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Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-05-24T13:59:51Z

Valentin WWU-4: /* Klammern in Termen auflösen */

{{Box|Terme und Gleichungen|Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen.
Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

Damit du etwas anspruchsvollere Aufgaben direkt erkennst, sind Aufgaben, die dich fordern mit einem Stern (*) und knifflige Knobelaufgaben mit zwei Sternen (**) gekennzeichnet.

Viel Spaß!|Kurzinfo}}

===Wiederholung: Terme und Gleichungen===
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
 

{{Lösung versteckt|1= Ein '''Term''' ist ein mathematischer Ausdruck, der
Zahlen,
Variablen,
Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und
Klammern enthalten kann.

Beispiele:

<math>1 + 2 </math>
<math>7x - 9y</math>. |2=Was ist ein Term?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Eine '''Gleichung '''<nowiki>ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.</nowiki>

<nowiki>Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)</nowiki>

Beispiele:

<math>4 = 1 + 3</math>

<math>5x = 10</math>.|2= Was ist eine Gleichung?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.

Addieren:
<math>3x + x = 4x</math>

Subtrahieren:
<math>5y - 2y = 3y</math>

Multiplizieren:
<math>x \cdot 2x^2 = 2x^3</math>

Ausmultiplizieren:
<math>z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z</math>

Ausklammern:
<math>3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)</math>.

|2=Terme vereinfachen|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B.
<math>5 + x = 10</math>, ist vor allem derjenige x
-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt '''wahr''', ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt '''Lösung der Gleichung'''.|2= Gleichungen lösen|3= schließen}}

"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pijz11q6t19}}

 

===Wiederholung: Bruchrechnung===
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man auch regelmäßig auf Brüche. Falls Du dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir folgenden Erklärungen an:

 

{{Lösung versteckt|1= 1. Zwei Brüche '''mit gleichem Nenner''' werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.

<math>\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}</math>

2. Vorgehensweise für '''ungleiche Brüche''':

Ungleiche Brüche sind Brüche, bei denen beide Nenner unterschiedliche Werte haben.

Diese Brüche mit '''verschiedenen Nennern''' addiert man, indem man die Brüche auf einen Nenner bringt.
Hierzu müssen die Brüche gekürzt oder erweitert werden. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.

'''Kürzen'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> kürzen mit n:
<math>\frac{a:n}{b:n}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{4}{12}</math> kürzen mit 2:<math>\frac{4:2}{12:2}=\frac{2}{6}</math>

'''Erweitern'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> erweitern mit m: <math>\frac{a \cdot m}{b \cdot m}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{2}{3}</math> erweitern mit 4: <math>\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}</math>|2= Brüche addieren|3= schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Brüche werden miteinander multipliziert, indem man '''Zähler mit Zähler''' und '''Nenner mit Nenner''' multipliziert.

<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>|2= Brüche multiplizieren|3= Merke}}

===Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen===
{{Box|Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x+18x</math>

'''b)''' <math>\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y</math>

'''c)''' <math> \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x </math>
|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.
''Beispiel:'' <math>4x+14x=(4+14) \cdot x=18x</math>. |2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

''Beispiel:'' <math> \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15} </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>23x</math>

'''b)''' <math>6y</math>

'''c)''' <math>-\frac{26}{15}x</math>}}

{{Box|Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2</math>

'''b)''' <math> \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4} </math>

'''c)*''' <math> \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2} </math>

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

''Beispiel:'' <math>3x+5+8x-4=3x+8x+5-4</math>.

'''Beachte:''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Fasse jeweils die Werte mit gleicher Variable zusammen.

''Beispiel :'' <math>3x+8x+5-4=11x+1</math>.
|2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 3 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''a)''' <math>7x-3</math>

'''b)''' <math>22z-3</math>

'''c)''' <math>5y+6</math>}}

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen|Fasse die Terme zusammen

'''a)''' <math> 214x + 24y - 5x + 23y + 24</math>

'''b)''' <math> \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y</math>

'''c)*''' <math> \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

''Beispiel:'' <math>3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4</math>.

'''Beachte''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>209x+ 47y + 24</math>

'''b)''' <math>15x+3y+17</math>

'''c)''' <math>7x+5y+3</math>}}

{{Box| Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten|

'''a)''' <math> 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 </math>

'''b)''' <math> \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2</math>

'''c)*''' <math> \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. <math>x </math> und <math>x^2 </math>) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

''Beispiel:'' <math>3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x</math>.

|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>11x^2+28y-24</math>

'''b)''' <math>\frac{3}{4}x^2 -2x -2</math>, das <math>y</math> fällt hier weg, da <math>0 \cdot y = 0</math> sind.

'''c)''' <math>4x^3</math>}}

{{Box|Aufgabe 5 - Pferderennen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pth88w7w319}}

|Arbeitsmethode}}

===Klammern in Termen auflösen===
{{Box|1=Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

a) <math>5\cdot(8-9y)</math>

b) <math>(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})</math>

c) <math>\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})</math>

{{Lösung versteckt|Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}(-4)} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}(-4)} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}(-4)} \cdot {\color{green}7}) = -20 - (-28) = -20+28 = 8</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommutativgesetz der Multiplikation zurück.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>40-45y</math>

b) <math>-\frac{5}{3}y+5x</math>

c) <math>\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

a) <math>3x \cdot (11+5y)</math>

b) <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>

c) <math>x \cdot (x-15y)</math>

{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>33x+15xy</math>

b) <math>33x^2-30xy</math>

c) <math>x^2-15xy</math>|2=Lösung|3=schließen}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern|2=
Löse die Klammern auf.

a) <math>(7+5b)^2</math>

b) <math>(5c+6d)^2</math>

c) <math>(-6f-t)^2</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.
Das Bild soll dir eine Veranschaulichung der 1. Binomischen Formel geben:

Das große Quadrat <math>(a+b)^2</math> ist gleich der Summe der beiden kleinen Quadrate (<math>a^2</math> und <math>b^2</math>) und der beiden Rechtecke (jeweils <math>ab</math>).

[[Datei:1. Binomische Formel.jpg|1. Binomische Formel.jpg]]

2. Binomische Fomel:

<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>

3. Binomische Formel:
<math>(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2</math>|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>49+70b+25b^2</math>

b) <math>25c^2+60cd+36d^2</math>

c) <math>36f^2+12ft+t^2</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Terme durch Ausklammern in Produkte umformen===
{{Box|Aufgabe 9 - Ausklammern|Klammere möglichst viel aus.

'''a)''' <math>9x+9y+9z</math>

'''b)''' <math>81x+45y</math>

'''c)''' <math>5x-4xy+9xz</math>

'''d)''' <math>25a-35ab+50ax</math>

'''e)''' <math>8ax+24xy+64abxz</math>

'''f)''' <math>4abx+6axy+32abxyz</math>

{{Lösung versteckt|1=Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird vor die Klammer gesetzt. Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Die Summanden in der Klammer sind jeweils das, was beim Teilen durch den ggT (Weglassen) übrigbleibt.|2=Tipp 1, allgemeiner Tipp|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Dieselbe Zahl:
"Beispiel" Bei 3x+3y soll ausgeklammert werden. 3x und 3y haben die 3 gemeinsam. Also können wir sie ausklammern: <math>3x+3y=3(x+y)</math>. |2=Tipp 2, Tipp zu a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Nicht dieselbe Zahl, aber die Zahlen haben einen gemeinsamen Teiler:
"Beispiel" Bei 12x+18y soll ausgeklammert werden. 12 und 18 sind in der 6er-Reihe. Der ggT von 12 und 18 ist 6. Also klammern wir die 6 aus: <math>12x+18y=6(2x+3y)</math>|2=Tipp 3, Tipp zu b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Gemeinsamer ggT der Zahlen und mindestens eine gemeinsame Variable:
"Beispiel" Bei 21x+35xy soll ausgeklammert werden. Die 21 und die 35 sind beide in der 7er-Reihe. Außerdem kommt die Variable x bei beiden Summanden vor. Also klammern wir das 7x aus: <math>21x+35xy=7x(3+5y)</math>.|2=Tipp 4, Tipp zu c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>9(x+y+z)</math>. |2=Lösung von a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>9(9x+5y)</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>x(5-4y+9z)</math>.|2=Lösung von c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>5a(5-7b+10x)</math>.|2=Lösung von d)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>8x(a+3y+8abz)</math>.|2=Lösung von e)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>.|2=Lösung von f)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= a) <math>9(x+y+z)</math>.

b) <math>9(9x+5y)</math>.

c) <math>x(5-4y+9z)</math>.

d) <math>5a(5-7b+10x)</math>.

e) <math>8x(a+3y+8abz)</math>.

f) <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>|2=Lösungen von allen Teilaufgaben|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen===
{{Box| Aufgabe 10|Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?
{{Lösung versteckt|1=Setze eine Länge als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=kürzere Seite

<math>2 \cdot x+2 \cdot (x+38)=132 \quad | Vereinfachen</math>

<math>2 \cdot x+2 \cdot x+76=132 \quad | Vereinfachen</math>

<math>4 \cdot x+76=132 \quad | -76</math>

<math>4 \cdot x=56 \quad | :4</math>

<math>x=14</math>

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52|2=Lösung|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

{{Box| Aufgabe 11|Peter ist zusammen mit seinem Vater und seiner Mutter zusammen 100 Jahre alt. Sein Vater ist 3 Mal so alt wie er selbst und seine Mutter ist 5 Jahre jünger als sein Vater. Wie alt ist Peter, sein Vater und seine Mutter?
{{Lösung versteckt|1=Setze ein Alter als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Mathematisiere ausgehend von einem Alter x durch Terme die anderen Alter (z.B. 5 Jahre älter bedeutet (x+5).|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x= Alter von Peter

Wenn x das Alter von Peter ist, dann ist <math>(3 \cdot x)</math> das Alter des Vaters und somit ist das Alter der Mutter <math>(3 \cdot x-5)</math>.

Also:

<math>x+3 \cdot x+(3 \cdot x-5)=100 \quad | Vereinfachen</math>

<math>7 \cdot x-5=100 \quad | +5</math>

<math>7 \cdot x=105 \quad | :7</math>

<math>x=15</math>

mein Alter: 15

Alter meiner Mutter: 40

Alter meines Vaters: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box| Aufgabe 12|Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.
Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?
{{Lösung versteckt|1=Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Finn

<math>x+\frac{1}{2} \cdot x+(x-5)=30 \quad | Vereinfachen</math>

<math>2,5 \cdot x-5=30 \quad | +5</math>

<math>2,5 \cdot x=35 \quad | :2,5</math>

<math>x=14</math>

Finn: 14 Tore

Jürgen: 7 Tore

Herbert: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungen lösen===

{{Box| Was sind überhaupt lineare Gleichungen?|
Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

<math> x^1=x </math>.

Ihre einfachste Form ist: <math> a \cdot x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch diesen [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen|Lernpfad zu linearen Funktionen]] nochmal an.
|Kurzinfo}}

{{Box| Aufgabe 13 - Lineare Gleichungen lösen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pitodik3519}}

{{Lösung versteckt|1= Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

<math> 3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x</math>

<math> \Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4 </math>

<math> \Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x </math>

<math> \Leftrightarrow 12 = 2x </math>

<math> \Leftrightarrow 6 = x </math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Quadratische Gleichungen lösen===
{{Box|Aufgabe 14|Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>x^2-11x+24=0</math>

'''b)''' <math>y^2+7y-8=0</math>

'''c)''' <math>z^2-20z+96=0</math>

'''d)''' <math>x^2+48x+135=0</math>

'''e)''' <math>a^2+107a-108=0</math>

'''f)''' <math>x^2+6x+8=0</math>

'''g)''' <math>x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0</math>

'''h)''' <math>x^2-9x+20=0</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{3;8\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;1\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{8;12\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-45;-3\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-108;1\}</math>|2=Lösung von e)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;-2\}</math>|2=Lösung von f)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\}</math>|2=Lösung von g)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4;5\}</math>|2=Lösung von h)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 15|Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+8)\cdot(x-2)=0</math>

'''b)''' <math>(2x-6)\cdot(3x+5)=0</math>

'''c)''' <math>(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0</math>

{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;2\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1\frac{2}{3};3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;14\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 16|Löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x-3)^2=16</math>

'''b)''' <math>x^2+8x+16=49</math>

'''c)''' <math>x^2+8x=9</math>

'''d)''' <math>3x^2-3x-60=0</math>

{{Lösung versteckt|Teile die Gleichung erst durch 3.|2=Tipp zu d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;7\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-11;3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;1\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;5\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>(x-3)^2=16</math>

<math>\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}</math>

<math>x-3=4\lor x-3=-4</math>

<math>x_1=7\lor x_2=-1</math>

<math>L=\{-1;7\}</math>

|2=Rechenweg zu a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x+16=49</math>

<math>(x+4)^2=49</math>

<math>x+4=7\lor x+4=-7</math>

<math>x_1=3\lor x_2=-11</math>

<math>L=\{-11;3\}</math>

|2=Rechenweg zu b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x=9</math>

<math>x^2+8x+16=9+16</math>

<math>(x+4)^2=25</math>

<math>x+4=5\lor x+4=-5</math>

<math>x_1=1\lor x_2=-9</math>

<math>L=\{-9;1\}</math>

|2=Rechenweg zu c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>3x^2-3x-60=0</math>

<math>x^2-x-20=0</math>

<math>x^2-x=20</math>

<math>x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}</math>

<math>(x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}</math>

<math>x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}</math>

<math>x_1=5\lor x_2=-4</math>

<math>L=\{-4;5\}</math>

|2=Rechenweg zu d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 17*|Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22</math>

'''b)''' <math>(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x</math>

'''c)''' <math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3</math>

'''d)''' <math>(2y+6)(17,5-2,5y)-(10+5y)(2y-3)=(7y+20)(4-1,4y)</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4,95;-2,5\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{5;\frac{1}{3}\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;2\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-5;-2\frac{3}{26}\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungssysteme lösen===
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:

{{Lösung versteckt|1=
# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
# Berechne die Unbekannten

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
# Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
# Gleichung nach der Variablen auflösen
# Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}}

{{Box|Aufgabe 18|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft:

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst zum Lösen das Additionsverfahren benutzen, um die Variable y zu eliminieren.

|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

Addiere Gleichung I zu Gleichung II

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 8x + 0y = 16</math>

Berechne die Lösung für II

<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math>

<math>x = 2</math>

Setze x = 2 in I ein

<math>3x + 4y = 22</math>

<math>3 \cdot 2 + 4y = 22</math>

<math>6 + 4y = 22\quad|-6</math>

<math>4y = 16\quad|:4</math>

<math>y = 4</math>

Lösung:

<math>x = 2, y = 4</math>.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

===Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen===
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.{{Box|Aufgabe 19*|In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Eine Gleichung sollte 18, die andere 84 als Ergebnis haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>
|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
''Additionsverfahren:''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 0x + 2y = 12</math>

Löse die Gleichung II.

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

''Einsetzungsverfahren''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Löse I nach x auf.

<math>x + y =18 \quad| -y</math>

<math>x = 18 - y</math>

Setze die Gleichung für x in II ein

<math>4(18 - y) + 6y = 84</math>

<math>72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72</math>

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

'''Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 20**|Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der Erste und der Zweite besitzen
zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der Dritte; der Erste und der Dritte haben zusammen um
40 Denare mehr als der Zweite; und der Zweite und der Dritte haben zusammen um 30
Denare mehr als der Erste. Wie viel besitzt jeder der Drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn Person A 10€ mehr hat als Person B, gilt: A - B = 10€|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c =30</math>

|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c = 30</math>

Addiere I + II und I + III.

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad 2a + 0b + 0c = 60</math>

<math>III\quad 0a + 2b + 0c = 30</math>

Löse die Gleichungen II und III.

<math>II\quad 2a = 60 \quad| :2</math>

<math>II\quad a = 30</math>

<math>III\quad 2b = 50 \quad| :2</math>

<math>III\quad b = 25</math>

Setze a und b in I ein.

<math>a + b - c = 20</math>

<math>30 + 25 - c = 20 \quad| -30 \quad| - 25</math>

<math>-c = -35</math>

<math>c = 35</math>

'''Der Erste hat 30, der Zweite 25 und der Dritte 35 Denare'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-05-24T13:55:01Z

Valentin WWU-4: /* Klammern in Termen auflösen */

{{Box|Terme und Gleichungen|Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen.
Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

Damit du etwas anspruchsvollere Aufgaben direkt erkennst, sind Aufgaben, die dich fordern mit einem Stern (*) und knifflige Knobelaufgaben mit zwei Sternen (**) gekennzeichnet.

Viel Spaß!|Kurzinfo}}

===Wiederholung: Terme und Gleichungen===
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
 

{{Lösung versteckt|1= Ein '''Term''' ist ein mathematischer Ausdruck, der
Zahlen,
Variablen,
Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und
Klammern enthalten kann.

Beispiele:

<math>1 + 2 </math>
<math>7x - 9y</math>. |2=Was ist ein Term?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Eine '''Gleichung '''<nowiki>ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.</nowiki>

<nowiki>Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)</nowiki>

Beispiele:

<math>4 = 1 + 3</math>

<math>5x = 10</math>.|2= Was ist eine Gleichung?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.

Addieren:
<math>3x + x = 4x</math>

Subtrahieren:
<math>5y - 2y = 3y</math>

Multiplizieren:
<math>x \cdot 2x^2 = 2x^3</math>

Ausmultiplizieren:
<math>z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z</math>

Ausklammern:
<math>3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)</math>.

|2=Terme vereinfachen|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B.
<math>5 + x = 10</math>, ist vor allem derjenige x
-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt '''wahr''', ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt '''Lösung der Gleichung'''.|2= Gleichungen lösen|3= schließen}}

"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pijz11q6t19}}

 

===Wiederholung: Bruchrechnung===
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man auch regelmäßig auf Brüche. Falls Du dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir folgenden Erklärungen an:

 

{{Lösung versteckt|1= 1. Zwei Brüche '''mit gleichem Nenner''' werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.

<math>\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}</math>

2. Vorgehensweise für '''ungleiche Brüche''':

Ungleiche Brüche sind Brüche, bei denen beide Nenner unterschiedliche Werte haben.

Diese Brüche mit '''verschiedenen Nennern''' addiert man, indem man die Brüche auf einen Nenner bringt.
Hierzu müssen die Brüche gekürzt oder erweitert werden. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.

'''Kürzen'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> kürzen mit n:
<math>\frac{a:n}{b:n}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{4}{12}</math> kürzen mit 2:<math>\frac{4:2}{12:2}=\frac{2}{6}</math>

'''Erweitern'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> erweitern mit m: <math>\frac{a \cdot m}{b \cdot m}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{2}{3}</math> erweitern mit 4: <math>\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}</math>|2= Brüche addieren|3= schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Brüche werden miteinander multipliziert, indem man '''Zähler mit Zähler''' und '''Nenner mit Nenner''' multipliziert.

<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>|2= Brüche multiplizieren|3= Merke}}

===Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen===
{{Box|Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x+18x</math>

'''b)''' <math>\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y</math>

'''c)''' <math> \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x </math>
|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.
''Beispiel:'' <math>4x+14x=(4+14) \cdot x=18x</math>. |2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

''Beispiel:'' <math> \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15} </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>23x</math>

'''b)''' <math>6y</math>

'''c)''' <math>-\frac{26}{15}x</math>}}

{{Box|Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2</math>

'''b)''' <math> \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4} </math>

'''c)*''' <math> \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2} </math>

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

''Beispiel:'' <math>3x+5+8x-4=3x+8x+5-4</math>.

'''Beachte:''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Fasse jeweils die Werte mit gleicher Variable zusammen.

''Beispiel :'' <math>3x+8x+5-4=11x+1</math>.
|2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 3 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''a)''' <math>7x-3</math>

'''b)''' <math>22z-3</math>

'''c)''' <math>5y+6</math>}}

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen|Fasse die Terme zusammen

'''a)''' <math> 214x + 24y - 5x + 23y + 24</math>

'''b)''' <math> \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y</math>

'''c)*''' <math> \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

''Beispiel:'' <math>3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4</math>.

'''Beachte''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>209x+ 47y + 24</math>

'''b)''' <math>15x+3y+17</math>

'''c)''' <math>7x+5y+3</math>}}

{{Box| Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten|

'''a)''' <math> 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 </math>

'''b)''' <math> \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2</math>

'''c)*''' <math> \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. <math>x </math> und <math>x^2 </math>) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

''Beispiel:'' <math>3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x</math>.

|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>11x^2+28y-24</math>

'''b)''' <math>\frac{3}{4}x^2 -2x -2</math>, das <math>y</math> fällt hier weg, da <math>0 \cdot y = 0</math> sind.

'''c)''' <math>4x^3</math>}}

{{Box|Aufgabe 5 - Pferderennen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pth88w7w319}}

|Arbeitsmethode}}

===Klammern in Termen auflösen===
{{Box|1=Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

a) <math>5\cdot(8-9y)</math>

b) <math>(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})</math>

c) <math>\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})</math>

{{Lösung versteckt|Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}(-4)} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}(-4)} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}(-4)} \cdot {\color{green}7}) = -20 - (-28) = -20+28 = 8</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommutativgesetz der Multiplikation zurück.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>40-45y</math>

b) <math>-\frac{5}{3}y+5x</math>

c) <math>\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

a) <math>3x \cdot (11+5y)</math>

b) <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>

c) <math>x \cdot (x-15y)</math>

{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>33x+15xy</math>

b) <math>33x^2-30xy</math>

c) <math>x^2-15xy</math>|2=Lösung|3=schließen}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern|2=
Löse die Klammern auf.

a) <math>(7+5b)^2</math>

b) <math>(5c+6d)^2</math>

c) <math>(-6f-t)^2</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.
Das Bild soll dir eine Veranschaulichung der 1. Binomischen Formel geben:

[[Datei:1. Binomische Formel.jpg|1. Binomische Formel.jpg]]

2. Binomische Fomel:

<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>

3. Binomische Formel:
<math>(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2</math>|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>49+70b+25b^2</math>

b) <math>25c^2+60cd+36d^2</math>

c) <math>36f^2+12ft+t^2</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Terme durch Ausklammern in Produkte umformen===
{{Box|Aufgabe 9 - Ausklammern|Klammere möglichst viel aus.

'''a)''' <math>9x+9y+9z</math>

'''b)''' <math>81x+45y</math>

'''c)''' <math>5x-4xy+9xz</math>

'''d)''' <math>25a-35ab+50ax</math>

'''e)''' <math>8ax+24xy+64abxz</math>

'''f)''' <math>4abx+6axy+32abxyz</math>

{{Lösung versteckt|1=Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird vor die Klammer gesetzt. Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Die Summanden in der Klammer sind jeweils das, was beim Teilen durch den ggT (Weglassen) übrigbleibt.|2=Tipp 1, allgemeiner Tipp|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Dieselbe Zahl:
"Beispiel" Bei 3x+3y soll ausgeklammert werden. 3x und 3y haben die 3 gemeinsam. Also können wir sie ausklammern: <math>3x+3y=3(x+y)</math>. |2=Tipp 2, Tipp zu a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Nicht dieselbe Zahl, aber die Zahlen haben einen gemeinsamen Teiler:
"Beispiel" Bei 12x+18y soll ausgeklammert werden. 12 und 18 sind in der 6er-Reihe. Der ggT von 12 und 18 ist 6. Also klammern wir die 6 aus: <math>12x+18y=6(2x+3y)</math>|2=Tipp 3, Tipp zu b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Gemeinsamer ggT der Zahlen und mindestens eine gemeinsame Variable:
"Beispiel" Bei 21x+35xy soll ausgeklammert werden. Die 21 und die 35 sind beide in der 7er-Reihe. Außerdem kommt die Variable x bei beiden Summanden vor. Also klammern wir das 7x aus: <math>21x+35xy=7x(3+5y)</math>.|2=Tipp 4, Tipp zu c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>9(x+y+z)</math>. |2=Lösung von a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>9(9x+5y)</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>x(5-4y+9z)</math>.|2=Lösung von c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>5a(5-7b+10x)</math>.|2=Lösung von d)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>8x(a+3y+8abz)</math>.|2=Lösung von e)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>.|2=Lösung von f)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= a) <math>9(x+y+z)</math>.

b) <math>9(9x+5y)</math>.

c) <math>x(5-4y+9z)</math>.

d) <math>5a(5-7b+10x)</math>.

e) <math>8x(a+3y+8abz)</math>.

f) <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>|2=Lösungen von allen Teilaufgaben|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen===
{{Box| Aufgabe 10|Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?
{{Lösung versteckt|1=Setze eine Länge als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=kürzere Seite

<math>2 \cdot x+2 \cdot (x+38)=132 \quad | Vereinfachen</math>

<math>2 \cdot x+2 \cdot x+76=132 \quad | Vereinfachen</math>

<math>4 \cdot x+76=132 \quad | -76</math>

<math>4 \cdot x=56 \quad | :4</math>

<math>x=14</math>

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52|2=Lösung|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

{{Box| Aufgabe 11|Peter ist zusammen mit seinem Vater und seiner Mutter zusammen 100 Jahre alt. Sein Vater ist 3 Mal so alt wie er selbst und seine Mutter ist 5 Jahre jünger als sein Vater. Wie alt ist Peter, sein Vater und seine Mutter?
{{Lösung versteckt|1=Setze ein Alter als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Mathematisiere ausgehend von einem Alter x durch Terme die anderen Alter (z.B. 5 Jahre älter bedeutet (x+5).|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x= Alter von Peter

Wenn x das Alter von Peter ist, dann ist <math>(3 \cdot x)</math> das Alter des Vaters und somit ist das Alter der Mutter <math>(3 \cdot x-5)</math>.

Also:

<math>x+3 \cdot x+(3 \cdot x-5)=100 \quad | Vereinfachen</math>

<math>7 \cdot x-5=100 \quad | +5</math>

<math>7 \cdot x=105 \quad | :7</math>

<math>x=15</math>

mein Alter: 15

Alter meiner Mutter: 40

Alter meines Vaters: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box| Aufgabe 12|Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.
Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?
{{Lösung versteckt|1=Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Finn

<math>x+\frac{1}{2} \cdot x+(x-5)=30 \quad | Vereinfachen</math>

<math>2,5 \cdot x-5=30 \quad | +5</math>

<math>2,5 \cdot x=35 \quad | :2,5</math>

<math>x=14</math>

Finn: 14 Tore

Jürgen: 7 Tore

Herbert: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungen lösen===

{{Box| Was sind überhaupt lineare Gleichungen?|
Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

<math> x^1=x </math>.

Ihre einfachste Form ist: <math> a \cdot x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch diesen [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen|Lernpfad zu linearen Funktionen]] nochmal an.
|Kurzinfo}}

{{Box| Aufgabe 13 - Lineare Gleichungen lösen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pitodik3519}}

{{Lösung versteckt|1= Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

<math> 3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x</math>

<math> \Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4 </math>

<math> \Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x </math>

<math> \Leftrightarrow 12 = 2x </math>

<math> \Leftrightarrow 6 = x </math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Quadratische Gleichungen lösen===
{{Box|Aufgabe 14|Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>x^2-11x+24=0</math>

'''b)''' <math>y^2+7y-8=0</math>

'''c)''' <math>z^2-20z+96=0</math>

'''d)''' <math>x^2+48x+135=0</math>

'''e)''' <math>a^2+107a-108=0</math>

'''f)''' <math>x^2+6x+8=0</math>

'''g)''' <math>x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0</math>

'''h)''' <math>x^2-9x+20=0</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{3;8\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;1\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{8;12\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-45;-3\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-108;1\}</math>|2=Lösung von e)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;-2\}</math>|2=Lösung von f)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\}</math>|2=Lösung von g)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4;5\}</math>|2=Lösung von h)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 15|Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+8)\cdot(x-2)=0</math>

'''b)''' <math>(2x-6)\cdot(3x+5)=0</math>

'''c)''' <math>(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0</math>

{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;2\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1\frac{2}{3};3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;14\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 16|Löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x-3)^2=16</math>

'''b)''' <math>x^2+8x+16=49</math>

'''c)''' <math>x^2+8x=9</math>

'''d)''' <math>3x^2-3x-60=0</math>

{{Lösung versteckt|Teile die Gleichung erst durch 3.|2=Tipp zu d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;7\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-11;3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;1\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;5\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>(x-3)^2=16</math>

<math>\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}</math>

<math>x-3=4\lor x-3=-4</math>

<math>x_1=7\lor x_2=-1</math>

<math>L=\{-1;7\}</math>

|2=Rechenweg zu a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x+16=49</math>

<math>(x+4)^2=49</math>

<math>x+4=7\lor x+4=-7</math>

<math>x_1=3\lor x_2=-11</math>

<math>L=\{-11;3\}</math>

|2=Rechenweg zu b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x=9</math>

<math>x^2+8x+16=9+16</math>

<math>(x+4)^2=25</math>

<math>x+4=5\lor x+4=-5</math>

<math>x_1=1\lor x_2=-9</math>

<math>L=\{-9;1\}</math>

|2=Rechenweg zu c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>3x^2-3x-60=0</math>

<math>x^2-x-20=0</math>

<math>x^2-x=20</math>

<math>x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}</math>

<math>(x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}</math>

<math>x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}</math>

<math>x_1=5\lor x_2=-4</math>

<math>L=\{-4;5\}</math>

|2=Rechenweg zu d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 17*|Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22</math>

'''b)''' <math>(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x</math>

'''c)''' <math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3</math>

'''d)''' <math>(2y+6)(17,5-2,5y)-(10+5y)(2y-3)=(7y+20)(4-1,4y)</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4,95;-2,5\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{5;\frac{1}{3}\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;2\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-5;-2\frac{3}{26}\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungssysteme lösen===
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:

{{Lösung versteckt|1=
# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
# Berechne die Unbekannten

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
# Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
# Gleichung nach der Variablen auflösen
# Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}}

{{Box|Aufgabe 18|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft:

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst zum Lösen das Additionsverfahren benutzen, um die Variable y zu eliminieren.

|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

Addiere Gleichung I zu Gleichung II

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 8x + 0y = 16</math>

Berechne die Lösung für II

<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math>

<math>x = 2</math>

Setze x = 2 in I ein

<math>3x + 4y = 22</math>

<math>3 \cdot 2 + 4y = 22</math>

<math>6 + 4y = 22\quad|-6</math>

<math>4y = 16\quad|:4</math>

<math>y = 4</math>

Lösung:

<math>x = 2, y = 4</math>.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

===Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen===
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.{{Box|Aufgabe 19*|In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Eine Gleichung sollte 18, die andere 84 als Ergebnis haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>
|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
''Additionsverfahren:''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 0x + 2y = 12</math>

Löse die Gleichung II.

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

''Einsetzungsverfahren''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Löse I nach x auf.

<math>x + y =18 \quad| -y</math>

<math>x = 18 - y</math>

Setze die Gleichung für x in II ein

<math>4(18 - y) + 6y = 84</math>

<math>72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72</math>

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

'''Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 20**|Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der Erste und der Zweite besitzen
zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der Dritte; der Erste und der Dritte haben zusammen um
40 Denare mehr als der Zweite; und der Zweite und der Dritte haben zusammen um 30
Denare mehr als der Erste. Wie viel besitzt jeder der Drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn Person A 10€ mehr hat als Person B, gilt: A - B = 10€|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c =30</math>

|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c = 30</math>

Addiere I + II und I + III.

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad 2a + 0b + 0c = 60</math>

<math>III\quad 0a + 2b + 0c = 30</math>

Löse die Gleichungen II und III.

<math>II\quad 2a = 60 \quad| :2</math>

<math>II\quad a = 30</math>

<math>III\quad 2b = 50 \quad| :2</math>

<math>III\quad b = 25</math>

Setze a und b in I ein.

<math>a + b - c = 20</math>

<math>30 + 25 - c = 20 \quad| -30 \quad| - 25</math>

<math>-c = -35</math>

<math>c = 35</math>

'''Der Erste hat 30, der Zweite 25 und der Dritte 35 Denare'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-05-24T13:53:20Z

Valentin WWU-4: /* Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen */

{{Box|Terme und Gleichungen|Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen.
Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

Damit du etwas anspruchsvollere Aufgaben direkt erkennst, sind Aufgaben, die dich fordern mit einem Stern (*) und knifflige Knobelaufgaben mit zwei Sternen (**) gekennzeichnet.

Viel Spaß!|Kurzinfo}}

===Wiederholung: Terme und Gleichungen===
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
 

{{Lösung versteckt|1= Ein '''Term''' ist ein mathematischer Ausdruck, der
Zahlen,
Variablen,
Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und
Klammern enthalten kann.

Beispiele:

<math>1 + 2 </math>
<math>7x - 9y</math>. |2=Was ist ein Term?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Eine '''Gleichung '''<nowiki>ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.</nowiki>

<nowiki>Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)</nowiki>

Beispiele:

<math>4 = 1 + 3</math>

<math>5x = 10</math>.|2= Was ist eine Gleichung?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.

Addieren:
<math>3x + x = 4x</math>

Subtrahieren:
<math>5y - 2y = 3y</math>

Multiplizieren:
<math>x \cdot 2x^2 = 2x^3</math>

Ausmultiplizieren:
<math>z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z</math>

Ausklammern:
<math>3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)</math>.

|2=Terme vereinfachen|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B.
<math>5 + x = 10</math>, ist vor allem derjenige x
-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt '''wahr''', ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt '''Lösung der Gleichung'''.|2= Gleichungen lösen|3= schließen}}

"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pijz11q6t19}}

 

===Wiederholung: Bruchrechnung===
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man auch regelmäßig auf Brüche. Falls Du dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir folgenden Erklärungen an:

 

{{Lösung versteckt|1= 1. Zwei Brüche '''mit gleichem Nenner''' werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.

<math>\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}</math>

2. Vorgehensweise für '''ungleiche Brüche''':

Ungleiche Brüche sind Brüche, bei denen beide Nenner unterschiedliche Werte haben.

Diese Brüche mit '''verschiedenen Nennern''' addiert man, indem man die Brüche auf einen Nenner bringt.
Hierzu müssen die Brüche gekürzt oder erweitert werden. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.

'''Kürzen'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> kürzen mit n:
<math>\frac{a:n}{b:n}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{4}{12}</math> kürzen mit 2:<math>\frac{4:2}{12:2}=\frac{2}{6}</math>

'''Erweitern'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> erweitern mit m: <math>\frac{a \cdot m}{b \cdot m}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{2}{3}</math> erweitern mit 4: <math>\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}</math>|2= Brüche addieren|3= schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Brüche werden miteinander multipliziert, indem man '''Zähler mit Zähler''' und '''Nenner mit Nenner''' multipliziert.

<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>|2= Brüche multiplizieren|3= Merke}}

===Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen===
{{Box|Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x+18x</math>

'''b)''' <math>\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y</math>

'''c)''' <math> \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x </math>
|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.
''Beispiel:'' <math>4x+14x=(4+14) \cdot x=18x</math>. |2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

''Beispiel:'' <math> \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15} </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>23x</math>

'''b)''' <math>6y</math>

'''c)''' <math>-\frac{26}{15}x</math>}}

{{Box|Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2</math>

'''b)''' <math> \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4} </math>

'''c)*''' <math> \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2} </math>

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

''Beispiel:'' <math>3x+5+8x-4=3x+8x+5-4</math>.

'''Beachte:''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Fasse jeweils die Werte mit gleicher Variable zusammen.

''Beispiel :'' <math>3x+8x+5-4=11x+1</math>.
|2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 3 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''a)''' <math>7x-3</math>

'''b)''' <math>22z-3</math>

'''c)''' <math>5y+6</math>}}

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen|Fasse die Terme zusammen

'''a)''' <math> 214x + 24y - 5x + 23y + 24</math>

'''b)''' <math> \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y</math>

'''c)*''' <math> \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

''Beispiel:'' <math>3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4</math>.

'''Beachte''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>209x+ 47y + 24</math>

'''b)''' <math>15x+3y+17</math>

'''c)''' <math>7x+5y+3</math>}}

{{Box| Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten|

'''a)''' <math> 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 </math>

'''b)''' <math> \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2</math>

'''c)*''' <math> \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. <math>x </math> und <math>x^2 </math>) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

''Beispiel:'' <math>3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x</math>.

|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>11x^2+28y-24</math>

'''b)''' <math>\frac{3}{4}x^2 -2x -2</math>, das <math>y</math> fällt hier weg, da <math>0 \cdot y = 0</math> sind.

'''c)''' <math>4x^3</math>}}

{{Box|Aufgabe 5 - Pferderennen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pth88w7w319}}

|Arbeitsmethode}}

===Klammern in Termen auflösen===
{{Box|1=Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

a) <math>5\cdot(8-9y)</math>

b) <math>(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})</math>

c) <math>\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})</math>

{{Lösung versteckt|Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}(-4)} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}(-4)} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}(-4)} \cdot {\color{green}7}) = -20 - (-28) = -20+28 = 8</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommutativgesetz der Multiplikation zurück.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>40-45y</math>

b) <math>-\frac{5}{3}y+5x</math>

c) <math>\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

a) <math>3x \cdot (11+5y)</math>

b) <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>

c) <math>x \cdot (x-15y)</math>

{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>33x+15xy</math>

b) <math>33x^2-30xy</math>

c) <math>x^2-15xy</math>|2=Lösung|3=schließen}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern|2=
Löse die Klammern auf.

a) <math>(7+5b)^2</math>

b) <math>(5c+6d)^2</math>

c) <math>(-6f-t)^2</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.
Das Bild soll dir eine Veranschaulichung der 1. Binomischen Formel geben:
[[Datei:1. Binomische Formel.jpg|1. Binomische Formel.jpg]]

2. Binomische Fomel:

<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>

3. Binomische Formel:
<math>(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2</math>|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>49+70b+25b^2</math>

b) <math>25c^2+60cd+36d^2</math>

c) <math>36f^2+12ft+t^2</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Terme durch Ausklammern in Produkte umformen===
{{Box|Aufgabe 9 - Ausklammern|Klammere möglichst viel aus.

'''a)''' <math>9x+9y+9z</math>

'''b)''' <math>81x+45y</math>

'''c)''' <math>5x-4xy+9xz</math>

'''d)''' <math>25a-35ab+50ax</math>

'''e)''' <math>8ax+24xy+64abxz</math>

'''f)''' <math>4abx+6axy+32abxyz</math>

{{Lösung versteckt|1=Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird vor die Klammer gesetzt. Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Die Summanden in der Klammer sind jeweils das, was beim Teilen durch den ggT (Weglassen) übrigbleibt.|2=Tipp 1, allgemeiner Tipp|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Dieselbe Zahl:
"Beispiel" Bei 3x+3y soll ausgeklammert werden. 3x und 3y haben die 3 gemeinsam. Also können wir sie ausklammern: <math>3x+3y=3(x+y)</math>. |2=Tipp 2, Tipp zu a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Nicht dieselbe Zahl, aber die Zahlen haben einen gemeinsamen Teiler:
"Beispiel" Bei 12x+18y soll ausgeklammert werden. 12 und 18 sind in der 6er-Reihe. Der ggT von 12 und 18 ist 6. Also klammern wir die 6 aus: <math>12x+18y=6(2x+3y)</math>|2=Tipp 3, Tipp zu b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Gemeinsamer ggT der Zahlen und mindestens eine gemeinsame Variable:
"Beispiel" Bei 21x+35xy soll ausgeklammert werden. Die 21 und die 35 sind beide in der 7er-Reihe. Außerdem kommt die Variable x bei beiden Summanden vor. Also klammern wir das 7x aus: <math>21x+35xy=7x(3+5y)</math>.|2=Tipp 4, Tipp zu c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>9(x+y+z)</math>. |2=Lösung von a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>9(9x+5y)</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>x(5-4y+9z)</math>.|2=Lösung von c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>5a(5-7b+10x)</math>.|2=Lösung von d)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>8x(a+3y+8abz)</math>.|2=Lösung von e)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>.|2=Lösung von f)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= a) <math>9(x+y+z)</math>.

b) <math>9(9x+5y)</math>.

c) <math>x(5-4y+9z)</math>.

d) <math>5a(5-7b+10x)</math>.

e) <math>8x(a+3y+8abz)</math>.

f) <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>|2=Lösungen von allen Teilaufgaben|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen===
{{Box| Aufgabe 10|Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?
{{Lösung versteckt|1=Setze eine Länge als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=kürzere Seite

<math>2 \cdot x+2 \cdot (x+38)=132 \quad | Vereinfachen</math>

<math>2 \cdot x+2 \cdot x+76=132 \quad | Vereinfachen</math>

<math>4 \cdot x+76=132 \quad | -76</math>

<math>4 \cdot x=56 \quad | :4</math>

<math>x=14</math>

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52|2=Lösung|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

{{Box| Aufgabe 11|Peter ist zusammen mit seinem Vater und seiner Mutter zusammen 100 Jahre alt. Sein Vater ist 3 Mal so alt wie er selbst und seine Mutter ist 5 Jahre jünger als sein Vater. Wie alt ist Peter, sein Vater und seine Mutter?
{{Lösung versteckt|1=Setze ein Alter als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Mathematisiere ausgehend von einem Alter x durch Terme die anderen Alter (z.B. 5 Jahre älter bedeutet (x+5).|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x= Alter von Peter

Wenn x das Alter von Peter ist, dann ist <math>(3 \cdot x)</math> das Alter des Vaters und somit ist das Alter der Mutter <math>(3 \cdot x-5)</math>.

Also:

<math>x+3 \cdot x+(3 \cdot x-5)=100 \quad | Vereinfachen</math>

<math>7 \cdot x-5=100 \quad | +5</math>

<math>7 \cdot x=105 \quad | :7</math>

<math>x=15</math>

mein Alter: 15

Alter meiner Mutter: 40

Alter meines Vaters: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box| Aufgabe 12|Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.
Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?
{{Lösung versteckt|1=Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Finn

<math>x+\frac{1}{2} \cdot x+(x-5)=30 \quad | Vereinfachen</math>

<math>2,5 \cdot x-5=30 \quad | +5</math>

<math>2,5 \cdot x=35 \quad | :2,5</math>

<math>x=14</math>

Finn: 14 Tore

Jürgen: 7 Tore

Herbert: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungen lösen===

{{Box| Was sind überhaupt lineare Gleichungen?|
Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

<math> x^1=x </math>.

Ihre einfachste Form ist: <math> a \cdot x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch diesen [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen|Lernpfad zu linearen Funktionen]] nochmal an.
|Kurzinfo}}

{{Box| Aufgabe 13 - Lineare Gleichungen lösen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pitodik3519}}

{{Lösung versteckt|1= Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

<math> 3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x</math>

<math> \Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4 </math>

<math> \Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x </math>

<math> \Leftrightarrow 12 = 2x </math>

<math> \Leftrightarrow 6 = x </math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Quadratische Gleichungen lösen===
{{Box|Aufgabe 14|Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>x^2-11x+24=0</math>

'''b)''' <math>y^2+7y-8=0</math>

'''c)''' <math>z^2-20z+96=0</math>

'''d)''' <math>x^2+48x+135=0</math>

'''e)''' <math>a^2+107a-108=0</math>

'''f)''' <math>x^2+6x+8=0</math>

'''g)''' <math>x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0</math>

'''h)''' <math>x^2-9x+20=0</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{3;8\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;1\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{8;12\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-45;-3\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-108;1\}</math>|2=Lösung von e)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;-2\}</math>|2=Lösung von f)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\}</math>|2=Lösung von g)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4;5\}</math>|2=Lösung von h)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 15|Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+8)\cdot(x-2)=0</math>

'''b)''' <math>(2x-6)\cdot(3x+5)=0</math>

'''c)''' <math>(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0</math>

{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;2\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1\frac{2}{3};3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;14\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 16|Löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x-3)^2=16</math>

'''b)''' <math>x^2+8x+16=49</math>

'''c)''' <math>x^2+8x=9</math>

'''d)''' <math>3x^2-3x-60=0</math>

{{Lösung versteckt|Teile die Gleichung erst durch 3.|2=Tipp zu d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;7\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-11;3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;1\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;5\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>(x-3)^2=16</math>

<math>\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}</math>

<math>x-3=4\lor x-3=-4</math>

<math>x_1=7\lor x_2=-1</math>

<math>L=\{-1;7\}</math>

|2=Rechenweg zu a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x+16=49</math>

<math>(x+4)^2=49</math>

<math>x+4=7\lor x+4=-7</math>

<math>x_1=3\lor x_2=-11</math>

<math>L=\{-11;3\}</math>

|2=Rechenweg zu b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x=9</math>

<math>x^2+8x+16=9+16</math>

<math>(x+4)^2=25</math>

<math>x+4=5\lor x+4=-5</math>

<math>x_1=1\lor x_2=-9</math>

<math>L=\{-9;1\}</math>

|2=Rechenweg zu c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>3x^2-3x-60=0</math>

<math>x^2-x-20=0</math>

<math>x^2-x=20</math>

<math>x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}</math>

<math>(x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}</math>

<math>x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}</math>

<math>x_1=5\lor x_2=-4</math>

<math>L=\{-4;5\}</math>

|2=Rechenweg zu d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 17*|Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22</math>

'''b)''' <math>(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x</math>

'''c)''' <math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3</math>

'''d)''' <math>(2y+6)(17,5-2,5y)-(10+5y)(2y-3)=(7y+20)(4-1,4y)</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4,95;-2,5\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{5;\frac{1}{3}\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;2\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-5;-2\frac{3}{26}\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungssysteme lösen===
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:

{{Lösung versteckt|1=
# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
# Berechne die Unbekannten

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
# Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
# Gleichung nach der Variablen auflösen
# Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}}

{{Box|Aufgabe 18|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft:

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst zum Lösen das Additionsverfahren benutzen, um die Variable y zu eliminieren.

|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

Addiere Gleichung I zu Gleichung II

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 8x + 0y = 16</math>

Berechne die Lösung für II

<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math>

<math>x = 2</math>

Setze x = 2 in I ein

<math>3x + 4y = 22</math>

<math>3 \cdot 2 + 4y = 22</math>

<math>6 + 4y = 22\quad|-6</math>

<math>4y = 16\quad|:4</math>

<math>y = 4</math>

Lösung:

<math>x = 2, y = 4</math>.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

===Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen===
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.{{Box|Aufgabe 19*|In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Eine Gleichung sollte 18, die andere 84 als Ergebnis haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>
|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
''Additionsverfahren:''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 0x + 2y = 12</math>

Löse die Gleichung II.

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

''Einsetzungsverfahren''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Löse I nach x auf.

<math>x + y =18 \quad| -y</math>

<math>x = 18 - y</math>

Setze die Gleichung für x in II ein

<math>4(18 - y) + 6y = 84</math>

<math>72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72</math>

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

'''Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 20**|Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der Erste und der Zweite besitzen
zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der Dritte; der Erste und der Dritte haben zusammen um
40 Denare mehr als der Zweite; und der Zweite und der Dritte haben zusammen um 30
Denare mehr als der Erste. Wie viel besitzt jeder der Drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn Person A 10€ mehr hat als Person B, gilt: A - B = 10€|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c =30</math>

|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c = 30</math>

Addiere I + II und I + III.

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad 2a + 0b + 0c = 60</math>

<math>III\quad 0a + 2b + 0c = 30</math>

Löse die Gleichungen II und III.

<math>II\quad 2a = 60 \quad| :2</math>

<math>II\quad a = 30</math>

<math>III\quad 2b = 50 \quad| :2</math>

<math>III\quad b = 25</math>

Setze a und b in I ein.

<math>a + b - c = 20</math>

<math>30 + 25 - c = 20 \quad| -30 \quad| - 25</math>

<math>-c = -35</math>

<math>c = 35</math>

'''Der Erste hat 30, der Zweite 25 und der Dritte 35 Denare'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-05-24T13:49:07Z

Valentin WWU-4: /* Klammern in Termen auflösen */

{{Box|Terme und Gleichungen|Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen.
Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

Damit du etwas anspruchsvollere Aufgaben direkt erkennst, sind Aufgaben, die dich fordern mit einem Stern (*) und knifflige Knobelaufgaben mit zwei Sternen (**) gekennzeichnet.

Viel Spaß!|Kurzinfo}}

===Wiederholung: Terme und Gleichungen===
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
 

{{Lösung versteckt|1= Ein '''Term''' ist ein mathematischer Ausdruck, der
Zahlen,
Variablen,
Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und
Klammern enthalten kann.

Beispiele:

<math>1 + 2 </math>
<math>7x - 9y</math>. |2=Was ist ein Term?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Eine '''Gleichung '''<nowiki>ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.</nowiki>

<nowiki>Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)</nowiki>

Beispiele:

<math>4 = 1 + 3</math>

<math>5x = 10</math>.|2= Was ist eine Gleichung?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.

Addieren:
<math>3x + x = 4x</math>

Subtrahieren:
<math>5y - 2y = 3y</math>

Multiplizieren:
<math>x \cdot 2x^2 = 2x^3</math>

Ausmultiplizieren:
<math>z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z</math>

Ausklammern:
<math>3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)</math>.

|2=Terme vereinfachen|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B.
<math>5 + x = 10</math>, ist vor allem derjenige x
-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt '''wahr''', ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt '''Lösung der Gleichung'''.|2= Gleichungen lösen|3= schließen}}

"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pijz11q6t19}}

 

===Wiederholung: Bruchrechnung===
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man auch regelmäßig auf Brüche. Falls Du dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir folgenden Erklärungen an:

 

{{Lösung versteckt|1= 1. Zwei Brüche '''mit gleichem Nenner''' werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.

<math>\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}</math>

2. Vorgehensweise für '''ungleiche Brüche''':

Ungleiche Brüche sind Brüche, bei denen beide Nenner unterschiedliche Werte haben.

Diese Brüche mit '''verschiedenen Nennern''' addiert man, indem man die Brüche auf einen Nenner bringt.
Hierzu müssen die Brüche gekürzt oder erweitert werden. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.

'''Kürzen'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> kürzen mit n:
<math>\frac{a:n}{b:n}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{4}{12}</math> kürzen mit 2:<math>\frac{4:2}{12:2}=\frac{2}{6}</math>

'''Erweitern'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> erweitern mit m: <math>\frac{a \cdot m}{b \cdot m}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{2}{3}</math> erweitern mit 4: <math>\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}</math>|2= Brüche addieren|3= schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Brüche werden miteinander multipliziert, indem man '''Zähler mit Zähler''' und '''Nenner mit Nenner''' multipliziert.

<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>|2= Brüche multiplizieren|3= Merke}}

===Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen===
{{Box|Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x+18x</math>

'''b)''' <math>\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y</math>

'''c)''' <math> \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x </math>
|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.
''Beispiel:'' <math>4x+14x=(4+14) \cdot x=18x</math>. |2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

''Beispiel:'' <math> \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15} </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>23x</math>

'''b)''' <math>6y</math>

'''c)''' <math>-\frac{26}{15}x</math>}}

{{Box|Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2</math>

'''b)''' <math> \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4} </math>

'''c)*''' <math> \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2} </math>

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

''Beispiel:'' <math>3x+5+8x-4=3x+8x+5-4</math>.

'''Beachte:''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Fasse jeweils die Werte mit gleicher Variable zusammen.

''Beispiel :'' <math>3x+8x+5-4=11x+1</math>.
|2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 3 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''a)''' <math>7x-3</math>

'''b)''' <math>22z-3</math>

'''c)''' <math>5y+6</math>}}

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen|Fasse die Terme zusammen

'''a)''' <math> 214x + 24y - 5x + 23y + 24</math>

'''b)''' <math> \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y</math>

'''c)*''' <math> \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

''Beispiel:'' <math>3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4</math>.

'''Beachte''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>209x+ 47y + 24</math>

'''b)''' <math>15x+3y+17</math>

'''c)''' <math>7x+5y+3</math>}}

{{Box| Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten|

'''a)''' <math> 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 </math>

'''b)''' <math> \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2</math>

'''c)*''' <math> \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. <math>x </math> und <math>x^2 </math>) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

''Beispiel:'' <math>3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x</math>.

|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>11x^2+28y-24</math>

'''b)''' <math>\frac{3}{4}x^2 -2x -2</math>, das <math>y</math> fällt hier weg, da <math>0 \cdot y = 0</math> sind.

'''c)''' <math>4x^3</math>}}

{{Box|Aufgabe 5 - Pferderennen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pth88w7w319}}

|Arbeitsmethode}}

===Klammern in Termen auflösen===
{{Box|1=Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

a) <math>5\cdot(8-9y)</math>

b) <math>(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})</math>

c) <math>\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})</math>

{{Lösung versteckt|Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}(-4)} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}(-4)} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}(-4)} \cdot {\color{green}7}) = -20 - (-28) = -20+28 = 8</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommutativgesetz der Multiplikation zurück.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>40-45y</math>

b) <math>-\frac{5}{3}y+5x</math>

c) <math>\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

a) <math>3x \cdot (11+5y)</math>

b) <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>

c) <math>x \cdot (x-15y)</math>

{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>33x+15xy</math>

b) <math>33x^2-30xy</math>

c) <math>x^2-15xy</math>|2=Lösung|3=schließen}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern|2=
Löse die Klammern auf.

a) <math>(7+5b)^2</math>

b) <math>(5c+6d)^2</math>

c) <math>(-6f-t)^2</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.
Das Bild soll dir eine Veranschaulichung der 1. Binomischen Formel geben:
[[Datei:1. Binomische Formel.jpg|1. Binomische Formel.jpg]]

2. Binomische Fomel:

<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>

3. Binomische Formel:
<math>(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2</math>|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>49+70b+25b^2</math>

b) <math>25c^2+60cd+36d^2</math>

c) <math>36f^2+12ft+t^2</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Terme durch Ausklammern in Produkte umformen===
{{Box|Aufgabe 9 - Ausklammern|Klammere möglichst viel aus.

'''a)''' <math>9x+9y+9z</math>

'''b)''' <math>81x+45y</math>

'''c)''' <math>5x-4xy+9xz</math>

'''d)''' <math>25a-35ab+50ax</math>

'''e)''' <math>8ax+24xy+64abxz</math>

'''f)''' <math>4abx+6axy+32abxyz</math>

{{Lösung versteckt|1=Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird vor die Klammer gesetzt. Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Die Summanden in der Klammer sind jeweils das, was beim Teilen durch den ggT (Weglassen) übrigbleibt.|2=Tipp 1, allgemeiner Tipp|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Dieselbe Zahl:
"Beispiel" Bei 3x+3y soll ausgeklammert werden. 3x und 3y haben die 3 gemeinsam. Also können wir sie ausklammern: <math>3x+3y=3(x+y)</math>. |2=Tipp 2, Tipp zu a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Nicht dieselbe Zahl, aber die Zahlen haben einen gemeinsamen Teiler:
"Beispiel" Bei 12x+18y soll ausgeklammert werden. 12 und 18 sind in der 6er-Reihe. Der ggT von 12 und 18 ist 6. Also klammern wir die 6 aus: <math>12x+18y=6(2x+3y)</math>|2=Tipp 3, Tipp zu b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Gemeinsamer ggT der Zahlen und mindestens eine gemeinsame Variable:
"Beispiel" Bei 21x+35xy soll ausgeklammert werden. Die 21 und die 35 sind beide in der 7er-Reihe. Außerdem kommt die Variable x bei beiden Summanden vor. Also klammern wir das 7x aus: <math>21x+35xy=7x(3+5y)</math>.|2=Tipp 4, Tipp zu c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>9(x+y+z)</math>. |2=Lösung von a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>9(9x+5y)</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>x(5-4y+9z)</math>.|2=Lösung von c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>5a(5-7b+10x)</math>.|2=Lösung von d)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>8x(a+3y+8abz)</math>.|2=Lösung von e)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>.|2=Lösung von f)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= a) <math>9(x+y+z)</math>.

b) <math>9(9x+5y)</math>.

c) <math>x(5-4y+9z)</math>.

d) <math>5a(5-7b+10x)</math>.

e) <math>8x(a+3y+8abz)</math>.

f) <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>|2=Lösungen von allen Teilaufgaben|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen===
{{Box| Aufgabe 10|Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?
{{Lösung versteckt|1=Setze eine Länge als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=kürzere Seite

<math>2 \cdot x+2 \cdot (x+38)=132 \quad | Vereinfachen</math>

<math>2 \cdot x+2 \cdot x+76=132 \quad | Vereinfachen</math>

<math>4 \cdot x+76=132 \quad | -76</math>

<math>4 \cdot x=56 \quad | :4</math>

<math>x=14</math>

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52|2=Lösung|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

{{Box| Aufgabe 11|Peter ist zusammen mit seinem Vater und seiner Mutter zusammen 100 Jahre alt. Sein Vater ist 3 Mal so alt wie er selbst und seine Mutter ist 5 Jahre jünger als sein Vater. Wie alt ist Peter, sein Vater und seine Mutter?
{{Lösung versteckt|1=Setze ein Alter als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Mathematisiere ausgehend von einem Alter x durch Terme die anderen Alter (z.B. 5 Jahre älter bedeutet (x+5).|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x= Alter von Peter
Wenn x das Alter von Peter ist, dann ist <math>(3 \cdot x)</math> das Alter des Vaters und somit ist das Alter der Mutter <math>(3 \cdot x-5)</math>.
Also:
<math>x+3 \cdot x+(3 \cdot x-5)=100 \quad | Vereinfachen</math>

<math>7 \cdot x-5=100 \quad | +5</math>

<math>7 \cdot x=105 \quad | :7</math>

<math>x=15</math>

mein Alter: 15

Alter meiner Mutter: 40

Alter meines Vaters: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box| Aufgabe 12|Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.
Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?
{{Lösung versteckt|1=Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Finn

<math>x+frac{1}{2} \cdot x+(x-5)=30 \quad | Vereinfachen</math>

<math>2,5 \cdot x-5=30 \quad | +5</math>

<math>2,5 \cdot x=35 \quad | :2,5</math>

<math>x=14</math>

Finn: 14 Tore

Jürgen: 7 Tore

Herbert: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungen lösen===

{{Box| Was sind überhaupt lineare Gleichungen?|
Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

<math> x^1=x </math>.

Ihre einfachste Form ist: <math> a \cdot x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch diesen [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen|Lernpfad zu linearen Funktionen]] nochmal an.
|Kurzinfo}}

{{Box| Aufgabe 13 - Lineare Gleichungen lösen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pitodik3519}}

{{Lösung versteckt|1= Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

<math> 3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x</math>

<math> \Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4 </math>

<math> \Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x </math>

<math> \Leftrightarrow 12 = 2x </math>

<math> \Leftrightarrow 6 = x </math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Quadratische Gleichungen lösen===
{{Box|Aufgabe 14|Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>x^2-11x+24=0</math>

'''b)''' <math>y^2+7y-8=0</math>

'''c)''' <math>z^2-20z+96=0</math>

'''d)''' <math>x^2+48x+135=0</math>

'''e)''' <math>a^2+107a-108=0</math>

'''f)''' <math>x^2+6x+8=0</math>

'''g)''' <math>x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0</math>

'''h)''' <math>x^2-9x+20=0</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{3;8\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;1\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{8;12\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-45;-3\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-108;1\}</math>|2=Lösung von e)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;-2\}</math>|2=Lösung von f)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\}</math>|2=Lösung von g)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4;5\}</math>|2=Lösung von h)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 15|Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+8)\cdot(x-2)=0</math>

'''b)''' <math>(2x-6)\cdot(3x+5)=0</math>

'''c)''' <math>(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0</math>

{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;2\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1\frac{2}{3};3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;14\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 16|Löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x-3)^2=16</math>

'''b)''' <math>x^2+8x+16=49</math>

'''c)''' <math>x^2+8x=9</math>

'''d)''' <math>3x^2-3x-60=0</math>

{{Lösung versteckt|Teile die Gleichung erst durch 3.|2=Tipp zu d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;7\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-11;3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;1\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;5\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>(x-3)^2=16</math>

<math>\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}</math>

<math>x-3=4\lor x-3=-4</math>

<math>x_1=7\lor x_2=-1</math>

<math>L=\{-1;7\}</math>

|2=Rechenweg zu a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x+16=49</math>

<math>(x+4)^2=49</math>

<math>x+4=7\lor x+4=-7</math>

<math>x_1=3\lor x_2=-11</math>

<math>L=\{-11;3\}</math>

|2=Rechenweg zu b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x=9</math>

<math>x^2+8x+16=9+16</math>

<math>(x+4)^2=25</math>

<math>x+4=5\lor x+4=-5</math>

<math>x_1=1\lor x_2=-9</math>

<math>L=\{-9;1\}</math>

|2=Rechenweg zu c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>3x^2-3x-60=0</math>

<math>x^2-x-20=0</math>

<math>x^2-x=20</math>

<math>x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}</math>

<math>(x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}</math>

<math>x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}</math>

<math>x_1=5\lor x_2=-4</math>

<math>L=\{-4;5\}</math>

|2=Rechenweg zu d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 17*|Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22</math>

'''b)''' <math>(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x</math>

'''c)''' <math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3</math>

'''d)''' <math>(2y+6)(17,5-2,5y)-(10+5y)(2y-3)=(7y+20)(4-1,4y)</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4,95;-2,5\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{5;\frac{1}{3}\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;2\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-5;-2\frac{3}{26}\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungssysteme lösen===
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:

{{Lösung versteckt|1=
# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
# Berechne die Unbekannten

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
# Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
# Gleichung nach der Variablen auflösen
# Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}}

{{Box|Aufgabe 18|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft:

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst zum Lösen das Additionsverfahren benutzen, um die Variable y zu eliminieren.

|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

Addiere Gleichung I zu Gleichung II

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 8x + 0y = 16</math>

Berechne die Lösung für II

<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math>

<math>x = 2</math>

Setze x = 2 in I ein

<math>3x + 4y = 22</math>

<math>3 \cdot 2 + 4y = 22</math>

<math>6 + 4y = 22\quad|-6</math>

<math>4y = 16\quad|:4</math>

<math>y = 4</math>

Lösung:

<math>x = 2, y = 4</math>.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

===Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen===
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.{{Box|Aufgabe 19*|In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Eine Gleichung sollte 18, die andere 84 als Ergebnis haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>
|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
''Additionsverfahren:''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 0x + 2y = 12</math>

Löse die Gleichung II.

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

''Einsetzungsverfahren''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Löse I nach x auf.

<math>x + y =18 \quad| -y</math>

<math>x = 18 - y</math>

Setze die Gleichung für x in II ein

<math>4(18 - y) + 6y = 84</math>

<math>72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72</math>

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

'''Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 20**|Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der Erste und der Zweite besitzen
zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der Dritte; der Erste und der Dritte haben zusammen um
40 Denare mehr als der Zweite; und der Zweite und der Dritte haben zusammen um 30
Denare mehr als der Erste. Wie viel besitzt jeder der Drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn Person A 10€ mehr hat als Person B, gilt: A - B = 10€|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c =30</math>

|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c = 30</math>

Addiere I + II und I + III.

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad 2a + 0b + 0c = 60</math>

<math>III\quad 0a + 2b + 0c = 30</math>

Löse die Gleichungen II und III.

<math>II\quad 2a = 60 \quad| :2</math>

<math>II\quad a = 30</math>

<math>III\quad 2b = 50 \quad| :2</math>

<math>III\quad b = 25</math>

Setze a und b in I ein.

<math>a + b - c = 20</math>

<math>30 + 25 - c = 20 \quad| -30 \quad| - 25</math>

<math>-c = -35</math>

<math>c = 35</math>

'''Der Erste hat 30, der Zweite 25 und der Dritte 35 Denare'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-05-24T13:43:31Z

Valentin WWU-4: /* Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen */

{{Box|Terme und Gleichungen|Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen.
Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

Damit du etwas anspruchsvollere Aufgaben direkt erkennst, sind Aufgaben, die dich fordern mit einem Stern (*) und knifflige Knobelaufgaben mit zwei Sternen (**) gekennzeichnet.

Viel Spaß!|Kurzinfo}}

===Wiederholung: Terme und Gleichungen===
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
 

{{Lösung versteckt|1= Ein '''Term''' ist ein mathematischer Ausdruck, der
Zahlen,
Variablen,
Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und
Klammern enthalten kann.

Beispiele:

<math>1 + 2 </math>
<math>7x - 9y</math>. |2=Was ist ein Term?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Eine '''Gleichung '''<nowiki>ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.</nowiki>

<nowiki>Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)</nowiki>

Beispiele:

<math>4 = 1 + 3</math>

<math>5x = 10</math>.|2= Was ist eine Gleichung?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.

Addieren:
<math>3x + x = 4x</math>

Subtrahieren:
<math>5y - 2y = 3y</math>

Multiplizieren:
<math>x \cdot 2x^2 = 2x^3</math>

Ausmultiplizieren:
<math>z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z</math>

Ausklammern:
<math>3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)</math>.

|2=Terme vereinfachen|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B.
<math>5 + x = 10</math>, ist vor allem derjenige x
-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt '''wahr''', ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt '''Lösung der Gleichung'''.|2= Gleichungen lösen|3= schließen}}

"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pijz11q6t19}}

 

===Wiederholung: Bruchrechnung===
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man auch regelmäßig auf Brüche. Falls Du dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir folgenden Erklärungen an:

 

{{Lösung versteckt|1= 1. Zwei Brüche '''mit gleichem Nenner''' werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.

<math>\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}</math>

2. Vorgehensweise für '''ungleiche Brüche''':

Ungleiche Brüche sind Brüche, bei denen beide Nenner unterschiedliche Werte haben.

Diese Brüche mit '''verschiedenen Nennern''' addiert man, indem man die Brüche auf einen Nenner bringt.
Hierzu müssen die Brüche gekürzt oder erweitert werden. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.

'''Kürzen'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> kürzen mit n:
<math>\frac{a:n}{b:n}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{4}{12}</math> kürzen mit 2:<math>\frac{4:2}{12:2}=\frac{2}{6}</math>

'''Erweitern'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> erweitern mit m: <math>\frac{a \cdot m}{b \cdot m}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{2}{3}</math> erweitern mit 4: <math>\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}</math>|2= Brüche addieren|3= schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Brüche werden miteinander multipliziert, indem man '''Zähler mit Zähler''' und '''Nenner mit Nenner''' multipliziert.

<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>|2= Brüche multiplizieren|3= Merke}}

===Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen===
{{Box|Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x+18x</math>

'''b)''' <math>\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y</math>

'''c)''' <math> \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x </math>
|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.
''Beispiel:'' <math>4x+14x=(4+14) \cdot x=18x</math>. |2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

''Beispiel:'' <math> \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15} </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>23x</math>

'''b)''' <math>6y</math>

'''c)''' <math>-\frac{26}{15}x</math>}}

{{Box|Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2</math>

'''b)''' <math> \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4} </math>

'''c)*''' <math> \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2} </math>

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

''Beispiel:'' <math>3x+5+8x-4=3x+8x+5-4</math>.

'''Beachte:''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Fasse jeweils die Werte mit gleicher Variable zusammen.

''Beispiel :'' <math>3x+8x+5-4=11x+1</math>.
|2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 3 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''a)''' <math>7x-3</math>

'''b)''' <math>22z-3</math>

'''c)''' <math>5y+6</math>}}

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen|Fasse die Terme zusammen

'''a)''' <math> 214x + 24y - 5x + 23y + 24</math>

'''b)''' <math> \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y</math>

'''c)*''' <math> \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

''Beispiel:'' <math>3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4</math>.

'''Beachte''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>209x+ 47y + 24</math>

'''b)''' <math>15x+3y+17</math>

'''c)''' <math>7x+5y+3</math>}}

{{Box| Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten|

'''a)''' <math> 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 </math>

'''b)''' <math> \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2</math>

'''c)*''' <math> \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. <math>x </math> und <math>x^2 </math>) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

''Beispiel:'' <math>3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x</math>.

|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>11x^2+28y-24</math>

'''b)''' <math>\frac{3}{4}x^2 -2x -2</math>, das <math>y</math> fällt hier weg, da <math>0 \cdot y = 0</math> sind.

'''c)''' <math>4x^3</math>}}

{{Box|Aufgabe 5 - Pferderennen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pth88w7w319}}

|Arbeitsmethode}}

===Klammern in Termen auflösen===
{{Box|1=Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

'''a)''' <math>5\cdot(8-9y)</math>

'''b)''' <math>(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})</math>

'''c)''' <math>\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})</math>

{{Lösung versteckt|Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}(-4)} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}(-4)} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}(-4)} \cdot {\color{green}7}) = -20 - (-28) = -20+28 = 8</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommutativgesetz der Multiplikation zurück.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>40-45y</math>

b) <math>-\frac{5}{3}y+5x</math>

c) <math>\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren

'''a)''' <math>3x \cdot (11+5y)</math>

'''b)''' <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>

'''c)''' <math>x \cdot (x-15y)</math>

{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>33x+15xy</math>

b) <math>33x^2-30xy</math>

c) <math>x^2-15xy</math>|2=Lösung|3=schließen}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern|2=
Löse die Klammern auf.

'''a)''' <math>(7+5b)^2</math>

'''b)''' <math>(5c+6d)^2</math>

'''c)''' <math>(-6f-t)^2</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.
Das Bild soll dir eine Veranschaulichung der 1. Binomischen Formel geben:
[[Datei:1. Binomische Formel.jpg|1. Binomische Formel.jpg]]

2. Binomische Fomel:

<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>

3. Binomische Formel:
<math>(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2</math>|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>49+70b+25b^2</math>

b) <math>25c^2+60cd+36d^2</math>

c) <math>36f^2+12ft+t^2</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Terme durch Ausklammern in Produkte umformen===
{{Box|Aufgabe 9 - Ausklammern|Klammere möglichst viel aus.

'''a)''' <math>9x+9y+9z</math>

'''b)''' <math>81x+45y</math>

'''c)''' <math>5x-4xy+9xz</math>

'''d)''' <math>25a-35ab+50ax</math>

'''e)''' <math>8ax+24xy+64abxz</math>

'''f)''' <math>4abx+6axy+32abxyz</math>

{{Lösung versteckt|1=Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird vor die Klammer gesetzt. Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Die Summanden in der Klammer sind jeweils das, was beim Teilen durch den ggT (Weglassen) übrigbleibt.|2=Tipp 1, allgemeiner Tipp|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Dieselbe Zahl:
"Beispiel" Bei 3x+3y soll ausgeklammert werden. 3x und 3y haben die 3 gemeinsam. Also können wir sie ausklammern: <math>3x+3y=3(x+y)</math>. |2=Tipp 2, Tipp zu a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Nicht dieselbe Zahl, aber die Zahlen haben einen gemeinsamen Teiler:
"Beispiel" Bei 12x+18y soll ausgeklammert werden. 12 und 18 sind in der 6er-Reihe. Der ggT von 12 und 18 ist 6. Also klammern wir die 6 aus: <math>12x+18y=6(2x+3y)</math>|2=Tipp 3, Tipp zu b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Gemeinsamer ggT der Zahlen und mindestens eine gemeinsame Variable:
"Beispiel" Bei 21x+35xy soll ausgeklammert werden. Die 21 und die 35 sind beide in der 7er-Reihe. Außerdem kommt die Variable x bei beiden Summanden vor. Also klammern wir das 7x aus: <math>21x+35xy=7x(3+5y)</math>.|2=Tipp 4, Tipp zu c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>9(x+y+z)</math>. |2=Lösung von a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>9(9x+5y)</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>x(5-4y+9z)</math>.|2=Lösung von c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>5a(5-7b+10x)</math>.|2=Lösung von d)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>8x(a+3y+8abz)</math>.|2=Lösung von e)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>.|2=Lösung von f)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= a) <math>9(x+y+z)</math>.

b) <math>9(9x+5y)</math>.

c) <math>x(5-4y+9z)</math>.

d) <math>5a(5-7b+10x)</math>.

e) <math>8x(a+3y+8abz)</math>.

f) <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>|2=Lösungen von allen Teilaufgaben|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen===
{{Box| Aufgabe 10|Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?
{{Lösung versteckt|1=Setze eine Länge als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=kürzere Seite

<math>2 \cdot x+2 \cdot (x+38)=132 \quad | Vereinfachen</math>

<math>2 \cdot x+2 \cdot x+76=132 \quad | Vereinfachen</math>

<math>4 \cdot x+76=132 \quad | -76</math>

<math>4 \cdot x=56 \quad | :4</math>

<math>x=14</math>

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52|2=Lösung|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

{{Box| Aufgabe 11|Peter ist zusammen mit seinem Vater und seiner Mutter zusammen 100 Jahre alt. Sein Vater ist 3 Mal so alt wie er selbst und seine Mutter ist 5 Jahre jünger als sein Vater. Wie alt ist Peter, sein Vater und seine Mutter?
{{Lösung versteckt|1=Setze ein Alter als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Mathematisiere ausgehend von einem Alter x durch Terme die anderen Alter (z.B. 5 Jahre älter bedeutet (x+5).|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x= Alter von Peter
Wenn x das Alter von Peter ist, dann ist <math>(3 \cdot x)</math> das Alter des Vaters und somit ist das Alter der Mutter <math>(3 \cdot x-5)</math>.
Also:
<math>x+3 \cdot x+(3 \cdot x-5)=100 \quad | Vereinfachen</math>

<math>7 \cdot x-5=100 \quad | +5</math>

<math>7 \cdot x=105 \quad | :7</math>

<math>x=15</math>

mein Alter: 15

Alter meiner Mutter: 40

Alter meines Vaters: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box| Aufgabe 12|Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.
Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?
{{Lösung versteckt|1=Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Finn

<math>x+frac{1}{2} \cdot x+(x-5)=30 \quad | Vereinfachen</math>

<math>2,5 \cdot x-5=30 \quad | +5</math>

<math>2,5 \cdot x=35 \quad | :2,5</math>

<math>x=14</math>

Finn: 14 Tore

Jürgen: 7 Tore

Herbert: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungen lösen===

{{Box| Was sind überhaupt lineare Gleichungen?|
Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

<math> x^1=x </math>.

Ihre einfachste Form ist: <math> a \cdot x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch diesen [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen|Lernpfad zu linearen Funktionen]] nochmal an.
|Kurzinfo}}

{{Box| Aufgabe 13 - Lineare Gleichungen lösen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pitodik3519}}

{{Lösung versteckt|1= Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

<math> 3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x</math>

<math> \Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4 </math>

<math> \Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x </math>

<math> \Leftrightarrow 12 = 2x </math>

<math> \Leftrightarrow 6 = x </math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Quadratische Gleichungen lösen===
{{Box|Aufgabe 14|Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>x^2-11x+24=0</math>

'''b)''' <math>y^2+7y-8=0</math>

'''c)''' <math>z^2-20z+96=0</math>

'''d)''' <math>x^2+48x+135=0</math>

'''e)''' <math>a^2+107a-108=0</math>

'''f)''' <math>x^2+6x+8=0</math>

'''g)''' <math>x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0</math>

'''h)''' <math>x^2-9x+20=0</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{3;8\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;1\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{8;12\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-45;-3\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-108;1\}</math>|2=Lösung von e)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;-2\}</math>|2=Lösung von f)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\}</math>|2=Lösung von g)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4;5\}</math>|2=Lösung von h)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 15|Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+8)\cdot(x-2)=0</math>

'''b)''' <math>(2x-6)\cdot(3x+5)=0</math>

'''c)''' <math>(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0</math>

{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;2\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1\frac{2}{3};3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;14\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 16|Löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x-3)^2=16</math>

'''b)''' <math>x^2+8x+16=49</math>

'''c)''' <math>x^2+8x=9</math>

'''d)''' <math>3x^2-3x-60=0</math>

{{Lösung versteckt|Teile die Gleichung erst durch 3.|2=Tipp zu d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;7\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-11;3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;1\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;5\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>(x-3)^2=16</math>

<math>\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}</math>

<math>x-3=4\lor x-3=-4</math>

<math>x_1=7\lor x_2=-1</math>

<math>L=\{-1;7\}</math>

|2=Rechenweg zu a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x+16=49</math>

<math>(x+4)^2=49</math>

<math>x+4=7\lor x+4=-7</math>

<math>x_1=3\lor x_2=-11</math>

<math>L=\{-11;3\}</math>

|2=Rechenweg zu b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x=9</math>

<math>x^2+8x+16=9+16</math>

<math>(x+4)^2=25</math>

<math>x+4=5\lor x+4=-5</math>

<math>x_1=1\lor x_2=-9</math>

<math>L=\{-9;1\}</math>

|2=Rechenweg zu c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>3x^2-3x-60=0</math>

<math>x^2-x-20=0</math>

<math>x^2-x=20</math>

<math>x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}</math>

<math>(x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}</math>

<math>x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}</math>

<math>x_1=5\lor x_2=-4</math>

<math>L=\{-4;5\}</math>

|2=Rechenweg zu d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 17*|Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22</math>

'''b)''' <math>(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x</math>

'''c)''' <math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3</math>

'''d)''' <math>(2y+6)(17,5-2,5y)-(10+5y)(2y-3)=(7y+20)(4-1,4y)</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4,95;-2,5\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{5;\frac{1}{3}\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;2\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-5;-2\frac{3}{26}\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungssysteme lösen===
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:

{{Lösung versteckt|1=
# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
# Berechne die Unbekannten

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
# Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
# Gleichung nach der Variablen auflösen
# Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}}

{{Box|Aufgabe 18|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft:

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst zum Lösen das Additionsverfahren benutzen, um die Variable y zu eliminieren.

|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

Addiere Gleichung I zu Gleichung II

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 8x + 0y = 16</math>

Berechne die Lösung für II

<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math>

<math>x = 2</math>

Setze x = 2 in I ein

<math>3x + 4y = 22</math>

<math>3 \cdot 2 + 4y = 22</math>

<math>6 + 4y = 22\quad|-6</math>

<math>4y = 16\quad|:4</math>

<math>y = 4</math>

Lösung:

<math>x = 2, y = 4</math>.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

===Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen===
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.{{Box|Aufgabe 19*|In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Eine Gleichung sollte 18, die andere 84 als Ergebnis haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>
|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
''Additionsverfahren:''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 0x + 2y = 12</math>

Löse die Gleichung II.

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

''Einsetzungsverfahren''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Löse I nach x auf.

<math>x + y =18 \quad| -y</math>

<math>x = 18 - y</math>

Setze die Gleichung für x in II ein

<math>4(18 - y) + 6y = 84</math>

<math>72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72</math>

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

'''Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 20**|Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der Erste und der Zweite besitzen
zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der Dritte; der Erste und der Dritte haben zusammen um
40 Denare mehr als der Zweite; und der Zweite und der Dritte haben zusammen um 30
Denare mehr als der Erste. Wie viel besitzt jeder der Drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn Person A 10€ mehr hat als Person B, gilt: A - B = 10€|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c =30</math>

|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c = 30</math>

Addiere I + II und I + III.

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad 2a + 0b + 0c = 60</math>

<math>III\quad 0a + 2b + 0c = 30</math>

Löse die Gleichungen II und III.

<math>II\quad 2a = 60 \quad| :2</math>

<math>II\quad a = 30</math>

<math>III\quad 2b = 50 \quad| :2</math>

<math>III\quad b = 25</math>

Setze a und b in I ein.

<math>a + b - c = 20</math>

<math>30 + 25 - c = 20 \quad| -30 \quad| - 25</math>

<math>-c = -35</math>

<math>c = 35</math>

'''Der Erste hat 30, der Zweite 25 und der Dritte 35 Denare'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-05-24T13:42:48Z

Valentin WWU-4: /* Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen */

{{Box|Terme und Gleichungen|Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen.
Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

Damit du etwas anspruchsvollere Aufgaben direkt erkennst, sind Aufgaben, die dich fordern mit einem Stern (*) und knifflige Knobelaufgaben mit zwei Sternen (**) gekennzeichnet.

Viel Spaß!|Kurzinfo}}

===Wiederholung: Terme und Gleichungen===
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
 

{{Lösung versteckt|1= Ein '''Term''' ist ein mathematischer Ausdruck, der
Zahlen,
Variablen,
Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und
Klammern enthalten kann.

Beispiele:

<math>1 + 2 </math>
<math>7x - 9y</math>. |2=Was ist ein Term?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Eine '''Gleichung '''<nowiki>ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.</nowiki>

<nowiki>Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)</nowiki>

Beispiele:

<math>4 = 1 + 3</math>

<math>5x = 10</math>.|2= Was ist eine Gleichung?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.

Addieren:
<math>3x + x = 4x</math>

Subtrahieren:
<math>5y - 2y = 3y</math>

Multiplizieren:
<math>x \cdot 2x^2 = 2x^3</math>

Ausmultiplizieren:
<math>z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z</math>

Ausklammern:
<math>3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)</math>.

|2=Terme vereinfachen|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B.
<math>5 + x = 10</math>, ist vor allem derjenige x
-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt '''wahr''', ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt '''Lösung der Gleichung'''.|2= Gleichungen lösen|3= schließen}}

"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pijz11q6t19}}

 

===Wiederholung: Bruchrechnung===
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man auch regelmäßig auf Brüche. Falls Du dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir folgenden Erklärungen an:

 

{{Lösung versteckt|1= 1. Zwei Brüche '''mit gleichem Nenner''' werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.

<math>\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}</math>

2. Vorgehensweise für '''ungleiche Brüche''':

Ungleiche Brüche sind Brüche, bei denen beide Nenner unterschiedliche Werte haben.

Diese Brüche mit '''verschiedenen Nennern''' addiert man, indem man die Brüche auf einen Nenner bringt.
Hierzu müssen die Brüche gekürzt oder erweitert werden. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.

'''Kürzen'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> kürzen mit n:
<math>\frac{a:n}{b:n}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{4}{12}</math> kürzen mit 2:<math>\frac{4:2}{12:2}=\frac{2}{6}</math>

'''Erweitern'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> erweitern mit m: <math>\frac{a \cdot m}{b \cdot m}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{2}{3}</math> erweitern mit 4: <math>\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}</math>|2= Brüche addieren|3= schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Brüche werden miteinander multipliziert, indem man '''Zähler mit Zähler''' und '''Nenner mit Nenner''' multipliziert.

<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>|2= Brüche multiplizieren|3= Merke}}

===Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen===
{{Box|Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x+18x</math>

'''b)''' <math>\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y</math>

'''c)''' <math> \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x </math>
|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.
''Beispiel:'' <math>4x+14x=(4+14) \cdot x=18x</math>. |2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

''Beispiel:'' <math> \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15} </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>23x</math>

'''b)''' <math>6y</math>

'''c)''' <math>-\frac{26}{15}x</math>}}

{{Box|Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2</math>

'''b)''' <math> \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4} </math>

'''c)*''' <math> \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2} </math>

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

''Beispiel:'' <math>3x+5+8x-4=3x+8x+5-4</math>.

'''Beachte:''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Fasse jeweils die Werte mit gleicher Variable zusammen.

''Beispiel :'' <math>3x+8x+5-4=11x+1</math>.
|2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 3 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''a)''' <math>7x-3</math>

'''b)''' <math>22z-3</math>

'''c)''' <math>5y+6</math>}}

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen|Fasse die Terme zusammen

'''a)''' <math> 214x + 24y - 5x + 23y + 24</math>

'''b)''' <math> \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y</math>

'''c)*''' <math> \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

''Beispiel:'' <math>3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4</math>.

'''Beachte''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>209x+ 47y + 24</math>

'''b)''' <math>15x+3y+17</math>

'''c)''' <math>7x+5y+3</math>}}

{{Box| Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten|

'''a)''' <math> 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 </math>

'''b)''' <math> \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2</math>

'''c)*''' <math> \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. <math>x </math> und <math>x^2 </math>) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

''Beispiel:'' <math>3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x</math>.

|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>11x^2+28y-24</math>

'''b)''' <math>\frac{3}{4}x^2 -2x -2</math>, das <math>y</math> fällt hier weg, da <math>0 \cdot y = 0</math> sind.

'''c)''' <math>4x^3</math>}}

{{Box|Aufgabe 5 - Pferderennen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pth88w7w319}}

|Arbeitsmethode}}

===Klammern in Termen auflösen===
{{Box|1=Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

'''a)''' <math>5\cdot(8-9y)</math>

'''b)''' <math>(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})</math>

'''c)''' <math>\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})</math>

{{Lösung versteckt|Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}(-4)} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}(-4)} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}(-4)} \cdot {\color{green}7}) = -20 - (-28) = -20+28 = 8</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommutativgesetz der Multiplikation zurück.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>40-45y</math>

b) <math>-\frac{5}{3}y+5x</math>

c) <math>\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren

'''a)''' <math>3x \cdot (11+5y)</math>

'''b)''' <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>

'''c)''' <math>x \cdot (x-15y)</math>

{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>33x+15xy</math>

b) <math>33x^2-30xy</math>

c) <math>x^2-15xy</math>|2=Lösung|3=schließen}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern|2=
Löse die Klammern auf.

'''a)''' <math>(7+5b)^2</math>

'''b)''' <math>(5c+6d)^2</math>

'''c)''' <math>(-6f-t)^2</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.
Das Bild soll dir eine Veranschaulichung der 1. Binomischen Formel geben:
[[Datei:1. Binomische Formel.jpg|1. Binomische Formel.jpg]]

2. Binomische Fomel:

<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>

3. Binomische Formel:
<math>(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2</math>|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>49+70b+25b^2</math>

b) <math>25c^2+60cd+36d^2</math>

c) <math>36f^2+12ft+t^2</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Terme durch Ausklammern in Produkte umformen===
{{Box|Aufgabe 9 - Ausklammern|Klammere möglichst viel aus.

'''a)''' <math>9x+9y+9z</math>

'''b)''' <math>81x+45y</math>

'''c)''' <math>5x-4xy+9xz</math>

'''d)''' <math>25a-35ab+50ax</math>

'''e)''' <math>8ax+24xy+64abxz</math>

'''f)''' <math>4abx+6axy+32abxyz</math>

{{Lösung versteckt|1=Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird vor die Klammer gesetzt. Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Die Summanden in der Klammer sind jeweils das, was beim Teilen durch den ggT (Weglassen) übrigbleibt.|2=Tipp 1, allgemeiner Tipp|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Dieselbe Zahl:
"Beispiel" Bei 3x+3y soll ausgeklammert werden. 3x und 3y haben die 3 gemeinsam. Also können wir sie ausklammern: <math>3x+3y=3(x+y)</math>. |2=Tipp 2, Tipp zu a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Nicht dieselbe Zahl, aber die Zahlen haben einen gemeinsamen Teiler:
"Beispiel" Bei 12x+18y soll ausgeklammert werden. 12 und 18 sind in der 6er-Reihe. Der ggT von 12 und 18 ist 6. Also klammern wir die 6 aus: <math>12x+18y=6(2x+3y)</math>|2=Tipp 3, Tipp zu b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Gemeinsamer ggT der Zahlen und mindestens eine gemeinsame Variable:
"Beispiel" Bei 21x+35xy soll ausgeklammert werden. Die 21 und die 35 sind beide in der 7er-Reihe. Außerdem kommt die Variable x bei beiden Summanden vor. Also klammern wir das 7x aus: <math>21x+35xy=7x(3+5y)</math>.|2=Tipp 4, Tipp zu c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>9(x+y+z)</math>. |2=Lösung von a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>9(9x+5y)</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>x(5-4y+9z)</math>.|2=Lösung von c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>5a(5-7b+10x)</math>.|2=Lösung von d)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>8x(a+3y+8abz)</math>.|2=Lösung von e)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>.|2=Lösung von f)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= a) <math>9(x+y+z)</math>.

b) <math>9(9x+5y)</math>.

c) <math>x(5-4y+9z)</math>.

d) <math>5a(5-7b+10x)</math>.

e) <math>8x(a+3y+8abz)</math>.

f) <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>|2=Lösungen von allen Teilaufgaben|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen===
{{Box| Aufgabe 10|Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?
{{Lösung versteckt|1=Setze eine Länge als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=kürzere Seite

<math>2 \cdot x+2 \cdot (x+38)=132 \quad | Vereinfachen</math>

<math>2 \cdot x+2 \cdot x+76=132 \quad | Vereinfachen</math>

<math>4 \cdot x+76=132 \quad | -76</math>

<math>4 \cdot x=56 \quad | :4</math>

<math>x=14</math>

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52|2=Lösung|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

{{Box| Aufgabe 11|Peter ist zusammen mit seinem Vater und seiner Mutter zusammen 100 Jahre alt. Sein Vater ist 3 Mal so alt wie er selbst und seine Mutter ist 5 Jahre jünger als sein Vater. Wie alt ist Peter, sein Vater und seine Mutter?
{{Lösung versteckt|1=Setze ein Alter als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Mathematisiere ausgehend von einem Alter x durch Terme die anderen Alter (z.B. 5 Jahre älter bedeutet (x+5).|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x= Alter von Peter
Wenn x das Alter von Peter ist, dann ist <math>(3 \cdot x)</math> das Alter des Vaters und somit ist das Alter der Mutter <math>(3 \cdot x-5)</math>.
Also:
<math>x+3 \cdot x+(3 \cdot x-5)=100 \quad | Vereinfachen</math>

<math>7 \cdot x-5=100 \quad | +5</math>

<math>7 \cdot x=105 \quad | :7</math>

<math>x=15</math>

mein Alter: 15

Alter meiner Mutter: 40

Alter meines Vaters: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 12|Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.
Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?
{{Lösung versteckt|1=Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Finn

<math>x+frac{1}{2} \cdot x+(x-5)=30 \quad | Vereinfachen</math>

<math>2,5 \cdot x-5=30 \quad | +5</math>

<math>2,5 \cdot x=35 \quad | :2,5</math>

<math>x=14</math>

Finn: 14 Tore

Jürgen: 7 Tore

Herbert: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungen lösen===

{{Box| Was sind überhaupt lineare Gleichungen?|
Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

<math> x^1=x </math>.

Ihre einfachste Form ist: <math> a \cdot x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch diesen [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen|Lernpfad zu linearen Funktionen]] nochmal an.
|Kurzinfo}}

{{Box| Aufgabe 13 - Lineare Gleichungen lösen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pitodik3519}}

{{Lösung versteckt|1= Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

<math> 3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x</math>

<math> \Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4 </math>

<math> \Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x </math>

<math> \Leftrightarrow 12 = 2x </math>

<math> \Leftrightarrow 6 = x </math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Quadratische Gleichungen lösen===
{{Box|Aufgabe 14|Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>x^2-11x+24=0</math>

'''b)''' <math>y^2+7y-8=0</math>

'''c)''' <math>z^2-20z+96=0</math>

'''d)''' <math>x^2+48x+135=0</math>

'''e)''' <math>a^2+107a-108=0</math>

'''f)''' <math>x^2+6x+8=0</math>

'''g)''' <math>x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0</math>

'''h)''' <math>x^2-9x+20=0</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{3;8\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;1\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{8;12\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-45;-3\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-108;1\}</math>|2=Lösung von e)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;-2\}</math>|2=Lösung von f)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\}</math>|2=Lösung von g)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4;5\}</math>|2=Lösung von h)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 15|Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+8)\cdot(x-2)=0</math>

'''b)''' <math>(2x-6)\cdot(3x+5)=0</math>

'''c)''' <math>(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0</math>

{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;2\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1\frac{2}{3};3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;14\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 16|Löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x-3)^2=16</math>

'''b)''' <math>x^2+8x+16=49</math>

'''c)''' <math>x^2+8x=9</math>

'''d)''' <math>3x^2-3x-60=0</math>

{{Lösung versteckt|Teile die Gleichung erst durch 3.|2=Tipp zu d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;7\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-11;3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;1\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;5\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>(x-3)^2=16</math>

<math>\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}</math>

<math>x-3=4\lor x-3=-4</math>

<math>x_1=7\lor x_2=-1</math>

<math>L=\{-1;7\}</math>

|2=Rechenweg zu a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x+16=49</math>

<math>(x+4)^2=49</math>

<math>x+4=7\lor x+4=-7</math>

<math>x_1=3\lor x_2=-11</math>

<math>L=\{-11;3\}</math>

|2=Rechenweg zu b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x=9</math>

<math>x^2+8x+16=9+16</math>

<math>(x+4)^2=25</math>

<math>x+4=5\lor x+4=-5</math>

<math>x_1=1\lor x_2=-9</math>

<math>L=\{-9;1\}</math>

|2=Rechenweg zu c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>3x^2-3x-60=0</math>

<math>x^2-x-20=0</math>

<math>x^2-x=20</math>

<math>x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}</math>

<math>(x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}</math>

<math>x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}</math>

<math>x_1=5\lor x_2=-4</math>

<math>L=\{-4;5\}</math>

|2=Rechenweg zu d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 17*|Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22</math>

'''b)''' <math>(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x</math>

'''c)''' <math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3</math>

'''d)''' <math>(2y+6)(17,5-2,5y)-(10+5y)(2y-3)=(7y+20)(4-1,4y)</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4,95;-2,5\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{5;\frac{1}{3}\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;2\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-5;-2\frac{3}{26}\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungssysteme lösen===
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:

{{Lösung versteckt|1=
# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
# Berechne die Unbekannten

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
# Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
# Gleichung nach der Variablen auflösen
# Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}}

{{Box|Aufgabe 18|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft:

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst zum Lösen das Additionsverfahren benutzen, um die Variable y zu eliminieren.

|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

Addiere Gleichung I zu Gleichung II

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 8x + 0y = 16</math>

Berechne die Lösung für II

<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math>

<math>x = 2</math>

Setze x = 2 in I ein

<math>3x + 4y = 22</math>

<math>3 \cdot 2 + 4y = 22</math>

<math>6 + 4y = 22\quad|-6</math>

<math>4y = 16\quad|:4</math>

<math>y = 4</math>

Lösung:

<math>x = 2, y = 4</math>.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

===Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen===
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.{{Box|Aufgabe 19*|In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Eine Gleichung sollte 18, die andere 84 als Ergebnis haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>
|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
''Additionsverfahren:''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 0x + 2y = 12</math>

Löse die Gleichung II.

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

''Einsetzungsverfahren''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Löse I nach x auf.

<math>x + y =18 \quad| -y</math>

<math>x = 18 - y</math>

Setze die Gleichung für x in II ein

<math>4(18 - y) + 6y = 84</math>

<math>72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72</math>

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

'''Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 20**|Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der Erste und der Zweite besitzen
zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der Dritte; der Erste und der Dritte haben zusammen um
40 Denare mehr als der Zweite; und der Zweite und der Dritte haben zusammen um 30
Denare mehr als der Erste. Wie viel besitzt jeder der Drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn Person A 10€ mehr hat als Person B, gilt: A - B = 10€|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c =30</math>

|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c = 30</math>

Addiere I + II und I + III.

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad 2a + 0b + 0c = 60</math>

<math>III\quad 0a + 2b + 0c = 30</math>

Löse die Gleichungen II und III.

<math>II\quad 2a = 60 \quad| :2</math>

<math>II\quad a = 30</math>

<math>III\quad 2b = 50 \quad| :2</math>

<math>III\quad b = 25</math>

Setze a und b in I ein.

<math>a + b - c = 20</math>

<math>30 + 25 - c = 20 \quad| -30 \quad| - 25</math>

<math>-c = -35</math>

<math>c = 35</math>

'''Der Erste hat 30, der Zweite 25 und der Dritte 35 Denare'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-05-24T13:42:00Z

Valentin WWU-4: /* Lineare Gleichungssysteme lösen */

{{Box|Terme und Gleichungen|Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen.
Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

Damit du etwas anspruchsvollere Aufgaben direkt erkennst, sind Aufgaben, die dich fordern mit einem Stern (*) und knifflige Knobelaufgaben mit zwei Sternen (**) gekennzeichnet.

Viel Spaß!|Kurzinfo}}

===Wiederholung: Terme und Gleichungen===
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
 

{{Lösung versteckt|1= Ein '''Term''' ist ein mathematischer Ausdruck, der
Zahlen,
Variablen,
Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und
Klammern enthalten kann.

Beispiele:

<math>1 + 2 </math>
<math>7x - 9y</math>. |2=Was ist ein Term?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Eine '''Gleichung '''<nowiki>ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.</nowiki>

<nowiki>Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)</nowiki>

Beispiele:

<math>4 = 1 + 3</math>

<math>5x = 10</math>.|2= Was ist eine Gleichung?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.

Addieren:
<math>3x + x = 4x</math>

Subtrahieren:
<math>5y - 2y = 3y</math>

Multiplizieren:
<math>x \cdot 2x^2 = 2x^3</math>

Ausmultiplizieren:
<math>z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z</math>

Ausklammern:
<math>3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)</math>.

|2=Terme vereinfachen|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B.
<math>5 + x = 10</math>, ist vor allem derjenige x
-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt '''wahr''', ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt '''Lösung der Gleichung'''.|2= Gleichungen lösen|3= schließen}}

"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pijz11q6t19}}

 

===Wiederholung: Bruchrechnung===
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man auch regelmäßig auf Brüche. Falls Du dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir folgenden Erklärungen an:

 

{{Lösung versteckt|1= 1. Zwei Brüche '''mit gleichem Nenner''' werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.

<math>\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}</math>

2. Vorgehensweise für '''ungleiche Brüche''':

Ungleiche Brüche sind Brüche, bei denen beide Nenner unterschiedliche Werte haben.

Diese Brüche mit '''verschiedenen Nennern''' addiert man, indem man die Brüche auf einen Nenner bringt.
Hierzu müssen die Brüche gekürzt oder erweitert werden. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.

'''Kürzen'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> kürzen mit n:
<math>\frac{a:n}{b:n}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{4}{12}</math> kürzen mit 2:<math>\frac{4:2}{12:2}=\frac{2}{6}</math>

'''Erweitern'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> erweitern mit m: <math>\frac{a \cdot m}{b \cdot m}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{2}{3}</math> erweitern mit 4: <math>\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}</math>|2= Brüche addieren|3= schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Brüche werden miteinander multipliziert, indem man '''Zähler mit Zähler''' und '''Nenner mit Nenner''' multipliziert.

<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>|2= Brüche multiplizieren|3= Merke}}

===Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen===
{{Box|Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x+18x</math>

'''b)''' <math>\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y</math>

'''c)''' <math> \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x </math>
|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.
''Beispiel:'' <math>4x+14x=(4+14) \cdot x=18x</math>. |2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

''Beispiel:'' <math> \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15} </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>23x</math>

'''b)''' <math>6y</math>

'''c)''' <math>-\frac{26}{15}x</math>}}

{{Box|Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2</math>

'''b)''' <math> \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4} </math>

'''c)*''' <math> \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2} </math>

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

''Beispiel:'' <math>3x+5+8x-4=3x+8x+5-4</math>.

'''Beachte:''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Fasse jeweils die Werte mit gleicher Variable zusammen.

''Beispiel :'' <math>3x+8x+5-4=11x+1</math>.
|2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 3 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''a)''' <math>7x-3</math>

'''b)''' <math>22z-3</math>

'''c)''' <math>5y+6</math>}}

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen|Fasse die Terme zusammen

'''a)''' <math> 214x + 24y - 5x + 23y + 24</math>

'''b)''' <math> \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y</math>

'''c)*''' <math> \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

''Beispiel:'' <math>3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4</math>.

'''Beachte''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>209x+ 47y + 24</math>

'''b)''' <math>15x+3y+17</math>

'''c)''' <math>7x+5y+3</math>}}

{{Box| Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten|

'''a)''' <math> 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 </math>

'''b)''' <math> \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2</math>

'''c)*''' <math> \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. <math>x </math> und <math>x^2 </math>) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

''Beispiel:'' <math>3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x</math>.

|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>11x^2+28y-24</math>

'''b)''' <math>\frac{3}{4}x^2 -2x -2</math>, das <math>y</math> fällt hier weg, da <math>0 \cdot y = 0</math> sind.

'''c)''' <math>4x^3</math>}}

{{Box|Aufgabe 5 - Pferderennen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pth88w7w319}}

|Arbeitsmethode}}

===Klammern in Termen auflösen===
{{Box|1=Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

'''a)''' <math>5\cdot(8-9y)</math>

'''b)''' <math>(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})</math>

'''c)''' <math>\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})</math>

{{Lösung versteckt|Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}(-4)} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}(-4)} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}(-4)} \cdot {\color{green}7}) = -20 - (-28) = -20+28 = 8</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommutativgesetz der Multiplikation zurück.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>40-45y</math>

b) <math>-\frac{5}{3}y+5x</math>

c) <math>\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren

'''a)''' <math>3x \cdot (11+5y)</math>

'''b)''' <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>

'''c)''' <math>x \cdot (x-15y)</math>

{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>33x+15xy</math>

b) <math>33x^2-30xy</math>

c) <math>x^2-15xy</math>|2=Lösung|3=schließen}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern|2=
Löse die Klammern auf.

'''a)''' <math>(7+5b)^2</math>

'''b)''' <math>(5c+6d)^2</math>

'''c)''' <math>(-6f-t)^2</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.
Das Bild soll dir eine Veranschaulichung der 1. Binomischen Formel geben:
[[Datei:1. Binomische Formel.jpg|1. Binomische Formel.jpg]]

2. Binomische Fomel:

<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>

3. Binomische Formel:
<math>(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2</math>|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>49+70b+25b^2</math>

b) <math>25c^2+60cd+36d^2</math>

c) <math>36f^2+12ft+t^2</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Terme durch Ausklammern in Produkte umformen===
{{Box|Aufgabe 9 - Ausklammern|Klammere möglichst viel aus.

'''a)''' <math>9x+9y+9z</math>

'''b)''' <math>81x+45y</math>

'''c)''' <math>5x-4xy+9xz</math>

'''d)''' <math>25a-35ab+50ax</math>

'''e)''' <math>8ax+24xy+64abxz</math>

'''f)''' <math>4abx+6axy+32abxyz</math>

{{Lösung versteckt|1=Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird vor die Klammer gesetzt. Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Die Summanden in der Klammer sind jeweils das, was beim Teilen durch den ggT (Weglassen) übrigbleibt.|2=Tipp 1, allgemeiner Tipp|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Dieselbe Zahl:
"Beispiel" Bei 3x+3y soll ausgeklammert werden. 3x und 3y haben die 3 gemeinsam. Also können wir sie ausklammern: <math>3x+3y=3(x+y)</math>. |2=Tipp 2, Tipp zu a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Nicht dieselbe Zahl, aber die Zahlen haben einen gemeinsamen Teiler:
"Beispiel" Bei 12x+18y soll ausgeklammert werden. 12 und 18 sind in der 6er-Reihe. Der ggT von 12 und 18 ist 6. Also klammern wir die 6 aus: <math>12x+18y=6(2x+3y)</math>|2=Tipp 3, Tipp zu b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Gemeinsamer ggT der Zahlen und mindestens eine gemeinsame Variable:
"Beispiel" Bei 21x+35xy soll ausgeklammert werden. Die 21 und die 35 sind beide in der 7er-Reihe. Außerdem kommt die Variable x bei beiden Summanden vor. Also klammern wir das 7x aus: <math>21x+35xy=7x(3+5y)</math>.|2=Tipp 4, Tipp zu c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>9(x+y+z)</math>. |2=Lösung von a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>9(9x+5y)</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>x(5-4y+9z)</math>.|2=Lösung von c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>5a(5-7b+10x)</math>.|2=Lösung von d)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>8x(a+3y+8abz)</math>.|2=Lösung von e)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>.|2=Lösung von f)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= a) <math>9(x+y+z)</math>.

b) <math>9(9x+5y)</math>.

c) <math>x(5-4y+9z)</math>.

d) <math>5a(5-7b+10x)</math>.

e) <math>8x(a+3y+8abz)</math>.

f) <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>|2=Lösungen von allen Teilaufgaben|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen===
{{Box| Aufgabe 10|Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?
{{Lösung versteckt|1=Setze eine Länge als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=kürzere Seite

<math>2 \cdot x+2 \cdot (x+38)=132 \quad | Vereinfachen</math>

<math>2 \cdot x+2 \cdot x+76=132 \quad | Vereinfachen</math>

<math>4 \cdot x+76=132 \quad | -76</math>

<math>4 \cdot x=56 \quad | :4</math>

<math>x=14</math>

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52|2=Lösung|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

{{Box| Aufgabe 11|Peter ist zusammen mit seinem Vater und seiner Mutter zusammen 100 Jahre alt. Sein Vater ist 3 Mal so alt wie er selbst und seine Mutter ist 5 Jahre jünger als sein Vater. Wie alt ist Peter, sein Vater und seine Mutter?
{{Lösung versteckt|1=Setze ein Alter als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Mathematisiere ausgehend von einem Alter x durch Terme die anderen Alter (z.B. 5 Jahre älter bedeutet (x+5).|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x= Alter von Peter
Wenn x das Alter von Peter ist, dann ist <math>(3 \cdot x)</math> das Alter des Vaters und somit ist das Alter der Mutter <math>(3 \cdot x-5)</math>.
Also:
<math>x+3 \cdot x+(3 \cdot x-5)=100 \quad | Vereinfachen</math>

<math>7 \cdot x-5=100 \quad | +5</math>

<math>7 \cdot x=105 \quad | :7</math>

<math>x=15</math>

mein Alter: 15

Alter meiner Mutter: 40

Alter meines Vaters: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 12|Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.
Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?
{{Lösung versteckt|1=Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Finn

<math>x+frac{1}{2} \cdot x+(x-5)=30 \quad | Vereinfachen</math>

<math>2,5 \cdot x-5=30 \quad | +5</math>

<math>2,5 \cdot x=35 \quad | :2,5</math>

<math>x=14</math>

Finn: 14 Tore

Jürgen: 7 Tore

Herbert: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungen lösen===

{{Box| Was sind überhaupt lineare Gleichungen?|
Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

<math> x^1=x </math>.

Ihre einfachste Form ist: <math> a \cdot x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch diesen [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen|Lernpfad zu linearen Funktionen]] nochmal an.
|Kurzinfo}}

{{Box| Aufgabe 13 - Lineare Gleichungen lösen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pitodik3519}}

{{Lösung versteckt|1= Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

<math> 3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x</math>

<math> \Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4 </math>

<math> \Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x </math>

<math> \Leftrightarrow 12 = 2x </math>

<math> \Leftrightarrow 6 = x </math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Quadratische Gleichungen lösen===
{{Box|Aufgabe 14|Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>x^2-11x+24=0</math>

'''b)''' <math>y^2+7y-8=0</math>

'''c)''' <math>z^2-20z+96=0</math>

'''d)''' <math>x^2+48x+135=0</math>

'''e)''' <math>a^2+107a-108=0</math>

'''f)''' <math>x^2+6x+8=0</math>

'''g)''' <math>x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0</math>

'''h)''' <math>x^2-9x+20=0</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{3;8\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;1\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{8;12\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-45;-3\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-108;1\}</math>|2=Lösung von e)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;-2\}</math>|2=Lösung von f)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\}</math>|2=Lösung von g)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4;5\}</math>|2=Lösung von h)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 15|Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+8)\cdot(x-2)=0</math>

'''b)''' <math>(2x-6)\cdot(3x+5)=0</math>

'''c)''' <math>(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0</math>

{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;2\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1\frac{2}{3};3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;14\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 16|Löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x-3)^2=16</math>

'''b)''' <math>x^2+8x+16=49</math>

'''c)''' <math>x^2+8x=9</math>

'''d)''' <math>3x^2-3x-60=0</math>

{{Lösung versteckt|Teile die Gleichung erst durch 3.|2=Tipp zu d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;7\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-11;3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;1\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;5\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>(x-3)^2=16</math>

<math>\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}</math>

<math>x-3=4\lor x-3=-4</math>

<math>x_1=7\lor x_2=-1</math>

<math>L=\{-1;7\}</math>

|2=Rechenweg zu a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x+16=49</math>

<math>(x+4)^2=49</math>

<math>x+4=7\lor x+4=-7</math>

<math>x_1=3\lor x_2=-11</math>

<math>L=\{-11;3\}</math>

|2=Rechenweg zu b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x=9</math>

<math>x^2+8x+16=9+16</math>

<math>(x+4)^2=25</math>

<math>x+4=5\lor x+4=-5</math>

<math>x_1=1\lor x_2=-9</math>

<math>L=\{-9;1\}</math>

|2=Rechenweg zu c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>3x^2-3x-60=0</math>

<math>x^2-x-20=0</math>

<math>x^2-x=20</math>

<math>x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}</math>

<math>(x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}</math>

<math>x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}</math>

<math>x_1=5\lor x_2=-4</math>

<math>L=\{-4;5\}</math>

|2=Rechenweg zu d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 17*|Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22</math>

'''b)''' <math>(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x</math>

'''c)''' <math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3</math>

'''d)''' <math>(2y+6)(17,5-2,5y)-(10+5y)(2y-3)=(7y+20)(4-1,4y)</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4,95;-2,5\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{5;\frac{1}{3}\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;2\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-5;-2\frac{3}{26}\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungssysteme lösen===
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:

{{Lösung versteckt|1=
# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
# Berechne die Unbekannten

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
# Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
# Gleichung nach der Variablen auflösen
# Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}}

{{Box|Aufgabe 18|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft:

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst zum Lösen das Additionsverfahren benutzen, um die Variable y zu eliminieren.

|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

Addiere Gleichung I zu Gleichung II

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 8x + 0y = 16</math>

Berechne die Lösung für II

<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math>

<math>x = 2</math>

Setze x = 2 in I ein

<math>3x + 4y = 22</math>

<math>3 \cdot 2 + 4y = 22</math>

<math>6 + 4y = 22\quad|-6</math>

<math>4y = 16\quad|:4</math>

<math>y = 4</math>

Lösung:

<math>x = 2, y = 4</math>.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

===Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen===
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.{{Box|Aufgabe 20*|In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Eine Gleichung sollte 18, die andere 84 als Ergebnis haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>
|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
''Additionsverfahren:''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 0x + 2y = 12</math>

Löse die Gleichung II.

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

''Einsetzungsverfahren''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Löse I nach x auf.

<math>x + y =18 \quad| -y</math>

<math>x = 18 - y</math>

Setze die Gleichung für x in II ein

<math>4(18 - y) + 6y = 84</math>

<math>72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72</math>

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

'''Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 21**|Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der Erste und der Zweite besitzen
zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der Dritte; der Erste und der Dritte haben zusammen um
40 Denare mehr als der Zweite; und der Zweite und der Dritte haben zusammen um 30
Denare mehr als der Erste. Wie viel besitzt jeder der Drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn Person A 10€ mehr hat als Person B, gilt: A - B = 10€|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c =30</math>

|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c = 30</math>

Addiere I + II und I + III.

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad 2a + 0b + 0c = 60</math>

<math>III\quad 0a + 2b + 0c = 30</math>

Löse die Gleichungen II und III.

<math>II\quad 2a = 60 \quad| :2</math>

<math>II\quad a = 30</math>

<math>III\quad 2b = 50 \quad| :2</math>

<math>III\quad b = 25</math>

Setze a und b in I ein.

<math>a + b - c = 20</math>

<math>30 + 25 - c = 20 \quad| -30 \quad| - 25</math>

<math>-c = -35</math>

<math>c = 35</math>

'''Der Erste hat 30, der Zweite 25 und der Dritte 35 Denare'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-05-24T13:41:12Z

Valentin WWU-4: /* Quadratische Gleichungen lösen */

{{Box|Terme und Gleichungen|Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen.
Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

Damit du etwas anspruchsvollere Aufgaben direkt erkennst, sind Aufgaben, die dich fordern mit einem Stern (*) und knifflige Knobelaufgaben mit zwei Sternen (**) gekennzeichnet.

Viel Spaß!|Kurzinfo}}

===Wiederholung: Terme und Gleichungen===
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
 

{{Lösung versteckt|1= Ein '''Term''' ist ein mathematischer Ausdruck, der
Zahlen,
Variablen,
Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und
Klammern enthalten kann.

Beispiele:

<math>1 + 2 </math>
<math>7x - 9y</math>. |2=Was ist ein Term?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Eine '''Gleichung '''<nowiki>ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.</nowiki>

<nowiki>Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)</nowiki>

Beispiele:

<math>4 = 1 + 3</math>

<math>5x = 10</math>.|2= Was ist eine Gleichung?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.

Addieren:
<math>3x + x = 4x</math>

Subtrahieren:
<math>5y - 2y = 3y</math>

Multiplizieren:
<math>x \cdot 2x^2 = 2x^3</math>

Ausmultiplizieren:
<math>z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z</math>

Ausklammern:
<math>3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)</math>.

|2=Terme vereinfachen|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B.
<math>5 + x = 10</math>, ist vor allem derjenige x
-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt '''wahr''', ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt '''Lösung der Gleichung'''.|2= Gleichungen lösen|3= schließen}}

"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pijz11q6t19}}

 

===Wiederholung: Bruchrechnung===
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man auch regelmäßig auf Brüche. Falls Du dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir folgenden Erklärungen an:

 

{{Lösung versteckt|1= 1. Zwei Brüche '''mit gleichem Nenner''' werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.

<math>\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}</math>

2. Vorgehensweise für '''ungleiche Brüche''':

Ungleiche Brüche sind Brüche, bei denen beide Nenner unterschiedliche Werte haben.

Diese Brüche mit '''verschiedenen Nennern''' addiert man, indem man die Brüche auf einen Nenner bringt.
Hierzu müssen die Brüche gekürzt oder erweitert werden. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.

'''Kürzen'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> kürzen mit n:
<math>\frac{a:n}{b:n}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{4}{12}</math> kürzen mit 2:<math>\frac{4:2}{12:2}=\frac{2}{6}</math>

'''Erweitern'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> erweitern mit m: <math>\frac{a \cdot m}{b \cdot m}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{2}{3}</math> erweitern mit 4: <math>\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}</math>|2= Brüche addieren|3= schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Brüche werden miteinander multipliziert, indem man '''Zähler mit Zähler''' und '''Nenner mit Nenner''' multipliziert.

<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>|2= Brüche multiplizieren|3= Merke}}

===Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen===
{{Box|Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x+18x</math>

'''b)''' <math>\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y</math>

'''c)''' <math> \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x </math>
|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.
''Beispiel:'' <math>4x+14x=(4+14) \cdot x=18x</math>. |2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

''Beispiel:'' <math> \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15} </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>23x</math>

'''b)''' <math>6y</math>

'''c)''' <math>-\frac{26}{15}x</math>}}

{{Box|Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2</math>

'''b)''' <math> \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4} </math>

'''c)*''' <math> \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2} </math>

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

''Beispiel:'' <math>3x+5+8x-4=3x+8x+5-4</math>.

'''Beachte:''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Fasse jeweils die Werte mit gleicher Variable zusammen.

''Beispiel :'' <math>3x+8x+5-4=11x+1</math>.
|2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 3 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''a)''' <math>7x-3</math>

'''b)''' <math>22z-3</math>

'''c)''' <math>5y+6</math>}}

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen|Fasse die Terme zusammen

'''a)''' <math> 214x + 24y - 5x + 23y + 24</math>

'''b)''' <math> \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y</math>

'''c)*''' <math> \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

''Beispiel:'' <math>3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4</math>.

'''Beachte''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>209x+ 47y + 24</math>

'''b)''' <math>15x+3y+17</math>

'''c)''' <math>7x+5y+3</math>}}

{{Box| Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten|

'''a)''' <math> 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 </math>

'''b)''' <math> \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2</math>

'''c)*''' <math> \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. <math>x </math> und <math>x^2 </math>) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

''Beispiel:'' <math>3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x</math>.

|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>11x^2+28y-24</math>

'''b)''' <math>\frac{3}{4}x^2 -2x -2</math>, das <math>y</math> fällt hier weg, da <math>0 \cdot y = 0</math> sind.

'''c)''' <math>4x^3</math>}}

{{Box|Aufgabe 5 - Pferderennen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pth88w7w319}}

|Arbeitsmethode}}

===Klammern in Termen auflösen===
{{Box|1=Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

'''a)''' <math>5\cdot(8-9y)</math>

'''b)''' <math>(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})</math>

'''c)''' <math>\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})</math>

{{Lösung versteckt|Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}(-4)} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}(-4)} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}(-4)} \cdot {\color{green}7}) = -20 - (-28) = -20+28 = 8</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommutativgesetz der Multiplikation zurück.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>40-45y</math>

b) <math>-\frac{5}{3}y+5x</math>

c) <math>\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren

'''a)''' <math>3x \cdot (11+5y)</math>

'''b)''' <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>

'''c)''' <math>x \cdot (x-15y)</math>

{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>33x+15xy</math>

b) <math>33x^2-30xy</math>

c) <math>x^2-15xy</math>|2=Lösung|3=schließen}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern|2=
Löse die Klammern auf.

'''a)''' <math>(7+5b)^2</math>

'''b)''' <math>(5c+6d)^2</math>

'''c)''' <math>(-6f-t)^2</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.
Das Bild soll dir eine Veranschaulichung der 1. Binomischen Formel geben:
[[Datei:1. Binomische Formel.jpg|1. Binomische Formel.jpg]]

2. Binomische Fomel:

<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>

3. Binomische Formel:
<math>(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2</math>|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>49+70b+25b^2</math>

b) <math>25c^2+60cd+36d^2</math>

c) <math>36f^2+12ft+t^2</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Terme durch Ausklammern in Produkte umformen===
{{Box|Aufgabe 9 - Ausklammern|Klammere möglichst viel aus.

'''a)''' <math>9x+9y+9z</math>

'''b)''' <math>81x+45y</math>

'''c)''' <math>5x-4xy+9xz</math>

'''d)''' <math>25a-35ab+50ax</math>

'''e)''' <math>8ax+24xy+64abxz</math>

'''f)''' <math>4abx+6axy+32abxyz</math>

{{Lösung versteckt|1=Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird vor die Klammer gesetzt. Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Die Summanden in der Klammer sind jeweils das, was beim Teilen durch den ggT (Weglassen) übrigbleibt.|2=Tipp 1, allgemeiner Tipp|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Dieselbe Zahl:
"Beispiel" Bei 3x+3y soll ausgeklammert werden. 3x und 3y haben die 3 gemeinsam. Also können wir sie ausklammern: <math>3x+3y=3(x+y)</math>. |2=Tipp 2, Tipp zu a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Nicht dieselbe Zahl, aber die Zahlen haben einen gemeinsamen Teiler:
"Beispiel" Bei 12x+18y soll ausgeklammert werden. 12 und 18 sind in der 6er-Reihe. Der ggT von 12 und 18 ist 6. Also klammern wir die 6 aus: <math>12x+18y=6(2x+3y)</math>|2=Tipp 3, Tipp zu b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Gemeinsamer ggT der Zahlen und mindestens eine gemeinsame Variable:
"Beispiel" Bei 21x+35xy soll ausgeklammert werden. Die 21 und die 35 sind beide in der 7er-Reihe. Außerdem kommt die Variable x bei beiden Summanden vor. Also klammern wir das 7x aus: <math>21x+35xy=7x(3+5y)</math>.|2=Tipp 4, Tipp zu c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>9(x+y+z)</math>. |2=Lösung von a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>9(9x+5y)</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>x(5-4y+9z)</math>.|2=Lösung von c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>5a(5-7b+10x)</math>.|2=Lösung von d)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>8x(a+3y+8abz)</math>.|2=Lösung von e)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>.|2=Lösung von f)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= a) <math>9(x+y+z)</math>.

b) <math>9(9x+5y)</math>.

c) <math>x(5-4y+9z)</math>.

d) <math>5a(5-7b+10x)</math>.

e) <math>8x(a+3y+8abz)</math>.

f) <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>|2=Lösungen von allen Teilaufgaben|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen===
{{Box| Aufgabe 10|Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?
{{Lösung versteckt|1=Setze eine Länge als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=kürzere Seite

<math>2 \cdot x+2 \cdot (x+38)=132 \quad | Vereinfachen</math>

<math>2 \cdot x+2 \cdot x+76=132 \quad | Vereinfachen</math>

<math>4 \cdot x+76=132 \quad | -76</math>

<math>4 \cdot x=56 \quad | :4</math>

<math>x=14</math>

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52|2=Lösung|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

{{Box| Aufgabe 11|Peter ist zusammen mit seinem Vater und seiner Mutter zusammen 100 Jahre alt. Sein Vater ist 3 Mal so alt wie er selbst und seine Mutter ist 5 Jahre jünger als sein Vater. Wie alt ist Peter, sein Vater und seine Mutter?
{{Lösung versteckt|1=Setze ein Alter als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Mathematisiere ausgehend von einem Alter x durch Terme die anderen Alter (z.B. 5 Jahre älter bedeutet (x+5).|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x= Alter von Peter
Wenn x das Alter von Peter ist, dann ist <math>(3 \cdot x)</math> das Alter des Vaters und somit ist das Alter der Mutter <math>(3 \cdot x-5)</math>.
Also:
<math>x+3 \cdot x+(3 \cdot x-5)=100 \quad | Vereinfachen</math>

<math>7 \cdot x-5=100 \quad | +5</math>

<math>7 \cdot x=105 \quad | :7</math>

<math>x=15</math>

mein Alter: 15

Alter meiner Mutter: 40

Alter meines Vaters: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 12|Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.
Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?
{{Lösung versteckt|1=Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Finn

<math>x+frac{1}{2} \cdot x+(x-5)=30 \quad | Vereinfachen</math>

<math>2,5 \cdot x-5=30 \quad | +5</math>

<math>2,5 \cdot x=35 \quad | :2,5</math>

<math>x=14</math>

Finn: 14 Tore

Jürgen: 7 Tore

Herbert: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungen lösen===

{{Box| Was sind überhaupt lineare Gleichungen?|
Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

<math> x^1=x </math>.

Ihre einfachste Form ist: <math> a \cdot x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch diesen [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen|Lernpfad zu linearen Funktionen]] nochmal an.
|Kurzinfo}}

{{Box| Aufgabe 13 - Lineare Gleichungen lösen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pitodik3519}}

{{Lösung versteckt|1= Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

<math> 3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x</math>

<math> \Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4 </math>

<math> \Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x </math>

<math> \Leftrightarrow 12 = 2x </math>

<math> \Leftrightarrow 6 = x </math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Quadratische Gleichungen lösen===
{{Box|Aufgabe 14|Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>x^2-11x+24=0</math>

'''b)''' <math>y^2+7y-8=0</math>

'''c)''' <math>z^2-20z+96=0</math>

'''d)''' <math>x^2+48x+135=0</math>

'''e)''' <math>a^2+107a-108=0</math>

'''f)''' <math>x^2+6x+8=0</math>

'''g)''' <math>x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0</math>

'''h)''' <math>x^2-9x+20=0</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{3;8\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;1\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{8;12\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-45;-3\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-108;1\}</math>|2=Lösung von e)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;-2\}</math>|2=Lösung von f)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\}</math>|2=Lösung von g)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4;5\}</math>|2=Lösung von h)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 15|Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+8)\cdot(x-2)=0</math>

'''b)''' <math>(2x-6)\cdot(3x+5)=0</math>

'''c)''' <math>(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0</math>

{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;2\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1\frac{2}{3};3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;14\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 16|Löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x-3)^2=16</math>

'''b)''' <math>x^2+8x+16=49</math>

'''c)''' <math>x^2+8x=9</math>

'''d)''' <math>3x^2-3x-60=0</math>

{{Lösung versteckt|Teile die Gleichung erst durch 3.|2=Tipp zu d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;7\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-11;3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;1\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;5\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>(x-3)^2=16</math>

<math>\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}</math>

<math>x-3=4\lor x-3=-4</math>

<math>x_1=7\lor x_2=-1</math>

<math>L=\{-1;7\}</math>

|2=Rechenweg zu a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x+16=49</math>

<math>(x+4)^2=49</math>

<math>x+4=7\lor x+4=-7</math>

<math>x_1=3\lor x_2=-11</math>

<math>L=\{-11;3\}</math>

|2=Rechenweg zu b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x=9</math>

<math>x^2+8x+16=9+16</math>

<math>(x+4)^2=25</math>

<math>x+4=5\lor x+4=-5</math>

<math>x_1=1\lor x_2=-9</math>

<math>L=\{-9;1\}</math>

|2=Rechenweg zu c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>3x^2-3x-60=0</math>

<math>x^2-x-20=0</math>

<math>x^2-x=20</math>

<math>x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}</math>

<math>(x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}</math>

<math>x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}</math>

<math>x_1=5\lor x_2=-4</math>

<math>L=\{-4;5\}</math>

|2=Rechenweg zu d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 17*|Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22</math>

'''b)''' <math>(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x</math>

'''c)''' <math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3</math>

'''d)''' <math>(2y+6)(17,5-2,5y)-(10+5y)(2y-3)=(7y+20)(4-1,4y)</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4,95;-2,5\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{5;\frac{1}{3}\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;2\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-5;-2\frac{3}{26}\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungssysteme lösen===
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:

{{Lösung versteckt|1=
# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
# Berechne die Unbekannten

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
# Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
# Gleichung nach der Variablen auflösen
# Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}}

{{Box|Aufgabe 19|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft:

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst zum Lösen das Additionsverfahren benutzen, um die Variable y zu eliminieren.

|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

Addiere Gleichung I zu Gleichung II

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 8x + 0y = 16</math>

Berechne die Lösung für II

<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math>

<math>x = 2</math>

Setze x = 2 in I ein

<math>3x + 4y = 22</math>

<math>3 \cdot 2 + 4y = 22</math>

<math>6 + 4y = 22\quad|-6</math>

<math>4y = 16\quad|:4</math>

<math>y = 4</math>

Lösung:

<math>x = 2, y = 4</math>.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

===Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen===
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.{{Box|Aufgabe 20*|In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Eine Gleichung sollte 18, die andere 84 als Ergebnis haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>
|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
''Additionsverfahren:''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 0x + 2y = 12</math>

Löse die Gleichung II.

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

''Einsetzungsverfahren''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Löse I nach x auf.

<math>x + y =18 \quad| -y</math>

<math>x = 18 - y</math>

Setze die Gleichung für x in II ein

<math>4(18 - y) + 6y = 84</math>

<math>72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72</math>

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

'''Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 21**|Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der Erste und der Zweite besitzen
zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der Dritte; der Erste und der Dritte haben zusammen um
40 Denare mehr als der Zweite; und der Zweite und der Dritte haben zusammen um 30
Denare mehr als der Erste. Wie viel besitzt jeder der Drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn Person A 10€ mehr hat als Person B, gilt: A - B = 10€|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c =30</math>

|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c = 30</math>

Addiere I + II und I + III.

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad 2a + 0b + 0c = 60</math>

<math>III\quad 0a + 2b + 0c = 30</math>

Löse die Gleichungen II und III.

<math>II\quad 2a = 60 \quad| :2</math>

<math>II\quad a = 30</math>

<math>III\quad 2b = 50 \quad| :2</math>

<math>III\quad b = 25</math>

Setze a und b in I ein.

<math>a + b - c = 20</math>

<math>30 + 25 - c = 20 \quad| -30 \quad| - 25</math>

<math>-c = -35</math>

<math>c = 35</math>

'''Der Erste hat 30, der Zweite 25 und der Dritte 35 Denare'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-05-24T13:40:24Z

Valentin WWU-4: /* Quadratische Gleichungen lösen */

{{Box|Terme und Gleichungen|Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen.
Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

Damit du etwas anspruchsvollere Aufgaben direkt erkennst, sind Aufgaben, die dich fordern mit einem Stern (*) und knifflige Knobelaufgaben mit zwei Sternen (**) gekennzeichnet.

Viel Spaß!|Kurzinfo}}

===Wiederholung: Terme und Gleichungen===
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
 

{{Lösung versteckt|1= Ein '''Term''' ist ein mathematischer Ausdruck, der
Zahlen,
Variablen,
Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und
Klammern enthalten kann.

Beispiele:

<math>1 + 2 </math>
<math>7x - 9y</math>. |2=Was ist ein Term?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Eine '''Gleichung '''<nowiki>ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.</nowiki>

<nowiki>Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)</nowiki>

Beispiele:

<math>4 = 1 + 3</math>

<math>5x = 10</math>.|2= Was ist eine Gleichung?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.

Addieren:
<math>3x + x = 4x</math>

Subtrahieren:
<math>5y - 2y = 3y</math>

Multiplizieren:
<math>x \cdot 2x^2 = 2x^3</math>

Ausmultiplizieren:
<math>z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z</math>

Ausklammern:
<math>3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)</math>.

|2=Terme vereinfachen|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B.
<math>5 + x = 10</math>, ist vor allem derjenige x
-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt '''wahr''', ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt '''Lösung der Gleichung'''.|2= Gleichungen lösen|3= schließen}}

"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pijz11q6t19}}

 

===Wiederholung: Bruchrechnung===
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man auch regelmäßig auf Brüche. Falls Du dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir folgenden Erklärungen an:

 

{{Lösung versteckt|1= 1. Zwei Brüche '''mit gleichem Nenner''' werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.

<math>\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}</math>

2. Vorgehensweise für '''ungleiche Brüche''':

Ungleiche Brüche sind Brüche, bei denen beide Nenner unterschiedliche Werte haben.

Diese Brüche mit '''verschiedenen Nennern''' addiert man, indem man die Brüche auf einen Nenner bringt.
Hierzu müssen die Brüche gekürzt oder erweitert werden. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.

'''Kürzen'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> kürzen mit n:
<math>\frac{a:n}{b:n}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{4}{12}</math> kürzen mit 2:<math>\frac{4:2}{12:2}=\frac{2}{6}</math>

'''Erweitern'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> erweitern mit m: <math>\frac{a \cdot m}{b \cdot m}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{2}{3}</math> erweitern mit 4: <math>\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}</math>|2= Brüche addieren|3= schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Brüche werden miteinander multipliziert, indem man '''Zähler mit Zähler''' und '''Nenner mit Nenner''' multipliziert.

<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>|2= Brüche multiplizieren|3= Merke}}

===Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen===
{{Box|Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x+18x</math>

'''b)''' <math>\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y</math>

'''c)''' <math> \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x </math>
|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.
''Beispiel:'' <math>4x+14x=(4+14) \cdot x=18x</math>. |2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

''Beispiel:'' <math> \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15} </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>23x</math>

'''b)''' <math>6y</math>

'''c)''' <math>-\frac{26}{15}x</math>}}

{{Box|Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2</math>

'''b)''' <math> \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4} </math>

'''c)*''' <math> \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2} </math>

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

''Beispiel:'' <math>3x+5+8x-4=3x+8x+5-4</math>.

'''Beachte:''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Fasse jeweils die Werte mit gleicher Variable zusammen.

''Beispiel :'' <math>3x+8x+5-4=11x+1</math>.
|2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 3 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''a)''' <math>7x-3</math>

'''b)''' <math>22z-3</math>

'''c)''' <math>5y+6</math>}}

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen|Fasse die Terme zusammen

'''a)''' <math> 214x + 24y - 5x + 23y + 24</math>

'''b)''' <math> \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y</math>

'''c)*''' <math> \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

''Beispiel:'' <math>3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4</math>.

'''Beachte''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>209x+ 47y + 24</math>

'''b)''' <math>15x+3y+17</math>

'''c)''' <math>7x+5y+3</math>}}

{{Box| Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten|

'''a)''' <math> 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 </math>

'''b)''' <math> \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2</math>

'''c)*''' <math> \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. <math>x </math> und <math>x^2 </math>) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

''Beispiel:'' <math>3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x</math>.

|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>11x^2+28y-24</math>

'''b)''' <math>\frac{3}{4}x^2 -2x -2</math>, das <math>y</math> fällt hier weg, da <math>0 \cdot y = 0</math> sind.

'''c)''' <math>4x^3</math>}}

{{Box|Aufgabe 5 - Pferderennen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pth88w7w319}}

|Arbeitsmethode}}

===Klammern in Termen auflösen===
{{Box|1=Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

'''a)''' <math>5\cdot(8-9y)</math>

'''b)''' <math>(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})</math>

'''c)''' <math>\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})</math>

{{Lösung versteckt|Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}(-4)} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}(-4)} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}(-4)} \cdot {\color{green}7}) = -20 - (-28) = -20+28 = 8</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommutativgesetz der Multiplikation zurück.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>40-45y</math>

b) <math>-\frac{5}{3}y+5x</math>

c) <math>\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren

'''a)''' <math>3x \cdot (11+5y)</math>

'''b)''' <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>

'''c)''' <math>x \cdot (x-15y)</math>

{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>33x+15xy</math>

b) <math>33x^2-30xy</math>

c) <math>x^2-15xy</math>|2=Lösung|3=schließen}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern|2=
Löse die Klammern auf.

'''a)''' <math>(7+5b)^2</math>

'''b)''' <math>(5c+6d)^2</math>

'''c)''' <math>(-6f-t)^2</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.
Das Bild soll dir eine Veranschaulichung der 1. Binomischen Formel geben:
[[Datei:1. Binomische Formel.jpg|1. Binomische Formel.jpg]]

2. Binomische Fomel:

<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>

3. Binomische Formel:
<math>(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2</math>|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>49+70b+25b^2</math>

b) <math>25c^2+60cd+36d^2</math>

c) <math>36f^2+12ft+t^2</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Terme durch Ausklammern in Produkte umformen===
{{Box|Aufgabe 9 - Ausklammern|Klammere möglichst viel aus.

'''a)''' <math>9x+9y+9z</math>

'''b)''' <math>81x+45y</math>

'''c)''' <math>5x-4xy+9xz</math>

'''d)''' <math>25a-35ab+50ax</math>

'''e)''' <math>8ax+24xy+64abxz</math>

'''f)''' <math>4abx+6axy+32abxyz</math>

{{Lösung versteckt|1=Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird vor die Klammer gesetzt. Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Die Summanden in der Klammer sind jeweils das, was beim Teilen durch den ggT (Weglassen) übrigbleibt.|2=Tipp 1, allgemeiner Tipp|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Dieselbe Zahl:
"Beispiel" Bei 3x+3y soll ausgeklammert werden. 3x und 3y haben die 3 gemeinsam. Also können wir sie ausklammern: <math>3x+3y=3(x+y)</math>. |2=Tipp 2, Tipp zu a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Nicht dieselbe Zahl, aber die Zahlen haben einen gemeinsamen Teiler:
"Beispiel" Bei 12x+18y soll ausgeklammert werden. 12 und 18 sind in der 6er-Reihe. Der ggT von 12 und 18 ist 6. Also klammern wir die 6 aus: <math>12x+18y=6(2x+3y)</math>|2=Tipp 3, Tipp zu b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Gemeinsamer ggT der Zahlen und mindestens eine gemeinsame Variable:
"Beispiel" Bei 21x+35xy soll ausgeklammert werden. Die 21 und die 35 sind beide in der 7er-Reihe. Außerdem kommt die Variable x bei beiden Summanden vor. Also klammern wir das 7x aus: <math>21x+35xy=7x(3+5y)</math>.|2=Tipp 4, Tipp zu c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>9(x+y+z)</math>. |2=Lösung von a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>9(9x+5y)</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>x(5-4y+9z)</math>.|2=Lösung von c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>5a(5-7b+10x)</math>.|2=Lösung von d)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>8x(a+3y+8abz)</math>.|2=Lösung von e)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>.|2=Lösung von f)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= a) <math>9(x+y+z)</math>.

b) <math>9(9x+5y)</math>.

c) <math>x(5-4y+9z)</math>.

d) <math>5a(5-7b+10x)</math>.

e) <math>8x(a+3y+8abz)</math>.

f) <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>|2=Lösungen von allen Teilaufgaben|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen===
{{Box| Aufgabe 10|Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?
{{Lösung versteckt|1=Setze eine Länge als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=kürzere Seite

<math>2 \cdot x+2 \cdot (x+38)=132 \quad | Vereinfachen</math>

<math>2 \cdot x+2 \cdot x+76=132 \quad | Vereinfachen</math>

<math>4 \cdot x+76=132 \quad | -76</math>

<math>4 \cdot x=56 \quad | :4</math>

<math>x=14</math>

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52|2=Lösung|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

{{Box| Aufgabe 11|Peter ist zusammen mit seinem Vater und seiner Mutter zusammen 100 Jahre alt. Sein Vater ist 3 Mal so alt wie er selbst und seine Mutter ist 5 Jahre jünger als sein Vater. Wie alt ist Peter, sein Vater und seine Mutter?
{{Lösung versteckt|1=Setze ein Alter als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Mathematisiere ausgehend von einem Alter x durch Terme die anderen Alter (z.B. 5 Jahre älter bedeutet (x+5).|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x= Alter von Peter
Wenn x das Alter von Peter ist, dann ist <math>(3 \cdot x)</math> das Alter des Vaters und somit ist das Alter der Mutter <math>(3 \cdot x-5)</math>.
Also:
<math>x+3 \cdot x+(3 \cdot x-5)=100 \quad | Vereinfachen</math>

<math>7 \cdot x-5=100 \quad | +5</math>

<math>7 \cdot x=105 \quad | :7</math>

<math>x=15</math>

mein Alter: 15

Alter meiner Mutter: 40

Alter meines Vaters: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 12|Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.
Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?
{{Lösung versteckt|1=Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Finn

<math>x+frac{1}{2} \cdot x+(x-5)=30 \quad | Vereinfachen</math>

<math>2,5 \cdot x-5=30 \quad | +5</math>

<math>2,5 \cdot x=35 \quad | :2,5</math>

<math>x=14</math>

Finn: 14 Tore

Jürgen: 7 Tore

Herbert: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungen lösen===

{{Box| Was sind überhaupt lineare Gleichungen?|
Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

<math> x^1=x </math>.

Ihre einfachste Form ist: <math> a \cdot x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch diesen [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen|Lernpfad zu linearen Funktionen]] nochmal an.
|Kurzinfo}}

{{Box| Aufgabe 13 - Lineare Gleichungen lösen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pitodik3519}}

{{Lösung versteckt|1= Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

<math> 3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x</math>

<math> \Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4 </math>

<math> \Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x </math>

<math> \Leftrightarrow 12 = 2x </math>

<math> \Leftrightarrow 6 = x </math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Quadratische Gleichungen lösen===
{{Box|Aufgabe 14|Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>x^2-11x+24=0</math>

'''b)''' <math>y^2+7y-8=0</math>

'''c)''' <math>z^2-20z+96=0</math>

'''d)''' <math>x^2+48x+135=0</math>

'''e)''' <math>a^2+107a-108=0</math>

'''f)''' <math>x^2+6x+8=0</math>

'''g)''' <math>x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0</math>

'''h)''' <math>x^2-9x+20=0</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{3;8\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;1\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{8;12\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-45;-3\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-108;1\}</math>|2=Lösung von e)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;-2\}</math>|2=Lösung von f)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\}</math>|2=Lösung von g)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4;5\}</math>|2=Lösung von h)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 15|Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+8)\cdot(x-2)=0</math>

'''b)''' <math>(2x-6)\cdot(3x+5)=0</math>

'''c)''' <math>(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0</math>

{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;2\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1\frac{2}{3};3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;14\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 16|Löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x-3)^2=16</math>

'''b)''' <math>x^2+8x+16=49</math>

'''c)''' <math>x^2+8x=9</math>

'''d)''' <math>3x^2-3x-60=0</math>

{{Lösung versteckt|Teile die Gleichung erst durch 3.|2=Tipp zu d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;7\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-11;3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;1\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;5\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>(x-3)^2=16</math>

<math>\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}</math>

<math>x-3=4\lor x-3=-4</math>

<math>x_1=7\lor x_2=-1</math>

<math>L=\{-1;7\}</math>

|2=Rechenweg zu a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x+16=49</math>

<math>(x+4)^2=49</math>

<math>x+4=7\lor x+4=-7</math>

<math>x_1=3\lor x_2=-11</math>

<math>L=\{-11;3\}</math>

|2=Rechenweg zu b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x=9</math>

<math>x^2+8x+16=9+16</math>

<math>(x+4)^2=25</math>

<math>x+4=5\lor x+4=-5</math>

<math>x_1=1\lor x_2=-9</math>

<math>L=\{-9;1\}</math>

|2=Rechenweg zu c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>3x^2-3x-60=0</math>

<math>x^2-x-20=0</math>

<math>x^2-x=20</math>

<math>x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}</math>

<math>(x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}</math>

<math>x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}</math>

<math>x_1=5\lor x_2=-4</math>

<math>L=\{-4;5\}</math>

|2=Rechenweg zu d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 18*|Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22</math>

'''b)''' <math>(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x</math>

'''c)''' <math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3</math>

'''d)''' <math>(2y+6)(17,5-2,5y)-(10+5y)(2y-3)=(7y+20)(4-1,4y)</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4,95;-2,5\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{5;\frac{1}{3}\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;2\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-5;-2\frac{3}{26}\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungssysteme lösen===
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:

{{Lösung versteckt|1=
# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
# Berechne die Unbekannten

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
# Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
# Gleichung nach der Variablen auflösen
# Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}}

{{Box|Aufgabe 19|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft:

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst zum Lösen das Additionsverfahren benutzen, um die Variable y zu eliminieren.

|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

Addiere Gleichung I zu Gleichung II

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 8x + 0y = 16</math>

Berechne die Lösung für II

<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math>

<math>x = 2</math>

Setze x = 2 in I ein

<math>3x + 4y = 22</math>

<math>3 \cdot 2 + 4y = 22</math>

<math>6 + 4y = 22\quad|-6</math>

<math>4y = 16\quad|:4</math>

<math>y = 4</math>

Lösung:

<math>x = 2, y = 4</math>.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

===Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen===
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.{{Box|Aufgabe 20*|In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Eine Gleichung sollte 18, die andere 84 als Ergebnis haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>
|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
''Additionsverfahren:''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 0x + 2y = 12</math>

Löse die Gleichung II.

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

''Einsetzungsverfahren''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Löse I nach x auf.

<math>x + y =18 \quad| -y</math>

<math>x = 18 - y</math>

Setze die Gleichung für x in II ein

<math>4(18 - y) + 6y = 84</math>

<math>72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72</math>

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

'''Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 21**|Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der Erste und der Zweite besitzen
zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der Dritte; der Erste und der Dritte haben zusammen um
40 Denare mehr als der Zweite; und der Zweite und der Dritte haben zusammen um 30
Denare mehr als der Erste. Wie viel besitzt jeder der Drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn Person A 10€ mehr hat als Person B, gilt: A - B = 10€|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c =30</math>

|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c = 30</math>

Addiere I + II und I + III.

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad 2a + 0b + 0c = 60</math>

<math>III\quad 0a + 2b + 0c = 30</math>

Löse die Gleichungen II und III.

<math>II\quad 2a = 60 \quad| :2</math>

<math>II\quad a = 30</math>

<math>III\quad 2b = 50 \quad| :2</math>

<math>III\quad b = 25</math>

Setze a und b in I ein.

<math>a + b - c = 20</math>

<math>30 + 25 - c = 20 \quad| -30 \quad| - 25</math>

<math>-c = -35</math>

<math>c = 35</math>

'''Der Erste hat 30, der Zweite 25 und der Dritte 35 Denare'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-05-24T13:38:42Z

Valentin WWU-4: /* Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen */

{{Box|Terme und Gleichungen|Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen.
Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

Damit du etwas anspruchsvollere Aufgaben direkt erkennst, sind Aufgaben, die dich fordern mit einem Stern (*) und knifflige Knobelaufgaben mit zwei Sternen (**) gekennzeichnet.

Viel Spaß!|Kurzinfo}}

===Wiederholung: Terme und Gleichungen===
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
 

{{Lösung versteckt|1= Ein '''Term''' ist ein mathematischer Ausdruck, der
Zahlen,
Variablen,
Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und
Klammern enthalten kann.

Beispiele:

<math>1 + 2 </math>
<math>7x - 9y</math>. |2=Was ist ein Term?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Eine '''Gleichung '''<nowiki>ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.</nowiki>

<nowiki>Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)</nowiki>

Beispiele:

<math>4 = 1 + 3</math>

<math>5x = 10</math>.|2= Was ist eine Gleichung?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.

Addieren:
<math>3x + x = 4x</math>

Subtrahieren:
<math>5y - 2y = 3y</math>

Multiplizieren:
<math>x \cdot 2x^2 = 2x^3</math>

Ausmultiplizieren:
<math>z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z</math>

Ausklammern:
<math>3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)</math>.

|2=Terme vereinfachen|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B.
<math>5 + x = 10</math>, ist vor allem derjenige x
-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt '''wahr''', ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt '''Lösung der Gleichung'''.|2= Gleichungen lösen|3= schließen}}

"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pijz11q6t19}}

 

===Wiederholung: Bruchrechnung===
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man auch regelmäßig auf Brüche. Falls Du dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir folgenden Erklärungen an:

 

{{Lösung versteckt|1= 1. Zwei Brüche '''mit gleichem Nenner''' werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.

<math>\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}</math>

2. Vorgehensweise für '''ungleiche Brüche''':

Ungleiche Brüche sind Brüche, bei denen beide Nenner unterschiedliche Werte haben.

Diese Brüche mit '''verschiedenen Nennern''' addiert man, indem man die Brüche auf einen Nenner bringt.
Hierzu müssen die Brüche gekürzt oder erweitert werden. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.

'''Kürzen'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> kürzen mit n:
<math>\frac{a:n}{b:n}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{4}{12}</math> kürzen mit 2:<math>\frac{4:2}{12:2}=\frac{2}{6}</math>

'''Erweitern'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> erweitern mit m: <math>\frac{a \cdot m}{b \cdot m}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{2}{3}</math> erweitern mit 4: <math>\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}</math>|2= Brüche addieren|3= schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Brüche werden miteinander multipliziert, indem man '''Zähler mit Zähler''' und '''Nenner mit Nenner''' multipliziert.

<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>|2= Brüche multiplizieren|3= Merke}}

===Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen===
{{Box|Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x+18x</math>

'''b)''' <math>\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y</math>

'''c)''' <math> \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x </math>
|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.
''Beispiel:'' <math>4x+14x=(4+14) \cdot x=18x</math>. |2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

''Beispiel:'' <math> \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15} </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>23x</math>

'''b)''' <math>6y</math>

'''c)''' <math>-\frac{26}{15}x</math>}}

{{Box|Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2</math>

'''b)''' <math> \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4} </math>

'''c)*''' <math> \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2} </math>

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

''Beispiel:'' <math>3x+5+8x-4=3x+8x+5-4</math>.

'''Beachte:''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Fasse jeweils die Werte mit gleicher Variable zusammen.

''Beispiel :'' <math>3x+8x+5-4=11x+1</math>.
|2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 3 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''a)''' <math>7x-3</math>

'''b)''' <math>22z-3</math>

'''c)''' <math>5y+6</math>}}

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen|Fasse die Terme zusammen

'''a)''' <math> 214x + 24y - 5x + 23y + 24</math>

'''b)''' <math> \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y</math>

'''c)*''' <math> \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

''Beispiel:'' <math>3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4</math>.

'''Beachte''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>209x+ 47y + 24</math>

'''b)''' <math>15x+3y+17</math>

'''c)''' <math>7x+5y+3</math>}}

{{Box| Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten|

'''a)''' <math> 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 </math>

'''b)''' <math> \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2</math>

'''c)*''' <math> \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. <math>x </math> und <math>x^2 </math>) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

''Beispiel:'' <math>3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x</math>.

|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>11x^2+28y-24</math>

'''b)''' <math>\frac{3}{4}x^2 -2x -2</math>, das <math>y</math> fällt hier weg, da <math>0 \cdot y = 0</math> sind.

'''c)''' <math>4x^3</math>}}

{{Box|Aufgabe 5 - Pferderennen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pth88w7w319}}

|Arbeitsmethode}}

===Klammern in Termen auflösen===
{{Box|1=Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

'''a)''' <math>5\cdot(8-9y)</math>

'''b)''' <math>(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})</math>

'''c)''' <math>\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})</math>

{{Lösung versteckt|Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}(-4)} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}(-4)} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}(-4)} \cdot {\color{green}7}) = -20 - (-28) = -20+28 = 8</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommutativgesetz der Multiplikation zurück.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>40-45y</math>

b) <math>-\frac{5}{3}y+5x</math>

c) <math>\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren

'''a)''' <math>3x \cdot (11+5y)</math>

'''b)''' <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>

'''c)''' <math>x \cdot (x-15y)</math>

{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>33x+15xy</math>

b) <math>33x^2-30xy</math>

c) <math>x^2-15xy</math>|2=Lösung|3=schließen}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern|2=
Löse die Klammern auf.

'''a)''' <math>(7+5b)^2</math>

'''b)''' <math>(5c+6d)^2</math>

'''c)''' <math>(-6f-t)^2</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.
Das Bild soll dir eine Veranschaulichung der 1. Binomischen Formel geben:
[[Datei:1. Binomische Formel.jpg|1. Binomische Formel.jpg]]

2. Binomische Fomel:

<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>

3. Binomische Formel:
<math>(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2</math>|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>49+70b+25b^2</math>

b) <math>25c^2+60cd+36d^2</math>

c) <math>36f^2+12ft+t^2</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Terme durch Ausklammern in Produkte umformen===
{{Box|Aufgabe 9 - Ausklammern|Klammere möglichst viel aus.

'''a)''' <math>9x+9y+9z</math>

'''b)''' <math>81x+45y</math>

'''c)''' <math>5x-4xy+9xz</math>

'''d)''' <math>25a-35ab+50ax</math>

'''e)''' <math>8ax+24xy+64abxz</math>

'''f)''' <math>4abx+6axy+32abxyz</math>

{{Lösung versteckt|1=Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird vor die Klammer gesetzt. Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Die Summanden in der Klammer sind jeweils das, was beim Teilen durch den ggT (Weglassen) übrigbleibt.|2=Tipp 1, allgemeiner Tipp|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Dieselbe Zahl:
"Beispiel" Bei 3x+3y soll ausgeklammert werden. 3x und 3y haben die 3 gemeinsam. Also können wir sie ausklammern: <math>3x+3y=3(x+y)</math>. |2=Tipp 2, Tipp zu a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Nicht dieselbe Zahl, aber die Zahlen haben einen gemeinsamen Teiler:
"Beispiel" Bei 12x+18y soll ausgeklammert werden. 12 und 18 sind in der 6er-Reihe. Der ggT von 12 und 18 ist 6. Also klammern wir die 6 aus: <math>12x+18y=6(2x+3y)</math>|2=Tipp 3, Tipp zu b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Gemeinsamer ggT der Zahlen und mindestens eine gemeinsame Variable:
"Beispiel" Bei 21x+35xy soll ausgeklammert werden. Die 21 und die 35 sind beide in der 7er-Reihe. Außerdem kommt die Variable x bei beiden Summanden vor. Also klammern wir das 7x aus: <math>21x+35xy=7x(3+5y)</math>.|2=Tipp 4, Tipp zu c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>9(x+y+z)</math>. |2=Lösung von a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>9(9x+5y)</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>x(5-4y+9z)</math>.|2=Lösung von c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>5a(5-7b+10x)</math>.|2=Lösung von d)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>8x(a+3y+8abz)</math>.|2=Lösung von e)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>.|2=Lösung von f)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= a) <math>9(x+y+z)</math>.

b) <math>9(9x+5y)</math>.

c) <math>x(5-4y+9z)</math>.

d) <math>5a(5-7b+10x)</math>.

e) <math>8x(a+3y+8abz)</math>.

f) <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>|2=Lösungen von allen Teilaufgaben|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen===
{{Box| Aufgabe 10|Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?
{{Lösung versteckt|1=Setze eine Länge als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=kürzere Seite

<math>2 \cdot x+2 \cdot (x+38)=132 \quad | Vereinfachen</math>

<math>2 \cdot x+2 \cdot x+76=132 \quad | Vereinfachen</math>

<math>4 \cdot x+76=132 \quad | -76</math>

<math>4 \cdot x=56 \quad | :4</math>

<math>x=14</math>

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52|2=Lösung|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

{{Box| Aufgabe 11|Peter ist zusammen mit seinem Vater und seiner Mutter zusammen 100 Jahre alt. Sein Vater ist 3 Mal so alt wie er selbst und seine Mutter ist 5 Jahre jünger als sein Vater. Wie alt ist Peter, sein Vater und seine Mutter?
{{Lösung versteckt|1=Setze ein Alter als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Mathematisiere ausgehend von einem Alter x durch Terme die anderen Alter (z.B. 5 Jahre älter bedeutet (x+5).|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x= Alter von Peter
Wenn x das Alter von Peter ist, dann ist <math>(3 \cdot x)</math> das Alter des Vaters und somit ist das Alter der Mutter <math>(3 \cdot x-5)</math>.
Also:
<math>x+3 \cdot x+(3 \cdot x-5)=100 \quad | Vereinfachen</math>

<math>7 \cdot x-5=100 \quad | +5</math>

<math>7 \cdot x=105 \quad | :7</math>

<math>x=15</math>

mein Alter: 15

Alter meiner Mutter: 40

Alter meines Vaters: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 12|Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.
Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?
{{Lösung versteckt|1=Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Finn

<math>x+frac{1}{2} \cdot x+(x-5)=30 \quad | Vereinfachen</math>

<math>2,5 \cdot x-5=30 \quad | +5</math>

<math>2,5 \cdot x=35 \quad | :2,5</math>

<math>x=14</math>

Finn: 14 Tore

Jürgen: 7 Tore

Herbert: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungen lösen===

{{Box| Was sind überhaupt lineare Gleichungen?|
Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

<math> x^1=x </math>.

Ihre einfachste Form ist: <math> a \cdot x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch diesen [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen|Lernpfad zu linearen Funktionen]] nochmal an.
|Kurzinfo}}

{{Box| Aufgabe 13 - Lineare Gleichungen lösen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pitodik3519}}

{{Lösung versteckt|1= Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

<math> 3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x</math>

<math> \Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4 </math>

<math> \Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x </math>

<math> \Leftrightarrow 12 = 2x </math>

<math> \Leftrightarrow 6 = x </math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Quadratische Gleichungen lösen===
{{Box|Aufgabe 15|Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>x^2-11x+24=0</math>

'''b)''' <math>y^2+7y-8=0</math>

'''c)''' <math>z^2-20z+96=0</math>

'''d)''' <math>x^2+48x+135=0</math>

'''e)''' <math>a^2+107a-108=0</math>

'''f)''' <math>x^2+6x+8=0</math>

'''g)''' <math>x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0</math>

'''h)''' <math>x^2-9x+20=0</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{3;8\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;1\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{8;12\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-45;-3\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-108;1\}</math>|2=Lösung von e)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;-2\}</math>|2=Lösung von f)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\}</math>|2=Lösung von g)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4;5\}</math>|2=Lösung von h)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 16|Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+8)\cdot(x-2)=0</math>

'''b)''' <math>(2x-6)\cdot(3x+5)=0</math>

'''c)''' <math>(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0</math>

{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;2\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1\frac{2}{3};3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;14\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 17|Löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x-3)^2=16</math>

'''b)''' <math>x^2+8x+16=49</math>

'''c)''' <math>x^2+8x=9</math>

'''d)''' <math>3x^2-3x-60=0</math>

{{Lösung versteckt|Teile die Gleichung erst durch 3.|2=Tipp zu d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;7\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-11;3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;1\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;5\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>(x-3)^2=16</math>

<math>\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}</math>

<math>x-3=4\lor x-3=-4</math>

<math>x_1=7\lor x_2=-1</math>

<math>L=\{-1;7\}</math>

|2=Rechenweg zu a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x+16=49</math>

<math>(x+4)^2=49</math>

<math>x+4=7\lor x+4=-7</math>

<math>x_1=3\lor x_2=-11</math>

<math>L=\{-11;3\}</math>

|2=Rechenweg zu b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x=9</math>

<math>x^2+8x+16=9+16</math>

<math>(x+4)^2=25</math>

<math>x+4=5\lor x+4=-5</math>

<math>x_1=1\lor x_2=-9</math>

<math>L=\{-9;1\}</math>

|2=Rechenweg zu c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>3x^2-3x-60=0</math>

<math>x^2-x-20=0</math>

<math>x^2-x=20</math>

<math>x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}</math>

<math>(x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}</math>

<math>x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}</math>

<math>x_1=5\lor x_2=-4</math>

<math>L=\{-4;5\}</math>

|2=Rechenweg zu d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 18*|Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22</math>

'''b)''' <math>(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x</math>

'''c)''' <math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3</math>

'''d)''' <math>(2y+6)(17,5-2,5y)-(10+5y)(2y-3)=(7y+20)(4-1,4y)</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4,95;-2,5\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{5;\frac{1}{3}\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;2\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-5;-2\frac{3}{26}\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungssysteme lösen===
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:

{{Lösung versteckt|1=
# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
# Berechne die Unbekannten

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
# Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
# Gleichung nach der Variablen auflösen
# Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}}

{{Box|Aufgabe 19|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft:

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst zum Lösen das Additionsverfahren benutzen, um die Variable y zu eliminieren.

|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

Addiere Gleichung I zu Gleichung II

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 8x + 0y = 16</math>

Berechne die Lösung für II

<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math>

<math>x = 2</math>

Setze x = 2 in I ein

<math>3x + 4y = 22</math>

<math>3 \cdot 2 + 4y = 22</math>

<math>6 + 4y = 22\quad|-6</math>

<math>4y = 16\quad|:4</math>

<math>y = 4</math>

Lösung:

<math>x = 2, y = 4</math>.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

===Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen===
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.{{Box|Aufgabe 20*|In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Eine Gleichung sollte 18, die andere 84 als Ergebnis haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>
|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
''Additionsverfahren:''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 0x + 2y = 12</math>

Löse die Gleichung II.

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

''Einsetzungsverfahren''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Löse I nach x auf.

<math>x + y =18 \quad| -y</math>

<math>x = 18 - y</math>

Setze die Gleichung für x in II ein

<math>4(18 - y) + 6y = 84</math>

<math>72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72</math>

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

'''Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 21**|Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der Erste und der Zweite besitzen
zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der Dritte; der Erste und der Dritte haben zusammen um
40 Denare mehr als der Zweite; und der Zweite und der Dritte haben zusammen um 30
Denare mehr als der Erste. Wie viel besitzt jeder der Drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn Person A 10€ mehr hat als Person B, gilt: A - B = 10€|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c =30</math>

|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c = 30</math>

Addiere I + II und I + III.

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad 2a + 0b + 0c = 60</math>

<math>III\quad 0a + 2b + 0c = 30</math>

Löse die Gleichungen II und III.

<math>II\quad 2a = 60 \quad| :2</math>

<math>II\quad a = 30</math>

<math>III\quad 2b = 50 \quad| :2</math>

<math>III\quad b = 25</math>

Setze a und b in I ein.

<math>a + b - c = 20</math>

<math>30 + 25 - c = 20 \quad| -30 \quad| - 25</math>

<math>-c = -35</math>

<math>c = 35</math>

'''Der Erste hat 30, der Zweite 25 und der Dritte 35 Denare'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-05-24T13:36:55Z

Valentin WWU-4: /* Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen */

{{Box|Terme und Gleichungen|Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen.
Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

Damit du etwas anspruchsvollere Aufgaben direkt erkennst, sind Aufgaben, die dich fordern mit einem Stern (*) und knifflige Knobelaufgaben mit zwei Sternen (**) gekennzeichnet.

Viel Spaß!|Kurzinfo}}

===Wiederholung: Terme und Gleichungen===
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
 

{{Lösung versteckt|1= Ein '''Term''' ist ein mathematischer Ausdruck, der
Zahlen,
Variablen,
Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und
Klammern enthalten kann.

Beispiele:

<math>1 + 2 </math>
<math>7x - 9y</math>. |2=Was ist ein Term?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Eine '''Gleichung '''<nowiki>ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.</nowiki>

<nowiki>Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)</nowiki>

Beispiele:

<math>4 = 1 + 3</math>

<math>5x = 10</math>.|2= Was ist eine Gleichung?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.

Addieren:
<math>3x + x = 4x</math>

Subtrahieren:
<math>5y - 2y = 3y</math>

Multiplizieren:
<math>x \cdot 2x^2 = 2x^3</math>

Ausmultiplizieren:
<math>z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z</math>

Ausklammern:
<math>3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)</math>.

|2=Terme vereinfachen|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B.
<math>5 + x = 10</math>, ist vor allem derjenige x
-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt '''wahr''', ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt '''Lösung der Gleichung'''.|2= Gleichungen lösen|3= schließen}}

"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pijz11q6t19}}

 

===Wiederholung: Bruchrechnung===
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man auch regelmäßig auf Brüche. Falls Du dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir folgenden Erklärungen an:

 

{{Lösung versteckt|1= 1. Zwei Brüche '''mit gleichem Nenner''' werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.

<math>\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}</math>

2. Vorgehensweise für '''ungleiche Brüche''':

Ungleiche Brüche sind Brüche, bei denen beide Nenner unterschiedliche Werte haben.

Diese Brüche mit '''verschiedenen Nennern''' addiert man, indem man die Brüche auf einen Nenner bringt.
Hierzu müssen die Brüche gekürzt oder erweitert werden. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.

'''Kürzen'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> kürzen mit n:
<math>\frac{a:n}{b:n}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{4}{12}</math> kürzen mit 2:<math>\frac{4:2}{12:2}=\frac{2}{6}</math>

'''Erweitern'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> erweitern mit m: <math>\frac{a \cdot m}{b \cdot m}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{2}{3}</math> erweitern mit 4: <math>\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}</math>|2= Brüche addieren|3= schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Brüche werden miteinander multipliziert, indem man '''Zähler mit Zähler''' und '''Nenner mit Nenner''' multipliziert.

<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>|2= Brüche multiplizieren|3= Merke}}

===Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen===
{{Box|Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x+18x</math>

'''b)''' <math>\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y</math>

'''c)''' <math> \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x </math>
|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.
''Beispiel:'' <math>4x+14x=(4+14) \cdot x=18x</math>. |2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

''Beispiel:'' <math> \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15} </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>23x</math>

'''b)''' <math>6y</math>

'''c)''' <math>-\frac{26}{15}x</math>}}

{{Box|Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2</math>

'''b)''' <math> \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4} </math>

'''c)*''' <math> \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2} </math>

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

''Beispiel:'' <math>3x+5+8x-4=3x+8x+5-4</math>.

'''Beachte:''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Fasse jeweils die Werte mit gleicher Variable zusammen.

''Beispiel :'' <math>3x+8x+5-4=11x+1</math>.
|2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 3 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''a)''' <math>7x-3</math>

'''b)''' <math>22z-3</math>

'''c)''' <math>5y+6</math>}}

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen|Fasse die Terme zusammen

'''a)''' <math> 214x + 24y - 5x + 23y + 24</math>

'''b)''' <math> \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y</math>

'''c)*''' <math> \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

''Beispiel:'' <math>3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4</math>.

'''Beachte''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>209x+ 47y + 24</math>

'''b)''' <math>15x+3y+17</math>

'''c)''' <math>7x+5y+3</math>}}

{{Box| Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten|

'''a)''' <math> 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 </math>

'''b)''' <math> \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2</math>

'''c)*''' <math> \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. <math>x </math> und <math>x^2 </math>) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

''Beispiel:'' <math>3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x</math>.

|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>11x^2+28y-24</math>

'''b)''' <math>\frac{3}{4}x^2 -2x -2</math>, das <math>y</math> fällt hier weg, da <math>0 \cdot y = 0</math> sind.

'''c)''' <math>4x^3</math>}}

{{Box|Aufgabe 5 - Pferderennen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pth88w7w319}}

|Arbeitsmethode}}

===Klammern in Termen auflösen===
{{Box|1=Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

'''a)''' <math>5\cdot(8-9y)</math>

'''b)''' <math>(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})</math>

'''c)''' <math>\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})</math>

{{Lösung versteckt|Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}(-4)} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}(-4)} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}(-4)} \cdot {\color{green}7}) = -20 - (-28) = -20+28 = 8</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommutativgesetz der Multiplikation zurück.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>40-45y</math>

b) <math>-\frac{5}{3}y+5x</math>

c) <math>\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren

'''a)''' <math>3x \cdot (11+5y)</math>

'''b)''' <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>

'''c)''' <math>x \cdot (x-15y)</math>

{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>33x+15xy</math>

b) <math>33x^2-30xy</math>

c) <math>x^2-15xy</math>|2=Lösung|3=schließen}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern|2=
Löse die Klammern auf.

'''a)''' <math>(7+5b)^2</math>

'''b)''' <math>(5c+6d)^2</math>

'''c)''' <math>(-6f-t)^2</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.
Das Bild soll dir eine Veranschaulichung der 1. Binomischen Formel geben:
[[Datei:1. Binomische Formel.jpg|1. Binomische Formel.jpg]]

2. Binomische Fomel:

<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>

3. Binomische Formel:
<math>(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2</math>|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>49+70b+25b^2</math>

b) <math>25c^2+60cd+36d^2</math>

c) <math>36f^2+12ft+t^2</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Terme durch Ausklammern in Produkte umformen===
{{Box|Aufgabe 9 - Ausklammern|Klammere möglichst viel aus.

'''a)''' <math>9x+9y+9z</math>

'''b)''' <math>81x+45y</math>

'''c)''' <math>5x-4xy+9xz</math>

'''d)''' <math>25a-35ab+50ax</math>

'''e)''' <math>8ax+24xy+64abxz</math>

'''f)''' <math>4abx+6axy+32abxyz</math>

{{Lösung versteckt|1=Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird vor die Klammer gesetzt. Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Die Summanden in der Klammer sind jeweils das, was beim Teilen durch den ggT (Weglassen) übrigbleibt.|2=Tipp 1, allgemeiner Tipp|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Dieselbe Zahl:
"Beispiel" Bei 3x+3y soll ausgeklammert werden. 3x und 3y haben die 3 gemeinsam. Also können wir sie ausklammern: <math>3x+3y=3(x+y)</math>. |2=Tipp 2, Tipp zu a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Nicht dieselbe Zahl, aber die Zahlen haben einen gemeinsamen Teiler:
"Beispiel" Bei 12x+18y soll ausgeklammert werden. 12 und 18 sind in der 6er-Reihe. Der ggT von 12 und 18 ist 6. Also klammern wir die 6 aus: <math>12x+18y=6(2x+3y)</math>|2=Tipp 3, Tipp zu b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Gemeinsamer ggT der Zahlen und mindestens eine gemeinsame Variable:
"Beispiel" Bei 21x+35xy soll ausgeklammert werden. Die 21 und die 35 sind beide in der 7er-Reihe. Außerdem kommt die Variable x bei beiden Summanden vor. Also klammern wir das 7x aus: <math>21x+35xy=7x(3+5y)</math>.|2=Tipp 4, Tipp zu c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>9(x+y+z)</math>. |2=Lösung von a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>9(9x+5y)</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>x(5-4y+9z)</math>.|2=Lösung von c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>5a(5-7b+10x)</math>.|2=Lösung von d)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>8x(a+3y+8abz)</math>.|2=Lösung von e)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>.|2=Lösung von f)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= a) <math>9(x+y+z)</math>.

b) <math>9(9x+5y)</math>.

c) <math>x(5-4y+9z)</math>.

d) <math>5a(5-7b+10x)</math>.

e) <math>8x(a+3y+8abz)</math>.

f) <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>|2=Lösungen von allen Teilaufgaben|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen===
{{Box| Aufgabe 10|Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?
{{Lösung versteckt|1=Setze eine Länge als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=kürzere Seite

<math>2 \cdot x+2 \cdot (x+38)=132 \quad | Vereinfachen</math>

<math>2 \cdot x+2 \cdot x+76=132 \quad | Vereinfachen</math>

<math>4 \cdot x+76=132 \quad | -76</math>

<math>4 \cdot x=56 \quad | :4</math>

<math>x=14</math>

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52|2=Lösung|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

{{Box| Aufgabe 11|Peter ist zusammen mit seinem Vater und seiner Mutter zusammen 100 Jahre alt. Sein Vater ist 3 Mal so alt wie er selbst und seine Mutter ist 5 Jahre jünger als sein Vater. Wie alt ist Peter, sein Vater und seine Mutter?
{{Lösung versteckt|1=Setze ein Alter als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Mathematisiere ausgehend von einem Alter x durch Terme die anderen Alter (z.B. 5 Jahre älter bedeutet (x+5).|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x= Alter von Peter
Wenn x das Alter von Peter ist, dann ist <math>(3 \cdot x)</math> das Alter des Vaters und somit ist das Alter der Mutter <math>(3 \cdot x-5)</math>. Also:
<math>x+3 \cdot x+(3 \cdot x-5)=100 \quad | Vereinfachen</math>
<math>7 \cdot x-5=100 \quad | +5</math>

<math>7 \cdot x=105 \quad | :7</math>

<math>x=15</math>

mein Alter: 15

Alter meiner Mutter: 40

Alter meines Vaters: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 12|Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.
Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?
{{Lösung versteckt|1=Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Finn

<math>x+frac{1}{2} \cdot x+(x-5)=30 \quad | Vereinfachen</math>

<math>2,5 \cdot x-5=30 \quad | +5</math>

<math>2,5 \cdot x=35 \quad | :2,5</math>

<math>x=14</math>

Finn: 14 Tore

Jürgen: 7 Tore

Herbert: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungen lösen===

{{Box| Was sind überhaupt lineare Gleichungen?|
Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

<math> x^1=x </math>.

Ihre einfachste Form ist: <math> a \cdot x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch diesen [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen|Lernpfad zu linearen Funktionen]] nochmal an.
|Kurzinfo}}

{{Box| Aufgabe 13 - Lineare Gleichungen lösen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pitodik3519}}

{{Lösung versteckt|1= Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

<math> 3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x</math>

<math> \Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4 </math>

<math> \Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x </math>

<math> \Leftrightarrow 12 = 2x </math>

<math> \Leftrightarrow 6 = x </math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Quadratische Gleichungen lösen===
{{Box|Aufgabe 15|Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>x^2-11x+24=0</math>

'''b)''' <math>y^2+7y-8=0</math>

'''c)''' <math>z^2-20z+96=0</math>

'''d)''' <math>x^2+48x+135=0</math>

'''e)''' <math>a^2+107a-108=0</math>

'''f)''' <math>x^2+6x+8=0</math>

'''g)''' <math>x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0</math>

'''h)''' <math>x^2-9x+20=0</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{3;8\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;1\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{8;12\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-45;-3\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-108;1\}</math>|2=Lösung von e)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;-2\}</math>|2=Lösung von f)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\}</math>|2=Lösung von g)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4;5\}</math>|2=Lösung von h)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 16|Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+8)\cdot(x-2)=0</math>

'''b)''' <math>(2x-6)\cdot(3x+5)=0</math>

'''c)''' <math>(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0</math>

{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;2\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1\frac{2}{3};3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;14\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 17|Löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x-3)^2=16</math>

'''b)''' <math>x^2+8x+16=49</math>

'''c)''' <math>x^2+8x=9</math>

'''d)''' <math>3x^2-3x-60=0</math>

{{Lösung versteckt|Teile die Gleichung erst durch 3.|2=Tipp zu d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;7\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-11;3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;1\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;5\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>(x-3)^2=16</math>

<math>\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}</math>

<math>x-3=4\lor x-3=-4</math>

<math>x_1=7\lor x_2=-1</math>

<math>L=\{-1;7\}</math>

|2=Rechenweg zu a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x+16=49</math>

<math>(x+4)^2=49</math>

<math>x+4=7\lor x+4=-7</math>

<math>x_1=3\lor x_2=-11</math>

<math>L=\{-11;3\}</math>

|2=Rechenweg zu b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x=9</math>

<math>x^2+8x+16=9+16</math>

<math>(x+4)^2=25</math>

<math>x+4=5\lor x+4=-5</math>

<math>x_1=1\lor x_2=-9</math>

<math>L=\{-9;1\}</math>

|2=Rechenweg zu c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>3x^2-3x-60=0</math>

<math>x^2-x-20=0</math>

<math>x^2-x=20</math>

<math>x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}</math>

<math>(x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}</math>

<math>x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}</math>

<math>x_1=5\lor x_2=-4</math>

<math>L=\{-4;5\}</math>

|2=Rechenweg zu d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 18*|Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22</math>

'''b)''' <math>(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x</math>

'''c)''' <math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3</math>

'''d)''' <math>(2y+6)(17,5-2,5y)-(10+5y)(2y-3)=(7y+20)(4-1,4y)</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4,95;-2,5\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{5;\frac{1}{3}\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;2\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-5;-2\frac{3}{26}\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungssysteme lösen===
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:

{{Lösung versteckt|1=
# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
# Berechne die Unbekannten

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
# Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
# Gleichung nach der Variablen auflösen
# Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}}

{{Box|Aufgabe 19|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft:

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst zum Lösen das Additionsverfahren benutzen, um die Variable y zu eliminieren.

|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

Addiere Gleichung I zu Gleichung II

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 8x + 0y = 16</math>

Berechne die Lösung für II

<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math>

<math>x = 2</math>

Setze x = 2 in I ein

<math>3x + 4y = 22</math>

<math>3 \cdot 2 + 4y = 22</math>

<math>6 + 4y = 22\quad|-6</math>

<math>4y = 16\quad|:4</math>

<math>y = 4</math>

Lösung:

<math>x = 2, y = 4</math>.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

===Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen===
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.{{Box|Aufgabe 20*|In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Eine Gleichung sollte 18, die andere 84 als Ergebnis haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>
|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
''Additionsverfahren:''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 0x + 2y = 12</math>

Löse die Gleichung II.

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

''Einsetzungsverfahren''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Löse I nach x auf.

<math>x + y =18 \quad| -y</math>

<math>x = 18 - y</math>

Setze die Gleichung für x in II ein

<math>4(18 - y) + 6y = 84</math>

<math>72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72</math>

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

'''Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 21**|Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der Erste und der Zweite besitzen
zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der Dritte; der Erste und der Dritte haben zusammen um
40 Denare mehr als der Zweite; und der Zweite und der Dritte haben zusammen um 30
Denare mehr als der Erste. Wie viel besitzt jeder der Drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn Person A 10€ mehr hat als Person B, gilt: A - B = 10€|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c =30</math>

|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c = 30</math>

Addiere I + II und I + III.

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad 2a + 0b + 0c = 60</math>

<math>III\quad 0a + 2b + 0c = 30</math>

Löse die Gleichungen II und III.

<math>II\quad 2a = 60 \quad| :2</math>

<math>II\quad a = 30</math>

<math>III\quad 2b = 50 \quad| :2</math>

<math>III\quad b = 25</math>

Setze a und b in I ein.

<math>a + b - c = 20</math>

<math>30 + 25 - c = 20 \quad| -30 \quad| - 25</math>

<math>-c = -35</math>

<math>c = 35</math>

'''Der Erste hat 30, der Zweite 25 und der Dritte 35 Denare'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-05-24T13:29:17Z

Valentin WWU-4: /* Lineare Gleichungen lösen */

{{Box|Terme und Gleichungen|Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen.
Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

Damit du etwas anspruchsvollere Aufgaben direkt erkennst, sind Aufgaben, die dich fordern mit einem Stern (*) und knifflige Knobelaufgaben mit zwei Sternen (**) gekennzeichnet.

Viel Spaß!|Kurzinfo}}

===Wiederholung: Terme und Gleichungen===
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
 

{{Lösung versteckt|1= Ein '''Term''' ist ein mathematischer Ausdruck, der
Zahlen,
Variablen,
Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und
Klammern enthalten kann.

Beispiele:

<math>1 + 2 </math>
<math>7x - 9y</math>. |2=Was ist ein Term?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Eine '''Gleichung '''<nowiki>ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.</nowiki>

<nowiki>Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)</nowiki>

Beispiele:

<math>4 = 1 + 3</math>

<math>5x = 10</math>.|2= Was ist eine Gleichung?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.

Addieren:
<math>3x + x = 4x</math>

Subtrahieren:
<math>5y - 2y = 3y</math>

Multiplizieren:
<math>x \cdot 2x^2 = 2x^3</math>

Ausmultiplizieren:
<math>z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z</math>

Ausklammern:
<math>3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)</math>.

|2=Terme vereinfachen|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B.
<math>5 + x = 10</math>, ist vor allem derjenige x
-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt '''wahr''', ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt '''Lösung der Gleichung'''.|2= Gleichungen lösen|3= schließen}}

"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pijz11q6t19}}

 

===Wiederholung: Bruchrechnung===
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man auch regelmäßig auf Brüche. Falls Du dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir folgenden Erklärungen an:

 

{{Lösung versteckt|1= 1. Zwei Brüche '''mit gleichem Nenner''' werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.

<math>\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}</math>

2. Vorgehensweise für '''ungleiche Brüche''':

Ungleiche Brüche sind Brüche, bei denen beide Nenner unterschiedliche Werte haben.

Diese Brüche mit '''verschiedenen Nennern''' addiert man, indem man die Brüche auf einen Nenner bringt.
Hierzu müssen die Brüche gekürzt oder erweitert werden. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.

'''Kürzen'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> kürzen mit n:
<math>\frac{a:n}{b:n}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{4}{12}</math> kürzen mit 2:<math>\frac{4:2}{12:2}=\frac{2}{6}</math>

'''Erweitern'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> erweitern mit m: <math>\frac{a \cdot m}{b \cdot m}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{2}{3}</math> erweitern mit 4: <math>\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}</math>|2= Brüche addieren|3= schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Brüche werden miteinander multipliziert, indem man '''Zähler mit Zähler''' und '''Nenner mit Nenner''' multipliziert.

<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>|2= Brüche multiplizieren|3= Merke}}

===Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen===
{{Box|Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x+18x</math>

'''b)''' <math>\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y</math>

'''c)''' <math> \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x </math>
|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.
''Beispiel:'' <math>4x+14x=(4+14) \cdot x=18x</math>. |2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

''Beispiel:'' <math> \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15} </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>23x</math>

'''b)''' <math>6y</math>

'''c)''' <math>-\frac{26}{15}x</math>}}

{{Box|Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2</math>

'''b)''' <math> \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4} </math>

'''c)*''' <math> \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2} </math>

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

''Beispiel:'' <math>3x+5+8x-4=3x+8x+5-4</math>.

'''Beachte:''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Fasse jeweils die Werte mit gleicher Variable zusammen.

''Beispiel :'' <math>3x+8x+5-4=11x+1</math>.
|2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 3 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''a)''' <math>7x-3</math>

'''b)''' <math>22z-3</math>

'''c)''' <math>5y+6</math>}}

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen|Fasse die Terme zusammen

'''a)''' <math> 214x + 24y - 5x + 23y + 24</math>

'''b)''' <math> \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y</math>

'''c)*''' <math> \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

''Beispiel:'' <math>3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4</math>.

'''Beachte''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>209x+ 47y + 24</math>

'''b)''' <math>15x+3y+17</math>

'''c)''' <math>7x+5y+3</math>}}

{{Box| Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten|

'''a)''' <math> 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 </math>

'''b)''' <math> \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2</math>

'''c)*''' <math> \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. <math>x </math> und <math>x^2 </math>) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

''Beispiel:'' <math>3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x</math>.

|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>11x^2+28y-24</math>

'''b)''' <math>\frac{3}{4}x^2 -2x -2</math>, das <math>y</math> fällt hier weg, da <math>0 \cdot y = 0</math> sind.

'''c)''' <math>4x^3</math>}}

{{Box|Aufgabe 5 - Pferderennen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pth88w7w319}}

|Arbeitsmethode}}

===Klammern in Termen auflösen===
{{Box|1=Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

'''a)''' <math>5\cdot(8-9y)</math>

'''b)''' <math>(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})</math>

'''c)''' <math>\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})</math>

{{Lösung versteckt|Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}(-4)} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}(-4)} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}(-4)} \cdot {\color{green}7}) = -20 - (-28) = -20+28 = 8</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommutativgesetz der Multiplikation zurück.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>40-45y</math>

b) <math>-\frac{5}{3}y+5x</math>

c) <math>\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren

'''a)''' <math>3x \cdot (11+5y)</math>

'''b)''' <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>

'''c)''' <math>x \cdot (x-15y)</math>

{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>33x+15xy</math>

b) <math>33x^2-30xy</math>

c) <math>x^2-15xy</math>|2=Lösung|3=schließen}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern|2=
Löse die Klammern auf.

'''a)''' <math>(7+5b)^2</math>

'''b)''' <math>(5c+6d)^2</math>

'''c)''' <math>(-6f-t)^2</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.
Das Bild soll dir eine Veranschaulichung der 1. Binomischen Formel geben:
[[Datei:1. Binomische Formel.jpg|1. Binomische Formel.jpg]]

2. Binomische Fomel:

<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>

3. Binomische Formel:
<math>(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2</math>|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>49+70b+25b^2</math>

b) <math>25c^2+60cd+36d^2</math>

c) <math>36f^2+12ft+t^2</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Terme durch Ausklammern in Produkte umformen===
{{Box|Aufgabe 9 - Ausklammern|Klammere möglichst viel aus.

'''a)''' <math>9x+9y+9z</math>

'''b)''' <math>81x+45y</math>

'''c)''' <math>5x-4xy+9xz</math>

'''d)''' <math>25a-35ab+50ax</math>

'''e)''' <math>8ax+24xy+64abxz</math>

'''f)''' <math>4abx+6axy+32abxyz</math>

{{Lösung versteckt|1=Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird vor die Klammer gesetzt. Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Die Summanden in der Klammer sind jeweils das, was beim Teilen durch den ggT (Weglassen) übrigbleibt.|2=Tipp 1, allgemeiner Tipp|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Dieselbe Zahl:
"Beispiel" Bei 3x+3y soll ausgeklammert werden. 3x und 3y haben die 3 gemeinsam. Also können wir sie ausklammern: <math>3x+3y=3(x+y)</math>. |2=Tipp 2, Tipp zu a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Nicht dieselbe Zahl, aber die Zahlen haben einen gemeinsamen Teiler:
"Beispiel" Bei 12x+18y soll ausgeklammert werden. 12 und 18 sind in der 6er-Reihe. Der ggT von 12 und 18 ist 6. Also klammern wir die 6 aus: <math>12x+18y=6(2x+3y)</math>|2=Tipp 3, Tipp zu b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Gemeinsamer ggT der Zahlen und mindestens eine gemeinsame Variable:
"Beispiel" Bei 21x+35xy soll ausgeklammert werden. Die 21 und die 35 sind beide in der 7er-Reihe. Außerdem kommt die Variable x bei beiden Summanden vor. Also klammern wir das 7x aus: <math>21x+35xy=7x(3+5y)</math>.|2=Tipp 4, Tipp zu c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>9(x+y+z)</math>. |2=Lösung von a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>9(9x+5y)</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>x(5-4y+9z)</math>.|2=Lösung von c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>5a(5-7b+10x)</math>.|2=Lösung von d)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>8x(a+3y+8abz)</math>.|2=Lösung von e)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>.|2=Lösung von f)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= a) <math>9(x+y+z)</math>.

b) <math>9(9x+5y)</math>.

c) <math>x(5-4y+9z)</math>.

d) <math>5a(5-7b+10x)</math>.

e) <math>8x(a+3y+8abz)</math>.

f) <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>|2=Lösungen von allen Teilaufgaben|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen===
{{Box| Aufgabe 10|Peter ist zusammen mit seinem Vater und seiner Mutter zusammen 100 Jahre alt. Sein Vater ist 3 Mal so alt wie er selbst und seine Mutter ist 5 Jahre jünger als sein Vater. Wie alt ist Peter, sein Vater und seine Mutter?
{{Lösung versteckt|1=Setze ein Alter als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Mathematisiere ausgehend von einem Alter x durch Terme die anderen Alter (z.B. 5 Jahre älter bedeutet (x+5).|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x= Alter von Peter
Wenn x das Alter von Peter ist, dann ist <math>(3 \cdot x)</math> das Alter des Vaters und somit ist das Alter der Mutter <math>(3 \cdot x-5)</math>. Also:
<math>x+3 \cdot x+(3 \cdot x-5)=100</math>
<math>7 \cdot x-5=100</math>

<math>7 \cdot x=105</math>

<math>x=15</math>

mein Alter: 15

Alter meiner Mutter: 40

Alter meines Vaters: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 11|Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.
Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?
{{Lösung versteckt|1=Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Finn

<math>x+frac{1}{2} \cdot x+(x-5)=30</math>

<math>2,5 \cdot x=35</math>

<math>x=14</math>

Finn: 14 Tore

Jürgen: 7 Tore

Herbert: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 12|Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?
{{Lösung versteckt|1=Setze eine Länge als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=kürzere Seite

<math>2 \cdot x+2 \cdot (x+38)=132</math>

<math>2 \cdot x+2 \cdot x+76=132</math>

<math>4 \cdot x=56</math>

<math>x=14</math>

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52|2=Lösung|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungen lösen===

{{Box| Was sind überhaupt lineare Gleichungen?|
Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

<math> x^1=x </math>.

Ihre einfachste Form ist: <math> a \cdot x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch diesen [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen|Lernpfad zu linearen Funktionen]] nochmal an.
|Kurzinfo}}

{{Box| Aufgabe 13 - Lineare Gleichungen lösen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pitodik3519}}

{{Lösung versteckt|1= Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

<math> 3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x</math>

<math> \Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4 </math>

<math> \Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x </math>

<math> \Leftrightarrow 12 = 2x </math>

<math> \Leftrightarrow 6 = x </math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Quadratische Gleichungen lösen===
{{Box|Aufgabe 15|Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>x^2-11x+24=0</math>

'''b)''' <math>y^2+7y-8=0</math>

'''c)''' <math>z^2-20z+96=0</math>

'''d)''' <math>x^2+48x+135=0</math>

'''e)''' <math>a^2+107a-108=0</math>

'''f)''' <math>x^2+6x+8=0</math>

'''g)''' <math>x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0</math>

'''h)''' <math>x^2-9x+20=0</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{3;8\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;1\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{8;12\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-45;-3\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-108;1\}</math>|2=Lösung von e)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;-2\}</math>|2=Lösung von f)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\}</math>|2=Lösung von g)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4;5\}</math>|2=Lösung von h)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 16|Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+8)\cdot(x-2)=0</math>

'''b)''' <math>(2x-6)\cdot(3x+5)=0</math>

'''c)''' <math>(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0</math>

{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;2\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1\frac{2}{3};3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;14\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 17|Löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x-3)^2=16</math>

'''b)''' <math>x^2+8x+16=49</math>

'''c)''' <math>x^2+8x=9</math>

'''d)''' <math>3x^2-3x-60=0</math>

{{Lösung versteckt|Teile die Gleichung erst durch 3.|2=Tipp zu d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;7\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-11;3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;1\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;5\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>(x-3)^2=16</math>

<math>\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}</math>

<math>x-3=4\lor x-3=-4</math>

<math>x_1=7\lor x_2=-1</math>

<math>L=\{-1;7\}</math>

|2=Rechenweg zu a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x+16=49</math>

<math>(x+4)^2=49</math>

<math>x+4=7\lor x+4=-7</math>

<math>x_1=3\lor x_2=-11</math>

<math>L=\{-11;3\}</math>

|2=Rechenweg zu b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x=9</math>

<math>x^2+8x+16=9+16</math>

<math>(x+4)^2=25</math>

<math>x+4=5\lor x+4=-5</math>

<math>x_1=1\lor x_2=-9</math>

<math>L=\{-9;1\}</math>

|2=Rechenweg zu c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>3x^2-3x-60=0</math>

<math>x^2-x-20=0</math>

<math>x^2-x=20</math>

<math>x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}</math>

<math>(x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}</math>

<math>x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}</math>

<math>x_1=5\lor x_2=-4</math>

<math>L=\{-4;5\}</math>

|2=Rechenweg zu d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 18*|Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22</math>

'''b)''' <math>(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x</math>

'''c)''' <math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3</math>

'''d)''' <math>(2y+6)(17,5-2,5y)-(10+5y)(2y-3)=(7y+20)(4-1,4y)</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4,95;-2,5\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{5;\frac{1}{3}\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;2\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-5;-2\frac{3}{26}\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungssysteme lösen===
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:

{{Lösung versteckt|1=
# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
# Berechne die Unbekannten

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
# Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
# Gleichung nach der Variablen auflösen
# Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}}

{{Box|Aufgabe 19|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft:

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst zum Lösen das Additionsverfahren benutzen, um die Variable y zu eliminieren.

|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

Addiere Gleichung I zu Gleichung II

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 8x + 0y = 16</math>

Berechne die Lösung für II

<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math>

<math>x = 2</math>

Setze x = 2 in I ein

<math>3x + 4y = 22</math>

<math>3 \cdot 2 + 4y = 22</math>

<math>6 + 4y = 22\quad|-6</math>

<math>4y = 16\quad|:4</math>

<math>y = 4</math>

Lösung:

<math>x = 2, y = 4</math>.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

===Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen===
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.{{Box|Aufgabe 20*|In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Eine Gleichung sollte 18, die andere 84 als Ergebnis haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>
|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
''Additionsverfahren:''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 0x + 2y = 12</math>

Löse die Gleichung II.

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

''Einsetzungsverfahren''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Löse I nach x auf.

<math>x + y =18 \quad| -y</math>

<math>x = 18 - y</math>

Setze die Gleichung für x in II ein

<math>4(18 - y) + 6y = 84</math>

<math>72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72</math>

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

'''Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 21**|Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der Erste und der Zweite besitzen
zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der Dritte; der Erste und der Dritte haben zusammen um
40 Denare mehr als der Zweite; und der Zweite und der Dritte haben zusammen um 30
Denare mehr als der Erste. Wie viel besitzt jeder der Drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn Person A 10€ mehr hat als Person B, gilt: A - B = 10€|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c =30</math>

|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c = 30</math>

Addiere I + II und I + III.

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad 2a + 0b + 0c = 60</math>

<math>III\quad 0a + 2b + 0c = 30</math>

Löse die Gleichungen II und III.

<math>II\quad 2a = 60 \quad| :2</math>

<math>II\quad a = 30</math>

<math>III\quad 2b = 50 \quad| :2</math>

<math>III\quad b = 25</math>

Setze a und b in I ein.

<math>a + b - c = 20</math>

<math>30 + 25 - c = 20 \quad| -30 \quad| - 25</math>

<math>-c = -35</math>

<math>c = 35</math>

'''Der Erste hat 30, der Zweite 25 und der Dritte 35 Denare'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-05-24T13:28:03Z

Valentin WWU-4: /* Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen */

{{Box|Terme und Gleichungen|Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen.
Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

Damit du etwas anspruchsvollere Aufgaben direkt erkennst, sind Aufgaben, die dich fordern mit einem Stern (*) und knifflige Knobelaufgaben mit zwei Sternen (**) gekennzeichnet.

Viel Spaß!|Kurzinfo}}

===Wiederholung: Terme und Gleichungen===
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
 

{{Lösung versteckt|1= Ein '''Term''' ist ein mathematischer Ausdruck, der
Zahlen,
Variablen,
Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und
Klammern enthalten kann.

Beispiele:

<math>1 + 2 </math>
<math>7x - 9y</math>. |2=Was ist ein Term?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Eine '''Gleichung '''<nowiki>ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.</nowiki>

<nowiki>Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)</nowiki>

Beispiele:

<math>4 = 1 + 3</math>

<math>5x = 10</math>.|2= Was ist eine Gleichung?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.

Addieren:
<math>3x + x = 4x</math>

Subtrahieren:
<math>5y - 2y = 3y</math>

Multiplizieren:
<math>x \cdot 2x^2 = 2x^3</math>

Ausmultiplizieren:
<math>z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z</math>

Ausklammern:
<math>3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)</math>.

|2=Terme vereinfachen|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B.
<math>5 + x = 10</math>, ist vor allem derjenige x
-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt '''wahr''', ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt '''Lösung der Gleichung'''.|2= Gleichungen lösen|3= schließen}}

"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pijz11q6t19}}

 

===Wiederholung: Bruchrechnung===
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man auch regelmäßig auf Brüche. Falls Du dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir folgenden Erklärungen an:

 

{{Lösung versteckt|1= 1. Zwei Brüche '''mit gleichem Nenner''' werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.

<math>\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}</math>

2. Vorgehensweise für '''ungleiche Brüche''':

Ungleiche Brüche sind Brüche, bei denen beide Nenner unterschiedliche Werte haben.

Diese Brüche mit '''verschiedenen Nennern''' addiert man, indem man die Brüche auf einen Nenner bringt.
Hierzu müssen die Brüche gekürzt oder erweitert werden. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.

'''Kürzen'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> kürzen mit n:
<math>\frac{a:n}{b:n}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{4}{12}</math> kürzen mit 2:<math>\frac{4:2}{12:2}=\frac{2}{6}</math>

'''Erweitern'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> erweitern mit m: <math>\frac{a \cdot m}{b \cdot m}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{2}{3}</math> erweitern mit 4: <math>\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}</math>|2= Brüche addieren|3= schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Brüche werden miteinander multipliziert, indem man '''Zähler mit Zähler''' und '''Nenner mit Nenner''' multipliziert.

<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>|2= Brüche multiplizieren|3= Merke}}

===Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen===
{{Box|Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x+18x</math>

'''b)''' <math>\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y</math>

'''c)''' <math> \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x </math>
|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.
''Beispiel:'' <math>4x+14x=(4+14) \cdot x=18x</math>. |2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

''Beispiel:'' <math> \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15} </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>23x</math>

'''b)''' <math>6y</math>

'''c)''' <math>-\frac{26}{15}x</math>}}

{{Box|Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2</math>

'''b)''' <math> \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4} </math>

'''c)*''' <math> \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2} </math>

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

''Beispiel:'' <math>3x+5+8x-4=3x+8x+5-4</math>.

'''Beachte:''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Fasse jeweils die Werte mit gleicher Variable zusammen.

''Beispiel :'' <math>3x+8x+5-4=11x+1</math>.
|2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 3 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''a)''' <math>7x-3</math>

'''b)''' <math>22z-3</math>

'''c)''' <math>5y+6</math>}}

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen|Fasse die Terme zusammen

'''a)''' <math> 214x + 24y - 5x + 23y + 24</math>

'''b)''' <math> \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y</math>

'''c)*''' <math> \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

''Beispiel:'' <math>3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4</math>.

'''Beachte''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>209x+ 47y + 24</math>

'''b)''' <math>15x+3y+17</math>

'''c)''' <math>7x+5y+3</math>}}

{{Box| Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten|

'''a)''' <math> 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 </math>

'''b)''' <math> \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2</math>

'''c)*''' <math> \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. <math>x </math> und <math>x^2 </math>) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

''Beispiel:'' <math>3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x</math>.

|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>11x^2+28y-24</math>

'''b)''' <math>\frac{3}{4}x^2 -2x -2</math>, das <math>y</math> fällt hier weg, da <math>0 \cdot y = 0</math> sind.

'''c)''' <math>4x^3</math>}}

{{Box|Aufgabe 5 - Pferderennen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pth88w7w319}}

|Arbeitsmethode}}

===Klammern in Termen auflösen===
{{Box|1=Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

'''a)''' <math>5\cdot(8-9y)</math>

'''b)''' <math>(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})</math>

'''c)''' <math>\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})</math>

{{Lösung versteckt|Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}(-4)} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}(-4)} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}(-4)} \cdot {\color{green}7}) = -20 - (-28) = -20+28 = 8</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommutativgesetz der Multiplikation zurück.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>40-45y</math>

b) <math>-\frac{5}{3}y+5x</math>

c) <math>\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren

'''a)''' <math>3x \cdot (11+5y)</math>

'''b)''' <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>

'''c)''' <math>x \cdot (x-15y)</math>

{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>33x+15xy</math>

b) <math>33x^2-30xy</math>

c) <math>x^2-15xy</math>|2=Lösung|3=schließen}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern|2=
Löse die Klammern auf.

'''a)''' <math>(7+5b)^2</math>

'''b)''' <math>(5c+6d)^2</math>

'''c)''' <math>(-6f-t)^2</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.
Das Bild soll dir eine Veranschaulichung der 1. Binomischen Formel geben:
[[Datei:1. Binomische Formel.jpg|1. Binomische Formel.jpg]]

2. Binomische Fomel:

<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>

3. Binomische Formel:
<math>(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2</math>|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>49+70b+25b^2</math>

b) <math>25c^2+60cd+36d^2</math>

c) <math>36f^2+12ft+t^2</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Terme durch Ausklammern in Produkte umformen===
{{Box|Aufgabe 9 - Ausklammern|Klammere möglichst viel aus.

'''a)''' <math>9x+9y+9z</math>

'''b)''' <math>81x+45y</math>

'''c)''' <math>5x-4xy+9xz</math>

'''d)''' <math>25a-35ab+50ax</math>

'''e)''' <math>8ax+24xy+64abxz</math>

'''f)''' <math>4abx+6axy+32abxyz</math>

{{Lösung versteckt|1=Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird vor die Klammer gesetzt. Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Die Summanden in der Klammer sind jeweils das, was beim Teilen durch den ggT (Weglassen) übrigbleibt.|2=Tipp 1, allgemeiner Tipp|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Dieselbe Zahl:
"Beispiel" Bei 3x+3y soll ausgeklammert werden. 3x und 3y haben die 3 gemeinsam. Also können wir sie ausklammern: <math>3x+3y=3(x+y)</math>. |2=Tipp 2, Tipp zu a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Nicht dieselbe Zahl, aber die Zahlen haben einen gemeinsamen Teiler:
"Beispiel" Bei 12x+18y soll ausgeklammert werden. 12 und 18 sind in der 6er-Reihe. Der ggT von 12 und 18 ist 6. Also klammern wir die 6 aus: <math>12x+18y=6(2x+3y)</math>|2=Tipp 3, Tipp zu b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Gemeinsamer ggT der Zahlen und mindestens eine gemeinsame Variable:
"Beispiel" Bei 21x+35xy soll ausgeklammert werden. Die 21 und die 35 sind beide in der 7er-Reihe. Außerdem kommt die Variable x bei beiden Summanden vor. Also klammern wir das 7x aus: <math>21x+35xy=7x(3+5y)</math>.|2=Tipp 4, Tipp zu c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>9(x+y+z)</math>. |2=Lösung von a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>9(9x+5y)</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>x(5-4y+9z)</math>.|2=Lösung von c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>5a(5-7b+10x)</math>.|2=Lösung von d)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>8x(a+3y+8abz)</math>.|2=Lösung von e)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>.|2=Lösung von f)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= a) <math>9(x+y+z)</math>.

b) <math>9(9x+5y)</math>.

c) <math>x(5-4y+9z)</math>.

d) <math>5a(5-7b+10x)</math>.

e) <math>8x(a+3y+8abz)</math>.

f) <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>|2=Lösungen von allen Teilaufgaben|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen===
{{Box| Aufgabe 10|Peter ist zusammen mit seinem Vater und seiner Mutter zusammen 100 Jahre alt. Sein Vater ist 3 Mal so alt wie er selbst und seine Mutter ist 5 Jahre jünger als sein Vater. Wie alt ist Peter, sein Vater und seine Mutter?
{{Lösung versteckt|1=Setze ein Alter als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Mathematisiere ausgehend von einem Alter x durch Terme die anderen Alter (z.B. 5 Jahre älter bedeutet (x+5).|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x= Alter von Peter
Wenn x das Alter von Peter ist, dann ist <math>(3 \cdot x)</math> das Alter des Vaters und somit ist das Alter der Mutter <math>(3 \cdot x-5)</math>. Also:
<math>x+3 \cdot x+(3 \cdot x-5)=100</math>
<math>7 \cdot x-5=100</math>

<math>7 \cdot x=105</math>

<math>x=15</math>

mein Alter: 15

Alter meiner Mutter: 40

Alter meines Vaters: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 11|Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.
Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?
{{Lösung versteckt|1=Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Finn

<math>x+frac{1}{2} \cdot x+(x-5)=30</math>

<math>2,5 \cdot x=35</math>

<math>x=14</math>

Finn: 14 Tore

Jürgen: 7 Tore

Herbert: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 12|Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?
{{Lösung versteckt|1=Setze eine Länge als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=kürzere Seite

<math>2 \cdot x+2 \cdot (x+38)=132</math>

<math>2 \cdot x+2 \cdot x+76=132</math>

<math>4 \cdot x=56</math>

<math>x=14</math>

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52|2=Lösung|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungen lösen===

{{Box| Was sind überhaupt lineare Gleichungen?|
Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

<math> x^1=x </math>.

Ihre einfachste Form ist: <math> a \cdot x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch diesen [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen|Lernpfad zu linearen Funktionen]] nochmal an.
|Kurzinfo}}

{{Box| Aufgabe 14 - Lineare Gleichungen lösen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pitodik3519}}

{{Lösung versteckt|1= Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

<math> 3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x</math>

<math> \Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4 </math>

<math> \Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x </math>

<math> \Leftrightarrow 12 = 2x </math>

<math> \Leftrightarrow 6 = x </math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Quadratische Gleichungen lösen===
{{Box|Aufgabe 15|Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>x^2-11x+24=0</math>

'''b)''' <math>y^2+7y-8=0</math>

'''c)''' <math>z^2-20z+96=0</math>

'''d)''' <math>x^2+48x+135=0</math>

'''e)''' <math>a^2+107a-108=0</math>

'''f)''' <math>x^2+6x+8=0</math>

'''g)''' <math>x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0</math>

'''h)''' <math>x^2-9x+20=0</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{3;8\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;1\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{8;12\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-45;-3\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-108;1\}</math>|2=Lösung von e)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;-2\}</math>|2=Lösung von f)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\}</math>|2=Lösung von g)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4;5\}</math>|2=Lösung von h)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 16|Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+8)\cdot(x-2)=0</math>

'''b)''' <math>(2x-6)\cdot(3x+5)=0</math>

'''c)''' <math>(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0</math>

{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;2\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1\frac{2}{3};3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;14\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 17|Löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x-3)^2=16</math>

'''b)''' <math>x^2+8x+16=49</math>

'''c)''' <math>x^2+8x=9</math>

'''d)''' <math>3x^2-3x-60=0</math>

{{Lösung versteckt|Teile die Gleichung erst durch 3.|2=Tipp zu d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;7\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-11;3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;1\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;5\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>(x-3)^2=16</math>

<math>\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}</math>

<math>x-3=4\lor x-3=-4</math>

<math>x_1=7\lor x_2=-1</math>

<math>L=\{-1;7\}</math>

|2=Rechenweg zu a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x+16=49</math>

<math>(x+4)^2=49</math>

<math>x+4=7\lor x+4=-7</math>

<math>x_1=3\lor x_2=-11</math>

<math>L=\{-11;3\}</math>

|2=Rechenweg zu b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x=9</math>

<math>x^2+8x+16=9+16</math>

<math>(x+4)^2=25</math>

<math>x+4=5\lor x+4=-5</math>

<math>x_1=1\lor x_2=-9</math>

<math>L=\{-9;1\}</math>

|2=Rechenweg zu c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>3x^2-3x-60=0</math>

<math>x^2-x-20=0</math>

<math>x^2-x=20</math>

<math>x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}</math>

<math>(x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}</math>

<math>x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}</math>

<math>x_1=5\lor x_2=-4</math>

<math>L=\{-4;5\}</math>

|2=Rechenweg zu d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 18*|Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22</math>

'''b)''' <math>(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x</math>

'''c)''' <math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3</math>

'''d)''' <math>(2y+6)(17,5-2,5y)-(10+5y)(2y-3)=(7y+20)(4-1,4y)</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4,95;-2,5\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{5;\frac{1}{3}\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;2\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-5;-2\frac{3}{26}\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungssysteme lösen===
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:

{{Lösung versteckt|1=
# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
# Berechne die Unbekannten

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
# Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
# Gleichung nach der Variablen auflösen
# Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}}

{{Box|Aufgabe 19|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft:

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst zum Lösen das Additionsverfahren benutzen, um die Variable y zu eliminieren.

|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

Addiere Gleichung I zu Gleichung II

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 8x + 0y = 16</math>

Berechne die Lösung für II

<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math>

<math>x = 2</math>

Setze x = 2 in I ein

<math>3x + 4y = 22</math>

<math>3 \cdot 2 + 4y = 22</math>

<math>6 + 4y = 22\quad|-6</math>

<math>4y = 16\quad|:4</math>

<math>y = 4</math>

Lösung:

<math>x = 2, y = 4</math>.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

===Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen===
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.{{Box|Aufgabe 20*|In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Eine Gleichung sollte 18, die andere 84 als Ergebnis haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>
|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
''Additionsverfahren:''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 0x + 2y = 12</math>

Löse die Gleichung II.

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

''Einsetzungsverfahren''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Löse I nach x auf.

<math>x + y =18 \quad| -y</math>

<math>x = 18 - y</math>

Setze die Gleichung für x in II ein

<math>4(18 - y) + 6y = 84</math>

<math>72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72</math>

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

'''Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 21**|Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der Erste und der Zweite besitzen
zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der Dritte; der Erste und der Dritte haben zusammen um
40 Denare mehr als der Zweite; und der Zweite und der Dritte haben zusammen um 30
Denare mehr als der Erste. Wie viel besitzt jeder der Drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn Person A 10€ mehr hat als Person B, gilt: A - B = 10€|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c =30</math>

|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c = 30</math>

Addiere I + II und I + III.

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad 2a + 0b + 0c = 60</math>

<math>III\quad 0a + 2b + 0c = 30</math>

Löse die Gleichungen II und III.

<math>II\quad 2a = 60 \quad| :2</math>

<math>II\quad a = 30</math>

<math>III\quad 2b = 50 \quad| :2</math>

<math>III\quad b = 25</math>

Setze a und b in I ein.

<math>a + b - c = 20</math>

<math>30 + 25 - c = 20 \quad| -30 \quad| - 25</math>

<math>-c = -35</math>

<math>c = 35</math>

'''Der Erste hat 30, der Zweite 25 und der Dritte 35 Denare'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-05-24T13:22:18Z

Valentin WWU-4: /* Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen */

{{Box|Terme und Gleichungen|Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen.
Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

Damit du etwas anspruchsvollere Aufgaben direkt erkennst, sind Aufgaben, die dich fordern mit einem Stern (*) und knifflige Knobelaufgaben mit zwei Sternen (**) gekennzeichnet.

Viel Spaß!|Kurzinfo}}

===Wiederholung: Terme und Gleichungen===
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
 

{{Lösung versteckt|1= Ein '''Term''' ist ein mathematischer Ausdruck, der
Zahlen,
Variablen,
Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und
Klammern enthalten kann.

Beispiele:

<math>1 + 2 </math>
<math>7x - 9y</math>. |2=Was ist ein Term?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Eine '''Gleichung '''<nowiki>ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.</nowiki>

<nowiki>Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)</nowiki>

Beispiele:

<math>4 = 1 + 3</math>

<math>5x = 10</math>.|2= Was ist eine Gleichung?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.

Addieren:
<math>3x + x = 4x</math>

Subtrahieren:
<math>5y - 2y = 3y</math>

Multiplizieren:
<math>x \cdot 2x^2 = 2x^3</math>

Ausmultiplizieren:
<math>z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z</math>

Ausklammern:
<math>3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)</math>.

|2=Terme vereinfachen|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B.
<math>5 + x = 10</math>, ist vor allem derjenige x
-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt '''wahr''', ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt '''Lösung der Gleichung'''.|2= Gleichungen lösen|3= schließen}}

"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pijz11q6t19}}

 

===Wiederholung: Bruchrechnung===
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man auch regelmäßig auf Brüche. Falls Du dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir folgenden Erklärungen an:

 

{{Lösung versteckt|1= 1. Zwei Brüche '''mit gleichem Nenner''' werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.

<math>\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}</math>

2. Vorgehensweise für '''ungleiche Brüche''':

Ungleiche Brüche sind Brüche, bei denen beide Nenner unterschiedliche Werte haben.

Diese Brüche mit '''verschiedenen Nennern''' addiert man, indem man die Brüche auf einen Nenner bringt.
Hierzu müssen die Brüche gekürzt oder erweitert werden. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.

'''Kürzen'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> kürzen mit n:
<math>\frac{a:n}{b:n}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{4}{12}</math> kürzen mit 2:<math>\frac{4:2}{12:2}=\frac{2}{6}</math>

'''Erweitern'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> erweitern mit m: <math>\frac{a \cdot m}{b \cdot m}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{2}{3}</math> erweitern mit 4: <math>\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}</math>|2= Brüche addieren|3= schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Brüche werden miteinander multipliziert, indem man '''Zähler mit Zähler''' und '''Nenner mit Nenner''' multipliziert.

<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>|2= Brüche multiplizieren|3= Merke}}

===Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen===
{{Box|Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x+18x</math>

'''b)''' <math>\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y</math>

'''c)''' <math> \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x </math>
|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.
''Beispiel:'' <math>4x+14x=(4+14) \cdot x=18x</math>. |2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

''Beispiel:'' <math> \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15} </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>23x</math>

'''b)''' <math>6y</math>

'''c)''' <math>-\frac{26}{15}x</math>}}

{{Box|Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2</math>

'''b)''' <math> \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4} </math>

'''c)*''' <math> \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2} </math>

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

''Beispiel:'' <math>3x+5+8x-4=3x+8x+5-4</math>.

'''Beachte:''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Fasse jeweils die Werte mit gleicher Variable zusammen.

''Beispiel :'' <math>3x+8x+5-4=11x+1</math>.
|2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 3 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''a)''' <math>7x-3</math>

'''b)''' <math>22z-3</math>

'''c)''' <math>5y+6</math>}}

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen|Fasse die Terme zusammen

'''a)''' <math> 214x + 24y - 5x + 23y + 24</math>

'''b)''' <math> \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y</math>

'''c)*''' <math> \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

''Beispiel:'' <math>3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4</math>.

'''Beachte''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>209x+ 47y + 24</math>

'''b)''' <math>15x+3y+17</math>

'''c)''' <math>7x+5y+3</math>}}

{{Box| Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten|

'''a)''' <math> 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 </math>

'''b)''' <math> \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2</math>

'''c)*''' <math> \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. <math>x </math> und <math>x^2 </math>) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

''Beispiel:'' <math>3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x</math>.

|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>11x^2+28y-24</math>

'''b)''' <math>\frac{3}{4}x^2 -2x -2</math>, das <math>y</math> fällt hier weg, da <math>0 \cdot y = 0</math> sind.

'''c)''' <math>4x^3</math>}}

{{Box|Aufgabe 5 - Pferderennen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pth88w7w319}}

|Arbeitsmethode}}

===Klammern in Termen auflösen===
{{Box|1=Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

'''a)''' <math>5\cdot(8-9y)</math>

'''b)''' <math>(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})</math>

'''c)''' <math>\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})</math>

{{Lösung versteckt|Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}(-4)} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}(-4)} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}(-4)} \cdot {\color{green}7}) = -20 - (-28) = -20+28 = 8</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommutativgesetz der Multiplikation zurück.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>40-45y</math>

b) <math>-\frac{5}{3}y+5x</math>

c) <math>\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren

'''a)''' <math>3x \cdot (11+5y)</math>

'''b)''' <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>

'''c)''' <math>x \cdot (x-15y)</math>

{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>33x+15xy</math>

b) <math>33x^2-30xy</math>

c) <math>x^2-15xy</math>|2=Lösung|3=schließen}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern|2=
Löse die Klammern auf.

'''a)''' <math>(7+5b)^2</math>

'''b)''' <math>(5c+6d)^2</math>

'''c)''' <math>(-6f-t)^2</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.
Das Bild soll dir eine Veranschaulichung der 1. Binomischen Formel geben:
[[Datei:1. Binomische Formel.jpg|1. Binomische Formel.jpg]]

2. Binomische Fomel:

<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>

3. Binomische Formel:
<math>(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2</math>|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>49+70b+25b^2</math>

b) <math>25c^2+60cd+36d^2</math>

c) <math>36f^2+12ft+t^2</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Terme durch Ausklammern in Produkte umformen===
{{Box|Aufgabe 9 - Ausklammern|Klammere möglichst viel aus.

'''a)''' <math>9x+9y+9z</math>

'''b)''' <math>81x+45y</math>

'''c)''' <math>5x-4xy+9xz</math>

'''d)''' <math>25a-35ab+50ax</math>

'''e)''' <math>8ax+24xy+64abxz</math>

'''f)''' <math>4abx+6axy+32abxyz</math>

{{Lösung versteckt|1=Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird vor die Klammer gesetzt. Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Die Summanden in der Klammer sind jeweils das, was beim Teilen durch den ggT (Weglassen) übrigbleibt.|2=Tipp 1, allgemeiner Tipp|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Dieselbe Zahl:
"Beispiel" Bei 3x+3y soll ausgeklammert werden. 3x und 3y haben die 3 gemeinsam. Also können wir sie ausklammern: <math>3x+3y=3(x+y)</math>. |2=Tipp 2, Tipp zu a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Nicht dieselbe Zahl, aber die Zahlen haben einen gemeinsamen Teiler:
"Beispiel" Bei 12x+18y soll ausgeklammert werden. 12 und 18 sind in der 6er-Reihe. Der ggT von 12 und 18 ist 6. Also klammern wir die 6 aus: <math>12x+18y=6(2x+3y)</math>|2=Tipp 3, Tipp zu b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Gemeinsamer ggT der Zahlen und mindestens eine gemeinsame Variable:
"Beispiel" Bei 21x+35xy soll ausgeklammert werden. Die 21 und die 35 sind beide in der 7er-Reihe. Außerdem kommt die Variable x bei beiden Summanden vor. Also klammern wir das 7x aus: <math>21x+35xy=7x(3+5y)</math>.|2=Tipp 4, Tipp zu c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>9(x+y+z)</math>. |2=Lösung von a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>9(9x+5y)</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>x(5-4y+9z)</math>.|2=Lösung von c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>5a(5-7b+10x)</math>.|2=Lösung von d)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>8x(a+3y+8abz)</math>.|2=Lösung von e)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>.|2=Lösung von f)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= a) <math>9(x+y+z)</math>.

b) <math>9(9x+5y)</math>.

c) <math>x(5-4y+9z)</math>.

d) <math>5a(5-7b+10x)</math>.

e) <math>8x(a+3y+8abz)</math>.

f) <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>|2=Lösungen von allen Teilaufgaben|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen===
{{Box| Aufgabe 11|Peter ist zusammen mit seinem Vater und seiner Mutter zusammen 100 Jahre alt. Sein Vater ist 3 Mal so alt wie er selbst und seine Mutter ist 5 Jahre jünger als sein Vater. Wie alt ist Peter, sein Vater und seine Mutter?
{{Lösung versteckt|1=Setze ein Alter als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Mathematisiere ausgehend von einem Alter x durch Terme die anderen Alter (z.B. 5 Jahre älter bedeutet (x+5).|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x= Alter von Peter
Wenn x das Alter von Peter ist, dann ist <math>(3 \cdot x)</math> das Alter des Vaters und somit ist das Alter der Mutter <math>(3 \cdot x-5)</math>. Also:
<math>x+3 \cdot x+(3 \cdot x-5)=100</math>

<math>7 \cdot x=105</math>

<math>x=15</math>

mein Alter: 15

Alter meiner Mutter: 40

Alter meines Vaters: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 12|Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.
Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?
{{Lösung versteckt|1=Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Finn

<math>x+frac{1}{2} \cdot x+(x-5)=30</math>

<math>2,5 \cdot x=35</math>

<math>x=14</math>

Finn: 14 Tore

Jürgen: 7 Tore

Herbert: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 13|Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?
{{Lösung versteckt|1=Setze eine Länge als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=kürzere Seite

<math>2 \cdot x+2 \cdot (x+38)=132</math>

<math>2 \cdot x+2 \cdot x+76=132</math>

<math>4 \cdot x=56</math>

<math>x=14</math>

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52|2=Lösung|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungen lösen===

{{Box| Was sind überhaupt lineare Gleichungen?|
Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

<math> x^1=x </math>.

Ihre einfachste Form ist: <math> a \cdot x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch diesen [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen|Lernpfad zu linearen Funktionen]] nochmal an.
|Kurzinfo}}

{{Box| Aufgabe 14 - Lineare Gleichungen lösen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pitodik3519}}

{{Lösung versteckt|1= Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

<math> 3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x</math>

<math> \Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4 </math>

<math> \Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x </math>

<math> \Leftrightarrow 12 = 2x </math>

<math> \Leftrightarrow 6 = x </math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Quadratische Gleichungen lösen===
{{Box|Aufgabe 15|Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>x^2-11x+24=0</math>

'''b)''' <math>y^2+7y-8=0</math>

'''c)''' <math>z^2-20z+96=0</math>

'''d)''' <math>x^2+48x+135=0</math>

'''e)''' <math>a^2+107a-108=0</math>

'''f)''' <math>x^2+6x+8=0</math>

'''g)''' <math>x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0</math>

'''h)''' <math>x^2-9x+20=0</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{3;8\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;1\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{8;12\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-45;-3\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-108;1\}</math>|2=Lösung von e)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;-2\}</math>|2=Lösung von f)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\}</math>|2=Lösung von g)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4;5\}</math>|2=Lösung von h)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 16|Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+8)\cdot(x-2)=0</math>

'''b)''' <math>(2x-6)\cdot(3x+5)=0</math>

'''c)''' <math>(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0</math>

{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;2\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1\frac{2}{3};3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;14\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 17|Löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x-3)^2=16</math>

'''b)''' <math>x^2+8x+16=49</math>

'''c)''' <math>x^2+8x=9</math>

'''d)''' <math>3x^2-3x-60=0</math>

{{Lösung versteckt|Teile die Gleichung erst durch 3.|2=Tipp zu d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;7\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-11;3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;1\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;5\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>(x-3)^2=16</math>

<math>\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}</math>

<math>x-3=4\lor x-3=-4</math>

<math>x_1=7\lor x_2=-1</math>

<math>L=\{-1;7\}</math>

|2=Rechenweg zu a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x+16=49</math>

<math>(x+4)^2=49</math>

<math>x+4=7\lor x+4=-7</math>

<math>x_1=3\lor x_2=-11</math>

<math>L=\{-11;3\}</math>

|2=Rechenweg zu b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x=9</math>

<math>x^2+8x+16=9+16</math>

<math>(x+4)^2=25</math>

<math>x+4=5\lor x+4=-5</math>

<math>x_1=1\lor x_2=-9</math>

<math>L=\{-9;1\}</math>

|2=Rechenweg zu c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>3x^2-3x-60=0</math>

<math>x^2-x-20=0</math>

<math>x^2-x=20</math>

<math>x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}</math>

<math>(x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}</math>

<math>x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}</math>

<math>x_1=5\lor x_2=-4</math>

<math>L=\{-4;5\}</math>

|2=Rechenweg zu d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 18*|Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22</math>

'''b)''' <math>(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x</math>

'''c)''' <math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3</math>

'''d)''' <math>(2y+6)(17,5-2,5y)-(10+5y)(2y-3)=(7y+20)(4-1,4y)</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4,95;-2,5\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{5;\frac{1}{3}\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;2\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-5;-2\frac{3}{26}\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungssysteme lösen===
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:

{{Lösung versteckt|1=
# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
# Berechne die Unbekannten

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
# Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
# Gleichung nach der Variablen auflösen
# Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}}

{{Box|Aufgabe 19|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft:

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst zum Lösen das Additionsverfahren benutzen, um die Variable y zu eliminieren.

|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

Addiere Gleichung I zu Gleichung II

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 8x + 0y = 16</math>

Berechne die Lösung für II

<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math>

<math>x = 2</math>

Setze x = 2 in I ein

<math>3x + 4y = 22</math>

<math>3 \cdot 2 + 4y = 22</math>

<math>6 + 4y = 22\quad|-6</math>

<math>4y = 16\quad|:4</math>

<math>y = 4</math>

Lösung:

<math>x = 2, y = 4</math>.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

===Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen===
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.{{Box|Aufgabe 20*|In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Eine Gleichung sollte 18, die andere 84 als Ergebnis haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>
|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
''Additionsverfahren:''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 0x + 2y = 12</math>

Löse die Gleichung II.

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

''Einsetzungsverfahren''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Löse I nach x auf.

<math>x + y =18 \quad| -y</math>

<math>x = 18 - y</math>

Setze die Gleichung für x in II ein

<math>4(18 - y) + 6y = 84</math>

<math>72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72</math>

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

'''Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 21**|Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der Erste und der Zweite besitzen
zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der Dritte; der Erste und der Dritte haben zusammen um
40 Denare mehr als der Zweite; und der Zweite und der Dritte haben zusammen um 30
Denare mehr als der Erste. Wie viel besitzt jeder der Drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn Person A 10€ mehr hat als Person B, gilt: A - B = 10€|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c =30</math>

|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c = 30</math>

Addiere I + II und I + III.

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad 2a + 0b + 0c = 60</math>

<math>III\quad 0a + 2b + 0c = 30</math>

Löse die Gleichungen II und III.

<math>II\quad 2a = 60 \quad| :2</math>

<math>II\quad a = 30</math>

<math>III\quad 2b = 50 \quad| :2</math>

<math>III\quad b = 25</math>

Setze a und b in I ein.

<math>a + b - c = 20</math>

<math>30 + 25 - c = 20 \quad| -30 \quad| - 25</math>

<math>-c = -35</math>

<math>c = 35</math>

'''Der Erste hat 30, der Zweite 25 und der Dritte 35 Denare'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-05-24T13:17:09Z

Valentin WWU-4: /* Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen */

{{Box|Terme und Gleichungen|Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen.
Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

Damit du etwas anspruchsvollere Aufgaben direkt erkennst, sind Aufgaben, die dich fordern mit einem Stern (*) und knifflige Knobelaufgaben mit zwei Sternen (**) gekennzeichnet.

Viel Spaß!|Kurzinfo}}

===Wiederholung: Terme und Gleichungen===
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
 

{{Lösung versteckt|1= Ein '''Term''' ist ein mathematischer Ausdruck, der
Zahlen,
Variablen,
Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und
Klammern enthalten kann.

Beispiele:

<math>1 + 2 </math>
<math>7x - 9y</math>. |2=Was ist ein Term?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Eine '''Gleichung '''<nowiki>ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.</nowiki>

<nowiki>Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)</nowiki>

Beispiele:

<math>4 = 1 + 3</math>

<math>5x = 10</math>.|2= Was ist eine Gleichung?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.

Addieren:
<math>3x + x = 4x</math>

Subtrahieren:
<math>5y - 2y = 3y</math>

Multiplizieren:
<math>x \cdot 2x^2 = 2x^3</math>

Ausmultiplizieren:
<math>z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z</math>

Ausklammern:
<math>3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)</math>.

|2=Terme vereinfachen|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B.
<math>5 + x = 10</math>, ist vor allem derjenige x
-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt '''wahr''', ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt '''Lösung der Gleichung'''.|2= Gleichungen lösen|3= schließen}}

"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pijz11q6t19}}

 

===Wiederholung: Bruchrechnung===
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man auch regelmäßig auf Brüche. Falls Du dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir folgenden Erklärungen an:

 

{{Lösung versteckt|1= 1. Zwei Brüche '''mit gleichem Nenner''' werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.

<math>\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}</math>

2. Vorgehensweise für '''ungleiche Brüche''':

Ungleiche Brüche sind Brüche, bei denen beide Nenner unterschiedliche Werte haben.

Diese Brüche mit '''verschiedenen Nennern''' addiert man, indem man die Brüche auf einen Nenner bringt.
Hierzu müssen die Brüche gekürzt oder erweitert werden. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.

'''Kürzen'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> kürzen mit n:
<math>\frac{a:n}{b:n}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{4}{12}</math> kürzen mit 2:<math>\frac{4:2}{12:2}=\frac{2}{6}</math>

'''Erweitern'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> erweitern mit m: <math>\frac{a \cdot m}{b \cdot m}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{2}{3}</math> erweitern mit 4: <math>\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}</math>|2= Brüche addieren|3= schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Brüche werden miteinander multipliziert, indem man '''Zähler mit Zähler''' und '''Nenner mit Nenner''' multipliziert.

<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>|2= Brüche multiplizieren|3= Merke}}

===Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen===
{{Box|Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x+18x</math>

'''b)''' <math>\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y</math>

'''c)''' <math> \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x </math>
|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.
''Beispiel:'' <math>4x+14x=(4+14) \cdot x=18x</math>. |2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

''Beispiel:'' <math> \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15} </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>23x</math>

'''b)''' <math>6y</math>

'''c)''' <math>-\frac{26}{15}x</math>}}

{{Box|Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2</math>

'''b)''' <math> \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4} </math>

'''c)*''' <math> \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2} </math>

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

''Beispiel:'' <math>3x+5+8x-4=3x+8x+5-4</math>.

'''Beachte:''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Fasse jeweils die Werte mit gleicher Variable zusammen.

''Beispiel :'' <math>3x+8x+5-4=11x+1</math>.
|2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 3 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''a)''' <math>7x-3</math>

'''b)''' <math>22z-3</math>

'''c)''' <math>5y+6</math>}}

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen|Fasse die Terme zusammen

'''a)''' <math> 214x + 24y - 5x + 23y + 24</math>

'''b)''' <math> \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y</math>

'''c)*''' <math> \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

''Beispiel:'' <math>3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4</math>.

'''Beachte''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>209x+ 47y + 24</math>

'''b)''' <math>15x+3y+17</math>

'''c)''' <math>7x+5y+3</math>}}

{{Box| Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten|

'''a)''' <math> 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 </math>

'''b)''' <math> \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2</math>

'''c)*''' <math> \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. <math>x </math> und <math>x^2 </math>) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

''Beispiel:'' <math>3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x</math>.

|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>11x^2+28y-24</math>

'''b)''' <math>\frac{3}{4}x^2 -2x -2</math>, das <math>y</math> fällt hier weg, da <math>0 \cdot y = 0</math> sind.

'''c)''' <math>4x^3</math>}}

{{Box|Aufgabe 5 - Pferderennen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pth88w7w319}}

|Arbeitsmethode}}

===Klammern in Termen auflösen===
{{Box|1=Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

'''a)''' <math>5\cdot(8-9y)</math>

'''b)''' <math>(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})</math>

'''c)''' <math>\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})</math>

{{Lösung versteckt|Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}(-4)} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}(-4)} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}(-4)} \cdot {\color{green}7}) = -20 - (-28) = -20+28 = 8</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommutativgesetz der Multiplikation zurück.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>40-45y</math>

b) <math>-\frac{5}{3}y+5x</math>

c) <math>\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren

'''a)''' <math>3x \cdot (11+5y)</math>

'''b)''' <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>

'''c)''' <math>x \cdot (x-15y)</math>

{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>33x+15xy</math>

b) <math>33x^2-30xy</math>

c) <math>x^2-15xy</math>|2=Lösung|3=schließen}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern|2=
Löse die Klammern auf.

'''a)''' <math>(7+5b)^2</math>

'''b)''' <math>(5c+6d)^2</math>

'''c)''' <math>(-6f-t)^2</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.
Das Bild soll dir eine Veranschaulichung der 1. Binomischen Formel geben:
[[Datei:1. Binomische Formel.jpg|1. Binomische Formel.jpg]]

2. Binomische Fomel:

<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>

3. Binomische Formel:
<math>(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2</math>|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>49+70b+25b^2</math>

b) <math>25c^2+60cd+36d^2</math>

c) <math>36f^2+12ft+t^2</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Terme durch Ausklammern in Produkte umformen===
{{Box|Aufgabe 9 - Ausklammern|Klammere möglichst viel aus.

'''a)''' <math>9x+9y+9z</math>

'''b)''' <math>81x+45y</math>

'''c)''' <math>5x-4xy+9xz</math>

'''d)''' <math>25a-35ab+50ax</math>

'''e)''' <math>8ax+24xy+64abxz</math>

'''f)''' <math>4abx+6axy+32abxyz</math>

{{Lösung versteckt|1=Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird vor die Klammer gesetzt. Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Die Summanden in der Klammer sind jeweils das, was beim Teilen durch den ggT (Weglassen) übrigbleibt.|2=Tipp 1, allgemeiner Tipp|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Dieselbe Zahl:
"Beispiel" Bei 3x+3y soll ausgeklammert werden. 3x und 3y haben die 3 gemeinsam. Also können wir sie ausklammern: <math>3x+3y=3(x+y)</math>. |2=Tipp 2, Tipp zu a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Nicht dieselbe Zahl, aber die Zahlen haben einen gemeinsamen Teiler:
"Beispiel" Bei 12x+18y soll ausgeklammert werden. 12 und 18 sind in der 6er-Reihe. Der ggT von 12 und 18 ist 6. Also klammern wir die 6 aus: <math>12x+18y=6(2x+3y)</math>|2=Tipp 3, Tipp zu b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Gemeinsamer ggT der Zahlen und mindestens eine gemeinsame Variable:
"Beispiel" Bei 21x+35xy soll ausgeklammert werden. Die 21 und die 35 sind beide in der 7er-Reihe. Außerdem kommt die Variable x bei beiden Summanden vor. Also klammern wir das 7x aus: <math>21x+35xy=7x(3+5y)</math>.|2=Tipp 4, Tipp zu c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>9(x+y+z)</math>. |2=Lösung von a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>9(9x+5y)</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>x(5-4y+9z)</math>.|2=Lösung von c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>5a(5-7b+10x)</math>.|2=Lösung von d)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>8x(a+3y+8abz)</math>.|2=Lösung von e)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>.|2=Lösung von f)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= a) <math>9(x+y+z)</math>.

b) <math>9(9x+5y)</math>.

c) <math>x(5-4y+9z)</math>.

d) <math>5a(5-7b+10x)</math>.

e) <math>8x(a+3y+8abz)</math>.

f) <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>|2=Lösungen von allen Teilaufgaben|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen===
{{Box| Aufgabe 11|Peter ist zusammen mit seinem Vater und seiner Mutter zusammen 100 Jahre alt. Sein Vater ist 3 Mal so alt wie er selbst und seine Mutter ist 5 Jahre jünger als sein Vater. Wie alt ist Peter, sein Vater und seine Mutter?
{{Lösung versteckt|1=Setze ein Alter als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Mathematisiere ausgehend von einem Alter x durch Terme die anderen Alter (z.B. 5 Jahre älter bedeutet (x+5).|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x= Alter von Peter
Wenn x das Alter von Peter ist, dann ist <math>(3 \cdot x)</math> das Alter des Vaters und somit ist das Alter der Mutter <math>(3 cdot x-5)</math>. Also:
<math>x+3x+(3x-5)=100</math>

<math>7 cdot x=105</math>

<math>x=15</math>

mein Alter: 15

Alter meiner Mutter: 40

Alter meines Vater: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 12|Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.
Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?
{{Lösung versteckt|1=Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Finn

<math>x+1/2 \cdot x+(x-5)=30</math>

<math>2,5x=35</math>

<math>x=14</math>

Finn: 14 Tore

Jürgen: 7 Tore

Herbert: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 13|Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?
{{Lösung versteckt|1=Setze eine Länge als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=kürzere Seite

<math>2x+2(x+38)=132</math>

<math>2x+2x+76=132</math>

<math>4x=56</math>

<math>x=14</math>

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52|2=Lösung|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungen lösen===

{{Box| Was sind überhaupt lineare Gleichungen?|
Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

<math> x^1=x </math>.

Ihre einfachste Form ist: <math> a \cdot x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch diesen [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen|Lernpfad zu linearen Funktionen]] nochmal an.
|Kurzinfo}}

{{Box| Aufgabe 14 - Lineare Gleichungen lösen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pitodik3519}}

{{Lösung versteckt|1= Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

<math> 3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x</math>

<math> \Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4 </math>

<math> \Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x </math>

<math> \Leftrightarrow 12 = 2x </math>

<math> \Leftrightarrow 6 = x </math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Quadratische Gleichungen lösen===
{{Box|Aufgabe 15|Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>x^2-11x+24=0</math>

'''b)''' <math>y^2+7y-8=0</math>

'''c)''' <math>z^2-20z+96=0</math>

'''d)''' <math>x^2+48x+135=0</math>

'''e)''' <math>a^2+107a-108=0</math>

'''f)''' <math>x^2+6x+8=0</math>

'''g)''' <math>x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0</math>

'''h)''' <math>x^2-9x+20=0</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{3;8\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;1\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{8;12\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-45;-3\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-108;1\}</math>|2=Lösung von e)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;-2\}</math>|2=Lösung von f)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\}</math>|2=Lösung von g)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4;5\}</math>|2=Lösung von h)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 16|Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+8)\cdot(x-2)=0</math>

'''b)''' <math>(2x-6)\cdot(3x+5)=0</math>

'''c)''' <math>(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0</math>

{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;2\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1\frac{2}{3};3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;14\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 17|Löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x-3)^2=16</math>

'''b)''' <math>x^2+8x+16=49</math>

'''c)''' <math>x^2+8x=9</math>

'''d)''' <math>3x^2-3x-60=0</math>

{{Lösung versteckt|Teile die Gleichung erst durch 3.|2=Tipp zu d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;7\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-11;3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;1\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;5\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>(x-3)^2=16</math>

<math>\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}</math>

<math>x-3=4\lor x-3=-4</math>

<math>x_1=7\lor x_2=-1</math>

<math>L=\{-1;7\}</math>

|2=Rechenweg zu a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x+16=49</math>

<math>(x+4)^2=49</math>

<math>x+4=7\lor x+4=-7</math>

<math>x_1=3\lor x_2=-11</math>

<math>L=\{-11;3\}</math>

|2=Rechenweg zu b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x=9</math>

<math>x^2+8x+16=9+16</math>

<math>(x+4)^2=25</math>

<math>x+4=5\lor x+4=-5</math>

<math>x_1=1\lor x_2=-9</math>

<math>L=\{-9;1\}</math>

|2=Rechenweg zu c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>3x^2-3x-60=0</math>

<math>x^2-x-20=0</math>

<math>x^2-x=20</math>

<math>x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}</math>

<math>(x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}</math>

<math>x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}</math>

<math>x_1=5\lor x_2=-4</math>

<math>L=\{-4;5\}</math>

|2=Rechenweg zu d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 18*|Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22</math>

'''b)''' <math>(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x</math>

'''c)''' <math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3</math>

'''d)''' <math>(2y+6)(17,5-2,5y)-(10+5y)(2y-3)=(7y+20)(4-1,4y)</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4,95;-2,5\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{5;\frac{1}{3}\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;2\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-5;-2\frac{3}{26}\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungssysteme lösen===
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:

{{Lösung versteckt|1=
# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
# Berechne die Unbekannten

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
# Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
# Gleichung nach der Variablen auflösen
# Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}}

{{Box|Aufgabe 19|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft:

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst zum Lösen das Additionsverfahren benutzen, um die Variable y zu eliminieren.

|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

Addiere Gleichung I zu Gleichung II

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 8x + 0y = 16</math>

Berechne die Lösung für II

<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math>

<math>x = 2</math>

Setze x = 2 in I ein

<math>3x + 4y = 22</math>

<math>3 \cdot 2 + 4y = 22</math>

<math>6 + 4y = 22\quad|-6</math>

<math>4y = 16\quad|:4</math>

<math>y = 4</math>

Lösung:

<math>x = 2, y = 4</math>.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

===Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen===
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.{{Box|Aufgabe 20*|In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Eine Gleichung sollte 18, die andere 84 als Ergebnis haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>
|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
''Additionsverfahren:''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 0x + 2y = 12</math>

Löse die Gleichung II.

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

''Einsetzungsverfahren''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Löse I nach x auf.

<math>x + y =18 \quad| -y</math>

<math>x = 18 - y</math>

Setze die Gleichung für x in II ein

<math>4(18 - y) + 6y = 84</math>

<math>72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72</math>

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

'''Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 21**|Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der Erste und der Zweite besitzen
zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der Dritte; der Erste und der Dritte haben zusammen um
40 Denare mehr als der Zweite; und der Zweite und der Dritte haben zusammen um 30
Denare mehr als der Erste. Wie viel besitzt jeder der Drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn Person A 10€ mehr hat als Person B, gilt: A - B = 10€|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c =30</math>

|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c = 30</math>

Addiere I + II und I + III.

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad 2a + 0b + 0c = 60</math>

<math>III\quad 0a + 2b + 0c = 30</math>

Löse die Gleichungen II und III.

<math>II\quad 2a = 60 \quad| :2</math>

<math>II\quad a = 30</math>

<math>III\quad 2b = 50 \quad| :2</math>

<math>III\quad b = 25</math>

Setze a und b in I ein.

<math>a + b - c = 20</math>

<math>30 + 25 - c = 20 \quad| -30 \quad| - 25</math>

<math>-c = -35</math>

<math>c = 35</math>

'''Der Erste hat 30, der Zweite 25 und der Dritte 35 Denare'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-05-24T12:36:09Z

Valentin WWU-4: /* Terme durch Ausklammern in Produkte umformen */

{{Box|Terme und Gleichungen|Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen.
Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

Damit du etwas anspruchsvollere Aufgaben direkt erkennst, sind Aufgaben, die dich fordern mit einem Stern (*) und knifflige Knobelaufgaben mit zwei Sternen (**) gekennzeichnet.

Viel Spaß!|Kurzinfo}}

===Wiederholung: Terme und Gleichungen===
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
 

{{Lösung versteckt|1= Ein '''Term''' ist ein mathematischer Ausdruck, der
Zahlen,
Variablen,
Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und
Klammern enthalten kann.

Beispiele:

<math>1 + 2 </math>
<math>7x - 9y</math>. |2=Was ist ein Term?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Eine '''Gleichung '''<nowiki>ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.</nowiki>

<nowiki>Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)</nowiki>

Beispiele:

<math>4 = 1 + 3</math>

<math>5x = 10</math>.|2= Was ist eine Gleichung?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.

Addieren:
<math>3x + x = 4x</math>

Subtrahieren:
<math>5y - 2y = 3y</math>

Multiplizieren:
<math>x \cdot 2x^2 = 2x^3</math>

Ausmultiplizieren:
<math>z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z</math>

Ausklammern:
<math>3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)</math>.

|2=Terme vereinfachen|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B.
<math>5 + x = 10</math>, ist vor allem derjenige x
-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt '''wahr''', ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt '''Lösung der Gleichung'''.|2= Gleichungen lösen|3= schließen}}

"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pijz11q6t19}}

 

===Wiederholung: Bruchrechnung===
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man auch regelmäßig auf Brüche. Falls Du dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir folgenden Erklärungen an:

 

{{Lösung versteckt|1= 1. Zwei Brüche '''mit gleichem Nenner''' werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.

<math>\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}</math>

2. Vorgehensweise für '''ungleiche Brüche''':

Ungleiche Brüche sind Brüche, bei denen beide Nenner unterschiedliche Werte haben.

Diese Brüche mit '''verschiedenen Nennern''' addiert man, indem man die Brüche auf einen Nenner bringt.
Hierzu müssen die Brüche gekürzt oder erweitert werden. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.

'''Kürzen'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> kürzen mit n:
<math>\frac{a:n}{b:n}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{4}{12}</math> kürzen mit 2:<math>\frac{4:2}{12:2}=\frac{2}{6}</math>

'''Erweitern'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> erweitern mit m: <math>\frac{a \cdot m}{b \cdot m}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{2}{3}</math> erweitern mit 4: <math>\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}</math>|2= Brüche addieren|3= schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Brüche werden miteinander multipliziert, indem man '''Zähler mit Zähler''' und '''Nenner mit Nenner''' multipliziert.

<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>|2= Brüche multiplizieren|3= Merke}}

===Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen===
{{Box|Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x+18x</math>

'''b)''' <math>\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y</math>

'''c)''' <math> \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x </math>
|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.
''Beispiel:'' <math>4x+14x=(4+14) \cdot x=18x</math>. |2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

''Beispiel:'' <math> \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15} </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>23x</math>

'''b)''' <math>6y</math>

'''c)''' <math>-\frac{26}{15}x</math>}}

{{Box|Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2</math>

'''b)''' <math> \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4} </math>

'''c)*''' <math> \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2} </math>

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

''Beispiel:'' <math>3x+5+8x-4=3x+8x+5-4</math>.

'''Beachte:''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Fasse jeweils die Werte mit gleicher Variable zusammen.

''Beispiel :'' <math>3x+8x+5-4=11x+1</math>.
|2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 3 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''a)''' <math>7x-3</math>

'''b)''' <math>22z-3</math>

'''c)''' <math>5y+6</math>}}

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen|Fasse die Terme zusammen

'''a)''' <math> 214x + 24y - 5x + 23y + 24</math>

'''b)''' <math> \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y</math>

'''c)*''' <math> \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

''Beispiel:'' <math>3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4</math>.

'''Beachte''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>209x+ 47y + 24</math>

'''b)''' <math>15x+3y+17</math>

'''c)''' <math>7x+5y+3</math>}}

{{Box| Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten|

'''a)''' <math> 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 </math>

'''b)''' <math> \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2</math>

'''c)*''' <math> \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. <math>x </math> und <math>x^2 </math>) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

''Beispiel:'' <math>3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x</math>.

|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>11x^2+28y-24</math>

'''b)''' <math>\frac{3}{4}x^2 -2x -2</math>, das <math>y</math> fällt hier weg, da <math>0 \cdot y = 0</math> sind.

'''c)''' <math>4x^3</math>}}

{{Box|Aufgabe 5 - Pferderennen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pth88w7w319}}

|Arbeitsmethode}}

===Klammern in Termen auflösen===
{{Box|1=Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

a) <math>5\cdot(8-9y)</math>

b) <math>(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})</math>

c) <math>\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})</math>

{{Lösung versteckt|Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}(-4)} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}(-4)} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}(-4)} \cdot {\color{green}7}) = -20 - (-28) = -20+28 = 8</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommuntativgesetz der Multiplikation zurück.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=a) <math>40-45y</math>

b) <math>-\frac{5}{3}y+5x</math>

c) <math>\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren

a) <math>3x \cdot (11+5y)</math>

b) <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>

c) <math>x \cdot (x-15y)</math>

{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=a) <math>33x+15xy</math>

b) <math>33x^2-30xy</math>

c) <math>x^2-15xy</math>|2=Lösung|3=schließen}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern|2=
Löse die Klammern auf.

a) <math>(7+5b)^2</math>

b) <math>(5c+6d)^2</math>

c) <math>(-6f-t)^2</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.
Das Bild soll dir eine Veranschaulichung der 1. Binomischen Formel geben:
[[Datei:1. Binomische Formel.jpg|1. Binomische Formel.jpg]]

2. Binomische Fomel:

<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>

3. Binomische Formel:
<math>(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2</math>|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>49+70b+25b^2</math>

b) <math>25c^2+60cd+36d^2</math>

c) <math>36f^2+12ft+t^2</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Terme durch Ausklammern in Produkte umformen===
{{Box|Aufgabe 9 - Ausklammern|Klammere möglichst viel aus.

'''a)''' <math>9x+9y+9z</math>

'''b)''' <math>81x+45y</math>

'''c)''' <math>5x-4xy+9xz</math>

'''d)''' <math>25a-35ab+50ax</math>

'''e)''' <math>8ax+24xy+64abxz</math>

'''f)''' <math>4abx+6axy+32abxyz</math>

{{Lösung versteckt|1=Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird vor die Klammer gesetzt. Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Die Summanden in der Klammer sind jeweils das, was beim Teilen durch den ggT (Weglassen) übrigbleibt.|2=Tipp 1, allgemeiner Tipp|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Dieselbe Zahl:
"Beispiel" Bei 3x+3y soll ausgeklammert werden. 3x und 3y haben die 3 gemeinsam. Also können wir sie ausklammern: <math>3x+3y=3(x+y)</math>. |2=Tipp 2, Tipp zu a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Nicht dieselbe Zahl, aber die Zahlen haben einen gemeinsamen Teiler:
"Beispiel" Bei 12x+18y soll ausgeklammert werden. 12 und 18 sind in der 6er-Reihe. Der ggT von 12 und 18 ist 6. Also klammern wir die 6 aus: <math>12x+18y=6(2x+3y)</math>|2=Tipp 3, Tipp zu b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Gemeinsamer ggT der Zahlen und mindestens eine gemeinsame Variable:
"Beispiel" Bei 21x+35xy soll ausgeklammert werden. Die 21 und die 35 sind beide in der 7er-Reihe. Außerdem kommt die Variable x bei beiden Summanden vor. Also klammern wir das 7x aus: <math>21x+35xy=7x(3+5y)</math>.|2=Tipp 4, Tipp zu c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>9(x+y+z)</math>. |2=Lösung von a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>9(9x+5y)</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>x(5-4y+9z)</math>.|2=Lösung von c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>5a(5-7b+10x)</math>.|2=Lösung von d)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>8x(a+3y+8abz)</math>.|2=Lösung von e)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>.|2=Lösung von f)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= a) <math>9(x+y+z)</math>.

b) <math>9(9x+5y)</math>.

c) <math>x(5-4y+9z)</math>.

d) <math>5a(5-7b+10x)</math>.

e) <math>8x(a+3y+8abz)</math>.

f) <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>|2=Lösungen von allen Teilaufgaben|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen===
{{Box| Aufgabe 11|Mein Vater, meine Mutter und ich sind zusammen 100 Jahre alt. Mein Vater ist 3 Mal so alt wie ich und meine Mutter ist 5 Jahre jünger als mein Vater. Wie alt bin ich, mein Vater und meine Mutter?
{{Lösung versteckt|1=Setze ein Alter als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=mein Alter

<math>x+3x+(3x-5)=100</math>

<math>5x=105</math>

<math>x=15</math>

mein Alter: 15

Alter meiner Mutter: 40

Alter meines Vater: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 12|Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.
Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?
{{Lösung versteckt|1=Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Finn

<math>x+1/2 \cdot x+(x-5)=30</math>

<math>2,5x=35</math>

<math>x=14</math>

Finn: 14 Tore

Jürgen: 7 Tore

Herbert: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 13|Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?
{{Lösung versteckt|1=Setze eine Länge als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=kürzere Seite

<math>2x+2(x+38)=132</math>

<math>2x+2x+76=132</math>

<math>4x=56</math>

<math>x=14</math>

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52|2=Lösung|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungen lösen===

{{Box| Was sind überhaupt lineare Gleichungen?|
Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

<math> x^1=x </math>.

Ihre einfachste Form ist: <math> a \cdot x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch diesen [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen|Lernpfad zu linearen Funktionen]] nochmal an.
|Kurzinfo}}

{{Box| Aufgabe 14 - Lineare Gleichungen lösen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pitodik3519}}

{{Lösung versteckt|1= Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

<math> 3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x</math>

<math> \Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4 </math>

<math> \Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x </math>

<math> \Leftrightarrow 12 = 2x </math>

<math> \Leftrightarrow 6 = x </math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Quadratische Gleichungen lösen===
{{Box|Aufgabe 15|Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>x^2-11x+24=0</math>

'''b)''' <math>y^2+7y-8=0</math>

'''c)''' <math>z^2-20z+96=0</math>

'''d)''' <math>x^2+48x+135=0</math>

'''e)''' <math>a^2+107a-108=0</math>

'''f)''' <math>x^2+6x+8=0</math>

'''g)''' <math>x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0</math>

'''h)''' <math>x^2-9x+20=0</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{3;8\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;1\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{8;12\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-45;-3\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-108;1\}</math>|2=Lösung von e)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;-2\}</math>|2=Lösung von f)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\}</math>|2=Lösung von g)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4;5\}</math>|2=Lösung von h)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 16|Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+8)\cdot(x-2)=0</math>

'''b)''' <math>(2x-6)\cdot(3x+5)=0</math>

'''c)''' <math>(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0</math>

{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;2\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1\frac{2}{3};3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;14\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 17|Löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x-3)^2=16</math>

'''b)''' <math>x^2+8x+16=49</math>

'''c)''' <math>x^2+8x=9</math>

'''d)''' <math>3x^2-3x-60=0</math>

{{Lösung versteckt|Teile die Gleichung erst durch 3.|2=Tipp zu d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;7\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-11;3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;1\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;5\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>(x-3)^2=16</math>

<math>\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}</math>

<math>x-3=4\lor x-3=-4</math>

<math>x_1=7\lor x_2=-1</math>

<math>L=\{-1;7\}</math>

|2=Rechenweg zu a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x+16=49</math>

<math>(x+4)^2=49</math>

<math>x+4=7\lor x+4=-7</math>

<math>x_1=3\lor x_2=-11</math>

<math>L=\{-11;3\}</math>

|2=Rechenweg zu b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x=9</math>

<math>x^2+8x+16=9+16</math>

<math>(x+4)^2=25</math>

<math>x+4=5\lor x+4=-5</math>

<math>x_1=1\lor x_2=-9</math>

<math>L=\{-9;1\}</math>

|2=Rechenweg zu c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>3x^2-3x-60=0</math>

<math>x^2-x-20=0</math>

<math>x^2-x=20</math>

<math>x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}</math>

<math>(x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}</math>

<math>x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}</math>

<math>x_1=5\lor x_2=-4</math>

<math>L=\{-4;5\}</math>

|2=Rechenweg zu d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 18*|Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22</math>

'''b)''' <math>(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x</math>

'''c)''' <math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3</math>

'''d)''' <math>(2y+6)(17,5-2,5y)-(10+5y)(2y-3)=(7y+20)(4-1,4y)</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4,95;-2,5\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{5;\frac{1}{3}\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;2\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-5;-2\frac{3}{26}\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungssysteme lösen===
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:

{{Lösung versteckt|1=
# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
# Berechne die Unbekannten

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
# Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
# Gleichung nach der Variablen auflösen
# Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}}

{{Box|Aufgabe 19|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft:

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst zum Lösen das Additionsverfahren benutzen, um die Variable y zu eliminieren.

|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

Addiere Gleichung I zu Gleichung II

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 8x + 0y = 16</math>

Berechne die Lösung für II

<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math>

<math>x = 2</math>

Setze x = 2 in I ein

<math>3x + 4y = 22</math>

<math>3 \cdot 2 + 4y = 22</math>

<math>6 + 4y = 22\quad|-6</math>

<math>4y = 16\quad|:4</math>

<math>y = 4</math>

Lösung:

<math>x = 2, y = 4</math>.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

===Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen===
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.{{Box|Aufgabe 20*|In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Eine Gleichung sollte 18, die andere 84 als Ergebnis haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>
|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
''Additionsverfahren:''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 0x + 2y = 12</math>

Löse die Gleichung II.

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

''Einsetzungsverfahren''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Löse I nach x auf.

<math>x + y =18 \quad| -y</math>

<math>x = 18 - y</math>

Setze die Gleichung für x in II ein

<math>4(18 - y) + 6y = 84</math>

<math>72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72</math>

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

'''Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 21**|Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der Erste und der Zweite besitzen
zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der Dritte; der Erste und der Dritte haben zusammen um
40 Denare mehr als der Zweite; und der Zweite und der Dritte haben zusammen um 30
Denare mehr als der Erste. Wie viel besitzt jeder der Drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn Person A 10€ mehr hat als Person B, gilt: A - B = 10€|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c =30</math>

|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c = 30</math>

Addiere I + II und I + III.

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad 2a + 0b + 0c = 60</math>

<math>III\quad 0a + 2b + 0c = 30</math>

Löse die Gleichungen II und III.

<math>II\quad 2a = 60 \quad| :2</math>

<math>II\quad a = 30</math>

<math>III\quad 2b = 50 \quad| :2</math>

<math>III\quad b = 25</math>

Setze a und b in I ein.

<math>a + b - c = 20</math>

<math>30 + 25 - c = 20 \quad| -30 \quad| - 25</math>

<math>-c = -35</math>

<math>c = 35</math>

'''Der Erste hat 30, der Zweite 25 und der Dritte 35 Denare'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-05-24T12:35:27Z

Valentin WWU-4: /* Klammern in Termen auflösen */

{{Box|Terme und Gleichungen|Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen.
Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

Damit du etwas anspruchsvollere Aufgaben direkt erkennst, sind Aufgaben, die dich fordern mit einem Stern (*) und knifflige Knobelaufgaben mit zwei Sternen (**) gekennzeichnet.

Viel Spaß!|Kurzinfo}}

===Wiederholung: Terme und Gleichungen===
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
 

{{Lösung versteckt|1= Ein '''Term''' ist ein mathematischer Ausdruck, der
Zahlen,
Variablen,
Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und
Klammern enthalten kann.

Beispiele:

<math>1 + 2 </math>
<math>7x - 9y</math>. |2=Was ist ein Term?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Eine '''Gleichung '''<nowiki>ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.</nowiki>

<nowiki>Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)</nowiki>

Beispiele:

<math>4 = 1 + 3</math>

<math>5x = 10</math>.|2= Was ist eine Gleichung?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.

Addieren:
<math>3x + x = 4x</math>

Subtrahieren:
<math>5y - 2y = 3y</math>

Multiplizieren:
<math>x \cdot 2x^2 = 2x^3</math>

Ausmultiplizieren:
<math>z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z</math>

Ausklammern:
<math>3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)</math>.

|2=Terme vereinfachen|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B.
<math>5 + x = 10</math>, ist vor allem derjenige x
-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt '''wahr''', ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt '''Lösung der Gleichung'''.|2= Gleichungen lösen|3= schließen}}

"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pijz11q6t19}}

 

===Wiederholung: Bruchrechnung===
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man auch regelmäßig auf Brüche. Falls Du dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir folgenden Erklärungen an:

 

{{Lösung versteckt|1= 1. Zwei Brüche '''mit gleichem Nenner''' werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.

<math>\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}</math>

2. Vorgehensweise für '''ungleiche Brüche''':

Ungleiche Brüche sind Brüche, bei denen beide Nenner unterschiedliche Werte haben.

Diese Brüche mit '''verschiedenen Nennern''' addiert man, indem man die Brüche auf einen Nenner bringt.
Hierzu müssen die Brüche gekürzt oder erweitert werden. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.

'''Kürzen'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> kürzen mit n:
<math>\frac{a:n}{b:n}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{4}{12}</math> kürzen mit 2:<math>\frac{4:2}{12:2}=\frac{2}{6}</math>

'''Erweitern'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> erweitern mit m: <math>\frac{a \cdot m}{b \cdot m}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{2}{3}</math> erweitern mit 4: <math>\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}</math>|2= Brüche addieren|3= schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Brüche werden miteinander multipliziert, indem man '''Zähler mit Zähler''' und '''Nenner mit Nenner''' multipliziert.

<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>|2= Brüche multiplizieren|3= Merke}}

===Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen===
{{Box|Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x+18x</math>

'''b)''' <math>\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y</math>

'''c)''' <math> \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x </math>
|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.
''Beispiel:'' <math>4x+14x=(4+14) \cdot x=18x</math>. |2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

''Beispiel:'' <math> \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15} </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>23x</math>

'''b)''' <math>6y</math>

'''c)''' <math>-\frac{26}{15}x</math>}}

{{Box|Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2</math>

'''b)''' <math> \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4} </math>

'''c)*''' <math> \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2} </math>

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

''Beispiel:'' <math>3x+5+8x-4=3x+8x+5-4</math>.

'''Beachte:''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Fasse jeweils die Werte mit gleicher Variable zusammen.

''Beispiel :'' <math>3x+8x+5-4=11x+1</math>.
|2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 3 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''a)''' <math>7x-3</math>

'''b)''' <math>22z-3</math>

'''c)''' <math>5y+6</math>}}

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen|Fasse die Terme zusammen

'''a)''' <math> 214x + 24y - 5x + 23y + 24</math>

'''b)''' <math> \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y</math>

'''c)*''' <math> \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

''Beispiel:'' <math>3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4</math>.

'''Beachte''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>209x+ 47y + 24</math>

'''b)''' <math>15x+3y+17</math>

'''c)''' <math>7x+5y+3</math>}}

{{Box| Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten|

'''a)''' <math> 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 </math>

'''b)''' <math> \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2</math>

'''c)*''' <math> \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. <math>x </math> und <math>x^2 </math>) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

''Beispiel:'' <math>3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x</math>.

|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>11x^2+28y-24</math>

'''b)''' <math>\frac{3}{4}x^2 -2x -2</math>, das <math>y</math> fällt hier weg, da <math>0 \cdot y = 0</math> sind.

'''c)''' <math>4x^3</math>}}

{{Box|Aufgabe 5 - Pferderennen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pth88w7w319}}

|Arbeitsmethode}}

===Klammern in Termen auflösen===
{{Box|1=Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

a) <math>5\cdot(8-9y)</math>

b) <math>(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})</math>

c) <math>\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})</math>

{{Lösung versteckt|Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}(-4)} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}(-4)} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}(-4)} \cdot {\color{green}7}) = -20 - (-28) = -20+28 = 8</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommuntativgesetz der Multiplikation zurück.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=a) <math>40-45y</math>

b) <math>-\frac{5}{3}y+5x</math>

c) <math>\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren

a) <math>3x \cdot (11+5y)</math>

b) <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>

c) <math>x \cdot (x-15y)</math>

{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=a) <math>33x+15xy</math>

b) <math>33x^2-30xy</math>

c) <math>x^2-15xy</math>|2=Lösung|3=schließen}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern|2=
Löse die Klammern auf.

a) <math>(7+5b)^2</math>

b) <math>(5c+6d)^2</math>

c) <math>(-6f-t)^2</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.
Das Bild soll dir eine Veranschaulichung der 1. Binomischen Formel geben:
[[Datei:1. Binomische Formel.jpg|1. Binomische Formel.jpg]]

2. Binomische Fomel:

<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>

3. Binomische Formel:
<math>(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2</math>|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>49+70b+25b^2</math>

b) <math>25c^2+60cd+36d^2</math>

c) <math>36f^2+12ft+t^2</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Terme durch Ausklammern in Produkte umformen===
{{Box|Aufgabe 10 - Ausklammern|Klammere möglichst viel aus.

'''a)''' <math>9x+9y+9z</math>

'''b)''' <math>81x+45y</math>

'''c)''' <math>5x-4xy+9xz</math>

'''d)''' <math>25a-35ab+50ax</math>

'''e)''' <math>8ax+24xy+64abxz</math>

'''f)''' <math>4abx+6axy+32abxyz</math>

{{Lösung versteckt|1=Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird vor die Klammer gesetzt. Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Die Summanden in der Klammer sind jeweils das, was beim Teilen durch den ggT (Weglassen) übrigbleibt.|2=Tipp 1, allgemeiner Tipp|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Dieselbe Zahl:
"Beispiel" Bei 3x+3y soll ausgeklammert werden. 3x und 3y haben die 3 gemeinsam. Also können wir sie ausklammern: <math>3x+3y=3(x+y)</math>. |2=Tipp 2, Tipp zu a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Nicht dieselbe Zahl, aber die Zahlen haben einen gemeinsamen Teiler:
"Beispiel" Bei 12x+18y soll ausgeklammert werden. 12 und 18 sind in der 6er-Reihe. Der ggT von 12 und 18 ist 6. Also klammern wir die 6 aus: <math>12x+18y=6(2x+3y)</math>|2=Tipp 3, Tipp zu b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Gemeinsamer ggT der Zahlen und mindestens eine gemeinsame Variable:
"Beispiel" Bei 21x+35xy soll ausgeklammert werden. Die 21 und die 35 sind beide in der 7er-Reihe. Außerdem kommt die Variable x bei beiden Summanden vor. Also klammern wir das 7x aus: <math>21x+35xy=7x(3+5y)</math>.|2=Tipp 4, Tipp zu c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>9(x+y+z)</math>. |2=Lösung von a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>9(9x+5y)</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>x(5-4y+9z)</math>.|2=Lösung von c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>5a(5-7b+10x)</math>.|2=Lösung von d)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>8x(a+3y+8abz)</math>.|2=Lösung von e)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>.|2=Lösung von f)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= a) <math>9(x+y+z)</math>.

b) <math>9(9x+5y)</math>.

c) <math>x(5-4y+9z)</math>.

d) <math>5a(5-7b+10x)</math>.

e) <math>8x(a+3y+8abz)</math>.

f) <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>|2=Lösungen von allen Teilaufgaben|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen===
{{Box| Aufgabe 11|Mein Vater, meine Mutter und ich sind zusammen 100 Jahre alt. Mein Vater ist 3 Mal so alt wie ich und meine Mutter ist 5 Jahre jünger als mein Vater. Wie alt bin ich, mein Vater und meine Mutter?
{{Lösung versteckt|1=Setze ein Alter als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=mein Alter

<math>x+3x+(3x-5)=100</math>

<math>5x=105</math>

<math>x=15</math>

mein Alter: 15

Alter meiner Mutter: 40

Alter meines Vater: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 12|Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.
Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?
{{Lösung versteckt|1=Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Finn

<math>x+1/2 \cdot x+(x-5)=30</math>

<math>2,5x=35</math>

<math>x=14</math>

Finn: 14 Tore

Jürgen: 7 Tore

Herbert: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 13|Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?
{{Lösung versteckt|1=Setze eine Länge als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=kürzere Seite

<math>2x+2(x+38)=132</math>

<math>2x+2x+76=132</math>

<math>4x=56</math>

<math>x=14</math>

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52|2=Lösung|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungen lösen===

{{Box| Was sind überhaupt lineare Gleichungen?|
Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

<math> x^1=x </math>.

Ihre einfachste Form ist: <math> a \cdot x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch diesen [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen|Lernpfad zu linearen Funktionen]] nochmal an.
|Kurzinfo}}

{{Box| Aufgabe 14 - Lineare Gleichungen lösen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pitodik3519}}

{{Lösung versteckt|1= Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

<math> 3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x</math>

<math> \Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4 </math>

<math> \Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x </math>

<math> \Leftrightarrow 12 = 2x </math>

<math> \Leftrightarrow 6 = x </math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Quadratische Gleichungen lösen===
{{Box|Aufgabe 15|Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>x^2-11x+24=0</math>

'''b)''' <math>y^2+7y-8=0</math>

'''c)''' <math>z^2-20z+96=0</math>

'''d)''' <math>x^2+48x+135=0</math>

'''e)''' <math>a^2+107a-108=0</math>

'''f)''' <math>x^2+6x+8=0</math>

'''g)''' <math>x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0</math>

'''h)''' <math>x^2-9x+20=0</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{3;8\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;1\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{8;12\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-45;-3\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-108;1\}</math>|2=Lösung von e)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;-2\}</math>|2=Lösung von f)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\}</math>|2=Lösung von g)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4;5\}</math>|2=Lösung von h)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 16|Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+8)\cdot(x-2)=0</math>

'''b)''' <math>(2x-6)\cdot(3x+5)=0</math>

'''c)''' <math>(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0</math>

{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;2\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1\frac{2}{3};3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;14\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 17|Löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x-3)^2=16</math>

'''b)''' <math>x^2+8x+16=49</math>

'''c)''' <math>x^2+8x=9</math>

'''d)''' <math>3x^2-3x-60=0</math>

{{Lösung versteckt|Teile die Gleichung erst durch 3.|2=Tipp zu d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;7\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-11;3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;1\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;5\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>(x-3)^2=16</math>

<math>\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}</math>

<math>x-3=4\lor x-3=-4</math>

<math>x_1=7\lor x_2=-1</math>

<math>L=\{-1;7\}</math>

|2=Rechenweg zu a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x+16=49</math>

<math>(x+4)^2=49</math>

<math>x+4=7\lor x+4=-7</math>

<math>x_1=3\lor x_2=-11</math>

<math>L=\{-11;3\}</math>

|2=Rechenweg zu b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x=9</math>

<math>x^2+8x+16=9+16</math>

<math>(x+4)^2=25</math>

<math>x+4=5\lor x+4=-5</math>

<math>x_1=1\lor x_2=-9</math>

<math>L=\{-9;1\}</math>

|2=Rechenweg zu c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>3x^2-3x-60=0</math>

<math>x^2-x-20=0</math>

<math>x^2-x=20</math>

<math>x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}</math>

<math>(x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}</math>

<math>x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}</math>

<math>x_1=5\lor x_2=-4</math>

<math>L=\{-4;5\}</math>

|2=Rechenweg zu d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 18*|Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22</math>

'''b)''' <math>(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x</math>

'''c)''' <math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3</math>

'''d)''' <math>(2y+6)(17,5-2,5y)-(10+5y)(2y-3)=(7y+20)(4-1,4y)</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4,95;-2,5\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{5;\frac{1}{3}\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;2\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-5;-2\frac{3}{26}\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungssysteme lösen===
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:

{{Lösung versteckt|1=
# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
# Berechne die Unbekannten

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
# Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
# Gleichung nach der Variablen auflösen
# Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}}

{{Box|Aufgabe 19|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft:

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst zum Lösen das Additionsverfahren benutzen, um die Variable y zu eliminieren.

|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

Addiere Gleichung I zu Gleichung II

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 8x + 0y = 16</math>

Berechne die Lösung für II

<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math>

<math>x = 2</math>

Setze x = 2 in I ein

<math>3x + 4y = 22</math>

<math>3 \cdot 2 + 4y = 22</math>

<math>6 + 4y = 22\quad|-6</math>

<math>4y = 16\quad|:4</math>

<math>y = 4</math>

Lösung:

<math>x = 2, y = 4</math>.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

===Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen===
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.{{Box|Aufgabe 20*|In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Eine Gleichung sollte 18, die andere 84 als Ergebnis haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>
|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
''Additionsverfahren:''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 0x + 2y = 12</math>

Löse die Gleichung II.

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

''Einsetzungsverfahren''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Löse I nach x auf.

<math>x + y =18 \quad| -y</math>

<math>x = 18 - y</math>

Setze die Gleichung für x in II ein

<math>4(18 - y) + 6y = 84</math>

<math>72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72</math>

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

'''Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 21**|Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der Erste und der Zweite besitzen
zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der Dritte; der Erste und der Dritte haben zusammen um
40 Denare mehr als der Zweite; und der Zweite und der Dritte haben zusammen um 30
Denare mehr als der Erste. Wie viel besitzt jeder der Drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn Person A 10€ mehr hat als Person B, gilt: A - B = 10€|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c =30</math>

|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c = 30</math>

Addiere I + II und I + III.

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad 2a + 0b + 0c = 60</math>

<math>III\quad 0a + 2b + 0c = 30</math>

Löse die Gleichungen II und III.

<math>II\quad 2a = 60 \quad| :2</math>

<math>II\quad a = 30</math>

<math>III\quad 2b = 50 \quad| :2</math>

<math>III\quad b = 25</math>

Setze a und b in I ein.

<math>a + b - c = 20</math>

<math>30 + 25 - c = 20 \quad| -30 \quad| - 25</math>

<math>-c = -35</math>

<math>c = 35</math>

'''Der Erste hat 30, der Zweite 25 und der Dritte 35 Denare'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-05-24T12:33:41Z

Valentin WWU-4: /* Klammern in Termen auflösen */

{{Box|Terme und Gleichungen|Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen.
Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

Damit du etwas anspruchsvollere Aufgaben direkt erkennst, sind Aufgaben, die dich fordern mit einem Stern (*) und knifflige Knobelaufgaben mit zwei Sternen (**) gekennzeichnet.

Viel Spaß!|Kurzinfo}}

===Wiederholung: Terme und Gleichungen===
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
 

{{Lösung versteckt|1= Ein '''Term''' ist ein mathematischer Ausdruck, der
Zahlen,
Variablen,
Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und
Klammern enthalten kann.

Beispiele:

<math>1 + 2 </math>
<math>7x - 9y</math>. |2=Was ist ein Term?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Eine '''Gleichung '''<nowiki>ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.</nowiki>

<nowiki>Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)</nowiki>

Beispiele:

<math>4 = 1 + 3</math>

<math>5x = 10</math>.|2= Was ist eine Gleichung?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.

Addieren:
<math>3x + x = 4x</math>

Subtrahieren:
<math>5y - 2y = 3y</math>

Multiplizieren:
<math>x \cdot 2x^2 = 2x^3</math>

Ausmultiplizieren:
<math>z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z</math>

Ausklammern:
<math>3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)</math>.

|2=Terme vereinfachen|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B.
<math>5 + x = 10</math>, ist vor allem derjenige x
-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt '''wahr''', ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt '''Lösung der Gleichung'''.|2= Gleichungen lösen|3= schließen}}

"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pijz11q6t19}}

 

===Wiederholung: Bruchrechnung===
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man auch regelmäßig auf Brüche. Falls Du dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir folgenden Erklärungen an:

 

{{Lösung versteckt|1= 1. Zwei Brüche '''mit gleichem Nenner''' werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.

<math>\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}</math>

2. Vorgehensweise für '''ungleiche Brüche''':

Ungleiche Brüche sind Brüche, bei denen beide Nenner unterschiedliche Werte haben.

Diese Brüche mit '''verschiedenen Nennern''' addiert man, indem man die Brüche auf einen Nenner bringt.
Hierzu müssen die Brüche gekürzt oder erweitert werden. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.

'''Kürzen'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> kürzen mit n:
<math>\frac{a:n}{b:n}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{4}{12}</math> kürzen mit 2:<math>\frac{4:2}{12:2}=\frac{2}{6}</math>

'''Erweitern'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> erweitern mit m: <math>\frac{a \cdot m}{b \cdot m}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{2}{3}</math> erweitern mit 4: <math>\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}</math>|2= Brüche addieren|3= schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Brüche werden miteinander multipliziert, indem man '''Zähler mit Zähler''' und '''Nenner mit Nenner''' multipliziert.

<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>|2= Brüche multiplizieren|3= Merke}}

===Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen===
{{Box|Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x+18x</math>

'''b)''' <math>\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y</math>

'''c)''' <math> \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x </math>
|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.
''Beispiel:'' <math>4x+14x=(4+14) \cdot x=18x</math>. |2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

''Beispiel:'' <math> \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15} </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>23x</math>

'''b)''' <math>6y</math>

'''c)''' <math>-\frac{26}{15}x</math>}}

{{Box|Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2</math>

'''b)''' <math> \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4} </math>

'''c)*''' <math> \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2} </math>

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

''Beispiel:'' <math>3x+5+8x-4=3x+8x+5-4</math>.

'''Beachte:''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Fasse jeweils die Werte mit gleicher Variable zusammen.

''Beispiel :'' <math>3x+8x+5-4=11x+1</math>.
|2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 3 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''a)''' <math>7x-3</math>

'''b)''' <math>22z-3</math>

'''c)''' <math>5y+6</math>}}

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen|Fasse die Terme zusammen

'''a)''' <math> 214x + 24y - 5x + 23y + 24</math>

'''b)''' <math> \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y</math>

'''c)*''' <math> \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

''Beispiel:'' <math>3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4</math>.

'''Beachte''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>209x+ 47y + 24</math>

'''b)''' <math>15x+3y+17</math>

'''c)''' <math>7x+5y+3</math>}}

{{Box| Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten|

'''a)''' <math> 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 </math>

'''b)''' <math> \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2</math>

'''c)*''' <math> \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. <math>x </math> und <math>x^2 </math>) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

''Beispiel:'' <math>3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x</math>.

|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>11x^2+28y-24</math>

'''b)''' <math>\frac{3}{4}x^2 -2x -2</math>, das <math>y</math> fällt hier weg, da <math>0 \cdot y = 0</math> sind.

'''c)''' <math>4x^3</math>}}

{{Box|Aufgabe 5 - Pferderennen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pth88w7w319}}

|Arbeitsmethode}}

===Klammern in Termen auflösen===
{{Box|1=Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

a) <math>5\cdot(8-9y)</math>

b) <math>(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})</math>

c) <math>\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})</math>

{{Lösung versteckt|Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}(-4)} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}(-4)} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}(-4)} \cdot {\color{green}7}) = -20 - (-28) = -20+28 = 8</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommuntativgesetz der Multiplikation zurück.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=a) <math>40-45y</math>

b) <math>-\frac{5}{3}y+5x</math>

c) <math>\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren

a) <math>3x \cdot (11+5y)</math>

b) <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>

c) <math>x \cdot (x-15y)</math>

{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=a) <math>33x+15xy</math>

b) <math>33x^2-30xy</math>

c) <math>x^2-15xy</math>|2=Lösung|3=schließen}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern|2=
Löse die Klammern auf.

a) <math>(7+5b)^2</math>

b) <math>(5c+6d)^2</math>

c) <math>(-6f-t)^2</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.
Das Bild soll dir eine Veranschaulichung der 1. Binomischen Formel geben:
[[Datei:1. Binomische Formel.jpg|1. Binomische Formel.jpg]]

2. Binomische Fomel:
<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>

3. Binomische Formel:
<math>(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2</math>|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>49+70b+25b^2</math>

b) <math>25c^2+60cd+36d^2</math>

c) <math>36f^2+12ft+t^2</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Terme durch Ausklammern in Produkte umformen===
{{Box|Aufgabe 10 - Ausklammern|Klammere möglichst viel aus.

'''a)''' <math>9x+9y+9z</math>

'''b)''' <math>81x+45y</math>

'''c)''' <math>5x-4xy+9xz</math>

'''d)''' <math>25a-35ab+50ax</math>

'''e)''' <math>8ax+24xy+64abxz</math>

'''f)''' <math>4abx+6axy+32abxyz</math>

{{Lösung versteckt|1=Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird vor die Klammer gesetzt. Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Die Summanden in der Klammer sind jeweils das, was beim Teilen durch den ggT (Weglassen) übrigbleibt.|2=Tipp 1, allgemeiner Tipp|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Dieselbe Zahl:
"Beispiel" Bei 3x+3y soll ausgeklammert werden. 3x und 3y haben die 3 gemeinsam. Also können wir sie ausklammern: <math>3x+3y=3(x+y)</math>. |2=Tipp 2, Tipp zu a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Nicht dieselbe Zahl, aber die Zahlen haben einen gemeinsamen Teiler:
"Beispiel" Bei 12x+18y soll ausgeklammert werden. 12 und 18 sind in der 6er-Reihe. Der ggT von 12 und 18 ist 6. Also klammern wir die 6 aus: <math>12x+18y=6(2x+3y)</math>|2=Tipp 3, Tipp zu b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Gemeinsamer ggT der Zahlen und mindestens eine gemeinsame Variable:
"Beispiel" Bei 21x+35xy soll ausgeklammert werden. Die 21 und die 35 sind beide in der 7er-Reihe. Außerdem kommt die Variable x bei beiden Summanden vor. Also klammern wir das 7x aus: <math>21x+35xy=7x(3+5y)</math>.|2=Tipp 4, Tipp zu c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>9(x+y+z)</math>. |2=Lösung von a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>9(9x+5y)</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>x(5-4y+9z)</math>.|2=Lösung von c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>5a(5-7b+10x)</math>.|2=Lösung von d)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>8x(a+3y+8abz)</math>.|2=Lösung von e)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>.|2=Lösung von f)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= a) <math>9(x+y+z)</math>.

b) <math>9(9x+5y)</math>.

c) <math>x(5-4y+9z)</math>.

d) <math>5a(5-7b+10x)</math>.

e) <math>8x(a+3y+8abz)</math>.

f) <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>|2=Lösungen von allen Teilaufgaben|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen===
{{Box| Aufgabe 11|Mein Vater, meine Mutter und ich sind zusammen 100 Jahre alt. Mein Vater ist 3 Mal so alt wie ich und meine Mutter ist 5 Jahre jünger als mein Vater. Wie alt bin ich, mein Vater und meine Mutter?
{{Lösung versteckt|1=Setze ein Alter als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=mein Alter

<math>x+3x+(3x-5)=100</math>

<math>5x=105</math>

<math>x=15</math>

mein Alter: 15

Alter meiner Mutter: 40

Alter meines Vater: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 12|Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.
Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?
{{Lösung versteckt|1=Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Finn

<math>x+1/2 \cdot x+(x-5)=30</math>

<math>2,5x=35</math>

<math>x=14</math>

Finn: 14 Tore

Jürgen: 7 Tore

Herbert: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 13|Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?
{{Lösung versteckt|1=Setze eine Länge als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=kürzere Seite

<math>2x+2(x+38)=132</math>

<math>2x+2x+76=132</math>

<math>4x=56</math>

<math>x=14</math>

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52|2=Lösung|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungen lösen===

{{Box| Was sind überhaupt lineare Gleichungen?|
Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

<math> x^1=x </math>.

Ihre einfachste Form ist: <math> a \cdot x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch diesen [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen|Lernpfad zu linearen Funktionen]] nochmal an.
|Kurzinfo}}

{{Box| Aufgabe 14 - Lineare Gleichungen lösen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pitodik3519}}

{{Lösung versteckt|1= Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

<math> 3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x</math>

<math> \Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4 </math>

<math> \Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x </math>

<math> \Leftrightarrow 12 = 2x </math>

<math> \Leftrightarrow 6 = x </math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Quadratische Gleichungen lösen===
{{Box|Aufgabe 15|Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>x^2-11x+24=0</math>

'''b)''' <math>y^2+7y-8=0</math>

'''c)''' <math>z^2-20z+96=0</math>

'''d)''' <math>x^2+48x+135=0</math>

'''e)''' <math>a^2+107a-108=0</math>

'''f)''' <math>x^2+6x+8=0</math>

'''g)''' <math>x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0</math>

'''h)''' <math>x^2-9x+20=0</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{3;8\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;1\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{8;12\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-45;-3\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-108;1\}</math>|2=Lösung von e)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;-2\}</math>|2=Lösung von f)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\}</math>|2=Lösung von g)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4;5\}</math>|2=Lösung von h)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 16|Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+8)\cdot(x-2)=0</math>

'''b)''' <math>(2x-6)\cdot(3x+5)=0</math>

'''c)''' <math>(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0</math>

{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;2\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1\frac{2}{3};3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;14\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 17|Löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x-3)^2=16</math>

'''b)''' <math>x^2+8x+16=49</math>

'''c)''' <math>x^2+8x=9</math>

'''d)''' <math>3x^2-3x-60=0</math>

{{Lösung versteckt|Teile die Gleichung erst durch 3.|2=Tipp zu d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;7\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-11;3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;1\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;5\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>(x-3)^2=16</math>

<math>\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}</math>

<math>x-3=4\lor x-3=-4</math>

<math>x_1=7\lor x_2=-1</math>

<math>L=\{-1;7\}</math>

|2=Rechenweg zu a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x+16=49</math>

<math>(x+4)^2=49</math>

<math>x+4=7\lor x+4=-7</math>

<math>x_1=3\lor x_2=-11</math>

<math>L=\{-11;3\}</math>

|2=Rechenweg zu b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x=9</math>

<math>x^2+8x+16=9+16</math>

<math>(x+4)^2=25</math>

<math>x+4=5\lor x+4=-5</math>

<math>x_1=1\lor x_2=-9</math>

<math>L=\{-9;1\}</math>

|2=Rechenweg zu c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>3x^2-3x-60=0</math>

<math>x^2-x-20=0</math>

<math>x^2-x=20</math>

<math>x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}</math>

<math>(x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}</math>

<math>x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}</math>

<math>x_1=5\lor x_2=-4</math>

<math>L=\{-4;5\}</math>

|2=Rechenweg zu d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 18*|Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22</math>

'''b)''' <math>(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x</math>

'''c)''' <math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3</math>

'''d)''' <math>(2y+6)(17,5-2,5y)-(10+5y)(2y-3)=(7y+20)(4-1,4y)</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4,95;-2,5\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{5;\frac{1}{3}\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;2\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-5;-2\frac{3}{26}\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungssysteme lösen===
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:

{{Lösung versteckt|1=
# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
# Berechne die Unbekannten

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
# Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
# Gleichung nach der Variablen auflösen
# Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}}

{{Box|Aufgabe 19|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft:

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst zum Lösen das Additionsverfahren benutzen, um die Variable y zu eliminieren.

|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

Addiere Gleichung I zu Gleichung II

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 8x + 0y = 16</math>

Berechne die Lösung für II

<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math>

<math>x = 2</math>

Setze x = 2 in I ein

<math>3x + 4y = 22</math>

<math>3 \cdot 2 + 4y = 22</math>

<math>6 + 4y = 22\quad|-6</math>

<math>4y = 16\quad|:4</math>

<math>y = 4</math>

Lösung:

<math>x = 2, y = 4</math>.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

===Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen===
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.{{Box|Aufgabe 20*|In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Eine Gleichung sollte 18, die andere 84 als Ergebnis haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>
|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
''Additionsverfahren:''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 0x + 2y = 12</math>

Löse die Gleichung II.

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

''Einsetzungsverfahren''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Löse I nach x auf.

<math>x + y =18 \quad| -y</math>

<math>x = 18 - y</math>

Setze die Gleichung für x in II ein

<math>4(18 - y) + 6y = 84</math>

<math>72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72</math>

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

'''Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 21**|Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der Erste und der Zweite besitzen
zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der Dritte; der Erste und der Dritte haben zusammen um
40 Denare mehr als der Zweite; und der Zweite und der Dritte haben zusammen um 30
Denare mehr als der Erste. Wie viel besitzt jeder der Drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn Person A 10€ mehr hat als Person B, gilt: A - B = 10€|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c =30</math>

|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c = 30</math>

Addiere I + II und I + III.

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad 2a + 0b + 0c = 60</math>

<math>III\quad 0a + 2b + 0c = 30</math>

Löse die Gleichungen II und III.

<math>II\quad 2a = 60 \quad| :2</math>

<math>II\quad a = 30</math>

<math>III\quad 2b = 50 \quad| :2</math>

<math>III\quad b = 25</math>

Setze a und b in I ein.

<math>a + b - c = 20</math>

<math>30 + 25 - c = 20 \quad| -30 \quad| - 25</math>

<math>-c = -35</math>

<math>c = 35</math>

'''Der Erste hat 30, der Zweite 25 und der Dritte 35 Denare'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-05-24T12:27:21Z

Valentin WWU-4: /* Klammern in Termen auflösen */

{{Box|Terme und Gleichungen|Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen.
Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

Damit du etwas anspruchsvollere Aufgaben direkt erkennst, sind Aufgaben, die dich fordern mit einem Stern (*) und knifflige Knobelaufgaben mit zwei Sternen (**) gekennzeichnet.

Viel Spaß!|Kurzinfo}}

===Wiederholung: Terme und Gleichungen===
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
 

{{Lösung versteckt|1= Ein '''Term''' ist ein mathematischer Ausdruck, der
Zahlen,
Variablen,
Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und
Klammern enthalten kann.

Beispiele:

<math>1 + 2 </math>
<math>7x - 9y</math>. |2=Was ist ein Term?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Eine '''Gleichung '''<nowiki>ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.</nowiki>

<nowiki>Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)</nowiki>

Beispiele:

<math>4 = 1 + 3</math>

<math>5x = 10</math>.|2= Was ist eine Gleichung?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.

Addieren:
<math>3x + x = 4x</math>

Subtrahieren:
<math>5y - 2y = 3y</math>

Multiplizieren:
<math>x \cdot 2x^2 = 2x^3</math>

Ausmultiplizieren:
<math>z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z</math>

Ausklammern:
<math>3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)</math>.

|2=Terme vereinfachen|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B.
<math>5 + x = 10</math>, ist vor allem derjenige x
-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt '''wahr''', ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt '''Lösung der Gleichung'''.|2= Gleichungen lösen|3= schließen}}

"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pijz11q6t19}}

 

===Wiederholung: Bruchrechnung===
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man auch regelmäßig auf Brüche. Falls Du dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir folgenden Erklärungen an:

 

{{Lösung versteckt|1= 1. Zwei Brüche '''mit gleichem Nenner''' werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.

<math>\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}</math>

2. Vorgehensweise für '''ungleiche Brüche''':

Ungleiche Brüche sind Brüche, bei denen beide Nenner unterschiedliche Werte haben.

Diese Brüche mit '''verschiedenen Nennern''' addiert man, indem man die Brüche auf einen Nenner bringt.
Hierzu müssen die Brüche gekürzt oder erweitert werden. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.

'''Kürzen'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> kürzen mit n:
<math>\frac{a:n}{b:n}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{4}{12}</math> kürzen mit 2:<math>\frac{4:2}{12:2}=\frac{2}{6}</math>

'''Erweitern'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> erweitern mit m: <math>\frac{a \cdot m}{b \cdot m}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{2}{3}</math> erweitern mit 4: <math>\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}</math>|2= Brüche addieren|3= schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Brüche werden miteinander multipliziert, indem man '''Zähler mit Zähler''' und '''Nenner mit Nenner''' multipliziert.

<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>|2= Brüche multiplizieren|3= Merke}}

===Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen===
{{Box|Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x+18x</math>

'''b)''' <math>\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y</math>

'''c)''' <math> \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x </math>
|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.
''Beispiel:'' <math>4x+14x=(4+14) \cdot x=18x</math>. |2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

''Beispiel:'' <math> \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15} </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>23x</math>

'''b)''' <math>6y</math>

'''c)''' <math>-\frac{26}{15}x</math>}}

{{Box|Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2</math>

'''b)''' <math> \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4} </math>

'''c)*''' <math> \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2} </math>

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

''Beispiel:'' <math>3x+5+8x-4=3x+8x+5-4</math>.

'''Beachte:''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Fasse jeweils die Werte mit gleicher Variable zusammen.

''Beispiel :'' <math>3x+8x+5-4=11x+1</math>.
|2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 3 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''a)''' <math>7x-3</math>

'''b)''' <math>22z-3</math>

'''c)''' <math>5y+6</math>}}

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen|Fasse die Terme zusammen

'''a)''' <math> 214x + 24y - 5x + 23y + 24</math>

'''b)''' <math> \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y</math>

'''c)*''' <math> \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

''Beispiel:'' <math>3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4</math>.

'''Beachte''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>209x+ 47y + 24</math>

'''b)''' <math>15x+3y+17</math>

'''c)''' <math>7x+5y+3</math>}}

{{Box| Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten|

'''a)''' <math> 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 </math>

'''b)''' <math> \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2</math>

'''c)*''' <math> \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. <math>x </math> und <math>x^2 </math>) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

''Beispiel:'' <math>3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x</math>.

|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>11x^2+28y-24</math>

'''b)''' <math>\frac{3}{4}x^2 -2x -2</math>, das <math>y</math> fällt hier weg, da <math>0 \cdot y = 0</math> sind.

'''c)''' <math>4x^3</math>}}

{{Box|Aufgabe 5 - Pferderennen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pth88w7w319}}

|Arbeitsmethode}}

===Klammern in Termen auflösen===
{{Box|1=Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

a) <math>5\cdot(8-9y)</math>

b) <math>(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})</math>

c) <math>\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})</math>

{{Lösung versteckt|Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}(-4)} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}(-4)} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}(-4)} \cdot {\color{green}7}) = -20 - (-28) = -20+28 = 8</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommuntativgesetz der Multiplikation zurück.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=a) <math>40-45y</math>

b) <math>-\frac{5}{3}y+5x</math>

c) <math>\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren

a) <math>3x \cdot (11+5y)</math>

b) <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>

c) <math>x \cdot (x-15y)</math>

{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=a) <math>33x+15xy</math>

b) <math>33x^2-30xy</math>

c) <math>x^2-15xy</math>|2=Lösung|3=schließen}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern|2=
Löse die Klammern auf.

a) <math>(7+5b)^2</math>

b) <math>(5c+6d)^2</math>

c) <math>(-6f-t)^2</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.
[[Datei:1. Binomische Formel.jpg|1. Binomische Formel.jpg]]
und <math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>49+70b+25b^2</math>

b) <math>25c^2+60cd+36d^2</math>

c) <math>36f^2+12ft+t^2</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Terme durch Ausklammern in Produkte umformen===
{{Box|Aufgabe 10 - Ausklammern|Klammere möglichst viel aus.

'''a)''' <math>9x+9y+9z</math>

'''b)''' <math>81x+45y</math>

'''c)''' <math>5x-4xy+9xz</math>

'''d)''' <math>25a-35ab+50ax</math>

'''e)''' <math>8ax+24xy+64abxz</math>

'''f)''' <math>4abx+6axy+32abxyz</math>

{{Lösung versteckt|1=Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird vor die Klammer gesetzt. Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Die Summanden in der Klammer sind jeweils das, was beim Teilen durch den ggT (Weglassen) übrigbleibt.|2=Tipp 1, allgemeiner Tipp|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Dieselbe Zahl:
"Beispiel" Bei 3x+3y soll ausgeklammert werden. 3x und 3y haben die 3 gemeinsam. Also können wir sie ausklammern: <math>3x+3y=3(x+y)</math>. |2=Tipp 2, Tipp zu a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Nicht dieselbe Zahl, aber die Zahlen haben einen gemeinsamen Teiler:
"Beispiel" Bei 12x+18y soll ausgeklammert werden. 12 und 18 sind in der 6er-Reihe. Der ggT von 12 und 18 ist 6. Also klammern wir die 6 aus: <math>12x+18y=6(2x+3y)</math>|2=Tipp 3, Tipp zu b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Gemeinsamer ggT der Zahlen und mindestens eine gemeinsame Variable:
"Beispiel" Bei 21x+35xy soll ausgeklammert werden. Die 21 und die 35 sind beide in der 7er-Reihe. Außerdem kommt die Variable x bei beiden Summanden vor. Also klammern wir das 7x aus: <math>21x+35xy=7x(3+5y)</math>.|2=Tipp 4, Tipp zu c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>9(x+y+z)</math>. |2=Lösung von a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>9(9x+5y)</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>x(5-4y+9z)</math>.|2=Lösung von c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>5a(5-7b+10x)</math>.|2=Lösung von d)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>8x(a+3y+8abz)</math>.|2=Lösung von e)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>.|2=Lösung von f)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= a) <math>9(x+y+z)</math>.

b) <math>9(9x+5y)</math>.

c) <math>x(5-4y+9z)</math>.

d) <math>5a(5-7b+10x)</math>.

e) <math>8x(a+3y+8abz)</math>.

f) <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>|2=Lösungen von allen Teilaufgaben|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen===
{{Box| Aufgabe 11|Mein Vater, meine Mutter und ich sind zusammen 100 Jahre alt. Mein Vater ist 3 Mal so alt wie ich und meine Mutter ist 5 Jahre jünger als mein Vater. Wie alt bin ich, mein Vater und meine Mutter?
{{Lösung versteckt|1=Setze ein Alter als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=mein Alter

<math>x+3x+(3x-5)=100</math>

<math>5x=105</math>

<math>x=15</math>

mein Alter: 15

Alter meiner Mutter: 40

Alter meines Vater: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 12|Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.
Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?
{{Lösung versteckt|1=Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Finn

<math>x+1/2 \cdot x+(x-5)=30</math>

<math>2,5x=35</math>

<math>x=14</math>

Finn: 14 Tore

Jürgen: 7 Tore

Herbert: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 13|Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?
{{Lösung versteckt|1=Setze eine Länge als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=kürzere Seite

<math>2x+2(x+38)=132</math>

<math>2x+2x+76=132</math>

<math>4x=56</math>

<math>x=14</math>

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52|2=Lösung|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungen lösen===

{{Box| Was sind überhaupt lineare Gleichungen?|
Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

<math> x^1=x </math>.

Ihre einfachste Form ist: <math> a \cdot x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch diesen [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen|Lernpfad zu linearen Funktionen]] nochmal an.
|Kurzinfo}}

{{Box| Aufgabe 14 - Lineare Gleichungen lösen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pitodik3519}}

{{Lösung versteckt|1= Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

<math> 3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x</math>

<math> \Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4 </math>

<math> \Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x </math>

<math> \Leftrightarrow 12 = 2x </math>

<math> \Leftrightarrow 6 = x </math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Quadratische Gleichungen lösen===
{{Box|Aufgabe 15|Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>x^2-11x+24=0</math>

'''b)''' <math>y^2+7y-8=0</math>

'''c)''' <math>z^2-20z+96=0</math>

'''d)''' <math>x^2+48x+135=0</math>

'''e)''' <math>a^2+107a-108=0</math>

'''f)''' <math>x^2+6x+8=0</math>

'''g)''' <math>x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0</math>

'''h)''' <math>x^2-9x+20=0</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{3;8\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;1\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{8;12\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-45;-3\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-108;1\}</math>|2=Lösung von e)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;-2\}</math>|2=Lösung von f)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\}</math>|2=Lösung von g)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4;5\}</math>|2=Lösung von h)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 16|Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+8)\cdot(x-2)=0</math>

'''b)''' <math>(2x-6)\cdot(3x+5)=0</math>

'''c)''' <math>(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0</math>

{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;2\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1\frac{2}{3};3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;14\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 17|Löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x-3)^2=16</math>

'''b)''' <math>x^2+8x+16=49</math>

'''c)''' <math>x^2+8x=9</math>

'''d)''' <math>3x^2-3x-60=0</math>

{{Lösung versteckt|Teile die Gleichung erst durch 3.|2=Tipp zu d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;7\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-11;3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;1\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;5\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>(x-3)^2=16</math>

<math>\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}</math>

<math>x-3=4\lor x-3=-4</math>

<math>x_1=7\lor x_2=-1</math>

<math>L=\{-1;7\}</math>

|2=Rechenweg zu a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x+16=49</math>

<math>(x+4)^2=49</math>

<math>x+4=7\lor x+4=-7</math>

<math>x_1=3\lor x_2=-11</math>

<math>L=\{-11;3\}</math>

|2=Rechenweg zu b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x=9</math>

<math>x^2+8x+16=9+16</math>

<math>(x+4)^2=25</math>

<math>x+4=5\lor x+4=-5</math>

<math>x_1=1\lor x_2=-9</math>

<math>L=\{-9;1\}</math>

|2=Rechenweg zu c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>3x^2-3x-60=0</math>

<math>x^2-x-20=0</math>

<math>x^2-x=20</math>

<math>x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}</math>

<math>(x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}</math>

<math>x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}</math>

<math>x_1=5\lor x_2=-4</math>

<math>L=\{-4;5\}</math>

|2=Rechenweg zu d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 18*|Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22</math>

'''b)''' <math>(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x</math>

'''c)''' <math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3</math>

'''d)''' <math>(2y+6)(17,5-2,5y)-(10+5y)(2y-3)=(7y+20)(4-1,4y)</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4,95;-2,5\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{5;\frac{1}{3}\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;2\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-5;-2\frac{3}{26}\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungssysteme lösen===
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:

{{Lösung versteckt|1=
# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
# Berechne die Unbekannten

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
# Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
# Gleichung nach der Variablen auflösen
# Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}}

{{Box|Aufgabe 19|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft:

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst zum Lösen das Additionsverfahren benutzen, um die Variable y zu eliminieren.

|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

Addiere Gleichung I zu Gleichung II

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 8x + 0y = 16</math>

Berechne die Lösung für II

<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math>

<math>x = 2</math>

Setze x = 2 in I ein

<math>3x + 4y = 22</math>

<math>3 \cdot 2 + 4y = 22</math>

<math>6 + 4y = 22\quad|-6</math>

<math>4y = 16\quad|:4</math>

<math>y = 4</math>

Lösung:

<math>x = 2, y = 4</math>.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

===Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen===
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.{{Box|Aufgabe 20*|In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Eine Gleichung sollte 18, die andere 84 als Ergebnis haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>
|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
''Additionsverfahren:''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 0x + 2y = 12</math>

Löse die Gleichung II.

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

''Einsetzungsverfahren''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Löse I nach x auf.

<math>x + y =18 \quad| -y</math>

<math>x = 18 - y</math>

Setze die Gleichung für x in II ein

<math>4(18 - y) + 6y = 84</math>

<math>72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72</math>

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

'''Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 21**|Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der Erste und der Zweite besitzen
zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der Dritte; der Erste und der Dritte haben zusammen um
40 Denare mehr als der Zweite; und der Zweite und der Dritte haben zusammen um 30
Denare mehr als der Erste. Wie viel besitzt jeder der Drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn Person A 10€ mehr hat als Person B, gilt: A - B = 10€|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c =30</math>

|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c = 30</math>

Addiere I + II und I + III.

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad 2a + 0b + 0c = 60</math>

<math>III\quad 0a + 2b + 0c = 30</math>

Löse die Gleichungen II und III.

<math>II\quad 2a = 60 \quad| :2</math>

<math>II\quad a = 30</math>

<math>III\quad 2b = 50 \quad| :2</math>

<math>III\quad b = 25</math>

Setze a und b in I ein.

<math>a + b - c = 20</math>

<math>30 + 25 - c = 20 \quad| -30 \quad| - 25</math>

<math>-c = -35</math>

<math>c = 35</math>

'''Der Erste hat 30, der Zweite 25 und der Dritte 35 Denare'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-05-24T12:21:24Z

Valentin WWU-4: /* Klammern in Termen auflösen */

{{Box|Terme und Gleichungen|Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen.
Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

Damit du etwas anspruchsvollere Aufgaben direkt erkennst, sind Aufgaben, die dich fordern mit einem Stern (*) und knifflige Knobelaufgaben mit zwei Sternen (**) gekennzeichnet.

Viel Spaß!|Kurzinfo}}

===Wiederholung: Terme und Gleichungen===
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
 

{{Lösung versteckt|1= Ein '''Term''' ist ein mathematischer Ausdruck, der
Zahlen,
Variablen,
Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und
Klammern enthalten kann.

Beispiele:

<math>1 + 2 </math>
<math>7x - 9y</math>. |2=Was ist ein Term?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Eine '''Gleichung '''<nowiki>ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.</nowiki>

<nowiki>Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)</nowiki>

Beispiele:

<math>4 = 1 + 3</math>

<math>5x = 10</math>.|2= Was ist eine Gleichung?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.

Addieren:
<math>3x + x = 4x</math>

Subtrahieren:
<math>5y - 2y = 3y</math>

Multiplizieren:
<math>x \cdot 2x^2 = 2x^3</math>

Ausmultiplizieren:
<math>z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z</math>

Ausklammern:
<math>3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)</math>.

|2=Terme vereinfachen|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B.
<math>5 + x = 10</math>, ist vor allem derjenige x
-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt '''wahr''', ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt '''Lösung der Gleichung'''.|2= Gleichungen lösen|3= schließen}}

"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pijz11q6t19}}

 

===Wiederholung: Bruchrechnung===
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man auch regelmäßig auf Brüche. Falls Du dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir folgenden Erklärungen an:

 

{{Lösung versteckt|1= 1. Zwei Brüche '''mit gleichem Nenner''' werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.

<math>\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}</math>

2. Vorgehensweise für '''ungleiche Brüche''':

Ungleiche Brüche sind Brüche, bei denen beide Nenner unterschiedliche Werte haben.

Diese Brüche mit '''verschiedenen Nennern''' addiert man, indem man die Brüche auf einen Nenner bringt.
Hierzu müssen die Brüche gekürzt oder erweitert werden. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.

'''Kürzen'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> kürzen mit n:
<math>\frac{a:n}{b:n}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{4}{12}</math> kürzen mit 2:<math>\frac{4:2}{12:2}=\frac{2}{6}</math>

'''Erweitern'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> erweitern mit m: <math>\frac{a \cdot m}{b \cdot m}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{2}{3}</math> erweitern mit 4: <math>\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}</math>|2= Brüche addieren|3= schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Brüche werden miteinander multipliziert, indem man '''Zähler mit Zähler''' und '''Nenner mit Nenner''' multipliziert.

<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>|2= Brüche multiplizieren|3= Merke}}

===Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen===
{{Box|Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x+18x</math>

'''b)''' <math>\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y</math>

'''c)''' <math> \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x </math>
|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.
''Beispiel:'' <math>4x+14x=(4+14) \cdot x=18x</math>. |2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

''Beispiel:'' <math> \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15} </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>23x</math>

'''b)''' <math>6y</math>

'''c)''' <math>-\frac{26}{15}x</math>}}

{{Box|Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2</math>

'''b)''' <math> \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4} </math>

'''c)*''' <math> \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2} </math>

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

''Beispiel:'' <math>3x+5+8x-4=3x+8x+5-4</math>.

'''Beachte:''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Fasse jeweils die Werte mit gleicher Variable zusammen.

''Beispiel :'' <math>3x+8x+5-4=11x+1</math>.
|2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 3 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''a)''' <math>7x-3</math>

'''b)''' <math>22z-3</math>

'''c)''' <math>5y+6</math>}}

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen|Fasse die Terme zusammen

'''a)''' <math> 214x + 24y - 5x + 23y + 24</math>

'''b)''' <math> \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y</math>

'''c)*''' <math> \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

''Beispiel:'' <math>3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4</math>.

'''Beachte''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>209x+ 47y + 24</math>

'''b)''' <math>15x+3y+17</math>

'''c)''' <math>7x+5y+3</math>}}

{{Box| Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten|

'''a)''' <math> 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 </math>

'''b)''' <math> \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2</math>

'''c)*''' <math> \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. <math>x </math> und <math>x^2 </math>) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

''Beispiel:'' <math>3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x</math>.

|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>11x^2+28y-24</math>

'''b)''' <math>\frac{3}{4}x^2 -2x -2</math>, das <math>y</math> fällt hier weg, da <math>0 \cdot y = 0</math> sind.

'''c)''' <math>4x^3</math>}}

{{Box|Aufgabe 5 - Pferderennen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pth88w7w319}}

|Arbeitsmethode}}

===Klammern in Termen auflösen===
{{Box|1=Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

a) <math>5\cdot(8-9y)</math>

b) <math>(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})</math>

c) <math>\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})</math>

{{Lösung versteckt|Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}(-4)} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}(-4)} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}(-4)} \cdot {\color{green}7}) = -20 - (-28) = -20+28 = 8</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommuntativgesetz der Multiplikation zurück.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=a) <math>40-45y</math>

b) <math>-\frac{5}{3}y+5x</math>

c) <math>\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren

a) <math>3x \cdot (11+5y)</math>

b) <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>

c) <math>x \cdot (x-15y)</math>

{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=a) <math>33x+15xy</math>

b) <math>33x^2-30xy</math>

c) <math>x^2-15xy</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern|2=
Löse die Klammern auf.

a) <math>(7+5b)^2</math>

b) <math>(5c+6d)^2</math>

c) <math>(-6f-t)^2</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.
[[Datei:1. Binomische Formel.jpg|1. Binomische Formel.jpg]]
und <math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>49+70b+25b^2</math>

b) <math>25c^2+60cd+36d^2</math>

c) <math>36f^2+12ft+t^2</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Terme durch Ausklammern in Produkte umformen===
{{Box|Aufgabe 10 - Ausklammern|Klammere möglichst viel aus.

'''a)''' <math>9x+9y+9z</math>

'''b)''' <math>81x+45y</math>

'''c)''' <math>5x-4xy+9xz</math>

'''d)''' <math>25a-35ab+50ax</math>

'''e)''' <math>8ax+24xy+64abxz</math>

'''f)''' <math>4abx+6axy+32abxyz</math>

{{Lösung versteckt|1=Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird vor die Klammer gesetzt. Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Die Summanden in der Klammer sind jeweils das, was beim Teilen durch den ggT (Weglassen) übrigbleibt.|2=Tipp 1, allgemeiner Tipp|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Dieselbe Zahl:
"Beispiel" Bei 3x+3y soll ausgeklammert werden. 3x und 3y haben die 3 gemeinsam. Also können wir sie ausklammern: <math>3x+3y=3(x+y)</math>. |2=Tipp 2, Tipp zu a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Nicht dieselbe Zahl, aber die Zahlen haben einen gemeinsamen Teiler:
"Beispiel" Bei 12x+18y soll ausgeklammert werden. 12 und 18 sind in der 6er-Reihe. Der ggT von 12 und 18 ist 6. Also klammern wir die 6 aus: <math>12x+18y=6(2x+3y)</math>|2=Tipp 3, Tipp zu b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Gemeinsamer ggT der Zahlen und mindestens eine gemeinsame Variable:
"Beispiel" Bei 21x+35xy soll ausgeklammert werden. Die 21 und die 35 sind beide in der 7er-Reihe. Außerdem kommt die Variable x bei beiden Summanden vor. Also klammern wir das 7x aus: <math>21x+35xy=7x(3+5y)</math>.|2=Tipp 4, Tipp zu c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>9(x+y+z)</math>. |2=Lösung von a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>9(9x+5y)</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>x(5-4y+9z)</math>.|2=Lösung von c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>5a(5-7b+10x)</math>.|2=Lösung von d)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>8x(a+3y+8abz)</math>.|2=Lösung von e)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>.|2=Lösung von f)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= a) <math>9(x+y+z)</math>.

b) <math>9(9x+5y)</math>.

c) <math>x(5-4y+9z)</math>.

d) <math>5a(5-7b+10x)</math>.

e) <math>8x(a+3y+8abz)</math>.

f) <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>|2=Lösungen von allen Teilaufgaben|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen===
{{Box| Aufgabe 11|Mein Vater, meine Mutter und ich sind zusammen 100 Jahre alt. Mein Vater ist 3 Mal so alt wie ich und meine Mutter ist 5 Jahre jünger als mein Vater. Wie alt bin ich, mein Vater und meine Mutter?
{{Lösung versteckt|1=Setze ein Alter als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=mein Alter

<math>x+3x+(3x-5)=100</math>

<math>5x=105</math>

<math>x=15</math>

mein Alter: 15

Alter meiner Mutter: 40

Alter meines Vater: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 12|Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.
Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?
{{Lösung versteckt|1=Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Finn

<math>x+1/2 \cdot x+(x-5)=30</math>

<math>2,5x=35</math>

<math>x=14</math>

Finn: 14 Tore

Jürgen: 7 Tore

Herbert: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 13|Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?
{{Lösung versteckt|1=Setze eine Länge als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=kürzere Seite

<math>2x+2(x+38)=132</math>

<math>2x+2x+76=132</math>

<math>4x=56</math>

<math>x=14</math>

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52|2=Lösung|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungen lösen===

{{Box| Was sind überhaupt lineare Gleichungen?|
Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

<math> x^1=x </math>.

Ihre einfachste Form ist: <math> a \cdot x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch diesen [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen|Lernpfad zu linearen Funktionen]] nochmal an.
|Kurzinfo}}

{{Box| Aufgabe 14 - Lineare Gleichungen lösen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pitodik3519}}

{{Lösung versteckt|1= Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

<math> 3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x</math>

<math> \Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4 </math>

<math> \Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x </math>

<math> \Leftrightarrow 12 = 2x </math>

<math> \Leftrightarrow 6 = x </math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Quadratische Gleichungen lösen===
{{Box|Aufgabe 15|Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>x^2-11x+24=0</math>

'''b)''' <math>y^2+7y-8=0</math>

'''c)''' <math>z^2-20z+96=0</math>

'''d)''' <math>x^2+48x+135=0</math>

'''e)''' <math>a^2+107a-108=0</math>

'''f)''' <math>x^2+6x+8=0</math>

'''g)''' <math>x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0</math>

'''h)''' <math>x^2-9x+20=0</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{3;8\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;1\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{8;12\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-45;-3\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-108;1\}</math>|2=Lösung von e)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;-2\}</math>|2=Lösung von f)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\}</math>|2=Lösung von g)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4;5\}</math>|2=Lösung von h)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 16|Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+8)\cdot(x-2)=0</math>

'''b)''' <math>(2x-6)\cdot(3x+5)=0</math>

'''c)''' <math>(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0</math>

{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;2\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1\frac{2}{3};3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;14\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 17|Löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x-3)^2=16</math>

'''b)''' <math>x^2+8x+16=49</math>

'''c)''' <math>x^2+8x=9</math>

'''d)''' <math>3x^2-3x-60=0</math>

{{Lösung versteckt|Teile die Gleichung erst durch 3.|2=Tipp zu d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;7\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-11;3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;1\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;5\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>(x-3)^2=16</math>

<math>\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}</math>

<math>x-3=4\lor x-3=-4</math>

<math>x_1=7\lor x_2=-1</math>

<math>L=\{-1;7\}</math>

|2=Rechenweg zu a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x+16=49</math>

<math>(x+4)^2=49</math>

<math>x+4=7\lor x+4=-7</math>

<math>x_1=3\lor x_2=-11</math>

<math>L=\{-11;3\}</math>

|2=Rechenweg zu b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x=9</math>

<math>x^2+8x+16=9+16</math>

<math>(x+4)^2=25</math>

<math>x+4=5\lor x+4=-5</math>

<math>x_1=1\lor x_2=-9</math>

<math>L=\{-9;1\}</math>

|2=Rechenweg zu c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>3x^2-3x-60=0</math>

<math>x^2-x-20=0</math>

<math>x^2-x=20</math>

<math>x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}</math>

<math>(x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}</math>

<math>x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}</math>

<math>x_1=5\lor x_2=-4</math>

<math>L=\{-4;5\}</math>

|2=Rechenweg zu d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 18*|Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22</math>

'''b)''' <math>(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x</math>

'''c)''' <math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3</math>

'''d)''' <math>(2y+6)(17,5-2,5y)-(10+5y)(2y-3)=(7y+20)(4-1,4y)</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4,95;-2,5\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{5;\frac{1}{3}\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;2\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-5;-2\frac{3}{26}\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungssysteme lösen===
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:

{{Lösung versteckt|1=
# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
# Berechne die Unbekannten

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
# Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
# Gleichung nach der Variablen auflösen
# Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}}

{{Box|Aufgabe 19|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft:

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst zum Lösen das Additionsverfahren benutzen, um die Variable y zu eliminieren.

|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

Addiere Gleichung I zu Gleichung II

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 8x + 0y = 16</math>

Berechne die Lösung für II

<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math>

<math>x = 2</math>

Setze x = 2 in I ein

<math>3x + 4y = 22</math>

<math>3 \cdot 2 + 4y = 22</math>

<math>6 + 4y = 22\quad|-6</math>

<math>4y = 16\quad|:4</math>

<math>y = 4</math>

Lösung:

<math>x = 2, y = 4</math>.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

===Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen===
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.{{Box|Aufgabe 20*|In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Eine Gleichung sollte 18, die andere 84 als Ergebnis haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>
|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
''Additionsverfahren:''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 0x + 2y = 12</math>

Löse die Gleichung II.

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

''Einsetzungsverfahren''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Löse I nach x auf.

<math>x + y =18 \quad| -y</math>

<math>x = 18 - y</math>

Setze die Gleichung für x in II ein

<math>4(18 - y) + 6y = 84</math>

<math>72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72</math>

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

'''Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 21**|Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der Erste und der Zweite besitzen
zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der Dritte; der Erste und der Dritte haben zusammen um
40 Denare mehr als der Zweite; und der Zweite und der Dritte haben zusammen um 30
Denare mehr als der Erste. Wie viel besitzt jeder der Drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn Person A 10€ mehr hat als Person B, gilt: A - B = 10€|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c =30</math>

|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c = 30</math>

Addiere I + II und I + III.

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad 2a + 0b + 0c = 60</math>

<math>III\quad 0a + 2b + 0c = 30</math>

Löse die Gleichungen II und III.

<math>II\quad 2a = 60 \quad| :2</math>

<math>II\quad a = 30</math>

<math>III\quad 2b = 50 \quad| :2</math>

<math>III\quad b = 25</math>

Setze a und b in I ein.

<math>a + b - c = 20</math>

<math>30 + 25 - c = 20 \quad| -30 \quad| - 25</math>

<math>-c = -35</math>

<math>c = 35</math>

'''Der Erste hat 30, der Zweite 25 und der Dritte 35 Denare'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-05-24T12:09:17Z

Valentin WWU-4: /* Klammern in Termen auflösen */

{{Box|Terme und Gleichungen|Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen.
Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

Damit du etwas anspruchsvollere Aufgaben direkt erkennst, sind Aufgaben, die dich fordern mit einem Stern (*) und knifflige Knobelaufgaben mit zwei Sternen (**) gekennzeichnet.

Viel Spaß!|Kurzinfo}}

===Wiederholung: Terme und Gleichungen===
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
 

{{Lösung versteckt|1= Ein '''Term''' ist ein mathematischer Ausdruck, der
Zahlen,
Variablen,
Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und
Klammern enthalten kann.

Beispiele:

<math>1 + 2 </math>
<math>7x - 9y</math>. |2=Was ist ein Term?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Eine '''Gleichung '''<nowiki>ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.</nowiki>

<nowiki>Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)</nowiki>

Beispiele:

<math>4 = 1 + 3</math>

<math>5x = 10</math>.|2= Was ist eine Gleichung?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.

Addieren:
<math>3x + x = 4x</math>

Subtrahieren:
<math>5y - 2y = 3y</math>

Multiplizieren:
<math>x \cdot 2x^2 = 2x^3</math>

Ausmultiplizieren:
<math>z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z</math>

Ausklammern:
<math>3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)</math>.

|2=Terme vereinfachen|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B.
<math>5 + x = 10</math>, ist vor allem derjenige x
-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt '''wahr''', ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt '''Lösung der Gleichung'''.|2= Gleichungen lösen|3= schließen}}

"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pijz11q6t19}}

 

===Wiederholung: Bruchrechnung===
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man auch regelmäßig auf Brüche. Falls Du dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir folgenden Erklärungen an:

 

{{Lösung versteckt|1= 1. Zwei Brüche '''mit gleichem Nenner''' werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.

<math>\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}</math>

2. Vorgehensweise für '''ungleiche Brüche''':

Ungleiche Brüche sind Brüche, bei denen beide Nenner unterschiedliche Werte haben.

Diese Brüche mit '''verschiedenen Nennern''' addiert man, indem man die Brüche auf einen Nenner bringt.
Hierzu müssen die Brüche gekürzt oder erweitert werden. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.

'''Kürzen'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> kürzen mit n:
<math>\frac{a:n}{b:n}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{4}{12}</math> kürzen mit 2:<math>\frac{4:2}{12:2}=\frac{2}{6}</math>

'''Erweitern'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> erweitern mit m: <math>\frac{a \cdot m}{b \cdot m}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{2}{3}</math> erweitern mit 4: <math>\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}</math>|2= Brüche addieren|3= schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Brüche werden miteinander multipliziert, indem man '''Zähler mit Zähler''' und '''Nenner mit Nenner''' multipliziert.

<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>|2= Brüche multiplizieren|3= Merke}}

===Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen===
{{Box|Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x+18x</math>

'''b)''' <math>\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y</math>

'''c)''' <math> \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x </math>
|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.
''Beispiel:'' <math>4x+14x=(4+14) \cdot x=18x</math>. |2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

''Beispiel:'' <math> \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15} </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>23x</math>

'''b)''' <math>6y</math>

'''c)''' <math>-\frac{26}{15}x</math>}}

{{Box|Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2</math>

'''b)''' <math> \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4} </math>

'''c)*''' <math> \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2} </math>

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

''Beispiel:'' <math>3x+5+8x-4=3x+8x+5-4</math>.

'''Beachte:''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Fasse jeweils die Werte mit gleicher Variable zusammen.

''Beispiel :'' <math>3x+8x+5-4=11x+1</math>.
|2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 3 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''a)''' <math>7x-3</math>

'''b)''' <math>22z-3</math>

'''c)''' <math>5y+6</math>}}

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen|Fasse die Terme zusammen

'''a)''' <math> 214x + 24y - 5x + 23y + 24</math>

'''b)''' <math> \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y</math>

'''c)*''' <math> \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

''Beispiel:'' <math>3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4</math>.

'''Beachte''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>209x+ 47y + 24</math>

'''b)''' <math>15x+3y+17</math>

'''c)''' <math>7x+5y+3</math>}}

{{Box| Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten|

'''a)''' <math> 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 </math>

'''b)''' <math> \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2</math>

'''c)*''' <math> \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. <math>x </math> und <math>x^2 </math>) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

''Beispiel:'' <math>3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x</math>.

|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>11x^2+28y-24</math>

'''b)''' <math>\frac{3}{4}x^2 -2x -2</math>, das <math>y</math> fällt hier weg, da <math>0 \cdot y = 0</math> sind.

'''c)''' <math>4x^3</math>}}

{{Box|Aufgabe 5 - Pferderennen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pth88w7w319}}

|Arbeitsmethode}}

===Klammern in Termen auflösen===
{{Box|1=Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

a) <math>5\cdot(8-9y)</math>

b) <math>(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})</math>

c) <math>\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})</math>

{{Lösung versteckt|Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}(-4)} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}(-4)} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}(-4)} \cdot {\color{green}7}) = -20 - (-28) = -20+28 = 8</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommuntativgesetz der Multiplikation zurück.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=a) <math>40-45y</math>

b) <math>-\frac{5}{3}y+5x</math>

c) <math>\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren|{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=psabenu2519}}
{{Lösung versteckt|1=Variablen außerhalb der Klammer ändern nichts am Vorgehen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Löse erst die einfachen Aufgaben, die dir keine Schwierigkeiten bereiten. Später kannst du dann eventuell durch Ausschließen die richtige Zuordnung finden.|2=Tipp 2|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern|Löse die Klammern auf.

a) <math>3x \cdot (11+5y)</math>

b) <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>

c) <math>x (x-15y)</math>

{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=a) <math>33x+15xy</math>

b) <math>33x^2-30xy</math>

c) <math>x^2-15xy</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 9 - Terme mit quadratischen Klammern|2=
Löse die Klammern auf.

a) <math>(7+5b)^2</math>

b) <math>(5c+6d)^2</math>

c) <math>(-6f-t)^2</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.
[[Datei:1. Binomische Formel.jpg|1. Binomische Formel.jpg]]
und <math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>49+70b+25b^2</math>

b) <math>25c^2+60cd+36d^2</math>

c) <math>36f^2+12ft+t^2</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Terme durch Ausklammern in Produkte umformen===
{{Box|Aufgabe 10 - Ausklammern|Klammere möglichst viel aus.

'''a)''' <math>9x+9y+9z</math>

'''b)''' <math>81x+45y</math>

'''c)''' <math>5x-4xy+9xz</math>

'''d)''' <math>25a-35ab+50ax</math>

'''e)''' <math>8ax+24xy+64abxz</math>

'''f)''' <math>4abx+6axy+32abxyz</math>

{{Lösung versteckt|1=Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird vor die Klammer gesetzt. Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Die Summanden in der Klammer sind jeweils das, was beim Teilen durch den ggT (Weglassen) übrigbleibt.|2=Tipp 1, allgemeiner Tipp|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Dieselbe Zahl:
"Beispiel" Bei 3x+3y soll ausgeklammert werden. 3x und 3y haben die 3 gemeinsam. Also können wir sie ausklammern: <math>3x+3y=3(x+y)</math>. |2=Tipp 2, Tipp zu a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Nicht dieselbe Zahl, aber die Zahlen haben einen gemeinsamen Teiler:
"Beispiel" Bei 12x+18y soll ausgeklammert werden. 12 und 18 sind in der 6er-Reihe. Der ggT von 12 und 18 ist 6. Also klammern wir die 6 aus: <math>12x+18y=6(2x+3y)</math>|2=Tipp 3, Tipp zu b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Gemeinsamer ggT der Zahlen und mindestens eine gemeinsame Variable:
"Beispiel" Bei 21x+35xy soll ausgeklammert werden. Die 21 und die 35 sind beide in der 7er-Reihe. Außerdem kommt die Variable x bei beiden Summanden vor. Also klammern wir das 7x aus: <math>21x+35xy=7x(3+5y)</math>.|2=Tipp 4, Tipp zu c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>9(x+y+z)</math>. |2=Lösung von a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>9(9x+5y)</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>x(5-4y+9z)</math>.|2=Lösung von c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>5a(5-7b+10x)</math>.|2=Lösung von d)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>8x(a+3y+8abz)</math>.|2=Lösung von e)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>.|2=Lösung von f)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= a) <math>9(x+y+z)</math>.

b) <math>9(9x+5y)</math>.

c) <math>x(5-4y+9z)</math>.

d) <math>5a(5-7b+10x)</math>.

e) <math>8x(a+3y+8abz)</math>.

f) <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>|2=Lösungen von allen Teilaufgaben|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen===
{{Box| Aufgabe 11|Mein Vater, meine Mutter und ich sind zusammen 100 Jahre alt. Mein Vater ist 3 Mal so alt wie ich und meine Mutter ist 5 Jahre jünger als mein Vater. Wie alt bin ich, mein Vater und meine Mutter?
{{Lösung versteckt|1=Setze ein Alter als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=mein Alter

<math>x+3x+(3x-5)=100</math>

<math>5x=105</math>

<math>x=15</math>

mein Alter: 15

Alter meiner Mutter: 40

Alter meines Vater: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 12|Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.
Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?
{{Lösung versteckt|1=Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Finn

<math>x+1/2 \cdot x+(x-5)=30</math>

<math>2,5x=35</math>

<math>x=14</math>

Finn: 14 Tore

Jürgen: 7 Tore

Herbert: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 13|Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?
{{Lösung versteckt|1=Setze eine Länge als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=kürzere Seite

<math>2x+2(x+38)=132</math>

<math>2x+2x+76=132</math>

<math>4x=56</math>

<math>x=14</math>

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52|2=Lösung|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungen lösen===

{{Box| Was sind überhaupt lineare Gleichungen?|
Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

<math> x^1=x </math>.

Ihre einfachste Form ist: <math> a \cdot x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch diesen [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen|Lernpfad zu linearen Funktionen]] nochmal an.
|Kurzinfo}}

{{Box| Aufgabe 14 - Lineare Gleichungen lösen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pitodik3519}}

{{Lösung versteckt|1= Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

<math> 3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x</math>

<math> \Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4 </math>

<math> \Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x </math>

<math> \Leftrightarrow 12 = 2x </math>

<math> \Leftrightarrow 6 = x </math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Quadratische Gleichungen lösen===
{{Box|Aufgabe 15|Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>x^2-11x+24=0</math>

'''b)''' <math>y^2+7y-8=0</math>

'''c)''' <math>z^2-20z+96=0</math>

'''d)''' <math>x^2+48x+135=0</math>

'''e)''' <math>a^2+107a-108=0</math>

'''f)''' <math>x^2+6x+8=0</math>

'''g)''' <math>x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0</math>

'''h)''' <math>x^2-9x+20=0</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{3;8\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;1\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{8;12\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-45;-3\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-108;1\}</math>|2=Lösung von e)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;-2\}</math>|2=Lösung von f)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\}</math>|2=Lösung von g)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4;5\}</math>|2=Lösung von h)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 16|Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+8)\cdot(x-2)=0</math>

'''b)''' <math>(2x-6)\cdot(3x+5)=0</math>

'''c)''' <math>(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0</math>

{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;2\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1\frac{2}{3};3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;14\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 17|Löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x-3)^2=16</math>

'''b)''' <math>x^2+8x+16=49</math>

'''c)''' <math>x^2+8x=9</math>

'''d)''' <math>3x^2-3x-60=0</math>

{{Lösung versteckt|Teile die Gleichung erst durch 3.|2=Tipp zu d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;7\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-11;3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;1\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;5\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>(x-3)^2=16</math>

<math>\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}</math>

<math>x-3=4\lor x-3=-4</math>

<math>x_1=7\lor x_2=-1</math>

<math>L=\{-1;7\}</math>

|2=Rechenweg zu a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x+16=49</math>

<math>(x+4)^2=49</math>

<math>x+4=7\lor x+4=-7</math>

<math>x_1=3\lor x_2=-11</math>

<math>L=\{-11;3\}</math>

|2=Rechenweg zu b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x=9</math>

<math>x^2+8x+16=9+16</math>

<math>(x+4)^2=25</math>

<math>x+4=5\lor x+4=-5</math>

<math>x_1=1\lor x_2=-9</math>

<math>L=\{-9;1\}</math>

|2=Rechenweg zu c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>3x^2-3x-60=0</math>

<math>x^2-x-20=0</math>

<math>x^2-x=20</math>

<math>x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}</math>

<math>(x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}</math>

<math>x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}</math>

<math>x_1=5\lor x_2=-4</math>

<math>L=\{-4;5\}</math>

|2=Rechenweg zu d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 18*|Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22</math>

'''b)''' <math>(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x</math>

'''c)''' <math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3</math>

'''d)''' <math>(2y+6)(17,5-2,5y)-(10+5y)(2y-3)=(7y+20)(4-1,4y)</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4,95;-2,5\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{5;\frac{1}{3}\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;2\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-5;-2\frac{3}{26}\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungssysteme lösen===
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:

{{Lösung versteckt|1=
# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
# Berechne die Unbekannten

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
# Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
# Gleichung nach der Variablen auflösen
# Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}}

{{Box|Aufgabe 19|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft:

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst zum Lösen das Additionsverfahren benutzen, um die Variable y zu eliminieren.

|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

Addiere Gleichung I zu Gleichung II

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 8x + 0y = 16</math>

Berechne die Lösung für II

<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math>

<math>x = 2</math>

Setze x = 2 in I ein

<math>3x + 4y = 22</math>

<math>3 \cdot 2 + 4y = 22</math>

<math>6 + 4y = 22\quad|-6</math>

<math>4y = 16\quad|:4</math>

<math>y = 4</math>

Lösung:

<math>x = 2, y = 4</math>.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

===Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen===
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.{{Box|Aufgabe 20*|In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Eine Gleichung sollte 18, die andere 84 als Ergebnis haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>
|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
''Additionsverfahren:''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 0x + 2y = 12</math>

Löse die Gleichung II.

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

''Einsetzungsverfahren''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Löse I nach x auf.

<math>x + y =18 \quad| -y</math>

<math>x = 18 - y</math>

Setze die Gleichung für x in II ein

<math>4(18 - y) + 6y = 84</math>

<math>72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72</math>

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

'''Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 21**|Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der Erste und der Zweite besitzen
zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der Dritte; der Erste und der Dritte haben zusammen um
40 Denare mehr als der Zweite; und der Zweite und der Dritte haben zusammen um 30
Denare mehr als der Erste. Wie viel besitzt jeder der Drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn Person A 10€ mehr hat als Person B, gilt: A - B = 10€|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c =30</math>

|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c = 30</math>

Addiere I + II und I + III.

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad 2a + 0b + 0c = 60</math>

<math>III\quad 0a + 2b + 0c = 30</math>

Löse die Gleichungen II und III.

<math>II\quad 2a = 60 \quad| :2</math>

<math>II\quad a = 30</math>

<math>III\quad 2b = 50 \quad| :2</math>

<math>III\quad b = 25</math>

Setze a und b in I ein.

<math>a + b - c = 20</math>

<math>30 + 25 - c = 20 \quad| -30 \quad| - 25</math>

<math>-c = -35</math>

<math>c = 35</math>

'''Der Erste hat 30, der Zweite 25 und der Dritte 35 Denare'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-05-24T12:07:18Z

Valentin WWU-4: /* Klammern in Termen auflösen */

{{Box|Terme und Gleichungen|Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen.
Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

Damit du etwas anspruchsvollere Aufgaben direkt erkennst, sind Aufgaben, die dich fordern mit einem Stern (*) und knifflige Knobelaufgaben mit zwei Sternen (**) gekennzeichnet.

Viel Spaß!|Kurzinfo}}

===Wiederholung: Terme und Gleichungen===
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
 

{{Lösung versteckt|1= Ein '''Term''' ist ein mathematischer Ausdruck, der
Zahlen,
Variablen,
Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und
Klammern enthalten kann.

Beispiele:

<math>1 + 2 </math>
<math>7x - 9y</math>. |2=Was ist ein Term?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Eine '''Gleichung '''<nowiki>ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.</nowiki>

<nowiki>Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)</nowiki>

Beispiele:

<math>4 = 1 + 3</math>

<math>5x = 10</math>.|2= Was ist eine Gleichung?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.

Addieren:
<math>3x + x = 4x</math>

Subtrahieren:
<math>5y - 2y = 3y</math>

Multiplizieren:
<math>x \cdot 2x^2 = 2x^3</math>

Ausmultiplizieren:
<math>z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z</math>

Ausklammern:
<math>3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)</math>.

|2=Terme vereinfachen|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B.
<math>5 + x = 10</math>, ist vor allem derjenige x
-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt '''wahr''', ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt '''Lösung der Gleichung'''.|2= Gleichungen lösen|3= schließen}}

"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pijz11q6t19}}

 

===Wiederholung: Bruchrechnung===
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man auch regelmäßig auf Brüche. Falls Du dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir folgenden Erklärungen an:

 

{{Lösung versteckt|1= 1. Zwei Brüche '''mit gleichem Nenner''' werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.

<math>\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}</math>

2. Vorgehensweise für '''ungleiche Brüche''':

Ungleiche Brüche sind Brüche, bei denen beide Nenner unterschiedliche Werte haben.

Diese Brüche mit '''verschiedenen Nennern''' addiert man, indem man die Brüche auf einen Nenner bringt.
Hierzu müssen die Brüche gekürzt oder erweitert werden. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.

'''Kürzen'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> kürzen mit n:
<math>\frac{a:n}{b:n}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{4}{12}</math> kürzen mit 2:<math>\frac{4:2}{12:2}=\frac{2}{6}</math>

'''Erweitern'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> erweitern mit m: <math>\frac{a \cdot m}{b \cdot m}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{2}{3}</math> erweitern mit 4: <math>\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}</math>|2= Brüche addieren|3= schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Brüche werden miteinander multipliziert, indem man '''Zähler mit Zähler''' und '''Nenner mit Nenner''' multipliziert.

<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>|2= Brüche multiplizieren|3= Merke}}

===Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen===
{{Box|Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x+18x</math>

'''b)''' <math>\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y</math>

'''c)''' <math> \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x </math>
|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.
''Beispiel:'' <math>4x+14x=(4+14) \cdot x=18x</math>. |2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

''Beispiel:'' <math> \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15} </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>23x</math>

'''b)''' <math>6y</math>

'''c)''' <math>-\frac{26}{15}x</math>}}

{{Box|Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2</math>

'''b)''' <math> \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4} </math>

'''c)*''' <math> \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2} </math>

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

''Beispiel:'' <math>3x+5+8x-4=3x+8x+5-4</math>.

'''Beachte:''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Fasse jeweils die Werte mit gleicher Variable zusammen.

''Beispiel :'' <math>3x+8x+5-4=11x+1</math>.
|2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 3 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''a)''' <math>7x-3</math>

'''b)''' <math>22z-3</math>

'''c)''' <math>5y+6</math>}}

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen|Fasse die Terme zusammen

'''a)''' <math> 214x + 24y - 5x + 23y + 24</math>

'''b)''' <math> \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y</math>

'''c)*''' <math> \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

''Beispiel:'' <math>3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4</math>.

'''Beachte''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>209x+ 47y + 24</math>

'''b)''' <math>15x+3y+17</math>

'''c)''' <math>7x+5y+3</math>}}

{{Box| Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten|

'''a)''' <math> 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 </math>

'''b)''' <math> \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2</math>

'''c)*''' <math> \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. <math>x </math> und <math>x^2 </math>) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

''Beispiel:'' <math>3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x</math>.

|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>11x^2+28y-24</math>

'''b)''' <math>\frac{3}{4}x^2 -2x -2</math>, das <math>y</math> fällt hier weg, da <math>0 \cdot y = 0</math> sind.

'''c)''' <math>4x^3</math>}}

{{Box|Aufgabe 5 - Pferderennen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pth88w7w319}}

|Arbeitsmethode}}

===Klammern in Termen auflösen===
{{Box|1=Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

a) <math>5\cdot(8-9y)</math>

b) <math>(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})</math>

c) <math>\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})</math>

{{Lösung versteckt|Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}(-4)} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}(-4)} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}(-4)} \cdot {\color{green}7}) = -20 - (-28) = -20+28 = 8</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommuntativgesetz der Multiplikation zurück.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=a) <math>40+45y</math>

b) <math>-\frac{5}{3}y+5x</math>

c) <math>\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren|{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=psabenu2519}}
{{Lösung versteckt|1=Variablen außerhalb der Klammer ändern nichts am Vorgehen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Löse erst die einfachen Aufgaben, die dir keine Schwierigkeiten bereiten. Später kannst du dann eventuell durch Ausschließen die richtige Zuordnung finden.|2=Tipp 2|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern|Löse die Klammern auf.

a) <math>3x \cdot (11+5y)</math>

b) <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>

c) <math>x (x-15y)</math>

{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=a) <math>33x+15xy</math>

b) <math>33x^2-30xy</math>

c) <math>x^2-15xy</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 9 - Terme mit quadratischen Klammern|2=
Löse die Klammern auf.

a) <math>(7+5b)^2</math>

b) <math>(5c+6d)^2</math>

c) <math>(-6f-t)^2</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.
[[Datei:1. Binomische Formel.jpg|1. Binomische Formel.jpg]]
und <math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>49+70b+25b^2</math>

b) <math>25c^2+60cd+36d^2</math>

c) <math>36f^2+12ft+t^2</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Terme durch Ausklammern in Produkte umformen===
{{Box|Aufgabe 10 - Ausklammern|Klammere möglichst viel aus.

'''a)''' <math>9x+9y+9z</math>

'''b)''' <math>81x+45y</math>

'''c)''' <math>5x-4xy+9xz</math>

'''d)''' <math>25a-35ab+50ax</math>

'''e)''' <math>8ax+24xy+64abxz</math>

'''f)''' <math>4abx+6axy+32abxyz</math>

{{Lösung versteckt|1=Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird vor die Klammer gesetzt. Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Die Summanden in der Klammer sind jeweils das, was beim Teilen durch den ggT (Weglassen) übrigbleibt.|2=Tipp 1, allgemeiner Tipp|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Dieselbe Zahl:
"Beispiel" Bei 3x+3y soll ausgeklammert werden. 3x und 3y haben die 3 gemeinsam. Also können wir sie ausklammern: <math>3x+3y=3(x+y)</math>. |2=Tipp 2, Tipp zu a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Nicht dieselbe Zahl, aber die Zahlen haben einen gemeinsamen Teiler:
"Beispiel" Bei 12x+18y soll ausgeklammert werden. 12 und 18 sind in der 6er-Reihe. Der ggT von 12 und 18 ist 6. Also klammern wir die 6 aus: <math>12x+18y=6(2x+3y)</math>|2=Tipp 3, Tipp zu b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Gemeinsamer ggT der Zahlen und mindestens eine gemeinsame Variable:
"Beispiel" Bei 21x+35xy soll ausgeklammert werden. Die 21 und die 35 sind beide in der 7er-Reihe. Außerdem kommt die Variable x bei beiden Summanden vor. Also klammern wir das 7x aus: <math>21x+35xy=7x(3+5y)</math>.|2=Tipp 4, Tipp zu c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>9(x+y+z)</math>. |2=Lösung von a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>9(9x+5y)</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>x(5-4y+9z)</math>.|2=Lösung von c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>5a(5-7b+10x)</math>.|2=Lösung von d)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>8x(a+3y+8abz)</math>.|2=Lösung von e)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>.|2=Lösung von f)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= a) <math>9(x+y+z)</math>.

b) <math>9(9x+5y)</math>.

c) <math>x(5-4y+9z)</math>.

d) <math>5a(5-7b+10x)</math>.

e) <math>8x(a+3y+8abz)</math>.

f) <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>|2=Lösungen von allen Teilaufgaben|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen===
{{Box| Aufgabe 11|Mein Vater, meine Mutter und ich sind zusammen 100 Jahre alt. Mein Vater ist 3 Mal so alt wie ich und meine Mutter ist 5 Jahre jünger als mein Vater. Wie alt bin ich, mein Vater und meine Mutter?
{{Lösung versteckt|1=Setze ein Alter als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=mein Alter

<math>x+3x+(3x-5)=100</math>

<math>5x=105</math>

<math>x=15</math>

mein Alter: 15

Alter meiner Mutter: 40

Alter meines Vater: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 12|Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.
Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?
{{Lösung versteckt|1=Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Finn

<math>x+1/2 \cdot x+(x-5)=30</math>

<math>2,5x=35</math>

<math>x=14</math>

Finn: 14 Tore

Jürgen: 7 Tore

Herbert: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 13|Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?
{{Lösung versteckt|1=Setze eine Länge als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=kürzere Seite

<math>2x+2(x+38)=132</math>

<math>2x+2x+76=132</math>

<math>4x=56</math>

<math>x=14</math>

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52|2=Lösung|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungen lösen===

{{Box| Was sind überhaupt lineare Gleichungen?|
Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

<math> x^1=x </math>.

Ihre einfachste Form ist: <math> a \cdot x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch diesen [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen|Lernpfad zu linearen Funktionen]] nochmal an.
|Kurzinfo}}

{{Box| Aufgabe 14 - Lineare Gleichungen lösen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pitodik3519}}

{{Lösung versteckt|1= Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

<math> 3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x</math>

<math> \Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4 </math>

<math> \Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x </math>

<math> \Leftrightarrow 12 = 2x </math>

<math> \Leftrightarrow 6 = x </math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Quadratische Gleichungen lösen===
{{Box|Aufgabe 15|Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>x^2-11x+24=0</math>

'''b)''' <math>y^2+7y-8=0</math>

'''c)''' <math>z^2-20z+96=0</math>

'''d)''' <math>x^2+48x+135=0</math>

'''e)''' <math>a^2+107a-108=0</math>

'''f)''' <math>x^2+6x+8=0</math>

'''g)''' <math>x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0</math>

'''h)''' <math>x^2-9x+20=0</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{3;8\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;1\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{8;12\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-45;-3\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-108;1\}</math>|2=Lösung von e)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;-2\}</math>|2=Lösung von f)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\}</math>|2=Lösung von g)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4;5\}</math>|2=Lösung von h)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 16|Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+8)\cdot(x-2)=0</math>

'''b)''' <math>(2x-6)\cdot(3x+5)=0</math>

'''c)''' <math>(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0</math>

{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;2\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1\frac{2}{3};3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;14\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 17|Löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x-3)^2=16</math>

'''b)''' <math>x^2+8x+16=49</math>

'''c)''' <math>x^2+8x=9</math>

'''d)''' <math>3x^2-3x-60=0</math>

{{Lösung versteckt|Teile die Gleichung erst durch 3.|2=Tipp zu d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;7\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-11;3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;1\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;5\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>(x-3)^2=16</math>

<math>\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}</math>

<math>x-3=4\lor x-3=-4</math>

<math>x_1=7\lor x_2=-1</math>

<math>L=\{-1;7\}</math>

|2=Rechenweg zu a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x+16=49</math>

<math>(x+4)^2=49</math>

<math>x+4=7\lor x+4=-7</math>

<math>x_1=3\lor x_2=-11</math>

<math>L=\{-11;3\}</math>

|2=Rechenweg zu b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x=9</math>

<math>x^2+8x+16=9+16</math>

<math>(x+4)^2=25</math>

<math>x+4=5\lor x+4=-5</math>

<math>x_1=1\lor x_2=-9</math>

<math>L=\{-9;1\}</math>

|2=Rechenweg zu c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>3x^2-3x-60=0</math>

<math>x^2-x-20=0</math>

<math>x^2-x=20</math>

<math>x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}</math>

<math>(x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}</math>

<math>x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}</math>

<math>x_1=5\lor x_2=-4</math>

<math>L=\{-4;5\}</math>

|2=Rechenweg zu d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 18*|Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22</math>

'''b)''' <math>(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x</math>

'''c)''' <math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3</math>

'''d)''' <math>(2y+6)(17,5-2,5y)-(10+5y)(2y-3)=(7y+20)(4-1,4y)</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4,95;-2,5\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{5;\frac{1}{3}\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;2\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-5;-2\frac{3}{26}\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungssysteme lösen===
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:

{{Lösung versteckt|1=
# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
# Berechne die Unbekannten

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
# Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
# Gleichung nach der Variablen auflösen
# Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}}

{{Box|Aufgabe 19|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft:

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst zum Lösen das Additionsverfahren benutzen, um die Variable y zu eliminieren.

|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

Addiere Gleichung I zu Gleichung II

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 8x + 0y = 16</math>

Berechne die Lösung für II

<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math>

<math>x = 2</math>

Setze x = 2 in I ein

<math>3x + 4y = 22</math>

<math>3 \cdot 2 + 4y = 22</math>

<math>6 + 4y = 22\quad|-6</math>

<math>4y = 16\quad|:4</math>

<math>y = 4</math>

Lösung:

<math>x = 2, y = 4</math>.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

===Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen===
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.{{Box|Aufgabe 20*|In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Eine Gleichung sollte 18, die andere 84 als Ergebnis haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>
|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
''Additionsverfahren:''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 0x + 2y = 12</math>

Löse die Gleichung II.

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

''Einsetzungsverfahren''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Löse I nach x auf.

<math>x + y =18 \quad| -y</math>

<math>x = 18 - y</math>

Setze die Gleichung für x in II ein

<math>4(18 - y) + 6y = 84</math>

<math>72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72</math>

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

'''Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 21**|Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der Erste und der Zweite besitzen
zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der Dritte; der Erste und der Dritte haben zusammen um
40 Denare mehr als der Zweite; und der Zweite und der Dritte haben zusammen um 30
Denare mehr als der Erste. Wie viel besitzt jeder der Drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn Person A 10€ mehr hat als Person B, gilt: A - B = 10€|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c =30</math>

|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c = 30</math>

Addiere I + II und I + III.

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad 2a + 0b + 0c = 60</math>

<math>III\quad 0a + 2b + 0c = 30</math>

Löse die Gleichungen II und III.

<math>II\quad 2a = 60 \quad| :2</math>

<math>II\quad a = 30</math>

<math>III\quad 2b = 50 \quad| :2</math>

<math>III\quad b = 25</math>

Setze a und b in I ein.

<math>a + b - c = 20</math>

<math>30 + 25 - c = 20 \quad| -30 \quad| - 25</math>

<math>-c = -35</math>

<math>c = 35</math>

'''Der Erste hat 30, der Zweite 25 und der Dritte 35 Denare'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-05-24T12:06:26Z

Valentin WWU-4: /* Klammern in Termen auflösen */

{{Box|Terme und Gleichungen|Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen.
Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

Damit du etwas anspruchsvollere Aufgaben direkt erkennst, sind Aufgaben, die dich fordern mit einem Stern (*) und knifflige Knobelaufgaben mit zwei Sternen (**) gekennzeichnet.

Viel Spaß!|Kurzinfo}}

===Wiederholung: Terme und Gleichungen===
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
 

{{Lösung versteckt|1= Ein '''Term''' ist ein mathematischer Ausdruck, der
Zahlen,
Variablen,
Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und
Klammern enthalten kann.

Beispiele:

<math>1 + 2 </math>
<math>7x - 9y</math>. |2=Was ist ein Term?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Eine '''Gleichung '''<nowiki>ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.</nowiki>

<nowiki>Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)</nowiki>

Beispiele:

<math>4 = 1 + 3</math>

<math>5x = 10</math>.|2= Was ist eine Gleichung?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.

Addieren:
<math>3x + x = 4x</math>

Subtrahieren:
<math>5y - 2y = 3y</math>

Multiplizieren:
<math>x \cdot 2x^2 = 2x^3</math>

Ausmultiplizieren:
<math>z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z</math>

Ausklammern:
<math>3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)</math>.

|2=Terme vereinfachen|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B.
<math>5 + x = 10</math>, ist vor allem derjenige x
-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt '''wahr''', ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt '''Lösung der Gleichung'''.|2= Gleichungen lösen|3= schließen}}

"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pijz11q6t19}}

 

===Wiederholung: Bruchrechnung===
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man auch regelmäßig auf Brüche. Falls Du dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir folgenden Erklärungen an:

 

{{Lösung versteckt|1= 1. Zwei Brüche '''mit gleichem Nenner''' werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.

<math>\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}</math>

2. Vorgehensweise für '''ungleiche Brüche''':

Ungleiche Brüche sind Brüche, bei denen beide Nenner unterschiedliche Werte haben.

Diese Brüche mit '''verschiedenen Nennern''' addiert man, indem man die Brüche auf einen Nenner bringt.
Hierzu müssen die Brüche gekürzt oder erweitert werden. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.

'''Kürzen'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> kürzen mit n:
<math>\frac{a:n}{b:n}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{4}{12}</math> kürzen mit 2:<math>\frac{4:2}{12:2}=\frac{2}{6}</math>

'''Erweitern'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> erweitern mit m: <math>\frac{a \cdot m}{b \cdot m}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{2}{3}</math> erweitern mit 4: <math>\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}</math>|2= Brüche addieren|3= schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Brüche werden miteinander multipliziert, indem man '''Zähler mit Zähler''' und '''Nenner mit Nenner''' multipliziert.

<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>|2= Brüche multiplizieren|3= Merke}}

===Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen===
{{Box|Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x+18x</math>

'''b)''' <math>\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y</math>

'''c)''' <math> \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x </math>
|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.
''Beispiel:'' <math>4x+14x=(4+14) \cdot x=18x</math>. |2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

''Beispiel:'' <math> \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15} </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>23x</math>

'''b)''' <math>6y</math>

'''c)''' <math>-\frac{26}{15}x</math>}}

{{Box|Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2</math>

'''b)''' <math> \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4} </math>

'''c)*''' <math> \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2} </math>

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

''Beispiel:'' <math>3x+5+8x-4=3x+8x+5-4</math>.

'''Beachte:''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Fasse jeweils die Werte mit gleicher Variable zusammen.

''Beispiel :'' <math>3x+8x+5-4=11x+1</math>.
|2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 3 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''a)''' <math>7x-3</math>

'''b)''' <math>22z-3</math>

'''c)''' <math>5y+6</math>}}

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen|Fasse die Terme zusammen

'''a)''' <math> 214x + 24y - 5x + 23y + 24</math>

'''b)''' <math> \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y</math>

'''c)*''' <math> \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

''Beispiel:'' <math>3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4</math>.

'''Beachte''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>209x+ 47y + 24</math>

'''b)''' <math>15x+3y+17</math>

'''c)''' <math>7x+5y+3</math>}}

{{Box| Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten|

'''a)''' <math> 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 </math>

'''b)''' <math> \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2</math>

'''c)*''' <math> \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. <math>x </math> und <math>x^2 </math>) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

''Beispiel:'' <math>3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x</math>.

|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>11x^2+28y-24</math>

'''b)''' <math>\frac{3}{4}x^2 -2x -2</math>, das <math>y</math> fällt hier weg, da <math>0 \cdot y = 0</math> sind.

'''c)''' <math>4x^3</math>}}

{{Box|Aufgabe 5 - Pferderennen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pth88w7w319}}

|Arbeitsmethode}}

===Klammern in Termen auflösen===
{{Box|1=Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

a) <math>5 (8-9y)</math>

b) <math>(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})</math>

c) <math>\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})</math>

{{Lösung versteckt|Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}(-4)} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}(-4)} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}(-4)} \cdot {\color{green}7}) = -20 - (-28) = -20+28 = 8</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommuntativgesetz der Multiplikation zurück.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=a) <math>40+45y</math>

b) <math>-\frac{5}{3}y+5x</math>

c) <math>\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren|{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=psabenu2519}}
{{Lösung versteckt|1=Variablen außerhalb der Klammer ändern nichts am Vorgehen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Löse erst die einfachen Aufgaben, die dir keine Schwierigkeiten bereiten. Später kannst du dann eventuell durch Ausschließen die richtige Zuordnung finden.|2=Tipp 2|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern|Löse die Klammern auf.

a) <math>3x \cdot (11+5y)</math>

b) <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>

c) <math>x (x-15y)</math>

{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=a) <math>33x+15xy</math>

b) <math>33x^2-30xy</math>

c) <math>x^2-15xy</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 9 - Terme mit quadratischen Klammern|2=
Löse die Klammern auf.

a) <math>(7+5b)^2</math>

b) <math>(5c+6d)^2</math>

c) <math>(-6f-t)^2</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.
[[Datei:1. Binomische Formel.jpg|1. Binomische Formel.jpg]]
und <math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>49+70b+25b^2</math>

b) <math>25c^2+60cd+36d^2</math>

c) <math>36f^2+12ft+t^2</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Terme durch Ausklammern in Produkte umformen===
{{Box|Aufgabe 10 - Ausklammern|Klammere möglichst viel aus.

'''a)''' <math>9x+9y+9z</math>

'''b)''' <math>81x+45y</math>

'''c)''' <math>5x-4xy+9xz</math>

'''d)''' <math>25a-35ab+50ax</math>

'''e)''' <math>8ax+24xy+64abxz</math>

'''f)''' <math>4abx+6axy+32abxyz</math>

{{Lösung versteckt|1=Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird vor die Klammer gesetzt. Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Die Summanden in der Klammer sind jeweils das, was beim Teilen durch den ggT (Weglassen) übrigbleibt.|2=Tipp 1, allgemeiner Tipp|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Dieselbe Zahl:
"Beispiel" Bei 3x+3y soll ausgeklammert werden. 3x und 3y haben die 3 gemeinsam. Also können wir sie ausklammern: <math>3x+3y=3(x+y)</math>. |2=Tipp 2, Tipp zu a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Nicht dieselbe Zahl, aber die Zahlen haben einen gemeinsamen Teiler:
"Beispiel" Bei 12x+18y soll ausgeklammert werden. 12 und 18 sind in der 6er-Reihe. Der ggT von 12 und 18 ist 6. Also klammern wir die 6 aus: <math>12x+18y=6(2x+3y)</math>|2=Tipp 3, Tipp zu b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Gemeinsamer ggT der Zahlen und mindestens eine gemeinsame Variable:
"Beispiel" Bei 21x+35xy soll ausgeklammert werden. Die 21 und die 35 sind beide in der 7er-Reihe. Außerdem kommt die Variable x bei beiden Summanden vor. Also klammern wir das 7x aus: <math>21x+35xy=7x(3+5y)</math>.|2=Tipp 4, Tipp zu c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>9(x+y+z)</math>. |2=Lösung von a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>9(9x+5y)</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>x(5-4y+9z)</math>.|2=Lösung von c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>5a(5-7b+10x)</math>.|2=Lösung von d)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>8x(a+3y+8abz)</math>.|2=Lösung von e)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>.|2=Lösung von f)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= a) <math>9(x+y+z)</math>.

b) <math>9(9x+5y)</math>.

c) <math>x(5-4y+9z)</math>.

d) <math>5a(5-7b+10x)</math>.

e) <math>8x(a+3y+8abz)</math>.

f) <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>|2=Lösungen von allen Teilaufgaben|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen===
{{Box| Aufgabe 11|Mein Vater, meine Mutter und ich sind zusammen 100 Jahre alt. Mein Vater ist 3 Mal so alt wie ich und meine Mutter ist 5 Jahre jünger als mein Vater. Wie alt bin ich, mein Vater und meine Mutter?
{{Lösung versteckt|1=Setze ein Alter als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=mein Alter

<math>x+3x+(3x-5)=100</math>

<math>5x=105</math>

<math>x=15</math>

mein Alter: 15

Alter meiner Mutter: 40

Alter meines Vater: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 12|Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.
Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?
{{Lösung versteckt|1=Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Finn

<math>x+1/2 \cdot x+(x-5)=30</math>

<math>2,5x=35</math>

<math>x=14</math>

Finn: 14 Tore

Jürgen: 7 Tore

Herbert: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 13|Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?
{{Lösung versteckt|1=Setze eine Länge als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=kürzere Seite

<math>2x+2(x+38)=132</math>

<math>2x+2x+76=132</math>

<math>4x=56</math>

<math>x=14</math>

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52|2=Lösung|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungen lösen===

{{Box| Was sind überhaupt lineare Gleichungen?|
Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

<math> x^1=x </math>.

Ihre einfachste Form ist: <math> a \cdot x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch diesen [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen|Lernpfad zu linearen Funktionen]] nochmal an.
|Kurzinfo}}

{{Box| Aufgabe 14 - Lineare Gleichungen lösen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pitodik3519}}

{{Lösung versteckt|1= Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

<math> 3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x</math>

<math> \Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4 </math>

<math> \Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x </math>

<math> \Leftrightarrow 12 = 2x </math>

<math> \Leftrightarrow 6 = x </math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Quadratische Gleichungen lösen===
{{Box|Aufgabe 15|Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>x^2-11x+24=0</math>

'''b)''' <math>y^2+7y-8=0</math>

'''c)''' <math>z^2-20z+96=0</math>

'''d)''' <math>x^2+48x+135=0</math>

'''e)''' <math>a^2+107a-108=0</math>

'''f)''' <math>x^2+6x+8=0</math>

'''g)''' <math>x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0</math>

'''h)''' <math>x^2-9x+20=0</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{3;8\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;1\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{8;12\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-45;-3\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-108;1\}</math>|2=Lösung von e)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;-2\}</math>|2=Lösung von f)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\}</math>|2=Lösung von g)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4;5\}</math>|2=Lösung von h)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 16|Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+8)\cdot(x-2)=0</math>

'''b)''' <math>(2x-6)\cdot(3x+5)=0</math>

'''c)''' <math>(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0</math>

{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;2\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1\frac{2}{3};3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;14\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 17|Löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x-3)^2=16</math>

'''b)''' <math>x^2+8x+16=49</math>

'''c)''' <math>x^2+8x=9</math>

'''d)''' <math>3x^2-3x-60=0</math>

{{Lösung versteckt|Teile die Gleichung erst durch 3.|2=Tipp zu d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;7\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-11;3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;1\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;5\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>(x-3)^2=16</math>

<math>\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}</math>

<math>x-3=4\lor x-3=-4</math>

<math>x_1=7\lor x_2=-1</math>

<math>L=\{-1;7\}</math>

|2=Rechenweg zu a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x+16=49</math>

<math>(x+4)^2=49</math>

<math>x+4=7\lor x+4=-7</math>

<math>x_1=3\lor x_2=-11</math>

<math>L=\{-11;3\}</math>

|2=Rechenweg zu b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x=9</math>

<math>x^2+8x+16=9+16</math>

<math>(x+4)^2=25</math>

<math>x+4=5\lor x+4=-5</math>

<math>x_1=1\lor x_2=-9</math>

<math>L=\{-9;1\}</math>

|2=Rechenweg zu c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>3x^2-3x-60=0</math>

<math>x^2-x-20=0</math>

<math>x^2-x=20</math>

<math>x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}</math>

<math>(x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}</math>

<math>x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}</math>

<math>x_1=5\lor x_2=-4</math>

<math>L=\{-4;5\}</math>

|2=Rechenweg zu d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 18*|Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22</math>

'''b)''' <math>(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x</math>

'''c)''' <math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3</math>

'''d)''' <math>(2y+6)(17,5-2,5y)-(10+5y)(2y-3)=(7y+20)(4-1,4y)</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4,95;-2,5\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{5;\frac{1}{3}\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;2\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-5;-2\frac{3}{26}\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungssysteme lösen===
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:

{{Lösung versteckt|1=
# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
# Berechne die Unbekannten

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
# Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
# Gleichung nach der Variablen auflösen
# Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}}

{{Box|Aufgabe 19|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft:

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst zum Lösen das Additionsverfahren benutzen, um die Variable y zu eliminieren.

|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

Addiere Gleichung I zu Gleichung II

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 8x + 0y = 16</math>

Berechne die Lösung für II

<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math>

<math>x = 2</math>

Setze x = 2 in I ein

<math>3x + 4y = 22</math>

<math>3 \cdot 2 + 4y = 22</math>

<math>6 + 4y = 22\quad|-6</math>

<math>4y = 16\quad|:4</math>

<math>y = 4</math>

Lösung:

<math>x = 2, y = 4</math>.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

===Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen===
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.{{Box|Aufgabe 20*|In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Eine Gleichung sollte 18, die andere 84 als Ergebnis haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>
|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
''Additionsverfahren:''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 0x + 2y = 12</math>

Löse die Gleichung II.

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

''Einsetzungsverfahren''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Löse I nach x auf.

<math>x + y =18 \quad| -y</math>

<math>x = 18 - y</math>

Setze die Gleichung für x in II ein

<math>4(18 - y) + 6y = 84</math>

<math>72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72</math>

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

'''Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 21**|Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der Erste und der Zweite besitzen
zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der Dritte; der Erste und der Dritte haben zusammen um
40 Denare mehr als der Zweite; und der Zweite und der Dritte haben zusammen um 30
Denare mehr als der Erste. Wie viel besitzt jeder der Drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn Person A 10€ mehr hat als Person B, gilt: A - B = 10€|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c =30</math>

|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c = 30</math>

Addiere I + II und I + III.

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad 2a + 0b + 0c = 60</math>

<math>III\quad 0a + 2b + 0c = 30</math>

Löse die Gleichungen II und III.

<math>II\quad 2a = 60 \quad| :2</math>

<math>II\quad a = 30</math>

<math>III\quad 2b = 50 \quad| :2</math>

<math>III\quad b = 25</math>

Setze a und b in I ein.

<math>a + b - c = 20</math>

<math>30 + 25 - c = 20 \quad| -30 \quad| - 25</math>

<math>-c = -35</math>

<math>c = 35</math>

'''Der Erste hat 30, der Zweite 25 und der Dritte 35 Denare'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-05-24T11:56:15Z

Valentin WWU-4: /* Klammern in Termen auflösen */

{{Box|Terme und Gleichungen|Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen.
Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

Damit du etwas anspruchsvollere Aufgaben direkt erkennst, sind Aufgaben, die dich fordern mit einem Stern (*) und knifflige Knobelaufgaben mit zwei Sternen (**) gekennzeichnet.

Viel Spaß!|Kurzinfo}}

===Wiederholung: Terme und Gleichungen===
Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
 

{{Lösung versteckt|1= Ein '''Term''' ist ein mathematischer Ausdruck, der
Zahlen,
Variablen,
Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und
Klammern enthalten kann.

Beispiele:

<math>1 + 2 </math>
<math>7x - 9y</math>. |2=Was ist ein Term?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Eine '''Gleichung '''<nowiki>ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.</nowiki>

<nowiki>Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)</nowiki>

Beispiele:

<math>4 = 1 + 3</math>

<math>5x = 10</math>.|2= Was ist eine Gleichung?|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.

Addieren:
<math>3x + x = 4x</math>

Subtrahieren:
<math>5y - 2y = 3y</math>

Multiplizieren:
<math>x \cdot 2x^2 = 2x^3</math>

Ausmultiplizieren:
<math>z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z</math>

Ausklammern:
<math>3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)</math>.

|2=Terme vereinfachen|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B.
<math>5 + x = 10</math>, ist vor allem derjenige x
-Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt '''wahr''', ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt '''Lösung der Gleichung'''.|2= Gleichungen lösen|3= schließen}}

"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pijz11q6t19}}

 

===Wiederholung: Bruchrechnung===
Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man auch regelmäßig auf Brüche. Falls Du dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir folgenden Erklärungen an:

 

{{Lösung versteckt|1= 1. Zwei Brüche '''mit gleichem Nenner''' werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.

<math>\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}</math>

2. Vorgehensweise für '''ungleiche Brüche''':

Ungleiche Brüche sind Brüche, bei denen beide Nenner unterschiedliche Werte haben.

Diese Brüche mit '''verschiedenen Nennern''' addiert man, indem man die Brüche auf einen Nenner bringt.
Hierzu müssen die Brüche gekürzt oder erweitert werden. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.

'''Kürzen'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> kürzen mit n:
<math>\frac{a:n}{b:n}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{4}{12}</math> kürzen mit 2:<math>\frac{4:2}{12:2}=\frac{2}{6}</math>

'''Erweitern'''

Allgemein:

<math>\frac{a}{b}</math> erweitern mit m: <math>\frac{a \cdot m}{b \cdot m}</math>

Ein Beispiel:

<math>\frac{2}{3}</math> erweitern mit 4: <math>\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}</math>|2= Brüche addieren|3= schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Brüche werden miteinander multipliziert, indem man '''Zähler mit Zähler''' und '''Nenner mit Nenner''' multipliziert.

<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>|2= Brüche multiplizieren|3= Merke}}

===Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen===
{{Box|Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x+18x</math>

'''b)''' <math>\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y</math>

'''c)''' <math> \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x </math>
|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.
''Beispiel:'' <math>4x+14x=(4+14) \cdot x=18x</math>. |2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

''Beispiel:'' <math> \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15} </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>23x</math>

'''b)''' <math>6y</math>

'''c)''' <math>-\frac{26}{15}x</math>}}

{{Box|Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten|Fasse die Terme zusammen.

'''a)''' <math> 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2</math>

'''b)''' <math> \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4} </math>

'''c)*''' <math> \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2} </math>

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

''Beispiel:'' <math>3x+5+8x-4=3x+8x+5-4</math>.

'''Beachte:''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Fasse jeweils die Werte mit gleicher Variable zusammen.

''Beispiel :'' <math>3x+8x+5-4=11x+1</math>.
|2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 3 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''a)''' <math>7x-3</math>

'''b)''' <math>22z-3</math>

'''c)''' <math>5y+6</math>}}

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen|Fasse die Terme zusammen

'''a)''' <math> 214x + 24y - 5x + 23y + 24</math>

'''b)''' <math> \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y</math>

'''c)*''' <math> \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

''Beispiel:'' <math>3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4</math>.

'''Beachte''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>209x+ 47y + 24</math>

'''b)''' <math>15x+3y+17</math>

'''c)''' <math>7x+5y+3</math>}}

{{Box| Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten|

'''a)''' <math> 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 </math>

'''b)''' <math> \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2</math>

'''c)*''' <math> \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. <math>x </math> und <math>x^2 </math>) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

''Beispiel:'' <math>3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x</math>.

|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Kürze zunächst und fasse dann zusammen.

|2=Tipp 2 für c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' <math>11x^2+28y-24</math>

'''b)''' <math>\frac{3}{4}x^2 -2x -2</math>, das <math>y</math> fällt hier weg, da <math>0 \cdot y = 0</math> sind.

'''c)''' <math>4x^3</math>}}

{{Box|Aufgabe 5 - Pferderennen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pth88w7w319}}

|Arbeitsmethode}}

===Klammern in Termen auflösen===
{{Box|1=Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

a) <math>5 (8-9y)</math>

b) <math>(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})</math>

c) <math>\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})</math>

{{Lösung versteckt|Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}-4} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}-4} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}-4} \cdot {\color{green}-7} = -20-((-4) \cdot (-7)) = -20-28 = -48</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommuntativgesetz der Multiplikation zurück.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=a) <math>40+45y</math>

b) <math>-\frac{5}{3}y+5x</math>

c) <math>\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren|{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=psabenu2519}}
{{Lösung versteckt|1=Variablen außerhalb der Klammer ändern nichts am Vorgehen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Löse erst die einfachen Aufgaben, die dir keine Schwierigkeiten bereiten. Später kannst du dann eventuell durch Ausschließen die richtige Zuordnung finden.|2=Tipp 2|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern|Löse die Klammern auf.

a) <math>3x \cdot (11+5y)</math>

b) <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>

c) <math>x (x-15y)</math>

{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=a) <math>33x+15xy</math>

b) <math>33x^2-30xy</math>

c) <math>x^2-15xy</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 9 - Terme mit quadratischen Klammern|2=
Löse die Klammern auf.

a) <math>(7+5b)^2</math>

b) <math>(5c+6d)^2</math>

c) <math>(-6f-t)^2</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.
[[Datei:1. Binomische Formel.jpg|1. Binomische Formel.jpg]]
und <math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>49+70b+25b^2</math>

b) <math>25c^2+60cd+36d^2</math>

c) <math>36f^2+12ft+t^2</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Terme durch Ausklammern in Produkte umformen===
{{Box|Aufgabe 10 - Ausklammern|Klammere möglichst viel aus.

'''a)''' <math>9x+9y+9z</math>

'''b)''' <math>81x+45y</math>

'''c)''' <math>5x-4xy+9xz</math>

'''d)''' <math>25a-35ab+50ax</math>

'''e)''' <math>8ax+24xy+64abxz</math>

'''f)''' <math>4abx+6axy+32abxyz</math>

{{Lösung versteckt|1=Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird vor die Klammer gesetzt. Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Die Summanden in der Klammer sind jeweils das, was beim Teilen durch den ggT (Weglassen) übrigbleibt.|2=Tipp 1, allgemeiner Tipp|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Dieselbe Zahl:
"Beispiel" Bei 3x+3y soll ausgeklammert werden. 3x und 3y haben die 3 gemeinsam. Also können wir sie ausklammern: <math>3x+3y=3(x+y)</math>. |2=Tipp 2, Tipp zu a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Nicht dieselbe Zahl, aber die Zahlen haben einen gemeinsamen Teiler:
"Beispiel" Bei 12x+18y soll ausgeklammert werden. 12 und 18 sind in der 6er-Reihe. Der ggT von 12 und 18 ist 6. Also klammern wir die 6 aus: <math>12x+18y=6(2x+3y)</math>|2=Tipp 3, Tipp zu b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Gemeinsamer ggT der Zahlen und mindestens eine gemeinsame Variable:
"Beispiel" Bei 21x+35xy soll ausgeklammert werden. Die 21 und die 35 sind beide in der 7er-Reihe. Außerdem kommt die Variable x bei beiden Summanden vor. Also klammern wir das 7x aus: <math>21x+35xy=7x(3+5y)</math>.|2=Tipp 4, Tipp zu c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>9(x+y+z)</math>. |2=Lösung von a)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>9(9x+5y)</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>x(5-4y+9z)</math>.|2=Lösung von c)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>5a(5-7b+10x)</math>.|2=Lösung von d)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>8x(a+3y+8abz)</math>.|2=Lösung von e)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>.|2=Lösung von f)|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= a) <math>9(x+y+z)</math>.

b) <math>9(9x+5y)</math>.

c) <math>x(5-4y+9z)</math>.

d) <math>5a(5-7b+10x)</math>.

e) <math>8x(a+3y+8abz)</math>.

f) <math>2ax(2b+3y+16byz)</math>|2=Lösungen von allen Teilaufgaben|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen===
{{Box| Aufgabe 11|Mein Vater, meine Mutter und ich sind zusammen 100 Jahre alt. Mein Vater ist 3 Mal so alt wie ich und meine Mutter ist 5 Jahre jünger als mein Vater. Wie alt bin ich, mein Vater und meine Mutter?
{{Lösung versteckt|1=Setze ein Alter als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=mein Alter

<math>x+3x+(3x-5)=100</math>

<math>5x=105</math>

<math>x=15</math>

mein Alter: 15

Alter meiner Mutter: 40

Alter meines Vater: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 12|Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.
Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?
{{Lösung versteckt|1=Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=Anzahl der Tore von Finn

<math>x+1/2 \cdot x+(x-5)=30</math>

<math>2,5x=35</math>

<math>x=14</math>

Finn: 14 Tore

Jürgen: 7 Tore

Herbert: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 13|Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?
{{Lösung versteckt|1=Setze eine Länge als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=x=kürzere Seite

<math>2x+2(x+38)=132</math>

<math>2x+2x+76=132</math>

<math>4x=56</math>

<math>x=14</math>

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52|2=Lösung|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungen lösen===

{{Box| Was sind überhaupt lineare Gleichungen?|
Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

<math> x^1=x </math>.

Ihre einfachste Form ist: <math> a \cdot x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch diesen [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen|Lernpfad zu linearen Funktionen]] nochmal an.
|Kurzinfo}}

{{Box| Aufgabe 14 - Lineare Gleichungen lösen|

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pitodik3519}}

{{Lösung versteckt|1= Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

<math> 3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x</math>

<math> \Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4 </math>

<math> \Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x </math>

<math> \Leftrightarrow 12 = 2x </math>

<math> \Leftrightarrow 6 = x </math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===Quadratische Gleichungen lösen===
{{Box|Aufgabe 15|Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>x^2-11x+24=0</math>

'''b)''' <math>y^2+7y-8=0</math>

'''c)''' <math>z^2-20z+96=0</math>

'''d)''' <math>x^2+48x+135=0</math>

'''e)''' <math>a^2+107a-108=0</math>

'''f)''' <math>x^2+6x+8=0</math>

'''g)''' <math>x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0</math>

'''h)''' <math>x^2-9x+20=0</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{3;8\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;1\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{8;12\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-45;-3\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-108;1\}</math>|2=Lösung von e)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;-2\}</math>|2=Lösung von f)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\}</math>|2=Lösung von g)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4;5\}</math>|2=Lösung von h)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 16|Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+8)\cdot(x-2)=0</math>

'''b)''' <math>(2x-6)\cdot(3x+5)=0</math>

'''c)''' <math>(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0</math>

{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-8;2\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1\frac{2}{3};3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;14\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 17|Löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x-3)^2=16</math>

'''b)''' <math>x^2+8x+16=49</math>

'''c)''' <math>x^2+8x=9</math>

'''d)''' <math>3x^2-3x-60=0</math>

{{Lösung versteckt|Teile die Gleichung erst durch 3.|2=Tipp zu d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;7\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-11;3\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-9;1\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-4;5\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>(x-3)^2=16</math>

<math>\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}</math>

<math>x-3=4\lor x-3=-4</math>

<math>x_1=7\lor x_2=-1</math>

<math>L=\{-1;7\}</math>

|2=Rechenweg zu a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x+16=49</math>

<math>(x+4)^2=49</math>

<math>x+4=7\lor x+4=-7</math>

<math>x_1=3\lor x_2=-11</math>

<math>L=\{-11;3\}</math>

|2=Rechenweg zu b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>x^2+8x=9</math>

<math>x^2+8x+16=9+16</math>

<math>(x+4)^2=25</math>

<math>x+4=5\lor x+4=-5</math>

<math>x_1=1\lor x_2=-9</math>

<math>L=\{-9;1\}</math>

|2=Rechenweg zu c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=

<math>3x^2-3x-60=0</math>

<math>x^2-x-20=0</math>

<math>x^2-x=20</math>

<math>x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}</math>

<math>(x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}</math>

<math>x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}</math>

<math>x_1=5\lor x_2=-4</math>

<math>L=\{-4;5\}</math>

|2=Rechenweg zu d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 18*|Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

'''a)''' <math>(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22</math>

'''b)''' <math>(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x</math>

'''c)''' <math>(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3</math>

'''d)''' <math>(2y+6)(17,5-2,5y)-(10+5y)(2y-3)=(7y+20)(4-1,4y)</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{4,95;-2,5\}</math>|2=Lösung von a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{5;\frac{1}{3}\}</math>|2=Lösung von b)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-1;2\}</math>|2=Lösung von c)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>L=\{-5;-2\frac{3}{26}\}</math>|2=Lösung von d)|3=schließen}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Lineare Gleichungssysteme lösen===
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:

{{Lösung versteckt|1=
# Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
# Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
# Berechne die Unbekannten

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren|2=Additionsverfahren|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
# Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
# Gleichung nach der Variablen auflösen
# Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren|2=Einsetzungsverfahren|3=schließen}}

{{Box|Aufgabe 19|Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft:

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst zum Lösen das Additionsverfahren benutzen, um die Variable y zu eliminieren.

|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 5x - 4y = -6</math>

Addiere Gleichung I zu Gleichung II

<math>I\quad 3x + 4y = 22</math>

<math>II\quad 8x + 0y = 16</math>

Berechne die Lösung für II

<math>8x + 0y = 16\quad|:8</math>

<math>x = 2</math>

Setze x = 2 in I ein

<math>3x + 4y = 22</math>

<math>3 \cdot 2 + 4y = 22</math>

<math>6 + 4y = 22\quad|-6</math>

<math>4y = 16\quad|:4</math>

<math>y = 4</math>

Lösung:

<math>x = 2, y = 4</math>.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

===Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen===
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.{{Box|Aufgabe 20*|In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Eine Gleichung sollte 18, die andere 84 als Ergebnis haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>
|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
''Additionsverfahren:''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 0x + 2y = 12</math>

Löse die Gleichung II.

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

''Einsetzungsverfahren''

<math>I\quad x + y = 18</math>

<math>II\quad 4x + 6y = 84</math>

Löse I nach x auf.

<math>x + y =18 \quad| -y</math>

<math>x = 18 - y</math>

Setze die Gleichung für x in II ein

<math>4(18 - y) + 6y = 84</math>

<math>72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72</math>

<math>2y = 12 \quad| :2</math>

<math>y = 6</math>

Setze y in I ein.

<math>x + y =18</math>

<math>x + 6 = 18 \quad| -2</math>

<math>x = 12</math>

'''Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box|Aufgabe 21**|Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der Erste und der Zweite besitzen
zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der Dritte; der Erste und der Dritte haben zusammen um
40 Denare mehr als der Zweite; und der Zweite und der Dritte haben zusammen um 30
Denare mehr als der Erste. Wie viel besitzt jeder der Drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)

{{Lösung versteckt|1=Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn Person A 10€ mehr hat als Person B, gilt: A - B = 10€|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Das zu lösende Gleichungssystem ist:

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c =30</math>

|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad a - b + c = 40</math>

<math>III\quad -a + b + c = 30</math>

Addiere I + II und I + III.

<math>I\quad a + b - c = 20</math>

<math>II\quad 2a + 0b + 0c = 60</math>

<math>III\quad 0a + 2b + 0c = 30</math>

Löse die Gleichungen II und III.

<math>II\quad 2a = 60 \quad| :2</math>

<math>II\quad a = 30</math>

<math>III\quad 2b = 50 \quad| :2</math>

<math>III\quad b = 25</math>

Setze a und b in I ein.

<math>a + b - c = 20</math>

<math>30 + 25 - c = 20 \quad| -30 \quad| - 25</math>

<math>-c = -35</math>

<math>c = 35</math>

'''Der Erste hat 30, der Zweite 25 und der Dritte 35 Denare'''.|2=Lösung |3=schließen}}|Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-04-28T18:28:47Z

Valentin WWU-4: /* Terme zur Beschreibung von Sachsituationen */

{{Box| Beschreibung| Hier könnte etwas zum Lernpfad stehen|Lernpfad}}
Einführung und Wiederholung. eventuell quiz?!

===kurze Wiederholung zu Brüchen===
{{Box| Hier soll eine kleine Erklärung zu Brüchen stehen|...|Merke}}

===Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen===
{{Box|1. Terme mit einer Variablen|Fasse die Terme zusammen.

a) <math> 5x+18x</math>

b) <math>\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y</math>

c) <math> \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x </math>
|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.
''Beispiel:'' <math>4x+14x=(4+14) \cdot x=18x</math>. |2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

''Beispiel:'' <math> \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15} </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
a) <math>23x</math>

b) <math>6y</math>

c) <math>-\frac{52}{15}x</math>}}

{{Box|2. Terme mit einer Variablen und Konstanten|Fasse die Terme zusammen.

a) <math> 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2</math>

b) <math> \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4} </math>

c)** <math> \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2} </math>

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

''Beispiel:'' <math>3x+5+8x-4=3x+8x+5-4</math>.

'''Beachte:''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Fasse jeweils die x-Werte und die Konstanten zusammen.

''Beispiel :'' <math>3x+8x+5-4=11x+1</math>.
|2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

a) <math>7x-3</math>

b) <math>22z-3</math>

c) <math>5y+6</math>}}

|Arbeitsmethode}}

{{Box|3. Terme mit zwei Variablen|Fasse die Terme zusammen

a) <math> 214x + 24y - 5x + 23y + 24</math>

b) <math> \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y</math>

c)** <math> \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

''Beispiel:'' <math>3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4</math>.

'''Beachte''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen

}}

{{Lösung versteckt|1= Zu c):

1) Nutze das Distributivgesetz und schreibe die beiden Brüche unter ''einen '' Bruchstrich!

''Beispiel:'' <math>\frac{3x}{3}+\frac{6y+2x}{3}=\frac{1}{3} \cdot (3x)+ \frac{1}{3} \cdot (6y+2x)=\frac{1}{3}(3x+6y+2x)= \frac{3x+6y+2x}{3} </math>

2) Beachte zunächst nur den Zähler und orientiere dich beim Zusammenfassen an Tipp 1.

''Beispiel''<math> \frac{3x+y+2x}{3}= \frac{3x+2x+6y}{3}=\frac{5x+6y}{3}</math>

3) Nutze wieder das Distributivgesetz, um jeden Teilterm durch den Nenner zu teilen.

''Beispiel:'' <math> \frac{5x+6y}{3} = \frac{1}{3} \cdot (5x+6y) = \frac{1}{3} \cdot (5x) + \frac{1}{3} \cdot (6y) </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
a) <math>209x+ 37y + 24</math>

b) <math>15x+3y+17</math>

c) <math>7x-5y+3</math>}}

{{Box| Terme mit Variablen und Exponenten|

a) <math> 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 </math>

b) <math> \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2</math>

c) <math> \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. <math>x </math> und <math>x^2 </math>) dürfen nicht zusammengefasst werden!

''Beispiel:'' <math>3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x</math>.

|2=Tipp 1|3=schließen
}}

{{Lösung versteckt|1=
a) <math>11x^2+28y-24</math>

b) <math>\frac{3}{4}x^2 -2x -2</math>

c) <math>4x^3</math>}}

{{Box| Pferderennen|
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pth88w7w319" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
|Arbeitsmethode}}

===Klammern in Termen auflösen===
{{Box|1=Terme mit konstanten Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

a) <math>5 (8-9y)</math>

b) <math>(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})</math>

c) <math>\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})</math>

{{Lösung versteckt|Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}4} \cdot ({\color{red}5}+{\color{green}7}) = {\color{blue}4} \cdot {\color{red}5} + {\color{blue}4} \cdot {\color{green}7} = 20+28 = 48</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommuntativgesetz der Multiplikation zurück.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=a) <math>40+45y</math>

b) <math>-\frac{5}{3}y+5x</math>

c) <math>\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}</math>}}
|3=Üben}}

{{Box| Terme mit variablen Faktoren|{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=psabenu2519}}
{{Lösung versteckt|1=Variablen außerhalb der Klammer ändern nichts am Vorgehen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Löse erst die einfachen Aufgaben, die dir keine Schwierigkeiten bereiten. Später kannst du dann eventuell durch Ausschließen die richtige Zuordnung finden.|2=Tipp 2|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box| Terme mit quadratischen Klammern|Löse die Klammern auf.

a) <math>3x \cdot (11+5y)</math>

b) <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>

c) <math>x (x-15y)</math>

{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=a) <math>33x+15xy</math>

b) <math>33x^2-30xy</math>

c) <math>x^2-15xy</math>}}
|3=Üben}}

{{Box|1=11. Terme mit quadratischen Klammern|2=
Löse die Klammern auf.

a) <math>(7+5b)^2</math>

b) <math>(5c+6d)^2</math>

c) <math>(-6f-t)^2</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.
[[Datei:1. Binomische Formel.jpg|1. Binomische Formel.jpg]]
und <math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>49+70b+25b^2</math>

b) <math>25c^2+60cd+36d^2</math>

c) <math>36f^2+12ft+t^2</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}
Bild mit Rechteck für Erklärung binomischer Formeln

===Terme durch Ausklammern in Produkte umformen===
{{Box| Hier vielleicht mal eine Learning App?!|...|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe|...|Arbeitsmethode}}

===Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen===
{{Box| Aufgabe 1|Mein Vater, meine Mutter und ich sind zusammen 100 Jahre alt. Mein Vater ist 3 Mal so alt wie ich und meine Mutter ist 5 Jahre jünger als mein Vater. Wie alt bin ich, mein Vater und meine Mutter?
{{Lösung versteckt|1=Setze ein Alter als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>x=mein Alter
x+3x+(3x-5)=100
5x=105
x=15</math>
mein Alter: 15
Alter meiner Mutter: 40
Alter meines Vater: 45|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 2|Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore.
Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?
{{Lösung versteckt|1=Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>x=Anzahl der Tore von Finn
x+1/2 \cdot x+(x-5)=30
2,5x=35
x=14</math>
Finn: 14 Tore, Jürgen: 7 Tore, Herbert: 9 Tore|2=Lösung|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 3|Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?
{{Lösung versteckt|1=Setze eine Länge als unbekannte Variable.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>x=kürzere Seite
2x+2(x+38)=132
2x+2x+76=132
4x=56
x=14</math>
kürzere Seite: 14
längere Seite: 52|2=Lösung|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===lineare Gleichungen lösen===

{{Box| Was sind überhaupt lineare Gleichungen?|
Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1: (<math> x^1=x </math>).

Ihre einfachste Form ist: <math> a \cdot x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.
|Kurzinfo}}

{{Box| Gleichungen lösen|
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=620067" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Lösung versteckt|1= Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.
|2=Tipp 1|3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}

===quadratische Gleichungen lösen===
{{Box| Aufgabe 1 einfach|...|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 2 mittel|...|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 3 schwierig|...|Arbeitsmethode}}
An Brüche denken

===lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen===
{{Box| Aufgabe 1 einfach|...|Arbeitsmethode}}

{{Box| Aufgabe 2 fortgeshritten|...|Arbeitsmethode}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-04-28T17:35:23Z

Valentin WWU-4: /* Klammern in Termen auflösen */

{{Box| Beschreibung| Hier könnte etwas zum Lernpfad stehen|Lernpfad}}
Einführung und Wiederholung. eventuell quiz?!

===kurze Wiederholung zu Brüchen===
{{Box| Hier soll eine kleine Erklärung zu Brüchen stehen|...|Merke}}

===Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen===
{{Box|1. Terme mit einer Variablen|Fasse die Terme zusammen.

a) <math> 5x+18x</math>

b) <math>\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y</math>

c) <math> \frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x </math>
|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.
''Beispiel:'' <math>4x+14x=(4+14) \cdot x=18x</math>. |2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

''Beispiel:'' <math> \frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15} </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
a) <math>23x</math>

b) <math>6y</math>

c) <math>-\frac{52}{15}x</math>}}

{{Box|2. Terme mit einer Variablen und Konstanten|Fasse die Terme zusammen.

a) <math> 5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2</math>

b) <math> \frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4} </math>

c)** <math> \frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2} </math>

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

''Beispiel:'' <math>3x+5+8x-4=3x+8x+5-4</math>.

'''Beachte:''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Fasse jeweils die x-Werte und die Konstanten zusammen.

''Beispiel :'' <math>3x+8x+5-4=11x+1</math>.
|2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=

a) <math>7x-3</math>

b) <math>22z-3</math>

c) <math>5y+6</math>}}

|Arbeitsmethode}}

{{Box|3. Terme mit zwei Variablen|Fasse die Terme zusammen

a) <math> 214x + 24y - 5x + 23y + 24</math>

b) <math> \frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y</math>

c)** <math> \frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

''Beispiel:'' <math>3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4</math>.

'''Beachte''' Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

''Beispiel:'' <math>x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x</math>
|2=Tipp 1|3=schließen

}}

{{Lösung versteckt|1= Zu c):

1) Nutze das Distributivgesetz und schreibe die beiden Brüche unter ''einen '' Bruchstrich!

''Beispiel:'' <math>\frac{3x}{3}+\frac{6y+2x}{3}=\frac{1}{3} \cdot (3x)+ \frac{1}{3} \cdot (6y+2x)=\frac{1}{3}(3x+6y+2x)= \frac{3x+6y+2x}{3} </math>

2) Beachte zunächst nur den Zähler und orientiere dich beim Zusammenfassen an Tipp 1.

''Beispiel''<math> \frac{3x+y+2x}{3}= \frac{3x+2x+6y}{3}=\frac{5x+6y}{3}</math>

3) Nutze wieder das Distributivgesetz, um jeden Teilterm durch den Nenner zu teilen.

''Beispiel:'' <math> \frac{5x+6y}{3} = \frac{1}{3} \cdot (5x+6y) = \frac{1}{3} \cdot (5x) + \frac{1}{3} \cdot (6y) </math>. |2=Tipp 2|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
a) <math>209x+ 37y + 24</math>

b) <math>15x+3y+17</math>

c) <math>7x-5y+3</math>}}

{{Box| Terme mit Variablen und Exponenten|

a) <math> 24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24 </math>

b) <math> \frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2</math>

c) <math> \frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1= Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. <math>x </math> und <math>x^2 </math>) dürfen nicht zusammengefasst werden!

''Beispiel:'' <math>3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x</math>.

|2=Tipp 1|3=schließen
}}

{{Lösung versteckt|1=
a) <math>11x^2+28y-24</math>

b) <math>\frac{3}{4}x^2 -2x -2</math>

c) <math>4x^3</math>}}

{{Box| Pferderennen|
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pth88w7w319" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
|Arbeitsmethode}}

===Klammern in Termen auflösen===
{{Box|1=Terme mit konstanten Faktoren|2=Löse die Klammern auf.

a) <math>5 (8-9y)</math>

b) <math>(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})</math>

c) <math>\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})</math>

{{Lösung versteckt|Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}4} \cdot ({\color{red}5}+{\color{green}7}) = {\color{blue}4} \cdot {\color{red}5} + {\color{blue}4} \cdot {\color{green}7} = 20+28 = 48</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommuntativgesetz der Multiplikation zurück.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=a) <math>40+45y</math>

b) <math>-\frac{5}{3}y+5x</math>

c) <math>\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}</math>}}
|3=Üben}}

{{Box| Terme mit variablen Faktoren|{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=psabenu2519}}
{{Lösung versteckt|1=Variablen außerhalb der Klammer ändern nichts am Vorgehen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Löse erst die einfachen Aufgaben, die dir keine Schwierigkeiten bereiten. Später kannst du dann eventuell durch Ausschließen die richtige Zuordnung finden.|2=Tipp 2|3=schließen}}|Arbeitsmethode}}

{{Box| Terme mit quadratischen Klammern|Löse die Klammern auf.

a) <math>3x \cdot (11+5y)</math>

b) <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>

c) <math>x (x-15y)</math>

{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=a) <math>33x+15xy</math>

b) <math>33x^2-30xy</math>

c) <math>x^2-15xy</math>}}
|3=Üben}}

{{Box|1=11. Terme mit quadratischen Klammern|2=
Löse die Klammern auf.

a) <math>(7+5b)^2</math>

b) <math>(5c+6d)^2</math>

c) <math>(-6f-t)^2</math>

{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.
[[Datei:1. Binomische Formel.jpg|1. Binomische Formel.jpg]]
und <math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>49+70b+25b^2</math>

b) <math>25c^2+60cd+36d^2</math>

c) <math>36f^2+12ft+t^2</math>}}
|3=Arbeitsmethode}}
Bild mit Rechteck für Erklärung binomischer Formeln

===Terme durch Ausklammern in Produkte umformen===
{{Box| Hier vielleicht mal eine Learning App?!|...|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe|...|Arbeitsmethode}}

===Terme zur Beschreibung von Sachsituationen===
{{Box| Aufgabe 1 einfach|...|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 1 mittel|...|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 1 schwierig|...|Arbeitsmethode}}

===lineare Gleichungen lösen===

{{Box| Hier soll eine kleine Erklärung stehen|...|Kurzinfo}}
{{Box| Aufgabe|...|Arbeitsmethode}}

<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=620067" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box| Aufgabe mit Brüchen|...|Arbeitsmethode}}

===quadratische Gleichungen lösen===
{{Box| Aufgabe 1 einfach|...|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 2 mittel|...|Arbeitsmethode}}
{{Box| Aufgabe 3 schwierig|...|Arbeitsmethode}}
An Brüche denken

===lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen===
{{Box| Aufgabe 1 einfach|...|Arbeitsmethode}}

{{Box| Aufgabe 2 fortgeshritten|...|Arbeitsmethode}}

Datei:1. Binomische Formel.jpg

2019-04-28T17:14:11Z

Valentin WWU-4: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = 1. Binomische Formel
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Valentin WWU-4|Valentin WWU-4]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-04-28T16:41:01Z

Valentin WWU-4: /* Klammern in Termen auflösen */

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-04-28T16:36:40Z

Valentin WWU-4: /* Klammern in Termen auflösen */

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-04-28T11:24:02Z

Valentin WWU-4: /* Klammern in Termen auflösen */

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-04-28T11:20:26Z

Valentin WWU-4: /* Klammern in Termen auflösen */

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-04-28T08:52:56Z

Valentin WWU-4: /* Klammern in Termen auflösen */

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-04-28T08:28:53Z

Valentin WWU-4: /* Klammern in Termen auflösen */

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

2019-04-28T08:18:12Z

Valentin WWU-4: /* Klammern in Termen auflösen */

Datei:Pythagoras.png

2019-04-06T15:16:55Z

Valentin WWU-4: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Satz des Pythagoras
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Valentin WWU-4|Valentin WWU-4]]
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== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}