https://projekte.zum.de/api.php?action=feedcontributions&user=Ariane+WWU-7&feedformat=atomZUM Projektwiki - Benutzerbeiträge [de]2024-03-29T06:54:34ZBenutzerbeiträgeMediaWiki 1.39.6https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8&diff=39329Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-82020-12-10T22:14:48Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Fit für VERA-8"!<br />
<br />
Hier entsteht im Wintersemester 2020/2021 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 8 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].<br />
<br />
[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad}}<br />
<br />
==Diagnosetest==<br />
<br />
<quiz display="simple"><br />
<br />
{ Wie werden nicht sichtbare Linien in einem Schrägbild gezeichnet? }<br />
- Sie werden fett gezeichnet.<br />
- Sie werden nicht gezeichnet.<br />
+ Sie werden gestrichelt gezeichnet.<br />
<br />
{ Ein regulärer Tetraeder ist ein Pyramide, die... }<br />
+ ...eine dreieckige Grundfläche besitzt.<br />
+ ...vier kongruente gleichseitige Dreiecke als Fläche hat.<br />
- ...sechs ungleich lange Kanten hat.<br />
<br />
{ Wann nennt man eine Figur unmöglich? }<br />
+ Unmöglichen Figuren basieren darauf, dass unerlaubte Wechsel in der Perspektive eingebaut werden.<br />
- Sie sind unsichtbar.<br />
- Wenn mehr als zwei Seiten parallel zueinander sind.<br />
<br />
{ Löse die folgende Gleichung nach <math>x</math> auf: <math>5x-45=35</math> }<br />
+ <math>x=16</math><br />
- <math>x=8</math><br />
- <math>x=80</math><br />
- <math>x=2</math><br />
<br />
{ Welche Aussage ist wahr? }<br />
- Die Variable wird immer mit <math>x</math> bezeichnet.<br />
+ Eine mögliche Äquivalenzumformung ist das Addieren oder Subtrahieren derselben Zahl auf beiden Seiten einer Gleichung.<br />
+ Mit <math>\mathbb{L}</math> beschreibt man die Lösung einer Gleichung.<br />
<br />
{ Entscheide, welche der Gleichungen zu folgendem Rätsel passt: Wenn man zum Fünffachen einer Unbekannten <math>2</math> addiert, entspricht das dem Doppelten dieser Unbekannten, wenn von diesem <math>10</math> substrahiert wird. }<br />
- <math>5x+2=\frac{2}{x}-10</math><br />
- <math>\frac{x}{5}+2=2x-10</math><br />
+ <math>5x+2=2x-10</math><br />
- <math>\frac{5}{x}+2=\frac{x}{2}-10</math><br />
<br />
{Ein Würfel wird <math>100</math> mal geworfen und <math>15</math> mal kommt die Würfelzahl 4 heraus. Dann ist <math>15</math> die...}<br />
- ... relative Häufigkeit.<br />
+ ... absolute Häufigkeit.<br />
<br />
{[[Datei:Stochastik Bayestheorem Urnenversuch.png|mini|zentriert]] Die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig zwei rote Kugeln aus Urne A zu ziehen, ist größer als die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig zwei weiße Kugeln aus Urne B zu ziehen.}<br />
- wahr<br />
+ falsch<br />
<br />
{Welche der folgenden Aussagen treffen auf ein Laplace-Experiment zu?}<br />
+ Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich.<br />
- Das Werfen des Würfels mit den Seiten 1,1,1,3,5,5 ist ein Laplace-Experiment.<br />
+ Das Werfen einer Münze ist ein Laplace-Experiment.<br />
<br />
{ Was sind 5 % von 200 €? }<br />
- 5 €<br />
+ 10 €<br />
- 20 €<br />
- 40 €<br />
<br />
{ Kerim überlegt: Ein Sparkonto mit Zinsen ist das Gleiche wie ein Sparschwein, in welches ich monatlich etwas Geld einzahle. Stimmt Kerims Überlegung? }<br />
- Ja sie stimmt!<br />
+ Nein, sie stimmt nicht!<br />
<br />
{ Ordne den Prozentsatz eine der Größen aus der Zinsrechnung zu: }<br />
- Er entspricht dem Kapital.<br />
- Er entspricht den Zinsen.<br />
+ Er entspricht dem Zinssatz.<br />
<br />
{ [[Datei:Geogebra-export.png|mini|rechts| 300px]]Welche Funktionsgleichung passt zu dem rechts abgebildeten Funktionsgraphen? }<br />
- <math> f(x)= -\frac{1}{2}x+3 </math><br />
- <math> f(x)= 2x+1 </math><br />
+ <math> f(x)= \frac{1}{2}x-\frac{3}{2} </math><br />
- <math> f(x)= 2x-\frac{3}{2} </math><br />
<br />
{ Bei der Nullstelle einer linearen Funktion gilt im Allgemeinen }<br />
+ <math> f(x)=0 </math>.<br />
- <math> x=0 </math>.<br />
<br />
{ Gegeben sind die beiden Funktionsgleichungen <math> f(x)=3x-2 </math> und <math> g(x)=-\frac{1}{3}x+4</math>. </br> Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Wähle alle richtigen Aussagen aus. Es können auch mehrere Aussagen richtig sein. }<br />
- Die beiden Geraden schneiden sich in ''keinem'' Punkt.<br />
+ Die beiden Geraden haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.<br />
+ Die Gerade <math>f</math> steigt.<br />
- Die Gerade <math>g</math> hat die Steigung <math>4</math> und den <math>y</math>-Abschnitt <math>-\frac{1}{3}</math>.<br />
<br />
<br />
{ Das Prisma besteht aus zwei Grundflächen, die... }<br />
- senkrecht aufeinander liegen.<br />
+ parallel und deckungsgleich zueinander liegen.<br />
- in der Form gleich, aber in der Größe unterschiedlich sind.<br />
<br />
{ Ein gegebenes Prisma besteht aus 5 Seitenflächen. Die einzelnen Seitenflächen haben die Form eines Rechtecks mit <math>a=12 \text{ cm}</math> und <math>b=2 \text{ dm}</math>. Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>G=36 \text{ cm}^2</math>. Für die Größe des Oberflächeninhalts gilt: }<br />
- <math>O=192 \text{ cm}^2.</math><br />
- <math>O=1236 \text{ cm}^2.</math><br />
+ <math>O=1272 \text{ cm}^2.</math><br />
- <math>O=156 \text{ cm}^2.</math><br />
<br />
<br />
{ Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Es seien <math>O=1{,}2 \text{ m}^2</math>, <math>M=5000 \text{ cm}^2</math> und <math>h=25 \text{ dm}</math>. Für das Volumen des Prismas gilt:}<br />
+ <math>V=875 \text{ dm}^3.</math><br />
- <math>V=800 \text{ dm}^3.</math><br />
- <math>V=1{,}1 \text{ m}^3.</math><br />
<br />
<br />
{ Vereinfache den folgenden Term: <math> 5x+3y-(2x+y)+4y-(y-x)</math>. Kreuze die richtige Lösung an.}<br />
- <math>6x+9y</math><br />
- <math>2x+7y</math><br />
+ <math>4x+5y</math><br />
<br />
{ Was fehlt in der Klammer? <math>-6x+18xy=-6x \cdot (...)</math> }<br />
+ <math>1-3y</math><br />
- <math>1+3y</math><br />
- <math>-1+3y</math><br />
- <math>x+3xy</math><br />
<br />
{Löse unter Verwendung einer binomischen Formel. <math> (3-2x)^2 = ... </math> }<br />
- <math> 9-6x+4x^2 </math><br />
- <math> 9-3x+4x </math><br />
+ <math> 9-12x+4x^2 </math><br />
- <math> 9+12x-4x^2 </math><br />
<br />
</quiz><br />
<br />
<br />
Die Lernpfadkapitel:<br />
<br />
*[[/Unmögliche Figuren und Schrägbilder|Unmögliche Figuren und Schrägbilder]]<br />
*[[/Einfache Gleichungen|Einfache Gleichungen]]<br />
*[[/Stochastik|Stochastik]]<br />
*[[/Zinsrechnung|Zinsrechnung]]<br />
*[[/Lineare Funktionen|Lineare Funktionen]]<br />
*[[/Volumen und Oberfläche des Prismas|Volumen und Oberfläche des Prismas]]<br />
*[[/Terme|Terme]]</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=39328Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-12-10T21:58:55Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen eingesetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z. B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>, ... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Die Waage steht immer noch im Gleichgewicht. Füge nun ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen|Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' Löse die Gleichung anschaulich mittels Skizzen von Waagen in deinem Heft: <math>x+3=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1= Überlege dir, wie die Waage im Gleichgewicht aussieht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Beide Seiten der Gleichung sind gleichwertig. Also ist die Waage im Gleichgewicht.<br />
[[Datei:Waage1.jpg|mini|Waage im Gleichgewicht|center]]<br />
<br />
Die Waage bleibt im Gleichgewicht wenn gleich viele Kugeln auf beiden Seiten ergänzt oder entfernt werden. Wir entfernen jeweils drei Kugeln.<br />
[[Datei:Waage2.jpg|mini|Waage nach Durchführung einer Umformung|center]]<br />
<math>\begin{align} & & x+3 &=5 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=2 <br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2+3 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1= Versuche die Gleichung so umzustellen, dass auf der einen Seite des Gleichheitszeichens nur noch das <math>a</math> steht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1= Versuche zunächst die Gleichung so umzustellen, dass auf der einen Seite nur noch das <math>x</math> mit dem Faktor steht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''f)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
<br />
'''g)''' <math>\frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1}</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Variablen mit Hilfe der Multiplikation aus dem Nenner zu bekommen.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{3}{z+1} &= - \frac{5}{2z-1} & & \mid \cdot (z+1)\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{z+1} \cdot (z+1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \cdot (2z-1)\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} \cdot (2z-1) & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - 5 \cdot (z+1) & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6z-3 &= -5z-5 & & \mid +5z\\<br />
\Leftrightarrow & & 11z-3 &= -5 & & \mid +3\\<br />
\Leftrightarrow & & 11z &= -2 & & \mid :11\\<br />
\Leftrightarrow & & z &= - \frac{2}{11}\\<br />
& & \mathbb{L}=\{-\frac{2}{11}\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{3}{- \frac{2}{11} +1} &= - \frac{5}{2 \cdot (- \frac{2}{11}) -1} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{4}{11} -1} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{15}{11}} & & \mid \text{mit dem Kehrwert mal nehmen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot \frac{11}{9} &= - 5 \cdot - \frac{11}{15} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{33}{9} &= \frac{55}{15} & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{11}{3} &= \frac{11}{3}<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:269A89E6-8A5A-4969-B953-21A412026976.jpg|200px|Zwei-Felder-Ball-Feld|rechts]]Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen |<br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
Insgesamt finden demnach <math>3750</math> Getränkekisten auf der Lagerfläche Platz.<br />
<br />
|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8&diff=39242Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-82020-12-10T09:26:20Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Fit für VERA-8"!<br />
<br />
Hier entsteht im Wintersemester 2020/2021 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 8 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].<br />
<br />
[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad}}<br />
<br />
==Diagnosetest==<br />
<br />
<quiz display="simple"><br />
<br />
{ Wie werden nicht sichtbare Linien in einem Schrägbild gezeichnet? }<br />
- Sie werden fett gezeichnet.<br />
- Sie werden nicht gezeichnet.<br />
+ Sie werden gestrichelt gezeichnet.<br />
<br />
{ Ein regulärer Tetraeder ist ein Pyramide, die... }<br />
+ ...eine dreieckige Grundfläche besitzt.<br />
+ ...vier kongruente gleichseitige Dreiecke als Fläche hat.<br />
- ...sechs ungleich lange Kanten hat.<br />
<br />
{ Wann nennt man eine Figur unmöglich? }<br />
+ Unmöglichen Figuren basieren darauf, dass unerlaubte Wechsel in der Perspektive eingebaut werden.<br />
- Sie sind unsichtbar.<br />
- Wenn mehr als zwei Seiten parallel zueinander sind.<br />
<br />
{ Löse die folgende Gleichung nach <math>x</math> auf: <math>5x-45=35</math> }<br />
+ <math>x=16</math><br />
- <math>x=8</math><br />
- <math>x=80</math><br />
- <math>x=2</math><br />
<br />
{ Welche Aussage ist wahr? }<br />
- Die Variable wird immer mit <math>x</math> bezeichnet.<br />
+ Eine mögliche Äquivalenzumformung ist das Addieren oder Subtrahieren derselben Zahl auf beiden Seiten einer Gleichung.<br />
- Mit <math>\mathbb{L}</math> beschreibt man die Lösung einer Gleichung.<br />
<br />
{ Entscheide, welche der Gleichungen zu folgendem Rätsel passt: Wenn man zum Fünffachen einer Unbekannten <math>2</math> addiert, entspricht das dem Doppelten dieser Unbekannten, wenn von diesem <math>10</math> substrahiert wird. }<br />
- <math>5x+2=\frac{2}{x}-10</math><br />
- <math>\frac{x}{5}+2=2x-10</math><br />
+ <math>5x+2=2x-10</math><br />
- <math>\frac{5}{x}+2=\frac{x}{2}-10</math><br />
<br />
{Ein Würfel wird <math>100</math> mal geworfen und <math>15</math> mal kommt die Würfelzahl 4 heraus. Dann ist <math>15</math> die...}<br />
- ... relative Häufigkeit.<br />
+ ... absolute Häufigkeit.<br />
<br />
{[[Datei:Stochastik Bayestheorem Urnenversuch.png|mini|zentriert]] Die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig zwei rote Kugeln aus Urne A zu ziehen, ist größer als die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig zwei weiße Kugeln aus Urne B zu ziehen.}<br />
- wahr<br />
+ falsch<br />
<br />
{Welche der folgenden Aussagen treffen auf ein Laplace-Experiment zu?}<br />
+ Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich.<br />
- Das Werfen des Würfels mit den Seiten 1,1,1,3,5,5 ist ein Laplace-Experiment.<br />
+ Das Werfen einer Münze ist ein Laplace-Experiment.<br />
<br />
{ Was sind 5 % von 200 €? }<br />
- 5 €<br />
+ 10 €<br />
- 20 €<br />
- 40 €<br />
<br />
{ Kerim überlegt: Ein Sparkonto mit Zinsen ist das Gleiche wie ein Sparschwein, in welches ich monatlich etwas Geld einzahle. Stimmt Kerims Überlegung? }<br />
- Ja sie stimmt!<br />
+ Nein, sie stimmt nicht!<br />
<br />
{ Ordne den Prozentsatz eine der Größen aus der Zinsrechnung zu: }<br />
- Er entspricht dem Kapital.<br />
- Er entspricht den Zinsen.<br />
+ Er entspricht dem Zinssatz.<br />
<br />
{ [[Datei:Geogebra-export.png|mini|rechts| 300px]]Welche Funktionsgleichung passt zu dem rechts abgebildeten Funktionsgraphen? }<br />
- <math> f(x)= -\frac{1}{2}x+3 </math><br />
- <math> f(x)= 2x+1 </math><br />
+ <math> f(x)= \frac{1}{2}x-\frac{3}{2} </math><br />
- <math> f(x)= 2x-\frac{3}{2} </math><br />
<br />
{ Bei der Nullstelle einer linearen Funktion gilt im Allgemeinen }<br />
+ <math> f(x)=0 </math>.<br />
- <math> x=0 </math>.<br />
<br />
{ Gegeben sind die beiden Funktionsgleichungen <math> f(x)=3x-2 </math> und <math> g(x)=-\frac{1}{3}x+4</math>. </br> Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Wähle alle richtigen Aussagen aus. Es können auch mehrere Aussagen richtig sein. }<br />
- Die beiden Geraden schneiden sich in ''keinem'' Punkt.<br />
+ Die beiden Geraden haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.<br />
+ Die Gerade <math>f</math> steigt.<br />
- Die Gerade <math>g</math> hat die Steigung <math>4</math> und den <math>y</math>-Abschnitt <math>-\frac{1}{3}</math>.<br />
<br />
<br />
{ Das Prisma besteht aus zwei Grundflächen, die... }<br />
- senkrecht aufeinander liegen.<br />
+ parallel und deckungsgleich zueinander liegen.<br />
- in der Form gleich, aber in der Größe unterschiedlich sind.<br />
<br />
{ Ein gegebenes Prisma besteht aus 5 Seitenflächen. Die einzelnen Seitenflächen haben die Form eines Rechtecks mit <math>a=12 \text{ cm}</math> und <math>b=2 \text{ dm}</math>. Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>G=36 \text{ cm}^2</math>. Für die Größe des Oberflächeninhalts gilt: }<br />
- <math>O=192 \text{ cm}^2.</math><br />
- <math>O=1236 \text{ cm}^2.</math><br />
+ <math>O=1272 \text{ cm}^2.</math><br />
- <math>O=156 \text{ cm}^2.</math><br />
<br />
<br />
{ Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Es seien <math>O=1{,}2 \text{ m}^2</math>, <math>M=5000 \text{ cm}^2</math> und <math>h=25 \text{ dm}</math>. Für das Volumen des Prismas gilt:}<br />
+ <math>V=875 \text{ dm}^3.</math><br />
- <math>V=800 \text{ dm}^3.</math><br />
- <math>V=1{,}1 \text{ m}^3.</math><br />
<br />
<br />
{ Vereinfache den folgenden Term: <math> 5x+3y-(2x+y)+4y-(y-x)</math>. Kreuze die richtige Lösung an.}<br />
- <math>6x+9y</math><br />
- <math>2x+7y</math><br />
+ <math>4x+5y</math><br />
<br />
{ Was fehlt in der Klammer? <math>-6x+18xy=-6x \cdot (...)</math> }<br />
+ <math>1-3y</math><br />
- <math>1+3y</math><br />
- <math>-1+3y</math><br />
- <math>x+3xy</math><br />
<br />
{Löse unter Verwendung einer binomischen Formel. <math> (3-2x)^2 = ... </math> }<br />
- <math> 9-6x+4x^2 </math><br />
- <math> 9-3x+4x </math><br />
+ <math> 9-12x+4x^2 </math><br />
- <math> 9+12x-4x^2 </math><br />
<br />
</quiz><br />
<br />
<br />
Die Lernpfadkapitel:<br />
<br />
*[[/Unmögliche Figuren und Schrägbilder|Unmögliche Figuren und Schrägbilder]]<br />
*[[/Einfache Gleichungen|Einfache Gleichungen]]<br />
*[[/Stochastik|Stochastik]]<br />
*[[/Zinsrechnung|Zinsrechnung]]<br />
*[[/Lineare Funktionen|Lineare Funktionen]]<br />
*[[/Volumen und Oberfläche des Prismas|Volumen und Oberfläche des Prismas]]<br />
*[[/Terme|Terme]]</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8&diff=39241Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-82020-12-10T09:17:27Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Fit für VERA-8"!<br />
<br />
Hier entsteht im Wintersemester 2020/2021 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 8 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].<br />
<br />
[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad}}<br />
<br />
==Diagnosetest==<br />
<br />
<quiz display="simple"><br />
<br />
{ Wie werden nicht sichtbare Linien in einem Schrägbild gezeichnet? }<br />
- Sie werden fett gezeichnet.<br />
- Sie werden nicht gezeichnet.<br />
+ Sie werden gestrichelt gezeichnet.<br />
<br />
{ Ein regulärer Tetraeder ist ein Pyramide, die... }<br />
+ ...eine dreieckige Grundfläche besitzt.<br />
+ ...vier kongruente gleichseitige Dreiecke als Fläche hat.<br />
- ...sechs ungleich lange Kanten hat.<br />
<br />
{ Wann nennt man eine Figur unmöglich? }<br />
+ Unmöglichen Figuren basieren darauf, dass unerlaubte Wechsel in der Perspektive eingebaut werden.<br />
- Sie sind unsichtbar.<br />
- Wenn mehr als zwei Seiten parallel zueinander sind.<br />
<br />
{ Löse die folgende Gleichung nach <math>x</math> auf: <math>5x-45=35</math> }<br />
+ <math>x=16</math><br />
- <math>x=8</math><br />
- <math>x=80</math><br />
- <math>x=2</math><br />
<br />
{ Welche Aussage ist wahr? }<br />
- Die Variable wird immer mit <math>x</math> bezeichnet.<br />
- Eine mögliche Äquivalenzumformung ist das Addieren oder Subtrahieren derselben Zahl auf beiden Seiten einer Gleichung.<br />
- Mit <math>\mathbb{L}</math> beschreibt man die Lösung einer Gleichung.<br />
<br />
{ Entscheide, welche der Gleichungen zu folgendem Rätsel passt: Wenn man zum Fünffachen einer Unbekannten <math>2</math> addiert, entspricht das dem Doppelten dieser Unbekannten, wenn von diesem <math>10</math> substrahiert wird. }<br />
- <math>5x+2=\frac{2}{x}-10</math><br />
- <math>\frac{x}{5}+2=2x-10</math><br />
- <math>5x+2=2x-10</math><br />
- <math>\frac{5}{x}+2=\frac{x}{2}-10</math><br />
<br />
{Ein Würfel wird <math>100</math> mal geworfen und <math>15</math> mal kommt die Würfelzahl 4 heraus. Dann ist <math>15</math> die...}<br />
- ... relative Häufigkeit.<br />
+ ... absolute Häufigkeit.<br />
<br />
{[[Datei:Stochastik Bayestheorem Urnenversuch.png|mini|zentriert]] Die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig zwei rote Kugeln aus Urne A zu ziehen, ist größer als die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig zwei weiße Kugeln aus Urne B zu ziehen.}<br />
- wahr<br />
+ falsch<br />
<br />
{Welche der folgenden Aussagen treffen auf ein Laplace-Experiment zu?}<br />
+ Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich.<br />
- Das Werfen des Würfels mit den Seiten 1,1,1,3,5,5 ist ein Laplace-Experiment.<br />
+ Das Werfen einer Münze ist ein Laplace-Experiment.<br />
<br />
{ Was sind 5 % von 200 €? }<br />
- 5 €<br />
+ 10 €<br />
- 20 €<br />
- 40 €<br />
<br />
{ Kerim überlegt: Ein Sparkonto mit Zinsen ist das Gleiche wie ein Sparschwein, in welches ich monatlich etwas Geld einzahle. Stimmt Kerims Überlegung? }<br />
- Ja sie stimmt!<br />
+ Nein, sie stimmt nicht!<br />
<br />
{ Ordne den Prozentsatz eine der Größen aus der Zinsrechnung zu: }<br />
- Er entspricht dem Kapital.<br />
- Er entspricht den Zinsen.<br />
+ Er entspricht dem Zinssatz.<br />
<br />
{ [[Datei:Geogebra-export.png|mini|rechts| 300px]]Welche Funktionsgleichung passt zu dem rechts abgebildeten Funktionsgraphen? }<br />
- <math> f(x)= -\frac{1}{2}x+3 </math><br />
- <math> f(x)= 2x+1 </math><br />
+ <math> f(x)= \frac{1}{2}x-\frac{3}{2} </math><br />
- <math> f(x)= 2x-\frac{3}{2} </math><br />
<br />
{ Bei der Nullstelle einer linearen Funktion gilt im Allgemeinen }<br />
+ <math> f(x)=0 </math>.<br />
- <math> x=0 </math>.<br />
<br />
{ Gegeben sind die beiden Funktionsgleichungen <math> f(x)=3x-2 </math> und <math> g(x)=-\frac{1}{3}x+4</math>. </br> Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Wähle alle richtigen Aussagen aus. Es können auch mehrere Aussagen richtig sein. }<br />
- Die beiden Geraden schneiden sich in ''keinem'' Punkt.<br />
+ Die beiden Geraden haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.<br />
+ Die Gerade <math>f</math> steigt.<br />
- Die Gerade <math>g</math> hat die Steigung <math>4</math> und den <math>y</math>-Abschnitt <math>-\frac{1}{3}</math>.<br />
<br />
<br />
{ Das Prisma besteht aus zwei Grundflächen, die... }<br />
- senkrecht aufeinander liegen.<br />
+ parallel und deckungsgleich zueinander liegen.<br />
- in der Form gleich, aber in der Größe unterschiedlich sind.<br />
<br />
{ Ein gegebenes Prisma besteht aus 5 Seitenflächen. Die einzelnen Seitenflächen haben die Form eines Rechtecks mit <math>a=12 \text{ cm}</math> und <math>b=2 \text{ dm}</math>. Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>G=36 \text{ cm}^2</math>. Für die Größe des Oberflächeninhalts gilt: }<br />
- <math>O=192 \text{ cm}^2.</math><br />
- <math>O=1236 \text{ cm}^2.</math><br />
+ <math>O=1272 \text{ cm}^2.</math><br />
- <math>O=156 \text{ cm}^2.</math><br />
<br />
<br />
{ Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Es seien <math>O=1{,}2 \text{ m}^2</math>, <math>M=5000 \text{ cm}^2</math> und <math>h=25 \text{ dm}</math>. Für das Volumen des Prismas gilt:}<br />
+ <math>V=875 \text{ dm}^3.</math><br />
- <math>V=800 \text{ dm}^3.</math><br />
- <math>V=1{,}1 \text{ m}^3.</math><br />
<br />
<br />
{ Vereinfache den folgenden Term: <math> 5x+3y-(2x+y)+4y-(y-x)</math>. Kreuze die richtige Lösung an.}<br />
- <math>6x+9y</math><br />
- <math>2x+7y</math><br />
+ <math>4x+5y</math><br />
<br />
{ Was fehlt in der Klammer? <math>-6x+18xy=-6x \cdot (...)</math> }<br />
+ <math>1-3y</math><br />
- <math>1+3y</math><br />
- <math>-1+3y</math><br />
- <math>x+3xy</math><br />
<br />
{Löse unter Verwendung einer binomischen Formel. <math> (3-2x)^2 = ... </math> }<br />
- <math> 9-6x+4x^2 </math><br />
- <math> 9-3x+4x </math><br />
+ <math> 9-12x+4x^2 </math><br />
- <math> 9+12x-4x^2 </math><br />
<br />
</quiz><br />
<br />
<br />
Die Lernpfadkapitel:<br />
<br />
*[[/Unmögliche Figuren und Schrägbilder|Unmögliche Figuren und Schrägbilder]]<br />
*[[/Einfache Gleichungen|Einfache Gleichungen]]<br />
*[[/Stochastik|Stochastik]]<br />
*[[/Zinsrechnung|Zinsrechnung]]<br />
*[[/Lineare Funktionen|Lineare Funktionen]]<br />
*[[/Volumen und Oberfläche des Prismas|Volumen und Oberfläche des Prismas]]<br />
*[[/Terme|Terme]]</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=39240Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-12-10T09:04:27Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen eingesetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z. B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>, ... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Die Waage steht immer noch im Gleichgewicht. Füge nun ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen|Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' Löse die Gleichung anschaulich mittels Skizzen von Waagen in deinem Heft: <math>x+3=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1= Überlege dir, wie die Waage im Gleichgewicht aussieht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Beide Seiten der Gleichung sind gleichwertig. Also ist die Waage im Gleichgewicht.<br />
[[Datei:Waage1.jpg|mini|Waage im Gleichgewicht|center]]<br />
<br />
Die Waage bleibt im Gleichgewicht wenn gleich viele Kugeln auf beiden Seiten ergänzt oder entfernt werden. Wir entfernen jeweils drei Kugeln.<br />
[[Datei:Waage2.jpg|mini|Waage nach Durchführung einer Umformung|center]]<br />
<math>\begin{align} & & x+3 &=5 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=2 <br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2+3 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1= Versuche die Gleichung so umzustellen, dass auf der einen Seite des Gleichheitszeichens nur noch das <math>a</math> steht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1= Versuche zunächst die Gleichung so umzustellen, dass auf der einen Seite nur noch das <math>x</math> mit dem Faktor steht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''f)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
<br />
'''g)''' <math>\frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1}</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Variablen mit Hilfe der Multiplikation aus dem Nenner zu bekommen.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{3}{z+1} &= - \frac{5}{2z-1} & & \mid \cdot (z+1)\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{z+1} \cdot (z+1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \cdot (2z-1)\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} \cdot (2z-1) & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - 5 \cdot (z+1) & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6z-3 &= -5z-5 & & \mid +5z\\<br />
\Leftrightarrow & & 11z-3 &= -5 & & \mid +3\\<br />
\Leftrightarrow & & 11z &= -2 & & \mid :11\\<br />
\Leftrightarrow & & z &= - \frac{2}{11}\\<br />
& & \mathbb{L}=\{-\frac{2}{11}\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{3}{- \frac{2}{11} +1} &= - \frac{5}{2 \cdot (- \frac{2}{11}) -1} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{4}{11} -1} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{15}{11}} & & \mid \text{mit dem Kehrwert mal nehmen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot \frac{11}{9} &= - 5 \cdot - \frac{11}{15} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{33}{9} &= \frac{55}{15} & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{11}{3} &= \frac{11}{3}<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen |<br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
Insgesamt finden demnach 3750 Getränkekisten auf der Lagerfläche Platz.<br />
<br />
|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=39239Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-12-10T08:56:33Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen eingesetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z. B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>, ... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Die Waage steht immer noch im Gleichgewicht. Füge nun ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen|Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' Löse die Gleichung anschaulich mittels Skizzen von Waagen in deinem Heft: <math>x+3=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1= Überlege dir, wie die Waage im Gleichgewicht aussieht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Beide Seiten der Gleichung sind gleichwertig. Also ist die Waage im Gleichgewicht.<br />
[[Datei:Waage1.jpg|mini|Waage im Gleichgewicht|center]]<br />
<br />
Die Waage bleibt im Gleichgewicht wenn gleich viele Kugeln auf beiden Seiten ergänzt oder entfernt werden. Wir entfernen jeweils drei Kugeln.<br />
[[Datei:Waage2.jpg|mini|Waage nach Durchführung einer Umformung|center]]<br />
<math>\begin{align} & & x+3 &=5 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=2 <br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2+3 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1= Versuche die Gleichung so umzustellen, dass auf der einen Seite des Gleichheitszeichens nur noch das <math>a</math> steht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1= Versuche zunächst die Gleichung so umzustellen, dass auf der einen Seite nur noch das <math>x</math> mit dem Faktor steht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''f)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
<br />
'''g)''' <math>\frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1}</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Variablen mit Hilfe der Multiplikation aus dem Nenner zu bekommen.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{3}{z+1} &= - \frac{5}{2z-1} & & \mid \cdot (z+1)\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{z+1} \cdot (z+1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \cdot (2z-1)\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} \cdot (2z-1) & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - 5 \cdot (z+1) & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6z-3 &= -5z-5 & & \mid +5z\\<br />
\Leftrightarrow & & 11z-3 &= -5 & & \mid +3\\<br />
\Leftrightarrow & & 11z &= -2 & & \mid :11\\<br />
\Leftrightarrow & & z &= - \frac{2}{11}\\<br />
& & \mathbb{L}=\{-\frac{2}{11}\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{3}{- \frac{2}{11} +1} &= - \frac{5}{2 \cdot (- \frac{2}{11}) -1} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{4}{11} -1} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{15}{11}} & & \mid \text{mit dem Kehrwert mal nehmen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot \frac{11}{9} &= - 5 \cdot - \frac{11}{15} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{33}{9} &= \frac{55}{15} & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{11}{3} &= \frac{11}{3}<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen |<br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
Insgesamt finden demnach 3750 Getränkekisten auf der Lagerfläche Platz.<br />
<br />
|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37357Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-29T09:42:38Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen|Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
<br />
'''f)''' <math>\frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1}</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Variablen mit Hilfe der Multiplikation aus dem Nenner zu bekommen.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{3}{z+1} &= - \frac{5}{2z-1} & & \mid \cdot (z+1)\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{z+1} \cdot (z+1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \cdot (2z-1)\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} \cdot (2z-1) & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - 5 \cdot (z+1) & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6z-3 &= -5z-5 & & \mid +5z\\<br />
\Leftrightarrow & & 11z-3 &= -5 & & \mid +3\\<br />
\Leftrightarrow & & 11z &= -2 & & \mid :11\\<br />
\Leftrightarrow & & z &= - \frac{2}{11}\\<br />
& & \mathbb{L}=\{-\frac{2}{11}\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{3}{- \frac{2}{11} +1} &= - \frac{5}{2 \cdot (- \frac{2}{11}) -1} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{4}{11} -1} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{15}{11}} & & \mid \text{mit dem Kehrwert mal nehmen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot \frac{11}{9} &= - 5 \cdot - \frac{11}{15} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{33}{9} &= \frac{55}{15} & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{11}{3} &= \frac{11}{3}<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen |<br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37356Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-29T09:40:01Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen|Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
<br />
'''f)''' <math>\frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1}</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{3}{z+1} &= - \frac{5}{2z-1} & & \mid \cdot (z+1)\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{z+1} \cdot (z+1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \cdot (2z-1)\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} \cdot (2z-1) & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - 5 \cdot (z+1) & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6z-3 &= -5z-5 & & \mid +5z\\<br />
\Leftrightarrow & & 11z-3 &= -5 & & \mid +3\\<br />
\Leftrightarrow & & 11z &= -2 & & \mid :11\\<br />
\Leftrightarrow & & z &= - \frac{2}{11}\\<br />
& & \mathbb{L}=\{-\frac{2}{11}\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{3}{- \frac{2}{11} +1} &= - \frac{5}{2 \cdot (- \frac{2}{11}) -1} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{4}{11} -1} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{15}{11}} & & \mid \text{mit dem Kehrwert mal nehmen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot \frac{11}{9} &= - 5 \cdot - \frac{11}{15} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{33}{9} &= \frac{55}{15} & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{11}{3} &= \frac{11}{5}<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen |<br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37355Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-29T09:37:16Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen|Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
<br />
'''f)''' <math>\frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1}</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} <br />
& & \frac{3}{z+1}= - \frac{5}{2z-1} & & \mid \cdot (z+1)\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{z+1} \cdot (z+1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \cdot (2z-1)\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} \cdot (2z-1) & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - 5 \cdot (z+1) & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6z-3 &= -5z-5 & & \mid +5z\\<br />
\Leftrightarrow & & 11z-3 &= -5 & & \mid +3\\<br />
\Leftrightarrow & & 11z &= -2 & & \mid :11\\<br />
\Leftrightarrow & & z &= - \frac{2}{11}\\<br />
& & \mathbb{L}=\{-\frac{2}{11}\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{3}{- \frac{2}{11} +1} &= - \frac{5}{2 \cdot (- \frac{2}{11}) -1} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{4}{11} -1} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{15}{11}} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot \frac{11}{9} &= - 5 \cdot - \frac{11}{15} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{33}{9} &= \frac{55}{15} & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{11}{3} &= \frac{11}{5}<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen |<br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37354Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-29T09:34:14Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen|Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
<br />
'''f)''' <math>\frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1}</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{3}{z+1}= - \frac{5}{2z-1} & & \mid \cdot (z+1)\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{z+1} \cdot (z+1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \cdot (2z-1)\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} \cdot (2z-1) & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - 5 \cdot (z+1) & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6z-3 &= -5z-5 & & \mid +5z\\<br />
\Leftrightarrow & & 11z-3 &= -5 & & \mid +3\\<br />
\Leftrightarrow & & 11z &= -2 & & \mid :11\\<br />
\Leftrightarrow & & z &= - \frac{2}{11}\\<br />
& & \mathbb{L}=\{-\frac{2}{11}\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{3}{- \frac{2}{11} +1} &= - \frac{5}{2 \cdot (- \frac{2}{11}) -1} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= \frac{5}{- \frac{4}{11} -1} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= \frac{5}{- \frac{15}{11}} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot \frac{11}{9} &= 5 \cdot - \frac{11}{15} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{33}{9} &= - \frac{55}{15} & &\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen |<br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37353Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-29T09:25:06Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen|Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
<br />
'''f)''' <math>\frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1}</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & frac{3}{z+1}= - \frac{5}{2z-1} & & \mid \cdot (z+1)\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{z+1} \cdot (z+1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \cdot (2z-1)\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} \cdot (2z-1) & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - 5 \cdot (z+1) & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6z-3 &= -5z-5 & & \mid +5z\\<br />
\Leftrightarrow & & 11z-3 &= -5 & & \mid +3\\<br />
\Leftrightarrow & & 11z &= -2 & & \mid :11\\<br />
\Leftrightarrow & & z &= - \frac{2}{11}\\<br />
& & \mathbb{L}=\{-\frac{2}{11}\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen |<br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37352Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-29T09:23:50Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen|Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
<br />
'''f)''' <math>\frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1}</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1} & & \mid \cdot (z+1)\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{z+1} \cdot (z+1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \cdot (2z-1)\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} \cdot (2z-1) & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - 5 \cdot (z+1) & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6z-3 &= -5z-5 & & \mid +5z\\<br />
\Leftrightarrow & & 11z-3 &= -5 & & \mid +3\\<br />
\Leftrightarrow & & 11z &= -2 & & \mid :11\\<br />
\Leftrightarrow & & z &= - \frac{2}{11}\\<br />
& & \mathbb{L}=\{\-frac{2}{11}\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen |<br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37351Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-29T08:59:43Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen|Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen |<br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37350Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-29T08:57:26Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen |<br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37349Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-29T08:56:25Z<p>Ariane WWU-7: Änderung 37348 von Ariane WWU-7 (Diskussion) rückgängig gemacht.</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen |<br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37348Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-29T08:56:04Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen |<br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37347Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-29T08:54:31Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen |<br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37346Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-29T08:51:01Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.</nowiki><br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen |<br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37345Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-29T08:48:58Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.</nowiki><br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen |<br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37344Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-29T08:41:48Z<p>Ariane WWU-7: Änderung 37339 von Ariane WWU-7 (Diskussion) rückgängig gemacht.</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.</nowiki><br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen |<br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Arbeitsmethode|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37343Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-29T08:39:55Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen |<br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Arbeitsmethode|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37342Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-29T08:39:31Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen |<br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Arbeitsmethode|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{|Arbeitsmethode |Farbe= {{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37341Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-29T08:38:46Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen |<br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In der zur Verfügung stehenden Lagerfläche finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz.|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37340Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-29T08:34:44Z<p>Ariane WWU-7: Änderung 37339 von Ariane WWU-7 (Diskussion) rückgängig gemacht.</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.</nowiki><br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In der zur Verfügung stehenden Lagerfläche finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz.|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37339Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-29T08:34:07Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In der zur Verfügung stehenden Lagerfläche finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz.|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37338Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-29T08:32:35Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.</nowiki><br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In der zur Verfügung stehenden Lagerfläche finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz.|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37337Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-29T08:30:26Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.</nowiki><br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=</nowiki><math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In der zur Verfügung stehenden Lagerfläche finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz.|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37336Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-29T08:27:17Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.</nowiki><br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=</nowiki><math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In der zur Verfügung stehenden Lagerfläche finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz.|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37307Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-28T12:30:47Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
<nowiki>{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.</nowiki><br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=</nowiki><math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
<br />
Farbe={{Farbe|orange}}<nowiki> }}</nowiki><br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In der zur Verfügung stehenden Lagerfläche finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz.|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37306Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-28T12:27:07Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
<nowiki>{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.</nowiki><br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=</nowiki><math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
<br />
Farbe={{Farbe|orange}}<nowiki> }}</nowiki><br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In der zur Verfügung stehenden Lagerfläche finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz.|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37305Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-28T12:24:13Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
<nowiki>{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.</nowiki><br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden| Farbe={{Farbe|orange}}<nowiki> }}</nowiki><br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In der zur Verfügung stehenden Lagerfläche finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz.|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37303Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-28T12:17:41Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
<nowiki>{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.</nowiki><br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<br />
| Farbe={{Farbe|orange}}<nowiki> }}</nowiki><br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In der zur Verfügung stehenden Lagerfläche finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz.|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37302Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-28T12:15:33Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
<nowiki>{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.</nowiki><br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<br />
| Farbe={{Farbe|orange}}<nowiki> }}</nowiki><br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In der zur Verfügung stehenden Lagerfläche finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz.|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37301Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-28T12:14:35Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
<nowiki>{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.</nowiki><br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<br />
| Farbe={{Farbe|orange}}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In der zur Verfügung stehenden Lagerfläche finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz.|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37298Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-28T12:12:24Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
<nowiki>{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.</nowiki><br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<br />
| Farbe={{Farbe|orange}}<nowiki> }}</nowiki><br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In der zur Verfügung stehenden Lagerfläche finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz.|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37297Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-28T12:11:32Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
<nowiki>{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.</nowiki><br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrigharrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<br />
| Farbe={{Farbe|orange}}<nowiki> }}</nowiki><br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In der zur Verfügung stehenden Lagerfläche finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz.|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37296Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-28T12:10:24Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
<nowiki>{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.</nowiki><br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<br />
| Farbe={{Farbe|orange}}<nowiki> }}</nowiki><br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In der zur Verfügung stehenden Lagerfläche finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz.|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37295Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-28T12:09:12Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
<nowiki>{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.</nowiki><br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrigharrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<br />
| Farbe={{Farbe|orange}}<nowiki> }}</nowiki><br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In der zur Verfügung stehenden Lagerfläche finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz.|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37292Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-28T12:01:31Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
<nowiki>{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.</nowiki><br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<br />
| Farbe={{Farbe|orange}}<nowiki> }}</nowiki><br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In der zur Verfügung stehenden Lagerfläche finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz.|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37291Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-28T12:00:00Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
<nowiki>{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.</nowiki><br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid kürzen\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<br />
| Farbe={{Farbe|orange}}<nowiki> }}</nowiki><br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In der zur Verfügung stehenden Lagerfläche finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz.|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37290Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-28T11:59:04Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
<nowiki>{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.</nowiki><br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid kürzen\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<br />
| Farbe={{Farbe|orange}}<nowiki> }}</nowiki><br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In der zur Verfügung stehenden Lagerfläche finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz.|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37288Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-28T11:51:59Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
<nowiki>{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.</nowiki><br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid kürzen\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid /0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid /2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<br />
| Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In der zur Verfügung stehenden Lagerfläche finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz.|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37287Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-28T11:50:34Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
<nowiki>{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.</nowiki><br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid kürzen\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid /0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid /2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''f)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Arbeitsmethode<br />
<br />
<br />
| Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In der zur Verfügung stehenden Lagerfläche finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz.|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37285Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-28T11:48:51Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
<nowiki>{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.</nowiki><br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid kürzen\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid /0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid /2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''f)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Arbeitsmethode<br />
<br />
<br />
| Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In der zur Verfügung stehenden Lagerfläche finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz.|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37281Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-28T11:22:28Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
'''f)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & &\mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &=0,5 \cdot 2x & & \mid kürzen\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5 \cdot 2x & & \mid /0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &= \frac{0,5 \cdot 2x}{0,5} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &= 2x & &\mid /2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<br />
|Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In der zur Verfügung stehenden Lagerfläche finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz.|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37278Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-28T10:55:22Z<p>Ariane WWU-7: Änderung 37277 von Ariane WWU-7 (Diskussion) rückgängig gemacht.</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In der zur Verfügung stehenden Lagerfläche finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz.|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37277Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-28T10:54:12Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In der zur Verfügung stehenden Lagerfläche finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz.|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37275Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-28T09:03:03Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In der zur Verfügung stehenden Lagerfläche finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz.|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37274Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-28T09:01:03Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In der zur Verfügung stehenden Lagerfläche finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz.|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37273Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-28T09:00:08Z<p>Ariane WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x \approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
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Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
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In der zur Verfügung stehenden Lagerfläche finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz.|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}</div>Ariane WWU-7