,99€; '''p%'''= 40% = 0,4<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: a) Man hat '''52()'''Euro gespart.<br />
b) Sie zahlt nun '''77,99()'''Euro.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Modehaus in Stadtlohn baut um und bietet daher einen Räumungs-Verkauf an, bei dem es viele Schnäppchen gibt.<br />
Jenny findet einen Pullover, der 59,99€ kosten sollte und nun um 20€ reduziert wurde. Sie fragt sich, um wie viel Prozent der Pullover reduziert wurde. <br />
<br />
<small>geg: '''G'''=59,99€; '''W'''= 20 €<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Jakob konnte '''33,3%()'''einsparen. <br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3(***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Modehaus in Stadtlohn baut um und bietet daher einen Räumungs-Verkauf an, bei dem es viele Schnäppchen gibt.<br />
<br />
Mark findet zwei Jeans mit unterschiedlichem Angebot. <br />
<br />
<small>1. Angebot: Eine Jeans, die 99,99€ kostet, wird um 60€ reduziert.<br />
2. Angebot: Eine Jeans, die 79,99€ kostet, wird um 45€ reduziert.<br />
<br />
Nun überlegt er, bei welcher Jeans er prozentual mehr einsparen könnte.<br />
<br />
geg: Angebot 1:'''G'''= 99,99€; '''W'''= 60€ ;<br />
<br />
Angebot 2: '''G'''= 79,99€; '''W'''= 45€<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Beim 1. Angebot spart er '''60%|60,0%()''', beim 2. Angebot '''56%|56,3%()''', also kann er bei Angebot '''1()''' prozentual mehr sparen. (Runde auf 1 Stelle nach dem Komma.)<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Football-157930 1280.png|mini|<small><small><small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay </small></small></small>|center|132x132px]]<br />
===7.2) Freizeit in Stadtlohn===<br />
====Freizeit in Stadtlohn: Fußball====<br />
<br />
[[Datei:Freizeit in Stadtlohn Fußball 2.png]]<br />
[[Datei:Freizeit in Stadtlohn Fußball 1.png]]<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
In der Saison 16/17 hat eine Mannschaft des Vereins SuS Stadtlohn ca. 18% er Spiele gewonnen.<br />
Wie viele Spiele sind das?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''= 22 ; '''p%'''= 18% = 0,18<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Die Mannschaft hat '''4()''' Spiele gewonnen.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Wie viel Prozent der Spiele hat die Mannschaft des Vereins SuS Stadtlohn in den Saisons 12/13 und 16/17 jeweils gewonnen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''= 22 ; '''W'''= 18<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Die Mannschaft hat in der Saison 12/13 '''82%()''' und in der Saison 16/17'''18%()''' der Spiele gewonnen.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Als Sportler ist es besonders wichtig, sich ausgewogen und gesund zu ernähren.<br />
<br />
Fußballer Sebastian weiß, dass er täglich 65g Eiweiß, 85g Fette und 320g Kohlenhydrate benötigt. Wie viel Prozent des Tagesbedarfes jedes einzelnen Elements werden mit einer Müsli-Portion gedeckt? <br />
[[Datei:Freizeit in Stadtlohn Fußball 3.png|200x200px]]<br />
<br />
<small>geg: Eiweiß: '''G'''= 65 g ; '''W'''= 8,2 g; Fette: ...<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Er hat mit einer Portion Müsli '''12,6%()''' des Tagesbedarfs an Eiweiß, '''7,5%()''' des Tagesbedarfes an Fetten und '''10,4%()''' des Tagesbedarfs an Kohlenhydraten gedeckt. (Runde auf 1 Stelle nach dem Komma.)<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Runner-309053 1280.png|mini|<small><small>Bild von Clker-Free-Vector-Images auf Pixabay </small></small>|center]]<br />
<br />
====Freizeit in Stadtlohn: Silvesterlauf====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Jedes Jahr findet am Vormittag des 31. Dezembers der Silvesterlauf in Stadtlohn statt. 2018 ist bereits der 35. Lauf in Folge.<br />
<br />
Ein Sportler wiegt 68kg. Beim Silvesterlauf verliert er 3% seines Gewichts. <br />
<br />
Wie viel kg hat er verloren?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''= 68kg; '''p%'''= 3% = 0,03<br />
<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Der Sportler hat ungefähr '''2()''' kg an Gewicht verloren.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Jedes Jahr findet am Vormittag des 31. Dezembers der Silvesterlauf in Stadtlohn statt. 2018 ist bereits der 35. Lauf in Folge.<br />
<br />
2018 nahmen 630 Läufer/innen am Silvesterlauf teil. Von diesen Sportler/innen haben bereits 30% eine Zusage für den Lauf im kommenden Jahr gemacht. Wie viele sind das?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''= 630; '''p%'''= 30%<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Eine Zusage für den Lauf im nächsten Jahr haben '''189()''' Läufer gemacht.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Jedes Jahr findet am Vormittag des 31. Dezembers der Silvesterlauf in Stadtlohn statt. 2018 ist bereits der 35. Lauf in Folge.<br />
<br />
<br />
48 von 99 Männern liefen die 15000m Strecke in einer Zeit von unter einer Stunde und zehn Minuten. In der gleichen Zeit schafften es 6 von 26 Frauen ins Ziel. Wie viel Prozent der Männer und wie viel Prozent der Frauen liefen in der oben angegebenen Zeit? <br />
<br />
<small>geg: Männer '''W'''= 48; '''G'''= 99;<br />
Frauen: '''W'''= 6; '''G'''=26<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Von den Männern haben '''48,5%()''' die Strecke unter 70 Minuten geschafft, von den Frauen '''23,1%()'''. (Runde auf 1 Stelle nach dem Komma.)<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Swimming-pool-149632 1280.png|mini|<small><small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay</small></small>|center|150x150px ]]<br />
====Freizeit in Stadtlohn: Hallen- und Freibad in Stadtlohn====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Schwimmerbecken im Freibad hat 8 Bahnen. 37,5% dieser Bahnen sind durch das Training einer Schwimm-Mannschaft belegt. <br />
<br />
Wie viele Bahnen sind das?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=8 Bahnen; '''p%'''=37,5%<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Es sind '''3()''' Bahnen durch die Schwimm-Mannschaft belegt.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Schwimmbecken besteht aus einem Schwimmer- und einem Nichtschwimmer-Bereich. Die Wasseroberfläche des Nichtschwimmer-Bereichs beträgt 187m². Das sind 17% der Gesamtwasseroberfläche. <br />
<br />
Wie groß ist die Fläche des gesamten Schwimmbeckens? <br />
<br />
<small>geg: '''W'''= 187 m²;'''p%'''= 17%<br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Es sind '''1100()'''m² Wasseroberfläche insgesamt.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das untenstehende Säulendiagramm zeigt ein Beispiel für die täglichen Besucherzahlen im Hallenbad innerhalb von einer Woche. <br />
<br />
[[Datei:Hallen und Freibad Aufgabe 3 .png|mini|alternativtext=|links|300x300px]]<br />
<br />
Wie viel Prozent der Badegäste besuchten am Wochenende das Bad? <br />
<br />
<small>geg: G='''1176()''';<br />
W='''457()'''<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Am Wochenende besuchten rund '''39%|38,9()''' der Besucher das Hallenbad.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:HLR-Schulname mit Logo.jpg|mini|center]]<br />
===7.3) Herta-Lebenstein-Realschule Stadtlohn===<br />
====Herta-Lebenstein-Realschule: Kurseinteilung 8er====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Kreisdiagramm gibt die prozentuale Aufteilung der Schüler/innen der 8. Klassen auf die unterschiedlichen Kurse an. <br />
[[Datei:Kurseinteilung Anwendungsaufgabe 1.1.png|mini]]<br />
Fülle die dazugehörigen Felder aus:<br />
<br />
FR p% ='''13%()'''<br />
<br />
NL p%='''20%()'''<br />
<br />
Bio p%='''18%()'''<br />
<br />
SW p%='''30%()'''<br />
<br />
TC p%='''19%()'''<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Stellt die prozentuale Verteilung der Anzahl der Schüler/innen auf die verschiedenen Kurse in einem Kreisdiagramm dar. <br />
[[Datei:Kurseinteilung Anwendungsaufgabe 1.2.png|mini]]<br />
<small>a) Berechnet zuerst für jeden prozentualen Anteil den entsprechenden Mittelpunktswinkel mithilfe des Dreisatzes. Bedenke: 100% entsprechen 360° .Runde auf Einer, wenn nötig.<br />
<br />
FR '''47()'''°<br />
<br />
NL ''72()'''°<br />
<br />
Bio '''65()'''°<br />
<br />
SW '''108()'''°<br />
<br />
TC '''68()'''°<br />
<br />
b) Zeichnet nun das Kreisdiagramm mithilfe der in a) berechneten Winkel. <br />
Du kannst dein Diagramm mithilfe des Diagramms in Aufgabe 1(*) prüfen. </small><br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"></div><br />
</div><br />
<br />
====Herta-Lebenstein-Realschule: Anzahl der Schüler/innen an den weiterführenden Schulen im Schuljahr 2018/2019 in %====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Anzahl der Schüler an den weiterführenden Schulen Stadtlohn Aufgabe 2.1.png|mini|center]]<br />
<br />
Fülle die dazugehörigen Felder aus:<br />
<br />
LBS p%='''25%()'''<br />
<br />
HLR p%='''25%()'''<br />
<br />
St.Anna p%='''15%()'''<br />
<br />
GSG p%='''35%()'''<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Stellt die prozentuale Verteilung der Anzahl der Schüler/innen auf die verschiedenen Schulen in einem Kreisdiagramm dar. <br />
[[Datei:Anzahl der Schüler an den weiterführenden Schulen Stadtlohn Aufgabe 2.2.png|mini|center]]<br />
<small>a) Berechnet zuerst für jeden prozentualen Anteil den entsprechenden Mittelpunktswinkel mithilfe des Dreisatzes. Bedenke: 100% entsprechen 360° .Runde auf Einer, wenn nötig.<br />
<br />
LBS '''90()'''°<br />
<br />
HLR '''90()'''°<br />
<br />
St.Anna '''54()'''°<br />
<br />
GSG '''126()'''°<br />
<br />
b) Zeichnet nun das Kreisdiagramm mithilfe der in a) berechneten Winkel. <br />
Du kannst dein Diagramm mithilfe des Diagramms in Aufgabe 2(*) prüfen. </small><br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"></div><br />
</div><br />
<br />
====Herta-Lebenstein-Realschule: Anzahl der Schüler/innen an den weiterführenden Schulen im Schuljahr 2018/2019 in %====<br />
<br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Schülerzahlen der HLR Schuljahr 2018 2019 in %.png|mini|center]]<br />
<br />
Fülle die dazugehörigen Felder aus:<br />
<br />
5er p%='''16%()''' <math>\hat{=}</math>'''58()'''°<br />
<br />
6er p%='''13%()''' <math>\hat{=}</math>'''47()'''°<br />
<br />
7er p%='''14%()''' <math>\hat{=}</math>'''50()'''°<br />
<br />
8er p%='''17%()''' <math>\hat{=}</math>'''61()'''°<br />
<br />
9er p% = 18% <math>\hat{=}</math>'''65()'''°<br />
<br />
10er p%='''22%()''' <math>\hat{=}</math>'''79()'''°<br />
Stellt die prozentuale Verteilung der Anzahl der Schüler/innen auf die verschiedenen Schulen in einem Kreisdiagramm dar. Du kannst dein Diagramm mithilfe des gegebenen Diagramms prüfen.<br />
</div><br />
<br />
<br />
===7.4) Stadtlohn in Zahlen===<br />
<br />
[[Datei:Asphalt-157687 1280.png|mini|<small><small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixaba</small></small>|center]]<br />
====Stadtlohn in Zahlen: Straßennetz in Stadtlohn====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das gesamte Straßennetz in Stadtlohn beträgt insgesamt 270km. <br />
Davon sind 11% Kreisstraßen und 13,5km Landstraßen.<br />
<br />
a) Wie lang sind die Kreisstraßen?<br />
<small> geg: '''G'''=270km; '''p%'''=11%<br />
ges: '''W'''<br />
Rechnung:...<br />
Die Kreisstraßen sind '''29,7()'''km lang.</small><br />
<br />
b) Wie viel Prozent des gesamten Straßennetzes sind Landstraßen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=270km ; '''W'''=13,5km<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Es sind insgesamt '''5%()''' des Straßennetzes Landstraßen.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
In Stadtlohn gibt es viele unterschiedliche Straßen. Die Stadtstraßen betragen 83,7km. Das sind 31% des gesamten Straßennetzes in Stadtlohn. <br />
<br />
Wie lang ist das gesamte Straßennetz?<br />
<br />
<small>geg: '''W'''=83,7km ; '''p%'''=31%<br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Das gesamte Straßennetz ist '''270()'''km lang.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
[[Datei:Stadtlohn in Zahlen Straßennetz in Stadtlohn 1.3.png|mini]]<br />
<br />
a) Erläutere, was in der Tabellen dargestellt wird.<br />
b) Berechne die fehlenden Werte: Länge in km bzw. Länge in %.<br />
<br />
Rechnung: ....<br />
<br />
Antwort: Vergleiche deine Werte mit den Angaben aus Aufgabe 1(*) und (**).<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
[[Datei:Agriculture-147828 1280.png|mini|<small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay</small>|center]]<br />
<br />
====Stadtlohn in Zahlen: Flächennutzung in Stadtlohn====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Insgesamt besitzt die Stadt Stadtlohn 7900 ha Fläche. <br />
<br />
Davon sind: 61 % Landwirtschaftsfläche und 316 ha Verkehrsfläche<br />
<br />
a) Wie groß ist die Landwirtschaftsfläche?<br />
<br />
<small> geg: '''G'''=7900ha; '''p%'''=61%<br />
ges: '''W'''<br />
Rechnung:...<br />
Die Landwirtschaftsfläche ist '''4819()'''ha groß.</small><br />
<br />
b) Wie viel Prozent der gesamten Fläche sind Verkehrsflächen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=7900ha ; '''W'''=316ha<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Es sind insgesamt '''4%()''' der gesamten Flächen sind Verkehrsflächen.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Flächennutzung in Stadtlohn Tabelle 2.2.png|mini|center]]<br />
a) Erläutert, was in der Tabelle dargestellt wird. <br />
<br />
b) Berechnet die fehlenden Werte: Fläche in ha bzw. Fläche in %.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Landwirtschaft:'''4819()'''ha <math>\hat{=}</math> 61% <br />
<br />
Wald: 1659 ha <math>\hat{=}</math> '''21%()'''<br />
<br />
Wasser:158 ha <math>\hat{=}</math> '''2%()'''<br />
<br />
Gebäude,-...:'''948()'''ha <math>\hat{=}</math> 12%<br />
<br />
Verkehr:'''316()'''ha <math>\hat{=}</math> 4%<br />
<br />
INSGESAMT:7900 <math>\hat{=}</math> 100%<br />
</div><br />
c) Betrachtet nur die Landwirtschafts- und Waldflächen. <br />
<br />
· Wie viel ha betragen diese beiden Flächen zusammen? '''6478()'''ha <br />
<br />
· Wie viel Prozent dieser Fläche entfällt davon auf die Landwirtschaftsfläche?<br />
<small>geg: '''G'''6478ha; '''W'''=4816ha<br />
ges:'''p%'''<br />
Rechnung:... (Runde auf Einer)</small><br />
Die Landwirtschaftsfläche beträgt ca.'''74()'''% der Wald- und Landwirtschaftsfläche.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />[[Datei:Community-150124 1280.png|mini|<small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay</small>|center]]<br />
====Stadtlohn in Zahlen: Einwohner in Stadtlohn====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
[[Datei:Einwohner in Stadtlohn 3.1.png|mini|center]]<br />
<br />
Der Kreis Borken setzt sich aus mehreren Städten wie Ahaus, Gescher, Velen, … zusammen.<br />
<br />
Stadtlohn ist ebenfalls eine Stadt im Kreis Borken. Bei der Berechnung der Einwohner des Kreis Borkens werden also die Einwohner aller Städte zusammengezählt. <br />
<br />
Wie viel Prozent aller Einwohner des Kreis Borkens lebten 2015 in der Stadt Stadtlohn?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=369666; '''W'''=20844<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung:...(Runde auf eine Nachkommastelle.)</small><br />
<br />
Es lebten im Jahr 2015 '''5,6%''' aller Einwohner des Kreises Borken in der Stadt Stadtlohn.<br />
</div> <br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Einwohner in Stadtlohn 3.2.png|mini|center]]<br />
Der Kreis Borken setzt sich aus mehreren Städten wie Ahaus, Gescher, Velen, … zusammen.<br />
Stadtlohn ist ebenfalls eine Stadt im Kreis Borken. Bei der Berechnung der Einwohner des Kreis Borkens werden also die Einwohner aller Städte zusammengezählt. <br />
<br />
a) Wie viel Prozent aller Einwohner des Kreis Borkens lebten 2014 in der Stadt Stadtlohn?<br />
<small>geg: '''G'''=365191; '''W'''=20545<br />
<br />
ges:'''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ... (Runde auf eine Nachkommastelle.)</small><br />
</div><br />
<br />
b) 2001 betrug die Einwohnerzahl Stadtlohns 5,6% der Einwohnerzahl des Kreis Borkens. Wie viele Einwohner gab es im Jahr 2001 in der Stadt Stadtlohn? <br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<small>geg:'''G'''=362834; '''p%'''=5,6%<br />
<br />
ges:'''W'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Im Jahr 2001 gab es ca. '''20319()'''Einwohner in der Stadt Stadtlohn.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3(***)<br />
[[Datei:Einwohner in Stadtlohn 3.3.png|mini|center]]<br />
a) Erläutert, was in der Tabelle dargestellt wird. Beachtet dabei die Zeilen und Spalten. <br />
<br />
b) 2001 betrug die Einwohnerzahl Stadtlohns 5,6% der Einwohnerzahl des Kreis Borkens. Wie viele Einwohner gab es im Jahr 2001 in der Stadt Stadtlohn? Runde sinnvoll. <br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<small>geg:'''G'''=362834; '''p%'''=5,6%<br />
<br />
ges:'''W'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Im Jahr 2001 gab es ca. '''20319()'''Einwohner in der Stadt Stadtlohn.<br />
</div><br />
c) 1950 lebten 4,7% der Einwohner des Kreises in der Stadt Stadtlohn. Wie viele Einwohner lebten im gesamten Kreis? Runde sinnvoll. <br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<small>geg:'''W'''=10466; '''p%'''=4,7%<br />
<br />
ges:'''G'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Im Jahr 1950 lebten im gesamten Kreis Borken '''222681()'''Menschen.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Datei:Ballot-32201 1280.png|mini|<small>Bild von Clker-Free-Vector-Images auf Pixabay</small>|center |246x246px]]<br />
<br />
===7.5) Politik in Stadtlohn===<br />
<br />
<br />
====Politik in Stadtlohn: Kommunalwahlen 2020 in Stadtlohn====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Bei der Kommunalwahl 2014 haben in Stadtlohn 10520 Menschen ihre Stimme abgegeben. <br />
<br />
Davon sind 34,41% an die CDU gegangen und 3394 Stimmen an die UWG gegangen<br />
<br />
a) Wie viele Stimmen hat die CDU bekommen? <br />
<br />
<small> geg: '''G'''=10520 Stimmen; '''p%'''=34,41%<br />
ges: '''W'''<br />
Rechnung:...<br />
Die CDU bekam '''3620()'''Stimmen.</small><br />
<br />
b) Wie viel Prozent der Stimmen gingen an die UWG?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=10520 ; '''W'''=3394<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Die UWG erhielt '''32,26%()''' der Stimmen [auf zwei Nachkommastellen gerundet].<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Bei der Kommunalwahl 2020 hat die FDP 1449 Stimmen bekommen. Das waren 13,77% der gesamten Stimmen. <br />
<br />
Wie viele Stimmen wurden insgesamt abgegeben?<br />
<br />
<small>geg: '''W'''=1449 Stimmen ; '''p%'''=13,77%<br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Insgesamt wurden '''10522()'''Stimmen abgegeben.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Erstelle selbst eine Aufgabe zum Ergebnis der Kommunalwahl. Link zu den Ergebnissen: https://www.stadtlohn.de/portal/seiten/informationsseite-wahlen-in-stadtlohn-900000045-28240.html<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
====Politik in Stadtlohn: Europawahl 2019 in Stadtlohn====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Bei der Europawahl haben in Stadtlohn nicht alle Wahlberechtigten gewählt. <br />
<br />
Die Wahlbeteiligung in Stadtlohn lag bei 69,818%. Es wurden 10597 Stimmen abgegeben.<br />
<br />
Berechnet die Anzahl der Wahlberechtigten insgesamt.<br />
<br />
<small> geg: '''W'''=10597 Stimmen; '''p%'''=69,818%<br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Die Anzahl der Wahlberechtigten insgesamt betrug '''15178()'''.<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (**) <br />
<<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Bei der Europawahl 2019 wurden in Stadtlohn insgesamt 10541 gültige Stimmen abgegeben. Die Partei FDP erhielt 831 davon. <br />
<br />
a) Wie viel Prozent der gesamten Stimmen hat die Partei FDP erhalten?<br />
<small>geg: '''G'''=10541 Stimmen; '''W'''=831 Stimmen<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
Die FDP erhielten '''7,88%()''' der Stimmen [Runde auf 2 Nachkommastellen].<br />
<br />
b) Habt ihr schon einmal von der 5%-Hürde gehört? Nur die Parteien, die mehr als 5% der abgegebenen Stimmen erhalten haben, kommen in das Parlament. Wie viele Stimmen hat die Partei FDP mehr erhalten, als sie für die sie 5%-Hürde hätte erhalten müssen?<br />
<small>geg: '''G''' = 10541 Stimmen; '''p%'''=7,88%<br />
<br />
ges:'''W'''<br />
Rechnung: ...</small><br />
Die Partei FDP hat 831 Stimmen erhalten. Das sind '''304()''' Stimmen mehr, als sie für die 5%-Hürde hätte erhalten müssen.<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Erstelle selbst eine Aufgabe zum Ergebnis der Europawahl 2019. Link zu den Ergebnissen: https://www.stadtlohn.de/portal/seiten/informationsseite-wahlen-in-stadtlohn-900000045-28240.html<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
====Politik in Stadtlohn: Bürgermeisterwahlen 2020====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Bei der Bürgermeisterwahl im Jahr 2020 gaben 10497 Stadtlohner/innen ihre (gültige) Stimme ab.<br />
<br />
Wie viele Stimmen erhielten die beiden Kandidaten Herr Wewers und Herr Dittmann? <br />
<br />
<small>geg: '''G'''=10776 Stimmen; '''p%'''=49,185%; '''p%'''=51,815%<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Herr Wewers erhielt'''5058()''' Stimmen, Herr Dittmann'''5439()'''.<br />
<br />
</div> <br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Der Bürgermeister der Stadt Stadtlohn wurde 2020 gewählt.<br />
<br />
Immer wieder lassen sich bei der Auswertung ungültige Stimmen entdecken, die nicht gewertet werden können. Eine Stimme ist z.B. ungültig, wenn man mehr Felder ankreuzt, als man darf. <br />
<br />
Insgesamt gab es 279 ungültige Stimmen und 10497 gültige Stimmen insgesamt<br />
<br />
Zudem gehen leider nicht alle Einwohner, die wahlberechtigt sind und damit wählen gehen dürfen, auch wirklich wählen. Bei dieser Wahl lag die Wahlbeteiligung lediglich bei ca. 64,91%. <br />
<br />
Wie viele Wahlberechtigte gab es insgesamt? <br />
<br />
<small>geg: W = '''10776()''';p% = '''64,91%()'''<br />
ges:'''G()'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Es gab insgesamt '''16601()'''Wahlberechtigte.<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3(***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Erstelle selbst eine Aufgabe zum Ergebnis der Bürgermeisterwahl in Stadtlohn 2020. Link zu den Ergebnissen: https://www.stadtlohn.de/portal/seiten/informationsseite-wahlen-in-stadtlohn-900000045-28240.html<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=8) Checkliste|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/Checkliste|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung}}<br />
<br />
<br /></div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad_Prozentrechnung/7)_Prozente_rund_um_Stadtlohn_(vermischte_%C3%9Cbungen)&diff=93267Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)2024-03-25T13:07:13Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/1) Absoluter und relativer Vergleich|1) Absoluter und relativer Vergleich]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/2) Prozentschreibweise|2) Prozentschreibweise]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/3) Grundbegriffe der Prozentrechnung|3) Grundbegriffe der Prozentrechnung]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/4) Prozentsatz p% berechnen|4) Prozentsatz p% berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/5) Prozentwert W berechnen|5) Prozentwert W berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/6) Grundwert G berechnen|6) Grundwert G berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)|7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/Checkliste|8) Checkliste]]}}<br />
==7) Prozente rund um Stadtlohn (Vermischte Übungen)==<br />
<br />
<br />
Diese Aufgabensammlung wurde von Frau Urban erstellt.<br />
<br />
Sie umfasst fünf Themengebiete, die jeweils in drei Unterthemen aufgeteilt sind.<br />
Wähle aus jedem Unterthema mindestens eine Aufgabe aus. (*) leicht ,(**) mittel oder (***) schwer.<br />
Insgesamt sammle mindestens 25 Sternchen "*".<br />
<br />
Schreibe dazu die Lösung der Aufgaben ausführlich in dein Heft.<br />
<br />
(geg:...; ges:... usw. )<br />
<br />
Kontrolliere deine Rechnung durch Eingabe deiner Ergebnisse. Hake dann mit einem andersfarbigen Stift deine Lösung ab.<br />
<br />
===7.1) Einkaufen in Stadtlohn===<br />
<br />
[[Datei:PS4-Console-wDS4.png|mini|alternativtext=|zentriert|306x306px]]<br />
====Einkaufen in Stadtlohn: Multimedia====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Videospiel kostet im Laden 60€. Durch eine Rabattaktion wird das Spiel um 19% reduziert.<br />
<br />
Patrick freut sich darüber sehr!<br />
<br />
Wie viel Euro kann er einsparen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=60€;'''p%'''= 19% = 0,19<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Patrick kann durch die Rabattaktion '''11,40()'''Euro sparen. <br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein PC-Spiel kostet 45€. Nur heute gibt es das Angebot, bei dem man beim Kauf dieses Spiels 9,90€ einsparen kann.<br />
<br />
Um wie viel Prozent wurde der Preis reduziert? <br />
<br />
<small>geg: '''G'''=45€;'''W'''= 9,90 €<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Der Preis des Spiels wurde um '''22%()'''reduziert.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1(***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Beim Kauf einer CD spart Luisa 2,10€. Das sind 14% des ursprünglichen Preises. <br />
<br />
Wie teuer war die CD ursprünglich? <br />
<br />
<small>geg: '''W'''=2,10€;'''p%'''= 14% <br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Die CD kostete ursprünglich '''15()'''€.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Racing-bicycle-161449 1280.png|mini|<small><small><small><small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay </small></small></small></small>|alternativtext=|center|158x158px]]<br />
====Einkaufen in Stadtlohn: Fahrzeuge====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
<br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Skateboard kostet 75€. Im Schlussverkauf wird es um 32% reduziert. <br />
<br />
Wie viel € hat man gespart? <br />
<br />
<small>geg: '''G'''=75€; '''p%'''= 32% = 0,32<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Man hat '''24()'''Euro gespart.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
<br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Fahrrad kostet 375€. Bei einer Rabattaktion spart Jakob 45€. <br />
<br />
Wie viel Prozent konnte Jakob vom ursprünglichen Preis einsparen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=375€; '''W'''= 45 €<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Jakob konnte '''12%()'''einsparen.<br />
</div></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
<br />
Aufgabe 2(***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Händler kann den Preis eines gebrauchten Elektro-Rollers um maximal 14% reduzieren. Das sind 175€.<br />
<br />
Wie teuer war der Roller ursprünglich? <br />
<br />
<small>geg: '''W'''=175€; '''p%'''= 14% <br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Der Elektro-Roller kostete ursprünglich '''1250()'''€.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Blue-295177 1280.png|mini|<small><small><small><small>Bild von Clker-Free-Vector-Images auf Pixabay</small></small></small></small>|alternativtext=|center|141x141px]]<br />
====Einkaufen in Stadtlohn: Mode====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Modehaus in Stadtlohn baut um und bietet daher einen Räumungs-Verkauf an, bei dem es viele Schnäppchen gibt.<br />
<br />
Sophie freut sich über den Räumungs-Verkauf, denn auf die Outdoorjacke für 129,99 , die sie sich ausgesucht hat, erhält sie an der Kasse 40%. <br />
<br />
<small>a) Wie viel € hat sie gespart?<br />
<br />
b) Wie viel € zahlt sie nun für die Jacke? <br />
<br />
<br />
geg: '''G'''=129,99€; '''p%'''= 40% = 0,4<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: a) Man hat '''52()'''Euro gespart.<br />
b) Sie zahlt nun '''77,99()'''Euro.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Modehaus in Stadtlohn baut um und bietet daher einen Räumungs-Verkauf an, bei dem es viele Schnäppchen gibt.<br />
Jenny findet einen Pullover, der 59,99€ kosten sollte und nun um 20€ reduziert wurde. Sie fragt sich, um wie viel Prozent der Pullover reduziert wurde. <br />
<br />
<small>geg: '''G'''=59,99€; '''W'''= 20 €<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Jakob konnte '''33,3%()'''einsparen. <br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3(***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Modehaus in Stadtlohn baut um und bietet daher einen Räumungs-Verkauf an, bei dem es viele Schnäppchen gibt.<br />
<br />
Mark findet zwei Jeans mit unterschiedlichem Angebot. <br />
<br />
<small>1. Angebot: Eine Jeans, die 99,99€ kostet, wird um 60€ reduziert.<br />
2. Angebot: Eine Jeans, die 79,99€ kostet, wird um 45€ reduziert.<br />
<br />
Nun überlegt er, bei welcher Jeans er prozentual mehr einsparen könnte.<br />
<br />
geg: Angebot 1:'''G'''= 99,99€; '''W'''= 60€ ;<br />
<br />
Angebot 2: '''G'''= 79,99€; '''W'''= 45€<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Beim 1. Angebot spart er '''60%|60,0%()''', beim 2. Angebot '''56%|56,3%()''', also kann er bei Angebot '''1()''' prozentual mehr sparen. (Runde auf 1 Stelle nach dem Komma.)<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Football-157930 1280.png|mini|<small><small><small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay </small></small></small>|center|132x132px]]<br />
===7.2) Freizeit in Stadtlohn===<br />
====Freizeit in Stadtlohn: Fußball====<br />
<br />
[[Datei:Freizeit in Stadtlohn Fußball 2.png]]<br />
[[Datei:Freizeit in Stadtlohn Fußball 1.png]]<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
In der Saison 16/17 hat eine Mannschaft des Vereins SuS Stadtlohn ca. 18% er Spiele gewonnen.<br />
Wie viele Spiele sind das?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''= 22 ; '''p%'''= 18% = 0,18<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Die Mannschaft hat '''4()''' Spiele gewonnen.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Wie viel Prozent der Spiele hat die Mannschaft des Vereins SuS Stadtlohn in den Saisons 12/13 und 16/17 jeweils gewonnen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''= 22 ; '''W'''= 18<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Die Mannschaft hat in der Saison 12/13 '''82%()''' und in der Saison 16/17'''18%()''' der Spiele gewonnen.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Als Sportler ist es besonders wichtig, sich ausgewogen und gesund zu ernähren.<br />
<br />
Fußballer Sebastian weiß, dass er täglich 65g Eiweiß, 85g Fette und 320g Kohlenhydrate benötigt. Wie viel Prozent des Tagesbedarfes jedes einzelnen Elements werden mit einer Müsli-Portion gedeckt? <br />
[[Datei:Freizeit in Stadtlohn Fußball 3.png|200x200px]]<br />
<br />
<small>geg: Eiweiß: '''G'''= 65 g ; '''W'''= 8,2 g; Fette: ...<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Er hat mit einer Portion Müsli '''12,6%()''' des Tagesbedarfs an Eiweiß, '''7,5%()''' des Tagesbedarfes an Fetten und '''10,4%()''' des Tagesbedarfs an Kohlenhydraten gedeckt. (Runde auf 1 Stelle nach dem Komma.)<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Runner-309053 1280.png|mini|<small><small>Bild von Clker-Free-Vector-Images auf Pixabay </small></small>|center]]<br />
<br />
====Freizeit in Stadtlohn: Silvesterlauf====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Jedes Jahr findet am Vormittag des 31. Dezembers der Silvesterlauf in Stadtlohn statt. 2018 ist bereits der 35. Lauf in Folge.<br />
<br />
Ein Sportler wiegt 68kg. Beim Silvesterlauf verliert er 3% seines Gewichts. <br />
<br />
Wie viel kg hat er verloren?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''= 68kg; '''p%'''= 3% = 0,03<br />
<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Der Sportler hat ungefähr '''2()''' kg an Gewicht verloren.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Jedes Jahr findet am Vormittag des 31. Dezembers der Silvesterlauf in Stadtlohn statt. 2018 ist bereits der 35. Lauf in Folge.<br />
<br />
2018 nahmen 630 Läufer/innen am Silvesterlauf teil. Von diesen Sportler/innen haben bereits 30% eine Zusage für den Lauf im kommenden Jahr gemacht. Wie viele sind das?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''= 630; '''p%'''= 30%<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Eine Zusage für den Lauf im nächsten Jahr haben '''189()''' Läufer gemacht.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Jedes Jahr findet am Vormittag des 31. Dezembers der Silvesterlauf in Stadtlohn statt. 2018 ist bereits der 35. Lauf in Folge.<br />
<br />
<br />
48 von 99 Männern liefen die 15000m Strecke in einer Zeit von unter einer Stunde und zehn Minuten. In der gleichen Zeit schafften es 6 von 26 Frauen ins Ziel. Wie viel Prozent der Männer und wie viel Prozent der Frauen liefen in der oben angegebenen Zeit? <br />
<br />
<small>geg: Männer '''W'''= 48; '''G'''= 99;<br />
Frauen: '''W'''= 6; '''G'''=26<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Von den Männern haben '''48,5%()''' die Strecke unter 70 Minuten geschafft, von den Frauen '''23,1%()'''. (Runde auf 1 Stelle nach dem Komma.)<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Swimming-pool-149632 1280.png|mini|<small><small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay</small></small>|center|150x150px ]]<br />
====Freizeit in Stadtlohn: Hallen- und Freibad in Stadtlohn====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Schwimmerbecken im Freibad hat 8 Bahnen. 37,5% dieser Bahnen sind durch das Training einer Schwimm-Mannschaft belegt. <br />
<br />
Wie viele Bahnen sind das?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=8 Bahnen; '''p%'''=37,5%<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Es sind '''3()''' Bahnen durch die Schwimm-Mannschaft belegt.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Schwimmbecken besteht aus einem Schwimmer- und einem Nichtschwimmer-Bereich. Die Wasseroberfläche des Nichtschwimmer-Bereichs beträgt 187m². Das sind 17% der Gesamtwasseroberfläche. <br />
<br />
Wie groß ist die Fläche des gesamten Schwimmbeckens? <br />
<br />
<small>geg: '''W'''= 187 m²;'''p%'''= 17%<br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Es sind '''1100()'''m² Wasseroberfläche insgesamt.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das untenstehende Säulendiagramm zeigt ein Beispiel für die täglichen Besucherzahlen im Hallenbad innerhalb von einer Woche. <br />
<br />
[[Datei:Hallen und Freibad Aufgabe 3 .png|mini|alternativtext=|links|300x300px]]<br />
<br />
Wie viel Prozent der Badegäste besuchten am Wochenende das Bad? <br />
<br />
<small>geg: G='''1176()''';<br />
W='''457()'''<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Am Wochenende besuchten rund '''39%|38,9()''' der Besucher das Hallenbad.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:HLR-Schulname mit Logo.jpg|mini|center]]<br />
===7.3) Herta-Lebenstein-Realschule Stadtlohn===<br />
====Herta-Lebenstein-Realschule: Kurseinteilung 8er====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Kreisdiagramm gibt die prozentuale Aufteilung der Schüler/innen der 8. Klassen auf die unterschiedlichen Kurse an. <br />
[[Datei:Kurseinteilung Anwendungsaufgabe 1.1.png|mini]]<br />
Fülle die dazugehörigen Felder aus:<br />
<br />
FR p% ='''13%()'''<br />
<br />
NL p%='''20%()'''<br />
<br />
Bio p%='''18%()'''<br />
<br />
SW p%='''30%()'''<br />
<br />
TC p%='''19%()'''<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Stellt die prozentuale Verteilung der Anzahl der Schüler/innen auf die verschiedenen Kurse in einem Kreisdiagramm dar. <br />
[[Datei:Kurseinteilung Anwendungsaufgabe 1.2.png|mini]]<br />
<small>a) Berechnet zuerst für jeden prozentualen Anteil den entsprechenden Mittelpunktswinkel mithilfe des Dreisatzes. Bedenke: 100% entsprechen 360° .Runde auf Einer, wenn nötig.<br />
<br />
FR '''47()'''°<br />
<br />
NL ''72()'''°<br />
<br />
Bio '''65()'''°<br />
<br />
SW '''108()'''°<br />
<br />
TC '''68()'''°<br />
<br />
b) Zeichnet nun das Kreisdiagramm mithilfe der in a) berechneten Winkel. <br />
Du kannst dein Diagramm mithilfe des Diagramms in Aufgabe 1(*) prüfen. </small><br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"></div><br />
</div><br />
<br />
====Herta-Lebenstein-Realschule: Anzahl der Schüler/innen an den weiterführenden Schulen im Schuljahr 2018/2019 in %====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Anzahl der Schüler an den weiterführenden Schulen Stadtlohn Aufgabe 2.1.png|mini|center]]<br />
<br />
Fülle die dazugehörigen Felder aus:<br />
<br />
LBS p%='''25%()'''<br />
<br />
HLR p%='''25%()'''<br />
<br />
St.Anna p%='''15%()'''<br />
<br />
GSG p%='''35%()'''<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Stellt die prozentuale Verteilung der Anzahl der Schüler/innen auf die verschiedenen Schulen in einem Kreisdiagramm dar. <br />
[[Datei:Anzahl der Schüler an den weiterführenden Schulen Stadtlohn Aufgabe 2.2.png|mini|center]]<br />
<small>a) Berechnet zuerst für jeden prozentualen Anteil den entsprechenden Mittelpunktswinkel mithilfe des Dreisatzes. Bedenke: 100% entsprechen 360° .Runde auf Einer, wenn nötig.<br />
<br />
LBS '''90()'''°<br />
<br />
HLR '''90()'''°<br />
<br />
St.Anna '''54()'''°<br />
<br />
GSG '''126()'''°<br />
<br />
b) Zeichnet nun das Kreisdiagramm mithilfe der in a) berechneten Winkel. <br />
Du kannst dein Diagramm mithilfe des Diagramms in Aufgabe 2(*) prüfen. </small><br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"></div><br />
</div><br />
<br />
====Herta-Lebenstein-Realschule: Anzahl der Schüler/innen an den weiterführenden Schulen im Schuljahr 2018/2019 in %====<br />
<br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Schülerzahlen der HLR Schuljahr 2018 2019 in %.png|mini|center]]<br />
<br />
Fülle die dazugehörigen Felder aus:<br />
<br />
5er p%='''16%()''' <math>\hat{=}</math>'''58()'''°<br />
<br />
6er p%='''13%()''' <math>\hat{=}</math>'''47()'''°<br />
<br />
7er p%='''14%()''' <math>\hat{=}</math>'''50()'''°<br />
<br />
8er p%='''17%()''' <math>\hat{=}</math>'''61()'''°<br />
<br />
9er p% = 18% <math>\hat{=}</math>'''65()'''°<br />
<br />
10er p%='''22%()''' <math>\hat{=}</math>'''79()'''°<br />
Stellt die prozentuale Verteilung der Anzahl der Schüler/innen auf die verschiedenen Schulen in einem Kreisdiagramm dar. Du kannst dein Diagramm mithilfe des gegebenen Diagramms prüfen.<br />
</div><br />
<br />
<br />
===7.4) Stadtlohn in Zahlen===<br />
<br />
[[Datei:Asphalt-157687 1280.png|mini|<small><small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixaba</small></small>|center]]<br />
====Stadtlohn in Zahlen: Straßennetz in Stadtlohn====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das gesamte Straßennetz in Stadtlohn beträgt insgesamt 270km. <br />
Davon sind 11% Kreisstraßen und 13,5km Landstraßen.<br />
<br />
a) Wie lang sind die Kreisstraßen?<br />
<small> geg: '''G'''=270km; '''p%'''=11%<br />
ges: '''W'''<br />
Rechnung:...<br />
Die Kreisstraßen sind '''29,7()'''km lang.</small><br />
<br />
b) Wie viel Prozent des gesamten Straßennetzes sind Landstraßen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=270km ; '''W'''=13,5km<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Es sind insgesamt '''5%()''' des Straßennetzes Landstraßen.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
In Stadtlohn gibt es viele unterschiedliche Straßen. Die Stadtstraßen betragen 83,7km. Das sind 31% des gesamten Straßennetzes in Stadtlohn. <br />
<br />
Wie lang ist das gesamte Straßennetz?<br />
<br />
<small>geg: '''W'''=83,7km ; '''p%'''=31%<br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Das gesamte Straßennetz ist '''270()'''km lang.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
[[Datei:Stadtlohn in Zahlen Straßennetz in Stadtlohn 1.3.png|mini]]<br />
<br />
a) Erläutere, was in der Tabellen dargestellt wird.<br />
b) Berechne die fehlenden Werte: Länge in km bzw. Länge in %.<br />
<br />
Rechnung: ....<br />
<br />
Antwort: Vergleiche deine Werte mit den Angaben aus Aufgabe 1(*) und (**).<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
[[Datei:Agriculture-147828 1280.png|mini|<small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay</small>|center]]<br />
<br />
====Stadtlohn in Zahlen: Flächennutzung in Stadtlohn====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Insgesamt besitzt die Stadt Stadtlohn 7900 ha Fläche. <br />
<br />
Davon sind: 61 % Landwirtschaftsfläche und 316 ha Verkehrsfläche<br />
<br />
a) Wie groß ist die Landwirtschaftsfläche?<br />
<br />
<small> geg: '''G'''=7900ha; '''p%'''=61%<br />
ges: '''W'''<br />
Rechnung:...<br />
Die Landwirtschaftsfläche ist '''4819()'''ha groß.</small><br />
<br />
b) Wie viel Prozent der gesamten Fläche sind Verkehrsflächen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=7900ha ; '''W'''=316ha<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Es sind insgesamt '''4%()''' der gesamten Flächen sind Verkehrsflächen.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Flächennutzung in Stadtlohn Tabelle 2.2.png|mini|center]]<br />
a) Erläutert, was in der Tabelle dargestellt wird. <br />
<br />
b) Berechnet die fehlenden Werte: Fläche in ha bzw. Fläche in %.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Landwirtschaft:'''4819()'''ha <math>\hat{=}</math> 61% <br />
<br />
Wald: 1659 ha <math>\hat{=}</math> '''21%()'''<br />
<br />
Wasser:158 ha <math>\hat{=}</math> '''2%()'''<br />
<br />
Gebäude,-...:'''948()'''ha <math>\hat{=}</math> 12%<br />
<br />
Verkehr:'''316()'''ha <math>\hat{=}</math> 4%<br />
<br />
INSGESAMT:7900 <math>\hat{=}</math> 100%<br />
</div><br />
c) Betrachtet nur die Landwirtschafts- und Waldflächen. <br />
<br />
· Wie viel ha betragen diese beiden Flächen zusammen? '''6478()'''ha <br />
<br />
· Wie viel Prozent dieser Fläche entfällt davon auf die Landwirtschaftsfläche?<br />
<small>geg: '''G'''6478ha; '''W'''=4816ha<br />
ges:'''p%'''<br />
Rechnung:... (Runde auf Einer)</small><br />
Die Landwirtschaftsfläche beträgt ca.'''74()'''% der Wald- und Landwirtschaftsfläche.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />[[Datei:Community-150124 1280.png|mini|<small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay</small>|center]]<br />
====Stadtlohn in Zahlen: Einwohner in Stadtlohn====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
[[Datei:Einwohner in Stadtlohn 3.1.png|mini|center]]<br />
<br />
Der Kreis Borken setzt sich aus mehreren Städten wie Ahaus, Gescher, Velen, … zusammen.<br />
<br />
Stadtlohn ist ebenfalls eine Stadt im Kreis Borken. Bei der Berechnung der Einwohner des Kreis Borkens werden also die Einwohner aller Städte zusammengezählt. <br />
<br />
Wie viel Prozent aller Einwohner des Kreis Borkens lebten 2015 in der Stadt Stadtlohn?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=369666; '''W'''=20844<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung:...(Runde auf eine Nachkommastelle.)</small><br />
<br />
Es lebten im Jahr 2015 '''5,6%''' aller Einwohner des Kreises Borken in der Stadt Stadtlohn.<br />
</div> <br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Einwohner in Stadtlohn 3.2.png|mini|center]]<br />
Der Kreis Borken setzt sich aus mehreren Städten wie Ahaus, Gescher, Velen, … zusammen.<br />
Stadtlohn ist ebenfalls eine Stadt im Kreis Borken. Bei der Berechnung der Einwohner des Kreis Borkens werden also die Einwohner aller Städte zusammengezählt. <br />
<br />
a) Wie viel Prozent aller Einwohner des Kreis Borkens lebten 2014 in der Stadt Stadtlohn?<br />
<small>geg: '''G'''=365191; '''W'''=20545<br />
<br />
ges:'''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ... (Runde auf eine Nachkommastelle.)</small><br />
</div><br />
<br />
b) 2001 betrug die Einwohnerzahl Stadtlohns 5,6% der Einwohnerzahl des Kreis Borkens. Wie viele Einwohner gab es im Jahr 2001 in der Stadt Stadtlohn? <br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<small>geg:'''G'''=362834; '''p%'''=5,6%<br />
<br />
ges:'''W'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Im Jahr 2001 gab es ca. '''20319()'''Einwohner in der Stadt Stadtlohn.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3(***)<br />
[[Datei:Einwohner in Stadtlohn 3.3.png|mini|center]]<br />
a) Erläutert, was in der Tabelle dargestellt wird. Beachtet dabei die Zeilen und Spalten. <br />
<br />
b) 2001 betrug die Einwohnerzahl Stadtlohns 5,6% der Einwohnerzahl des Kreis Borkens. Wie viele Einwohner gab es im Jahr 2001 in der Stadt Stadtlohn? Runde sinnvoll. <br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<small>geg:'''G'''=362834; '''p%'''=5,6%<br />
<br />
ges:'''W'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Im Jahr 2001 gab es ca. '''20319()'''Einwohner in der Stadt Stadtlohn.<br />
</div><br />
c) 1950 lebten 4,7% der Einwohner des Kreises in der Stadt Stadtlohn. Wie viele Einwohner lebten im gesamten Kreis? Runde sinnvoll. <br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<small>geg:'''W'''=10466; '''p%'''=4,7%<br />
<br />
ges:'''G'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Im Jahr 1950 lebten im gesamten Kreis Borken '''222681()'''Menschen.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Datei:Ballot-32201 1280.png|mini|<small>Bild von Clker-Free-Vector-Images auf Pixabay</small>|center |246x246px]]<br />
<br />
===7.5) Politik in Stadtlohn===<br />
<br />
<br />
====Politik in Stadtlohn: Kommunalwahlen 2020 in Stadtlohn====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Bei der Kommunalwahl 2014 haben in Stadtlohn 10520 Menschen ihre Stimme abgegeben. <br />
<br />
Davon sind 34,41% an die CDU gegangen und 3394 Stimmen an die UWG gegangen<br />
<br />
a) Wie viele Stimmen hat die CDU bekommen? <br />
<br />
<small> geg: '''G'''=10520 Stimmen; '''p%'''=34,41%<br />
ges: '''W'''<br />
Rechnung:...<br />
Die CDU bekam '''3620()'''Stimmen.</small><br />
<br />
b) Wie viel Prozent der Stimmen gingen an die UWG?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=10520 ; '''W'''=3394<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Die UWG erhielt '''32,26%()''' der Stimmen [auf zwei Nachkommastellen gerundet].<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Bei der Kommunalwahl 2020 hat die FDP 1449 Stimmen bekommen. Das waren 13,77% der gesamten Stimmen. <br />
<br />
Wie viele Stimmen wurden insgesamt abgegeben?<br />
<br />
<small>geg: '''W'''=1449 Stimmen ; '''p%'''=13,77%<br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Insgesamt wurden '''10522()'''Stimmen abgegeben.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Erstelle selbst eine Aufgabe zum Ergebnis der Kommunalwahl. Link zu den Ergebnissen: https://www.stadtlohn.de/portal/seiten/informationsseite-wahlen-in-stadtlohn-900000045-28240.html<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
====Politik in Stadtlohn: Europawahl 2019 in Stadtlohn====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Bei der Europawahl haben in Stadtlohn nicht alle Wahlberechtigten gewählt. <br />
<br />
Die Wahlbeteiligung in Stadtlohn lag bei 69,818%. Es wurden 10597 Stimmen abgegeben.<br />
<br />
Berechnet die Anzahl der Wahlberechtigten insgesamt.<br />
<br />
<small> geg: '''W'''=10597 Stimmen; '''p%'''=69,818%<br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Die Anzahl der Wahlberechtigten insgesamt betrug '''15178()'''.<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (**) <br />
<<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Bei der Europawahl 2019 wurden in Stadtlohn insgesamt 10541 gültige Stimmen abgegeben. Die Partei FDP erhielt 831 davon. <br />
<br />
a) Wie viel Prozent der gesamten Stimmen hat die Partei FDP erhalten?<br />
<small>geg: '''G'''=10541 Stimmen; '''W'''=831 Stimmen<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
Die FDP erhielten '''7,88%()''' der Stimmen [Runde auf 2 Nachkommastellen].<br />
<br />
b) Habt ihr schon einmal von der 5%-Hürde gehört? Nur die Parteien, die mehr als 5% der abgegebenen Stimmen erhalten haben, kommen in das Parlament. Wie viele Stimmen hat die Partei FDP mehr erhalten, als sie für die sie 5%-Hürde hätte erhalten müssen?<br />
<small>geg: '''G''' = 10541 Stimmen; '''p%'''=7,88%<br />
<br />
ges:'''W'''<br />
Rechnung: ...</small><br />
Die Partei FDP hat 831 Stimmen erhalten. Das sind '''304()''' Stimmen mehr, als sie für die 5%-Hürde hätte erhalten müssen.<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Erstelle selbst eine Aufgabe zum Ergebnis der Europawahl 2019. Link zu den Ergebnissen: https://www.stadtlohn.de/portal/seiten/informationsseite-wahlen-in-stadtlohn-900000045-28240.html<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
====Politik in Stadtlohn: Bürgermeisterwahlen====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Bei der Bürgermeisterwahl im Jahr 2020 gaben 10497 Stadtlohner/innen ihre (gültige) Stimme ab.<br />
<br />
Wie viele Stimmen erhielten die beiden Kandidaten Herr Wewers und Herr Dittmann? <br />
<br />
<small>geg: '''G'''=10776 Stimmen; '''p%'''=49,185%; '''p%'''=51,815%<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Herr Wewers erhielt'''5058()''' Stimmen, Herr Dittmann'''5439()'''.<br />
<br />
</div> <br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Der Bürgermeister der Stadt Stadtlohn wurde 2020 gewählt.<br />
<br />
Immer wieder lassen sich bei der Auswertung ungültige Stimmen entdecken, die nicht gewertet werden können. Eine Stimme ist z.B. ungültig, wenn man mehr Felder ankreuzt, als man darf. <br />
<br />
Insgesamt gab es 279 ungültige Stimmen und 10497 gültige Stimmen insgesamt<br />
<br />
Zudem gehen leider nicht alle Einwohner, die wahlberechtigt sind und damit wählen gehen dürfen, auch wirklich wählen. Bei dieser Wahl lag die Wahlbeteiligung lediglich bei ca. 64,91%. <br />
<br />
Wie viele Wahlberechtigte gab es insgesamt? <br />
<br />
<small>geg: W = '''10776()''';p% = '''64,91%()'''<br />
ges:'''G()'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Es gab insgesamt '''16601()'''Wahlberechtigte.<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3(***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Erstelle selbst eine Aufgabe zum Ergebnis der Bürgermeisterwahl in Stadtlohn 2020. Link zu den Ergebnissen: https://www.stadtlohn.de/portal/seiten/informationsseite-wahlen-in-stadtlohn-900000045-28240.html<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=8) Checkliste|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/Checkliste|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung}}<br />
<br />
<br /></div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad_Prozentrechnung/7)_Prozente_rund_um_Stadtlohn_(vermischte_%C3%9Cbungen)&diff=93266Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)2024-03-25T13:05:52Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/1) Absoluter und relativer Vergleich|1) Absoluter und relativer Vergleich]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/2) Prozentschreibweise|2) Prozentschreibweise]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/3) Grundbegriffe der Prozentrechnung|3) Grundbegriffe der Prozentrechnung]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/4) Prozentsatz p% berechnen|4) Prozentsatz p% berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/5) Prozentwert W berechnen|5) Prozentwert W berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/6) Grundwert G berechnen|6) Grundwert G berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)|7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/Checkliste|8) Checkliste]]}}<br />
==7) Prozente rund um Stadtlohn (Vermischte Übungen)==<br />
<br />
<br />
Diese Aufgabensammlung wurde von Frau Urban erstellt.<br />
<br />
Sie umfasst fünf Themengebiete, die jeweils in drei Unterthemen aufgeteilt sind.<br />
Wähle aus jedem Unterthema mindestens eine Aufgabe aus. (*) leicht ,(**) mittel oder (***) schwer.<br />
Insgesamt sammle mindestens 25 Sternchen "*".<br />
<br />
Schreibe dazu die Lösung der Aufgaben ausführlich in dein Heft.<br />
<br />
(geg:...; ges:... usw. )<br />
<br />
Kontrolliere deine Rechnung durch Eingabe deiner Ergebnisse. Hake dann mit einem andersfarbigen Stift deine Lösung ab.<br />
<br />
===7.1) Einkaufen in Stadtlohn===<br />
<br />
[[Datei:PS4-Console-wDS4.png|mini|alternativtext=|zentriert|306x306px]]<br />
====Einkaufen in Stadtlohn: Multimedia====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Videospiel kostet im Laden 60€. Durch eine Rabattaktion wird das Spiel um 19% reduziert.<br />
<br />
Patrick freut sich darüber sehr!<br />
<br />
Wie viel Euro kann er einsparen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=60€;'''p%'''= 19% = 0,19<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Patrick kann durch die Rabattaktion '''11,40()'''Euro sparen. <br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein PC-Spiel kostet 45€. Nur heute gibt es das Angebot, bei dem man beim Kauf dieses Spiels 9,90€ einsparen kann.<br />
<br />
Um wie viel Prozent wurde der Preis reduziert? <br />
<br />
<small>geg: '''G'''=45€;'''W'''= 9,90 €<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Der Preis des Spiels wurde um '''22%()'''reduziert.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1(***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Beim Kauf einer CD spart Luisa 2,10€. Das sind 14% des ursprünglichen Preises. <br />
<br />
Wie teuer war die CD ursprünglich? <br />
<br />
<small>geg: '''W'''=2,10€;'''p%'''= 14% <br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Die CD kostete ursprünglich '''15()'''€.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Racing-bicycle-161449 1280.png|mini|<small><small><small><small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay </small></small></small></small>|alternativtext=|center|158x158px]]<br />
====Einkaufen in Stadtlohn: Fahrzeuge====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
<br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Skateboard kostet 75€. Im Schlussverkauf wird es um 32% reduziert. <br />
<br />
Wie viel € hat man gespart? <br />
<br />
<small>geg: '''G'''=75€; '''p%'''= 32% = 0,32<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Man hat '''24()'''Euro gespart.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
<br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Fahrrad kostet 375€. Bei einer Rabattaktion spart Jakob 45€. <br />
<br />
Wie viel Prozent konnte Jakob vom ursprünglichen Preis einsparen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=375€; '''W'''= 45 €<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Jakob konnte '''12%()'''einsparen.<br />
</div></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
<br />
Aufgabe 2(***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Händler kann den Preis eines gebrauchten Elektro-Rollers um maximal 14% reduzieren. Das sind 175€.<br />
<br />
Wie teuer war der Roller ursprünglich? <br />
<br />
<small>geg: '''W'''=175€; '''p%'''= 14% <br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Der Elektro-Roller kostete ursprünglich '''1250()'''€.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Blue-295177 1280.png|mini|<small><small><small><small>Bild von Clker-Free-Vector-Images auf Pixabay</small></small></small></small>|alternativtext=|center|141x141px]]<br />
====Einkaufen in Stadtlohn: Mode====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Modehaus in Stadtlohn baut um und bietet daher einen Räumungs-Verkauf an, bei dem es viele Schnäppchen gibt.<br />
<br />
Sophie freut sich über den Räumungs-Verkauf, denn auf die Outdoorjacke für 129,99 , die sie sich ausgesucht hat, erhält sie an der Kasse 40%. <br />
<br />
<small>a) Wie viel € hat sie gespart?<br />
<br />
b) Wie viel € zahlt sie nun für die Jacke? <br />
<br />
<br />
geg: '''G'''=129,99€; '''p%'''= 40% = 0,4<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: a) Man hat '''52()'''Euro gespart.<br />
b) Sie zahlt nun '''77,99()'''Euro.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Modehaus in Stadtlohn baut um und bietet daher einen Räumungs-Verkauf an, bei dem es viele Schnäppchen gibt.<br />
Jenny findet einen Pullover, der 59,99€ kosten sollte und nun um 20€ reduziert wurde. Sie fragt sich, um wie viel Prozent der Pullover reduziert wurde. <br />
<br />
<small>geg: '''G'''=59,99€; '''W'''= 20 €<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Jakob konnte '''33,3%()'''einsparen. <br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3(***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Modehaus in Stadtlohn baut um und bietet daher einen Räumungs-Verkauf an, bei dem es viele Schnäppchen gibt.<br />
<br />
Mark findet zwei Jeans mit unterschiedlichem Angebot. <br />
<br />
<small>1. Angebot: Eine Jeans, die 99,99€ kostet, wird um 60€ reduziert.<br />
2. Angebot: Eine Jeans, die 79,99€ kostet, wird um 45€ reduziert.<br />
<br />
Nun überlegt er, bei welcher Jeans er prozentual mehr einsparen könnte.<br />
<br />
geg: Angebot 1:'''G'''= 99,99€; '''W'''= 60€ ;<br />
<br />
Angebot 2: '''G'''= 79,99€; '''W'''= 45€<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Beim 1. Angebot spart er '''60%|60,0%()''', beim 2. Angebot '''56%|56,3%()''', also kann er bei Angebot '''1()''' prozentual mehr sparen. (Runde auf 1 Stelle nach dem Komma.)<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Football-157930 1280.png|mini|<small><small><small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay </small></small></small>|center|132x132px]]<br />
===7.2) Freizeit in Stadtlohn===<br />
====Freizeit in Stadtlohn: Fußball====<br />
<br />
[[Datei:Freizeit in Stadtlohn Fußball 2.png]]<br />
[[Datei:Freizeit in Stadtlohn Fußball 1.png]]<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
In der Saison 16/17 hat eine Mannschaft des Vereins SuS Stadtlohn ca. 18% er Spiele gewonnen.<br />
Wie viele Spiele sind das?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''= 22 ; '''p%'''= 18% = 0,18<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Die Mannschaft hat '''4()''' Spiele gewonnen.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Wie viel Prozent der Spiele hat die Mannschaft des Vereins SuS Stadtlohn in den Saisons 12/13 und 16/17 jeweils gewonnen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''= 22 ; '''W'''= 18<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Die Mannschaft hat in der Saison 12/13 '''82%()''' und in der Saison 16/17'''18%()''' der Spiele gewonnen.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Als Sportler ist es besonders wichtig, sich ausgewogen und gesund zu ernähren.<br />
<br />
Fußballer Sebastian weiß, dass er täglich 65g Eiweiß, 85g Fette und 320g Kohlenhydrate benötigt. Wie viel Prozent des Tagesbedarfes jedes einzelnen Elements werden mit einer Müsli-Portion gedeckt? <br />
[[Datei:Freizeit in Stadtlohn Fußball 3.png|200x200px]]<br />
<br />
<small>geg: Eiweiß: '''G'''= 65 g ; '''W'''= 8,2 g; Fette: ...<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Er hat mit einer Portion Müsli '''12,6%()''' des Tagesbedarfs an Eiweiß, '''7,5%()''' des Tagesbedarfes an Fetten und '''10,4%()''' des Tagesbedarfs an Kohlenhydraten gedeckt. (Runde auf 1 Stelle nach dem Komma.)<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Runner-309053 1280.png|mini|<small><small>Bild von Clker-Free-Vector-Images auf Pixabay </small></small>|center]]<br />
<br />
====Freizeit in Stadtlohn: Silvesterlauf====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Jedes Jahr findet am Vormittag des 31. Dezembers der Silvesterlauf in Stadtlohn statt. 2018 ist bereits der 35. Lauf in Folge.<br />
<br />
Ein Sportler wiegt 68kg. Beim Silvesterlauf verliert er 3% seines Gewichts. <br />
<br />
Wie viel kg hat er verloren?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''= 68kg; '''p%'''= 3% = 0,03<br />
<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Der Sportler hat ungefähr '''2()''' kg an Gewicht verloren.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Jedes Jahr findet am Vormittag des 31. Dezembers der Silvesterlauf in Stadtlohn statt. 2018 ist bereits der 35. Lauf in Folge.<br />
<br />
2018 nahmen 630 Läufer/innen am Silvesterlauf teil. Von diesen Sportler/innen haben bereits 30% eine Zusage für den Lauf im kommenden Jahr gemacht. Wie viele sind das?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''= 630; '''p%'''= 30%<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Eine Zusage für den Lauf im nächsten Jahr haben '''189()''' Läufer gemacht.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Jedes Jahr findet am Vormittag des 31. Dezembers der Silvesterlauf in Stadtlohn statt. 2018 ist bereits der 35. Lauf in Folge.<br />
<br />
<br />
48 von 99 Männern liefen die 15000m Strecke in einer Zeit von unter einer Stunde und zehn Minuten. In der gleichen Zeit schafften es 6 von 26 Frauen ins Ziel. Wie viel Prozent der Männer und wie viel Prozent der Frauen liefen in der oben angegebenen Zeit? <br />
<br />
<small>geg: Männer '''W'''= 48; '''G'''= 99;<br />
Frauen: '''W'''= 6; '''G'''=26<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Von den Männern haben '''48,5%()''' die Strecke unter 70 Minuten geschafft, von den Frauen '''23,1%()'''. (Runde auf 1 Stelle nach dem Komma.)<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Swimming-pool-149632 1280.png|mini|<small><small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay</small></small>|center|150x150px ]]<br />
====Freizeit in Stadtlohn: Hallen- und Freibad in Stadtlohn====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Schwimmerbecken im Freibad hat 8 Bahnen. 37,5% dieser Bahnen sind durch das Training einer Schwimm-Mannschaft belegt. <br />
<br />
Wie viele Bahnen sind das?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=8 Bahnen; '''p%'''=37,5%<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Es sind '''3()''' Bahnen durch die Schwimm-Mannschaft belegt.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Schwimmbecken besteht aus einem Schwimmer- und einem Nichtschwimmer-Bereich. Die Wasseroberfläche des Nichtschwimmer-Bereichs beträgt 187m². Das sind 17% der Gesamtwasseroberfläche. <br />
<br />
Wie groß ist die Fläche des gesamten Schwimmbeckens? <br />
<br />
<small>geg: '''W'''= 187 m²;'''p%'''= 17%<br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Es sind '''1100()'''m² Wasseroberfläche insgesamt.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das untenstehende Säulendiagramm zeigt ein Beispiel für die täglichen Besucherzahlen im Hallenbad innerhalb von einer Woche. <br />
<br />
[[Datei:Hallen und Freibad Aufgabe 3 .png|mini|alternativtext=|links|300x300px]]<br />
<br />
Wie viel Prozent der Badegäste besuchten am Wochenende das Bad? <br />
<br />
<small>geg: G='''1176()''';<br />
W='''457()'''<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Am Wochenende besuchten rund '''39%|38,9()''' der Besucher das Hallenbad.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:HLR-Schulname mit Logo.jpg|mini|center]]<br />
===7.3) Herta-Lebenstein-Realschule Stadtlohn===<br />
====Herta-Lebenstein-Realschule: Kurseinteilung 8er====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Kreisdiagramm gibt die prozentuale Aufteilung der Schüler/innen der 8. Klassen auf die unterschiedlichen Kurse an. <br />
[[Datei:Kurseinteilung Anwendungsaufgabe 1.1.png|mini]]<br />
Fülle die dazugehörigen Felder aus:<br />
<br />
FR p% ='''13%()'''<br />
<br />
NL p%='''20%()'''<br />
<br />
Bio p%='''18%()'''<br />
<br />
SW p%='''30%()'''<br />
<br />
TC p%='''19%()'''<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Stellt die prozentuale Verteilung der Anzahl der Schüler/innen auf die verschiedenen Kurse in einem Kreisdiagramm dar. <br />
[[Datei:Kurseinteilung Anwendungsaufgabe 1.2.png|mini]]<br />
<small>a) Berechnet zuerst für jeden prozentualen Anteil den entsprechenden Mittelpunktswinkel mithilfe des Dreisatzes. Bedenke: 100% entsprechen 360° .Runde auf Einer, wenn nötig.<br />
<br />
FR '''47()'''°<br />
<br />
NL ''72()'''°<br />
<br />
Bio '''65()'''°<br />
<br />
SW '''108()'''°<br />
<br />
TC '''68()'''°<br />
<br />
b) Zeichnet nun das Kreisdiagramm mithilfe der in a) berechneten Winkel. <br />
Du kannst dein Diagramm mithilfe des Diagramms in Aufgabe 1(*) prüfen. </small><br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"></div><br />
</div><br />
<br />
====Herta-Lebenstein-Realschule: Anzahl der Schüler/innen an den weiterführenden Schulen im Schuljahr 2018/2019 in %====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Anzahl der Schüler an den weiterführenden Schulen Stadtlohn Aufgabe 2.1.png|mini|center]]<br />
<br />
Fülle die dazugehörigen Felder aus:<br />
<br />
LBS p%='''25%()'''<br />
<br />
HLR p%='''25%()'''<br />
<br />
St.Anna p%='''15%()'''<br />
<br />
GSG p%='''35%()'''<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Stellt die prozentuale Verteilung der Anzahl der Schüler/innen auf die verschiedenen Schulen in einem Kreisdiagramm dar. <br />
[[Datei:Anzahl der Schüler an den weiterführenden Schulen Stadtlohn Aufgabe 2.2.png|mini|center]]<br />
<small>a) Berechnet zuerst für jeden prozentualen Anteil den entsprechenden Mittelpunktswinkel mithilfe des Dreisatzes. Bedenke: 100% entsprechen 360° .Runde auf Einer, wenn nötig.<br />
<br />
LBS '''90()'''°<br />
<br />
HLR '''90()'''°<br />
<br />
St.Anna '''54()'''°<br />
<br />
GSG '''126()'''°<br />
<br />
b) Zeichnet nun das Kreisdiagramm mithilfe der in a) berechneten Winkel. <br />
Du kannst dein Diagramm mithilfe des Diagramms in Aufgabe 2(*) prüfen. </small><br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"></div><br />
</div><br />
<br />
====Herta-Lebenstein-Realschule: Anzahl der Schüler/innen an den weiterführenden Schulen im Schuljahr 2018/2019 in %====<br />
<br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Schülerzahlen der HLR Schuljahr 2018 2019 in %.png|mini|center]]<br />
<br />
Fülle die dazugehörigen Felder aus:<br />
<br />
5er p%='''16%()''' <math>\hat{=}</math>'''58()'''°<br />
<br />
6er p%='''13%()''' <math>\hat{=}</math>'''47()'''°<br />
<br />
7er p%='''14%()''' <math>\hat{=}</math>'''50()'''°<br />
<br />
8er p%='''17%()''' <math>\hat{=}</math>'''61()'''°<br />
<br />
9er p% = 18% <math>\hat{=}</math>'''65()'''°<br />
<br />
10er p%='''22%()''' <math>\hat{=}</math>'''79()'''°<br />
Stellt die prozentuale Verteilung der Anzahl der Schüler/innen auf die verschiedenen Schulen in einem Kreisdiagramm dar. Du kannst dein Diagramm mithilfe des gegebenen Diagramms prüfen.<br />
</div><br />
<br />
<br />
===7.4) Stadtlohn in Zahlen===<br />
<br />
[[Datei:Asphalt-157687 1280.png|mini|<small><small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixaba</small></small>|center]]<br />
====Stadtlohn in Zahlen: Straßennetz in Stadtlohn====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das gesamte Straßennetz in Stadtlohn beträgt insgesamt 270km. <br />
Davon sind 11% Kreisstraßen und 13,5km Landstraßen.<br />
<br />
a) Wie lang sind die Kreisstraßen?<br />
<small> geg: '''G'''=270km; '''p%'''=11%<br />
ges: '''W'''<br />
Rechnung:...<br />
Die Kreisstraßen sind '''29,7()'''km lang.</small><br />
<br />
b) Wie viel Prozent des gesamten Straßennetzes sind Landstraßen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=270km ; '''W'''=13,5km<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Es sind insgesamt '''5%()''' des Straßennetzes Landstraßen.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
In Stadtlohn gibt es viele unterschiedliche Straßen. Die Stadtstraßen betragen 83,7km. Das sind 31% des gesamten Straßennetzes in Stadtlohn. <br />
<br />
Wie lang ist das gesamte Straßennetz?<br />
<br />
<small>geg: '''W'''=83,7km ; '''p%'''=31%<br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Das gesamte Straßennetz ist '''270()'''km lang.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
[[Datei:Stadtlohn in Zahlen Straßennetz in Stadtlohn 1.3.png|mini]]<br />
<br />
a) Erläutere, was in der Tabellen dargestellt wird.<br />
b) Berechne die fehlenden Werte: Länge in km bzw. Länge in %.<br />
<br />
Rechnung: ....<br />
<br />
Antwort: Vergleiche deine Werte mit den Angaben aus Aufgabe 1(*) und (**).<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
[[Datei:Agriculture-147828 1280.png|mini|<small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay</small>|center]]<br />
<br />
====Stadtlohn in Zahlen: Flächennutzung in Stadtlohn====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Insgesamt besitzt die Stadt Stadtlohn 7900 ha Fläche. <br />
<br />
Davon sind: 61 % Landwirtschaftsfläche und 316 ha Verkehrsfläche<br />
<br />
a) Wie groß ist die Landwirtschaftsfläche?<br />
<br />
<small> geg: '''G'''=7900ha; '''p%'''=61%<br />
ges: '''W'''<br />
Rechnung:...<br />
Die Landwirtschaftsfläche ist '''4819()'''ha groß.</small><br />
<br />
b) Wie viel Prozent der gesamten Fläche sind Verkehrsflächen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=7900ha ; '''W'''=316ha<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Es sind insgesamt '''4%()''' der gesamten Flächen sind Verkehrsflächen.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Flächennutzung in Stadtlohn Tabelle 2.2.png|mini|center]]<br />
a) Erläutert, was in der Tabelle dargestellt wird. <br />
<br />
b) Berechnet die fehlenden Werte: Fläche in ha bzw. Fläche in %.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Landwirtschaft:'''4819()'''ha <math>\hat{=}</math> 61% <br />
<br />
Wald: 1659 ha <math>\hat{=}</math> '''21%()'''<br />
<br />
Wasser:158 ha <math>\hat{=}</math> '''2%()'''<br />
<br />
Gebäude,-...:'''948()'''ha <math>\hat{=}</math> 12%<br />
<br />
Verkehr:'''316()'''ha <math>\hat{=}</math> 4%<br />
<br />
INSGESAMT:7900 <math>\hat{=}</math> 100%<br />
</div><br />
c) Betrachtet nur die Landwirtschafts- und Waldflächen. <br />
<br />
· Wie viel ha betragen diese beiden Flächen zusammen? '''6478()'''ha <br />
<br />
· Wie viel Prozent dieser Fläche entfällt davon auf die Landwirtschaftsfläche?<br />
<small>geg: '''G'''6478ha; '''W'''=4816ha<br />
ges:'''p%'''<br />
Rechnung:... (Runde auf Einer)</small><br />
Die Landwirtschaftsfläche beträgt ca.'''74()'''% der Wald- und Landwirtschaftsfläche.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />[[Datei:Community-150124 1280.png|mini|<small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay</small>|center]]<br />
====Stadtlohn in Zahlen: Einwohner in Stadtlohn====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
[[Datei:Einwohner in Stadtlohn 3.1.png|mini|center]]<br />
<br />
Der Kreis Borken setzt sich aus mehreren Städten wie Ahaus, Gescher, Velen, … zusammen.<br />
<br />
Stadtlohn ist ebenfalls eine Stadt im Kreis Borken. Bei der Berechnung der Einwohner des Kreis Borkens werden also die Einwohner aller Städte zusammengezählt. <br />
<br />
Wie viel Prozent aller Einwohner des Kreis Borkens lebten 2015 in der Stadt Stadtlohn?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=369666; '''W'''=20844<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung:...(Runde auf eine Nachkommastelle.)</small><br />
<br />
Es lebten im Jahr 2015 '''5,6%''' aller Einwohner des Kreises Borken in der Stadt Stadtlohn.<br />
</div> <br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Einwohner in Stadtlohn 3.2.png|mini|center]]<br />
Der Kreis Borken setzt sich aus mehreren Städten wie Ahaus, Gescher, Velen, … zusammen.<br />
Stadtlohn ist ebenfalls eine Stadt im Kreis Borken. Bei der Berechnung der Einwohner des Kreis Borkens werden also die Einwohner aller Städte zusammengezählt. <br />
<br />
a) Wie viel Prozent aller Einwohner des Kreis Borkens lebten 2014 in der Stadt Stadtlohn?<br />
<small>geg: '''G'''=365191; '''W'''=20545<br />
<br />
ges:'''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ... (Runde auf eine Nachkommastelle.)</small><br />
</div><br />
<br />
b) 2001 betrug die Einwohnerzahl Stadtlohns 5,6% der Einwohnerzahl des Kreis Borkens. Wie viele Einwohner gab es im Jahr 2001 in der Stadt Stadtlohn? <br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<small>geg:'''G'''=362834; '''p%'''=5,6%<br />
<br />
ges:'''W'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Im Jahr 2001 gab es ca. '''20319()'''Einwohner in der Stadt Stadtlohn.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3(***)<br />
[[Datei:Einwohner in Stadtlohn 3.3.png|mini|center]]<br />
a) Erläutert, was in der Tabelle dargestellt wird. Beachtet dabei die Zeilen und Spalten. <br />
<br />
b) 2001 betrug die Einwohnerzahl Stadtlohns 5,6% der Einwohnerzahl des Kreis Borkens. Wie viele Einwohner gab es im Jahr 2001 in der Stadt Stadtlohn? Runde sinnvoll. <br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<small>geg:'''G'''=362834; '''p%'''=5,6%<br />
<br />
ges:'''W'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Im Jahr 2001 gab es ca. '''20319()'''Einwohner in der Stadt Stadtlohn.<br />
</div><br />
c) 1950 lebten 4,7% der Einwohner des Kreises in der Stadt Stadtlohn. Wie viele Einwohner lebten im gesamten Kreis? Runde sinnvoll. <br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<small>geg:'''W'''=10466; '''p%'''=4,7%<br />
<br />
ges:'''G'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Im Jahr 1950 lebten im gesamten Kreis Borken '''222681()'''Menschen.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Datei:Ballot-32201 1280.png|mini|<small>Bild von Clker-Free-Vector-Images auf Pixabay</small>|center |246x246px]]<br />
<br />
===7.5) Politik in Stadtlohn===<br />
<br />
<br />
====Politik in Stadtlohn: Kommunalwahlen 2020 in Stadtlohn====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Bei der Kommunalwahl 2014 haben in Stadtlohn 10520 Menschen ihre Stimme abgegeben. <br />
<br />
Davon sind 34,41% an die CDU gegangen und 3394 Stimmen an die UWG gegangen<br />
<br />
a) Wie viele Stimmen hat die CDU bekommen? <br />
<br />
<small> geg: '''G'''=10520 Stimmen; '''p%'''=34,41%<br />
ges: '''W'''<br />
Rechnung:...<br />
Die CDU bekam '''3620()'''Stimmen.</small><br />
<br />
b) Wie viel Prozent der Stimmen gingen an die UWG?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=10520 ; '''W'''=3394<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Die UWG erhielt '''32,26%()''' der Stimmen [auf zwei Nachkommastellen gerundet].<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Bei der Kommunalwahl 2020 hat die FDP 1449 Stimmen bekommen. Das waren 13,77% der gesamten Stimmen. <br />
<br />
Wie viele Stimmen wurden insgesamt abgegeben?<br />
<br />
<small>geg: '''W'''=1449 Stimmen ; '''p%'''=13,77%<br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Insgesamt wurden '''10522()'''Stimmen abgegeben.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (***)<br />
<br><br />
<br />
Erstelle selbst eine Aufgabe zum Ergebnis der Kommunalwahl. Link zu den Ergebnissen: https://www.stadtlohn.de/portal/seiten/informationsseite-wahlen-in-stadtlohn-900000045-28240.html<br />
<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
====Politik in Stadtlohn: Europawahl 2019 in Stadtlohn====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Bei der Europawahl haben in Stadtlohn nicht alle Wahlberechtigten gewählt. <br />
<br />
Die Wahlbeteiligung in Stadtlohn lag bei 69,818%. Es wurden 10597 Stimmen abgegeben.<br />
<br />
Berechnet die Anzahl der Wahlberechtigten insgesamt.<br />
<br />
<small> geg: '''W'''=10597 Stimmen; '''p%'''=69,818%<br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Die Anzahl der Wahlberechtigten insgesamt betrug '''15178()'''.<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (**) <br />
<<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Bei der Europawahl 2019 wurden in Stadtlohn insgesamt 10541 gültige Stimmen abgegeben. Die Partei FDP erhielt 831 davon. <br />
<br />
a) Wie viel Prozent der gesamten Stimmen hat die Partei FDP erhalten?<br />
<small>geg: '''G'''=10541 Stimmen; '''W'''=831 Stimmen<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
Die FDP erhielten '''7,88%()''' der Stimmen [Runde auf 2 Nachkommastellen].<br />
<br />
b) Habt ihr schon einmal von der 5%-Hürde gehört? Nur die Parteien, die mehr als 5% der abgegebenen Stimmen erhalten haben, kommen in das Parlament. Wie viele Stimmen hat die Partei FDP mehr erhalten, als sie für die sie 5%-Hürde hätte erhalten müssen?<br />
<small>geg: '''G''' = 10541 Stimmen; '''p%'''=7,88%<br />
<br />
ges:'''W'''<br />
Rechnung: ...</small><br />
Die Partei FDP hat 831 Stimmen erhalten. Das sind '''304()''' Stimmen mehr, als sie für die 5%-Hürde hätte erhalten müssen.<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (***)<br />
<br><br />
<br />
Erstelle selbst eine Aufgabe zum Ergebnis der Europawahl 2019. Link zu den Ergebnissen: https://www.stadtlohn.de/portal/seiten/informationsseite-wahlen-in-stadtlohn-900000045-28240.html<br />
<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
====Politik in Stadtlohn: Bürgermeisterwahlen====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Bei der Bürgermeisterwahl im Jahr 2020 gaben 10497 Stadtlohner/innen ihre (gültige) Stimme ab.<br />
<br />
Wie viele Stimmen erhielten die beiden Kandidaten Herr Wewers und Herr Dittmann? <br />
<br />
<small>geg: '''G'''=10776 Stimmen; '''p%'''=49,185%; '''p%'''=51,815%<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Herr Wewers erhielt'''5058()''' Stimmen, Herr Dittmann'''5439()'''.<br />
<br />
</div> <br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Der Bürgermeister der Stadt Stadtlohn wurde 2020 gewählt.<br />
<br />
Immer wieder lassen sich bei der Auswertung ungültige Stimmen entdecken, die nicht gewertet werden können. Eine Stimme ist z.B. ungültig, wenn man mehr Felder ankreuzt, als man darf. <br />
<br />
Insgesamt gab es 279 ungültige Stimmen und 10497 gültige Stimmen insgesamt<br />
<br />
Zudem gehen leider nicht alle Einwohner, die wahlberechtigt sind und damit wählen gehen dürfen, auch wirklich wählen. Bei dieser Wahl lag die Wahlbeteiligung lediglich bei ca. 64,91%. <br />
<br />
Wie viele Wahlberechtigte gab es insgesamt? <br />
<br />
<small>geg: W = '''10776()''';p% = '''64,91%()'''<br />
ges:'''G()'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Es gab insgesamt '''16601()'''Wahlberechtigte.<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3(***)<br />
<br><br />
Erstelle selbst eine Aufgabe zum Ergebnis der Bürgermeisterwahl in Stadtlohn 2020. Link zu den Ergebnissen: https://www.stadtlohn.de/portal/seiten/informationsseite-wahlen-in-stadtlohn-900000045-28240.html<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=8) Checkliste|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/Checkliste|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung}}<br />
<br />
<br /></div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad_Prozentrechnung/7)_Prozente_rund_um_Stadtlohn_(vermischte_%C3%9Cbungen)&diff=93265Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)2024-03-25T12:55:10Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/1) Absoluter und relativer Vergleich|1) Absoluter und relativer Vergleich]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/2) Prozentschreibweise|2) Prozentschreibweise]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/3) Grundbegriffe der Prozentrechnung|3) Grundbegriffe der Prozentrechnung]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/4) Prozentsatz p% berechnen|4) Prozentsatz p% berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/5) Prozentwert W berechnen|5) Prozentwert W berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/6) Grundwert G berechnen|6) Grundwert G berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)|7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/Checkliste|8) Checkliste]]}}<br />
==7) Prozente rund um Stadtlohn (Vermischte Übungen)==<br />
<br />
<br />
Diese Aufgabensammlung wurde von Frau Urban erstellt.<br />
<br />
Sie umfasst fünf Themengebiete, die jeweils in drei Unterthemen aufgeteilt sind.<br />
Wähle aus jedem Unterthema mindestens eine Aufgabe aus. (*) leicht ,(**) mittel oder (***) schwer.<br />
Insgesamt sammle mindestens 25 Sternchen "*".<br />
<br />
Schreibe dazu die Lösung der Aufgaben ausführlich in dein Heft.<br />
<br />
(geg:...; ges:... usw. )<br />
<br />
Kontrolliere deine Rechnung durch Eingabe deiner Ergebnisse. Hake dann mit einem andersfarbigen Stift deine Lösung ab.<br />
<br />
===7.1) Einkaufen in Stadtlohn===<br />
<br />
[[Datei:PS4-Console-wDS4.png|mini|alternativtext=|zentriert|306x306px]]<br />
====Einkaufen in Stadtlohn: Multimedia====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Videospiel kostet im Laden 60€. Durch eine Rabattaktion wird das Spiel um 19% reduziert.<br />
<br />
Patrick freut sich darüber sehr!<br />
<br />
Wie viel Euro kann er einsparen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=60€;'''p%'''= 19% = 0,19<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Patrick kann durch die Rabattaktion '''11,40()'''Euro sparen. <br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein PC-Spiel kostet 45€. Nur heute gibt es das Angebot, bei dem man beim Kauf dieses Spiels 9,90€ einsparen kann.<br />
<br />
Um wie viel Prozent wurde der Preis reduziert? <br />
<br />
<small>geg: '''G'''=45€;'''W'''= 9,90 €<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Der Preis des Spiels wurde um '''22%()'''reduziert.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1(***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Beim Kauf einer CD spart Luisa 2,10€. Das sind 14% des ursprünglichen Preises. <br />
<br />
Wie teuer war die CD ursprünglich? <br />
<br />
<small>geg: '''W'''=2,10€;'''p%'''= 14% <br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Die CD kostete ursprünglich '''15()'''€.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Racing-bicycle-161449 1280.png|mini|<small><small><small><small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay </small></small></small></small>|alternativtext=|center|158x158px]]<br />
====Einkaufen in Stadtlohn: Fahrzeuge====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
<br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Skateboard kostet 75€. Im Schlussverkauf wird es um 32% reduziert. <br />
<br />
Wie viel € hat man gespart? <br />
<br />
<small>geg: '''G'''=75€; '''p%'''= 32% = 0,32<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Man hat '''24()'''Euro gespart.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
<br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Fahrrad kostet 375€. Bei einer Rabattaktion spart Jakob 45€. <br />
<br />
Wie viel Prozent konnte Jakob vom ursprünglichen Preis einsparen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=375€; '''W'''= 45 €<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Jakob konnte '''12%()'''einsparen.<br />
</div></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
<br />
Aufgabe 2(***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Händler kann den Preis eines gebrauchten Elektro-Rollers um maximal 14% reduzieren. Das sind 175€.<br />
<br />
Wie teuer war der Roller ursprünglich? <br />
<br />
<small>geg: '''W'''=175€; '''p%'''= 14% <br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Der Elektro-Roller kostete ursprünglich '''1250()'''€.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Blue-295177 1280.png|mini|<small><small><small><small>Bild von Clker-Free-Vector-Images auf Pixabay</small></small></small></small>|alternativtext=|center|141x141px]]<br />
====Einkaufen in Stadtlohn: Mode====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Modehaus in Stadtlohn baut um und bietet daher einen Räumungs-Verkauf an, bei dem es viele Schnäppchen gibt.<br />
<br />
Sophie freut sich über den Räumungs-Verkauf, denn auf die Outdoorjacke für 129,99 , die sie sich ausgesucht hat, erhält sie an der Kasse 40%. <br />
<br />
<small>a) Wie viel € hat sie gespart?<br />
<br />
b) Wie viel € zahlt sie nun für die Jacke? <br />
<br />
<br />
geg: '''G'''=129,99€; '''p%'''= 40% = 0,4<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: a) Man hat '''52()'''Euro gespart.<br />
b) Sie zahlt nun '''77,99()'''Euro.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Modehaus in Stadtlohn baut um und bietet daher einen Räumungs-Verkauf an, bei dem es viele Schnäppchen gibt.<br />
Jenny findet einen Pullover, der 59,99€ kosten sollte und nun um 20€ reduziert wurde. Sie fragt sich, um wie viel Prozent der Pullover reduziert wurde. <br />
<br />
<small>geg: '''G'''=59,99€; '''W'''= 20 €<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Jakob konnte '''33,3%()'''einsparen. <br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3(***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Modehaus in Stadtlohn baut um und bietet daher einen Räumungs-Verkauf an, bei dem es viele Schnäppchen gibt.<br />
<br />
Mark findet zwei Jeans mit unterschiedlichem Angebot. <br />
<br />
<small>1. Angebot: Eine Jeans, die 99,99€ kostet, wird um 60€ reduziert.<br />
2. Angebot: Eine Jeans, die 79,99€ kostet, wird um 45€ reduziert.<br />
<br />
Nun überlegt er, bei welcher Jeans er prozentual mehr einsparen könnte.<br />
<br />
geg: Angebot 1:'''G'''= 99,99€; '''W'''= 60€ ;<br />
<br />
Angebot 2: '''G'''= 79,99€; '''W'''= 45€<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Beim 1. Angebot spart er '''60%|60,0%()''', beim 2. Angebot '''56%|56,3%()''', also kann er bei Angebot '''1()''' prozentual mehr sparen. (Runde auf 1 Stelle nach dem Komma.)<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Football-157930 1280.png|mini|<small><small><small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay </small></small></small>|center|132x132px]]<br />
===7.2) Freizeit in Stadtlohn===<br />
====Freizeit in Stadtlohn: Fußball====<br />
<br />
[[Datei:Freizeit in Stadtlohn Fußball 2.png]]<br />
[[Datei:Freizeit in Stadtlohn Fußball 1.png]]<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
In der Saison 16/17 hat eine Mannschaft des Vereins SuS Stadtlohn ca. 18% er Spiele gewonnen.<br />
Wie viele Spiele sind das?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''= 22 ; '''p%'''= 18% = 0,18<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Die Mannschaft hat '''4()''' Spiele gewonnen.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Wie viel Prozent der Spiele hat die Mannschaft des Vereins SuS Stadtlohn in den Saisons 12/13 und 16/17 jeweils gewonnen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''= 22 ; '''W'''= 18<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Die Mannschaft hat in der Saison 12/13 '''82%()''' und in der Saison 16/17'''18%()''' der Spiele gewonnen.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Als Sportler ist es besonders wichtig, sich ausgewogen und gesund zu ernähren.<br />
<br />
Fußballer Sebastian weiß, dass er täglich 65g Eiweiß, 85g Fette und 320g Kohlenhydrate benötigt. Wie viel Prozent des Tagesbedarfes jedes einzelnen Elements werden mit einer Müsli-Portion gedeckt? <br />
[[Datei:Freizeit in Stadtlohn Fußball 3.png|200x200px]]<br />
<br />
<small>geg: Eiweiß: '''G'''= 65 g ; '''W'''= 8,2 g; Fette: ...<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Er hat mit einer Portion Müsli '''12,6%()''' des Tagesbedarfs an Eiweiß, '''7,5%()''' des Tagesbedarfes an Fetten und '''10,4%()''' des Tagesbedarfs an Kohlenhydraten gedeckt. (Runde auf 1 Stelle nach dem Komma.)<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Runner-309053 1280.png|mini|<small><small>Bild von Clker-Free-Vector-Images auf Pixabay </small></small>|center]]<br />
<br />
====Freizeit in Stadtlohn: Silvesterlauf====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Jedes Jahr findet am Vormittag des 31. Dezembers der Silvesterlauf in Stadtlohn statt. 2018 ist bereits der 35. Lauf in Folge.<br />
<br />
Ein Sportler wiegt 68kg. Beim Silvesterlauf verliert er 3% seines Gewichts. <br />
<br />
Wie viel kg hat er verloren?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''= 68kg; '''p%'''= 3% = 0,03<br />
<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Der Sportler hat ungefähr '''2()''' kg an Gewicht verloren.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Jedes Jahr findet am Vormittag des 31. Dezembers der Silvesterlauf in Stadtlohn statt. 2018 ist bereits der 35. Lauf in Folge.<br />
<br />
2018 nahmen 630 Läufer/innen am Silvesterlauf teil. Von diesen Sportler/innen haben bereits 30% eine Zusage für den Lauf im kommenden Jahr gemacht. Wie viele sind das?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''= 630; '''p%'''= 30%<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Eine Zusage für den Lauf im nächsten Jahr haben '''189()''' Läufer gemacht.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Jedes Jahr findet am Vormittag des 31. Dezembers der Silvesterlauf in Stadtlohn statt. 2018 ist bereits der 35. Lauf in Folge.<br />
<br />
<br />
48 von 99 Männern liefen die 15000m Strecke in einer Zeit von unter einer Stunde und zehn Minuten. In der gleichen Zeit schafften es 6 von 26 Frauen ins Ziel. Wie viel Prozent der Männer und wie viel Prozent der Frauen liefen in der oben angegebenen Zeit? <br />
<br />
<small>geg: Männer '''W'''= 48; '''G'''= 99;<br />
Frauen: '''W'''= 6; '''G'''=26<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Von den Männern haben '''48,5%()''' die Strecke unter 70 Minuten geschafft, von den Frauen '''23,1%()'''. (Runde auf 1 Stelle nach dem Komma.)<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Swimming-pool-149632 1280.png|mini|<small><small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay</small></small>|center|150x150px ]]<br />
====Freizeit in Stadtlohn: Hallen- und Freibad in Stadtlohn====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Schwimmerbecken im Freibad hat 8 Bahnen. 37,5% dieser Bahnen sind durch das Training einer Schwimm-Mannschaft belegt. <br />
<br />
Wie viele Bahnen sind das?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=8 Bahnen; '''p%'''=37,5%<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Es sind '''3()''' Bahnen durch die Schwimm-Mannschaft belegt.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Schwimmbecken besteht aus einem Schwimmer- und einem Nichtschwimmer-Bereich. Die Wasseroberfläche des Nichtschwimmer-Bereichs beträgt 187m². Das sind 17% der Gesamtwasseroberfläche. <br />
<br />
Wie groß ist die Fläche des gesamten Schwimmbeckens? <br />
<br />
<small>geg: '''W'''= 187 m²;'''p%'''= 17%<br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Es sind '''1100()'''m² Wasseroberfläche insgesamt.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das untenstehende Säulendiagramm zeigt ein Beispiel für die täglichen Besucherzahlen im Hallenbad innerhalb von einer Woche. <br />
<br />
[[Datei:Hallen und Freibad Aufgabe 3 .png|mini|alternativtext=|links|300x300px]]<br />
<br />
Wie viel Prozent der Badegäste besuchten am Wochenende das Bad? <br />
<br />
<small>geg: G='''1176()''';<br />
W='''457()'''<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Am Wochenende besuchten rund '''39%|38,9()''' der Besucher das Hallenbad.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:HLR-Schulname mit Logo.jpg|mini|center]]<br />
===7.3) Herta-Lebenstein-Realschule Stadtlohn===<br />
====Herta-Lebenstein-Realschule: Kurseinteilung 8er====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Kreisdiagramm gibt die prozentuale Aufteilung der Schüler/innen der 8. Klassen auf die unterschiedlichen Kurse an. <br />
[[Datei:Kurseinteilung Anwendungsaufgabe 1.1.png|mini]]<br />
Fülle die dazugehörigen Felder aus:<br />
<br />
FR p% ='''13%()'''<br />
<br />
NL p%='''20%()'''<br />
<br />
Bio p%='''18%()'''<br />
<br />
SW p%='''30%()'''<br />
<br />
TC p%='''19%()'''<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Stellt die prozentuale Verteilung der Anzahl der Schüler/innen auf die verschiedenen Kurse in einem Kreisdiagramm dar. <br />
[[Datei:Kurseinteilung Anwendungsaufgabe 1.2.png|mini]]<br />
<small>a) Berechnet zuerst für jeden prozentualen Anteil den entsprechenden Mittelpunktswinkel mithilfe des Dreisatzes. Bedenke: 100% entsprechen 360° .Runde auf Einer, wenn nötig.<br />
<br />
FR '''47()'''°<br />
<br />
NL ''72()'''°<br />
<br />
Bio '''65()'''°<br />
<br />
SW '''108()'''°<br />
<br />
TC '''68()'''°<br />
<br />
b) Zeichnet nun das Kreisdiagramm mithilfe der in a) berechneten Winkel. <br />
Du kannst dein Diagramm mithilfe des Diagramms in Aufgabe 1(*) prüfen. </small><br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"></div><br />
</div><br />
<br />
====Herta-Lebenstein-Realschule: Anzahl der Schüler/innen an den weiterführenden Schulen im Schuljahr 2018/2019 in %====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Anzahl der Schüler an den weiterführenden Schulen Stadtlohn Aufgabe 2.1.png|mini|center]]<br />
<br />
Fülle die dazugehörigen Felder aus:<br />
<br />
LBS p%='''25%()'''<br />
<br />
HLR p%='''25%()'''<br />
<br />
St.Anna p%='''15%()'''<br />
<br />
GSG p%='''35%()'''<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Stellt die prozentuale Verteilung der Anzahl der Schüler/innen auf die verschiedenen Schulen in einem Kreisdiagramm dar. <br />
[[Datei:Anzahl der Schüler an den weiterführenden Schulen Stadtlohn Aufgabe 2.2.png|mini|center]]<br />
<small>a) Berechnet zuerst für jeden prozentualen Anteil den entsprechenden Mittelpunktswinkel mithilfe des Dreisatzes. Bedenke: 100% entsprechen 360° .Runde auf Einer, wenn nötig.<br />
<br />
LBS '''90()'''°<br />
<br />
HLR '''90()'''°<br />
<br />
St.Anna '''54()'''°<br />
<br />
GSG '''126()'''°<br />
<br />
b) Zeichnet nun das Kreisdiagramm mithilfe der in a) berechneten Winkel. <br />
Du kannst dein Diagramm mithilfe des Diagramms in Aufgabe 2(*) prüfen. </small><br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"></div><br />
</div><br />
<br />
====Herta-Lebenstein-Realschule: Anzahl der Schüler/innen an den weiterführenden Schulen im Schuljahr 2018/2019 in %====<br />
<br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Schülerzahlen der HLR Schuljahr 2018 2019 in %.png|mini|center]]<br />
<br />
Fülle die dazugehörigen Felder aus:<br />
<br />
5er p%='''16%()''' <math>\hat{=}</math>'''58()'''°<br />
<br />
6er p%='''13%()''' <math>\hat{=}</math>'''47()'''°<br />
<br />
7er p%='''14%()''' <math>\hat{=}</math>'''50()'''°<br />
<br />
8er p%='''17%()''' <math>\hat{=}</math>'''61()'''°<br />
<br />
9er p% = 18% <math>\hat{=}</math>'''65()'''°<br />
<br />
10er p%='''22%()''' <math>\hat{=}</math>'''79()'''°<br />
Stellt die prozentuale Verteilung der Anzahl der Schüler/innen auf die verschiedenen Schulen in einem Kreisdiagramm dar. Du kannst dein Diagramm mithilfe des gegebenen Diagramms prüfen.<br />
</div><br />
<br />
<br />
===7.4) Stadtlohn in Zahlen===<br />
<br />
[[Datei:Asphalt-157687 1280.png|mini|<small><small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixaba</small></small>|center]]<br />
====Stadtlohn in Zahlen: Straßennetz in Stadtlohn====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das gesamte Straßennetz in Stadtlohn beträgt insgesamt 270km. <br />
Davon sind 11% Kreisstraßen und 13,5km Landstraßen.<br />
<br />
a) Wie lang sind die Kreisstraßen?<br />
<small> geg: '''G'''=270km; '''p%'''=11%<br />
ges: '''W'''<br />
Rechnung:...<br />
Die Kreisstraßen sind '''29,7()'''km lang.</small><br />
<br />
b) Wie viel Prozent des gesamten Straßennetzes sind Landstraßen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=270km ; '''W'''=13,5km<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Es sind insgesamt '''5%()''' des Straßennetzes Landstraßen.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
In Stadtlohn gibt es viele unterschiedliche Straßen. Die Stadtstraßen betragen 83,7km. Das sind 31% des gesamten Straßennetzes in Stadtlohn. <br />
<br />
Wie lang ist das gesamte Straßennetz?<br />
<br />
<small>geg: '''W'''=83,7km ; '''p%'''=31%<br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Das gesamte Straßennetz ist '''270()'''km lang.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
[[Datei:Stadtlohn in Zahlen Straßennetz in Stadtlohn 1.3.png|mini]]<br />
<br />
a) Erläutere, was in der Tabellen dargestellt wird.<br />
b) Berechne die fehlenden Werte: Länge in km bzw. Länge in %.<br />
<br />
Rechnung: ....<br />
<br />
Antwort: Vergleiche deine Werte mit den Angaben aus Aufgabe 1(*) und (**).<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
[[Datei:Agriculture-147828 1280.png|mini|<small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay</small>|center]]<br />
<br />
====Stadtlohn in Zahlen: Flächennutzung in Stadtlohn====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Insgesamt besitzt die Stadt Stadtlohn 7900 ha Fläche. <br />
<br />
Davon sind: 61 % Landwirtschaftsfläche und 316 ha Verkehrsfläche<br />
<br />
a) Wie groß ist die Landwirtschaftsfläche?<br />
<br />
<small> geg: '''G'''=7900ha; '''p%'''=61%<br />
ges: '''W'''<br />
Rechnung:...<br />
Die Landwirtschaftsfläche ist '''4819()'''ha groß.</small><br />
<br />
b) Wie viel Prozent der gesamten Fläche sind Verkehrsflächen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=7900ha ; '''W'''=316ha<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Es sind insgesamt '''4%()''' der gesamten Flächen sind Verkehrsflächen.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Flächennutzung in Stadtlohn Tabelle 2.2.png|mini|center]]<br />
a) Erläutert, was in der Tabelle dargestellt wird. <br />
<br />
b) Berechnet die fehlenden Werte: Fläche in ha bzw. Fläche in %.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Landwirtschaft:'''4819()'''ha <math>\hat{=}</math> 61% <br />
<br />
Wald: 1659 ha <math>\hat{=}</math> '''21%()'''<br />
<br />
Wasser:158 ha <math>\hat{=}</math> '''2%()'''<br />
<br />
Gebäude,-...:'''948()'''ha <math>\hat{=}</math> 12%<br />
<br />
Verkehr:'''316()'''ha <math>\hat{=}</math> 4%<br />
<br />
INSGESAMT:7900 <math>\hat{=}</math> 100%<br />
</div><br />
c) Betrachtet nur die Landwirtschafts- und Waldflächen. <br />
<br />
· Wie viel ha betragen diese beiden Flächen zusammen? '''6478()'''ha <br />
<br />
· Wie viel Prozent dieser Fläche entfällt davon auf die Landwirtschaftsfläche?<br />
<small>geg: '''G'''6478ha; '''W'''=4816ha<br />
ges:'''p%'''<br />
Rechnung:... (Runde auf Einer)</small><br />
Die Landwirtschaftsfläche beträgt ca.'''74()'''% der Wald- und Landwirtschaftsfläche.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />[[Datei:Community-150124 1280.png|mini|<small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay</small>|center]]<br />
====Stadtlohn in Zahlen: Einwohner in Stadtlohn====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
[[Datei:Einwohner in Stadtlohn 3.1.png|mini|center]]<br />
<br />
Der Kreis Borken setzt sich aus mehreren Städten wie Ahaus, Gescher, Velen, … zusammen.<br />
<br />
Stadtlohn ist ebenfalls eine Stadt im Kreis Borken. Bei der Berechnung der Einwohner des Kreis Borkens werden also die Einwohner aller Städte zusammengezählt. <br />
<br />
Wie viel Prozent aller Einwohner des Kreis Borkens lebten 2015 in der Stadt Stadtlohn?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=369666; '''W'''=20844<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung:...(Runde auf eine Nachkommastelle.)</small><br />
<br />
Es lebten im Jahr 2015 '''5,6%''' aller Einwohner des Kreises Borken in der Stadt Stadtlohn.<br />
</div> <br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Einwohner in Stadtlohn 3.2.png|mini|center]]<br />
Der Kreis Borken setzt sich aus mehreren Städten wie Ahaus, Gescher, Velen, … zusammen.<br />
Stadtlohn ist ebenfalls eine Stadt im Kreis Borken. Bei der Berechnung der Einwohner des Kreis Borkens werden also die Einwohner aller Städte zusammengezählt. <br />
<br />
a) Wie viel Prozent aller Einwohner des Kreis Borkens lebten 2014 in der Stadt Stadtlohn?<br />
<small>geg: '''G'''=365191; '''W'''=20545<br />
<br />
ges:'''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ... (Runde auf eine Nachkommastelle.)</small><br />
</div><br />
<br />
b) 2001 betrug die Einwohnerzahl Stadtlohns 5,6% der Einwohnerzahl des Kreis Borkens. Wie viele Einwohner gab es im Jahr 2001 in der Stadt Stadtlohn? <br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<small>geg:'''G'''=362834; '''p%'''=5,6%<br />
<br />
ges:'''W'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Im Jahr 2001 gab es ca. '''20319()'''Einwohner in der Stadt Stadtlohn.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3(***)<br />
[[Datei:Einwohner in Stadtlohn 3.3.png|mini|center]]<br />
a) Erläutert, was in der Tabelle dargestellt wird. Beachtet dabei die Zeilen und Spalten. <br />
<br />
b) 2001 betrug die Einwohnerzahl Stadtlohns 5,6% der Einwohnerzahl des Kreis Borkens. Wie viele Einwohner gab es im Jahr 2001 in der Stadt Stadtlohn? Runde sinnvoll. <br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<small>geg:'''G'''=362834; '''p%'''=5,6%<br />
<br />
ges:'''W'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Im Jahr 2001 gab es ca. '''20319()'''Einwohner in der Stadt Stadtlohn.<br />
</div><br />
c) 1950 lebten 4,7% der Einwohner des Kreises in der Stadt Stadtlohn. Wie viele Einwohner lebten im gesamten Kreis? Runde sinnvoll. <br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<small>geg:'''W'''=10466; '''p%'''=4,7%<br />
<br />
ges:'''G'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Im Jahr 1950 lebten im gesamten Kreis Borken '''222681()'''Menschen.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Datei:Ballot-32201 1280.png|mini|<small>Bild von Clker-Free-Vector-Images auf Pixabay</small>|center |246x246px]]<br />
<br />
===7.5) Politik in Stadtlohn===<br />
<br />
<br />
====Politik in Stadtlohn: Kommunalwahlen 2020 in Stadtlohn====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Bei der Kommunalwahl 2014 haben in Stadtlohn 10520 Menschen ihre Stimme abgegeben. <br />
<br />
Davon sind 34,41% an die CDU gegangen und 3394 Stimmen an die UWG gegangen<br />
<br />
a) Wie viele Stimmen hat die CDU bekommen? <br />
<br />
<small> geg: '''G'''=10520 Stimmen; '''p%'''=34,41%<br />
ges: '''W'''<br />
Rechnung:...<br />
Die CDU bekam '''3620()'''Stimmen.</small><br />
<br />
b) Wie viel Prozent der Stimmen gingen an die UWG?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=10520 ; '''W'''=3394<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Die UWG erhielt '''32,26%()''' der Stimmen [auf zwei Nachkommastellen gerundet].<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Bei der Kommunalwahl 2020 hat die FDP 1449 Stimmen bekommen. Das waren 13,77% der gesamten Stimmen. <br />
<br />
Wie viele Stimmen wurden insgesamt abgegeben?<br />
<br />
<small>geg: '''W'''=1449 Stimmen ; '''p%'''=13,77%<br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Insgesamt wurden '''10522()'''Stimmen abgegeben.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (***)<br />
<br />
<br />
Erstelle selbst eine Aufgabe zum Ergebnis der Kommunalwahlen. Link zu den Ergebnissen: https://www.stadtlohn.de/portal/seiten/informationsseite-wahlen-in-stadtlohn-900000045-28240.html<br />
<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
====Politik in Stadtlohn: Bundestagswahl 2017 in Stadtlohn====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Bei der Bundestagswahl 2020 haben in Stadtlohn nicht alle Wahlberechtigten gewählt. <br />
<br />
Die Wahlbeteiligung in Stadtlohn lag bei 80,46%. Es wurden 12296 gültige Stimmen abgegeben.<br />
<br />
Berechnet die Anzahl der Wahlberechtigten insgesamt.<br />
<br />
<small> geg: '''W'''=12296 Stimmen; '''p%'''=80,46%<br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Die Anzahl der Wahlberechtigten insgesamt betrug '''15282()'''.<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (**) NOCH ANPASSEN!!<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
[[Datei:Kommunalwahlen Stadtlohn 2014 Aufgabe 2.2PNG.png|mini|center]]<br />
Berechnet die fehlenden Werte: Anzahl der Stimmen bzw. Stimmanteil jeder Partei in %.<br />
<br />
CDU'''6642()'''Stimmen <math>\hat{=}</math> 54%. <br />
<br />
SPD 2952 Stimmen <math>\hat{=}</math> '''24%()'''.<br />
<br />
Bündnis 90/ Die Grünen '''738()'''Stimmen <math>\hat{=}</math> 6%.<br />
<br />
Die Linke'''492()'''Stimmen<math>\hat{=}</math> 12%.<br />
<br />
FDP 1230 Stimmen <math>\hat{=}</math> '''10%()'''.<br />
<br />
Freie Wähler 246 Stimmen <math>\hat{=}</math> '''2%()'''.<br />
<br />
INSGESAMT:12300 <math>\hat{=}</math> 100%<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Bei der Bundestagswahl 2020 wurden in Stadtlohn insgesamt 12202 gültige Stimmen abgegeben. Die Partei GRÜNE erhielt 627 davon. <br />
<br />
a) Wie viel Prozent der gesamten Stimmen hat die Partei GRÜNE erhalten?<br />
<small>geg: '''G'''=12202 Stimmen; '''W'''=627 Stimmen<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
Die Freien Wähler erhielten '''5,14%()''' der Stimmen [Runde auf 2 Nachkommastellen].<br />
<br />
b) Habt ihr schon einmal von der 5%-Hürde gehört? Nur die Parteien, die mehr als 5% der abgegebenen Stimmen erhalten haben, kommen in das Parlament. Wie viele Stimmen hat die Partei GRÜNE mehr erhalten, als sie für die sie 5%-Hürde hätte erhalten müssen?<br />
<small>geg: '''G''' = 12202 Stimmen; '''p%'''=5%<br />
<br />
ges:'''W'''<br />
Rechnung: ...</small><br />
Die Partei GRÜNE hat 697 Stimmen erhalten. Das sind '''87()''' Stimmen mehr, als sie für die 5%-Hürde hätte erhalten müssen.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
====Politik in Stadtlohn: Bürgermeisterwahlen====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Bei der Bürgermeisterwahl im Jahr 2020 gaben 10497 Stadtlohner/innen ihre (gültige) Stimme ab.<br />
<br />
Wie viele Stimmen erhielten die beiden Kandidaten Herr Wewers und Herr Dittmann? <br />
<br />
<small>geg: '''G'''=10776 Stimmen; '''p%'''=49,185%; '''p%'''=51,815%<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Herr Wewers erhielt'''5058()''' Stimmen, Herr Dittmann'''5439()'''.<br />
<br />
</div> <br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Der Bürgermeister der Stadt Stadtlohn wurde 2020 gewählt.<br />
<br />
Immer wieder lassen sich bei der Auswertung ungültige Stimmen entdecken, die nicht gewertet werden können. Eine Stimme ist z.B. ungültig, wenn man mehr Felder ankreuzt, als man darf. <br />
<br />
Insgesamt gab es 279 ungültige Stimmen und 10497 gültige Stimmen insgesamt<br />
<br />
Zudem gehen leider nicht alle Einwohner, die wahlberechtigt sind und damit wählen gehen dürfen, auch wirklich wählen. Bei dieser Wahl lag die Wahlbeteiligung lediglich bei ca. 64,91%. <br />
<br />
Wie viele Wahlberechtigte gab es insgesamt? <br />
<br />
<small>geg: W = '''10776()''';p% = '''64,91%()'''<br />
ges:'''G()'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Es gab insgesamt '''16601()'''Wahlberechtigte.<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3(***)<br />
Erstelle selbst eine Aufgabe zum Ergebnis der Bürgermeisterwahl in Stadtlohn 2020. Link zu den Ergebnissen: https://www.stadtlohn.de/portal/seiten/informationsseite-wahlen-in-stadtlohn-900000045-28240.html<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=8) Checkliste|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/Checkliste|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung}}<br />
<br />
<br /></div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad_Prozentrechnung/7)_Prozente_rund_um_Stadtlohn_(vermischte_%C3%9Cbungen)&diff=93264Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)2024-03-25T12:41:50Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/1) Absoluter und relativer Vergleich|1) Absoluter und relativer Vergleich]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/2) Prozentschreibweise|2) Prozentschreibweise]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/3) Grundbegriffe der Prozentrechnung|3) Grundbegriffe der Prozentrechnung]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/4) Prozentsatz p% berechnen|4) Prozentsatz p% berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/5) Prozentwert W berechnen|5) Prozentwert W berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/6) Grundwert G berechnen|6) Grundwert G berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)|7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/Checkliste|8) Checkliste]]}}<br />
==7) Prozente rund um Stadtlohn (Vermischte Übungen)==<br />
<br />
<br />
Diese Aufgabensammlung wurde von Frau Urban erstellt.<br />
<br />
Sie umfasst fünf Themengebiete, die jeweils in drei Unterthemen aufgeteilt sind.<br />
Wähle aus jedem Unterthema mindestens eine Aufgabe aus. (*) leicht ,(**) mittel oder (***) schwer.<br />
Insgesamt sammle mindestens 25 Sternchen "*".<br />
<br />
Schreibe dazu die Lösung der Aufgaben ausführlich in dein Heft.<br />
<br />
(geg:...; ges:... usw. )<br />
<br />
Kontrolliere deine Rechnung durch Eingabe deiner Ergebnisse. Hake dann mit einem andersfarbigen Stift deine Lösung ab.<br />
<br />
===7.1) Einkaufen in Stadtlohn===<br />
<br />
[[Datei:PS4-Console-wDS4.png|mini|alternativtext=|zentriert|306x306px]]<br />
====Einkaufen in Stadtlohn: Multimedia====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Videospiel kostet im Laden 60€. Durch eine Rabattaktion wird das Spiel um 19% reduziert.<br />
<br />
Patrick freut sich darüber sehr!<br />
<br />
Wie viel Euro kann er einsparen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=60€;'''p%'''= 19% = 0,19<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Patrick kann durch die Rabattaktion '''11,40()'''Euro sparen. <br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein PC-Spiel kostet 45€. Nur heute gibt es das Angebot, bei dem man beim Kauf dieses Spiels 9,90€ einsparen kann.<br />
<br />
Um wie viel Prozent wurde der Preis reduziert? <br />
<br />
<small>geg: '''G'''=45€;'''W'''= 9,90 €<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Der Preis des Spiels wurde um '''22%()'''reduziert.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1(***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Beim Kauf einer CD spart Luisa 2,10€. Das sind 14% des ursprünglichen Preises. <br />
<br />
Wie teuer war die CD ursprünglich? <br />
<br />
<small>geg: '''W'''=2,10€;'''p%'''= 14% <br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Die CD kostete ursprünglich '''15()'''€.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Racing-bicycle-161449 1280.png|mini|<small><small><small><small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay </small></small></small></small>|alternativtext=|center|158x158px]]<br />
====Einkaufen in Stadtlohn: Fahrzeuge====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
<br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Skateboard kostet 75€. Im Schlussverkauf wird es um 32% reduziert. <br />
<br />
Wie viel € hat man gespart? <br />
<br />
<small>geg: '''G'''=75€; '''p%'''= 32% = 0,32<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Man hat '''24()'''Euro gespart.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
<br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Fahrrad kostet 375€. Bei einer Rabattaktion spart Jakob 45€. <br />
<br />
Wie viel Prozent konnte Jakob vom ursprünglichen Preis einsparen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=375€; '''W'''= 45 €<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Jakob konnte '''12%()'''einsparen.<br />
</div></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
<br />
Aufgabe 2(***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Händler kann den Preis eines gebrauchten Elektro-Rollers um maximal 14% reduzieren. Das sind 175€.<br />
<br />
Wie teuer war der Roller ursprünglich? <br />
<br />
<small>geg: '''W'''=175€; '''p%'''= 14% <br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Der Elektro-Roller kostete ursprünglich '''1250()'''€.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Blue-295177 1280.png|mini|<small><small><small><small>Bild von Clker-Free-Vector-Images auf Pixabay</small></small></small></small>|alternativtext=|center|141x141px]]<br />
====Einkaufen in Stadtlohn: Mode====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Modehaus in Stadtlohn baut um und bietet daher einen Räumungs-Verkauf an, bei dem es viele Schnäppchen gibt.<br />
<br />
Sophie freut sich über den Räumungs-Verkauf, denn auf die Outdoorjacke für 129,99 , die sie sich ausgesucht hat, erhält sie an der Kasse 40%. <br />
<br />
<small>a) Wie viel € hat sie gespart?<br />
<br />
b) Wie viel € zahlt sie nun für die Jacke? <br />
<br />
<br />
geg: '''G'''=129,99€; '''p%'''= 40% = 0,4<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: a) Man hat '''52()'''Euro gespart.<br />
b) Sie zahlt nun '''77,99()'''Euro.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Modehaus in Stadtlohn baut um und bietet daher einen Räumungs-Verkauf an, bei dem es viele Schnäppchen gibt.<br />
Jenny findet einen Pullover, der 59,99€ kosten sollte und nun um 20€ reduziert wurde. Sie fragt sich, um wie viel Prozent der Pullover reduziert wurde. <br />
<br />
<small>geg: '''G'''=59,99€; '''W'''= 20 €<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Jakob konnte '''33,3%()'''einsparen. <br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3(***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Modehaus in Stadtlohn baut um und bietet daher einen Räumungs-Verkauf an, bei dem es viele Schnäppchen gibt.<br />
<br />
Mark findet zwei Jeans mit unterschiedlichem Angebot. <br />
<br />
<small>1. Angebot: Eine Jeans, die 99,99€ kostet, wird um 60€ reduziert.<br />
2. Angebot: Eine Jeans, die 79,99€ kostet, wird um 45€ reduziert.<br />
<br />
Nun überlegt er, bei welcher Jeans er prozentual mehr einsparen könnte.<br />
<br />
geg: Angebot 1:'''G'''= 99,99€; '''W'''= 60€ ;<br />
<br />
Angebot 2: '''G'''= 79,99€; '''W'''= 45€<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Beim 1. Angebot spart er '''60%|60,0%()''', beim 2. Angebot '''56%|56,3%()''', also kann er bei Angebot '''1()''' prozentual mehr sparen. (Runde auf 1 Stelle nach dem Komma.)<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Football-157930 1280.png|mini|<small><small><small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay </small></small></small>|center|132x132px]]<br />
===7.2) Freizeit in Stadtlohn===<br />
====Freizeit in Stadtlohn: Fußball====<br />
<br />
[[Datei:Freizeit in Stadtlohn Fußball 2.png]]<br />
[[Datei:Freizeit in Stadtlohn Fußball 1.png]]<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
In der Saison 16/17 hat eine Mannschaft des Vereins SuS Stadtlohn ca. 18% er Spiele gewonnen.<br />
Wie viele Spiele sind das?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''= 22 ; '''p%'''= 18% = 0,18<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Die Mannschaft hat '''4()''' Spiele gewonnen.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Wie viel Prozent der Spiele hat die Mannschaft des Vereins SuS Stadtlohn in den Saisons 12/13 und 16/17 jeweils gewonnen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''= 22 ; '''W'''= 18<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Die Mannschaft hat in der Saison 12/13 '''82%()''' und in der Saison 16/17'''18%()''' der Spiele gewonnen.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Als Sportler ist es besonders wichtig, sich ausgewogen und gesund zu ernähren.<br />
<br />
Fußballer Sebastian weiß, dass er täglich 65g Eiweiß, 85g Fette und 320g Kohlenhydrate benötigt. Wie viel Prozent des Tagesbedarfes jedes einzelnen Elements werden mit einer Müsli-Portion gedeckt? <br />
[[Datei:Freizeit in Stadtlohn Fußball 3.png|200x200px]]<br />
<br />
<small>geg: Eiweiß: '''G'''= 65 g ; '''W'''= 8,2 g; Fette: ...<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Er hat mit einer Portion Müsli '''12,6%()''' des Tagesbedarfs an Eiweiß, '''7,5%()''' des Tagesbedarfes an Fetten und '''10,4%()''' des Tagesbedarfs an Kohlenhydraten gedeckt. (Runde auf 1 Stelle nach dem Komma.)<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Runner-309053 1280.png|mini|<small><small>Bild von Clker-Free-Vector-Images auf Pixabay </small></small>|center]]<br />
<br />
====Freizeit in Stadtlohn: Silvesterlauf====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Jedes Jahr findet am Vormittag des 31. Dezembers der Silvesterlauf in Stadtlohn statt. 2018 ist bereits der 35. Lauf in Folge.<br />
<br />
Ein Sportler wiegt 68kg. Beim Silvesterlauf verliert er 3% seines Gewichts. <br />
<br />
Wie viel kg hat er verloren?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''= 68kg; '''p%'''= 3% = 0,03<br />
<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Der Sportler hat ungefähr '''2()''' kg an Gewicht verloren.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Jedes Jahr findet am Vormittag des 31. Dezembers der Silvesterlauf in Stadtlohn statt. 2018 ist bereits der 35. Lauf in Folge.<br />
<br />
2018 nahmen 630 Läufer/innen am Silvesterlauf teil. Von diesen Sportler/innen haben bereits 30% eine Zusage für den Lauf im kommenden Jahr gemacht. Wie viele sind das?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''= 630; '''p%'''= 30%<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Eine Zusage für den Lauf im nächsten Jahr haben '''189()''' Läufer gemacht.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Jedes Jahr findet am Vormittag des 31. Dezembers der Silvesterlauf in Stadtlohn statt. 2018 ist bereits der 35. Lauf in Folge.<br />
<br />
<br />
48 von 99 Männern liefen die 15000m Strecke in einer Zeit von unter einer Stunde und zehn Minuten. In der gleichen Zeit schafften es 6 von 26 Frauen ins Ziel. Wie viel Prozent der Männer und wie viel Prozent der Frauen liefen in der oben angegebenen Zeit? <br />
<br />
<small>geg: Männer '''W'''= 48; '''G'''= 99;<br />
Frauen: '''W'''= 6; '''G'''=26<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Von den Männern haben '''48,5%()''' die Strecke unter 70 Minuten geschafft, von den Frauen '''23,1%()'''. (Runde auf 1 Stelle nach dem Komma.)<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Swimming-pool-149632 1280.png|mini|<small><small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay</small></small>|center|150x150px ]]<br />
====Freizeit in Stadtlohn: Hallen- und Freibad in Stadtlohn====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Schwimmerbecken im Freibad hat 8 Bahnen. 37,5% dieser Bahnen sind durch das Training einer Schwimm-Mannschaft belegt. <br />
<br />
Wie viele Bahnen sind das?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=8 Bahnen; '''p%'''=37,5%<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Es sind '''3()''' Bahnen durch die Schwimm-Mannschaft belegt.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Schwimmbecken besteht aus einem Schwimmer- und einem Nichtschwimmer-Bereich. Die Wasseroberfläche des Nichtschwimmer-Bereichs beträgt 187m². Das sind 17% der Gesamtwasseroberfläche. <br />
<br />
Wie groß ist die Fläche des gesamten Schwimmbeckens? <br />
<br />
<small>geg: '''W'''= 187 m²;'''p%'''= 17%<br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Es sind '''1100()'''m² Wasseroberfläche insgesamt.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das untenstehende Säulendiagramm zeigt ein Beispiel für die täglichen Besucherzahlen im Hallenbad innerhalb von einer Woche. <br />
<br />
[[Datei:Hallen und Freibad Aufgabe 3 .png|mini|alternativtext=|links|300x300px]]<br />
<br />
Wie viel Prozent der Badegäste besuchten am Wochenende das Bad? <br />
<br />
<small>geg: G='''1176()''';<br />
W='''457()'''<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Am Wochenende besuchten rund '''39%|38,9()''' der Besucher das Hallenbad.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:HLR-Schulname mit Logo.jpg|mini|center]]<br />
===7.3) Herta-Lebenstein-Realschule Stadtlohn===<br />
====Herta-Lebenstein-Realschule: Kurseinteilung 8er====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Kreisdiagramm gibt die prozentuale Aufteilung der Schüler/innen der 8. Klassen auf die unterschiedlichen Kurse an. <br />
[[Datei:Kurseinteilung Anwendungsaufgabe 1.1.png|mini]]<br />
Fülle die dazugehörigen Felder aus:<br />
<br />
FR p% ='''13%()'''<br />
<br />
NL p%='''20%()'''<br />
<br />
Bio p%='''18%()'''<br />
<br />
SW p%='''30%()'''<br />
<br />
TC p%='''19%()'''<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Stellt die prozentuale Verteilung der Anzahl der Schüler/innen auf die verschiedenen Kurse in einem Kreisdiagramm dar. <br />
[[Datei:Kurseinteilung Anwendungsaufgabe 1.2.png|mini]]<br />
<small>a) Berechnet zuerst für jeden prozentualen Anteil den entsprechenden Mittelpunktswinkel mithilfe des Dreisatzes. Bedenke: 100% entsprechen 360° .Runde auf Einer, wenn nötig.<br />
<br />
FR '''47()'''°<br />
<br />
NL ''72()'''°<br />
<br />
Bio '''65()'''°<br />
<br />
SW '''108()'''°<br />
<br />
TC '''68()'''°<br />
<br />
b) Zeichnet nun das Kreisdiagramm mithilfe der in a) berechneten Winkel. <br />
Du kannst dein Diagramm mithilfe des Diagramms in Aufgabe 1(*) prüfen. </small><br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"></div><br />
</div><br />
<br />
====Herta-Lebenstein-Realschule: Anzahl der Schüler/innen an den weiterführenden Schulen im Schuljahr 2018/2019 in %====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Anzahl der Schüler an den weiterführenden Schulen Stadtlohn Aufgabe 2.1.png|mini|center]]<br />
<br />
Fülle die dazugehörigen Felder aus:<br />
<br />
LBS p%='''25%()'''<br />
<br />
HLR p%='''25%()'''<br />
<br />
St.Anna p%='''15%()'''<br />
<br />
GSG p%='''35%()'''<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Stellt die prozentuale Verteilung der Anzahl der Schüler/innen auf die verschiedenen Schulen in einem Kreisdiagramm dar. <br />
[[Datei:Anzahl der Schüler an den weiterführenden Schulen Stadtlohn Aufgabe 2.2.png|mini|center]]<br />
<small>a) Berechnet zuerst für jeden prozentualen Anteil den entsprechenden Mittelpunktswinkel mithilfe des Dreisatzes. Bedenke: 100% entsprechen 360° .Runde auf Einer, wenn nötig.<br />
<br />
LBS '''90()'''°<br />
<br />
HLR '''90()'''°<br />
<br />
St.Anna '''54()'''°<br />
<br />
GSG '''126()'''°<br />
<br />
b) Zeichnet nun das Kreisdiagramm mithilfe der in a) berechneten Winkel. <br />
Du kannst dein Diagramm mithilfe des Diagramms in Aufgabe 2(*) prüfen. </small><br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"></div><br />
</div><br />
<br />
====Herta-Lebenstein-Realschule: Anzahl der Schüler/innen an den weiterführenden Schulen im Schuljahr 2018/2019 in %====<br />
<br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Schülerzahlen der HLR Schuljahr 2018 2019 in %.png|mini|center]]<br />
<br />
Fülle die dazugehörigen Felder aus:<br />
<br />
5er p%='''16%()''' <math>\hat{=}</math>'''58()'''°<br />
<br />
6er p%='''13%()''' <math>\hat{=}</math>'''47()'''°<br />
<br />
7er p%='''14%()''' <math>\hat{=}</math>'''50()'''°<br />
<br />
8er p%='''17%()''' <math>\hat{=}</math>'''61()'''°<br />
<br />
9er p% = 18% <math>\hat{=}</math>'''65()'''°<br />
<br />
10er p%='''22%()''' <math>\hat{=}</math>'''79()'''°<br />
Stellt die prozentuale Verteilung der Anzahl der Schüler/innen auf die verschiedenen Schulen in einem Kreisdiagramm dar. Du kannst dein Diagramm mithilfe des gegebenen Diagramms prüfen.<br />
</div><br />
<br />
<br />
===7.4) Stadtlohn in Zahlen===<br />
<br />
[[Datei:Asphalt-157687 1280.png|mini|<small><small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixaba</small></small>|center]]<br />
====Stadtlohn in Zahlen: Straßennetz in Stadtlohn====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das gesamte Straßennetz in Stadtlohn beträgt insgesamt 270km. <br />
Davon sind 11% Kreisstraßen und 13,5km Landstraßen.<br />
<br />
a) Wie lang sind die Kreisstraßen?<br />
<small> geg: '''G'''=270km; '''p%'''=11%<br />
ges: '''W'''<br />
Rechnung:...<br />
Die Kreisstraßen sind '''29,7()'''km lang.</small><br />
<br />
b) Wie viel Prozent des gesamten Straßennetzes sind Landstraßen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=270km ; '''W'''=13,5km<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Es sind insgesamt '''5%()''' des Straßennetzes Landstraßen.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
In Stadtlohn gibt es viele unterschiedliche Straßen. Die Stadtstraßen betragen 83,7km. Das sind 31% des gesamten Straßennetzes in Stadtlohn. <br />
<br />
Wie lang ist das gesamte Straßennetz?<br />
<br />
<small>geg: '''W'''=83,7km ; '''p%'''=31%<br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Das gesamte Straßennetz ist '''270()'''km lang.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
[[Datei:Stadtlohn in Zahlen Straßennetz in Stadtlohn 1.3.png|mini]]<br />
<br />
a) Erläutere, was in der Tabellen dargestellt wird.<br />
b) Berechne die fehlenden Werte: Länge in km bzw. Länge in %.<br />
<br />
Rechnung: ....<br />
<br />
Antwort: Vergleiche deine Werte mit den Angaben aus Aufgabe 1(*) und (**).<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
[[Datei:Agriculture-147828 1280.png|mini|<small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay</small>|center]]<br />
<br />
====Stadtlohn in Zahlen: Flächennutzung in Stadtlohn====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Insgesamt besitzt die Stadt Stadtlohn 7900 ha Fläche. <br />
<br />
Davon sind: 61 % Landwirtschaftsfläche und 316 ha Verkehrsfläche<br />
<br />
a) Wie groß ist die Landwirtschaftsfläche?<br />
<br />
<small> geg: '''G'''=7900ha; '''p%'''=61%<br />
ges: '''W'''<br />
Rechnung:...<br />
Die Landwirtschaftsfläche ist '''4819()'''ha groß.</small><br />
<br />
b) Wie viel Prozent der gesamten Fläche sind Verkehrsflächen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=7900ha ; '''W'''=316ha<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Es sind insgesamt '''4%()''' der gesamten Flächen sind Verkehrsflächen.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Flächennutzung in Stadtlohn Tabelle 2.2.png|mini|center]]<br />
a) Erläutert, was in der Tabelle dargestellt wird. <br />
<br />
b) Berechnet die fehlenden Werte: Fläche in ha bzw. Fläche in %.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Landwirtschaft:'''4819()'''ha <math>\hat{=}</math> 61% <br />
<br />
Wald: 1659 ha <math>\hat{=}</math> '''21%()'''<br />
<br />
Wasser:158 ha <math>\hat{=}</math> '''2%()'''<br />
<br />
Gebäude,-...:'''948()'''ha <math>\hat{=}</math> 12%<br />
<br />
Verkehr:'''316()'''ha <math>\hat{=}</math> 4%<br />
<br />
INSGESAMT:7900 <math>\hat{=}</math> 100%<br />
</div><br />
c) Betrachtet nur die Landwirtschafts- und Waldflächen. <br />
<br />
· Wie viel ha betragen diese beiden Flächen zusammen? '''6478()'''ha <br />
<br />
· Wie viel Prozent dieser Fläche entfällt davon auf die Landwirtschaftsfläche?<br />
<small>geg: '''G'''6478ha; '''W'''=4816ha<br />
ges:'''p%'''<br />
Rechnung:... (Runde auf Einer)</small><br />
Die Landwirtschaftsfläche beträgt ca.'''74()'''% der Wald- und Landwirtschaftsfläche.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />[[Datei:Community-150124 1280.png|mini|<small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay</small>|center]]<br />
====Stadtlohn in Zahlen: Einwohner in Stadtlohn====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
[[Datei:Einwohner in Stadtlohn 3.1.png|mini|center]]<br />
<br />
Der Kreis Borken setzt sich aus mehreren Städten wie Ahaus, Gescher, Velen, … zusammen.<br />
<br />
Stadtlohn ist ebenfalls eine Stadt im Kreis Borken. Bei der Berechnung der Einwohner des Kreis Borkens werden also die Einwohner aller Städte zusammengezählt. <br />
<br />
Wie viel Prozent aller Einwohner des Kreis Borkens lebten 2015 in der Stadt Stadtlohn?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=369666; '''W'''=20844<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung:...(Runde auf eine Nachkommastelle.)</small><br />
<br />
Es lebten im Jahr 2015 '''5,6%''' aller Einwohner des Kreises Borken in der Stadt Stadtlohn.<br />
</div> <br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Einwohner in Stadtlohn 3.2.png|mini|center]]<br />
Der Kreis Borken setzt sich aus mehreren Städten wie Ahaus, Gescher, Velen, … zusammen.<br />
Stadtlohn ist ebenfalls eine Stadt im Kreis Borken. Bei der Berechnung der Einwohner des Kreis Borkens werden also die Einwohner aller Städte zusammengezählt. <br />
<br />
a) Wie viel Prozent aller Einwohner des Kreis Borkens lebten 2014 in der Stadt Stadtlohn?<br />
<small>geg: '''G'''=365191; '''W'''=20545<br />
<br />
ges:'''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ... (Runde auf eine Nachkommastelle.)</small><br />
</div><br />
<br />
b) 2001 betrug die Einwohnerzahl Stadtlohns 5,6% der Einwohnerzahl des Kreis Borkens. Wie viele Einwohner gab es im Jahr 2001 in der Stadt Stadtlohn? <br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<small>geg:'''G'''=362834; '''p%'''=5,6%<br />
<br />
ges:'''W'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Im Jahr 2001 gab es ca. '''20319()'''Einwohner in der Stadt Stadtlohn.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3(***)<br />
[[Datei:Einwohner in Stadtlohn 3.3.png|mini|center]]<br />
a) Erläutert, was in der Tabelle dargestellt wird. Beachtet dabei die Zeilen und Spalten. <br />
<br />
b) 2001 betrug die Einwohnerzahl Stadtlohns 5,6% der Einwohnerzahl des Kreis Borkens. Wie viele Einwohner gab es im Jahr 2001 in der Stadt Stadtlohn? Runde sinnvoll. <br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<small>geg:'''G'''=362834; '''p%'''=5,6%<br />
<br />
ges:'''W'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Im Jahr 2001 gab es ca. '''20319()'''Einwohner in der Stadt Stadtlohn.<br />
</div><br />
c) 1950 lebten 4,7% der Einwohner des Kreises in der Stadt Stadtlohn. Wie viele Einwohner lebten im gesamten Kreis? Runde sinnvoll. <br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<small>geg:'''W'''=10466; '''p%'''=4,7%<br />
<br />
ges:'''G'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Im Jahr 1950 lebten im gesamten Kreis Borken '''222681()'''Menschen.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Datei:Ballot-32201 1280.png|mini|<small>Bild von Clker-Free-Vector-Images auf Pixabay</small>|center |246x246px]]<br />
<br />
===7.5) Politik in Stadtlohn===<br />
<br />
<br />
====Politik in Stadtlohn: Kommunalwahlen 2020 in Stadtlohn====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Bei der Kommunalwahl 2014 haben in Stadtlohn 10520 Menschen ihre Stimme abgegeben. <br />
<br />
Davon sind 34,41% an die CDU gegangen und 3394 Stimmen an die UWG gegangen<br />
<br />
a) Wie viele Stimmen hat die CDU bekommen? <br />
<br />
<small> geg: '''G'''=10520 Stimmen; '''p%'''=34,41%<br />
ges: '''W'''<br />
Rechnung:...<br />
Die CDU bekam '''3620()'''Stimmen.</small><br />
<br />
b) Wie viel Prozent der Stimmen gingen an die UWG?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=10520 ; '''W'''=3394<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Die UWG erhielt '''32,26%()''' der Stimmen [auf zwei Nachkommastellen gerundet].<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Bei der Kommunalwahl 2020 hat die FDP 1449 Stimmen bekommen. Das waren 13,77% der gesamten Stimmen. <br />
<br />
Wie viele Stimmen wurden insgesamt abgegeben?<br />
<br />
<small>geg: '''W'''=1449 Stimmen ; '''p%'''=13,77%<br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Insgesamt wurden '''10522()'''Stimmen abgegeben.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Erstelle selbst eine Aufgabe zum Ergebnis der Kommunalwahlen. Link zu den Ergebnissen: https://www.stadtlohn.de/portal/seiten/informationsseite-wahlen-in-stadtlohn-900000045-28240.html<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
====Politik in Stadtlohn: Bundestagswahl 2017 in Stadtlohn====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Bei der Bundestagswahl 2020 haben in Stadtlohn nicht alle Wahlberechtigten gewählt. <br />
<br />
Die Wahlbeteiligung in Stadtlohn lag bei 80,46%. Es wurden 12296 gültige Stimmen abgegeben.<br />
<br />
Berechnet die Anzahl der Wahlberechtigten insgesamt.<br />
<br />
<small> geg: '''W'''=12296 Stimmen; '''p%'''=80,46%<br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Die Anzahl der Wahlberechtigten insgesamt betrug '''15282()'''.<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (**) NOCH ANPASSEN!!<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
[[Datei:Kommunalwahlen Stadtlohn 2014 Aufgabe 2.2PNG.png|mini|center]]<br />
Berechnet die fehlenden Werte: Anzahl der Stimmen bzw. Stimmanteil jeder Partei in %.<br />
<br />
CDU'''6642()'''Stimmen <math>\hat{=}</math> 54%. <br />
<br />
SPD 2952 Stimmen <math>\hat{=}</math> '''24%()'''.<br />
<br />
Bündnis 90/ Die Grünen '''738()'''Stimmen <math>\hat{=}</math> 6%.<br />
<br />
Die Linke'''492()'''Stimmen<math>\hat{=}</math> 12%.<br />
<br />
FDP 1230 Stimmen <math>\hat{=}</math> '''10%()'''.<br />
<br />
Freie Wähler 246 Stimmen <math>\hat{=}</math> '''2%()'''.<br />
<br />
INSGESAMT:12300 <math>\hat{=}</math> 100%<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Bei der Bundestagswahl 2020 wurden in Stadtlohn insgesamt 12202 gültige Stimmen abgegeben. Die Partei GRÜNE erhielt 627 davon. <br />
<br />
a) Wie viel Prozent der gesamten Stimmen hat die Partei GRÜNE erhalten?<br />
<small>geg: '''G'''=12202 Stimmen; '''W'''=627 Stimmen<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
Die Freien Wähler erhielten '''5,14%()''' der Stimmen [Runde auf 2 Nachkommastellen].<br />
<br />
b) Habt ihr schon einmal von der 5%-Hürde gehört? Nur die Parteien, die mehr als 5% der abgegebenen Stimmen erhalten haben, kommen in das Parlament. Wie viele Stimmen hat die Partei GRÜNE mehr erhalten, als sie für die sie 5%-Hürde hätte erhalten müssen?<br />
<small>geg: '''G''' = 12202 Stimmen; '''p%'''=5%<br />
<br />
ges:'''W'''<br />
Rechnung: ...</small><br />
Die Partei GRÜNE hat 697 Stimmen erhalten. Das sind '''87()''' Stimmen mehr, als sie für die 5%-Hürde hätte erhalten müssen.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
====Politik in Stadtlohn: Bürgermeisterwahlen====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Bei der Bürgermeisterwahl gaben 9500 Stadtlohner/innen ihre Stimme ab. <br />
[[Datei:Bürgermeisterwahlen Stadtlohn 3.1.png|mini|center]]<br />
<br />
Wie viele Stimmen erhielten die beiden Kandidaten Helmut Könning und Berthold Dittmann? <br />
<br />
<small>geg: '''G'''=9500 Stimmen; '''p%'''=58,0%; '''p%'''=24,0%<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Herr Könning erhielt'''5510()''' Stimmen, Herr Dittmann'''2280()'''.<br />
<br />
</div> <br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Bürgermeisterwahlen Stadtlohn 3.1.png|mini|center]]<br />
Bei der Bürgermeisterwahl gaben 9500 Stadtlohner/innen ihre Stimme ab. <br />
<br />
a) Wie viele Stimmen erhielten die Kandidaten Helmut Könning und Berthold Dittmann?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=9500 Stimmen; '''p%'''=58,0%; '''p%'''=24,0%<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Herr Könning erhielt'''5510()''' Stimmen, Herr Dittmann'''2280()'''.<br />
<br />
b) Wie viele Prozent der Stimmen erhielt der Kandidat Bernd Schöning? <br />
<small>geg: '''G'''=9500; '''W'''=1710<br />
<br />
ges:'''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ... </small><br />
<br />
Herr Schöning erhielt '''18%()''' der Stimmen.<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3(***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Der Bürgermeister der Stadt Stadtlohn wurde 2014 gewählt.<br />
<br />
Immer wieder lassen sich bei der Auswertung ungültige Stimmen entdecken, die nicht gewertet werden können. Eine Stimme ist z.B. ungültig, wenn man mehr Felder ankreuzt, als man darf. <br />
<br />
Insgesamt gab es 202 ungültige Stimmen und 9500 gültige Stimmen insgesamt<br />
<br />
Zudem gehen leider nicht alle Einwohner, die wahlberechtigt sind und damit wählen gehen dürfen, auch wirklich wählen. Bei dieser Wahl lag die Wahlbeteiligung lediglich bei ca. 60%. <br />
<br />
Wie viele Wahlberechtigte gab es insgesamt? <br />
<br />
<small>geg: W = '''9702()''';p% = '''60%()'''<br />
ges:'''G()'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Es gab insgesamt '''16170()'''Wahlberechtigte.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=8) Checkliste|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/Checkliste|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung}}<br />
<br />
<br /></div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad_Prozentrechnung/7)_Prozente_rund_um_Stadtlohn_(vermischte_%C3%9Cbungen)&diff=93263Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)2024-03-25T12:28:32Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/1) Absoluter und relativer Vergleich|1) Absoluter und relativer Vergleich]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/2) Prozentschreibweise|2) Prozentschreibweise]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/3) Grundbegriffe der Prozentrechnung|3) Grundbegriffe der Prozentrechnung]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/4) Prozentsatz p% berechnen|4) Prozentsatz p% berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/5) Prozentwert W berechnen|5) Prozentwert W berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/6) Grundwert G berechnen|6) Grundwert G berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)|7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/Checkliste|8) Checkliste]]}}<br />
==7) Prozente rund um Stadtlohn (Vermischte Übungen)==<br />
<br />
<br />
Diese Aufgabensammlung wurde von Frau Urban erstellt.<br />
<br />
Sie umfasst fünf Themengebiete, die jeweils in drei Unterthemen aufgeteilt sind.<br />
Wähle aus jedem Unterthema mindestens eine Aufgabe aus. (*) leicht ,(**) mittel oder (***) schwer.<br />
Insgesamt sammle mindestens 25 Sternchen "*".<br />
<br />
Schreibe dazu die Lösung der Aufgaben ausführlich in dein Heft.<br />
<br />
(geg:...; ges:... usw. )<br />
<br />
Kontrolliere deine Rechnung durch Eingabe deiner Ergebnisse. Hake dann mit einem andersfarbigen Stift deine Lösung ab.<br />
<br />
===7.1) Einkaufen in Stadtlohn===<br />
<br />
[[Datei:PS4-Console-wDS4.png|mini|alternativtext=|zentriert|306x306px]]<br />
====Einkaufen in Stadtlohn: Multimedia====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Videospiel kostet im Laden 60€. Durch eine Rabattaktion wird das Spiel um 19% reduziert.<br />
<br />
Patrick freut sich darüber sehr!<br />
<br />
Wie viel Euro kann er einsparen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=60€;'''p%'''= 19% = 0,19<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Patrick kann durch die Rabattaktion '''11,40()'''Euro sparen. <br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein PC-Spiel kostet 45€. Nur heute gibt es das Angebot, bei dem man beim Kauf dieses Spiels 9,90€ einsparen kann.<br />
<br />
Um wie viel Prozent wurde der Preis reduziert? <br />
<br />
<small>geg: '''G'''=45€;'''W'''= 9,90 €<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Der Preis des Spiels wurde um '''22%()'''reduziert.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1(***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Beim Kauf einer CD spart Luisa 2,10€. Das sind 14% des ursprünglichen Preises. <br />
<br />
Wie teuer war die CD ursprünglich? <br />
<br />
<small>geg: '''W'''=2,10€;'''p%'''= 14% <br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Die CD kostete ursprünglich '''15()'''€.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Racing-bicycle-161449 1280.png|mini|<small><small><small><small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay </small></small></small></small>|alternativtext=|center|158x158px]]<br />
====Einkaufen in Stadtlohn: Fahrzeuge====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
<br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Skateboard kostet 75€. Im Schlussverkauf wird es um 32% reduziert. <br />
<br />
Wie viel € hat man gespart? <br />
<br />
<small>geg: '''G'''=75€; '''p%'''= 32% = 0,32<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Man hat '''24()'''Euro gespart.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
<br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Fahrrad kostet 375€. Bei einer Rabattaktion spart Jakob 45€. <br />
<br />
Wie viel Prozent konnte Jakob vom ursprünglichen Preis einsparen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=375€; '''W'''= 45 €<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Jakob konnte '''12%()'''einsparen.<br />
</div></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
<br />
Aufgabe 2(***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Händler kann den Preis eines gebrauchten Elektro-Rollers um maximal 14% reduzieren. Das sind 175€.<br />
<br />
Wie teuer war der Roller ursprünglich? <br />
<br />
<small>geg: '''W'''=175€; '''p%'''= 14% <br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Der Elektro-Roller kostete ursprünglich '''1250()'''€.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Blue-295177 1280.png|mini|<small><small><small><small>Bild von Clker-Free-Vector-Images auf Pixabay</small></small></small></small>|alternativtext=|center|141x141px]]<br />
====Einkaufen in Stadtlohn: Mode====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Modehaus in Stadtlohn baut um und bietet daher einen Räumungs-Verkauf an, bei dem es viele Schnäppchen gibt.<br />
<br />
Sophie freut sich über den Räumungs-Verkauf, denn auf die Outdoorjacke für 129,99 , die sie sich ausgesucht hat, erhält sie an der Kasse 40%. <br />
<br />
<small>a) Wie viel € hat sie gespart?<br />
<br />
b) Wie viel € zahlt sie nun für die Jacke? <br />
<br />
<br />
geg: '''G'''=129,99€; '''p%'''= 40% = 0,4<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: a) Man hat '''52()'''Euro gespart.<br />
b) Sie zahlt nun '''77,99()'''Euro.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Modehaus in Stadtlohn baut um und bietet daher einen Räumungs-Verkauf an, bei dem es viele Schnäppchen gibt.<br />
Jenny findet einen Pullover, der 59,99€ kosten sollte und nun um 20€ reduziert wurde. Sie fragt sich, um wie viel Prozent der Pullover reduziert wurde. <br />
<br />
<small>geg: '''G'''=59,99€; '''W'''= 20 €<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Jakob konnte '''33,3%()'''einsparen. <br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3(***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Ein Modehaus in Stadtlohn baut um und bietet daher einen Räumungs-Verkauf an, bei dem es viele Schnäppchen gibt.<br />
<br />
Mark findet zwei Jeans mit unterschiedlichem Angebot. <br />
<br />
<small>1. Angebot: Eine Jeans, die 99,99€ kostet, wird um 60€ reduziert.<br />
2. Angebot: Eine Jeans, die 79,99€ kostet, wird um 45€ reduziert.<br />
<br />
Nun überlegt er, bei welcher Jeans er prozentual mehr einsparen könnte.<br />
<br />
geg: Angebot 1:'''G'''= 99,99€; '''W'''= 60€ ;<br />
<br />
Angebot 2: '''G'''= 79,99€; '''W'''= 45€<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Beim 1. Angebot spart er '''60%|60,0%()''', beim 2. Angebot '''56%|56,3%()''', also kann er bei Angebot '''1()''' prozentual mehr sparen. (Runde auf 1 Stelle nach dem Komma.)<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Football-157930 1280.png|mini|<small><small><small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay </small></small></small>|center|132x132px]]<br />
===7.2) Freizeit in Stadtlohn===<br />
====Freizeit in Stadtlohn: Fußball====<br />
<br />
[[Datei:Freizeit in Stadtlohn Fußball 2.png]]<br />
[[Datei:Freizeit in Stadtlohn Fußball 1.png]]<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
In der Saison 16/17 hat eine Mannschaft des Vereins SuS Stadtlohn ca. 18% er Spiele gewonnen.<br />
Wie viele Spiele sind das?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''= 22 ; '''p%'''= 18% = 0,18<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Die Mannschaft hat '''4()''' Spiele gewonnen.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Wie viel Prozent der Spiele hat die Mannschaft des Vereins SuS Stadtlohn in den Saisons 12/13 und 16/17 jeweils gewonnen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''= 22 ; '''W'''= 18<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Die Mannschaft hat in der Saison 12/13 '''82%()''' und in der Saison 16/17'''18%()''' der Spiele gewonnen.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Als Sportler ist es besonders wichtig, sich ausgewogen und gesund zu ernähren.<br />
<br />
Fußballer Sebastian weiß, dass er täglich 65g Eiweiß, 85g Fette und 320g Kohlenhydrate benötigt. Wie viel Prozent des Tagesbedarfes jedes einzelnen Elements werden mit einer Müsli-Portion gedeckt? <br />
[[Datei:Freizeit in Stadtlohn Fußball 3.png|200x200px]]<br />
<br />
<small>geg: Eiweiß: '''G'''= 65 g ; '''W'''= 8,2 g; Fette: ...<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Er hat mit einer Portion Müsli '''12,6%()''' des Tagesbedarfs an Eiweiß, '''7,5%()''' des Tagesbedarfes an Fetten und '''10,4%()''' des Tagesbedarfs an Kohlenhydraten gedeckt. (Runde auf 1 Stelle nach dem Komma.)<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Runner-309053 1280.png|mini|<small><small>Bild von Clker-Free-Vector-Images auf Pixabay </small></small>|center]]<br />
<br />
====Freizeit in Stadtlohn: Silvesterlauf====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Jedes Jahr findet am Vormittag des 31. Dezembers der Silvesterlauf in Stadtlohn statt. 2018 ist bereits der 35. Lauf in Folge.<br />
<br />
Ein Sportler wiegt 68kg. Beim Silvesterlauf verliert er 3% seines Gewichts. <br />
<br />
Wie viel kg hat er verloren?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''= 68kg; '''p%'''= 3% = 0,03<br />
<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Der Sportler hat ungefähr '''2()''' kg an Gewicht verloren.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Jedes Jahr findet am Vormittag des 31. Dezembers der Silvesterlauf in Stadtlohn statt. 2018 ist bereits der 35. Lauf in Folge.<br />
<br />
2018 nahmen 630 Läufer/innen am Silvesterlauf teil. Von diesen Sportler/innen haben bereits 30% eine Zusage für den Lauf im kommenden Jahr gemacht. Wie viele sind das?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''= 630; '''p%'''= 30%<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Eine Zusage für den Lauf im nächsten Jahr haben '''189()''' Läufer gemacht.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Jedes Jahr findet am Vormittag des 31. Dezembers der Silvesterlauf in Stadtlohn statt. 2018 ist bereits der 35. Lauf in Folge.<br />
<br />
<br />
48 von 99 Männern liefen die 15000m Strecke in einer Zeit von unter einer Stunde und zehn Minuten. In der gleichen Zeit schafften es 6 von 26 Frauen ins Ziel. Wie viel Prozent der Männer und wie viel Prozent der Frauen liefen in der oben angegebenen Zeit? <br />
<br />
<small>geg: Männer '''W'''= 48; '''G'''= 99;<br />
Frauen: '''W'''= 6; '''G'''=26<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Von den Männern haben '''48,5%()''' die Strecke unter 70 Minuten geschafft, von den Frauen '''23,1%()'''. (Runde auf 1 Stelle nach dem Komma.)<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:Swimming-pool-149632 1280.png|mini|<small><small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay</small></small>|center|150x150px ]]<br />
====Freizeit in Stadtlohn: Hallen- und Freibad in Stadtlohn====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Schwimmerbecken im Freibad hat 8 Bahnen. 37,5% dieser Bahnen sind durch das Training einer Schwimm-Mannschaft belegt. <br />
<br />
Wie viele Bahnen sind das?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=8 Bahnen; '''p%'''=37,5%<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Es sind '''3()''' Bahnen durch die Schwimm-Mannschaft belegt.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Schwimmbecken besteht aus einem Schwimmer- und einem Nichtschwimmer-Bereich. Die Wasseroberfläche des Nichtschwimmer-Bereichs beträgt 187m². Das sind 17% der Gesamtwasseroberfläche. <br />
<br />
Wie groß ist die Fläche des gesamten Schwimmbeckens? <br />
<br />
<small>geg: '''W'''= 187 m²;'''p%'''= 17%<br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Es sind '''1100()'''m² Wasseroberfläche insgesamt.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das untenstehende Säulendiagramm zeigt ein Beispiel für die täglichen Besucherzahlen im Hallenbad innerhalb von einer Woche. <br />
<br />
[[Datei:Hallen und Freibad Aufgabe 3 .png|mini|alternativtext=|links|300x300px]]<br />
<br />
Wie viel Prozent der Badegäste besuchten am Wochenende das Bad? <br />
<br />
<small>geg: G='''1176()''';<br />
W='''457()'''<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Am Wochenende besuchten rund '''39%|38,9()''' der Besucher das Hallenbad.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
[[Datei:HLR-Schulname mit Logo.jpg|mini|center]]<br />
===7.3) Herta-Lebenstein-Realschule Stadtlohn===<br />
====Herta-Lebenstein-Realschule: Kurseinteilung 8er====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das Kreisdiagramm gibt die prozentuale Aufteilung der Schüler/innen der 8. Klassen auf die unterschiedlichen Kurse an. <br />
[[Datei:Kurseinteilung Anwendungsaufgabe 1.1.png|mini]]<br />
Fülle die dazugehörigen Felder aus:<br />
<br />
FR p% ='''13%()'''<br />
<br />
NL p%='''20%()'''<br />
<br />
Bio p%='''18%()'''<br />
<br />
SW p%='''30%()'''<br />
<br />
TC p%='''19%()'''<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Stellt die prozentuale Verteilung der Anzahl der Schüler/innen auf die verschiedenen Kurse in einem Kreisdiagramm dar. <br />
[[Datei:Kurseinteilung Anwendungsaufgabe 1.2.png|mini]]<br />
<small>a) Berechnet zuerst für jeden prozentualen Anteil den entsprechenden Mittelpunktswinkel mithilfe des Dreisatzes. Bedenke: 100% entsprechen 360° .Runde auf Einer, wenn nötig.<br />
<br />
FR '''47()'''°<br />
<br />
NL ''72()'''°<br />
<br />
Bio '''65()'''°<br />
<br />
SW '''108()'''°<br />
<br />
TC '''68()'''°<br />
<br />
b) Zeichnet nun das Kreisdiagramm mithilfe der in a) berechneten Winkel. <br />
Du kannst dein Diagramm mithilfe des Diagramms in Aufgabe 1(*) prüfen. </small><br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"></div><br />
</div><br />
<br />
====Herta-Lebenstein-Realschule: Anzahl der Schüler/innen an den weiterführenden Schulen im Schuljahr 2018/2019 in %====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Anzahl der Schüler an den weiterführenden Schulen Stadtlohn Aufgabe 2.1.png|mini|center]]<br />
<br />
Fülle die dazugehörigen Felder aus:<br />
<br />
LBS p%='''25%()'''<br />
<br />
HLR p%='''25%()'''<br />
<br />
St.Anna p%='''15%()'''<br />
<br />
GSG p%='''35%()'''<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Stellt die prozentuale Verteilung der Anzahl der Schüler/innen auf die verschiedenen Schulen in einem Kreisdiagramm dar. <br />
[[Datei:Anzahl der Schüler an den weiterführenden Schulen Stadtlohn Aufgabe 2.2.png|mini|center]]<br />
<small>a) Berechnet zuerst für jeden prozentualen Anteil den entsprechenden Mittelpunktswinkel mithilfe des Dreisatzes. Bedenke: 100% entsprechen 360° .Runde auf Einer, wenn nötig.<br />
<br />
LBS '''90()'''°<br />
<br />
HLR '''90()'''°<br />
<br />
St.Anna '''54()'''°<br />
<br />
GSG '''126()'''°<br />
<br />
b) Zeichnet nun das Kreisdiagramm mithilfe der in a) berechneten Winkel. <br />
Du kannst dein Diagramm mithilfe des Diagramms in Aufgabe 2(*) prüfen. </small><br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"></div><br />
</div><br />
<br />
====Herta-Lebenstein-Realschule: Anzahl der Schüler/innen an den weiterführenden Schulen im Schuljahr 2018/2019 in %====<br />
<br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Schülerzahlen der HLR Schuljahr 2018 2019 in %.png|mini|center]]<br />
<br />
Fülle die dazugehörigen Felder aus:<br />
<br />
5er p%='''16%()''' <math>\hat{=}</math>'''58()'''°<br />
<br />
6er p%='''13%()''' <math>\hat{=}</math>'''47()'''°<br />
<br />
7er p%='''14%()''' <math>\hat{=}</math>'''50()'''°<br />
<br />
8er p%='''17%()''' <math>\hat{=}</math>'''61()'''°<br />
<br />
9er p% = 18% <math>\hat{=}</math>'''65()'''°<br />
<br />
10er p%='''22%()''' <math>\hat{=}</math>'''79()'''°<br />
Stellt die prozentuale Verteilung der Anzahl der Schüler/innen auf die verschiedenen Schulen in einem Kreisdiagramm dar. Du kannst dein Diagramm mithilfe des gegebenen Diagramms prüfen.<br />
</div><br />
<br />
<br />
===7.4) Stadtlohn in Zahlen===<br />
<br />
[[Datei:Asphalt-157687 1280.png|mini|<small><small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixaba</small></small>|center]]<br />
====Stadtlohn in Zahlen: Straßennetz in Stadtlohn====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Das gesamte Straßennetz in Stadtlohn beträgt insgesamt 270km. <br />
Davon sind 11% Kreisstraßen und 13,5km Landstraßen.<br />
<br />
a) Wie lang sind die Kreisstraßen?<br />
<small> geg: '''G'''=270km; '''p%'''=11%<br />
ges: '''W'''<br />
Rechnung:...<br />
Die Kreisstraßen sind '''29,7()'''km lang.</small><br />
<br />
b) Wie viel Prozent des gesamten Straßennetzes sind Landstraßen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=270km ; '''W'''=13,5km<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Es sind insgesamt '''5%()''' des Straßennetzes Landstraßen.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
In Stadtlohn gibt es viele unterschiedliche Straßen. Die Stadtstraßen betragen 83,7km. Das sind 31% des gesamten Straßennetzes in Stadtlohn. <br />
<br />
Wie lang ist das gesamte Straßennetz?<br />
<br />
<small>geg: '''W'''=83,7km ; '''p%'''=31%<br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Das gesamte Straßennetz ist '''270()'''km lang.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
[[Datei:Stadtlohn in Zahlen Straßennetz in Stadtlohn 1.3.png|mini]]<br />
<br />
a) Erläutere, was in der Tabellen dargestellt wird.<br />
b) Berechne die fehlenden Werte: Länge in km bzw. Länge in %.<br />
<br />
Rechnung: ....<br />
<br />
Antwort: Vergleiche deine Werte mit den Angaben aus Aufgabe 1(*) und (**).<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
[[Datei:Agriculture-147828 1280.png|mini|<small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay</small>|center]]<br />
<br />
====Stadtlohn in Zahlen: Flächennutzung in Stadtlohn====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Insgesamt besitzt die Stadt Stadtlohn 7900 ha Fläche. <br />
<br />
Davon sind: 61 % Landwirtschaftsfläche und 316 ha Verkehrsfläche<br />
<br />
a) Wie groß ist die Landwirtschaftsfläche?<br />
<br />
<small> geg: '''G'''=7900ha; '''p%'''=61%<br />
ges: '''W'''<br />
Rechnung:...<br />
Die Landwirtschaftsfläche ist '''4819()'''ha groß.</small><br />
<br />
b) Wie viel Prozent der gesamten Fläche sind Verkehrsflächen?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=7900ha ; '''W'''=316ha<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Es sind insgesamt '''4%()''' der gesamten Flächen sind Verkehrsflächen.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Flächennutzung in Stadtlohn Tabelle 2.2.png|mini|center]]<br />
a) Erläutert, was in der Tabelle dargestellt wird. <br />
<br />
b) Berechnet die fehlenden Werte: Fläche in ha bzw. Fläche in %.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Landwirtschaft:'''4819()'''ha <math>\hat{=}</math> 61% <br />
<br />
Wald: 1659 ha <math>\hat{=}</math> '''21%()'''<br />
<br />
Wasser:158 ha <math>\hat{=}</math> '''2%()'''<br />
<br />
Gebäude,-...:'''948()'''ha <math>\hat{=}</math> 12%<br />
<br />
Verkehr:'''316()'''ha <math>\hat{=}</math> 4%<br />
<br />
INSGESAMT:7900 <math>\hat{=}</math> 100%<br />
</div><br />
c) Betrachtet nur die Landwirtschafts- und Waldflächen. <br />
<br />
· Wie viel ha betragen diese beiden Flächen zusammen? '''6478()'''ha <br />
<br />
· Wie viel Prozent dieser Fläche entfällt davon auf die Landwirtschaftsfläche?<br />
<small>geg: '''G'''6478ha; '''W'''=4816ha<br />
ges:'''p%'''<br />
Rechnung:... (Runde auf Einer)</small><br />
Die Landwirtschaftsfläche beträgt ca.'''74()'''% der Wald- und Landwirtschaftsfläche.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />[[Datei:Community-150124 1280.png|mini|<small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay</small>|center]]<br />
====Stadtlohn in Zahlen: Einwohner in Stadtlohn====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
[[Datei:Einwohner in Stadtlohn 3.1.png|mini|center]]<br />
<br />
Der Kreis Borken setzt sich aus mehreren Städten wie Ahaus, Gescher, Velen, … zusammen.<br />
<br />
Stadtlohn ist ebenfalls eine Stadt im Kreis Borken. Bei der Berechnung der Einwohner des Kreis Borkens werden also die Einwohner aller Städte zusammengezählt. <br />
<br />
Wie viel Prozent aller Einwohner des Kreis Borkens lebten 2015 in der Stadt Stadtlohn?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=369666; '''W'''=20844<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung:...(Runde auf eine Nachkommastelle.)</small><br />
<br />
Es lebten im Jahr 2015 '''5,6%''' aller Einwohner des Kreises Borken in der Stadt Stadtlohn.<br />
</div> <br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Einwohner in Stadtlohn 3.2.png|mini|center]]<br />
Der Kreis Borken setzt sich aus mehreren Städten wie Ahaus, Gescher, Velen, … zusammen.<br />
Stadtlohn ist ebenfalls eine Stadt im Kreis Borken. Bei der Berechnung der Einwohner des Kreis Borkens werden also die Einwohner aller Städte zusammengezählt. <br />
<br />
a) Wie viel Prozent aller Einwohner des Kreis Borkens lebten 2014 in der Stadt Stadtlohn?<br />
<small>geg: '''G'''=365191; '''W'''=20545<br />
<br />
ges:'''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ... (Runde auf eine Nachkommastelle.)</small><br />
</div><br />
<br />
b) 2001 betrug die Einwohnerzahl Stadtlohns 5,6% der Einwohnerzahl des Kreis Borkens. Wie viele Einwohner gab es im Jahr 2001 in der Stadt Stadtlohn? <br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<small>geg:'''G'''=362834; '''p%'''=5,6%<br />
<br />
ges:'''W'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Im Jahr 2001 gab es ca. '''20319()'''Einwohner in der Stadt Stadtlohn.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3(***)<br />
[[Datei:Einwohner in Stadtlohn 3.3.png|mini|center]]<br />
a) Erläutert, was in der Tabelle dargestellt wird. Beachtet dabei die Zeilen und Spalten. <br />
<br />
b) 2001 betrug die Einwohnerzahl Stadtlohns 5,6% der Einwohnerzahl des Kreis Borkens. Wie viele Einwohner gab es im Jahr 2001 in der Stadt Stadtlohn? Runde sinnvoll. <br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<small>geg:'''G'''=362834; '''p%'''=5,6%<br />
<br />
ges:'''W'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Im Jahr 2001 gab es ca. '''20319()'''Einwohner in der Stadt Stadtlohn.<br />
</div><br />
c) 1950 lebten 4,7% der Einwohner des Kreises in der Stadt Stadtlohn. Wie viele Einwohner lebten im gesamten Kreis? Runde sinnvoll. <br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<small>geg:'''W'''=10466; '''p%'''=4,7%<br />
<br />
ges:'''G'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Im Jahr 1950 lebten im gesamten Kreis Borken '''222681()'''Menschen.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Datei:Ballot-32201 1280.png|mini|<small>Bild von Clker-Free-Vector-Images auf Pixabay</small>|center |246x246px]]<br />
<br />
===7.5) Politik in Stadtlohn===<br />
<br />
<br />
====Politik in Stadtlohn: Kommunalwahlen 2020 in Stadtlohn====<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Bei der Kommunalwahl 2014 haben in Stadtlohn 10520 Menschen ihre Stimme abgegeben. <br />
<br />
Davon sind 34,41% an die CDU gegangen und 3394 Stimmen an die UWG gegangen<br />
<br />
a) Wie viele Stimmen hat die CDU bekommen? <br />
<br />
<small> geg: '''G'''=10520 Stimmen; '''p%'''=34,41%<br />
ges: '''W'''<br />
Rechnung:...<br />
Die CDU bekam '''3620()'''Stimmen.</small><br />
<br />
b) Wie viel Prozent der Stimmen gingen an die UWG?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=10520 ; '''W'''=3394<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Die UWG erhielt '''32,26%()''' der Stimmen [auf zwei Nachkommastellen gerundet].<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Bei der Kommunalwahl 2020 hat die FDP 1449 Stimmen bekommen. Das waren 13,77% der gesamten Stimmen. <br />
<br />
Wie viele Stimmen wurden insgesamt abgegeben?<br />
<br />
<small>geg: '''W'''=1449 Stimmen ; '''p%'''=13,77%<br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
<br />
Antwort: Insgesamt wurden '''10522()'''Stimmen abgegeben.<br />
</div><br />
</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 1 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Erstelle selbst eine Aufgabe zum Ergebnis der Kommunalwahlen. Link zu den Ergebnissen: https://www.stadtlohn.de/portal/seiten/informationsseite-wahlen-in-stadtlohn-900000045-28240.html<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
====Politik in Stadtlohn: Bundestagswahl 2017 in Stadtlohn====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (*)<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Bei der Bundestagswahl 2017 haben in Stadtlohn nicht alle Wahlberechtigten gewählt. <br />
<br />
Die Wahlbeteiligung in Stadtlohn lag bei 80%. Es wurden 12300 Stimmen abgegeben.<br />
<br />
Berechnet die Anzahl der Wahlberechtigten insgesamt.<br />
<br />
<small> geg: '''W'''=12300 Stimmen; '''p%'''=80%<br />
<br />
ges: '''G'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Die Anzahl der Wahlberechtigten insgesamt betrug '''15375()'''.<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
[[Datei:Kommunalwahlen Stadtlohn 2014 Aufgabe 2.2PNG.png|mini|center]]<br />
Berechnet die fehlenden Werte: Anzahl der Stimmen bzw. Stimmanteil jeder Partei in %.<br />
<br />
CDU'''6642()'''Stimmen <math>\hat{=}</math> 54%. <br />
<br />
SPD 2952 Stimmen <math>\hat{=}</math> '''24%()'''.<br />
<br />
Bündnis 90/ Die Grünen '''738()'''Stimmen <math>\hat{=}</math> 6%.<br />
<br />
Die Linke'''492()'''Stimmen<math>\hat{=}</math> 12%.<br />
<br />
FDP 1230 Stimmen <math>\hat{=}</math> '''10%()'''.<br />
<br />
Freie Wähler 246 Stimmen <math>\hat{=}</math> '''2%()'''.<br />
<br />
INSGESAMT:12300 <math>\hat{=}</math> 100%<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 2 (***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Bei der Bundestagswahl 2017 wurden in Stadtlohn insgesamt 12300 Stimmen abgegeben. Die Partei Freie Wähler erhielt 246 davon. <br />
<br />
a) Wie viel Prozent der gesamten Stimmen hat die Partei Freie Wähler erhalten?<br />
<small>geg: '''G'''=12300 Stimmen; '''W'''=246 Stimmen<br />
<br />
ges: '''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ...</small><br />
Die Freien Wähler erhielten '''2%()''' der Stimmen.<br />
<br />
b) Habt ihr schon einmal von der 5%-Hürde gehört? Nur die Parteien, die mehr als 5% der abgegebenen Stimmen erhalten haben, kommen in das Parlament. Wie viele Stimmen hätte die Partei „FREIE WÄHLER“ mehr erbringen müssen, damit sie 5% erreicht hätte?<br />
<small>geg: '''G''' = 12300 Stimmen; '''p%'''=5%<br />
<br />
ges:'''W'''<br />
Rechnung: ...</small><br />
Die Partei "FREIE WÄHLER" hätte '''369()''' Stimmen mehr erhalten müssen, um die 5%-Hürde zu schaffen.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
====Politik in Stadtlohn: Bürgermeisterwahlen====<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (*)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Bei der Bürgermeisterwahl gaben 9500 Stadtlohner/innen ihre Stimme ab. <br />
[[Datei:Bürgermeisterwahlen Stadtlohn 3.1.png|mini|center]]<br />
<br />
Wie viele Stimmen erhielten die beiden Kandidaten Helmut Könning und Berthold Dittmann? <br />
<br />
<small>geg: '''G'''=9500 Stimmen; '''p%'''=58,0%; '''p%'''=24,0%<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Herr Könning erhielt'''5510()''' Stimmen, Herr Dittmann'''2280()'''.<br />
<br />
</div> <br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3 (**)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
[[Datei:Bürgermeisterwahlen Stadtlohn 3.1.png|mini|center]]<br />
Bei der Bürgermeisterwahl gaben 9500 Stadtlohner/innen ihre Stimme ab. <br />
<br />
a) Wie viele Stimmen erhielten die Kandidaten Helmut Könning und Berthold Dittmann?<br />
<br />
<small>geg: '''G'''=9500 Stimmen; '''p%'''=58,0%; '''p%'''=24,0%<br />
<br />
ges: '''W'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Herr Könning erhielt'''5510()''' Stimmen, Herr Dittmann'''2280()'''.<br />
<br />
b) Wie viele Prozent der Stimmen erhielt der Kandidat Bernd Schöning? <br />
<small>geg: '''G'''=9500; '''W'''=1710<br />
<br />
ges:'''p%'''<br />
<br />
Rechnung: ... </small><br />
<br />
Herr Schöning erhielt '''18%()''' der Stimmen.<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
Aufgabe 3(***)<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Der Bürgermeister der Stadt Stadtlohn wurde 2014 gewählt.<br />
<br />
Immer wieder lassen sich bei der Auswertung ungültige Stimmen entdecken, die nicht gewertet werden können. Eine Stimme ist z.B. ungültig, wenn man mehr Felder ankreuzt, als man darf. <br />
<br />
Insgesamt gab es 202 ungültige Stimmen und 9500 gültige Stimmen insgesamt<br />
<br />
Zudem gehen leider nicht alle Einwohner, die wahlberechtigt sind und damit wählen gehen dürfen, auch wirklich wählen. Bei dieser Wahl lag die Wahlbeteiligung lediglich bei ca. 60%. <br />
<br />
Wie viele Wahlberechtigte gab es insgesamt? <br />
<br />
<small>geg: W = '''9702()''';p% = '''60%()'''<br />
ges:'''G()'''<br />
<br />
Rechnung:...</small><br />
<br />
Es gab insgesamt '''16170()'''Wahlberechtigte.<br />
</div><br />
</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=8) Checkliste|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/Checkliste|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung}}<br />
<br />
<br /></div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad_Prozentrechnung/6)_Grundwert_G_berechnen&diff=93262Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/6) Grundwert G berechnen2024-03-25T12:00:55Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/1) Absoluter und relativer Vergleich|1) Absoluter und relativer Vergleich]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/2) Prozentschreibweise|2) Prozentschreibweise]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/3) Grundbegriffe der Prozentrechnung|3) Grundbegriffe der Prozentrechnung]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/4) Prozentsatz p% berechnen|4) Prozentsatz p% berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/5) Prozentwert W berechnen|5) Prozentwert W berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/6) Grundwert G berechnen|6) Grundwert G berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)|7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/Checkliste|8) Checkliste]]}}<br />
===6) Grundwert G berechnen===<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">Lisa: "Auch ich habe Bälle in den Eimer geworfen, aber ich habe mehr Würfe insgesamt probiert.<br />
Ich habe 21 mal getroffen. Das sind 60% aller Würfe." <br />
<br />
Wie oft hat Lisa insgesamt geworfen?</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Experiment Ball in den Eimer.png|rahmenlos|right]]</div><br />
</div><br />
<br />
{{Box|1=Grundwert G berechnen: Beispiel 1|2=Übertrage die Aufgabe in dein Heft und notiere mindestens eine Lösungsidee.<br />
<br />
geg: W = 21; p% = 60%<br />
ges: G|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
Du kannst deine Lösungsideen weiter unten kontrollieren. Schaue zunächst das Video an.<br />
<br />
Das folgende Video erklärt anhand eines Beispiels zwei Möglichkeiten, den Grundwert G zu berechnen:<br />
{{#ev:youtube|j8gGTpOMZzE|800|center}}<br><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein weiteres Video zur Berechnung des Grundwerts mit dem Dreisatz:<br><br />
{{#ev:youtube|rs7dsg_t3H4|800|center}}|2=weiteres Video zur Berechnung des Grundwertes mit dem Dreisatz|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Grundwert G berechnen: Formel und Dreisatz|Übertrage die Zusammenfassung in dein Heft.|Arbeitsmethode}}<br />
[[Datei:Grundwert G berechnen 2 Möglichkeiten Bild berichtigt.png]]<br />
<br />
Hast du die Aufgabe von oben (Lisas Würfe) ähnlich berechnet? Vergleiche deine Lösungen und ergänze bzw. berichtige.<br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:Grundwert G berechnen Bild zum Ballwurf berichtigt.png]]|Lösung|Verbergen}}<br />
<br />
Weiter geht es mit Übungen!<br />
<br />
<br /><br />
{{Box|Grundwert berechnen: Übung 1|Löse die folgenden Apps mit dem Dreisatz.|Üben}}<br />
{{h5p|id=822029|height=232}}<br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/W3YfmDs6<br />
<ggb_applet id="DGsBNe43" width="499" height="499" border="888888" /><br />
<small>Applet von C.Haberl </small><br />
<br />
{{Box|Übung 2|Löse Buch S. 143 Nr. 2 im Heft mit dem Dreisatz oder mit der Formel.|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 143 Nr. 2a Lösungshinweise.png]]|Tipp zu Nr. 2|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Lösungen zum Vergleichen (Du musst die ausführlichen Rechnungen mit Nebenrechnungen notiert haben!)<br />
a) 150m; 4992€;40,4l b)990€; 1600g; 150t|Lösungen zur Kontrolle der Rechnungen}} <br />
<br />
{{Box|Übung 3|Löse die Aufgabe aus dem Buch<br />
* S. 143 Nr. 3|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|Das folgende GeoGebra-Applet kann dir bei der Lösung der Aufgabe helfen: https://www.geogebra.org/m/hMWMJDwQ|Hilfe GeoGebra|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 143 Nr. 3a Lösung (GeoGebra).png]]|Lösung Nr. 3a|Verbergen}}{{Lösung versteckt|Tipp zu Nr. 3b) Zähle die Kästchen!<br />
Tipp zu 3c) Zähle die cm.<br />
Tipp zu 3d) Teile in 3 gleich große Teile ein und nimm 2 davon!|Tipps zu 3b),c),d)|Verbergen}}|Tipps zu Nr. 3|Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 4|Löse die Aufgaben der App im Heft, notiere auch die Nebenrechnungen. Kontrolliere deine Ergebnisse mithilfe der App.|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=11309986|width=100%|height=400px}}<br />
<br />
{{Box|Übung 5|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere jeweils geg:... und ges:...<br />
* S. 143 Nr. 4<br />
* S. 143 Nr. 5a,b<br />
* S. 143 Nr. 6. |Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Notiere geg: p%=12%; W=11400 Fußgänger<br />
ges: G<br />
Rechne mit Dreisatz oder Formel, so wie in Aufgaben 2. Notiere übersichtlich mit Nebenrechnungen.<br />
{{Lösung versteckt|Lösungen zum Vergleichen (Du musst ausführliche Rechnungen im Heft notiert haben!)<br />
a) 95000 Fußgänger; b)9000 km²; c) 45000 Stimmen; d) 68000 ha|Lösungen zur Kontrolle der Rechnungen|Verbergen}}|2=Tipp und Lösungen zu Nr. 4|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Lösungshinweise zu a):<br />
<br />
W = 300€; p% = 15% berechne nun G..... (Lösung: G = 2000€)<br />
<br />
W = 300€; p% = 30% berechne nun G..... (Lösung: G = 1000€)<br />
<br />
Beobachtung: Wenn p% von 15% auf 30% verdoppelt wird, wird der Grundwert G von 2000€ auf 1000€ halbiert.<br />
<br />
Stimmt diese Beobachtung auch für die anderen Teilaufgaben?<br />
<br />
Schreibe deine Rechnungen und Beobachtungen ins Heft.|2=Tipp zu Nr. 5|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Strukturiere jede Textaufgabe mit geg:... und ges:... Entnimm dem Text die Größen p%, W und G. Zwei der Größen müssen gegeben sein, die dritte wird gesucht.{{Lösung versteckt|1=geg: p% = 75%; W = 105€ ("das sind...", also W)<br />
<br />
ges: G<br />
<br />
Berechne mit dem Dreisatz oder mit der Formel.|2=Lösungsansatz zu Nr. 6a|3=Verbergen}}|Tipp zu Nr. 6|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Lösungen zum Vergleichen (Du musst ausführliche Rechnungen im Heft notiert haben!)<br />
a) G=140€; b)G=3200m Denke an einen Antwortsatz!|2=Lösungen Nr. 6|3=Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Hefteintrag: Das Formeldreieck|<br />
Das Formeldreieck ist eine Hilfe für das Umstellen der Formeln für die Prozentrechnung. Merke dir die Anordnung der Größen im Dreieck. Halte die gesuchte Größe mit dem Finger zu,dann erhältst du die zugehörige Formel. Zeichne das Formeldreieck in dein Heft.[[Datei:Formeldreieck Prozentrechnung.png|rahmenlos|rechts]]|Arbeitsmethode}}<br />
[[Datei:Formeldreiecke Prozentrechnung mit Hand.png]]<br />
<br />
{{Box|Übung 6|Löse die Aufgabe aus dem Buch mithilfe der Formel, nutze das Formeldreieck.<br />
* S. 146 Nr. 5 |Üben}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen) |vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad_Prozentrechnung/6)_Grundwert_G_berechnen&diff=93261Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/6) Grundwert G berechnen2024-03-25T12:00:21Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/1) Absoluter und relativer Vergleich|1) Absoluter und relativer Vergleich]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/2) Prozentschreibweise|2) Prozentschreibweise]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/3) Grundbegriffe der Prozentrechnung|3) Grundbegriffe der Prozentrechnung]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/4) Prozentsatz p% berechnen|4) Prozentsatz p% berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/5) Prozentwert W berechnen|5) Prozentwert W berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/6) Grundwert G berechnen|6) Grundwert G berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)|7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/Checkliste|8) Checkliste]]}}<br />
===6) Grundwert G berechnen===<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">Lisa: "Auch ich habe Bälle in den Eimer geworfen, aber ich habe mehr Würfe insgesamt probiert.<br />
Ich habe 21 mal getroffen. Das sind 60% aller Würfe." <br />
<br />
Wie oft hat Lisa insgesamt geworfen?</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Experiment Ball in den Eimer.png|rahmenlos|right]]</div><br />
</div><br />
<br />
{{Box|1=Grundwert G berechnen: Beispiel 1|2=Übertrage die Aufgabe in dein Heft und notiere mindestens eine Lösungsidee.<br />
<br />
geg: W = 21; p% = 60%<br />
ges: G|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
Du kannst deine Lösungsideen weiter unten kontrollieren. Schaue zunächst das Video an.<br />
<br />
Das folgende Video erklärt anhand eines Beispiels zwei Möglichkeiten, den Grundwert G zu berechnen:<br />
{{#ev:youtube|j8gGTpOMZzE|800|center}}<br><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein weiteres Video zur Berechnung des Grundwerts mit dem Dreisatz:<br><br />
{{#ev:youtube|rs7dsg_t3H4|800|center}}|2=weiteres Video zur Berechnung des Grundwertes mit dem Dreisatz|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Grundwert G berechnen: Formel und Dreisatz|Übertrage die Zusammenfassung in dein Heft.|Arbeitsmethode}}<br />
[[Datei:Grundwert G berechnen 2 Möglichkeiten Bild berichtigt.png]]<br />
<br />
Hast du die Aufgabe von oben (Lisas Würfe) ähnlich berechnet? Vergleiche deine Lösungen und ergänze bzw. berichtige.<br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:Grundwert G berechnen Bild zum Ballwurf berichtigt.png]]|Lösung|Verbergen}}<br />
<br />
Weiter geht es mit Übungen!<br />
<br />
<br /><br />
{{Box|Grundwert berechnen: Übung 1|Löse die folgenden Apps mit dem Dreisatz.|Üben}}<br />
{{h5p|id=822029|height=232}}<br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/W3YfmDs6<br />
<ggb_applet id="DGsBNe43" width="499" height="499" border="888888" /><br />
<small>Applet von C.Haberl </small><br />
<br />
{{Box|Übung 2|Löse Buch S. 143 Nr. 2 im Heft mit dem Dreisatz oder mit der Formel.|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 143 Nr. 2a Lösungshinweise.png]]|Tipp zu Nr. 2|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Lösungen zum Vergleichen (Du musst die ausführlichen Rechnungen mit Nebenrechnungen notiert haben!)<br />
a) 150m; 4992€;40,4l b)990€; 1600g; 150t|Lösungen zur Kontrolle der Rechnungen}} <br />
<br />
{{Box|Übung 3|Löse die Aufgabe aus dem Buch<br />
* S. 143 Nr. 3|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|Das folgende GeoGebra-Applet kann dir bei der Lösung der Aufgabe helfen: https://www.geogebra.org/m/hMWMJDwQ|Hilfe GeoGebra|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 143 Nr. 3a Lösung (GeoGebra).png]]|Lösung Nr. 3a|Verbergen}}{{Lösung versteckt|Tipp zu Nr. 3b) Zähle die Kästchen!<br />
Tipp zu 3c) Zähle die cm.<br />
Tipp zu 3d) Teile in 3 gleich große Teile ein und nimm 2 davon!|Tipps zu 3b),c),d)|Verbergen}}|Tipps zu Nr. 3|Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 4|Löse die Aufgaben der App im Heft, notiere auch die Nebenrechnungen. Kontrolliere deine Ergebnisse mithilfe der App.|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=11309986|width=100%|height=400px}}<br />
<br />
{{Box|Übung 5|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere jeweils geg:... und ges:...<br />
* S. 143 Nr. 4<br />
* S. 143 Nr. 5a,b<br />
* S. 143 Nr. 6. |Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Notiere geg: p%=12%; W=11400 Fußgänger<br />
ges: G<br />
Rechne mit Dreisatz oder Formel, so wie in Aufgaben 2. Notiere übersichtlich mit Nebenrechnungen.<br />
{{Lösung versteckt|Lösungen zum Vergleichen (Du musst ausführliche Rechnungen im Heft notiert haben!)<br />
a) 95000 Fußgänger; b)9000 km²; c) 45000 Stimmen; d) 68000 ha|Lösungen zur Kontrolle der Rechnungen|Verbergen}}|2=Tipp und Lösungen zu Nr. 4|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Lösungshinweise zu a):<br />
<br />
W = 300€; p% = 15% berechne nun G..... (Lösung: G = 2000€)<br />
<br />
W = 300€; p% = 30% berechne nun G..... (Lösung: G = 1000€)<br />
<br />
Beobachtung: Wenn p% von 15% auf 30% verdoppelt wird, wird der Grundwert G von 2000€ auf 1000€ halbiert.<br />
<br />
Stimmt diese Beobachtung auch für die anderen Teilaufgaben?<br />
<br />
Schreibe deine Rechnungen und Beobachtungen ins Heft.|2=Tipp zu Nr. 5|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Strukturiere jede Textaufgabe mit geg:... und ges:... Entnimm dem Text die Größen p%, W und G. Zwei der Größen müssen gegeben sein, die dritte wird gesucht.{{Lösung versteckt|1=geg: p% = 75%; W = 105€ ("das sind...", also W)<br />
<br />
ges: G<br />
<br />
Berechne mit dem Dreisatz oder mit der Formel.|2=Lösungsansatz zu Nr. 6a|3=Verbergen}}|Tipp zu Nr. 6|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Lösungen zum Vergleichen (Du musst ausführliche Rechnungen im Heft notiert haben!)<br />
a) G=140€; b)G=3200m Denke an einen Antwortsatz!|2=Lösungen Nr. 6|3=Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Hefteintrag: Das Formeldreieck|<br />
Das Formeldreieck ist eine Hilfe für das Umstellen der Formeln für die Prozentrechnung. Merke dir die Anordnung der Größen im Dreieck. Halte die gesuchte Größe mit dem Finger zu,dann erhältst du die zugehörige Formel. Zeichne das Formeldreieck in dein Heft.[[Datei:Formeldreieck Prozentrechnung.png|rahmenlos]]|Arbeitsmethode}}<br />
[[Datei:Formeldreiecke Prozentrechnung mit Hand.png]]<br />
<br />
{{Box|Übung 6|Löse die Aufgabe aus dem Buch mithilfe der Formel, nutze das Formeldreieck.<br />
* S. 146 Nr. 5 |Üben}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen) |vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad_Prozentrechnung/6)_Grundwert_G_berechnen&diff=93260Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/6) Grundwert G berechnen2024-03-25T10:52:06Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/1) Absoluter und relativer Vergleich|1) Absoluter und relativer Vergleich]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/2) Prozentschreibweise|2) Prozentschreibweise]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/3) Grundbegriffe der Prozentrechnung|3) Grundbegriffe der Prozentrechnung]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/4) Prozentsatz p% berechnen|4) Prozentsatz p% berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/5) Prozentwert W berechnen|5) Prozentwert W berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/6) Grundwert G berechnen|6) Grundwert G berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)|7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/Checkliste|8) Checkliste]]}}<br />
===6) Grundwert G berechnen===<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">Lisa: "Auch ich habe Bälle in den Eimer geworfen, aber ich habe mehr Würfe insgesamt probiert.<br />
Ich habe 21 mal getroffen. Das sind 60% aller Würfe." <br />
<br />
Wie oft hat Lisa insgesamt geworfen?</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Experiment Ball in den Eimer.png|rahmenlos|right]]</div><br />
</div><br />
<br />
{{Box|1=Grundwert G berechnen: Beispiel 1|2=Übertrage die Aufgabe in dein Heft und notiere mindestens eine Lösungsidee.<br />
<br />
geg: W = 21; p% = 60%<br />
ges: G|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
Du kannst deine Lösungsideen weiter unten kontrollieren. Schaue zunächst das Video an.<br />
<br />
Das folgende Video erklärt anhand eines Beispiels zwei Möglichkeiten, den Grundwert G zu berechnen:<br />
{{#ev:youtube|j8gGTpOMZzE|800|center}}<br><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein weiteres Video zur Berechnung des Grundwerts mit dem Dreisatz:<br><br />
{{#ev:youtube|rs7dsg_t3H4|800|center}}|2=weiteres Video zur Berechnung des Grundwertes mit dem Dreisatz|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Grundwert G berechnen: Formel und Dreisatz|Übertrage die Zusammenfassung in dein Heft.|Arbeitsmethode}}<br />
[[Datei:Grundwert G berechnen 2 Möglichkeiten Bild berichtigt.png]]<br />
<br />
Hast du die Aufgabe von oben (Lisas Würfe) ähnlich berechnet? Vergleiche deine Lösungen und ergänze bzw. berichtige.<br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:Grundwert G berechnen Bild zum Ballwurf berichtigt.png]]|Lösung|Verbergen}}<br />
<br />
Weiter geht es mit Übungen!<br />
<br />
<br /><br />
{{Box|Grundwert berechnen: Übung 1|Löse die folgenden Apps mit dem Dreisatz.|Üben}}<br />
{{h5p|id=822029|height=232}}<br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/W3YfmDs6<br />
<ggb_applet id="DGsBNe43" width="499" height="499" border="888888" /><br />
<small>Applet von C.Haberl </small><br />
<br />
{{Box|Übung 2|Löse Buch S. 143 Nr. 2 im Heft mit dem Dreisatz oder mit der Formel.|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 143 Nr. 2a Lösungshinweise.png]]|Tipp zu Nr. 2|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Lösungen zum Vergleichen (Du musst die ausführlichen Rechnungen mit Nebenrechnungen notiert haben!)<br />
a) 150m; 4992€;40,4l b)990€; 1600g; 150t|Lösungen zur Kontrolle der Rechnungen}} <br />
<br />
{{Box|Übung 3|Löse die Aufgabe aus dem Buch<br />
* S. 143 Nr. 3|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|Das folgende GeoGebra-Applet kann dir bei der Lösung der Aufgabe helfen: https://www.geogebra.org/m/hMWMJDwQ|Hilfe GeoGebra|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 143 Nr. 3a Lösung (GeoGebra).png]]|Lösung Nr. 3a|Verbergen}}{{Lösung versteckt|Tipp zu Nr. 3b) Zähle die Kästchen!<br />
Tipp zu 3c) Zähle die cm.<br />
Tipp zu 3d) Teile in 3 gleich große Teile ein und nimm 2 davon!|Tipps zu 3b),c),d)|Verbergen}}|Tipps zu Nr. 3|Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 4|Löse die Aufgaben der App im Heft, notiere auch die Nebenrechnungen. Kontrolliere deine Ergebnisse mithilfe der App.|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=11309986|width=100%|height=400px}}<br />
<br />
{{Box|Übung 5|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere jeweils geg:... und ges:...<br />
* S. 143 Nr. 4<br />
* S. 143 Nr. 5a,b<br />
* S. 143 Nr. 6. |Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Notiere geg: p%=12%; W=11400 Fußgänger<br />
ges: G<br />
Rechne mit Dreisatz oder Formel, so wie in Aufgaben 2. Notiere übersichtlich mit Nebenrechnungen.<br />
{{Lösung versteckt|Lösungen zum Vergleichen (Du musst ausführliche Rechnungen im Heft notiert haben!)<br />
a) 95000 Fußgänger; b)9000 km²; c) 45000 Stimmen; d) 68000 ha|Lösungen zur Kontrolle der Rechnungen|Verbergen}}|2=Tipp und Lösungen zu Nr. 4|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Lösungshinweise zu a):<br />
<br />
W = 300€; p% = 15% berechne nun G..... (Lösung: G = 2000€)<br />
<br />
W = 300€; p% = 30% berechne nun G..... (Lösung: G = 1000€)<br />
<br />
Beobachtung: Wenn p% von 15% auf 30% verdoppelt wird, wird der Grundwert G von 2000€ auf 1000€ halbiert.<br />
<br />
Stimmt diese Beobachtung auch für die anderen Teilaufgaben?<br />
<br />
Schreibe deine Rechnungen und Beobachtungen ins Heft.|2=Tipp zu Nr. 5|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Strukturiere jede Textaufgabe mit geg:... und ges:... Entnimm dem Text die Größen p%, W und G. Zwei der Größen müssen gegeben sein, die dritte wird gesucht.{{Lösung versteckt|1=geg: p% = 75%; W = 105€ ("das sind...", also W)<br />
<br />
ges: G<br />
<br />
Berechne mit dem Dreisatz oder mit der Formel.|2=Lösungsansatz zu Nr. 6a|3=Verbergen}}|Tipp zu Nr. 6|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Lösungen zum Vergleichen (Du musst ausführliche Rechnungen im Heft notiert haben!)<br />
a) G=140€; b)G=3200m Denke an einen Antwortsatz!|2=Lösungen Nr. 6|3=Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Hefteintrag: Das Formeldreieck|<br />
Das Formeldreieck ist eine Hilfe für das Umstellen der Formeln für die Prozentrechnung. Merke dir die Anordnung der Größen im Dreieck. Halte die gesuchte Größe mit dem Finger zu,dann erhältst du die zugehörige Formel. Zeichne das Formeldreieck in dein Heft.[[Datei:Formeldreieck Prozentrechnung.png|mini]]|Arbeitsmethode}}<br />
[[Datei:Formeldreiecke Prozentrechnung mit Hand.png]]<br />
<br />
{{Box|Übung 6|Löse die Aufgabe aus dem Buch mithilfe der Formel, nutze das Formeldreieck.<br />
* S. 146 Nr. 5 |Üben}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen) |vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad_Prozentrechnung/6)_Grundwert_G_berechnen&diff=93259Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/6) Grundwert G berechnen2024-03-25T10:46:37Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/1) Absoluter und relativer Vergleich|1) Absoluter und relativer Vergleich]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/2) Prozentschreibweise|2) Prozentschreibweise]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/3) Grundbegriffe der Prozentrechnung|3) Grundbegriffe der Prozentrechnung]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/4) Prozentsatz p% berechnen|4) Prozentsatz p% berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/5) Prozentwert W berechnen|5) Prozentwert W berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/6) Grundwert G berechnen|6) Grundwert G berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)|7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/Checkliste|8) Checkliste]]}}<br />
===6) Grundwert G berechnen===<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">Lisa: "Auch ich habe Bälle in den Eimer geworfen, aber ich habe mehr Würfe insgesamt probiert.<br />
Ich habe 21 mal getroffen. Das sind 60% aller Würfe." <br />
<br />
Wie oft hat Lisa insgesamt geworfen?</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Experiment Ball in den Eimer.png|rahmenlos|right]]</div><br />
</div><br />
<br />
{{Box|1=Grundwert G berechnen: Beispiel 1|2=Übertrage die Aufgabe in dein Heft und notiere mindestens eine Lösungsidee.<br />
<br />
geg: W = 21; p% = 60%<br />
ges: G|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
Du kannst deine Lösungsideen weiter unten kontrollieren. Schaue zunächst das Video an.<br />
<br />
Das folgende Video erklärt anhand eines Beispiels zwei Möglichkeiten, den Grundwert G zu berechnen:<br />
{{#ev:youtube|j8gGTpOMZzE|800|center}}<br><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein weiteres Video zur Berechnung des Grundwerts mit dem Dreisatz:<br><br />
{{#ev:youtube|rs7dsg_t3H4|800|center}}|2=weiteres Video zur Berechnung des Grundwertes mit dem Dreisatz|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Grundwert G berechnen: Formel und Dreisatz|Übertrage die Zusammenfassung in dein Heft.|Arbeitsmethode}}<br />
[[Datei:Grundwert G berechnen 2 Möglichkeiten Bild berichtigt.png]]<br />
<br />
Hast du die Aufgabe von oben (Lisas Würfe) ähnlich berechnet? Vergleiche deine Lösungen und ergänze bzw. berichtige.<br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:Grundwert G berechnen Bild zum Ballwurf berichtigt.png]]|Lösung|Verbergen}}<br />
<br />
Weiter geht es mit Übungen!<br />
<br />
<br /><br />
{{Box|Grundwert berechnen: Übung 1|Löse die folgenden Apps mit dem Dreisatz.|Üben}}<br />
{{h5p|id=822029|height=232}}<br />
<ggb_applet id="DGsBNe43" width="499" height="499" border="888888" /><br />
Applet von C.Haberl Originallink https://www.geogebra.org/m/W3YfmDs6<br />
<br />
{{Box|Übung 2|Löse Buch S. 143 Nr. 2 im Heft mit dem Dreisatz oder mit der Formel.|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 143 Nr. 2a Lösungshinweise.png]]|Tipp zu Nr. 2|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Lösungen zum Vergleichen (Du musst die ausführlichen Rechnungen mit Nebenrechnungen notiert haben!)<br />
a) 150m; 4992€;40,4l b)990€; 1600g; 150t|Lösungen zur Kontrolle der Rechnungen}} <br />
<br />
{{Box|Übung 3|Löse die Aufgabe aus dem Buch<br />
* S. 143 Nr. 3|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|Das folgende GeoGebra-Applet kann dir bei der Lösung der Aufgabe helfen: https://www.geogebra.org/m/hMWMJDwQ|Hilfe GeoGebra|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 143 Nr. 3a Lösung (GeoGebra).png]]|Lösung Nr. 3a|Verbergen}}{{Lösung versteckt|Tipp zu Nr. 3b) Zähle die Kästchen!<br />
Tipp zu 3c) Zähle die cm.<br />
Tipp zu 3d) Teile in 3 gleich große Teile ein und nimm 2 davon!|Tipps zu 3b),c),d)|Verbergen}}|Tipps zu Nr. 3|Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 4|Löse die Aufgaben der App im Heft, notiere auch die Nebenrechnungen. Kontrolliere deine Ergebnisse mithilfe der App.|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=11309986|width=100%|height=400px}}<br />
<br />
{{Box|Übung 5|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere jeweils geg:... und ges:...<br />
* S. 143 Nr. 4<br />
* S. 143 Nr. 5a,b<br />
* S. 143 Nr. 6. |Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Notiere geg: p%=12%; W=11400 Fußgänger<br />
ges: G<br />
Rechne mit Dreisatz oder Formel, so wie in Aufgaben 2. Notiere übersichtlich mit Nebenrechnungen.<br />
{{Lösung versteckt|Lösungen zum Vergleichen (Du musst ausführliche Rechnungen im Heft notiert haben!)<br />
a) 95000 Fußgänger; b)9000 km²; c) 45000 Stimmen; d) 68000 ha|Lösungen zur Kontrolle der Rechnungen|Verbergen}}|2=Tipp und Lösungen zu Nr. 4|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Lösungshinweise zu a):<br />
<br />
W = 300€; p% = 15% berechne nun G..... (Lösung: G = 2000€)<br />
<br />
W = 300€; p% = 30% berechne nun G..... (Lösung: G = 1000€)<br />
<br />
Beobachtung: Wenn p% von 15% auf 30% verdoppelt wird, wird der Grundwert G von 2000€ auf 1000€ halbiert.<br />
<br />
Stimmt diese Beobachtung auch für die anderen Teilaufgaben?<br />
<br />
Schreibe deine Rechnungen und Beobachtungen ins Heft.|2=Tipp zu Nr. 5|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Strukturiere jede Textaufgabe mit geg:... und ges:... Entnimm dem Text die Größen p%, W und G. Zwei der Größen müssen gegeben sein, die dritte wird gesucht.{{Lösung versteckt|1=geg: p% = 75%; W = 105€ ("das sind...", also W)<br />
<br />
ges: G<br />
<br />
Berechne mit dem Dreisatz oder mit der Formel.|2=Lösungsansatz zu Nr. 6a|3=Verbergen}}|Tipp zu Nr. 6|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Lösungen zum Vergleichen (Du musst ausführliche Rechnungen im Heft notiert haben!)<br />
a) G=140€; b)G=3200m Denke an einen Antwortsatz!|2=Lösungen Nr. 6|3=Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Hefteintrag: Das Formeldreieck|<br />
Das Formeldreieck ist eine Hilfe für das Umstellen der Formeln für die Prozentrechnung. Merke dir die Anordnung der Größen im Dreieck. Halte die gesuchte Größe mit dem Finger zu,dann erhältst du die zugehörige Formel. Zeichne das Formeldreieck in dein Heft.[[Datei:Formeldreieck Prozentrechnung.png|mini]]|Arbeitsmethode}}<br />
[[Datei:Formeldreiecke Prozentrechnung mit Hand.png]]<br />
<br />
{{Box|Übung 6|Löse die Aufgabe aus dem Buch mithilfe der Formel, nutze das Formeldreieck.<br />
* S. 146 Nr. 5 |Üben}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen) |vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad_Prozentrechnung/5)_Prozentwert_W_berechnen&diff=93257Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/5) Prozentwert W berechnen2024-03-24T16:33:53Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/1) Absoluter und relativer Vergleich|1) Absoluter und relativer Vergleich]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/2) Prozentschreibweise|2) Prozentschreibweise]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/3) Grundbegriffe der Prozentrechnung|3) Grundbegriffe der Prozentrechnung]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/4) Prozentsatz p% berechnen|4) Prozentsatz p% berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/5) Prozentwert W berechnen|5) Prozentwert W berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/6) Grundwert G berechnen|6) Grundwert G berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)|7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/Checkliste|8) Checkliste]]}}<br />
===5) Prozentwert W berechnen===<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">Bei der Durchführung des Experiments "Ball in den Eimer" mit einer anderen Klasse durfte Frau Buß-Haskert 25 mal werfen. Sie hat aber vergessen, wie oft sie getroffen hat. Aber an die Trefferequote von 48% erinnert sie sich. Könnt ihr berechnen, wie oft sie getroffen hat?</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Experiment Ball in den Eimer.png|rahmenlos|right]]</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
{{Box|1=Prozentwert W berechnen: Beispiel 1|2=Übertrage die Aufgabe in dein Heft und notiere mindestens eine Lösungsidee.<br />
<br />
geg: G = 25; p% = 48%<br />
ges: W|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
Das folgende Video zeigt an einem Beispiel zwei Möglichkeiten den Prozentwert zu berechnen:<br />
{{#ev:youtube|rJn9UAnRTY4|800|center}}<br><br />
{{Lösung versteckt|1={{#ev:youtube|YkIcW-eOQtw|800|center}}|2=noch ein Video zur Berechnung des Prozentwertes mit dem Dreisatz|3=Verbergen}}<br><br />
{{Box|Prozentwert W berechnen: Formel und Dreisatz|Übertrage die Zusammenfassung in dein Heft.|Arbeitsmethode}}<br />
[[Datei:Prozentwert W berechnen Beispiel 2 Möglichkeiten berichtigt.png]]<br />
<br />
<br />
Jetzt schau noch einmal deine Lösungsideen zur "Ball in den Eimer"-Aufgabe an. Ergänze und berichtige deine Lösungsideen, falls nötig.<br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:Prozentwert W berechnen 2 Möglichkeiten.png]]|Lösung Ball in den Eimer-Aufgabe|Verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Eselsbrücke:<br />
<br />
<b> W = G · p% </b><br />
<b>W</b>ie <b>G</b>eht <b>P</b>rozentrechnung?|2=Formel merken: Eselsbrücke|3=Verbergen}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Box|Prozentwert W berechnen: Übung 1|Berechne in den nächsten beiden Apps den Prozentwert mit dem Dreisatz.|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=perf730rc20|weight=100%|height=350}}<br />
<br />
<ggb_applet id="sTdJndPm" width="499" height="499" border="888888" /><br />
Applet von C. Haberl, Originallink https://www.geogebra.org/m/pSgrFPWH<br />
<br />
{{Box|Übung 2|Berechne den Prozentwert mit der Formel und mit dem Dreisatz. Schreibe die Aufgabe der Learningapp in dein Heft und notiere die Lösung übersichtlich! Schreibe auch die Nebenrechnungen ins Heft.<br />
Löse mindestens 4 Aufgaben.|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=pu4us6qqc20|width=100%|height=400px}}<br />
<br />
{{Box|Übung 3|Löse die Aufgaben aus dem Buch mit Formel und mit Dreisatz im Heft.<br />
* S. 141 Nr. 3<br />
* S. 141 Nr. 5|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Schätze zunächst:<br />
<br />
3a) Überschlag: 20% von 1200€ = 240€<br />
<br />
Rechnung (mit der Formel): geg: G = 1245,50€; p% = 21% = 0,21 (Dezimalbruch)<br />
<br />
W = G ∙ p% = 1245,50 ∙ 0,21 ≈ 261,56 [€]<br />
<br />
mit Dreisatz<br />
<br />
[[Datei:S.141 Nr. 3 Dreisatz.png|center]]<br />
{{Lösung versteckt|1=a)261,56€ b) 132,249km c)15,3kg|2=Lösung Nr. 3|3=Verbergen}}<br />
|2= Tipp und Lösungen zu Nr. 3|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 4|Löse die Aufgaben aus dem Buch.<br />
* S. 141 Nr. 6 a,b zum gesunden Essen. Nr. 6c ist freiwillige Übung.|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|<br />
{{Lösung versteckt|1=Notiere übersichtlich:<br />
Andy: geg: G = 300g; p% = 32% = 0,32 Marina: geg: G = ...<br />
<br />
ges: W<br />
<br />
W = ...|2=Tipp zu Nr. 6a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Information im Text: Fettbedarf pro Tag: 1 g pro kg Körpergewicht|Tipp 1 zu Nr. 6b|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=geg: <br />
<br />
Andy : Hamburger , Pommes G = 300g; p%=32% = 0,32 Eis G = 80g; p% = 26% = 0,26<br />
<br />
Marina: Pfannkuchen G = 250g; p% = 8% = 0,08 und Eis G = 80g; p% = 1,8% = 0,018<br />
<br />
Fettbedarf pro Tag: ca. 1g pro kg Körpergewicht<br />
<br />
ges: Anteil an Fetten im Essen in Gramm, damit wird das nötige Körpergewicht berechnet|2=Tipp 2 zu b) geg/ges|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 141 Nr. 6b Lösung.png]]|Tipp 3 zu b) Lösung|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Berechne mit den Angaben auf den Nahrungsmitteln für einen Tag, wie viel Gramm Fett du an diesem Tag zu dir genommen hast.|Tipp zu Nr. 6c|Verbergen}}|Tipps zu Nr. 6|Verbergen}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=6) Grundwert G berechnen|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/6) Grundwert G berechnen|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad_Prozentrechnung/4)_Prozentsatz_p%25_berechnen&diff=93255Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/4) Prozentsatz p% berechnen2024-03-24T15:24:30Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/1) Absoluter und relativer Vergleich|1) Absoluter und relativer Vergleich]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/2) Prozentschreibweise|2) Prozentschreibweise]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/3) Grundbegriffe der Prozentrechnung|3) Grundbegriffe der Prozentrechnung]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/4) Prozentsatz p% berechnen|4) Prozentsatz p% berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/5) Prozentwert W berechnen|5) Prozentwert W berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/6) Grundwert G berechnen|6) Grundwert G berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)|7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/Checkliste|8) Checkliste]]}}<br />
===4) Prozentsatz p% berechnen===<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">Beim Experiment solltet ihr insgesamt 20 bzw. 25 mal auf einen Eimer werfen (Grundwert G) und die Anzahl der Treffer zählen (Prozentwert W).</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Experiment Ball in den Eimer.png|rahmenlos|alternativtext=|200x200px]]</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Um die Anteile leicht miteinander vergleichen zu können, haben wir sie in Prozentschreibweise angegeben:<br />
<br />
<b>Prozentsatz p%</b><br />
<br />
Wie sind wir vorgegangen? Erinnerst du dich?<br />
<br />
p% = <math>\frac{\text{Anzahl der Treffer}}{\text{Anzahl der Würfe insgesamt}}</math> = <math>\frac{p}{100}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Übertrage den nachfolgenden Merksatz und das Beispiel in dein Heft:<br />
{{Box|1=Prozentsatz p%|2=Wir können Anteile mit dem Prozentsatz p% angeben. Den Prozentsatz berechnen wir aus dem Prozentwert W und dem Grundwert G mit der Formel oder mit dem Dreisatz.|3=Merksatz}}<br />
[[Datei:Prozentsatz Formel.png|515x515px]]<br />
{{Lösung versteckt| [[Datei:Prozentsatz berechnen Beispiel Unterschied Formeln.png]]|Beispiel zum Unterschied zwischen den beiden Formeln|Verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
<br />
Wir schauen uns noch einmal das Ergebnis eines Mitschülers an: Er hatte 13 Treffer bei 20 Würfen insgesamt.<br />
<br />
{{#ev:youtube|AgMs3gSbKJA|800|center}}<br><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein weiteres Video zur Berechnung des Prozentsatzes mithilfe des Dreiesatzes:<br><br />
{{#ev:youtube|1Mn6kbjqcb8|800|center}}|2=weiteres Video zur Berechnung des Prozentsatzes mit dem Dreisatz|3=Verbergen}}<br><br />
<br />
<br />
{{Box|Prozentsatz p% berechnen|Schreibe die Möglichkeiten, den Prozentsatz p% zu berechnen, aus der Übersicht unten in dein Heft ab.|Arbeitsmethode}}<br />
geg: G = 20 (Würfe insgesamt); W = 13 (Treffer)<br />
<br />
ges: p%<br />
[[Datei:Prozentsatz berechnen 2 Möglichkeiten berichtigt.png|center]]<br />
<br />
{{Box|Prozentsatz p% berechnen: Übung 1|Beim Sportabzeichentag erhielten von den 450 Schülerinnen und Schülern 279 ein Sportabzeichen. Wie viel Prozent sind das? Löse im Heft <b>mit der Formel</b> und <b>mit dem Dreisatz</b>|Üben}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:Prozentsatz berechnen Aufgabe Sportabzeichen Möglichkeit 1.png]]|Möglichkeit 1: Formel|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:Prozentsatz berechnen Aufgabe Sportabzeichen Möglichkeit 2.png]]|Möglichkeit 2: Dreisatz|Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 2|Berechne die Prozentsätze in der nachfolgenden App.|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=pd4yob07k20|width=100%|height=300px}}<br />
<br />
{{Box|Übung 3|Bearbeite die Aufgaben aus dem Buch. Löse mit dem Dreisatz '''UND''' mit der Formel. <br />
* S. 139 Nr. 2 <br />
* S. 139 Nr. 3 (Überschlage alle Aufgaben, berechne 1 Aufgabe genau)|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
S. 139 Nr. 2c)<br />
450 g von 1 kg (<span style="color: red>gleiche Einheit!</span>)<br />
450 g von 1000 g<br />
p% =<math>{450 \over 100}</math> = <math>{45 \over 10}</math> = 45%|2=Hinweis zu Nr. 2c|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Lösungen Nr. 2 <br />
Vergleiche deine Lösungen mit einem andersfarbigen Stift. (Du musst ausführliche Rechnungen mit der Formel in deinem Heft notiert haben!)<br />
a) 50%;25%;20% b) 44%;5%;35% c)71%;35%;45% d)75%;25%;12,5%|Lösungen Nr. 2|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Tipps zu Nr. 3<br />
{{Lösung versteckt|1=S. 139 Nr. 3a)Überschlag: 25€ von 100€ = 25%|2=Nr. 3 Beispiel zum Überschlag|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne auf zwei Nachkommaziffern genau heißt, dass p% zwei Nachkommaziffern haben soll, z.B. p% = 21,63%. Du musst also 5 Stellen beim schriftlichen Dividieren ausrechnen.|2=Nr. 3 Hinweis zu den Nachkommaziffern|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:Hinweis zu S. 139 Nr. 3.png]]|Nr. 3 schriftliche Division|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:Hinweis zu S. 139 Nr. 3 Runden.png]]|Nr. 3 Hinweis zum Runden|Verbergen}}|2=Tipps zu Nr. 3|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 4|Löse die folgenden Anwendungsaufgaben mit der Formel und mit dem Dreisatz.|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=pd83efk6t20|width=100%|height=900px}}<br />
<br />
{{Box|Übung 5|Löse folgende Anwendungsaufgaben mit der Formel und mit dem Dreisatz. <br />
<br />
a)Frau Krause verdient verdient 2700 € im Monat. Davon zahlt er 918,00 € für die Miete. Wie viel Prozent des Verdienstes sind das?<br />
<br />
b) Bei der Klassensprecherwahl hat Johanna 18 Stimmen von insgesamt 24 Stimmen bekommen. Wie viel Prozent sind das?<br />
<br />
c) Ein Sportverein hat 550 Mitglieder. 396 der Mitglieder sind in der Fußballabteilung. Wie viel Prozent sind das?<br />
<br />
Notiere die Nebenrechnungen.|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=a) p%=34%; b) p%=75%; c) p%=72%|2=Lösungen|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 6|Löse im Heft oder mit einem Tabellenkalkulationsprogramm. (Lade die Lösung mit der Tabellenkalulation im Gruppenordner hoch.<br />
* S. 139 Nr. 4|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die rot markierten Zahlen dürfen verändert werden, die Tabellenkalkulation soll dann die entsprechenden Prozentsätze berechnen. Gib dazu Formeln in die Spalte F ein. Erinnerung: Formeln beginnen immer mit einem = Zeichen. [[Datei:Hinweis zu S. 139 Nr. 4 Tabellenkalkulation.png]]|2=Hinweis zur Tabellenkalkulation|3=Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=5) Prozentwert W berechnen|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/5) Prozentwert W berechnen|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad_Prozentrechnung/4)_Prozentsatz_p%25_berechnen&diff=93254Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/4) Prozentsatz p% berechnen2024-03-24T13:26:26Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/1) Absoluter und relativer Vergleich|1) Absoluter und relativer Vergleich]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/2) Prozentschreibweise|2) Prozentschreibweise]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/3) Grundbegriffe der Prozentrechnung|3) Grundbegriffe der Prozentrechnung]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/4) Prozentsatz p% berechnen|4) Prozentsatz p% berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/5) Prozentwert W berechnen|5) Prozentwert W berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/6) Grundwert G berechnen|6) Grundwert G berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)|7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/Checkliste|8) Checkliste]]}}<br />
===4) Prozentsatz p% berechnen===<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">Beim Experiment solltet ihr insgesamt 20 bzw. 25 mal auf einen Eimer werfen (Grundwert G) und die Anzahl der Treffer zählen (Prozentwert W).</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Experiment Ball in den Eimer.png|rahmenlos|alternativtext=|200x200px]]</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Um die Anteile leicht miteinander vergleichen zu können, haben wir sie in Prozentschreibweise angegeben:<br />
<br />
<b>Prozentsatz p%</b><br />
<br />
Wie sind wir vorgegangen? Erinnerst du dich?<br />
<br />
p% = <math>\frac{\text{Anzahl der Treffer}}{\text{Anzahl der Würfe insgesamt}}</math> = <math>\frac{p}{100}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Übertrage den nachfolgenden Merksatz und das Beispiel in dein Heft:<br />
{{Box|1=Prozentsatz p%|2=Wir können Anteile mit dem Prozentsatz p% angeben. Den Prozentsatz berechnen wir aus dem Prozentwert W und dem Grundwert G mit der Formel oder mit dem Dreisatz.|3=Merksatz}}<br />
[[Datei:Prozentsatz Formel.png|515x515px]]<br />
{{Lösung versteckt| [[Datei:Prozentsatz berechnen Beispiel Unterschied Formeln.png]]|Beispiel zum Unterschied zwischen den beiden Formeln|Verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
<br />
Wir schauen uns noch einmal das Ergebnis eines Mitschülers an: Er hatte 13 Treffer bei 20 Würfen insgesamt.<br />
<br />
{{#ev:youtube|AgMs3gSbKJA|800|center}}<br><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein weiteres Video zur Berechnung des Prozentsatzes mithilfe des Dreiesatzes:<br><br />
{{#ev:youtube|1Mn6kbjqcb8|800|center}}|2=weiteres Video zur Berechnung des Prozentsatzes mit dem Dreisatz|3=Verbergen}}<br><br />
<br />
<br />
{{Box|Prozentsatz p% berechnen|Schreibe die Möglichkeiten, den Prozentsatz p% zu berechnen, aus der Übersicht unten in dein Heft ab.|Arbeitsmethode}}<br />
geg: G = 20 (Würfe insgesamt); W = 13 (Treffer)<br />
<br />
ges: p%<br />
[[Datei:Prozentsatz berechnen 2 Möglichkeiten berichtigt.png|center]]<br />
<br />
{{Box|Prozentsatz p% berechnen: Übung 1|Beim Sportabzeichentag erhielten von den 450 Schülerinnen und Schülern 279 ein Sportabzeichen. Wie viel Prozent sind das? Löse im Heft <b>mit der Formel</b> und <b>mit dem Dreisatz</b>|Üben}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:Prozentsatz berechnen Aufgabe Sportabzeichen Möglichkeit 1.png]]|Möglichkeit 1: Formel|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:Prozentsatz berechnen Aufgabe Sportabzeichen Möglichkeit 2.png]]|Möglichkeit 2: Dreisatz|Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 2|Berechne die Prozentsätze in der nachfolgenden App.|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=pd4yob07k20|width=100%|height=300px}}<br />
<br />
{{Box|Übung 3|Bearbeite die Aufgaben aus dem Buch. Löse mit dem Dreisatz '''UND''' mit der Formel. <br />
* S. 139 Nr. 2 <br />
* S. 139 Nr. 3|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
S. 139 Nr. 2c)<br />
450 g von 1 kg (<span style="color: red>gleiche Einheit!</span>)<br />
450 g von 1000 g<br />
p% =<math>{450 \over 100}</math> = <math>{45 \over 10}</math> = 45%|2=Hinweis zu Nr. 2c|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Lösungen Nr. 2 <br />
Vergleiche deine Lösungen mit einem andersfarbigen Stift. (Du musst ausführliche Rechnungen mit der Formel in deinem Heft notiert haben!)<br />
a) 50%;25%;20% b) 44%;5%;35% c)71%;35%;45% d)75%;25%;12,5%|Lösungen Nr. 2|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Tipps zu Nr. 3<br />
{{Lösung versteckt|1=S. 139 Nr. 3a)Überschlag: 25€ von 100€ = 25%|2=Nr. 3 Beispiel zum Überschlag|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne auf zwei Nachkommaziffern genau heißt, dass p% zwei Nachkommaziffern haben soll, z.B. p% = 21,63%. Du musst also 5 Stellen beim schriftlichen Dividieren ausrechnen.|2=Nr. 3 Hinweis zu den Nachkommaziffern|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:Hinweis zu S. 139 Nr. 3.png]]|Nr. 3 schriftliche Division|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:Hinweis zu S. 139 Nr. 3 Runden.png]]|Nr. 3 Hinweis zum Runden|Verbergen}}|2=Tipps zu Nr. 3|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 4|Löse die folgenden Anwendungsaufgaben mit der Formel und mit dem Dreisatz.|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=pd83efk6t20|width=100%|height=900px}}<br />
<br />
{{Box|Übung 5|Löse folgende Anwendungsaufgaben mit der Formel und mit dem Dreisatz. <br />
<br />
a)Frau Krause verdient verdient 2700 € im Monat. Davon zahlt er 918,00 € für die Miete. Wie viel Prozent des Verdienstes sind das?<br />
<br />
b) Bei der Klassensprecherwahl hat Johanna 18 Stimmen von insgesamt 24 Stimmen bekommen. Wie viel Prozent sind das?<br />
<br />
c) Ein Sportverein hat 550 Mitglieder. 396 der Mitglieder sind in der Fußballabteilung. Wie viel Prozent sind das?<br />
<br />
Notiere die Nebenrechnungen.|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=a) p%=34%; b) p%=75%; c) p%=72%|2=Lösungen|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 6|Löse im Heft oder mit einem Tabellenkalkulationsprogramm. (Lade die Lösung mit der Tabellenkalulation im Gruppenordner hoch.<br />
* S. 139 Nr. 4|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die rot markierten Zahlen dürfen verändert werden, die Tabellenkalkulation soll dann die entsprechenden Prozentsätze berechnen. Gib dazu Formeln in die Spalte F ein. Erinnerung: Formeln beginnen immer mit einem = Zeichen. [[Datei:Hinweis zu S. 139 Nr. 4 Tabellenkalkulation.png]]|2=Hinweis zur Tabellenkalkulation|3=Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=5) Prozentwert W berechnen|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/5) Prozentwert W berechnen|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad_Prozentrechnung/2)_Prozentschreibweise&diff=93253Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/2) Prozentschreibweise2024-03-24T07:53:18Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/1) Absoluter und relativer Vergleich|1) Absoluter und relativer Vergleich]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/2) Prozentschreibweise|2) Prozentschreibweise]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/3) Grundbegriffe der Prozentrechnung|3) Grundbegriffe der Prozentrechnung]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/4) Prozentsatz p% berechnen|4) Prozentsatz p% berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/5) Prozentwert W berechnen|5) Prozentwert W berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/6) Grundwert G berechnen|6) Grundwert G berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)|7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/Checkliste|8) Checkliste]]}}<br />
<br />
==2) Prozentschreibweise==<br />
===2.1 Bruch - Dezimalbruch - Prozent===<br />
<br />
Wiederholung Klasse 6<br><br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/juqpkvmh<br />
<ggb_applet id="a2hejbxg" width="899" height="518" border="888888" /><br />
<br><br />
<br />
{{Box|1=Prozentschreibweise|2='''Prozente''' sind Anteile mit dem Nenner '''100'''.<br />
<br />
1% = <math>\tfrac{1}{100}</math><br />
<br />
p% = <math>\tfrac{p}{100}</math><br />
<br />
p heißt '''Prozentzahl''' und p'''%''' heißt '''Prozentsatz'''.|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
Beispiele:<br />
[[Datei:16 50stel Streifen.jpg|links|rahmenlos]]<br />
16 von 50 Schülern haben Mathe als Lieblingsfach, das sind <math>\tfrac{16}{50}</math> = <math>\tfrac{32}{100}</math> = 0,32 = 32%<br><br />
<br><br />
[[Datei:2 5tel Streifen.jpg|links|rahmenlos]]<br />
<math>\tfrac{2}{5}</math> des Streifens sind gefärbt, das sind <br><math>\tfrac{2}{5}</math> = <math>\tfrac{40}{100}</math> = 0,4 = 40%<br />
<br />
{{Box|Übung 1 - Prozentbegriff|<br />
a) Bearbeite die nachfolgenden Applets des FLINK-Teams.<br><br />
b) Löse auf der Seite realmath so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.<br />
* https://realmath.de/Neues/Klasse6/prozentrechnung/prozentbegriff.php |Üben}}<br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/ycuzf5bv<br />
<ggb_applet id="snfzwfzn" width="823" height="616" border="888888" /><br />
<br><br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/eqjhuxyz<br />
<ggb_applet id="v3e2tg3c" width="827" height="540" border="888888" /><br><br />
<br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/aztwkucr<br />
<ggb_applet id="whzx4juy" width="861" height="463" border="888888" /><br><br />
<br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/kpqv7gmj<br />
<ggb_applet id="cjp5xqkg" width="868" height="567" border="888888" /><br><br />
<br />
<br />
{{Box|Anteile angeben - 3 Schreibweisen|Wir können Anteile mit drei verschiedenen <br />
Schreibweisen angeben:<br />
* als Bruch<br />
* als Dezimalbruch<br />
* in Prozent<br />
Die Schreibweisen können wir beliebig umwandeln.|Merksatz}}<br />
<br />
<br /><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|bbjTr0YsFOs|420|center}}</div><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|kMbMphpQKsk|420|center}}</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<br><br />
{{Box|Übung 2 - Brüche und Dezimalbrüche in Prozente umwandeln|[[Datei:Idee Nenner 100.jpg|rahmenlos|200x100px]]<br />
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/prozentrechnung/prozentdezimal.php Bruch - Prozent (realmath)]<br />
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/prozentrechnung/prozentdezimalzahl.php Dezimalbruch - Prozent (realmath)]<br />
* Bearbeite die folgende App. <br />
* S. 134, Nr. 2<br />
* S. 135, Nr. 4<br />
|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=8709740|width=100%|height=460px}}<br />
<br />
{{Box|Übung 3: Prozentangaben in Brüche umwandeln|* Bearbeite die folgende App. <br />
* Löse danach Buch S. 135 Nr. 3|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=pqe6x9pna19|width=100%|heigth=460px}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 4 - Vermischte Übungen|<br />
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/prozentrechnung/prozentkombi.php 3 Schreibweisen (realmath)]<br />
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/prozentneu/bruchinprozent.php Ordne richtig zu (realmath)]<br />
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/prozentneu/prozentundbruch.php Ordne richtig zu (Profi) (realmath)]<br />
* Bearbeite folgenden beiden Apps.<br />
* Sprinteraufgaben: Wähle aus der App-Sammlung Übungen aus.|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=p1euv5gp320|width=100%|heigth=460px}}<br />
{{LearningApp|app=pttqjyuut20|width=100%|heigth=460px}}<br />
{{LearningApp|app=p8fe4bj4n18|width=100%|heigth=460px}}<br />
<br />
===2.2) Prozentanteile in Diagrammen darstellen===<br />
Du hast schon verschiedene Diagramme kennengelernt. Hier lernst du, wie du Prozentanteile in einem Streifendiagramm und in einem Prozentkreis darstellt.<br />
<br />
{{Box|Übung 5 - Prozentstreifen und Kreisdiagramm|<br />
*[https://realmath.de/Neues/Klasse6/prozentneu/streifenfind.php Prozentstreifen (realmath)]<br />
*[https://realmath.de/Neues/Klasse6/prozentrechnung/prozentschatz.php Kreisdiagramm 1 (realmath)]<br />
*[https://realmath.de/Neues/Klasse6/prozentrechnung/prozentschatz2.php Kreisdiagramm 2 (realmath)]|Üben}}<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">Prozentstreifen<br />
{{#ev:youtube|0r55TGcVOyw|460|center}}</div><br />
<div class="width-1-2">Prozentkreis<br />
{{#ev:youtube|uhIhG8uHS00|460|center}}</div><br />
</div><br />
<br />
{{Box|Übung 6: Prozentanteile in Diagrammen|Von den 540 Schülerinnen und Schülern der HLR kommen 351 mit dem Fahrrad zur Schule, und 108 mit dem Bus. Die anderen kommen zu Fuß zur Schule.<br />
<br />
a) Wie groß sind jeweils die Prozentanteile?<br />
<br />
b) Stelle die Prozentanteile in einem Prozentstreifen dar.<br />
<br />
c) Stelle die Prozentanteile in einem Kreisdiagramm dar.|Üben}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|Schau S. 136 die Information im grünen Kasten an: Prozentanteile grafisch darstellen.|Tipp|Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 7: Anwendungsaufgabe|Löse S.136 Nr. 13 a, b und c.|Üben}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=3) Grundbegriffe der Prozentrechnung|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/3) Grundbegriffe der Prozentrechnung|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung}}<br />
__INHALTSVERZEICHNIS_ERZWINGEN__</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad_Prozentrechnung/2)_Prozentschreibweise&diff=93252Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/2) Prozentschreibweise2024-03-24T07:44:18Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/1) Absoluter und relativer Vergleich|1) Absoluter und relativer Vergleich]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/2) Prozentschreibweise|2) Prozentschreibweise]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/3) Grundbegriffe der Prozentrechnung|3) Grundbegriffe der Prozentrechnung]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/4) Prozentsatz p% berechnen|4) Prozentsatz p% berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/5) Prozentwert W berechnen|5) Prozentwert W berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/6) Grundwert G berechnen|6) Grundwert G berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)|7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/Checkliste|8) Checkliste]]}}<br />
<br />
==2) Prozentschreibweise==<br />
===2.1 Bruch - Dezimalbruch - Prozent===<br />
<br />
Wiederholung Klasse 6<br><br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/juqpkvmh<br />
<ggb_applet id="a2hejbxg" width="899" height="518" border="888888" /><br />
<br><br />
<br />
{{Box|1=Prozentschreibweise|2='''Prozente''' sind Anteile mit dem Nenner '''100'''.<br />
<br />
1% = <math>\tfrac{1}{100}</math><br />
<br />
p% = <math>\tfrac{p}{100}</math><br />
<br />
p heißt '''Prozentzahl''' und p'''%''' heißt '''Prozentsatz'''.|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
Beispiele:<br />
[[Datei:16 50stel Streifen.jpg|links|rahmenlos]]<br />
16 von 50 Schülern haben Mathe als Lieblingsfach, das sind <math>\tfrac{16}{50}</math> = <math>\tfrac{32}{100}</math> = 0,32 = 32%<br><br />
<br><br />
[[Datei:2 5tel Streifen.jpg|links|rahmenlos]]<br />
<math>\tfrac{2}{5}</math> des Streifens sind gefärbt, das sind <br><math>\tfrac{2}{5}</math> = <math>\tfrac{40}{100}</math> = 0,4 = 40%<br />
<br />
{{Box|Übung 1 - Prozentbegriff|<br />
a) Bearbeite die nachfolgenden Applets des FLINK-Teams.<br><br />
b) Löse auf der Seite realmath so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.<br />
* https://realmath.de/Neues/Klasse6/prozentrechnung/prozentbegriff.php |Üben}}<br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/ycuzf5bv<br />
<ggb_applet id="snfzwfzn" width="823" height="616" border="888888" /><br />
<br><br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/eqjhuxyz<br />
<ggb_applet id="v3e2tg3c" width="827" height="540" border="888888" /><br><br />
<br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/aztwkucr<br />
<ggb_applet id="whzx4juy" width="861" height="463" border="888888" /><br><br />
<br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/kpqv7gmj<br />
<ggb_applet id="cjp5xqkg" width="868" height="567" border="888888" /><br><br />
<br />
<br />
{{Box|Anteile angeben - 3 Schreibweisen|Wir können Anteile mit drei verschiedenen <br />
Schreibweisen angeben:<br />
* als Bruch<br />
* als Dezimalbruch<br />
* in Prozent<br />
Die Schreibweisen können wir beliebig umwandeln.|Merksatz}}<br />
<br />
<br /><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|bbjTr0YsFOs|420|center}}</div><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|kMbMphpQKsk|420|center}}</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<br><br />
{{Box|Übung 2 - Brüche und Dezimalbrüche in Prozente umwandeln|[[Datei:Idee Nenner 100.jpg|rahmenlos|200x100px]]<br />
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/prozentrechnung/prozentdezimal.php Bruch - Prozent (realmath)]<br />
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/prozentrechnung/prozentdezimalzahl.php Dezimalbruch - Prozent (realmath)]<br />
* Bearbeite die folgende App. <br />
* Löse danach Buch S. 134 Nr. 2|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=8709740|width=100%|height=460px}}<br />
<br />
{{Box|Übung 3: Prozentangaben in Brüche umwandeln|* Bearbeite die folgende App. <br />
* Löse danach Buch S. 135 Nr. 3|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=pqe6x9pna19|width=100%|heigth=460px}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 4 - Vermischte Übungen|<br />
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/prozentrechnung/prozentkombi.php 3 Schreibweisen (realmath)]<br />
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/prozentneu/bruchinprozent.php Ordne richtig zu (realmath)]<br />
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/prozentneu/prozentundbruch.php Ordne richtig zu (Profi) (realmath)]<br />
* Bearbeite folgenden beiden Apps.<br />
* Sprinteraufgaben: Wähle aus der App-Sammlung Übungen aus.|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=p1euv5gp320|width=100%|heigth=460px}}<br />
{{LearningApp|app=pttqjyuut20|width=100%|heigth=460px}}<br />
{{LearningApp|app=p8fe4bj4n18|width=100%|heigth=460px}}<br />
<br />
===2.2) Prozentanteile in Diagrammen darstellen===<br />
Du hast schon verschiedene Diagramme kennengelernt. Hier lernst du, wie du Prozentanteile in einem Streifendiagramm und in einem Prozentkreis darstellt.<br />
<br />
{{Box|Übung 5 - Prozentstreifen und Kreisdiagramm|<br />
*[https://realmath.de/Neues/Klasse6/prozentneu/streifenfind.php Prozentstreifen (realmath)]<br />
*[https://realmath.de/Neues/Klasse6/prozentrechnung/prozentschatz.php Kreisdiagramm 1 (realmath)]<br />
*[https://realmath.de/Neues/Klasse6/prozentrechnung/prozentschatz2.php Kreisdiagramm 2 (realmath)]|Üben}}<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">Prozentstreifen<br />
{{#ev:youtube|0r55TGcVOyw|460|center}}</div><br />
<div class="width-1-2">Prozentkreis<br />
{{#ev:youtube|uhIhG8uHS00|460|center}}</div><br />
</div><br />
<br />
{{Box|Übung 6: Prozentanteile in Diagrammen|Von den 540 Schülerinnen und Schülern der HLR kommen 351 mit dem Fahrrad zur Schule, und 108 mit dem Bus. Die anderen kommen zu Fuß zur Schule.<br />
<br />
a) Wie groß sind jeweils die Prozentanteile?<br />
<br />
b) Stelle die Prozentanteile in einem Prozentstreifen dar.<br />
<br />
c) Stelle die Prozentanteile in einem Kreisdiagramm dar.|Üben}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|Schau S. 136 die Information im grünen Kasten an: Prozentanteile grafisch darstellen.|Tipp|Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 7: Anwendungsaufgabe|Löse S.136 Nr. 13 a, b und c.|Üben}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=3) Grundbegriffe der Prozentrechnung|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/3) Grundbegriffe der Prozentrechnung|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung}}<br />
__INHALTSVERZEICHNIS_ERZWINGEN__</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad_Prozentrechnung/2)_Prozentschreibweise&diff=93251Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/2) Prozentschreibweise2024-03-24T07:43:28Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/1) Absoluter und relativer Vergleich|1) Absoluter und relativer Vergleich]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/2) Prozentschreibweise|2) Prozentschreibweise]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/3) Grundbegriffe der Prozentrechnung|3) Grundbegriffe der Prozentrechnung]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/4) Prozentsatz p% berechnen|4) Prozentsatz p% berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/5) Prozentwert W berechnen|5) Prozentwert W berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/6) Grundwert G berechnen|6) Grundwert G berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)|7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/Checkliste|8) Checkliste]]}}<br />
<br />
==2) Prozentschreibweise==<br />
===2.1 Bruch - Dezimalbruch - Prozent===<br />
<br />
Wiederholung Klasse 6<br><br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/juqpkvmh<br />
<ggb_applet id="a2hejbxg" width="899" height="518" border="888888" /><br />
<br><br />
<br />
{{Box|1=Prozentschreibweise|2='''Prozente''' sind Anteile mit dem Nenner '''100'''.<br />
<br />
1% = <math>\tfrac{1}{100}</math><br />
<br />
p% = <math>\tfrac{p}{100}</math><br />
<br />
p heißt '''Prozentzahl''' und p'''%''' heißt '''Prozentsatz'''.|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
Beispiele:<br />
[[Datei:16 50stel Streifen.jpg|links|rahmenlos]]<br />
16 von 50 Schülern haben Mathe als Lieblingsfach, das sind <math>\tfrac{16}{50}</math> = <math>\tfrac{32}{100}</math> = 0,32 = 32%<br><br />
<br><br />
[[Datei:2 5tel Streifen.jpg|links|rahmenlos]]<br />
<math>\tfrac{2}{5}</math> des Streifens sind gefärbt, das sind <br><math>\tfrac{2}{5}</math> = <math>\tfrac{40}{100}</math> = 0,4 = 40%<br />
<br />
{{Box|Übung 1 - Prozentbegriff|<br />
a) Bearbeite die nachfolgenden Applets des FLINK-Teams.<br><br />
b) Löse auf der Seite realmath so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.<br />
* https://realmath.de/Neues/Klasse6/prozentrechnung/prozentbegriff.php |Üben}}<br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/ycuzf5bv<br />
<ggb_applet id="snfzwfzn" width="823" height="616" border="888888" /><br />
<br><br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/eqjhuxyz<br />
<ggb_applet id="v3e2tg3c" width="827" height="540" border="888888" /><br><br />
<br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/aztwkucr<br />
<ggb_applet id="whzx4juy" width="861" height="463" border="888888" /><br><br />
<br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/kpqv7gmj<br />
<ggb_applet id="cjp5xqkg" width="868" height="567" border="888888" /><br><br />
<br />
<br />
{{Box|Anteile angeben - 3 Schreibweisen|Wir können Anteile mit drei verschiedenen <br />
Schreibweisen angeben:<br />
* als Bruch<br />
* als Dezimalbruch<br />
* in Prozent<br />
Die Schreibweisen können wir beliebig umwandeln.|Merksatz}}<br />
<br />
<br /><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|bbjTr0YsFOs|420|center}}</div><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|kMbMphpQKsk|420|center}}</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<br><br />
{{Box|Übung 2 - Brüche und Dezimalbrüche in Prozente umwandeln|[[Datei:Idee Nenner 100.jpg|rahmenlos|200x100px]]<br />
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/prozentrechnung/prozentdezimal.php Bruch - Prozent (realmath)]<br />
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/prozentrechnung/prozentdezimalzahl.php Dezimalbruch - Prozent (realmath)]<br />
* Bearbeite die folgende App. <br />
* Löse danach Buch S. 134 Nr. 2|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=8709740|width=100%|height=460px}}<br />
<br />
{{Box|Übung 3: Prozentangaben in Brüche umwandeln|* Bearbeite die folgende App. <br />
* Löse danach Buch S. 135 Nr. 3|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=pqe6x9pna19|width=100%|heigth=460px}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 4 - Vermischte Übungen|<br />
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/prozentrechnung/prozentkombi.php 3 Schreibweisen (realmath)]<br />
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/prozentneu/bruchinprozent.php Ordne richtig zu (realmath)]<br />
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/prozentneu/prozentundbruch.php Ordne richtig zu (Profi) (realmath)]<br />
* Bearbeite folgenden beiden Apps.<br />
* Sprinteraufgaben: Wähle aus der App-Sammlung Übungen aus.|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=p1euv5gp320|width=100%|heigth=460px}}<br />
{{LearningApp|app=pttqjyuut20|width=100%|heigth=460px}}<br />
{{LearningApp|app=p8fe4bj4n18|width=100%|heigth=460px}}<br />
<br />
===2.2) Prozentanteile in Diagrammen darstellen===<br />
Du hast schon verschiedene Diagramme kennengelernt. Hier lernst du, wie du Prozentanteile in einem Streifendiagramm und in einem Prozentkreis darstellt.<br />
<br />
{{Box|Übung 5 - Prozentstreifen und Kreisdiagramm|<br />
*[https://realmath.de/Neues/Klasse6/prozentneu/streifenfind.php Prozentstreifen (realmath)]<br />
*[https://realmath.de/Neues/Klasse6/prozentrechnung/prozentschatz.php Kreisdiagramm 1 (realmath)]<br />
*[https://realmath.de/Neues/Klasse6/prozentrechnung/prozentschatz2.php Kreisdiagramm 2 (realmath)]|Üben}}<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">Prozentstreifen<br />
{{#ev:youtube|0r55TGcVOyw|460|center}}</div><br />
<div class="width-1-2">Prozentkreis<br />
{{#ev:youtube|uhIhG8uHS00|460|center}}</div><br />
</div><br />
<br />
{{Box|Übung 6: Prozentanteile in Diagrammen|Von den 540 Schülerinnen und Schülern der HLR kommen 351 mit dem Fahrrad zur Schule, und 108 mit dem Bus. Die anderen kommen zu Fuß zur Schule.<br />
<br />
a) Wie groß sind jeweils die Prozentanteile?<br />
<br />
b) Stelle die Prozentanteile in einem Prozentstreifen dar.<br />
<br />
c) Stelle die Prozentanteile in einem Kreisdiagramm dar.|Üben}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|Schau S. 136 die Information im grünen Kasten an: Prozentanteile grafisch darstellen.|Tipp|Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 7: Anwendungsaufgabe|Löse S.136 Nr. 13 a, b und c.|Üben}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=3) Grundbegriffe der Prozentrechnung|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/3) Grundbegriffe der Prozentrechnung|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad_Prozentrechnung/1)_Absoluter_und_relativer_Vergleich&diff=93241Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/1) Absoluter und relativer Vergleich2024-03-23T20:19:18Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/1) Absoluter und relativer Vergleich|1) Absoluter und relativer Vergleich]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/2) Prozentschreibweise|2) Prozentschreibweise]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/3) Grundbegriffe der Prozentrechnung|3) Grundbegriffe der Prozentrechnung]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/4) Prozentsatz p% berechnen|4) Prozentsatz p% berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/5) Prozentwert W berechnen|5) Prozentwert W berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/6) Grundwert G berechnen|6) Grundwert G berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)|7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/Checkliste|8) Checkliste]]}}<br />
==1) Absoluter und relativer Vergleich==<br />
Führe das folgende Experiment durch: Stelle einen leeren Mülleimer in 3 m Entfernung von deinem Standort auf und versuche, einen kleinen Ball in den Eimer zu werfen. Alle Jungen haben 20 Versuche, alle Mädchen 25 Versuche.<br />
<br />
{{#ev:youtube|NGiXeAPciAU}}<br />
<br />
Schicke dein Ergebnis an deine Mathelehrerin. Sie sammelt die Ergebnisse der Klasse...<br />
<br />
...Hier sind die gesammelten Ergebnisse eurer Klasse:<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
!<br />
!Name<br />
|Mats<br />
|Lisa<br />
|Kassem<br />
|Ida<br />
|Larissa<br />
|Henry<br />
|-<br />
!<br />
!Würfe insgesamt<br />
|20<br />
|25<br />
|20<br />
|25<br />
|25<br />
|20<br />
|-<br />
!<small>''Eintrag folgt''</small><br />
!Treffer<br />
|10<br />
|11<br />
|13<br />
|12<br />
|17<br />
|12<br />
|-<br />
!<small>''Eintrag folgt''</small><br />
!<small>''hier folgen Einträge''</small><br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|}<br />
Wer war die beste Werferin/ der beste Werfer? Wer steht auf Platz zwei und drei?<br />
<br />
Begründe deine Wahl! <br />
<br />
Wir können die Zahlen auf zwei Arten miteinander vergleichen:<br />
<br />
<br /><br />
{{Box|Absoluter und relativer Vergleich|① Wir vergleichen die absoluten Treffer, also wie oft hat jeder von euch getroffen.<br />
<br />
Dies heißt '''absoluter Vergleich'''.<br />
<br />
② Wir vergleichen, wie viele Treffer es bei wie vielen Würfen gab, also die Anteile der Treffer. <br />
<br />
Dies heißt '''relativer Vergleich.'''|Arbeitsmethode}}<br />
<br />
Wir ergänzen die Tabelle:<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
!<br />
!Name<br />
|Mats<br />
|Lisa<br />
|Kassem<br />
|Ida<br />
|Larissa<br />
|Henry<br />
|-<br />
!<br />
!Würfe insgesamt<br />
|20<br />
|25<br />
|20<br />
|25<br />
|25<br />
|20<br />
|-<br />
!Absoluter Vergleich<br />
!Treffer<br />
|10<br />
|11<br />
|13<br />
|12<br />
|16<br />
|12<br />
|-<br />
!Relativer Vergleich<br />
!<math>\frac{\text{Anzahl der Treffer}}{\text{Anzahl der Würfe insgesamt}}</math><br />
<br /><br />
|<math>\tfrac{10}{20}</math><br />
|<math>\tfrac{11}{25}</math><br />
|<math>\tfrac{13}{20}</math><br />
|<math>\tfrac{12}{25}</math><br />
|<math>\tfrac{16}{25}</math><br />
|<math>\tfrac{12}{20}</math><br />
|}<br />
<br />
① Absolut gesehen hat LARISSA die meisten Treffer.<br />
<br />
② Für den relativen Vergleich müssen wir die Anteile <math>\frac{\text{Anzahl der Treffer}}{\text{Anzahl der Würfe insgesamt}}</math>betrachten. <br />
<br />
<br />
Wir können Anteile als Brüche, als Dezimalbrüche und in Prozent vergleichen.<br />
{{Box|Relativer Vergleich|Um die Anteile vergleichen zu können, müssen wir also die Brüche gleichnamig machen oder sie in einen Dezimalbruch oder in Prozent umwandeln.|Arbeitsmethode}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Umwandlung: Bruch - Dezimalbruch<br><br />
1) Ein Bruch kann durch Erweitern und Kürzen auf zehntel, hundertstel,… in einen Dezimalbruch umgewandelt werden<br />
<br />
<math>\tfrac{3}{5}</math> = <math>\tfrac{6}{10}</math> = 0,6 <br />
<br />
2) Durch eine Divisionsaufgabe:<br />
<br />
<math>\tfrac{7}{15}</math>= 7 : 15 = 0,46<math>\bar{3}</math> ≈ 0,467|2=Wie wandle ich einen Bruch in einen Dezimalbruch um?|3=Verbergen}}<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
!Name<br />
|Bruch<br />
|Dezimalbruch<br />
|Prozent<br />
|-<br />
!Mats<br />
|<math>\tfrac{10}{20}</math>=<math>\tfrac{50}{100}</math><br />
|0,5<br />
|50%<br />
|-<br />
!Lisa<br />
|<math>\tfrac{11}{25}</math>=<math>\tfrac{44}{100}</math><br />
|0,44<br />
|44%<br />
|-<br />
!Kassem<br />
|<math>\tfrac{13}{20}</math>=<math>\tfrac{65}{100}</math><br />
|0,65<br />
|65%<br />
|-<br />
!Ida<br />
|<math>\tfrac{12}{25}</math>=<math>\tfrac{48}{100}</math><br />
|0,48<br />
|48%<br />
|-<br />
|Larissa<br />
|<math>\tfrac{16}{25}</math>=<math>\tfrac{64}{100}</math><br />
|0,64<br />
|64%<br />
|-<br />
!Henry<br />
|<math>\tfrac{12}{20}</math>=<math>\tfrac{60}{100}</math><br />
|0,6<br />
|60%<br />
|}<br />
Auswertung des Experiments: Mathematisch begründete Antwort auf die Einstiegsfrage<br />
<br />
Kassem hat also gewonnen, denn 65 % seiner Würfe haben den Eimer getroffen.<br />
<br />
Larissa hatte zwar absolut gesehen mehr Treffer aber „nur“ 64% ihrer Würfe haben den Eimer getroffen.<br />
<br />
<br />
{{Box|Absoluter und relativer Vergleich|Beim absoluten Vergleich werden die Zahlenangaben direkt miteinander verglichen.<br />
<br />
Beim relativen Vergleich werden die Anteile (z.B. <math>\frac{\text{Anzahl der Treffer}}{\text{Anzahl der Würfe insgesamt}}</math>) miteinander verglichen.|Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|Übung 1|Seit vielen Jahren nehmen die Schülerinnen und Schüler der Herta-Lebenstein-Realschule an den Prüfungen zum Sportabzeichen teil.<br />
<br />
Von den 32 Schülern der Klasse 7c haben 24 das Sportabzeichen geschafft, in der Klasse 7b waren es 20 von 25.<br />
<br />
Klaus aus der 7c behauptet: „Wir waren besser als die 7b! Ist doch klar: 24 Sportabzeichen sind mehr als 20.“<br />
<br />
Was meinst du dazu? Löse im Heft. <br />
<br />
geg:…<br />
<br />
ges:…|Üben}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=geg:7c 24 von 32 Sportabzeichen; 7b 20 von 25 Sportabzeichen<br />
ges: relativer Vergleich|2=Tipp 1 zu Übung 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=7c <math>\tfrac{24}{32}</math>=<math>\tfrac{3}{4}</math>=<math>\tfrac{75}{100}</math>=75%<br />
<br />
7b <math>\tfrac{20}{25}</math>=<math>\tfrac{80}{100}</math>=80%|2=Tipp 2 zu Übung 1|3=Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine übersichtliche Darstellung.<br />
* S. 133 Nr. 6<br />
* S. 133 Nr. 7<br />
* S. 133 Nr. 9<br />
* S. 133 Nr. 10|Üben}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= geg: Würfe insgesamt und jeweilige Treffer<br><br />
ges: relative Häufigkeit<br><br />
Jens: 7 Treffer von 15 Würfen, also <math>\frac{\text{Anzahl der Treffer}}{\text{Anzahl der Würfe insgesamt}}</math> = <math>\tfrac{7}{15}</math><br><br />
Manuel: 9 Treffer von 20 Würfen insgesamt, also <math>\tfrac{9}{20}</math><br><br />
Brüche vergleichen:<br />
* gleichnamig machen (Hauptnenner 60)<br />
* umwandeln in eine Dezimalzahl (Division)|2=Tipp 1 zu Nr. 6|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1="Gleichnamig machen" - Wie geht das noch mal?<br><br />
Erweitere beide Brüche auf denselben Nenner.<br><br />
<math>\tfrac{7}{15}</math> = <math>\tfrac{7·4}{15·4}</math> = <math>\tfrac{28}{60}</math><br><br />
<math>\tfrac{9}{20}</math> = <math>\tfrac{9·3}{20·3}</math> = <math>\tfrac{17}{60}</math><br><br />
Welcher Bruch ist nun der größere?|2=Tipp 2 zu Nr. 6|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1="Umwandeln in einen Dezimalbruch mit Division" - Wie geht das noch mal?<br><br />
Schreibe statt des Bruchstrichs ein Geteilt-Zeichen.<br />
<math>\tfrac{7}{15}</math> = 7 : 15.<br>[[Datei:7 15tel als Dezimalbruch.jpg|rahmenlos]]<br><br />
<math>\tfrac{9}{20}</math> kannst du ebenso in einen Dezimalbruch umwandeln.<br><br />
Hier hast du zusätzlich die (schnellere) Möglichkeit, den Bruch so zu erweitern, dass der Nenner 100 beträgt und du den Dezimalbruch daran ablesen kannst.<br><br />
|2=Tipp 3 zu Nr. 6|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Du kannst die Klassen vergleichen, indem du das gesammelte Gewicht pro Schüler berechnest (relative Häufigkeit).<br><br />
<math>\frac{\text{gesammeltes Gewicht}}{\text{Anzahl der Schüler}}</math> |2=Tipp zu Nr. 7|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleiche den erzielten Gewinn bezogen auf die Höhe des Einsatzes.<br><br />
relative Häufigkeit=<math>\frac{\text{erzielter Gewinn}}{\text{Einsatz}}</math>|2=Tipp zu Nr. 9b|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 3 - online|Bearbeite die nachfolgenden GeoGebra-Applets des FLINK- Teams. Wähle den Originallink, falls nötig.| Üben}}<br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/pprrjujw<br />
<ggb_applet id="y4f4xtjj" width="636" height="585" border="888888" /><br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/vvnawdmw<br />
<ggb_applet id="czgahwdj" width="726" height="549" border="888888" /><br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/w7ztgqmp<br />
<ggb_applet id="kvwuntqg" width="738" height="622" border="888888" /><br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/pswqud2f<br />
<ggb_applet id="q4kfnwzr" width="734" height="598" border="888888" /><br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/fefvmjbw<br><br />
<ggb_applet id="ndru9r7t" width="609" height="640" border="888888" /><br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/ke7xbcwj<br />
<ggb_applet id="nqhwqbaf" width="750" height="550" border="888888" /><br />
<small>Applets FLINK-Team</small><br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=2) Prozentschreibweise|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/2) Prozentschreibweise|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad_Prozentrechnung/1)_Absoluter_und_relativer_Vergleich&diff=93240Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/1) Absoluter und relativer Vergleich2024-03-23T20:13:22Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/1) Absoluter und relativer Vergleich|1) Absoluter und relativer Vergleich]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/2) Prozentschreibweise|2) Prozentschreibweise]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/3) Grundbegriffe der Prozentrechnung|3) Grundbegriffe der Prozentrechnung]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/4) Prozentsatz p% berechnen|4) Prozentsatz p% berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/5) Prozentwert W berechnen|5) Prozentwert W berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/6) Grundwert G berechnen|6) Grundwert G berechnen]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)|7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)]]<br />
<br />
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/Checkliste|8) Checkliste]]}}<br />
==1) Absoluter und relativer Vergleich==<br />
Führe das folgende Experiment durch: Stelle einen leeren Mülleimer in 3 m Entfernung von deinem Standort auf und versuche, einen kleinen Ball in den Eimer zu werfen. Alle Jungen haben 20 Versuche, alle Mädchen 25 Versuche.<br />
<br />
{{#ev:youtube|NGiXeAPciAU}}<br />
<br />
Schicke dein Ergebnis an deine Mathelehrerin. Sie sammelt die Ergebnisse der Klasse...<br />
<br />
...Hier sind die gesammelten Ergebnisse eurer Klasse:<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
!<br />
!Name<br />
|Mats<br />
|Lisa<br />
|Kassem<br />
|Ida<br />
|Larissa<br />
|Henry<br />
|-<br />
!<br />
!Würfe insgesamt<br />
|20<br />
|25<br />
|20<br />
|25<br />
|25<br />
|20<br />
|-<br />
!<small>''Eintrag folgt''</small><br />
!Treffer<br />
|10<br />
|11<br />
|13<br />
|12<br />
|17<br />
|12<br />
|-<br />
!<small>''Eintrag folgt''</small><br />
!<small>''hier folgen Einträge''</small><br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|}<br />
Wer war die beste Werferin/ der beste Werfer? Wer steht auf Platz zwei und drei?<br />
<br />
Begründe deine Wahl! <br />
<br />
Wir können die Zahlen auf zwei Arten miteinander vergleichen:<br />
<br />
<br /><br />
{{Box|Absoluter und relativer Vergleich|① Wir vergleichen die absoluten Treffer, also wie oft hat jeder von euch getroffen.<br />
<br />
Dies heißt '''absoluter Vergleich'''.<br />
<br />
② Wir vergleichen, wie viele Treffer es bei wie vielen Würfen gab, also die Anteile der Treffer. <br />
<br />
Dies heißt '''relativer Vergleich.'''|Arbeitsmethode}}<br />
<br />
Wir ergänzen die Tabelle:<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
!<br />
!Name<br />
|Mats<br />
|Lisa<br />
|Kassem<br />
|Ida<br />
|Larissa<br />
|Henry<br />
|-<br />
!<br />
!Würfe insgesamt<br />
|20<br />
|25<br />
|20<br />
|25<br />
|25<br />
|20<br />
|-<br />
!Absoluter Vergleich<br />
!Treffer<br />
|10<br />
|11<br />
|13<br />
|12<br />
|16<br />
|12<br />
|-<br />
!Relativer Vergleich<br />
!<math>\frac{\text{Anzahl der Treffer}}{\text{Anzahl der Würfe insgesamt}}</math><br />
<br /><br />
|<math>\tfrac{10}{20}</math><br />
|<math>\tfrac{11}{25}</math><br />
|<math>\tfrac{13}{20}</math><br />
|<math>\tfrac{12}{25}</math><br />
|<math>\tfrac{16}{25}</math><br />
|<math>\tfrac{12}{20}</math><br />
|}<br />
<br />
① Absolut gesehen hat LARISSA die meisten Treffer.<br />
<br />
② Für den relativen Vergleich müssen wir die Anteile <math>\frac{\text{Anzahl der Treffer}}{\text{Anzahl der Würfe insgesamt}}</math>betrachten. <br />
<br />
<br />
Wir können Anteile als Brüche, als Dezimalbrüche und in Prozent vergleichen.<br />
{{Box|Relativer Vergleich|Um die Anteile vergleichen zu können, müssen wir also die Brüche gleichnamig machen oder sie in einen Dezimalbruch oder in Prozent umwandeln.|Arbeitsmethode}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Umwandlung: Bruch - Dezimalbruch<br><br />
1) Ein Bruch kann durch Erweitern und Kürzen auf zehntel, hundertstel,… in einen Dezimalbruch umgewandelt werden<br />
<br />
<math>\tfrac{3}{5}</math> = <math>\tfrac{6}{10}</math> = 0,6 <br />
<br />
2) Durch eine Divisionsaufgabe:<br />
<br />
<math>\tfrac{7}{15}</math>= 7 : 15 = 0,46<math>\bar{3}</math> ≈ 0,467|2=Wie wandle ich einen Bruch in einen Dezimalbruch um?|3=Verbergen}}<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
!Name<br />
|Bruch<br />
|Dezimalbruch<br />
|Prozent<br />
|-<br />
!Mats<br />
|<math>\tfrac{10}{20}</math>=<math>\tfrac{50}{100}</math><br />
|0,5<br />
|50%<br />
|-<br />
!Lisa<br />
|<math>\tfrac{11}{25}</math>=<math>\tfrac{44}{100}</math><br />
|0,44<br />
|44%<br />
|-<br />
!Kassem<br />
|<math>\tfrac{13}{20}</math>=<math>\tfrac{65}{100}</math><br />
|0,65<br />
|65%<br />
|-<br />
!Ida<br />
|<math>\tfrac{12}{25}</math>=<math>\tfrac{48}{100}</math><br />
|0,48<br />
|48%<br />
|-<br />
|Larissa<br />
|<math>\tfrac{16}{25}</math>=<math>\tfrac{64}{100}</math><br />
|0,64<br />
|64%<br />
|-<br />
!Henry<br />
|<math>\tfrac{12}{20}</math>=<math>\tfrac{60}{100}</math><br />
|0,6<br />
|60%<br />
|}<br />
Auswertung des Experiments: Mathematisch begründete Antwort auf die Einstiegsfrage<br />
<br />
Kassem hat also gewonnen, denn 65 % seiner Würfe haben den Eimer getroffen.<br />
<br />
Larissa hatte zwar absolut gesehen mehr Treffer aber „nur“ 64% ihrer Würfe haben den Eimer getroffen.<br />
<br />
<br />
{{Box|Absoluter und relativer Vergleich|Beim absoluten Vergleich werden die Zahlenangaben direkt miteinander verglichen.<br />
<br />
Beim relativen Vergleich werden die Anteile (z.B. <math>\frac{\text{Anzahl der Treffer}}{\text{Anzahl der Würfe insgesamt}}</math>) miteinander verglichen.|Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|Übung 1|Seit vielen Jahren nehmen die Schülerinnen und Schüler der Herta-Lebenstein-Realschule an den Prüfungen zum Sportabzeichen teil.<br />
<br />
Von den 32 Schülern der Klasse 7c haben 24 das Sportabzeichen geschafft, in der Klasse 7b waren es 20 von 25.<br />
<br />
Klaus aus der 7c behauptet: „Wir waren besser als die 7b! Ist doch klar: 24 Sportabzeichen sind mehr als 20.“<br />
<br />
Was meinst du dazu? Löse im Heft. <br />
<br />
geg:…<br />
<br />
ges:…|Üben}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=geg:7c 24 von 32 Sportabzeichen; 7b 20 von 25 Sportabzeichen<br />
ges: relativer Vergleich|2=Tipp 1 zu Übung 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=7c <math>\tfrac{24}{32}</math>=<math>\tfrac{3}{4}</math>=<math>\tfrac{75}{100}</math>=75%<br />
<br />
7b <math>\tfrac{20}{25}</math>=<math>\tfrac{80}{100}</math>=80%|2=Tipp 2 zu Übung 1|3=Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine übersichtliche Darstellung.<br />
* S. 133 Nr. 6<br />
* S. 133 Nr. 7<br />
* S. 133 Nr. 9<br />
* S. 133 Nr. 10|Üben}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= geg: Würfe insgesamt und jeweilige Treffer<br><br />
ges: relative Häufigkeit<br><br />
Jens: 7 Treffer von 15 Würfen, also <math>\frac{\text{Anzahl der Treffer}}{\text{Anzahl der Würfe insgesamt}}</math> = <math>\tfrac{7}{15}</math><br><br />
Manuel: 9 Treffer von 20 Würfen insgesamt, also <math>\tfrac{9}{20}</math><br><br />
Brüche vergleichen:<br />
* gleichnamig machen (Hauptnenner 60)<br />
* umwandeln in eine Dezimalzahl (Division)|2=Tipp 1 zu Nr. 6|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1="Gleichnamig machen" - Wie geht das noch mal?<br><br />
Erweitere beide Brüche auf denselben Nenner.<br><br />
<math>\tfrac{7}{15}</math> = <math>\tfrac{7·4}{15·4}</math> = <math>\tfrac{28}{60}</math><br><br />
<math>\tfrac{9}{20}</math> = <math>\tfrac{9·3}{20·3}</math> = <math>\tfrac{17}{60}</math><br><br />
Welcher Bruch ist nun der größere?|2=Tipp 2 zu Nr. 6|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1="Umwandeln in einen Dezimalbruch mit Division" - Wie geht das noch mal?<br><br />
Schreibe statt des Bruchstrichs ein Geteilt-Zeichen.<br />
<math>\tfrac{7}{15}</math> = 7 : 15.<br>[[Datei:7 15tel als Dezimalbruch.jpg|rahmenlos]]<br><br />
<math>\tfrac{9}{20}</math> kannst du ebenso in einen Dezimalbruch umwandeln.<br><br />
Hier hast du zusätzlich die (schnellere) Möglichkeit, den Bruch so zu erweitern, dass der Nenner 100 beträgt und du den Dezimalbruch daran ablesen kannst.<br><br />
|2=Tipp 3 zu Nr. 6|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Du kannst die Klassen vergleichen, indem du das gesammelte Gewicht pro Schüler berechnest (relative Häufigkeit).<br><br />
<math>\frac{\text{gesammeltes Gewicht}}{\text{Anzahl der Schüler}}</math> |2=Tipp zu Nr. 7|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleiche den erzielten Gewinn bezogen auf die Höhe des Einsatzes.<br><br />
relative Häufigkeit=<math>\frac{\text{erzielter Gewinn}}{\text{Einsatz}}</math>|2=Tipp zu Nr. 9b|3=Verbergen}}<br />
<br />
<ggb_applet id="y4f4xtjj" width="636" height="585" border="888888" /><br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/pprrjujw<br />
<ggb_applet id="czgahwdj" width="726" height="549" border="888888" /><br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/vvnawdmw<br />
<ggb_applet id="kvwuntqg" width="738" height="622" border="888888" /><br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/w7ztgqmp<br />
<ggb_applet id="q4kfnwzr" width="734" height="598" border="888888" /><br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/pswqud2f<br />
<ggb_applet id="ndru9r7t" width="609" height="640" border="888888" /><br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/fefvmjbw<br><br />
<ggb_applet id="nqhwqbaf" width="750" height="550" border="888888" /><br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/ke7xbcwj<br />
<small>Applets FLINK-Team</small><br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=2) Prozentschreibweise|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/2) Prozentschreibweise|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Buss-Haskert/Kreis_und_Zylinder/Kreisfl%C3%A4che&diff=93239Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisfläche2024-03-22T17:51:18Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]<br />
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}<br />
<br><br />
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder|Kreis und Zylinder - Startseite]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisumfang|1 Kreisumfang]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisfläche|2 Kreisfläche]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisteile|3 Kreisteile]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Zylinder|4 Zylinder]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Zusammengesetzte Körper|5 Zusammengesetzte Körper]]<br />
}}<br />
<br><br />
==Kreisfläche A==<br />
{{Box|Pizza - mini oder maxi|[[Datei:Green-pepper-2024889 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]][[Datei:Green-pepper-2024889 1280.png|rechts|rahmenlos|300x300px]]In deiner Lieblingspizzeria werden die Pizzen in zwei verschiedenen Größen angeboten: <br><br />
Die Mini-Pizza hat einen Durchmesser von 20 cm,<br><br />
<br> der Durchmesser der Maxi-Pizza beträgt 40cm.<br><br />
<br><br />
Pizza "Green Pepper" mini - 4,20 €<br><br />
<br><br />
Pizza "Green Pepper" maxi - 12,60 €.<br><br />
<br><br />
Wo bekommst du mehr Pizza für dein Geld?<br><br />
Diskutiert, welche Größen gegeben bzw. gesucht sind.|Meinung}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Aufgabe aus dem Unterricht:<br><br />
kleine Pizza: d<sub>1</sub> = 17cm; Preis: 2 Stück kosten 2,49€<br><br />
mittlere Pizza: d<sub>2</sub> = 25cm; Preis: 2,49€<br><br />
große Pizza: d<sub>3</sub> = 28cm; Preis: 2,89€|2=Aufgabe aus dem Unterricht Klasse 9b|3=Schließen}}<br />
{{Lösung versteckt|Du hast jeweils den Durchmesser der Pizzen gegeben, damit kannst du den Radius berechnen.<br><br />
Um die Frage zu beantworten, musst du den Flächeninhalt der Pizzen berechnen können.<br><br />
Zum Schluss muss der jeweilige Preis durch die Fläche dividiert werden, dann kannst du vergleichen, wie groß die Fläche ist, die du pro Euro bekommst.|Tipp|Verbergen}}<br />
<br />
===2.1 Kreisfläche - Herleitung der Formel===<br />
{{Box|Kreisfläche - Herleitung der Formel|Führe die beschriebenen Schritte im GeoGebra-Applet durch. <br><br />
[[Datei:Kreisfläche GeoGebra Arbeitsauftrag.png|rahmenlos|600x600px]]<br><br />
[[Datei:Kreisfläche GeoGebra Arbeitsauftrag Teil 2.png|rahmenlos|600x600px]]<br><br />
a) Beschreibe, was geschieht.<br><br />
b) Welche Figur entsteht?<br><br />
c) Leite damit eine Formel für die Kreisfläche her.|Unterrichtsidee}}<br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/bprvjtx8<br><br />
<ggb_applet id="RvbbbEAg" width="980" height="566" border="888888" /><br />
<small>Applet von Anthony Or. Education Bureau</small><br><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Das Applet ist einfacher dargestellt und gibt bei er neu entstandenen Figur die Längen an. Kannst du nun eine Formel für den Flächeninhalt herleiten?<br><br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/cQeSV4tC<br />
<ggb_applet id="jpx7xqUb" width="651" height="300" border="888888" /><br />
Applet von R. Schmidt|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Fläche, die durch das Einteilen des Kreises und das Umlegen entsteht, hat annähernd die Form eines Rechtecks mit den Seitenlängen a=<math>\tfrac{u}{2}</math> (halber Umfang) und b = r (Radius)<br><br />
[[Datei:Kreisfläche Herleitung Bild 1.PNG|rahmenlos|600x600px]]<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Kreisfläche Herleitung Bild 1.PNG|rahmenlos|600x600px]]<br />
Also gilt: <br><br />
A = a·b &nbsp;&nbsp;&#124; Setze für a den halben Umfang und für b den Radius ein.<br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{u}{2}</math> · r &nbsp;&nbsp;&#124; Setze für u die Formel für den Umfang ein: u =2πr.<br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{\text{2πr}}{2}</math> · r &nbsp;&nbsp;&#124; Kürze mit 2.<br><br />
&nbsp;&nbsp; = πr · r &nbsp;&nbsp;&#124; Fasse r·r zusammen. <br><br />
&nbsp;&nbsp; = π·r²|2=Tipp 3 (Herleitung der Formel)|3=Verbergen}}<br />
<br />
Das Video fasst die Herleitung der Formel zusammen:<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|yFuTUdVxzFQ|460|center|||start=89&end=234}}</div><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|3uF_o39vGC4|460|center}}</div><br />
</div><br />
<br />
<br><br />
Eine weitere Möglichkeit, den Flächeninhalt eines Kreises abzuschätzen, zeigt das folgende Applet von Pöchtrager:<br><br />
Beschreibe!<br><br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/cQeSV4tC<br />
<ggb_applet id="cQeSV4tC" width="800" height="500" border="888888" /><br />
<br><br />
<br><br />
<br />
{{Box|1=Kreisfläche - Formel|2=[[Datei:Bezeichnungen am Kreis.png|rechts|rahmenlos]]Den <span style="color:red">'''Flächeninhalt A''' </span>eines Kreises kann man mithilfe des Radius r berechnen:<br><br><br />
<big><big>''' A = π r²'''</big></big><br><br />
<br><br />
Wenn der Durchmesser gegeben ist, berechne zunächst den Radius r =<math>\tfrac{d}{2}</math>.|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br><br />
Merke dir die Formel mit dem Lied von Dorfuchs:<br />
{{#ev:youtube|h43mo0QXnDk|800|center}}<br><br />
<br />
<br />
===2.2 Kreisfläche - Berechnungen===<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Kreisfläche - Formel umstellen|2=Stelle die Formel für den Flächeninhalt des Kreises <br><br />
A = π·r² nach r um. <br><br />
Übertrage anschließend die Beispielaufgaben in dein Heft.|3=Arbeitsmethode}}<br />
{{Lösung versteckt|Erinnerung: Die Umkehraufgabe für das Quadrieren ist das Wurzelziehen:<br><br />
[[Datei:Flächeninhaltesformel umstellen nach r.png|rahmenlos|271x271px]]|Tipp|Verbergen}}<br />
Beispiele:<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">Fläche A berechnen:<br><br />
geg: r = 3,0 cm<br><br />
ges: A<br><br />
A = π · r² &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π · 3,0² <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 28,27 (cm²)</div><br />
<div class="width-1-2"><br><br />
geg: d = 5,0 cm<br><br />
ges: A<br><br />
r = <math>\tfrac{d}{2}</math> = <math>\tfrac{5}{2}</math> = 2,5 (cm)<br><br />
A = π · r² &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π · 2,5² <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 19,63 (cm²)</div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">Radius r berechnen:<br><br />
geg: A = 7,0 cm²<br><br />
ges: r<br><br />
A = π · r² &nbsp;&nbsp;&#124;: π<br> <br />
<math>\tfrac{A}{\pi}</math> = r<sup>2</sup>&nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
<math>\sqrt{\tfrac{A}{\pi}}</math> = r &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
<math>\sqrt{\tfrac{7,0}{\pi}}</math> = r<br><br />
1,5 (cm) ≈ r<br />
</div><br />
<div class="width-1-2">Durchmesser d berechnen:<br><br />
geg: A = 18,10 cm²<br><br />
ges: d<br><br />
d = 2·r; Berechne zunächst r:<br><br />
A = π · r² &nbsp;&nbsp;&#124;: π<br> <br />
<math>\tfrac{A}{\pi}</math> = r<sup>2</sup> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
<math>\sqrt{\tfrac{A}{\pi}}</math> = r &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
<math>\sqrt{\tfrac{18,10}{\pi}}</math> = r<br><br />
2,4 (cm) ≈ r<br><br />
d = 2·r = 2 · 2,4 = 4,8 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|1ZxxcctOYlc|460|center}}</div><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|9KYowFl5VKc|460|center}}</div><br />
</div><br />
<br />
<br><br />
{{Box|Übung 1 - online|Löse auf der Seite [https://aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/kreis/kreisflaeche.shtml'''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben<br />
* 1<br />
* 2<br />
* 3<br />
* 4|Üben}}<br />
<br />
{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe ausführlich und übersichtlich. Notiere - falls nötig - und die Umstellung der Formel. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.<br />
* S. 131 Nr. 1 (Wähle eine Aufgabe aus.)<br />
* S. 131 Nr. 2 (Wähle eine Aufgabe aus.)<br />
* S. 132 Nr. 3 (Wähle aus: a und c oder b und d)<br />
* S. 132 Nr. 4 |Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Prüfe deine Lösungen mithilfe der LearningApp. Trage deine Lösung ein und klicke den Prüfbutton. Hake im Heft deine Ergebnisse ab.<br><br />
{{LearningApp|app=puttncjp521|width=100%|height=600px}}<br />
{{LearningApp|app=pc4e9ni8k21|width=100%|height=400px}}|2=Prüfe deine Lösungen|3=Verbergen}}<br />
<br><br />
<br><br />
{{Box|Übung 3 - Zusammenhang zwischen Radius und Umfang bzw. Radius und Flächeninhalt|Ergänze die Tabelle.<br><br />
[[Datei:Tabelle Zusammenhang Radius Umfang Flächeninhalt Kreis.png|rahmenlos|800x800px]]<br><br />
Trage die Werte in ein Koordinatenkreuz ein. Was fällt dir auf?<br />
Fülle den Lückentext aus und übertrage ihn in dein Heft.|Üben}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Radius r und Umfang u:<br><br />
Wenn man den Radius r eines Kreises verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht,... dann'''verdoppelt''', '''verdreifacht''', '''vervierfacht''' sich der Umfang u.<br><br />
Radius r und Flächeninhalt A:<br><br />
Wenn man den Radius r eines Kreises verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht,... dann'''vervierfacht''', '''verneunfacht''', '''versechzehnfacht''' sich der Flächeninhalt A.<br />
</div><br />
Prüfe deine Vermutung mit dem nachfolgenden GeoGebra-Applet:<br><br />
<ggb_applet id="ykxmvvzd" width="1522" height="733" border="888888" /><br><br />
<br />
===2.3 Kreisfläche - Anwendungen===<br />
[[Datei:Green-pepper-2024889 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Jetzt kannst du die Einführungsaufgabe lösen: Bei welcher Pizza erhältst du mehr Pizza für dein Geld?<br><br />
{{Lösung versteckt|1=<div class="grid"><br />
<br />
<div class="width-1-2">Mini-Pizza: d = 20cm, also r = 10cm; 4,20€<br><br />
A = π · r²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π · 10²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 314,16 (cm²)<br><br />
Preis pro cm²:<br><br />
4,20 : 314,16 = 0,013 Euro pro cm².<br></div><br />
<div class="width-1-2">Maxi-Pizza: d = 40cm, also r = 20cm; 12,60€<br><br />
A = π · r²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π · 20²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 1256,64 (cm²)<br><br />
Preis pro cm²:<br><br />
12,60 : 1256,64 = 0,010 Euro pro cm².<br></div><br />
</div><br />
<br><br />
Bei der Maxi-Pizza bezahle ich pro cm² weniger Geld.|2=Vergleiche deine Lösung|3=Verbergen}}<br />
<br />
<br />
====Geometrische Anwendungen====<br />
{{Box|1=Geometrische Anwendungen - Beispiele|2=Berechne den Flächeninhalt der Figuren. Notiere deine Überlegungen übersichtlich.<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">1. Beispiel:<br><br />
[[Datei:Halbkreis im Quadrat 2.png|rahmenlos]]<br><br />
A = A<sub>Quadrat</sub> - A<sub>Halbkreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= a² - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·r²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 5² - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·2,5²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 25 - 9,82<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 15,18 [cm²] <br><br />
</div><br />
<div class="width-1-3">2. Beispiel:<br><br />
[[Datei:Halbkreis im Viertelkreis.png|rahmenlos|300x300px]]<br><br />
A = A<sub>Viertelkreis</sub> - A<sub>Halbkreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{4}</math>·π·<math>r_1^2</math> - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·<math>r_2^2</math><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{4}</math>·π·6² - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·3²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 28,27 - 14,14<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 14,13 [cm²] <br><br />
</div><br />
<div class="width-1-3">3. Beispiel:<br><br />
[[Datei:Rechtwinkliges Dreieck mit Halbkreis.png|rahmenlos|400x400px]]<br><br />
Berechne den Radius des Halbkreises (mit dem Satz des Pythagoras):<br><br />
d² = 3² + 4²<br><br />
d = <math>\sqrt{3^2 + 4^2}</math><br><br />
d = 5 [cm]; also r = 5:2 = 2,5 [cm]<br><br />
A = A<sub>Dreieck</sub> + A<sub>Halbkreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{2}</math>·g·h + <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·<math>r^2</math><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{2}</math>·3·4 - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·2,5²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 6 + 9,82<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 15,82 [cm²] <br><br />
</div> <br />
</div>|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|Übung 4 - Geometrische Anwendungen|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Überlegungen ausführlich und übersichtlich. Zeichne - falls nötig - Teilskizzen. Prüfe deine Lösungen und hake ab.<br />
* S. 132 Nr. 6<br />
* S. 132 Nr. 8|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1='''Um'''fang u: Die Ameise läuft außen '''um''' die Figur her'''um'''. Addiere die Teilstrecken.<br><br />
Flächen'''in'''halt A: Male die Fläche '''in'''nen dr'''in''' aus.<br><br />
Zerlege die Figur in Teilflächen A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>,... und berechne deren Flächeninhalt. Bestimme dann den gesamten Flächeninhalt als Summe der Teilflächen.|2=Tipp zu Nr. 6|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Radius der Halbkreise beträgt r = 1 cm, denn <br><br />
[[Datei:S. 132 Nr. 6a Tipp.png|rahmenlos]]<br><br />
Für den Umfang läuft die Ameise an drei Seiten des Quadrates und den Halbkreisbogen entlang.<br><br />
Berechne den Umfang des Halbkreises: u<sub>Halbkreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·u<sub>Kreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·r = π·r<br><br />
Lösung: u = 9,1cm|2=Tipp zur Berechnung des Umfangs Nr. 6a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Flächeninhalt der Figur setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt des Quadrates A <sub>1</sub>und dem Flächeninhalt des Halbreises A<sub>2</sub>.<br><br />
Berechne den Flächeninhalt des Halbkreises A<sub>2</sub> = A<sub>Halbkreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·A<sub>Kreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·r².<br><br />
Lösung: 5,57cm²|2=Tipp zur Berechnung des Flächeninhaltes Nr. 6a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Musterlösung (Schreibweisen) zu Nr. 6a:<br><br />
Umfang u:<br><br />
u<sub>Halbkreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·u<sub>Kreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·r<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π·r<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π·1<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 3,14 (cm)<br><br />
u<sub>gesamt</sub> = 2 + 2 + 2 + 3,14 = 9,14 (cm)<br><br />
<br><br />
Flächeninhalt A:<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
A<sub>1</sub> = A<sub>Quadrat</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = 2²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 4 (cm²)</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
A<sub>2</sub> = A<sub>Halbkreis</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>·A<sub>Kreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·r²<br> <br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·1²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 1,57 (cm²)</div><br />
<div class="width-1-3"></div><br />
</div><br />
A<sub>gesamt</sub> = A<sub>1</sub> + A<sub>2</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = 4 + 1,57<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 5,57 (cm²)|2=Musterlösung zu Nr. 6a (Schreibweisen)|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Umfang u: Die Ameise läuft 4 Viertelkreisbögen, also um einen ganzen Kreis herum. Außerdem läuft sie viermal die Strecke vom 4cm. <br><br />
Lösung: u = 41,1 cm <br><br />
Flächeninhalt A: Die Fläche setzt sich zusammen aus dem Quadrat in der Mitte und 4 Viertelkreisen, also einem ganzen Kreis.<br><br />
Lösung: A = 66,3 cm²|2=Tipp zu Nr. 6 b|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Umfang u: Das Dreieck ist ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck. Die Basis ist 4cm lang. Bestimme die Länge der Schenkel mit dem Satz des Pythagoras.<br><br />
[[Datei:S. 132 Nr. 6c Tipp.png|rahmenlos]]<br><br />
x<sup>2</sup> + x<sup>2</sup> = 4<sup>2</sup> &124;<br><br />
2x<sup>2</sup> = 16 <br><br />
… <br><br />
Lösung: u = 11,9cm<br><br />
Flächeninhalt A: Die Fläche setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt A<sub>1</sub> des Dreiecks und dem Flächeninhalt A<sub>2</sub> des Halbkreises.<br><br />
Da das Dreieck rechtwinklig ist, sind die Schenkel je Grundseite und Höhe des Dreiecks.<br><br />
Lösung: A<sub>gesamt</sub> = 3,92 + 6,28 = 10,2 (cm²) (mit genauen Werten 10,3)|2=Tipp zu Nr. 6c|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Umfang u: Auch hier handelt es sich um ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck. Bestimme die Schenkellänge mit dem Satz des Pythagoras (vgl. Aufgabe 6c). Der Umfang der zwei Halbkreise ist genauso groß wie der Umfang eines ganzen Kreises. <br><br />
Radius r = 12:4 = 3 (cm)<br><br />
Lösung: u = 35,8 (cm)<br><br />
Flächeninhalt A: Lösung: 64,4 (cm²) (mit genauen Werten 64,3)|2=Tipp zu Nr. 6d|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Winkel 45° bedeutet, dass es sich bei dem Dreieck um ein halbes Quadrat handelt. Das Dreieck ist also ebenfalls gleichschenklig rechtwinklig. <br><br />
Damit beträgt der Radius des Halbkreises r = 4,5:2 = 2,25 (cm) .<br><br />
Umfang u: Bestimme die Hypotenuse des Dreiecks mit dem Satz des Pythagoras.<br><br />
Lösung: u = 18,0 cm (mit genauen Werten 17,9)<br><br />
Flächeninhalt A: Lösung: A = 18,07 cm²|2=Tipp zu Nr. 6e|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne den Radius des Halbkreises mit dem Satz des Pythagoras.<br><br />
[[Datei:S. 132 Nr. 6f Tipp.png|rahmenlos]]<br><br />
Lösung: Umfang u = 38,8cm<br><br />
Flächeninhalt A: Die Grundseite des Dreiecks ist 2r lang, die Höhe beträgt 8cm. Berechne damit den Flächeninhalt des Dreiecks. Falls du die Formel nicht mehr weißt, findest du sie hinten im Schulbegleiter.<br><br />
Lösung: Flächeninhalt A = 104,55 cm²|2=Tipp zu Nr. 6f|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Durchmesser d beträgt immer 8cm. Bestimme jeweils den Durchmesser bzw. Radius der kleineren Kreise und berechne damit den Umfang und den Flächeninhalt der Figur.|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang u setzt sich zusammen aus dem Umfang des großen Halbkreises und dem Umfang eines ganzen kleinen Kreises (zwei Halbkreise).<br />
Lösung: u = 25,1cm<br><br />
Um die Fläche der Figur zu berechnen, subtrahiere vom großen Halbkreis die zwei kleinen Halbkreise (bzw. einen ganzen kleinen Kreis).<br><br />
A<sub>Figur</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>π·4² - π·2² = 12,57 (cm²)|2=Tipp zu Nr. 8a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang der Figur ist genauso groß wie in Teil a.<br><br />
Der Flächeninhalt setzt sich zusammen aus der Summe des großen Halbkreises und eines kleinen Kreises.<br><br />
Lösung: u = 25,1cm; A = 37,70cm²|2=Tipp zu Nr. 8b|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang der Figur setzt sich zusammen aus dem großen Halbkreis, dem mittleren Halbkreis und zwei kleinen Halbkreisen (also einem ganzen kleinen Kreis).<br><br />
Lösung: u = 25,1cm<br><br />
Der Flächeninhalt der Figur setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt des großen Halbreises + dem Flächeninhalt des mittleren Halbkreises - zwei kleinen Halbkreisen (also einem ganzen kleinen Kreis).<br><br />
Lösung:A = 28,27cm³|2=Tipp zu Nr. 8c|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang der Figur setzt sich zusammen aus dem Umfang des großen Halbkreises und dem Umfang eines ganzen kleinen Kreises (zwei Halbkreise).<br><br />
Lösung: 25,1cm<br><br />
Der Flächeninhalt der Figur ist gleich dem Flächeninhalt des großen Halbkreises, denn der kleine Halbkreis wird einmal addiert und dann wieder subtrahiert.<br><br />
Lösung: A = 25,13cm²|2=Tipp zu Nr. 8d|3=Verbergen}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 5 - Geometrische Anwendungen|Löse auf der Seite [https://aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/kreis/kreisflaeche.shtml'''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben<br />
* 12<br />
* 13<br />
* 14<br />
* 18<br><br />
ODER:<br><br />
Konstruiere mit dem Zirkel Figuren aus Kreisen bzw. Halbkreisen und berechne dazu Umfang und Flächeninhalt.|Üben}}<br />
<br />
====Sachsituationen====<br />
{{LearningApp|app=py733oge321|width=100%|height=500px}}<br />
{{Box|1=Einstiegsaufgabe - Kreisfläche|2=Betrachte das nachfolgende Applet und beantworte die folgenden Fragen:<br><br />
[[Datei:Quadrat mit Kreis.png|rahmenlos]][[Datei:Quadrat mit 4 Kreisen.png|rahmenlos]]<br />
*Aus einem Quadrat der Seitenlänge a wird ein maximaler Kreis ausgeschnitten. Wieviel Prozent beträgt der Abfall?<br />
*Jetzt werden 4, 9, 16 gleich große Kreise ausgeschnitten. Wieviel Prozent beträgt nun der Abfall?<br />
*Auch wenn das Ergebnis zunächst überraschen mag, kann man es einfach erklären. Betrachte für n > 1 den Zusammenhang zwischen dem hervorgehobenen kleinen Quadrat mit kleinem Kreis und der Figur für n = 1. Wie entstehen diese Figuren auseinander? Was bedeutet das für die Flächen?|3=Meinung}}<br />
Originallink: https://www.geogebra.org/m/krnwuf2s<br />
<ggb_applet id="awkjt4py" width="1500" height="850" border="888888" /><br />
<small>Applet von Hans-Jürgen Elschenbroich</small><br />
<br />
{{Box|Übung 6 - Sachsituationen|Löse so viele Aufgaben, dass du mindestes 7 Sternchen sammelst. Notier deine Rechnungen ausführlich und übersichtlich. Prüfe deine Lösungen und hake ab.<br />
* S. 133, Nr. 10 (*)<br />
* S. 134, Nr. 16 (*)<br />
* S. 134, Nr. 17 (*)<br />
* S. 134, Nr. 18 (*)<br />
* S. 134, Nr. 19 (*)<br />
* S. 134, Nr. 20 (**)<br />
* S. 134, Nr. 21 (**)<br />
* S. 150, Nr. 7 (*)<br />
* S. 150, Nr. 8 (**)<br />
* S. 150, Nr. 9 (**)|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Flächeninhalt des Verschnittes berechnest du, indem du die Kreisflächen von der Quadratfläche subtrahierst. Bestimme für die Berechnung der Kreisflächen jeweils den Radius der Kreise.<br><br />
A<sub>Verschnitt</sub> = A<sub>Quadrat</sub> - A<sub>Kreise</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 80 · 80 - 1·π·40²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 6400 - 5026,55<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 1373,45cm²<br><br />
Rechne weiter für die übrigen Figuren. Was fällt dir auf?<br><br />
Der Flächeninhalt der Kreise insgesamt beträgt immer 5026,55 cm², daher bleibt der Verschnitt gleich.|2=Tipp zu Nr. 10|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Mobilfunkmast gibt die Signale in jede Richtung weiter, das erreichte Gebiet ist also kreisförmig mit dem Radius r = 10km.|2=Tipp zu Nr. 16|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Windrad Seligweiler.jpg|rahmenlos]]<br><br />
Die Flügellänge entspricht dem Radius, die Winderntefläche der Kreisfläche.<br><br />
Lösung: a) A ≈ 1122,21 m²<br><br />
b) A ≈ 3848,45 m²|2=Tipp zu Nr. 17|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Kreisform entsteht, da die Bewässerungsanlagen sich kreisförmig drehen.<br><br />
Um die ungenutzte Fläche zu berechnen, subtrahiere die Kreisfläche von der quadratischen Fläche.<br><br />
Lösung: 8584 m²|2=Tipp zu Nr. 18|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Schätze die Größe des Mannes (ca. 1,80m) und damit den Durchmesser der Iris (ca. 3,20m). Berechne nun die Kreisfläche.<br><br />
Um die Größe des Plakates zu bestimmen, überlege, wie groß die Iris im Verhältnis zur Körpergröße ist.|2=Tipp zu Nr. 20|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zunächst die Fläche des Topfbodens und die Fläche der Herdplatte.<br><br />
Wie viel Prozent der Herdplatte werden vom Topf abgedeckt? p% = <math>\tfrac{A_Topf}{A_Platte}</math>|2=Tipp zu Nr. 21|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Was ist gesucht, der Umfang oder der Flächeninhalt? Für den Umfang überlege, ob "Kalle läuft" bzw. wie in den Videos eine Ameise den Weg läuft. Für den Flächeninhalt überlege, ob du die gesuchte Größe als Fläche ausmalen könntest.<br><br />
Achte auch auf die Einheit der gesuchten Größe: Ist der '''Umfang''' in Metern''' m''' gesucht oder die '''Fläche''' in Quadratmeter '''m²'''?|2=Tipp zu Nr. 7|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1='''Um''' wie viel Prozent ... ist gefragt. Du benötigst für die Prozentrechnung also die Größen Grundwert G und Prozentwert W. Berechne diese und damit dann den Prozentsatz p%. <br><br />
Erinnerung: Formel für die Prozentrechnung: '''W'''ie '''g'''eht '''P'''rozentrechnung? W = G·p%. Stelle diese Formel nach p% um.<br><br />
Lösung: p% = 91,7%|2=Tipp 1 zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Größe der zweiten Pizza wird mit der der ersten Pizza verglichen. Also ist G der Flächeninhalt der ersten Pizza. W ist die Differenz der Flächeninhalte, also '''um''' welche Fläche die große Pizza größer ist also die kleine.<br><br />
Für p% gilt dann p% = <math>\tfrac{W}{G}</math>.<br>|2=Tipp 2 zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Du kannst auch anders vorgehen:<br><br />
Berechne den Flächeninhalt der kleinen und der große Pizza. Überlege dann '''auf''' wie viel Prozent der kleinen Pizza sich die Fläche der zweiten Pizza vergrößert hat.<br> Gegeben sind hier also G und G<sup>+</sup>.<br><br />
Berechne damit p<sup>+</sup>%. <br><br />
Lösung: p<sup>+</sup>% = 191,7%, also ist p% = 97,1%|2=Tipp 3 zu Nr. 8 (alternative Lösung)|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Umlaufbahn ist gesucht, also der Umfang u.<br><br />
Tipp zur Bahngeschwindigkeit: Die Geschwindigkeit gibt an, welche Strecke in welcher Zeit zurückgelegt wird (in <math>\tfrac{km}{h}</math>. Du benötigst also die Strecke, die zurückgelegt wird und die Zeit, in der diese Strecke zurückgelegt wird.|2=Tipp 1 zu Nr. 9|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Strecke: Länge der Umlaufbahn, also u.<br><br />
Zeit: Der Satellit ist geostationär, er bewegt sich also genauso schnell, wie die Erde sich dreht. Für eine ganze Umlaufbahn benötigt er also 24 Stunden (einen Tag), denn die Erde dreht sich in 24 Stunde einmal um ihre Achse.<br><br />
Lösung: v = 11094,5 <math>\tfrac{km}{h}</math>|2=Tipp 2 zu Nr. 9|3=Verbergen}}<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Übung 7 - Sachsituationen online|Löse auf der Seite [https://aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/kreis/kreisflaeche.shtml'''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben<br />
* 9<br />
* 10<br />
* 25<br />
* 26<br />
* 27<br />
* 28 <br />
Löse auf auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/kreis/kreis.shtml '''Aufgabenfuchs 2'''] die Aufgabe<br />
* 44<br />
* 63|Üben}}<br />
<br />
===Vermischte Übungen===<br />
{{Box|Übung 8|Bearbeite die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=pf347f4x321|width=100%|height=600px}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=3 Kreisteile|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisteile}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Buss-Haskert/Kreis_und_Zylinder/Kreisfl%C3%A4che&diff=93238Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisfläche2024-03-22T17:45:31Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]<br />
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}<br />
<br><br />
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder|Kreis und Zylinder - Startseite]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisumfang|1 Kreisumfang]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisfläche|2 Kreisfläche]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisteile|3 Kreisteile]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Zylinder|4 Zylinder]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Zusammengesetzte Körper|5 Zusammengesetzte Körper]]<br />
}}<br />
<br><br />
==Kreisfläche A==<br />
{{Box|Pizza - mini oder maxi|[[Datei:Green-pepper-2024889 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]][[Datei:Green-pepper-2024889 1280.png|rechts|rahmenlos|300x300px]]In deiner Lieblingspizzeria werden die Pizzen in zwei verschiedenen Größen angeboten: <br><br />
Die Mini-Pizza hat einen Durchmesser von 20 cm,<br><br />
<br> der Durchmesser der Maxi-Pizza beträgt 40cm.<br><br />
<br><br />
Pizza "Green Pepper" mini - 4,20 €<br><br />
<br><br />
Pizza "Green Pepper" maxi - 12,60 €.<br><br />
<br><br />
Wo bekommst du mehr Pizza für dein Geld?<br><br />
Diskutiert, welche Größen gegeben bzw. gesucht sind.|Meinung}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Aufgabe aus dem Unterricht:<br><br />
kleine Pizza: d<sub>1</sub> = 17cm; Preis: 2 Stück kosten 2,49€<br><br />
mittlere Pizza: d<sub>2</sub> = 25cm; Preis: 2,49€<br><br />
große Pizza: d<sub>3</sub> = 28cm; Preis: 2,89€|2=Aufgabe aus dem Unterricht Klasse 9b|3=Schließen}}<br />
{{Lösung versteckt|Du hast jeweils den Durchmesser der Pizzen gegeben, damit kannst du den Radius berechnen.<br><br />
Um die Frage zu beantworten, musst du den Flächeninhalt der Pizzen berechnen können.<br><br />
Zum Schluss muss der jeweilige Preis durch die Fläche dividiert werden, dann kannst du vergleichen, wie groß die Fläche ist, die du pro Euro bekommst.|Tipp|Verbergen}}<br />
<br />
===2.1 Kreisfläche - Herleitung der Formel===<br />
{{Box|Kreisfläche - Herleitung der Formel|Führe die beschriebenen Schritte im GeoGebra-Applet durch. <br><br />
[[Datei:Kreisfläche GeoGebra Arbeitsauftrag.png|rahmenlos|600x600px]]<br><br />
[[Datei:Kreisfläche GeoGebra Arbeitsauftrag Teil 2.png|rahmenlos|600x600px]]<br><br />
a) Beschreibe, was geschieht.<br><br />
b) Welche Figur entsteht?<br><br />
c) Leite damit eine Formel für die Kreisfläche her.|Unterrichtsidee}}<br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/bprvjtx8<br><br />
<ggb_applet id="RvbbbEAg" width="980" height="566" border="888888" /><br />
<small>Applet von Anthony Or. Education Bureau</small><br><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Das Applet ist einfacher dargestellt und gibt bei er neu entstandenen Figur die Längen an. Kannst du nun eine Formel für den Flächeninhalt herleiten?<br><br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/cQeSV4tC<br />
<ggb_applet id="jpx7xqUb" width="651" height="300" border="888888" /><br />
Applet von R. Schmidt|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Fläche, die durch das Einteilen des Kreises und das Umlegen entsteht, hat annähernd die Form eines Rechtecks mit den Seitenlängen a=<math>\tfrac{u}{2}</math> (halber Umfang) und b = r (Radius)<br><br />
[[Datei:Kreisfläche Herleitung Bild 1.PNG|rahmenlos|600x600px]]<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Kreisfläche Herleitung Bild 1.PNG|rahmenlos|600x600px]]<br />
Also gilt: <br><br />
A = a·b &nbsp;&nbsp;&#124; Setze für a den halben Umfang und für b den Radius ein.<br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{u}{2}</math> · r &nbsp;&nbsp;&#124; Setze für u die Formel für den Umfang ein: u =2πr.<br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{\text{2πr}}{2}</math> · r &nbsp;&nbsp;&#124; Kürze mit 2.<br><br />
&nbsp;&nbsp; = πr · r &nbsp;&nbsp;&#124; Fasse r·r zusammen. <br><br />
&nbsp;&nbsp; = π·r²|2=Tipp 3 (Herleitung der Formel)|3=Verbergen}}<br />
<br />
Das Video fasst die Herleitung der Formel zusammen:<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|yFuTUdVxzFQ|460|center|||start=89&end=234}}</div><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|3uF_o39vGC4|460|center}}</div><br />
</div><br />
<br />
<br><br />
Eine weitere Möglichkeit, den Flächeninhalt eines Kreises abzuschätzen, zeigt das folgende Applet von Pöchtrager:<br><br />
Beschreibe!<br><br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/cQeSV4tC<br />
<ggb_applet id="cQeSV4tC" width="800" height="500" border="888888" /><br />
<br><br />
<br><br />
<br />
{{Box|1=Kreisfläche - Formel|2=[[Datei:Bezeichnungen am Kreis.png|rechts|rahmenlos]]Den <span style="color:red">'''Flächeninhalt A''' </span>eines Kreises kann man mithilfe des Radius r berechnen:<br><br><br />
<big><big>''' A = π r²'''</big></big><br><br />
<br><br />
Wenn der Durchmesser gegeben ist, berechne zunächst den Radius r =<math>\tfrac{d}{2}</math>.|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br><br />
Merke dir die Formel mit dem Lied von Dorfuchs:<br />
{{#ev:youtube|h43mo0QXnDk|800|center}}<br><br />
<br />
<br />
===2.2 Kreisfläche - Berechnungen===<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Kreisfläche - Formel umstellen|2=Stelle die Formel für den Flächeninhalt des Kreises <br><br />
A = π·r² nach r um. <br><br />
Übertrage anschließend die Beispielaufgaben in dein Heft.|3=Arbeitsmethode}}<br />
{{Lösung versteckt|Erinnerung: Die Umkehraufgabe für das Quadrieren ist das Wurzelziehen:<br><br />
[[Datei:Flächeninhaltesformel umstellen nach r.png|rahmenlos|271x271px]]|Tipp|Verbergen}}<br />
Beispiele:<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">Fläche A berechnen:<br><br />
geg: r = 3,0 cm<br><br />
ges: A<br><br />
A = π · r² &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π · 3,0² <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 28,27 (cm²)</div><br />
<div class="width-1-2"><br><br />
geg: d = 5,0 cm<br><br />
ges: A<br><br />
r = <math>\tfrac{d}{2}</math> = <math>\tfrac{5}{2}</math> = 2,5 (cm)<br><br />
A = π · r² &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π · 2,5² <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 19,63 (cm²)</div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">Radius r berechnen:<br><br />
geg: A = 7,0 cm²<br><br />
ges: r<br><br />
A = π · r² &nbsp;&nbsp;&#124;: π<br> <br />
<math>\tfrac{A}{\pi}</math> = r<sup>2</sup>&nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
<math>\sqrt{\tfrac{A}{\pi}}</math> = r &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
<math>\sqrt{\tfrac{7,0}{\pi}}</math> = r<br><br />
1,5 (cm) ≈ r<br />
</div><br />
<div class="width-1-2">Durchmesser d berechnen:<br><br />
geg: A = 18,10 cm²<br><br />
ges: d<br><br />
d = 2·r; Berechne zunächst r:<br><br />
A = π · r² &nbsp;&nbsp;&#124;: π<br> <br />
<math>\tfrac{A}{\pi}</math> = r<sup>2</sup> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
<math>\sqrt{\tfrac{A}{\pi}}</math> = r &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
<math>\sqrt{\tfrac{18,10}{\pi}}</math> = r<br><br />
2,4 (cm) ≈ r<br><br />
d = 2·r = 2 · 2,4 = 4,8 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|1ZxxcctOYlc|460|center}}</div><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|9KYowFl5VKc|460|center}}</div><br />
</div><br />
<br />
<br><br />
{{Box|Übung 1 - online|Löse auf der Seite [https://aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/kreis/kreisflaeche.shtml'''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben<br />
* 1<br />
* 2<br />
* 3<br />
* 4|Üben}}<br />
<br />
{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe ausführlich und übersichtlich. Notiere - falls nötig - und die Umstellung der Formel. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.<br />
* S. 131 Nr. 1 (Wähle eine Aufgabe aus.)<br />
* S. 131 Nr. 2 (Wähle eine Aufgabe aus.)<br />
* S. 132 Nr. 3 (Wähle aus: a und c oder b und d)<br />
* S. 132 Nr. 4 |Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Prüfe deine Lösungen mithilfe der LearningApp. Trage deine Lösung ein und klicke den Prüfbutton. Hake im Heft deine Ergebnisse ab.<br><br />
{{LearningApp|app=puttncjp521|width=100%|height=600px}}<br />
{{LearningApp|app=pc4e9ni8k21|width=100%|height=400px}}|2=Prüfe deine Lösungen|3=Verbergen}}<br />
<br><br />
<br><br />
{{Box|Übung 3 - Zusammenhang zwischen Radius und Umfang bzw. Radius und Flächeninhalt|Ergänze die Tabelle.<br><br />
[[Datei:Tabelle Zusammenhang Radius Umfang Flächeninhalt Kreis.png|rahmenlos|800x800px]]<br><br />
Trage die Werte in ein Koordinatenkreuz ein. Was fällt dir auf?<br />
Fülle den Lückentext aus und übertrage ihn in dein Heft.|Üben}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Radius r und Umfang u:<br><br />
Wenn man den Radius r eines Kreises verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht,... dann'''verdoppelt''', '''verdreifacht''', '''vervierfacht''' sich der Umfang u.<br><br />
Radius r und Flächeninhalt A:<br><br />
Wenn man den Radius r eines Kreises verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht,... dann'''vervierfacht''', '''verneunfacht''', '''versechzehnfacht''' sich der Flächeninhalt A.<br />
</div><br />
Prüfe deine Vermutung mit dem nachfolgenden GeoGebra-Applet:<br><br />
<ggb_applet id="ykxmvvzd" width="1522" height="733" border="888888" /><br><br />
<br />
===2.3 Kreisfläche - Anwendungen===<br />
[[Datei:Green-pepper-2024889 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Jetzt kannst du die Einführungsaufgabe lösen: Bei welcher Pizza erhältst du mehr Pizza für dein Geld?<br><br />
{{Lösung versteckt|1=<div class="grid"><br />
<br />
<div class="width-1-2">Mini-Pizza: d = 20cm, also r = 10cm; 4,20€<br><br />
A = π · r²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π · 10²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 314,16 (cm²)<br><br />
Preis pro cm²:<br><br />
4,20 : 314,16 = 0,013 Euro pro cm².<br></div><br />
<div class="width-1-2">Maxi-Pizza: d = 40cm, also r = 20cm; 12,60€<br><br />
A = π · r²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π · 20²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 1256,64 (cm²)<br><br />
Preis pro cm²:<br><br />
12,60 : 1256,64 = 0,010 Euro pro cm².<br></div><br />
</div><br />
<br><br />
Bei der Maxi-Pizza bezahle ich pro cm² weniger Geld.|2=Vergleiche deine Lösung|3=Verbergen}}<br />
<br />
<br />
====Geometrische Anwendungen====<br />
{{Box|1=Geometrische Anwendungen - Beispiele|2=Berechne den Flächeninhalt der Figuren. Notiere deine Überlegungen übersichtlich.<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">1. Beispiel:<br><br />
[[Datei:Halbkreis im Quadrat 2.png|rahmenlos]]<br><br />
A = A<sub>Quadrat</sub> - A<sub>Halbkreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= a² - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·r²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 5² - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·2,5²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 25 - 9,82<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 15,18 [cm²] <br><br />
</div><br />
<div class="width-1-3">2. Beispiel:<br><br />
[[Datei:Halbkreis im Viertelkreis.png|rahmenlos|300x300px]]<br><br />
A = A<sub>Viertelkreis</sub> - A<sub>Halbkreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{4}</math>·π·<math>r_1^2</math> - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·<math>r_2^2</math><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{4}</math>·π·6² - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·3²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 28,27 - 14,14<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 14,13 [cm²] <br><br />
</div><br />
<div class="width-1-3">3. Beispiel:<br><br />
[[Datei:Rechtwinkliges Dreieck mit Halbkreis.png|rahmenlos|400x400px]]<br><br />
Berechne den Radius des Halbkreises (mit dem Satz des Pythagoras):<br><br />
d² = 3² + 4²<br><br />
d = <math>\sqrt{3^2 + 4^2}</math><br><br />
d = 5 [cm]; also r = 5:2 = 2,5 [cm]<br><br />
A = A<sub>Dreieck</sub> + A<sub>Halbkreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{2}</math>·g·h + <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·<math>r^2</math><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{2}</math>·3·4 - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·2,5²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 6 + 9,82<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 15,82 [cm²] <br><br />
</div> <br />
</div>|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|Übung 4 - Geometrische Anwendungen|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Überlegungen ausführlich und übersichtlich. Zeichne - falls nötig - Teilskizzen. Prüfe deine Lösungen und hake ab.<br />
* S. 132 Nr. 6<br />
* S. 132 Nr. 8|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1='''Um'''fang u: Die Ameise läuft außen '''um''' die Figur her'''um'''. Addiere die Teilstrecken.<br><br />
Flächen'''in'''halt A: Male die Fläche '''in'''nen dr'''in''' aus.<br><br />
Zerlege die Figur in Teilflächen A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>,... und berechne deren Flächeninhalt. Bestimme dann den gesamten Flächeninhalt als Summe der Teilflächen.|2=Tipp zu Nr. 6|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Radius der Halbkreise beträgt r = 1 cm, denn <br><br />
[[Datei:S. 132 Nr. 6a Tipp.png|rahmenlos]]<br><br />
Für den Umfang läuft die Ameise an drei Seiten des Quadrates und den Halbkreisbogen entlang.<br><br />
Berechne den Umfang des Halbkreises: u<sub>Halbkreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·u<sub>Kreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·r = π·r<br><br />
Lösung: u = 9,1cm|2=Tipp zur Berechnung des Umfangs Nr. 6a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Flächeninhalt der Figur setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt des Quadrates A <sub>1</sub>und dem Flächeninhalt des Halbreises A<sub>2</sub>.<br><br />
Berechne den Flächeninhalt des Halbkreises A<sub>2</sub> = A<sub>Halbkreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·A<sub>Kreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·r².<br><br />
Lösung: 5,57cm²|2=Tipp zur Berechnung des Flächeninhaltes Nr. 6a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Musterlösung (Schreibweisen) zu Nr. 6a:<br><br />
Umfang u:<br><br />
u<sub>Halbkreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·u<sub>Kreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·r<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π·r<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π·1<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 3,14 (cm)<br><br />
u<sub>gesamt</sub> = 2 + 2 + 2 + 3,14 = 9,14 (cm)<br><br />
<br><br />
Flächeninhalt A:<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
A<sub>1</sub> = A<sub>Quadrat</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = 2²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 4 (cm²)</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
A<sub>2</sub> = A<sub>Halbkreis</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>·A<sub>Kreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·r²<br> <br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·1²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 1,57 (cm²)</div><br />
<div class="width-1-3"></div><br />
</div><br />
A<sub>gesamt</sub> = A<sub>1</sub> + A<sub>2</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = 4 + 1,57<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 5,57 (cm²)|2=Musterlösung zu Nr. 6a (Schreibweisen)|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Umfang u: Die Ameise läuft 4 Viertelkreisbögen, also um einen ganzen Kreis herum. Außerdem läuft sie viermal die Strecke vom 4cm. <br><br />
Lösung: u = 41,1 cm <br><br />
Flächeninhalt A: Die Fläche setzt sich zusammen aus dem Quadrat in der Mitte und 4 Viertelkreisen, also einem ganzen Kreis.<br><br />
Lösung: A = 66,3 cm²|2=Tipp zu Nr. 6 b|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Umfang u: Das Dreieck ist ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck. Die Basis ist 4cm lang. Bestimme die Länge der Schenkel mit dem Satz des Pythagoras.<br><br />
[[Datei:S. 132 Nr. 6c Tipp.png|rahmenlos]]<br><br />
x<sup>2</sup> + x<sup>2</sup> = 4<sup>2</sup> &124;<br><br />
2x<sup>2</sup> = 16 <br><br />
… <br><br />
Lösung: u = 11,9cm<br><br />
Flächeninhalt A: Die Fläche setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt A<sub>1</sub> des Dreiecks und dem Flächeninhalt A<sub>2</sub> des Halbkreises.<br><br />
Da das Dreieck rechtwinklig ist, sind die Schenkel je Grundseite und Höhe des Dreiecks.<br><br />
Lösung: A<sub>gesamt</sub> = 3,92 + 6,28 = 10,2 (cm²) (mit genauen Werten 10,3)|2=Tipp zu Nr. 6c|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Umfang u: Auch hier handelt es sich um ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck. Bestimme die Schenkellänge mit dem Satz des Pythagoras (vgl. Aufgabe 6c). Der Umfang der zwei Halbkreise ist genauso groß wie der Umfang eines ganzen Kreises. <br><br />
Radius r = 12:4 = 3 (cm)<br><br />
Lösung: u = 35,8 (cm)<br><br />
Flächeninhalt A: Lösung: 64,4 (cm²) (mit genauen Werten 64,3)|2=Tipp zu Nr. 6d|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Winkel 45° bedeutet, dass es sich bei dem Dreieck um ein halbes Quadrat handelt. Das Dreieck ist also ebenfalls gleichschenklig rechtwinklig. <br><br />
Damit beträgt der Radius des Halbkreises r = 4,5:2 = 2,25 (cm) .<br><br />
Umfang u: Bestimme die Hypotenuse des Dreiecks mit dem Satz des Pythagoras.<br><br />
Lösung: u = 18,0 cm (mit genauen Werten 17,9)<br><br />
Flächeninhalt A: Lösung: A = 18,07 cm²|2=Tipp zu Nr. 6e|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne den Radius des Halbkreises mit dem Satz des Pythagoras.<br><br />
[[Datei:S. 132 Nr. 6f Tipp.png|rahmenlos]]<br><br />
Lösung: Umfang u = 38,8cm<br><br />
Flächeninhalt A: Die Grundseite des Dreiecks ist 2r lang, die Höhe beträgt 8cm. Berechne damit den Flächeninhalt des Dreiecks. Falls du die Formel nicht mehr weißt, findest du sie hinten im Schulbegleiter.<br><br />
Lösung: Flächeninhalt A = 104,55 cm²|2=Tipp zu Nr. 6f|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Durchmesser d beträgt immer 8cm. Bestimme jeweils den Durchmesser bzw. Radius der kleineren Kreise und berechne damit den Umfang und den Flächeninhalt der Figur.|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang u setzt sich zusammen aus dem Umfang des großen Halbkreises und dem Umfang eines ganzen kleinen Kreises (zwei Halbkreise).<br />
Lösung: u = 25,1cm<br><br />
Um die Fläche der Figur zu berechnen, subtrahiere vom großen Halbkreis die zwei kleinen Halbkreise (bzw. einen ganzen kleinen Kreis).<br><br />
A<sub>Figur</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>π·4² - π·2² = 12,57 (cm²)|2=Tipp zu Nr. 8a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang der Figur ist genauso groß wie in Teil a.<br><br />
Der Flächeninhalt setzt sich zusammen aus der Summe des großen Halbkreises und eines kleinen Kreises.<br><br />
Lösung: u = 25,1cm; A = 37,70cm²|2=Tipp zu Nr. 8b|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang der Figur setzt sich zusammen aus dem großen Halbkreis, dem mittleren Halbkreis und zwei kleinen Halbkreisen (also einem ganzen kleinen Kreis).<br><br />
Lösung: u = 25,1cm<br><br />
Der Flächeninhalt der Figur setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt des großen Halbreises + dem Flächeninhalt des mittleren Halbkreises - zwei kleinen Halbkreisen (also einem ganzen kleinen Kreis).<br><br />
Lösung:A = 28,27cm³|2=Tipp zu Nr. 8c|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang der Figur setzt sich zusammen aus dem Umfang des großen Halbkreises und dem Umfang eines ganzen kleinen Kreises (zwei Halbkreise).<br><br />
Lösung: 25,1cm<br><br />
Der Flächeninhalt der Figur ist gleich dem Flächeninhalt des großen Halbkreises, denn der kleine Halbkreis wird einmal addiert und dann wieder subtrahiert.<br><br />
Lösung: A = 25,13cm²|2=Tipp zu Nr. 8d|3=Verbergen}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 5 - Geometrische Anwendungen|Löse auf der Seite [https://aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/kreis/kreisflaeche.shtml'''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben<br />
* 12<br />
* 13<br />
* 14<br />
* 18<br><br />
ODER:<br><br />
Konstruiere mit dem Zirkel Figuren aus Kreisen bzw. Halbkreisen und berechne dazu Umfang und Flächeninhalt.|Üben}}<br />
<br />
====Sachsituationen====<br />
{{LearningApp|app=py733oge321|width=100%|height=500px}}<br />
{{Box|1=Einstiegsaufgabe - Kreisfläche|2=Betrachte das nachfolgende Applet und beantworte die folgenden Fragen:<br><br />
[[Datei:Quadrat mit Kreis.png|rahmenlos]][[Datei:Quadrat mit 4 Kreisen.png|rahmenlos]]<br />
*Aus einem Quadrat der Seitenlänge a wird ein maximaler Kreis ausgeschnitten. Wieviel Prozent beträgt der Abfall?<br />
*Jetzt werden 4, 9, 16 gleich große Kreise ausgeschnitten. Wieviel Prozent beträgt nun der Abfall?<br />
*Auch wenn das Ergebnis zunächst überraschen mag, kann man es einfach erklären. Betrachte für n > 1 den Zusammenhang zwischen dem hervorgehobenen kleinen Quadrat mit kleinem Kreis und der Figur für n = 1. Wie entstehen diese Figuren auseinander? Was bedeutet das für die Flächen?|3=Meinung}}<br />
Originallink: https://www.geogebra.org/m/krnwuf2s<br />
<ggb_applet id="awkjt4py" width="1500" height="850" border="888888" /><br />
<small>Applet von Hans-Jürgen Elschenbroich</small><br />
<br />
{{Box|Übung 6 - Sachsituationen|Löse so viele Aufgaben, dass du mindestes 7 Sternchen sammelst. Notier deine Rechnungen ausführlich und übersichtlich. Prüfe deine Lösungen und hake ab.<br />
* S. 133, Nr. 10 (*)<br />
* S. 134, Nr. 16 (*)<br />
* S. 134, Nr. 17 (*)<br />
* S. 134, Nr. 18 (*)<br />
* S. 134, Nr. 19 (*)<br />
* S. 134, Nr. 20 (**)<br />
* S. 134, Nr. 21 (**)<br />
* S. 150, Nr. 7 (*)<br />
* S. 150, Nr. 8 (**)<br />
* S. 150, Nr. 9 (**)|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Flächeninhalt des Verschnittes berechnest du, indem du die Kreisflächen von der Quadratfläche subtrahierst. Bestimme für die Berechnung der Kreisflächen jeweils den Radius der Kreise.<br><br />
A<sub>Verschnitt</sub> = A<sub>Quadrat</sub> - A<sub>Kreise</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 80 · 80 - 1·π·40²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 6400 - 5026,55<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 1373,45cm²<br><br />
Rechne weiter für die übrigen Figuren. Was fällt dir auf?<br><br />
Der Flächeninhalt der Kreise insgesamt beträgt immer 5026,55 cm², daher bleibt der Verschnitt gleich.|2=Tipp zu Nr. 10|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Mobilfunkmast gibt die Signale in jede Richtung weiter, das erreichte Gebiet ist also kreisförmig mit dem Radius r = 10km.|2=Tipp zu Nr. 16|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Windrad Seligweiler.jpg|rahmenlos]]<br><br />
Die Flügellänge entspricht dem Radius, die Winderntefläche der Kreisfläche.<br><br />
Lösung: a) A ≈ 1122,21 m²<br><br />
b) A ≈ 3848,45 m²|2=Tipp zu Nr. 17|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Kreisform entsteht, da die Bewässerungsanlagen sich kreisförmig drehen.<br><br />
Um die ungenutzte Fläche zu berechnen, subtrahiere die Kreisfläche von der quadratischen Fläche.<br><br />
Lösung: 8584 m²|2=Tipp zu Nr. 18|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Schätze die Größe des Mannes (ca. 1,80m) und damit den Durchmesser der Iris (ca. 3,20m). Berechne nun die Kreisfläche.<br><br />
Um die Größe des Plakates zu bestimmen, überlege, wie groß die Iris im Verhältnis zur Körpergröße ist.|2=Tipp zu Nr. 20|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zunächst die Fläche des Topfbodens und die Fläche der Herdplatte.<br><br />
Wie viel Prozent der Herdplatte werden vom Topf abgedeckt? p% = <math>\tfrac{A_Topf}{A_Platte}</math>|2=Tipp zu Nr. 21|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Was ist gesucht, der Umfang oder der Flächeninhalt? Für den Umfang überlege, ob "Kalle läuft" bzw. wie in den Videos eine Ameise den Weg läuft. Für den Flächeninhalt überlege, ob du die gesuchte Größe als Fläche ausmalen könntest.<br><br />
Achte auch auf die Einheit der gesuchten Größe: Ist der '''Umfang''' in Metern''' m''' gesucht oder die '''Fläche''' in Quadratmeter '''m²'''?|2=Tipp zu Nr. 7|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1='''Um''' wie viel Prozent ... ist gefragt. Du benötigst für die Prozentrechnung also die Größen Grundwert G und Prozentwert W. Berechne diese und damit dann den Prozentsatz p%. <br><br />
Erinnerung: Formel für die Prozentrechnung: '''W'''ie '''g'''eht '''P'''rozentrechnung? W = G·p%. Stelle diese Formel nach p% um.<br><br />
Lösung: p% = 91,7%|2=Tipp 1 zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Größe der zweiten Pizza wird mit der der ersten Pizza verglichen. Also ist G der Flächeninhalt der ersten Pizza. W ist die Differenz der Flächeninhalte, also '''um''' welche Fläche die große Pizza größer ist also die kleine.<br><br />
Für p% gilt dann p% = <math>\tfrac{W}{G}</math>.<br>|2=Tipp 2 zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Du kannst auch anders vorgehen:<br><br />
Berechne den Flächeninhalt der kleinen und der große Pizza. Überlege dann '''auf''' wie viel Prozent der kleinen Pizza sich die Fläche der zweiten Pizza vergrößert hat.<br> Gegeben sind hier also G und G<sup>+</sup>.<br><br />
Berechne damit p<sup>+</sup>%. <br><br />
Lösung: p<sup>+</sup>% = 191,7%, also ist p% = 97,1%|2=Tipp 3 zu Nr. 8 (alternative Lösung)|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Umlaufbahn ist gesucht, also der Umfang u.<br><br />
Tipp zur Bahngeschwindigkeit: Die Geschwindigkeit gibt an, welche Strecke in welcher Zeit zurückgelegt wird (in <math>\tfrac{km}{h}</math>. Du benötigst also die Strecke, die zurückgelegt wird und die Zeit, in der diese Strecke zurückgelegt wird.|2=Tipp 1 zu Nr. 9|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Strecke: Länge der Umlaufbahn, also u.<br><br />
Zeit: Der Satellit ist geostationär, er bewegt sich also genauso schnell, wie die Erde sich dreht. Für eine ganze Umlaufbahn benötigt er also 24 Stunden (einen Tag), denn die Erde dreht sich in 24 Stunde einmal um ihre Achse.<br><br />
Lösung: v = 11094,5 <math>\tfrac{km}{h}</math>|2=Tipp 2 zu Nr. 9|3=Verbergen}}<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Übung 7 - Sachsituationen online|Löse auf der Seite [https://aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/kreis/kreisflaeche.shtml'''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben<br />
* 9<br />
* 10<br />
* 25<br />
* 26<br />
* 27<br />
* 28 <br />
* 29<br />
Löse auf auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/kreis/kreis.shtml '''Aufgabenfuchs 2'''] die Aufgabe<br />
* 44<br />
* 63|Üben}}<br />
<br />
===Vermischte Übungen===<br />
{{Box|Übung 8|Bearbeite die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=pf347f4x321|width=100%|height=600px}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=3 Kreisteile|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisteile}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Buss-Haskert/Kreis_und_Zylinder/Kreisfl%C3%A4che&diff=93237Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisfläche2024-03-22T17:41:22Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]<br />
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}<br />
<br><br />
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder|Kreis und Zylinder - Startseite]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisumfang|1 Kreisumfang]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisfläche|2 Kreisfläche]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisteile|3 Kreisteile]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Zylinder|4 Zylinder]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Zusammengesetzte Körper|5 Zusammengesetzte Körper]]<br />
}}<br />
<br><br />
==Kreisfläche A==<br />
{{Box|Pizza - mini oder maxi|[[Datei:Green-pepper-2024889 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]][[Datei:Green-pepper-2024889 1280.png|rechts|rahmenlos|300x300px]]In deiner Lieblingspizzeria werden die Pizzen in zwei verschiedenen Größen angeboten: <br><br />
Die Mini-Pizza hat einen Durchmesser von 20 cm,<br><br />
<br> der Durchmesser der Maxi-Pizza beträgt 40cm.<br><br />
<br><br />
Pizza "Green Pepper" mini - 4,20 €<br><br />
<br><br />
Pizza "Green Pepper" maxi - 12,60 €.<br><br />
<br><br />
Wo bekommst du mehr Pizza für dein Geld?<br><br />
Diskutiert, welche Größen gegeben bzw. gesucht sind.|Meinung}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Aufgabe aus dem Unterricht:<br><br />
kleine Pizza: d<sub>1</sub> = 17cm; Preis: 2 Stück kosten 2,49€<br><br />
mittlere Pizza: d<sub>2</sub> = 25cm; Preis: 2,49€<br><br />
große Pizza: d<sub>3</sub> = 28cm; Preis: 2,89€|2=Aufgabe aus dem Unterricht Klasse 9b|3=Schließen}}<br />
{{Lösung versteckt|Du hast jeweils den Durchmesser der Pizzen gegeben, damit kannst du den Radius berechnen.<br><br />
Um die Frage zu beantworten, musst du den Flächeninhalt der Pizzen berechnen können.<br><br />
Zum Schluss muss der jeweilige Preis durch die Fläche dividiert werden, dann kannst du vergleichen, wie groß die Fläche ist, die du pro Euro bekommst.|Tipp|Verbergen}}<br />
<br />
===2.1 Kreisfläche - Herleitung der Formel===<br />
{{Box|Kreisfläche - Herleitung der Formel|Führe die beschriebenen Schritte im GeoGebra-Applet durch. <br><br />
[[Datei:Kreisfläche GeoGebra Arbeitsauftrag.png|rahmenlos|600x600px]]<br><br />
[[Datei:Kreisfläche GeoGebra Arbeitsauftrag Teil 2.png|rahmenlos|600x600px]]<br><br />
a) Beschreibe, was geschieht.<br><br />
b) Welche Figur entsteht?<br><br />
c) Leite damit eine Formel für die Kreisfläche her.|Unterrichtsidee}}<br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/bprvjtx8<br><br />
<ggb_applet id="RvbbbEAg" width="980" height="566" border="888888" /><br />
<small>Applet von Anthony Or. Education Bureau</small><br><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Das Applet ist einfacher dargestellt und gibt bei er neu entstandenen Figur die Längen an. Kannst du nun eine Formel für den Flächeninhalt herleiten?<br><br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/cQeSV4tC<br />
<ggb_applet id="jpx7xqUb" width="651" height="300" border="888888" /><br />
Applet von R. Schmidt|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Fläche, die durch das Einteilen des Kreises und das Umlegen entsteht, hat annähernd die Form eines Rechtecks mit den Seitenlängen a=<math>\tfrac{u}{2}</math> (halber Umfang) und b = r (Radius)<br><br />
[[Datei:Kreisfläche Herleitung Bild 1.PNG|rahmenlos|600x600px]]<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Kreisfläche Herleitung Bild 1.PNG|rahmenlos|600x600px]]<br />
Also gilt: <br><br />
A = a·b &nbsp;&nbsp;&#124; Setze für a den halben Umfang und für b den Radius ein.<br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{u}{2}</math> · r &nbsp;&nbsp;&#124; Setze für u die Formel für den Umfang ein: u =2πr.<br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{\text{2πr}}{2}</math> · r &nbsp;&nbsp;&#124; Kürze mit 2.<br><br />
&nbsp;&nbsp; = πr · r &nbsp;&nbsp;&#124; Fasse r·r zusammen. <br><br />
&nbsp;&nbsp; = π·r²|2=Tipp 3 (Herleitung der Formel)|3=Verbergen}}<br />
<br />
Das Video fasst die Herleitung der Formel zusammen:<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|yFuTUdVxzFQ|460|center|||start=89&end=234}}</div><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|3uF_o39vGC4|460|center}}</div><br />
</div><br />
<br />
<br><br />
Eine weitere Möglichkeit, den Flächeninhalt eines Kreises abzuschätzen, zeigt das folgende Applet von Pöchtrager:<br><br />
Beschreibe!<br><br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/cQeSV4tC<br />
<ggb_applet id="cQeSV4tC" width="800" height="500" border="888888" /><br />
<br><br />
<br><br />
<br />
{{Box|1=Kreisfläche - Formel|2=[[Datei:Bezeichnungen am Kreis.png|rechts|rahmenlos]]Den <span style="color:red">'''Flächeninhalt A''' </span>eines Kreises kann man mithilfe des Radius r berechnen:<br><br><br />
<big><big>''' A = π r²'''</big></big><br><br />
<br><br />
Wenn der Durchmesser gegeben ist, berechne zunächst den Radius r =<math>\tfrac{d}{2}</math>.|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br><br />
Merke dir die Formel mit dem Lied von Dorfuchs:<br />
{{#ev:youtube|h43mo0QXnDk|800|center}}<br><br />
<br />
<br />
===2.2 Kreisfläche - Berechnungen===<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Kreisfläche - Formel umstellen|2=Stelle die Formel für den Flächeninhalt des Kreises <br><br />
A = π·r² nach r um. <br><br />
Übertrage anschließend die Beispielaufgaben in dein Heft.|3=Arbeitsmethode}}<br />
{{Lösung versteckt|Erinnerung: Die Umkehraufgabe für das Quadrieren ist das Wurzelziehen:<br><br />
[[Datei:Flächeninhaltesformel umstellen nach r.png|rahmenlos|271x271px]]|Tipp|Verbergen}}<br />
Beispiele:<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">Fläche A berechnen:<br><br />
geg: r = 3,0 cm<br><br />
ges: A<br><br />
A = π · r² &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π · 3,0² <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 28,27 (cm²)</div><br />
<div class="width-1-2"><br><br />
geg: d = 5,0 cm<br><br />
ges: A<br><br />
r = <math>\tfrac{d}{2}</math> = <math>\tfrac{5}{2}</math> = 2,5 (cm)<br><br />
A = π · r² &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π · 2,5² <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 19,63 (cm²)</div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">Radius r berechnen:<br><br />
geg: A = 7,0 cm²<br><br />
ges: r<br><br />
A = π · r² &nbsp;&nbsp;&#124;: π<br> <br />
<math>\tfrac{A}{\pi}</math> = r<sup>2</sup>&nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
<math>\sqrt{\tfrac{A}{\pi}}</math> = r &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
<math>\sqrt{\tfrac{7,0}{\pi}}</math> = r<br><br />
1,5 (cm) ≈ r<br />
</div><br />
<div class="width-1-2">Durchmesser d berechnen:<br><br />
geg: A = 18,10 cm²<br><br />
ges: d<br><br />
d = 2·r; Berechne zunächst r:<br><br />
A = π · r² &nbsp;&nbsp;&#124;: π<br> <br />
<math>\tfrac{A}{\pi}</math> = r<sup>2</sup> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
<math>\sqrt{\tfrac{A}{\pi}}</math> = r &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
<math>\sqrt{\tfrac{18,10}{\pi}}</math> = r<br><br />
2,4 (cm) ≈ r<br><br />
d = 2·r = 2 · 2,4 = 4,8 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|1ZxxcctOYlc|460|center}}</div><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|9KYowFl5VKc|460|center}}</div><br />
</div><br />
<br />
<br><br />
{{Box|Übung 1 - online|Löse auf der Seite [https://aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/kreis/kreisflaeche.shtml'''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben<br />
* 1<br />
* 2<br />
* 3<br />
* 4|Üben}}<br />
<br />
{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe ausführlich und übersichtlich. Notiere - falls nötig - und die Umstellung der Formel. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.<br />
* S. 131 Nr. 1 (Wähle eine Aufgabe aus.)<br />
* S. 131 Nr. 2 (Wähle eine Aufgabe aus.)<br />
* S. 132 Nr. 3 (Wähle aus: a und c oder b und d)<br />
* S. 132 Nr. 4 |Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Prüfe deine Lösungen mithilfe der LearningApp. Trage deine Lösung ein und klicke den Prüfbutton. Hake im Heft deine Ergebnisse ab.<br><br />
{{LearningApp|app=puttncjp521|width=100%|height=600px}}<br />
{{LearningApp|app=pc4e9ni8k21|width=100%|height=400px}}|2=Prüfe deine Lösungen|3=Verbergen}}<br />
<br><br />
<br><br />
{{Box|Übung 3 - Zusammenhang zwischen Radius und Umfang bzw. Radius und Flächeninhalt|Ergänze die Tabelle.<br><br />
[[Datei:Tabelle Zusammenhang Radius Umfang Flächeninhalt Kreis.png|rahmenlos|800x800px]]<br><br />
Trage die Werte in ein Koordinatenkreuz ein. Was fällt dir auf?<br />
Fülle den Lückentext aus und übertrage ihn in dein Heft.|Üben}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Radius r und Umfang u:<br><br />
Wenn man den Radius r eines Kreises verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht,... dann'''verdoppelt''', '''verdreifacht''', '''vervierfacht''' sich der Umfang u.<br><br />
Radius r und Flächeninhalt A:<br><br />
Wenn man den Radius r eines Kreises verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht,... dann'''vervierfacht''', '''verneunfacht''', '''versechzehnfacht''' sich der Flächeninhalt A.<br />
</div><br />
Prüfe deine Vermutung mit dem nachfolgenden GeoGebra-Applet:<br><br />
<ggb_applet id="ykxmvvzd" width="1522" height="733" border="888888" /><br><br />
<br />
===2.3 Kreisfläche - Anwendungen===<br />
[[Datei:Green-pepper-2024889 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Jetzt kannst du die Einführungsaufgabe lösen: Bei welcher Pizza erhältst du mehr Pizza für dein Geld?<br><br />
{{Lösung versteckt|1=<div class="grid"><br />
<br />
<div class="width-1-2">Mini-Pizza: d = 20cm, also r = 10cm; 4,20€<br><br />
A = π · r²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π · 10²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 314,16 (cm²)<br><br />
Preis pro cm²:<br><br />
4,20 : 314,16 = 0,013 Euro pro cm².<br></div><br />
<div class="width-1-2">Maxi-Pizza: d = 40cm, also r = 20cm; 12,60€<br><br />
A = π · r²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π · 20²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 1256,64 (cm²)<br><br />
Preis pro cm²:<br><br />
12,60 : 1256,64 = 0,010 Euro pro cm².<br></div><br />
</div><br />
<br><br />
Bei der Maxi-Pizza bezahle ich pro cm² weniger Geld.|2=Vergleiche deine Lösung|3=Verbergen}}<br />
<br />
<br />
====Geometrische Anwendungen====<br />
{{Box|1=Geometrische Anwendungen - Beispiele|2=Berechne den Flächeninhalt der Figuren. Notiere deine Überlegungen übersichtlich.<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">1. Beispiel:<br><br />
[[Datei:Halbkreis im Quadrat 2.png|rahmenlos]]<br><br />
A = A<sub>Quadrat</sub> - A<sub>Halbkreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= a² - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·r²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 5² - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·2,5²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 25 - 9,82<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 15,18 [cm²] <br><br />
</div><br />
<div class="width-1-3">2. Beispiel:<br><br />
[[Datei:Halbkreis im Viertelkreis.png|rahmenlos|300x300px]]<br><br />
A = A<sub>Viertelkreis</sub> - A<sub>Halbkreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{4}</math>·π·<math>r_1^2</math> - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·<math>r_2^2</math><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{4}</math>·π·6² - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·3²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 28,27 - 14,14<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 14,13 [cm²] <br><br />
</div><br />
<div class="width-1-3">3. Beispiel:<br><br />
[[Datei:Rechtwinkliges Dreieck mit Halbkreis.png|rahmenlos|400x400px]]<br><br />
Berechne den Radius des Halbkreises (mit dem Satz des Pythagoras):<br><br />
d² = 3² + 4²<br><br />
d = <math>\sqrt{3^2 + 4^2}</math><br><br />
d = 5 [cm]; also r = 5:2 = 2,5 [cm]<br><br />
A = A<sub>Dreieck</sub> + A<sub>Halbkreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{2}</math>·g·h + <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·<math>r^2</math><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{2}</math>·3·4 - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·2,5²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 6 + 9,82<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 15,82 [cm²] <br><br />
</div> <br />
</div>|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|Übung 4 - Geometrische Anwendungen|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Überlegungen ausführlich und übersichtlich. Zeichne - falls nötig - Teilskizzen. Prüfe deine Lösungen und hake ab.<br />
* S. 132 Nr. 6<br />
* S. 132 Nr. 8|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1='''Um'''fang u: Die Ameise läuft außen '''um''' die Figur her'''um'''. Addiere die Teilstrecken.<br><br />
Flächen'''in'''halt A: Male die Fläche '''in'''nen dr'''in''' aus.<br><br />
Zerlege die Figur in Teilflächen A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>,... und berechne deren Flächeninhalt. Bestimme dann den gesamten Flächeninhalt als Summe der Teilflächen.|2=Tipp zu Nr. 6|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Radius der Halbkreise beträgt r = 1 cm, denn <br><br />
[[Datei:S. 132 Nr. 6a Tipp.png|rahmenlos]]<br><br />
Für den Umfang läuft die Ameise an drei Seiten des Quadrates und den Halbkreisbogen entlang.<br><br />
Berechne den Umfang des Halbkreises: u<sub>Halbkreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·u<sub>Kreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·r = π·r<br><br />
Lösung: u = 9,1cm|2=Tipp zur Berechnung des Umfangs Nr. 6a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Flächeninhalt der Figur setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt des Quadrates A <sub>1</sub>und dem Flächeninhalt des Halbreises A<sub>2</sub>.<br><br />
Berechne den Flächeninhalt des Halbkreises A<sub>2</sub> = A<sub>Halbkreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·A<sub>Kreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·r².<br><br />
Lösung: 5,57cm²|2=Tipp zur Berechnung des Flächeninhaltes Nr. 6a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Musterlösung (Schreibweisen) zu Nr. 6a:<br><br />
Umfang u:<br><br />
u<sub>Halbkreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·u<sub>Kreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·r<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π·r<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π·1<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 3,14 (cm)<br><br />
u<sub>gesamt</sub> = 2 + 2 + 2 + 3,14 = 9,14 (cm)<br><br />
<br><br />
Flächeninhalt A:<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
A<sub>1</sub> = A<sub>Quadrat</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = 2²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 4 (cm²)</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
A<sub>2</sub> = A<sub>Halbkreis</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>·A<sub>Kreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·r²<br> <br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·1²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 1,57 (cm²)</div><br />
<div class="width-1-3"></div><br />
</div><br />
A<sub>gesamt</sub> = A<sub>1</sub> + A<sub>2</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = 4 + 1,57<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 5,57 (cm²)|2=Musterlösung zu Nr. 6a (Schreibweisen)|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Umfang u: Die Ameise läuft 4 Viertelkreisbögen, also um einen ganzen Kreis herum. Außerdem läuft sie viermal die Strecke vom 4cm. <br><br />
Lösung: u = 41,1 cm <br><br />
Flächeninhalt A: Die Fläche setzt sich zusammen aus dem Quadrat in der Mitte und 4 Viertelkreisen, also einem ganzen Kreis.<br><br />
Lösung: A = 66,3 cm²|2=Tipp zu Nr. 6 b|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Umfang u: Das Dreieck ist ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck. Die Basis ist 4cm lang. Bestimme die Länge der Schenkel mit dem Satz des Pythagoras.<br><br />
[[Datei:S. 132 Nr. 6c Tipp.png|rahmenlos]]<br><br />
x<sup>2</sup> + x<sup>2</sup> = 4<sup>2</sup> &124;<br><br />
2x<sup>2</sup> = 16 <br><br />
… <br><br />
Lösung: u = 11,9cm<br><br />
Flächeninhalt A: Die Fläche setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt A<sub>1</sub> des Dreiecks und dem Flächeninhalt A<sub>2</sub> des Halbkreises.<br><br />
Da das Dreieck rechtwinklig ist, sind die Schenkel je Grundseite und Höhe des Dreiecks.<br><br />
Lösung: A<sub>gesamt</sub> = 3,92 + 6,28 = 10,2 (cm²) (mit genauen Werten 10,3)|2=Tipp zu Nr. 6c|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Umfang u: Auch hier handelt es sich um ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck. Bestimme die Schenkellänge mit dem Satz des Pythagoras (vgl. Aufgabe 6c). Der Umfang der zwei Halbkreise ist genauso groß wie der Umfang eines ganzen Kreises. <br><br />
Radius r = 12:4 = 3 (cm)<br><br />
Lösung: u = 35,8 (cm)<br><br />
Flächeninhalt A: Lösung: 64,4 (cm²) (mit genauen Werten 64,3)|2=Tipp zu Nr. 6d|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Winkel 45° bedeutet, dass es sich bei dem Dreieck um ein halbes Quadrat handelt. Das Dreieck ist also ebenfalls gleichschenklig rechtwinklig. <br><br />
Damit beträgt der Radius des Halbkreises r = 4,5:2 = 2,25 (cm) .<br><br />
Umfang u: Bestimme die Hypotenuse des Dreiecks mit dem Satz des Pythagoras.<br><br />
Lösung: u = 18,0 cm (mit genauen Werten 17,9)<br><br />
Flächeninhalt A: Lösung: A = 18,07 cm²|2=Tipp zu Nr. 6e|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne den Radius des Halbkreises mit dem Satz des Pythagoras.<br><br />
[[Datei:S. 132 Nr. 6f Tipp.png|rahmenlos]]<br><br />
Lösung: Umfang u = 38,8cm<br><br />
Flächeninhalt A: Die Grundseite des Dreiecks ist 2r lang, die Höhe beträgt 8cm. Berechne damit den Flächeninhalt des Dreiecks. Falls du die Formel nicht mehr weißt, findest du sie hinten im Schulbegleiter.<br><br />
Lösung: Flächeninhalt A = 104,55 cm²|2=Tipp zu Nr. 6f|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Durchmesser d beträgt immer 8cm. Bestimme jeweils den Durchmesser bzw. Radius der kleineren Kreise und berechne damit den Umfang und den Flächeninhalt der Figur.|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang u setzt sich zusammen aus dem Umfang des großen Halbkreises und dem Umfang eines ganzen kleinen Kreises (zwei Halbkreise).<br />
Lösung: u = 25,1cm<br><br />
Um die Fläche der Figur zu berechnen, subtrahiere vom großen Halbkreis die zwei kleinen Halbkreise (bzw. einen ganzen kleinen Kreis).<br><br />
A<sub>Figur</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>π·4² - π·2² = 12,57 (cm²)|2=Tipp zu Nr. 8a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang der Figur ist genauso groß wie in Teil a.<br><br />
Der Flächeninhalt setzt sich zusammen aus der Summe des großen Halbkreises und eines kleinen Kreises.<br><br />
Lösung: u = 25,1cm; A = 37,70cm²|2=Tipp zu Nr. 8b|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang der Figur setzt sich zusammen aus dem großen Halbkreis, dem mittleren Halbkreis und zwei kleinen Halbkreisen (also einem ganzen kleinen Kreis).<br><br />
Lösung: u = 25,1cm<br><br />
Der Flächeninhalt der Figur setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt des großen Halbreises + dem Flächeninhalt des mittleren Halbkreises - zwei kleinen Halbkreisen (also einem ganzen kleinen Kreis).<br><br />
Lösung:A = 28,27cm³|2=Tipp zu Nr. 8c|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang der Figur setzt sich zusammen aus dem Umfang des großen Halbkreises und dem Umfang eines ganzen kleinen Kreises (zwei Halbkreise).<br><br />
Lösung: 25,1cm<br><br />
Der Flächeninhalt der Figur ist gleich dem Flächeninhalt des großen Halbkreises, denn der kleine Halbkreis wird einmal addiert und dann wieder subtrahiert.<br><br />
Lösung: A = 25,13cm²|2=Tipp zu Nr. 8d|3=Verbergen}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 5 - Geometrische Anwendungen|Löse auf der Seite [https://aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/kreis/kreisflaeche.shtml'''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben<br />
* 12<br />
* 13<br />
* 14<br />
* 18<br><br />
ODER:<br><br />
Konstruiere mit dem Zirkel Figuren aus Kreisen bzw. Halbkreisen und berechne dazu Umfang und Flächeninhalt.|Üben}}<br />
<br />
====Sachsituationen====<br />
{{LearningApp|app=py733oge321|width=100%|height=500px}}<br />
{{Box|1=Einstiegsaufgabe - Kreisfläche|2=Betrachte das nachfolgende Applet und beantworte die folgenden Fragen:<br><br />
[[Datei:Quadrat mit Kreis.png|rahmenlos]][[Datei:Quadrat mit 4 Kreisen.png|rahmenlos]]<br />
*Aus einem Quadrat der Seitenlänge a wird ein maximaler Kreis ausgeschnitten. Wieviel Prozent beträgt der Abfall?<br />
*Jetzt werden 4, 9, 16 gleich große Kreise ausgeschnitten. Wieviel Prozent beträgt nun der Abfall?<br />
*Auch wenn das Ergebnis zunächst überraschen mag, kann man es einfach erklären. Betrachte für n > 1 den Zusammenhang zwischen dem hervorgehobenen kleinen Quadrat mit kleinem Kreis und der Figur für n = 1. Wie entstehen diese Figuren auseinander? Was bedeutet das für die Flächen?|3=Meinung}}<br />
Originallink: https://www.geogebra.org/m/krnwuf2s<br />
<ggb_applet id="awkjt4py" width="1500" height="850" border="888888" /><br />
<small>Applet von Hans-Jürgen Elschenbroich</small><br />
<br />
{{Box|Übung 6 - Sachsituationen|Löse so viele Aufgaben, dass du mindestes 7 Sternchen sammelst. Notier deine Rechnungen ausführlich und übersichtlich. Prüfe deine Lösungen und hake ab.<br />
* S. 133, Nr. 10 (*)<br />
* S. 134, Nr. 16 (*)<br />
* S. 134, Nr. 17 (*)<br />
* S. 134, Nr. 18 (*)<br />
* S. 134, Nr. 19 (*)<br />
* S. 134, Nr. 20 (**)<br />
* S. 134, Nr. 21 (**)<br />
* S. 150, Nr. 7 (*)<br />
* S. 150, Nr. 8 (**)<br />
* S. 150, Nr. 9 (**)|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Flächeninhalt des Verschnittes berechnest du, indem du die Kreisflächen von der Quadratfläche subtrahierst. Bestimme für die Berechnung der Kreisflächen jeweils den Radius der Kreise.<br><br />
A<sub>Verschnitt</sub> = A<sub>Quadrat</sub> - A<sub>Kreise</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 80 · 80 - 1·π·40²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 6400 - 5026,55<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 1373,45cm²<br><br />
Rechne weiter für die übrigen Figuren. Was fällt dir auf?<br><br />
Der Flächeninhalt der Kreise insgesamt beträgt immer 5026,55 cm², daher bleibt der Verschnitt gleich.|2=Tipp zu Nr. 10|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Mobilfunkmast gibt die Signale in jede Richtung weiter, das erreichte Gebiet ist also kreisförmig mit dem Radius r = 10km.|2=Tipp zu Nr. 16|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Windrad Seligweiler.jpg|rahmenlos]]<br><br />
Die Flügellänge entspricht dem Radius, die Winderntefläche der Kreisfläche.<br><br />
Lösung: a) A ≈ 1122,21 m²<br><br />
b) A ≈ 3848,45 m²|2=Tipp zu Nr. 17|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Kreisform entsteht, da die Bewässerungsanlagen sich kreisförmig drehen.<br><br />
Um die ungenutzte Fläche zu berechnen, subtrahiere die Kreisfläche von der quadratischen Fläche.<br><br />
Lösung: 8584 m²|2=Tipp zu Nr. 18|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Schätze die Größe des Mannes (ca. 1,80m) und damit den Durchmesser der Iris (ca. 3,20m). Berechne nun die Kreisfläche.<br><br />
Um die Größe des Plakates zu bestimmen, überlege, wie groß die Iris im Verhältnis zur Körpergröße ist.|2=Tipp zu Nr. 20|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zunächst die Fläche des Topfbodens und die Fläche der Herdplatte.<br><br />
Wie viel Prozent der Herdplatte werden vom Topf abgedeckt? p% = <math>\tfrac{A_Topf}{A_Platte}</math>|2=Tipp zu Nr. 21|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Was ist gesucht, der Umfang oder der Flächeninhalt? Für den Umfang überlege, ob "Kalle läuft" bzw. wie in den Videos eine Ameise den Weg läuft. Für den Flächeninhalt überlege, ob du die gesuchte Größe als Fläche ausmalen könntest.<br><br />
Achte auch auf die Einheit der gesuchten Größe: Ist der '''Umfang''' in Metern''' m''' gesucht oder die '''Fläche''' in Quadratmeter '''m²'''?|2=Tipp zu Nr. 7|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1='''Um''' wie viel Prozent ... ist gefragt. Du benötigst für die Prozentrechnung also die Größen Grundwert G und Prozentwert W. Berechne diese und damit dann den Prozentsatz p%. <br><br />
Erinnerung: Formel für die Prozentrechnung: '''W'''ie '''g'''eht '''P'''rozentrechnung? W = G·p%. Stelle diese Formel nach p% um.<br><br />
Lösung: p% = 91,7%|2=Tipp 1 zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Größe der zweiten Pizza wird mit der der ersten Pizza verglichen. Also ist G der Flächeninhalt der ersten Pizza. W ist die Differenz der Flächeninhalte, also '''um''' welche Fläche die große Pizza größer ist also die kleine.<br><br />
Für p% gilt dann p% = <math>\tfrac{W}{G}</math>.<br>|2=Tipp 2 zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Du kannst auch anders vorgehen:<br><br />
Berechne den Flächeninhalt der kleinen und der große Pizza. Überlege dann '''auf''' wie viel Prozent der kleinen Pizza sich die Fläche der zweiten Pizza vergrößert hat.<br> Gegeben sind hier also G und G<sup>+</sup>.<br><br />
Berechne damit p<sup>+</sup>%. <br><br />
Lösung: p<sup>+</sup>% = 191,7%, also ist p% = 97,1%|2=Tipp 3 zu Nr. 8 (alternative Lösung)|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Umlaufbahn ist gesucht, also der Umfang u.<br><br />
Tipp zur Bahngeschwindigkeit: Die Geschwindigkeit gibt an, welche Strecke in welcher Zeit zurückgelegt wird (in <math>\tfrac{km}{h}</math>. Du benötigst also die Strecke, die zurückgelegt wird und die Zeit, in der diese Strecke zurückgelegt wird.|2=Tipp 1 zu Nr. 9|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Strecke: Länge der Umlaufbahn, also u.<br><br />
Zeit: Der Satellit ist geostationär, er bewegt sich also genauso schnell, wie die Erde sich dreht. Für eine ganze Umlaufbahn benötigt er also 24 Stunden (einen Tag), denn die Erde dreht sich in 24 Stunde einmal um ihre Achse.<br><br />
Lösung: v = 11094,5 <math>\tfrac{km}{h}</math>|2=Tipp 2 zu Nr. 9|3=Verbergen}}<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Übung 7 - Sachsituationen online|Löse auf der Seite [https://aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/kreis/kreisflaeche.shtml'''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben<br />
* 9<br />
* 10<br />
* 25<br />
* 26<br />
* 27<br />
* 28 <br />
Löse auf auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/kreis/kreis.shtml '''Aufgabenfuchs 2'''] die Aufgabe<br />
* 44<br />
* 63|Üben}}<br />
<br />
===Vermischte Übungen===<br />
{{Box|Übung 8|Bearbeite die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=pf347f4x321|width=100%|height=600px}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=3 Kreisteile|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisteile}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Datei:Quadrat_mit_4_Kreisen.png&diff=93236Datei:Quadrat mit 4 Kreisen.png2024-03-22T17:41:10Z<p>Buss-Haskert: Hochgeladen mit VisualEditor Seite</p>
<hr />
<div>{{Information<br />
|description = Quadrat mit 4 Kreisen<br />
|source = Eigene Arbeit<br />
|author = [[User:Buss-Haskert|Buss-Haskert]]<br />
}}<br />
<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Datei:Quadrat_mit_Kreis.png&diff=93235Datei:Quadrat mit Kreis.png2024-03-22T17:40:32Z<p>Buss-Haskert: Hochgeladen mit VisualEditor Seite</p>
<hr />
<div>{{Information<br />
|description = Quadrat mit Kreis<br />
|source = Eigene Arbeit<br />
|author = [[User:Buss-Haskert|Buss-Haskert]]<br />
}}<br />
<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Buss-Haskert/Kreis_und_Zylinder/Kreisfl%C3%A4che&diff=93234Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisfläche2024-03-22T17:29:36Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]<br />
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}<br />
<br><br />
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder|Kreis und Zylinder - Startseite]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisumfang|1 Kreisumfang]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisfläche|2 Kreisfläche]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisteile|3 Kreisteile]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Zylinder|4 Zylinder]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Zusammengesetzte Körper|5 Zusammengesetzte Körper]]<br />
}}<br />
<br><br />
==Kreisfläche A==<br />
{{Box|Pizza - mini oder maxi|[[Datei:Green-pepper-2024889 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]][[Datei:Green-pepper-2024889 1280.png|rechts|rahmenlos|300x300px]]In deiner Lieblingspizzeria werden die Pizzen in zwei verschiedenen Größen angeboten: <br><br />
Die Mini-Pizza hat einen Durchmesser von 20 cm,<br><br />
<br> der Durchmesser der Maxi-Pizza beträgt 40cm.<br><br />
<br><br />
Pizza "Green Pepper" mini - 4,20 €<br><br />
<br><br />
Pizza "Green Pepper" maxi - 12,60 €.<br><br />
<br><br />
Wo bekommst du mehr Pizza für dein Geld?<br><br />
Diskutiert, welche Größen gegeben bzw. gesucht sind.|Meinung}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Aufgabe aus dem Unterricht:<br><br />
kleine Pizza: d<sub>1</sub> = 17cm; Preis: 2 Stück kosten 2,49€<br><br />
mittlere Pizza: d<sub>2</sub> = 25cm; Preis: 2,49€<br><br />
große Pizza: d<sub>3</sub> = 28cm; Preis: 2,89€|2=Aufgabe aus dem Unterricht Klasse 9b|3=Schließen}}<br />
{{Lösung versteckt|Du hast jeweils den Durchmesser der Pizzen gegeben, damit kannst du den Radius berechnen.<br><br />
Um die Frage zu beantworten, musst du den Flächeninhalt der Pizzen berechnen können.<br><br />
Zum Schluss muss der jeweilige Preis durch die Fläche dividiert werden, dann kannst du vergleichen, wie groß die Fläche ist, die du pro Euro bekommst.|Tipp|Verbergen}}<br />
<br />
===2.1 Kreisfläche - Herleitung der Formel===<br />
{{Box|Kreisfläche - Herleitung der Formel|Führe die beschriebenen Schritte im GeoGebra-Applet durch. <br><br />
[[Datei:Kreisfläche GeoGebra Arbeitsauftrag.png|rahmenlos|600x600px]]<br><br />
[[Datei:Kreisfläche GeoGebra Arbeitsauftrag Teil 2.png|rahmenlos|600x600px]]<br><br />
a) Beschreibe, was geschieht.<br><br />
b) Welche Figur entsteht?<br><br />
c) Leite damit eine Formel für die Kreisfläche her.|Unterrichtsidee}}<br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/bprvjtx8<br><br />
<ggb_applet id="RvbbbEAg" width="980" height="566" border="888888" /><br />
<small>Applet von Anthony Or. Education Bureau</small><br><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Das Applet ist einfacher dargestellt und gibt bei er neu entstandenen Figur die Längen an. Kannst du nun eine Formel für den Flächeninhalt herleiten?<br><br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/cQeSV4tC<br />
<ggb_applet id="jpx7xqUb" width="651" height="300" border="888888" /><br />
Applet von R. Schmidt|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Fläche, die durch das Einteilen des Kreises und das Umlegen entsteht, hat annähernd die Form eines Rechtecks mit den Seitenlängen a=<math>\tfrac{u}{2}</math> (halber Umfang) und b = r (Radius)<br><br />
[[Datei:Kreisfläche Herleitung Bild 1.PNG|rahmenlos|600x600px]]<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Kreisfläche Herleitung Bild 1.PNG|rahmenlos|600x600px]]<br />
Also gilt: <br><br />
A = a·b &nbsp;&nbsp;&#124; Setze für a den halben Umfang und für b den Radius ein.<br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{u}{2}</math> · r &nbsp;&nbsp;&#124; Setze für u die Formel für den Umfang ein: u =2πr.<br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{\text{2πr}}{2}</math> · r &nbsp;&nbsp;&#124; Kürze mit 2.<br><br />
&nbsp;&nbsp; = πr · r &nbsp;&nbsp;&#124; Fasse r·r zusammen. <br><br />
&nbsp;&nbsp; = π·r²|2=Tipp 3 (Herleitung der Formel)|3=Verbergen}}<br />
<br />
Das Video fasst die Herleitung der Formel zusammen:<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|yFuTUdVxzFQ|460|center|||start=89&end=234}}</div><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|3uF_o39vGC4|460|center}}</div><br />
</div><br />
<br />
<br><br />
Eine weitere Möglichkeit, den Flächeninhalt eines Kreises abzuschätzen, zeigt das folgende Applet von Pöchtrager:<br><br />
Beschreibe!<br><br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/cQeSV4tC<br />
<ggb_applet id="cQeSV4tC" width="800" height="500" border="888888" /><br />
<br><br />
<br><br />
<br />
{{Box|1=Kreisfläche - Formel|2=[[Datei:Bezeichnungen am Kreis.png|rechts|rahmenlos]]Den <span style="color:red">'''Flächeninhalt A''' </span>eines Kreises kann man mithilfe des Radius r berechnen:<br><br><br />
<big><big>''' A = π r²'''</big></big><br><br />
<br><br />
Wenn der Durchmesser gegeben ist, berechne zunächst den Radius r =<math>\tfrac{d}{2}</math>.|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br><br />
Merke dir die Formel mit dem Lied von Dorfuchs:<br />
{{#ev:youtube|h43mo0QXnDk|800|center}}<br><br />
<br />
<br />
===2.2 Kreisfläche - Berechnungen===<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Kreisfläche - Formel umstellen|2=Stelle die Formel für den Flächeninhalt des Kreises <br><br />
A = π·r² nach r um. <br><br />
Übertrage anschließend die Beispielaufgaben in dein Heft.|3=Arbeitsmethode}}<br />
{{Lösung versteckt|Erinnerung: Die Umkehraufgabe für das Quadrieren ist das Wurzelziehen:<br><br />
[[Datei:Flächeninhaltesformel umstellen nach r.png|rahmenlos|271x271px]]|Tipp|Verbergen}}<br />
Beispiele:<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">Fläche A berechnen:<br><br />
geg: r = 3,0 cm<br><br />
ges: A<br><br />
A = π · r² &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π · 3,0² <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 28,27 (cm²)</div><br />
<div class="width-1-2"><br><br />
geg: d = 5,0 cm<br><br />
ges: A<br><br />
r = <math>\tfrac{d}{2}</math> = <math>\tfrac{5}{2}</math> = 2,5 (cm)<br><br />
A = π · r² &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π · 2,5² <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 19,63 (cm²)</div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">Radius r berechnen:<br><br />
geg: A = 7,0 cm²<br><br />
ges: r<br><br />
A = π · r² &nbsp;&nbsp;&#124;: π<br> <br />
<math>\tfrac{A}{\pi}</math> = r<sup>2</sup>&nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
<math>\sqrt{\tfrac{A}{\pi}}</math> = r &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
<math>\sqrt{\tfrac{7,0}{\pi}}</math> = r<br><br />
1,5 (cm) ≈ r<br />
</div><br />
<div class="width-1-2">Durchmesser d berechnen:<br><br />
geg: A = 18,10 cm²<br><br />
ges: d<br><br />
d = 2·r; Berechne zunächst r:<br><br />
A = π · r² &nbsp;&nbsp;&#124;: π<br> <br />
<math>\tfrac{A}{\pi}</math> = r<sup>2</sup> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
<math>\sqrt{\tfrac{A}{\pi}}</math> = r &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
<math>\sqrt{\tfrac{18,10}{\pi}}</math> = r<br><br />
2,4 (cm) ≈ r<br><br />
d = 2·r = 2 · 2,4 = 4,8 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|1ZxxcctOYlc|460|center}}</div><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|9KYowFl5VKc|460|center}}</div><br />
</div><br />
<br />
<br><br />
{{Box|Übung 1 - online|Löse auf der Seite [https://aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/kreis/kreisflaeche.shtml'''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben<br />
* 1<br />
* 2<br />
* 3<br />
* 4|Üben}}<br />
<br />
{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe ausführlich und übersichtlich. Notiere - falls nötig - und die Umstellung der Formel. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.<br />
* S. 131 Nr. 1 (Wähle eine Aufgabe aus.)<br />
* S. 131 Nr. 2 (Wähle eine Aufgabe aus.)<br />
* S. 132 Nr. 3 (Wähle aus: a und c oder b und d)<br />
* S. 132 Nr. 4 |Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Prüfe deine Lösungen mithilfe der LearningApp. Trage deine Lösung ein und klicke den Prüfbutton. Hake im Heft deine Ergebnisse ab.<br><br />
{{LearningApp|app=puttncjp521|width=100%|height=600px}}<br />
{{LearningApp|app=pc4e9ni8k21|width=100%|height=400px}}|2=Prüfe deine Lösungen|3=Verbergen}}<br />
<br><br />
<br><br />
{{Box|Übung 3 - Zusammenhang zwischen Radius und Umfang bzw. Radius und Flächeninhalt|Ergänze die Tabelle.<br><br />
[[Datei:Tabelle Zusammenhang Radius Umfang Flächeninhalt Kreis.png|rahmenlos|800x800px]]<br><br />
Trage die Werte in ein Koordinatenkreuz ein. Was fällt dir auf?<br />
Fülle den Lückentext aus und übertrage ihn in dein Heft.|Üben}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Radius r und Umfang u:<br><br />
Wenn man den Radius r eines Kreises verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht,... dann'''verdoppelt''', '''verdreifacht''', '''vervierfacht''' sich der Umfang u.<br><br />
Radius r und Flächeninhalt A:<br><br />
Wenn man den Radius r eines Kreises verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht,... dann'''vervierfacht''', '''verneunfacht''', '''versechzehnfacht''' sich der Flächeninhalt A.<br />
</div><br />
Prüfe deine Vermutung mit dem nachfolgenden GeoGebra-Applet:<br><br />
<ggb_applet id="ykxmvvzd" width="1522" height="733" border="888888" /><br><br />
<br />
===2.3 Kreisfläche - Anwendungen===<br />
[[Datei:Green-pepper-2024889 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Jetzt kannst du die Einführungsaufgabe lösen: Bei welcher Pizza erhältst du mehr Pizza für dein Geld?<br><br />
{{Lösung versteckt|1=<div class="grid"><br />
<br />
<div class="width-1-2">Mini-Pizza: d = 20cm, also r = 10cm; 4,20€<br><br />
A = π · r²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π · 10²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 314,16 (cm²)<br><br />
Preis pro cm²:<br><br />
4,20 : 314,16 = 0,013 Euro pro cm².<br></div><br />
<div class="width-1-2">Maxi-Pizza: d = 40cm, also r = 20cm; 12,60€<br><br />
A = π · r²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π · 20²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 1256,64 (cm²)<br><br />
Preis pro cm²:<br><br />
12,60 : 1256,64 = 0,010 Euro pro cm².<br></div><br />
</div><br />
<br><br />
Bei der Maxi-Pizza bezahle ich pro cm² weniger Geld.|2=Vergleiche deine Lösung|3=Verbergen}}<br />
<br />
<br />
====Geometrische Anwendungen====<br />
{{Box|1=Geometrische Anwendungen - Beispiele|2=Berechne den Flächeninhalt der Figuren. Notiere deine Überlegungen übersichtlich.<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">1. Beispiel:<br><br />
[[Datei:Halbkreis im Quadrat 2.png|rahmenlos]]<br><br />
A = A<sub>Quadrat</sub> - A<sub>Halbkreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= a² - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·r²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 5² - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·2,5²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 25 - 9,82<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 15,18 [cm²] <br><br />
</div><br />
<div class="width-1-3">2. Beispiel:<br><br />
[[Datei:Halbkreis im Viertelkreis.png|rahmenlos|300x300px]]<br><br />
A = A<sub>Viertelkreis</sub> - A<sub>Halbkreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{4}</math>·π·<math>r_1^2</math> - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·<math>r_2^2</math><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{4}</math>·π·6² - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·3²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 28,27 - 14,14<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 14,13 [cm²] <br><br />
</div><br />
<div class="width-1-3">3. Beispiel:<br><br />
[[Datei:Rechtwinkliges Dreieck mit Halbkreis.png|rahmenlos|400x400px]]<br><br />
Berechne den Radius des Halbkreises (mit dem Satz des Pythagoras):<br><br />
d² = 3² + 4²<br><br />
d = <math>\sqrt{3^2 + 4^2}</math><br><br />
d = 5 [cm]; also r = 5:2 = 2,5 [cm]<br><br />
A = A<sub>Dreieck</sub> + A<sub>Halbkreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{2}</math>·g·h + <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·<math>r^2</math><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{2}</math>·3·4 - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·2,5²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 6 + 9,82<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 15,82 [cm²] <br><br />
</div> <br />
</div>|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|Übung 4 - Geometrische Anwendungen|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Überlegungen ausführlich und übersichtlich. Zeichne - falls nötig - Teilskizzen. Prüfe deine Lösungen und hake ab.<br />
* S. 132 Nr. 6<br />
* S. 132 Nr. 8|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1='''Um'''fang u: Die Ameise läuft außen '''um''' die Figur her'''um'''. Addiere die Teilstrecken.<br><br />
Flächen'''in'''halt A: Male die Fläche '''in'''nen dr'''in''' aus.<br><br />
Zerlege die Figur in Teilflächen A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>,... und berechne deren Flächeninhalt. Bestimme dann den gesamten Flächeninhalt als Summe der Teilflächen.|2=Tipp zu Nr. 6|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Radius der Halbkreise beträgt r = 1 cm, denn <br><br />
[[Datei:S. 132 Nr. 6a Tipp.png|rahmenlos]]<br><br />
Für den Umfang läuft die Ameise an drei Seiten des Quadrates und den Halbkreisbogen entlang.<br><br />
Berechne den Umfang des Halbkreises: u<sub>Halbkreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·u<sub>Kreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·r = π·r<br><br />
Lösung: u = 9,1cm|2=Tipp zur Berechnung des Umfangs Nr. 6a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Flächeninhalt der Figur setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt des Quadrates A <sub>1</sub>und dem Flächeninhalt des Halbreises A<sub>2</sub>.<br><br />
Berechne den Flächeninhalt des Halbkreises A<sub>2</sub> = A<sub>Halbkreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·A<sub>Kreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·r².<br><br />
Lösung: 5,57cm²|2=Tipp zur Berechnung des Flächeninhaltes Nr. 6a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Musterlösung (Schreibweisen) zu Nr. 6a:<br><br />
Umfang u:<br><br />
u<sub>Halbkreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·u<sub>Kreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·r<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π·r<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π·1<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 3,14 (cm)<br><br />
u<sub>gesamt</sub> = 2 + 2 + 2 + 3,14 = 9,14 (cm)<br><br />
<br><br />
Flächeninhalt A:<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
A<sub>1</sub> = A<sub>Quadrat</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = 2²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 4 (cm²)</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
A<sub>2</sub> = A<sub>Halbkreis</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>·A<sub>Kreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·r²<br> <br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·1²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 1,57 (cm²)</div><br />
<div class="width-1-3"></div><br />
</div><br />
A<sub>gesamt</sub> = A<sub>1</sub> + A<sub>2</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = 4 + 1,57<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 5,57 (cm²)|2=Musterlösung zu Nr. 6a (Schreibweisen)|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Umfang u: Die Ameise läuft 4 Viertelkreisbögen, also um einen ganzen Kreis herum. Außerdem läuft sie viermal die Strecke vom 4cm. <br><br />
Lösung: u = 41,1 cm <br><br />
Flächeninhalt A: Die Fläche setzt sich zusammen aus dem Quadrat in der Mitte und 4 Viertelkreisen, also einem ganzen Kreis.<br><br />
Lösung: A = 66,3 cm²|2=Tipp zu Nr. 6 b|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Umfang u: Das Dreieck ist ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck. Die Basis ist 4cm lang. Bestimme die Länge der Schenkel mit dem Satz des Pythagoras.<br><br />
[[Datei:S. 132 Nr. 6c Tipp.png|rahmenlos]]<br><br />
x<sup>2</sup> + x<sup>2</sup> = 4<sup>2</sup> &124;<br><br />
2x<sup>2</sup> = 16 <br><br />
… <br><br />
Lösung: u = 11,9cm<br><br />
Flächeninhalt A: Die Fläche setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt A<sub>1</sub> des Dreiecks und dem Flächeninhalt A<sub>2</sub> des Halbkreises.<br><br />
Da das Dreieck rechtwinklig ist, sind die Schenkel je Grundseite und Höhe des Dreiecks.<br><br />
Lösung: A<sub>gesamt</sub> = 3,92 + 6,28 = 10,2 (cm²) (mit genauen Werten 10,3)|2=Tipp zu Nr. 6c|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Umfang u: Auch hier handelt es sich um ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck. Bestimme die Schenkellänge mit dem Satz des Pythagoras (vgl. Aufgabe 6c). Der Umfang der zwei Halbkreise ist genauso groß wie der Umfang eines ganzen Kreises. <br><br />
Radius r = 12:4 = 3 (cm)<br><br />
Lösung: u = 35,8 (cm)<br><br />
Flächeninhalt A: Lösung: 64,4 (cm²) (mit genauen Werten 64,3)|2=Tipp zu Nr. 6d|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Winkel 45° bedeutet, dass es sich bei dem Dreieck um ein halbes Quadrat handelt. Das Dreieck ist also ebenfalls gleichschenklig rechtwinklig. <br><br />
Damit beträgt der Radius des Halbkreises r = 4,5:2 = 2,25 (cm) .<br><br />
Umfang u: Bestimme die Hypotenuse des Dreiecks mit dem Satz des Pythagoras.<br><br />
Lösung: u = 18,0 cm (mit genauen Werten 17,9)<br><br />
Flächeninhalt A: Lösung: A = 18,07 cm²|2=Tipp zu Nr. 6e|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne den Radius des Halbkreises mit dem Satz des Pythagoras.<br><br />
[[Datei:S. 132 Nr. 6f Tipp.png|rahmenlos]]<br><br />
Lösung: Umfang u = 38,8cm<br><br />
Flächeninhalt A: Die Grundseite des Dreiecks ist 2r lang, die Höhe beträgt 8cm. Berechne damit den Flächeninhalt des Dreiecks. Falls du die Formel nicht mehr weißt, findest du sie hinten im Schulbegleiter.<br><br />
Lösung: Flächeninhalt A = 104,55 cm²|2=Tipp zu Nr. 6f|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Durchmesser d beträgt immer 8cm. Bestimme jeweils den Durchmesser bzw. Radius der kleineren Kreise und berechne damit den Umfang und den Flächeninhalt der Figur.|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang u setzt sich zusammen aus dem Umfang des großen Halbkreises und dem Umfang eines ganzen kleinen Kreises (zwei Halbkreise).<br />
Lösung: u = 25,1cm<br><br />
Um die Fläche der Figur zu berechnen, subtrahiere vom großen Halbkreis die zwei kleinen Halbkreise (bzw. einen ganzen kleinen Kreis).<br><br />
A<sub>Figur</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>π·4² - π·2² = 12,57 (cm²)|2=Tipp zu Nr. 8a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang der Figur ist genauso groß wie in Teil a.<br><br />
Der Flächeninhalt setzt sich zusammen aus der Summe des großen Halbkreises und eines kleinen Kreises.<br><br />
Lösung: u = 25,1cm; A = 37,70cm²|2=Tipp zu Nr. 8b|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang der Figur setzt sich zusammen aus dem großen Halbkreis, dem mittleren Halbkreis und zwei kleinen Halbkreisen (also einem ganzen kleinen Kreis).<br><br />
Lösung: u = 25,1cm<br><br />
Der Flächeninhalt der Figur setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt des großen Halbreises + dem Flächeninhalt des mittleren Halbkreises - zwei kleinen Halbkreisen (also einem ganzen kleinen Kreis).<br><br />
Lösung:A = 28,27cm³|2=Tipp zu Nr. 8c|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang der Figur setzt sich zusammen aus dem Umfang des großen Halbkreises und dem Umfang eines ganzen kleinen Kreises (zwei Halbkreise).<br><br />
Lösung: 25,1cm<br><br />
Der Flächeninhalt der Figur ist gleich dem Flächeninhalt des großen Halbkreises, denn der kleine Halbkreis wird einmal addiert und dann wieder subtrahiert.<br><br />
Lösung: A = 25,13cm²|2=Tipp zu Nr. 8d|3=Verbergen}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 5 - Geometrische Anwendungen|Löse auf der Seite [https://aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/kreis/kreisflaeche.shtml'''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben<br />
* 12<br />
* 13<br />
* 14<br />
* 18<br><br />
ODER:<br><br />
Konstruiere mit dem Zirkel Figuren aus Kreisen bzw. Halbkreisen und berechne dazu Umfang und Flächeninhalt.|Üben}}<br />
<br />
====Sachsituationen====<br />
{{LearningApp|app=py733oge321|width=100%|height=500px}}<br />
{{Box|1=Einstiegsaufgabe - Kreisfläche|2=Betrachte das nachfolgende Applet und beantworte die folgenden Fragen:<br />
*Aus einem Quadrat der Seitenlänge a wird ein maximaler Kreis ausgeschnitten. Wieviel Prozent beträgt der Abfall?<br />
*Jetzt werden 4, 9, 16 gleich große Kreise ausgeschnitten. Wieviel Prozent beträgt nun der Abfall?<br />
*Auch wenn das Ergebnis zunächst überraschen mag, kann man es einfach erklären. Betrachte für n > 1 den Zusammenhang zwischen dem hervorgehobenen kleinen Quadrat mit kleinem Kreis und der Figur für n = 1. Wie entstehen diese Figuren auseinander? Was bedeutet das für die Flächen?|3=Meinung}}<br />
Originallink: https://www.geogebra.org/m/krnwuf2s<br />
<ggb_applet id="awkjt4py" width="1500" height="850" border="888888" /><br />
<small>Applet von Hans-Jürgen Elschenbroich</small><br />
<br />
{{Box|Übung 6 - Sachsituationen|Löse so viele Aufgaben, dass du mindestes 7 Sternchen sammelst. Notier deine Rechnungen ausführlich und übersichtlich. Prüfe deine Lösungen und hake ab.<br />
* S. 133, Nr. 10 (*)<br />
* S. 134, Nr. 16 (*)<br />
* S. 134, Nr. 17 (*)<br />
* S. 134, Nr. 18 (*)<br />
* S. 134, Nr. 19 (*)<br />
* S. 134, Nr. 20 (**)<br />
* S. 134, Nr. 21 (**)<br />
* S. 150, Nr. 7 (*)<br />
* S. 150, Nr. 8 (**)<br />
* S. 150, Nr. 9 (**)|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Flächeninhalt des Verschnittes berechnest du, indem du die Kreisflächen von der Quadratfläche subtrahierst. Bestimme für die Berechnung der Kreisflächen jeweils den Radius der Kreise.<br><br />
A<sub>Verschnitt</sub> = A<sub>Quadrat</sub> - A<sub>Kreise</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 80 · 80 - 1·π·40²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 6400 - 5026,55<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 1373,45cm²<br><br />
Rechne weiter für die übrigen Figuren. Was fällt dir auf?<br><br />
Der Flächeninhalt der Kreise insgesamt beträgt immer 5026,55 cm², daher bleibt der Verschnitt gleich.|2=Tipp zu Nr. 10|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Mobilfunkmast gibt die Signale in jede Richtung weiter, das erreichte Gebiet ist also kreisförmig mit dem Radius r = 10km.|2=Tipp zu Nr. 16|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Windrad Seligweiler.jpg|rahmenlos]]<br><br />
Die Flügellänge entspricht dem Radius, die Winderntefläche der Kreisfläche.<br><br />
Lösung: a) A ≈ 1122,21 m²<br><br />
b) A ≈ 3848,45 m²|2=Tipp zu Nr. 17|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Kreisform entsteht, da die Bewässerungsanlagen sich kreisförmig drehen.<br><br />
Um die ungenutzte Fläche zu berechnen, subtrahiere die Kreisfläche von der quadratischen Fläche.<br><br />
Lösung: 8584 m²|2=Tipp zu Nr. 18|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Schätze die Größe des Mannes (ca. 1,80m) und damit den Durchmesser der Iris (ca. 3,20m). Berechne nun die Kreisfläche.<br><br />
Um die Größe des Plakates zu bestimmen, überlege, wie groß die Iris im Verhältnis zur Körpergröße ist.|2=Tipp zu Nr. 20|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zunächst die Fläche des Topfbodens und die Fläche der Herdplatte.<br><br />
Wie viel Prozent der Herdplatte werden vom Topf abgedeckt? p% = <math>\tfrac{A_Topf}{A_Platte}</math>|2=Tipp zu Nr. 21|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Was ist gesucht, der Umfang oder der Flächeninhalt? Für den Umfang überlege, ob "Kalle läuft" bzw. wie in den Videos eine Ameise den Weg läuft. Für den Flächeninhalt überlege, ob du die gesuchte Größe als Fläche ausmalen könntest.<br><br />
Achte auch auf die Einheit der gesuchten Größe: Ist der '''Umfang''' in Metern''' m''' gesucht oder die '''Fläche''' in Quadratmeter '''m²'''?|2=Tipp zu Nr. 7|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1='''Um''' wie viel Prozent ... ist gefragt. Du benötigst für die Prozentrechnung also die Größen Grundwert G und Prozentwert W. Berechne diese und damit dann den Prozentsatz p%. <br><br />
Erinnerung: Formel für die Prozentrechnung: '''W'''ie '''g'''eht '''P'''rozentrechnung? W = G·p%. Stelle diese Formel nach p% um.<br><br />
Lösung: p% = 91,7%|2=Tipp 1 zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Größe der zweiten Pizza wird mit der der ersten Pizza verglichen. Also ist G der Flächeninhalt der ersten Pizza. W ist die Differenz der Flächeninhalte, also '''um''' welche Fläche die große Pizza größer ist also die kleine.<br><br />
Für p% gilt dann p% = <math>\tfrac{W}{G}</math>.<br>|2=Tipp 2 zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Du kannst auch anders vorgehen:<br><br />
Berechne den Flächeninhalt der kleinen und der große Pizza. Überlege dann '''auf''' wie viel Prozent der kleinen Pizza sich die Fläche der zweiten Pizza vergrößert hat.<br> Gegeben sind hier also G und G<sup>+</sup>.<br><br />
Berechne damit p<sup>+</sup>%. <br><br />
Lösung: p<sup>+</sup>% = 191,7%, also ist p% = 97,1%|2=Tipp 3 zu Nr. 8 (alternative Lösung)|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Umlaufbahn ist gesucht, also der Umfang u.<br><br />
Tipp zur Bahngeschwindigkeit: Die Geschwindigkeit gibt an, welche Strecke in welcher Zeit zurückgelegt wird (in <math>\tfrac{km}{h}</math>. Du benötigst also die Strecke, die zurückgelegt wird und die Zeit, in der diese Strecke zurückgelegt wird.|2=Tipp 1 zu Nr. 9|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Strecke: Länge der Umlaufbahn, also u.<br><br />
Zeit: Der Satellit ist geostationär, er bewegt sich also genauso schnell, wie die Erde sich dreht. Für eine ganze Umlaufbahn benötigt er also 24 Stunden (einen Tag), denn die Erde dreht sich in 24 Stunde einmal um ihre Achse.<br><br />
Lösung: v = 11094,5 <math>\tfrac{km}{h}</math>|2=Tipp 2 zu Nr. 9|3=Verbergen}}<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Übung 7 - Sachsituationen online|Löse auf der Seite [https://aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/kreis/kreisflaeche.shtml'''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben<br />
* 9<br />
* 10<br />
* 25<br />
* 26<br />
* 27<br />
* 28 <br />
Löse auf auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/kreis/kreis.shtml '''Aufgabenfuchs 2'''] die Aufgabe<br />
* 44<br />
* 63|Üben}}<br />
<br />
===Vermischte Übungen===<br />
{{Box|Übung 8|Bearbeite die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=pf347f4x321|width=100%|height=600px}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=3 Kreisteile|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisteile}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Buss-Haskert/Kreis_und_Zylinder/Kreisfl%C3%A4che&diff=93233Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisfläche2024-03-22T17:26:36Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]<br />
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}<br />
<br><br />
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder|Kreis und Zylinder - Startseite]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisumfang|1 Kreisumfang]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisfläche|2 Kreisfläche]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisteile|3 Kreisteile]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Zylinder|4 Zylinder]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Zusammengesetzte Körper|5 Zusammengesetzte Körper]]<br />
}}<br />
<br><br />
==Kreisfläche A==<br />
{{Box|Pizza - mini oder maxi|[[Datei:Green-pepper-2024889 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]][[Datei:Green-pepper-2024889 1280.png|rechts|rahmenlos|300x300px]]In deiner Lieblingspizzeria werden die Pizzen in zwei verschiedenen Größen angeboten: <br><br />
Die Mini-Pizza hat einen Durchmesser von 20 cm,<br><br />
<br> der Durchmesser der Maxi-Pizza beträgt 40cm.<br><br />
<br><br />
Pizza "Green Pepper" mini - 4,20 €<br><br />
<br><br />
Pizza "Green Pepper" maxi - 12,60 €.<br><br />
<br><br />
Wo bekommst du mehr Pizza für dein Geld?<br><br />
Diskutiert, welche Größen gegeben bzw. gesucht sind.|Meinung}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Aufgabe aus dem Unterricht:<br><br />
kleine Pizza: d<sub>1</sub> = 17cm; Preis: 2 Stück kosten 2,49€<br><br />
mittlere Pizza: d<sub>2</sub> = 25cm; Preis: 2,49€<br><br />
große Pizza: d<sub>3</sub> = 28cm; Preis: 2,89€|2=Aufgabe aus dem Unterricht Klasse 9b|3=Schließen}}<br />
{{Lösung versteckt|Du hast jeweils den Durchmesser der Pizzen gegeben, damit kannst du den Radius berechnen.<br><br />
Um die Frage zu beantworten, musst du den Flächeninhalt der Pizzen berechnen können.<br><br />
Zum Schluss muss der jeweilige Preis durch die Fläche dividiert werden, dann kannst du vergleichen, wie groß die Fläche ist, die du pro Euro bekommst.|Tipp|Verbergen}}<br />
<br />
===2.1 Kreisfläche - Herleitung der Formel===<br />
{{Box|Kreisfläche - Herleitung der Formel|Führe die beschriebenen Schritte im GeoGebra-Applet durch. <br><br />
[[Datei:Kreisfläche GeoGebra Arbeitsauftrag.png|rahmenlos|600x600px]]<br><br />
[[Datei:Kreisfläche GeoGebra Arbeitsauftrag Teil 2.png|rahmenlos|600x600px]]<br><br />
a) Beschreibe, was geschieht.<br><br />
b) Welche Figur entsteht?<br><br />
c) Leite damit eine Formel für die Kreisfläche her.|Unterrichtsidee}}<br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/bprvjtx8<br><br />
<ggb_applet id="RvbbbEAg" width="980" height="566" border="888888" /><br />
<small>Applet von Anthony Or. Education Bureau</small><br><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Das Applet ist einfacher dargestellt und gibt bei er neu entstandenen Figur die Längen an. Kannst du nun eine Formel für den Flächeninhalt herleiten?<br><br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/cQeSV4tC<br />
<ggb_applet id="jpx7xqUb" width="651" height="300" border="888888" /><br />
Applet von R. Schmidt|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Fläche, die durch das Einteilen des Kreises und das Umlegen entsteht, hat annähernd die Form eines Rechtecks mit den Seitenlängen a=<math>\tfrac{u}{2}</math> (halber Umfang) und b = r (Radius)<br><br />
[[Datei:Kreisfläche Herleitung Bild 1.PNG|rahmenlos|600x600px]]<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Kreisfläche Herleitung Bild 1.PNG|rahmenlos|600x600px]]<br />
Also gilt: <br><br />
A = a·b &nbsp;&nbsp;&#124; Setze für a den halben Umfang und für b den Radius ein.<br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{u}{2}</math> · r &nbsp;&nbsp;&#124; Setze für u die Formel für den Umfang ein: u =2πr.<br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{\text{2πr}}{2}</math> · r &nbsp;&nbsp;&#124; Kürze mit 2.<br><br />
&nbsp;&nbsp; = πr · r &nbsp;&nbsp;&#124; Fasse r·r zusammen. <br><br />
&nbsp;&nbsp; = π·r²|2=Tipp 3 (Herleitung der Formel)|3=Verbergen}}<br />
<br />
Das Video fasst die Herleitung der Formel zusammen:<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|yFuTUdVxzFQ|460|center|||start=89&end=234}}</div><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|3uF_o39vGC4|460|center}}</div><br />
</div><br />
<br />
<br><br />
Eine weitere Möglichkeit, den Flächeninhalt eines Kreises abzuschätzen, zeigt das folgende Applet von Pöchtrager:<br><br />
Beschreibe!<br><br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/cQeSV4tC<br />
<ggb_applet id="cQeSV4tC" width="800" height="500" border="888888" /><br />
<br><br />
<br><br />
<br />
{{Box|1=Kreisfläche - Formel|2=[[Datei:Bezeichnungen am Kreis.png|rechts|rahmenlos]]Den <span style="color:red">'''Flächeninhalt A''' </span>eines Kreises kann man mithilfe des Radius r berechnen:<br><br><br />
<big><big>''' A = π r²'''</big></big><br><br />
<br><br />
Wenn der Durchmesser gegeben ist, berechne zunächst den Radius r =<math>\tfrac{d}{2}</math>.|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br><br />
Merke dir die Formel mit dem Lied von Dorfuchs:<br />
{{#ev:youtube|h43mo0QXnDk|800|center}}<br><br />
<br />
<br />
===2.2 Kreisfläche - Berechnungen===<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Kreisfläche - Formel umstellen|2=Stelle die Formel für den Flächeninhalt des Kreises <br><br />
A = π·r² nach r um. <br><br />
Übertrage anschließend die Beispielaufgaben in dein Heft.|3=Arbeitsmethode}}<br />
{{Lösung versteckt|Erinnerung: Die Umkehraufgabe für das Quadrieren ist das Wurzelziehen:<br><br />
[[Datei:Flächeninhaltesformel umstellen nach r.png|rahmenlos|271x271px]]|Tipp|Verbergen}}<br />
Beispiele:<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">Fläche A berechnen:<br><br />
geg: r = 3,0 cm<br><br />
ges: A<br><br />
A = π · r² &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π · 3,0² <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 28,27 (cm²)</div><br />
<div class="width-1-2"><br><br />
geg: d = 5,0 cm<br><br />
ges: A<br><br />
r = <math>\tfrac{d}{2}</math> = <math>\tfrac{5}{2}</math> = 2,5 (cm)<br><br />
A = π · r² &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π · 2,5² <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 19,63 (cm²)</div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">Radius r berechnen:<br><br />
geg: A = 7,0 cm²<br><br />
ges: r<br><br />
A = π · r² &nbsp;&nbsp;&#124;: π<br> <br />
<math>\tfrac{A}{\pi}</math> = r<sup>2</sup>&nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
<math>\sqrt{\tfrac{A}{\pi}}</math> = r &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
<math>\sqrt{\tfrac{7,0}{\pi}}</math> = r<br><br />
1,5 (cm) ≈ r<br />
</div><br />
<div class="width-1-2">Durchmesser d berechnen:<br><br />
geg: A = 18,10 cm²<br><br />
ges: d<br><br />
d = 2·r; Berechne zunächst r:<br><br />
A = π · r² &nbsp;&nbsp;&#124;: π<br> <br />
<math>\tfrac{A}{\pi}</math> = r<sup>2</sup> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
<math>\sqrt{\tfrac{A}{\pi}}</math> = r &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
<math>\sqrt{\tfrac{18,10}{\pi}}</math> = r<br><br />
2,4 (cm) ≈ r<br><br />
d = 2·r = 2 · 2,4 = 4,8 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|1ZxxcctOYlc|460|center}}</div><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|9KYowFl5VKc|460|center}}</div><br />
</div><br />
<br />
<br><br />
{{Box|Übung 1 - online|Löse auf der Seite [https://aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/kreis/kreisflaeche.shtml'''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben<br />
* 1<br />
* 2<br />
* 3<br />
* 4|Üben}}<br />
<br />
{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe ausführlich und übersichtlich. Notiere - falls nötig - und die Umstellung der Formel. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.<br />
* S. 131 Nr. 1 (Wähle eine Aufgabe aus.)<br />
* S. 131 Nr. 2 (Wähle eine Aufgabe aus.)<br />
* S. 132 Nr. 3 (Wähle aus: a und c oder b und d)<br />
* S. 132 Nr. 4 |Üben}}<br />
Prüfe deine Lösungen mithilfe der LearningApp. Trage deine Lösung ein und klicke den Prüfbutton. Hake im Heft deine Ergebnisse ab.<br><br />
{{LearningApp|app=puttncjp521|width=100%|height=600px}}<br />
{{LearningApp|app=pc4e9ni8k21|width=100%|height=400px}}<br />
<br><br />
<br><br />
{{Box|Übung 3 - Zusammenhang zwischen Radius und Umfang bzw. Radius und Flächeninhalt|Ergänze die Tabelle.<br><br />
[[Datei:Tabelle Zusammenhang Radius Umfang Flächeninhalt Kreis.png|rahmenlos|800x800px]]<br><br />
Trage die Werte in ein Koordinatenkreuz ein. Was fällt dir auf?<br />
Fülle den Lückentext aus und übertrage ihn in dein Heft.|Üben}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Radius r und Umfang u:<br><br />
Wenn man den Radius r eines Kreises verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht,... dann'''verdoppelt''', '''verdreifacht''', '''vervierfacht''' sich der Umfang u.<br><br />
Radius r und Flächeninhalt A:<br><br />
Wenn man den Radius r eines Kreises verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht,... dann'''vervierfacht''', '''verneunfacht''', '''versechzehnfacht''' sich der Flächeninhalt A.<br />
</div><br />
Prüfe deine Vermutung mit dem nachfolgenden GeoGebra-Applet:<br><br />
<ggb_applet id="ykxmvvzd" width="1522" height="733" border="888888" /><br><br />
<br />
===2.3 Kreisfläche - Anwendungen===<br />
[[Datei:Green-pepper-2024889 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Jetzt kannst du die Einführungsaufgabe lösen: Bei welcher Pizza erhältst du mehr Pizza für dein Geld?<br><br />
{{Lösung versteckt|1=<div class="grid"><br />
<br />
<div class="width-1-2">Mini-Pizza: d = 20cm, also r = 10cm; 4,20€<br><br />
A = π · r²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π · 10²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 314,16 (cm²)<br><br />
Preis pro cm²:<br><br />
4,20 : 314,16 = 0,013 Euro pro cm².<br></div><br />
<div class="width-1-2">Maxi-Pizza: d = 40cm, also r = 20cm; 12,60€<br><br />
A = π · r²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π · 20²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 1256,64 (cm²)<br><br />
Preis pro cm²:<br><br />
12,60 : 1256,64 = 0,010 Euro pro cm².<br></div><br />
</div><br />
<br><br />
Bei der Maxi-Pizza bezahle ich pro cm² weniger Geld.|2=Vergleiche deine Lösung|3=Verbergen}}<br />
<br />
<br />
====Geometrische Anwendungen====<br />
{{Box|1=Geometrische Anwendungen - Beispiele|2=Berechne den Flächeninhalt der Figuren. Notiere deine Überlegungen übersichtlich.<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">1. Beispiel:<br><br />
[[Datei:Halbkreis im Quadrat 2.png|rahmenlos]]<br><br />
A = A<sub>Quadrat</sub> - A<sub>Halbkreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= a² - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·r²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 5² - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·2,5²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 25 - 9,82<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 15,18 [cm²] <br><br />
</div><br />
<div class="width-1-3">2. Beispiel:<br><br />
[[Datei:Halbkreis im Viertelkreis.png|rahmenlos|300x300px]]<br><br />
A = A<sub>Viertelkreis</sub> - A<sub>Halbkreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{4}</math>·π·<math>r_1^2</math> - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·<math>r_2^2</math><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{4}</math>·π·6² - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·3²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 28,27 - 14,14<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 14,13 [cm²] <br><br />
</div><br />
<div class="width-1-3">3. Beispiel:<br><br />
[[Datei:Rechtwinkliges Dreieck mit Halbkreis.png|rahmenlos|400x400px]]<br><br />
Berechne den Radius des Halbkreises (mit dem Satz des Pythagoras):<br><br />
d² = 3² + 4²<br><br />
d = <math>\sqrt{3^2 + 4^2}</math><br><br />
d = 5 [cm]; also r = 5:2 = 2,5 [cm]<br><br />
A = A<sub>Dreieck</sub> + A<sub>Halbkreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{2}</math>·g·h + <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·<math>r^2</math><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{2}</math>·3·4 - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·2,5²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 6 + 9,82<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 15,82 [cm²] <br><br />
</div> <br />
</div>|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|Übung 4 - Geometrische Anwendungen|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Überlegungen ausführlich und übersichtlich. Zeichne - falls nötig - Teilskizzen. Prüfe deine Lösungen und hake ab.<br />
* S. 132 Nr. 6<br />
* S. 132 Nr. 8|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1='''Um'''fang u: Die Ameise läuft außen '''um''' die Figur her'''um'''. Addiere die Teilstrecken.<br><br />
Flächen'''in'''halt A: Male die Fläche '''in'''nen dr'''in''' aus.<br><br />
Zerlege die Figur in Teilflächen A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>,... und berechne deren Flächeninhalt. Bestimme dann den gesamten Flächeninhalt als Summe der Teilflächen.|2=Tipp zu Nr. 6|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Radius der Halbkreise beträgt r = 1 cm, denn <br><br />
[[Datei:S. 132 Nr. 6a Tipp.png|rahmenlos]]<br><br />
Für den Umfang läuft die Ameise an drei Seiten des Quadrates und den Halbkreisbogen entlang.<br><br />
Berechne den Umfang des Halbkreises: u<sub>Halbkreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·u<sub>Kreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·r = π·r<br><br />
Lösung: u = 9,1cm|2=Tipp zur Berechnung des Umfangs Nr. 6a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Flächeninhalt der Figur setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt des Quadrates A <sub>1</sub>und dem Flächeninhalt des Halbreises A<sub>2</sub>.<br><br />
Berechne den Flächeninhalt des Halbkreises A<sub>2</sub> = A<sub>Halbkreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·A<sub>Kreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·r².<br><br />
Lösung: 5,57cm²|2=Tipp zur Berechnung des Flächeninhaltes Nr. 6a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Musterlösung (Schreibweisen) zu Nr. 6a:<br><br />
Umfang u:<br><br />
u<sub>Halbkreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·u<sub>Kreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·r<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π·r<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π·1<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 3,14 (cm)<br><br />
u<sub>gesamt</sub> = 2 + 2 + 2 + 3,14 = 9,14 (cm)<br><br />
<br><br />
Flächeninhalt A:<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
A<sub>1</sub> = A<sub>Quadrat</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = 2²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 4 (cm²)</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
A<sub>2</sub> = A<sub>Halbkreis</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>·A<sub>Kreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·r²<br> <br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·1²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 1,57 (cm²)</div><br />
<div class="width-1-3"></div><br />
</div><br />
A<sub>gesamt</sub> = A<sub>1</sub> + A<sub>2</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = 4 + 1,57<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 5,57 (cm²)|2=Musterlösung zu Nr. 6a (Schreibweisen)|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Umfang u: Die Ameise läuft 4 Viertelkreisbögen, also um einen ganzen Kreis herum. Außerdem läuft sie viermal die Strecke vom 4cm. <br><br />
Lösung: u = 41,1 cm <br><br />
Flächeninhalt A: Die Fläche setzt sich zusammen aus dem Quadrat in der Mitte und 4 Viertelkreisen, also einem ganzen Kreis.<br><br />
Lösung: A = 66,3 cm²|2=Tipp zu Nr. 6 b|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Umfang u: Das Dreieck ist ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck. Die Basis ist 4cm lang. Bestimme die Länge der Schenkel mit dem Satz des Pythagoras.<br><br />
[[Datei:S. 132 Nr. 6c Tipp.png|rahmenlos]]<br><br />
x<sup>2</sup> + x<sup>2</sup> = 4<sup>2</sup> &124;<br><br />
2x<sup>2</sup> = 16 <br><br />
… <br><br />
Lösung: u = 11,9cm<br><br />
Flächeninhalt A: Die Fläche setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt A<sub>1</sub> des Dreiecks und dem Flächeninhalt A<sub>2</sub> des Halbkreises.<br><br />
Da das Dreieck rechtwinklig ist, sind die Schenkel je Grundseite und Höhe des Dreiecks.<br><br />
Lösung: A<sub>gesamt</sub> = 3,92 + 6,28 = 10,2 (cm²) (mit genauen Werten 10,3)|2=Tipp zu Nr. 6c|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Umfang u: Auch hier handelt es sich um ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck. Bestimme die Schenkellänge mit dem Satz des Pythagoras (vgl. Aufgabe 6c). Der Umfang der zwei Halbkreise ist genauso groß wie der Umfang eines ganzen Kreises. <br><br />
Radius r = 12:4 = 3 (cm)<br><br />
Lösung: u = 35,8 (cm)<br><br />
Flächeninhalt A: Lösung: 64,4 (cm²) (mit genauen Werten 64,3)|2=Tipp zu Nr. 6d|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Winkel 45° bedeutet, dass es sich bei dem Dreieck um ein halbes Quadrat handelt. Das Dreieck ist also ebenfalls gleichschenklig rechtwinklig. <br><br />
Damit beträgt der Radius des Halbkreises r = 4,5:2 = 2,25 (cm) .<br><br />
Umfang u: Bestimme die Hypotenuse des Dreiecks mit dem Satz des Pythagoras.<br><br />
Lösung: u = 18,0 cm (mit genauen Werten 17,9)<br><br />
Flächeninhalt A: Lösung: A = 18,07 cm²|2=Tipp zu Nr. 6e|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne den Radius des Halbkreises mit dem Satz des Pythagoras.<br><br />
[[Datei:S. 132 Nr. 6f Tipp.png|rahmenlos]]<br><br />
Lösung: Umfang u = 38,8cm<br><br />
Flächeninhalt A: Die Grundseite des Dreiecks ist 2r lang, die Höhe beträgt 8cm. Berechne damit den Flächeninhalt des Dreiecks. Falls du die Formel nicht mehr weißt, findest du sie hinten im Schulbegleiter.<br><br />
Lösung: Flächeninhalt A = 104,55 cm²|2=Tipp zu Nr. 6f|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Durchmesser d beträgt immer 8cm. Bestimme jeweils den Durchmesser bzw. Radius der kleineren Kreise und berechne damit den Umfang und den Flächeninhalt der Figur.|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang u setzt sich zusammen aus dem Umfang des großen Halbkreises und dem Umfang eines ganzen kleinen Kreises (zwei Halbkreise).<br />
Lösung: u = 25,1cm<br><br />
Um die Fläche der Figur zu berechnen, subtrahiere vom großen Halbkreis die zwei kleinen Halbkreise (bzw. einen ganzen kleinen Kreis).<br><br />
A<sub>Figur</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>π·4² - π·2² = 12,57 (cm²)|2=Tipp zu Nr. 8a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang der Figur ist genauso groß wie in Teil a.<br><br />
Der Flächeninhalt setzt sich zusammen aus der Summe des großen Halbkreises und eines kleinen Kreises.<br><br />
Lösung: u = 25,1cm; A = 37,70cm²|2=Tipp zu Nr. 8b|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang der Figur setzt sich zusammen aus dem großen Halbkreis, dem mittleren Halbkreis und zwei kleinen Halbkreisen (also einem ganzen kleinen Kreis).<br><br />
Lösung: u = 25,1cm<br><br />
Der Flächeninhalt der Figur setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt des großen Halbreises + dem Flächeninhalt des mittleren Halbkreises - zwei kleinen Halbkreisen (also einem ganzen kleinen Kreis).<br><br />
Lösung:A = 28,27cm³|2=Tipp zu Nr. 8c|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang der Figur setzt sich zusammen aus dem Umfang des großen Halbkreises und dem Umfang eines ganzen kleinen Kreises (zwei Halbkreise).<br><br />
Lösung: 25,1cm<br><br />
Der Flächeninhalt der Figur ist gleich dem Flächeninhalt des großen Halbkreises, denn der kleine Halbkreis wird einmal addiert und dann wieder subtrahiert.<br><br />
Lösung: A = 25,13cm²|2=Tipp zu Nr. 8d|3=Verbergen}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 5 - Geometrische Anwendungen|Löse auf der Seite [https://aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/kreis/kreisflaeche.shtml'''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben<br />
* 12<br />
* 13<br />
* 14<br />
* 18<br><br />
ODER:<br><br />
Konstruiere mit dem Zirkel Figuren aus Kreisen bzw. Halbkreisen und berechne dazu Umfang und Flächeninhalt.|Üben}}<br />
<br />
====Sachsituationen====<br />
{{LearningApp|app=py733oge321|width=100%|height=500px}}<br />
{{Box|1=Einstiegsaufgabe - Kreisfläche|2=Betrachte das nachfolgende Applet und beantworte die folgenden Fragen:<br />
*Aus einem Quadrat der Seitenlänge a wird ein maximaler Kreis ausgeschnitten. Wieviel Prozent beträgt der Abfall?<br />
*Jetzt werden 4, 9, 16 gleich große Kreise ausgeschnitten. Wieviel Prozent beträgt nun der Abfall?<br />
*Auch wenn das Ergebnis zunächst überraschen mag, kann man es einfach erklären. Betrachte für n > 1 den Zusammenhang zwischen dem hervorgehobenen kleinen Quadrat mit kleinem Kreis und der Figur für n = 1. Wie entstehen diese Figuren auseinander? Was bedeutet das für die Flächen?|3=Meinung}}<br />
Originallink: https://www.geogebra.org/m/krnwuf2s<br />
<ggb_applet id="awkjt4py" width="1500" height="850" border="888888" /><br />
<small>Applet von Hans-Jürgen Elschenbroich</small><br />
<br />
{{Box|Übung 6 - Sachsituationen|Löse so viele Aufgaben, dass du mindestes 7 Sternchen sammelst. Notier deine Rechnungen ausführlich und übersichtlich. Prüfe deine Lösungen und hake ab.<br />
* S. 133, Nr. 10 (*)<br />
* S. 134, Nr. 16 (*)<br />
* S. 134, Nr. 17 (*)<br />
* S. 134, Nr. 18 (*)<br />
* S. 134, Nr. 19 (*)<br />
* S. 134, Nr. 20 (**)<br />
* S. 134, Nr. 21 (**)<br />
* S. 150, Nr. 7 (*)<br />
* S. 150, Nr. 8 (**)<br />
* S. 150, Nr. 9 (**)|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Flächeninhalt des Verschnittes berechnest du, indem du die Kreisflächen von der Quadratfläche subtrahierst. Bestimme für die Berechnung der Kreisflächen jeweils den Radius der Kreise.<br><br />
A<sub>Verschnitt</sub> = A<sub>Quadrat</sub> - A<sub>Kreise</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 80 · 80 - 1·π·40²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 6400 - 5026,55<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 1373,45cm²<br><br />
Rechne weiter für die übrigen Figuren. Was fällt dir auf?<br><br />
Der Flächeninhalt der Kreise insgesamt beträgt immer 5026,55 cm², daher bleibt der Verschnitt gleich.|2=Tipp zu Nr. 10|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Mobilfunkmast gibt die Signale in jede Richtung weiter, das erreichte Gebiet ist also kreisförmig mit dem Radius r = 10km.|2=Tipp zu Nr. 16|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Windrad Seligweiler.jpg|rahmenlos]]<br><br />
Die Flügellänge entspricht dem Radius, die Winderntefläche der Kreisfläche.<br><br />
Lösung: a) A ≈ 1122,21 m²<br><br />
b) A ≈ 3848,45 m²|2=Tipp zu Nr. 17|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Kreisform entsteht, da die Bewässerungsanlagen sich kreisförmig drehen.<br><br />
Um die ungenutzte Fläche zu berechnen, subtrahiere die Kreisfläche von der quadratischen Fläche.<br><br />
Lösung: 8584 m²|2=Tipp zu Nr. 18|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Schätze die Größe des Mannes (ca. 1,80m) und damit den Durchmesser der Iris (ca. 3,20m). Berechne nun die Kreisfläche.<br><br />
Um die Größe des Plakates zu bestimmen, überlege, wie groß die Iris im Verhältnis zur Körpergröße ist.|2=Tipp zu Nr. 20|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zunächst die Fläche des Topfbodens und die Fläche der Herdplatte.<br><br />
Wie viel Prozent der Herdplatte werden vom Topf abgedeckt? p% = <math>\tfrac{A_Topf}{A_Platte}</math>|2=Tipp zu Nr. 21|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Was ist gesucht, der Umfang oder der Flächeninhalt? Für den Umfang überlege, ob "Kalle läuft" bzw. wie in den Videos eine Ameise den Weg läuft. Für den Flächeninhalt überlege, ob du die gesuchte Größe als Fläche ausmalen könntest.<br><br />
Achte auch auf die Einheit der gesuchten Größe: Ist der '''Umfang''' in Metern''' m''' gesucht oder die '''Fläche''' in Quadratmeter '''m²'''?|2=Tipp zu Nr. 7|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1='''Um''' wie viel Prozent ... ist gefragt. Du benötigst für die Prozentrechnung also die Größen Grundwert G und Prozentwert W. Berechne diese und damit dann den Prozentsatz p%. <br><br />
Erinnerung: Formel für die Prozentrechnung: '''W'''ie '''g'''eht '''P'''rozentrechnung? W = G·p%. Stelle diese Formel nach p% um.<br><br />
Lösung: p% = 91,7%|2=Tipp 1 zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Größe der zweiten Pizza wird mit der der ersten Pizza verglichen. Also ist G der Flächeninhalt der ersten Pizza. W ist die Differenz der Flächeninhalte, also '''um''' welche Fläche die große Pizza größer ist also die kleine.<br><br />
Für p% gilt dann p% = <math>\tfrac{W}{G}</math>.<br>|2=Tipp 2 zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Du kannst auch anders vorgehen:<br><br />
Berechne den Flächeninhalt der kleinen und der große Pizza. Überlege dann '''auf''' wie viel Prozent der kleinen Pizza sich die Fläche der zweiten Pizza vergrößert hat.<br> Gegeben sind hier also G und G<sup>+</sup>.<br><br />
Berechne damit p<sup>+</sup>%. <br><br />
Lösung: p<sup>+</sup>% = 191,7%, also ist p% = 97,1%|2=Tipp 3 zu Nr. 8 (alternative Lösung)|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Umlaufbahn ist gesucht, also der Umfang u.<br><br />
Tipp zur Bahngeschwindigkeit: Die Geschwindigkeit gibt an, welche Strecke in welcher Zeit zurückgelegt wird (in <math>\tfrac{km}{h}</math>. Du benötigst also die Strecke, die zurückgelegt wird und die Zeit, in der diese Strecke zurückgelegt wird.|2=Tipp 1 zu Nr. 9|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Strecke: Länge der Umlaufbahn, also u.<br><br />
Zeit: Der Satellit ist geostationär, er bewegt sich also genauso schnell, wie die Erde sich dreht. Für eine ganze Umlaufbahn benötigt er also 24 Stunden (einen Tag), denn die Erde dreht sich in 24 Stunde einmal um ihre Achse.<br><br />
Lösung: v = 11094,5 <math>\tfrac{km}{h}</math>|2=Tipp 2 zu Nr. 9|3=Verbergen}}<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Übung 7 - Sachsituationen online|Löse auf der Seite [https://aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/kreis/kreisflaeche.shtml'''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben<br />
* 9<br />
* 10<br />
* 25<br />
* 26<br />
* 27<br />
* 28 <br />
Löse auf auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/kreis/kreis.shtml '''Aufgabenfuchs 2'''] die Aufgabe<br />
* 44<br />
* 63|Üben}}<br />
<br />
===Vermischte Übungen===<br />
{{Box|Übung 8|Bearbeite die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=pf347f4x321|width=100%|height=600px}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=3 Kreisteile|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisteile}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Buss-Haskert/Kreis_und_Zylinder/Kreisfl%C3%A4che&diff=93232Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisfläche2024-03-22T17:22:47Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]<br />
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}<br />
<br><br />
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder|Kreis und Zylinder - Startseite]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisumfang|1 Kreisumfang]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisfläche|2 Kreisfläche]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisteile|3 Kreisteile]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Zylinder|4 Zylinder]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Zusammengesetzte Körper|5 Zusammengesetzte Körper]]<br />
}}<br />
<br><br />
==Kreisfläche A==<br />
{{Box|Pizza - mini oder maxi|[[Datei:Green-pepper-2024889 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]][[Datei:Green-pepper-2024889 1280.png|rechts|rahmenlos|300x300px]]In deiner Lieblingspizzeria werden die Pizzen in zwei verschiedenen Größen angeboten: <br><br />
Die Mini-Pizza hat einen Durchmesser von 20 cm,<br><br />
<br> der Durchmesser der Maxi-Pizza beträgt 40cm.<br><br />
<br><br />
Pizza "Green Pepper" mini - 4,20 €<br><br />
<br><br />
Pizza "Green Pepper" maxi - 12,60 €.<br><br />
<br><br />
Wo bekommst du mehr Pizza für dein Geld?<br><br />
Diskutiert, welche Größen gegeben bzw. gesucht sind.|Meinung}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Aufgabe aus dem Unterricht:<br><br />
kleine Pizza: d<sub>1</sub> = 17cm; Preis: 2 Stück kosten 2,49€<br><br />
mittlere Pizza: d<sub>2</sub> = 25cm; Preis: 2,49€<br><br />
große Pizza: d<sub>3</sub> = 28cm; Preis: 2,89€|2=Aufgabe aus dem Unterricht Klasse 9b|3=Schließen}}<br />
{{Lösung versteckt|Du hast jeweils den Durchmesser der Pizzen gegeben, damit kannst du den Radius berechnen.<br><br />
Um die Frage zu beantworten, musst du den Flächeninhalt der Pizzen berechnen können.<br><br />
Zum Schluss muss der jeweilige Preis durch die Fläche dividiert werden, dann kannst du vergleichen, wie groß die Fläche ist, die du pro Euro bekommst.|Tipp|Verbergen}}<br />
<br />
===2.1 Kreisfläche - Herleitung der Formel===<br />
{{Box|Kreisfläche - Herleitung der Formel|Führe die beschriebenen Schritte im GeoGebra-Applet durch. <br><br />
[[Datei:Kreisfläche GeoGebra Arbeitsauftrag.png|rahmenlos|600x600px]]<br><br />
[[Datei:Kreisfläche GeoGebra Arbeitsauftrag Teil 2.png|rahmenlos|600x600px]]<br><br />
a) Beschreibe, was geschieht.<br><br />
b) Welche Figur entsteht?<br><br />
c) Leite damit eine Formel für die Kreisfläche her.|Unterrichtsidee}}<br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/bprvjtx8<br><br />
<ggb_applet id="RvbbbEAg" width="980" height="566" border="888888" /><br />
<small>Applet von Anthony Or. Education Bureau</small><br><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Das Applet ist einfacher dargestellt und gibt bei er neu entstandenen Figur die Längen an. Kannst du nun eine Formel für den Flächeninhalt herleiten?<br><br />
Originallink <br />
<ggb_applet id="jpx7xqUb" width="651" height="300" border="888888" /><br />
Applet von R. Schmidt|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Fläche, die durch das Einteilen des Kreises und das Umlegen entsteht, hat annähernd die Form eines Rechtecks mit den Seitenlängen a=<math>\tfrac{u}{2}</math> (halber Umfang) und b = r (Radius)<br><br />
[[Datei:Kreisfläche Herleitung Bild 1.PNG|rahmenlos|600x600px]]<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Kreisfläche Herleitung Bild 1.PNG|rahmenlos|600x600px]]<br />
Also gilt: <br><br />
A = a·b &nbsp;&nbsp;&#124; Setze für a den halben Umfang und für b den Radius ein.<br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{u}{2}</math> · r &nbsp;&nbsp;&#124; Setze für u die Formel für den Umfang ein: u =2πr.<br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{\text{2πr}}{2}</math> · r &nbsp;&nbsp;&#124; Kürze mit 2.<br><br />
&nbsp;&nbsp; = πr · r &nbsp;&nbsp;&#124; Fasse r·r zusammen. <br><br />
&nbsp;&nbsp; = π·r²|2=Tipp 3 (Herleitung der Formel)|3=Verbergen}}<br />
<br />
Das Video fasst die Herleitung der Formel zusammen:<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|yFuTUdVxzFQ|460|center|||start=89&end=234}}</div><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|3uF_o39vGC4|460|center}}</div><br />
</div><br />
<br />
<br><br />
Eine weitere Möglichkeit, den Flächeninhalt eines Kreises abzuschätzen, zeigt das folgende Applet von Pöchtrager:<br><br />
Beschreibe!<br><br />
<ggb_applet id="cQeSV4tC" width="800" height="500" border="888888" /><br />
<br><br />
<br><br />
<br />
{{Box|1=Kreisfläche - Formel|2=[[Datei:Bezeichnungen am Kreis.png|rechts|rahmenlos]]Den <span style="color:red">'''Flächeninhalt A''' </span>eines Kreises kann man mithilfe des Radius r berechnen:<br><br><br />
<big><big>''' A = π r²'''</big></big><br><br />
<br><br />
Wenn der Durchmesser gegeben ist, berechne zunächst den Radius r =<math>\tfrac{d}{2}</math>.|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br><br />
Merke dir die Formel mit dem Lied von Dorfuchs:<br />
{{#ev:youtube|h43mo0QXnDk|800|center}}<br><br />
<br />
<br />
===2.2 Kreisfläche - Berechnungen===<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Kreisfläche - Formel umstellen|2=Stelle die Formel für den Flächeninhalt des Kreises <br><br />
A = π·r² nach r um. <br><br />
Übertrage anschließend die Beispielaufgaben in dein Heft.|3=Arbeitsmethode}}<br />
{{Lösung versteckt|Erinnerung: Die Umkehraufgabe für das Quadrieren ist das Wurzelziehen:<br><br />
[[Datei:Flächeninhaltesformel umstellen nach r.png|rahmenlos|271x271px]]|Tipp|Verbergen}}<br />
Beispiele:<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">Fläche A berechnen:<br><br />
geg: r = 3,0 cm<br><br />
ges: A<br><br />
A = π · r² &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π · 3,0² <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 28,27 (cm²)</div><br />
<div class="width-1-2"><br><br />
geg: d = 5,0 cm<br><br />
ges: A<br><br />
r = <math>\tfrac{d}{2}</math> = <math>\tfrac{5}{2}</math> = 2,5 (cm)<br><br />
A = π · r² &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π · 2,5² <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 19,63 (cm²)</div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">Radius r berechnen:<br><br />
geg: A = 7,0 cm²<br><br />
ges: r<br><br />
A = π · r² &nbsp;&nbsp;&#124;: π<br> <br />
<math>\tfrac{A}{\pi}</math> = r<sup>2</sup>&nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
<math>\sqrt{\tfrac{A}{\pi}}</math> = r &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
<math>\sqrt{\tfrac{7,0}{\pi}}</math> = r<br><br />
1,5 (cm) ≈ r<br />
</div><br />
<div class="width-1-2">Durchmesser d berechnen:<br><br />
geg: A = 18,10 cm²<br><br />
ges: d<br><br />
d = 2·r; Berechne zunächst r:<br><br />
A = π · r² &nbsp;&nbsp;&#124;: π<br> <br />
<math>\tfrac{A}{\pi}</math> = r<sup>2</sup> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
<math>\sqrt{\tfrac{A}{\pi}}</math> = r &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
<math>\sqrt{\tfrac{18,10}{\pi}}</math> = r<br><br />
2,4 (cm) ≈ r<br><br />
d = 2·r = 2 · 2,4 = 4,8 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|1ZxxcctOYlc|460|center}}</div><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|9KYowFl5VKc|460|center}}</div><br />
</div><br />
<br />
<br><br />
{{Box|Übung 1 - online|Löse auf der Seite [https://aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/kreis/kreisflaeche.shtml'''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben<br />
* 1<br />
* 2<br />
* 3<br />
* 4|Üben}}<br />
<br />
{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe ausführlich und übersichtlich. Notiere - falls nötig - und die Umstellung der Formel. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.<br />
* S. 131 Nr. 1 (Wähle eine Aufgabe aus.)<br />
* S. 131 Nr. 2 (Wähle eine Aufgabe aus.)<br />
* S. 132 Nr. 3 (Wähle aus: a und c oder b und d)<br />
* S. 132 Nr. 4 |Üben}}<br />
Prüfe deine Lösungen mithilfe der LearningApp. Trage deine Lösung ein und klicke den Prüfbutton. Hake im Heft deine Ergebnisse ab.<br><br />
{{LearningApp|app=puttncjp521|width=100%|height=600px}}<br />
{{LearningApp|app=pc4e9ni8k21|width=100%|height=400px}}<br />
<br><br />
<br><br />
{{Box|Übung 3 - Zusammenhang zwischen Radius und Umfang bzw. Radius und Flächeninhalt|Ergänze die Tabelle.<br><br />
[[Datei:Tabelle Zusammenhang Radius Umfang Flächeninhalt Kreis.png|rahmenlos|800x800px]]<br><br />
Trage die Werte in ein Koordinatenkreuz ein. Was fällt dir auf?<br />
Fülle den Lückentext aus und übertrage ihn in dein Heft.|Üben}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Radius r und Umfang u:<br><br />
Wenn man den Radius r eines Kreises verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht,... dann'''verdoppelt''', '''verdreifacht''', '''vervierfacht''' sich der Umfang u.<br><br />
Radius r und Flächeninhalt A:<br><br />
Wenn man den Radius r eines Kreises verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht,... dann'''vervierfacht''', '''verneunfacht''', '''versechzehnfacht''' sich der Flächeninhalt A.<br />
</div><br />
Prüfe deine Vermutung mit dem nachfolgenden GeoGebra-Applet:<br><br />
<ggb_applet id="ykxmvvzd" width="1522" height="733" border="888888" /><br><br />
<br />
===2.3 Kreisfläche - Anwendungen===<br />
[[Datei:Green-pepper-2024889 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Jetzt kannst du die Einführungsaufgabe lösen: Bei welcher Pizza erhältst du mehr Pizza für dein Geld?<br><br />
{{Lösung versteckt|1=<div class="grid"><br />
<br />
<div class="width-1-2">Mini-Pizza: d = 20cm, also r = 10cm; 4,20€<br><br />
A = π · r²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π · 10²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 314,16 (cm²)<br><br />
Preis pro cm²:<br><br />
4,20 : 314,16 = 0,013 Euro pro cm².<br></div><br />
<div class="width-1-2">Maxi-Pizza: d = 40cm, also r = 20cm; 12,60€<br><br />
A = π · r²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π · 20²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 1256,64 (cm²)<br><br />
Preis pro cm²:<br><br />
12,60 : 1256,64 = 0,010 Euro pro cm².<br></div><br />
</div><br />
<br><br />
Bei der Maxi-Pizza bezahle ich pro cm² weniger Geld.|2=Vergleiche deine Lösung|3=Verbergen}}<br />
<br />
<br />
====Geometrische Anwendungen====<br />
{{Box|1=Geometrische Anwendungen - Beispiele|2=Berechne den Flächeninhalt der Figuren. Notiere deine Überlegungen übersichtlich.<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">1. Beispiel:<br><br />
[[Datei:Halbkreis im Quadrat 2.png|rahmenlos]]<br><br />
A = A<sub>Quadrat</sub> - A<sub>Halbkreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= a² - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·r²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 5² - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·2,5²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 25 - 9,82<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 15,18 [cm²] <br><br />
</div><br />
<div class="width-1-3">2. Beispiel:<br><br />
[[Datei:Halbkreis im Viertelkreis.png|rahmenlos|300x300px]]<br><br />
A = A<sub>Viertelkreis</sub> - A<sub>Halbkreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{4}</math>·π·<math>r_1^2</math> - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·<math>r_2^2</math><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{4}</math>·π·6² - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·3²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 28,27 - 14,14<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 14,13 [cm²] <br><br />
</div><br />
<div class="width-1-3">3. Beispiel:<br><br />
[[Datei:Rechtwinkliges Dreieck mit Halbkreis.png|rahmenlos|400x400px]]<br><br />
Berechne den Radius des Halbkreises (mit dem Satz des Pythagoras):<br><br />
d² = 3² + 4²<br><br />
d = <math>\sqrt{3^2 + 4^2}</math><br><br />
d = 5 [cm]; also r = 5:2 = 2,5 [cm]<br><br />
A = A<sub>Dreieck</sub> + A<sub>Halbkreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{2}</math>·g·h + <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·<math>r^2</math><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{2}</math>·3·4 - <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·2,5²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 6 + 9,82<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 15,82 [cm²] <br><br />
</div> <br />
</div>|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|Übung 4 - Geometrische Anwendungen|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Überlegungen ausführlich und übersichtlich. Zeichne - falls nötig - Teilskizzen. Prüfe deine Lösungen und hake ab.<br />
* S. 132 Nr. 6<br />
* S. 132 Nr. 8|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1='''Um'''fang u: Die Ameise läuft außen '''um''' die Figur her'''um'''. Addiere die Teilstrecken.<br><br />
Flächen'''in'''halt A: Male die Fläche '''in'''nen dr'''in''' aus.<br><br />
Zerlege die Figur in Teilflächen A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>,... und berechne deren Flächeninhalt. Bestimme dann den gesamten Flächeninhalt als Summe der Teilflächen.|2=Tipp zu Nr. 6|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Radius der Halbkreise beträgt r = 1 cm, denn <br><br />
[[Datei:S. 132 Nr. 6a Tipp.png|rahmenlos]]<br><br />
Für den Umfang läuft die Ameise an drei Seiten des Quadrates und den Halbkreisbogen entlang.<br><br />
Berechne den Umfang des Halbkreises: u<sub>Halbkreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·u<sub>Kreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·r = π·r<br><br />
Lösung: u = 9,1cm|2=Tipp zur Berechnung des Umfangs Nr. 6a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Flächeninhalt der Figur setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt des Quadrates A <sub>1</sub>und dem Flächeninhalt des Halbreises A<sub>2</sub>.<br><br />
Berechne den Flächeninhalt des Halbkreises A<sub>2</sub> = A<sub>Halbkreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·A<sub>Kreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·r².<br><br />
Lösung: 5,57cm²|2=Tipp zur Berechnung des Flächeninhaltes Nr. 6a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Musterlösung (Schreibweisen) zu Nr. 6a:<br><br />
Umfang u:<br><br />
u<sub>Halbkreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·u<sub>Kreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·r<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π·r<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π·1<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 3,14 (cm)<br><br />
u<sub>gesamt</sub> = 2 + 2 + 2 + 3,14 = 9,14 (cm)<br><br />
<br><br />
Flächeninhalt A:<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
A<sub>1</sub> = A<sub>Quadrat</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = 2²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 4 (cm²)</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
A<sub>2</sub> = A<sub>Halbkreis</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>·A<sub>Kreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·r²<br> <br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·1²<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 1,57 (cm²)</div><br />
<div class="width-1-3"></div><br />
</div><br />
A<sub>gesamt</sub> = A<sub>1</sub> + A<sub>2</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = 4 + 1,57<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 5,57 (cm²)|2=Musterlösung zu Nr. 6a (Schreibweisen)|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Umfang u: Die Ameise läuft 4 Viertelkreisbögen, also um einen ganzen Kreis herum. Außerdem läuft sie viermal die Strecke vom 4cm. <br><br />
Lösung: u = 41,1 cm <br><br />
Flächeninhalt A: Die Fläche setzt sich zusammen aus dem Quadrat in der Mitte und 4 Viertelkreisen, also einem ganzen Kreis.<br><br />
Lösung: A = 66,3 cm²|2=Tipp zu Nr. 6 b|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Umfang u: Das Dreieck ist ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck. Die Basis ist 4cm lang. Bestimme die Länge der Schenkel mit dem Satz des Pythagoras.<br><br />
[[Datei:S. 132 Nr. 6c Tipp.png|rahmenlos]]<br><br />
x<sup>2</sup> + x<sup>2</sup> = 4<sup>2</sup> &124;<br><br />
2x<sup>2</sup> = 16 <br><br />
… <br><br />
Lösung: u = 11,9cm<br><br />
Flächeninhalt A: Die Fläche setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt A<sub>1</sub> des Dreiecks und dem Flächeninhalt A<sub>2</sub> des Halbkreises.<br><br />
Da das Dreieck rechtwinklig ist, sind die Schenkel je Grundseite und Höhe des Dreiecks.<br><br />
Lösung: A<sub>gesamt</sub> = 3,92 + 6,28 = 10,2 (cm²) (mit genauen Werten 10,3)|2=Tipp zu Nr. 6c|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Umfang u: Auch hier handelt es sich um ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck. Bestimme die Schenkellänge mit dem Satz des Pythagoras (vgl. Aufgabe 6c). Der Umfang der zwei Halbkreise ist genauso groß wie der Umfang eines ganzen Kreises. <br><br />
Radius r = 12:4 = 3 (cm)<br><br />
Lösung: u = 35,8 (cm)<br><br />
Flächeninhalt A: Lösung: 64,4 (cm²) (mit genauen Werten 64,3)|2=Tipp zu Nr. 6d|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Winkel 45° bedeutet, dass es sich bei dem Dreieck um ein halbes Quadrat handelt. Das Dreieck ist also ebenfalls gleichschenklig rechtwinklig. <br><br />
Damit beträgt der Radius des Halbkreises r = 4,5:2 = 2,25 (cm) .<br><br />
Umfang u: Bestimme die Hypotenuse des Dreiecks mit dem Satz des Pythagoras.<br><br />
Lösung: u = 18,0 cm (mit genauen Werten 17,9)<br><br />
Flächeninhalt A: Lösung: A = 18,07 cm²|2=Tipp zu Nr. 6e|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne den Radius des Halbkreises mit dem Satz des Pythagoras.<br><br />
[[Datei:S. 132 Nr. 6f Tipp.png|rahmenlos]]<br><br />
Lösung: Umfang u = 38,8cm<br><br />
Flächeninhalt A: Die Grundseite des Dreiecks ist 2r lang, die Höhe beträgt 8cm. Berechne damit den Flächeninhalt des Dreiecks. Falls du die Formel nicht mehr weißt, findest du sie hinten im Schulbegleiter.<br><br />
Lösung: Flächeninhalt A = 104,55 cm²|2=Tipp zu Nr. 6f|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Durchmesser d beträgt immer 8cm. Bestimme jeweils den Durchmesser bzw. Radius der kleineren Kreise und berechne damit den Umfang und den Flächeninhalt der Figur.|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang u setzt sich zusammen aus dem Umfang des großen Halbkreises und dem Umfang eines ganzen kleinen Kreises (zwei Halbkreise).<br />
Lösung: u = 25,1cm<br><br />
Um die Fläche der Figur zu berechnen, subtrahiere vom großen Halbkreis die zwei kleinen Halbkreise (bzw. einen ganzen kleinen Kreis).<br><br />
A<sub>Figur</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>π·4² - π·2² = 12,57 (cm²)|2=Tipp zu Nr. 8a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang der Figur ist genauso groß wie in Teil a.<br><br />
Der Flächeninhalt setzt sich zusammen aus der Summe des großen Halbkreises und eines kleinen Kreises.<br><br />
Lösung: u = 25,1cm; A = 37,70cm²|2=Tipp zu Nr. 8b|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang der Figur setzt sich zusammen aus dem großen Halbkreis, dem mittleren Halbkreis und zwei kleinen Halbkreisen (also einem ganzen kleinen Kreis).<br><br />
Lösung: u = 25,1cm<br><br />
Der Flächeninhalt der Figur setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt des großen Halbreises + dem Flächeninhalt des mittleren Halbkreises - zwei kleinen Halbkreisen (also einem ganzen kleinen Kreis).<br><br />
Lösung:A = 28,27cm³|2=Tipp zu Nr. 8c|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang der Figur setzt sich zusammen aus dem Umfang des großen Halbkreises und dem Umfang eines ganzen kleinen Kreises (zwei Halbkreise).<br><br />
Lösung: 25,1cm<br><br />
Der Flächeninhalt der Figur ist gleich dem Flächeninhalt des großen Halbkreises, denn der kleine Halbkreis wird einmal addiert und dann wieder subtrahiert.<br><br />
Lösung: A = 25,13cm²|2=Tipp zu Nr. 8d|3=Verbergen}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 5 - Geometrische Anwendungen|Löse auf der Seite [https://aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/kreis/kreisflaeche.shtml'''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben<br />
* 12<br />
* 13<br />
* 14<br />
* 18<br><br />
ODER:<br><br />
Konstruiere mit dem Zirkel Figuren aus Kreisen bzw. Halbkreisen und berechne dazu Umfang und Flächeninhalt.|Üben}}<br />
<br />
====Sachsituationen====<br />
{{LearningApp|app=py733oge321|width=100%|height=500px}}<br />
{{Box|1=Einstiegsaufgabe - Kreisfläche|2=Betrachte das nachfolgende Applet und beantworte die folgenden Fragen:<br />
*Aus einem Quadrat der Seitenlänge a wird ein maximaler Kreis ausgeschnitten. Wieviel Prozent beträgt der Abfall?<br />
*Jetzt werden 4, 9, 16 gleich große Kreise ausgeschnitten. Wieviel Prozent beträgt nun der Abfall?<br />
*Auch wenn das Ergebnis zunächst überraschen mag, kann man es einfach erklären. Betrachte für n > 1 den Zusammenhang zwischen dem hervorgehobenen kleinen Quadrat mit kleinem Kreis und der Figur für n = 1. Wie entstehen diese Figuren auseinander? Was bedeutet das für die Flächen?|3=Meinung}}<br />
Originallink: https://www.geogebra.org/m/krnwuf2s<br />
<ggb_applet id="awkjt4py" width="1500" height="850" border="888888" /><br />
<small>Applet von Hans-Jürgen Elschenbroich</small><br />
<br />
{{Box|Übung 6 - Sachsituationen|Löse so viele Aufgaben, dass du mindestes 7 Sternchen sammelst. Notier deine Rechnungen ausführlich und übersichtlich. Prüfe deine Lösungen und hake ab.<br />
* S. 133, Nr. 10 (*)<br />
* S. 134, Nr. 16 (*)<br />
* S. 134, Nr. 17 (*)<br />
* S. 134, Nr. 18 (*)<br />
* S. 134, Nr. 19 (*)<br />
* S. 134, Nr. 20 (**)<br />
* S. 134, Nr. 21 (**)<br />
* S. 150, Nr. 7 (*)<br />
* S. 150, Nr. 8 (**)<br />
* S. 150, Nr. 9 (**)|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Flächeninhalt des Verschnittes berechnest du, indem du die Kreisflächen von der Quadratfläche subtrahierst. Bestimme für die Berechnung der Kreisflächen jeweils den Radius der Kreise.<br><br />
A<sub>Verschnitt</sub> = A<sub>Quadrat</sub> - A<sub>Kreise</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 80 · 80 - 1·π·40²<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 6400 - 5026,55<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 1373,45cm²<br><br />
Rechne weiter für die übrigen Figuren. Was fällt dir auf?<br><br />
Der Flächeninhalt der Kreise insgesamt beträgt immer 5026,55 cm², daher bleibt der Verschnitt gleich.|2=Tipp zu Nr. 10|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Mobilfunkmast gibt die Signale in jede Richtung weiter, das erreichte Gebiet ist also kreisförmig mit dem Radius r = 10km.|2=Tipp zu Nr. 16|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Windrad Seligweiler.jpg|rahmenlos]]<br><br />
Die Flügellänge entspricht dem Radius, die Winderntefläche der Kreisfläche.<br><br />
Lösung: a) A ≈ 1122,21 m²<br><br />
b) A ≈ 3848,45 m²|2=Tipp zu Nr. 17|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Kreisform entsteht, da die Bewässerungsanlagen sich kreisförmig drehen.<br><br />
Um die ungenutzte Fläche zu berechnen, subtrahiere die Kreisfläche von der quadratischen Fläche.<br><br />
Lösung: 8584 m²|2=Tipp zu Nr. 18|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Schätze die Größe des Mannes (ca. 1,80m) und damit den Durchmesser der Iris (ca. 3,20m). Berechne nun die Kreisfläche.<br><br />
Um die Größe des Plakates zu bestimmen, überlege, wie groß die Iris im Verhältnis zur Körpergröße ist.|2=Tipp zu Nr. 20|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zunächst die Fläche des Topfbodens und die Fläche der Herdplatte.<br><br />
Wie viel Prozent der Herdplatte werden vom Topf abgedeckt? p% = <math>\tfrac{A_Topf}{A_Platte}</math>|2=Tipp zu Nr. 21|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Was ist gesucht, der Umfang oder der Flächeninhalt? Für den Umfang überlege, ob "Kalle läuft" bzw. wie in den Videos eine Ameise den Weg läuft. Für den Flächeninhalt überlege, ob du die gesuchte Größe als Fläche ausmalen könntest.<br><br />
Achte auch auf die Einheit der gesuchten Größe: Ist der '''Umfang''' in Metern''' m''' gesucht oder die '''Fläche''' in Quadratmeter '''m²'''?|2=Tipp zu Nr. 7|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1='''Um''' wie viel Prozent ... ist gefragt. Du benötigst für die Prozentrechnung also die Größen Grundwert G und Prozentwert W. Berechne diese und damit dann den Prozentsatz p%. <br><br />
Erinnerung: Formel für die Prozentrechnung: '''W'''ie '''g'''eht '''P'''rozentrechnung? W = G·p%. Stelle diese Formel nach p% um.<br><br />
Lösung: p% = 91,7%|2=Tipp 1 zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Größe der zweiten Pizza wird mit der der ersten Pizza verglichen. Also ist G der Flächeninhalt der ersten Pizza. W ist die Differenz der Flächeninhalte, also '''um''' welche Fläche die große Pizza größer ist also die kleine.<br><br />
Für p% gilt dann p% = <math>\tfrac{W}{G}</math>.<br>|2=Tipp 2 zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Du kannst auch anders vorgehen:<br><br />
Berechne den Flächeninhalt der kleinen und der große Pizza. Überlege dann '''auf''' wie viel Prozent der kleinen Pizza sich die Fläche der zweiten Pizza vergrößert hat.<br> Gegeben sind hier also G und G<sup>+</sup>.<br><br />
Berechne damit p<sup>+</sup>%. <br><br />
Lösung: p<sup>+</sup>% = 191,7%, also ist p% = 97,1%|2=Tipp 3 zu Nr. 8 (alternative Lösung)|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Umlaufbahn ist gesucht, also der Umfang u.<br><br />
Tipp zur Bahngeschwindigkeit: Die Geschwindigkeit gibt an, welche Strecke in welcher Zeit zurückgelegt wird (in <math>\tfrac{km}{h}</math>. Du benötigst also die Strecke, die zurückgelegt wird und die Zeit, in der diese Strecke zurückgelegt wird.|2=Tipp 1 zu Nr. 9|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Strecke: Länge der Umlaufbahn, also u.<br><br />
Zeit: Der Satellit ist geostationär, er bewegt sich also genauso schnell, wie die Erde sich dreht. Für eine ganze Umlaufbahn benötigt er also 24 Stunden (einen Tag), denn die Erde dreht sich in 24 Stunde einmal um ihre Achse.<br><br />
Lösung: v = 11094,5 <math>\tfrac{km}{h}</math>|2=Tipp 2 zu Nr. 9|3=Verbergen}}<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Übung 7 - Sachsituationen online|Löse auf der Seite [https://aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/kreis/kreisflaeche.shtml'''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben<br />
* 9<br />
* 10<br />
* 25<br />
* 26<br />
* 27<br />
* 28 <br />
Löse auf auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/kreis/kreis.shtml '''Aufgabenfuchs 2'''] die Aufgabe<br />
* 44<br />
* 63|Üben}}<br />
<br />
===Vermischte Übungen===<br />
{{Box|Übung 8|Bearbeite die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=pf347f4x321|width=100%|height=600px}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=3 Kreisteile|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisteile}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Buss-Haskert/Kreis_und_Zylinder/Kreisumfang&diff=93231Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisumfang2024-03-22T17:17:51Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]<br />
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}<br />
<br><br />
<br />
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder|Kreis und Zylinder - Startseite]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisumfang|1 Kreisumfang]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisfläche|2 Kreisfläche]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisteile|3 Kreisteile]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Zylinder|4 Zylinder]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Zusammengesetzte Körper|5 Zusammengesetzte Körper]]<br />
}}<br />
<br><br />
<br />
<br><br />
==1 Kreisumfang u==<br />
===1.1 Kreisumfang entdecken===<br />
{{Box|Kreisumfang entdecken|Was ist größer? Die Höhe oder der Umfang des Glases?<br><br />
Schau in der folgenden LearningApp das Video dazu an.|Unterrichtsidee}}<br />
{{LearningApp|app=p55ie9nk520|width=100%|height=600px}}<br />
<br />
{{Box|1=Kreisumfang entdecken|2=a) Miss den Durchmesser d und den Umfang u von verschiedenen kreisförmigen Gegenständen. Beschreibe, wie du vorgehst.<br><br />
b) Trage die Werte in eine Tabelle ein:<br><br />
[[Datei:Tabelle Umfang.png|rahmenlos|600x600px]]<br><br />
c) Erstelle ein d-u-Diagramm. (x-Achse: Durchmesser, y-Achse: Umfang)<br><br />
d) Was fällt dir auf? Notiere Stichpunkt im Heft.|3=Arbeitsmethode}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{#ev:youtube|2meJlHy6hzw|600|center}}|2=Tipp zu a: Wie kann ich den Umfang messen?|3=Verbergen}}<br />
Prüfe deine Vermutung aus dem Teil c) mithilfe des nachfolgenden Applets. Wähle den Vollbildmodus zur Bearbeitung.<br />
{{h5p-zum|id=13628|height=600px}}<br />
Applet von Pöchtrager<br />
{{Lösung versteckt|Stelle deine Werte aus der Tabelle in einem d-u-Diagramm dar. Was fällt dir auf?|Tipp 1|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Das Diagramm ist eine Ursprungsgerade, also ist die Zuordnung proportional. Das heißt auch, dass der Quotient <math>\tfrac{u}{d}</math> immer gleich ist.|Tipp 2|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang u eines Kreises ist proportional zu seinem Durchmesser d.<br><br />
Der Quotient <math>\tfrac{u}{d}</math> beträgt immer ca. 3,1.<br><br />
Dieses Verhältnis wird '''Kreiszahl π''' genannt. <math>\tfrac{u}{d}</math> = π.<br />
|2=Vergleiche deine Lösung|3=Verbergen}}<br />
[[Datei:Unfolding circle demonstration of pi.gif|ohne|mini]]<br />
{{Box|1=Kreisumfang|2=[[Datei:Kreisumfang 1.png|rechts|rahmenlos|200px]][[Datei:Kreisumfang 2.png|rechts|rahmenlos]]Den '''<u>Umfang u</u>''' eines Kreises mit Durchmesser d (Radius r)<br> berechnen wir mit der Formel:<br><br><br />
<big>u = π · d oder u = 2· π · r </big> (denn d = 2·r)|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
Zusammenfassung:<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|mZPp4bGiIT0|460|center}}</div><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|4OHoJnWHr-c|460|center}}</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===1.2 Exkurs: Kreiszahl π===<br />
<br />
[[Datei:Football-157930 1280.png|rechts|rahmenlos|100x100px]]Beim Kreis ist das Verhältnis von Umfang u und Durchmesser d ist immer gleich. <br />
<br />
Dieses Verhältnis wird '''Kreiszahl π''' genannt. <math>\tfrac{u}{d}</math> = π = 3,141... Dieser Dezimalbruch endet nie.<br><br />
<br />
Dorfuchs hat die ersten 200 Nachkommastellen von π mit einer Fußballjonglage verbunden: Beeindruckend!<br><br />
<br />
{{#ev:youtube|KIZOpIcBEnI|800|center}}<br><br />
Wir nähern uns Durfuchs an: 😉<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">20 Nachkommastellen:<br><br />
{{#ev:youtube|fztxpmtr7l8|420|center}}</div><br />
<div class="width-1-2"> 32 Nachkommastellen:<br><br />
{{#ev:youtube|OTkGngfDi10|420|center}}</div><br />
<br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">40 Nachkommastellen (mit Seilspringen)<br><br />
{{#ev:youtube|gdrHrnoG2A0|420|center}}</div><br />
<div class="width-1-2"></div><br />
</div><br />
<br><br />
Das folgende Näherungsverfahren für die Kreiszahl π geht auf Archimedes (282 v.Chr. Bis 212 v.Chr.) zurück. Es beruht auf der Betrachtung von regelmäßigen Vielecken, die dem Kreis umschrieben bzw. einbeschrieben sind.<br />
<ggb_applet id="xPcQduXT" width="900" height="550" border="888888" /><br />
Applet von Pöchtrager<br><br />
<br />
[[Datei:Pi-3166190 1920.png|rechts|rahmenlos|110x110px]] Und nun noch einige kurze Infos zur Kreiszahl π:<br />
<br />
*eine der bekanntesten und sagenumwobensten Zahlen der Mathematik<br />
*Ansätze ihrer Berechnung wurden schon im 17 Jahrhundert v. Chr. im Rechenbuch des Ahmes angedeutet<br />
*mathematisch relativ genau als erstes von dem griechischen Mathematiker und Philosoph Archimedes im Jahr 250 v .Chr. bestimmt worden, mit 2 Dezimalstellen (3,14)<br />
*Mittlerweile (2010) von dem Mathematiker Shigero Kondo auf ca. 5 000 000 000 000 Dezimalstellen berechnet<br />
*beschreibt das Verhältnis vom Umfang des Kreise zu seinem Durchmesser, welches bei allen Kreisen gleich ist:<br />
<br />
[[Datei:Unfolding circle demonstration of pi.gif|ohne|mini]]<br />
π = <math>\tfrac{u}{d}</math> = 3,14159...<br />
<br />
*Ein Kreis mit dem Durchmesser 1 hat somit einen Umfang von π.<br />
<br />
<br />
Tastenkombination für die Kreiszahl π für Berechnungen mit dem Taschenrechner:<br><br />
[[Datei:Taschenrechner_pi.png|500x500px]]<br><br />
<br />
<br />
===1.3 Kreisumfang - Berechnungen===<br />
{{Box|Kreisumfang - Berechnungen|[[Datei:Kreisumfang Berechnungen Einstieg komplett.png|rahmenlos|700x700px]]<ref>nach einer Idee von Schober auf GeoGebra https://www.geogebra.org/m/hh7dahad#material/ybzhmw8f</ref><br><br />
Theo und Lara sollen den Durchmesser des Stammes eines Baumes in einer Höhe von einem Meter über dem Boden ermitteln.<br><br />
Vervollständige den Gedanken von Lara.|Unterrichtsidee}}<br />
<br><br />
{{Lösung versteckt|Sie nehmen eine lange Schnur, führen diese einmal um den Baum herum und messen dann mit einem Maßband, wie lang die Schnur ist. So haben sie den Umfang u des Stammes gemessen. Nun berechnen sie mit der Formel für den Kreisumfang den zugehörigen Durchmesser.|Tipp|Verbergen}}<br />
<br><br />
{{Box|1=Kreisumfang - Berechnungen|2=Bei gegebenem Durchmesser d oder Radius r kannst du den Umfang u berechnen mit den Formeln <br><br />
'''u = π · d oder u = 2· π · r'''<br><br />
Durch Umstellen der Formeln nach d bzw. r kannst du bei gegebenem Umfang den Durchmesser bzw. den Radius bestimmen.<br><br />
Schreibe die Formeln in dein Heft und stelle sie nach d bzw. r um.|3=Kurzinfo}}<br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:Umfangsformel_umstellen.png]]|Vergleiche deine Lösung|Verbergen}}<br />
{{Box|Kreisumfang - Berechnungen|Übertrage die folgenden Beispiele in dein Heft|Arbeitsmethode}}<br />
Beispiele:<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">Umfang u berechnen:<br><br />
geg: d = 3,0 cm<br><br />
ges: u<br><br />
u = π · d &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π · 3,0 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 9,4 (cm)</div><br />
<div class="width-1-2"><br><br />
geg: r = 1,0 cm<br><br />
ges: u<br><br />
u = 2 · π · r &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 2 · π · 1,0 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 6,3 (cm)</div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">Durchmesser d berechnen:<br><br />
geg: u = 15,7 cm<br><br />
ges: d<br><br />
u = π · d &nbsp;&nbsp;&#124;: π<br><br />
<math>\tfrac{u}{\pi}</math> = d &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
<math>\tfrac{15,7}{\pi}</math>= d <br><br />
5,0 (cm) = d </div><br />
<div class="width-1-2">Radius r berechnen:<br><br />
geg: u = 22,0 cm<br><br />
ges: r<br><br />
u = 2 · π · r &nbsp;&nbsp;&#124;: (2·π)<br><br />
<math>\tfrac{u}{2\pi}</math> = r&nbsp;&nbsp;Wert einsetzen<br><br />
<math>\tfrac{22,0}{2\pi}</math> = r <br><br />
3,5 (cm) = r</div><br />
</div><br />
<br><br />
{{#ev:youtube|v6MAsS45FvI|800|center}}<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Übung 1 - online|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/kreis/kreis.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben<br />
* 6<br />
* 7<br />
* 8<br />
* 9|Üben}}<br />
{{Box|Übung 2 - Grundlagen|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere übersichtlich mit den Schreibweisen wie in den Beispielen.<br />
* S. 129 Nr. 1 (Wähle je eine Aufgabe aus a-c und eine Aufgabe aus d-e aus.)<br />
* S. 129 Nr. 2 (Wähle eine Aufgabe aus.)<br />
* S. 129 Nr. 3 (Wähle drei Aufgaben aus.)|Üben}}<br />
<br />
Prüfe deine Lösungen mit dem Applet:<br><br />
<ggb_applet id="s4fsfz9g" width="886" height="496" border="888888" /><br />
<small>Applet von C. Buß-Haskert</small><br />
<br />
<br />
{{Box|1=Kreisumfang - "Pi mal Daumen"|2=[[Datei:Woman-2759503 1920.jpg|rechts|rahmenlos]]Handwerker benutzen zur Kreisumfangsberechnung oft die folgende Faustformel: '''Kreisumfang = Durchmesser mal 3 plus 5 Prozent'''.<br><br />
a) Berechne mit der Faustformel den Umfang für <br />
* d = 40 cm<br />
* d = 8 cm<br />
* r = 3 cm.<br />
b) Berechne nun die Umfänge aus Teil a) mit dem genauen Wert für π und vergleiche.<br><br />
c) Berechne den Näherungswert für π, der bei dieser Faustformel verwendet wird. Notiere deine Rechnung.|3=Unterrichtsidee}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Formel: Durchmesser mal 3 plus 5%:<br><br />
Für d = 40 cm:<br><br />
"Durchmesser mal 3"&nbsp;&nbsp; 40·3 = 120 (cm)<br><br />
"plus 5%" &nbsp;&nbsp; 5% von 120 = 6 (cm) (Rechne mit Formel oder mit Dreisatz)<br><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"> mit Formel<br><br />
geg: G=120cm; p%=5%=0,05<br><br />
ges: W<br><br />
W = G ∙ p% = 120 ∙ 0,05 = 6 [cm]</div><br />
<div class="width-1-2"> mit Dreisatz<br><br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
{{!-}} <br />
! Prozentsatz p% <br />
! Strecke (cm)<br />
{{!-}}<br />
{{!}} 100%<br />
{{!}} 120<br />
{{!-}}<br />
{{!}} 10% <br />
{{!}} 12<br />
{{!-}}<br />
{{!}} 5% <br />
{{!}} 6<br />
{{!-}}<br />
{{!)}}<br />
</div><br />
</div><br />
<br><br />
Ergebnis der Faustformel: Umfang = 120 + 6 = 126 (cm)<br />
|2=Tipp zu d=40cm|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Formel für den Umfang lautet u = π·d.<br><br />
In der Faustformel wird gerechnet:<br><br />
u = 3·d + 0,05·(3·d) (Durchmesser mal 3 plus 5%)<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 3·d + 0,15·d<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 3,15·d<br><br />
Also wird für π der Wert 3,15 näherungsweise verwendet.|2=Tipp zu c|3=Verbergen}}<br />
<br />
<br />
===1.4 Anwendungsaufgaben===<br />
{{Box|1=Geometrische Anwendungen - Beispiele|2=Berechne den Umfang der Figuren. Notiere deine Überlegungen übersichtlich.<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">1. Beispiel:<br><br />
[[Datei:Halbkreis im Quadrat 2.png|rahmenlos]]<br><br />
u = a + a + a + u<sub>Halbkreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 5 + 5 + 5 + <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·r<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 15 + <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·2,5<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 15 + 7,85<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 22,85 [cm] <br><br />
</div><br />
<div class="width-1-3">2. Beispiel:<br><br />
[[Datei:Halbkreis im Viertelkreis.png|rahmenlos|300x300px]]<br><br />
u = u<sub>Viertelkreis</sub> + u<sub>Halbkreis</sub> + a<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{4}</math>·2·π·<math>r_1</math> + <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·<math>r_2</math> + 6<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{4}</math>·2·π·6 + <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·3 + 6<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 9,42 + 9,42 + 6<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 24,84 [cm] <br><br />
</div><br />
<div class="width-1-3">3. Beispiel:<br><br />
[[Datei:Rechtwinkliges Dreieck mit Halbkreis.png|rahmenlos|400x400px]]<br><br />
Berechne den Radius des Halbkreises (mit dem Satz des Pythagoras):<br><br />
d² = 3² + 4²<br><br />
d = <math>\sqrt{3^2 + 4^2}</math><br><br />
d = 5 [cm]; also r = 5:2 = 2,5 [cm]<br><br />
u = a + b + u<sub>Halbkreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 3 + 4 + <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·<math>r</math><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 3 + 4 + <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·2,5<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 7 + 7,85<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 14,85 [cm] <br><br />
</div> <br />
</div>|3=Arbeitsmethode}}<br />
{{Box|Übung 3 - geometrische Anwendungen|Figuren können aus verschiedenen Flächen - auch Kreisflächen zusammengesetzt werden. Löse die Aufgaben aus dem Buch. Übertrage dazu die Skizze in dein Heft und löse schrittweise.<br><br />
Erinnerung: Die Ameise läuft für den '''Um'''fang u einmal um die Figur her'''um'''.<br />
* S. 129 Nr. 4<br />
* S. 129 Nr. 5<br />
* S. 129 Nr. 8|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|- Der Umfang zweier Halbkreise ist genauso groß wie der Umfang eines ganzen Kreises (bei gleichem Radius).<br><br />
- Wie groß ist der Radius (oder der Durchmesser) der Halbkreise?|Tipp 1 zu Nr. 4a|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Laufe die drei Strecken des Rechtecks und dann die zwei Halbkreise entlang ("die Ameise läuft drum herum")<br><br />
Lösung: u = 5 + 10 + 5 + π·5 = 35,71 (cm)|2=Tipp 2 zu Nr. 4a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne den Durchmesser d des Halbkreises mit dem Satz des Pythagoras.<br><br />
In jedem '''rechtwinkligen''' Dreieck gilt:<br />
Kathete<sup>2</sup> + Kathete<sup>2</sup> = Hypotenuse<sup>2</sup><br><br />
Lösung: d = 13|2=Tipp 1 zu Nr. 4b|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang des Halbreises ist halb so groß wie der eines Kreises:<br><br />
u<sub>Halbreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>u<sub>Kreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>π·d<br><br />
Lösung: u = 12 + 5 + 20,42 = 37,42 (cm)|2=Tipp 2 zu Nr. 4b|3=Verbergen}}<br />
Hilfsapplet zu Nr. 5<br><br />
<ggb_applet id="xj4dxp3q" width="1179" height="706" border="888888" /><br><br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte den Durchmesser der Kreise. Was geschieht jeweils von Bogen zu Bogen?<br><br />
d<sub>1</sub>=2cm; d<sub>2</sub>=1cm; d<sub>3</sub>=<math>\tfrac{1}{2}</math>; d<sub>4</sub>=<math>\tfrac{1}{4}</math>; d<sub>5</sub> = <math>\tfrac{1}{8}</math>; ...<br />
Berechne jeweils die Umfänge: <math>\tfrac{1}{2}</math> u<sub>1</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π = π; ...|2= Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Kreisumfang - Sachsituationen|[[Datei:Din A4 Blatt Rolle 3.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Aus einem DIN A4-Blatt (21 cm breit und 29,7 cm lang) soll eine Rolle entstehen. Der Kleberand beträgt 7 mm. Du hast zwei Möglichkeiten, das Blatt zusammenzurollen.<br><br />
a) Berechne den Umfang der so entstandenen Papierrollen. Notiere deine Rechnung.<br><br />
b) Berechne den Durchmesser der Rollen.<br><br />
Tipp: Um die Anwendungsaufgaben zu lösen, ist es hilfreich, den Radius, den Durchmesser oder den Umfang eines Kreises in den Aufgaben zu suchen.|Unterrichtsidee}}<br />
{{Lösung versteckt|Du kannst das Blatt einmal längs rollen und einmal quer:<br><br />
[[Datei:Din A4 Blatt Rolle 1.png|rahmenlos]][[Datei:Din A4 Blatt Rolle 2.png|rahmenlos]]|Tipp 1 Skizzen|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=geg: u = Länge bzw. Breite des Blattes - 7mm Kleberand|2=Tipp zu a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=geg: u<small>1</small> = 21-0,7 = 20,3 (cm) u<sub>2</sub> = 29,7 - 0,7 = 29 (cm)<br><br />
ges: d<br><br />
Stelle die Formel für den Umfang nach d um.|2=Tipp zu b|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 4 - Sachsituationen|Löse die Aufgabe aus den nachfolgenden GeoGebra-Applets. Notiere die Lösung ausführlich und übersichtlich in deinem Heft. |Üben}}<br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/syux7xjs<br><br />
<ggb_applet id="a5qhbpuf" width="777" height="806" border="888888" /><br />
<small>Applet von Schober</small><br><br />
{{Lösung versteckt|1=Der Weg der Füße entspricht dem Umfang der Erde. Diesen berechnest du mit der Formel u = 2·π·r, wobei der Erdradius r = 6370000m beträgt. <br><br />
Der Radius für den Weg des Kopfes ist 1,5m größer als der Erdradius, also r<sub>2</sub>=6370000+1,5 = 6370001,5(m)|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 5 - Sachsituationen|Wähle aus den Aufgaben aus dem Buch aus, sammle mindestes 6 Sternchen. Notiere die Lösungen übersichtlich. Nutze bei Bedarf die Tipps. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.<br />
* S. 129 Nr. 7 (**)<br />
* S. 130 Nr. 11 (*)<br />
* S. 130 Nr. 12 (*)<br />
* S. 130 Nr. 13 (*)<br />
* S. 130 Nr. 14 (*)<br />
* S. 130 Nr. 15 (**)<br />
* S. 130 Nr. 16 (**)<br />
* S. 130 Nr. 17 (*)|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Verlgeiche mit Übung 4 (Laufen um die Erde). Entnimm den den Erdradius aus der Aufgabe. Berechne den Umfang der Erde und ergänze ihn um 1 m. Wie sehr vergrößert sich dann der Radius?<br><br />
|Tipp zu Nr. 7|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/bprvjtx8<br><br />
<ggb_applet id="bprvjtx8" width="1080" height="790" border="888888" />|2=Tipp 2 zu Nr. 7 (Hilfsapplet)|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Vergleiche mit der Einstiegsaufgabe.|Tipp zu Nr. 11|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Länge des Metallbandes entspricht dem Umfang des entstehenden Kreises.<br><br />
Lösung: d≈0,95m|2=Tipp zu Nr. 12|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Weg, den das Rad an einem Tag zurücklegt.<br><br />
d=Höhe des Rads = 1,95. Berechne u.<br><br />
Weg des Rads an einem Tag: 6000·u, da sich das Rad 6000 mal dreht.<br><br />
Lösung:36780m|2=Tipp zu Nr. 13|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Umdrehung des Rades entsprich dem Umfang des Rades. 2 Umdrehungen sind also gleich 2·u.<br><br />
Stelle eine Gleichung auf und löse diese nach d auf.<br><br />
Lösung: d=0,16m|2=Tipp zu Nr. 14|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Gleiche Einheiten! Wandle die Geschwindigkeit von 25 km/h in die Einheit cm/s um.<br><br />
25 km/h = 2500000cm/h = <math>\tfrac{2500000cm}{3600s}</math> ≈ 694,4 cm/s.|2=Tipp 1 zu Nr. 15|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne den Umfang des Dynamorädchens.<br><br />
Berechne danach, wie oft dieser Umfang in 694,4 cm (so weit dreht sich das Rad pro Sekunde) passt.<br><br />
Lösung: ca. 110 mal|2=Tipp 2 zu Nr. 15|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Wie viele "Wellen" befinden sich in der Wellblechplatte?<br><br />
2,50m Länge = 250cm (gleiche Einheiten!)<br><br />
250cm : 5cm = 50<br><br />
Diese Wellbelchplatte besteht aus 50 Wellen.|2=Tipp 1 zu Nr. 16|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ursprünglich muss die Platte so lang gewesen sein, dass 50 Wellen daraus zu legen sind:<br><br />
Länge ursprünglich = 50·Umfang eines Halbkreises mit d=5cm<br><br />
= 25·Umfang eines ganzen Kreises mit d=5cm.<br><br />
Länge = 25·π·d=...<br><br />
Lösung: 3,93m|2=Tipp 2 zu Nr. 16|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne den Umfang u des Kraters mit d=24km.<br><br />
Teile diese Strecke auf drei Tage auf.<br />
Lösung: pro Tag ca. 25 km|2=Tipp zu Nr. 17|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 6 - online|Wähle von der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/kreis/kreisumfang.shtml'''Aufgabenfuchs'''] mindestens 3 Aufagben aus und löse diese ausführlich im Heft.<br />
* 9<br />
* 25<br />
* 26<br />
* 29<br />
* 30<br />
* 31<br />
* 32|Üben}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=2 Kreisfläche|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisfläche}}<br />
<br />
<references /></div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Buss-Haskert/Kreis_und_Zylinder/Kreisumfang&diff=93230Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisumfang2024-03-22T17:12:07Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]<br />
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}<br />
<br><br />
<br />
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder|Kreis und Zylinder - Startseite]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisumfang|1 Kreisumfang]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisfläche|2 Kreisfläche]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisteile|3 Kreisteile]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Zylinder|4 Zylinder]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Zusammengesetzte Körper|5 Zusammengesetzte Körper]]<br />
}}<br />
<br><br />
<br />
<br><br />
==1 Kreisumfang u==<br />
===1.1 Kreisumfang entdecken===<br />
{{Box|Kreisumfang entdecken|Was ist größer? Die Höhe oder der Umfang des Glases?<br><br />
Schau in der folgenden LearningApp das Video dazu an.|Unterrichtsidee}}<br />
{{LearningApp|app=p55ie9nk520|width=100%|height=600px}}<br />
<br />
{{Box|1=Kreisumfang entdecken|2=a) Miss den Durchmesser d und den Umfang u von verschiedenen kreisförmigen Gegenständen. Beschreibe, wie du vorgehst.<br><br />
b) Trage die Werte in eine Tabelle ein:<br><br />
[[Datei:Tabelle Umfang.png|rahmenlos|600x600px]]<br><br />
c) Erstelle ein d-u-Diagramm. (x-Achse: Durchmesser, y-Achse: Umfang)<br><br />
d) Was fällt dir auf? Notiere Stichpunkt im Heft.|3=Arbeitsmethode}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{#ev:youtube|2meJlHy6hzw|600|center}}|2=Tipp zu a: Wie kann ich den Umfang messen?|3=Verbergen}}<br />
Prüfe deine Vermutung aus dem Teil c) mithilfe des nachfolgenden Applets. Wähle den Vollbildmodus zur Bearbeitung.<br />
{{h5p-zum|id=13628|height=600px}}<br />
Applet von Pöchtrager<br />
{{Lösung versteckt|Stelle deine Werte aus der Tabelle in einem d-u-Diagramm dar. Was fällt dir auf?|Tipp 1|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Das Diagramm ist eine Ursprungsgerade, also ist die Zuordnung proportional. Das heißt auch, dass der Quotient <math>\tfrac{u}{d}</math> immer gleich ist.|Tipp 2|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang u eines Kreises ist proportional zu seinem Durchmesser d.<br><br />
Der Quotient <math>\tfrac{u}{d}</math> beträgt immer ca. 3,1.<br><br />
Dieses Verhältnis wird '''Kreiszahl π''' genannt. <math>\tfrac{u}{d}</math> = π.<br />
|2=Vergleiche deine Lösung|3=Verbergen}}<br />
[[Datei:Unfolding circle demonstration of pi.gif|ohne|mini]]<br />
{{Box|1=Kreisumfang|2=[[Datei:Kreisumfang 1.png|rechts|rahmenlos|200px]][[Datei:Kreisumfang 2.png|rechts|rahmenlos]]Den '''<u>Umfang u</u>''' eines Kreises mit Durchmesser d (Radius r)<br> berechnen wir mit der Formel:<br><br><br />
<big>u = π · d oder u = 2· π · r </big> (denn d = 2·r)|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
Zusammenfassung:<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|mZPp4bGiIT0|460|center}}</div><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|4OHoJnWHr-c|460|center}}</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===1.2 Exkurs: Kreiszahl π===<br />
<br />
[[Datei:Football-157930 1280.png|rechts|rahmenlos|100x100px]]Beim Kreis ist das Verhältnis von Umfang u und Durchmesser d ist immer gleich. <br />
<br />
Dieses Verhältnis wird '''Kreiszahl π''' genannt. <math>\tfrac{u}{d}</math> = π = 3,141... Dieser Dezimalbruch endet nie.<br><br />
<br />
Dorfuchs hat die ersten 200 Nachkommastellen von π mit einer Fußballjonglage verbunden: Beeindruckend!<br><br />
<br />
{{#ev:youtube|KIZOpIcBEnI|800|center}}<br><br />
Wir nähern uns Durfuchs an: 😉<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">20 Nachkommastellen:<br><br />
{{#ev:youtube|fztxpmtr7l8|420|center}}</div><br />
<div class="width-1-2"> 32 Nachkommastellen:<br><br />
{{#ev:youtube|OTkGngfDi10|420|center}}</div><br />
<br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">40 Nachkommastellen (mit Seilspringen)<br><br />
{{#ev:youtube|gdrHrnoG2A0|420|center}}</div><br />
<div class="width-1-2"></div><br />
</div><br />
<br><br />
Das folgende Näherungsverfahren für die Kreiszahl π geht auf Archimedes (282 v.Chr. Bis 212 v.Chr.) zurück. Es beruht auf der Betrachtung von regelmäßigen Vielecken, die dem Kreis umschrieben bzw. einbeschrieben sind.<br />
<ggb_applet id="xPcQduXT" width="900" height="550" border="888888" /><br />
Applet von Pöchtrager<br><br />
<br />
[[Datei:Pi-3166190 1920.png|rechts|rahmenlos|110x110px]] Und nun noch einige kurze Infos zur Kreiszahl π:<br />
<br />
*eine der bekanntesten und sagenumwobensten Zahlen der Mathematik<br />
*Ansätze ihrer Berechnung wurden schon im 17 Jahrhundert v. Chr. im Rechenbuch des Ahmes angedeutet<br />
*mathematisch relativ genau als erstes von dem griechischen Mathematiker und Philosoph Archimedes im Jahr 250 v .Chr. bestimmt worden, mit 2 Dezimalstellen (3,14)<br />
*Mittlerweile (2010) von dem Mathematiker Shigero Kondo auf ca. 5 000 000 000 000 Dezimalstellen berechnet<br />
*beschreibt das Verhältnis vom Umfang des Kreise zu seinem Durchmesser, welches bei allen Kreisen gleich ist:<br />
<br />
[[Datei:Unfolding circle demonstration of pi.gif|ohne|mini]]<br />
π = <math>\tfrac{u}{d}</math> = 3,14159...<br />
<br />
*Ein Kreis mit dem Durchmesser 1 hat somit einen Umfang von π.<br />
<br />
<br />
Tastenkombination für die Kreiszahl π für Berechnungen mit dem Taschenrechner:<br><br />
[[Datei:Taschenrechner_pi.png|500x500px]]<br><br />
<br />
<br />
===1.3 Kreisumfang - Berechnungen===<br />
{{Box|Kreisumfang - Berechnungen|[[Datei:Kreisumfang Berechnungen Einstieg komplett.png|rahmenlos|700x700px]]<ref>nach einer Idee von Schober auf GeoGebra https://www.geogebra.org/m/hh7dahad#material/ybzhmw8f</ref><br><br />
Theo und Lara sollen den Durchmesser des Stammes eines Baumes in einer Höhe von einem Meter über dem Boden ermitteln.<br><br />
Vervollständige den Gedanken von Lara.|Unterrichtsidee}}<br />
<br><br />
{{Lösung versteckt|Sie nehmen eine lange Schnur, führen diese einmal um den Baum herum und messen dann mit einem Maßband, wie lang die Schnur ist. So haben sie den Umfang u des Stammes gemessen. Nun berechnen sie mit der Formel für den Kreisumfang den zugehörigen Durchmesser.|Tipp|Verbergen}}<br />
<br><br />
{{Box|1=Kreisumfang - Berechnungen|2=Bei gegebenem Durchmesser d oder Radius r kannst du den Umfang u berechnen mit den Formeln <br><br />
'''u = π · d oder u = 2· π · r'''<br><br />
Durch Umstellen der Formeln nach d bzw. r kannst du bei gegebenem Umfang den Durchmesser bzw. den Radius bestimmen.<br><br />
Schreibe die Formeln in dein Heft und stelle sie nach d bzw. r um.|3=Kurzinfo}}<br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:Umfangsformel_umstellen.png]]|Vergleiche deine Lösung|Verbergen}}<br />
{{Box|Kreisumfang - Berechnungen|Übertrage die folgenden Beispiele in dein Heft|Arbeitsmethode}}<br />
Beispiele:<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">Umfang u berechnen:<br><br />
geg: d = 3,0 cm<br><br />
ges: u<br><br />
u = π · d &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π · 3,0 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 9,4 (cm)</div><br />
<div class="width-1-2"><br><br />
geg: r = 1,0 cm<br><br />
ges: u<br><br />
u = 2 · π · r &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 2 · π · 1,0 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 6,3 (cm)</div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">Durchmesser d berechnen:<br><br />
geg: u = 15,7 cm<br><br />
ges: d<br><br />
u = π · d &nbsp;&nbsp;&#124;: π<br><br />
<math>\tfrac{u}{\pi}</math> = d &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
<math>\tfrac{15,7}{\pi}</math>= d <br><br />
5,0 (cm) = d </div><br />
<div class="width-1-2">Radius r berechnen:<br><br />
geg: u = 22,0 cm<br><br />
ges: r<br><br />
u = 2 · π · r &nbsp;&nbsp;&#124;: (2·π)<br><br />
<math>\tfrac{u}{2\pi}</math> = r&nbsp;&nbsp;Wert einsetzen<br><br />
<math>\tfrac{22,0}{2\pi}</math> = r <br><br />
3,5 (cm) = r</div><br />
</div><br />
<br><br />
{{#ev:youtube|v6MAsS45FvI|800|center}}<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Übung 1 - online|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/kreis/kreis.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben<br />
* 6<br />
* 7<br />
* 8<br />
* 9|Üben}}<br />
{{Box|Übung 2 - Grundlagen|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere übersichtlich mit den Schreibweisen wie in den Beispielen.<br />
* S. 129 Nr. 1 (Wähle je eine Aufgabe aus a-c und eine Aufgabe aus d-e aus.)<br />
* S. 129 Nr. 2 (Wähle eine Aufgabe aus.)<br />
* S. 129 Nr. 3 (Wähle drei Aufgaben aus.)|Üben}}<br />
<br />
Prüfe deine Lösungen mit dem Applet:<br><br />
<ggb_applet id="s4fsfz9g" width="886" height="496" border="888888" /><br />
<small>Applet von C. Buß-Haskert</small><br />
<br />
<br />
{{Box|1=Kreisumfang - "Pi mal Daumen"|2=[[Datei:Woman-2759503 1920.jpg|rechts|rahmenlos]]Handwerker benutzen zur Kreisumfangsberechnung oft die folgende Faustformel: '''Kreisumfang = Durchmesser mal 3 plus 5 Prozent'''.<br><br />
a) Berechne mit der Faustformel den Umfang für <br />
* d = 40 cm<br />
* d = 8 cm<br />
* r = 3 cm.<br />
b) Berechne nun die Umfänge aus Teil a) mit dem genauen Wert für π und vergleiche.<br><br />
c) Berechne den Näherungswert für π, der bei dieser Faustformel verwendet wird. Notiere deine Rechnung.|3=Unterrichtsidee}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Formel: Durchmesser mal 3 plus 5%:<br><br />
Für d = 40 cm:<br><br />
"Durchmesser mal 3"&nbsp;&nbsp; 40·3 = 120 (cm)<br><br />
"plus 5%" &nbsp;&nbsp; 5% von 120 = 6 (cm) (Rechne mit Formel oder mit Dreisatz)<br><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"> mit Formel<br><br />
geg: G=120cm; p%=5%=0,05<br><br />
ges: W<br><br />
W = G ∙ p% = 120 ∙ 0,05 = 6 [cm]</div><br />
<div class="width-1-2"> mit Dreisatz<br><br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
{{!-}} <br />
! Prozentsatz p% <br />
! Strecke (cm)<br />
{{!-}}<br />
{{!}} 100%<br />
{{!}} 120<br />
{{!-}}<br />
{{!}} 10% <br />
{{!}} 12<br />
{{!-}}<br />
{{!}} 5% <br />
{{!}} 6<br />
{{!-}}<br />
{{!)}}<br />
</div><br />
</div><br />
<br><br />
Ergebnis der Faustformel: Umfang = 120 + 6 = 126 (cm)<br />
|2=Tipp zu d=40cm|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Formel für den Umfang lautet u = π·d.<br><br />
In der Faustformel wird gerechnet:<br><br />
u = 3·d + 0,05·(3·d) (Durchmesser mal 3 plus 5%)<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 3·d + 0,15·d<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 3,15·d<br><br />
Also wird für π der Wert 3,15 näherungsweise verwendet.|2=Tipp zu c|3=Verbergen}}<br />
<br />
<br />
===1.4 Anwendungsaufgaben===<br />
{{Box|1=Geometrische Anwendungen - Beispiele|2=Berechne den Umfang der Figuren. Notiere deine Überlegungen übersichtlich.<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">1. Beispiel:<br><br />
[[Datei:Halbkreis im Quadrat 2.png|rahmenlos]]<br><br />
u = a + a + a + u<sub>Halbkreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 5 + 5 + 5 + <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·r<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 15 + <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·2,5<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 15 + 7,85<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 22,85 [cm] <br><br />
</div><br />
<div class="width-1-3">2. Beispiel:<br><br />
[[Datei:Halbkreis im Viertelkreis.png|rahmenlos|300x300px]]<br><br />
u = u<sub>Viertelkreis</sub> + u<sub>Halbkreis</sub> + a<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{4}</math>·2·π·<math>r_1</math> + <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·<math>r_2</math> + 6<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{4}</math>·2·π·6 + <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·3 + 6<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 9,42 + 9,42 + 6<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 24,84 [cm] <br><br />
</div><br />
<div class="width-1-3">3. Beispiel:<br><br />
[[Datei:Rechtwinkliges Dreieck mit Halbkreis.png|rahmenlos|400x400px]]<br><br />
Berechne den Radius des Halbkreises (mit dem Satz des Pythagoras):<br><br />
d² = 3² + 4²<br><br />
d = <math>\sqrt{3^2 + 4^2}</math><br><br />
d = 5 [cm]; also r = 5:2 = 2,5 [cm]<br><br />
u = a + b + u<sub>Halbkreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 3 + 4 + <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·<math>r</math><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 3 + 4 + <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·2,5<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 7 + 7,85<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 14,85 [cm] <br><br />
</div> <br />
</div>|3=Arbeitsmethode}}<br />
{{Box|Übung 3 - geometrische Anwendungen|Figuren können aus verschiedenen Flächen - auch Kreisflächen zusammengesetzt werden. Löse die Aufgaben aus dem Buch. Übertrage dazu die Skizze in dein Heft und löse schrittweise.<br><br />
Erinnerung: Die Ameise läuft für den '''Um'''fang u einmal um die Figur her'''um'''.<br />
* S. 129 Nr. 4<br />
* S. 129 Nr. 5<br />
* S. 129 Nr. 8|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|- Der Umfang zweier Halbkreise ist genauso groß wie der Umfang eines ganzen Kreises (bei gleichem Radius).<br><br />
- Wie groß ist der Radius (oder der Durchmesser) der Halbkreise?|Tipp 1 zu Nr. 4a|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Laufe die drei Strecken des Rechtecks und dann die zwei Halbkreise entlang ("die Ameise läuft drum herum")<br><br />
Lösung: u = 5 + 10 + 5 + π·5 = 35,71 (cm)|2=Tipp 2 zu Nr. 4a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne den Durchmesser d des Halbkreises mit dem Satz des Pythagoras.<br><br />
In jedem '''rechtwinkligen''' Dreieck gilt:<br />
Kathete<sup>2</sup> + Kathete<sup>2</sup> = Hypotenuse<sup>2</sup><br><br />
Lösung: d = 13|2=Tipp 1 zu Nr. 4b|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang des Halbreises ist halb so groß wie der eines Kreises:<br><br />
u<sub>Halbreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>u<sub>Kreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>π·d<br><br />
Lösung: u = 12 + 5 + 20,42 = 37,42 (cm)|2=Tipp 2 zu Nr. 4b|3=Verbergen}}<br />
Hilfsapplet zu Nr. 5<br><br />
<ggb_applet id="xj4dxp3q" width="1179" height="706" border="888888" /><br><br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte den Durchmesser der Kreise. Was geschieht jeweils von Bogen zu Bogen?<br><br />
d<sub>1</sub>=2cm; d<sub>2</sub>=1cm; d<sub>3</sub>=<math>\tfrac{1}{2}</math>; d<sub>4</sub>=<math>\tfrac{1}{4}</math>; d<sub>5</sub> = <math>\tfrac{1}{8}</math>; ...<br />
Berechne jeweils die Umfänge: <math>\tfrac{1}{2}</math> u<sub>1</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π = π; ...|2= Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Kreisumfang - Sachsituationen|[[Datei:Din A4 Blatt Rolle 3.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Aus einem DIN A4-Blatt (21 cm breit und 29,7 cm lang) soll eine Rolle entstehen. Der Kleberand beträgt 7 mm. Du hast zwei Möglichkeiten, das Blatt zusammenzurollen.<br><br />
a) Berechne den Umfang der so entstandenen Papierrollen. Notiere deine Rechnung.<br><br />
b) Berechne den Durchmesser der Rollen.<br><br />
Tipp: Um die Anwendungsaufgaben zu lösen, ist es hilfreich, den Radius, den Durchmesser oder den Umfang eines Kreises in den Aufgaben zu suchen.|Unterrichtsidee}}<br />
{{Lösung versteckt|Du kannst das Blatt einmal längs rollen und einmal quer:<br><br />
[[Datei:Din A4 Blatt Rolle 1.png|rahmenlos]][[Datei:Din A4 Blatt Rolle 2.png|rahmenlos]]|Tipp 1 Skizzen|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=geg: u = Länge bzw. Breite des Blattes - 7mm Kleberand|2=Tipp zu a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=geg: u<small>1</small> = 21-0,7 = 20,3 (cm) u<sub>2</sub> = 29,7 - 0,7 = 29 (cm)<br><br />
ges: d<br><br />
Stelle die Formel für den Umfang nach d um.|2=Tipp zu b|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 4 - Sachsituationen|Löse die Aufgabe aus den nachfolgenden GeoGebra-Applets. Notiere die Lösung ausführlich und übersichtlich in deinem Heft. |Üben}}<br />
{{h5p-zum|id=13655|height=1000px}}<br />
<small>Applet von Schober</small><br><br />
{{Lösung versteckt|1=Der Weg der Füße entspricht dem Umfang der Erde. Diesen berechnest du mit der Formel u = 2·π·r, wobei der Erdradius r = 6370000m beträgt. <br><br />
Der Radius für den Weg des Kopfes ist 1,5m größer als der Erdradius, also r<sub>2</sub>=6370000+1,5 = 6370001,5(m)|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 5 - Sachsituationen|Wähle aus den Aufgaben aus dem Buch aus, sammle mindestes 6 Sternchen. Notiere die Lösungen übersichtlich. Nutze bei Bedarf die Tipps. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.<br />
* S. 129 Nr. 7 (**)<br />
* S. 130 Nr. 11 (*)<br />
* S. 130 Nr. 12 (*)<br />
* S. 130 Nr. 13 (*)<br />
* S. 130 Nr. 14 (*)<br />
* S. 130 Nr. 15 (**)<br />
* S. 130 Nr. 16 (**)<br />
* S. 130 Nr. 17 (*)|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Verlgeiche mit Übung 4 (Laufen um die Erde).<br><br />
|Tipp zu Nr. 7|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<ggb_applet id="bprvjtx8" width="1080" height="790" border="888888" />|2=Tipp 2 zu Nr. 7 (Hilfsapplet)|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Vergleiche mit der Einstiegsaufgabe.|Tipp zu Nr. 11|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Länge des Metallbandes entspricht dem Umfang des entstehenden Kreises.<br><br />
Lösung: d≈0,95m|2=Tipp zu Nr. 12|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Weg, den das Rad an einem Tag zurücklegt.<br><br />
d=Höhe des Rads = 1,95. Berechne u.<br><br />
Weg des Rads an einem Tag: 6000·u, da sich das Rad 6000 mal dreht.<br><br />
Lösung:36780m|2=Tipp zu Nr. 13|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Umdrehung des Rades entsprich dem Umfang des Rades. 2 Umdrehungen sind also gleich 2·u.<br><br />
Stelle eine Gleichung auf und löse diese nach d auf.<br><br />
Lösung: d=0,16m|2=Tipp zu Nr. 14|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Gleiche Einheiten! Wandle die Geschwindigkeit von 25 km/h in die Einheit cm/s um.<br><br />
25 km/h = 2500000cm/h = <math>\tfrac{2500000cm}{3600s}</math> ≈ 694,4 cm/s.|2=Tipp 1 zu Nr. 15|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne den Umfang des Dynamorädchens.<br><br />
Berechne danach, wie oft dieser Umfang in 694,4 cm (so weit dreht sich das Rad pro Sekunde) passt.<br><br />
Lösung: ca. 110 mal|2=Tipp 2 zu Nr. 15|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Wie viele "Wellen" befinden sich in der Wellblechplatte?<br><br />
2,50m Länge = 250cm (gleiche Einheiten!)<br><br />
250cm : 5cm = 50<br><br />
Diese Wellbelchplatte besteht aus 50 Wellen.|2=Tipp 1 zu Nr. 16|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ursprünglich muss die Platte so lang gewesen sein, dass 50 Wellen daraus zu legen sind:<br><br />
Länge ursprünglich = 50·Umfang eines Halbkreises mit d=5cm<br><br />
= 25·Umfang eines ganzen Kreises mit d=5cm.<br><br />
Länge = 25·π·d=...<br><br />
Lösung: 3,93m|2=Tipp 2 zu Nr. 16|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne den Umfang u des Kraters mit d=24km.<br><br />
Teile diese Strecke auf drei Tage auf.<br />
Lösung: pro Tag ca. 25 km|2=Tipp zu Nr. 17|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 6 - online|Wähle von der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/kreis/kreisumfang.shtml'''Aufgabenfuchs'''] mindestens 3 Aufagben aus und löse diese ausführlich im Heft.<br />
* 9<br />
* 25<br />
* 26<br />
* 29<br />
* 30<br />
* 31<br />
* 32|Üben}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=2 Kreisfläche|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisfläche}}<br />
<br />
<references /></div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs_ZP_10_Mathematik&diff=93229Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik2024-03-22T13:02:41Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]<br />
[[Datei:QR Code ZP 10 Vorbereitungskurs.png|rahmenlos|rechts]]<br />
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}<br />
SEITE IM AUFBAU (Versuch 2022 2023)<br />
<br />
{{Box|Vorbereitung auf die Zentrale Prüfung Mathematik|*Du hast von deiner Mathematiklehrerin einen '''Arbeitsplan''' zur Vorbereitung auf die ZP 10 Mathematik erhalten. Dieser liegt auch im Gruppenordner Mathematik deiner Klasse auf IServ. <br><br />
* Nutze diesen '''Lernpfad''' (mit Videos, online-Übungen und Verweisen auf Übungen aus dem Buch), um die Themen selbständig zu wiederholen.<br />
* Melde dich zum '''Vorbereitungskurs''' an. Die Listen hängen unter dem Vertretungsplan aus. <br />
* Lade die '''Zentralen Prüfungen der letzten drei Jahre '''auf der Seite des Schulministeriums herunter und löse sie. Vergleiche mit den angegebenen Auswertungen. https://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/cms/zentrale-pruefungen-10/pruefungsaufgaben/ |Kurzinfo}}<br />
<br />
<br />
==Vorbereitungskurs Mathematik ZP 10 Mathematik==<br />
Themenübersicht:<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Größen| 1. Zahlen und Größen]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Zuordnungen|2. Zuordnungen und Prozent-und Zinsrechnung]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Gleichungen|3. Terme und Gleichungen (lineare Gleichungen, lineare Gleichungssysteme (LGS) und quadratische Gleichungen)]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Funktionen|4. Funktionen: Lineare Funktionen]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Funktionen Teil2|5. Funktionen: Quadratische Funktionen]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Geometrie|6. Geometrie: Winkel in Figuren; Flächen- und Körperberechnungen; Pythagoras, Strahlensätze, Trigonometrie]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Statistik|7. Diagramme, Statistik]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Wahrscheinlichkeit|8. Wahrscheinlichkeitsrechnung]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Exponentiafunktion|9. Wachstum und Exponentialfunktion]] <br></div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Buss-Haskert/Optik&diff=93199Benutzer:Buss-Haskert/Optik2024-03-20T12:55:32Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}<br />
[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]<br />
[[Datei:QR Code zum Lernpfad Optik (Benutzer- Buss-Haskert).jpg|rechts|rahmenlos|200x200px]]<br />
SEITE IM AUFBAU!<br />
==Wie wir sehen - Optik==<br />
<br />
===1. Was brauchen wir zum Sehen?===<br />
{{Box|Was brauchen wir zum Sehen - Experiment|Versuchsbeschreibung: Verdunkle den Raum vollständig. Beantworte die folgenden Fragen:<br />
* Siehst du noch etwas?<br />
* Dringt wirklich gar kein Licht in den Raum?<br />
* Was brauchen wir zum Sehen?<br />
Beobachtung: Notiere deine Beobachtung in dein Heft. Denke an eine Überschrift.<br><br />
Ergebnis: Beantworte nun die Fragen.|Experimentieren}}<br />
{{Lösung versteckt|Um sehen zu können, benötigen wir eine Lichtquelle und unsere Augen. Die Lichtquelle sendet das Licht, unsere Augen empfangen das Licht, wenn es in die Augen fällt.|Ergebnis|Verbergen.}}<br />
{{LearningApp|app=pxfko3ixa21|width=100%|height=400px}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|Ilaoa5LHsgA|800|center|||start=0&end=160}}<br />
{{#ev:youtube|KuR-88eEizk|800|center|||start=0&end=35}}<br />
<br />
{{Box|Übung: Lichtquellen|Beantworte in der App. ob es sich jeweils um eine Lichtquelle oder um einen beleuchteten Körper handelt.|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=pny5quix221|width=100%|height=400px}}<br />
<br />
<br />
===2. Wie breitet Licht sich aus?===<br />
<br />
{{Box|Wie breitet Licht sich aus - Experimente|1. Experiment: Deine Lehrerin gibt dir ein Stück Gartenschlauch. Wann kannst du etwas dadurch sehen?<br><br />
2. Experiment: Sieb mit Alufolie<br><br />
[[Datei:SV Ausbreitung von Licht Sieb .jpg|rahmenlos]]<br><br />
3. Experiment: Laserpointer mit Kreidestaub<br><br />
[[Datei:SV Ausbreitung von Licht Laserpointer.jpg|rahmenlos]]<br>|Experimentieren}}<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|3s2ZwIHTwTM|420|left}}</div><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|Ilaoa5LHsgA|420|center|||start=160&end=387}}</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=1. Licht breitet sich nach allen Seiten hin aus ('''allseitig''').<br><br />
2. Licht breitet sich '''geradlinig''' aus.<br><br />
3. Wir verwenden als Modell für das Licht Lichtbündel bzw. '''Lichtstrahlen'''.|2=Ergebnis|3=Verbergen}}<br />
{{LearningApp|app=pcv1f472t23|width=100%|height=400px}}<br />
<br />
===3. Körper im Licht (undurchlässig, teilweise durchlässig, durchlässig)===<br />
{{Box|Was geschieht mit Licht, wenn es auf Gegenstände trifft? - Experiment|Material: Netzteil, Experimentierleuchte, Schiene, Klemmschieber, Halterung, weiße Pappe, rote Pappe, schwarze Pappe, Glas, Milchglas, Spiegel<br><br />
Versuchsaufbau: Baue das Experiment wie in der Zeichnung dargestellt auf. Leuchte die verschiedenen quadratischen Platten an und beobachte, was mit dem Raum vor und hinter der Platte geschieht. <br><br />
Wird es heller, dunkler oder geschieht nichts?<br><br />
Was geschieht mit dem Raum hinter der Platte? Gelangt Licht hindurch?<br><br />
Zeichnung:<br><br />
[[Datei:SV Körper im Licht.jpg|rahmenlos]]<br><br />
Beobachtung: Notiere deine Beobachtungen in deinem Heft, denke an eine Überschrift und die Zeichnung.<br><br />
[[Datei:Beobachtung Körper im Licht neu.jpg|rahmenlos]]<br><br />
Ergebnis: Formuliere gemeinsam mit deinen Gruppenmitgliedern ein Ergebnis.|Experimentieren}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beobachtung: <br><br />
Die Körper sind unterschiedlich lichtdurchlässig. Trage passend in die Tabelle ein:<br><br />
{{(!}} class=wikitable<br />
{{!-}}<br />
{{!}} durchsichtig <br />
{{!}} durchscheinend<br />
{{!}} undurchsichtig<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ... <br />
{{!}} ...<br />
{{!}} ...<br />
{{!)}}<br />
|2=Beobachtung|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ergebnis:<br> <br />
{{(!}} class=wikitable<br />
{{!-}}<br />
{{!}} durchsichtig <br />
{{!}} durchscheinend<br />
{{!}} undurchsichtig<br />
{{!-}}<br />
{{!}} Glas <br />
{{!}}dünnes Papier<br />
Milchglas<br />
{{!}} dickes Papier<br />
Spiegel<br />
{{!)}} {{!}}2=Ergebnis {{!}}3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Körper im Licht - Animation|Öffne den Link der Seite leifiphysik.de und erkläre die Simulationen.<br />
* [https://www.leifiphysik.de/optik/lichtausbreitung/grundwissen/stoffverhalten Stoffverhalten]<br />
|Download}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|Ilaoa5LHsgA|800|center|||start=387&end=462}}<br />
<br />
Und wie geht es jetzt weiter? Wir untersuchen an der HLR in der 5. Klasse, was geschieht, wenn undurchsichtige Körper und Spiegel im Licht sind. In der 7. Klasse experimentieren in mit durchsichtigen Körpern im Licht.<br><br />
[[Datei:Körper im Licht Vorgehen.jpg|rahmenlos|center|600x600px]]<br />
<br />
===4. Schatten===<br />
{{#ev:youtube|ljEOxXbff2c|800|center}}<br />
====4.1 Wie entstehen Schatten====<br />
{{Box|Wie entsteht Schatten - Experiment|Material: 1 Teelicht, 1 Streichholzschachtel, 1 weißes DIN A4 Blatt<br><br />
Aufbau: Falte das DIN A4 Blatt dreimal längs, so dass daraus ein Schirm entsteht (Zeichnung unten). Stelle dann die Streichholzschachtel (Schattenkörper) ca. 20cm entfernt auf und noch einmal 20cm entfernt von der Streichholzschachtel das Teelicht.<br><br />
Durchführung: 1. Das Teelicht wird angezündet. Was siehst du? Was ist vom Blatt aus zu sehen?<br><br />
Zeichnung: <br><br />
[[Datei:SV Wie entsteht Schatten 1.jpg|rahmenlos]]<br><br />
Beobachtung: Notiere die Beobachtung deiner Gruppe in dein Heft.<br><br />
2. Schiebe nun das Teelicht langsam näher an die Schachtel heran. Was beobachtest du?<bR><br />
Zeichnung: <br><br />
[[Datei:SV Wie entsteht Schatten 2.jpg|rahmenlos]]<br><br />
Beobachtung: Notiere die Beobachtung deiner Gruppe in dein Heft.<br><br />
|Experimentieren}}<br />
Die Learningapp unten fasst die Beobachtungen in einer Zeichnung zusammen. Übertrage diese in dein Heft.<br />
{{#ev:youtube|KuR-88eEizk|800|center|||start=35&end=130}}<br />
<br />
{{LearningApp|app=18602238|width=100%|height=600px}}<br />
<br />
====4.2 Kern- und Halbschatten====<br />
{{Box|Wie entsteht Kern- und Halbschatten - Experiment|Material: 2 Teelichter, 1 Streichholzschachtel, 1 weißes DIN A4 Blatt<br><br />
Aufbau: Falte das DIN A4 Blatt dreimal längs, so dass daraus ein Schirm entsteht. Stelle dann die Streichholzschachtel (Schattenkörper) ca. 20cm entfernt auf.<br><br />
3. Stelle nun beide Teelichter ca. 20cm entfernt von der Schachtel auf, der Abstand zwischen den Teelichtern soll ca. 10cm betragen. Was beobachtest du nun?<br><br />
Schiebe die Kerzen langsam näher zusammen. Was geschieht?<br><br />
Zeichnung: <br><br />
[[Datei:SV Wie entsteht Schatten 3.jpg|rahmenlos]]<br><br />
Beobachtung: Notiere die Beobachtung deiner Gruppe in dein Heft.<br><br />
|Experimentieren}}<br />
{{Lösung versteckt|Tipp: Wie viele Schatten entstehen? Sind alle gleich dunkel?|Tipp zur Beobachtung|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Beobachtung:<br><br />
Fotos zum Experiment|Beobachtung (Fotos)|Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{#ev:youtube|KuR-88eEizk|800|center|||start=130&end=207}}<br />
<br />
{{LearningApp|app=2018494|width=100%|height=600px}}<br />
<br />
{{Box|Aufgaben|Löse die Aufgaben auf der Seite leifiphysik zum Thema Schatten. Die Aufgaben sind hier verlinkt:<br><br />
*[https://www.leifiphysik.de/optik/lichtausbreitung/aufgabe/hier-ist-was-faul Aufgabe 1 Hier ist etwas faul]<br />
* [https://www.leifiphysik.de/optik/lichtausbreitung/aufgabe/ameise-im-schatten Aufgabe 2 Ameise im Schatten]<br />
* [https://www.leifiphysik.de/optik/lichtausbreitung/aufgabe/quiz-zu-schatten Quiz zum Thema Schatten]<br />
|Üben}}<br />
<br />
====4.3 Tag und Nacht====<br />
<br />
{{Box|Info - Warum gibt es Tag und Nacht|Schau auf der Seite planet-schule das Video zur Frage: "Warum gibt es Tag und Nacht" an.<br />
|Kurzinfo}}<br />
{{#ev:youtube|dDJ8dFNzGFA|800|center}}<br />
Möchtest du noch mehr Informationen, dann schau auch das nächste Video aus der Bibliothek der Sachgeschichten an.<br><br />
{{#ev:youtube|nNNbwKHQgGY|800|center|||start=53&end=1440}}<br />
<br />
{{Box|Quiz - Warum gibt es Tag und Nacht|Beantworte die 6 Quizfragen auf der Seite planet-schule. Scrolle dazu nach unten auf die Seite.<br />
* [https://www.planet-schule.de/frage-trifft-antwort/quizdetails/warum-gibt-es-tag-und-nacht.html '''Link zum Quiz''']|Üben}}<br />
<br />
====4.4 Mondphasen====<br />
{{#ev:youtube|nNNbwKHQgGY|800|center|||start=1480&end=2300}}<br />
{{#ev:youtube|wHHYBkCOdXw|800|center}}<br />
<br />
====4.5 Mond- und Sonnenfinsternis====<br />
{{Box|Mondfinsternis|Bei einer Mondfinsternis befindet sich die Erde zwischen der Sonne und dem Mond, so dass sich der Mond im Kernschatten der Erde befindet: Sonne - Erde - Mond<br><br />
Eine Mondfinsternis tritt also immer nur bei Vollmond auf.|Kurzinfo}}<br />
Schau die nachfolgenden Videos zur Erklärung an:<br><br />
{{#ev:youtube|WTdnpFlUOtU|800|center}}<br />
{{#ev:youtube|RuTuefZC45Q|800|center|||start=200&end=242}}<br />
{{Box|Mondfinsternis - Teste dein Wissen|Teste dein Wissen in der nachfolgenden LearningApp und mit dem Quiz auf der Seite leifiphysik.<br />
* [https://www.leifiphysik.de/astronomie/astronomie-einfuehrung/aufgabe/quiz-zur-mondfinsternis Link zum Quiz - Mondfinsternis]| Üben}}<br />
{{LearningApp|app=689687|width=100%|height=600px}}<br />
<br />
{{Box|Sonnenfinsternis|Bei einer Sonnenfinsternis befindet sich der Mond zwischen der Sonne und der Erde, so dass sich die Erde im Kernschatten des Mondes befindet: Sonne - Mond - Erde<br><br />
Im Kernschatten des Mondes befindet sich immer nur ein kleiner Teil der Erde.|Kurzinfo}}<br />
Schau die nachfolgenden Videos zur Erklärung an:<br><br />
{{#ev:youtube|pxWb10AZ-NA|800|center}}<br />
{{#ev:youtube|kwhMmBWmKIo|800|center}}<br />
{{#ev:youtube|I5Ui2mxUvC8|800|center}}<br />
{{Box|Sonnenfinsternis - Teste dein Wissen|Teste dein Wissen im nachfolgenden Quiz und im Quiz auf der Seite leifiphysik.<br />
* [https://www.leifiphysik.de/astronomie/astronomie-einfuehrung/aufgabe/quiz-zur-sonnenfinsternis Link zum Quiz - Sonnenfinsternis]|Üben}}<br />
{{h5p-zum|id=24764|height=600px}}<br />
===5. Reflexion von Licht===<br />
===6. Wie sehen wir? - Unser Auge===<br />
Linktipp zum Film Löwenzahn: https://www.zdf.de/kinder/loewenzahn/optik-102.html<br />
(Aufbau des Auges, Brille,...)</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Gleichungen_mit_Klammern&diff=93198Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Gleichungen mit Klammern2024-03-19T21:17:08Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div><br />
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}<br />
<br><br />
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen|Gleichungen - Halte die Waage im Gleichgewicht]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Was ist eine Gleichung|1.1) Was ist eine Gleichung]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Was ist eine Gleichung|1.2) Gleichungen lösen durch Probieren]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Gleichungen lösen|2) Gleichungen lösen durch Umformen]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Gleichungen mit Klammern|3) Gleichungen mit Klammern]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Anwendungsaufgaben|4) Anwendungsaufgaben]]}}<br />
<br><br />
==Gleichungen mit Klammern lösen==<br />
<br />
Vor der Klammer kann ein + Zeichen, ein - Zeichen oder ein Malzeichen stehen. Wiederhole, wie du jeweils die Klammer auflösen kannst.<br><br />
{{Box|Pluszeichen vor der Klammer|Steht in einer Summe oder Differenz ein Pluszeichen vor der Klammer, kannst du die Klammer einfach weglassen. Die Rechenzeichen im Term ändern sich nicht.<br><br />
Merke dir als Bild den lachenden Smiley &#127773;, denn diese Klammer aufzulösen ist sehr leicht!|Arbeitsmethode}}<br />
Beispiele: <br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;2a <span style="color:red">'''+'''</span> (3b + 4a) &nbsp;&nbsp;&#124;&#127773; Klammer auflösen (weglassen)<br><br />
= 2a + 3b + 4a &nbsp;&nbsp;&#124;gleichartige Terme zusammenfassen<br><br />
= 6a + 3b <br><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;-4x <span style="color:red">'''+'''</span> (2y - 6x) &nbsp;&nbsp;&#124;&#127773; Klammer auflösen (weglassen)<br><br />
= -4x + 2y - 6x &nbsp;&nbsp;&#124;gleichartige Terme zusammenfassen<br><br />
= -10x + 2y<br />
</div><br />
</div><br />
{{Box|Minuszeichen vor der Klammer|Steht in einer Summe oder Differenz ein Minuszeichen vor der Klammer, kannst du die Klammer auflösen, indem du die Rechenzeichen umdrehst:<br><br />
aus + wird - <br><br />
aus - wird + <br><br />
Merke dir als Bild den Blitz [[Datei:Flash-1015467 1920.jpg|rahmenlos|40px]], denn wenn du diese Klammer auflöst, musst du aufpassen!|Arbeitsmethode}}<br />
Beispiele: <br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;5a <span style="color:red">'''-'''</span> (6b + 7a) &nbsp;&nbsp;&#124;[[Datei:Flash-1015467 1920.jpg|rahmenlos|40px]]Klammer auflösen <small>(Zeichen umkehren)</small><br><br />
= 5a - 6b - 7a &nbsp;&nbsp;&#124;gleichartige Terme zusammenfassen<br><br />
= -2a - 6b <br><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;8x <span style="color:red">'''-'''</span> (-9y - 4x) &nbsp;&nbsp;&#124;[[Datei:Flash-1015467 1920.jpg|rahmenlos|40px]]Klammer auflösen <small>(Zeichen umkehren)</small><br><br />
= 8x + 9y + 4x &nbsp;&nbsp;&#124;gleichartige Terme zusammenfassen<br><br />
= 12x + 9y<br />
</div><br />
</div><br />
<br><br />
{{Box|1=Malzeichen vor der Klammer - Verteilungsgesetz (Distributivgesetz)|2=Steht in einer Summe oder Differenz ein Malzeichen vor der Klammer, löst du die Klammer auf, indem du jeden Summanden in der Klammer mit dem Faktor multiplizierst.<br><br />
Merke dir als Bild die Hände [[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]], denn wenn du diese Klammer auflöst, musst der Faktor jedem Summanden "die Hand geben".<br><br />
[[Datei:Rechteck Distributivgesetz allgemein.png|links|rahmenlos]]<br><br />
a <span style="color:red">'''∙'''</span> (b + c) = a ∙ b + a ∙ c|3=Arbeitsmethode}}<br />
Beispiele: <br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;2a <span style="color:red">'''∙'''</span> (6b + 7a) &nbsp;&nbsp;&#124;[[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]]Klammer auflösen <small>("Jedem die Hand geben"</small>)<br><br />
= 2a ∙ 6b + 2a ∙ 7a &nbsp;&nbsp;&#124;Terme multiplizieren<br><br />
= 12ab + 14a² <br><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;5x <span style="color:red">'''∙'''</span> (7y - 8x) &nbsp;&nbsp;&#124;[[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]]Klammer auflösen <small>("Jedem die Hand geben")</small><br><br />
= 5x ∙ 7y - 5x ∙ 8x &nbsp;&nbsp;&#124;Terme multiplizieren<br><br />
= 35xy - 40x²<br />
</div><br />
</div><br />
<br><br />
Übe das Auflösen von Klammern mithilfe der nachfolgenden LearningApp.<br />
{{LearningApp|app=p2jiuspft20|width=100%|height=600px}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Gleichungen mit Klammern lösen|Gleichungen mit Klammern werden auch schrittweise gelöst.<br><br />
Führe dazu zunächst Termumformungen auf beiden Seiten der Gleichung durch:<br><br />
1. Löse die Klammern auf. (Denke an die entsprechenden Symbole: Smiley, Blitz, Hände)<br><br />
2. Fasse die Terme auf beiden Seiten der Gleichung so weit wie möglich zusammen.<br><br />
Löse anschließend die Gleichung schrittweise, wie geübt.|Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 14: Gleichungen mit Klammern lösen|2=Bearbeite auf der Seite realmath die nachfolgenden Übungen<br />
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/gleichungen/gleichungvar1a.php Übung 1]<br />
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/gleichungen/gleichung.php Übung 2 (Löse nur die ersten 5 Aufgaben)]<br />
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/gleichungen/gleichung2.php Übung 3 (Löse nur die ersten 5 Aufgaben)]<br />
|3=Üben}}<br />
<br />
{{Box|Übung 15|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe hinter den Kommandostrich das Symbol zum Auflösen der Klammer. Löse anschließend die Klammer auf, fasse zusammen und löse die Gleichung. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.<br />
* S. 120 Nr. 1<br />
* S. 120 Nr. 2<br />
* S. 121 Nr. 3<br />
* S. 121 Nr. 4|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Lösungen (unsortiert):<br><br />
-12; -6; -6; -3; 1; 2; 3; 3; 6; 6|Lösungen zu Nr. 1 und 2|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beispiel:<br><br />
(4-5x)+(10+6x) = 8 &nbsp;&nbsp;&#124;&#127773; Klammer auflösen (weglassen)<br><br />
4-5x+10+6x = 8 &nbsp;&nbsp;&#124; sortieren<br><br />
-5x+6x+4+10 = 8 &nbsp;&nbsp;&#124; zusammenfassen<br><br />
x+14 = 8 &nbsp;&nbsp;&#124; -14<br><br />
x = -6<br><br />
Probe:<br><br />
(4-5·(-6))+(10+6·(-6)) = 8 <br><br />
(4 + 30) + (10 - 36) = 8<br><br />
34 - 26 = 8<br><br />
8 = 8 (w)|2=ausführliche Lösung zu Nr. 1a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beispiel:<br><br />
(x+6)·8 = 32x &nbsp;&nbsp;&#124;[[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]]Klammer auflösen <small>("Jedem die Hand geben"</small>)<br><br />
8·x + 8·6 = 32x<br><br />
8x + 48 = 32x &nbsp;&nbsp;&#124;-8x<br><br />
48 = 24x &nbsp;&nbsp;&#124; :24<br><br />
2 = x<br><br />
Probe:<br><br />
(2+6)·8 = 32·2<br><br />
8·8 = 64<br><br />
64 = 64 (w)|2=ausführliche Lösung zu Nr. 2a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Lösungen (unsortiert):<br><br />
-2; -2; <math>\tfrac{1}{2}</math>; 1; 1,5; 3; 6; 6; 9|Lösungen zu Nr. 4|Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 16|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/gleichung/gleichung-mit-einer-unbekannten.shtml '''Aufgabenfuchs'''] mindestens 5 Aufgaben. Wähle aus.<br />
* Nr. 31 - 38|Üben}}<br />
{{Box|Übung 17|Finde den Fehler! Schreibe die Aufgabe korrigiert in dein Heft.<br />
* S. 121 Nr. 9|Üben}}<br />
<br><br />
{{Fortsetzung|weiter=4) Anwendungsaufgaben|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Anwendungsaufgaben}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Gleichungen_mit_Klammern&diff=93125Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Gleichungen mit Klammern2024-03-19T08:55:51Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div><br />
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}<br />
<br><br />
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen|Gleichungen - Halte die Waage im Gleichgewicht]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Was ist eine Gleichung|1.1) Was ist eine Gleichung]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Was ist eine Gleichung|1.2) Gleichungen lösen durch Probieren]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Gleichungen lösen|2) Gleichungen lösen durch Umformen]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Gleichungen mit Klammern|3) Gleichungen mit Klammern]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Anwendungsaufgaben|4) Anwendungsaufgaben]]}}<br />
<br><br />
==Gleichungen mit Klammern lösen==<br />
<br />
Vor der Klammer kann ein + Zeichen, ein - Zeichen oder ein Malzeichen stehen. Wiederhole, wie du jeweils die Klammer auflösen kannst.<br><br />
{{Box|Pluszeichen vor der Klammer|Steht in einer Summe oder Differenz ein Pluszeichen vor der Klammer, kannst du die Klammer einfach weglassen. Die Rechenzeichen im Term ändern sich nicht.<br><br />
Merke dir als Bild den lachenden Smiley &#127773;, denn diese Klammer aufzulösen ist sehr leicht!|Arbeitsmethode}}<br />
Beispiele: <br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;2a <span style="color:red">'''+'''</span> (3b + 4a) &nbsp;&nbsp;&#124;&#127773; Klammer auflösen (weglassen)<br><br />
= 2a + 3b + 4a &nbsp;&nbsp;&#124;gleichartige Terme zusammenfassen<br><br />
= 6a + 3b <br><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;-4x <span style="color:red">'''+'''</span> (2y - 6x) &nbsp;&nbsp;&#124;&#127773; Klammer auflösen (weglassen)<br><br />
= -4x + 2y - 6x &nbsp;&nbsp;&#124;gleichartige Terme zusammenfassen<br><br />
= -10x + 2y<br />
</div><br />
</div><br />
{{Box|Minuszeichen vor der Klammer|Steht in einer Summe oder Differenz ein Minuszeichen vor der Klammer, kannst du die Klammer auflösen, indem du die Rechenzeichen umdrehst:<br><br />
aus + wird - <br><br />
aus - wird + <br><br />
Merke dir als Bild den Blitz [[Datei:Flash-1015467 1920.jpg|rahmenlos|40px]], denn wenn du diese Klammer auflöst, musst du aufpassen!|Arbeitsmethode}}<br />
Beispiele: <br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;5a <span style="color:red">'''-'''</span> (6b + 7a) &nbsp;&nbsp;&#124;[[Datei:Flash-1015467 1920.jpg|rahmenlos|40px]]Klammer auflösen <small>(Zeichen umkehren)</small><br><br />
= 5a - 6b - 7a &nbsp;&nbsp;&#124;gleichartige Terme zusammenfassen<br><br />
= -2a - 6b <br><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;8x <span style="color:red">'''-'''</span> (-9y - 4x) &nbsp;&nbsp;&#124;[[Datei:Flash-1015467 1920.jpg|rahmenlos|40px]]Klammer auflösen <small>(Zeichen umkehren)</small><br><br />
= 8x + 9y + 4x &nbsp;&nbsp;&#124;gleichartige Terme zusammenfassen<br><br />
= 12x + 9y<br />
</div><br />
</div><br />
<br><br />
{{Box|1=Malzeichen vor der Klammer - Verteilungsgesetz (Distributivgesetz)|2=Steht in einer Summe oder Differenz ein Malzeichen vor der Klammer, löst du die Klammer auf, indem du jeden Summanden in der Klammer mit dem Faktor multiplizierst.<br><br />
Merke dir als Bild die Hände [[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]], denn wenn du diese Klammer auflöst, musst der Faktor jedem Summanden "die Hand geben".<br><br />
[[Datei:Rechteck Distributivgesetz allgemein.png|links|rahmenlos]]<br><br />
a <span style="color:red">'''∙'''</span> (b + c) = a ∙ b + a ∙ c|3=Arbeitsmethode}}<br />
Beispiele: <br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;2a <span style="color:red">'''∙'''</span> (6b + 7a) &nbsp;&nbsp;&#124;[[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]]Klammer auflösen <small>("Jedem die Hand geben"</small>)<br><br />
= 2a ∙ 6b + 2a ∙ 7a &nbsp;&nbsp;&#124;Terme multiplizieren<br><br />
= 12ab + 14a² <br><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;5x <span style="color:red">'''∙'''</span> (7y - 8x) &nbsp;&nbsp;&#124;[[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]]Klammer auflösen <small>("Jedem die Hand geben")</small><br><br />
= 5x ∙ 7y - 5x ∙ 8x &nbsp;&nbsp;&#124;Terme multiplizieren<br><br />
= 35xy - 40x²<br />
</div><br />
</div><br />
<br><br />
Übe das Auflösen von Klammern mithilfe der nachfolgenden LearningApp.<br />
{{LearningApp|app=p2jiuspft20|width=100%|height=600px}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Gleichungen mit Klammern lösen|Gleichungen mit Klammern werden auch schrittweise gelöst.<br><br />
Führe dazu zunächst Termumformungen auf beiden Seiten der Gleichung durch:<br><br />
1. Löse die Klammern auf. (Denke an die entsprechenden Symbole: Smiley, Blitz, Hände)<br><br />
2. Fasse die Terme auf beiden Seiten der Gleichung so weit wie möglich zusammen.<br><br />
Löse anschließend die Gleichung schrittweise, wie geübt.|Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 14: Gleichungen mit Klammern lösen|2=Bearbeite auf der Seite realmath die nachfolgenden Übungen<br />
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/gleichungen/gleichungvar1a.php Übung 1]<br />
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/gleichungen/gleichung.php Übung 2 (Löse nur die ersten 5 Aufgaben)]<br />
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/gleichungen/gleichung2.php Übung 3 (Löse nur die ersten 5 Aufgaben)]<br />
|3=Üben}}<br />
<br />
{{Box|Übung 15|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe hinter den Kommandostrich das Symbol zum Auflösen der Klammer. Löse anschließend die Klammer auf, fasse zusammen und löse die Gleichung. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.<br />
* S. 120 Nr. 1<br />
* S. 120 Nr. 2<br />
* S. 121 Nr. 3<br />
* S. 121 Nr. 4|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Lösungen (unsortiert):<br><br />
-12; -6; -6; -3; 1; 2; 3; 3; 6; 6|Lösungen zu Nr. 1 und 2|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beispiel:<br><br />
(4-5x)+(10+6x) = 8 &nbsp;&nbsp;&#124;&#127773; Klammer auflösen (weglassen)<br><br />
4-5x+10+6x = 8 &nbsp;&nbsp;&#124; sortieren<br><br />
-5x+6x+4+10 = 8 &nbsp;&nbsp;&#124; zusammenfassen<br><br />
x+14 = 8 &nbsp;&nbsp;&#124; -14<br><br />
x = -6<br><br />
Probe:<br><br />
(4-5·(-6))+(10+6·(-6)) = 8 <br><br />
(4 + 30) + (10 - 36) = 8<br><br />
34 - 26 = 8<br><br />
8 = 8 (w)|2=ausführliche Lösung zu Nr. 1a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beispiel:<br><br />
(x+6)·8 = 32x &nbsp;&nbsp;&#124;[[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]]Klammer auflösen <small>("Jedem die Hand geben"</small>)<br><br />
8·x + 8·6 = 32x<br><br />
8x + 48 = 32x &nbsp;&nbsp;&#124;-8x<br><br />
48 = 24x &nbsp;&nbsp;&#124; :24<br><br />
2 = x<br><br />
Probe:<br><br />
(2+6)·8 = 32·2<br><br />
8·8 = 64<br><br />
64 = 64 (w)|2=ausführliche Lösung zu Nr. 2a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Lösungen (unsortiert):<br><br />
-2; -2; <math>\tfrac{1}{2}</math>; 1; 1,5; 3; 6; 6; 9|Lösungen zu Nr. 4|Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 3|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/gleichung/gleichung-mit-einer-unbekannten.shtml '''Aufgabenfuchs'''] mindestens 5 Aufgaben. Wähle aus.<br />
* Nr. 31 - 38|Üben}}<br />
{{Box|Übung 4|Finde den Fehler! Schreibe die Aufgabe korrigiert in dein Heft.<br />
* S. 121 Nr. 9|Üben}}<br />
<br><br />
{{Fortsetzung|weiter=4) Anwendungsaufgaben|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Anwendungsaufgaben}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen_in_allgemeinen_Dreiecken&diff=93107Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken2024-03-18T11:17:45Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}<br />
<br><br />
[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]<br />
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie|Startseite (Vorwissen)]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinus,Kosinus,Tangens|1) Sinus, Kosinus, Tangens]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken|2) Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken|3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren|4) Berechnungen in beliebigen Figuren]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinusfunktion|5) Sinusfunktion und Kosinusfunktion]]}}<br />
<br><br />
<br />
==3 Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken==<br />
<br />
Die Seitenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tanges gelten nur für rechtwinklige Dreiecke.<br />
[[Datei:Idee Flipchart.png|rechts|rahmenlos|200px]]Um in allgemeinen Dreiecken Strecken und Winkel berechnen zu können, zerlege das Dreieck mithilfe einer '''Höhe''' in zwei '''rechtwinklige''' Dreiecke.<br />
<br />
{{Box|Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken|'''Zerlege''' das allgemeine Dreieck in zwei '''rechtwinklige''' Dreiecke. Zeichne dazu eine geeignete '''Höhe h''' ein.<br><br />
Berechne dann mithilfe von Sinus, Kosinus und Tagens die fehlenden Strecken in den rechtwinkligen Teildreiecken.<br><br />
Übertrage die Beispiele in dein Heft (Skizze und Rechnungen)|Arbeitsmethode}}<br />
===3.1 Beispiel 1: Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben===<br />
<br><br />
'''1. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>a</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1.3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme γ:<br><br />
Winkelsummensatz<br><br />
γ = 180° - α - β<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 76°<br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Berechne h<sub>a</sub>:<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · sin β = h<sub>a</sub> <br><br />
8,5 · sin(42°) = h<sub>a</sub> <br><br />
5,7 (cm) ≈ h<sub>a</sub> </div><br />
<div class="width-1-3">③ Berechne b:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br><br />
b · sin γ = h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124; : sin γ<br><br />
b = <math>\tfrac{h_a}{sin\gamma}</math> <br><br />
b = <math>\tfrac{\text{5,7}}{\text{sin(76°)}}</math> <br><br />
b ≈ 5,9 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">Berechne a:<br><br />
④ Berechne a<sub>1</sub>:<br><br />
cos β = <math>\tfrac{a_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · cos β = a<sub>1</sub><br><br />
8,5 · cos (42°) = a<sub>1</sub><br><br />
6,3 (cm) <math>\approx</math>a<sub>1</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑤ Berechne a<sub>2</sub>:<br />
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br><br />
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br><br />
5,9 · cos (76°) = a<sub>2</sub><br><br />
1,4 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Berechne a:<br><br />
a = a<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 6,3 + 1,4 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 7,7 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
'''2. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>b</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1.4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">① Bestimme γ:<br><br />
Winkelsummensatz<br><br />
γ = 180° - α - β<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 76°<br></div><br />
<div class="width-1-3">② Berechne h<sub>b</sub>: <br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · sin α = h<sub>b</sub> <br><br />
8,5 · sin(62°) = h<sub>b</sub> <br><br />
7,5 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> </div><br />
<div class="width-1-3">③ Berechne a:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br><br />
a · sin γ = h<sub>b</sub> &nbsp;&nbsp;&#124; : sin γ<br><br />
a = <math>\tfrac{h_b}{sin\gamma}</math> <br><br />
a = <math>\tfrac{\text{7,5}}{\text{sin(76°)}}</math> <br><br />
a <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">Berechne b:<br><br />
④ Berechne b<sub>1</sub>:<br><br />
cos α = <math>\tfrac{b_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · cos α = b<sub>1</sub><br><br />
8,5 · cos (62°) = b<sub>1</sub><br><br />
4,0 (cm) <math>\approx</math>b<sub>1</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑤ Berechne b<sub>2</sub>:<br><br />
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br><br />
a · cos γ = b<sub>2</sub> <br><br />
7,7 · cos (76°) = b<sub>2</sub><br><br />
1,9 (cm) <math>\approx</math> b<sub>2</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Berechne b:<br><br />
b = b<sub>1</sub> + b<sub>2</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 4,0 + 1,9 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 5,9 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
===3.2 Beispiel 2: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben===<br />
<br><br />
'''1. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>a</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>a</sub>:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · sin γ = h<sub>a</sub> <br><br />
5,8 · sin(65°) = h<sub>a</sub><br><br />
5,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>a</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme a<sub>2</sub><br><br />
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br><br />
5,8 · cos(65°) = a<sub>2</sub><br><br />
2,5 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme a<sub>1</sub><br><br />
a – a<sub>2</sub>= a<sub>1</sub> <br><br />
8,2 - 2,5 = a<sub>1</sub> <br><br />
5,7 (cm) = a<sub>1</sub><br> </div><br />
</div> <br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme β<br><br />
tan β = <math>\tfrac{h_a}{a_1}</math><br><br />
tan β = <math>\tfrac{5,2}{5,7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br><br />
β <math>\approx</math> 42,4°<br></div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme c<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br><br />
c · sin β = h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin β<br><br />
c = <math>\tfrac{h_a}{sin\beta}</math><br><br />
c = <math>\tfrac{\text{5,2}}{\text{sin (42,4°)}}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm) <br>ODER:<br> <br />
c² = <math>h_a^2 + a_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c= <math>\sqrt{h_a^2 + a_1^2}</math><br><br />
c = <math>\sqrt{5,2^2 + 5,7^2}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br />
</div> <br />
<div class="width-1-3"><br />
⑥ Bestimme den letzten Winkel α <br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- β; -γ<br><br />
α = 180° - β - γ <br><br />
α = 180° - 42,4° - 65°<br><br />
α = 72,6°<br />
<br></div><br />
</div><br />
<br />
<br />
'''2. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>b</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3.2 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>b</sub>:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br><br />
a · sin γ = h<sub>b</sub> <br><br />
8,2 · sin(65°) = h<sub>b</sub><br><br />
7,4 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme b<sub>2</sub><br><br />
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br><br />
a · cos γ = b<sub>2</sub> <br><br />
8,2 · cos(65°) = b<sub>2</sub><br><br />
3,5 (cm) <math>\approx</math> b<sub>2</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme b<sub>1</sub><br><br />
b – b<sub>2</sub>= b<sub>1</sub> <br><br />
5,8 - 3,5 = b<sub>1</sub> <br><br />
2,3 (cm) = b<sub>1</sub><br> </div><br />
</div> <br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme α<br><br />
tan α = <math>\tfrac{h_b}{b_1}</math><br><br />
tan α = <math>\tfrac{7,4}{2,3}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br><br />
α <math>\approx</math> 72,7°<br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme c<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br><br />
c · sin α = h<sub>b</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin α<br><br />
c = <math>\tfrac{h_b}{sin\alpha}</math><br><br />
c = <math>\tfrac{\text{7,4}}{\text{sin (72,7°)}}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,8 (cm) <br><br />
ODER:<br> <br />
c² = <math>h_b^2 + b_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c= <math>\sqrt{h_b^2 + b_1^2}</math><br><br />
c = <math>\sqrt{7,4^2 + 2,3^2}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br />
</div> <br />
<div class="width-1-3"><br />
⑥ Bestimme den letzten Winkel β <br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- α; -γ<br><br />
β = 180° - α - γ <br><br />
β= 180° - 72,7° - 65°<br><br />
β = 42,3°</div><br />
</div><br><br />
<br><br />
Du merkst, es kommt zu Rundungsungenauigkeiten.<br><br />
<br />
===3.3 Beispiel 3: Zwei Seiten und ein anliegender Winkel sind gegeben===<br />
Erkläre, warum es hier nur '''eine Möglichkeit''' gibt, das Dreieck zu zerlegen: die '''Höhe h<sub>c</sub>''' .<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 4.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>c</sub>:<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · sin α = h<sub>c</sub> <br><br />
10,5 · sin(37°) = h<sub>c</sub><br><br />
6,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>c</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme c<sub>1</sub><br><br />
cos α = <math>\tfrac{c_1}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · cos α = c<sub>1</sub> <br><br />
10,5 · cos(37°) = c<sub>1</sub><br><br />
8,4 (cm) <math>\approx</math> c<sub>1</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme c<sub>2</sub><br><br />
<math>h_c^2 + c_2^2</math> = a² &nbsp;&nbsp;&#124;-<math>h_c^2 </math><br><br />
<math>c_2^2</math> = a² - <math>h_c^2</math>&nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c<sub>2</sub>= <math>\sqrt{a^2 - h_c^2}</math><br><br />
c<sub>2</sub> = <math>\sqrt{7^2 - 6,3^2}</math><br><br />
c<sub>2</sub> <math>\approx</math> 3,1 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<br><br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme c:<br><br />
c = c<sub>1</sub> + c<sub>2</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = 8,4 + 3,1<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 11,5 (cm)</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme β<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_c}{a}</math><br><br />
sin β = <math>\tfrac{6,3}{7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;sin<sup>-1</sup><br><br />
β <math>\approx</math> 64,2°</div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Bestimme den letzten Winkel γ<br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- α; -β<br><br />
γ = 180° - β - α<br><br />
γ= 180° - 37° - 64,2°<br><br />
γ = 78,8°</div><br />
</div><br />
<br />
<br><br />
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:<br><br />
{{#ev:youtube|bEMu4A19HXI|800|center}}<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Übung 1 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.<br />
* 45<br />
* 46|Üben}}<br />
{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizze in dein Heft und zerlege das allgemeine Dreieck durch eine geeignete Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke. Bestimme dann die fehlenden Größen.<br />
* S. 99 Nr. 1<br />
* S. 99 Nr. 2<br />
* S. 99 Nr. 4<br />
* S. 100 Nr. 6|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 2. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben.|Tipp zu Nr. 1|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 1. Beispiel, es sind eine Seite und zwei Winkel gegeben.|Tipp zu Nr. 2|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 3. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein anliegender Winkel gegeben|Tipp zu Nr. 4|Verbergen}}<br />
<br />
===3.4 Anwendungsaufgaben===<br />
{{Box|Übung 3 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.<br />
* 47<br />
* 48|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann den fehlenden Winkel, die Länge der entsprechenden Höhe und die Längen der Seiten a und b.<br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 63.png|rahmenlos]]<br><br />
[[Datei:Skizze 2 zu Nr. 63.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze 3 zu Nr. 63.png|rahmenlos]]<br><br />
Prüfe deine Lösungen auf der Seite Aufgabenfuchs.|Tipp zu Nr. 47|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann schrittweise die fehlenden Größen.<br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 64.png|rahmenlos]] <br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 64 1.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze zu Nr. 64 2.png|rahmenlos]]<br><br />
Prüfe dein Ergebnis auf der Seite Aufgabenfuchs.|Tipp zu Nr. 48|Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 4|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizzen in dein Heft und löse schrittweise. Notiere vollständig und übersichtlich.<br />
* S. 99 Nr. 5<br />
* S. 100 Nr. 7<br />
* S. 100 Nr. 8|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Erstelle eine Skizze zur Aufgabe und beschrifte sie vollständig.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 99 Nr. 5.png|rahmenlos]]<br><br />
Zerlege das Dreieck durch eine Höhe in zwei rechtwinklige Teildreiecke.<br><br />
[[Datei:Skizze 1 zu S. 99 Nr. 5.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze 2 zu S. 99 Nr. 5 neu.png|rahmenlos]]<br><br />
Lösung: c= 2,535; a = 1,757|2=Tipp zu Nr. 5|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Dachfläche besteht aus 4 Dreiecksflächen. Bestimme also die Fläche eines Dreiecks und multipliziere diesen Flächeninhalt mit 4. Die Skizze hilft dir bei der Bestimmung der nötigen Größen. (A<sub>Dreieck</sub>= <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math>)<br><br />
[[Datei:S. 100 Nr. 7 Skizze.png|rahmenlos]]<br><br />
Zwischenlösung: h<sub>c</sub>=14,42m; c=10,78m|2=Tipp zu Nr. 7|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Erstelle eine Skizze zur Aufgabe:<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8.png|rahmenlos]]<br><br />
Gesucht sind hier nun a und d.|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte das linke Dreieck ABL. Zerlege es in rechtwinklige Teildreiecke (ohne die gegebene Seite c zu teilen). Die Skizze hilft dir für deinen Lösungsplan.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8a.png|rahmenlos]]<br><br />
Bestimme h<sub>a</sub>, δ<sub>1</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a.<br><br />
(Lösung: a=3,63 sm)|2=Tipp zu 8a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte zur Lösung das linke Dreieck BCL. Gegeben ist nun auch aus Teil a) die Länge der Strecke a = 3,63 sm. Berechne den Nebenwinkel β<sub>2</sub> von β und den Winkel δ<sub>2</sub> mihilfe der Winkelsumme. Zerlege auch dieses Dreieck wieder in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Die Skizze hilft dir, die nötigen Rechenschritte zu planen.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8b.png|rahmenlos]]<br><br />
(Lösung: h<sub>e</sub> = 1,92 sm; d = 3,51 sm)|2=Tipp zu 8b|3=Verbergen}}<br />
<br />
====Zwischentest 4: Anwendung in einem beliebigen Dreieck====<br />
<quiz display="simple"><br />
{Im Losbergpark soll eine neue Brücke über den See gebaut werden. Berechne die Länge der Brücke.<br />
<br />
[[Datei:Trigonometrie Brücke Losbergpark.jpg|rahmenlos|500x500px]]}<br />
<br />
+ Länge ≈ 30,33 m<br />
- Länge ≈ 30,21 m<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===3.5 Erweiterung: Formel für den Flächeninhalt beliebiger Dreiecke (mit Sinus)===<br />
<br />
{{Box|Flächeninhaltsformel Dreieck (mit Sinus)|Gruppenarbeit: Arbeitet arbeitsteilig in 3er Gruppen.<br><br />
Der Flächeninhalt von Dreiecken kann mit dem Sinus eines Winkels und zweier Seitenlängen bestimmt werden.<br />
Die Herleitung der Formel ist auf der Seite realmath dargestellt.<br />
Öffnet arbeitsteilig die Seite und leitet die Flächeninhaltsformel für ein Dreieck her. Notiert im Heft.<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach.php Link 1 zur Herleitung (realmath)]<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach2.php Link 2]<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach3.php Link 3]<br />
Welche Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede entdeckt ihr?|Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Flächeninhaltsformel für beliebige Dreiecke|2=[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]Den Flächeninhalt eines (beliebigen) Dreiecks können wir mit den Formeln berechnen:<br><br />
A = <math>\tfrac{1}{2}</math>·b·c·sinα<br>|3=Merksatz}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Herleitung:<br><br />
linkes Teildreieck: <br><br />
sinα = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &#124;·b<br><br />
b·sinα = h<sub>c</sub><br><br />
<br />
Flächeninhaltsformel:<br><br />
A = <math>\tfrac{c\cdot h_c}{2}</math> &nbsp;&#124; setze für h<sub>c</sub> = b·sinα ein<br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{c\cdot bsinα}{2}</math><br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>b·c·sinα<br><br />
Ebenso kannst du die Flächeninhaltsformeln für die anderen Seiten als Grundseiten herleiten.|2=Herleitung der Formel|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 5 (online)|Flächeninhalt von Dreiecken berechnen:<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/dreiecktrigo.php Übung (realmath)]|Üben}}<br />
<br />
{{Box|Übung 6|Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die Rechnungen übersichtlich und vollständig in deinem Heft.<br />
* S. 99 Nr. 3<br />
* S. 100 Nr. 9<br />
* S. 111 Nr. 3|Üben}}<br />
<br />
===3.6 Erweiterung: Sinussatz===<br />
<br />
[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">linkes Teildreieck: <br><br />
sinα = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &#124;·b<br><br />
b·sinα = h<sub>c</sub><br></div><br />
<div class="width-1-2">rechtes Teildreieck: <br><br />
sinβ = <math>\tfrac{h_c}{a}</math> &#124;·b<br><br />
a·sinβ = h<sub>c</sub><br></div><br />
</div><br />
Also gilt:<br><br />
a·sinβ = b·sinα &nbsp;&#124; : sinα; : sinβ<br><br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta}</math><br><br />
Ebenso kannst du dies für h<sub>a</sub> und h<sub>b</sub> herleiten und erhältst den Sinussatz:<br><br />
<br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math><br />
<br />
<br />
{{Box|1=Sinussatz (für allgemeine Dreiecke)|2=In jedem Dreieck verhalten sich die Seiten wie die Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel:<br><br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math>|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|O2ZY6htEY4k|800|center}}<br />
<br />
{{Box|Übung 7|Löse mithilfe des Sinussatzes im Buch<br />
* S. 114, Nr. 25|Üben}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=4 Berechnungen in beliebigen Figuren|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen_in_allgemeinen_Dreiecken&diff=93106Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken2024-03-18T11:16:39Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}<br />
<br><br />
[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]<br />
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie|Startseite (Vorwissen)]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinus,Kosinus,Tangens|1) Sinus, Kosinus, Tangens]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken|2) Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken|3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren|4) Berechnungen in beliebigen Figuren]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinusfunktion|5) Sinusfunktion und Kosinusfunktion]]}}<br />
<br><br />
<br />
==3 Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken==<br />
<br />
Die Seitenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tanges gelten nur für rechtwinklige Dreiecke.<br />
[[Datei:Idee Flipchart.png|rechts|rahmenlos|200px]]Um in allgemeinen Dreiecken Strecken und Winkel berechnen zu können, zerlege das Dreieck mithilfe einer '''Höhe''' in zwei '''rechtwinklige''' Dreiecke.<br />
<br />
{{Box|Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken|'''Zerlege''' das allgemeine Dreieck in zwei '''rechtwinklige''' Dreiecke. Zeichne dazu eine geeignete '''Höhe h''' ein.<br><br />
Berechne dann mithilfe von Sinus, Kosinus und Tagens die fehlenden Strecken in den rechtwinkligen Teildreiecken.<br><br />
Übertrage die Beispiele in dein Heft (Skizze und Rechnungen)|Arbeitsmethode}}<br />
===3.1 Beispiel 1: Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben===<br />
<br><br />
'''1. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>a</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1.3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme γ:<br><br />
Winkelsummensatz<br><br />
γ = 180° - α - β<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 76°<br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Berechne h<sub>a</sub>:<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · sin β = h<sub>a</sub> <br><br />
8,5 · sin(42°) = h<sub>a</sub> <br><br />
5,7 (cm)≈ h<sub>a</sub> </div><br />
<div class="width-1-3">③ Berechne b:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br><br />
b · sin γ = h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124; : sin γ<br><br />
b = <math>\tfrac{h_a}{sin\gamma}</math> <br><br />
b = <math>\tfrac{\text{5,7}}{\text{sin(76°)}}</math> <br><br />
b ≈ 5,9 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">Berechne a:<br><br />
④ Berechne a<sub>1</sub>:<br><br />
cos β = <math>\tfrac{a_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · cos β = a<sub>1</sub><br><br />
8,5 · cos (42°) = a<sub>1</sub><br><br />
6,3 (cm) <math>\approx</math>a<sub>1</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑤ Berechne a<sub>2</sub>:<br />
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br><br />
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br><br />
5,9 · cos (76°) = a<sub>2</sub><br><br />
1,4 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Berechne a:<br><br />
a = a<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 6,3 + 1,4 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 7,7 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
'''2. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>b</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1.4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">① Bestimme γ:<br><br />
Winkelsummensatz<br><br />
γ = 180° - α - β<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 76°<br></div><br />
<div class="width-1-3">② Berechne h<sub>b</sub>: <br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · sin α = h<sub>b</sub> <br><br />
8,5 · sin(62°) = h<sub>b</sub> <br><br />
7,5 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> </div><br />
<div class="width-1-3">③ Berechne a:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br><br />
a · sin γ = h<sub>b</sub> &nbsp;&nbsp;&#124; : sin γ<br><br />
a = <math>\tfrac{h_b}{sin\gamma}</math> <br><br />
a = <math>\tfrac{\text{7,5}}{\text{sin(76°)}}</math> <br><br />
a <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">Berechne b:<br><br />
④ Berechne b<sub>1</sub>:<br><br />
cos α = <math>\tfrac{b_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · cos α = b<sub>1</sub><br><br />
8,5 · cos (62°) = b<sub>1</sub><br><br />
4,0 (cm) <math>\approx</math>b<sub>1</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑤ Berechne b<sub>2</sub>:<br><br />
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br><br />
a · cos γ = b<sub>2</sub> <br><br />
7,7 · cos (76°) = b<sub>2</sub><br><br />
1,9 (cm) <math>\approx</math> b<sub>2</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Berechne b:<br><br />
b = b<sub>1</sub> + b<sub>2</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 4,0 + 1,9 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 5,9 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
===3.2 Beispiel 2: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben===<br />
<br><br />
'''1. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>a</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>a</sub>:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · sin γ = h<sub>a</sub> <br><br />
5,8 · sin(65°) = h<sub>a</sub><br><br />
5,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>a</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme a<sub>2</sub><br><br />
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br><br />
5,8 · cos(65°) = a<sub>2</sub><br><br />
2,5 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme a<sub>1</sub><br><br />
a – a<sub>2</sub>= a<sub>1</sub> <br><br />
8,2 - 2,5 = a<sub>1</sub> <br><br />
5,7 (cm) = a<sub>1</sub><br> </div><br />
</div> <br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme β<br><br />
tan β = <math>\tfrac{h_a}{a_1}</math><br><br />
tan β = <math>\tfrac{5,2}{5,7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br><br />
β <math>\approx</math> 42,4°<br></div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme c<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br><br />
c · sin β = h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin β<br><br />
c = <math>\tfrac{h_a}{sin\beta}</math><br><br />
c = <math>\tfrac{\text{5,2}}{\text{sin (42,4°)}}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm) <br>ODER:<br> <br />
c² = <math>h_a^2 + a_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c= <math>\sqrt{h_a^2 + a_1^2}</math><br><br />
c = <math>\sqrt{5,2^2 + 5,7^2}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br />
</div> <br />
<div class="width-1-3"><br />
⑥ Bestimme den letzten Winkel α <br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- β; -γ<br><br />
α = 180° - β - γ <br><br />
α = 180° - 42,4° - 65°<br><br />
α = 72,6°<br />
<br></div><br />
</div><br />
<br />
<br />
'''2. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>b</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3.2 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>b</sub>:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br><br />
a · sin γ = h<sub>b</sub> <br><br />
8,2 · sin(65°) = h<sub>b</sub><br><br />
7,4 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme b<sub>2</sub><br><br />
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br><br />
a · cos γ = b<sub>2</sub> <br><br />
8,2 · cos(65°) = b<sub>2</sub><br><br />
3,5 (cm) <math>\approx</math> b<sub>2</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme b<sub>1</sub><br><br />
b – b<sub>2</sub>= b<sub>1</sub> <br><br />
5,8 - 3,5 = b<sub>1</sub> <br><br />
2,3 (cm) = b<sub>1</sub><br> </div><br />
</div> <br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme α<br><br />
tan α = <math>\tfrac{h_b}{b_1}</math><br><br />
tan α = <math>\tfrac{7,4}{2,3}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br><br />
α <math>\approx</math> 72,7°<br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme c<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br><br />
c · sin α = h<sub>b</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin α<br><br />
c = <math>\tfrac{h_b}{sin\alpha}</math><br><br />
c = <math>\tfrac{\text{7,4}}{\text{sin (72,7°)}}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,8 (cm) <br><br />
ODER:<br> <br />
c² = <math>h_b^2 + b_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c= <math>\sqrt{h_b^2 + b_1^2}</math><br><br />
c = <math>\sqrt{7,4^2 + 2,3^2}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br />
</div> <br />
<div class="width-1-3"><br />
⑥ Bestimme den letzten Winkel β <br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- α; -γ<br><br />
β = 180° - α - γ <br><br />
β= 180° - 72,7° - 65°<br><br />
β = 42,3°</div><br />
</div><br><br />
<br><br />
Du merkst, es kommt zu Rundungsungenauigkeiten.<br><br />
<br />
===3.3 Beispiel 3: Zwei Seiten und ein anliegender Winkel sind gegeben===<br />
Erkläre, warum es hier nur '''eine Möglichkeit''' gibt, das Dreieck zu zerlegen: die '''Höhe h<sub>c</sub>''' .<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 4.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>c</sub>:<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · sin α = h<sub>c</sub> <br><br />
10,5 · sin(37°) = h<sub>c</sub><br><br />
6,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>c</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme c<sub>1</sub><br><br />
cos α = <math>\tfrac{c_1}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · cos α = c<sub>1</sub> <br><br />
10,5 · cos(37°) = c<sub>1</sub><br><br />
8,4 (cm) <math>\approx</math> c<sub>1</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme c<sub>2</sub><br><br />
<math>h_c^2 + c_2^2</math> = a² &nbsp;&nbsp;&#124;-<math>h_c^2 </math><br><br />
<math>c_2^2</math> = a² - <math>h_c^2</math>&nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c<sub>2</sub>= <math>\sqrt{a^2 - h_c^2}</math><br><br />
c<sub>2</sub> = <math>\sqrt{7^2 - 6,3^2}</math><br><br />
c<sub>2</sub> <math>\approx</math> 3,1 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<br><br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme c:<br><br />
c = c<sub>1</sub> + c<sub>2</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = 8,4 + 3,1<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 11,5 (cm)</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme β<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_c}{a}</math><br><br />
sin β = <math>\tfrac{6,3}{7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;sin<sup>-1</sup><br><br />
β <math>\approx</math> 64,2°</div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Bestimme den letzten Winkel γ<br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- α; -β<br><br />
γ = 180° - β - α<br><br />
γ= 180° - 37° - 64,2°<br><br />
γ = 78,8°</div><br />
</div><br />
<br />
<br><br />
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:<br><br />
{{#ev:youtube|bEMu4A19HXI|800|center}}<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Übung 1 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.<br />
* 45<br />
* 46|Üben}}<br />
{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizze in dein Heft und zerlege das allgemeine Dreieck durch eine geeignete Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke. Bestimme dann die fehlenden Größen.<br />
* S. 99 Nr. 1<br />
* S. 99 Nr. 2<br />
* S. 99 Nr. 4<br />
* S. 100 Nr. 6|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 2. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben.|Tipp zu Nr. 1|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 1. Beispiel, es sind eine Seite und zwei Winkel gegeben.|Tipp zu Nr. 2|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 3. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein anliegender Winkel gegeben|Tipp zu Nr. 4|Verbergen}}<br />
<br />
===3.4 Anwendungsaufgaben===<br />
{{Box|Übung 3 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.<br />
* 47<br />
* 48|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann den fehlenden Winkel, die Länge der entsprechenden Höhe und die Längen der Seiten a und b.<br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 63.png|rahmenlos]]<br><br />
[[Datei:Skizze 2 zu Nr. 63.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze 3 zu Nr. 63.png|rahmenlos]]<br><br />
Prüfe deine Lösungen auf der Seite Aufgabenfuchs.|Tipp zu Nr. 47|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann schrittweise die fehlenden Größen.<br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 64.png|rahmenlos]] <br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 64 1.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze zu Nr. 64 2.png|rahmenlos]]<br><br />
Prüfe dein Ergebnis auf der Seite Aufgabenfuchs.|Tipp zu Nr. 48|Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 4|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizzen in dein Heft und löse schrittweise. Notiere vollständig und übersichtlich.<br />
* S. 99 Nr. 5<br />
* S. 100 Nr. 7<br />
* S. 100 Nr. 8|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Erstelle eine Skizze zur Aufgabe und beschrifte sie vollständig.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 99 Nr. 5.png|rahmenlos]]<br><br />
Zerlege das Dreieck durch eine Höhe in zwei rechtwinklige Teildreiecke.<br><br />
[[Datei:Skizze 1 zu S. 99 Nr. 5.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze 2 zu S. 99 Nr. 5 neu.png|rahmenlos]]<br><br />
Lösung: c= 2,535; a = 1,757|2=Tipp zu Nr. 5|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Dachfläche besteht aus 4 Dreiecksflächen. Bestimme also die Fläche eines Dreiecks und multipliziere diesen Flächeninhalt mit 4. Die Skizze hilft dir bei der Bestimmung der nötigen Größen. (A<sub>Dreieck</sub>= <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math>)<br><br />
[[Datei:S. 100 Nr. 7 Skizze.png|rahmenlos]]<br><br />
Zwischenlösung: h<sub>c</sub>=14,42m; c=10,78m|2=Tipp zu Nr. 7|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Erstelle eine Skizze zur Aufgabe:<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8.png|rahmenlos]]<br><br />
Gesucht sind hier nun a und d.|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte das linke Dreieck ABL. Zerlege es in rechtwinklige Teildreiecke (ohne die gegebene Seite c zu teilen). Die Skizze hilft dir für deinen Lösungsplan.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8a.png|rahmenlos]]<br><br />
Bestimme h<sub>a</sub>, δ<sub>1</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a.<br><br />
(Lösung: a=3,63 sm)|2=Tipp zu 8a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte zur Lösung das linke Dreieck BCL. Gegeben ist nun auch aus Teil a) die Länge der Strecke a = 3,63 sm. Berechne den Nebenwinkel β<sub>2</sub> von β und den Winkel δ<sub>2</sub> mihilfe der Winkelsumme. Zerlege auch dieses Dreieck wieder in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Die Skizze hilft dir, die nötigen Rechenschritte zu planen.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8b.png|rahmenlos]]<br><br />
(Lösung: h<sub>e</sub> = 1,92 sm; d = 3,51 sm)|2=Tipp zu 8b|3=Verbergen}}<br />
<br />
====Zwischentest 4: Anwendung in einem beliebigen Dreieck====<br />
<quiz display="simple"><br />
{Im Losbergpark soll eine neue Brücke über den See gebaut werden. Berechne die Länge der Brücke.<br />
<br />
[[Datei:Trigonometrie Brücke Losbergpark.jpg|rahmenlos|500x500px]]}<br />
<br />
+ Länge ≈ 30,33 m<br />
- Länge ≈ 30,21 m<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===3.5 Erweiterung: Formel für den Flächeninhalt beliebiger Dreiecke (mit Sinus)===<br />
<br />
{{Box|Flächeninhaltsformel Dreieck (mit Sinus)|Gruppenarbeit: Arbeitet arbeitsteilig in 3er Gruppen.<br><br />
Der Flächeninhalt von Dreiecken kann mit dem Sinus eines Winkels und zweier Seitenlängen bestimmt werden.<br />
Die Herleitung der Formel ist auf der Seite realmath dargestellt.<br />
Öffnet arbeitsteilig die Seite und leitet die Flächeninhaltsformel für ein Dreieck her. Notiert im Heft.<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach.php Link 1 zur Herleitung (realmath)]<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach2.php Link 2]<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach3.php Link 3]<br />
Welche Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede entdeckt ihr?|Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Flächeninhaltsformel für beliebige Dreiecke|2=[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]Den Flächeninhalt eines (beliebigen) Dreiecks können wir mit den Formeln berechnen:<br><br />
A = <math>\tfrac{1}{2}</math>·b·c·sinα<br>|3=Merksatz}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Herleitung:<br><br />
linkes Teildreieck: <br><br />
sinα = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &#124;·b<br><br />
b·sinα = h<sub>c</sub><br><br />
<br />
Flächeninhaltsformel:<br><br />
A = <math>\tfrac{c\cdot h_c}{2}</math> &nbsp;&#124; setze für h<sub>c</sub> = b·sinα ein<br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{c\cdot bsinα}{2}</math><br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>b·c·sinα<br><br />
Ebenso kannst du die Flächeninhaltsformeln für die anderen Seiten als Grundseiten herleiten.|2=Herleitung der Formel|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 5 (online)|Flächeninhalt von Dreiecken berechnen:<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/dreiecktrigo.php Übung (realmath)]|Üben}}<br />
<br />
{{Box|Übung 6|Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die Rechnungen übersichtlich und vollständig in deinem Heft.<br />
* S. 99 Nr. 3<br />
* S. 100 Nr. 9<br />
* S. 111 Nr. 3|Üben}}<br />
<br />
===3.6 Erweiterung: Sinussatz===<br />
<br />
[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">linkes Teildreieck: <br><br />
sinα = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &#124;·b<br><br />
b·sinα = h<sub>c</sub><br></div><br />
<div class="width-1-2">rechtes Teildreieck: <br><br />
sinβ = <math>\tfrac{h_c}{a}</math> &#124;·b<br><br />
a·sinβ = h<sub>c</sub><br></div><br />
</div><br />
Also gilt:<br><br />
a·sinβ = b·sinα &nbsp;&#124; : sinα; : sinβ<br><br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta}</math><br><br />
Ebenso kannst du dies für h<sub>a</sub> und h<sub>b</sub> herleiten und erhältst den Sinussatz:<br><br />
<br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math><br />
<br />
<br />
{{Box|1=Sinussatz (für allgemeine Dreiecke)|2=In jedem Dreieck verhalten sich die Seiten wie die Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel:<br><br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math>|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|O2ZY6htEY4k|800|center}}<br />
<br />
{{Box|Übung 7|Löse mithilfe des Sinussatzes im Buch<br />
* S. 114, Nr. 25|Üben}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=4 Berechnungen in beliebigen Figuren|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen_in_allgemeinen_Dreiecken&diff=93105Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken2024-03-18T11:15:49Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}<br />
<br><br />
[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]<br />
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie|Startseite (Vorwissen)]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinus,Kosinus,Tangens|1) Sinus, Kosinus, Tangens]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken|2) Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken|3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren|4) Berechnungen in beliebigen Figuren]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinusfunktion|5) Sinusfunktion und Kosinusfunktion]]}}<br />
<br><br />
<br />
==3 Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken==<br />
<br />
Die Seitenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tanges gelten nur für rechtwinklige Dreiecke.<br />
[[Datei:Idee Flipchart.png|rechts|rahmenlos|200px]]Um in allgemeinen Dreiecken Strecken und Winkel berechnen zu können, zerlege das Dreieck mithilfe einer '''Höhe''' in zwei '''rechtwinklige''' Dreiecke.<br />
<br />
{{Box|Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken|'''Zerlege''' das allgemeine Dreieck in zwei '''rechtwinklige''' Dreiecke. Zeichne dazu eine geeignete '''Höhe h''' ein.<br><br />
Berechne dann mithilfe von Sinus, Kosinus und Tagens die fehlenden Strecken in den rechtwinkligen Teildreiecken.<br><br />
Übertrage die Beispiele in dein Heft (Skizze und Rechnungen)|Arbeitsmethode}}<br />
===3.1 Beispiel 1: Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben===<br />
<br><br />
'''1. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>a</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1.3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme γ:<br><br />
Winkelsummensatz<br><br />
γ = 180° - α - β<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 76°<br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Berechne h<sub>a</sub>:<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · sin β = h<sub>a</sub> <br><br />
8,5 · sin(42°) = h<sub>a</sub> <br><br />
5,7 (cm)≈ h<sub>a</sub></div><br />
<div class="width-1-3">③ Berechne b:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br><br />
b · sin γ = h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124; : sin γ<br><br />
b = <math>\tfrac{h_a}{sin\gamma}</math> <br><br />
b = <math>\tfrac{\text{5,7}}{\text{sin(76°)}}</math> <br><br />
b ≈ 5,9 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">Berechne a:<br><br />
④ Berechne a<sub>1</sub>:<br><br />
cos β = <math>\tfrac{a_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · cos β = a<sub>1</sub><br><br />
8,5 · cos (42°) = a<sub>1</sub><br><br />
6,3 (cm) <math>\approx</math>a<sub>1</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑤ Berechne a<sub>2</sub>:<br />
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br><br />
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br><br />
5,9 · cos (76°) = a<sub>2</sub><br><br />
1,4 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Berechne a:<br><br />
a = a<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 6,3 + 1,4 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 7,7 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
'''2. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>b</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1.4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">① Bestimme γ:<br><br />
Winkelsummensatz<br><br />
γ = 180° - α - β<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 76°<br></div><br />
<div class="width-1-3">② Berechne h<sub>b</sub>: <br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · sin α = h<sub>b</sub> <br><br />
8,5 · sin(62°) = h<sub>b</sub> <br><br />
7,5 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> </div><br />
<div class="width-1-3">③ Berechne a:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br><br />
a · sin γ = h<sub>b</sub> &nbsp;&nbsp;&#124; : sin γ<br><br />
a = <math>\tfrac{h_b}{sin\gamma}</math> <br><br />
a = <math>\tfrac{\text{7,5}}{\text{sin(76°)}}</math> <br><br />
a <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">Berechne b:<br><br />
④ Berechne b<sub>1</sub>:<br><br />
cos α = <math>\tfrac{b_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · cos α = b<sub>1</sub><br><br />
8,5 · cos (62°) = b<sub>1</sub><br><br />
4,0 (cm) <math>\approx</math>b<sub>1</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑤ Berechne b<sub>2</sub>:<br><br />
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br><br />
a · cos γ = b<sub>2</sub> <br><br />
7,7 · cos (76°) = b<sub>2</sub><br><br />
1,9 (cm) <math>\approx</math> b<sub>2</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Berechne b:<br><br />
b = b<sub>1</sub> + b<sub>2</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 4,0 + 1,9 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 5,9 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
===3.2 Beispiel 2: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben===<br />
<br><br />
'''1. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>a</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>a</sub>:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · sin γ = h<sub>a</sub> <br><br />
5,8 · sin(65°) = h<sub>a</sub><br><br />
5,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>a</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme a<sub>2</sub><br><br />
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br><br />
5,8 · cos(65°) = a<sub>2</sub><br><br />
2,5 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme a<sub>1</sub><br><br />
a – a<sub>2</sub>= a<sub>1</sub> <br><br />
8,2 - 2,5 = a<sub>1</sub> <br><br />
5,7 (cm) = a<sub>1</sub><br> </div><br />
</div> <br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme β<br><br />
tan β = <math>\tfrac{h_a}{a_1}</math><br><br />
tan β = <math>\tfrac{5,2}{5,7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br><br />
β <math>\approx</math> 42,4°<br></div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme c<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br><br />
c · sin β = h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin β<br><br />
c = <math>\tfrac{h_a}{sin\beta}</math><br><br />
c = <math>\tfrac{\text{5,2}}{\text{sin (42,4°)}}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm) <br>ODER:<br> <br />
c² = <math>h_a^2 + a_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c= <math>\sqrt{h_a^2 + a_1^2}</math><br><br />
c = <math>\sqrt{5,2^2 + 5,7^2}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br />
</div> <br />
<div class="width-1-3"><br />
⑥ Bestimme den letzten Winkel α <br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- β; -γ<br><br />
α = 180° - β - γ <br><br />
α = 180° - 42,4° - 65°<br><br />
α = 72,6°<br />
<br></div><br />
</div><br />
<br />
<br />
'''2. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>b</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3.2 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>b</sub>:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br><br />
a · sin γ = h<sub>b</sub> <br><br />
8,2 · sin(65°) = h<sub>b</sub><br><br />
7,4 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme b<sub>2</sub><br><br />
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br><br />
a · cos γ = b<sub>2</sub> <br><br />
8,2 · cos(65°) = b<sub>2</sub><br><br />
3,5 (cm) <math>\approx</math> b<sub>2</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme b<sub>1</sub><br><br />
b – b<sub>2</sub>= b<sub>1</sub> <br><br />
5,8 - 3,5 = b<sub>1</sub> <br><br />
2,3 (cm) = b<sub>1</sub><br> </div><br />
</div> <br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme α<br><br />
tan α = <math>\tfrac{h_b}{b_1}</math><br><br />
tan α = <math>\tfrac{7,4}{2,3}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br><br />
α <math>\approx</math> 72,7°<br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme c<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br><br />
c · sin α = h<sub>b</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin α<br><br />
c = <math>\tfrac{h_b}{sin\alpha}</math><br><br />
c = <math>\tfrac{\text{7,4}}{\text{sin (72,7°)}}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,8 (cm) <br><br />
ODER:<br> <br />
c² = <math>h_b^2 + b_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c= <math>\sqrt{h_b^2 + b_1^2}</math><br><br />
c = <math>\sqrt{7,4^2 + 2,3^2}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br />
</div> <br />
<div class="width-1-3"><br />
⑥ Bestimme den letzten Winkel β <br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- α; -γ<br><br />
β = 180° - α - γ <br><br />
β= 180° - 72,7° - 65°<br><br />
β = 42,3°</div><br />
</div><br><br />
<br><br />
Du merkst, es kommt zu Rundungsungenauigkeiten.<br><br />
<br />
===3.3 Beispiel 3: Zwei Seiten und ein anliegender Winkel sind gegeben===<br />
Erkläre, warum es hier nur '''eine Möglichkeit''' gibt, das Dreieck zu zerlegen: die '''Höhe h<sub>c</sub>''' .<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 4.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>c</sub>:<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · sin α = h<sub>c</sub> <br><br />
10,5 · sin(37°) = h<sub>c</sub><br><br />
6,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>c</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme c<sub>1</sub><br><br />
cos α = <math>\tfrac{c_1}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · cos α = c<sub>1</sub> <br><br />
10,5 · cos(37°) = c<sub>1</sub><br><br />
8,4 (cm) <math>\approx</math> c<sub>1</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme c<sub>2</sub><br><br />
<math>h_c^2 + c_2^2</math> = a² &nbsp;&nbsp;&#124;-<math>h_c^2 </math><br><br />
<math>c_2^2</math> = a² - <math>h_c^2</math>&nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c<sub>2</sub>= <math>\sqrt{a^2 - h_c^2}</math><br><br />
c<sub>2</sub> = <math>\sqrt{7^2 - 6,3^2}</math><br><br />
c<sub>2</sub> <math>\approx</math> 3,1 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<br><br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme c:<br><br />
c = c<sub>1</sub> + c<sub>2</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = 8,4 + 3,1<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 11,5 (cm)</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme β<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_c}{a}</math><br><br />
sin β = <math>\tfrac{6,3}{7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;sin<sup>-1</sup><br><br />
β <math>\approx</math> 64,2°</div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Bestimme den letzten Winkel γ<br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- α; -β<br><br />
γ = 180° - β - α<br><br />
γ= 180° - 37° - 64,2°<br><br />
γ = 78,8°</div><br />
</div><br />
<br />
<br><br />
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:<br><br />
{{#ev:youtube|bEMu4A19HXI|800|center}}<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Übung 1 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.<br />
* 45<br />
* 46|Üben}}<br />
{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizze in dein Heft und zerlege das allgemeine Dreieck durch eine geeignete Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke. Bestimme dann die fehlenden Größen.<br />
* S. 99 Nr. 1<br />
* S. 99 Nr. 2<br />
* S. 99 Nr. 4<br />
* S. 100 Nr. 6|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 2. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben.|Tipp zu Nr. 1|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 1. Beispiel, es sind eine Seite und zwei Winkel gegeben.|Tipp zu Nr. 2|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 3. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein anliegender Winkel gegeben|Tipp zu Nr. 4|Verbergen}}<br />
<br />
===3.4 Anwendungsaufgaben===<br />
{{Box|Übung 3 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.<br />
* 47<br />
* 48|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann den fehlenden Winkel, die Länge der entsprechenden Höhe und die Längen der Seiten a und b.<br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 63.png|rahmenlos]]<br><br />
[[Datei:Skizze 2 zu Nr. 63.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze 3 zu Nr. 63.png|rahmenlos]]<br><br />
Prüfe deine Lösungen auf der Seite Aufgabenfuchs.|Tipp zu Nr. 47|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann schrittweise die fehlenden Größen.<br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 64.png|rahmenlos]] <br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 64 1.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze zu Nr. 64 2.png|rahmenlos]]<br><br />
Prüfe dein Ergebnis auf der Seite Aufgabenfuchs.|Tipp zu Nr. 48|Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 4|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizzen in dein Heft und löse schrittweise. Notiere vollständig und übersichtlich.<br />
* S. 99 Nr. 5<br />
* S. 100 Nr. 7<br />
* S. 100 Nr. 8|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Erstelle eine Skizze zur Aufgabe und beschrifte sie vollständig.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 99 Nr. 5.png|rahmenlos]]<br><br />
Zerlege das Dreieck durch eine Höhe in zwei rechtwinklige Teildreiecke.<br><br />
[[Datei:Skizze 1 zu S. 99 Nr. 5.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze 2 zu S. 99 Nr. 5 neu.png|rahmenlos]]<br><br />
Lösung: c= 2,535; a = 1,757|2=Tipp zu Nr. 5|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Dachfläche besteht aus 4 Dreiecksflächen. Bestimme also die Fläche eines Dreiecks und multipliziere diesen Flächeninhalt mit 4. Die Skizze hilft dir bei der Bestimmung der nötigen Größen. (A<sub>Dreieck</sub>= <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math>)<br><br />
[[Datei:S. 100 Nr. 7 Skizze.png|rahmenlos]]<br><br />
Zwischenlösung: h<sub>c</sub>=14,42m; c=10,78m|2=Tipp zu Nr. 7|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Erstelle eine Skizze zur Aufgabe:<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8.png|rahmenlos]]<br><br />
Gesucht sind hier nun a und d.|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte das linke Dreieck ABL. Zerlege es in rechtwinklige Teildreiecke (ohne die gegebene Seite c zu teilen). Die Skizze hilft dir für deinen Lösungsplan.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8a.png|rahmenlos]]<br><br />
Bestimme h<sub>a</sub>, δ<sub>1</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a.<br><br />
(Lösung: a=3,63 sm)|2=Tipp zu 8a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte zur Lösung das linke Dreieck BCL. Gegeben ist nun auch aus Teil a) die Länge der Strecke a = 3,63 sm. Berechne den Nebenwinkel β<sub>2</sub> von β und den Winkel δ<sub>2</sub> mihilfe der Winkelsumme. Zerlege auch dieses Dreieck wieder in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Die Skizze hilft dir, die nötigen Rechenschritte zu planen.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8b.png|rahmenlos]]<br><br />
(Lösung: h<sub>e</sub> = 1,92 sm; d = 3,51 sm)|2=Tipp zu 8b|3=Verbergen}}<br />
<br />
====Zwischentest 4: Anwendung in einem beliebigen Dreieck====<br />
<quiz display="simple"><br />
{Im Losbergpark soll eine neue Brücke über den See gebaut werden. Berechne die Länge der Brücke.<br />
<br />
[[Datei:Trigonometrie Brücke Losbergpark.jpg|rahmenlos|500x500px]]}<br />
<br />
+ Länge ≈ 30,33 m<br />
- Länge ≈ 30,21 m<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===3.5 Erweiterung: Formel für den Flächeninhalt beliebiger Dreiecke (mit Sinus)===<br />
<br />
{{Box|Flächeninhaltsformel Dreieck (mit Sinus)|Gruppenarbeit: Arbeitet arbeitsteilig in 3er Gruppen.<br><br />
Der Flächeninhalt von Dreiecken kann mit dem Sinus eines Winkels und zweier Seitenlängen bestimmt werden.<br />
Die Herleitung der Formel ist auf der Seite realmath dargestellt.<br />
Öffnet arbeitsteilig die Seite und leitet die Flächeninhaltsformel für ein Dreieck her. Notiert im Heft.<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach.php Link 1 zur Herleitung (realmath)]<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach2.php Link 2]<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach3.php Link 3]<br />
Welche Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede entdeckt ihr?|Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Flächeninhaltsformel für beliebige Dreiecke|2=[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]Den Flächeninhalt eines (beliebigen) Dreiecks können wir mit den Formeln berechnen:<br><br />
A = <math>\tfrac{1}{2}</math>·b·c·sinα<br>|3=Merksatz}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Herleitung:<br><br />
linkes Teildreieck: <br><br />
sinα = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &#124;·b<br><br />
b·sinα = h<sub>c</sub><br><br />
<br />
Flächeninhaltsformel:<br><br />
A = <math>\tfrac{c\cdot h_c}{2}</math> &nbsp;&#124; setze für h<sub>c</sub> = b·sinα ein<br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{c\cdot bsinα}{2}</math><br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>b·c·sinα<br><br />
Ebenso kannst du die Flächeninhaltsformeln für die anderen Seiten als Grundseiten herleiten.|2=Herleitung der Formel|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 5 (online)|Flächeninhalt von Dreiecken berechnen:<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/dreiecktrigo.php Übung (realmath)]|Üben}}<br />
<br />
{{Box|Übung 6|Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die Rechnungen übersichtlich und vollständig in deinem Heft.<br />
* S. 99 Nr. 3<br />
* S. 100 Nr. 9<br />
* S. 111 Nr. 3|Üben}}<br />
<br />
===3.6 Erweiterung: Sinussatz===<br />
<br />
[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">linkes Teildreieck: <br><br />
sinα = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &#124;·b<br><br />
b·sinα = h<sub>c</sub><br></div><br />
<div class="width-1-2">rechtes Teildreieck: <br><br />
sinβ = <math>\tfrac{h_c}{a}</math> &#124;·b<br><br />
a·sinβ = h<sub>c</sub><br></div><br />
</div><br />
Also gilt:<br><br />
a·sinβ = b·sinα &nbsp;&#124; : sinα; : sinβ<br><br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta}</math><br><br />
Ebenso kannst du dies für h<sub>a</sub> und h<sub>b</sub> herleiten und erhältst den Sinussatz:<br><br />
<br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math><br />
<br />
<br />
{{Box|1=Sinussatz (für allgemeine Dreiecke)|2=In jedem Dreieck verhalten sich die Seiten wie die Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel:<br><br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math>|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|O2ZY6htEY4k|800|center}}<br />
<br />
{{Box|Übung 7|Löse mithilfe des Sinussatzes im Buch<br />
* S. 114, Nr. 25|Üben}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=4 Berechnungen in beliebigen Figuren|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen_in_allgemeinen_Dreiecken&diff=93104Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken2024-03-18T11:07:55Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}<br />
<br><br />
[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]<br />
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie|Startseite (Vorwissen)]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinus,Kosinus,Tangens|1) Sinus, Kosinus, Tangens]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken|2) Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken|3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren|4) Berechnungen in beliebigen Figuren]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinusfunktion|5) Sinusfunktion und Kosinusfunktion]]}}<br />
<br><br />
<br />
==3 Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken==<br />
<br />
Die Seitenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tanges gelten nur für rechtwinklige Dreiecke.<br />
[[Datei:Idee Flipchart.png|rechts|rahmenlos|200px]]Um in allgemeinen Dreiecken Strecken und Winkel berechnen zu können, zerlege das Dreieck mithilfe einer '''Höhe''' in zwei '''rechtwinklige''' Dreiecke.<br />
<br />
{{Box|Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken|'''Zerlege''' das allgemeine Dreieck in zwei '''rechtwinklige''' Dreiecke. Zeichne dazu eine geeignete '''Höhe h''' ein.<br><br />
Berechne dann mithilfe von Sinus, Kosinus und Tagens die fehlenden Strecken in den rechtwinkligen Teildreiecken.<br><br />
Übertrage die Beispiele in dein Heft (Skizze und Rechnungen)|Arbeitsmethode}}<br />
===3.1 Beispiel 1: Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben===<br />
<br><br />
'''1. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>a</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1.3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme γ:<br><br />
Winkelsummensatz<br><br />
γ = 180° - α - β<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 76°<br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Berechne h<sub>a</sub>:<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · sin β = h<sub>a</sub> <br><br />
8,5 · sin(42°) = h<sub>a</sub> <br><br />
5,7 (cm)≈ h<sub>a</sub><br></div><br />
<div class="width-1-3">③ Berechne b:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br><br />
b · sin γ = h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124; : sin γ<br><br />
b = <math>\tfrac{h_a}{sin\gamma}</math> <br><br />
b = <math>\tfrac{\text{5,7}}{\text{sin(76°)}}</math> <br><br />
b <math>\approx</math> 5,9 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">Berechne a:<br><br />
④ Berechne a<sub>1</sub>:<br><br />
cos β = <math>\tfrac{a_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · cos β = a<sub>1</sub><br><br />
8,5 · cos (42°) = a<sub>1</sub><br><br />
6,3 (cm) <math>\approx</math>a<sub>1</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑤ Berechne a<sub>2</sub>:<br />
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br><br />
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br><br />
5,9 · cos (76°) = a<sub>2</sub><br><br />
1,4 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Berechne a:<br><br />
a = a<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 6,3 + 1,4 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 7,7 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
'''2. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>b</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1.4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">① Bestimme γ:<br><br />
Winkelsummensatz<br><br />
γ = 180° - α - β<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 76°<br></div><br />
<div class="width-1-3">② Berechne h<sub>b</sub>: <br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · sin α = h<sub>b</sub> <br><br />
8,5 · sin(62°) = h<sub>b</sub> <br><br />
7,5 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> </div><br />
<div class="width-1-3">③ Berechne a:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br><br />
a · sin γ = h<sub>b</sub> &nbsp;&nbsp;&#124; : sin γ<br><br />
a = <math>\tfrac{h_b}{sin\gamma}</math> <br><br />
a = <math>\tfrac{\text{7,5}}{\text{sin(76°)}}</math> <br><br />
a <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">Berechne b:<br><br />
④ Berechne b<sub>1</sub>:<br><br />
cos α = <math>\tfrac{b_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · cos α = b<sub>1</sub><br><br />
8,5 · cos (62°) = b<sub>1</sub><br><br />
4,0 (cm) <math>\approx</math>b<sub>1</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑤ Berechne b<sub>2</sub>:<br><br />
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br><br />
a · cos γ = b<sub>2</sub> <br><br />
7,7 · cos (76°) = b<sub>2</sub><br><br />
1,9 (cm) <math>\approx</math> b<sub>2</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Berechne b:<br><br />
b = b<sub>1</sub> + b<sub>2</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 4,0 + 1,9 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 5,9 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
===3.2 Beispiel 2: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben===<br />
<br><br />
'''1. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>a</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>a</sub>:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · sin γ = h<sub>a</sub> <br><br />
5,8 · sin(65°) = h<sub>a</sub><br><br />
5,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>a</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme a<sub>2</sub><br><br />
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br><br />
5,8 · cos(65°) = a<sub>2</sub><br><br />
2,5 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme a<sub>1</sub><br><br />
a – a<sub>2</sub>= a<sub>1</sub> <br><br />
8,2 - 2,5 = a<sub>1</sub> <br><br />
5,7 (cm) = a<sub>1</sub><br> </div><br />
</div> <br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme β<br><br />
tan β = <math>\tfrac{h_a}{a_1}</math><br><br />
tan β = <math>\tfrac{5,2}{5,7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br><br />
β <math>\approx</math> 42,4°<br></div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme c<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br><br />
c · sin β = h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin β<br><br />
c = <math>\tfrac{h_a}{sin\beta}</math><br><br />
c = <math>\tfrac{\text{5,2}}{\text{sin (42,4°)}}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm) <br>ODER:<br> <br />
c² = <math>h_a^2 + a_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c= <math>\sqrt{h_a^2 + a_1^2}</math><br><br />
c = <math>\sqrt{5,2^2 + 5,7^2}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br />
</div> <br />
<div class="width-1-3"><br />
⑥ Bestimme den letzten Winkel α <br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- β; -γ<br><br />
α = 180° - β - γ <br><br />
α = 180° - 42,4° - 65°<br><br />
α = 72,6°<br />
<br></div><br />
</div><br />
<br />
<br />
'''2. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>b</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3.2 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>b</sub>:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br><br />
a · sin γ = h<sub>b</sub> <br><br />
8,2 · sin(65°) = h<sub>b</sub><br><br />
7,4 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme b<sub>2</sub><br><br />
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br><br />
a · cos γ = b<sub>2</sub> <br><br />
8,2 · cos(65°) = b<sub>2</sub><br><br />
3,5 (cm) <math>\approx</math> b<sub>2</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme b<sub>1</sub><br><br />
b – b<sub>2</sub>= b<sub>1</sub> <br><br />
5,8 - 3,5 = b<sub>1</sub> <br><br />
2,3 (cm) = b<sub>1</sub><br> </div><br />
</div> <br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme α<br><br />
tan α = <math>\tfrac{h_b}{b_1}</math><br><br />
tan α = <math>\tfrac{7,4}{2,3}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br><br />
α <math>\approx</math> 72,7°<br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme c<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br><br />
c · sin α = h<sub>b</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin α<br><br />
c = <math>\tfrac{h_b}{sin\alpha}</math><br><br />
c = <math>\tfrac{\text{7,4}}{\text{sin (72,7°)}}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,8 (cm) <br><br />
ODER:<br> <br />
c² = <math>h_b^2 + b_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c= <math>\sqrt{h_b^2 + b_1^2}</math><br><br />
c = <math>\sqrt{7,4^2 + 2,3^2}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br />
</div> <br />
<div class="width-1-3"><br />
⑥ Bestimme den letzten Winkel β <br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- α; -γ<br><br />
β = 180° - α - γ <br><br />
β= 180° - 72,7° - 65°<br><br />
β = 42,3°</div><br />
</div><br><br />
<br><br />
Du merkst, es kommt zu Rundungsungenauigkeiten.<br><br />
<br />
===3.3 Beispiel 3: Zwei Seiten und ein anliegender Winkel sind gegeben===<br />
Erkläre, warum es hier nur '''eine Möglichkeit''' gibt, das Dreieck zu zerlegen: die '''Höhe h<sub>c</sub>''' .<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 4.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>c</sub>:<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · sin α = h<sub>c</sub> <br><br />
10,5 · sin(37°) = h<sub>c</sub><br><br />
6,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>c</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme c<sub>1</sub><br><br />
cos α = <math>\tfrac{c_1}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · cos α = c<sub>1</sub> <br><br />
10,5 · cos(37°) = c<sub>1</sub><br><br />
8,4 (cm) <math>\approx</math> c<sub>1</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme c<sub>2</sub><br><br />
<math>h_c^2 + c_2^2</math> = a² &nbsp;&nbsp;&#124;-<math>h_c^2 </math><br><br />
<math>c_2^2</math> = a² - <math>h_c^2</math>&nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c<sub>2</sub>= <math>\sqrt{a^2 - h_c^2}</math><br><br />
c<sub>2</sub> = <math>\sqrt{7^2 - 6,3^2}</math><br><br />
c<sub>2</sub> <math>\approx</math> 3,1 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<br><br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme c:<br><br />
c = c<sub>1</sub> + c<sub>2</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = 8,4 + 3,1<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 11,5 (cm)</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme β<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_c}{a}</math><br><br />
sin β = <math>\tfrac{6,3}{7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;sin<sup>-1</sup><br><br />
β <math>\approx</math> 64,2°</div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Bestimme den letzten Winkel γ<br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- α; -β<br><br />
γ = 180° - β - α<br><br />
γ= 180° - 37° - 64,2°<br><br />
γ = 78,8°</div><br />
</div><br />
<br />
<br><br />
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:<br><br />
{{#ev:youtube|bEMu4A19HXI|800|center}}<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Übung 1 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.<br />
* 45<br />
* 46|Üben}}<br />
{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizze in dein Heft und zerlege das allgemeine Dreieck durch eine geeignete Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke. Bestimme dann die fehlenden Größen.<br />
* S. 99 Nr. 1<br />
* S. 99 Nr. 2<br />
* S. 99 Nr. 4<br />
* S. 100 Nr. 6|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 2. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben.|Tipp zu Nr. 1|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 1. Beispiel, es sind eine Seite und zwei Winkel gegeben.|Tipp zu Nr. 2|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 3. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein anliegender Winkel gegeben|Tipp zu Nr. 4|Verbergen}}<br />
<br />
===3.4 Anwendungsaufgaben===<br />
{{Box|Übung 3 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.<br />
* 47<br />
* 48|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann den fehlenden Winkel, die Länge der entsprechenden Höhe und die Längen der Seiten a und b.<br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 63.png|rahmenlos]]<br><br />
[[Datei:Skizze 2 zu Nr. 63.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze 3 zu Nr. 63.png|rahmenlos]]<br><br />
Prüfe deine Lösungen auf der Seite Aufgabenfuchs.|Tipp zu Nr. 47|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann schrittweise die fehlenden Größen.<br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 64.png|rahmenlos]] <br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 64 1.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze zu Nr. 64 2.png|rahmenlos]]<br><br />
Prüfe dein Ergebnis auf der Seite Aufgabenfuchs.|Tipp zu Nr. 48|Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 4|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizzen in dein Heft und löse schrittweise. Notiere vollständig und übersichtlich.<br />
* S. 99 Nr. 5<br />
* S. 100 Nr. 7<br />
* S. 100 Nr. 8|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Erstelle eine Skizze zur Aufgabe und beschrifte sie vollständig.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 99 Nr. 5.png|rahmenlos]]<br><br />
Zerlege das Dreieck durch eine Höhe in zwei rechtwinklige Teildreiecke.<br><br />
[[Datei:Skizze 1 zu S. 99 Nr. 5.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze 2 zu S. 99 Nr. 5 neu.png|rahmenlos]]<br><br />
Lösung: c= 2,535; a = 1,757|2=Tipp zu Nr. 5|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Dachfläche besteht aus 4 Dreiecksflächen. Bestimme also die Fläche eines Dreiecks und multipliziere diesen Flächeninhalt mit 4. Die Skizze hilft dir bei der Bestimmung der nötigen Größen. (A<sub>Dreieck</sub>= <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math>)<br><br />
[[Datei:S. 100 Nr. 7 Skizze.png|rahmenlos]]<br><br />
Zwischenlösung: h<sub>c</sub>=14,42m; c=10,78m|2=Tipp zu Nr. 7|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Erstelle eine Skizze zur Aufgabe:<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8.png|rahmenlos]]<br><br />
Gesucht sind hier nun a und d.|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte das linke Dreieck ABL. Zerlege es in rechtwinklige Teildreiecke (ohne die gegebene Seite c zu teilen). Die Skizze hilft dir für deinen Lösungsplan.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8a.png|rahmenlos]]<br><br />
Bestimme h<sub>a</sub>, δ<sub>1</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a.<br><br />
(Lösung: a=3,63 sm)|2=Tipp zu 8a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte zur Lösung das linke Dreieck BCL. Gegeben ist nun auch aus Teil a) die Länge der Strecke a = 3,63 sm. Berechne den Nebenwinkel β<sub>2</sub> von β und den Winkel δ<sub>2</sub> mihilfe der Winkelsumme. Zerlege auch dieses Dreieck wieder in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Die Skizze hilft dir, die nötigen Rechenschritte zu planen.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8b.png|rahmenlos]]<br><br />
(Lösung: h<sub>e</sub> = 1,92 sm; d = 3,51 sm)|2=Tipp zu 8b|3=Verbergen}}<br />
<br />
====Zwischentest 4: Anwendung in einem beliebigen Dreieck====<br />
<quiz display="simple"><br />
{Im Losbergpark soll eine neue Brücke über den See gebaut werden. Berechne die Länge der Brücke.<br />
<br />
[[Datei:Trigonometrie Brücke Losbergpark.jpg|rahmenlos|500x500px]]}<br />
<br />
+ Länge ≈ 30,33 m<br />
- Länge ≈ 30,21 m<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===3.5 Erweiterung: Formel für den Flächeninhalt beliebiger Dreiecke (mit Sinus)===<br />
<br />
{{Box|Flächeninhaltsformel Dreieck (mit Sinus)|Gruppenarbeit: Arbeitet arbeitsteilig in 3er Gruppen.<br><br />
Der Flächeninhalt von Dreiecken kann mit dem Sinus eines Winkels und zweier Seitenlängen bestimmt werden.<br />
Die Herleitung der Formel ist auf der Seite realmath dargestellt.<br />
Öffnet arbeitsteilig die Seite und leitet die Flächeninhaltsformel für ein Dreieck her. Notiert im Heft.<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach.php Link 1 zur Herleitung (realmath)]<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach2.php Link 2]<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach3.php Link 3]<br />
Welche Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede entdeckt ihr?|Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Flächeninhaltsformel für beliebige Dreiecke|2=[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]Den Flächeninhalt eines (beliebigen) Dreiecks können wir mit den Formeln berechnen:<br><br />
A = <math>\tfrac{1}{2}</math>·b·c·sinα<br>|3=Merksatz}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Herleitung:<br><br />
linkes Teildreieck: <br><br />
sinα = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &#124;·b<br><br />
b·sinα = h<sub>c</sub><br><br />
<br />
Flächeninhaltsformel:<br><br />
A = <math>\tfrac{c\cdot h_c}{2}</math> &nbsp;&#124; setze für h<sub>c</sub> = b·sinα ein<br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{c\cdot bsinα}{2}</math><br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>b·c·sinα<br><br />
Ebenso kannst du die Flächeninhaltsformeln für die anderen Seiten als Grundseiten herleiten.|2=Herleitung der Formel|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 5 (online)|Flächeninhalt von Dreiecken berechnen:<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/dreiecktrigo.php Übung (realmath)]|Üben}}<br />
<br />
{{Box|Übung 6|Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die Rechnungen übersichtlich und vollständig in deinem Heft.<br />
* S. 99 Nr. 3<br />
* S. 100 Nr. 9<br />
* S. 111 Nr. 3|Üben}}<br />
<br />
===3.6 Erweiterung: Sinussatz===<br />
<br />
[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">linkes Teildreieck: <br><br />
sinα = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &#124;·b<br><br />
b·sinα = h<sub>c</sub><br></div><br />
<div class="width-1-2">rechtes Teildreieck: <br><br />
sinβ = <math>\tfrac{h_c}{a}</math> &#124;·b<br><br />
a·sinβ = h<sub>c</sub><br></div><br />
</div><br />
Also gilt:<br><br />
a·sinβ = b·sinα &nbsp;&#124; : sinα; : sinβ<br><br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta}</math><br><br />
Ebenso kannst du dies für h<sub>a</sub> und h<sub>b</sub> herleiten und erhältst den Sinussatz:<br><br />
<br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math><br />
<br />
<br />
{{Box|1=Sinussatz (für allgemeine Dreiecke)|2=In jedem Dreieck verhalten sich die Seiten wie die Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel:<br><br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math>|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|O2ZY6htEY4k|800|center}}<br />
<br />
{{Box|Übung 7|Löse mithilfe des Sinussatzes im Buch<br />
* S. 114, Nr. 25|Üben}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=4 Berechnungen in beliebigen Figuren|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen_in_allgemeinen_Dreiecken&diff=93103Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken2024-03-16T19:34:47Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}<br />
<br><br />
[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]<br />
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie|Startseite (Vorwissen)]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinus,Kosinus,Tangens|1) Sinus, Kosinus, Tangens]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken|2) Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken|3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren|4) Berechnungen in beliebigen Figuren]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinusfunktion|5) Sinusfunktion und Kosinusfunktion]]}}<br />
<br><br />
<br />
==3 Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken==<br />
<br />
Die Seitenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tanges gelten nur für rechtwinklige Dreiecke.<br />
[[Datei:Idee Flipchart.png|rechts|rahmenlos|200px]]Um in allgemeinen Dreiecken Strecken und Winkel berechnen zu können, zerlege das Dreieck mithilfe einer '''Höhe''' in zwei '''rechtwinklige''' Dreiecke.<br />
<br />
{{Box|Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken|'''Zerlege''' das allgemeine Dreieck in zwei '''rechtwinklige''' Dreiecke. Zeichne dazu eine geeignete '''Höhe h''' ein.<br><br />
Berechne dann mithilfe von Sinus, Kosinus und Tagens die fehlenden Strecken in den rechtwinkligen Teildreiecken.<br><br />
Übertrage die Beispiele in dein Heft (Skizze und Rechnungen)|Arbeitsmethode}}<br />
===3.1 Beispiel 1: Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben===<br />
<br><br />
'''1. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>a</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1.3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme γ:<br><br />
Winkelsummensatz<br><br />
γ = 180° - α - β<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 76°<br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Berechne h<sub>a</sub>:<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · sin β = h<sub>a</sub> <br><br />
8,5 · sin(42°) = h<sub>a</sub> <br><br />
5,7 (cm)≈ h<sub>a</sub><br></div><br />
<div class="width-1-3">③ Berechne b:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br><br />
b · sin γ = h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124; : sin γ<br><br />
b = <math>\tfrac{h_a}{sin\gamma}</math> <br><br />
b = <math>\tfrac{\text{5,7}}{\text{sin(76°)}}</math> <br><br />
b <math>\approx</math> 5,9 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">Berechne a:<br><br />
④ Berechne a<sub>1</sub>:<br><br />
cos β = <math>\tfrac{a_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · cos β = a<sub>1</sub><br><br />
8,5 · cos (42°) = a<sub>1</sub><br><br />
6,3 (cm) <math>\approx</math>a<sub>1</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑤ Berechne a<sub>2</sub>:<br />
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br><br />
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br><br />
5,9 · cos (76°) = a<sub>2</sub><br><br />
1,4 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Berechne a:<br><br />
a = a<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 6,3 + 1,4 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 7,7 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
'''2. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>b</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1.4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">① Bestimme γ:<br><br />
Winkelsummensatz<br><br />
γ = 180° - α - β<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 76°<br></div><br />
<div class="width-1-3">② Berechne h<sub>b</sub>: <br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · sin α = h<sub>b</sub> <br><br />
8,5 · sin(62°) = h<sub>b</sub> <br><br />
7,5 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> </div><br />
<div class="width-1-3">③ Berechne a:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br><br />
a · sin γ = h<sub>b</sub> &nbsp;&nbsp;&#124; : sin γ<br><br />
a = <math>\tfrac{h_b}{sin\gamma}</math> <br><br />
a = <math>\tfrac{\text{7,5}}{\text{sin(76°)}}</math> <br><br />
a <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">Berechne b:<br><br />
④ Berechne b<sub>1</sub>:<br><br />
cos α = <math>\tfrac{b_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · cos α = b<sub>1</sub><br><br />
8,5 · cos (62°) = b<sub>1</sub><br><br />
4,0 (cm) <math>\approx</math>b<sub>1</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑤ Berechne b<sub>2</sub>:<br><br />
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br><br />
a · cos γ = b<sub>2</sub> <br><br />
7,7 · cos (76°) = b<sub>2</sub><br><br />
1,9 (cm) <math>\approx</math> b<sub>2</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Berechne b:<br><br />
b = b<sub>1</sub> + b<sub>2</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 4,0 + 1,9 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 5,9 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
===3.2 Beispiel 2: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben===<br />
<br><br />
'''1. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>a</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>a</sub>:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · sin γ = h<sub>a</sub> <br><br />
5,8 · sin(65°) = h<sub>a</sub><br><br />
5,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>a</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme a<sub>2</sub><br><br />
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br><br />
5,8 · cos(65°) = a<sub>2</sub><br><br />
2,5 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme a<sub>1</sub><br><br />
a – a<sub>2</sub>= a<sub>1</sub> <br><br />
8,2 - 3,8 = a<sub>1</sub> <br><br />
5,7 (cm) = a<sub>1</sub><br> </div><br />
</div> <br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme β<br><br />
tan β = <math>\tfrac{h_a}{a_1}</math><br><br />
tan β = <math>\tfrac{5,2}{5,7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br><br />
β <math>\approx</math> 42,4°<br></div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme c<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br><br />
c · sin β = h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin β<br><br />
c = <math>\tfrac{h_a}{sin\beta}</math><br><br />
c = <math>\tfrac{\text{5,2}}{\text{sin (42,4°)}}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm) <br>ODER:<br> <br />
c² = <math>h_a^2 + a_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c= <math>\sqrt{h_a^2 + a_1^2}</math><br><br />
c = <math>\sqrt{5,2^2 + 5,7^2}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br />
</div> <br />
<div class="width-1-3"><br />
⑥ Bestimme den letzten Winkel α <br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- β; -γ<br><br />
α = 180° - β - γ <br><br />
α = 180° - 42,4° - 65°<br><br />
α = 72,6°<br />
<br></div><br />
</div><br />
<br />
<br />
'''2. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>b</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3.2 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>b</sub>:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br><br />
a · sin γ = h<sub>b</sub> <br><br />
8,2 · sin(65°) = h<sub>b</sub><br><br />
7,4 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme b<sub>2</sub><br><br />
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br><br />
a · cos γ = b<sub>2</sub> <br><br />
8,2 · cos(65°) = b<sub>2</sub><br><br />
3,5 (cm) <math>\approx</math> b<sub>2</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme b<sub>1</sub><br><br />
b – b<sub>2</sub>= b<sub>1</sub> <br><br />
5,8 - 3,5 = b<sub>1</sub> <br><br />
2,3 (cm) = b<sub>1</sub><br> </div><br />
</div> <br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme α<br><br />
tan α = <math>\tfrac{h_b}{b_1}</math><br><br />
tan α = <math>\tfrac{7,4}{2,3}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br><br />
α <math>\approx</math> 72,7°<br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme c<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br><br />
c · sin α = h<sub>b</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin α<br><br />
c = <math>\tfrac{h_b}{sin\alpha}</math><br><br />
c = <math>\tfrac{\text{7,4}}{\text{sin (72,7°)}}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,8 (cm) <br><br />
ODER:<br> <br />
c² = <math>h_b^2 + b_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c= <math>\sqrt{h_b^2 + b_1^2}</math><br><br />
c = <math>\sqrt{7,4^2 + 2,3^2}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br />
</div> <br />
<div class="width-1-3"><br />
⑥ Bestimme den letzten Winkel β <br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- α; -γ<br><br />
β = 180° - α - γ <br><br />
β= 180° - 72,7° - 65°<br><br />
β = 42,3°</div><br />
</div><br><br />
<br><br />
Du merkst, es kommt zu Rundungsungenauigkeiten.<br><br />
<br />
===3.3 Beispiel 3: Zwei Seiten und ein anliegender Winkel sind gegeben===<br />
Erkläre, warum es hier nur '''eine Möglichkeit''' gibt, das Dreieck zu zerlegen: die '''Höhe h<sub>c</sub>''' .<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 4.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>c</sub>:<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · sin α = h<sub>c</sub> <br><br />
10,5 · sin(37°) = h<sub>c</sub><br><br />
6,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>c</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme c<sub>1</sub><br><br />
cos α = <math>\tfrac{c_1}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · cos α = c<sub>1</sub> <br><br />
10,5 · cos(37°) = c<sub>1</sub><br><br />
8,4 (cm) <math>\approx</math> c<sub>1</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme c<sub>2</sub><br><br />
<math>h_c^2 + c_2^2</math> = a² &nbsp;&nbsp;&#124;-<math>h_c^2 </math><br><br />
<math>c_2^2</math> = a² - <math>h_c^2</math>&nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c<sub>2</sub>= <math>\sqrt{a^2 - h_c^2}</math><br><br />
c<sub>2</sub> = <math>\sqrt{7^2 - 6,3^2}</math><br><br />
c<sub>2</sub> <math>\approx</math> 3,1 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<br><br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme c:<br><br />
c = c<sub>1</sub> + c<sub>2</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = 8,4 + 3,1<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 11,5 (cm)</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme β<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_c}{a}</math><br><br />
sin β = <math>\tfrac{6,3}{7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;sin<sup>-1</sup><br><br />
β <math>\approx</math> 64,2°</div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Bestimme den letzten Winkel γ<br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- α; -β<br><br />
γ = 180° - β - α<br><br />
γ= 180° - 37° - 64,2°<br><br />
γ = 78,8°</div><br />
</div><br />
<br />
<br><br />
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:<br><br />
{{#ev:youtube|bEMu4A19HXI|800|center}}<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Übung 1 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.<br />
* 45<br />
* 46|Üben}}<br />
{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizze in dein Heft und zerlege das allgemeine Dreieck durch eine geeignete Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke. Bestimme dann die fehlenden Größen.<br />
* S. 99 Nr. 1<br />
* S. 99 Nr. 2<br />
* S. 99 Nr. 4<br />
* S. 100 Nr. 6|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 2. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben.|Tipp zu Nr. 1|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 1. Beispiel, es sind eine Seite und zwei Winkel gegeben.|Tipp zu Nr. 2|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 3. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein anliegender Winkel gegeben|Tipp zu Nr. 4|Verbergen}}<br />
<br />
===3.4 Anwendungsaufgaben===<br />
{{Box|Übung 3 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.<br />
* 47<br />
* 48|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann den fehlenden Winkel, die Länge der entsprechenden Höhe und die Längen der Seiten a und b.<br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 63.png|rahmenlos]]<br><br />
[[Datei:Skizze 2 zu Nr. 63.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze 3 zu Nr. 63.png|rahmenlos]]<br><br />
Prüfe deine Lösungen auf der Seite Aufgabenfuchs.|Tipp zu Nr. 65|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann schrittweise die fehlenden Größen.<br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 64.png|rahmenlos]] <br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 64 1.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze zu Nr. 64 2.png|rahmenlos]]<br><br />
Prüfe dein Ergebnis auf der Seite Aufgabenfuchs.|Tipp zu Nr. 66|Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 4|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizzen in dein Heft und löse schrittweise. Notiere vollständig und übersichtlich.<br />
* S. 99 Nr. 5<br />
* S. 100 Nr. 7<br />
* S. 100 Nr. 8|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Erstelle eine Skizze zur Aufgabe und beschrifte sie vollständig.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 99 Nr. 5.png|rahmenlos]]<br><br />
Zerlege das Dreieck durch eine Höhe in zwei rechtwinklige Teildreiecke.<br><br />
[[Datei:Skizze 1 zu S. 99 Nr. 5.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze 2 zu S. 99 Nr. 5 neu.png|rahmenlos]]<br><br />
Lösung: c= 2,535; a = 1,757|2=Tipp zu Nr. 5|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Dachfläche besteht aus 4 Dreiecksflächen. Bestimme also die Fläche eines Dreiecks und multipliziere diesen Flächeninhalt mit 4. Die Skizze hilft dir bei der Bestimmung der nötigen Größen. (A<sub>Dreieck</sub>= <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math>)<br><br />
[[Datei:S. 100 Nr. 7 Skizze.png|rahmenlos]]<br><br />
Zwischenlösung: h<sub>c</sub>=14,42m; c=10,78m|2=Tipp zu Nr. 7|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Erstelle eine Skizze zur Aufgabe:<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8.png|rahmenlos]]<br><br />
Gesucht sind hier nun a und d.|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte das linke Dreieck ABL. Zerlege es in rechtwinklige Teildreiecke (ohne die gegebene Seite c zu teilen). Die Skizze hilft dir für deinen Lösungsplan.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8a.png|rahmenlos]]<br><br />
Bestimme h<sub>a</sub>, δ<sub>1</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a.<br><br />
(Lösung: a=3,63 sm)|2=Tipp zu 8a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte zur Lösung das linke Dreieck BCL. Gegeben ist nun auch aus Teil a) die Länge der Strecke a = 3,63 sm. Berechne den Nebenwinkel β<sub>2</sub> von β und den Winkel δ<sub>2</sub> mihilfe der Winkelsumme. Zerlege auch dieses Dreieck wieder in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Die Skizze hilft dir, die nötigen Rechenschritte zu planen.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8b.png|rahmenlos]]<br><br />
(Lösung: h<sub>e</sub> = 1,92 sm; d = 3,51 sm)|2=Tipp zu 8b|3=Verbergen}}<br />
<br />
====Zwischentest 4: Anwendung in einem beliebigen Dreieck====<br />
<quiz display="simple"><br />
{Im Losbergpark soll eine neue Brücke über den See gebaut werden. Berechne die Länge der Brücke.<br />
<br />
[[Datei:Trigonometrie Brücke Losbergpark.jpg|rahmenlos|500x500px]]}<br />
<br />
+ Länge ≈ 30,33 m<br />
- Länge ≈ 30,21 m<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===3.5 Erweiterung: Formel für den Flächeninhalt beliebiger Dreiecke (mit Sinus)===<br />
<br />
{{Box|Flächeninhaltsformel Dreieck (mit Sinus)|Gruppenarbeit: Arbeitet arbeitsteilig in 3er Gruppen.<br><br />
Der Flächeninhalt von Dreiecken kann mit dem Sinus eines Winkels und zweier Seitenlängen bestimmt werden.<br />
Die Herleitung der Formel ist auf der Seite realmath dargestellt.<br />
Öffnet arbeitsteilig die Seite und leitet die Flächeninhaltsformel für ein Dreieck her. Notiert im Heft.<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach.php Link 1 zur Herleitung (realmath)]<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach2.php Link 2]<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach3.php Link 3]<br />
Welche Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede entdeckt ihr?|Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Flächeninhaltsformel für beliebige Dreiecke|2=[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]Den Flächeninhalt eines (beliebigen) Dreiecks können wir mit den Formeln berechnen:<br><br />
A = <math>\tfrac{1}{2}</math>·b·c·sinα<br>|3=Merksatz}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Herleitung:<br><br />
linkes Teildreieck: <br><br />
sinα = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &#124;·b<br><br />
b·sinα = h<sub>c</sub><br><br />
<br />
Flächeninhaltsformel:<br><br />
A = <math>\tfrac{c\cdot h_c}{2}</math> &nbsp;&#124; setze für h<sub>c</sub> = b·sinα ein<br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{c\cdot bsinα}{2}</math><br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>b·c·sinα<br><br />
Ebenso kannst du die Flächeninhaltsformeln für die anderen Seiten als Grundseiten herleiten.|2=Herleitung der Formel|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 5 (online)|Flächeninhalt von Dreiecken berechnen:<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/dreiecktrigo.php Übung (realmath)]|Üben}}<br />
<br />
{{Box|Übung 6|Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die Rechnungen übersichtlich und vollständig in deinem Heft.<br />
* S. 99 Nr. 3<br />
* S. 100 Nr. 9<br />
* S. 111 Nr. 3|Üben}}<br />
<br />
===3.6 Erweiterung: Sinussatz===<br />
<br />
[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">linkes Teildreieck: <br><br />
sinα = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &#124;·b<br><br />
b·sinα = h<sub>c</sub><br></div><br />
<div class="width-1-2">rechtes Teildreieck: <br><br />
sinβ = <math>\tfrac{h_c}{a}</math> &#124;·b<br><br />
a·sinβ = h<sub>c</sub><br></div><br />
</div><br />
Also gilt:<br><br />
a·sinβ = b·sinα &nbsp;&#124; : sinα; : sinβ<br><br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta}</math><br><br />
Ebenso kannst du dies für h<sub>a</sub> und h<sub>b</sub> herleiten und erhältst den Sinussatz:<br><br />
<br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math><br />
<br />
<br />
{{Box|1=Sinussatz (für allgemeine Dreiecke)|2=In jedem Dreieck verhalten sich die Seiten wie die Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel:<br><br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math>|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|O2ZY6htEY4k|800|center}}<br />
<br />
{{Box|Übung 7|Löse mithilfe des Sinussatzes im Buch<br />
* S. 114, Nr. 25|Üben}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=4 Berechnungen in beliebigen Figuren|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen_in_allgemeinen_Dreiecken&diff=93102Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken2024-03-16T19:33:11Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}<br />
<br><br />
[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]<br />
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie|Startseite (Vorwissen)]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinus,Kosinus,Tangens|1) Sinus, Kosinus, Tangens]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken|2) Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken|3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren|4) Berechnungen in beliebigen Figuren]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinusfunktion|5) Sinusfunktion und Kosinusfunktion]]}}<br />
<br><br />
<br />
==3 Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken==<br />
<br />
Die Seitenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tanges gelten nur für rechtwinklige Dreiecke.<br />
[[Datei:Idee Flipchart.png|rechts|rahmenlos|200px]]Um in allgemeinen Dreiecken Strecken und Winkel berechnen zu können, zerlege das Dreieck mithilfe einer '''Höhe''' in zwei '''rechtwinklige''' Dreiecke.<br />
<br />
{{Box|Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken|'''Zerlege''' das allgemeine Dreieck in zwei '''rechtwinklige''' Dreiecke. Zeichne dazu eine geeignete '''Höhe h''' ein.<br><br />
Berechne dann mithilfe von Sinus, Kosinus und Tagens die fehlenden Strecken in den rechtwinkligen Teildreiecken.<br><br />
Übertrage die Beispiele in dein Heft (Skizze und Rechnungen)|Arbeitsmethode}}<br />
===3.1 Beispiel 1: Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben===<br />
<br><br />
'''1. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>a</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1.3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme γ:<br><br />
Winkelsummensatz<br><br />
γ = 180° - α - β<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 76°<br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Berechne h<sub>a</sub>:<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · sin β = h<sub>a</sub> <br><br />
8,5 · sin(42°) = h<sub>a</sub> <br><br />
5,7 (cm)≈ h<sub>a</sub><br></div><br />
<div class="width-1-3">③ Berechne b:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br><br />
b · sin γ = h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124; : sin γ<br><br />
b = <math>\tfrac{h_a}{sin\gamma}</math> <br><br />
b = <math>\tfrac{\text{5,7}}{\text{sin(76°)}}</math> <br><br />
b <math>\approx</math> 5,9 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">Berechne a:<br><br />
④ Berechne a<sub>1</sub>:<br><br />
cos β = <math>\tfrac{a_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · cos β = a<sub>1</sub><br><br />
8,5 · cos (42°) = a<sub>1</sub><br><br />
6,3 (cm) <math>\approx</math>a<sub>1</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑤ Berechne a<sub>2</sub>:<br />
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br><br />
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br><br />
5,9 · cos (76°) = a<sub>2</sub><br><br />
1,4 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Berechne a:<br><br />
a = a<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 6,3 + 1,4 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 7,7 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
'''2. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>b</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1.4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">① Bestimme γ:<br><br />
Winkelsummensatz<br><br />
γ = 180° - α - β<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 76°<br></div><br />
<div class="width-1-3">② Berechne h<sub>b</sub>: <br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · sin α = h<sub>b</sub> <br><br />
8,5 · sin(62°) = h<sub>b</sub> <br><br />
7,5 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> </div><br />
<div class="width-1-3">③ Berechne a:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br><br />
a · sin γ = h<sub>b</sub> &nbsp;&nbsp;&#124; : sin γ<br><br />
a = <math>\tfrac{h_b}{sin\gamma}</math> <br><br />
a = <math>\tfrac{\text{7,5}}{\text{sin(76°)}}</math> <br><br />
a <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">Berechne b:<br><br />
④ Berechne b<sub>1</sub>:<br><br />
cos α = <math>\tfrac{b_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · cos α = b<sub>1</sub><br><br />
8,5 · cos (62°) = b<sub>1</sub><br><br />
4,0 (cm) <math>\approx</math>b<sub>1</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑤ Berechne b<sub>2</sub>: <br><br />
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br><br />
a · cos γ = b<sub>2</sub> <br><br />
7,7 · cos (76°) = b<sub>2</sub><br><br />
1,9 (cm) <math>\approx</math> b<sub>2</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Berechne b:<br><br />
b = b<sub>1</sub> + b<sub>2</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 4,0 + 1,9 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 5,9 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
===3.2 Beispiel 2: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben===<br />
<br><br />
'''1. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>a</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>a</sub>:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · sin γ = h<sub>a</sub> <br><br />
5,8 · sin(65°) = h<sub>a</sub><br><br />
5,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>a</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme a<sub>2</sub><br><br />
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br><br />
5,8 · cos(65°) = a<sub>2</sub><br><br />
2,5 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme a<sub>1</sub><br><br />
a – a<sub>2</sub>= a<sub>1</sub> <br><br />
8,2 - 3,8 = a<sub>1</sub> <br><br />
5,7 (cm) = a<sub>1</sub><br> </div><br />
</div> <br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme β<br><br />
tan β = <math>\tfrac{h_a}{a_1}</math><br><br />
tan β = <math>\tfrac{5,2}{5,7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br><br />
β <math>\approx</math> 42,4°<br></div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme c<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br><br />
c · sin β = h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin β<br><br />
c = <math>\tfrac{h_a}{sin\beta}</math><br><br />
c = <math>\tfrac{\text{5,2}}{\text{sin (42,4°)}}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm) <br>ODER:<br> <br />
c² = <math>h_a^2 + a_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c= <math>\sqrt{h_a^2 + a_1^2}</math><br><br />
c = <math>\sqrt{5,2^2 + 5,7^2}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br />
</div> <br />
<div class="width-1-3"><br />
⑥ Bestimme den letzten Winkel α <br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- β; -γ<br><br />
α = 180° - β - γ <br><br />
α = 180° - 42,4° - 65°<br><br />
α = 72,6°<br />
<br></div><br />
</div><br />
<br />
<br />
'''2. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>b</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3.2 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>b</sub>:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br><br />
a · sin γ = h<sub>b</sub> <br><br />
8,2 · sin(65°) = h<sub>b</sub><br><br />
7,4 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme b<sub>2</sub><br><br />
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br><br />
a · cos γ = b<sub>2</sub> <br><br />
8,2 · cos(65°) = b<sub>2</sub><br><br />
3,5 (cm) <math>\approx</math> b<sub>2</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme b<sub>1</sub><br><br />
b – b<sub>2</sub>= b<sub>1</sub> <br><br />
5,8 - 3,5 = b<sub>1</sub> <br><br />
2,3 (cm) = b<sub>1</sub><br> </div><br />
</div> <br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme α<br><br />
tan α = <math>\tfrac{h_b}{b_1}</math><br><br />
tan α = <math>\tfrac{7,4}{2,3}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br><br />
α <math>\approx</math> 72,7°<br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme c<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br><br />
c · sin α = h<sub>b</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin α<br><br />
c = <math>\tfrac{h_b}{sin\alpha}</math><br><br />
c = <math>\tfrac{\text{7,4}}{\text{sin (72,7°)}}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,8 (cm) <br><br />
ODER:<br> <br />
c² = <math>h_b^2 + b_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c= <math>\sqrt{h_b^2 + b_1^2}</math><br><br />
c = <math>\sqrt{7,4^2 + 2,3^2}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br />
</div> <br />
<div class="width-1-3"><br />
⑥ Bestimme den letzten Winkel β <br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- α; -γ<br><br />
β = 180° - α - γ <br><br />
β= 180° - 72,7° - 65°<br><br />
β = 42,3°</div><br />
</div><br><br />
<br><br />
Du merkst, es kommt zu Rundungsungenauigkeiten.<br><br />
<br />
===3.3 Beispiel 3: Zwei Seiten und ein anliegender Winkel sind gegeben===<br />
Erkläre, warum es hier nur '''eine Möglichkeit''' gibt, das Dreieck zu zerlegen: die '''Höhe h<sub>c</sub>''' .<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 4.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>c</sub>:<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · sin α = h<sub>c</sub> <br><br />
10,5 · sin(37°) = h<sub>c</sub><br><br />
6,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>c</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme c<sub>1</sub><br><br />
cos α = <math>\tfrac{c_1}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · cos α = c<sub>1</sub> <br><br />
10,5 · cos(37°) = c<sub>1</sub><br><br />
8,4 (cm) <math>\approx</math> c<sub>1</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme c<sub>2</sub><br><br />
<math>h_c^2 + c_2^2</math> = a² &nbsp;&nbsp;&#124;-<math>h_c^2 </math><br><br />
<math>c_2^2</math> = a² - <math>h_c^2</math>&nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c<sub>2</sub>= <math>\sqrt{a^2 - h_c^2}</math><br><br />
c<sub>2</sub> = <math>\sqrt{7^2 - 6,3^2}</math><br><br />
c<sub>2</sub> <math>\approx</math> 3,1 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<br><br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme c:<br><br />
c = c<sub>1</sub> + c<sub>2</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = 8,4 + 3,1<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 11,5 (cm)</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme β<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_c}{a}</math><br><br />
sin β = <math>\tfrac{6,3}{7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;sin<sup>-1</sup><br><br />
β <math>\approx</math> 64,2°</div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Bestimme den letzten Winkel γ<br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- α; -β<br><br />
γ = 180° - β - α<br><br />
γ= 180° - 37° - 64,2°<br><br />
γ = 78,8°</div><br />
</div><br />
<br />
<br><br />
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:<br><br />
{{#ev:youtube|bEMu4A19HXI|800|center}}<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Übung 1 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.<br />
* 45<br />
* 46|Üben}}<br />
{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizze in dein Heft und zerlege das allgemeine Dreieck durch eine geeignete Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke. Bestimme dann die fehlenden Größen.<br />
* S. 99 Nr. 1<br />
* S. 99 Nr. 2<br />
* S. 99 Nr. 4<br />
* S. 100 Nr. 6|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 2. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben.|Tipp zu Nr. 1|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 1. Beispiel, es sind eine Seite und zwei Winkel gegeben.|Tipp zu Nr. 2|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 3. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein anliegender Winkel gegeben|Tipp zu Nr. 4|Verbergen}}<br />
<br />
===3.4 Anwendungsaufgaben===<br />
{{Box|Übung 3 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.<br />
* 47<br />
* 48|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann den fehlenden Winkel, die Länge der entsprechenden Höhe und die Längen der Seiten a und b.<br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 63.png|rahmenlos]]<br><br />
[[Datei:Skizze 2 zu Nr. 63.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze 3 zu Nr. 63.png|rahmenlos]]<br><br />
Prüfe deine Lösungen auf der Seite Aufgabenfuchs.|Tipp zu Nr. 65|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann schrittweise die fehlenden Größen.<br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 64.png|rahmenlos]] <br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 64 1.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze zu Nr. 64 2.png|rahmenlos]]<br><br />
Prüfe dein Ergebnis auf der Seite Aufgabenfuchs.|Tipp zu Nr. 66|Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 4|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizzen in dein Heft und löse schrittweise. Notiere vollständig und übersichtlich.<br />
* S. 99 Nr. 5<br />
* S. 100 Nr. 7<br />
* S. 100 Nr. 8|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Erstelle eine Skizze zur Aufgabe und beschrifte sie vollständig.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 99 Nr. 5.png|rahmenlos]]<br><br />
Zerlege das Dreieck durch eine Höhe in zwei rechtwinklige Teildreiecke.<br><br />
[[Datei:Skizze 1 zu S. 99 Nr. 5.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze 2 zu S. 99 Nr. 5 neu.png|rahmenlos]]<br><br />
Lösung: c= 2,535; a = 1,757|2=Tipp zu Nr. 5|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Dachfläche besteht aus 4 Dreiecksflächen. Bestimme also die Fläche eines Dreiecks und multipliziere diesen Flächeninhalt mit 4. Die Skizze hilft dir bei der Bestimmung der nötigen Größen. (A<sub>Dreieck</sub>= <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math>)<br><br />
[[Datei:S. 100 Nr. 7 Skizze.png|rahmenlos]]<br><br />
Zwischenlösung: h<sub>c</sub>=14,42m; c=10,78m|2=Tipp zu Nr. 7|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Erstelle eine Skizze zur Aufgabe:<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8.png|rahmenlos]]<br><br />
Gesucht sind hier nun a und d.|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte das linke Dreieck ABL. Zerlege es in rechtwinklige Teildreiecke (ohne die gegebene Seite c zu teilen). Die Skizze hilft dir für deinen Lösungsplan.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8a.png|rahmenlos]]<br><br />
Bestimme h<sub>a</sub>, δ<sub>1</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a.<br><br />
(Lösung: a=3,63 sm)|2=Tipp zu 8a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte zur Lösung das linke Dreieck BCL. Gegeben ist nun auch aus Teil a) die Länge der Strecke a = 3,63 sm. Berechne den Nebenwinkel β<sub>2</sub> von β und den Winkel δ<sub>2</sub> mihilfe der Winkelsumme. Zerlege auch dieses Dreieck wieder in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Die Skizze hilft dir, die nötigen Rechenschritte zu planen.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8b.png|rahmenlos]]<br><br />
(Lösung: h<sub>e</sub> = 1,92 sm; d = 3,51 sm)|2=Tipp zu 8b|3=Verbergen}}<br />
<br />
====Zwischentest 4: Anwendung in einem beliebigen Dreieck====<br />
<quiz display="simple"><br />
{Im Losbergpark soll eine neue Brücke über den See gebaut werden. Berechne die Länge der Brücke.<br />
<br />
[[Datei:Trigonometrie Brücke Losbergpark.jpg|rahmenlos|500x500px]]}<br />
<br />
+ Länge ≈ 30,33 m<br />
- Länge ≈ 30,21 m<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===3.5 Erweiterung: Formel für den Flächeninhalt beliebiger Dreiecke (mit Sinus)===<br />
<br />
{{Box|Flächeninhaltsformel Dreieck (mit Sinus)|Gruppenarbeit: Arbeitet arbeitsteilig in 3er Gruppen.<br><br />
Der Flächeninhalt von Dreiecken kann mit dem Sinus eines Winkels und zweier Seitenlängen bestimmt werden.<br />
Die Herleitung der Formel ist auf der Seite realmath dargestellt.<br />
Öffnet arbeitsteilig die Seite und leitet die Flächeninhaltsformel für ein Dreieck her. Notiert im Heft.<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach.php Link 1 zur Herleitung (realmath)]<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach2.php Link 2]<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach3.php Link 3]<br />
Welche Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede entdeckt ihr?|Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Flächeninhaltsformel für beliebige Dreiecke|2=[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]Den Flächeninhalt eines (beliebigen) Dreiecks können wir mit den Formeln berechnen:<br><br />
A = <math>\tfrac{1}{2}</math>·b·c·sinα<br>|3=Merksatz}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Herleitung:<br><br />
linkes Teildreieck: <br><br />
sinα = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &#124;·b<br><br />
b·sinα = h<sub>c</sub><br><br />
<br />
Flächeninhaltsformel:<br><br />
A = <math>\tfrac{c\cdot h_c}{2}</math> &nbsp;&#124; setze für h<sub>c</sub> = b·sinα ein<br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{c\cdot bsinα}{2}</math><br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>b·c·sinα<br><br />
Ebenso kannst du die Flächeninhaltsformeln für die anderen Seiten als Grundseiten herleiten.|2=Herleitung der Formel|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 5 (online)|Flächeninhalt von Dreiecken berechnen:<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/dreiecktrigo.php Übung (realmath)]|Üben}}<br />
<br />
{{Box|Übung 6|Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die Rechnungen übersichtlich und vollständig in deinem Heft.<br />
* S. 99 Nr. 3<br />
* S. 100 Nr. 9<br />
* S. 111 Nr. 3|Üben}}<br />
<br />
===3.6 Erweiterung: Sinussatz===<br />
<br />
[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">linkes Teildreieck: <br><br />
sinα = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &#124;·b<br><br />
b·sinα = h<sub>c</sub><br></div><br />
<div class="width-1-2">rechtes Teildreieck: <br><br />
sinβ = <math>\tfrac{h_c}{a}</math> &#124;·b<br><br />
a·sinβ = h<sub>c</sub><br></div><br />
</div><br />
Also gilt:<br><br />
a·sinβ = b·sinα &nbsp;&#124; : sinα; : sinβ<br><br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta}</math><br><br />
Ebenso kannst du dies für h<sub>a</sub> und h<sub>b</sub> herleiten und erhältst den Sinussatz:<br><br />
<br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math><br />
<br />
<br />
{{Box|1=Sinussatz (für allgemeine Dreiecke)|2=In jedem Dreieck verhalten sich die Seiten wie die Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel:<br><br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math>|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|O2ZY6htEY4k|800|center}}<br />
<br />
{{Box|Übung 7|Löse mithilfe des Sinussatzes im Buch<br />
* S. 114, Nr. 25|Üben}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=4 Berechnungen in beliebigen Figuren|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen_in_allgemeinen_Dreiecken&diff=93101Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken2024-03-16T19:31:14Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}<br />
<br><br />
[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]<br />
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie|Startseite (Vorwissen)]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinus,Kosinus,Tangens|1) Sinus, Kosinus, Tangens]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken|2) Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken|3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren|4) Berechnungen in beliebigen Figuren]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinusfunktion|5) Sinusfunktion und Kosinusfunktion]]}}<br />
<br><br />
<br />
==3 Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken==<br />
<br />
Die Seitenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tanges gelten nur für rechtwinklige Dreiecke.<br />
[[Datei:Idee Flipchart.png|rechts|rahmenlos|200px]]Um in allgemeinen Dreiecken Strecken und Winkel berechnen zu können, zerlege das Dreieck mithilfe einer '''Höhe''' in zwei '''rechtwinklige''' Dreiecke.<br />
<br />
{{Box|Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken|'''Zerlege''' das allgemeine Dreieck in zwei '''rechtwinklige''' Dreiecke. Zeichne dazu eine geeignete '''Höhe h''' ein.<br><br />
Berechne dann mithilfe von Sinus, Kosinus und Tagens die fehlenden Strecken in den rechtwinkligen Teildreiecken.<br><br />
Übertrage die Beispiele in dein Heft (Skizze und Rechnungen)|Arbeitsmethode}}<br />
===3.1 Beispiel 1: Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben===<br />
<br><br />
'''1. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>a</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1.3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme γ:<br><br />
Winkelsummensatz<br><br />
γ = 180° - α - β<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 76°<br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Berechne h<sub>a</sub>:<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · sin β = h<sub>a</sub> <br><br />
8,5 · sin(42°) = h<sub>a</sub> <br><br />
5,7 (cm)≈ h<sub>a</sub><br></div><br />
<div class="width-1-3">③ Berechne b:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br><br />
b · sin γ = h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124; : sin γ<br><br />
b = <math>\tfrac{h_a}{sin\gamma}</math> <br><br />
b = <math>\tfrac{\text{5,7}}{\text{sin(76°)}}</math> <br><br />
b <math>\approx</math> 5,9 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">Berechne a:<br><br />
④ Berechne a<sub>1</sub>:<br />
cos β = <math>\tfrac{a_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · cos β = a<sub>1</sub><br><br />
8,5 · cos (42°) = a<sub>1</sub><br><br />
6,3 (cm) <math>\approx</math>a<sub>1</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑤ Berechne a<sub>2</sub>:<br />
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br><br />
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br><br />
5,9 · cos (76°) = a<sub>2</sub><br><br />
1,4 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Berechne a:<br><br />
a = a<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 6,3 + 1,4 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 7,7 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
'''2. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>b</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1.4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">① Bestimme γ:<br><br />
Winkelsummensatz<br><br />
γ = 180° - α - β<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 76°<br></div><br />
<div class="width-1-3">② Berechne h<sub>b</sub>:<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · sin α = h<sub>b</sub> <br><br />
8,5 · sin(62°) = h<sub>b</sub> <br><br />
7,5 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> </div><br />
<div class="width-1-3">③ Berechne a:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br><br />
a · sin γ = h<sub>b</sub> &nbsp;&nbsp;&#124; : sin γ<br><br />
a = <math>\tfrac{h_b}{sin\gamma}</math> <br><br />
a = <math>\tfrac{\text{7,5}}{\text{sin(76°)}}</math> <br><br />
a <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">Berechne b:<br><br />
④ Berechne b<sub>1</sub>:<br />
cos α = <math>\tfrac{b_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · cos α = b<sub>1</sub><br><br />
8,5 · cos (62°) = b<sub>1</sub><br><br />
4,0 (cm) <math>\approx</math>b<sub>1</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑤ Berechne b<sub>2</sub>:<br />
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br><br />
a · cos γ = b<sub>2</sub> <br><br />
7,7 · cos (76°) = b<sub>2</sub><br><br />
1,9 (cm) <math>\approx</math> b<sub>2</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Berechne b:<br><br />
b = b<sub>1</sub> + b<sub>2</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 4,0 + 1,9 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 5,9 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
===3.2 Beispiel 2: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben===<br />
<br><br />
'''1. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>a</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>a</sub>:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · sin γ = h<sub>a</sub> <br><br />
5,8 · sin(65°) = h<sub>a</sub><br><br />
5,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>a</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme a<sub>2</sub><br><br />
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br><br />
5,8 · cos(65°) = a<sub>2</sub><br><br />
2,5 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme a<sub>1</sub><br><br />
a – a<sub>2</sub>= a<sub>1</sub> <br><br />
8,2 - 3,8 = a<sub>1</sub> <br><br />
5,7 (cm) = a<sub>1</sub><br> </div><br />
</div> <br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme β<br><br />
tan β = <math>\tfrac{h_a}{a_1}</math><br><br />
tan β = <math>\tfrac{5,2}{5,7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br><br />
β <math>\approx</math> 42,4°<br></div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme c<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br><br />
c · sin β = h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin β<br><br />
c = <math>\tfrac{h_a}{sin\beta}</math><br><br />
c = <math>\tfrac{\text{5,2}}{\text{sin (42,4°)}}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm) <br>ODER:<br> <br />
c² = <math>h_a^2 + a_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c= <math>\sqrt{h_a^2 + a_1^2}</math><br><br />
c = <math>\sqrt{5,2^2 + 5,7^2}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br />
</div> <br />
<div class="width-1-3"><br />
⑥ Bestimme den letzten Winkel α <br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- β; -γ<br><br />
α = 180° - β - γ <br><br />
α = 180° - 42,4° - 65°<br><br />
α = 72,6°<br />
<br></div><br />
</div><br />
<br />
<br />
'''2. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>b</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3.2 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>b</sub>:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br><br />
a · sin γ = h<sub>b</sub> <br><br />
8,2 · sin(65°) = h<sub>b</sub><br><br />
7,4 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme b<sub>2</sub><br><br />
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br><br />
a · cos γ = b<sub>2</sub> <br><br />
8,2 · cos(65°) = b<sub>2</sub><br><br />
3,5 (cm) <math>\approx</math> b<sub>2</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme b<sub>1</sub><br><br />
b – b<sub>2</sub>= b<sub>1</sub> <br><br />
5,8 - 3,5 = b<sub>1</sub> <br><br />
2,3 (cm) = b<sub>1</sub><br> </div><br />
</div> <br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme α<br><br />
tan α = <math>\tfrac{h_b}{b_1}</math><br><br />
tan α = <math>\tfrac{7,4}{2,3}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br><br />
α <math>\approx</math> 72,7°<br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme c<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br><br />
c · sin α = h<sub>b</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin α<br><br />
c = <math>\tfrac{h_b}{sin\alpha}</math><br><br />
c = <math>\tfrac{\text{7,4}}{\text{sin (72,7°)}}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,8 (cm) <br><br />
ODER:<br> <br />
c² = <math>h_b^2 + b_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c= <math>\sqrt{h_b^2 + b_1^2}</math><br><br />
c = <math>\sqrt{7,4^2 + 2,3^2}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br />
</div> <br />
<div class="width-1-3"><br />
⑥ Bestimme den letzten Winkel β <br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- α; -γ<br><br />
β = 180° - α - γ <br><br />
β= 180° - 72,7° - 65°<br><br />
β = 42,3°</div><br />
</div><br><br />
<br><br />
Du merkst, es kommt zu Rundungsungenauigkeiten.<br><br />
<br />
===3.3 Beispiel 3: Zwei Seiten und ein anliegender Winkel sind gegeben===<br />
Erkläre, warum es hier nur '''eine Möglichkeit''' gibt, das Dreieck zu zerlegen: die '''Höhe h<sub>c</sub>''' .<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 4.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>c</sub>:<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · sin α = h<sub>c</sub> <br><br />
10,5 · sin(37°) = h<sub>c</sub><br><br />
6,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>c</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme c<sub>1</sub><br><br />
cos α = <math>\tfrac{c_1}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · cos α = c<sub>1</sub> <br><br />
10,5 · cos(37°) = c<sub>1</sub><br><br />
8,4 (cm) <math>\approx</math> c<sub>1</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme c<sub>2</sub><br><br />
<math>h_c^2 + c_2^2</math> = a² &nbsp;&nbsp;&#124;-<math>h_c^2 </math><br><br />
<math>c_2^2</math> = a² - <math>h_c^2</math>&nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c<sub>2</sub>= <math>\sqrt{a^2 - h_c^2}</math><br><br />
c<sub>2</sub> = <math>\sqrt{7^2 - 6,3^2}</math><br><br />
c<sub>2</sub> <math>\approx</math> 3,1 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<br><br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme c:<br><br />
c = c<sub>1</sub> + c<sub>2</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = 8,4 + 3,1<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 11,5 (cm)</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme β<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_c}{a}</math><br><br />
sin β = <math>\tfrac{6,3}{7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;sin<sup>-1</sup><br><br />
β <math>\approx</math> 64,2°</div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Bestimme den letzten Winkel γ<br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- α; -β<br><br />
γ = 180° - β - α<br><br />
γ= 180° - 37° - 64,2°<br><br />
γ = 78,8°</div><br />
</div><br />
<br />
<br><br />
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:<br><br />
{{#ev:youtube|bEMu4A19HXI|800|center}}<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Übung 1 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.<br />
* 45<br />
* 46|Üben}}<br />
{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizze in dein Heft und zerlege das allgemeine Dreieck durch eine geeignete Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke. Bestimme dann die fehlenden Größen.<br />
* S. 99 Nr. 1<br />
* S. 99 Nr. 2<br />
* S. 99 Nr. 4<br />
* S. 100 Nr. 6|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 2. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben.|Tipp zu Nr. 1|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 1. Beispiel, es sind eine Seite und zwei Winkel gegeben.|Tipp zu Nr. 2|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 3. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein anliegender Winkel gegeben|Tipp zu Nr. 4|Verbergen}}<br />
<br />
===3.4 Anwendungsaufgaben===<br />
{{Box|Übung 3 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.<br />
* 47<br />
* 48|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann den fehlenden Winkel, die Länge der entsprechenden Höhe und die Längen der Seiten a und b.<br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 63.png|rahmenlos]]<br><br />
[[Datei:Skizze 2 zu Nr. 63.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze 3 zu Nr. 63.png|rahmenlos]]<br><br />
Prüfe deine Lösungen auf der Seite Aufgabenfuchs.|Tipp zu Nr. 65|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann schrittweise die fehlenden Größen.<br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 64.png|rahmenlos]] <br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 64 1.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze zu Nr. 64 2.png|rahmenlos]]<br><br />
Prüfe dein Ergebnis auf der Seite Aufgabenfuchs.|Tipp zu Nr. 66|Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 4|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizzen in dein Heft und löse schrittweise. Notiere vollständig und übersichtlich.<br />
* S. 99 Nr. 5<br />
* S. 100 Nr. 7<br />
* S. 100 Nr. 8|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Erstelle eine Skizze zur Aufgabe und beschrifte sie vollständig.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 99 Nr. 5.png|rahmenlos]]<br><br />
Zerlege das Dreieck durch eine Höhe in zwei rechtwinklige Teildreiecke.<br><br />
[[Datei:Skizze 1 zu S. 99 Nr. 5.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze 2 zu S. 99 Nr. 5 neu.png|rahmenlos]]<br><br />
Lösung: c= 2,535; a = 1,757|2=Tipp zu Nr. 5|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Dachfläche besteht aus 4 Dreiecksflächen. Bestimme also die Fläche eines Dreiecks und multipliziere diesen Flächeninhalt mit 4. Die Skizze hilft dir bei der Bestimmung der nötigen Größen. (A<sub>Dreieck</sub>= <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math>)<br><br />
[[Datei:S. 100 Nr. 7 Skizze.png|rahmenlos]]<br><br />
Zwischenlösung: h<sub>c</sub>=14,42m; c=10,78m|2=Tipp zu Nr. 7|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Erstelle eine Skizze zur Aufgabe:<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8.png|rahmenlos]]<br><br />
Gesucht sind hier nun a und d.|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte das linke Dreieck ABL. Zerlege es in rechtwinklige Teildreiecke (ohne die gegebene Seite c zu teilen). Die Skizze hilft dir für deinen Lösungsplan.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8a.png|rahmenlos]]<br><br />
Bestimme h<sub>a</sub>, δ<sub>1</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a.<br><br />
(Lösung: a=3,63 sm)|2=Tipp zu 8a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte zur Lösung das linke Dreieck BCL. Gegeben ist nun auch aus Teil a) die Länge der Strecke a = 3,63 sm. Berechne den Nebenwinkel β<sub>2</sub> von β und den Winkel δ<sub>2</sub> mihilfe der Winkelsumme. Zerlege auch dieses Dreieck wieder in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Die Skizze hilft dir, die nötigen Rechenschritte zu planen.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8b.png|rahmenlos]]<br><br />
(Lösung: h<sub>e</sub> = 1,92 sm; d = 3,51 sm)|2=Tipp zu 8b|3=Verbergen}}<br />
<br />
====Zwischentest 4: Anwendung in einem beliebigen Dreieck====<br />
<quiz display="simple"><br />
{Im Losbergpark soll eine neue Brücke über den See gebaut werden. Berechne die Länge der Brücke.<br />
<br />
[[Datei:Trigonometrie Brücke Losbergpark.jpg|rahmenlos|500x500px]]}<br />
<br />
+ Länge ≈ 30,33 m<br />
- Länge ≈ 30,21 m<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===3.5 Erweiterung: Formel für den Flächeninhalt beliebiger Dreiecke (mit Sinus)===<br />
<br />
{{Box|Flächeninhaltsformel Dreieck (mit Sinus)|Gruppenarbeit: Arbeitet arbeitsteilig in 3er Gruppen.<br><br />
Der Flächeninhalt von Dreiecken kann mit dem Sinus eines Winkels und zweier Seitenlängen bestimmt werden.<br />
Die Herleitung der Formel ist auf der Seite realmath dargestellt.<br />
Öffnet arbeitsteilig die Seite und leitet die Flächeninhaltsformel für ein Dreieck her. Notiert im Heft.<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach.php Link 1 zur Herleitung (realmath)]<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach2.php Link 2]<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach3.php Link 3]<br />
Welche Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede entdeckt ihr?|Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Flächeninhaltsformel für beliebige Dreiecke|2=[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]Den Flächeninhalt eines (beliebigen) Dreiecks können wir mit den Formeln berechnen:<br><br />
A = <math>\tfrac{1}{2}</math>·b·c·sinα<br>|3=Merksatz}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Herleitung:<br><br />
linkes Teildreieck: <br><br />
sinα = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &#124;·b<br><br />
b·sinα = h<sub>c</sub><br><br />
<br />
Flächeninhaltsformel:<br><br />
A = <math>\tfrac{c\cdot h_c}{2}</math> &nbsp;&#124; setze für h<sub>c</sub> = b·sinα ein<br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{c\cdot bsinα}{2}</math><br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>b·c·sinα<br><br />
Ebenso kannst du die Flächeninhaltsformeln für die anderen Seiten als Grundseiten herleiten.|2=Herleitung der Formel|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 5 (online)|Flächeninhalt von Dreiecken berechnen:<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/dreiecktrigo.php Übung (realmath)]|Üben}}<br />
<br />
{{Box|Übung 6|Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die Rechnungen übersichtlich und vollständig in deinem Heft.<br />
* S. 99 Nr. 3<br />
* S. 100 Nr. 9<br />
* S. 111 Nr. 3|Üben}}<br />
<br />
===3.6 Erweiterung: Sinussatz===<br />
<br />
[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">linkes Teildreieck: <br><br />
sinα = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &#124;·b<br><br />
b·sinα = h<sub>c</sub><br></div><br />
<div class="width-1-2">rechtes Teildreieck: <br><br />
sinβ = <math>\tfrac{h_c}{a}</math> &#124;·b<br><br />
a·sinβ = h<sub>c</sub><br></div><br />
</div><br />
Also gilt:<br><br />
a·sinβ = b·sinα &nbsp;&#124; : sinα; : sinβ<br><br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta}</math><br><br />
Ebenso kannst du dies für h<sub>a</sub> und h<sub>b</sub> herleiten und erhältst den Sinussatz:<br><br />
<br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math><br />
<br />
<br />
{{Box|1=Sinussatz (für allgemeine Dreiecke)|2=In jedem Dreieck verhalten sich die Seiten wie die Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel:<br><br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math>|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|O2ZY6htEY4k|800|center}}<br />
<br />
{{Box|Übung 7|Löse mithilfe des Sinussatzes im Buch<br />
* S. 114, Nr. 25|Üben}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=4 Berechnungen in beliebigen Figuren|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen_in_allgemeinen_Dreiecken&diff=93100Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken2024-03-16T19:30:01Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}<br />
<br><br />
[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]<br />
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie|Startseite (Vorwissen)]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinus,Kosinus,Tangens|1) Sinus, Kosinus, Tangens]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken|2) Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken|3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren|4) Berechnungen in beliebigen Figuren]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinusfunktion|5) Sinusfunktion und Kosinusfunktion]]}}<br />
<br><br />
<br />
==3 Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken==<br />
<br />
Die Seitenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tanges gelten nur für rechtwinklige Dreiecke.<br />
[[Datei:Idee Flipchart.png|rechts|rahmenlos|200px]]Um in allgemeinen Dreiecken Strecken und Winkel berechnen zu können, zerlege das Dreieck mithilfe einer '''Höhe''' in zwei '''rechtwinklige''' Dreiecke.<br />
<br />
{{Box|Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken|'''Zerlege''' das allgemeine Dreieck in zwei '''rechtwinklige''' Dreiecke. Zeichne dazu eine geeignete '''Höhe h''' ein.<br><br />
Berechne dann mithilfe von Sinus, Kosinus und Tagens die fehlenden Strecken in den rechtwinkligen Teildreiecken.<br><br />
Übertrage die Beispiele in dein Heft (Skizze und Rechnungen)|Arbeitsmethode}}<br />
===3.1 Beispiel 1: Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben===<br />
<br><br />
'''1. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>a</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1.3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme γ:<br><br />
Winkelsummensatz<br><br />
γ = 180° - α - β<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 76°<br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Berechne h<sub>a</sub>:<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · sin β = h<sub>a</sub> <br><br />
8,5 · sin(42°) = h<sub>a</sub> <br><br />
5,7 (cm)≈ h<sub>a</sub><br></div><br />
<div class="width-1-3">③ Berechne b:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br><br />
b · sin γ = h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124; : sin γ<br><br />
b = <math>\tfrac{h_a}{sin\gamma}</math> <br><br />
b = <math>\tfrac{\text{5,7}}{\text{sin(76°)}}</math> <br><br />
b <math>\approx</math> 5,9 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">Berechne a:<br><br />
④ Berechne a<sub>1</sub>:<br />
cos β = <math>\tfrac{a_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · cos β = a<sub>1</sub><br><br />
8,5 · cos (42°) = a<sub>1</sub><br><br />
6,3 (cm) <math>\approx</math>a<sub>1</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑤ Berechne a<sub>2</sub>:<br />
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br><br />
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br><br />
5,9 · cos (76°) = a<sub>2</sub><br><br />
1,4 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Berechne a:<br><br />
a = a<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 6,3 + 1,4 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 7,7 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
'''2. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>b</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1.4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">① Bestimme γ:<br><br />
Winkelsummensatz<br><br />
γ = 180° - α - β<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 76°<br></div><br />
<div class="width-1-3">② Berechne h<sub>b</sub>:<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · sin α = h<sub>b</sub> <br><br />
8,5 · sin(62°) = h<sub>b</sub> <br><br />
7,5 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> </div><br />
<div class="width-1-3">③ Berechne a:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br><br />
a · sin γ = h<sub>b</sub> &nbsp;&nbsp;&#124; : sin γ<br><br />
a = <math>\tfrac{h_b}{sin\gamma}</math> <br><br />
a = <math>\tfrac{\text{7,5}}{\text{sin(76°)}}</math> <br><br />
a <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
Berechne b:<br><br />
<div class="width-1-3">④ Berechne b<sub>1</sub>:<br />
cos α = <math>\tfrac{b_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · cos α = b<sub>1</sub><br><br />
8,5 · cos (62°) = b<sub>1</sub><br><br />
4,0 (cm) <math>\approx</math>b<sub>1</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑤ Berechne b<sub>2</sub>:<br />
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br><br />
a · cos γ = b<sub>2</sub> <br><br />
7,7 · cos (76°) = b<sub>2</sub><br><br />
1,9 (cm) <math>\approx</math> b<sub>2</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Berechne b:<br><br />
b = b<sub>1</sub> + b<sub>2</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 4,0 + 1,9 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 5,9 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
===3.2 Beispiel 2: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben===<br />
<br><br />
'''1. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>a</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>a</sub>:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · sin γ = h<sub>a</sub> <br><br />
5,8 · sin(65°) = h<sub>a</sub><br><br />
5,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>a</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme a<sub>2</sub><br><br />
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br><br />
5,8 · cos(65°) = a<sub>2</sub><br><br />
2,5 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme a<sub>1</sub><br><br />
a – a<sub>2</sub>= a<sub>1</sub> <br><br />
8,2 - 3,8 = a<sub>1</sub> <br><br />
5,7 (cm) = a<sub>1</sub><br> </div><br />
</div> <br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme β<br><br />
tan β = <math>\tfrac{h_a}{a_1}</math><br><br />
tan β = <math>\tfrac{5,2}{5,7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br><br />
β <math>\approx</math> 42,4°<br></div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme c<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br><br />
c · sin β = h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin β<br><br />
c = <math>\tfrac{h_a}{sin\beta}</math><br><br />
c = <math>\tfrac{\text{5,2}}{\text{sin (42,4°)}}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm) <br>ODER:<br> <br />
c² = <math>h_a^2 + a_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c= <math>\sqrt{h_a^2 + a_1^2}</math><br><br />
c = <math>\sqrt{5,2^2 + 5,7^2}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br />
</div> <br />
<div class="width-1-3"><br />
⑥ Bestimme den letzten Winkel α <br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- β; -γ<br><br />
α = 180° - β - γ <br><br />
α = 180° - 42,4° - 65°<br><br />
α = 72,6°<br />
<br></div><br />
</div><br />
<br />
<br />
'''2. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>b</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3.2 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>b</sub>:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br><br />
a · sin γ = h<sub>b</sub> <br><br />
8,2 · sin(65°) = h<sub>b</sub><br><br />
7,4 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme b<sub>2</sub><br><br />
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br><br />
a · cos γ = b<sub>2</sub> <br><br />
8,2 · cos(65°) = b<sub>2</sub><br><br />
3,5 (cm) <math>\approx</math> b<sub>2</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme b<sub>1</sub><br><br />
b – b<sub>2</sub>= b<sub>1</sub> <br><br />
5,8 - 3,5 = b<sub>1</sub> <br><br />
2,3 (cm) = b<sub>1</sub><br> </div><br />
</div> <br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme α<br><br />
tan α = <math>\tfrac{h_b}{b_1}</math><br><br />
tan α = <math>\tfrac{7,4}{2,3}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br><br />
α <math>\approx</math> 72,7°<br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme c<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br><br />
c · sin α = h<sub>b</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin α<br><br />
c = <math>\tfrac{h_b}{sin\alpha}</math><br><br />
c = <math>\tfrac{\text{7,4}}{\text{sin (72,7°)}}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,8 (cm) <br><br />
ODER:<br> <br />
c² = <math>h_b^2 + b_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c= <math>\sqrt{h_b^2 + b_1^2}</math><br><br />
c = <math>\sqrt{7,4^2 + 2,3^2}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br />
</div> <br />
<div class="width-1-3"><br />
⑥ Bestimme den letzten Winkel β <br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- α; -γ<br><br />
β = 180° - α - γ <br><br />
β= 180° - 72,7° - 65°<br><br />
β = 42,3°</div><br />
</div><br><br />
<br><br />
Du merkst, es kommt zu Rundungsungenauigkeiten.<br><br />
<br />
===3.3 Beispiel 3: Zwei Seiten und ein anliegender Winkel sind gegeben===<br />
Erkläre, warum es hier nur '''eine Möglichkeit''' gibt, das Dreieck zu zerlegen: die '''Höhe h<sub>c</sub>''' .<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 4.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>c</sub>:<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · sin α = h<sub>c</sub> <br><br />
10,5 · sin(37°) = h<sub>c</sub><br><br />
6,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>c</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme c<sub>1</sub><br><br />
cos α = <math>\tfrac{c_1}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · cos α = c<sub>1</sub> <br><br />
10,5 · cos(37°) = c<sub>1</sub><br><br />
8,4 (cm) <math>\approx</math> c<sub>1</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme c<sub>2</sub><br><br />
<math>h_c^2 + c_2^2</math> = a² &nbsp;&nbsp;&#124;-<math>h_c^2 </math><br><br />
<math>c_2^2</math> = a² - <math>h_c^2</math>&nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c<sub>2</sub>= <math>\sqrt{a^2 - h_c^2}</math><br><br />
c<sub>2</sub> = <math>\sqrt{7^2 - 6,3^2}</math><br><br />
c<sub>2</sub> <math>\approx</math> 3,1 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<br><br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme c:<br><br />
c = c<sub>1</sub> + c<sub>2</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = 8,4 + 3,1<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 11,5 (cm)</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme β<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_c}{a}</math><br><br />
sin β = <math>\tfrac{6,3}{7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;sin<sup>-1</sup><br><br />
β <math>\approx</math> 64,2°</div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Bestimme den letzten Winkel γ<br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- α; -β<br><br />
γ = 180° - β - α<br><br />
γ= 180° - 37° - 64,2°<br><br />
γ = 78,8°</div><br />
</div><br />
<br />
<br><br />
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:<br><br />
{{#ev:youtube|bEMu4A19HXI|800|center}}<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Übung 1 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.<br />
* 45<br />
* 46|Üben}}<br />
{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizze in dein Heft und zerlege das allgemeine Dreieck durch eine geeignete Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke. Bestimme dann die fehlenden Größen.<br />
* S. 99 Nr. 1<br />
* S. 99 Nr. 2<br />
* S. 99 Nr. 4<br />
* S. 100 Nr. 6|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 2. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben.|Tipp zu Nr. 1|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 1. Beispiel, es sind eine Seite und zwei Winkel gegeben.|Tipp zu Nr. 2|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 3. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein anliegender Winkel gegeben|Tipp zu Nr. 4|Verbergen}}<br />
<br />
===3.4 Anwendungsaufgaben===<br />
{{Box|Übung 3 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.<br />
* 47<br />
* 48|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann den fehlenden Winkel, die Länge der entsprechenden Höhe und die Längen der Seiten a und b.<br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 63.png|rahmenlos]]<br><br />
[[Datei:Skizze 2 zu Nr. 63.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze 3 zu Nr. 63.png|rahmenlos]]<br><br />
Prüfe deine Lösungen auf der Seite Aufgabenfuchs.|Tipp zu Nr. 65|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann schrittweise die fehlenden Größen.<br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 64.png|rahmenlos]] <br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 64 1.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze zu Nr. 64 2.png|rahmenlos]]<br><br />
Prüfe dein Ergebnis auf der Seite Aufgabenfuchs.|Tipp zu Nr. 66|Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 4|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizzen in dein Heft und löse schrittweise. Notiere vollständig und übersichtlich.<br />
* S. 99 Nr. 5<br />
* S. 100 Nr. 7<br />
* S. 100 Nr. 8|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Erstelle eine Skizze zur Aufgabe und beschrifte sie vollständig.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 99 Nr. 5.png|rahmenlos]]<br><br />
Zerlege das Dreieck durch eine Höhe in zwei rechtwinklige Teildreiecke.<br><br />
[[Datei:Skizze 1 zu S. 99 Nr. 5.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze 2 zu S. 99 Nr. 5 neu.png|rahmenlos]]<br><br />
Lösung: c= 2,535; a = 1,757|2=Tipp zu Nr. 5|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Dachfläche besteht aus 4 Dreiecksflächen. Bestimme also die Fläche eines Dreiecks und multipliziere diesen Flächeninhalt mit 4. Die Skizze hilft dir bei der Bestimmung der nötigen Größen. (A<sub>Dreieck</sub>= <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math>)<br><br />
[[Datei:S. 100 Nr. 7 Skizze.png|rahmenlos]]<br><br />
Zwischenlösung: h<sub>c</sub>=14,42m; c=10,78m|2=Tipp zu Nr. 7|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Erstelle eine Skizze zur Aufgabe:<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8.png|rahmenlos]]<br><br />
Gesucht sind hier nun a und d.|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte das linke Dreieck ABL. Zerlege es in rechtwinklige Teildreiecke (ohne die gegebene Seite c zu teilen). Die Skizze hilft dir für deinen Lösungsplan.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8a.png|rahmenlos]]<br><br />
Bestimme h<sub>a</sub>, δ<sub>1</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a.<br><br />
(Lösung: a=3,63 sm)|2=Tipp zu 8a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte zur Lösung das linke Dreieck BCL. Gegeben ist nun auch aus Teil a) die Länge der Strecke a = 3,63 sm. Berechne den Nebenwinkel β<sub>2</sub> von β und den Winkel δ<sub>2</sub> mihilfe der Winkelsumme. Zerlege auch dieses Dreieck wieder in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Die Skizze hilft dir, die nötigen Rechenschritte zu planen.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8b.png|rahmenlos]]<br><br />
(Lösung: h<sub>e</sub> = 1,92 sm; d = 3,51 sm)|2=Tipp zu 8b|3=Verbergen}}<br />
<br />
====Zwischentest 4: Anwendung in einem beliebigen Dreieck====<br />
<quiz display="simple"><br />
{Im Losbergpark soll eine neue Brücke über den See gebaut werden. Berechne die Länge der Brücke.<br />
<br />
[[Datei:Trigonometrie Brücke Losbergpark.jpg|rahmenlos|500x500px]]}<br />
<br />
+ Länge ≈ 30,33 m<br />
- Länge ≈ 30,21 m<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===3.5 Erweiterung: Formel für den Flächeninhalt beliebiger Dreiecke (mit Sinus)===<br />
<br />
{{Box|Flächeninhaltsformel Dreieck (mit Sinus)|Gruppenarbeit: Arbeitet arbeitsteilig in 3er Gruppen.<br><br />
Der Flächeninhalt von Dreiecken kann mit dem Sinus eines Winkels und zweier Seitenlängen bestimmt werden.<br />
Die Herleitung der Formel ist auf der Seite realmath dargestellt.<br />
Öffnet arbeitsteilig die Seite und leitet die Flächeninhaltsformel für ein Dreieck her. Notiert im Heft.<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach.php Link 1 zur Herleitung (realmath)]<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach2.php Link 2]<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach3.php Link 3]<br />
Welche Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede entdeckt ihr?|Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Flächeninhaltsformel für beliebige Dreiecke|2=[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]Den Flächeninhalt eines (beliebigen) Dreiecks können wir mit den Formeln berechnen:<br><br />
A = <math>\tfrac{1}{2}</math>·b·c·sinα<br>|3=Merksatz}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Herleitung:<br><br />
linkes Teildreieck: <br><br />
sinα = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &#124;·b<br><br />
b·sinα = h<sub>c</sub><br><br />
<br />
Flächeninhaltsformel:<br><br />
A = <math>\tfrac{c\cdot h_c}{2}</math> &nbsp;&#124; setze für h<sub>c</sub> = b·sinα ein<br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{c\cdot bsinα}{2}</math><br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>b·c·sinα<br><br />
Ebenso kannst du die Flächeninhaltsformeln für die anderen Seiten als Grundseiten herleiten.|2=Herleitung der Formel|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 5 (online)|Flächeninhalt von Dreiecken berechnen:<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/dreiecktrigo.php Übung (realmath)]|Üben}}<br />
<br />
{{Box|Übung 6|Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die Rechnungen übersichtlich und vollständig in deinem Heft.<br />
* S. 99 Nr. 3<br />
* S. 100 Nr. 9<br />
* S. 111 Nr. 3|Üben}}<br />
<br />
===3.6 Erweiterung: Sinussatz===<br />
<br />
[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">linkes Teildreieck: <br><br />
sinα = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &#124;·b<br><br />
b·sinα = h<sub>c</sub><br></div><br />
<div class="width-1-2">rechtes Teildreieck: <br><br />
sinβ = <math>\tfrac{h_c}{a}</math> &#124;·b<br><br />
a·sinβ = h<sub>c</sub><br></div><br />
</div><br />
Also gilt:<br><br />
a·sinβ = b·sinα &nbsp;&#124; : sinα; : sinβ<br><br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta}</math><br><br />
Ebenso kannst du dies für h<sub>a</sub> und h<sub>b</sub> herleiten und erhältst den Sinussatz:<br><br />
<br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math><br />
<br />
<br />
{{Box|1=Sinussatz (für allgemeine Dreiecke)|2=In jedem Dreieck verhalten sich die Seiten wie die Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel:<br><br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math>|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|O2ZY6htEY4k|800|center}}<br />
<br />
{{Box|Übung 7|Löse mithilfe des Sinussatzes im Buch<br />
* S. 114, Nr. 25|Üben}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=4 Berechnungen in beliebigen Figuren|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen_in_allgemeinen_Dreiecken&diff=93099Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken2024-03-16T19:19:38Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}<br />
<br><br />
[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]<br />
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie|Startseite (Vorwissen)]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinus,Kosinus,Tangens|1) Sinus, Kosinus, Tangens]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken|2) Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken|3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren|4) Berechnungen in beliebigen Figuren]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinusfunktion|5) Sinusfunktion und Kosinusfunktion]]}}<br />
<br><br />
<br />
==3 Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken==<br />
<br />
Die Seitenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tanges gelten nur für rechtwinklige Dreiecke.<br />
[[Datei:Idee Flipchart.png|rechts|rahmenlos|200px]]Um in allgemeinen Dreiecken Strecken und Winkel berechnen zu können, zerlege das Dreieck mithilfe einer '''Höhe''' in zwei '''rechtwinklige''' Dreiecke.<br />
<br />
{{Box|Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken|'''Zerlege''' das allgemeine Dreieck in zwei '''rechtwinklige''' Dreiecke. Zeichne dazu eine geeignete '''Höhe h''' ein.<br><br />
Berechne dann mithilfe von Sinus, Kosinus und Tagens die fehlenden Strecken in den rechtwinkligen Teildreiecken.<br><br />
Übertrage die Beispiele in dein Heft (Skizze und Rechnungen)|Arbeitsmethode}}<br />
===3.1 Beispiel 1: Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben===<br />
<br><br />
'''1. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>a</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1.3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
① Bestimme γ:<br><br />
Winkelsummensatz<br><br />
γ = 180° - α - β<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 76°<br></div><br />
<div class="width-1-2"><br />
② Berechne h<sub>a</sub>:<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · sin β = h<sub>a</sub> <br><br />
8,5 · sin(42°) = h<sub>a</sub> <br><br />
5,7 (cm)≈ h<sub>a</sub><br></div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">③ Berechne b:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br><br />
b · sin γ = h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124; : sin γ<br><br />
b = <math>\tfrac{h_a}{sin\gamma}</math> <br><br />
b = <math>\tfrac{\text{5,7}}{\text{sin(76°)}}</math> <br><br />
b <math>\approx</math> 5,9 (cm)<br></div><br />
<br><br />
<br />
<div class="width-1-2">Berechne a:<br><br />
④ Berechne a<sub>1</sub>:<br />
cos β = <math>\tfrac{a_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · cos β = a<sub>1</sub><br><br />
8,5 · cos (42°) = a<sub>1</sub><br><br />
6,3 (cm) <math>\approx</math>a<sub>1</sub></div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">⑤ Berechne a<sub>2</sub>:<br />
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br><br />
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br><br />
5,9 · cos (76°) = a<sub>2</sub><br><br />
1,4 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub></div><br />
<div class="width-1-2">⑥ Berechne a:<br><br />
a = a<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 6,3 + 1,4 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 7,7 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
'''2. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>b</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1.4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">① Bestimme γ:<br><br />
Winkelsummensatz<br><br />
γ = 180° - α - β<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 76°<br></div><br />
<div class="width-1-2">② Berechne h<sub>b</sub>:<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · sin α = h<sub>b</sub> <br><br />
8,5 · sin(62°) = h<sub>b</sub> <br><br />
7,5 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> </div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">③ Berechne a:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br><br />
a · sin γ = h<sub>b</sub> &nbsp;&nbsp;&#124; : sin γ<br><br />
a = <math>\tfrac{h_b}{sin\gamma}</math> <br><br />
a = <math>\tfrac{\text{7,5}}{\text{sin(76°)}}</math> <br><br />
a <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br></div><br />
Berechne b:<br><br />
<div class="width-1-2">④ Berechne b<sub>1</sub>:<br />
cos α = <math>\tfrac{b_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · cos α = b<sub>1</sub><br><br />
8,5 · cos (62°) = b<sub>1</sub><br><br />
4,0 (cm) <math>\approx</math>b<sub>1</sub></div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">⑤ Berechne b<sub>2</sub>:<br />
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br><br />
a · cos γ = b<sub>2</sub> <br><br />
7,7 · cos (76°) = b<sub>2</sub><br><br />
1,9 (cm) <math>\approx</math> b<sub>2</sub></div><br />
<br />
<div class="width-1-2">⑥ Berechne b:<br><br />
b = b<sub>1</sub> + b<sub>2</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 4,0 + 1,9 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 5,9 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
===3.2 Beispiel 2: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben===<br />
<br><br />
'''1. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>a</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>a</sub>:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · sin γ = h<sub>a</sub> <br><br />
5,8 · sin(65°) = h<sub>a</sub><br><br />
5,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>a</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme a<sub>2</sub><br><br />
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br><br />
5,8 · cos(65°) = a<sub>2</sub><br><br />
2,5 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme a<sub>1</sub><br><br />
a – a<sub>2</sub>= a<sub>1</sub> <br><br />
8,2 - 3,8 = a<sub>1</sub> <br><br />
5,7 (cm) = a<sub>1</sub><br> </div><br />
</div> <br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme β<br><br />
tan β = <math>\tfrac{h_a}{a_1}</math><br><br />
tan β = <math>\tfrac{5,2}{5,7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br><br />
β <math>\approx</math> 42,4°<br></div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme c<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br><br />
c · sin β = h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin β<br><br />
c = <math>\tfrac{h_a}{sin\beta}</math><br><br />
c = <math>\tfrac{\text{5,2}}{\text{sin (42,4°)}}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm) <br>ODER:<br> <br />
c² = <math>h_a^2 + a_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c= <math>\sqrt{h_a^2 + a_1^2}</math><br><br />
c = <math>\sqrt{5,2^2 + 5,7^2}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br />
</div> <br />
<div class="width-1-3"><br />
⑥ Bestimme den letzten Winkel α <br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- β; -γ<br><br />
α = 180° - β - γ <br><br />
α = 180° - 42,4° - 65°<br><br />
α = 72,6°<br />
<br></div><br />
</div><br />
<br />
<br />
'''2. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>b</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3.2 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>b</sub>:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br><br />
a · sin γ = h<sub>b</sub> <br><br />
8,2 · sin(65°) = h<sub>b</sub><br><br />
7,4 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme b<sub>2</sub><br><br />
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br><br />
a · cos γ = b<sub>2</sub> <br><br />
8,2 · cos(65°) = b<sub>2</sub><br><br />
3,5 (cm) <math>\approx</math> b<sub>2</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme b<sub>1</sub><br><br />
b – b<sub>2</sub>= b<sub>1</sub> <br><br />
5,8 - 3,5 = b<sub>1</sub> <br><br />
2,3 (cm) = b<sub>1</sub><br> </div><br />
</div> <br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme α<br><br />
tan α = <math>\tfrac{h_b}{b_1}</math><br><br />
tan α = <math>\tfrac{7,4}{2,3}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br><br />
α <math>\approx</math> 72,7°<br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme c<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br><br />
c · sin α = h<sub>b</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin α<br><br />
c = <math>\tfrac{h_b}{sin\alpha}</math><br><br />
c = <math>\tfrac{\text{7,4}}{\text{sin (72,7°)}}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,8 (cm) <br><br />
ODER:<br> <br />
c² = <math>h_b^2 + b_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c= <math>\sqrt{h_b^2 + b_1^2}</math><br><br />
c = <math>\sqrt{7,4^2 + 2,3^2}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br />
</div> <br />
<div class="width-1-3"><br />
⑥ Bestimme den letzten Winkel β <br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- α; -γ<br><br />
β = 180° - α - γ <br><br />
β= 180° - 72,7° - 65°<br><br />
β = 42,3°</div><br />
</div><br><br />
<br><br />
Du merkst, es kommt zu Rundungsungenauigkeiten.<br><br />
<br />
===3.3 Beispiel 3: Zwei Seiten und ein anliegender Winkel sind gegeben===<br />
Erkläre, warum es hier nur '''eine Möglichkeit''' gibt, das Dreieck zu zerlegen: die '''Höhe h<sub>c</sub>''' .<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 4.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>c</sub>:<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · sin α = h<sub>c</sub> <br><br />
10,5 · sin(37°) = h<sub>c</sub><br><br />
6,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>c</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme c<sub>1</sub><br><br />
cos α = <math>\tfrac{c_1}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · cos α = c<sub>1</sub> <br><br />
10,5 · cos(37°) = c<sub>1</sub><br><br />
8,4 (cm) <math>\approx</math> c<sub>1</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme c<sub>2</sub><br><br />
<math>h_c^2 + c_2^2</math> = a² &nbsp;&nbsp;&#124;-<math>h_c^2 </math><br><br />
<math>c_2^2</math> = a² - <math>h_c^2</math>&nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c<sub>2</sub>= <math>\sqrt{a^2 - h_c^2}</math><br><br />
c<sub>2</sub> = <math>\sqrt{7^2 - 6,3^2}</math><br><br />
c<sub>2</sub> <math>\approx</math> 3,1 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<br><br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme c:<br><br />
c = c<sub>1</sub> + c<sub>2</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = 8,4 + 3,1<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 11,5 (cm)</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme β<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_c}{a}</math><br><br />
sin β = <math>\tfrac{6,3}{7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;sin<sup>-1</sup><br><br />
β <math>\approx</math> 64,2°</div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Bestimme den letzten Winkel γ<br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- α; -β<br><br />
γ = 180° - β - α<br><br />
γ= 180° - 37° - 64,2°<br><br />
γ = 78,8°</div><br />
</div><br />
<br />
<br><br />
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:<br><br />
{{#ev:youtube|bEMu4A19HXI|800|center}}<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Übung 1 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.<br />
* 45<br />
* 46|Üben}}<br />
{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizze in dein Heft und zerlege das allgemeine Dreieck durch eine geeignete Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke. Bestimme dann die fehlenden Größen.<br />
* S. 99 Nr. 1<br />
* S. 99 Nr. 2<br />
* S. 99 Nr. 4<br />
* S. 100 Nr. 6|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 2. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben.|Tipp zu Nr. 1|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 1. Beispiel, es sind eine Seite und zwei Winkel gegeben.|Tipp zu Nr. 2|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 3. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein anliegender Winkel gegeben|Tipp zu Nr. 4|Verbergen}}<br />
<br />
===3.4 Anwendungsaufgaben===<br />
{{Box|Übung 3 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.<br />
* 47<br />
* 48|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann den fehlenden Winkel, die Länge der entsprechenden Höhe und die Längen der Seiten a und b.<br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 63.png|rahmenlos]]<br><br />
[[Datei:Skizze 2 zu Nr. 63.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze 3 zu Nr. 63.png|rahmenlos]]<br><br />
Prüfe deine Lösungen auf der Seite Aufgabenfuchs.|Tipp zu Nr. 65|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann schrittweise die fehlenden Größen.<br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 64.png|rahmenlos]] <br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 64 1.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze zu Nr. 64 2.png|rahmenlos]]<br><br />
Prüfe dein Ergebnis auf der Seite Aufgabenfuchs.|Tipp zu Nr. 66|Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 4|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizzen in dein Heft und löse schrittweise. Notiere vollständig und übersichtlich.<br />
* S. 99 Nr. 5<br />
* S. 100 Nr. 7<br />
* S. 100 Nr. 8|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Erstelle eine Skizze zur Aufgabe und beschrifte sie vollständig.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 99 Nr. 5.png|rahmenlos]]<br><br />
Zerlege das Dreieck durch eine Höhe in zwei rechtwinklige Teildreiecke.<br><br />
[[Datei:Skizze 1 zu S. 99 Nr. 5.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze 2 zu S. 99 Nr. 5 neu.png|rahmenlos]]<br><br />
Lösung: c= 2,535; a = 1,757|2=Tipp zu Nr. 5|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Dachfläche besteht aus 4 Dreiecksflächen. Bestimme also die Fläche eines Dreiecks und multipliziere diesen Flächeninhalt mit 4. Die Skizze hilft dir bei der Bestimmung der nötigen Größen. (A<sub>Dreieck</sub>= <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math>)<br><br />
[[Datei:S. 100 Nr. 7 Skizze.png|rahmenlos]]<br><br />
Zwischenlösung: h<sub>c</sub>=14,42m; c=10,78m|2=Tipp zu Nr. 7|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Erstelle eine Skizze zur Aufgabe:<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8.png|rahmenlos]]<br><br />
Gesucht sind hier nun a und d.|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte das linke Dreieck ABL. Zerlege es in rechtwinklige Teildreiecke (ohne die gegebene Seite c zu teilen). Die Skizze hilft dir für deinen Lösungsplan.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8a.png|rahmenlos]]<br><br />
Bestimme h<sub>a</sub>, δ<sub>1</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a.<br><br />
(Lösung: a=3,63 sm)|2=Tipp zu 8a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte zur Lösung das linke Dreieck BCL. Gegeben ist nun auch aus Teil a) die Länge der Strecke a = 3,63 sm. Berechne den Nebenwinkel β<sub>2</sub> von β und den Winkel δ<sub>2</sub> mihilfe der Winkelsumme. Zerlege auch dieses Dreieck wieder in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Die Skizze hilft dir, die nötigen Rechenschritte zu planen.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8b.png|rahmenlos]]<br><br />
(Lösung: h<sub>e</sub> = 1,92 sm; d = 3,51 sm)|2=Tipp zu 8b|3=Verbergen}}<br />
<br />
====Zwischentest 4: Anwendung in einem beliebigen Dreieck====<br />
<quiz display="simple"><br />
{Im Losbergpark soll eine neue Brücke über den See gebaut werden. Berechne die Länge der Brücke.<br />
<br />
[[Datei:Trigonometrie Brücke Losbergpark.jpg|rahmenlos|500x500px]]}<br />
<br />
+ Länge ≈ 30,33 m<br />
- Länge ≈ 30,21 m<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===3.5 Erweiterung: Formel für den Flächeninhalt beliebiger Dreiecke (mit Sinus)===<br />
<br />
{{Box|Flächeninhaltsformel Dreieck (mit Sinus)|Gruppenarbeit: Arbeitet arbeitsteilig in 3er Gruppen.<br><br />
Der Flächeninhalt von Dreiecken kann mit dem Sinus eines Winkels und zweier Seitenlängen bestimmt werden.<br />
Die Herleitung der Formel ist auf der Seite realmath dargestellt.<br />
Öffnet arbeitsteilig die Seite und leitet die Flächeninhaltsformel für ein Dreieck her. Notiert im Heft.<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach.php Link 1 zur Herleitung (realmath)]<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach2.php Link 2]<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach3.php Link 3]<br />
Welche Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede entdeckt ihr?|Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Flächeninhaltsformel für beliebige Dreiecke|2=[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]Den Flächeninhalt eines (beliebigen) Dreiecks können wir mit den Formeln berechnen:<br><br />
A = <math>\tfrac{1}{2}</math>·b·c·sinα<br>|3=Merksatz}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Herleitung:<br><br />
linkes Teildreieck: <br><br />
sinα = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &#124;·b<br><br />
b·sinα = h<sub>c</sub><br><br />
<br />
Flächeninhaltsformel:<br><br />
A = <math>\tfrac{c\cdot h_c}{2}</math> &nbsp;&#124; setze für h<sub>c</sub> = b·sinα ein<br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{c\cdot bsinα}{2}</math><br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>b·c·sinα<br><br />
Ebenso kannst du die Flächeninhaltsformeln für die anderen Seiten als Grundseiten herleiten.|2=Herleitung der Formel|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 5 (online)|Flächeninhalt von Dreiecken berechnen:<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/dreiecktrigo.php Übung (realmath)]|Üben}}<br />
<br />
{{Box|Übung 6|Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die Rechnungen übersichtlich und vollständig in deinem Heft.<br />
* S. 99 Nr. 3<br />
* S. 100 Nr. 9<br />
* S. 111 Nr. 3|Üben}}<br />
<br />
===3.6 Erweiterung: Sinussatz===<br />
<br />
[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">linkes Teildreieck: <br><br />
sinα = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &#124;·b<br><br />
b·sinα = h<sub>c</sub><br></div><br />
<div class="width-1-2">rechtes Teildreieck: <br><br />
sinβ = <math>\tfrac{h_c}{a}</math> &#124;·b<br><br />
a·sinβ = h<sub>c</sub><br></div><br />
</div><br />
Also gilt:<br><br />
a·sinβ = b·sinα &nbsp;&#124; : sinα; : sinβ<br><br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta}</math><br><br />
Ebenso kannst du dies für h<sub>a</sub> und h<sub>b</sub> herleiten und erhältst den Sinussatz:<br><br />
<br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math><br />
<br />
<br />
{{Box|1=Sinussatz (für allgemeine Dreiecke)|2=In jedem Dreieck verhalten sich die Seiten wie die Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel:<br><br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math>|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|O2ZY6htEY4k|800|center}}<br />
<br />
{{Box|Übung 7|Löse mithilfe des Sinussatzes im Buch<br />
* S. 114, Nr. 25|Üben}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=4 Berechnungen in beliebigen Figuren|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen_in_allgemeinen_Dreiecken&diff=93098Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken2024-03-16T19:17:23Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}<br />
<br><br />
[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]<br />
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie|Startseite (Vorwissen)]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinus,Kosinus,Tangens|1) Sinus, Kosinus, Tangens]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken|2) Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken|3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren|4) Berechnungen in beliebigen Figuren]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinusfunktion|5) Sinusfunktion und Kosinusfunktion]]}}<br />
<br><br />
<br />
==3 Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken==<br />
<br />
Die Seitenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tanges gelten nur für rechtwinklige Dreiecke.<br />
[[Datei:Idee Flipchart.png|rechts|rahmenlos|200px]]Um in allgemeinen Dreiecken Strecken und Winkel berechnen zu können, zerlege das Dreieck mithilfe einer '''Höhe''' in zwei '''rechtwinklige''' Dreiecke.<br />
<br />
{{Box|Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken|'''Zerlege''' das allgemeine Dreieck in zwei '''rechtwinklige''' Dreiecke. Zeichne dazu eine geeignete '''Höhe h''' ein.<br><br />
Berechne dann mithilfe von Sinus, Kosinus und Tagens die fehlenden Strecken in den rechtwinkligen Teildreiecken.<br><br />
Übertrage die Beispiele in dein Heft (Skizze und Rechnungen)|Arbeitsmethode}}<br />
===3.1 Beispiel 1: Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben===<br />
<br><br />
'''1. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>a</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1.3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
① Bestimme γ:<br><br />
Winkelsummensatz<br><br />
γ = 180° - α - β<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 76°<br></div><br />
<div class="width-1-2"><br />
② Berechne h<sub>a</sub>:<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · sin β = h<sub>a</sub> <br><br />
8,5 · sin(42°) = h<sub>a</sub> <br><br />
5,7 (cm) <math>\approx</math>h<sub>a</sub> <br></div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">③ Berechne b:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br><br />
b · sin γ = h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124; : sin γ<br><br />
b = <math>\tfrac{h_a}{sin\gamma}</math> <br><br />
b = <math>\tfrac{\text{5,7}}{\text{sin(76°)}}</math> <br><br />
b <math>\approx</math> 5,9 (cm)<br></div><br />
<br><br />
<br />
<div class="width-1-2">Berechne a:<br><br />
④ Berechne a<sub>1</sub>:<br />
cos β = <math>\tfrac{a_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · cos β = a<sub>1</sub><br><br />
8,5 · cos (42°) = a<sub>1</sub><br><br />
6,3 (cm) <math>\approx</math>a<sub>1</sub></div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">⑤ Berechne a<sub>2</sub>:<br />
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br><br />
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br><br />
5,9 · cos (76°) = a<sub>2</sub><br><br />
1,4 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub></div><br />
<div class="width-1-2">⑥ Berechne a:<br><br />
a = a<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 6,3 + 1,4 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 7,7 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
'''2. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>b</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1.4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">① Bestimme γ:<br><br />
Winkelsummensatz<br><br />
γ = 180° - α - β<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 76°<br></div><br />
<div class="width-1-2">② Berechne h<sub>b</sub>:<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · sin α = h<sub>b</sub> <br><br />
8,5 · sin(62°) = h<sub>b</sub> <br><br />
7,5 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> </div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">③ Berechne a:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br><br />
a · sin γ = h<sub>b</sub> &nbsp;&nbsp;&#124; : sin γ<br><br />
a = <math>\tfrac{h_b}{sin\gamma}</math> <br><br />
a = <math>\tfrac{\text{7,5}}{\text{sin(76°)}}</math> <br><br />
a <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br></div><br />
Berechne b:<br><br />
<div class="width-1-2">④ Berechne b<sub>1</sub>:<br />
cos α = <math>\tfrac{b_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · cos α = b<sub>1</sub><br><br />
8,5 · cos (62°) = b<sub>1</sub><br><br />
4,0 (cm) <math>\approx</math>b<sub>1</sub></div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">⑤ Berechne b<sub>2</sub>:<br />
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br><br />
a · cos γ = b<sub>2</sub> <br><br />
7,7 · cos (76°) = b<sub>2</sub><br><br />
1,9 (cm) <math>\approx</math> b<sub>2</sub></div><br />
<br />
<div class="width-1-2">⑥ Berechne b:<br><br />
b = b<sub>1</sub> + b<sub>2</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 4,0 + 1,9 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 5,9 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
===3.2 Beispiel 2: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben===<br />
<br><br />
'''1. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>a</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>a</sub>:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · sin γ = h<sub>a</sub> <br><br />
5,8 · sin(65°) = h<sub>a</sub><br><br />
5,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>a</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme a<sub>2</sub><br><br />
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br><br />
5,8 · cos(65°) = a<sub>2</sub><br><br />
2,5 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme a<sub>1</sub><br><br />
a – a<sub>2</sub>= a<sub>1</sub> <br><br />
8,2 - 3,8 = a<sub>1</sub> <br><br />
5,7 (cm) = a<sub>1</sub><br> </div><br />
</div> <br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme β<br><br />
tan β = <math>\tfrac{h_a}{a_1}</math><br><br />
tan β = <math>\tfrac{5,2}{5,7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br><br />
β <math>\approx</math> 42,4°<br></div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme c<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br><br />
c · sin β = h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin β<br><br />
c = <math>\tfrac{h_a}{sin\beta}</math><br><br />
c = <math>\tfrac{\text{5,2}}{\text{sin (42,4°)}}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm) <br>ODER:<br> <br />
c² = <math>h_a^2 + a_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c= <math>\sqrt{h_a^2 + a_1^2}</math><br><br />
c = <math>\sqrt{5,2^2 + 5,7^2}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br />
</div> <br />
<div class="width-1-3"><br />
⑥ Bestimme den letzten Winkel α <br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- β; -γ<br><br />
α = 180° - β - γ <br><br />
α = 180° - 42,4° - 65°<br><br />
α = 72,6°<br />
<br></div><br />
</div><br />
<br />
<br />
'''2. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>b</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3.2 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>b</sub>:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br><br />
a · sin γ = h<sub>b</sub> <br><br />
8,2 · sin(65°) = h<sub>b</sub><br><br />
7,4 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme b<sub>2</sub><br><br />
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br><br />
a · cos γ = b<sub>2</sub> <br><br />
8,2 · cos(65°) = b<sub>2</sub><br><br />
3,5 (cm) <math>\approx</math> b<sub>2</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme b<sub>1</sub><br><br />
b – b<sub>2</sub>= b<sub>1</sub> <br><br />
5,8 - 3,5 = b<sub>1</sub> <br><br />
2,3 (cm) = b<sub>1</sub><br> </div><br />
</div> <br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme α<br><br />
tan α = <math>\tfrac{h_b}{b_1}</math><br><br />
tan α = <math>\tfrac{7,4}{2,3}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br><br />
α <math>\approx</math> 72,7°<br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme c<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br><br />
c · sin α = h<sub>b</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin α<br><br />
c = <math>\tfrac{h_b}{sin\alpha}</math><br><br />
c = <math>\tfrac{\text{7,4}}{\text{sin (72,7°)}}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,8 (cm) <br><br />
ODER:<br> <br />
c² = <math>h_b^2 + b_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c= <math>\sqrt{h_b^2 + b_1^2}</math><br><br />
c = <math>\sqrt{7,4^2 + 2,3^2}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br />
</div> <br />
<div class="width-1-3"><br />
⑥ Bestimme den letzten Winkel β <br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- α; -γ<br><br />
β = 180° - α - γ <br><br />
β= 180° - 72,7° - 65°<br><br />
β = 42,3°</div><br />
</div><br><br />
<br><br />
Du merkst, es kommt zu Rundungsungenauigkeiten.<br><br />
<br />
===3.3 Beispiel 3: Zwei Seiten und ein anliegender Winkel sind gegeben===<br />
Erkläre, warum es hier nur '''eine Möglichkeit''' gibt, das Dreieck zu zerlegen: die '''Höhe h<sub>c</sub>''' .<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 4.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>c</sub>:<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · sin α = h<sub>c</sub> <br><br />
10,5 · sin(37°) = h<sub>c</sub><br><br />
6,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>c</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme c<sub>1</sub><br><br />
cos α = <math>\tfrac{c_1}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · cos α = c<sub>1</sub> <br><br />
10,5 · cos(37°) = c<sub>1</sub><br><br />
8,4 (cm) <math>\approx</math> c<sub>1</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme c<sub>2</sub><br><br />
<math>h_c^2 + c_2^2</math> = a² &nbsp;&nbsp;&#124;-<math>h_c^2 </math><br><br />
<math>c_2^2</math> = a² - <math>h_c^2</math>&nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c<sub>2</sub>= <math>\sqrt{a^2 - h_c^2}</math><br><br />
c<sub>2</sub> = <math>\sqrt{7^2 - 6,3^2}</math><br><br />
c<sub>2</sub> <math>\approx</math> 3,1 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<br><br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme c:<br><br />
c = c<sub>1</sub> + c<sub>2</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = 8,4 + 3,1<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 11,5 (cm)</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme β<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_c}{a}</math><br><br />
sin β = <math>\tfrac{6,3}{7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;sin<sup>-1</sup><br><br />
β <math>\approx</math> 64,2°</div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Bestimme den letzten Winkel γ<br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- α; -β<br><br />
γ = 180° - β - α<br><br />
γ= 180° - 37° - 64,2°<br><br />
γ = 78,8°</div><br />
</div><br />
<br />
<br><br />
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:<br><br />
{{#ev:youtube|bEMu4A19HXI|800|center}}<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Übung 1 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.<br />
* 45<br />
* 46|Üben}}<br />
{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizze in dein Heft und zerlege das allgemeine Dreieck durch eine geeignete Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke. Bestimme dann die fehlenden Größen.<br />
* S. 99 Nr. 1<br />
* S. 99 Nr. 2<br />
* S. 99 Nr. 4<br />
* S. 100 Nr. 6|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 2. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben.|Tipp zu Nr. 1|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 1. Beispiel, es sind eine Seite und zwei Winkel gegeben.|Tipp zu Nr. 2|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 3. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein anliegender Winkel gegeben|Tipp zu Nr. 4|Verbergen}}<br />
<br />
===3.4 Anwendungsaufgaben===<br />
{{Box|Übung 3 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.<br />
* 47<br />
* 48|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann den fehlenden Winkel, die Länge der entsprechenden Höhe und die Längen der Seiten a und b.<br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 63.png|rahmenlos]]<br><br />
[[Datei:Skizze 2 zu Nr. 63.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze 3 zu Nr. 63.png|rahmenlos]]<br><br />
Prüfe deine Lösungen auf der Seite Aufgabenfuchs.|Tipp zu Nr. 65|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann schrittweise die fehlenden Größen.<br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 64.png|rahmenlos]] <br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 64 1.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze zu Nr. 64 2.png|rahmenlos]]<br><br />
Prüfe dein Ergebnis auf der Seite Aufgabenfuchs.|Tipp zu Nr. 66|Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 4|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizzen in dein Heft und löse schrittweise. Notiere vollständig und übersichtlich.<br />
* S. 99 Nr. 5<br />
* S. 100 Nr. 7<br />
* S. 100 Nr. 8|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Erstelle eine Skizze zur Aufgabe und beschrifte sie vollständig.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 99 Nr. 5.png|rahmenlos]]<br><br />
Zerlege das Dreieck durch eine Höhe in zwei rechtwinklige Teildreiecke.<br><br />
[[Datei:Skizze 1 zu S. 99 Nr. 5.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze 2 zu S. 99 Nr. 5 neu.png|rahmenlos]]<br><br />
Lösung: c= 2,535; a = 1,757|2=Tipp zu Nr. 5|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Dachfläche besteht aus 4 Dreiecksflächen. Bestimme also die Fläche eines Dreiecks und multipliziere diesen Flächeninhalt mit 4. Die Skizze hilft dir bei der Bestimmung der nötigen Größen. (A<sub>Dreieck</sub>= <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math>)<br><br />
[[Datei:S. 100 Nr. 7 Skizze.png|rahmenlos]]<br><br />
Zwischenlösung: h<sub>c</sub>=14,42m; c=10,78m|2=Tipp zu Nr. 7|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Erstelle eine Skizze zur Aufgabe:<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8.png|rahmenlos]]<br><br />
Gesucht sind hier nun a und d.|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte das linke Dreieck ABL. Zerlege es in rechtwinklige Teildreiecke (ohne die gegebene Seite c zu teilen). Die Skizze hilft dir für deinen Lösungsplan.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8a.png|rahmenlos]]<br><br />
Bestimme h<sub>a</sub>, δ<sub>1</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a.<br><br />
(Lösung: a=3,63 sm)|2=Tipp zu 8a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte zur Lösung das linke Dreieck BCL. Gegeben ist nun auch aus Teil a) die Länge der Strecke a = 3,63 sm. Berechne den Nebenwinkel β<sub>2</sub> von β und den Winkel δ<sub>2</sub> mihilfe der Winkelsumme. Zerlege auch dieses Dreieck wieder in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Die Skizze hilft dir, die nötigen Rechenschritte zu planen.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8b.png|rahmenlos]]<br><br />
(Lösung: h<sub>e</sub> = 1,92 sm; d = 3,51 sm)|2=Tipp zu 8b|3=Verbergen}}<br />
<br />
====Zwischentest 4: Anwendung in einem beliebigen Dreieck====<br />
<quiz display="simple"><br />
{Im Losbergpark soll eine neue Brücke über den See gebaut werden. Berechne die Länge der Brücke.<br />
<br />
[[Datei:Trigonometrie Brücke Losbergpark.jpg|rahmenlos|500x500px]]}<br />
<br />
+ Länge ≈ 30,33 m<br />
- Länge ≈ 30,21 m<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===3.5 Erweiterung: Formel für den Flächeninhalt beliebiger Dreiecke (mit Sinus)===<br />
<br />
{{Box|Flächeninhaltsformel Dreieck (mit Sinus)|Gruppenarbeit: Arbeitet arbeitsteilig in 3er Gruppen.<br><br />
Der Flächeninhalt von Dreiecken kann mit dem Sinus eines Winkels und zweier Seitenlängen bestimmt werden.<br />
Die Herleitung der Formel ist auf der Seite realmath dargestellt.<br />
Öffnet arbeitsteilig die Seite und leitet die Flächeninhaltsformel für ein Dreieck her. Notiert im Heft.<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach.php Link 1 zur Herleitung (realmath)]<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach2.php Link 2]<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach3.php Link 3]<br />
Welche Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede entdeckt ihr?|Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Flächeninhaltsformel für beliebige Dreiecke|2=[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]Den Flächeninhalt eines (beliebigen) Dreiecks können wir mit den Formeln berechnen:<br><br />
A = <math>\tfrac{1}{2}</math>·b·c·sinα<br>|3=Merksatz}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Herleitung:<br><br />
linkes Teildreieck: <br><br />
sinα = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &#124;·b<br><br />
b·sinα = h<sub>c</sub><br><br />
<br />
Flächeninhaltsformel:<br><br />
A = <math>\tfrac{c\cdot h_c}{2}</math> &nbsp;&#124; setze für h<sub>c</sub> = b·sinα ein<br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{c\cdot bsinα}{2}</math><br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>b·c·sinα<br><br />
Ebenso kannst du die Flächeninhaltsformeln für die anderen Seiten als Grundseiten herleiten.|2=Herleitung der Formel|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 5 (online)|Flächeninhalt von Dreiecken berechnen:<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/dreiecktrigo.php Übung (realmath)]|Üben}}<br />
<br />
{{Box|Übung 6|Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die Rechnungen übersichtlich und vollständig in deinem Heft.<br />
* S. 99 Nr. 3<br />
* S. 100 Nr. 9<br />
* S. 111 Nr. 3|Üben}}<br />
<br />
===3.6 Erweiterung: Sinussatz===<br />
<br />
[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">linkes Teildreieck: <br><br />
sinα = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &#124;·b<br><br />
b·sinα = h<sub>c</sub><br></div><br />
<div class="width-1-2">rechtes Teildreieck: <br><br />
sinβ = <math>\tfrac{h_c}{a}</math> &#124;·b<br><br />
a·sinβ = h<sub>c</sub><br></div><br />
</div><br />
Also gilt:<br><br />
a·sinβ = b·sinα &nbsp;&#124; : sinα; : sinβ<br><br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta}</math><br><br />
Ebenso kannst du dies für h<sub>a</sub> und h<sub>b</sub> herleiten und erhältst den Sinussatz:<br><br />
<br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math><br />
<br />
<br />
{{Box|1=Sinussatz (für allgemeine Dreiecke)|2=In jedem Dreieck verhalten sich die Seiten wie die Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel:<br><br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math>|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|O2ZY6htEY4k|800|center}}<br />
<br />
{{Box|Übung 7|Löse mithilfe des Sinussatzes im Buch<br />
* S. 114, Nr. 25|Üben}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=4 Berechnungen in beliebigen Figuren|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen_in_allgemeinen_Dreiecken&diff=93097Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken2024-03-16T19:15:32Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}<br />
<br><br />
[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]<br />
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie|Startseite (Vorwissen)]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinus,Kosinus,Tangens|1) Sinus, Kosinus, Tangens]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken|2) Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken|3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren|4) Berechnungen in beliebigen Figuren]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinusfunktion|5) Sinusfunktion und Kosinusfunktion]]}}<br />
<br><br />
<br />
==3 Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken==<br />
<br />
Die Seitenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tanges gelten nur für rechtwinklige Dreiecke.<br />
[[Datei:Idee Flipchart.png|rechts|rahmenlos|200px]]Um in allgemeinen Dreiecken Strecken und Winkel berechnen zu können, zerlege das Dreieck mithilfe einer '''Höhe''' in zwei '''rechtwinklige''' Dreiecke.<br />
<br />
{{Box|Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken|'''Zerlege''' das allgemeine Dreieck in zwei '''rechtwinklige''' Dreiecke. Zeichne dazu eine geeignete '''Höhe h''' ein.<br><br />
Berechne dann mithilfe von Sinus, Kosinus und Tagens die fehlenden Strecken in den rechtwinkligen Teildreiecken.<br><br />
Übertrage die Beispiele in dein Heft (Skizze und Rechnungen)|Arbeitsmethode}}<br />
===3.1 Beispiel 1: Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben===<br />
<br><br />
'''1. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>a</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1.3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
① Bestimme γ:<br><br />
Winkelsummensatz<br><br />
γ = 180° - α - β<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 76°<br></div><br />
<div class="width-1-2"><br />
② Berechne h<sub>a</sub>:<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · sin β = h<sub>a</sub> <br><br />
8,5 · sin(42°) = h<sub>a</sub> <br><br />
5,7 (cm) <math>\approx</math> h<sub>a</sub> <br></div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">③ Berechne b:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br><br />
b · sin γ = h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124; : sin γ<br><br />
b = <math>\tfrac{h_a}{sin\gamma}</math> <br><br />
b = <math>\tfrac{\text{5,7}}{\text{sin(76°)}}</math> <br><br />
b <math>\approx</math> 5,9 (cm)<br></div><br />
<br><br />
<br />
<div class="width-1-2">Berechne a:<br><br />
④ Berechne a<sub>1</sub>:<br />
cos β = <math>\tfrac{a_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · cos β = a<sub>1</sub><br><br />
8,5 · cos (42°) = a<sub>1</sub><br><br />
6,3 (cm) <math>\approx</math>a<sub>1</sub></div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">⑤ Berechne a<sub>2</sub>:<br />
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br><br />
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br><br />
5,9 · cos (76°) = a<sub>2</sub><br><br />
1,4 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub></div><br />
<div class="width-1-2">⑥ Berechne a:<br><br />
a = a<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 6,3 + 1,4 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 7,7 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
'''2. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>b</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1.4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">① Bestimme γ:<br><br />
Winkelsummensatz<br><br />
γ = 180° - α - β<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 76°<br></div><br />
<div class="width-1-2">② Berechne h<sub>b</sub>:<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · sin α = h<sub>b</sub> <br><br />
8,5 · sin(62°) = h<sub>b</sub> <br><br />
7,5 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> </div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">③ Berechne a:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br><br />
a · sin γ = h<sub>b</sub> &nbsp;&nbsp;&#124; : sin γ<br><br />
a = <math>\tfrac{h_b}{sin\gamma}</math> <br><br />
a = <math>\tfrac{\text{7,5}}{\text{sin(76°)}}</math> <br><br />
a <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br></div><br />
Berechne b:<br><br />
<div class="width-1-2">④ Berechne b<sub>1</sub>:<br />
cos α = <math>\tfrac{b_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · cos α = b<sub>1</sub><br><br />
8,5 · cos (62°) = b<sub>1</sub><br><br />
4,0 (cm) <math>\approx</math>b<sub>1</sub></div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">⑤ Berechne b<sub>2</sub>:<br />
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br><br />
a · cos γ = b<sub>2</sub> <br><br />
7,7 · cos (76°) = b<sub>2</sub><br><br />
1,9 (cm) <math>\approx</math> b<sub>2</sub></div><br />
<br />
<div class="width-1-2">⑥ Berechne b:<br><br />
b = b<sub>1</sub> + b<sub>2</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 4,0 + 1,9 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 5,9 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
===3.2 Beispiel 2: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben===<br />
<br><br />
'''1. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>a</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>a</sub>:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · sin γ = h<sub>a</sub> <br><br />
5,8 · sin(65°) = h<sub>a</sub><br><br />
5,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>a</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme a<sub>2</sub><br><br />
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br><br />
5,8 · cos(65°) = a<sub>2</sub><br><br />
2,5 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme a<sub>1</sub><br><br />
a – a<sub>2</sub>= a<sub>1</sub> <br><br />
8,2 - 3,8 = a<sub>1</sub> <br><br />
5,7 (cm) = a<sub>1</sub><br> </div><br />
</div> <br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme β<br><br />
tan β = <math>\tfrac{h_a}{a_1}</math><br><br />
tan β = <math>\tfrac{5,2}{5,7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br><br />
β <math>\approx</math> 42,4°<br></div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme c<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br><br />
c · sin β = h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin β<br><br />
c = <math>\tfrac{h_a}{sin\beta}</math><br><br />
c = <math>\tfrac{\text{5,2}}{\text{sin (42,4°)}}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm) <br>ODER:<br> <br />
c² = <math>h_a^2 + a_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c= <math>\sqrt{h_a^2 + a_1^2}</math><br><br />
c = <math>\sqrt{5,2^2 + 5,7^2}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br />
</div> <br />
<div class="width-1-3"><br />
⑥ Bestimme den letzten Winkel α <br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- β; -γ<br><br />
α = 180° - β - γ <br><br />
α = 180° - 42,4° - 65°<br><br />
α = 72,6°<br />
<br></div><br />
</div><br />
<br />
<br />
'''2. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>b</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3.2 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>b</sub>:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br><br />
a · sin γ = h<sub>b</sub> <br><br />
8,2 · sin(65°) = h<sub>b</sub><br><br />
7,4 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme b<sub>2</sub><br><br />
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br><br />
a · cos γ = b<sub>2</sub> <br><br />
8,2 · cos(65°) = b<sub>2</sub><br><br />
3,5 (cm) <math>\approx</math> b<sub>2</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme b<sub>1</sub><br><br />
b – b<sub>2</sub>= b<sub>1</sub> <br><br />
5,8 - 3,5 = b<sub>1</sub> <br><br />
2,3 (cm) = b<sub>1</sub><br> </div><br />
</div> <br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme α<br><br />
tan α = <math>\tfrac{h_b}{b_1}</math><br><br />
tan α = <math>\tfrac{7,4}{2,3}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br><br />
α <math>\approx</math> 72,7°<br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme c<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br><br />
c · sin α = h<sub>b</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin α<br><br />
c = <math>\tfrac{h_b}{sin\alpha}</math><br><br />
c = <math>\tfrac{\text{7,4}}{\text{sin (72,7°)}}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,8 (cm) <br><br />
ODER:<br> <br />
c² = <math>h_b^2 + b_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c= <math>\sqrt{h_b^2 + b_1^2}</math><br><br />
c = <math>\sqrt{7,4^2 + 2,3^2}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br />
</div> <br />
<div class="width-1-3"><br />
⑥ Bestimme den letzten Winkel β <br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- α; -γ<br><br />
β = 180° - α - γ <br><br />
β= 180° - 72,7° - 65°<br><br />
β = 42,3°</div><br />
</div><br><br />
<br><br />
Du merkst, es kommt zu Rundungsungenauigkeiten.<br><br />
<br />
===3.3 Beispiel 3: Zwei Seiten und ein anliegender Winkel sind gegeben===<br />
Erkläre, warum es hier nur '''eine Möglichkeit''' gibt, das Dreieck zu zerlegen: die '''Höhe h<sub>c</sub>''' .<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 4.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>c</sub>:<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · sin α = h<sub>c</sub> <br><br />
10,5 · sin(37°) = h<sub>c</sub><br><br />
6,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>c</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme c<sub>1</sub><br><br />
cos α = <math>\tfrac{c_1}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · cos α = c<sub>1</sub> <br><br />
10,5 · cos(37°) = c<sub>1</sub><br><br />
8,4 (cm) <math>\approx</math> c<sub>1</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme c<sub>2</sub><br><br />
<math>h_c^2 + c_2^2</math> = a² &nbsp;&nbsp;&#124;-<math>h_c^2 </math><br><br />
<math>c_2^2</math> = a² - <math>h_c^2</math>&nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c<sub>2</sub>= <math>\sqrt{a^2 - h_c^2}</math><br><br />
c<sub>2</sub> = <math>\sqrt{7^2 - 6,3^2}</math><br><br />
c<sub>2</sub> <math>\approx</math> 3,1 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<br><br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme c:<br><br />
c = c<sub>1</sub> + c<sub>2</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = 8,4 + 3,1<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 11,5 (cm)</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme β<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_c}{a}</math><br><br />
sin β = <math>\tfrac{6,3}{7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;sin<sup>-1</sup><br><br />
β <math>\approx</math> 64,2°</div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Bestimme den letzten Winkel γ<br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- α; -β<br><br />
γ = 180° - β - α<br><br />
γ= 180° - 37° - 64,2°<br><br />
γ = 78,8°</div><br />
</div><br />
<br />
<br><br />
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:<br><br />
{{#ev:youtube|bEMu4A19HXI|800|center}}<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Übung 1 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.<br />
* 45<br />
* 46|Üben}}<br />
{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizze in dein Heft und zerlege das allgemeine Dreieck durch eine geeignete Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke. Bestimme dann die fehlenden Größen.<br />
* S. 99 Nr. 1<br />
* S. 99 Nr. 2<br />
* S. 99 Nr. 4<br />
* S. 100 Nr. 6|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 2. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben.|Tipp zu Nr. 1|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 1. Beispiel, es sind eine Seite und zwei Winkel gegeben.|Tipp zu Nr. 2|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 3. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein anliegender Winkel gegeben|Tipp zu Nr. 4|Verbergen}}<br />
<br />
===3.4 Anwendungsaufgaben===<br />
{{Box|Übung 3 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.<br />
* 47<br />
* 48|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann den fehlenden Winkel, die Länge der entsprechenden Höhe und die Längen der Seiten a und b.<br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 63.png|rahmenlos]]<br><br />
[[Datei:Skizze 2 zu Nr. 63.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze 3 zu Nr. 63.png|rahmenlos]]<br><br />
Prüfe deine Lösungen auf der Seite Aufgabenfuchs.|Tipp zu Nr. 65|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann schrittweise die fehlenden Größen.<br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 64.png|rahmenlos]] <br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 64 1.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze zu Nr. 64 2.png|rahmenlos]]<br><br />
Prüfe dein Ergebnis auf der Seite Aufgabenfuchs.|Tipp zu Nr. 66|Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 4|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizzen in dein Heft und löse schrittweise. Notiere vollständig und übersichtlich.<br />
* S. 99 Nr. 5<br />
* S. 100 Nr. 7<br />
* S. 100 Nr. 8|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Erstelle eine Skizze zur Aufgabe und beschrifte sie vollständig.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 99 Nr. 5.png|rahmenlos]]<br><br />
Zerlege das Dreieck durch eine Höhe in zwei rechtwinklige Teildreiecke.<br><br />
[[Datei:Skizze 1 zu S. 99 Nr. 5.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze 2 zu S. 99 Nr. 5 neu.png|rahmenlos]]<br><br />
Lösung: c= 2,535; a = 1,757|2=Tipp zu Nr. 5|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Dachfläche besteht aus 4 Dreiecksflächen. Bestimme also die Fläche eines Dreiecks und multipliziere diesen Flächeninhalt mit 4. Die Skizze hilft dir bei der Bestimmung der nötigen Größen. (A<sub>Dreieck</sub>= <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math>)<br><br />
[[Datei:S. 100 Nr. 7 Skizze.png|rahmenlos]]<br><br />
Zwischenlösung: h<sub>c</sub>=14,42m; c=10,78m|2=Tipp zu Nr. 7|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Erstelle eine Skizze zur Aufgabe:<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8.png|rahmenlos]]<br><br />
Gesucht sind hier nun a und d.|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte das linke Dreieck ABL. Zerlege es in rechtwinklige Teildreiecke (ohne die gegebene Seite c zu teilen). Die Skizze hilft dir für deinen Lösungsplan.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8a.png|rahmenlos]]<br><br />
Bestimme h<sub>a</sub>, δ<sub>1</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a.<br><br />
(Lösung: a=3,63 sm)|2=Tipp zu 8a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte zur Lösung das linke Dreieck BCL. Gegeben ist nun auch aus Teil a) die Länge der Strecke a = 3,63 sm. Berechne den Nebenwinkel β<sub>2</sub> von β und den Winkel δ<sub>2</sub> mihilfe der Winkelsumme. Zerlege auch dieses Dreieck wieder in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Die Skizze hilft dir, die nötigen Rechenschritte zu planen.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8b.png|rahmenlos]]<br><br />
(Lösung: h<sub>e</sub> = 1,92 sm; d = 3,51 sm)|2=Tipp zu 8b|3=Verbergen}}<br />
<br />
====Zwischentest 4: Anwendung in einem beliebigen Dreieck====<br />
<quiz display="simple"><br />
{Im Losbergpark soll eine neue Brücke über den See gebaut werden. Berechne die Länge der Brücke.<br />
<br />
[[Datei:Trigonometrie Brücke Losbergpark.jpg|rahmenlos|500x500px]]}<br />
<br />
+ Länge ≈ 30,33 m<br />
- Länge ≈ 30,21 m<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===3.5 Erweiterung: Formel für den Flächeninhalt beliebiger Dreiecke (mit Sinus)===<br />
<br />
{{Box|Flächeninhaltsformel Dreieck (mit Sinus)|Gruppenarbeit: Arbeitet arbeitsteilig in 3er Gruppen.<br><br />
Der Flächeninhalt von Dreiecken kann mit dem Sinus eines Winkels und zweier Seitenlängen bestimmt werden.<br />
Die Herleitung der Formel ist auf der Seite realmath dargestellt.<br />
Öffnet arbeitsteilig die Seite und leitet die Flächeninhaltsformel für ein Dreieck her. Notiert im Heft.<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach.php Link 1 zur Herleitung (realmath)]<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach2.php Link 2]<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach3.php Link 3]<br />
Welche Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede entdeckt ihr?|Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Flächeninhaltsformel für beliebige Dreiecke|2=[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]Den Flächeninhalt eines (beliebigen) Dreiecks können wir mit den Formeln berechnen:<br><br />
A = <math>\tfrac{1}{2}</math>·b·c·sinα<br>|3=Merksatz}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Herleitung:<br><br />
linkes Teildreieck: <br><br />
sinα = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &#124;·b<br><br />
b·sinα = h<sub>c</sub><br><br />
<br />
Flächeninhaltsformel:<br><br />
A = <math>\tfrac{c\cdot h_c}{2}</math> &nbsp;&#124; setze für h<sub>c</sub> = b·sinα ein<br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{c\cdot bsinα}{2}</math><br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>b·c·sinα<br><br />
Ebenso kannst du die Flächeninhaltsformeln für die anderen Seiten als Grundseiten herleiten.|2=Herleitung der Formel|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 5 (online)|Flächeninhalt von Dreiecken berechnen:<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/dreiecktrigo.php Übung (realmath)]|Üben}}<br />
<br />
{{Box|Übung 6|Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die Rechnungen übersichtlich und vollständig in deinem Heft.<br />
* S. 99 Nr. 3<br />
* S. 100 Nr. 9<br />
* S. 111 Nr. 3|Üben}}<br />
<br />
===3.6 Erweiterung: Sinussatz===<br />
<br />
[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">linkes Teildreieck: <br><br />
sinα = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &#124;·b<br><br />
b·sinα = h<sub>c</sub><br></div><br />
<div class="width-1-2">rechtes Teildreieck: <br><br />
sinβ = <math>\tfrac{h_c}{a}</math> &#124;·b<br><br />
a·sinβ = h<sub>c</sub><br></div><br />
</div><br />
Also gilt:<br><br />
a·sinβ = b·sinα &nbsp;&#124; : sinα; : sinβ<br><br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta}</math><br><br />
Ebenso kannst du dies für h<sub>a</sub> und h<sub>b</sub> herleiten und erhältst den Sinussatz:<br><br />
<br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math><br />
<br />
<br />
{{Box|1=Sinussatz (für allgemeine Dreiecke)|2=In jedem Dreieck verhalten sich die Seiten wie die Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel:<br><br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math>|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|O2ZY6htEY4k|800|center}}<br />
<br />
{{Box|Übung 7|Löse mithilfe des Sinussatzes im Buch<br />
* S. 114, Nr. 25|Üben}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=4 Berechnungen in beliebigen Figuren|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen_in_allgemeinen_Dreiecken&diff=93096Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken2024-03-16T19:13:17Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}<br />
<br><br />
[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]<br />
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie|Startseite (Vorwissen)]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinus,Kosinus,Tangens|1) Sinus, Kosinus, Tangens]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken|2) Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken|3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren|4) Berechnungen in beliebigen Figuren]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinusfunktion|5) Sinusfunktion und Kosinusfunktion]]}}<br />
<br><br />
<br />
==3 Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken==<br />
<br />
Die Seitenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tanges gelten nur für rechtwinklige Dreiecke.<br />
[[Datei:Idee Flipchart.png|rechts|rahmenlos|200px]]Um in allgemeinen Dreiecken Strecken und Winkel berechnen zu können, zerlege das Dreieck mithilfe einer '''Höhe''' in zwei '''rechtwinklige''' Dreiecke.<br />
<br />
{{Box|Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken|'''Zerlege''' das allgemeine Dreieck in zwei '''rechtwinklige''' Dreiecke. Zeichne dazu eine geeignete '''Höhe h''' ein.<br><br />
Berechne dann mithilfe von Sinus, Kosinus und Tagens die fehlenden Strecken in den rechtwinkligen Teildreiecken.<br><br />
Übertrage die Beispiele in dein Heft (Skizze und Rechnungen)|Arbeitsmethode}}<br />
===3.1 Beispiel 1: Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben===<br />
<br><br />
'''1. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>a</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1.3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
① Bestimme γ:<br><br />
Winkelsummensatz<br><br />
γ = 180° - α - β<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 76°<br></div><br />
<div class="width-1-2"><br />
② Berechne h<sub>a</sub>:<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · sin β = h<sub>a</sub> <br><br />
8,5 · sin(42°) = h<sub>a</sub> <br><br />
5,7 (cm) <math>\approx</math> h<sub>a</sub> <br></div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
③ Berechne b:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br><br />
b · sin γ = h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124; : sin γ<br><br />
b = <math>\tfrac{h_a}{sin\gamma}</math> <br><br />
b = <math>\tfrac{\text{5,7}}{\text{sin(76°)}}</math> <br><br />
b <math>\approx</math> 5,9 (cm)<br></div><br />
<br><br />
Berechne a:<br><br />
<div class="width-1-2">④ Berechne a<sub>1</sub>:<br />
cos β = <math>\tfrac{a_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · cos β = a<sub>1</sub><br><br />
8,5 · cos (42°) = a<sub>1</sub><br><br />
6,3 (cm) <math>\approx</math>a<sub>1</sub></div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">⑤ Berechne a<sub>2</sub>:<br />
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br><br />
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br><br />
5,9 · cos (76°) = a<sub>2</sub><br><br />
1,4 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub></div><br />
<div class="width-1-2">⑥ Berechne a:<br><br />
a = a<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 6,3 + 1,4 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 7,7 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
'''2. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>b</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1.4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
① Bestimme γ:<br><br />
Winkelsummensatz<br><br />
γ = 180° - α - β<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 76°<br></div><br />
<div class="width-1-2"><br />
② Berechne h<sub>b</sub>:<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · sin α = h<sub>b</sub> <br><br />
8,5 · sin(62°) = h<sub>b</sub> <br><br />
7,5 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> </div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
③ Berechne a:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br><br />
a · sin γ = h<sub>b</sub> &nbsp;&nbsp;&#124; : sin γ<br><br />
a = <math>\tfrac{h_b}{sin\gamma}</math> <br><br />
a = <math>\tfrac{\text{7,5}}{\text{sin(76°)}}</math> <br><br />
a <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br></div><br />
Berechne b:<br><br />
<div class="width-1-2">④ Berechne b<sub>1</sub>:<br />
cos α = <math>\tfrac{b_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · cos α = b<sub>1</sub><br><br />
8,5 · cos (62°) = b<sub>1</sub><br><br />
4,0 (cm) <math>\approx</math>b<sub>1</sub></div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">⑤ Berechne b<sub>2</sub>:<br />
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br><br />
a · cos γ = b<sub>2</sub> <br><br />
7,7 · cos (76°) = b<sub>2</sub><br><br />
1,9 (cm) <math>\approx</math> b<sub>2</sub></div><br />
<br />
<div class="width-1-2">⑥ Berechne b:<br><br />
b = b<sub>1</sub> + b<sub>2</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 4,0 + 1,9 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 5,9 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
===3.2 Beispiel 2: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben===<br />
<br><br />
'''1. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>a</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>a</sub>:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · sin γ = h<sub>a</sub> <br><br />
5,8 · sin(65°) = h<sub>a</sub><br><br />
5,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>a</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme a<sub>2</sub><br><br />
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br><br />
5,8 · cos(65°) = a<sub>2</sub><br><br />
2,5 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme a<sub>1</sub><br><br />
a – a<sub>2</sub>= a<sub>1</sub> <br><br />
8,2 - 3,8 = a<sub>1</sub> <br><br />
5,7 (cm) = a<sub>1</sub><br> </div><br />
</div> <br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme β<br><br />
tan β = <math>\tfrac{h_a}{a_1}</math><br><br />
tan β = <math>\tfrac{5,2}{5,7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br><br />
β <math>\approx</math> 42,4°<br></div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme c<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br><br />
c · sin β = h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin β<br><br />
c = <math>\tfrac{h_a}{sin\beta}</math><br><br />
c = <math>\tfrac{\text{5,2}}{\text{sin (42,4°)}}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm) <br>ODER:<br> <br />
c² = <math>h_a^2 + a_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c= <math>\sqrt{h_a^2 + a_1^2}</math><br><br />
c = <math>\sqrt{5,2^2 + 5,7^2}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br />
</div> <br />
<div class="width-1-3"><br />
⑥ Bestimme den letzten Winkel α <br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- β; -γ<br><br />
α = 180° - β - γ <br><br />
α = 180° - 42,4° - 65°<br><br />
α = 72,6°<br />
<br></div><br />
</div><br />
<br />
<br />
'''2. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>b</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3.2 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>b</sub>:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br><br />
a · sin γ = h<sub>b</sub> <br><br />
8,2 · sin(65°) = h<sub>b</sub><br><br />
7,4 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme b<sub>2</sub><br><br />
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br><br />
a · cos γ = b<sub>2</sub> <br><br />
8,2 · cos(65°) = b<sub>2</sub><br><br />
3,5 (cm) <math>\approx</math> b<sub>2</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme b<sub>1</sub><br><br />
b – b<sub>2</sub>= b<sub>1</sub> <br><br />
5,8 - 3,5 = b<sub>1</sub> <br><br />
2,3 (cm) = b<sub>1</sub><br> </div><br />
</div> <br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme α<br><br />
tan α = <math>\tfrac{h_b}{b_1}</math><br><br />
tan α = <math>\tfrac{7,4}{2,3}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br><br />
α <math>\approx</math> 72,7°<br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme c<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br><br />
c · sin α = h<sub>b</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin α<br><br />
c = <math>\tfrac{h_b}{sin\alpha}</math><br><br />
c = <math>\tfrac{\text{7,4}}{\text{sin (72,7°)}}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,8 (cm) <br><br />
ODER:<br> <br />
c² = <math>h_b^2 + b_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c= <math>\sqrt{h_b^2 + b_1^2}</math><br><br />
c = <math>\sqrt{7,4^2 + 2,3^2}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br />
</div> <br />
<div class="width-1-3"><br />
⑥ Bestimme den letzten Winkel β <br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- α; -γ<br><br />
β = 180° - α - γ <br><br />
β= 180° - 72,7° - 65°<br><br />
β = 42,3°</div><br />
</div><br><br />
<br><br />
Du merkst, es kommt zu Rundungsungenauigkeiten.<br><br />
<br />
===3.3 Beispiel 3: Zwei Seiten und ein anliegender Winkel sind gegeben===<br />
Erkläre, warum es hier nur '''eine Möglichkeit''' gibt, das Dreieck zu zerlegen: die '''Höhe h<sub>c</sub>''' .<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 4.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>c</sub>:<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · sin α = h<sub>c</sub> <br><br />
10,5 · sin(37°) = h<sub>c</sub><br><br />
6,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>c</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme c<sub>1</sub><br><br />
cos α = <math>\tfrac{c_1}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · cos α = c<sub>1</sub> <br><br />
10,5 · cos(37°) = c<sub>1</sub><br><br />
8,4 (cm) <math>\approx</math> c<sub>1</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme c<sub>2</sub><br><br />
<math>h_c^2 + c_2^2</math> = a² &nbsp;&nbsp;&#124;-<math>h_c^2 </math><br><br />
<math>c_2^2</math> = a² - <math>h_c^2</math>&nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c<sub>2</sub>= <math>\sqrt{a^2 - h_c^2}</math><br><br />
c<sub>2</sub> = <math>\sqrt{7^2 - 6,3^2}</math><br><br />
c<sub>2</sub> <math>\approx</math> 3,1 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<br><br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme c:<br><br />
c = c<sub>1</sub> + c<sub>2</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = 8,4 + 3,1<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 11,5 (cm)</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme β<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_c}{a}</math><br><br />
sin β = <math>\tfrac{6,3}{7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;sin<sup>-1</sup><br><br />
β <math>\approx</math> 64,2°</div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Bestimme den letzten Winkel γ<br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- α; -β<br><br />
γ = 180° - β - α<br><br />
γ= 180° - 37° - 64,2°<br><br />
γ = 78,8°</div><br />
</div><br />
<br />
<br><br />
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:<br><br />
{{#ev:youtube|bEMu4A19HXI|800|center}}<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Übung 1 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.<br />
* 45<br />
* 46|Üben}}<br />
{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizze in dein Heft und zerlege das allgemeine Dreieck durch eine geeignete Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke. Bestimme dann die fehlenden Größen.<br />
* S. 99 Nr. 1<br />
* S. 99 Nr. 2<br />
* S. 99 Nr. 4<br />
* S. 100 Nr. 6|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 2. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben.|Tipp zu Nr. 1|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 1. Beispiel, es sind eine Seite und zwei Winkel gegeben.|Tipp zu Nr. 2|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 3. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein anliegender Winkel gegeben|Tipp zu Nr. 4|Verbergen}}<br />
<br />
===3.4 Anwendungsaufgaben===<br />
{{Box|Übung 3 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.<br />
* 47<br />
* 48|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann den fehlenden Winkel, die Länge der entsprechenden Höhe und die Längen der Seiten a und b.<br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 63.png|rahmenlos]]<br><br />
[[Datei:Skizze 2 zu Nr. 63.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze 3 zu Nr. 63.png|rahmenlos]]<br><br />
Prüfe deine Lösungen auf der Seite Aufgabenfuchs.|Tipp zu Nr. 65|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann schrittweise die fehlenden Größen.<br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 64.png|rahmenlos]] <br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 64 1.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze zu Nr. 64 2.png|rahmenlos]]<br><br />
Prüfe dein Ergebnis auf der Seite Aufgabenfuchs.|Tipp zu Nr. 66|Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 4|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizzen in dein Heft und löse schrittweise. Notiere vollständig und übersichtlich.<br />
* S. 99 Nr. 5<br />
* S. 100 Nr. 7<br />
* S. 100 Nr. 8|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Erstelle eine Skizze zur Aufgabe und beschrifte sie vollständig.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 99 Nr. 5.png|rahmenlos]]<br><br />
Zerlege das Dreieck durch eine Höhe in zwei rechtwinklige Teildreiecke.<br><br />
[[Datei:Skizze 1 zu S. 99 Nr. 5.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze 2 zu S. 99 Nr. 5 neu.png|rahmenlos]]<br><br />
Lösung: c= 2,535; a = 1,757|2=Tipp zu Nr. 5|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Dachfläche besteht aus 4 Dreiecksflächen. Bestimme also die Fläche eines Dreiecks und multipliziere diesen Flächeninhalt mit 4. Die Skizze hilft dir bei der Bestimmung der nötigen Größen. (A<sub>Dreieck</sub>= <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math>)<br><br />
[[Datei:S. 100 Nr. 7 Skizze.png|rahmenlos]]<br><br />
Zwischenlösung: h<sub>c</sub>=14,42m; c=10,78m|2=Tipp zu Nr. 7|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Erstelle eine Skizze zur Aufgabe:<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8.png|rahmenlos]]<br><br />
Gesucht sind hier nun a und d.|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte das linke Dreieck ABL. Zerlege es in rechtwinklige Teildreiecke (ohne die gegebene Seite c zu teilen). Die Skizze hilft dir für deinen Lösungsplan.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8a.png|rahmenlos]]<br><br />
Bestimme h<sub>a</sub>, δ<sub>1</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a.<br><br />
(Lösung: a=3,63 sm)|2=Tipp zu 8a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte zur Lösung das linke Dreieck BCL. Gegeben ist nun auch aus Teil a) die Länge der Strecke a = 3,63 sm. Berechne den Nebenwinkel β<sub>2</sub> von β und den Winkel δ<sub>2</sub> mihilfe der Winkelsumme. Zerlege auch dieses Dreieck wieder in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Die Skizze hilft dir, die nötigen Rechenschritte zu planen.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8b.png|rahmenlos]]<br><br />
(Lösung: h<sub>e</sub> = 1,92 sm; d = 3,51 sm)|2=Tipp zu 8b|3=Verbergen}}<br />
<br />
====Zwischentest 4: Anwendung in einem beliebigen Dreieck====<br />
<quiz display="simple"><br />
{Im Losbergpark soll eine neue Brücke über den See gebaut werden. Berechne die Länge der Brücke.<br />
<br />
[[Datei:Trigonometrie Brücke Losbergpark.jpg|rahmenlos|500x500px]]}<br />
<br />
+ Länge ≈ 30,33 m<br />
- Länge ≈ 30,21 m<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===3.5 Erweiterung: Formel für den Flächeninhalt beliebiger Dreiecke (mit Sinus)===<br />
<br />
{{Box|Flächeninhaltsformel Dreieck (mit Sinus)|Gruppenarbeit: Arbeitet arbeitsteilig in 3er Gruppen.<br><br />
Der Flächeninhalt von Dreiecken kann mit dem Sinus eines Winkels und zweier Seitenlängen bestimmt werden.<br />
Die Herleitung der Formel ist auf der Seite realmath dargestellt.<br />
Öffnet arbeitsteilig die Seite und leitet die Flächeninhaltsformel für ein Dreieck her. Notiert im Heft.<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach.php Link 1 zur Herleitung (realmath)]<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach2.php Link 2]<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach3.php Link 3]<br />
Welche Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede entdeckt ihr?|Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Flächeninhaltsformel für beliebige Dreiecke|2=[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]Den Flächeninhalt eines (beliebigen) Dreiecks können wir mit den Formeln berechnen:<br><br />
A = <math>\tfrac{1}{2}</math>·b·c·sinα<br>|3=Merksatz}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Herleitung:<br><br />
linkes Teildreieck: <br><br />
sinα = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &#124;·b<br><br />
b·sinα = h<sub>c</sub><br><br />
<br />
Flächeninhaltsformel:<br><br />
A = <math>\tfrac{c\cdot h_c}{2}</math> &nbsp;&#124; setze für h<sub>c</sub> = b·sinα ein<br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{c\cdot bsinα}{2}</math><br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>b·c·sinα<br><br />
Ebenso kannst du die Flächeninhaltsformeln für die anderen Seiten als Grundseiten herleiten.|2=Herleitung der Formel|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 5 (online)|Flächeninhalt von Dreiecken berechnen:<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/dreiecktrigo.php Übung (realmath)]|Üben}}<br />
<br />
{{Box|Übung 6|Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die Rechnungen übersichtlich und vollständig in deinem Heft.<br />
* S. 99 Nr. 3<br />
* S. 100 Nr. 9<br />
* S. 111 Nr. 3|Üben}}<br />
<br />
===3.6 Erweiterung: Sinussatz===<br />
<br />
[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">linkes Teildreieck: <br><br />
sinα = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &#124;·b<br><br />
b·sinα = h<sub>c</sub><br></div><br />
<div class="width-1-2">rechtes Teildreieck: <br><br />
sinβ = <math>\tfrac{h_c}{a}</math> &#124;·b<br><br />
a·sinβ = h<sub>c</sub><br></div><br />
</div><br />
Also gilt:<br><br />
a·sinβ = b·sinα &nbsp;&#124; : sinα; : sinβ<br><br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta}</math><br><br />
Ebenso kannst du dies für h<sub>a</sub> und h<sub>b</sub> herleiten und erhältst den Sinussatz:<br><br />
<br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math><br />
<br />
<br />
{{Box|1=Sinussatz (für allgemeine Dreiecke)|2=In jedem Dreieck verhalten sich die Seiten wie die Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel:<br><br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math>|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|O2ZY6htEY4k|800|center}}<br />
<br />
{{Box|Übung 7|Löse mithilfe des Sinussatzes im Buch<br />
* S. 114, Nr. 25|Üben}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=4 Berechnungen in beliebigen Figuren|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen_in_allgemeinen_Dreiecken&diff=93095Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken2024-03-16T19:11:02Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}<br />
<br><br />
[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]<br />
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie|Startseite (Vorwissen)]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinus,Kosinus,Tangens|1) Sinus, Kosinus, Tangens]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken|2) Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken|3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren|4) Berechnungen in beliebigen Figuren]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinusfunktion|5) Sinusfunktion und Kosinusfunktion]]}}<br />
<br><br />
<br />
==3 Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken==<br />
<br />
Die Seitenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tanges gelten nur für rechtwinklige Dreiecke.<br />
[[Datei:Idee Flipchart.png|rechts|rahmenlos|200px]]Um in allgemeinen Dreiecken Strecken und Winkel berechnen zu können, zerlege das Dreieck mithilfe einer '''Höhe''' in zwei '''rechtwinklige''' Dreiecke.<br />
<br />
{{Box|Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken|'''Zerlege''' das allgemeine Dreieck in zwei '''rechtwinklige''' Dreiecke. Zeichne dazu eine geeignete '''Höhe h''' ein.<br><br />
Berechne dann mithilfe von Sinus, Kosinus und Tagens die fehlenden Strecken in den rechtwinkligen Teildreiecken.<br><br />
Übertrage die Beispiele in dein Heft (Skizze und Rechnungen)|Arbeitsmethode}}<br />
===3.1 Beispiel 1: Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben===<br />
<br><br />
'''1. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>a</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1.3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
① Bestimme γ:<br><br />
Winkelsummensatz<br><br />
γ = 180° - α - β<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 76°<br></div><br />
<div class="width-1-2"><br />
② Berechne h<sub>a</sub>:<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · sin β = h<sub>a</sub> <br><br />
8,5 · sin(42°) = h<sub>a</sub> <br><br />
5,7 (cm) <math>\approx</math> h<sub>a</sub> <br></div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
③ Berechne b:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br><br />
b · sin γ = h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124; : sin γ<br><br />
b = <math>\tfrac{h_a}{sin\gamma}</math> <br><br />
b = <math>\tfrac{\text{5,7}}{\text{sin(76°)}}</math> <br><br />
b <math>\approx</math> 5,9 (cm)<br></div><br />
<br><br />
Berechne a:<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">④ Berechne a<sub>1</sub>:<br />
cos β = <math>\tfrac{a_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · cos β = a<sub>1</sub><br><br />
8,5 · cos (42°) = a<sub>1</sub><br><br />
6,3 (cm) <math>\approx</math>a<sub>1</sub></div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">⑤ Berechne a<sub>2</sub>:<br />
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br><br />
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br><br />
5,9 · cos (76°) = a<sub>2</sub><br><br />
1,4 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub></div><br />
<div class="width-1-2">⑥ Berechne a:<br><br />
a = a<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 6,3 + 1,4 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 7,7 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
'''2. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>b</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 1.4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme γ:<br><br />
Winkelsummensatz<br><br />
γ = 180° - α - β<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 76°<br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Berechne h<sub>b</sub>:<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · sin α = h<sub>b</sub> <br><br />
8,5 · sin(62°) = h<sub>b</sub> <br><br />
7,5 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> </div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Berechne a:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br><br />
a · sin γ = h<sub>b</sub> &nbsp;&nbsp;&#124; : sin γ<br><br />
a = <math>\tfrac{h_b}{sin\gamma}</math> <br><br />
a = <math>\tfrac{\text{7,5}}{\text{sin(76°)}}</math> <br><br />
a <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<br />
Berechne b:<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">④ Berechne b<sub>1</sub>:<br />
cos α = <math>\tfrac{b_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br><br />
c · cos α = b<sub>1</sub><br><br />
8,5 · cos (62°) = b<sub>1</sub><br><br />
4,0 (cm) <math>\approx</math>b<sub>1</sub></div><br />
<div class="width-1-3">⑤ Berechne b<sub>2</sub>:<br />
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br><br />
a · cos γ = b<sub>2</sub> <br><br />
7,7 · cos (76°) = b<sub>2</sub><br><br />
1,9 (cm) <math>\approx</math> b<sub>2</sub></div><br />
<br />
<div class="width-1-3">⑥ Berechne b:<br><br />
b = b<sub>1</sub> + b<sub>2</sub> <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 4,0 + 1,9 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 5,9 (cm)</div><br />
</div><br />
<br><br />
===3.2 Beispiel 2: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben===<br />
<br><br />
'''1. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>a</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>a</sub>:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · sin γ = h<sub>a</sub> <br><br />
5,8 · sin(65°) = h<sub>a</sub><br><br />
5,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>a</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme a<sub>2</sub><br><br />
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br><br />
5,8 · cos(65°) = a<sub>2</sub><br><br />
2,5 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme a<sub>1</sub><br><br />
a – a<sub>2</sub>= a<sub>1</sub> <br><br />
8,2 - 3,8 = a<sub>1</sub> <br><br />
5,7 (cm) = a<sub>1</sub><br> </div><br />
</div> <br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme β<br><br />
tan β = <math>\tfrac{h_a}{a_1}</math><br><br />
tan β = <math>\tfrac{5,2}{5,7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br><br />
β <math>\approx</math> 42,4°<br></div><br />
<br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme c<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br><br />
c · sin β = h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin β<br><br />
c = <math>\tfrac{h_a}{sin\beta}</math><br><br />
c = <math>\tfrac{\text{5,2}}{\text{sin (42,4°)}}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm) <br>ODER:<br> <br />
c² = <math>h_a^2 + a_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c= <math>\sqrt{h_a^2 + a_1^2}</math><br><br />
c = <math>\sqrt{5,2^2 + 5,7^2}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br />
</div> <br />
<div class="width-1-3"><br />
⑥ Bestimme den letzten Winkel α <br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- β; -γ<br><br />
α = 180° - β - γ <br><br />
α = 180° - 42,4° - 65°<br><br />
α = 72,6°<br />
<br></div><br />
</div><br />
<br />
<br />
'''2. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>b</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3.2 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>b</sub>:<br><br />
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br><br />
a · sin γ = h<sub>b</sub> <br><br />
8,2 · sin(65°) = h<sub>b</sub><br><br />
7,4 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme b<sub>2</sub><br><br />
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br><br />
a · cos γ = b<sub>2</sub> <br><br />
8,2 · cos(65°) = b<sub>2</sub><br><br />
3,5 (cm) <math>\approx</math> b<sub>2</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme b<sub>1</sub><br><br />
b – b<sub>2</sub>= b<sub>1</sub> <br><br />
5,8 - 3,5 = b<sub>1</sub> <br><br />
2,3 (cm) = b<sub>1</sub><br> </div><br />
</div> <br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme α<br><br />
tan α = <math>\tfrac{h_b}{b_1}</math><br><br />
tan α = <math>\tfrac{7,4}{2,3}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br><br />
α <math>\approx</math> 72,7°<br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme c<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br><br />
c · sin α = h<sub>b</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin α<br><br />
c = <math>\tfrac{h_b}{sin\alpha}</math><br><br />
c = <math>\tfrac{\text{7,4}}{\text{sin (72,7°)}}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,8 (cm) <br><br />
ODER:<br> <br />
c² = <math>h_b^2 + b_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c= <math>\sqrt{h_b^2 + b_1^2}</math><br><br />
c = <math>\sqrt{7,4^2 + 2,3^2}</math><br><br />
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br />
</div> <br />
<div class="width-1-3"><br />
⑥ Bestimme den letzten Winkel β <br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- α; -γ<br><br />
β = 180° - α - γ <br><br />
β= 180° - 72,7° - 65°<br><br />
β = 42,3°</div><br />
</div><br><br />
<br><br />
Du merkst, es kommt zu Rundungsungenauigkeiten.<br><br />
<br />
===3.3 Beispiel 3: Zwei Seiten und ein anliegender Winkel sind gegeben===<br />
Erkläre, warum es hier nur '''eine Möglichkeit''' gibt, das Dreieck zu zerlegen: die '''Höhe h<sub>c</sub>''' .<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
<div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 4.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|600x600px]]</div><br />
</div><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
① Bestimme h<sub>c</sub>:<br><br />
sin α = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · sin α = h<sub>c</sub> <br><br />
10,5 · sin(37°) = h<sub>c</sub><br><br />
6,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>c</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
② Bestimme c<sub>1</sub><br><br />
cos α = <math>\tfrac{c_1}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br><br />
b · cos α = c<sub>1</sub> <br><br />
10,5 · cos(37°) = c<sub>1</sub><br><br />
8,4 (cm) <math>\approx</math> c<sub>1</sub> <br></div><br />
<div class="width-1-3"><br />
③ Bestimme c<sub>2</sub><br><br />
<math>h_c^2 + c_2^2</math> = a² &nbsp;&nbsp;&#124;-<math>h_c^2 </math><br><br />
<math>c_2^2</math> = a² - <math>h_c^2</math>&nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br><br />
c<sub>2</sub>= <math>\sqrt{a^2 - h_c^2}</math><br><br />
c<sub>2</sub> = <math>\sqrt{7^2 - 6,3^2}</math><br><br />
c<sub>2</sub> <math>\approx</math> 3,1 (cm)<br></div><br />
</div><br />
<br><br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3"><br />
④ Bestimme c:<br><br />
c = c<sub>1</sub> + c<sub>2</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp; = 8,4 + 3,1<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 11,5 (cm)</div><br />
<div class="width-1-3"><br />
⑤ Bestimme β<br><br />
sin β = <math>\tfrac{h_c}{a}</math><br><br />
sin β = <math>\tfrac{6,3}{7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;sin<sup>-1</sup><br><br />
β <math>\approx</math> 64,2°</div><br />
<div class="width-1-3">⑥ Bestimme den letzten Winkel γ<br><br />
Winkelsumme<br><br />
α + β + γ = 180° &nbsp;&nbsp;&#124;- α; -β<br><br />
γ = 180° - β - α<br><br />
γ= 180° - 37° - 64,2°<br><br />
γ = 78,8°</div><br />
</div><br />
<br />
<br><br />
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:<br><br />
{{#ev:youtube|bEMu4A19HXI|800|center}}<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Übung 1 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.<br />
* 45<br />
* 46|Üben}}<br />
{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizze in dein Heft und zerlege das allgemeine Dreieck durch eine geeignete Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke. Bestimme dann die fehlenden Größen.<br />
* S. 99 Nr. 1<br />
* S. 99 Nr. 2<br />
* S. 99 Nr. 4<br />
* S. 100 Nr. 6|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 2. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben.|Tipp zu Nr. 1|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 1. Beispiel, es sind eine Seite und zwei Winkel gegeben.|Tipp zu Nr. 2|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Löse wie im 3. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein anliegender Winkel gegeben|Tipp zu Nr. 4|Verbergen}}<br />
<br />
===3.4 Anwendungsaufgaben===<br />
{{Box|Übung 3 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.<br />
* 47<br />
* 48|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann den fehlenden Winkel, die Länge der entsprechenden Höhe und die Längen der Seiten a und b.<br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 63.png|rahmenlos]]<br><br />
[[Datei:Skizze 2 zu Nr. 63.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze 3 zu Nr. 63.png|rahmenlos]]<br><br />
Prüfe deine Lösungen auf der Seite Aufgabenfuchs.|Tipp zu Nr. 65|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann schrittweise die fehlenden Größen.<br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 64.png|rahmenlos]] <br><br />
[[Datei:Skizze zu Nr. 64 1.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze zu Nr. 64 2.png|rahmenlos]]<br><br />
Prüfe dein Ergebnis auf der Seite Aufgabenfuchs.|Tipp zu Nr. 66|Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Übung 4|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizzen in dein Heft und löse schrittweise. Notiere vollständig und übersichtlich.<br />
* S. 99 Nr. 5<br />
* S. 100 Nr. 7<br />
* S. 100 Nr. 8|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Erstelle eine Skizze zur Aufgabe und beschrifte sie vollständig.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 99 Nr. 5.png|rahmenlos]]<br><br />
Zerlege das Dreieck durch eine Höhe in zwei rechtwinklige Teildreiecke.<br><br />
[[Datei:Skizze 1 zu S. 99 Nr. 5.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze 2 zu S. 99 Nr. 5 neu.png|rahmenlos]]<br><br />
Lösung: c= 2,535; a = 1,757|2=Tipp zu Nr. 5|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Dachfläche besteht aus 4 Dreiecksflächen. Bestimme also die Fläche eines Dreiecks und multipliziere diesen Flächeninhalt mit 4. Die Skizze hilft dir bei der Bestimmung der nötigen Größen. (A<sub>Dreieck</sub>= <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math>)<br><br />
[[Datei:S. 100 Nr. 7 Skizze.png|rahmenlos]]<br><br />
Zwischenlösung: h<sub>c</sub>=14,42m; c=10,78m|2=Tipp zu Nr. 7|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Erstelle eine Skizze zur Aufgabe:<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8.png|rahmenlos]]<br><br />
Gesucht sind hier nun a und d.|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte das linke Dreieck ABL. Zerlege es in rechtwinklige Teildreiecke (ohne die gegebene Seite c zu teilen). Die Skizze hilft dir für deinen Lösungsplan.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8a.png|rahmenlos]]<br><br />
Bestimme h<sub>a</sub>, δ<sub>1</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a.<br><br />
(Lösung: a=3,63 sm)|2=Tipp zu 8a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte zur Lösung das linke Dreieck BCL. Gegeben ist nun auch aus Teil a) die Länge der Strecke a = 3,63 sm. Berechne den Nebenwinkel β<sub>2</sub> von β und den Winkel δ<sub>2</sub> mihilfe der Winkelsumme. Zerlege auch dieses Dreieck wieder in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Die Skizze hilft dir, die nötigen Rechenschritte zu planen.<br><br />
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8b.png|rahmenlos]]<br><br />
(Lösung: h<sub>e</sub> = 1,92 sm; d = 3,51 sm)|2=Tipp zu 8b|3=Verbergen}}<br />
<br />
====Zwischentest 4: Anwendung in einem beliebigen Dreieck====<br />
<quiz display="simple"><br />
{Im Losbergpark soll eine neue Brücke über den See gebaut werden. Berechne die Länge der Brücke.<br />
<br />
[[Datei:Trigonometrie Brücke Losbergpark.jpg|rahmenlos|500x500px]]}<br />
<br />
+ Länge ≈ 30,33 m<br />
- Länge ≈ 30,21 m<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===3.5 Erweiterung: Formel für den Flächeninhalt beliebiger Dreiecke (mit Sinus)===<br />
<br />
{{Box|Flächeninhaltsformel Dreieck (mit Sinus)|Gruppenarbeit: Arbeitet arbeitsteilig in 3er Gruppen.<br><br />
Der Flächeninhalt von Dreiecken kann mit dem Sinus eines Winkels und zweier Seitenlängen bestimmt werden.<br />
Die Herleitung der Formel ist auf der Seite realmath dargestellt.<br />
Öffnet arbeitsteilig die Seite und leitet die Flächeninhaltsformel für ein Dreieck her. Notiert im Heft.<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach.php Link 1 zur Herleitung (realmath)]<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach2.php Link 2]<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach3.php Link 3]<br />
Welche Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede entdeckt ihr?|Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Flächeninhaltsformel für beliebige Dreiecke|2=[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]Den Flächeninhalt eines (beliebigen) Dreiecks können wir mit den Formeln berechnen:<br><br />
A = <math>\tfrac{1}{2}</math>·b·c·sinα<br>|3=Merksatz}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Herleitung:<br><br />
linkes Teildreieck: <br><br />
sinα = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &#124;·b<br><br />
b·sinα = h<sub>c</sub><br><br />
<br />
Flächeninhaltsformel:<br><br />
A = <math>\tfrac{c\cdot h_c}{2}</math> &nbsp;&#124; setze für h<sub>c</sub> = b·sinα ein<br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{c\cdot bsinα}{2}</math><br><br />
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>b·c·sinα<br><br />
Ebenso kannst du die Flächeninhaltsformeln für die anderen Seiten als Grundseiten herleiten.|2=Herleitung der Formel|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 5 (online)|Flächeninhalt von Dreiecken berechnen:<br />
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/dreiecktrigo.php Übung (realmath)]|Üben}}<br />
<br />
{{Box|Übung 6|Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die Rechnungen übersichtlich und vollständig in deinem Heft.<br />
* S. 99 Nr. 3<br />
* S. 100 Nr. 9<br />
* S. 111 Nr. 3|Üben}}<br />
<br />
===3.6 Erweiterung: Sinussatz===<br />
<br />
[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">linkes Teildreieck: <br><br />
sinα = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &#124;·b<br><br />
b·sinα = h<sub>c</sub><br></div><br />
<div class="width-1-2">rechtes Teildreieck: <br><br />
sinβ = <math>\tfrac{h_c}{a}</math> &#124;·b<br><br />
a·sinβ = h<sub>c</sub><br></div><br />
</div><br />
Also gilt:<br><br />
a·sinβ = b·sinα &nbsp;&#124; : sinα; : sinβ<br><br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta}</math><br><br />
Ebenso kannst du dies für h<sub>a</sub> und h<sub>b</sub> herleiten und erhältst den Sinussatz:<br><br />
<br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math><br />
<br />
<br />
{{Box|1=Sinussatz (für allgemeine Dreiecke)|2=In jedem Dreieck verhalten sich die Seiten wie die Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel:<br><br />
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math>|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{#ev:youtube|O2ZY6htEY4k|800|center}}<br />
<br />
{{Box|Übung 7|Löse mithilfe des Sinussatzes im Buch<br />
* S. 114, Nr. 25|Üben}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=4 Berechnungen in beliebigen Figuren|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren}}</div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Buss-Haskert/Kreis_und_Zylinder/Kreisumfang&diff=93075Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisumfang2024-03-15T20:02:41Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div>[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]<br />
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}<br />
<br><br />
<br />
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder|Kreis und Zylinder - Startseite]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisumfang|1 Kreisumfang]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisfläche|2 Kreisfläche]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisteile|3 Kreisteile]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Zylinder|4 Zylinder]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Zusammengesetzte Körper|5 Zusammengesetzte Körper]]<br />
}}<br />
<br><br />
<br />
<br><br />
==1 Kreisumfang u==<br />
===1.1 Kreisumfang entdecken===<br />
{{Box|Kreisumfang entdecken|Was ist größer? Die Höhe oder der Umfang des Glases?<br><br />
Schau in der folgenden LearningApp das Video dazu an.|Unterrichtsidee}}<br />
{{LearningApp|app=p55ie9nk520|width=100%|height=600px}}<br />
<br />
{{Box|1=Kreisumfang entdecken|2=a) Miss den Durchmesser d und den Umfang u von verschiedenen kreisförmigen Gegenständen. Beschreibe, wie du vorgehst.<br><br />
b) Trage die Werte in eine Tabelle ein:<br><br />
[[Datei:Tabelle Umfang.png|rahmenlos|600x600px]]<br><br />
c) Erstelle ein d-u-Diagramm. (x-Achse: Durchmesser, y-Achse: Umfang)<br><br />
d) Was fällt dir auf? Notiere Stichpunkt im Heft.|3=Arbeitsmethode}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{#ev:youtube|2meJlHy6hzw|600|center}}|2=Tipp zu a: Wie kann ich den Umfang messen?|3=Verbergen}}<br />
Prüfe deine Vermutung aus dem Teil c) mithilfe des nachfolgenden Applets. Wähle den Vollbildmodus zur Bearbeitung.<br />
{{h5p-zum|id=13628|height=600px}}<br />
Applet von Pöchtrager<br />
{{Lösung versteckt|Stelle deine Werte aus der Tabelle in einem d-u-Diagramm dar. Was fällt dir auf?|Tipp 1|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Das Diagramm ist eine Ursprungsgerade, also ist die Zuordnung proportional. Das heißt auch, dass der Quotient <math>\tfrac{u}{d}</math> immer gleich ist.|Tipp 2|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang u eines Kreises ist proportional zu seinem Durchmesser d.<br><br />
Der Quotient <math>\tfrac{u}{d}</math> beträgt immer ca. 3,1.<br><br />
Dieses Verhältnis wird '''Kreiszahl π''' genannt. <math>\tfrac{u}{d}</math> = π.<br />
|2=Vergleiche deine Lösung|3=Verbergen}}<br />
[[Datei:Unfolding circle demonstration of pi.gif|ohne|mini]]<br />
{{Box|1=Kreisumfang|2=[[Datei:Kreisumfang 1.png|rechts|rahmenlos|200px]][[Datei:Kreisumfang 2.png|rechts|rahmenlos]]Den '''<u>Umfang u</u>''' eines Kreises mit Durchmesser d (Radius r)<br> berechnen wir mit der Formel:<br><br><br />
<big>u = π · d oder u = 2· π · r </big> (denn d = 2·r)|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
Zusammenfassung:<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|mZPp4bGiIT0|460|center}}</div><br />
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|4OHoJnWHr-c|460|center}}</div><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===1.2 Exkurs: Kreiszahl π===<br />
<br />
[[Datei:Football-157930 1280.png|rechts|rahmenlos|100x100px]]Beim Kreis ist das Verhältnis von Umfang u und Durchmesser d ist immer gleich. <br />
<br />
Dieses Verhältnis wird '''Kreiszahl π''' genannt. <math>\tfrac{u}{d}</math> = π = 3,141... Dieser Dezimalbruch endet nie.<br><br />
<br />
Dorfuchs hat die ersten 200 Nachkommastellen von π mit einer Fußballjonglage verbunden: Beeindruckend!<br><br />
<br />
{{#ev:youtube|KIZOpIcBEnI|800|center}}<br><br />
Wir nähern uns Durfuchs an: 😉<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">20 Nachkommastellen:<br><br />
{{#ev:youtube|fztxpmtr7l8|420|center}}</div><br />
<div class="width-1-2"> 32 Nachkommastellen:<br><br />
{{#ev:youtube|OTkGngfDi10|420|center}}</div><br />
<br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">40 Nachkommastellen (mit Seilspringen)<br><br />
{{#ev:youtube|gdrHrnoG2A0|420|center}}</div><br />
<div class="width-1-2"></div><br />
</div><br />
<br><br />
Das folgende Näherungsverfahren für die Kreiszahl π geht auf Archimedes (282 v.Chr. Bis 212 v.Chr.) zurück. Es beruht auf der Betrachtung von regelmäßigen Vielecken, die dem Kreis umschrieben bzw. einbeschrieben sind.<br />
<ggb_applet id="xPcQduXT" width="900" height="550" border="888888" /><br />
Applet von Pöchtrager<br><br />
<br />
[[Datei:Pi-3166190 1920.png|rechts|rahmenlos|110x110px]] Und nun noch einige kurze Infos zur Kreiszahl π:<br />
<br />
*eine der bekanntesten und sagenumwobensten Zahlen der Mathematik<br />
*Ansätze ihrer Berechnung wurden schon im 17 Jahrhundert v. Chr. im Rechenbuch des Ahmes angedeutet<br />
*mathematisch relativ genau als erstes von dem griechischen Mathematiker und Philosoph Archimedes im Jahr 250 v .Chr. bestimmt worden, mit 2 Dezimalstellen (3,14)<br />
*Mittlerweile (2010) von dem Mathematiker Shigero Kondo auf ca. 5 000 000 000 000 Dezimalstellen berechnet<br />
*beschreibt das Verhältnis vom Umfang des Kreise zu seinem Durchmesser, welches bei allen Kreisen gleich ist:<br />
<br />
[[Datei:Unfolding circle demonstration of pi.gif|ohne|mini]]<br />
π = <math>\tfrac{u}{d}</math> = 3,14159...<br />
<br />
*Ein Kreis mit dem Durchmesser 1 hat somit einen Umfang von π.<br />
<br />
<br />
Tastenkombination für die Kreiszahl π für Berechnungen mit dem Taschenrechner:<br><br />
[[Datei:Taschenrechner_pi.png|500x500px]]<br><br />
<br />
<br />
===1.3 Kreisumfang - Berechnungen===<br />
{{Box|Kreisumfang - Berechnungen|[[Datei:Kreisumfang Berechnungen Einstieg komplett.png|rahmenlos|700x700px]]<ref>nach einer Idee von Schober auf GeoGebra https://www.geogebra.org/m/hh7dahad#material/ybzhmw8f</ref><br><br />
Theo und Lara sollen den Durchmesser des Stammes eines Baumes in einer Höhe von einem Meter über dem Boden ermitteln.<br><br />
Vervollständige den Gedanken von Lara.|Unterrichtsidee}}<br />
<br><br />
{{Lösung versteckt|Sie nehmen eine lange Schnur, führen diese einmal um den Baum herum und messen dann mit einem Maßband, wie lang die Schnur ist. So haben sie den Umfang u des Stammes gemessen. Nun berechnen sie mit der Formel für den Kreisumfang den zugehörigen Durchmesser.|Tipp|Verbergen}}<br />
<br><br />
{{Box|1=Kreisumfang - Berechnungen|2=Bei gegebenem Durchmesser d oder Radius r kannst du den Umfang u berechnen mit den Formeln <br><br />
u = π · d oder u = 2· π · r<br><br />
Durch Umstellen der Formeln nach d bzw. r kannst du bei gegebenem Umfang den Durchmesser bzw. den Radius bestimmen.<br><br />
Schreibe die Formeln in dein Heft und stelle sie nach d bzw. r um.|3=Kurzinfo}}<br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:Umfangsformel_umstellen.png]]|Vergleiche deine Lösung|Verbergen}}<br />
{{Box|Kreisumfang - Berechnungen|Übertrage die folgenden Beispiele in dein Heft|Arbeitsmethode}}<br />
Beispiele:<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">Umfang u berechnen:<br><br />
geg: d = 3,0 cm<br><br />
ges: u<br><br />
u = π · d &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
&nbsp;&nbsp; = π · 3,0 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 9,4 (cm)</div><br />
<div class="width-1-2"><br><br />
geg: r = 1,0 cm<br><br />
ges: u<br><br />
u = 2 · π · r &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 2 · π · 1,0 <br><br />
&nbsp;&nbsp; = 6,3 (cm)</div><br />
</div><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2">Durchmesser d berechnen:<br><br />
geg: u = 15,7 cm<br><br />
ges: d<br><br />
u = π · d &nbsp;&nbsp;&#124;: π<br><br />
<math>\tfrac{u}{\pi}</math> = d &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br><br />
<math>\tfrac{15,7}{\pi}</math>= d <br><br />
5,0 (cm) = d </div><br />
<div class="width-1-2">Radius r berechnen:<br><br />
geg: u = 22,0 cm<br><br />
ges: r<br><br />
u = 2 · π · r &nbsp;&nbsp;&#124;: (2·π)<br><br />
<math>\tfrac{u}{2\pi}</math> = r&nbsp;&nbsp;Wert einsetzen<br><br />
<math>\tfrac{22,0}{2\pi}</math> = r <br><br />
3,5 (cm) = r</div><br />
</div><br />
<br><br />
{{#ev:youtube|v6MAsS45FvI|800|center}}<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Übung 1 - online|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/kreis/kreis.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben<br />
* 6<br />
* 7<br />
* 8<br />
* 9|Üben}}<br />
{{Box|Übung 2 - Grundlagen|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere übersichtlich mit den Schreibweisen wie in den Beispielen.<br />
* S. 129 Nr. 1 (Wähle je eine Aufgabe aus a-c und eine Aufgabe aus d-e aus.)<br />
* S. 129 Nr. 2 (Wähle eine Aufgabe aus.)<br />
* S. 129 Nr. 3 (Wähle drei Aufgaben aus.)|Üben}}<br />
<br />
Prüfe deine Lösungen mit dem Applet:<br><br />
<ggb_applet id="s4fsfz9g" width="886" height="496" border="888888" /><br />
<small>Applet von C. Buß-Haskert</small><br />
<br />
<br />
{{Box|1=Kreisumfang - "Pi mal Daumen"|2=[[Datei:Woman-2759503 1920.jpg|rechts|rahmenlos]]Handwerker benutzen zur Kreisumfangsberechnung oft die folgende Faustformel: '''Kreisumfang = Durchmesser mal 3 plus 5 Prozent'''.<br><br />
a) Berechne mit der Faustformel den Umfang für <br />
* d = 40 cm<br />
* d = 8 cm<br />
* r = 3 cm.<br />
b) Berechne nun die Umfänge aus Teil a) mit dem genauen Wert für π und vergleiche.<br><br />
c) Berechne den Näherungswert für π, der bei dieser Faustformel verwendet wird. Notiere deine Rechnung.|3=Unterrichtsidee}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Formel: Durchmesser mal 3 plus 5%:<br><br />
Für d = 40 cm:<br><br />
"Durchmesser mal 3"&nbsp;&nbsp; 40·3 = 120 (cm)<br><br />
"plus 5%" &nbsp;&nbsp; 5% von 120 = 6 (cm) (Rechne mit Formel oder mit Dreisatz)<br><br />
<br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"> mit Formel<br><br />
geg: G=120cm; p%=5%=0,05<br><br />
ges: W<br><br />
W = G ∙ p% = 120 ∙ 0,05 = 6 [cm]</div><br />
<div class="width-1-2"> mit Dreisatz<br><br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
{{!-}} <br />
! Prozentsatz p% <br />
! Strecke (cm)<br />
{{!-}}<br />
{{!}} 100%<br />
{{!}} 120<br />
{{!-}}<br />
{{!}} 10% <br />
{{!}} 12<br />
{{!-}}<br />
{{!}} 5% <br />
{{!}} 6<br />
{{!-}}<br />
{{!)}}<br />
</div><br />
</div><br />
<br><br />
Ergebnis der Faustformel: Umfang = 120 + 6 = 126 (cm)<br />
|2=Tipp zu d=40cm|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Formel für den Umfang lautet u = π·d.<br><br />
In der Faustformel wird gerechnet:<br><br />
u = 3·d + 0,05·(3·d) (Durchmesser mal 3 plus 5%)<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 3·d + 0,15·d<br><br />
&nbsp;&nbsp; = 3,15·d<br><br />
Also wird für π der Wert 3,15 näherungsweise verwendet.|2=Tipp zu c|3=Verbergen}}<br />
<br />
<br />
===1.4 Anwendungsaufgaben===<br />
{{Box|1=Geometrische Anwendungen - Beispiele|2=Berechne den Umfang der Figuren. Notiere deine Überlegungen übersichtlich.<br />
<br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-3">1. Beispiel:<br><br />
[[Datei:Halbkreis im Quadrat 2.png|rahmenlos]]<br><br />
u = a + a + a + u<sub>Halbkreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 5 + 5 + 5 + <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·r<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 15 + <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·2,5<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 15 + 7,85<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 22,85 [cm] <br><br />
</div><br />
<div class="width-1-3">2. Beispiel:<br><br />
[[Datei:Halbkreis im Viertelkreis.png|rahmenlos|300x300px]]<br><br />
u = u<sub>Viertelkreis</sub> + u<sub>Halbkreis</sub> + a<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{4}</math>·2·π·<math>r_1</math> + <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·<math>r_2</math> + 6<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= <math>\tfrac{1}{4}</math>·2·π·6 + <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·3 + 6<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 9,42 + 9,42 + 6<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 24,84 [cm] <br><br />
</div><br />
<div class="width-1-3">3. Beispiel:<br><br />
[[Datei:Rechtwinkliges Dreieck mit Halbkreis.png|rahmenlos|400x400px]]<br><br />
Berechne den Radius des Halbkreises (mit dem Satz des Pythagoras):<br><br />
d² = 3² + 4²<br><br />
d = <math>\sqrt{3^2 + 4^2}</math><br><br />
d = 5 [cm]; also r = 5:2 = 2,5 [cm]<br><br />
u = a + b + u<sub>Halbkreis</sub><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 3 + 4 + <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·<math>r</math><br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 3 + 4 + <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·2,5<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 7 + 7,85<br><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 14,85 [cm] <br><br />
</div> <br />
</div>|3=Arbeitsmethode}}<br />
{{Box|Übung 3 - geometrische Anwendungen|Figuren können aus verschiedenen Flächen - auch Kreisflächen zusammengesetzt werden. Löse die Aufgaben aus dem Buch. Übertrage dazu die Skizze in dein Heft und löse schrittweise.<br><br />
Erinnerung: Die Ameise läuft für den '''Um'''fang u einmal um die Figur her'''um'''.<br />
* S. 129 Nr. 4<br />
* S. 129 Nr. 5<br />
* S. 129 Nr. 8|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|- Der Umfang zweier Halbkreise ist genauso groß wie der Umfang eines ganzen Kreises (bei gleichem Radius).<br><br />
- Wie groß ist der Radius (oder der Durchmesser) der Halbkreise?|Tipp 1 zu Nr. 4a|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Laufe die drei Strecken des Rechtecks und dann die zwei Halbkreise entlang ("die Ameise läuft drum herum")<br><br />
Lösung: u = 5 + 10 + 5 + π·5 = 35,71 (cm)|2=Tipp 2 zu Nr. 4a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne den Durchmesser d des Halbkreises mit dem Satz des Pythagoras.<br><br />
In jedem '''rechtwinkligen''' Dreieck gilt:<br />
Kathete<sup>2</sup> + Kathete<sup>2</sup> = Hypotenuse<sup>2</sup><br><br />
Lösung: d = 13|2=Tipp 1 zu Nr. 4b|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang des Halbreises ist halb so groß wie der eines Kreises:<br><br />
u<sub>Halbreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>u<sub>Kreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>π·d<br><br />
Lösung: u = 12 + 5 + 20,42 = 37,42 (cm)|2=Tipp 2 zu Nr. 4b|3=Verbergen}}<br />
Hilfsapplet zu Nr. 5<br><br />
<ggb_applet id="xj4dxp3q" width="1179" height="706" border="888888" /><br><br />
{{Lösung versteckt|1=Betrachte den Durchmesser der Kreise. Was geschieht jeweils von Bogen zu Bogen?<br><br />
d<sub>1</sub>=2cm; d<sub>2</sub>=1cm; d<sub>3</sub>=<math>\tfrac{1}{2}</math>; d<sub>4</sub>=<math>\tfrac{1}{4}</math>; d<sub>5</sub> = <math>\tfrac{1}{8}</math>; ...<br />
Berechne jeweils die Umfänge: <math>\tfrac{1}{2}</math> u<sub>1</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π = π; ...|2= Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Kreisumfang - Sachsituationen|[[Datei:Din A4 Blatt Rolle 3.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Aus einem DIN A4-Blatt (21 cm breit und 29,7 cm lang) soll eine Rolle entstehen. Der Kleberand beträgt 7 mm. Du hast zwei Möglichkeiten, das Blatt zusammenzurollen.<br><br />
a) Berechne den Umfang der so entstandenen Papierrollen. Notiere deine Rechnung.<br><br />
b) Berechne den Durchmesser der Rollen.<br><br />
Tipp: Um die Anwendungsaufgaben zu lösen, ist es hilfreich, den Radius, den Durchmesser oder den Umfang eines Kreises in den Aufgaben zu suchen.|Unterrichtsidee}}<br />
{{Lösung versteckt|Du kannst das Blatt einmal längs rollen und einmal quer:<br><br />
[[Datei:Din A4 Blatt Rolle 1.png|rahmenlos]][[Datei:Din A4 Blatt Rolle 2.png|rahmenlos]]|Tipp 1 Skizzen|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=geg: u = Länge bzw. Breite des Blattes - 7mm Kleberand|2=Tipp zu a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=geg: u<small>1</small> = 21-0,7 = 20,3 (cm) u<sub>2</sub> = 29,7 - 0,7 = 29 (cm)<br><br />
ges: d<br><br />
Stelle die Formel für den Umfang nach d um.|2=Tipp zu b|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 4 - Sachsituationen|Löse die Aufgabe aus den nachfolgenden GeoGebra-Applets. Notiere die Lösung ausführlich und übersichtlich in deinem Heft. |Üben}}<br />
{{h5p-zum|id=13655|height=1000px}}<br />
<small>Applet von Schober</small><br><br />
{{Lösung versteckt|1=Der Weg der Füße entspricht dem Umfang der Erde. Diesen berechnest du mit der Formel u = 2·π·r, wobei der Erdradius r = 6370000m beträgt. <br><br />
Der Radius für den Weg des Kopfes ist 1,5m größer als der Erdradius, also r<sub>2</sub>=6370000+1,5 = 6370001,5(m)|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 5 - Sachsituationen|Wähle aus den Aufgaben aus dem Buch aus, sammle mindestes 6 Sternchen. Notiere die Lösungen übersichtlich. Nutze bei Bedarf die Tipps. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.<br />
* S. 129 Nr. 7 (**)<br />
* S. 130 Nr. 11 (*)<br />
* S. 130 Nr. 12 (*)<br />
* S. 130 Nr. 13 (*)<br />
* S. 130 Nr. 14 (*)<br />
* S. 130 Nr. 15 (**)<br />
* S. 130 Nr. 16 (**)<br />
* S. 130 Nr. 17 (*)|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Verlgeiche mit Übung 4 (Laufen um die Erde).<br><br />
|Tipp zu Nr. 7|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<ggb_applet id="bprvjtx8" width="1080" height="790" border="888888" />|2=Tipp 2 zu Nr. 7 (Hilfsapplet)|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Vergleiche mit der Einstiegsaufgabe.|Tipp zu Nr. 11|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Länge des Metallbandes entspricht dem Umfang des entstehenden Kreises.<br><br />
Lösung: d≈0,95m|2=Tipp zu Nr. 12|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Weg, den das Rad an einem Tag zurücklegt.<br><br />
d=Höhe des Rads = 1,95. Berechne u.<br><br />
Weg des Rads an einem Tag: 6000·u, da sich das Rad 6000 mal dreht.<br><br />
Lösung:36780m|2=Tipp zu Nr. 13|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Eine Umdrehung des Rades entsprich dem Umfang des Rades. 2 Umdrehungen sind also gleich 2·u.<br><br />
Stelle eine Gleichung auf und löse diese nach d auf.<br><br />
Lösung: d=0,16m|2=Tipp zu Nr. 14|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Gleiche Einheiten! Wandle die Geschwindigkeit von 25 km/h in die Einheit cm/s um.<br><br />
25 km/h = 2500000cm/h = <math>\tfrac{2500000cm}{3600s}</math> ≈ 694,4 cm/s.|2=Tipp 1 zu Nr. 15|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne den Umfang des Dynamorädchens.<br><br />
Berechne danach, wie oft dieser Umfang in 694,4 cm (so weit dreht sich das Rad pro Sekunde) passt.<br><br />
Lösung: ca. 110 mal|2=Tipp 2 zu Nr. 15|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Wie viele "Wellen" befinden sich in der Wellblechplatte?<br><br />
2,50m Länge = 250cm (gleiche Einheiten!)<br><br />
250cm : 5cm = 50<br><br />
Diese Wellbelchplatte besteht aus 50 Wellen.|2=Tipp 1 zu Nr. 16|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ursprünglich muss die Platte so lang gewesen sein, dass 50 Wellen daraus zu legen sind:<br><br />
Länge ursprünglich = 50·Umfang eines Halbkreises mit d=5cm<br><br />
= 25·Umfang eines ganzen Kreises mit d=5cm.<br><br />
Länge = 25·π·d=...<br><br />
Lösung: 3,93m|2=Tipp 2 zu Nr. 16|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne den Umfang u des Kraters mit d=24km.<br><br />
Teile diese Strecke auf drei Tage auf.<br />
Lösung: pro Tag ca. 25 km|2=Tipp zu Nr. 17|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 6 - online|Wähle von der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/kreis/kreisumfang.shtml'''Aufgabenfuchs'''] mindestens 3 Aufagben aus und löse diese ausführlich im Heft.<br />
* 9<br />
* 25<br />
* 26<br />
* 29<br />
* 30<br />
* 31<br />
* 32|Üben}}<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=2 Kreisfläche|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisfläche}}<br />
<br />
<references /></div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Anwendungsaufgaben&diff=93074Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Anwendungsaufgaben2024-03-15T20:00:51Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div><br />
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}<br />
<br><br />
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen|Gleichungen - Halte die Waage im Gleichgewicht]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Was ist eine Gleichung|1.1) Was ist eine Gleichung]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Was ist eine Gleichung|1.2) Gleichungen lösen durch Probieren]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Gleichungen lösen|2) Gleichungen lösen durch Umformen]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Gleichungen mit Klammern|3) Gleichungen mit Klammern]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Anwendungsaufgaben|4) Anwendungsaufgaben]]}}<br />
<br><br />
===4) Anwendungsaufgaben zu Gleichungen===<br />
<br />
Es gibt verschiedene Bereiche, in denen Gleichungen mit Klammern Anwendung finden:<br />
[[Datei:Anwendungsbereiche Gleichungen.png|rahmenlos|800px]]<br />
<br />
====Bist du fit? Vorübungen====<br />
{{Box|Vorübung 1: Mathematische Texte|Um Zahlenrätsel lösen zu können, musst du die Fachbegriffe kennen. Übe dies im nachfolgenden Quiz|Üben}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
Addition: '''1. Summand''' + '''2. Summand''' = Wert der'''Summe'''<br><br />
Subtraktion: '''Minuend''' - '''Subtrahend''' = Wert der '''Differenz'''<br><br />
Multiplikation: '''1. Faktor''' ∙ '''2. Faktor''' = Wert des '''Produktes'''<br><br />
Division: '''Dividend''': '''Divisor''' = Wert des '''Quotienten'''<br />
<br />
</div><br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
<br />
{| <br />
|Addition||addieren||vermehren||plus<br />
|-<br />
|Subtraktion||subtrahieren||vermindern||minus<br />
|-<br />
|Multiplikation||multiplizieren||verdoppeln||vervielfachen||mal<br />
|-<br />
|Division||dividieren||halbieren||teilen||geteilt<br />
|}<br />
<br />
</div><br />
<br />
Schreibe über den Aufgabentext die passenden Rechenzeichen. Dies hilft dir beim Aufstellen der Terme.<br />
<br />
<br /><br />
<br />
{{Box|Vorübung 2: Geometrische Anwendungen|Anwendungsaufgaben aus dem Bereich Geometrie erfordern Kenntnisse über verschiedene Figuren. Löse das nachfolgende Quiz zur Wiederholung.|Üben}}<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
<br />
{| <br />
|Quadrat||[[Datei:Quadrat.png|ohne|70px]]||u = 4·a||A = a²<br />
|-<br />
|Rechteck||[[Datei:Rechteck.png|ohne|70px]]||u = 2a + 2b||A = a·b<br />
|-<br />
|gleichschenkliges Dreieck||[[Datei:Gleichschenkliges Dreieck.png|ohne|70px]]||u = 2a + c||2 gleich lange Seiten||&alpha;+&beta;+&gamma;=180°<br />
<br />
|-<br />
|gleichseitiges Dreieck||[[Datei:Gleichseitiges Dreieck.png|ohne|70px]]||u = 3a||3 gleich lange Seiten||&alpha;+&beta;+&gamma;=180°<br />
|}<br />
<br />
</div><br />
{{LearningApp|app=pgc1th79520|width=100%|height|400px}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Vorübung 3: Sachsituationen|Ordne in der nachfolgenden LearningApp den Termen die passende Bedeutung zu.|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=p8yuzo3dj20|width=100%|height=500px}}<br />
<br />
In allen Anwendungsbereichen ist es wichtig, dass du den Text '''genau liest''', dir die Situation vorstellst und mit eigenen Worten beschreibst. <br />
<br />
====6-Schritte-Verfahren für Anwendungsaufgaben====<br />
<br />
{{Box|6-Schritte-Verfahren<ref>Das Buch "Mathematik real 8 - Differenzierende Ausgabe" aus dem Cornelsenverlag verwendet ebenfalls dieses Verfahren zur Lösung von Sachaufgaben.</ref>|Eine Hilfe zur Lösung von Anwendungsaufgaben ist das 6-Schritte-Verfahren. Übertrage die Beispielaufgabe in dein Heft. Notiere auch die Bemerkungen zu den Schritten.|Arbeitsmethode}}[[Datei:6 Schritte Verfahren Anwendungsaufgaben neu.png|rahmenlos|1000px]]<br />
<br />
<br />
<br />
Diese 6 Schritte helfen dir beim Lösen der Anwendungsaufgaben. Beachte vor allem die Schritte 1 und 2. Notiere genau, welche Bedeutung die Variable hat und stelle die Terme passend zum Text auf. Dann schaffst du es sicherlich auch, eine Gleichung aufzustellen und diese zu lösen.<br />
<br />
====4.1 Mathematische Texte====<br />
{{Box|Übung 1|Wiederhole das Aufstellen von Termen. Löse dazu die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=pr2s6mz4n20|width=100%|height=400px}}<br />
{{LearningApp|app=p6r74aay220|width=100%|height=400px}}<br />
{{LearningApp|app=prjmr922j19|width=100%|height=400px}}<br />
<br />
{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Nutze dazu das 6-Schritte-Verfahren zur Lösung von Anwendungsaufgaben. Notiere alle Schritte in deinem Heft.<br />
* S. 123 Nr. 4<br />
* S. 123 Nr. 5|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Lösung versteckt|1=1. Schritt: Bedeutung der Variablen angeben:<br><br />
x ist eine Zahl|2=1. Schritt|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=2. Schritt: Terme aufstellen:<br><br />
"das Vierfache einer Zahl" — 4x<br><br />
"beträgt 96" — = 96|2=2. Schritt|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=3. Schritt: Gleichung aufstellen:<br><br />
4x = 96|2=3. Schritt|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=4. Schritt: Gleichung lösen:<br><br />
4x = 96 &nbsp;&nbsp;&#124;:4<br><br />
&nbsp; x = 24|2=4. Schritt|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=5. Schritt: Lösung prüfen:<br><br />
x=24 einsetzen:<br><br />
4·24 = 96<br><br />
96 = 96 (w)|2=5. Schritt|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=6. Schritt: Antwort:<br><br />
Die gesuchte Zahl heißt 24.|2=6. Schritt|3=Verbergen}}|2=6-Schritte-Verfahren für Nr. 4a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Lösung versteckt|1=1. Schritt: Bedeutung der Variablen angeben:<br><br />
x ist eine Zahl|2=1. Schritt|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=2. Schritt: Terme aufstellen:<br><br />
"Vermindert... um 8" — x-8<br><br />
"erhält man -2" — = -2|2=2. Schritt|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=3. Schritt: Gleichung aufstellen:<br><br />
x-8 = -2|2=3. Schritt|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=4. Schritt: Gleichung lösen:<br><br />
x-8 = -2 &nbsp;&nbsp;&#124;+8<br><br />
&nbsp; x = 6|2=4. Schritt|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=5. Schritt: Lösung prüfen:<br><br />
x= einsetzen:<br><br />
6-8 = -2<br><br />
-2 = -2 (w)|2=5. Schritt|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=6. Schritt: Antwort:<br><br />
Die gesuchte Zahl heißt 6.|2=6. Schritt|3=Verbergen}}|2=6-Schritte-Verfahren für Nr. 4b|3=Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 3|Bearbeite die nachfolgende LearningApp zu Gleichungen mit mathematischen Texten. |Üben}}<br />
{{LearningApp|app=p6nig05g219|width=100%|height=600px}}<br />
<br />
{{Box|Übung 4|Wähle auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/gleichung/gleichung-mit-einer-unbekannten.shtml '''Aufgabenfuchs'''] '''<big>5</big>''' Aufgaben und löse diese mit dem "6-Schritte-Verfahren". Notiere deine Lösung übersichtlich in deinem Heft. <br />
* Nr. 40 bis Nr. 59 <br />
Wähle aus!<br />
|Üben}}<br />
<br />
====4.2 Geometrische Texte====<br />
{{Box|Übung 5|Wiederhole das Aufstellen von Termen. Löse dazu die nachfolgende LearningApp.|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=pvyyg1j2a19|width=100%|height=400px}}<br />
{{Box|Übung 6|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Nutze dazu das 6-Schritte-Verfahren zur Lösung von Anwendungsaufgaben. Notiere alle Schritte in deinem Heft. Denke bei geometrischen Anwendungen immer an eine SKIZZE! Zeichne mit Bleistift und Lineal.<br />
* S. 123 Nr. 8<br />
* S. 126 Nr. 13|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Erinnerung: '''Um'''fang ist dr'''um''' her'''um'''. Addiere die Längen!|2=Tipp zu Nr. 8a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Erinnerung: Winkelsummensatz für Dreiecke:<br><br />
α+β+γ=180°|2=Tipp zu Nr. 8b|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Skizziere ein Rechteck:<br><br />
[[Datei:S.126 Nr. 13 Skizze.png|rahmenlos]]|Tipp zu Nr. 13|Verbergen}}<br />
<br><br />
{{Box|Übung 7|Bearbeite die nachfolgenden LearningApps zu Gleichungen mit geometrischen Anwendungen. |Üben}}<br />
{{LearningApp|app=pfkqhwrtv20|width=100%|height=600px}}<br />
<br><br />
{{Box|Übung 8|Wähle auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/gleichung/gleichung-mit-einer-unbekannten.shtml '''Aufgabenfuchs'''] <big>'''5'''</big> Aufgaben und löse diese mit dem "6-Schritte-Verfahren". Notiere deine Lösung übersichtlich in deinem Heft. <br />
* Nr. 60 bis Nr. 68<br />
Wähle aus! Denke an die Skizze!<br />
|Üben}}<br />
<br />
====4.3 Sachsituationen====<br />
{{Box|Übung 9|Wiederhole das Aufstellen von Termen. Löse dazu die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}<br />
{{LearningApp|app=pbwn2x6bj20|width=100%|height=400px}}<br />
{{LearningApp|app=p0w62mo0j20|width=100%|height=400px}}<br />
{{Box|Übung 10|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Nutze dazu das 6-Schritte-Verfahren zur Lösung von Anwendungsaufgaben. Notiere alle Schritte in deinem Heft. <br />
* S. 123 Nr. 1<br />
* S. 123 Nr. 3 <br />
* S. 123 Nr. 6<br />
* S. 123 Nr. 7<br />
* S. 126 Nr. 14|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Lösung versteckt|1=1. Schritt: Bedeutung der Variablen angeben:<br><br />
x ist das Alter von Claudia '''heute'''|2=1. Schritt|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=2. Schritt: Terme aufstellen:<br><br />
"3-mal so alt wie" — 3· ...<br><br />
"Alter von Claudia vor 14 Jahren" - x-14|2=2. Schritt|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=3. Schritt: Gleichung aufstellen:<br><br />
x = 3(x-14)|2=3. Schritt|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=4. Schritt: Gleichung lösen:<br><br />
x = 3(x-14) &nbsp;&nbsp;&#124;[[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]]Klammer auflösen <small>("Jedem die Hand geben")</small><br><br><br />
&nbsp; x = 3x-42 &nbsp;&nbsp;&#124;-3x<br><br />
&nbsp;-2x = -42 &nbsp;&nbsp;&#124;:(-2)<br><br />
&nbsp;&nbsp; x = 21 |2=4. Schritt|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=5. Schritt: Lösung prüfen:<br><br />
x=21 einsetzen:<br><br />
21 = 3·(21-14)<br><br />
21 = 3·7<br />
21 = 21 (w)|2=5. Schritt|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=6. Schritt: Antwort:<br><br />
Claudia ist heute 21 Jahre alt.|2=6. Schritt|3=Verbergen}}|2=6-Schritte-Verfahren für Nr. 1a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Lösung versteckt|1=1. Schritt: Bedeutung der Variablen angeben:<br><br />
x ist das Alter von Benno '''heute'''|2=1. Schritt|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=2. Schritt: Terme aufstellen:<br><br />
"Alter von Benno in 5 Jahre" — x+5<br><br />
"Alter von Benno vor 7 Jahren" - x-7<br />
"Vier mal das Alter von Benno vor 7 Jahren" - 4·(x-7)|2=2. Schritt|3=Verbergen}}|2=Tipps zu Nr. 3a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1. Schritt: Bedeutung der Variablen angeben:<br><br />
x ist der Preis des Laptops|Tipp zu Nr. 6|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1. Schritt: Bedeutung der Variablen angeben:<br><br />
x ist der Preis für einen Reifen|Tipp zu Nr. 7|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1. Schritt: Bedeutung der Variablen angeben:<br><br />
x ist der Betrag, den die Klasse 7b spendete|Tipp zu Nr. 14|Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 11|Bearbeite die nachfolgenden LearningApps zu Gleichungen zu Sachsituationen. |Üben}}<br />
{{LearningApp|app=py3bcd7i220|width=100%|height=600px}}<br />
{{Box|Übung 12|Wähle auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/gleichung/gleichung-mit-einer-unbekannten.shtml '''Aufgabenfuchs'''] '''<big>5</big>''' Aufgaben und löse diese mit dem "6-Schritte-Verfahren". Notiere deine Lösung übersichtlich in deinem Heft. <br />
* Nr. 69 - Nr. 86<br />
Wähle aus!<br />
|Üben}}<br />
<br />
IDEENSAMMLUNG<br />
Lernpfad zu Textaufgaben<br />
https://unterrichten.zum.de/wiki/Textaufgaben<br />
<br />
<br />
<references /></div>Buss-Haskerthttps://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Gleichungen_mit_Klammern&diff=93073Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Gleichungen mit Klammern2024-03-15T20:00:40Z<p>Buss-Haskert: </p>
<hr />
<div><br />
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}<br />
<br><br />
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen|Gleichungen - Halte die Waage im Gleichgewicht]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Was ist eine Gleichung|1.1) Was ist eine Gleichung]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Was ist eine Gleichung|1.2) Gleichungen lösen durch Probieren]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Gleichungen lösen|2) Gleichungen lösen durch Umformen]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Gleichungen mit Klammern|3) Gleichungen mit Klammern]]<br><br />
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Anwendungsaufgaben|4) Anwendungsaufgaben]]}}<br />
<br><br />
==Gleichungen mit Klammern lösen==<br />
<br />
Vor der Klammer kann ein + Zeichen, ein - Zeichen oder ein Malzeichen stehen. Wiederhole, wie du jeweils die Klammer auflösen kannst.<br><br />
{{Box|Pluszeichen vor der Klammer|Steht in einer Summe oder Differenz ein Pluszeichen vor der Klammer, kannst du die Klammer einfach weglassen. Die Rechenzeichen im Term ändern sich nicht.<br><br />
Merke dir als Bild den lachenden Smiley &#127773;, denn diese Klammer aufzulösen ist sehr leicht!|Arbeitsmethode}}<br />
Beispiele: <br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;2a <span style="color:red">'''+'''</span> (3b + 4a) &nbsp;&nbsp;&#124;&#127773; Klammer auflösen (weglassen)<br><br />
= 2a + 3b + 4a &nbsp;&nbsp;&#124;gleichartige Terme zusammenfassen<br><br />
= 6a + 3b <br><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;-4x <span style="color:red">'''+'''</span> (2y - 6x) &nbsp;&nbsp;&#124;&#127773; Klammer auflösen (weglassen)<br><br />
= -4x + 2y - 6x &nbsp;&nbsp;&#124;gleichartige Terme zusammenfassen<br><br />
= -10x + 2y<br />
</div><br />
</div><br />
{{Box|Minuszeichen vor der Klammer|Steht in einer Summe oder Differenz ein Minuszeichen vor der Klammer, kannst du die Klammer auflösen, indem du die Rechenzeichen umdrehst:<br><br />
aus + wird - <br><br />
aus - wird + <br><br />
Merke dir als Bild den Blitz [[Datei:Flash-1015467 1920.jpg|rahmenlos|40px]], denn wenn du diese Klammer auflöst, musst du aufpassen!|Arbeitsmethode}}<br />
Beispiele: <br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;5a <span style="color:red">'''-'''</span> (6b + 7a) &nbsp;&nbsp;&#124;[[Datei:Flash-1015467 1920.jpg|rahmenlos|40px]]Klammer auflösen <small>(Zeichen umkehren)</small><br><br />
= 5a - 6b - 7a &nbsp;&nbsp;&#124;gleichartige Terme zusammenfassen<br><br />
= -2a - 6b <br><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;8x <span style="color:red">'''-'''</span> (-9y - 4x) &nbsp;&nbsp;&#124;[[Datei:Flash-1015467 1920.jpg|rahmenlos|40px]]Klammer auflösen <small>(Zeichen umkehren)</small><br><br />
= 8x + 9y + 4x &nbsp;&nbsp;&#124;gleichartige Terme zusammenfassen<br><br />
= 12x + 9y<br />
</div><br />
</div><br />
<br><br />
{{Box|1=Malzeichen vor der Klammer - Verteilungsgesetz (Distributivgesetz)|2=Steht in einer Summe oder Differenz ein Malzeichen vor der Klammer, löst du die Klammer auf, indem du jeden Summanden in der Klammer mit dem Faktor multiplizierst.<br><br />
Merke dir als Bild die Hände [[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]], denn wenn du diese Klammer auflöst, musst der Faktor jedem Summanden "die Hand geben".<br><br />
[[Datei:Rechteck Distributivgesetz allgemein.png|links|rahmenlos]]<br><br />
a <span style="color:red">'''∙'''</span> (b + c) = a ∙ b + a ∙ c|3=Arbeitsmethode}}<br />
Beispiele: <br><br />
<div class="grid"><br />
<div class="width-1-2"><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;2a <span style="color:red">'''∙'''</span> (6b + 7a) &nbsp;&nbsp;&#124;[[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]]Klammer auflösen <small>("Jedem die Hand geben"</small>)<br><br />
= 2a ∙ 6b + 2a ∙ 7a &nbsp;&nbsp;&#124;Terme multiplizieren<br><br />
= 12ab + 14a² <br><br />
</div><br />
<div class="width-1-2"><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;5x <span style="color:red">'''∙'''</span> (7y - 8x) &nbsp;&nbsp;&#124;[[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]]Klammer auflösen <small>("Jedem die Hand geben")</small><br><br />
= 5x ∙ 7y - 5x ∙ 8x &nbsp;&nbsp;&#124;Terme multiplizieren<br><br />
= 35xy - 40x²<br />
</div><br />
</div><br />
<br><br />
Übe das Auflösen von Klammern mithilfe der nachfolgenden LearningApp.<br />
{{LearningApp|app=p2jiuspft20|width=100%|height=600px}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Gleichungen mit Klammern lösen|Gleichungen mit Klammern werden auch schrittweise gelöst.<br><br />
Führe dazu zunächst Termumformungen auf beiden Seiten der Gleichung durch:<br><br />
1. Löse die Klammern auf. (Denke an die entsprechenden Symbole: Smiley, Blitz, Hände)<br><br />
2. Fasse die Terme auf beiden Seiten der Gleichung so weit wie möglich zusammen.<br><br />
Löse anschließend die Gleichung schrittweise, wie geübt.|Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|Gleichungen mit Klammern lösen|2=Bearbeite auf der Seite realmath die nachfolgenden Übungen<br />
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/gleichungen/gleichungvar1a.php Übung 1]<br />
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/gleichungen/gleichung.php Übung 2 (Löse nur die ersten 5 Aufgaben)]<br />
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/gleichungen/gleichung2.php Übung 3 (Löse nur die ersten 5 Aufgaben)]<br />
|3=Üben}}<br />
<br />
{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe hinter den Kommandostrich das Symbol zum Auflösen der Klammer. Löse anschließend die Klammer auf, fasse zusammen und löse die Gleichung. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.<br />
* S. 120 Nr. 1<br />
* S. 120 Nr. 2<br />
* S. 121 Nr. 3<br />
* S. 121 Nr. 4|Üben}}<br />
{{Lösung versteckt|Lösungen (unsortiert):<br><br />
-12; -6; -6; -3; 1; 2; 3; 3; 6; 6|Lösungen zu Nr. 1 und 2|Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beispiel:<br><br />
(4-5x)+(10+6x) = 8 &nbsp;&nbsp;&#124;&#127773; Klammer auflösen (weglassen)<br><br />
4-5x+10+6x = 8 &nbsp;&nbsp;&#124; sortieren<br><br />
-5x+6x+4+10 = 8 &nbsp;&nbsp;&#124; zusammenfassen<br><br />
x+14 = 8 &nbsp;&nbsp;&#124; -14<br><br />
x = -6<br><br />
Probe:<br><br />
(4-5·(-6))+(10+6·(-6)) = 8 <br><br />
(4 + 30) + (10 - 36) = 8<br><br />
34 - 26 = 8<br><br />
8 = 8 (w)|2=ausführliche Lösung zu Nr. 1a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beispiel:<br><br />
(x+6)·8 = 32x &nbsp;&nbsp;&#124;[[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]]Klammer auflösen <small>("Jedem die Hand geben"</small>)<br><br />
8·x + 8·6 = 32x<br><br />
8x + 48 = 32x &nbsp;&nbsp;&#124;-8x<br><br />
48 = 24x &nbsp;&nbsp;&#124; :24<br><br />
2 = x<br><br />
Probe:<br><br />
(2+6)·8 = 32·2<br><br />
8·8 = 64<br><br />
64 = 64 (w)|2=ausführliche Lösung zu Nr. 2a|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|Lösungen (unsortiert):<br><br />
-2; -2; <math>\tfrac{1}{2}</math>; 1; 1,5; 3; 6; 6; 9|Lösungen zu Nr. 4|Verbergen}}<br />
<br />
{{Box|Übung 3|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/gleichung/gleichung-mit-einer-unbekannten.shtml '''Aufgabenfuchs'''] mindestens 5 Aufgaben. Wähle aus.<br />
* Nr. 31 - 38|Üben}}<br />
{{Box|Übung 4|Finde den Fehler! Schreibe die Aufgabe korrigiert in dein Heft.<br />
* S. 121 Nr. 9|Üben}}<br />
<br><br />
{{Fortsetzung|weiter=4) Anwendungsaufgaben|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Anwendungsaufgaben}}</div>Buss-Haskert