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Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-05T07:47:47Z

TaBeGMB: /* Blick in die Zukunft */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>,

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>

Die Lösungsgleichung ergibt sich aus der ursprünglichen Gleichung.

wobei <math>N_0</math> der Bestand zum Zeitpunkt <math>0</math> ist und <math>N_t</math> der Bestand <math>N</math> zum Zeitpunkt <math>t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 090749.png|mini|Exponentielles Wachstum|zentriert]]

=== Logistisches Wachstum ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst<ref>Pierre-François Verhulst – Wikipedia</ref> hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

zum Lösen von Problemen wird meist die '''Regressionsgleichung''' verwendet:<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.43 ff. (2.1.4 Logistische Modelle)</ref>

<math>N(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum|Beispielaufgabe logistisches Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Wachstum|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. So sind einige positive Beispiele Ausweichempfehlungen bei Stau, neue Fertigungsmethoden in der Produktion oder aber die Nutzung von Smarthome-Systemen. Jedoch gibt es auch negative Aspekte für KI-Nutzung in der Zukunft, beispielsweise ist eine Abhängigkeit und somit Abgrenzung von realen Menschen, durch eine realistischer Umsetzung verschiedener Programme, möglich. die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-05T07:21:40Z

TaBeGMB: /* Blick in die Zukunft */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>,

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>

Die Lösungsgleichung ergibt sich aus der ursprünglichen Gleichung.

wobei <math>N_0</math> der Bestand zum Zeitpunkt <math>0</math> ist und <math>N_t</math> der Bestand <math>N</math> zum Zeitpunkt <math>t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
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=== Logistisches Wachstum ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst<ref>Pierre-François Verhulst – Wikipedia</ref> hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

zum Lösen von Problemen wird meist die '''Regressionsgleichung''' verwendet:<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.43 ff. (2.1.4 Logistische Modelle)</ref>

<math>K(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum|Beispielaufgabe logistisches Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Wachstum|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. So sind einige positive Beispiele Ausweichempfehlungen bei Stau, neue Fertigungsmethoden in der Produktion oder aber die Nutzung von Smarthome-Systemen. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum

2024-07-05T06:44:10Z

TaBeGMB:

In einem Internat leben 500 Menschen, einer davon infiziert sich Covid-19, nach einer Wochen sind bereits 100 Menschen angesteckt.<ref>Idee: LogistischesWachstumAufgaben.pdf (groolfs.de), Aufgabe 2</ref>

a) Bestimmen Sie den Funktionsterm.

b) Nach welcher Zeit sind 80% der Bewohner erkrankt?

c) Wie viele Bewohner erkranken in den ersten Tagen pro Stunde?

Lösung:

a) <math>K(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

<math>100={500 \over 1+ ((500-1)\cdot e^{-500\cdot 7 \cdot x}) } \mid1((500-1)\cdot e^{-500\cdot7k}</math>

<math>100+49.900\cdot e^{-3500k}=500\mid -100</math>

<math>49.900\cdot e^{-3500k}=400 \mid\div49.900</math>

<math>e^{-3.500k}={4 \over 499} \mid log</math>

<math>\log_{e} ({4 \over 499}) = -3.500k</math>

<math>-3.500k\approx-4,8 \mid\div(-3.500)</math>

<math>k\approx0,0014</math>

<math>K(x)={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}}</math>

b) <math>500\cdot 0,8=400</math>

<math>400={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}} \mid\cdot1((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0018x}</math>

<math>400+199.600\cdot e^500\cdot0,0014x=500 \mid-400</math>

<math>199.600\cdot e^{-500\cdot 0,0014x}=100 \mid\div199.600</math>

<math>e^{-500\cdot0,0014x}= {1\over 1.996} \mid log</math>

<math>\log_{e} ({1\over 1.996})= -0,7x</math>

<math>-7,6= -0,7x\mid\div(-0,7)</math>

<math>x=10,9</math>

Nach 10,9 Tagen sind 80% infiziert.

c)

<math>k(4)\approx16,5</math>

<math>{k(4)\over4}\approx4,1</math>

Pro Tag erkranken 4,1 Menschen
[[Datei:Bild zu den Aufgaben.jpg|zentriert|mini|Bild zu den Aufgaben]]

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-05T06:09:48Z

TaBeGMB: /* Literaturverzeichnis */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 090749.png|mini|Exponentielles Wachstum|zentriert]]

=== Logistische Modelle ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistische Modelle|Beispielaufgabe logistische Modelle]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Modell|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.118 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum

2024-07-04T10:06:21Z

TaBeGMB:

[[Datei:Video Bierschaum exponentielles Wachstum .mov|mini|zentriert]]
In dem Experiment wird eine Flasche Bier in ein Becherglas gekippt. Dabei findet die Schaumbildung statt. Dieser zerfällt innerhalb der nächsten fünf Minuten, wobei ein negatives exponentielles Wachstum zu beobachten ist, d.h. anfangs zerfällt der Schaum schneller und gegen Ende dauert es für die gleiche Menge an Schaum deutlich länger.

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum

2024-07-04T10:05:13Z

TaBeGMB:

In dem Experiment wird eine bestimmte Menge Wasser durch einen Tichter in ein Becherglas gefüllt. Dabei ist zu beobachten, dass das Wasser immer gleichmäßig in das Glas fließt, dies nennt man lineares Wachstum.[[Datei:Video lineares Wachstum.mov|mini|zentriert]]

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Experiment Lineares Wachstum

2024-07-04T09:57:10Z

TaBeGMB:

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-04T07:16:07Z

TaBeGMB: /* Logistische Modelle */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 090749.png|mini|Exponentielles Wachstum|zentriert]]

=== Logistische Modelle ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Logistische Modelle|Beispielaufgabe logistische Modelle]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Modell|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-04T07:09:48Z

TaBeGMB: /* Exponentielles Wachstum */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 090749.png|mini|Exponentielles Wachstum|zentriert]]

=== Logistische Modelle ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Logistische Modelle|Beispielaufgabe logistische Modelle]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

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2024-07-04T07:01:23Z

TaBeGMB: /* Exponentielles Wachstum */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

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=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

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=== Logistische Modelle ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Logistische Modelle|Beispielaufgabe logistische Modelle]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-04T07:01:01Z

TaBeGMB: /* Logistische Modelle */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

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=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]
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=== Logistische Modelle ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Logistische Modelle|Beispielaufgabe logistische Modelle]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-04T06:57:48Z

TaBeGMB: /* Exponentielles Wachstum */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

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=== Logistische Modelle ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Logistische Modelle|Beispielaufgabe logistische Modelle]]

[[Datei:Exam pass logistic curve.svg|mini|zentriert]]

=== Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen ===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

=== Blick in die Zukunft ===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

=== Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-04T06:57:13Z

TaBeGMB: /* Logistische Modelle */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 084150.png|mini|Exponentielles Wachstum]]

=== Logistische Modelle ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Logistische Modelle|Beispielaufgabe logistische Modelle]]

[[Datei:Exam pass logistic curve.svg|mini|zentriert]]

=== Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen ===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

=== Blick in die Zukunft ===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

=== Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-04T06:40:33Z

TaBeGMB: /* Exponentielles Wachstum */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand.

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Exponential growth no name.svg|mini|zentriert]]

=== Logistische Modelle ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert und es wird als Basismodell für Bevölkerungs-, Tierpopulations- und Pflanzenwachstum, Absatz für ein neues Produkt, Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat es als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Anfangs verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, nach der Zeit flacht er dann ab, sodass der typisch s-förmige Verlauf entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Logistische Modelle|Beispielaufgabe logistische Modelle]]

[[Datei:Exam pass logistic curve.svg|mini|zentriert]]

=== Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen ===
Heute werden viele allrägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mit Hilfe on KI vo Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungenauf die Gesellschafthaben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte, jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

=== Blick in die Zukunft ===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

=== Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-04T06:34:54Z

TaBeGMB: /* Lineares Wachstum */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Exponential growth no name.svg|mini|zentriert]]

=== Logistische Modelle ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert und es wird als Basismodell für Bevölkerungs-, Tierpopulations- und Pflanzenwachstum, Absatz für ein neues Produkt, Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat es als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Anfangs verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, nach der Zeit flacht er dann ab, sodass der typisch s-förmige Verlauf entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Logistische Modelle|Beispielaufgabe logistische Modelle]]

[[Datei:Exam pass logistic curve.svg|mini|zentriert]]

=== Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen ===
Heute werden viele allrägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mit Hilfe on KI vo Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungenauf die Gesellschafthaben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte, jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

=== Blick in die Zukunft ===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

=== Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-04T06:28:27Z

TaBeGMB: /* Lineares Wachstum */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) können ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es auch hier meistens eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Exponential growth no name.svg|mini|zentriert]]

=== Logistische Modelle ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert und es wird als Basismodell für Bevölkerungs-, Tierpopulations- und Pflanzenwachstum, Absatz für ein neues Produkt, Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat es als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Anfangs verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, nach der Zeit flacht er dann ab, sodass der typisch s-förmige Verlauf entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Logistische Modelle|Beispielaufgabe logistische Modelle]]

[[Datei:Exam pass logistic curve.svg|mini|zentriert]]

=== Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen ===
Heute werden viele allrägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mit Hilfe on KI vo Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungenauf die Gesellschafthaben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte, jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

=== Blick in die Zukunft ===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

=== Literaturverzeichnis===
<references />

Datei:Lineares Wachstum.jpg

2024-07-04T06:18:52Z

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{{Information
|description = Lineares Wachstum
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:TaBeGMB|TaBeGMB]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-03T08:54:59Z

TaBeGMB: /* Logistische Modelle */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mit Hilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>, diese Zunahme wird mit Hilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion(Zu-/Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum istunbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität, nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch lineares Wachstum beschrieben werden, technische Vorgänge(beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) können ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es auch hier meistens eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögender Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]
[[Datei:Fremdvergiftet linear.png|mini|der rote Graph stellt ein lineares Wachstum dar|zentriert]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Exponential growth no name.svg|mini|zentriert]]

=== Logistische Modelle ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert und es wird als Basismodell für Bevölkerungs-, Tierpopulations- und Pflanzenwachstum, Absatz für ein neues Produkt, Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat es als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Anfangs verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, nach der Zeit flacht er dann ab, sodass der typisch s-förmige Verlauf entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Logistische Modelle|Beispielaufgabe logistische Modelle]]

[[Datei:Exam pass logistic curve.svg|mini|zentriert]]

=== Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen ===
Heute werden viele allrägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mit Hilfe on KI vo Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungenauf die Gesellschafthaben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte, jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

=== Blick in die Zukunft ===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

=== Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-03T08:54:04Z

TaBeGMB: /* Lineares Wachstum */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mit Hilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>, diese Zunahme wird mit Hilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion(Zu-/Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum istunbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität, nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch lineares Wachstum beschrieben werden, technische Vorgänge(beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) können ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es auch hier meistens eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögender Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]
[[Datei:Fremdvergiftet linear.png|mini|der rote Graph stellt ein lineares Wachstum dar|zentriert]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Exponential growth no name.svg|mini|zentriert]]

=== Logistische Modelle ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert und es wird als Basismodell für Bevölkerungs-, Tierpopulations- und Pflanzenwachstum, Absatz für ein neues Produkt, Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat es als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Anfangs verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, nach der Zeit flacht er dann ab, sodass der typisch s-förmige Verlauf entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Logistische Modelle]]

[[Datei:Exam pass logistic curve.svg|mini|zentriert]]

=== Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen ===
Heute werden viele allrägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mit Hilfe on KI vo Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungenauf die Gesellschafthaben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte, jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

=== Blick in die Zukunft ===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

=== Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-03T08:27:37Z

TaBeGMB:

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mit Hilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>, diese Zunahme wird mit Hilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion(Zu-/Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum istunbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität, nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch lineares Wachstum beschrieben werden, technische Vorgänge(beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) können ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es auch hier meistens eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögender Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Lineares Wachstum]]
[[Datei:Fremdvergiftet linear.png|mini|der rote Graph stellt ein lineares Wachstum dar|zentriert]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

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[[Datei:Exponential growth no name.svg|mini|zentriert]]

=== Logistische Modelle ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert und es wird als Basismodell für Bevölkerungs-, Tierpopulations- und Pflanzenwachstum, Absatz für ein neues Produkt, Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat es als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Anfangs verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, nach der Zeit flacht er dann ab, sodass der typisch s-förmige Verlauf entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Logistische Modelle]]

[[Datei:Exam pass logistic curve.svg|mini|zentriert]]

=== Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen ===
Heute werden viele allrägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mit Hilfe on KI vo Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungenauf die Gesellschafthaben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte, jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

=== Blick in die Zukunft ===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

=== Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-03T07:55:07Z

TaBeGMB: /* Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen */

{{Vorlage:Projektstartseite
|Titel des Projekts = Wissenschaftswoche 2024
|Farbe=#6ca111
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|Beschreibung des Projekts= '''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mit Hilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
|Weitere Hinweise =
|Bild=}}

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>, diese Zunahme wird mit Hilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion(Zu-/Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum istunbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität, nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch lineares Wachstum beschrieben werden, technische Vorgänge(beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) können ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es auch hier meistens eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögender Badewanne).

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Lineares Wachstum]]
[[Datei:Fremdvergiftet linear.png|mini|der rote Graph stellt ein lineares Wachstum dar|zentriert]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Exponential growth no name.svg|mini|zentriert]]

=== Logistische Modelle ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert und es wird als Basismodell für Bevölkerungs-, Tierpopulations- und Pflanzenwachstum, Absatz für ein neues Produkt, Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat es als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Anfangs verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, nach der Zeit flacht er dann ab, sodass der typisch s-förmige Verlauf entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Logistische Modelle]]

[[Datei:Exam pass logistic curve.svg|mini|zentriert]]

=== Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen ===
Heute werden viele allrägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mit Hilfe on KI vo Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungenauf die Gesellschafthaben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte, jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

=== Blick in die Zukunft ===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

=== Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-03T07:54:33Z

TaBeGMB: /* Blick in die Zukunft */

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|Titel des Projekts = Wissenschaftswoche 2024
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|Beschreibung des Projekts= '''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mit Hilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
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Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>, diese Zunahme wird mit Hilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion(Zu-/Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum istunbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität, nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch lineares Wachstum beschrieben werden, technische Vorgänge(beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) können ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es auch hier meistens eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögender Badewanne).

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Lineares Wachstum]]
[[Datei:Fremdvergiftet linear.png|mini|der rote Graph stellt ein lineares Wachstum dar|zentriert]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Exponential growth no name.svg|mini|zentriert]]

=== Logistische Modelle ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert und es wird als Basismodell für Bevölkerungs-, Tierpopulations- und Pflanzenwachstum, Absatz für ein neues Produkt, Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat es als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Anfangs verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, nach der Zeit flacht er dann ab, sodass der typisch s-förmige Verlauf entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Logistische Modelle]]

[[Datei:Exam pass logistic curve.svg|mini|zentriert]]

=== Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen ===
Heute werden viele allrägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mit Hilfe on KI vo Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungenauf die Gesellschafthaben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte, jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen]]

=== Blick in die Zukunft ===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

=== Literaturverzeichnis===
<references />
5. Aufgaben zum exponentiellen Wachstum – Grundlagen & Übungen (serlo.org)

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Exponentielles Wachstum

2024-07-03T07:04:08Z

TaBeGMB: Die Seite wurde neu angelegt: „Exponentielles Wachstum: Bei einer Bakterienkultur sterben jede Stunde 10% der noch vorhanden Anzahl an Bakterien. Berechnen Sie, wie viele Bakterien nach 10 Minuten noch vorhanden sind. Vorgehen und Lösungsansatz: Wenn jeden Minute 10% zerfallen, dann sind nach jeder Minute noch 90% zur vorherigen vorhanden. Die ursprüngliche Anzahl der Bakterien bezeichnen wir mit“

Exponentielles Wachstum:

Bei einer Bakterienkultur sterben jede Stunde 10% der noch vorhanden Anzahl an Bakterien. Berechnen Sie, wie viele Bakterien nach 10 Minuten noch vorhanden sind.

Vorgehen und Lösungsansatz:

Wenn jeden Minute 10% zerfallen, dann sind nach jeder Minute noch 90% zur vorherigen vorhanden. Die ursprüngliche Anzahl der Bakterien bezeichnen wir mit

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-02T10:13:21Z

TaBeGMB:

{{Vorlage:Projektstartseite
|Titel des Projekts = Wissenschaftswoche 2024
|Farbe=#6ca111
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|Beschreibung des Projekts= Forschungsfrage: Wie kann man mit Hilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?
|Weitere Hinweise =
|Bild=}}

=== Lineares Wachstum ===
Wenn eine Größe b absolut und konstant in einem zugehörigen Zeitabschnitt zu- oder abnimmt, spricht man von linearem Wachstum. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> wird die Rekursion(Zu-/Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t</math> verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum istunbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität, nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch lineares Wachstum beschrieben werden, technische Vorgänge(beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) können ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es auch hier meistens eine Begrenzung(z.B. bedingt durch das Fassungsvermögender Badewanne).
[[Datei:Fremdvergiftet linear.png|mini|der rote Graph stellt ein lineares Wachstum dar|zentriert]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>
[[Datei:Exponential growth no name.svg|mini|zentriert]]

=== Logistische Modelle ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert und es wird als Basismodell für Bevölkerungs-, Tierpopulations- und Pflanzenwachstum, Absatz für ein neues Produkt, Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat es als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Anfangs verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, nach der Zeit flacht er dann ab, sodass der typisch s-förmige Verlauf entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante

[[Datei:Exam pass logistic curve.svg|mini|zentriert]]

=== Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen ===
Heute werden viele Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) bestimmt. Es gibt aber auch weniger bekannte Anwendungszwecke:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte, jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen.

=== Blick in die Zukunft ===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten möchte man aber nicht nur heute schon kurzfristige Vorhersagen treffen, sondern dies auch schon für eine entfernterer Zukunft versuchen. Dies wird beispielsweise in Bereichen der Medizin und Forschung angewendet. Jedoch erfolgen hierbei meist noch Unklarheiten bzw. Unstimmigkeiten, da die aktuellen KI-Programme zum aktuellen Zeitpunkt noch nicht so weit ausgereift sind.

=== Literaturverzeichnis===

# Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)
# Ableitinger, C., " Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1.Auflage 2010, S.29 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)
# Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)
# Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-02T10:10:29Z

TaBeGMB: /* Blick in die Zukunft */

{{Vorlage:Projektstartseite
|Titel des Projekts = Wissenschaftswoche 2024
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|Beschreibung des Projekts= Forschungsfrage: Wie kann man mit Hilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?
|Weitere Hinweise =
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=== Lineares Wachstum ===
Wenn eine Größe b absolut und konstant in einem zugehörigen Zeitabschnitt zu- oder abnimmt, spricht man von linearem Wachstum. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> wird die Rekursion(Zu-/Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t</math> verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum istunbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität, nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch lineares Wachstum beschrieben werden, technische Vorgänge(beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) können ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es auch hier meistens eine Begrenzung(z.B. bedingt durch das Fassungsvermögender Badewanne).
[[Datei:Fremdvergiftet linear.png|mini|der rote Graph stellt ein lineares Wachstum dar|zentriert]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>
[[Datei:Exponential growth no name.svg|mini|zentriert]]

=== Logistische Modelle ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert und es wird als Basismodell für Bevölkerungs-, Tierpopulations- und Pflanzenwachstum, Absatz für ein neues Produkt, Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat es als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Anfangs verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, nach der Zeit flacht er dann ab, sodass der typisch s-förmige Verlauf entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante

[[Datei:Exam pass logistic curve.svg|mini|zentriert]]

=== Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen ===
Heute werden viele Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) bestimmt. Es gibt aber auch weniger bekannte Anwendungszwecke:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte, jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen.

=== Blick in die Zukunft ===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten möchte man aber nicht nur heute schon kurzfristige Vorhersagen treffen, sondern dies auch schon für eine entfernterer Zukunft versuchen. Jedoch erfolgen hierbei meist noch Unklarheiten bzw. Unstimmigkeiten, da die aktuellen KI-Programme zum aktuellen Zeitpunkt noch nicht so weit ausgereift sind.

=== Literaturverzeichnis===

# Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)
# Ableitinger, C., " Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1.Auflage 2010, S.29 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)
# Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)
# Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-02T09:57:40Z

TaBeGMB:

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|Beschreibung des Projekts= Forschungsfrage: Wie kann man mit Hilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?
|Weitere Hinweise =
|Bild=}}

=== Lineares Wachstum ===
Wenn eine Größe b absolut und konstant in einem zugehörigen Zeitabschnitt zu- oder abnimmt, spricht man von linearem Wachstum. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> wird die Rekursion(Zu-/Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t</math> verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum istunbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität, nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch lineares Wachstum beschrieben werden, technische Vorgänge(beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) können ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es auch hier meistens eine Begrenzung(z.B. bedingt durch das Fassungsvermögender Badewanne).
[[Datei:Fremdvergiftet linear.png|mini|der rote Graph stellt ein lineares Wachstum dar|zentriert]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>
[[Datei:Exponential growth no name.svg|mini|zentriert]]

=== Logistische Modelle ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert und es wird als Basismodell für Bevölkerungs-, Tierpopulations- und Pflanzenwachstum, Absatz für ein neues Produkt, Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat es als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Anfangs verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, nach der Zeit flacht er dann ab, sodass der typisch s-förmige Verlauf entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante

[[Datei:Exam pass logistic curve.svg|mini|zentriert]]

=== Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen ===
Heute werden viele Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) bestimmt. Es gibt aber auch weniger bekannte Anwendungszwecke:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte, jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen.

=== Blick in die Zukunft ===

=== Literaturverzeichnis===

# Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)
# Ableitinger, C., " Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1.Auflage 2010, S.29 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)
# Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)
# Drösser, C., "Total berechenbar?Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, Kapitel 6

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-02T09:55:57Z

TaBeGMB: /* Blick in die Zukunft */

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|Farbe=#6ca111
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|Beschreibung des Projekts= Forschungsfrage: Wie kann man mit Hilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?
|Weitere Hinweise =
|Bild=}}

=== Lineares Wachstum ===
Wenn eine Größe b absolut und konstant in einem zugehörigen Zeitabschnitt zu- oder abnimmt, spricht man von linearem Wachstum. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> wird die Rekursion(Zu-/Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t</math> verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum istunbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität, nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch lineares Wachstum beschrieben werden, technische Vorgänge(beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) können ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es auch hier meistens eine Begrenzung(z.B. bedingt durch das Fassungsvermögender Badewanne).

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>
[[Datei:Exponential growth no name.svg|mini|zentriert]]

=== Logistische Modelle ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert und es wird als Basismodell für Bevölkerungs-, Tierpopulations- und Pflanzenwachstum, Absatz für ein neues Produkt, Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat es als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Anfangs verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, nach der Zeit flacht er dann ab, sodass der typisch s-förmige Verlauf entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante

[[Datei:Exam pass logistic curve.svg|mini|zentriert]]

=== Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen ===
Heute werden viele Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) bestimmt. Es gibt aber auch weniger bekannte Anwendungszwecke:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte, jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen.

=== Blick in die Zukunft ===

=== Literaturverzeichnis===

# Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)
# Ableitinger, C., " Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1.Auflage 2010, S.29 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)
# Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)
# Drösser, C., "Total berechenbar?Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, Kapitel 6

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-02T09:38:27Z

TaBeGMB:

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-02T08:56:51Z

TaBeGMB: /* Einsatz von Algorithmen und Funktionen um Vorhersagen zu treffen */

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2024-07-02T08:56:26Z

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2024-07-02T08:09:45Z

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2024-07-02T07:58:42Z

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Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-02T06:34:21Z

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Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-02T06:29:13Z

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2024-07-02T06:28:06Z

TaBeGMB: /* Exponentielles Wachstum */