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Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-16T12:05:44Z
<p>Alina WWU-7: /* Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pg7bfsfba20}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal [[#Einführung|oben]] in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den [[#Einführung|Beispielen]] können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-\left({1\over 4}y-\left(5x+3z\right)-\left(x+{5\over 8}y-2z\right)\right) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Rechteck| 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Rechtecks ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel [[#Terme ausmultiplizieren|Terme ausmultiplizieren]] an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= '''a)''' Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die [[#Terme faktorisieren|Beispiele]] aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''(i)''' <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
'''(ii)''' <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
'''(iii)''' <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
'''b)''' Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''(i)''' <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
'''(ii)''' <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
'''c)''' Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst und bei b) wie dein erster Zwischenschritt aussieht. Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum [[#Terme faktorisieren|''Faktorisieren'']] erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''(i)''' <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
'''(ii)''' <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
'''(iii)''' <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= '''a)''' Wie lang ist die Strecke <math> x </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac={\color{green}6a} \cdot 5b + {\color{green}6a} \cdot 2c = {\color{green}6a}(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> x </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> 6a({\color{green}5b}+2c) </math> mit <math> 6a({\color{green}x}+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>x=5b</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
'''b)''' Wie lang ist die Strecke <math> y </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobelaufgabe.jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 49ab+49ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 49ab+49ac={\color{green}7a} \cdot 7b + {\color{green}7a} \cdot 7c = {\color{green}7a}(7b+7c) </math> <br /> <br />
Du könntest zwar auch <math>49a</math> ausklammern, allerdings würde dich das in Bezug auf die Aufgabe nicht weiterbringen. Denn in der Aufgabe sind die Seitenlängen <math>{\color{blue}7b}</math> und <math>{\color{blue}7c}</math> gegeben, die sich im Term <math>7a({\color{blue}7b}+{\color{blue}7c})</math> wiederspiegeln. <br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> y </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> y(7b+7c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> {\color{green}7a}(7b+7c) </math> mit <math> {\color{green}y}(7b+7c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>y=7a</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> y = </math> '''7a()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der '''1. binomischen Formel''' kennengelernt. Die Herleitungen der '''2. und 3. binomischen Formel''' erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für <math>a</math> und <math>b</math> können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für <math>a</math> und <math>b</math> können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für <math>a</math> und <math>b</math> einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1{,}34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1{,}37-2)(1{,}37+2)</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b) <math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c) <math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d) <math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e) <math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f) <math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
'''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp 1|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Wir suchen die passende binomische Formel für den Term <math> 9x^2-6xy+y^2 </math>.<br />
Die Anzahl der Summanden bzw. Minuenden geben uns Auskunft darüber, welche binomische Formel wir anwenden können. In diesem Fall haben wir '''zwei Summanden''' und '''einen Minuenden'''. Dies stimmt mit der '''2. binomischen Formel''' überein: <br /><br />
<div align="center"> <math>(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 </math>. Unsere binomische Formel hat also die Form <math>(a-b)^2 </math>. </div> <br /><br />
Nun müssen wir noch a und b herausfinden. Wir wissen, dass <math> a^2 = 9x^2 </math> und <math> b^2 = y^2 </math>. <br />
Nun ziehen wir aus diesen Ausdrücken die Wurzel, um a und b zu erhalten: <br /><br />
<div align="center"> <math> a = \sqrt{a^2} = \sqrt{9x^2} = 3x </math> und <math> b = \sqrt{b^2} = \sqrt{y^2} = y </math>. </div><br />
Also lautet die binomische Formel <math> (3x-y)^2 </math>. <br />
<br /> <br /><br />
Probe:<div align="center"> <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math>. </div> <br /><br />
Das Vorgehen für die 1. und 3. binomische Formel erfolgt sehr ähnlich. Falls du trotzdem Probleme beim Lösen der Aufgabe hast, siehe dir Tipp 2 an.|2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
* Bei '''drei Summanden''' wendest du die '''1. binomische Formel''' an.<br />
* Bei '''zwei Summanden und einem Minuenden''' wendest du die '''2. binomische Formel''' an.<br />
* Bei '''einem Summanden und einem Minuenden''' wendest du die '''3. binomische Formel''' an.|2=Tipp 2|3=Tipp ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=39773
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-16T12:04:45Z
<p>Alina WWU-7: /* Aufgabe */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pg7bfsfba20}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal [[#Einführung|oben]] in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den [[#Einführung|Beispielen]] können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-\left({1\over 4}y-\left(5x+3z\right)-\left(x+{5\over 8}y-2z\right)\right) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Rechteck| 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Rechtecks ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel [[#Terme ausmultiplizieren|Terme ausmultiplizieren]] an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= '''a)''' Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die [[#Terme faktorisieren|Beispiele]] aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''(i)''' <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
'''(ii)''' <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
'''(iii)''' <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
'''b)''' Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''(i)''' <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
'''(ii)''' <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
'''c)''' Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst und bei b) wie dein erster Zwischenschritt aussieht. Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum [[#Terme faktorisieren|''Faktorisieren'']] erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''(i)''' <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
'''(ii)''' <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
'''(iii)''' <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= (a) Wie lang ist die Strecke <math> x </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac={\color{green}6a} \cdot 5b + {\color{green}6a} \cdot 2c = {\color{green}6a}(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> x </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> 6a({\color{green}5b}+2c) </math> mit <math> 6a({\color{green}x}+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>x=5b</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
(b) Wie lang ist die Strecke <math> y </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobelaufgabe.jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 49ab+49ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 49ab+49ac={\color{green}7a} \cdot 7b + {\color{green}7a} \cdot 7c = {\color{green}7a}(7b+7c) </math> <br /> <br />
Du könntest zwar auch <math>49a</math> ausklammern, allerdings würde dich das in Bezug auf die Aufgabe nicht weiterbringen. Denn in der Aufgabe sind die Seitenlängen <math>{\color{blue}7b}</math> und <math>{\color{blue}7c}</math> gegeben, die sich im Term <math>7a({\color{blue}7b}+{\color{blue}7c})</math> wiederspiegeln. <br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> y </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> y(7b+7c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> {\color{green}7a}(7b+7c) </math> mit <math> {\color{green}y}(7b+7c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>y=7a</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> y = </math> '''7a()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der '''1. binomischen Formel''' kennengelernt. Die Herleitungen der '''2. und 3. binomischen Formel''' erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für <math>a</math> und <math>b</math> können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für <math>a</math> und <math>b</math> können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für <math>a</math> und <math>b</math> einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1{,}34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1{,}37-2)(1{,}37+2)</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b) <math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c) <math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d) <math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e) <math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f) <math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
'''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp 1|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Wir suchen die passende binomische Formel für den Term <math> 9x^2-6xy+y^2 </math>.<br />
Die Anzahl der Summanden bzw. Minuenden geben uns Auskunft darüber, welche binomische Formel wir anwenden können. In diesem Fall haben wir '''zwei Summanden''' und '''einen Minuenden'''. Dies stimmt mit der '''2. binomischen Formel''' überein: <br /><br />
<div align="center"> <math>(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 </math>. Unsere binomische Formel hat also die Form <math>(a-b)^2 </math>. </div> <br /><br />
Nun müssen wir noch a und b herausfinden. Wir wissen, dass <math> a^2 = 9x^2 </math> und <math> b^2 = y^2 </math>. <br />
Nun ziehen wir aus diesen Ausdrücken die Wurzel, um a und b zu erhalten: <br /><br />
<div align="center"> <math> a = \sqrt{a^2} = \sqrt{9x^2} = 3x </math> und <math> b = \sqrt{b^2} = \sqrt{y^2} = y </math>. </div><br />
Also lautet die binomische Formel <math> (3x-y)^2 </math>. <br />
<br /> <br /><br />
Probe:<div align="center"> <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math>. </div> <br /><br />
Das Vorgehen für die 1. und 3. binomische Formel erfolgt sehr ähnlich. Falls du trotzdem Probleme beim Lösen der Aufgabe hast, siehe dir Tipp 2 an.|2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
* Bei '''drei Summanden''' wendest du die '''1. binomische Formel''' an.<br />
* Bei '''zwei Summanden und einem Minuenden''' wendest du die '''2. binomische Formel''' an.<br />
* Bei '''einem Summanden und einem Minuenden''' wendest du die '''3. binomische Formel''' an.|2=Tipp 2|3=Tipp ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=39772
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-16T12:04:07Z
<p>Alina WWU-7: /* Aufgabe */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pg7bfsfba20}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal [[#Einführung|oben]] in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den [[#Einführung|Beispielen]] können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-\left({1\over 4}y-\left(5x+3z\right)-\left(x+{5\over 8}y-2z\right)\right) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Rechteck| 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Rechtecks ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel [[#Terme ausmultiplizieren|Terme ausmultiplizieren]] an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
'''a)''' <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= '''a)''' Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die [[#Terme faktorisieren|Beispiele]] aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''(i)''' <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
'''(ii)''' <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
'''(iii)''' <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
'''b)''' Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''(i)''' <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
'''(ii)''' <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
'''c)''' Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst und bei b) wie dein erster Zwischenschritt aussieht. Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum [[#Terme faktorisieren|''Faktorisieren'']] erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''(i)''' <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
'''(ii)''' <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
'''(iii)''' <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= (a) Wie lang ist die Strecke <math> x </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac={\color{green}6a} \cdot 5b + {\color{green}6a} \cdot 2c = {\color{green}6a}(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> x </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> 6a({\color{green}5b}+2c) </math> mit <math> 6a({\color{green}x}+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>x=5b</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
(b) Wie lang ist die Strecke <math> y </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobelaufgabe.jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 49ab+49ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 49ab+49ac={\color{green}7a} \cdot 7b + {\color{green}7a} \cdot 7c = {\color{green}7a}(7b+7c) </math> <br /> <br />
Du könntest zwar auch <math>49a</math> ausklammern, allerdings würde dich das in Bezug auf die Aufgabe nicht weiterbringen. Denn in der Aufgabe sind die Seitenlängen <math>{\color{blue}7b}</math> und <math>{\color{blue}7c}</math> gegeben, die sich im Term <math>7a({\color{blue}7b}+{\color{blue}7c})</math> wiederspiegeln. <br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> y </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> y(7b+7c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> {\color{green}7a}(7b+7c) </math> mit <math> {\color{green}y}(7b+7c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>y=7a</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> y = </math> '''7a()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der '''1. binomischen Formel''' kennengelernt. Die Herleitungen der '''2. und 3. binomischen Formel''' erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für <math>a</math> und <math>b</math> können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für <math>a</math> und <math>b</math> können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für <math>a</math> und <math>b</math> einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1{,}34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1{,}37-2)(1{,}37+2)</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b) <math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c) <math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d) <math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e) <math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f) <math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
'''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp 1|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Wir suchen die passende binomische Formel für den Term <math> 9x^2-6xy+y^2 </math>.<br />
Die Anzahl der Summanden bzw. Minuenden geben uns Auskunft darüber, welche binomische Formel wir anwenden können. In diesem Fall haben wir '''zwei Summanden''' und '''einen Minuenden'''. Dies stimmt mit der '''2. binomischen Formel''' überein: <br /><br />
<div align="center"> <math>(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 </math>. Unsere binomische Formel hat also die Form <math>(a-b)^2 </math>. </div> <br /><br />
Nun müssen wir noch a und b herausfinden. Wir wissen, dass <math> a^2 = 9x^2 </math> und <math> b^2 = y^2 </math>. <br />
Nun ziehen wir aus diesen Ausdrücken die Wurzel, um a und b zu erhalten: <br /><br />
<div align="center"> <math> a = \sqrt{a^2} = \sqrt{9x^2} = 3x </math> und <math> b = \sqrt{b^2} = \sqrt{y^2} = y </math>. </div><br />
Also lautet die binomische Formel <math> (3x-y)^2 </math>. <br />
<br /> <br /><br />
Probe:<div align="center"> <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math>. </div> <br /><br />
Das Vorgehen für die 1. und 3. binomische Formel erfolgt sehr ähnlich. Falls du trotzdem Probleme beim Lösen der Aufgabe hast, siehe dir Tipp 2 an.|2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
* Bei '''drei Summanden''' wendest du die '''1. binomische Formel''' an.<br />
* Bei '''zwei Summanden und einem Minuenden''' wendest du die '''2. binomische Formel''' an.<br />
* Bei '''einem Summanden und einem Minuenden''' wendest du die '''3. binomische Formel''' an.|2=Tipp 2|3=Tipp ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=39771
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-16T12:03:26Z
<p>Alina WWU-7: /* Aufgabe */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pg7bfsfba20}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal [[#Einführung|oben]] in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den [[#Einführung|Beispielen]] können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-\left({1\over 4}y-\left(5x+3z\right)-\left(x+{5\over 8}y-2z\right)\right) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Rechteck| 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Rechtecks ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel [[#Terme ausmultiplizieren|Terme ausmultiplizieren]] an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= '''a)''' Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die [[#Terme faktorisieren|Beispiele]] aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''(i)''' <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
'''(ii)''' <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
'''(iii)''' <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
'''b)''' Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''(i)''' <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
'''(ii)''' <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
'''c)''' Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst und bei b) wie dein erster Zwischenschritt aussieht. Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum [[#Terme faktorisieren|''Faktorisieren'']] erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''(i)''' <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
'''(ii)''' <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
'''(iii)''' <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= (a) Wie lang ist die Strecke <math> x </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac={\color{green}6a} \cdot 5b + {\color{green}6a} \cdot 2c = {\color{green}6a}(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> x </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> 6a({\color{green}5b}+2c) </math> mit <math> 6a({\color{green}x}+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>x=5b</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
(b) Wie lang ist die Strecke <math> y </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobelaufgabe.jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 49ab+49ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 49ab+49ac={\color{green}7a} \cdot 7b + {\color{green}7a} \cdot 7c = {\color{green}7a}(7b+7c) </math> <br /> <br />
Du könntest zwar auch <math>49a</math> ausklammern, allerdings würde dich das in Bezug auf die Aufgabe nicht weiterbringen. Denn in der Aufgabe sind die Seitenlängen <math>{\color{blue}7b}</math> und <math>{\color{blue}7c}</math> gegeben, die sich im Term <math>7a({\color{blue}7b}+{\color{blue}7c})</math> wiederspiegeln. <br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> y </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> y(7b+7c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> {\color{green}7a}(7b+7c) </math> mit <math> {\color{green}y}(7b+7c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>y=7a</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> y = </math> '''7a()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der '''1. binomischen Formel''' kennengelernt. Die Herleitungen der '''2. und 3. binomischen Formel''' erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für <math>a</math> und <math>b</math> können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für <math>a</math> und <math>b</math> können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für <math>a</math> und <math>b</math> einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1{,}34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1{,}37-2)(1{,}37+2)</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b) <math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c) <math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d) <math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e) <math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f) <math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
'''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp 1|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Wir suchen die passende binomische Formel für den Term <math> 9x^2-6xy+y^2 </math>.<br />
Die Anzahl der Summanden bzw. Minuenden geben uns Auskunft darüber, welche binomische Formel wir anwenden können. In diesem Fall haben wir '''zwei Summanden''' und '''einen Minuenden'''. Dies stimmt mit der '''2. binomischen Formel''' überein: <br /><br />
<div align="center"> <math>(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 </math>. Unsere binomische Formel hat also die Form <math>(a-b)^2 </math>. </div> <br /><br />
Nun müssen wir noch a und b herausfinden. Wir wissen, dass <math> a^2 = 9x^2 </math> und <math> b^2 = y^2 </math>. <br />
Nun ziehen wir aus diesen Ausdrücken die Wurzel, um a und b zu erhalten: <br /><br />
<div align="center"> <math> a = \sqrt{a^2} = \sqrt{9x^2} = 3x </math> und <math> b = \sqrt{b^2} = \sqrt{y^2} = y </math>. </div><br />
Also lautet die binomische Formel <math> (3x-y)^2 </math>. <br />
<br /> <br /><br />
Probe:<div align="center"> <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math>. </div> <br /><br />
Das Vorgehen für die 1. und 3. binomische Formel erfolgt sehr ähnlich. Falls du trotzdem Probleme beim Lösen der Aufgabe hast, siehe dir Tipp 2 an.|2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
* Bei '''drei Summanden''' wendest du die '''1. binomische Formel''' an.<br />
* Bei '''zwei Summanden und einem Minuenden''' wendest du die '''2. binomische Formel''' an.<br />
* Bei '''einem Summanden und einem Minuenden''' wendest du die '''3. binomische Formel''' an.|2=Tipp 2|3=Tipp ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=39769
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-16T12:01:46Z
<p>Alina WWU-7: /* Aufgabe */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pg7bfsfba20}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal [[#Einführung|oben]] in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den [[#Einführung|Beispielen]] können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-\left({1\over 4}y-\left(5x+3z\right)-\left(x+{5\over 8}y-2z\right)\right) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Rechteck| 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Rechtecks ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel [[#Terme ausmultiplizieren|Terme ausmultiplizieren]] an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= '''a)''' Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die [[#Terme faktorisieren|Beispiele]] aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''(i)''' <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
'''(ii)''' <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
'''(iii)''' <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
'''b)''' Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
'''c)''' Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst und bei b) wie dein erster Zwischenschritt aussieht. Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum [[#Terme faktorisieren|''Faktorisieren'']] erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= (a) Wie lang ist die Strecke <math> x </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac={\color{green}6a} \cdot 5b + {\color{green}6a} \cdot 2c = {\color{green}6a}(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> x </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> 6a({\color{green}5b}+2c) </math> mit <math> 6a({\color{green}x}+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>x=5b</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
(b) Wie lang ist die Strecke <math> y </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobelaufgabe.jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 49ab+49ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 49ab+49ac={\color{green}7a} \cdot 7b + {\color{green}7a} \cdot 7c = {\color{green}7a}(7b+7c) </math> <br /> <br />
Du könntest zwar auch <math>49a</math> ausklammern, allerdings würde dich das in Bezug auf die Aufgabe nicht weiterbringen. Denn in der Aufgabe sind die Seitenlängen <math>{\color{blue}7b}</math> und <math>{\color{blue}7c}</math> gegeben, die sich im Term <math>7a({\color{blue}7b}+{\color{blue}7c})</math> wiederspiegeln. <br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> y </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> y(7b+7c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> {\color{green}7a}(7b+7c) </math> mit <math> {\color{green}y}(7b+7c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>y=7a</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> y = </math> '''7a()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der '''1. binomischen Formel''' kennengelernt. Die Herleitungen der '''2. und 3. binomischen Formel''' erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für <math>a</math> und <math>b</math> können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für <math>a</math> und <math>b</math> können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für <math>a</math> und <math>b</math> einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1{,}34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1{,}37-2)(1{,}37+2)</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b) <math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c) <math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d) <math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e) <math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f) <math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
'''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp 1|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Wir suchen die passende binomische Formel für den Term <math> 9x^2-6xy+y^2 </math>.<br />
Die Anzahl der Summanden bzw. Minuenden geben uns Auskunft darüber, welche binomische Formel wir anwenden können. In diesem Fall haben wir '''zwei Summanden''' und '''einen Minuenden'''. Dies stimmt mit der '''2. binomischen Formel''' überein: <br /><br />
<div align="center"> <math>(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 </math>. Unsere binomische Formel hat also die Form <math>(a-b)^2 </math>. </div> <br /><br />
Nun müssen wir noch a und b herausfinden. Wir wissen, dass <math> a^2 = 9x^2 </math> und <math> b^2 = y^2 </math>. <br />
Nun ziehen wir aus diesen Ausdrücken die Wurzel, um a und b zu erhalten: <br /><br />
<div align="center"> <math> a = \sqrt{a^2} = \sqrt{9x^2} = 3x </math> und <math> b = \sqrt{b^2} = \sqrt{y^2} = y </math>. </div><br />
Also lautet die binomische Formel <math> (3x-y)^2 </math>. <br />
<br /> <br /><br />
Probe:<div align="center"> <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math>. </div> <br /><br />
Das Vorgehen für die 1. und 3. binomische Formel erfolgt sehr ähnlich. Falls du trotzdem Probleme beim Lösen der Aufgabe hast, siehe dir Tipp 2 an.|2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
* Bei '''drei Summanden''' wendest du die '''1. binomische Formel''' an.<br />
* Bei '''zwei Summanden und einem Minuenden''' wendest du die '''2. binomische Formel''' an.<br />
* Bei '''einem Summanden und einem Minuenden''' wendest du die '''3. binomische Formel''' an.|2=Tipp 2|3=Tipp ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=39768
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-16T12:01:09Z
<p>Alina WWU-7: /* Aufgabe */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pg7bfsfba20}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal [[#Einführung|oben]] in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den [[#Einführung|Beispielen]] können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-\left({1\over 4}y-\left(5x+3z\right)-\left(x+{5\over 8}y-2z\right)\right) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Rechteck| 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Rechtecks ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel [[#Terme ausmultiplizieren|Terme ausmultiplizieren]] an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= '''a)''' Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die [[#Terme faktorisieren|Beispiele]] aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
'''b)''' Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
'''c)''' Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst und bei b) wie dein erster Zwischenschritt aussieht. Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum [[#Terme faktorisieren|''Faktorisieren'']] erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= (a) Wie lang ist die Strecke <math> x </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac={\color{green}6a} \cdot 5b + {\color{green}6a} \cdot 2c = {\color{green}6a}(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> x </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> 6a({\color{green}5b}+2c) </math> mit <math> 6a({\color{green}x}+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>x=5b</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
(b) Wie lang ist die Strecke <math> y </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobelaufgabe.jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 49ab+49ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 49ab+49ac={\color{green}7a} \cdot 7b + {\color{green}7a} \cdot 7c = {\color{green}7a}(7b+7c) </math> <br /> <br />
Du könntest zwar auch <math>49a</math> ausklammern, allerdings würde dich das in Bezug auf die Aufgabe nicht weiterbringen. Denn in der Aufgabe sind die Seitenlängen <math>{\color{blue}7b}</math> und <math>{\color{blue}7c}</math> gegeben, die sich im Term <math>7a({\color{blue}7b}+{\color{blue}7c})</math> wiederspiegeln. <br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> y </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> y(7b+7c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> {\color{green}7a}(7b+7c) </math> mit <math> {\color{green}y}(7b+7c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>y=7a</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> y = </math> '''7a()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der '''1. binomischen Formel''' kennengelernt. Die Herleitungen der '''2. und 3. binomischen Formel''' erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für <math>a</math> und <math>b</math> können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für <math>a</math> und <math>b</math> können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für <math>a</math> und <math>b</math> einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1{,}34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1{,}37-2)(1{,}37+2)</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b) <math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c) <math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d) <math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e) <math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f) <math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
'''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp 1|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
Wir suchen die passende binomische Formel für den Term <math> 9x^2-6xy+y^2 </math>.<br />
Die Anzahl der Summanden bzw. Minuenden geben uns Auskunft darüber, welche binomische Formel wir anwenden können. In diesem Fall haben wir '''zwei Summanden''' und '''einen Minuenden'''. Dies stimmt mit der '''2. binomischen Formel''' überein: <br /><br />
<div align="center"> <math>(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 </math>. Unsere binomische Formel hat also die Form <math>(a-b)^2 </math>. </div> <br /><br />
Nun müssen wir noch a und b herausfinden. Wir wissen, dass <math> a^2 = 9x^2 </math> und <math> b^2 = y^2 </math>. <br />
Nun ziehen wir aus diesen Ausdrücken die Wurzel, um a und b zu erhalten: <br /><br />
<div align="center"> <math> a = \sqrt{a^2} = \sqrt{9x^2} = 3x </math> und <math> b = \sqrt{b^2} = \sqrt{y^2} = y </math>. </div><br />
Also lautet die binomische Formel <math> (3x-y)^2 </math>. <br />
<br /> <br /><br />
Probe:<div align="center"> <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math>. </div> <br /><br />
Das Vorgehen für die 1. und 3. binomische Formel erfolgt sehr ähnlich. Falls du trotzdem Probleme beim Lösen der Aufgabe hast, siehe dir Tipp 2 an.|2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
* Bei '''drei Summanden''' wendest du die '''1. binomische Formel''' an.<br />
* Bei '''zwei Summanden und einem Minuenden''' wendest du die '''2. binomische Formel''' an.<br />
* Bei '''einem Summanden und einem Minuenden''' wendest du die '''3. binomische Formel''' an.|2=Tipp 2|3=Tipp ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8&diff=38588
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8
2020-12-05T17:51:23Z
<p>Alina WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Fit für VERA-8"!<br />
<br />
Hier entsteht im Wintersemester 2020/2021 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 8 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].<br />
<br />
[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad}}<br />
<br />
Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung. Die ersten beiden Items sind Beispielitems.<br />
<br />
<quiz display="simple"><br />
{ Der Differenzenquotient <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> beschreibt die momentane Änderungsrate. }<br />
- Wahr<br />
+ Falsch<br />
<br />
{ Was ergibt 1+1? }<br />
+ 1<br />
+ 2<br />
+ 3<br />
+ 4<br />
<br />
{ Wie werden nicht sichtbare Linien in einem Schrägbild gezeichnet? }<br />
- Sie werden fett gezeichnet.<br />
- Sie werden nicht gezeichnet.<br />
+ Sie werden gestrichelt gezeichnet.<br />
<br />
{ Ein regulärer Tetraeder ist ein Pyramide, die... }<br />
+ ...eine dreieckige Grundfläche besitzt.<br />
+ ...vier kongruente gleichseitige Dreiecke als Fläche hat.<br />
- ...sechs ungleich lange Kanten hat.<br />
<br />
{ Wann nennt man eine Figur unmöglich? }<br />
+ Unmöglichen Figuren basieren darauf, dass unerlaubte Wechsel in der Perspektive eingebaut werden.<br />
- Sie sind unsichtbar.<br />
- Wenn mehr als zwei Seiten parallel zueinander sind.<br />
<br />
{ Dummy zu Thema b) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema b) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema b) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{Ein Würfel wird <math>100</math> mal geworfen und <math>15</math> mal kommt die Würfelzahl 4 heraus. Dann ist <math>15</math> die...}<br />
- ... relative Häufigkeit.<br />
+ ... absolute Häufigkeit.<br />
<br />
{[[Datei:Stochastik Bayestheorem Urnenversuch.png|mini|zentriert]] Die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig zwei rote Kugeln aus Urne A zu ziehen, ist größer als die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig zwei weiße Kugeln aus Urne B zu ziehen.}<br />
- wahr<br />
+ falsch<br />
<br />
{Welche der folgenden Aussagen treffen auf ein Laplace-Experiment zu?}<br />
+ Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich.<br />
- Das Werfen des Würfels mit den Seiten 1,1,1,3,5,5 ist ein Laplace-Experiment.<br />
+ Das Werfen einer Münze ist ein Laplace-Experiment.<br />
<br />
{ Dummy zu Thema d) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema d) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema d) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ [[Datei:Geogebra-export.png|mini|rechts| 300px]]Welche Funktionsgleichung passt zu dem rechts abgebildeten Funktionsgraphen? }<br />
- <math> f(x)= -\frac{1}{2}x+3 </math><br />
- <math> f(x)= 2x+1 </math><br />
+ <math> f(x)= \frac{1}{2}x-\frac{3}{2} </math><br />
- <math> f(x)= 2x-\frac{3}{2} </math><br />
<br />
{ Bei der Nullstelle einer linearen Funktion gilt im Allgemeinen }<br />
+ <math> f(x)=0 </math>.<br />
- <math> x=0 </math>.<br />
<br />
{ Gegeben sind die beiden Funktionsgleichungen <math> f(x)=3x-2 </math> und <math> g(x)=-\frac{1}{3}x+4</math>. </br> Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Wähle alle richtigen Aussagen aus. Es können auch mehrere Aussagen richtig sein. }<br />
- Die beiden Geraden schneiden sich in ''keinem'' Punkt.<br />
+ Die beiden Geraden haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.<br />
+ Die Gerade <math>f</math> steigt.<br />
- Die Gerade <math>g</math> hat die Steigung <math>4</math> und den <math>y</math>-Abschnitt <math>-\frac{1}{3}</math>.<br />
<br />
<br />
{ Dummy zu Thema f) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema f) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema f) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Vereinfache den folgenden Term: <math> 5x+3y-(2x+y)+4y-(y-x)</math>. Kreuze die richtige Lösung an.}<br />
- <math>6x+9y</math><br />
- <math>2x+7y</math><br />
+ <math>4x+5y</math><br />
<br />
{ Was fehlt in der Klammer? <math>-6x+18xy=-6x \cdot (...)</math> }<br />
+ <math>1-3y</math><br />
- <math>1+3y</math><br />
- <math>-1+3y</math><br />
- <math>x+3xy</math><br />
<br />
{Löse unter Verwendung einer binomischen Formel. <math> (3-2x)^2 = ... </math> }<br />
- <math> 9-6x+4x^2 </math><br />
- <math> 9-3x+4x </math><br />
+ <math> 9-12x+4x^2 </math><br />
- <math> 9+12x-4x^2 </math><br />
<br />
</quiz><br />
<br />
<br />
Die Lernpfadkapitel:<br />
<br />
*[[/Unmögliche Figuren und Schrägbilder|Unmögliche Figuren und Schrägbilder]]<br />
*[[/Einfache Gleichungen|Einfache Gleichungen]]<br />
*[[/Stochastik|Stochastik]]<br />
*[[/Zinsrechnung|Zinsrechnung]]<br />
*[[/Lineare Funktionen|Lineare Funktionen]]<br />
*[[/Volumen und Oberfläche des Prismas|Volumen und Oberfläche des Prismas]]<br />
*[[/Terme|Terme]]</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8&diff=38513
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8
2020-12-04T16:01:21Z
<p>Alina WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Fit für VERA-8"!<br />
<br />
Hier entsteht im Wintersemester 2020/2021 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 8 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].<br />
<br />
[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad}}<br />
<br />
Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung. Die ersten beiden Items sind Beispielitems.<br />
<br />
<quiz display="simple"><br />
{ Der Differenzenquotient <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> beschreibt die momentane Änderungsrate. }<br />
- Wahr<br />
+ Falsch<br />
<br />
{ Was ergibt 1+1? }<br />
+ 1<br />
+ 2<br />
+ 3<br />
+ 4<br />
<br />
{ Wie werden nicht sichtbare Linien in einem Schrägbild gezeichnet? }<br />
- Sie werden fett gezeichnet.<br />
- Sie werden nicht gezeichnet.<br />
+ Sie werden gestrichelt gezeichnet.<br />
<br />
{ Ein regulärer Tetraeder ist ein Pyramide, die... }<br />
+ ...eine dreieckige Grundfläche besitzt.<br />
+ ...vier kongruente gleichseitige Dreiecke als Fläche hat.<br />
- ...sechs ungleich lange Kanten hat.<br />
<br />
{ Wann nennt man eine Figur unmöglich? }<br />
+ Unmöglichen Figuren basieren darauf, dass unerlaubte Wechsel in der Perspektive eingebaut werden.<br />
- Sie sind unsichtbar.<br />
- Wenn mehr als zwei Seiten parallel zueinander sind.<br />
<br />
{ Dummy zu Thema b) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema b) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema b) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{Ein Würfel wird <math>100</math> mal geworfen und <math>15</math> mal kommt die Würfelzahl 4 heraus. Dann ist <math>15</math> die...}<br />
- ... relative Häufigkeit.<br />
+ ... absolute Häufigkeit.<br />
<br />
{[[Datei:Stochastik Bayestheorem Urnenversuch.png|mini|zentriert]] Die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig zwei rote Kugeln aus Urne A zu ziehen, ist größer als die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig zwei weiße Kugeln aus Urne B zu ziehen.}<br />
- wahr<br />
+ falsch<br />
<br />
{Welche der folgenden Aussagen treffen auf ein Laplace-Experiment zu?}<br />
+ Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich.<br />
- Das Werfen des Würfels mit den Seiten 1,1,1,3,5,5 ist ein Laplace-Experiment.<br />
+ Das Werfen einer Münze ist ein Laplace-Experiment.<br />
<br />
{ Dummy zu Thema d) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema d) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema d) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ [[Datei:Geogebra-export.png|mini|rechts| 300px]]Welche Funktionsgleichung passt zu dem rechts abgebildeten Funktionsgraphen? }<br />
- <math> f(x)= -\frac{1}{2}x+3 </math><br />
- <math> f(x)= 2x+1 </math><br />
+ <math> f(x)= \frac{1}{2}x-\frac{3}{2} </math><br />
- <math> f(x)= 2x-\frac{3}{2} </math><br />
<br />
{ Bei der Nullstelle einer linearen Funktion gilt im Allgemeinen }<br />
+ <math> f(x)=0 </math>.<br />
- <math> x=0 </math>.<br />
<br />
{ Gegeben sind die beiden Funktionsgleichungen <math> f(x)=3x-2 </math> und <math> g(x)=-\frac{1}{3}x+4</math>. </br> Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Wähle alle richtigen Aussagen aus. Es können auch mehrere Aussagen richtig sein. }<br />
- Die beiden Geraden schneiden sich in ''keinem'' Punkt.<br />
+ Die beiden Geraden haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.<br />
+ Die Gerade <math>f</math> steigt.<br />
- Die Gerade <math>g</math> hat die Steigung <math>4</math> und den <math>y</math>-Abschnitt <math>-\frac{1}{3}</math>.<br />
<br />
<br />
{ Dummy zu Thema f) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema f) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema f) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Vereinfache den folgenden Term: <math> 5x+3y-(2x+y)+4y-(y-x)</math>. Kreuze die richtige Lösung an.}<br />
- <math>6x+9y</math><br />
- <math>2x+7y</math><br />
+ <math>4x+5y</math><br />
<br />
{ Was fehlt in der Klammer? <math>-6x+18y=-6x \cdot (...)</math> }<br />
+ <math>1-3y</math><br />
- <math>1+3y</math><br />
- <math>-1+3y</math><br />
- <math>x+3xy</math><br />
<br />
{ Dummy zu Thema g) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
<br />
Die Lernpfadkapitel:<br />
<br />
*[[/Unmögliche Figuren und Schrägbilder|Unmögliche Figuren und Schrägbilder]]<br />
*[[/Einfache Gleichungen|Einfache Gleichungen]]<br />
*[[/Stochastik|Stochastik]]<br />
*[[/Zinsrechnung|Zinsrechnung]]<br />
*[[/Lineare Funktionen|Lineare Funktionen]]<br />
*[[/Volumen und Oberfläche des Prismas|Volumen und Oberfläche des Prismas]]<br />
*[[/Terme|Terme]]</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8&diff=38512
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8
2020-12-04T15:57:55Z
<p>Alina WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Fit für VERA-8"!<br />
<br />
Hier entsteht im Wintersemester 2020/2021 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 8 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].<br />
<br />
[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad}}<br />
<br />
Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung. Die ersten beiden Items sind Beispielitems.<br />
<br />
<quiz display="simple"><br />
{ Der Differenzenquotient <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> beschreibt die momentane Änderungsrate. }<br />
- Wahr<br />
+ Falsch<br />
<br />
{ Was ergibt 1+1? }<br />
+ 1<br />
+ 2<br />
+ 3<br />
+ 4<br />
<br />
{ Wie werden nicht sichtbare Linien in einem Schrägbild gezeichnet? }<br />
- Sie werden fett gezeichnet.<br />
- Sie werden nicht gezeichnet.<br />
+ Sie werden gestrichelt gezeichnet.<br />
<br />
{ Ein regulärer Tetraeder ist ein Pyramide, die... }<br />
+ ...eine dreieckige Grundfläche besitzt.<br />
+ ...vier kongruente gleichseitige Dreiecke als Fläche hat.<br />
- ...sechs ungleich lange Kanten hat.<br />
<br />
{ Wann nennt man eine Figur unmöglich? }<br />
+ Unmöglichen Figuren basieren darauf, dass unerlaubte Wechsel in der Perspektive eingebaut werden.<br />
- Sie sind unsichtbar.<br />
- Wenn mehr als zwei Seiten parallel zueinander sind.<br />
<br />
{ Dummy zu Thema b) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema b) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema b) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{Ein Würfel wird <math>100</math> mal geworfen und <math>15</math> mal kommt die Würfelzahl 4 heraus. Dann ist <math>15</math> die...}<br />
- ... relative Häufigkeit.<br />
+ ... absolute Häufigkeit.<br />
<br />
{[[Datei:Stochastik Bayestheorem Urnenversuch.png|mini|zentriert]] Die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig zwei rote Kugeln aus Urne A zu ziehen, ist größer als die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig zwei weiße Kugeln aus Urne B zu ziehen.}<br />
- wahr<br />
+ falsch<br />
<br />
{Welche der folgenden Aussagen treffen auf ein Laplace-Experiment zu?}<br />
+ Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich.<br />
- Das Werfen des Würfels mit den Seiten 1,1,1,3,5,5 ist ein Laplace-Experiment.<br />
+ Das Werfen einer Münze ist ein Laplace-Experiment.<br />
<br />
{ Dummy zu Thema d) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema d) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema d) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ [[Datei:Geogebra-export.png|mini|rechts| 300px]]Welche Funktionsgleichung passt zu dem rechts abgebildeten Funktionsgraphen? }<br />
- <math> f(x)= -\frac{1}{2}x+3 </math><br />
- <math> f(x)= 2x+1 </math><br />
+ <math> f(x)= \frac{1}{2}x-\frac{3}{2} </math><br />
- <math> f(x)= 2x-\frac{3}{2} </math><br />
<br />
{ Bei der Nullstelle einer linearen Funktion gilt im Allgemeinen }<br />
+ <math> f(x)=0 </math>.<br />
- <math> x=0 </math>.<br />
<br />
{ Gegeben sind die beiden Funktionsgleichungen <math> f(x)=3x-2 </math> und <math> g(x)=-\frac{1}{3}x+4</math>. </br> Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Wähle alle richtigen Aussagen aus. Es können auch mehrere Aussagen richtig sein. }<br />
- Die beiden Geraden schneiden sich in ''keinem'' Punkt.<br />
+ Die beiden Geraden haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.<br />
+ Die Gerade <math>f</math> steigt.<br />
- Die Gerade <math>g</math> hat die Steigung <math>4</math> und den <math>y</math>-Abschnitt <math>-\frac{1}{3}</math>.<br />
<br />
<br />
{ Dummy zu Thema f) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema f) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema f) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Vereinfache den folgenden Term: <math> 5x+3y-(2x+y)+4y-(y-x)</math>. Kreuze die richtige Lösung an.}<br />
- <math>6x+9y</math><br />
- <math>2x+7y</math><br />
- <math>4x+5y</math><br />
<br />
{ Was fehlt in der Klammer? <math>-6x+18y=-6x \cdot (...)</math> }<br />
- <math>1-3y</math><br />
- <math>1+3y</math><br />
- <math>-1+3y</math><br />
- <math>x+3xy</math><br />
<br />
{ Dummy zu Thema g) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
<br />
Die Lernpfadkapitel:<br />
<br />
*[[/Unmögliche Figuren und Schrägbilder|Unmögliche Figuren und Schrägbilder]]<br />
*[[/Einfache Gleichungen|Einfache Gleichungen]]<br />
*[[/Stochastik|Stochastik]]<br />
*[[/Zinsrechnung|Zinsrechnung]]<br />
*[[/Lineare Funktionen|Lineare Funktionen]]<br />
*[[/Volumen und Oberfläche des Prismas|Volumen und Oberfläche des Prismas]]<br />
*[[/Terme|Terme]]</div>
Alina WWU-7
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Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8
2020-12-04T15:54:01Z
<p>Alina WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Fit für VERA-8"!<br />
<br />
Hier entsteht im Wintersemester 2020/2021 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 8 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].<br />
<br />
[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad}}<br />
<br />
Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung. Die ersten beiden Items sind Beispielitems.<br />
<br />
<quiz display="simple"><br />
{ Der Differenzenquotient <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> beschreibt die momentane Änderungsrate. }<br />
- Wahr<br />
+ Falsch<br />
<br />
{ Was ergibt 1+1? }<br />
+ 1<br />
+ 2<br />
+ 3<br />
+ 4<br />
<br />
{ Wie werden nicht sichtbare Linien in einem Schrägbild gezeichnet? }<br />
- Sie werden fett gezeichnet.<br />
- Sie werden nicht gezeichnet.<br />
+ Sie werden gestrichelt gezeichnet.<br />
<br />
{ Ein regulärer Tetraeder ist ein Pyramide, die... }<br />
+ ...eine dreieckige Grundfläche besitzt.<br />
+ ...vier kongruente gleichseitige Dreiecke als Fläche hat.<br />
- ...sechs ungleich lange Kanten hat.<br />
<br />
{ Wann nennt man eine Figur unmöglich? }<br />
+ Unmöglichen Figuren basieren darauf, dass unerlaubte Wechsel in der Perspektive eingebaut werden.<br />
- Sie sind unsichtbar.<br />
- Wenn mehr als zwei Seiten parallel zueinander sind.<br />
<br />
{ Dummy zu Thema b) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema b) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
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{ Dummy zu Thema b) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{Ein Würfel wird <math>100</math> mal geworfen und <math>15</math> mal kommt die Würfelzahl 4 heraus. Dann ist <math>15</math> die...}<br />
- ... relative Häufigkeit.<br />
+ ... absolute Häufigkeit.<br />
<br />
{[[Datei:Stochastik Bayestheorem Urnenversuch.png|mini|zentriert]] Die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig zwei rote Kugeln aus Urne A zu ziehen, ist größer als die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig zwei weiße Kugeln aus Urne B zu ziehen.}<br />
- wahr<br />
+ falsch<br />
<br />
{Welche der folgenden Aussagen treffen auf ein Laplace-Experiment zu?}<br />
+ Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich.<br />
- Das Werfen des Würfels mit den Seiten 1,1,1,3,5,5 ist ein Laplace-Experiment.<br />
+ Das Werfen einer Münze ist ein Laplace-Experiment.<br />
<br />
{ Dummy zu Thema d) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema d) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema d) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ [[Datei:Geogebra-export.png|mini|rechts| 300px]]Welche Funktionsgleichung passt zu dem rechts abgebildeten Funktionsgraphen? }<br />
- <math> f(x)= -\frac{1}{2}x+3 </math><br />
- <math> f(x)= 2x+1 </math><br />
+ <math> f(x)= \frac{1}{2}x-\frac{3}{2} </math><br />
- <math> f(x)= 2x-\frac{3}{2} </math><br />
<br />
{ Bei der Nullstelle einer linearen Funktion gilt im Allgemeinen }<br />
+ <math> f(x)=0 </math>.<br />
- <math> x=0 </math>.<br />
<br />
{ Gegeben sind die beiden Funktionsgleichungen <math> f(x)=3x-2 </math> und <math> g(x)=-\frac{1}{3}x+4</math>. </br> Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Wähle alle richtigen Aussagen aus. Es können auch mehrere Aussagen richtig sein. }<br />
- Die beiden Geraden schneiden sich in ''keinem'' Punkt.<br />
+ Die beiden Geraden haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.<br />
+ Die Gerade <math>f</math> steigt.<br />
- Die Gerade <math>g</math> hat die Steigung <math>4</math> und den <math>y</math>-Abschnitt <math>-\frac{1}{3}</math>.<br />
<br />
<br />
{ Dummy zu Thema f) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema f) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema f) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Vereinfache den folgenden Term: <math> 5x+3y-(2x+y)+4y-(y-x)</math>. Kreuze die richtige Lösung an.}<br />
- <math>6x+9y</math><br />
- <math>2x+7y</math><br />
- <math>4x+5y</math><br />
<br />
{ Was fehlt in der Klammer? <math>6x+18y=-6x \cdot (...)</math> }<br />
- <math>1-3y</math><br />
- <math>1+2y</math><br />
- <math>-1+3y</math><br />
- <math>x+3xy</math><br />
<br />
{ Dummy zu Thema g) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
<br />
Die Lernpfadkapitel:<br />
<br />
*[[/Unmögliche Figuren und Schrägbilder|Unmögliche Figuren und Schrägbilder]]<br />
*[[/Einfache Gleichungen|Einfache Gleichungen]]<br />
*[[/Stochastik|Stochastik]]<br />
*[[/Zinsrechnung|Zinsrechnung]]<br />
*[[/Lineare Funktionen|Lineare Funktionen]]<br />
*[[/Volumen und Oberfläche des Prismas|Volumen und Oberfläche des Prismas]]<br />
*[[/Terme|Terme]]</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8&diff=38510
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8
2020-12-04T15:50:52Z
<p>Alina WWU-7: </p>
<hr />
<div>{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Fit für VERA-8"!<br />
<br />
Hier entsteht im Wintersemester 2020/2021 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 8 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].<br />
<br />
[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad}}<br />
<br />
Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung. Die ersten beiden Items sind Beispielitems.<br />
<br />
<quiz display="simple"><br />
{ Der Differenzenquotient <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> beschreibt die momentane Änderungsrate. }<br />
- Wahr<br />
+ Falsch<br />
<br />
{ Was ergibt 1+1? }<br />
+ 1<br />
+ 2<br />
+ 3<br />
+ 4<br />
<br />
{ Wie werden nicht sichtbare Linien in einem Schrägbild gezeichnet? }<br />
- Sie werden fett gezeichnet.<br />
- Sie werden nicht gezeichnet.<br />
+ Sie werden gestrichelt gezeichnet.<br />
<br />
{ Ein regulärer Tetraeder ist ein Pyramide, die... }<br />
+ ...eine dreieckige Grundfläche besitzt.<br />
+ ...vier kongruente gleichseitige Dreiecke als Fläche hat.<br />
- ...sechs ungleich lange Kanten hat.<br />
<br />
{ Wann nennt man eine Figur unmöglich? }<br />
+ Unmöglichen Figuren basieren darauf, dass unerlaubte Wechsel in der Perspektive eingebaut werden.<br />
- Sie sind unsichtbar.<br />
- Wenn mehr als zwei Seiten parallel zueinander sind.<br />
<br />
{ Dummy zu Thema b) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema b) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema b) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{Ein Würfel wird <math>100</math> mal geworfen und <math>15</math> mal kommt die Würfelzahl 4 heraus. Dann ist <math>15</math> die...}<br />
- ... relative Häufigkeit.<br />
+ ... absolute Häufigkeit.<br />
<br />
{[[Datei:Stochastik Bayestheorem Urnenversuch.png|mini|zentriert]] Die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig zwei rote Kugeln aus Urne A zu ziehen, ist größer als die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig zwei weiße Kugeln aus Urne B zu ziehen.}<br />
- wahr<br />
+ falsch<br />
<br />
{Welche der folgenden Aussagen treffen auf ein Laplace-Experiment zu?}<br />
+ Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich.<br />
- Das Werfen des Würfels mit den Seiten 1,1,1,3,5,5 ist ein Laplace-Experiment.<br />
+ Das Werfen einer Münze ist ein Laplace-Experiment.<br />
<br />
{ Dummy zu Thema d) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema d) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema d) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ [[Datei:Geogebra-export.png|mini|rechts| 300px]]Welche Funktionsgleichung passt zu dem rechts abgebildeten Funktionsgraphen? }<br />
- <math> f(x)= -\frac{1}{2}x+3 </math><br />
- <math> f(x)= 2x+1 </math><br />
+ <math> f(x)= \frac{1}{2}x-\frac{3}{2} </math><br />
- <math> f(x)= 2x-\frac{3}{2} </math><br />
<br />
{ Bei der Nullstelle einer linearen Funktion gilt im Allgemeinen }<br />
+ <math> f(x)=0 </math>.<br />
- <math> x=0 </math>.<br />
<br />
{ Gegeben sind die beiden Funktionsgleichungen <math> f(x)=3x-2 </math> und <math> g(x)=-\frac{1}{3}x+4</math>. </br> Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Wähle alle richtigen Aussagen aus. Es können auch mehrere Aussagen richtig sein. }<br />
- Die beiden Geraden schneiden sich in ''keinem'' Punkt.<br />
+ Die beiden Geraden haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.<br />
+ Die Gerade <math>f</math> steigt.<br />
- Die Gerade <math>g</math> hat die Steigung <math>4</math> und den <math>y</math>-Abschnitt <math>-\frac{1}{3}</math>.<br />
<br />
<br />
{ Dummy zu Thema f) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema f) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema f) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Vereinfache den folgenden Term: <math> 5x+3y-(2x+y)+4y-(y-x)</math>. Kreuze die richtige Lösung an.}<br />
- <math>6x+9y</math><br />
- <math>2x+7y</math><br />
- <math>4x+5y</math><br />
<br />
{ Was fehlt in der Klammer? <math>6x+18y=-6x(...)</math> }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
{ Dummy zu Thema g) }<br />
- 1<br />
- 2<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
<br />
Die Lernpfadkapitel:<br />
<br />
*[[/Unmögliche Figuren und Schrägbilder|Unmögliche Figuren und Schrägbilder]]<br />
*[[/Einfache Gleichungen|Einfache Gleichungen]]<br />
*[[/Stochastik|Stochastik]]<br />
*[[/Zinsrechnung|Zinsrechnung]]<br />
*[[/Lineare Funktionen|Lineare Funktionen]]<br />
*[[/Volumen und Oberfläche des Prismas|Volumen und Oberfläche des Prismas]]<br />
*[[/Terme|Terme]]</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38509
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-04T15:38:46Z
<p>Alina WWU-7: /* Aufgaben */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pg7bfsfba20}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal [[#Einführung|oben]] in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den [[#Einführung|Beispielen]] können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-\left({1\over 4}y-\left(5x+3z\right)-\left(x+{5\over 8}y-2z\right)\right) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Rechteck| 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Rechtecks ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel [[#Terme ausmultiplizieren|Terme ausmultiplizieren]] an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die [[#Terme faktorisieren|Beispiele]] aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst und bei b) wie dein erster Zwischenschritt aussieht. Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum [[#Terme faktorisieren|''Faktorisieren'']] erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= (a) Wie lang ist die Strecke <math> x </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac={\color{green}6a} \cdot 5b + {\color{green}6a} \cdot 2c = {\color{green}6a}(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> x </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> 6a({\color{green}5b}+2c) </math> mit <math> 6a({\color{green}x}+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>x=5b</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
(b) Wie lang ist die Strecke <math> y </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobelaufgabe.jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 49ab+49ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 49ab+49ac={\color{green}7a} \cdot 7b + {\color{green}7a} \cdot 7c = {\color{green}7a}(7b+7c) </math> <br /> <br />
Du könntest zwar auch <math>49a</math> ausklammern, allerdings würde dich das in Bezug auf die Aufgabe nicht weiterbringen. Denn in der Aufgabe sind die Seitenlängen <math>{\color{blue}7b}</math> und <math>{\color{blue}7c}</math> gegeben, die sich im Term <math>7a({\color{blue}7b}+{\color{blue}7c})</math> wiederspiegeln. <br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> y </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> y(7b+7c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> {\color{green}7a}(7b+7c) </math> mit <math> {\color{green}y}(7b+7c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>y=7a</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> y = </math> '''7a()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38508
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-04T15:36:57Z
<p>Alina WWU-7: /* Aufgaben */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pg7bfsfba20}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal [[#Einführung|oben]] in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-\left({1\over 4}y-\left(5x+3z\right)-\left(x+{5\over 8}y-2z\right)\right) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Rechteck| 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Rechtecks ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel [[#Terme ausmultiplizieren|Terme ausmultiplizieren]] an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die [[#Terme faktorisieren|Beispiele]] aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst und bei b) wie dein erster Zwischenschritt aussieht. Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum [[#Terme faktorisieren|''Faktorisieren'']] erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= (a) Wie lang ist die Strecke <math> x </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac={\color{green}6a} \cdot 5b + {\color{green}6a} \cdot 2c = {\color{green}6a}(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> x </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> 6a({\color{green}5b}+2c) </math> mit <math> 6a({\color{green}x}+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>x=5b</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
(b) Wie lang ist die Strecke <math> y </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobelaufgabe.jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 49ab+49ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 49ab+49ac={\color{green}7a} \cdot 7b + {\color{green}7a} \cdot 7c = {\color{green}7a}(7b+7c) </math> <br /> <br />
Du könntest zwar auch <math>49a</math> ausklammern, allerdings würde dich das in Bezug auf die Aufgabe nicht weiterbringen. Denn in der Aufgabe sind die Seitenlängen <math>{\color{blue}7b}</math> und <math>{\color{blue}7c}</math> gegeben, die sich im Term <math>7a({\color{blue}7b}+{\color{blue}7c})</math> wiederspiegeln. <br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> y </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> y(7b+7c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> {\color{green}7a}(7b+7c) </math> mit <math> {\color{green}y}(7b+7c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>y=7a</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> y = </math> '''7a()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38507
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-04T15:35:00Z
<p>Alina WWU-7: /* Aufgaben */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pg7bfsfba20}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal [[#Terme zusammenfassen|oben]] in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-\left({1\over 4}y-\left(5x+3z\right)-\left(x+{5\over 8}y-2z\right)\right) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Rechteck| 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Rechtecks ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel [[#Terme ausmultiplizieren|Terme ausmultiplizieren]] an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die [[#Terme faktorisieren|Beispiele]] aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst und bei b) wie dein erster Zwischenschritt aussieht. Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum [[#Terme faktorisieren|''Faktorisieren'']] erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= (a) Wie lang ist die Strecke <math> x </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac={\color{green}6a} \cdot 5b + {\color{green}6a} \cdot 2c = {\color{green}6a}(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> x </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> 6a({\color{green}5b}+2c) </math> mit <math> 6a({\color{green}x}+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>x=5b</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
(b) Wie lang ist die Strecke <math> y </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobelaufgabe.jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 49ab+49ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 49ab+49ac={\color{green}7a} \cdot 7b + {\color{green}7a} \cdot 7c = {\color{green}7a}(7b+7c) </math> <br /> <br />
Du könntest zwar auch <math>49a</math> ausklammern, allerdings würde dich das in Bezug auf die Aufgabe nicht weiterbringen. Denn in der Aufgabe sind die Seitenlängen <math>{\color{blue}7b}</math> und <math>{\color{blue}7c}</math> gegeben, die sich im Term <math>7a({\color{blue}7b}+{\color{blue}7c})</math> wiederspiegeln. <br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> y </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> y(7b+7c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> {\color{green}7a}(7b+7c) </math> mit <math> {\color{green}y}(7b+7c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>y=7a</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> y = </math> '''7a()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38506
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-04T15:32:19Z
<p>Alina WWU-7: /* Aufgabe */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pg7bfsfba20}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-\left({1\over 4}y-\left(5x+3z\right)-\left(x+{5\over 8}y-2z\right)\right) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Rechteck| 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Rechtecks ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel [[#Terme ausmultiplizieren|Terme ausmultiplizieren]] an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die [[#Terme faktorisieren|Beispiele]] aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst und bei b) wie dein erster Zwischenschritt aussieht. Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum [[#Terme faktorisieren|''Faktorisieren'']] erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= (a) Wie lang ist die Strecke <math> x </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac={\color{green}6a} \cdot 5b + {\color{green}6a} \cdot 2c = {\color{green}6a}(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> x </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> 6a({\color{green}5b}+2c) </math> mit <math> 6a({\color{green}x}+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>x=5b</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
(b) Wie lang ist die Strecke <math> y </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobelaufgabe.jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 49ab+49ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 49ab+49ac={\color{green}7a} \cdot 7b + {\color{green}7a} \cdot 7c = {\color{green}7a}(7b+7c) </math> <br /> <br />
Du könntest zwar auch <math>49a</math> ausklammern, allerdings würde dich das in Bezug auf die Aufgabe nicht weiterbringen. Denn in der Aufgabe sind die Seitenlängen <math>{\color{blue}7b}</math> und <math>{\color{blue}7c}</math> gegeben, die sich im Term <math>7a({\color{blue}7b}+{\color{blue}7c})</math> wiederspiegeln. <br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> y </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> y(7b+7c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> {\color{green}7a}(7b+7c) </math> mit <math> {\color{green}y}(7b+7c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>y=7a</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> y = </math> '''7a()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38505
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-04T15:31:22Z
<p>Alina WWU-7: /* Aufgabe */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pg7bfsfba20}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-\left({1\over 4}y-\left(5x+3z\right)-\left(x+{5\over 8}y-2z\right)\right) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Rechteck| 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Rechtecks ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel [[#Terme ausmultiplizieren|Terme ausmultiplizieren]] an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die [[#Terme faktorisieren|Beispiele]] aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst und bei b) wie dein erster Zwischenschritt aussieht. Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum [[Terme faktorisieren|''Faktorisieren'']] erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= (a) Wie lang ist die Strecke <math> x </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac={\color{green}6a} \cdot 5b + {\color{green}6a} \cdot 2c = {\color{green}6a}(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> x </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> 6a({\color{green}5b}+2c) </math> mit <math> 6a({\color{green}x}+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>x=5b</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
(b) Wie lang ist die Strecke <math> y </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobelaufgabe.jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 49ab+49ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 49ab+49ac={\color{green}7a} \cdot 7b + {\color{green}7a} \cdot 7c = {\color{green}7a}(7b+7c) </math> <br /> <br />
Du könntest zwar auch <math>49a</math> ausklammern, allerdings würde dich das in Bezug auf die Aufgabe nicht weiterbringen. Denn in der Aufgabe sind die Seitenlängen <math>{\color{blue}7b}</math> und <math>{\color{blue}7c}</math> gegeben, die sich im Term <math>7a({\color{blue}7b}+{\color{blue}7c})</math> wiederspiegeln. <br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> y </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> y(7b+7c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> {\color{green}7a}(7b+7c) </math> mit <math> {\color{green}y}(7b+7c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>y=7a</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> y = </math> '''7a()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38504
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-04T15:29:23Z
<p>Alina WWU-7: /* Aufgabe */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pg7bfsfba20}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-\left({1\over 4}y-\left(5x+3z\right)-\left(x+{5\over 8}y-2z\right)\right) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Rechteck| 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Rechtecks ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel [[#Terme ausmultiplizieren|Terme ausmultiplizieren]] an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die [[#Terme faktorisieren|Beispiele]] aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst und bei b) wie dein erster Zwischenschritt aussieht. Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= (a) Wie lang ist die Strecke <math> x </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac={\color{green}6a} \cdot 5b + {\color{green}6a} \cdot 2c = {\color{green}6a}(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> x </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> 6a({\color{green}5b}+2c) </math> mit <math> 6a({\color{green}x}+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>x=5b</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
(b) Wie lang ist die Strecke <math> y </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobelaufgabe.jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 49ab+49ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 49ab+49ac={\color{green}7a} \cdot 7b + {\color{green}7a} \cdot 7c = {\color{green}7a}(7b+7c) </math> <br /> <br />
Du könntest zwar auch <math>49a</math> ausklammern, allerdings würde dich das in Bezug auf die Aufgabe nicht weiterbringen. Denn in der Aufgabe sind die Seitenlängen <math>{\color{blue}7b}</math> und <math>{\color{blue}7c}</math> gegeben, die sich im Term <math>7a({\color{blue}7b}+{\color{blue}7c})</math> wiederspiegeln. <br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> y </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> y(7b+7c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> {\color{green}7a}(7b+7c) </math> mit <math> {\color{green}y}(7b+7c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>y=7a</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> y = </math> '''7a()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38503
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-04T15:24:47Z
<p>Alina WWU-7: /* Aufgabe */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pg7bfsfba20}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-\left({1\over 4}y-\left(5x+3z\right)-\left(x+{5\over 8}y-2z\right)\right) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Rechteck| 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Rechtecks ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel [[#Terme ausmultiplizieren|Terme ausmultiplizieren]] an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die Beispiele aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst und bei b) wie dein erster Zwischenschritt aussieht. Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= (a) Wie lang ist die Strecke <math> x </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac={\color{green}6a} \cdot 5b + {\color{green}6a} \cdot 2c = {\color{green}6a}(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> x </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> 6a({\color{green}5b}+2c) </math> mit <math> 6a({\color{green}x}+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>x=5b</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
(b) Wie lang ist die Strecke <math> y </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobelaufgabe.jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 49ab+49ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 49ab+49ac={\color{green}7a} \cdot 7b + {\color{green}7a} \cdot 7c = {\color{green}7a}(7b+7c) </math> <br /> <br />
Du könntest zwar auch <math>49a</math> ausklammern, allerdings würde dich das in Bezug auf die Aufgabe nicht weiterbringen. Denn in der Aufgabe sind die Seitenlängen <math>{\color{blue}7b}</math> und <math>{\color{blue}7c}</math> gegeben, die sich im Term <math>7a({\color{blue}7b}+{\color{blue}7c})</math> wiederspiegeln. <br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> y </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> y(7b+7c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> {\color{green}7a}(7b+7c) </math> mit <math> {\color{green}y}(7b+7c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>y=7a</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> y = </math> '''7a()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38502
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-04T15:23:37Z
<p>Alina WWU-7: /* Aufgabe */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pg7bfsfba20}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-\left({1\over 4}y-\left(5x+3z\right)-\left(x+{5\over 8}y-2z\right)\right) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Rechteck| 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Rechtecks ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel [[#Terme ausmultiplizieren]] an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die Beispiele aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst und bei b) wie dein erster Zwischenschritt aussieht. Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= (a) Wie lang ist die Strecke <math> x </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac={\color{green}6a} \cdot 5b + {\color{green}6a} \cdot 2c = {\color{green}6a}(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> x </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> 6a({\color{green}5b}+2c) </math> mit <math> 6a({\color{green}x}+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>x=5b</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
(b) Wie lang ist die Strecke <math> y </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobelaufgabe.jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 49ab+49ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 49ab+49ac={\color{green}7a} \cdot 7b + {\color{green}7a} \cdot 7c = {\color{green}7a}(7b+7c) </math> <br /> <br />
Du könntest zwar auch <math>49a</math> ausklammern, allerdings würde dich das in Bezug auf die Aufgabe nicht weiterbringen. Denn in der Aufgabe sind die Seitenlängen <math>{\color{blue}7b}</math> und <math>{\color{blue}7c}</math> gegeben, die sich im Term <math>7a({\color{blue}7b}+{\color{blue}7c})</math> wiederspiegeln. <br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> y </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> y(7b+7c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> {\color{green}7a}(7b+7c) </math> mit <math> {\color{green}y}(7b+7c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>y=7a</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> y = </math> '''7a()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38501
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-04T15:19:34Z
<p>Alina WWU-7: /* Aufgabe */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pg7bfsfba20}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-\left({1\over 4}y-\left(5x+3z\right)-\left(x+{5\over 8}y-2z\right)\right) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Rechteck| 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Rechtecks ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel [[Terme ausmultiplizieren]] an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die Beispiele aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst und bei b) wie dein erster Zwischenschritt aussieht. Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= (a) Wie lang ist die Strecke <math> x </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac={\color{green}6a} \cdot 5b + {\color{green}6a} \cdot 2c = {\color{green}6a}(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> x </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> 6a({\color{green}5b}+2c) </math> mit <math> 6a({\color{green}x}+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>x=5b</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
(b) Wie lang ist die Strecke <math> y </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobelaufgabe.jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 49ab+49ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 49ab+49ac={\color{green}7a} \cdot 7b + {\color{green}7a} \cdot 7c = {\color{green}7a}(7b+7c) </math> <br /> <br />
Du könntest zwar auch <math>49a</math> ausklammern, allerdings würde dich das in Bezug auf die Aufgabe nicht weiterbringen. Denn in der Aufgabe sind die Seitenlängen <math>{\color{blue}7b}</math> und <math>{\color{blue}7c}</math> gegeben, die sich im Term <math>7a({\color{blue}7b}+{\color{blue}7c})</math> wiederspiegeln. <br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> y </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> y(7b+7c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> {\color{green}7a}(7b+7c) </math> mit <math> {\color{green}y}(7b+7c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>y=7a</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> y = </math> '''7a()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38500
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-04T15:15:54Z
<p>Alina WWU-7: /* Aufgabe */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pg7bfsfba20}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-\left({1\over 4}y-\left(5x+3z\right)-\left(x+{5\over 8}y-2z\right)\right) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Rechteck| 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Rechtecks ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel [[#Terme ausmultiplizieren|hier]] [[#Terme faktorisieren|hier]]''Ausmultiplizieren'' an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die Beispiele aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst und bei b) wie dein erster Zwischenschritt aussieht. Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= (a) Wie lang ist die Strecke <math> x </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac={\color{green}6a} \cdot 5b + {\color{green}6a} \cdot 2c = {\color{green}6a}(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> x </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> 6a({\color{green}5b}+2c) </math> mit <math> 6a({\color{green}x}+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>x=5b</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
(b) Wie lang ist die Strecke <math> y </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobelaufgabe.jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 49ab+49ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 49ab+49ac={\color{green}7a} \cdot 7b + {\color{green}7a} \cdot 7c = {\color{green}7a}(7b+7c) </math> <br /> <br />
Du könntest zwar auch <math>49a</math> ausklammern, allerdings würde dich das in Bezug auf die Aufgabe nicht weiterbringen. Denn in der Aufgabe sind die Seitenlängen <math>{\color{blue}7b}</math> und <math>{\color{blue}7c}</math> gegeben, die sich im Term <math>7a({\color{blue}7b}+{\color{blue}7c})</math> wiederspiegeln. <br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> y </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> y(7b+7c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> {\color{green}7a}(7b+7c) </math> mit <math> {\color{green}y}(7b+7c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>y=7a</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> y = </math> '''7a()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38499
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-04T15:09:09Z
<p>Alina WWU-7: /* Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pg7bfsfba20}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-\left({1\over 4}y-\left(5x+3z\right)-\left(x+{5\over 8}y-2z\right)\right) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Rechteck| 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Rechtecks ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel ''Ausmultiplizieren'' an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die Beispiele aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst und bei b) wie dein erster Zwischenschritt aussieht. Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= (a) Wie lang ist die Strecke <math> x </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac={\color{green}6a} \cdot 5b + {\color{green}6a} \cdot 2c = {\color{green}6a}(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> x </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> 6a({\color{green}5b}+2c) </math> mit <math> 6a({\color{green}x}+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>x=5b</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
(b) Wie lang ist die Strecke <math> y </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobelaufgabe.jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 49ab+49ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 49ab+49ac={\color{green}7a} \cdot 7b + {\color{green}7a} \cdot 7c = {\color{green}7a}(7b+7c) </math> <br /> <br />
Du könntest zwar auch <math>49a</math> ausklammern, allerdings würde dich das in Bezug auf die Aufgabe nicht weiterbringen. Denn in der Aufgabe sind die Seitenlängen <math>{\color{blue}7b}</math> und <math>{\color{blue}7c}</math> gegeben, die sich im Term <math>7a({\color{blue}7b}+{\color{blue}7c})</math> wiederspiegeln. <br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> y </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> y(7b+7c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> {\color{green}7a}(7b+7c) </math> mit <math> {\color{green}y}(7b+7c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>y=7a</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> y = </math> '''7a()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38498
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-04T15:07:46Z
<p>Alina WWU-7: /* Aufgabe */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pg7bfsfba20}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-\left({1\over 4}y-\left(5x+3z\right)-\left(x+{5\over 8}y-2z\right)\right) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Rechteck| 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Rechtecks ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel ''Ausmultiplizieren'' an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die Beispiele aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst und bei b) wie dein erster Zwischenschritt aussieht. Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. <br /> <br />
Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= (a) Wie lang ist die Strecke <math> x </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac={\color{green}6a} \cdot 5b + {\color{green}6a} \cdot 2c = {\color{green}6a}(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> x </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> 6a({\color{green}5b}+2c) </math> mit <math> 6a({\color{green}x}+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>x=5b</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
(b) Wie lang ist die Strecke <math> y </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobelaufgabe.jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 49ab+49ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 49ab+49ac={\color{green}7a} \cdot 7b + {\color{green}7a} \cdot 7c = {\color{green}7a}(7b+7c) </math> <br /> <br />
Du könntest zwar auch <math>49a</math> ausklammern, allerdings würde dich das in Bezug auf die Aufgabe nicht weiterbringen. Denn in der Aufgabe sind die Seitenlängen <math>{\color{blue}7b}</math> und <math>{\color{blue}7c}</math> gegeben, die sich im Term <math>7a({\color{blue}7b}+{\color{blue}7c})</math> wiederspiegeln. <br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> y </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> y(7b+7c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> {\color{green}7a}(7b+7c) </math> mit <math> {\color{green}y}(7b+7c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>y=7a</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> y = </math> '''7a()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38497
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-04T15:06:30Z
<p>Alina WWU-7: /* Aufgabe */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pg7bfsfba20}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-\left({1\over 4}y-\left(5x+3z\right)-\left(x+{5\over 8}y-2z\right)\right) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Rechteck| 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Rechtecks ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel ''Ausmultiplizieren'' an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die Beispiele aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst und bei b) wie dein erster Zwischenschritt aussieht.<br />
Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. <br /> <br />
Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= (a) Wie lang ist die Strecke <math> x </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac={\color{green}6a} \cdot 5b + {\color{green}6a} \cdot 2c = {\color{green}6a}(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> x </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> 6a({\color{green}5b}+2c) </math> mit <math> 6a({\color{green}x}+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>x=5b</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
(b) Wie lang ist die Strecke <math> y </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobelaufgabe.jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 49ab+49ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 49ab+49ac={\color{green}7a} \cdot 7b + {\color{green}7a} \cdot 7c = {\color{green}7a}(7b+7c) </math> <br /> <br />
Du könntest zwar auch <math>49a</math> ausklammern, allerdings würde dich das in Bezug auf die Aufgabe nicht weiterbringen. Denn in der Aufgabe sind die Seitenlängen <math>{\color{blue}7b}</math> und <math>{\color{blue}7c}</math> gegeben, die sich im Term <math>7a({\color{blue}7b}+{\color{blue}7c})</math> wiederspiegeln. <br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> y </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> y(7b+7c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> {\color{green}7a}(7b+7c) </math> mit <math> {\color{green}y}(7b+7c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>y=7a</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> y = </math> '''7a()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38391
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-03T09:55:37Z
<p>Alina WWU-7: /* Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1704712}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-({1\over 4}y-(5x+3z)-(x+{5\over 8}y-2z)) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Quadrat | 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Quadrats ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel ''Ausmultiplizieren'' an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die Beispiele aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst und bei (ii) wie dein erster Zwischenschritt aussieht.<br />
Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. <br /> <br />
Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= (a) Wie lang ist die Strecke <math> x </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac={\color{green}6a} \cdot 5b + {\color{green}6a} \cdot 2c = {\color{green}6a}(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> x </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> 6a({\color{green}5b}+2c) </math> mit <math> 6a({\color{green}x}+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>x=5b</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
(b) Wie lang ist die Strecke <math> y </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobelaufgabe.jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 49ab+49ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 49ab+49ac={\color{green}7a} \cdot 7b + {\color{green}7a} \cdot 7c = {\color{green}7a}(7b+7c) </math> <br /> <br />
Du könntest zwar auch <math>49a</math> ausklammern, allerdings würde dich das in Bezug auf die Aufgabe nicht weiterbringen. Denn in der Aufgabe sind die Seitenlängen <math>{\color{blue}7b}</math> und <math>{\color{blue}7c}</math> gegeben, die sich im Term <math>7a({\color{blue}7b}+{\color{blue}7c})</math> wiederspiegeln. <br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> y </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> y(7b+7c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> {\color{green}7a}(7b+7c) </math> mit <math> {\color{green}y}(7b+7c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>y=7a</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> y = </math> '''7a()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38390
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-03T09:53:18Z
<p>Alina WWU-7: /* Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1704712}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-({1\over 4}y-(5x+3z)-(x+{5\over 8}y-2z)) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Quadrat | 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Quadrats ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel ''Ausmultiplizieren'' an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die Beispiele aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst und bei (ii) wie dein erster Zwischenschritt aussieht.<br />
Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. <br /> <br />
Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= (a) Wie lang ist die Strecke <math> x </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac={\color{green}6a} \cdot 5b + {\color{green}6a} \cdot 2c = {\color{green}6a}(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> x </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> 6a({\color{green}5b}+2c) </math> mit <math> 6a({\color{green}x}+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>x=5b</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
(b) Wie lang ist die Strecke <math> y </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobelaufgabe.jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 49ab+49ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 49ab+49ac={\color{green}7a} \cdot 7b + {\color{green}7a} \cdot 7c = {\color{green}7a}(7b+7c) </math> <br /> <br />
Du könntest zwar auch <math>49a</math> ausklammern, allerdings würde dich das in Bezug auf die Aufgabe nicht weiterbringen. Denn in der Aufgabe sind die Seitenlängen <math>{\color{blue}7b}</math> und <math>{\color{blue}7c}</math> gegeben, die sich im Term <math>7a({\color{blue}7b}+{\color{blue}7c})</math> wiederspiegeln. <br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> y </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> y(7a+7b) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> {\color{green}7a}(7b+7c) </math> mit <math> {\color{green}y}(7b+7c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>y=7a</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> y = </math> '''7a()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38389
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-03T09:44:21Z
<p>Alina WWU-7: /* Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1704712}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-({1\over 4}y-(5x+3z)-(x+{5\over 8}y-2z)) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Quadrat | 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Quadrats ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel ''Ausmultiplizieren'' an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die Beispiele aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst und bei (ii) wie dein erster Zwischenschritt aussieht.<br />
Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. <br /> <br />
Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= (a) Wie lang ist die Strecke <math> x </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac={\color{green}6a} \cdot 5b + {\color{green}6a} \cdot 2c = {\color{green}6a}(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> x </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> 6a({\color{green}5b}+2c) </math> mit <math> 6a({\color{green}x}+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>x=5b</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
(b) Wie lang ist die Strecke <math> y </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobelaufgabe.jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 49ab+49ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 49ab+49ac={\color{green}7a} \cdot 7b + {\color{green}7a} \cdot 7c = {\color{green}7a}(7b+7c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> y </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> y(7a+7b) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 7a(7b+7c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> {\color{green}7a}(7b+7c) </math> mit <math> {\color{green}7}(7b+7c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>y=7a</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> y = </math> '''7a()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38388
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-03T09:38:58Z
<p>Alina WWU-7: /* Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1704712}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-({1\over 4}y-(5x+3z)-(x+{5\over 8}y-2z)) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Quadrat | 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Quadrats ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel ''Ausmultiplizieren'' an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die Beispiele aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst und bei (ii) wie dein erster Zwischenschritt aussieht.<br />
Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. <br /> <br />
Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= (a) Wie lang ist die Strecke <math> x </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac={\color{green}6a} \cdot 5b + {\color{green}6a} \cdot 2c = {\color{green}6a}(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> x </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> 6a({\color{green}5b}+2c) </math> mit <math> 6a({\color{green}x}+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>x=5b</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
(b) Wie lang ist die Strecke <math> y </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobelaufgabe.jpg|500px|links]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> y = </math> '''7a()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Datei:Knobelaufgabe.jpg&diff=38387
Datei:Knobelaufgabe.jpg
2020-12-03T09:38:15Z
<p>Alina WWU-7: Hochgeladen mit VisualEditor Seite</p>
<hr />
<div>{{Information<br />
|description = Knobelaufgabe zum Faktorisieren/Ausmultiplizieren<br />
|source = Eigene Arbeit<br />
|author = [[User:Alina WWU-7|Alina WWU-7]]<br />
}}<br />
<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38386
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-03T09:24:18Z
<p>Alina WWU-7: /* Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1704712}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-({1\over 4}y-(5x+3z)-(x+{5\over 8}y-2z)) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Quadrat | 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Quadrats ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel ''Ausmultiplizieren'' an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die Beispiele aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst und bei (ii) wie dein erster Zwischenschritt aussieht.<br />
Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. <br /> <br />
Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= (a) Wie lang ist die Strecke <math> x </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac={\color{green}6a} \cdot 5b + {\color{green}6a} \cdot 2c = {\color{green}6a}(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> x </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> 6a({\color{green}5b}+2c) </math> mit <math> 6a({\color{green}x}+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>x=5b</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
(b) Wie lang ist die Strecke <math> y </math>?<br /> <br />
[[Datei:Knobel 2.jpg|500px|links]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''3c()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38385
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-03T09:21:07Z
<p>Alina WWU-7: /* Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1704712}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-({1\over 4}y-(5x+3z)-(x+{5\over 8}y-2z)) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Quadrat | 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Quadrats ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel ''Ausmultiplizieren'' an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die Beispiele aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst und bei (ii) wie dein erster Zwischenschritt aussieht.<br />
Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. <br /> <br />
Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= Wie lang ist die Strecke <math> x </math>? Stelle <math> x </math> in Abhängigkeit der gegebenen Variablen dar.<br /> <br />
(a)[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac={\color{green}6a} \cdot 5b + {\color{green}6a} \cdot 2c = {\color{green}6a}(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das <math> x </math>?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Vergleiche diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> 6a({\color{green}5b}+2c) </math> mit <math> 6a({\color{green}x}+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>x=5b</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
<br />
[[Datei:Knobel 2.jpg|500px|links]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''3c()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38382
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-03T09:17:05Z
<p>Alina WWU-7: /* Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1704712}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-({1\over 4}y-(5x+3z)-(x+{5\over 8}y-2z)) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Quadrat | 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Quadrats ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel ''Ausmultiplizieren'' an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die Beispiele aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst und bei (ii) wie dein erster Zwischenschritt aussieht.<br />
Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. <br /> <br />
Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= <br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac={\color{green}6a} \cdot 5b + {\color{green}6a} \cdot 2c = {\color{green}6a}(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das x?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Diesen vergleichen wir mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> 6a({\color{green}5b}+2c) </math> mit <math> 6a({\color{green}x}+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: <math>x=5b</math>. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
<br />
[[Datei:Knobel 2.jpg|500px|links]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''3c()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38380
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-03T09:12:56Z
<p>Alina WWU-7: /* Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1704712}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-({1\over 4}y-(5x+3z)-(x+{5\over 8}y-2z)) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Quadrat | 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Quadrats ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel ''Ausmultiplizieren'' an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die Beispiele aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst und bei (ii) wie dein erster Zwischenschritt aussieht.<br />
Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. <br /> <br />
Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= <br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac=6 \cdot 5ab + 6 \cdot 2ac) = 6a(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das x?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Diesen vergleichen wir mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>.<br />
{{Lösung versteckt|1=Vergleichen wir <math> 6a({\color{green}(5b)}+2c) </math> mit <math> 6a({\color{green}(x)}+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: x=5b. <br />
|2=Restliche Lösung|3=Verbergen}}<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
<br />
[[Datei:Knobel 2.jpg|500px|links]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''3c()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38378
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-03T09:07:14Z
<p>Alina WWU-7: /* Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1704712}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-({1\over 4}y-(5x+3z)-(x+{5\over 8}y-2z)) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Quadrat | 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Quadrats ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel ''Ausmultiplizieren'' an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die Beispiele aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst und bei (ii) wie dein erster Zwischenschritt aussieht.<br />
Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. <br /> <br />
Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= <br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac=6 \cdot 5ab + 6 \cdot 2ac) = 6a(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das x?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Vergleichen wir diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: x=5b.<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
<br />
[[Datei:Knobel 2.jpg|500px|links]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''3c()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38377
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-03T09:03:52Z
<p>Alina WWU-7: /* Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1704712}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-({1\over 4}y-(5x+3z)-(x+{5\over 8}y-2z)) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Quadrat | 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Quadrats ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel ''Ausmultiplizieren'' an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die Beispiele aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst und bei (ii) wie dein erster Zwischenschritt aussieht.<br />
Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. <br /> <br />
Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= <br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]]<br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac=6 \cdot 5ab + 6 \cdot 2ac) = 6a(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=Stelle eine Beziehung zwischen der Grafik und dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math> her. Welche Stelle des Terms repräsentiert das x?<br />
{{Lösung versteckt|1=An der Grafik können wir ablesen, dass sich der Flächeninhalt für das Rechteck aus dem Term <math> 6a(x+2c) </math> ergibt. Vergleichen wir diesen mit dem ausgeklammerten Term <math> 6a(5b+2c) </math>, so stellen wir fest, dass gilt: x=5b.<br />
|2=Lösung zu Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
<br />
[[Datei:Knobel 2.jpg|500px|links]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''3c()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38374
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-03T08:53:44Z
<p>Alina WWU-7: /* Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1704712}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-({1\over 4}y-(5x+3z)-(x+{5\over 8}y-2z)) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Quadrat | 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Quadrats ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel ''Ausmultiplizieren'' an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die Beispiele aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst und bei (ii) wie dein erster Zwischenschritt aussieht.<br />
Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. <br /> <br />
Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= <br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt ausklammern?<br />
{{Lösung versteckt|1=<math> 30ab+12ac=6a(5b+2c) </math><br />
|2=Lösung zu Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}}<br />
[[Datei:Knobel 2.jpg|500px|links]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''3c()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38373
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-03T08:41:42Z
<p>Alina WWU-7: /* Aufgabe */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1704712}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-({1\over 4}y-(5x+3z)-(x+{5\over 8}y-2z)) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Quadrat | 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Quadrats ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel ''Ausmultiplizieren'' an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die Beispiele aus dem Video von Lehrer Schmidt an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst und bei (ii) wie dein erster Zwischenschritt aussieht.<br />
Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. <br /> <br />
Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= <br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
[[Datei:Knobel 2.jpg|500px|links]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''3c()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38361
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-03T00:26:53Z
<p>Alina WWU-7: /* Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1704712}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-({1\over 4}y-(5x+3z)-(x+{5\over 8}y-2z)) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Quadrat | 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Quadrats ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel ''Ausmultiplizieren'' an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst und bei (ii) wie dein erster Zwischenschritt aussieht.<br />
Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. <br /> <br />
Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= <br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
[[Datei:Knobel 2.jpg|500px|links]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''3c()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Datei:Knobel_2.jpg&diff=38360
Datei:Knobel 2.jpg
2020-12-03T00:26:18Z
<p>Alina WWU-7: Hochgeladen mit VisualEditor Seite</p>
<hr />
<div>{{Information<br />
|description = Knobelaufgabe zum Faktorisieren/Ausmultiplizieren<br />
|source = Eigene Arbeit<br />
|author = [[User:Alina WWU-7|Alina WWU-7]]<br />
}}<br />
<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38359
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-03T00:18:41Z
<p>Alina WWU-7: /* Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1704712}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-({1\over 4}y-(5x+3z)-(x+{5\over 8}y-2z)) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Quadrat | 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Quadrats ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel ''Ausmultiplizieren'' an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst und bei (ii) wie dein erster Zwischenschritt aussieht.<br />
Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. <br /> <br />
Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= <br /> <br />
[[Datei:Knobel .jpg|500px|links]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Datei:Knobel_.jpg&diff=38358
Datei:Knobel .jpg
2020-12-03T00:17:58Z
<p>Alina WWU-7: Hochgeladen mit VisualEditor Seite</p>
<hr />
<div>{{Information<br />
|description = Knobelaufgabe zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren<br />
|source = Eigene Arbeit<br />
|author = [[User:Alina WWU-7|Alina WWU-7]]<br />
}}<br />
<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38357
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-03T00:11:47Z
<p>Alina WWU-7: /* Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1704712}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-({1\over 4}y-(5x+3z)-(x+{5\over 8}y-2z)) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Quadrat | 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Quadrats ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel ''Ausmultiplizieren'' an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst und bei (ii) wie dein erster Zwischenschritt aussieht.<br />
Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. <br /> <br />
Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= <br /> <br />
[[Datei:Knobel 1.jpg|500px|links]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<math> x = </math> '''5b()'''<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38356
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-03T00:10:16Z
<p>Alina WWU-7: /* Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1704712}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-({1\over 4}y-(5x+3z)-(x+{5\over 8}y-2z)) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Quadrat | 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Quadrats ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel ''Ausmultiplizieren'' an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst und bei (ii) wie dein erster Zwischenschritt aussieht.<br />
Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. <br /> <br />
Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= <br /> <br />
[[Datei:Knobel 1.jpg|500px|links]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
'''5b()''' <math> x = </math> <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38355
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-03T00:06:51Z
<p>Alina WWU-7: /* Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1704712}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-({1\over 4}y-(5x+3z)-(x+{5\over 8}y-2z)) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Quadrat | 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Quadrats ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel ''Ausmultiplizieren'' an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst und bei (ii) wie dein erster Zwischenschritt aussieht.<br />
Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. <br /> <br />
Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= <br /> <br />
[[Datei:Knobel 1.jpg|500px|links]]<br />
<br />
<br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38354
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-03T00:05:36Z
<p>Alina WWU-7: /* Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1704712}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-({1\over 4}y-(5x+3z)-(x+{5\over 8}y-2z)) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Quadrat | 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Quadrats ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel ''Ausmultiplizieren'' an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst und bei (ii) wie dein erster Zwischenschritt aussieht.<br />
Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. <br /> <br />
Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Pferderennen | 2= <br /> <br />
[[Datei:Knobel 1.jpg|200px|links]]<br />
<br />
<br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38353
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-03T00:03:38Z
<p>Alina WWU-7: /* Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1704712}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-({1\over 4}y-(5x+3z)-(x+{5\over 8}y-2z)) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Quadrat | 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Quadrats ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel ''Ausmultiplizieren'' an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst und bei (ii) wie dein erster Zwischenschritt aussieht.<br />
Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. <br /> <br />
Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Pferderennen | 2= <br /> <br />
[[Datei:Knobel 1.jpg|mini]]<br />
<br />
<br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= <br />
<math> 9x^2-6xy+y^2 = (3x-y)^2 </math>, denn <math> ({\color{green}3x}-{\color{blue}y})^2 = {\color{green}(3x)}^2-2 \cdot {\color{green}3x}{\color{blue}y}+{\color{blue}y}^2 = 9x^2-6xy+y^2 </math> (2. binomische Formel) |2=Beispiel|3=Beispiel verbergen}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Setze für <math> b = a-1 </math> ein. |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Datei:Knobel_1.jpg&diff=38352
Datei:Knobel 1.jpg
2020-12-03T00:03:12Z
<p>Alina WWU-7: Hochgeladen mit VisualEditor Seite</p>
<hr />
<div>{{Information<br />
|description = Knobelaufgabe zum Faktorisieren und Ausmultiplizieren<br />
|source = Eigene Arbeit<br />
|author = [[User:Alina WWU-7|Alina WWU-7]]<br />
}}<br />
<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38249
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-02T15:33:33Z
<p>Alina WWU-7: /* Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1704712}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-({1\over 4}y-(5x+3z)-(x+{5\over 8}y-2z)) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Quadrat | 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Quadrats ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel ''Ausmultiplizieren'' an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst und bei (ii) wie dein erster Zwischenschritt aussieht.<br />
Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. <br /> <br />
Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite des Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Pferderennen | 2= In dieser Aufgabe geht es darum, das Gelernte möglichst schnell anzuwenden, denn du trittst gegen den Computergegner an 😉 wer gewinnt das Rennen?<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=13534047}} <br />
<br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.| 3=Arbeitsmethode}}<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38248
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-02T15:32:09Z
<p>Alina WWU-7: /* Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1704712}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-({1\over 4}y-(5x+3z)-(x+{5\over 8}y-2z)) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Quadrat | 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Quadrats ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel ''Ausmultiplizieren'' an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst und bei (ii) wie dein erster Zwischenschritt aussieht.<br />
Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite deines Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. <br /> <br />
Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite deines Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite deinens Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite deines Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite deines Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Pferderennen | 2= In dieser Aufgabe geht es darum, das Gelernte möglichst schnell anzuwenden, denn du trittst gegen den Computergegner an 😉 wer gewinnt das Rennen?<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=13534047}} <br />
<br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.| 3=Arbeitsmethode}}<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7
https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Fit_f%C3%BCr_VERA-8/Terme&diff=38247
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
2020-12-02T15:31:39Z
<p>Alina WWU-7: /* Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren */</p>
<hr />
<div>{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:<br />
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.<br />
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.<br />
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.<br />
Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}<br />
===1) Terme zusammenfassen===<br />
====Einführung====<br />
{{Box |1= Rechenregeln | 2=Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei: <br/> <br/><br />
'''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/> Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden. <br/> <br />
Beispiele: <br/><br />
1) <math> {\color{blue}2a^2}{\color{red}+a+3a} </math> <br/> <br />
<math> = {\color{blue}2a^2}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/><br />
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y^2}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math> <br/><br />
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/><br />
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/><br />
3) <math> {\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}</math> <br/><br />
<math> = {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy} </math> <br/><br />
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren. <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/><br />
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/><br />
Beispiel: <br/><br />
4) <math> 2{\color{red}x} \cdot 4{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot {\color{red}x} \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot 4 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8 \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 8{\color{red}x^2}{\color{blue}y} </math> <br/> <br />
<br />
Beachte die Vorzeichen der Faktoren. <br/><br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/><br />
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/><br />
'''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |2=Erinnerung |3=Erinnerung ausblenden}} <br />
Beispiel: <br/><br />
5) <math> 2{\color{red}x} \cdot (-7{\color{red}x^2}{\color{blue}y}) \cdot (-3{\color{blue}y^3}) </math> <br/><br />
<math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{red}x^2} \cdot {\color{blue}y} \cdot {\color{blue}y^3} </math> <br/> <br />
<math> = 42{\color{red}x^3}{\color{blue}y^4} </math><br />
<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
===Aufgaben===<br />
<br />
{{Box | Aufgabe 1: Wer wird Millionär? |<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1704712}} <br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach. | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}<br />
<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Rechenaufgaben | 2= Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben. <br/><br />
<br />
'''a)''' <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich". | 2= Tipp| 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 64 </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4 </math> <br/><br />
<math> = 30+30+4 </math> <br/><br />
<math> = 64 </math>| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''b)''' <math> 3x-4y-2z+4y-2x</math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> x+8y-2z </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}3x}{\color{blue}-4y}{\color{green}-2z}{\color{blue}+4y}{\color{red}-2x}</math> <br/><br />
<math> = {\color{red}3x-2x}{\color{blue}-4y+4y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{green}-2z} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''c)''' <math> x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> xy+3x </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot 2 \cdot {\color{blue}y}+3{\color{red}x}-{\color{blue}y} \cdot {\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+3{\color{red}x} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''d)''' <math> x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 16xy+x^2+2y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}x} \cdot {\color{blue}y}+{\color{red}x} \cdot {\color{red}x}+2 \cdot {\color{blue}y}+3 \cdot {\color{red}x} \cdot 5 \cdot {\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y}+15{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 16{\color{red}x}{\color{blue}y}+{\color{red}x^2}+2{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''e)''' <math> 2x+3xy-y+4x-2yx+y </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 6x+xy </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> 2{\color{red}x}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-{\color{blue}y}+4{\color{red}x}-2{\color{blue}y}{\color{red}x}+{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 2{\color{red}x}+4{\color{red}x}-{\color{blue}y}+{\color{blue}y}+3{\color{red}x}{\color{blue}y}-2{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> <br/><br />
<math> = 6{\color{red}x}+{\color{red}x}{\color{blue}y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
<br />
'''f)''' <math> 12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y) </math> <br/><br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen. | 2=Tipp 1 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor. | 2=Tipp 2 | 3=Tipp einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> -3x-y </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt| 1= <math> {\color{red}12x}{\color{green}-}({\color{red}12x}{\color{blue}+3y}){\color{blue}+4y}{\color{green}-}({\color{red}3x}{\color{blue}+2y}) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x}{\color{blue}-3y+4y}{\color{red}-3x}{\color{blue}-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}12x-12x-3x}{\color{blue}-3y+4y-2y} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}-3x}{\color{blue}-y} </math> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
<br />
'''g)''' <math> 4x-({1\over 4}y-(5x+3z)-(x+{5\over 8}y-2z)) </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>10x+{3\over 8}y+z </math>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{orange}-}\left({\color{red}5x}{\color{green}+3z}\right){\color{orange}-}\left({\color{red}x}+{\color{blue}{5\over 8}y}{\color{green}-2z}\right)\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{orange}-}\left({\color{blue}{1\over 4}y}{\color{red}-5x}{\color{green}-3z}{\color{red}-x}{\color{blue}-{5\over 8}y}{\color{green}+2z}\right) </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x}{\color{blue}-{1\over 4}y}{\color{red}+5x}{\color{green}+3z}{\color{red}+x}{\color{blue}+{5\over 8}y}{\color{green}-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{1\over 4}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}4x+5x+x}{\color{blue}-{2\over 8}y+{5\over 8}y}{\color{green}+3z-2z} </math> <br/><br />
<math> = {\color{red}10x}{\color{blue}+{3\over 8}y}{\color{green}+z} </math> |2=Lösungsweg|3=Lösungsweg einklappen}} <br/> <br/><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode }}<br />
<br />
{{Box| 1= Aufgabe 3: Magisches Quadrat | 2= Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Quadrats ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen. <br/> <br />
<br />
<br />
{{(!}} class="wikitable"<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{!-}}<br />
{{!}} ''' 5a+5''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-8()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''3a+6()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''a+2'''<br />
{{!}} '''3a+1'''<br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a()''' </div><br />
{{!-}}<br />
{{!}} '''3a-4''' <br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''5a+10()''' </div><br />
{{!}} <div class="lueckentext-quiz"> '''a-3()''' </div><br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein | 2=Tipp 1 | 3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist. | 2=Tipp 2 |3= Tipp ausblenden }}<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Magisches Dreieck ausgefüllt.png|mini|center]]<br />
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} <br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
<br />
===2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren===<br />
====Terme ausmultiplizieren====<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man '''den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.''' So wird z.B. der Faktor <math>{\color{green}2}</math> mit jedem Glied aus der Klammer <math>(5 + 3)</math> multipliziert: <br /><br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|400px | links | thumb ]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:<br />
<br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.<br />
<br />
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:<br />
<br />
<math>2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4</math>.<br />
<br />
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:<br />
<br />
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br />
<br />
Das '''Distributivgesetz''' kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen: <br />
<br />
[[File:Illustration of distributive property with rectangles.svg| 500px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br /><br />
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br /><br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math><br />
<br />
|2=Erinnerung|3=Verbergen}}<br />
<br />
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''<br />
<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.<br />
<br />
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.<br />
<br />
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.<br />
<br />
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}<br />
<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. <br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel ''Ausmultiplizieren'' an.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br /><br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br /><br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br /><br />
d) <math> 5a(b+\frac{1}{5}c+3d) = </math> '''<math> 5ab+ac+15ad </math>''' <br /><br />
e) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br /><br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
g) <math> -\frac{1}{4}(a-b) </math> = '''<math> -\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}b </math>''' <br /><br />
h) <math> (\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+20d) </math> = '''<math> ac+10ad+bc+10bd </math>'''<br />
<br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Terme faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1=Rechenregeln | 2=Beim ''Faktorisieren'' (auch genannt: ''Ausklammern'') geht es '''genau umgekehrt wie beim ''Ausmultiplizieren'' darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen.''' Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|425_2PDl4b4}}</div><br />
{{Lösung versteckt|1= <math> {\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b) </math> <br /> <br />
<math> {\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y) </math> <br /> <br />
<math> 16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y) </math> <br /> <br />
<math> 6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c) </math> <br />
|2=Zum Nachschauen findet ihr hier nochmal die Beispiele aus dem Video|3=Verbergen}} <br />
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt. <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1= Du faktorisierst: <br /> <br />
<math> 9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2) </math> <br /> <br />
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst: <br /> <br />
<math> 3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x </math> <br /> <br />
Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.<br />
|2=Beispiel zur Probe|3=Verbergen}}<br />
| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Aufgabe=====<br />
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern? <br />
<br \><br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>) (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math> x</math>) <math> </math><br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>) (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math> x</math>) <br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> 5 </math>) (<math> x </math>) (!<math> y </math>) (!<math> 2z </math>)<br />
</div><br />
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \><br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3] + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot 3 + 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] - 12 \cdot x </math>) (!<math> 12 \cdot [-3] + x </math>)<br />
<br />
</div><br />
<br />
c) Klammere komplett aus:<br />
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst und bei (ii) wie dein erster Zwischenschritt aussieht.<br />
Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum ''Faktorisieren'' erklärt ist. <br /> <br />
|2=Tipp|3=Verbergen}}<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)<br />
<br />
(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>) (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)<br />
<br />
(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>) (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>) <br />
</div><br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}<br />
<br />
====Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren====<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus | 2= Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a) '''3()''' <math> \cdot (2x + 7) = 6x + 21 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere die rechte Seite deines Terms aus.<br />
|2=Tipp 1|3=Verbergen}} <br />
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir dafür zunächst was du mit <math>2x</math> multiplizieren musst, damit du <math>6x</math> erhältst bzw. was du mit <math>7</math> multiplizieren musst, damit du <math>21</math> erhältst. <br /> <br />
Mache die Probe, wenn du den Platzhalter ausgefüllt hast.<br />
|2=Tipp 2|3=Verbergen}} <br /> <br />
b) '''15()''' <math> \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die rechte Seite deines Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
c) <math> 4 \cdot (-3z + 2) = </math> '''-12()''' <math> \cdot z + 8 </math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite deinens Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
d) <math> 9y - 15 = 3 \cdot (3y </math> '''-5()''' <math>)</math> <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=Klammere <math>3</math> auf der linken Seite deines Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
e) <math> (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = </math> '''-4()''' <math> \cdot a + </math> '''7()'''<br />
{{Lösung versteckt|1=Multipliziere die linke Seite deines Terms aus.<br />
|2=Tipp|3=Verbergen}} <br /> <br />
<br />
</div><br />
<br />
| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box | 1= Aufgabe 4: Pferderennen | 2= In dieser Aufgabe geht es darum, das Gelernte möglichst schnell anzuwenden, denn du trittst gegen den Computergegner an 😉 wer gewinnt das Rennen?<br />
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=13534047}} <br />
<br />
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
<br />
===3) Binomische Formeln===<br />
<br />
=====Was sind die binomischen Formeln?=====<br />
{{Box | 1=Definition | 2=Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: <br /> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /><br />
<div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br />| 3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Herleitung der binomischen Formeln=====<br />
{{Box | 1=Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten | 2=Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten. <br />Stelle dazu eine Gleichungskette der Form <math> (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 </math> auf.<br />
{{Lösung versteckt|1=Beginne mit dem Ausgangsterm <math>(a+b)^2</math> und schreibe die Potenz wie folgt aus: <math>(a+b)\cdot(a+b)</math>. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm <div align="center"><math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2</math></div> <br /> Nun wird die Potenz ausgeschrieben <div align="center"> <math>=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})</math> </div> <br /> Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert <div align="center"> <math>={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}</math> </div> <br /> Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis: <div align="center"> <math>={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2</math> </div>|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2</math> |2=Anwendungsbeispiel der ersten binomischen Formel|3=Beispiel ausblenden}}| 3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
{{Box|1=Geometrische Herleitung|2=<br />
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine ''anschaulichere Möglichkeit'', die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das '''Vergleichen von Flächen'''. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte '''geometrisch''' und '''rechnerisch''' bewirkt.<br />
<ggb_applet id="WEEdZyfV" width="1000" height="550" border="888888" /><br />
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist <math>(a+b)^2 </math> und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus '''vier Teilflächen''' zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte <math>a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 </math>. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als '''Summe der Teilflächen''': <math>a^2+ 2ab+ b^2 </math> Das ist gerade die '''1. binomischen Formel'''.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box|1=Beachte|2=<br />
* Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln<br />
* Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an. <br \> <br \> <div align="center">{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE}}</div>|3=Merksatz}}<br />
<br />
=====Beispiele=====<br />
{{Box|1=Anwendungsbeispiele|2=<br />
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''1. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br \> <br \><br />
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden: <br \><br />
a)<math>({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)</math> <br \> <br \><br />
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden: <br \><br />
b)<math>({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 </math> <br \> <br \><br />
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen: <br \><br />
c)<math>({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 </math> <br \><br />
|2=Beispiele zur 1. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''2. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a)<math>({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2</math> <br \> <br \><br />
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, <u>bevor</u> die binomische Formel angewendet wird: <br /><br />
b)<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}2}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \> <br />
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:<br />
<math>(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = (-{\color{blue}2})^2+2{\color{blue}(-2)}{\color{green}w}+{\color{green}w}^2 = 4-4w+w^2 = w^2-4w+4</math> <br \> <br \><br />
c)<math>({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2</math> <br \>|2=Beispiele zur 2. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zur Erinnerung: <div align="center">'''3. binomische Formel:''' <math>({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 </math> </div> <br /> <br /> <br />
a) <math>({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2 </math> <br /> <br /> <br />
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die ''Summe'' oder die ''Differenz'' erscheint (Assoziativgesetz): <br /><br />
b) <math>({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}</math> <br /> <br /> <br />
c) <math>({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2 </math> <br /> <br /> <br />
|2=Beispiele zur 3. binomischen Formel|3=Beispiele ausblenden}}|3=Hervorhebung1}}<br />
<br />
====Aufgaben====<br />
{{Box|1=Aufgabe 1: Welche binomische Formel?|2= Ordne zu.<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
{{{!}}<br />
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 2. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(19-x)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(3-5)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(25-y)^2</math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} 3. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+t)(5-t)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png"> (1,37-2)(1,37+2) </math><br />
{{!}}-<br />
{{!}} Das ist keine binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(4+7)(5-7)</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(5+7)^{1\over 2}</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">s+3^2</math><br />
{{!}}}<br />
</div><br />
<br />
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} <br />
}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)| 2=<br />
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.| 3=Arbeitsmethode}}<br />
[[Datei:CrangerKirmes05.jpg|mini|center|Alle einsteigen bitte]]<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
a)<math> 225+30a+a^2 = (</math>'''15()'''<math>+</math>'''a()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
b)<math> 9a^2-16b^2 = (</math>'''3a()'''<math>+</math>'''4b()'''<math>)\cdot ( </math>'''3a()'''<math>-</math>'''4b()''') <br /><br />
c)<math> 81u^2-36u+4 = (</math>'''9u()'''<math>-</math>'''2()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
d)<math> 4m^2+28m+49 = (</math>'''2m()'''<math>+</math>'''7()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
e)<math> 64y^2-160yz+100z^2 = (</math>'''8y()'''<math>-</math>'''10z()'''<math>)^2 </math> <br /><br />
f)<math> 36u^2-121w^2 = (</math>'''6u()'''<math>+</math>'''11w()'''<math>)\cdot ( </math>'''6u()'''<math>-</math>'''11w()''') <br /><br />
<br />
</div> <br />
{{Lösung versteckt|1='''Klammere aus'''. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch [[#Terme faktorisieren|hier]] noch einmal vorbeischauen. <br />
Schaue dir auch noch einmal die [[#Was sind die binomischen Formeln?|binomischen Formeln]] an und entscheide, '''wann''' du '''welche''' Formel anwenden kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}<br />
<br />
{{Box | 1=Aufgabe 3: Warum ist das so?| 2=<br />
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende ''natürliche'' Zahlen <math> a </math> und <math> b </math> mit <br />
<math> b = a-1 </math>. <br /><br />
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt: <br /><br />
Die Differenz <math> a^2-b^2 </math> ist gleich der Summe <math> a+b </math>. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.<br />
{{Lösung versteckt|1= Bilde eine Gleichungskette <math> a^2-b^2 = ... = a+b </math> |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1= Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel. |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt: <div align="center"><math>a^2-b^2 = (a-b)(a+b)</math></div> <br /> Dann wird für <math> b = a-1 </math> eingesetzt: <div align="center"> <math>= (a-(a-1))(a+(a-1)) </math> </div> <br /> Nun die erste Klammer auflösen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(a-1))</math> </div> <br /> Schließlich für <math> a-1 = b </math> einsetzen: <div align="center"> <math>= 1 \cdot (a+(b)) = a+b </math> </div><br />
<br /><br />
<br />
Alternativ:<br />
<math> a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b </math><br />
oder:<br />
<math> a^2-b^2 = a^2-(a-1)^2 = a^2-(a^2-2a+1) = a^2-a^2+2a-1 = 2a-1 = a+(a-1) = a+b </math><br />
<br />
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}</div>
Alina WWU-7