https://projekte.zum.de/api.php?action=feedcontributions&user=Annika+WWU-7&feedformat=atomZUM Projektwiki - Benutzerbeiträge [de]2024-03-29T06:14:53ZBenutzerbeiträgeMediaWiki 1.39.6https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=39301Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-12-10T16:52:02Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen eingesetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z. B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>, ... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Die Waage steht immer noch im Gleichgewicht. Füge nun ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen|Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' Löse die Gleichung anschaulich mittels Skizzen von Waagen in deinem Heft: <math>x+3=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1= Überlege dir, wie die Waage im Gleichgewicht aussieht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Beide Seiten der Gleichung sind gleichwertig. Also ist die Waage im Gleichgewicht.<br />
[[Datei:Waage1.jpg|mini|Waage im Gleichgewicht|center]]<br />
<br />
Die Waage bleibt im Gleichgewicht wenn gleich viele Kugeln auf beiden Seiten ergänzt oder entfernt werden. Wir entfernen jeweils drei Kugeln.<br />
[[Datei:Waage2.jpg|mini|Waage nach Durchführung einer Umformung|center]]<br />
<math>\begin{align} & & x+3 &=5 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=2 <br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2+3 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1= Versuche die Gleichung so umzustellen, dass auf der einen Seite des Gleichheitszeichens nur noch das <math>a</math> steht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1= Versuche zunächst die Gleichung so umzustellen, dass auf der einen Seite nur noch das <math>x</math> mit dem Faktor steht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''f)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
<br />
'''g)''' <math>\frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1}</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Variablen mit Hilfe der Multiplikation aus dem Nenner zu bekommen.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{3}{z+1} &= - \frac{5}{2z-1} & & \mid \cdot (z+1)\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{z+1} \cdot (z+1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \cdot (2z-1)\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} \cdot (2z-1) & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - 5 \cdot (z+1) & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6z-3 &= -5z-5 & & \mid +5z\\<br />
\Leftrightarrow & & 11z-3 &= -5 & & \mid +3\\<br />
\Leftrightarrow & & 11z &= -2 & & \mid :11\\<br />
\Leftrightarrow & & z &= - \frac{2}{11}\\<br />
& & \mathbb{L}=\{-\frac{2}{11}\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{3}{- \frac{2}{11} +1} &= - \frac{5}{2 \cdot (- \frac{2}{11}) -1} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{4}{11} -1} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{15}{11}} & & \mid \text{mit dem Kehrwert mal nehmen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot \frac{11}{9} &= - 5 \cdot - \frac{11}{15} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{33}{9} &= \frac{55}{15} & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{11}{3} &= \frac{11}{3}<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:269A89E6-8A5A-4969-B953-21A412026976.jpg|200px|Zwei-Felder-Ball-Feld|rechts]]Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen |<br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
Insgesamt finden demnach 3750 Getränkekisten auf der Lagerfläche Platz.<br />
<br />
|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Datei:269A89E6-8A5A-4969-B953-21A412026976.jpg&diff=39300Datei:269A89E6-8A5A-4969-B953-21A412026976.jpg2020-12-10T16:51:09Z<p>Annika WWU-7: Hochgeladen mit VisualEditor Seite</p>
<hr />
<div>{{Information<br />
|description = Zwei-Felder-Ball-Feld<br />
|source = Eigene Arbeit<br />
|author = [[User:Annika WWU-7|Annika WWU-7]]<br />
}}<br />
<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=38621Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-12-05T22:21:08Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen|Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' Löse die Gleichung anschaulich mittels Skizzen von Waagen in deinem Heft: <math>x+3=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1= Überlege dir, wie die Waage im Gleichgewicht aussieht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Beide Seiten der Gleichung sind gleichwertig. Also ist die Waage im Gleichgewicht.<br />
[[Datei:Waage1.jpg|mini|Waage im Gleichgewicht|center]]<br />
<br />
Die Waage bleibt im Gleichgewicht wenn gleich viele Kugeln auf beiden Seiten ergänzt oder entfernt werden. Wir entfernen jeweils drei Kugeln.<br />
[[Datei:Waage2.jpg|mini|Waage nach Durchführung einer Umformung|center]]<br />
<math>\begin{align} & & x+3 &=5 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=2 <br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2+3 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1= Versuche die Gleichung so umzustellen, dass auf der einen Seite des Gleichheitszeichens nur noch das <math>a</math> steht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1= Versuche zunächst die Gleichung so umzustellen, dass auf der einen Seite nur noch das <math>x</math> mit dem Faktor steht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''f)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
<br />
'''g)''' <math>\frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1}</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Variablen mit Hilfe der Multiplikation aus dem Nenner zu bekommen.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{3}{z+1} &= - \frac{5}{2z-1} & & \mid \cdot (z+1)\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{z+1} \cdot (z+1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \cdot (2z-1)\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} \cdot (2z-1) & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - 5 \cdot (z+1) & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6z-3 &= -5z-5 & & \mid +5z\\<br />
\Leftrightarrow & & 11z-3 &= -5 & & \mid +3\\<br />
\Leftrightarrow & & 11z &= -2 & & \mid :11\\<br />
\Leftrightarrow & & z &= - \frac{2}{11}\\<br />
& & \mathbb{L}=\{-\frac{2}{11}\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{3}{- \frac{2}{11} +1} &= - \frac{5}{2 \cdot (- \frac{2}{11}) -1} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{4}{11} -1} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{15}{11}} & & \mid \text{mit dem Kehrwert mal nehmen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot \frac{11}{9} &= - 5 \cdot - \frac{11}{15} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{33}{9} &= \frac{55}{15} & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{11}{3} &= \frac{11}{3}<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen |<br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=38620Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-12-05T22:20:19Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen|Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' Löse die Gleichung anschaulich mittels Skizzen von Waagen in deinem Heft: <math>x+3=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1= Überlege dir, wie die Waage im Gleichgewicht aussieht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Beide Seiten der Gleichung sind gleichwertig. Also ist die Waage im Gleichgewicht.<br />
[[Datei:Waage1.jpg|mini|Waage im Gleichgewicht|center]]<br />
<br />
Die Waage bleibt im Gleichgewicht wenn gleich viele Kugeln auf beiden Seiten ergänzt oder entfernt werden. Wir entfernen jeweils drei Kugeln.<br />
[[Datei:Waage2.jpg|mini|Waage nach Durchführung einer Umformung|center]]<br />
<math>\begin{align} & & x+3 &=5 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=5 <br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2+3 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1= Versuche die Gleichung so umzustellen, dass auf der einen Seite des Gleichheitszeichens nur noch das <math>a</math> steht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1= Versuche zunächst die Gleichung so umzustellen, dass auf der einen Seite nur noch das <math>x</math> mit dem Faktor steht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''f)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
<br />
'''g)''' <math>\frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1}</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Variablen mit Hilfe der Multiplikation aus dem Nenner zu bekommen.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{3}{z+1} &= - \frac{5}{2z-1} & & \mid \cdot (z+1)\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{z+1} \cdot (z+1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \cdot (2z-1)\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} \cdot (2z-1) & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - 5 \cdot (z+1) & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6z-3 &= -5z-5 & & \mid +5z\\<br />
\Leftrightarrow & & 11z-3 &= -5 & & \mid +3\\<br />
\Leftrightarrow & & 11z &= -2 & & \mid :11\\<br />
\Leftrightarrow & & z &= - \frac{2}{11}\\<br />
& & \mathbb{L}=\{-\frac{2}{11}\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{3}{- \frac{2}{11} +1} &= - \frac{5}{2 \cdot (- \frac{2}{11}) -1} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{4}{11} -1} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{15}{11}} & & \mid \text{mit dem Kehrwert mal nehmen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot \frac{11}{9} &= - 5 \cdot - \frac{11}{15} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{33}{9} &= \frac{55}{15} & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{11}{3} &= \frac{11}{3}<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen |<br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=38619Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-12-05T22:17:54Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen|Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' Löse die Gleichung anschaulich mittels Skizzen von Waagen in deinem Heft: <math>x+3=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1= Überlege dir, wie die Waage im Gleichgewicht aussieht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Beide Seiten der Gleichung sind gleichwertig. Also ist die Waage im Gleichgewicht.<br />
[[Datei:Waage1.jpg|mini|Waage im Gleichgewicht]]<br />
Die Waage bleibt im Gleichgewicht wenn gleich viele Kugeln auf beiden Seiten ergänzt oder entfernt werden. Wir entfernen jeweils drei Kugeln.<br />
[[Datei:Waage2.jpg|mini|Waage nach Durchführung einer Umformung]]<br />
<math>\begin{align} & & x+3 &=5 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=5 <br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2+3 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1= Versuche die Gleichung so umzustellen, dass auf der einen Seite des Gleichheitszeichens nur noch das <math>a</math> steht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1= Versuche zunächst die Gleichung so umzustellen, dass auf der einen Seite nur noch das <math>x</math> mit dem Faktor steht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''f)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
<br />
'''g)''' <math>\frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1}</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Variablen mit Hilfe der Multiplikation aus dem Nenner zu bekommen.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{3}{z+1} &= - \frac{5}{2z-1} & & \mid \cdot (z+1)\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{z+1} \cdot (z+1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \cdot (2z-1)\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} \cdot (2z-1) & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - 5 \cdot (z+1) & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6z-3 &= -5z-5 & & \mid +5z\\<br />
\Leftrightarrow & & 11z-3 &= -5 & & \mid +3\\<br />
\Leftrightarrow & & 11z &= -2 & & \mid :11\\<br />
\Leftrightarrow & & z &= - \frac{2}{11}\\<br />
& & \mathbb{L}=\{-\frac{2}{11}\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{3}{- \frac{2}{11} +1} &= - \frac{5}{2 \cdot (- \frac{2}{11}) -1} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{4}{11} -1} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{15}{11}} & & \mid \text{mit dem Kehrwert mal nehmen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot \frac{11}{9} &= - 5 \cdot - \frac{11}{15} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{33}{9} &= \frac{55}{15} & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{11}{3} &= \frac{11}{3}<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen |<br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Datei:Waage2.jpg&diff=38618Datei:Waage2.jpg2020-12-05T22:17:31Z<p>Annika WWU-7: Hochgeladen mit VisualEditor Seite</p>
<hr />
<div>{{Information<br />
|description = Waage nach Umformung<br />
|source = Eigene Arbeit<br />
|author = [[User:Annika WWU-7|Annika WWU-7]]<br />
}}<br />
<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Datei:Waage1.jpg&diff=38617Datei:Waage1.jpg2020-12-05T22:16:20Z<p>Annika WWU-7: Hochgeladen mit VisualEditor Seite</p>
<hr />
<div>{{Information<br />
|description = Waagschale im Gleichgewicht für die Gleichung a)<br />
|source = Eigene Arbeit<br />
|author = [[User:Annika WWU-7|Annika WWU-7]]<br />
}}<br />
<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8&diff=38616Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-82020-12-05T21:45:35Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Fit für VERA-8"!<br />
<br />
Hier entsteht im Wintersemester 2020/2021 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 8 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].<br />
<br />
[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad}}<br />
<br />
Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung. Die ersten beiden Items sind Beispielitems.<br />
<br />
<quiz display="simple"><br />
{ Der Differenzenquotient <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> beschreibt die momentane Änderungsrate. }<br />
- Wahr<br />
+ Falsch<br />
<br />
{ Was ergibt 1+1? }<br />
+ 1<br />
+ 2<br />
+ 3<br />
+ 4<br />
<br />
{ Wie werden nicht sichtbare Linien in einem Schrägbild gezeichnet? }<br />
- Sie werden fett gezeichnet.<br />
- Sie werden nicht gezeichnet.<br />
+ Sie werden gestrichelt gezeichnet.<br />
<br />
{ Ein regulärer Tetraeder ist ein Pyramide, die... }<br />
+ ...eine dreieckige Grundfläche besitzt.<br />
+ ...vier kongruente gleichseitige Dreiecke als Fläche hat.<br />
- ...sechs ungleich lange Kanten hat.<br />
<br />
{ Wann nennt man eine Figur unmöglich? }<br />
+ Unmöglichen Figuren basieren darauf, dass unerlaubte Wechsel in der Perspektive eingebaut werden.<br />
- Sie sind unsichtbar.<br />
- Wenn mehr als zwei Seiten parallel zueinander sind.<br />
<br />
{ Löse die folgende Gleichung nach <math>x</math> auf: <math>5x-45=35</math> }<br />
- <math>x=16</math><br />
- <math>x=8</math><br />
<br />
{ Welche Aussage ist wahr? }<br />
- Die Variable wird immer mit <math>x</math> bezeichnet.<br />
- Eine mögliche Äquivalenzumformung ist das Addieren oder Subtrahieren derselben Zahl auf beiden Seiten einer Gleichung.<br />
- Mit <math>\mathbb{L}</math> beschreibt man die Lösung einer Gleichung.<br />
<br />
{ Entscheide, welche der Gleichungen zu folgendem Rätsel passt: Das Fünffache einer Unbekannten addiert mit <math>2</math> entspricht dem Doppelten dieser Unbekannten subtrahiert mit <math>10</math>. }<br />
- <math>5x+2=\frac{2}{x}-10</math><br />
- <math>\frac{x}{5}+2=2x-10</math><br />
- <math>5x+2=2x-10</math><br />
- <math>\frac{5}{x}+2=\frac{x}{2}-10</math><br />
<br />
{Ein Würfel wird <math>100</math> mal geworfen und <math>15</math> mal kommt die Würfelzahl 4 heraus. Dann ist <math>15</math> die...}<br />
- ... relative Häufigkeit.<br />
+ ... absolute Häufigkeit.<br />
<br />
{[[Datei:Stochastik Bayestheorem Urnenversuch.png|mini|zentriert]] Die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig zwei rote Kugeln aus Urne A zu ziehen, ist größer als die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig zwei weiße Kugeln aus Urne B zu ziehen.}<br />
- wahr<br />
+ falsch<br />
<br />
{Welche der folgenden Aussagen treffen auf ein Laplace-Experiment zu?}<br />
+ Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich.<br />
- Das Werfen des Würfels mit den Seiten 1,1,1,3,5,5 ist ein Laplace-Experiment.<br />
+ Das Werfen einer Münze ist ein Laplace-Experiment.<br />
<br />
{ Dummy zu Thema d) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema d) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema d) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ [[Datei:Geogebra-export.png|mini|rechts| 300px]]Welche Funktionsgleichung passt zu dem rechts abgebildeten Funktionsgraphen? }<br />
- <math> f(x)= -\frac{1}{2}x+3 </math><br />
- <math> f(x)= 2x+1 </math><br />
+ <math> f(x)= \frac{1}{2}x-\frac{3}{2} </math><br />
- <math> f(x)= 2x-\frac{3}{2} </math><br />
<br />
{ Bei der Nullstelle einer linearen Funktion gilt im Allgemeinen }<br />
+ <math> f(x)=0 </math>.<br />
- <math> x=0 </math>.<br />
<br />
{ Gegeben sind die beiden Funktionsgleichungen <math> f(x)=3x-2 </math> und <math> g(x)=-\frac{1}{3}x+4</math>. </br> Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Wähle alle richtigen Aussagen aus. Es können auch mehrere Aussagen richtig sein. }<br />
- Die beiden Geraden schneiden sich in ''keinem'' Punkt.<br />
+ Die beiden Geraden haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.<br />
+ Die Gerade <math>f</math> steigt.<br />
- Die Gerade <math>g</math> hat die Steigung <math>4</math> und den <math>y</math>-Abschnitt <math>-\frac{1}{3}</math>.<br />
<br />
<br />
{ Dummy zu Thema f) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema f) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema f) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Vereinfache den folgenden Term: <math> 5x+3y-(2x+y)+4y-(y-x)</math>. Kreuze die richtige Lösung an.}<br />
- <math>6x+9y</math><br />
- <math>2x+7y</math><br />
+ <math>4x+5y</math><br />
<br />
{ Was fehlt in der Klammer? <math>-6x+18xy=-6x \cdot (...)</math> }<br />
+ <math>1-3y</math><br />
- <math>1+3y</math><br />
- <math>-1+3y</math><br />
- <math>x+3xy</math><br />
<br />
{Löse unter Verwendung einer binomischen Formel. <math> (3-2x)^2 = ... </math> }<br />
- <math> 9-6x+4x^2 </math><br />
- <math> 9-3x+4x </math><br />
+ <math> 9-12x+4x^2 </math><br />
- <math> 9+12x-4x^2 </math><br />
<br />
</quiz><br />
<br />
<br />
Die Lernpfadkapitel:<br />
<br />
*[[/Unmögliche Figuren und Schrägbilder|Unmögliche Figuren und Schrägbilder]]<br />
*[[/Einfache Gleichungen|Einfache Gleichungen]]<br />
*[[/Stochastik|Stochastik]]<br />
*[[/Zinsrechnung|Zinsrechnung]]<br />
*[[/Lineare Funktionen|Lineare Funktionen]]<br />
*[[/Volumen und Oberfläche des Prismas|Volumen und Oberfläche des Prismas]]<br />
*[[/Terme|Terme]]</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8&diff=38615Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-82020-12-05T21:42:24Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Fit für VERA-8"!<br />
<br />
Hier entsteht im Wintersemester 2020/2021 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 8 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].<br />
<br />
[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad}}<br />
<br />
Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung. Die ersten beiden Items sind Beispielitems.<br />
<br />
<quiz display="simple"><br />
{ Der Differenzenquotient <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> beschreibt die momentane Änderungsrate. }<br />
- Wahr<br />
+ Falsch<br />
<br />
{ Was ergibt 1+1? }<br />
+ 1<br />
+ 2<br />
+ 3<br />
+ 4<br />
<br />
{ Wie werden nicht sichtbare Linien in einem Schrägbild gezeichnet? }<br />
- Sie werden fett gezeichnet.<br />
- Sie werden nicht gezeichnet.<br />
+ Sie werden gestrichelt gezeichnet.<br />
<br />
{ Ein regulärer Tetraeder ist ein Pyramide, die... }<br />
+ ...eine dreieckige Grundfläche besitzt.<br />
+ ...vier kongruente gleichseitige Dreiecke als Fläche hat.<br />
- ...sechs ungleich lange Kanten hat.<br />
<br />
{ Wann nennt man eine Figur unmöglich? }<br />
+ Unmöglichen Figuren basieren darauf, dass unerlaubte Wechsel in der Perspektive eingebaut werden.<br />
- Sie sind unsichtbar.<br />
- Wenn mehr als zwei Seiten parallel zueinander sind.<br />
<br />
{ Löse die folgende Gleichung nach <math>x</math> auf: <math>5x-45=35</math> }<br />
- <math>x=16</math><br />
- <math>x=8</math><br />
<br />
{ Dummy zu Thema b) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Entscheide, welche der Gleichungen zu folgendem Rätsel passt: Das Fünffache einer Unbekannten addiert mit <math>2</math> entspricht dem Doppelten dieser Unbekannten subtrahiert mit <math>10</math>. }<br />
- <math>5x+2=\frac{2}{x}-10</math><br />
- <math>\frac{x}{5}+2=2x-10</math><br />
- <math>5x+2=2x-10</math><br />
- <math>\frac{5}{x}+2=\frac{x}{2}-10</math><br />
<br />
{Ein Würfel wird <math>100</math> mal geworfen und <math>15</math> mal kommt die Würfelzahl 4 heraus. Dann ist <math>15</math> die...}<br />
- ... relative Häufigkeit.<br />
+ ... absolute Häufigkeit.<br />
<br />
{[[Datei:Stochastik Bayestheorem Urnenversuch.png|mini|zentriert]] Die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig zwei rote Kugeln aus Urne A zu ziehen, ist größer als die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig zwei weiße Kugeln aus Urne B zu ziehen.}<br />
- wahr<br />
+ falsch<br />
<br />
{Welche der folgenden Aussagen treffen auf ein Laplace-Experiment zu?}<br />
+ Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich.<br />
- Das Werfen des Würfels mit den Seiten 1,1,1,3,5,5 ist ein Laplace-Experiment.<br />
+ Das Werfen einer Münze ist ein Laplace-Experiment.<br />
<br />
{ Dummy zu Thema d) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema d) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema d) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ [[Datei:Geogebra-export.png|mini|rechts| 300px]]Welche Funktionsgleichung passt zu dem rechts abgebildeten Funktionsgraphen? }<br />
- <math> f(x)= -\frac{1}{2}x+3 </math><br />
- <math> f(x)= 2x+1 </math><br />
+ <math> f(x)= \frac{1}{2}x-\frac{3}{2} </math><br />
- <math> f(x)= 2x-\frac{3}{2} </math><br />
<br />
{ Bei der Nullstelle einer linearen Funktion gilt im Allgemeinen }<br />
+ <math> f(x)=0 </math>.<br />
- <math> x=0 </math>.<br />
<br />
{ Gegeben sind die beiden Funktionsgleichungen <math> f(x)=3x-2 </math> und <math> g(x)=-\frac{1}{3}x+4</math>. </br> Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Wähle alle richtigen Aussagen aus. Es können auch mehrere Aussagen richtig sein. }<br />
- Die beiden Geraden schneiden sich in ''keinem'' Punkt.<br />
+ Die beiden Geraden haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.<br />
+ Die Gerade <math>f</math> steigt.<br />
- Die Gerade <math>g</math> hat die Steigung <math>4</math> und den <math>y</math>-Abschnitt <math>-\frac{1}{3}</math>.<br />
<br />
<br />
{ Dummy zu Thema f) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema f) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema f) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Vereinfache den folgenden Term: <math> 5x+3y-(2x+y)+4y-(y-x)</math>. Kreuze die richtige Lösung an.}<br />
- <math>6x+9y</math><br />
- <math>2x+7y</math><br />
+ <math>4x+5y</math><br />
<br />
{ Was fehlt in der Klammer? <math>-6x+18xy=-6x \cdot (...)</math> }<br />
+ <math>1-3y</math><br />
- <math>1+3y</math><br />
- <math>-1+3y</math><br />
- <math>x+3xy</math><br />
<br />
{Löse unter Verwendung einer binomischen Formel. <math> (3-2x)^2 = ... </math> }<br />
- <math> 9-6x+4x^2 </math><br />
- <math> 9-3x+4x </math><br />
+ <math> 9-12x+4x^2 </math><br />
- <math> 9+12x-4x^2 </math><br />
<br />
</quiz><br />
<br />
<br />
Die Lernpfadkapitel:<br />
<br />
*[[/Unmögliche Figuren und Schrägbilder|Unmögliche Figuren und Schrägbilder]]<br />
*[[/Einfache Gleichungen|Einfache Gleichungen]]<br />
*[[/Stochastik|Stochastik]]<br />
*[[/Zinsrechnung|Zinsrechnung]]<br />
*[[/Lineare Funktionen|Lineare Funktionen]]<br />
*[[/Volumen und Oberfläche des Prismas|Volumen und Oberfläche des Prismas]]<br />
*[[/Terme|Terme]]</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8&diff=38612Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-82020-12-05T21:36:16Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Fit für VERA-8"!<br />
<br />
Hier entsteht im Wintersemester 2020/2021 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 8 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].<br />
<br />
[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad}}<br />
<br />
Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung. Die ersten beiden Items sind Beispielitems.<br />
<br />
<quiz display="simple"><br />
{ Der Differenzenquotient <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> beschreibt die momentane Änderungsrate. }<br />
- Wahr<br />
+ Falsch<br />
<br />
{ Was ergibt 1+1? }<br />
+ 1<br />
+ 2<br />
+ 3<br />
+ 4<br />
<br />
{ Wie werden nicht sichtbare Linien in einem Schrägbild gezeichnet? }<br />
- Sie werden fett gezeichnet.<br />
- Sie werden nicht gezeichnet.<br />
+ Sie werden gestrichelt gezeichnet.<br />
<br />
{ Ein regulärer Tetraeder ist ein Pyramide, die... }<br />
+ ...eine dreieckige Grundfläche besitzt.<br />
+ ...vier kongruente gleichseitige Dreiecke als Fläche hat.<br />
- ...sechs ungleich lange Kanten hat.<br />
<br />
{ Wann nennt man eine Figur unmöglich? }<br />
+ Unmöglichen Figuren basieren darauf, dass unerlaubte Wechsel in der Perspektive eingebaut werden.<br />
- Sie sind unsichtbar.<br />
- Wenn mehr als zwei Seiten parallel zueinander sind.<br />
<br />
{ Löse die folgende Gleichung nach <math>x</math> auf: <math>5x-45=35</math> }<br />
- <math>x=16</math><br />
- <math>x=8</math><br />
<br />
{ Dummy zu Thema b) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema b) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{Ein Würfel wird <math>100</math> mal geworfen und <math>15</math> mal kommt die Würfelzahl 4 heraus. Dann ist <math>15</math> die...}<br />
- ... relative Häufigkeit.<br />
+ ... absolute Häufigkeit.<br />
<br />
{[[Datei:Stochastik Bayestheorem Urnenversuch.png|mini|zentriert]] Die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig zwei rote Kugeln aus Urne A zu ziehen, ist größer als die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig zwei weiße Kugeln aus Urne B zu ziehen.}<br />
- wahr<br />
+ falsch<br />
<br />
{Welche der folgenden Aussagen treffen auf ein Laplace-Experiment zu?}<br />
+ Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich.<br />
- Das Werfen des Würfels mit den Seiten 1,1,1,3,5,5 ist ein Laplace-Experiment.<br />
+ Das Werfen einer Münze ist ein Laplace-Experiment.<br />
<br />
{ Dummy zu Thema d) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema d) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema d) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ [[Datei:Geogebra-export.png|mini|rechts| 300px]]Welche Funktionsgleichung passt zu dem rechts abgebildeten Funktionsgraphen? }<br />
- <math> f(x)= -\frac{1}{2}x+3 </math><br />
- <math> f(x)= 2x+1 </math><br />
+ <math> f(x)= \frac{1}{2}x-\frac{3}{2} </math><br />
- <math> f(x)= 2x-\frac{3}{2} </math><br />
<br />
{ Bei der Nullstelle einer linearen Funktion gilt im Allgemeinen }<br />
+ <math> f(x)=0 </math>.<br />
- <math> x=0 </math>.<br />
<br />
{ Gegeben sind die beiden Funktionsgleichungen <math> f(x)=3x-2 </math> und <math> g(x)=-\frac{1}{3}x+4</math>. </br> Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Wähle alle richtigen Aussagen aus. Es können auch mehrere Aussagen richtig sein. }<br />
- Die beiden Geraden schneiden sich in ''keinem'' Punkt.<br />
+ Die beiden Geraden haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.<br />
+ Die Gerade <math>f</math> steigt.<br />
- Die Gerade <math>g</math> hat die Steigung <math>4</math> und den <math>y</math>-Abschnitt <math>-\frac{1}{3}</math>.<br />
<br />
<br />
{ Dummy zu Thema f) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema f) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema f) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Vereinfache den folgenden Term: <math> 5x+3y-(2x+y)+4y-(y-x)</math>. Kreuze die richtige Lösung an.}<br />
- <math>6x+9y</math><br />
- <math>2x+7y</math><br />
+ <math>4x+5y</math><br />
<br />
{ Was fehlt in der Klammer? <math>-6x+18xy=-6x \cdot (...)</math> }<br />
+ <math>1-3y</math><br />
- <math>1+3y</math><br />
- <math>-1+3y</math><br />
- <math>x+3xy</math><br />
<br />
{Löse unter Verwendung einer binomischen Formel. <math> (3-2x)^2 = ... </math> }<br />
- <math> 9-6x+4x^2 </math><br />
- <math> 9-3x+4x </math><br />
+ <math> 9-12x+4x^2 </math><br />
- <math> 9+12x-4x^2 </math><br />
<br />
</quiz><br />
<br />
<br />
Die Lernpfadkapitel:<br />
<br />
*[[/Unmögliche Figuren und Schrägbilder|Unmögliche Figuren und Schrägbilder]]<br />
*[[/Einfache Gleichungen|Einfache Gleichungen]]<br />
*[[/Stochastik|Stochastik]]<br />
*[[/Zinsrechnung|Zinsrechnung]]<br />
*[[/Lineare Funktionen|Lineare Funktionen]]<br />
*[[/Volumen und Oberfläche des Prismas|Volumen und Oberfläche des Prismas]]<br />
*[[/Terme|Terme]]</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=38037Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-12-01T10:36:29Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen|Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1= Versuche die Gleichung so umzustellen, dass auf der einen Seite des Gleichheitszeichens nur noch das <math>a</math> steht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1= Versuche zunächst die Gleichung so umzustellen, dass auf der einen Seite nur noch das <math>x</math> mit dem Faktor steht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\<br />
& & \mathbb{L}=\{1\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
<br />
'''f)''' <math>\frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1}</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Variablen mit Hilfe der Multiplikation aus dem Nenner zu bekommen.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{3}{z+1} &= - \frac{5}{2z-1} & & \mid \cdot (z+1)\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{z+1} \cdot (z+1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \cdot (2z-1)\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} \cdot (2z-1) & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - 5 \cdot (z+1) & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6z-3 &= -5z-5 & & \mid +5z\\<br />
\Leftrightarrow & & 11z-3 &= -5 & & \mid +3\\<br />
\Leftrightarrow & & 11z &= -2 & & \mid :11\\<br />
\Leftrightarrow & & z &= - \frac{2}{11}\\<br />
& & \mathbb{L}=\{-\frac{2}{11}\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & \frac{3}{- \frac{2}{11} +1} &= - \frac{5}{2 \cdot (- \frac{2}{11}) -1} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{4}{11} -1} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{15}{11}} & & \mid \text{mit dem Kehrwert mal nehmen}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3 \cdot \frac{11}{9} &= - 5 \cdot - \frac{11}{15} & &\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{33}{9} &= \frac{55}{15} & & \mid \text{kürzen}\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{11}{3} &= \frac{11}{3}<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.<br />
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.<br />
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.<br />
<br />
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Leon ist heute also 12 Jahre alt. <br />
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.<br />
<br />
<br />
Probe erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 36=36 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
Probe zweite Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 48=48 & <br />
\end{align}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen |<br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:<br />
<math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\<br />
\end{align} </math><br />
<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=100<br />
<br />
\end{align} </math><br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37152Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T22:05:25Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg&diff=37151Datei:F022064B-48F7-43E3-91C7-69A20F7CCCDD.jpg2020-11-26T22:04:49Z<p>Annika WWU-7: Hochgeladen mit VisualEditor Seite</p>
<hr />
<div>{{Information<br />
|description = Spielfeld<br />
|source = Eigene Arbeit<br />
|author = [[User:Annika WWU-7|Annika WWU-7]]<br />
}}<br />
<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37150Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T21:48:05Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37149Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T21:46:34Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37148Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T21:42:24Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37147Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T21:40:52Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Box| Variable | <br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
| Merksatz}}<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37143Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T21:21:25Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37142Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T21:20:28Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 \\<br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37141Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T21:13:18Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37140Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T21:09:47Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37139Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T21:07:46Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37138Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T21:06:26Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. <br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.<br />
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math>.<br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37134Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T21:03:06Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Aufgaben hoher Schwierigkeit'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
<br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>3y+5=y+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.<br />
<br />
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\<br />
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\<br />
\Leftrightarrow & & y&=15<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\<br />
\Leftrightarrow & & 50 &=50<br />
\end{align}</math>.<br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37128Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T20:56:19Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Aufgaben hoher Schwierigkeit'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
<br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, musst du sie zunächst nach der Variable auflösen. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>(x+5)^{2}=x^{2}+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst die binomische Formel berechnen.<br />
<br />
<math>\begin{align} && (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>x</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35 & &\mid -x^{2}\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x+25&=35 & &\mid -25\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x&=10 & &\mid :10\\<br />
\Leftrightarrow & & x&=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(1+5)^{2}&=1^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 36&=36<br />
\end{align}</math>.<br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{1\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37127Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T20:55:41Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Aufgaben hoher Schwierigkeit'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
<br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
* '''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
* '''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
* '''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, musst du sie zunächst nach der Variable auflösen. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>(x+5)^{2}=x^{2}+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst die binomische Formel berechnen.<br />
<br />
<math>\begin{align} && (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>x</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35 & &\mid -x^{2}\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x+25&=35 & &\mid -25\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x&=10 & &\mid :10\\<br />
\Leftrightarrow & & x&=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(1+5)^{2}&=1^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 36&=36<br />
\end{align}</math>.<br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{1\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37126Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T20:54:46Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Aufgaben hoher Schwierigkeit'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
<br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
# Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
## Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
### Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, musst du sie zunächst nach der Variable auflösen. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>(x+5)^{2}=x^{2}+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst die binomische Formel berechnen.<br />
<br />
<math>\begin{align} && (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>x</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35 & &\mid -x^{2}\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x+25&=35 & &\mid -25\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x&=10 & &\mid :10\\<br />
\Leftrightarrow & & x&=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(1+5)^{2}&=1^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 36&=36<br />
\end{align}</math>.<br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{1\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37125Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T20:54:15Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Aufgaben hoher Schwierigkeit'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
<br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
# Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
# Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
# Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, musst du sie zunächst nach der Variable auflösen. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>(x+5)^{2}=x^{2}+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst die binomische Formel berechnen.<br />
<br />
<math>\begin{align} && (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>x</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35 & &\mid -x^{2}\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x+25&=35 & &\mid -25\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x&=10 & &\mid :10\\<br />
\Leftrightarrow & & x&=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(1+5)^{2}&=1^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 36&=36<br />
\end{align}</math>.<br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{1\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37124Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T20:53:04Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Aufgaben hoher Schwierigkeit'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
<br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.<br />
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung 1|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?<br />
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung 1|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung 1|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, musst du sie zunächst nach der Variable auflösen. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>(x+5)^{2}=x^{2}+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst die binomische Formel berechnen.<br />
<br />
<math>\begin{align} && (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>x</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35 & &\mid -x^{2}\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x+25&=35 & &\mid -25\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x&=10 & &\mid :10\\<br />
\Leftrightarrow & & x&=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(1+5)^{2}&=1^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 36&=36<br />
\end{align}</math>.<br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{1\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37119Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T20:39:55Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Aufgaben hoher Schwierigkeit'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
<br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein Gleichgewicht erzielt werden. Dabei kann durch Probieren herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.<br />
<br />
Bring die Waage für verschiedene <math>x</math> ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, musst du sie zunächst nach der Variable auflösen. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>(x+5)^{2}=x^{2}+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst die binomische Formel berechnen.<br />
<br />
<math>\begin{align} && (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>x</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35 & &\mid -x^{2}\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x+25&=35 & &\mid -25\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x&=10 & &\mid :10\\<br />
\Leftrightarrow & & x&=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(1+5)^{2}&=1^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 36&=36<br />
\end{align}</math>.<br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{1\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37117Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T20:32:19Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Aufgaben hoher Schwierigkeit'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
<br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Bring die Waage für verschiedene <math>x</math> ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, musst du sie zunächst nach der Variable auflösen. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>(x+5)^{2}=x^{2}+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst die binomische Formel berechnen.<br />
<br />
<math>\begin{align} && (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>x</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35 & &\mid -x^{2}\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x+25&=35 & &\mid -25\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x&=10 & &\mid :10\\<br />
\Leftrightarrow & & x&=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(1+5)^{2}&=1^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 36&=36<br />
\end{align}</math>.<br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{1\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37116Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T20:31:06Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Aufgaben hoher Schwierigkeit'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
<br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Bring die Waage für verschiedene <math>x</math> ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, musst du sie zunächst nach der Variable auflösen. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>(x+5)^{2}=x^{2}+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst die binomische Formel berechnen.<br />
<br />
<math>\begin{align} && (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>x</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35 & &\mid -x^{2}\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x+25&=35 & &\mid -25\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x&=10 & &\mid :10\\<br />
\Leftrightarrow & & x&=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(1+5)^{2}&=1^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 36&=36<br />
\end{align}</math>.<br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{1\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei <math>M</math> = Alter der Mutter und <math>L</math> = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37115Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T20:29:37Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Aufgaben hoher Schwierigkeit'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
<br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | <br />
<br />
2=Bring die Waage für verschiedene <math>x</math> ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, musst du sie zunächst nach der Variable auflösen. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>(x+5)^{2}=x^{2}+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst die binomische Formel berechnen.<br />
<br />
<math>\begin{align} && (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>x</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35 & &\mid -x^{2}\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x+25&=35 & &\mid -25\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x&=10 & &\mid :10\\<br />
\Leftrightarrow & & x&=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(1+5)^{2}&=1^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 36&=36<br />
\end{align}</math>.<br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{1\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37114Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T20:28:26Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Aufgaben hoher Schwierigkeit'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
<br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | 2=Bring die Waage für verschiedene <math>x</math> ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" /><br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, musst du sie zunächst nach der Variable auflösen. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>(x+5)^{2}=x^{2}+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst die binomische Formel berechnen.<br />
<br />
<math>\begin{align} && (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>x</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35 & &\mid -x^{2}\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x+25&=35 & &\mid -25\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x&=10 & &\mid :10\\<br />
\Leftrightarrow & & x&=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(1+5)^{2}&=1^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 36&=36<br />
\end{align}</math>.<br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{1\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37111Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T20:26:39Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Aufgaben hoher Schwierigkeit'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
<br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | 2=Bring die Waage für verschiedene <math>x</math> ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" /><br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, musst du sie zunächst nach der Variable auflösen. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>(x+5)^{2}=x^{2}+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst die binomische Formel berechnen.<br />
<br />
<math>\begin{align} && (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>x</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35 & &\mid -x^{2}\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x+25&=35 & &\mid -25\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x&=10 & &\mid :10\\<br />
\Leftrightarrow & & x&=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(1+5)^{2}&=1^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 36&=36<br />
\end{align}</math>.<br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{1\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37110Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T20:25:53Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Aufgaben hoher Schwierigkeit'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
<br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | 2=Bring die Waage für verschiedene <math>x</math> ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" /><br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, musst du sie zunächst nach der Variable auflösen. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>(x+5)^{2}=x^{2}+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst die binomische Formel berechnen.<br />
<br />
<math>\begin{align} && (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>x</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35 & &\mid -x^{2}\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x+25&=35 & &\mid -25\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x&=10 & &\mid :10\\<br />
\Leftrightarrow & & x&=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(1+5)^{2}&=1^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 36&=36<br />
\end{align}</math>.<br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{1\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | <br />
<br />
[[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37108Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T20:23:42Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Aufgaben hoher Schwierigkeit'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
<br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | 2=Bring die Waage für verschiedene <math>x</math> ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" /><br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, musst du sie zunächst nach der Variable auflösen. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>(x+5)^{2}=x^{2}+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst die binomische Formel berechnen.<br />
<br />
<math>\begin{align} && (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>x</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35 & &\mid -x^{2}\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x+25&=35 & &\mid -25\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x&=10 & &\mid :10\\<br />
\Leftrightarrow & & x&=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(1+5)^{2}&=1^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 36&=36<br />
\end{align}</math>.<br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{1\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | <br />
<br />
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | [[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37107Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T20:22:29Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Aufgaben hoher Schwierigkeit'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
<br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | 2=Bring die Waage für verschiedene <math>x</math> ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" /><br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, musst du sie zunächst nach der Variable auflösen. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>(x+5)^{2}=x^{2}+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst die binomische Formel berechnen.<br />
<br />
<math>\begin{align} && (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>x</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35 & &\mid -x^{2}\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x+25&=35 & &\mid -25\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x&=10 & &\mid :10\\<br />
\Leftrightarrow & & x&=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(1+5)^{2}&=1^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 36&=36<br />
\end{align}</math>.<br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{1\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | [[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37106Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T20:21:48Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Aufgaben hoher Schwierigkeit'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
<br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | 2=Bring die Waage für verschiedene <math>x</math> ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" /><br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, musst du sie zunächst nach der Variable auflösen. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>(x+5)^{2}=x^{2}+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst die binomische Formel berechnen.<br />
<br />
<math>\begin{align} && (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>x</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35 & &\mid -x^{2}\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x+25&=35 & &\mid -25\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x&=10 & &\mid :10\\<br />
\Leftrightarrow & & x&=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(1+5)^{2}&=1^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 36&=36<br />
\end{align}</math>.<br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{1\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl| Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.<br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | [[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37105Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T20:19:21Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Aufgaben hoher Schwierigkeit'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
<br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | 2=Bring die Waage für verschiedene <math>x</math> ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" /><br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, musst du sie zunächst nach der Variable auflösen. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>(x+5)^{2}=x^{2}+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst die binomische Formel berechnen.<br />
<br />
<math>\begin{align} && (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>x</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35 & &\mid -x^{2}\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x+25&=35 & &\mid -25\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x&=10 & &\mid :10\\<br />
\Leftrightarrow & & x&=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(1+5)^{2}&=1^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 36&=36<br />
\end{align}</math>.<br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{1\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl| Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.| Arbeitsmethode}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Überleg dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | [[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37103Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T20:18:30Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Aufgaben hoher Schwierigkeit'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
<br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | 2=Bring die Waage für verschiedene <math>x</math> ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" /><br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, musst du sie zunächst nach der Variable auflösen. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>(x+5)^{2}=x^{2}+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst die binomische Formel berechnen.<br />
<br />
<math>\begin{align} && (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>x</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35 & &\mid -x^{2}\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x+25&=35 & &\mid -25\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x&=10 & &\mid :10\\<br />
\Leftrightarrow & & x&=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(1+5)^{2}&=1^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 36&=36<br />
\end{align}</math>.<br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{1\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}=\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\left{\frac{8}{3}\right}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl| Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.| Arbeitsmethode}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Überleg dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | [[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37101Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T20:16:52Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Aufgaben hoher Schwierigkeit'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
<br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | 2=Bring die Waage für verschiedene <math>x</math> ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" /><br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, musst du sie zunächst nach der Variable auflösen. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>(x+5)^{2}=x^{2}+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst die binomische Formel berechnen.<br />
<br />
<math>\begin{align} && (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>x</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35 & &\mid -x^{2}\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x+25&=35 & &\mid -25\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x&=10 & &\mid :10\\<br />
\Leftrightarrow & & x&=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(1+5)^{2}&=1^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 36&=36<br />
\end{align}</math>.<br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{1\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\{\frac{8}{3}\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl| Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.| Arbeitsmethode}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Überleg dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | [[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37098Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T20:11:25Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Aufgaben hoher Schwierigkeit'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
<br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | 2=Bring die Waage für verschiedene <math>x</math> ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" /><br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, musst du sie zunächst nach der Variable auflösen. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>(x+5)^{2}=x^{2}+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst die binomische Formel berechnen.<br />
<br />
<math>\begin{align} && (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>x</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35 & &\mid -x^{2}\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x+25&=35 & &\mid -25\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x&=10 & &\mid :10\\<br />
\Leftrightarrow & & x&=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(1+5)^{2}&=1^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 36&=36<br />
\end{align}</math>.<br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{1\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\{\frac{8}{3}\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl| Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.| Arbeitsmethode}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Überleg dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | [[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37084Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T19:24:05Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Aufgaben hoher Schwierigkeit'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
<br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | 2=Bring die Waage für verschiedene <math>x</math> ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" /><br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, musst du sie zunächst nach der Variable auflösen. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>(x+5)^{2}=x^{2}+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst die binomische Formel berechnen.<br />
<br />
<math>\begin{align} && (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>x</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35 & &\mid -x^{2}\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x+25&=35 & &\mid -25\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x&=10 & &\mid :10\\<br />
\Leftrightarrow & & x&=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(1+5)^{2}&=1^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 36&=36<br />
\end{align}</math>.<br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{1\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\{\frac{8}{3}\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl| Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.| Arbeitsmethode}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Überleg dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | [[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37081Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T19:20:32Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Aufgaben hoher Schwierigkeit'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
<br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | 2=Bring die Waage für verschiedene <math>x</math> ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" /><br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, musst du sie zunächst nach der Variable auflösen. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>(x+5)^{2}=x^{2}+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst die binomische Formel berechnen.<br />
<br />
<math>\begin{align} && (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>x</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35 & &\mid -x^{2}\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x+25&=35 & &\mid -25\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x&=10 & &\mid :10\\<br />
\Leftrightarrow & & x&=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(1+5)^{2}&=1^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 36&=36<br />
\end{align}</math>.<br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{1\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>a-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & a &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\<br />
& & \mathbb{L}\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\{\frac{8}{3}\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl| Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.| Arbeitsmethode}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Überleg dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | [[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37080Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T19:18:21Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Aufgaben hoher Schwierigkeit'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
<br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | 2=Bring die Waage für verschiedene <math>x</math> ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" /><br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, musst du sie zunächst nach der Variable auflösen. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>(x+5)^{2}=x^{2}+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst die binomische Formel berechnen.<br />
<br />
<math>\begin{align} && (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>x</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35 & &\mid -x^{2}\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x+25&=35 & &\mid -25\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x&=10 & &\mid :10\\<br />
\Leftrightarrow & & x&=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(1+5)^{2}&=1^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 36&=36<br />
\end{align}</math>.<br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{1\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>x-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & x-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''c)''' <math>x\cdot (x-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & x\cdot (x-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & x=0 &\text{ oder } x-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & x=0 &\text{ oder } x=5\\<br />
& & \mathbb{L}\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''d)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\{\frac{8}{3}\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl| Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.| Arbeitsmethode}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Überleg dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | [[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37078Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T19:14:05Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Aufgaben hoher Schwierigkeit'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
<br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | 2=Bring die Waage für verschiedene <math>x</math> ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" /><br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, musst du sie zunächst nach der Variable auflösen. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>(x+5)^{2}=x^{2}+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst die binomische Formel berechnen.<br />
<br />
<math>\begin{align} && (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>x</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35 & &\mid -x^{2}\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x+25&=35 & &\mid -25\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x&=10 & &\mid :10\\<br />
\Leftrightarrow & & x&=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(1+5)^{2}&=1^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 36&=36<br />
\end{align}</math>.<br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{1\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>x-64=5</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & x-64 &=5 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=69 \\<br />
& & \mathbb{L}=\{69\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\<br />
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\<br />
\Leftrightarrow & & 5 &=5<br />
\end{align}</math><br />
<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>x\cdot (x-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & x\cdot (x-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & x=0 &\text{ oder } x-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & x=0 &\text{ oder } x=5\\<br />
& & \mathbb{L}\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\{\frac{8}{3}\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl| Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.| Arbeitsmethode}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Überleg dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | [[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37075Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T19:11:48Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Aufgaben hoher Schwierigkeit'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
<br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | 2=Bring die Waage für verschiedene <math>x</math> ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" /><br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, musst du sie zunächst nach der Variable auflösen. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>(x+5)^{2}=x^{2}+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst die binomische Formel berechnen.<br />
<br />
<math>\begin{align} && (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>x</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35 & &\mid -x^{2}\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x+25&=35 & &\mid -25\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x&=10 & &\mid :10\\<br />
\Leftrightarrow & & x&=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(1+5)^{2}&=1^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 36&=36<br />
\end{align}</math>.<br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{1\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>x^{2}-64=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & x^{2}-64 &=0 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2} &=64 & &\mid \pm \sqrt{}\\<br />
\Leftrightarrow & & x =-8 &\lor x=8\\<br />
& & \mathbb{L}=\{-8,8\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (-8)^{2}-64 &=0 \\<br />
\Leftrightarrow & & 64-64 &=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0 &=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 8^{2}-64 &=0 \\<br />
\Leftrightarrow & & 64-64 &=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0 &=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>x\cdot (x-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & x\cdot (x-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & x=0 &\text{ oder } x-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & x=0 &\text{ oder } x=5\\<br />
& & \mathbb{L}\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\{\frac{8}{3}\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl| Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.| Arbeitsmethode}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Überleg dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | [[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=37074Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-26T19:11:03Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Aufgaben hoher Schwierigkeit'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
<br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>.... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | 2=Bring die Waage für verschiedene <math>x</math> ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" /><br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, musst du sie zunächst nach der Variable auflösen. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>(x+5)^{2}=x^{2}+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst die binomische Formel berechnen.<br />
<br />
<math>\begin{align} && (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>x</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35 & &\mid -x^{2}\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x+25&=35 & &\mid -25\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x&=10 & &\mid :10\\<br />
\Leftrightarrow & & x&=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(1+5)^{2}&=1^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 36&=36<br />
\end{align}</math>.<br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{1\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>x^{2}-64=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & x^{2}-64 &=0 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2} &=64 & &\mid \pm \sqrt{}\\<br />
\Leftrightarrow & & x =-8 &\lor x=8\\<br />
& & \mathbb{L}=\{-8,8\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (-8)^{2}-64 &=0 \\<br />
\Leftrightarrow & & 64-64 &=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0 &=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 8^{2}-64 &=0 \\<br />
\Leftrightarrow & & 64-64 &=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0 &=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>x\cdot (x-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & x\cdot (x-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & x=0 &\text{oder} x-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & x=0 &\text{oder} x=5\\<br />
& & \mathbb{L}\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\{\frac{8}{3}\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
'''d)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl| Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.| Arbeitsmethode}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Überleg dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math><br />
<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12=4\cdot 6 <br />
\Leftrightarrow24=24 \end{align}</math>|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|<nowiki>Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.</nowiki><br />
<math>\begin{align}M=3L\end{align}</math><br />
und<br />
<math>\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}</math><br />
setze <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math><br />
ein<math>\begin{align}\\<br />
<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\<br />
<br />
\Leftrightarrow & & L=12<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math><br />
<br />
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}</math><br />
<br />
<br />
Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | [[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.<br />
<br />
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=zu '''b)''' Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:<br />
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m.<br />
<br />
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:<br />
<math>0,35\cdot x=2,20</math>,<br />
<br />
wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable '''x''' bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.<br />
<br />
Jetzt muss '''x''' mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=6,28<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Das Ergebnis <math>6,28</math> muss auf <math>6</math> abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.<br />
<br />
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:<br />
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\<br />
\Leftrightarrow & & 625 &=x<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable '''x''' bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.<br />
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.<br />
<br />
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>.<br />
<br />
In dem Lagerraum finden also insgesamt <math>3750</math> Getränkekisten Platz. |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Einfache_Gleichungen&diff=36120Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen2020-11-20T21:33:53Z<p>Annika WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Aufgaben hoher Schwierigkeit'''. <br />
Viel Erfolg!<br />
<br />
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...<br />
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.<br />
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.<br />
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.<br />
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.|3=Kurzinfo}}<br />
<br />
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel===<br />
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.<br />
<br /><br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzen, für die die Gleichung korrekt bleibt. Eine konkrete Zahl wird aber nicht angegeben, weshalb diese ''variabel'' bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. <math>x</math>. | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern.<br />
<br />
Beispiele sind:<br />
<br />
<math>x+y</math> oder <br />
<br />
<math>d\cdot (3+5x)</math> oder <br />
<br />
<math>3+4-2</math>.<br />
| Merksatz}}|2=Definition Term|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Gleichung |2=Eine '''Gleichung '''ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei '''Termen '''besteht, die durch ein „<math>=</math>“–Zeichen miteinander verbunden sind.| 3=Merksatz}}|2=Definition Gleichung|3=Definition verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1={{Box| 1=Lösungsmenge |2=Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird '''Lösungsmenge''' <math>\mathbb{L}</math> genannt. <br />
<br />
'''Beispiel:''' <br />
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}}<br />
<br />
===Alles in der Waage===<br />
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | 2=Bring die Waage für verschiedene <math>x</math> ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" /><br />
===Gleichungen lösen===<br />
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | <br />
Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, musst du sie zunächst nach der Variable auflösen. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:<br />
<br />
<math>(x+5)^{2}=x^{2}+35</math>.<br />
<br />
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst die binomische Formel berechnen.<br />
<br />
<math>\begin{align} && (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>x</math> auflösen.<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35 & &\mid -x^{2}\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x+25&=35 & &\mid -25\\<br />
\Leftrightarrow & & 10x&=10 & &\mid :10\\<br />
\Leftrightarrow & & x&=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & &(1+5)^{2}&=1^{2}+35\\<br />
\Leftrightarrow & & 36&=36<br />
\end{align}</math>.<br />
<br />
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{1\}</math>.<br />
| Hervorhebung1}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| <br />
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch.<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
'''a)''' <math>x^{2}-64=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & x^{2}-64 &=0 & &\mid +64\\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2} &=64 & &\mid \pm \sqrt{}\\<br />
\Leftrightarrow & & x =-8 &\lor x=8\\<br />
& & \mathbb{L}=\{-8,8\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & (-8)^{2}-64 &=0 \\<br />
\Leftrightarrow & & 64-64 &=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0 &=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 8^{2}-64 &=0 \\<br />
\Leftrightarrow & & 64-64 &=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0 &=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
'''b)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\<br />
\Leftrightarrow & & -1 &=1<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>.<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''c)''' <math>x\cdot (x-5)=0</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & x\cdot (x-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & x=0 &\or x-5=0\\<br />
\Leftrightarrow & & x=0 &\or x=5\\<br />
& & \mathbb{L}\{0,5\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<br />
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\<br />
\Leftrightarrow & & 0&=0<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''d)''' <math>3x+7=16</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\<br />
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=3\\<br />
& & \mathbb{L}=\{3\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\<br />
\Leftrightarrow & & 16 &=16<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
'''e)''' <math>(x+3)^{2}-x^{2}=25</math><br />
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\<br />
\Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\<br />
\Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\<br />
& & \mathbb{L}=\{\frac{8}{3}\}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
Probe: <br />
<math>\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\<br />
\Leftrightarrow & & 25 &=25\\<br />
\end{align}</math><br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
===Zahlenrätsel===<br />
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl| Wenn man <math>12</math> mit dem Doppelten einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.| Arbeitsmethode}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Überleg dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:<br />
<br />
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math><br />
<br />
<math>12</math> mit dem Doppelten einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.<br />
<br />
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.<br />
<br />
Wir erhalten also die Gleichung:<br />
<math>2x+12=4x</math>.<br />
<br />
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.<br />
<br />
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}<br />
</math>.<br />
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.|2=Lösung<br />
|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?|Arbeitsmethode}}<br /><br />
{{Lösung versteckt|Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|Tipp|Tipp ausklappen}}{{Lösung versteckt|Leon ist <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist <math>36</math> Jahre alt.|Lösung|Lösung versteckt}}<br />
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===<br />
{{Box | Beispiel 2: Titel| Beispiel | Hervorhebung1}}<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken | [[Datei:Spielfeld.jpg|200px|rechts]] Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Volleyballfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. <br />
<br />
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. <br />
<br />
Diese Gleichung können wir lösen:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\<br />
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\<br />
\Leftrightarrow & & x &=9<br />
\end{align} </math>.<br />
<br />
Probe:<br />
<br />
<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\<br />
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\<br />
\end{align}</math><br />
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | <br />
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,10</math> m. <br />
<br />
'''a)''' Beschreibe die Stapelhöhe durch einen Term. <br />
<br />
'''b)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? <br />
<br />
'''c)''' In dem Lager, mit einer Grundfläche von <math>10</math>x<math>10</math> m werden zurzeit auch Tische abgestellt. Jeder Tisch hat eine Grundfläche von <math>1</math> m² und eine Höhe von <math>90</math> cm. Wie viele Getränkekisten finden im Lager Platz, wenn dieses bereits durch zehn Tische belegt ist? | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
{{Lösung versteckt|1=Inhalt des Tipps|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Inhalt des Tipps.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Lösungsweg|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}</div>Annika WWU-7