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Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen

2019-11-11T17:19:45Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen */

{{Box
|Info
|In diesem Lernpfad kannst du dein Wissen über lineare Funktionen anwenden und erweitern und dein Verständnis vertiefen. Das Kapitel behandelt die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, ihren Funktionsgleichungen, ihren Funktionsgraphen und darauf liegenden Punkten.

In Aufgaben, die ''gelb'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind'' Forderaufgaben''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind besonders anspruchsvolle ''Knobelaufgaben''.

Das Kapitel beginnt mit einem kurzen Lückentext zur Wiederholung und endet mit drei Anwendungsaufgaben.
| Kurzinfo
}}

===Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung===

{{Box|1= Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|2= Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

{{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=pzotbf9h519}}

<ggb_applet id="hafd2mmt" width="700" height="500" border="888888" />|3= Arbeitsmethode}}

===Lineare Funktionen erkennen===
{{Box|1=Aufgabe 2: Welche Art von Funktion ist es?|2=Sieh dir den jeweiligen Graphen oder die jeweilige Funktionsvorschrift (bzw. Gleichung) an. Stellt der Graph oder die Funktionsvorschrift eine lineare, eine andere Funktion oder gar keine Funktion dar?
{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=px8y1m7tj19}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Funktionen muss welcher Variablen auf welcher Achse genau 1 Wert auf der anderen Achse zugeordnet werden? Schau dir den Lückentext in Aufgabe 1 noch einmal an. Wie sieht der Graph einer jeden linearen Funktion aus? Wie ist die allgemeine Form von lineren Funktionen? |2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1='''Keine Funktion:'''
Der Kreis und die zur <math>y</math>-Achse parallelen Gerade sind keine Funktionen. Funktionen ordnen jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Bei Kreisen werden jedem x-Wert genau 2 y-Werte zugeordnet. Bei Geraden parallel zur y-Achse werden einem x-Wert sogar alle y-Werte zugeordnet. Also sind Kreise und Geraden parallel zur y-Achse keine Funktionen.

'''Lineare Funktionen:'''
Alle Geraden, die nicht parallel zur <math>y</math>-Achse verlaufen (also nicht senkrecht sind) und alle Funktionen, bei denen die Variabel den Exponent <math>0</math> oder <math>1</math> hat, sind lineare Funktionen. Die allgemeine Zuordnungsvorschrift für lineare Funktionen lautet: <math>=f(x)=mx+n</math>.

'''Andere Funktionen:''' Alle Funktionen, die keine linearen Funktionen sind, sind andere Funktionen.
|2 = Lösung|3= Lösung}}
|3=Merke}}

===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen===

{{Box|1 = Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen|2 =
In den folgenden Teilaufgaben hast du jeweils die Steigung der Geraden und einen Punkt gegeben, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Allgemeiner Tipp|3=Tipp}}

'''a)''' Die Steigung ist <math>m = -4</math> und der Punkt <math>P(-7|-1)</math>.

{{Lösung versteckt|1 = # Setze zunächst für die Steigung <math>m = -4</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = -4x + n</math> entsteht.
# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-7|-1)</math>, sodass du mit <math>x = -7</math> und <math>f(x) = -1</math> die Gleichung <math>-1 = -4\cdot(-7) + n</math> erhältst.
# Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -29</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = -4x - 29</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Die Steigung ist <math>m = 3,5</math> und der Punkt <math>P(2|5)</math>.

{{Lösung versteckt|1 = # Setze zunächst für die Steigung <math>m = 3,5</math> ein, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = 3,5\cdot x + n</math> entsteht.
# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(2|5)</math>, sodass du mit <math>x = 2</math> und <math>f(x) = 5</math> die Gleichung <math>5 = 3,5\cdot2 + n</math> erhältst.
# Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -2</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = 3,5\cdot x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Die Steigung ist <math>m = \frac{5}{8}</math> und der Punkt <math>P(-\frac{2}{7}|\frac{3}{4})</math>.

{{Lösung versteckt|1 = # Setze zunächst für die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = \frac{5}{8}x + n</math> entsteht.
# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-\frac{2}{7}|\frac{3}{4})</math>, sodass du mit <math>x = -\frac{2}{7}</math> und <math>f(x) = \frac{3}{4})</math> die Gleichung <math>\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + n</math> erhältst.
# Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Merke "Das Steigungsdreieck"|
2=Die Steigung einer linearen Funktion bestimmt man in der Regel mithilfe des Steigungsdreiecks. Dazu führt man folgende Schritte durch:
# Zunächst benötigt man zwei beliebige Punkte <math>P(x_P|f_P (x))</math> und <math>Q(x_Q|f_Q (x))</math>.
# Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>H\ddot{o}henunterschied = f_Q (x) - f_P (x)</math>
# Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P</math>
# Für die Steigung <math>m</math> der Geraden gilt: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{f_Q (x) - f_P (x)}{x_Q - x_P}</math>
<ggb_applet id="jbd6xgfh" width="750" height="500" border="888888" />
|3=Merksatz}}

{{Box|1=Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen|2= Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

{{Lösung versteckt|1=
# Berechne zunächst die Steigung <math>m</math>, indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst.
# Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt <math>n</math>, indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
|2=Tipp: Allgemeines Vorgehen|3=Tipp: Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen}}

{{Lösung versteckt|1=
Du kannst die Geradengleichung auch auf anderen Wegen erhalten:
* Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems:
** Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>x</math> und die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>f(x)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
** Beide Gleichungen ergeben ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> zu bestimmen.
** Die bestimmten Unbekannten setzt du anschließend in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
* Lösung mit Hilfe eines Graphen:
** Zeichne die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> in ein Koordinatensystem ein.
** Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> verläuft.
** Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung <math>m</math>.
** Lies den y-Achsenabschnitt <math>n</math> am Graphen ab.
** Setze alles in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Tipp: Alternative Vorgehen|3=Tipp: Bestimmung mit Hilfe eines LGS oder Graphen}}

'''a)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = 2x</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 3 - 1 = 2</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = 2</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 2 = 2 \cdot 1 + n \Leftrightarrow 2 = 2 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 6 = 2 \cdot 3 + n \Leftrightarrow 6 = 6 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>2 = m \cdot 1 + n</math> und <math>6 = m \cdot 3 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = 2</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 0</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4a).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(2/1)</math> und <math>Q(6/-5)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -1,5x + 4</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -5 - 1 = -6</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2} = -1,5</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -1,5</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 1 = -1,5 \cdot 2 + n \Leftrightarrow 1 = -3 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -5 = -1,5 \cdot 6 + n \Leftrightarrow -5 = -9 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>1 = m \cdot 2 + n</math> und <math>-5 = m \cdot 6 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -1,5</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 4</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4b).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math>. 

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -\frac{7}{18}x + \frac{23}{18}</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -3 - 4 = -7</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 11 - (-7) = 11 + 7 = 18</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-7}{18} = -\frac{7}{18}</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -\frac{7}{18}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 4 = -\frac{7}{18} \cdot -7 + n \Leftrightarrow \frac{72}{18} = \frac{49}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -3 = -\frac{7}{18} \cdot 11 + n \Leftrightarrow -\frac{90}{18} = -\frac{77}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>4 = m \cdot -7 + n</math> und <math>-3 = m \cdot 11 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -\frac{7}{18}</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = \frac{23}{18}</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4c).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

|3=Arbeitsmethode}}

===Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen===
{{Box |1= Aufgabe 5: Punkte auf dem Graphen|2=Prüfe für die angegebenen linearen Funktionen, welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen. Arbeite zunächst im Heft und ordne dann jeder Funktion die Punkte zu, die auf ihrem Graphen liegen. Klicke dabei immer zunächst auf die Funktion und anschließend auf die zugehörigen Punkte. Je mehr Punkte du ihren Funktionen richtig zuweist, desto mehr wird sich ein Bild im Hintergrund aufdecken! 
Hinweis: Einer Funktion können mehrere Punkte zugeordnet sein, aber jedem Punkt ist nur genau eine Funktion zugeordnet.

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=p446x08nn19}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze die x-Koordinaten der Punkte in die Funktionen ein und vergleiche den Funktionswert mit den y-Koordinaten der Punkte|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 =
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> liegen die Punkte: <math>(-1|1)</math>, <math>(0|3)</math>, <math>(2|7)</math>, <math>(1|5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -x + 12</math> liegen die Punkte: <math>(2|10)</math>, <math>(12|0)</math>, <math>(\frac{7}{2}|\frac{17}{2})</math>, <math>(9|3)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}</math> liegen die Punkte: <math>(-1|-1)</math>, <math>(5|-5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = \frac{3}{8}</math> liegen die Punkte: <math>(4|\frac{3}{8})</math>, <math>(9|\frac{9}{24})</math>.

Beispielhafter Lösungsweg:
* Wir setzen die x-Koordinate des Punktes <math>(-1|1)</math> in die Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> ein und berechnen den Funktionswert:
** <math>f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1</math>.
** Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
* Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den x-Wert des Punktes <math>(2|10)</math> ein und berechnen wieder den Funktionswert:
** <math>f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7</math>.
** Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7.
** Der Punkt <math>(2|10)</math> liegt also nicht auf dem Graphen.
|2 = Lösung|3 = Lösung}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Eine lineare Gleichung einer Geraden zuordnen===

{{Box |1= Aufgabe 6a: Funktionen zeichnen |2=Zeichne die folgenden drei Funktionen alle in ein Koordinatensystem. Überlege dir vorher, wie groß das Koordinatensystem für diese Funktionen sein muss, damit man jeden Schnitt zwischen jeweils zwei Geraden erkennt.

a) <math>f(x) = 4x + 1</math>

b) <math>g(x) = 0,5x - 2,5</math>

c) <math>h(x) = -3x + 1</math>

{{Lösung versteckt|1 = Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung.|2=Tipp|3=Tipp 1}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 6b: Finde Paare|2=Ordne den gegebenen linearen Gleichungen die zugehörige Gerade zu. Beachte: Nicht zu jeder Gleichung ist eine Gerade gegeben.

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pdwa2pz1k19}}

{{Lösung versteckt|1 = Nicht vergessen: Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung. Vielleicht erkennst du alleine anhand des <math>y</math>-Achsenabschnitts schon einige der Funktionen?|2=Tipp|3=Tipp 1}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen===

{{Box|1= Aufgabe 7: Bestimme den Schnittpunkt|2= Zeichne zunächst beide Graphen in ein Koordinatensystem in dein Heft. Bestimme anschließend den x-Wert des Schnittpunktes der beiden Geraden.

{{Lösung versteckt|1 = Um die Geraden zu zeichnen, betrachte zunächst den y-Achsenabschnitt. Falls du dir unsicher bist, was der y-Achsenabschnitt ist, scrolle hoch zum Lückentext in Aufgabe 1.

Anschließend betrachte die Steigung der Geraden. Zeichne ein Steigungsdreieck (Hilfe im Lückentext in Aufgabe 1) und zeichne die Gerade mit Hilfe der Steigung und des y-Achsenabschnitts. |2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1 = Um die Koordinaten des Schnittpunktes zu bestimmten, setzte die beiden Geraden gleich und löse dann nach x auf.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}

'''a)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=2x+4</math> und <math>g(x)=3x</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 4 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''b)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=4x-5</math> und <math>g(x)=-3x+9</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 2 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''c)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)= \frac{3}{2}x-3</math> und <math>g(x)= \frac{1}{2}x+17</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 20 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

|3= Arbeitsmethode}}
===Textaufgabe: Der Freundinnendienst===
{{Box|1=Aufgabe 8: Was man nicht alles für Freundinnen tut.|2= Susanne ist 13 Jahre alt und geht in die 7. Klasse. Heute ist sie um 13.45 Uhr von der Schule nach Hause gekommen. Beim Mittagessen erzählt sie für 30min von ihrem Schultag. Bevor sie zum Sport geht, soll sie noch ihre Hausaufgaben erledigen. Jedoch fängt sie nicht sofort an, sondern daddelt erst noch 60min. Dann beginnt sie jedoch mit ihren Hausaufgaben. Nach 30min hat sie ihre Mathehausaufgaben fertig und muss nun nur noch Deutsch machen. 
Dafür muss sie noch ein 15-seitiges Kapitel in einem Roman lesen. Als sie nach 5 Minuten die dritte Seite fertig gelesen hat, schaut sie auf ihr Handy. Sie hat nur noch 20min bis sie sich für ihr Fußball-Training fertig machen muss. Gleichzeitig sieht sie eine Whats-App Nachricht von ihrer Freundin Marie, die schreibt: "Hey, hast du Deutsch schon fertig? Hab das Kapitel nicht gerafft. Kannst du mir das beim Sport zusammenfassen?" 
Kann Susanne ihrer Freundin, Marie, versprechen ihr das Kapitel beim Fußball zu erklären?
{{Lösung versteckt|1= 1. Tipp: Überlege welche Zeitangaben für die Lösung der Aufgabe notwendig sind. 
2. Tipp: Trage die relvanten Informationen als Punkte in ein Koordinatensystem. 
3. Tipp: Mit welcher Geschwindigkeit liest Susanne Seiten pro Minute? Welche Gleichung kennst du, mit der du ihre Lesegeschwindigkeit modellieren kannst? |2= Tipp |3=Tipp}}
{{Lösung versteckt|1= Es gibt verschiedene Lösungsideen. Zwei Beispiele sind eine grafische Lösung mit Hilfe eines Koordinatensystems oder eine algebraische Lösung mit Hilfe einer linearen Funktion. Eine algebraische Lösung könnte wie folgt aussehen: 
Die Zeitangaben für die Bearbeitung der Deutschaufgabe reichen aus, um die Aufgabe zu lösen. Alle anderen Zeitangaben helfen uns nicht. Als Marie die Nachricht liest, hat sie bereits 3 Seiten gelesen. Sie ließt mit einer Geschwindigkeit von 3 Seiten pro 5 Minuten. Wir können also jedem Zeitpunkt eine Anzahl von gelesenen Seiten zuordnen. Wir setzen den Startzeitpunkt auf den Moment, in dem sie die Nachricht bekommt. Und setzen, dass <math>x</math> die Einheit <math>\frac{Seiten}{5 Minuten}</math> hat. 
Also lautet unsere Gleichung: 
<math>f(x)=3+3x</math> 
Wir wollen wissen, wann Susanne 15 Seiten gelesen hat, also setzen wir für <math>f(x)=15</math> (Seiten) ein. 
<math>15=3+3x |-3 </math> 
<math><=> 12=3x | :3 </math> 
<math><=> x=4 </math>. 
Also braucht Susanne noch <math>4</math> mal <math>5</math> Minuten, also insgesamt 20min. Wenn sie sich beeilt, kann sie es also noch schaffen.|2= Lösung |3=Lösung}}
|3=Merke}}

===Textaufgabe: Katzendurst===
{{Box |1=Aufgabe 9: Wasser für die Katze|2= Marc und Claudia freuen sich schon auf ihren 1 wöchigen Urlaub. Leider dürfen ihre Katzen, Findus und Sabbel, jedoch nicht mit. Das Trockenfutter ist zwar ausreichend lang haltbar, aber damit die Katzen im heißen Sommer auch immer Wasser finden können, wollen die Beiden einen Wasserspender kaufen. Im Geschäft sehen sie zwei verschiedene Typen von Wasserspendern, die unterschiedlich teuer sind. In den einen Wasserspender für 10€ (Wasserspender A) passen <math>8l</math> Wasser und er ist nach <math>30</math> Tagen leer. In den anderen Wasserspender für 25€ (Wasserspender B) passen <math>6l</math> und er ist schon nach <math>10</math> Tagen leer. Der Wassertrog der Katzen hat ein Fassungsvermögen von <math>500ml</math>. Überlaufendes Wasser fließt in Marcs und Claudias Garage in einen Gulli. Welche Wasserspender sollten Marc und Claudia für ihre Katzen kaufen?

{{Lösung versteckt|1 = Als erstes könntest du versuchen je eine Funktionsvorschrift für die Wasserspender zu suchen. Kannst du an diesen Ablesen wie viel Wasser Sie jeden Tag zur Verfügung stellen? Im nächsten Schritt müsstest du herausfinden, wie viel Wasser jeden Tag benötigt wird. Hast du schon dafür alle notwendigen Infos gegeben? 
Nun kannst du den Verbrauch und das bereitgestellte Wasser in Beziehung zueinander stellen. Welchen Wasserspender sollten die Beiden kaufen? Reichen die Wasserspender für den ganzen Urlaub?| 2= Ein mögliches Vorgehen | 3= Ein mögliches Vorgehen}}

{{Lösung versteckt|1 = Mit zwei Punkten kannst du bereits eine lineare Funktion aufstellen. Suche diese beiden Punkte im Text für die jeweiligen Behälter. Falls du die Punkte findest, aber Schwierigkeiten bei dem Aufstellen der Gleichung hast, schaue dir Aufgabe 4 an. 
Welche Bedeutung haben das m und das n der allgemeinen Form einer linearen Gleichung? 
Was könnte für Marc und Claudia neben der angemessen Wasserversorgung ihrer Katzen noch von Bedeutung sein?| 2=Tipps |3=Tipps }}

{{Lösung versteckt|1 = Die Punkte für den Wasserspender A sind <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math>. Die Punkte für den Wasserspender B sind <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math>. Setze für jeden Wasserspender die jeweiligen beiden Punkte in die allgemeine Form der linearen Funktion ein. |2=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte|3=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte}}

{{Lösung versteckt|1=
Durch eine Internetrecherche können wir herausfinden, dass Katzen 200-250ml Wasser am Tag zu sich nehmen sollten. Um auf Nummer sicher zu gehen gehen wir also davon aus, dass Findus und Sabbel zusammen <math>500ml=0,5l</math> benötigen. 
'''Wasserspender A: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> f(x) = m\cdot x+b</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|8)</math>:''' <math> f(0) = m\cdot 0+b = 8</math>, wodurch <math>b=8</math> folgt.

'''<math>(30|0)</math>:''' <math>f(30) = m\cdot 30+b=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>b=8</math> ist, folgt hieraus, dass <math>m=-\frac{8}{30}=-\frac{4}{15}</math> ist.

Setzt man nun <math>m</math> und <math>b</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> f(x) = -\frac{4}{15} \cdot x + 8</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender A ist also <math>m=-\frac{4}{15}=</math>. Wasserspender A gibt also jeden Tag etwas mehr Wasser als 250ml und somit lediglich ausreichend viel Wasser für eine Katze ab.
Außerdem ist Wasserspender A nach 7 Tagen noch nicht leer: 
<math>f(7)= -\frac{4}{15} \cdot 7 + 8 = \frac{92}{15}=6 \frac{2}{15} > 0</math> 

'''Wasserspender B: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> g(x) = n\cdot x+a</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|6)</math>: ''' <math> g(0) = n\cdot 0+a = 6</math>, wodurch <math>a=6</math> folgt.

'''<math>(10|0)</math>:''' <math>g(10) = n\cdot 10+a=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>a=6</math> ist, folgt hieraus, dass <math>n=-\frac{3}{5}</math> ist.

Setzt man nun <math>n</math> und <math>a</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> g(x) = -\frac{3}{5} \cdot x + 6</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender B ist <math>n=-\frac{3}{5}</math>. Wasserspender B gibt also jeden Tag <math>600ml</math> und somit ausreichend viel Wasser für beide Katzen ab. 

Außerdem ist auch Wasserspender B nach 7 Tagen noch nicht leer: 

<math>g(7) = -\frac{3}{5} \cdot 7 + 6 = \frac{9}{5}=1 \frac{4}{5} > 0 </math> 

Nun können wir nachvollziehbarerweise annehmen, dass Claudia und Marc möglichst wenig Geld ausgeben wollen. Zwei Wasserbehälter A kosten <math>2 \cdot 10€</math> also <math>5€</math> weniger als ein Wasserspender B (<math>25€</math>.

'''Abschließende Antwort''' 
Zwar könnte ein Wasserspender der Sorte B für die beiden Katzen 1 Woche genug Wasser bereitstellen, aber zwei Wasserspender der Sorte A sind zusammen immer noch preisweiter und können gemeinsam immer noch genügend Wasser für die beiden Katzen bereitstellen. Claudia und Marc sollten also zwei Wasserspender des Typs A kaufen.

|2=Lösungsvorschlag|3=Lösungsvorschlag}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Textaufgabe: Schulbus===
{{Box|1=Aufgabe 10: Schulbus|2=Nach der Schule verpasst Isolde den Bus und müsste nun den Weg von 11km nach Hause laufen. Sie ruft ihre Mutter an und bittet sie, sie abzuholen. Ihre Mutter fährt ihr auf der Landstraße mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 72 km/h entgegen. Isolde geht ihrer Mutter entgegen und geht dabei durchschnittlich 75m pro Minute. Beide machen sich gleichzeitig nach dem Telefonat auf den Weg.

'''a)''' Stelle eine Funktionsvorschrift für Isoldes Entfernung von zu Hause und eine Funktionsvorschrift für die Entfernung der Mutter von zu Hause in Abhängigkeit von der Zeit auf.

{{Lösung versteckt|1 = Lineare Funktionen haben immer die Form <math>f(x)= mx + n </math>. Hierbei ist <math> m </math> die Steigung und <math> n </math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt. Welche Informationen aus der Aufgabe entsprechen welchen Eigenschaften der gesuchten Funktionen?

Achte auch darauf, dass die Funktionen die Entfernung in der gleichen Einheit angeben und auch für die Zeit beide die gleiche Einheit verwenden sollten. Das erleichtert das spätere Rechnen mit den Funktionen.|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Wir geben die Zeit in Minuten und die Entfernung in Metern an. Die Funktion <math>f(x)=ax+b</math> soll Isoldes Entfernung von zu Hause und die Funktion <math>g(x)=cx+d</math> die Entfernung der Mutter von zu Hause beschreiben. Isolde ist zu Beginn 11km, also 11000m von zu Hause entfernt. Der y-Achsenabschnitt von f ist demnach a=11000. Isolde legt pro Minute 75m zurück. Dabei entfernt sie sich nicht von zu Hause, sondern nähert sich. Die Steigung b ist deshalb negativ und beträgt -75. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>f(x)=-75x+11000</math>. Die Mutter startet zu Hause, der y-Achsenabschnitt d von g(x) ist also gleich 0. Sie fährt mit einer Geschwindigkeit von 72km/h, was 1200m pro Minute entspricht. Damit entfernt sie sich von zu Hause, die Steigung d ist deshalb positiv und beträgt 1200. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>g(x)=1200x</math>. |2=Lösung|3=Lösung}}

'''b)''' Berechne, wie lange es dauert, bis die beiden sich treffen.

{{Lösung versteckt|1 = Welchem Punkt der Funktionsgraphen von f und g entspricht dem Treffpunkt der beiden Funktionen? Wie berechnet man diesen Punkt?|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Erinnere dich daran, dass die x-Achse die Zeit angibt, die verstrichen ist, seitdem Isolde losgegangen ist. Die y-Achse gibt den Abstand an, den die Mutter ihrer Tochter bereits entgegen gefahren ist. Dieser Abstand verringert sich dadurch, dass Isolde ihrer Mutter entgegengeht, somit hat die Funktion von Isolde eine negative Steigung. Der Schnittpunkt beider Funktionsgraphen gibt auf dem x-Wert an, wann sich die beiden treffen. Wir setzen die Funktionsvorschriften gleich, um den x-Wert des Schnittpunktes zu bestimmen. <math>\begin{align} -75x+11000 & = 1200x \quad | +75x \\
11000 & = 1275x \quad | : 1275 \\
\frac{440}{51} & = x \approx 8,6\end{align}</math>. 
Es dauert ungefähr 9 Minuten, bis die beiden sich treffen.|2=Lösung|3=Lösung}}|3=Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen

2019-11-11T17:17:43Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen */

{{Box
|Info
|In diesem Lernpfad kannst du dein Wissen über lineare Funktionen anwenden und erweitern und dein Verständnis vertiefen. Das Kapitel behandelt die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, ihren Funktionsgleichungen, ihren Funktionsgraphen und darauf liegenden Punkten.

In Aufgaben, die ''gelb'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind'' Forderaufgaben''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind besonders anspruchsvolle ''Knobelaufgaben''.

Das Kapitel beginnt mit einem kurzen Lückentext zur Wiederholung und endet mit drei Anwendungsaufgaben.
| Kurzinfo
}}

===Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung===

{{Box|1= Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|2= Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

{{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=pzotbf9h519}}

<ggb_applet id="hafd2mmt" width="700" height="500" border="888888" />|3= Arbeitsmethode}}

===Lineare Funktionen erkennen===
{{Box|1=Aufgabe 2: Welche Art von Funktion ist es?|2=Sieh dir den jeweiligen Graphen oder die jeweilige Funktionsvorschrift (bzw. Gleichung) an. Stellt der Graph oder die Funktionsvorschrift eine lineare, eine andere Funktion oder gar keine Funktion dar?
{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=px8y1m7tj19}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Funktionen muss welcher Variablen auf welcher Achse genau 1 Wert auf der anderen Achse zugeordnet werden? Schau dir den Lückentext in Aufgabe 1 noch einmal an. Wie sieht der Graph einer jeden linearen Funktion aus? Wie ist die allgemeine Form von lineren Funktionen? |2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1='''Keine Funktion:'''
Der Kreis und die zur <math>y</math>-Achse parallelen Gerade sind keine Funktionen. Funktionen ordnen jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Bei Kreisen werden jedem x-Wert genau 2 y-Werte zugeordnet. Bei Geraden parallel zur y-Achse werden einem x-Wert sogar alle y-Werte zugeordnet. Also sind Kreise und Geraden parallel zur y-Achse keine Funktionen.

'''Lineare Funktionen:'''
Alle Geraden, die nicht parallel zur <math>y</math>-Achse verlaufen (also nicht senkrecht sind) und alle Funktionen, bei denen die Variabel den Exponent <math>0</math> oder <math>1</math> hat, sind lineare Funktionen. Die allgemeine Zuordnungsvorschrift für lineare Funktionen lautet: <math>=f(x)=mx+n</math>.

'''Andere Funktionen:''' Alle Funktionen, die keine linearen Funktionen sind, sind andere Funktionen.
|2 = Lösung|3= Lösung}}
|3=Merke}}

===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen===

{{Box|1 = Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen|2 =
In den folgenden Teilaufgaben hast du jeweils die Steigung der Geraden und einen Punkt gegeben, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Allgemeiner Tipp|3=Tipp}}

'''a)''' Die Steigung ist <math>m = -4</math> und der Punkt <math>P(-7|-1)</math>.

{{Lösung versteckt|1 = # Setze zunächst für die Steigung <math>m = -4</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = -4x + n</math> entsteht.
# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-7|-1)</math>, sodass du mit <math>x = -7</math> und <math>f(x) = -1</math> die Gleichung <math>-1 = -4\cdot(-7) + n</math> erhältst.
# Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -29</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = -4x - 29</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Die Steigung ist <math>m = 3,5</math> und der Punkt <math>P(2|5)</math>.

{{Lösung versteckt|1 = # Setze zunächst für die Steigung <math>m = 3,5</math> ein, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = 3,5\cdot x + n</math> entsteht.
# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(2|5)</math>, sodass du mit <math>x = 2</math> und <math>f(x) = 5</math> die Gleichung <math>5 = 3,5\cdot2 + n</math> erhältst.
# Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -2</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = 3,5\cdot x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Die Steigung ist <math>m = \frac{5}{8}</math> und der Punkt <math>P(-\frac{2}{7}|\frac{3}{4})</math>.

{{Lösung versteckt|1 = # Setze zunächst für die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = \frac{5}{8}x + n</math> entsteht.
# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-\frac{2}{7}|\frac{3}{4})</math>, sodass du mit <math>x = -\frac{2}{7}</math> und <math>f(x) = \frac{3}{4})</math> die Gleichung <math>\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + n</math> erhältst.
# Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Merke "Das Steigungsdreieck"|
2=Die Steigung einer linearen Funktion bestimmt man in der Regel mit folgenden Schritten:
# Zunächst benötigt man zwei beliebige Punkte <math>P(x_P|f_P (x))</math> und <math>Q(x_Q|f(x)_Q)</math>.
# Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>H\ddot{o}henunterschied = f(x)_Q - f(x)_P</math>
# Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P</math>
# Für die Steigung <math>m</math> der Geraden gilt: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{f(x)_Q - f(x)_P}{x_Q - x_P}</math>
<ggb_applet id="jbd6xgfh" width="750" height="500" border="888888" />
|3=Merksatz}}

{{Box|1=Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen|2= Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

{{Lösung versteckt|1=
# Berechne zunächst die Steigung <math>m</math>, indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst.
# Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt <math>n</math>, indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
|2=Tipp: Allgemeines Vorgehen|3=Tipp: Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen}}

{{Lösung versteckt|1=
Du kannst die Geradengleichung auch auf anderen Wegen erhalten:
* Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems:
** Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>x</math> und die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>f(x)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
** Beide Gleichungen ergeben ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> zu bestimmen.
** Die bestimmten Unbekannten setzt du anschließend in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
* Lösung mit Hilfe eines Graphen:
** Zeichne die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> in ein Koordinatensystem ein.
** Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> verläuft.
** Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung <math>m</math>.
** Lies den y-Achsenabschnitt <math>n</math> am Graphen ab.
** Setze alles in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Tipp: Alternative Vorgehen|3=Tipp: Bestimmung mit Hilfe eines LGS oder Graphen}}

'''a)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = 2x</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 3 - 1 = 2</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = 2</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 2 = 2 \cdot 1 + n \Leftrightarrow 2 = 2 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 6 = 2 \cdot 3 + n \Leftrightarrow 6 = 6 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>2 = m \cdot 1 + n</math> und <math>6 = m \cdot 3 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = 2</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 0</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4a).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(2/1)</math> und <math>Q(6/-5)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -1,5x + 4</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -5 - 1 = -6</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2} = -1,5</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -1,5</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 1 = -1,5 \cdot 2 + n \Leftrightarrow 1 = -3 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -5 = -1,5 \cdot 6 + n \Leftrightarrow -5 = -9 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>1 = m \cdot 2 + n</math> und <math>-5 = m \cdot 6 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -1,5</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 4</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4b).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math>. 

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -\frac{7}{18}x + \frac{23}{18}</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -3 - 4 = -7</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 11 - (-7) = 11 + 7 = 18</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-7}{18} = -\frac{7}{18}</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -\frac{7}{18}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 4 = -\frac{7}{18} \cdot -7 + n \Leftrightarrow \frac{72}{18} = \frac{49}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -3 = -\frac{7}{18} \cdot 11 + n \Leftrightarrow -\frac{90}{18} = -\frac{77}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>4 = m \cdot -7 + n</math> und <math>-3 = m \cdot 11 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -\frac{7}{18}</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = \frac{23}{18}</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4c).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

|3=Arbeitsmethode}}

===Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen===
{{Box |1= Aufgabe 5: Punkte auf dem Graphen|2=Prüfe für die angegebenen linearen Funktionen, welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen. Arbeite zunächst im Heft und ordne dann jeder Funktion die Punkte zu, die auf ihrem Graphen liegen. Klicke dabei immer zunächst auf die Funktion und anschließend auf die zugehörigen Punkte. Je mehr Punkte du ihren Funktionen richtig zuweist, desto mehr wird sich ein Bild im Hintergrund aufdecken! 
Hinweis: Einer Funktion können mehrere Punkte zugeordnet sein, aber jedem Punkt ist nur genau eine Funktion zugeordnet.

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=p446x08nn19}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze die x-Koordinaten der Punkte in die Funktionen ein und vergleiche den Funktionswert mit den y-Koordinaten der Punkte|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 =
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> liegen die Punkte: <math>(-1|1)</math>, <math>(0|3)</math>, <math>(2|7)</math>, <math>(1|5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -x + 12</math> liegen die Punkte: <math>(2|10)</math>, <math>(12|0)</math>, <math>(\frac{7}{2}|\frac{17}{2})</math>, <math>(9|3)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}</math> liegen die Punkte: <math>(-1|-1)</math>, <math>(5|-5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = \frac{3}{8}</math> liegen die Punkte: <math>(4|\frac{3}{8})</math>, <math>(9|\frac{9}{24})</math>.

Beispielhafter Lösungsweg:
* Wir setzen die x-Koordinate des Punktes <math>(-1|1)</math> in die Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> ein und berechnen den Funktionswert:
** <math>f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1</math>.
** Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
* Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den x-Wert des Punktes <math>(2|10)</math> ein und berechnen wieder den Funktionswert:
** <math>f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7</math>.
** Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7.
** Der Punkt <math>(2|10)</math> liegt also nicht auf dem Graphen.
|2 = Lösung|3 = Lösung}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Eine lineare Gleichung einer Geraden zuordnen===

{{Box |1= Aufgabe 6a: Funktionen zeichnen |2=Zeichne die folgenden drei Funktionen alle in ein Koordinatensystem. Überlege dir vorher, wie groß das Koordinatensystem für diese Funktionen sein muss, damit man jeden Schnitt zwischen jeweils zwei Geraden erkennt.

a) <math>f(x) = 4x + 1</math>

b) <math>g(x) = 0,5x - 2,5</math>

c) <math>h(x) = -3x + 1</math>

{{Lösung versteckt|1 = Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung.|2=Tipp|3=Tipp 1}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 6b: Finde Paare|2=Ordne den gegebenen linearen Gleichungen die zugehörige Gerade zu. Beachte: Nicht zu jeder Gleichung ist eine Gerade gegeben.

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pdwa2pz1k19}}

{{Lösung versteckt|1 = Nicht vergessen: Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung. Vielleicht erkennst du alleine anhand des <math>y</math>-Achsenabschnitts schon einige der Funktionen?|2=Tipp|3=Tipp 1}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen===

{{Box|1= Aufgabe 7: Bestimme den Schnittpunkt|2= Zeichne zunächst beide Graphen in ein Koordinatensystem in dein Heft. Bestimme anschließend den x-Wert des Schnittpunktes der beiden Geraden.

{{Lösung versteckt|1 = Um die Geraden zu zeichnen, betrachte zunächst den y-Achsenabschnitt. Falls du dir unsicher bist, was der y-Achsenabschnitt ist, scrolle hoch zum Lückentext in Aufgabe 1.

Anschließend betrachte die Steigung der Geraden. Zeichne ein Steigungsdreieck (Hilfe im Lückentext in Aufgabe 1) und zeichne die Gerade mit Hilfe der Steigung und des y-Achsenabschnitts. |2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1 = Um die Koordinaten des Schnittpunktes zu bestimmten, setzte die beiden Geraden gleich und löse dann nach x auf.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}

'''a)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=2x+4</math> und <math>g(x)=3x</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 4 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''b)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=4x-5</math> und <math>g(x)=-3x+9</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 2 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''c)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)= \frac{3}{2}x-3</math> und <math>g(x)= \frac{1}{2}x+17</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 20 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

|3= Arbeitsmethode}}
===Textaufgabe: Der Freundinnendienst===
{{Box|1=Aufgabe 8: Was man nicht alles für Freundinnen tut.|2= Susanne ist 13 Jahre alt und geht in die 7. Klasse. Heute ist sie um 13.45 Uhr von der Schule nach Hause gekommen. Beim Mittagessen erzählt sie für 30min von ihrem Schultag. Bevor sie zum Sport geht, soll sie noch ihre Hausaufgaben erledigen. Jedoch fängt sie nicht sofort an, sondern daddelt erst noch 60min. Dann beginnt sie jedoch mit ihren Hausaufgaben. Nach 30min hat sie ihre Mathehausaufgaben fertig und muss nun nur noch Deutsch machen. 
Dafür muss sie noch ein 15-seitiges Kapitel in einem Roman lesen. Als sie nach 5 Minuten die dritte Seite fertig gelesen hat, schaut sie auf ihr Handy. Sie hat nur noch 20min bis sie sich für ihr Fußball-Training fertig machen muss. Gleichzeitig sieht sie eine Whats-App Nachricht von ihrer Freundin Marie, die schreibt: "Hey, hast du Deutsch schon fertig? Hab das Kapitel nicht gerafft. Kannst du mir das beim Sport zusammenfassen?" 
Kann Susanne ihrer Freundin, Marie, versprechen ihr das Kapitel beim Fußball zu erklären?
{{Lösung versteckt|1= 1. Tipp: Überlege welche Zeitangaben für die Lösung der Aufgabe notwendig sind. 
2. Tipp: Trage die relvanten Informationen als Punkte in ein Koordinatensystem. 
3. Tipp: Mit welcher Geschwindigkeit liest Susanne Seiten pro Minute? Welche Gleichung kennst du, mit der du ihre Lesegeschwindigkeit modellieren kannst? |2= Tipp |3=Tipp}}
{{Lösung versteckt|1= Es gibt verschiedene Lösungsideen. Zwei Beispiele sind eine grafische Lösung mit Hilfe eines Koordinatensystems oder eine algebraische Lösung mit Hilfe einer linearen Funktion. Eine algebraische Lösung könnte wie folgt aussehen: 
Die Zeitangaben für die Bearbeitung der Deutschaufgabe reichen aus, um die Aufgabe zu lösen. Alle anderen Zeitangaben helfen uns nicht. Als Marie die Nachricht liest, hat sie bereits 3 Seiten gelesen. Sie ließt mit einer Geschwindigkeit von 3 Seiten pro 5 Minuten. Wir können also jedem Zeitpunkt eine Anzahl von gelesenen Seiten zuordnen. Wir setzen den Startzeitpunkt auf den Moment, in dem sie die Nachricht bekommt. Und setzen, dass <math>x</math> die Einheit <math>\frac{Seiten}{5 Minuten}</math> hat. 
Also lautet unsere Gleichung: 
<math>f(x)=3+3x</math> 
Wir wollen wissen, wann Susanne 15 Seiten gelesen hat, also setzen wir für <math>f(x)=15</math> (Seiten) ein. 
<math>15=3+3x |-3 </math> 
<math><=> 12=3x | :3 </math> 
<math><=> x=4 </math>. 
Also braucht Susanne noch <math>4</math> mal <math>5</math> Minuten, also insgesamt 20min. Wenn sie sich beeilt, kann sie es also noch schaffen.|2= Lösung |3=Lösung}}
|3=Merke}}

===Textaufgabe: Katzendurst===
{{Box |1=Aufgabe 9: Wasser für die Katze|2= Marc und Claudia freuen sich schon auf ihren 1 wöchigen Urlaub. Leider dürfen ihre Katzen, Findus und Sabbel, jedoch nicht mit. Das Trockenfutter ist zwar ausreichend lang haltbar, aber damit die Katzen im heißen Sommer auch immer Wasser finden können, wollen die Beiden einen Wasserspender kaufen. Im Geschäft sehen sie zwei verschiedene Typen von Wasserspendern, die unterschiedlich teuer sind. In den einen Wasserspender für 10€ (Wasserspender A) passen <math>8l</math> Wasser und er ist nach <math>30</math> Tagen leer. In den anderen Wasserspender für 25€ (Wasserspender B) passen <math>6l</math> und er ist schon nach <math>10</math> Tagen leer. Der Wassertrog der Katzen hat ein Fassungsvermögen von <math>500ml</math>. Überlaufendes Wasser fließt in Marcs und Claudias Garage in einen Gulli. Welche Wasserspender sollten Marc und Claudia für ihre Katzen kaufen?

{{Lösung versteckt|1 = Als erstes könntest du versuchen je eine Funktionsvorschrift für die Wasserspender zu suchen. Kannst du an diesen Ablesen wie viel Wasser Sie jeden Tag zur Verfügung stellen? Im nächsten Schritt müsstest du herausfinden, wie viel Wasser jeden Tag benötigt wird. Hast du schon dafür alle notwendigen Infos gegeben? 
Nun kannst du den Verbrauch und das bereitgestellte Wasser in Beziehung zueinander stellen. Welchen Wasserspender sollten die Beiden kaufen? Reichen die Wasserspender für den ganzen Urlaub?| 2= Ein mögliches Vorgehen | 3= Ein mögliches Vorgehen}}

{{Lösung versteckt|1 = Mit zwei Punkten kannst du bereits eine lineare Funktion aufstellen. Suche diese beiden Punkte im Text für die jeweiligen Behälter. Falls du die Punkte findest, aber Schwierigkeiten bei dem Aufstellen der Gleichung hast, schaue dir Aufgabe 4 an. 
Welche Bedeutung haben das m und das n der allgemeinen Form einer linearen Gleichung? 
Was könnte für Marc und Claudia neben der angemessen Wasserversorgung ihrer Katzen noch von Bedeutung sein?| 2=Tipps |3=Tipps }}

{{Lösung versteckt|1 = Die Punkte für den Wasserspender A sind <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math>. Die Punkte für den Wasserspender B sind <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math>. Setze für jeden Wasserspender die jeweiligen beiden Punkte in die allgemeine Form der linearen Funktion ein. |2=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte|3=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte}}

{{Lösung versteckt|1=
Durch eine Internetrecherche können wir herausfinden, dass Katzen 200-250ml Wasser am Tag zu sich nehmen sollten. Um auf Nummer sicher zu gehen gehen wir also davon aus, dass Findus und Sabbel zusammen <math>500ml=0,5l</math> benötigen. 
'''Wasserspender A: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> f(x) = m\cdot x+b</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|8)</math>:''' <math> f(0) = m\cdot 0+b = 8</math>, wodurch <math>b=8</math> folgt.

'''<math>(30|0)</math>:''' <math>f(30) = m\cdot 30+b=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>b=8</math> ist, folgt hieraus, dass <math>m=-\frac{8}{30}=-\frac{4}{15}</math> ist.

Setzt man nun <math>m</math> und <math>b</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> f(x) = -\frac{4}{15} \cdot x + 8</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender A ist also <math>m=-\frac{4}{15}=</math>. Wasserspender A gibt also jeden Tag etwas mehr Wasser als 250ml und somit lediglich ausreichend viel Wasser für eine Katze ab.
Außerdem ist Wasserspender A nach 7 Tagen noch nicht leer: 
<math>f(7)= -\frac{4}{15} \cdot 7 + 8 = \frac{92}{15}=6 \frac{2}{15} > 0</math> 

'''Wasserspender B: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> g(x) = n\cdot x+a</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|6)</math>: ''' <math> g(0) = n\cdot 0+a = 6</math>, wodurch <math>a=6</math> folgt.

'''<math>(10|0)</math>:''' <math>g(10) = n\cdot 10+a=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>a=6</math> ist, folgt hieraus, dass <math>n=-\frac{3}{5}</math> ist.

Setzt man nun <math>n</math> und <math>a</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> g(x) = -\frac{3}{5} \cdot x + 6</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender B ist <math>n=-\frac{3}{5}</math>. Wasserspender B gibt also jeden Tag <math>600ml</math> und somit ausreichend viel Wasser für beide Katzen ab. 

Außerdem ist auch Wasserspender B nach 7 Tagen noch nicht leer: 

<math>g(7) = -\frac{3}{5} \cdot 7 + 6 = \frac{9}{5}=1 \frac{4}{5} > 0 </math> 

Nun können wir nachvollziehbarerweise annehmen, dass Claudia und Marc möglichst wenig Geld ausgeben wollen. Zwei Wasserbehälter A kosten <math>2 \cdot 10€</math> also <math>5€</math> weniger als ein Wasserspender B (<math>25€</math>.

'''Abschließende Antwort''' 
Zwar könnte ein Wasserspender der Sorte B für die beiden Katzen 1 Woche genug Wasser bereitstellen, aber zwei Wasserspender der Sorte A sind zusammen immer noch preisweiter und können gemeinsam immer noch genügend Wasser für die beiden Katzen bereitstellen. Claudia und Marc sollten also zwei Wasserspender des Typs A kaufen.

|2=Lösungsvorschlag|3=Lösungsvorschlag}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Textaufgabe: Schulbus===
{{Box|1=Aufgabe 10: Schulbus|2=Nach der Schule verpasst Isolde den Bus und müsste nun den Weg von 11km nach Hause laufen. Sie ruft ihre Mutter an und bittet sie, sie abzuholen. Ihre Mutter fährt ihr auf der Landstraße mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 72 km/h entgegen. Isolde geht ihrer Mutter entgegen und geht dabei durchschnittlich 75m pro Minute. Beide machen sich gleichzeitig nach dem Telefonat auf den Weg.

'''a)''' Stelle eine Funktionsvorschrift für Isoldes Entfernung von zu Hause und eine Funktionsvorschrift für die Entfernung der Mutter von zu Hause in Abhängigkeit von der Zeit auf.

{{Lösung versteckt|1 = Lineare Funktionen haben immer die Form <math>f(x)= mx + n </math>. Hierbei ist <math> m </math> die Steigung und <math> n </math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt. Welche Informationen aus der Aufgabe entsprechen welchen Eigenschaften der gesuchten Funktionen?

Achte auch darauf, dass die Funktionen die Entfernung in der gleichen Einheit angeben und auch für die Zeit beide die gleiche Einheit verwenden sollten. Das erleichtert das spätere Rechnen mit den Funktionen.|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Wir geben die Zeit in Minuten und die Entfernung in Metern an. Die Funktion <math>f(x)=ax+b</math> soll Isoldes Entfernung von zu Hause und die Funktion <math>g(x)=cx+d</math> die Entfernung der Mutter von zu Hause beschreiben. Isolde ist zu Beginn 11km, also 11000m von zu Hause entfernt. Der y-Achsenabschnitt von f ist demnach a=11000. Isolde legt pro Minute 75m zurück. Dabei entfernt sie sich nicht von zu Hause, sondern nähert sich. Die Steigung b ist deshalb negativ und beträgt -75. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>f(x)=-75x+11000</math>. Die Mutter startet zu Hause, der y-Achsenabschnitt d von g(x) ist also gleich 0. Sie fährt mit einer Geschwindigkeit von 72km/h, was 1200m pro Minute entspricht. Damit entfernt sie sich von zu Hause, die Steigung d ist deshalb positiv und beträgt 1200. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>g(x)=1200x</math>. |2=Lösung|3=Lösung}}

'''b)''' Berechne, wie lange es dauert, bis die beiden sich treffen.

{{Lösung versteckt|1 = Welchem Punkt der Funktionsgraphen von f und g entspricht dem Treffpunkt der beiden Funktionen? Wie berechnet man diesen Punkt?|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Erinnere dich daran, dass die x-Achse die Zeit angibt, die verstrichen ist, seitdem Isolde losgegangen ist. Die y-Achse gibt den Abstand an, den die Mutter ihrer Tochter bereits entgegen gefahren ist. Dieser Abstand verringert sich dadurch, dass Isolde ihrer Mutter entgegengeht, somit hat die Funktion von Isolde eine negative Steigung. Der Schnittpunkt beider Funktionsgraphen gibt auf dem x-Wert an, wann sich die beiden treffen. Wir setzen die Funktionsvorschriften gleich, um den x-Wert des Schnittpunktes zu bestimmen. <math>\begin{align} -75x+11000 & = 1200x \quad | +75x \\
11000 & = 1275x \quad | : 1275 \\
\frac{440}{51} & = x \approx 8,6\end{align}</math>. 
Es dauert ungefähr 9 Minuten, bis die beiden sich treffen.|2=Lösung|3=Lösung}}|3=Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen

2019-11-11T17:16:33Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen */

{{Box
|Info
|In diesem Lernpfad kannst du dein Wissen über lineare Funktionen anwenden und erweitern und dein Verständnis vertiefen. Das Kapitel behandelt die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, ihren Funktionsgleichungen, ihren Funktionsgraphen und darauf liegenden Punkten.

In Aufgaben, die ''gelb'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind'' Forderaufgaben''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind besonders anspruchsvolle ''Knobelaufgaben''.

Das Kapitel beginnt mit einem kurzen Lückentext zur Wiederholung und endet mit drei Anwendungsaufgaben.
| Kurzinfo
}}

===Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung===

{{Box|1= Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|2= Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

{{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=pzotbf9h519}}

<ggb_applet id="hafd2mmt" width="700" height="500" border="888888" />|3= Arbeitsmethode}}

===Lineare Funktionen erkennen===
{{Box|1=Aufgabe 2: Welche Art von Funktion ist es?|2=Sieh dir den jeweiligen Graphen oder die jeweilige Funktionsvorschrift (bzw. Gleichung) an. Stellt der Graph oder die Funktionsvorschrift eine lineare, eine andere Funktion oder gar keine Funktion dar?
{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=px8y1m7tj19}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Funktionen muss welcher Variablen auf welcher Achse genau 1 Wert auf der anderen Achse zugeordnet werden? Schau dir den Lückentext in Aufgabe 1 noch einmal an. Wie sieht der Graph einer jeden linearen Funktion aus? Wie ist die allgemeine Form von lineren Funktionen? |2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1='''Keine Funktion:'''
Der Kreis und die zur <math>y</math>-Achse parallelen Gerade sind keine Funktionen. Funktionen ordnen jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Bei Kreisen werden jedem x-Wert genau 2 y-Werte zugeordnet. Bei Geraden parallel zur y-Achse werden einem x-Wert sogar alle y-Werte zugeordnet. Also sind Kreise und Geraden parallel zur y-Achse keine Funktionen.

'''Lineare Funktionen:'''
Alle Geraden, die nicht parallel zur <math>y</math>-Achse verlaufen (also nicht senkrecht sind) und alle Funktionen, bei denen die Variabel den Exponent <math>0</math> oder <math>1</math> hat, sind lineare Funktionen. Die allgemeine Zuordnungsvorschrift für lineare Funktionen lautet: <math>=f(x)=mx+n</math>.

'''Andere Funktionen:''' Alle Funktionen, die keine linearen Funktionen sind, sind andere Funktionen.
|2 = Lösung|3= Lösung}}
|3=Merke}}

===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen===

{{Box|1 = Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen|2 =
In den folgenden Teilaufgaben hast du jeweils die Steigung der Geraden und einen Punkt gegeben, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Allgemeiner Tipp|3=Tipp}}

'''a)''' Die Steigung ist <math>m = -4</math> und der Punkt <math>P(-7|-1)</math>.

{{Lösung versteckt|1 = # Setze zunächst für die Steigung <math>m = -4</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = -4x + n</math> entsteht.
# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-7|-1)</math>, sodass du mit <math>x = -7</math> und <math>f(x) = -1</math> die Gleichung <math>-1 = -4\cdot(-7) + n</math> erhältst.
# Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -29</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = -4x - 29</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Die Steigung ist <math>m = 3,5</math> und der Punkt <math>P(2|5)</math>.

{{Lösung versteckt|1 = # Setze zunächst für die Steigung <math>m = 3,5</math> ein, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = 3,5\cdot x + n</math> entsteht.
# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(2|5)</math>, sodass du mit <math>x = 2</math> und <math>f(x) = 5</math> die Gleichung <math>5 = 3,5\cdot2 + n</math> erhältst.
# Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -2</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = 3,5\cdot x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Die Steigung ist <math>m = \frac{5}{8}</math> und der Punkt <math>P(-\frac{2}{7}|\frac{3}{4})</math>.

{{Lösung versteckt|1 = # Setze zunächst für die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = \frac{5}{8}x + n</math> entsteht.
# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-\frac{2}{7}|\frac{3}{4})</math>, sodass du mit <math>x = -\frac{2}{7}</math> und <math>f(x) = \frac{3}{4})</math> die Gleichung <math>\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + n</math> erhältst.
# Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Marke "Das Steigungsdreieck"|
2=Die Steigung einer linearen Funktion bestimmt man in der Regel mit folgenden Schritten:
# Zunächst benötigt man zwei beliebige Punkte <math>P(x_P|f(x)_P)</math> und <math>Q(x_Q|f(x)_Q)</math>.
# Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>H\ddot{o}henunterschied = f(x)_Q - f(x)_P</math>
# Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P</math>
# Für die Steigung <math>m</math> der Geraden gilt: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{f(x)_Q - f(x)_P}{x_Q - x_P}</math>
<ggb_applet id="jbd6xgfh" width="750" height="500" border="888888" />
|3=Merksatz}}

{{Box|1=Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen|2= Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

{{Lösung versteckt|1=
# Berechne zunächst die Steigung <math>m</math>, indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst.
# Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt <math>n</math>, indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
|2=Tipp: Allgemeines Vorgehen|3=Tipp: Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen}}

{{Lösung versteckt|1=
Du kannst die Geradengleichung auch auf anderen Wegen erhalten:
* Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems:
** Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>x</math> und die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>f(x)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
** Beide Gleichungen ergeben ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> zu bestimmen.
** Die bestimmten Unbekannten setzt du anschließend in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
* Lösung mit Hilfe eines Graphen:
** Zeichne die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> in ein Koordinatensystem ein.
** Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> verläuft.
** Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung <math>m</math>.
** Lies den y-Achsenabschnitt <math>n</math> am Graphen ab.
** Setze alles in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Tipp: Alternative Vorgehen|3=Tipp: Bestimmung mit Hilfe eines LGS oder Graphen}}

'''a)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = 2x</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 3 - 1 = 2</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = 2</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 2 = 2 \cdot 1 + n \Leftrightarrow 2 = 2 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 6 = 2 \cdot 3 + n \Leftrightarrow 6 = 6 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>2 = m \cdot 1 + n</math> und <math>6 = m \cdot 3 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = 2</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 0</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4a).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(2/1)</math> und <math>Q(6/-5)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -1,5x + 4</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -5 - 1 = -6</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2} = -1,5</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -1,5</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 1 = -1,5 \cdot 2 + n \Leftrightarrow 1 = -3 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -5 = -1,5 \cdot 6 + n \Leftrightarrow -5 = -9 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>1 = m \cdot 2 + n</math> und <math>-5 = m \cdot 6 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -1,5</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 4</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4b).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math>. 

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -\frac{7}{18}x + \frac{23}{18}</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -3 - 4 = -7</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 11 - (-7) = 11 + 7 = 18</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-7}{18} = -\frac{7}{18}</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -\frac{7}{18}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 4 = -\frac{7}{18} \cdot -7 + n \Leftrightarrow \frac{72}{18} = \frac{49}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -3 = -\frac{7}{18} \cdot 11 + n \Leftrightarrow -\frac{90}{18} = -\frac{77}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>4 = m \cdot -7 + n</math> und <math>-3 = m \cdot 11 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -\frac{7}{18}</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = \frac{23}{18}</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4c).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

|3=Arbeitsmethode}}

===Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen===
{{Box |1= Aufgabe 5: Punkte auf dem Graphen|2=Prüfe für die angegebenen linearen Funktionen, welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen. Arbeite zunächst im Heft und ordne dann jeder Funktion die Punkte zu, die auf ihrem Graphen liegen. Klicke dabei immer zunächst auf die Funktion und anschließend auf die zugehörigen Punkte. Je mehr Punkte du ihren Funktionen richtig zuweist, desto mehr wird sich ein Bild im Hintergrund aufdecken! 
Hinweis: Einer Funktion können mehrere Punkte zugeordnet sein, aber jedem Punkt ist nur genau eine Funktion zugeordnet.

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=p446x08nn19}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze die x-Koordinaten der Punkte in die Funktionen ein und vergleiche den Funktionswert mit den y-Koordinaten der Punkte|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 =
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> liegen die Punkte: <math>(-1|1)</math>, <math>(0|3)</math>, <math>(2|7)</math>, <math>(1|5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -x + 12</math> liegen die Punkte: <math>(2|10)</math>, <math>(12|0)</math>, <math>(\frac{7}{2}|\frac{17}{2})</math>, <math>(9|3)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}</math> liegen die Punkte: <math>(-1|-1)</math>, <math>(5|-5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = \frac{3}{8}</math> liegen die Punkte: <math>(4|\frac{3}{8})</math>, <math>(9|\frac{9}{24})</math>.

Beispielhafter Lösungsweg:
* Wir setzen die x-Koordinate des Punktes <math>(-1|1)</math> in die Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> ein und berechnen den Funktionswert:
** <math>f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1</math>.
** Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
* Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den x-Wert des Punktes <math>(2|10)</math> ein und berechnen wieder den Funktionswert:
** <math>f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7</math>.
** Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7.
** Der Punkt <math>(2|10)</math> liegt also nicht auf dem Graphen.
|2 = Lösung|3 = Lösung}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Eine lineare Gleichung einer Geraden zuordnen===

{{Box |1= Aufgabe 6a: Funktionen zeichnen |2=Zeichne die folgenden drei Funktionen alle in ein Koordinatensystem. Überlege dir vorher, wie groß das Koordinatensystem für diese Funktionen sein muss, damit man jeden Schnitt zwischen jeweils zwei Geraden erkennt.

a) <math>f(x) = 4x + 1</math>

b) <math>g(x) = 0,5x - 2,5</math>

c) <math>h(x) = -3x + 1</math>

{{Lösung versteckt|1 = Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung.|2=Tipp|3=Tipp 1}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 6b: Finde Paare|2=Ordne den gegebenen linearen Gleichungen die zugehörige Gerade zu. Beachte: Nicht zu jeder Gleichung ist eine Gerade gegeben.

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pdwa2pz1k19}}

{{Lösung versteckt|1 = Nicht vergessen: Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung. Vielleicht erkennst du alleine anhand des <math>y</math>-Achsenabschnitts schon einige der Funktionen?|2=Tipp|3=Tipp 1}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen===

{{Box|1= Aufgabe 7: Bestimme den Schnittpunkt|2= Zeichne zunächst beide Graphen in ein Koordinatensystem in dein Heft. Bestimme anschließend den x-Wert des Schnittpunktes der beiden Geraden.

{{Lösung versteckt|1 = Um die Geraden zu zeichnen, betrachte zunächst den y-Achsenabschnitt. Falls du dir unsicher bist, was der y-Achsenabschnitt ist, scrolle hoch zum Lückentext in Aufgabe 1.

Anschließend betrachte die Steigung der Geraden. Zeichne ein Steigungsdreieck (Hilfe im Lückentext in Aufgabe 1) und zeichne die Gerade mit Hilfe der Steigung und des y-Achsenabschnitts. |2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1 = Um die Koordinaten des Schnittpunktes zu bestimmten, setzte die beiden Geraden gleich und löse dann nach x auf.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}

'''a)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=2x+4</math> und <math>g(x)=3x</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 4 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''b)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=4x-5</math> und <math>g(x)=-3x+9</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 2 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''c)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)= \frac{3}{2}x-3</math> und <math>g(x)= \frac{1}{2}x+17</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 20 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

|3= Arbeitsmethode}}
===Textaufgabe: Der Freundinnendienst===
{{Box|1=Aufgabe 8: Was man nicht alles für Freundinnen tut.|2= Susanne ist 13 Jahre alt und geht in die 7. Klasse. Heute ist sie um 13.45 Uhr von der Schule nach Hause gekommen. Beim Mittagessen erzählt sie für 30min von ihrem Schultag. Bevor sie zum Sport geht, soll sie noch ihre Hausaufgaben erledigen. Jedoch fängt sie nicht sofort an, sondern daddelt erst noch 60min. Dann beginnt sie jedoch mit ihren Hausaufgaben. Nach 30min hat sie ihre Mathehausaufgaben fertig und muss nun nur noch Deutsch machen. 
Dafür muss sie noch ein 15-seitiges Kapitel in einem Roman lesen. Als sie nach 5 Minuten die dritte Seite fertig gelesen hat, schaut sie auf ihr Handy. Sie hat nur noch 20min bis sie sich für ihr Fußball-Training fertig machen muss. Gleichzeitig sieht sie eine Whats-App Nachricht von ihrer Freundin Marie, die schreibt: "Hey, hast du Deutsch schon fertig? Hab das Kapitel nicht gerafft. Kannst du mir das beim Sport zusammenfassen?" 
Kann Susanne ihrer Freundin, Marie, versprechen ihr das Kapitel beim Fußball zu erklären?
{{Lösung versteckt|1= 1. Tipp: Überlege welche Zeitangaben für die Lösung der Aufgabe notwendig sind. 
2. Tipp: Trage die relvanten Informationen als Punkte in ein Koordinatensystem. 
3. Tipp: Mit welcher Geschwindigkeit liest Susanne Seiten pro Minute? Welche Gleichung kennst du, mit der du ihre Lesegeschwindigkeit modellieren kannst? |2= Tipp |3=Tipp}}
{{Lösung versteckt|1= Es gibt verschiedene Lösungsideen. Zwei Beispiele sind eine grafische Lösung mit Hilfe eines Koordinatensystems oder eine algebraische Lösung mit Hilfe einer linearen Funktion. Eine algebraische Lösung könnte wie folgt aussehen: 
Die Zeitangaben für die Bearbeitung der Deutschaufgabe reichen aus, um die Aufgabe zu lösen. Alle anderen Zeitangaben helfen uns nicht. Als Marie die Nachricht liest, hat sie bereits 3 Seiten gelesen. Sie ließt mit einer Geschwindigkeit von 3 Seiten pro 5 Minuten. Wir können also jedem Zeitpunkt eine Anzahl von gelesenen Seiten zuordnen. Wir setzen den Startzeitpunkt auf den Moment, in dem sie die Nachricht bekommt. Und setzen, dass <math>x</math> die Einheit <math>\frac{Seiten}{5 Minuten}</math> hat. 
Also lautet unsere Gleichung: 
<math>f(x)=3+3x</math> 
Wir wollen wissen, wann Susanne 15 Seiten gelesen hat, also setzen wir für <math>f(x)=15</math> (Seiten) ein. 
<math>15=3+3x |-3 </math> 
<math><=> 12=3x | :3 </math> 
<math><=> x=4 </math>. 
Also braucht Susanne noch <math>4</math> mal <math>5</math> Minuten, also insgesamt 20min. Wenn sie sich beeilt, kann sie es also noch schaffen.|2= Lösung |3=Lösung}}
|3=Merke}}

===Textaufgabe: Katzendurst===
{{Box |1=Aufgabe 9: Wasser für die Katze|2= Marc und Claudia freuen sich schon auf ihren 1 wöchigen Urlaub. Leider dürfen ihre Katzen, Findus und Sabbel, jedoch nicht mit. Das Trockenfutter ist zwar ausreichend lang haltbar, aber damit die Katzen im heißen Sommer auch immer Wasser finden können, wollen die Beiden einen Wasserspender kaufen. Im Geschäft sehen sie zwei verschiedene Typen von Wasserspendern, die unterschiedlich teuer sind. In den einen Wasserspender für 10€ (Wasserspender A) passen <math>8l</math> Wasser und er ist nach <math>30</math> Tagen leer. In den anderen Wasserspender für 25€ (Wasserspender B) passen <math>6l</math> und er ist schon nach <math>10</math> Tagen leer. Der Wassertrog der Katzen hat ein Fassungsvermögen von <math>500ml</math>. Überlaufendes Wasser fließt in Marcs und Claudias Garage in einen Gulli. Welche Wasserspender sollten Marc und Claudia für ihre Katzen kaufen?

{{Lösung versteckt|1 = Als erstes könntest du versuchen je eine Funktionsvorschrift für die Wasserspender zu suchen. Kannst du an diesen Ablesen wie viel Wasser Sie jeden Tag zur Verfügung stellen? Im nächsten Schritt müsstest du herausfinden, wie viel Wasser jeden Tag benötigt wird. Hast du schon dafür alle notwendigen Infos gegeben? 
Nun kannst du den Verbrauch und das bereitgestellte Wasser in Beziehung zueinander stellen. Welchen Wasserspender sollten die Beiden kaufen? Reichen die Wasserspender für den ganzen Urlaub?| 2= Ein mögliches Vorgehen | 3= Ein mögliches Vorgehen}}

{{Lösung versteckt|1 = Mit zwei Punkten kannst du bereits eine lineare Funktion aufstellen. Suche diese beiden Punkte im Text für die jeweiligen Behälter. Falls du die Punkte findest, aber Schwierigkeiten bei dem Aufstellen der Gleichung hast, schaue dir Aufgabe 4 an. 
Welche Bedeutung haben das m und das n der allgemeinen Form einer linearen Gleichung? 
Was könnte für Marc und Claudia neben der angemessen Wasserversorgung ihrer Katzen noch von Bedeutung sein?| 2=Tipps |3=Tipps }}

{{Lösung versteckt|1 = Die Punkte für den Wasserspender A sind <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math>. Die Punkte für den Wasserspender B sind <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math>. Setze für jeden Wasserspender die jeweiligen beiden Punkte in die allgemeine Form der linearen Funktion ein. |2=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte|3=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte}}

{{Lösung versteckt|1=
Durch eine Internetrecherche können wir herausfinden, dass Katzen 200-250ml Wasser am Tag zu sich nehmen sollten. Um auf Nummer sicher zu gehen gehen wir also davon aus, dass Findus und Sabbel zusammen <math>500ml=0,5l</math> benötigen. 
'''Wasserspender A: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> f(x) = m\cdot x+b</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|8)</math>:''' <math> f(0) = m\cdot 0+b = 8</math>, wodurch <math>b=8</math> folgt.

'''<math>(30|0)</math>:''' <math>f(30) = m\cdot 30+b=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>b=8</math> ist, folgt hieraus, dass <math>m=-\frac{8}{30}=-\frac{4}{15}</math> ist.

Setzt man nun <math>m</math> und <math>b</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> f(x) = -\frac{4}{15} \cdot x + 8</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender A ist also <math>m=-\frac{4}{15}=</math>. Wasserspender A gibt also jeden Tag etwas mehr Wasser als 250ml und somit lediglich ausreichend viel Wasser für eine Katze ab.
Außerdem ist Wasserspender A nach 7 Tagen noch nicht leer: 
<math>f(7)= -\frac{4}{15} \cdot 7 + 8 = \frac{92}{15}=6 \frac{2}{15} > 0</math> 

'''Wasserspender B: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> g(x) = n\cdot x+a</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|6)</math>: ''' <math> g(0) = n\cdot 0+a = 6</math>, wodurch <math>a=6</math> folgt.

'''<math>(10|0)</math>:''' <math>g(10) = n\cdot 10+a=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>a=6</math> ist, folgt hieraus, dass <math>n=-\frac{3}{5}</math> ist.

Setzt man nun <math>n</math> und <math>a</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> g(x) = -\frac{3}{5} \cdot x + 6</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender B ist <math>n=-\frac{3}{5}</math>. Wasserspender B gibt also jeden Tag <math>600ml</math> und somit ausreichend viel Wasser für beide Katzen ab. 

Außerdem ist auch Wasserspender B nach 7 Tagen noch nicht leer: 

<math>g(7) = -\frac{3}{5} \cdot 7 + 6 = \frac{9}{5}=1 \frac{4}{5} > 0 </math> 

Nun können wir nachvollziehbarerweise annehmen, dass Claudia und Marc möglichst wenig Geld ausgeben wollen. Zwei Wasserbehälter A kosten <math>2 \cdot 10€</math> also <math>5€</math> weniger als ein Wasserspender B (<math>25€</math>.

'''Abschließende Antwort''' 
Zwar könnte ein Wasserspender der Sorte B für die beiden Katzen 1 Woche genug Wasser bereitstellen, aber zwei Wasserspender der Sorte A sind zusammen immer noch preisweiter und können gemeinsam immer noch genügend Wasser für die beiden Katzen bereitstellen. Claudia und Marc sollten also zwei Wasserspender des Typs A kaufen.

|2=Lösungsvorschlag|3=Lösungsvorschlag}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Textaufgabe: Schulbus===
{{Box|1=Aufgabe 10: Schulbus|2=Nach der Schule verpasst Isolde den Bus und müsste nun den Weg von 11km nach Hause laufen. Sie ruft ihre Mutter an und bittet sie, sie abzuholen. Ihre Mutter fährt ihr auf der Landstraße mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 72 km/h entgegen. Isolde geht ihrer Mutter entgegen und geht dabei durchschnittlich 75m pro Minute. Beide machen sich gleichzeitig nach dem Telefonat auf den Weg.

'''a)''' Stelle eine Funktionsvorschrift für Isoldes Entfernung von zu Hause und eine Funktionsvorschrift für die Entfernung der Mutter von zu Hause in Abhängigkeit von der Zeit auf.

{{Lösung versteckt|1 = Lineare Funktionen haben immer die Form <math>f(x)= mx + n </math>. Hierbei ist <math> m </math> die Steigung und <math> n </math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt. Welche Informationen aus der Aufgabe entsprechen welchen Eigenschaften der gesuchten Funktionen?

Achte auch darauf, dass die Funktionen die Entfernung in der gleichen Einheit angeben und auch für die Zeit beide die gleiche Einheit verwenden sollten. Das erleichtert das spätere Rechnen mit den Funktionen.|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Wir geben die Zeit in Minuten und die Entfernung in Metern an. Die Funktion <math>f(x)=ax+b</math> soll Isoldes Entfernung von zu Hause und die Funktion <math>g(x)=cx+d</math> die Entfernung der Mutter von zu Hause beschreiben. Isolde ist zu Beginn 11km, also 11000m von zu Hause entfernt. Der y-Achsenabschnitt von f ist demnach a=11000. Isolde legt pro Minute 75m zurück. Dabei entfernt sie sich nicht von zu Hause, sondern nähert sich. Die Steigung b ist deshalb negativ und beträgt -75. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>f(x)=-75x+11000</math>. Die Mutter startet zu Hause, der y-Achsenabschnitt d von g(x) ist also gleich 0. Sie fährt mit einer Geschwindigkeit von 72km/h, was 1200m pro Minute entspricht. Damit entfernt sie sich von zu Hause, die Steigung d ist deshalb positiv und beträgt 1200. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>g(x)=1200x</math>. |2=Lösung|3=Lösung}}

'''b)''' Berechne, wie lange es dauert, bis die beiden sich treffen.

{{Lösung versteckt|1 = Welchem Punkt der Funktionsgraphen von f und g entspricht dem Treffpunkt der beiden Funktionen? Wie berechnet man diesen Punkt?|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Erinnere dich daran, dass die x-Achse die Zeit angibt, die verstrichen ist, seitdem Isolde losgegangen ist. Die y-Achse gibt den Abstand an, den die Mutter ihrer Tochter bereits entgegen gefahren ist. Dieser Abstand verringert sich dadurch, dass Isolde ihrer Mutter entgegengeht, somit hat die Funktion von Isolde eine negative Steigung. Der Schnittpunkt beider Funktionsgraphen gibt auf dem x-Wert an, wann sich die beiden treffen. Wir setzen die Funktionsvorschriften gleich, um den x-Wert des Schnittpunktes zu bestimmen. <math>\begin{align} -75x+11000 & = 1200x \quad | +75x \\
11000 & = 1275x \quad | : 1275 \\
\frac{440}{51} & = x \approx 8,6\end{align}</math>. 
Es dauert ungefähr 9 Minuten, bis die beiden sich treffen.|2=Lösung|3=Lösung}}|3=Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen

2019-11-11T17:13:07Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen */

{{Box
|Info
|In diesem Lernpfad kannst du dein Wissen über lineare Funktionen anwenden und erweitern und dein Verständnis vertiefen. Das Kapitel behandelt die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, ihren Funktionsgleichungen, ihren Funktionsgraphen und darauf liegenden Punkten.

In Aufgaben, die ''gelb'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind'' Forderaufgaben''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind besonders anspruchsvolle ''Knobelaufgaben''.

Das Kapitel beginnt mit einem kurzen Lückentext zur Wiederholung und endet mit drei Anwendungsaufgaben.
| Kurzinfo
}}

===Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung===

{{Box|1= Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|2= Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

{{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=pzotbf9h519}}

<ggb_applet id="hafd2mmt" width="700" height="500" border="888888" />|3= Arbeitsmethode}}

===Lineare Funktionen erkennen===
{{Box|1=Aufgabe 2: Welche Art von Funktion ist es?|2=Sieh dir den jeweiligen Graphen oder die jeweilige Funktionsvorschrift (bzw. Gleichung) an. Stellt der Graph oder die Funktionsvorschrift eine lineare, eine andere Funktion oder gar keine Funktion dar?
{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=px8y1m7tj19}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Funktionen muss welcher Variablen auf welcher Achse genau 1 Wert auf der anderen Achse zugeordnet werden? Schau dir den Lückentext in Aufgabe 1 noch einmal an. Wie sieht der Graph einer jeden linearen Funktion aus? Wie ist die allgemeine Form von lineren Funktionen? |2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1='''Keine Funktion:'''
Der Kreis und die zur <math>y</math>-Achse parallelen Gerade sind keine Funktionen. Funktionen ordnen jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Bei Kreisen werden jedem x-Wert genau 2 y-Werte zugeordnet. Bei Geraden parallel zur y-Achse werden einem x-Wert sogar alle y-Werte zugeordnet. Also sind Kreise und Geraden parallel zur y-Achse keine Funktionen.

'''Lineare Funktionen:'''
Alle Geraden, die nicht parallel zur <math>y</math>-Achse verlaufen (also nicht senkrecht sind) und alle Funktionen, bei denen die Variabel den Exponent <math>0</math> oder <math>1</math> hat, sind lineare Funktionen. Die allgemeine Zuordnungsvorschrift für lineare Funktionen lautet: <math>=f(x)=mx+n</math>.

'''Andere Funktionen:''' Alle Funktionen, die keine linearen Funktionen sind, sind andere Funktionen.
|2 = Lösung|3= Lösung}}
|3=Merke}}

===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen===

{{Box|1 = Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen|2 =
In den folgenden Teilaufgaben hast du jeweils die Steigung der Geraden und einen Punkt gegeben, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Allgemeiner Tipp|3=Tipp}}

'''a)''' Die Steigung ist <math>m = -4</math> und der Punkt <math>P(-7|-1)</math>.

{{Lösung versteckt|1 = # Setze zunächst für die Steigung <math>m = -4</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = -4x + n</math> entsteht.
# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-7|-1)</math>, sodass du mit <math>x = -7</math> und <math>f(x) = -1</math> die Gleichung <math>-1 = -4\cdot(-7) + n</math> erhältst.
# Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -29</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = -4x - 29</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Die Steigung ist <math>m = 3,5</math> und der Punkt <math>P(2|5)</math>.

{{Lösung versteckt|1 = # Setze zunächst für die Steigung <math>m = 3,5</math> ein, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = 3,5\cdot x + n</math> entsteht.
# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(2|5)</math>, sodass du mit <math>x = 2</math> und <math>f(x) = 5</math> die Gleichung <math>5 = 3,5\cdot2 + n</math> erhältst.
# Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -2</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = 3,5\cdot x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Die Steigung ist <math>m = \frac{5}{8}</math> und der Punkt <math>P(-\frac{2}{7}|\frac{3}{4})</math>.

{{Lösung versteckt|1 = # Setze zunächst für die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = \frac{5}{8}x + n</math> entsteht.
# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-\frac{2}{7}|\frac{3}{4})</math>, sodass du mit <math>x = -\frac{2}{7}</math> und <math>f(x) = \frac{3}{4})</math> die Gleichung <math>\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + n</math> erhältst.
# Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Das Steigungsdreieck|
2=Die Steigung einer linearen Funktion bestimmt man in der Regel mit folgenden Schritten:
# Zunächst benötigt man zwei beliebige Punkte <math>P(x_P|y_P)</math> und <math>Q(x_Q|y_Q)</math>.
# Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P</math>
# Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P</math>
# Für die Steigung <math>m</math> der Geraden gilt: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}</math>
<ggb_applet id="jbd6xgfh" width="750" height="500" border="888888" />
|3=Merksatz}}

{{Box|1=Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen|2= Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

{{Lösung versteckt|1=
# Berechne zunächst die Steigung <math>m</math>, indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst.
# Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt <math>n</math>, indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
|2=Tipp: Allgemeines Vorgehen|3=Tipp: Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen}}

{{Lösung versteckt|1=
Du kannst die Geradengleichung auch auf anderen Wegen erhalten:
* Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems:
** Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>x</math> und die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>f(x)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
** Beide Gleichungen ergeben ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> zu bestimmen.
** Die bestimmten Unbekannten setzt du anschließend in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
* Lösung mit Hilfe eines Graphen:
** Zeichne die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> in ein Koordinatensystem ein.
** Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> verläuft.
** Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung <math>m</math>.
** Lies den y-Achsenabschnitt <math>n</math> am Graphen ab.
** Setze alles in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Tipp: Alternative Vorgehen|3=Tipp: Bestimmung mit Hilfe eines LGS oder Graphen}}

'''a)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = 2x</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 3 - 1 = 2</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = 2</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 2 = 2 \cdot 1 + n \Leftrightarrow 2 = 2 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 6 = 2 \cdot 3 + n \Leftrightarrow 6 = 6 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>2 = m \cdot 1 + n</math> und <math>6 = m \cdot 3 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = 2</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 0</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4a).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(2/1)</math> und <math>Q(6/-5)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -1,5x + 4</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -5 - 1 = -6</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2} = -1,5</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -1,5</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 1 = -1,5 \cdot 2 + n \Leftrightarrow 1 = -3 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -5 = -1,5 \cdot 6 + n \Leftrightarrow -5 = -9 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>1 = m \cdot 2 + n</math> und <math>-5 = m \cdot 6 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -1,5</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 4</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4b).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math>. 

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -\frac{7}{18}x + \frac{23}{18}</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -3 - 4 = -7</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 11 - (-7) = 11 + 7 = 18</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-7}{18} = -\frac{7}{18}</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -\frac{7}{18}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 4 = -\frac{7}{18} \cdot -7 + n \Leftrightarrow \frac{72}{18} = \frac{49}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -3 = -\frac{7}{18} \cdot 11 + n \Leftrightarrow -\frac{90}{18} = -\frac{77}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>4 = m \cdot -7 + n</math> und <math>-3 = m \cdot 11 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -\frac{7}{18}</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = \frac{23}{18}</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4c).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

|3=Arbeitsmethode}}

===Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen===
{{Box |1= Aufgabe 5: Punkte auf dem Graphen|2=Prüfe für die angegebenen linearen Funktionen, welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen. Arbeite zunächst im Heft und ordne dann jeder Funktion die Punkte zu, die auf ihrem Graphen liegen. Klicke dabei immer zunächst auf die Funktion und anschließend auf die zugehörigen Punkte. Je mehr Punkte du ihren Funktionen richtig zuweist, desto mehr wird sich ein Bild im Hintergrund aufdecken! 
Hinweis: Einer Funktion können mehrere Punkte zugeordnet sein, aber jedem Punkt ist nur genau eine Funktion zugeordnet.

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=p446x08nn19}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze die x-Koordinaten der Punkte in die Funktionen ein und vergleiche den Funktionswert mit den y-Koordinaten der Punkte|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 =
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> liegen die Punkte: <math>(-1|1)</math>, <math>(0|3)</math>, <math>(2|7)</math>, <math>(1|5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -x + 12</math> liegen die Punkte: <math>(2|10)</math>, <math>(12|0)</math>, <math>(\frac{7}{2}|\frac{17}{2})</math>, <math>(9|3)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}</math> liegen die Punkte: <math>(-1|-1)</math>, <math>(5|-5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = \frac{3}{8}</math> liegen die Punkte: <math>(4|\frac{3}{8})</math>, <math>(9|\frac{9}{24})</math>.

Beispielhafter Lösungsweg:
* Wir setzen die x-Koordinate des Punktes <math>(-1|1)</math> in die Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> ein und berechnen den Funktionswert:
** <math>f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1</math>.
** Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
* Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den x-Wert des Punktes <math>(2|10)</math> ein und berechnen wieder den Funktionswert:
** <math>f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7</math>.
** Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7.
** Der Punkt <math>(2|10)</math> liegt also nicht auf dem Graphen.
|2 = Lösung|3 = Lösung}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Eine lineare Gleichung einer Geraden zuordnen===

{{Box |1= Aufgabe 6a: Funktionen zeichnen |2=Zeichne die folgenden drei Funktionen alle in ein Koordinatensystem. Überlege dir vorher, wie groß das Koordinatensystem für diese Funktionen sein muss, damit man jeden Schnitt zwischen jeweils zwei Geraden erkennt.

a) <math>f(x) = 4x + 1</math>

b) <math>g(x) = 0,5x - 2,5</math>

c) <math>h(x) = -3x + 1</math>

{{Lösung versteckt|1 = Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung.|2=Tipp|3=Tipp 1}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 6b: Finde Paare|2=Ordne den gegebenen linearen Gleichungen die zugehörige Gerade zu. Beachte: Nicht zu jeder Gleichung ist eine Gerade gegeben.

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pdwa2pz1k19}}

{{Lösung versteckt|1 = Nicht vergessen: Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung. Vielleicht erkennst du alleine anhand des <math>y</math>-Achsenabschnitts schon einige der Funktionen?|2=Tipp|3=Tipp 1}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen===

{{Box|1= Aufgabe 7: Bestimme den Schnittpunkt|2= Zeichne zunächst beide Graphen in ein Koordinatensystem in dein Heft. Bestimme anschließend den x-Wert des Schnittpunktes der beiden Geraden.

{{Lösung versteckt|1 = Um die Geraden zu zeichnen, betrachte zunächst den y-Achsenabschnitt. Falls du dir unsicher bist, was der y-Achsenabschnitt ist, scrolle hoch zum Lückentext in Aufgabe 1.

Anschließend betrachte die Steigung der Geraden. Zeichne ein Steigungsdreieck (Hilfe im Lückentext in Aufgabe 1) und zeichne die Gerade mit Hilfe der Steigung und des y-Achsenabschnitts. |2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1 = Um die Koordinaten des Schnittpunktes zu bestimmten, setzte die beiden Geraden gleich und löse dann nach x auf.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}

'''a)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=2x+4</math> und <math>g(x)=3x</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 4 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''b)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=4x-5</math> und <math>g(x)=-3x+9</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 2 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''c)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)= \frac{3}{2}x-3</math> und <math>g(x)= \frac{1}{2}x+17</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 20 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

|3= Arbeitsmethode}}
===Textaufgabe: Der Freundinnendienst===
{{Box|1=Aufgabe 8: Was man nicht alles für Freundinnen tut.|2= Susanne ist 13 Jahre alt und geht in die 7. Klasse. Heute ist sie um 13.45 Uhr von der Schule nach Hause gekommen. Beim Mittagessen erzählt sie für 30min von ihrem Schultag. Bevor sie zum Sport geht, soll sie noch ihre Hausaufgaben erledigen. Jedoch fängt sie nicht sofort an, sondern daddelt erst noch 60min. Dann beginnt sie jedoch mit ihren Hausaufgaben. Nach 30min hat sie ihre Mathehausaufgaben fertig und muss nun nur noch Deutsch machen. 
Dafür muss sie noch ein 15-seitiges Kapitel in einem Roman lesen. Als sie nach 5 Minuten die dritte Seite fertig gelesen hat, schaut sie auf ihr Handy. Sie hat nur noch 20min bis sie sich für ihr Fußball-Training fertig machen muss. Gleichzeitig sieht sie eine Whats-App Nachricht von ihrer Freundin Marie, die schreibt: "Hey, hast du Deutsch schon fertig? Hab das Kapitel nicht gerafft. Kannst du mir das beim Sport zusammenfassen?" 
Kann Susanne ihrer Freundin, Marie, versprechen ihr das Kapitel beim Fußball zu erklären?
{{Lösung versteckt|1= 1. Tipp: Überlege welche Zeitangaben für die Lösung der Aufgabe notwendig sind. 
2. Tipp: Trage die relvanten Informationen als Punkte in ein Koordinatensystem. 
3. Tipp: Mit welcher Geschwindigkeit liest Susanne Seiten pro Minute? Welche Gleichung kennst du, mit der du ihre Lesegeschwindigkeit modellieren kannst? |2= Tipp |3=Tipp}}
{{Lösung versteckt|1= Es gibt verschiedene Lösungsideen. Zwei Beispiele sind eine grafische Lösung mit Hilfe eines Koordinatensystems oder eine algebraische Lösung mit Hilfe einer linearen Funktion. Eine algebraische Lösung könnte wie folgt aussehen: 
Die Zeitangaben für die Bearbeitung der Deutschaufgabe reichen aus, um die Aufgabe zu lösen. Alle anderen Zeitangaben helfen uns nicht. Als Marie die Nachricht liest, hat sie bereits 3 Seiten gelesen. Sie ließt mit einer Geschwindigkeit von 3 Seiten pro 5 Minuten. Wir können also jedem Zeitpunkt eine Anzahl von gelesenen Seiten zuordnen. Wir setzen den Startzeitpunkt auf den Moment, in dem sie die Nachricht bekommt. Und setzen, dass <math>x</math> die Einheit <math>\frac{Seiten}{5 Minuten}</math> hat. 
Also lautet unsere Gleichung: 
<math>f(x)=3+3x</math> 
Wir wollen wissen, wann Susanne 15 Seiten gelesen hat, also setzen wir für <math>f(x)=15</math> (Seiten) ein. 
<math>15=3+3x |-3 </math> 
<math><=> 12=3x | :3 </math> 
<math><=> x=4 </math>. 
Also braucht Susanne noch <math>4</math> mal <math>5</math> Minuten, also insgesamt 20min. Wenn sie sich beeilt, kann sie es also noch schaffen.|2= Lösung |3=Lösung}}
|3=Merke}}

===Textaufgabe: Katzendurst===
{{Box |1=Aufgabe 9: Wasser für die Katze|2= Marc und Claudia freuen sich schon auf ihren 1 wöchigen Urlaub. Leider dürfen ihre Katzen, Findus und Sabbel, jedoch nicht mit. Das Trockenfutter ist zwar ausreichend lang haltbar, aber damit die Katzen im heißen Sommer auch immer Wasser finden können, wollen die Beiden einen Wasserspender kaufen. Im Geschäft sehen sie zwei verschiedene Typen von Wasserspendern, die unterschiedlich teuer sind. In den einen Wasserspender für 10€ (Wasserspender A) passen <math>8l</math> Wasser und er ist nach <math>30</math> Tagen leer. In den anderen Wasserspender für 25€ (Wasserspender B) passen <math>6l</math> und er ist schon nach <math>10</math> Tagen leer. Der Wassertrog der Katzen hat ein Fassungsvermögen von <math>500ml</math>. Überlaufendes Wasser fließt in Marcs und Claudias Garage in einen Gulli. Welche Wasserspender sollten Marc und Claudia für ihre Katzen kaufen?

{{Lösung versteckt|1 = Als erstes könntest du versuchen je eine Funktionsvorschrift für die Wasserspender zu suchen. Kannst du an diesen Ablesen wie viel Wasser Sie jeden Tag zur Verfügung stellen? Im nächsten Schritt müsstest du herausfinden, wie viel Wasser jeden Tag benötigt wird. Hast du schon dafür alle notwendigen Infos gegeben? 
Nun kannst du den Verbrauch und das bereitgestellte Wasser in Beziehung zueinander stellen. Welchen Wasserspender sollten die Beiden kaufen? Reichen die Wasserspender für den ganzen Urlaub?| 2= Ein mögliches Vorgehen | 3= Ein mögliches Vorgehen}}

{{Lösung versteckt|1 = Mit zwei Punkten kannst du bereits eine lineare Funktion aufstellen. Suche diese beiden Punkte im Text für die jeweiligen Behälter. Falls du die Punkte findest, aber Schwierigkeiten bei dem Aufstellen der Gleichung hast, schaue dir Aufgabe 4 an. 
Welche Bedeutung haben das m und das n der allgemeinen Form einer linearen Gleichung? 
Was könnte für Marc und Claudia neben der angemessen Wasserversorgung ihrer Katzen noch von Bedeutung sein?| 2=Tipps |3=Tipps }}

{{Lösung versteckt|1 = Die Punkte für den Wasserspender A sind <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math>. Die Punkte für den Wasserspender B sind <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math>. Setze für jeden Wasserspender die jeweiligen beiden Punkte in die allgemeine Form der linearen Funktion ein. |2=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte|3=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte}}

{{Lösung versteckt|1=
Durch eine Internetrecherche können wir herausfinden, dass Katzen 200-250ml Wasser am Tag zu sich nehmen sollten. Um auf Nummer sicher zu gehen gehen wir also davon aus, dass Findus und Sabbel zusammen <math>500ml=0,5l</math> benötigen. 
'''Wasserspender A: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> f(x) = m\cdot x+b</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|8)</math>:''' <math> f(0) = m\cdot 0+b = 8</math>, wodurch <math>b=8</math> folgt.

'''<math>(30|0)</math>:''' <math>f(30) = m\cdot 30+b=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>b=8</math> ist, folgt hieraus, dass <math>m=-\frac{8}{30}=-\frac{4}{15}</math> ist.

Setzt man nun <math>m</math> und <math>b</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> f(x) = -\frac{4}{15} \cdot x + 8</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender A ist also <math>m=-\frac{4}{15}=</math>. Wasserspender A gibt also jeden Tag etwas mehr Wasser als 250ml und somit lediglich ausreichend viel Wasser für eine Katze ab.
Außerdem ist Wasserspender A nach 7 Tagen noch nicht leer: 
<math>f(7)= -\frac{4}{15} \cdot 7 + 8 = \frac{92}{15}=6 \frac{2}{15} > 0</math> 

'''Wasserspender B: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> g(x) = n\cdot x+a</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|6)</math>: ''' <math> g(0) = n\cdot 0+a = 6</math>, wodurch <math>a=6</math> folgt.

'''<math>(10|0)</math>:''' <math>g(10) = n\cdot 10+a=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>a=6</math> ist, folgt hieraus, dass <math>n=-\frac{3}{5}</math> ist.

Setzt man nun <math>n</math> und <math>a</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> g(x) = -\frac{3}{5} \cdot x + 6</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender B ist <math>n=-\frac{3}{5}</math>. Wasserspender B gibt also jeden Tag <math>600ml</math> und somit ausreichend viel Wasser für beide Katzen ab. 

Außerdem ist auch Wasserspender B nach 7 Tagen noch nicht leer: 

<math>g(7) = -\frac{3}{5} \cdot 7 + 6 = \frac{9}{5}=1 \frac{4}{5} > 0 </math> 

Nun können wir nachvollziehbarerweise annehmen, dass Claudia und Marc möglichst wenig Geld ausgeben wollen. Zwei Wasserbehälter A kosten <math>2 \cdot 10€</math> also <math>5€</math> weniger als ein Wasserspender B (<math>25€</math>.

'''Abschließende Antwort''' 
Zwar könnte ein Wasserspender der Sorte B für die beiden Katzen 1 Woche genug Wasser bereitstellen, aber zwei Wasserspender der Sorte A sind zusammen immer noch preisweiter und können gemeinsam immer noch genügend Wasser für die beiden Katzen bereitstellen. Claudia und Marc sollten also zwei Wasserspender des Typs A kaufen.

|2=Lösungsvorschlag|3=Lösungsvorschlag}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Textaufgabe: Schulbus===
{{Box|1=Aufgabe 10: Schulbus|2=Nach der Schule verpasst Isolde den Bus und müsste nun den Weg von 11km nach Hause laufen. Sie ruft ihre Mutter an und bittet sie, sie abzuholen. Ihre Mutter fährt ihr auf der Landstraße mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 72 km/h entgegen. Isolde geht ihrer Mutter entgegen und geht dabei durchschnittlich 75m pro Minute. Beide machen sich gleichzeitig nach dem Telefonat auf den Weg.

'''a)''' Stelle eine Funktionsvorschrift für Isoldes Entfernung von zu Hause und eine Funktionsvorschrift für die Entfernung der Mutter von zu Hause in Abhängigkeit von der Zeit auf.

{{Lösung versteckt|1 = Lineare Funktionen haben immer die Form <math>f(x)= mx + n </math>. Hierbei ist <math> m </math> die Steigung und <math> n </math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt. Welche Informationen aus der Aufgabe entsprechen welchen Eigenschaften der gesuchten Funktionen?

Achte auch darauf, dass die Funktionen die Entfernung in der gleichen Einheit angeben und auch für die Zeit beide die gleiche Einheit verwenden sollten. Das erleichtert das spätere Rechnen mit den Funktionen.|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Wir geben die Zeit in Minuten und die Entfernung in Metern an. Die Funktion <math>f(x)=ax+b</math> soll Isoldes Entfernung von zu Hause und die Funktion <math>g(x)=cx+d</math> die Entfernung der Mutter von zu Hause beschreiben. Isolde ist zu Beginn 11km, also 11000m von zu Hause entfernt. Der y-Achsenabschnitt von f ist demnach a=11000. Isolde legt pro Minute 75m zurück. Dabei entfernt sie sich nicht von zu Hause, sondern nähert sich. Die Steigung b ist deshalb negativ und beträgt -75. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>f(x)=-75x+11000</math>. Die Mutter startet zu Hause, der y-Achsenabschnitt d von g(x) ist also gleich 0. Sie fährt mit einer Geschwindigkeit von 72km/h, was 1200m pro Minute entspricht. Damit entfernt sie sich von zu Hause, die Steigung d ist deshalb positiv und beträgt 1200. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>g(x)=1200x</math>. |2=Lösung|3=Lösung}}

'''b)''' Berechne, wie lange es dauert, bis die beiden sich treffen.

{{Lösung versteckt|1 = Welchem Punkt der Funktionsgraphen von f und g entspricht dem Treffpunkt der beiden Funktionen? Wie berechnet man diesen Punkt?|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Erinnere dich daran, dass die x-Achse die Zeit angibt, die verstrichen ist, seitdem Isolde losgegangen ist. Die y-Achse gibt den Abstand an, den die Mutter ihrer Tochter bereits entgegen gefahren ist. Dieser Abstand verringert sich dadurch, dass Isolde ihrer Mutter entgegengeht, somit hat die Funktion von Isolde eine negative Steigung. Der Schnittpunkt beider Funktionsgraphen gibt auf dem x-Wert an, wann sich die beiden treffen. Wir setzen die Funktionsvorschriften gleich, um den x-Wert des Schnittpunktes zu bestimmen. <math>\begin{align} -75x+11000 & = 1200x \quad | +75x \\
11000 & = 1275x \quad | : 1275 \\
\frac{440}{51} & = x \approx 8,6\end{align}</math>. 
Es dauert ungefähr 9 Minuten, bis die beiden sich treffen.|2=Lösung|3=Lösung}}|3=Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen

2019-11-11T16:56:43Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen */

{{Box
|Info
|In diesem Lernpfad kannst du dein Wissen über lineare Funktionen anwenden und erweitern und dein Verständnis vertiefen. Das Kapitel behandelt die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, ihren Funktionsgleichungen, ihren Funktionsgraphen und darauf liegenden Punkten.

In Aufgaben, die ''gelb'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind'' Forderaufgaben''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind besonders anspruchsvolle ''Knobelaufgaben''.

Das Kapitel beginnt mit einem kurzen Lückentext zur Wiederholung und endet mit drei Anwendungsaufgaben.
| Kurzinfo
}}

===Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung===

{{Box|1= Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|2= Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

{{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=pzotbf9h519}}

<ggb_applet id="hafd2mmt" width="700" height="500" border="888888" />|3= Arbeitsmethode}}

===Lineare Funktionen erkennen===
{{Box|1=Aufgabe 2: Welche Art von Funktion ist es?|2=Sieh dir den jeweiligen Graphen oder die jeweilige Funktionsvorschrift (bzw. Gleichung) an. Stellt der Graph oder die Funktionsvorschrift eine lineare, eine andere Funktion oder gar keine Funktion dar?
{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=px8y1m7tj19}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Funktionen muss welcher Variablen auf welcher Achse genau 1 Wert auf der anderen Achse zugeordnet werden? Schau dir den Lückentext in Aufgabe 1 noch einmal an. Wie sieht der Graph einer jeden linearen Funktion aus? Wie ist die allgemeine Form von lineren Funktionen? |2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1='''Keine Funktion:'''
Der Kreis und die zur <math>y</math>-Achse parallelen Gerade sind keine Funktionen. Funktionen ordnen jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Bei Kreisen werden jedem x-Wert genau 2 y-Werte zugeordnet. Bei Geraden parallel zur y-Achse werden einem x-Wert sogar alle y-Werte zugeordnet. Also sind Kreise und Geraden parallel zur y-Achse keine Funktionen.

'''Lineare Funktionen:'''
Alle Geraden, die nicht parallel zur <math>y</math>-Achse verlaufen (also nicht senkrecht sind) und alle Funktionen, bei denen die Variabel den Exponent <math>0</math> oder <math>1</math> hat, sind lineare Funktionen. Die allgemeine Zuordnungsvorschrift für lineare Funktionen lautet: <math>=f(x)=mx+n</math>.

'''Andere Funktionen:''' Alle Funktionen, die keine linearen Funktionen sind, sind andere Funktionen.
|2 = Lösung|3= Lösung}}
|3=Merke}}

===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen===

{{Box|1 = Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen|2 =
Gegeben seien stets die Steigung der Geraden und ein Punkt, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Allgemeiner Tipp|3=Tipp}}

'''a)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = -4</math> und der Punkt <math>P(-7/-1)</math>.

{{Lösung versteckt|1 = # Setze zunächst für die Steigung <math>m = -4</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = -4x + n</math> entsteht.
# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-7/-1)</math>, sodass du mit <math>x = -7</math> und <math>f(x) = -1</math> die Gleichung <math>-1 = -4\cdot(-7) + n</math> erhältst.
# Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -29</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = -4x - 29</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = 3,5</math> und der Punkt <math>P(2/5)</math>.

{{Lösung versteckt|1 = # Setze zunächst für die Steigung <math>m = 3,5</math> ein, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = 3,5\cdot x + n</math> entsteht.
# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(2/5)</math>, sodass du mit <math>x = 2</math> und <math>f(x) = 5</math> die Gleichung <math>5 = 3,5\cdot2 + n</math> erhältst.
# Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -2</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = 3,5\cdot x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math> und der Punkt <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>.

{{Lösung versteckt|1 = # Setze zunächst für die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = \frac{5}{8}x + n</math> entsteht.
# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>, sodass du mit <math>x = -\frac{2}{7}</math> und <math>f(x) = \frac{3}{4})</math> die Gleichung <math>\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + n</math> erhältst.
# Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Das Steigungsdreieck|
2=Die Steigung einer linearen Funktion bestimmt man in der Regel mit folgenden Schritten:
# Zunächst benötigt man zwei beliebige Punkte <math>P(x_P|y_P)</math> und <math>Q(x_Q|y_Q)</math>.
# Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P</math>
# Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P</math>
# Für die Steigung <math>m</math> der Geraden gilt: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}</math>
<ggb_applet id="jbd6xgfh" width="750" height="500" border="888888" />
|3=Merksatz}}

{{Box|1=Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen|2= Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

{{Lösung versteckt|1=
# Berechne zunächst die Steigung <math>m</math>, indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst.
# Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt <math>n</math>, indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
|2=Tipp: Allgemeines Vorgehen|3=Tipp: Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen}}

{{Lösung versteckt|1=
Du kannst die Geradengleichung auch auf anderen Wegen erhalten:
* Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems:
** Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>x</math> und die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>f(x)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
** Beide Gleichungen ergeben ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> zu bestimmen.
** Die bestimmten Unbekannten setzt du anschließend in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
* Lösung mit Hilfe eines Graphen:
** Zeichne die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> in ein Koordinatensystem ein.
** Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> verläuft.
** Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung <math>m</math>.
** Lies den y-Achsenabschnitt <math>n</math> am Graphen ab.
** Setze alles in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Tipp: Alternative Vorgehen|3=Tipp: Bestimmung mit Hilfe eines LGS oder Graphen}}

'''a)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = 2x</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 3 - 1 = 2</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = 2</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 2 = 2 \cdot 1 + n \Leftrightarrow 2 = 2 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 6 = 2 \cdot 3 + n \Leftrightarrow 6 = 6 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>2 = m \cdot 1 + n</math> und <math>6 = m \cdot 3 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = 2</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 0</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4a).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(2/1)</math> und <math>Q(6/-5)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -1,5x + 4</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -5 - 1 = -6</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2} = -1,5</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -1,5</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 1 = -1,5 \cdot 2 + n \Leftrightarrow 1 = -3 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -5 = -1,5 \cdot 6 + n \Leftrightarrow -5 = -9 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>1 = m \cdot 2 + n</math> und <math>-5 = m \cdot 6 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -1,5</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 4</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4b).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math>. 

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -\frac{7}{18}x + \frac{23}{18}</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -3 - 4 = -7</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 11 - (-7) = 11 + 7 = 18</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-7}{18} = -\frac{7}{18}</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -\frac{7}{18}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 4 = -\frac{7}{18} \cdot -7 + n \Leftrightarrow \frac{72}{18} = \frac{49}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -3 = -\frac{7}{18} \cdot 11 + n \Leftrightarrow -\frac{90}{18} = -\frac{77}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>4 = m \cdot -7 + n</math> und <math>-3 = m \cdot 11 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -\frac{7}{18}</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = \frac{23}{18}</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4c).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

|3=Arbeitsmethode}}

===Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen===
{{Box |1= Aufgabe 5: Punkte auf dem Graphen|2=Prüfe für die angegebenen linearen Funktionen, welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen. Arbeite zunächst im Heft und ordne dann jeder Funktion die Punkte zu, die auf ihrem Graphen liegen. Klicke dabei immer zunächst auf die Funktion und anschließend auf die zugehörigen Punkte. Je mehr Punkte du ihren Funktionen richtig zuweist, desto mehr wird sich ein Bild im Hintergrund aufdecken! 
Hinweis: Einer Funktion können mehrere Punkte zugeordnet sein, aber jedem Punkt ist nur genau eine Funktion zugeordnet.

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=p446x08nn19}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze die x-Koordinaten der Punkte in die Funktionen ein und vergleiche den Funktionswert mit den y-Koordinaten der Punkte|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 =
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> liegen die Punkte: <math>(-1|1)</math>, <math>(0|3)</math>, <math>(2|7)</math>, <math>(1|5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -x + 12</math> liegen die Punkte: <math>(2|10)</math>, <math>(12|0)</math>, <math>(\frac{7}{2}|\frac{17}{2})</math>, <math>(9|3)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}</math> liegen die Punkte: <math>(-1|-1)</math>, <math>(5|-5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = \frac{3}{8}</math> liegen die Punkte: <math>(4|\frac{3}{8})</math>, <math>(9|\frac{9}{24})</math>.

Beispielhafter Lösungsweg:
* Wir setzen die x-Koordinate des Punktes <math>(-1|1)</math> in die Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> ein und berechnen den Funktionswert:
** <math>f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1</math>.
** Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
* Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den x-Wert des Punktes <math>(2|10)</math> ein und berechnen wieder den Funktionswert:
** <math>f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7</math>.
** Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7.
** Der Punkt <math>(2|10)</math> liegt also nicht auf dem Graphen.
|2 = Lösung|3 = Lösung}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Eine lineare Gleichung einer Geraden zuordnen===

{{Box |1= Aufgabe 6a: Funktionen zeichnen |2=Zeichne die folgenden drei Funktionen alle in ein Koordinatensystem. Überlege dir vorher, wie groß das Koordinatensystem für diese Funktionen sein muss, damit man jeden Schnitt zwischen jeweils zwei Geraden erkennt.

a) <math>f(x) = 4x + 1</math>

b) <math>g(x) = 0,5x - 2,5</math>

c) <math>h(x) = -3x + 1</math>

{{Lösung versteckt|1 = Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung.|2=Tipp|3=Tipp 1}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 6b: Finde Paare|2=Ordne den gegebenen linearen Gleichungen die zugehörige Gerade zu. Beachte: Nicht zu jeder Gleichung ist eine Gerade gegeben.

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pdwa2pz1k19}}

{{Lösung versteckt|1 = Nicht vergessen: Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung. Vielleicht erkennst du alleine anhand des <math>y</math>-Achsenabschnitts schon einige der Funktionen?|2=Tipp|3=Tipp 1}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen===

{{Box|1= Aufgabe 7: Bestimme den Schnittpunkt|2= Zeichne zunächst beide Graphen in ein Koordinatensystem in dein Heft. Bestimme anschließend den x-Wert des Schnittpunktes der beiden Geraden.

{{Lösung versteckt|1 = Um die Geraden zu zeichnen, betrachte zunächst den y-Achsenabschnitt. Falls du dir unsicher bist, was der y-Achsenabschnitt ist, scrolle hoch zum Lückentext in Aufgabe 1.

Anschließend betrachte die Steigung der Geraden. Zeichne ein Steigungsdreieck (Hilfe im Lückentext in Aufgabe 1) und zeichne die Gerade mit Hilfe der Steigung und des y-Achsenabschnitts. |2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1 = Um die Koordinaten des Schnittpunktes zu bestimmten, setzte die beiden Geraden gleich und löse dann nach x auf.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}

'''a)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=2x+4</math> und <math>g(x)=3x</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 4 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''b)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=4x-5</math> und <math>g(x)=-3x+9</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 2 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''c)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)= \frac{3}{2}x-3</math> und <math>g(x)= \frac{1}{2}x+17</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 20 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

|3= Arbeitsmethode}}
===Textaufgabe: Der Freundinnendienst===
{{Box|1=Aufgabe 8: Was man nicht alles für Freundinnen tut.|2= Susanne ist 13 Jahre alt und geht in die 7. Klasse. Heute ist sie um 13.45 Uhr von der Schule nach Hause gekommen. Beim Mittagessen erzählt sie für 30min von ihrem Schultag. Bevor sie zum Sport geht, soll sie noch ihre Hausaufgaben erledigen. Jedoch fängt sie nicht sofort an, sondern daddelt erst noch 60min. Dann beginnt sie jedoch mit ihren Hausaufgaben. Nach 30min hat sie ihre Mathehausaufgaben fertig und muss nun nur noch Deutsch machen. 
Dafür muss sie noch ein 15-seitiges Kapitel in einem Roman lesen. Als sie nach 5 Minuten die dritte Seite fertig gelesen hat, schaut sie auf ihr Handy. Sie hat nur noch 20min bis sie sich für ihr Fußball-Training fertig machen muss. Gleichzeitig sieht sie eine Whats-App Nachricht von ihrer Freundin Marie, die schreibt: "Hey, hast du Deutsch schon fertig? Hab das Kapitel nicht gerafft. Kannst du mir das beim Sport zusammenfassen?" 
Kann Susanne ihrer Freundin, Marie, versprechen ihr das Kapitel beim Fußball zu erklären?
{{Lösung versteckt|1= 1. Tipp: Überlege welche Zeitangaben für die Lösung der Aufgabe notwendig sind. 
2. Tipp: Trage die relvanten Informationen als Punkte in ein Koordinatensystem. 
3. Tipp: Mit welcher Geschwindigkeit liest Susanne Seiten pro Minute? Welche Gleichung kennst du, mit der du ihre Lesegeschwindigkeit modellieren kannst? |2= Tipp |3=Tipp}}
{{Lösung versteckt|1= Es gibt verschiedene Lösungsideen. Zwei Beispiele sind eine grafische Lösung mit Hilfe eines Koordinatensystems oder eine algebraische Lösung mit Hilfe einer linearen Funktion. Eine algebraische Lösung könnte wie folgt aussehen: 
Die Zeitangaben für die Bearbeitung der Deutschaufgabe reichen aus, um die Aufgabe zu lösen. Alle anderen Zeitangaben helfen uns nicht. Als Marie die Nachricht liest, hat sie bereits 3 Seiten gelesen. Sie ließt mit einer Geschwindigkeit von 3 Seiten pro 5 Minuten. Wir können also jedem Zeitpunkt eine Anzahl von gelesenen Seiten zuordnen. Wir setzen den Startzeitpunkt auf den Moment, in dem sie die Nachricht bekommt. Und setzen, dass <math>x</math> die Einheit <math>\frac{Seiten}{5 Minuten}</math> hat. 
Also lautet unsere Gleichung: 
<math>f(x)=3+3x</math> 
Wir wollen wissen, wann Susanne 15 Seiten gelesen hat, also setzen wir für <math>f(x)=15</math> (Seiten) ein. 
<math>15=3+3x |-3 </math> 
<math><=> 12=3x | :3 </math> 
<math><=> x=4 </math>. 
Also braucht Susanne noch <math>4</math> mal <math>5</math> Minuten, also insgesamt 20min. Wenn sie sich beeilt, kann sie es also noch schaffen.|2= Lösung |3=Lösung}}
|3=Merke}}

===Textaufgabe: Katzendurst===
{{Box |1=Aufgabe 9: Wasser für die Katze|2= Marc und Claudia freuen sich schon auf ihren 1 wöchigen Urlaub. Leider dürfen ihre Katzen, Findus und Sabbel, jedoch nicht mit. Das Trockenfutter ist zwar ausreichend lang haltbar, aber damit die Katzen im heißen Sommer auch immer Wasser finden können, wollen die Beiden einen Wasserspender kaufen. Im Geschäft sehen sie zwei verschiedene Typen von Wasserspendern, die unterschiedlich teuer sind. In den einen Wasserspender für 10€ (Wasserspender A) passen <math>8l</math> Wasser und er ist nach <math>30</math> Tagen leer. In den anderen Wasserspender für 25€ (Wasserspender B) passen <math>6l</math> und er ist schon nach <math>10</math> Tagen leer. Der Wassertrog der Katzen hat ein Fassungsvermögen von <math>500ml</math>. Überlaufendes Wasser fließt in Marcs und Claudias Garage in einen Gulli. Welche Wasserspender sollten Marc und Claudia für ihre Katzen kaufen?

{{Lösung versteckt|1 = Als erstes könntest du versuchen je eine Funktionsvorschrift für die Wasserspender zu suchen. Kannst du an diesen Ablesen wie viel Wasser Sie jeden Tag zur Verfügung stellen? Im nächsten Schritt müsstest du herausfinden, wie viel Wasser jeden Tag benötigt wird. Hast du schon dafür alle notwendigen Infos gegeben? 
Nun kannst du den Verbrauch und das bereitgestellte Wasser in Beziehung zueinander stellen. Welchen Wasserspender sollten die Beiden kaufen? Reichen die Wasserspender für den ganzen Urlaub?| 2= Ein mögliches Vorgehen | 3= Ein mögliches Vorgehen}}

{{Lösung versteckt|1 = Mit zwei Punkten kannst du bereits eine lineare Funktion aufstellen. Suche diese beiden Punkte im Text für die jeweiligen Behälter. Falls du die Punkte findest, aber Schwierigkeiten bei dem Aufstellen der Gleichung hast, schaue dir Aufgabe 4 an. 
Welche Bedeutung haben das m und das n der allgemeinen Form einer linearen Gleichung? 
Was könnte für Marc und Claudia neben der angemessen Wasserversorgung ihrer Katzen noch von Bedeutung sein?| 2=Tipps |3=Tipps }}

{{Lösung versteckt|1 = Die Punkte für den Wasserspender A sind <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math>. Die Punkte für den Wasserspender B sind <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math>. Setze für jeden Wasserspender die jeweiligen beiden Punkte in die allgemeine Form der linearen Funktion ein. |2=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte|3=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte}}

{{Lösung versteckt|1=
Durch eine Internetrecherche können wir herausfinden, dass Katzen 200-250ml Wasser am Tag zu sich nehmen sollten. Um auf Nummer sicher zu gehen gehen wir also davon aus, dass Findus und Sabbel zusammen <math>500ml=0,5l</math> benötigen. 
'''Wasserspender A: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> f(x) = m\cdot x+b</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|8)</math>:''' <math> f(0) = m\cdot 0+b = 8</math>, wodurch <math>b=8</math> folgt.

'''<math>(30|0)</math>:''' <math>f(30) = m\cdot 30+b=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>b=8</math> ist, folgt hieraus, dass <math>m=-\frac{8}{30}=-\frac{4}{15}</math> ist.

Setzt man nun <math>m</math> und <math>b</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> f(x) = -\frac{4}{15} \cdot x + 8</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender A ist also <math>m=-\frac{4}{15}=</math>. Wasserspender A gibt also jeden Tag etwas mehr Wasser als 250ml und somit lediglich ausreichend viel Wasser für eine Katze ab.
Außerdem ist Wasserspender A nach 7 Tagen noch nicht leer: 
<math>f(7)= -\frac{4}{15} \cdot 7 + 8 = \frac{92}{15}=6 \frac{2}{15} > 0</math> 

'''Wasserspender B: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> g(x) = n\cdot x+a</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|6)</math>: ''' <math> g(0) = n\cdot 0+a = 6</math>, wodurch <math>a=6</math> folgt.

'''<math>(10|0)</math>:''' <math>g(10) = n\cdot 10+a=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>a=6</math> ist, folgt hieraus, dass <math>n=-\frac{3}{5}</math> ist.

Setzt man nun <math>n</math> und <math>a</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> g(x) = -\frac{3}{5} \cdot x + 6</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender B ist <math>n=-\frac{3}{5}</math>. Wasserspender B gibt also jeden Tag <math>600ml</math> und somit ausreichend viel Wasser für beide Katzen ab. 

Außerdem ist auch Wasserspender B nach 7 Tagen noch nicht leer: 

<math>g(7) = -\frac{3}{5} \cdot 7 + 6 = \frac{9}{5}=1 \frac{4}{5} > 0 </math> 

Nun können wir nachvollziehbarerweise annehmen, dass Claudia und Marc möglichst wenig Geld ausgeben wollen. Zwei Wasserbehälter A kosten <math>2 \cdot 10€</math> also <math>5€</math> weniger als ein Wasserspender B (<math>25€</math>.

'''Abschließende Antwort''' 
Zwar könnte ein Wasserspender der Sorte B für die beiden Katzen 1 Woche genug Wasser bereitstellen, aber zwei Wasserspender der Sorte A sind zusammen immer noch preisweiter und können gemeinsam immer noch genügend Wasser für die beiden Katzen bereitstellen. Claudia und Marc sollten also zwei Wasserspender des Typs A kaufen.

|2=Lösungsvorschlag|3=Lösungsvorschlag}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Textaufgabe: Schulbus===
{{Box|1=Aufgabe 10: Schulbus|2=Nach der Schule verpasst Isolde den Bus und müsste nun den Weg von 11km nach Hause laufen. Sie ruft ihre Mutter an und bittet sie, sie abzuholen. Ihre Mutter fährt ihr auf der Landstraße mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 72 km/h entgegen. Isolde geht ihrer Mutter entgegen und geht dabei durchschnittlich 75m pro Minute. Beide machen sich gleichzeitig nach dem Telefonat auf den Weg.

'''a)''' Stelle eine Funktionsvorschrift für Isoldes Entfernung von zu Hause und eine Funktionsvorschrift für die Entfernung der Mutter von zu Hause in Abhängigkeit von der Zeit auf.

{{Lösung versteckt|1 = Lineare Funktionen haben immer die Form <math>f(x)= mx + n </math>. Hierbei ist <math> m </math> die Steigung und <math> n </math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt. Welche Informationen aus der Aufgabe entsprechen welchen Eigenschaften der gesuchten Funktionen?

Achte auch darauf, dass die Funktionen die Entfernung in der gleichen Einheit angeben und auch für die Zeit beide die gleiche Einheit verwenden sollten. Das erleichtert das spätere Rechnen mit den Funktionen.|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Wir geben die Zeit in Minuten und die Entfernung in Metern an. Die Funktion <math>f(x)=ax+b</math> soll Isoldes Entfernung von zu Hause und die Funktion <math>g(x)=cx+d</math> die Entfernung der Mutter von zu Hause beschreiben. Isolde ist zu Beginn 11km, also 11000m von zu Hause entfernt. Der y-Achsenabschnitt von f ist demnach a=11000. Isolde legt pro Minute 75m zurück. Dabei entfernt sie sich nicht von zu Hause, sondern nähert sich. Die Steigung b ist deshalb negativ und beträgt -75. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>f(x)=-75x+11000</math>. Die Mutter startet zu Hause, der y-Achsenabschnitt d von g(x) ist also gleich 0. Sie fährt mit einer Geschwindigkeit von 72km/h, was 1200m pro Minute entspricht. Damit entfernt sie sich von zu Hause, die Steigung d ist deshalb positiv und beträgt 1200. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>g(x)=1200x</math>. |2=Lösung|3=Lösung}}

'''b)''' Berechne, wie lange es dauert, bis die beiden sich treffen.

{{Lösung versteckt|1 = Welchem Punkt der Funktionsgraphen von f und g entspricht dem Treffpunkt der beiden Funktionen? Wie berechnet man diesen Punkt?|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Erinnere dich daran, dass die x-Achse die Zeit angibt, die verstrichen ist, seitdem Isolde losgegangen ist. Die y-Achse gibt den Abstand an, den die Mutter ihrer Tochter bereits entgegen gefahren ist. Dieser Abstand verringert sich dadurch, dass Isolde ihrer Mutter entgegengeht, somit hat die Funktion von Isolde eine negative Steigung. Der Schnittpunkt beider Funktionsgraphen gibt auf dem x-Wert an, wann sich die beiden treffen. Wir setzen die Funktionsvorschriften gleich, um den x-Wert des Schnittpunktes zu bestimmen. <math>\begin{align} -75x+11000 & = 1200x \quad | +75x \\
11000 & = 1275x \quad | : 1275 \\
\frac{440}{51} & = x \approx 8,6\end{align}</math>. 
Es dauert ungefähr 9 Minuten, bis die beiden sich treffen.|2=Lösung|3=Lösung}}|3=Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen

2019-11-11T16:42:46Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen */

{{Box
|Info
|In diesem Lernpfad kannst du dein Wissen über lineare Funktionen anwenden und erweitern und dein Verständnis vertiefen. Das Kapitel behandelt die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, ihren Funktionsgleichungen, ihren Funktionsgraphen und darauf liegenden Punkten.

In Aufgaben, die ''gelb'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind'' Forderaufgaben''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind besonders anspruchsvolle ''Knobelaufgaben''.

Das Kapitel beginnt mit einem kurzen Lückentext zur Wiederholung und endet mit drei Anwendungsaufgaben.
| Kurzinfo
}}

===Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung===

{{Box|1= Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|2= Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

{{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=pzotbf9h519}}

<ggb_applet id="hafd2mmt" width="700" height="500" border="888888" />|3= Arbeitsmethode}}

===Lineare Funktionen erkennen===
{{Box|1=Aufgabe 2: Welche Art von Funktion ist es?|2=Sieh dir den jeweiligen Graphen oder die jeweilige Funktionsvorschrift (bzw. Gleichung) an. Stellt der Graph oder die Funktionsvorschrift eine lineare, eine andere Funktion oder gar keine Funktion dar?
{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=px8y1m7tj19}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Funktionen muss welcher Variablen auf welcher Achse genau 1 Wert auf der anderen Achse zugeordnet werden? Schau dir den Lückentext in Aufgabe 1 noch einmal an. Wie sieht der Graph einer jeden linearen Funktion aus? Wie ist die allgemeine Form von lineren Funktionen? |2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1='''Keine Funktion:'''
Der Kreis und die zur <math>y</math>-Achse parallelen Gerade sind keine Funktionen. Funktionen ordnen jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Bei Kreisen werden jedem x-Wert genau 2 y-Werte zugeordnet. Bei Geraden parallel zur y-Achse werden einem x-Wert sogar alle y-Werte zugeordnet. Also sind Kreise und Geraden parallel zur y-Achse keine Funktionen.

'''Lineare Funktionen:'''
Alle Geraden, die nicht parallel zur <math>y</math>-Achse verlaufen (also nicht senkrecht sind) und alle Funktionen, bei denen die Variabel den Exponent <math>0</math> oder <math>1</math> hat, sind lineare Funktionen. Die allgemeine Zuordnungsvorschrift für lineare Funktionen lautet: <math>=f(x)=mx+n</math>.

'''Andere Funktionen:''' Alle Funktionen, die keine linearen Funktionen sind, sind andere Funktionen.
|2 = Lösung|3= Lösung}}
|3=Merke}}

===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen===

{{Box|1 = Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen|2 =
Gegeben seien stets die Steigung der Geraden und ein Punkt, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Allgemeiner Tipp|3=Tipp}}

'''a)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = -4</math> und der Punkt <math>P(-7/-1)</math>.

{{Lösung versteckt|1 = # Setze zunächst für die Steigung <math>m = -4</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = -4x + n</math> entsteht.
# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-7/-1)</math>, sodass du mit <math>x = -7</math> und <math>f(x) = -1</math> die Gleichung <math>-1 = -4\cdot(-7) + n</math> erhältst.
# Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -29</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = -4x - 29</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = 3,5</math> und der Punkt <math>P(2/5)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = # Setze zunächst für die Steigung <math>m = 3,5</math> ein, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = 3,5\cdot x + n</math> entsteht.
# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(2/5)</math>, sodass du mit <math>x = 2</math> und <math>f(x) = 5</math> die Gleichung <math>5 = 3,5\cdot2 + n</math> erhältst.
# Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -2</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = 3,5\cdot x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math> und der Punkt <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = # Setze zunächst für die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = \frac{5}{8}x + n</math> entsteht.
# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>, sodass du mit <math>x = -\frac{2}{7}</math> und <math>f(x) = \frac{3}{4})</math> die Gleichung <math>\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + n</math> erhältst.
# Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Das Steigungsdreieck|
2=Die Steigung einer linearen Funktion bestimmt man in der Regel mit folgenden Schritten:
# Zunächst benötigt man zwei beliebige Punkte <math>P(x_P|y_P)</math> und <math>Q(x_Q|y_Q)</math>.
# Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P</math>
# Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P</math>
# Für die Steigung <math>m</math> der Geraden gilt: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}</math>
<ggb_applet id="jbd6xgfh" width="750" height="500" border="888888" />
|3=Merksatz}}

{{Box|1=Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen|2= Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

{{Lösung versteckt|1=
# Berechne zunächst die Steigung <math>m</math>, indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst.
# Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt <math>n</math>, indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
|2=Tipp: Allgemeines Vorgehen|3=Tipp: Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen}}

{{Lösung versteckt|1=
Du kannst die Geradengleichung auch auf anderen Wegen erhalten:
* Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems:
** Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>x</math> und die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>f(x)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
** Beide Gleichungen ergeben ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> zu bestimmen.
** Die bestimmten Unbekannten setzt du anschließend in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
* Lösung mit Hilfe eines Graphen:
** Zeichne die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> in ein Koordinatensystem ein.
** Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> verläuft.
** Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung <math>m</math>.
** Lies den y-Achsenabschnitt <math>n</math> am Graphen ab.
** Setze alles in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Tipp: Alternative Vorgehen|3=Tipp: Bestimmung mit Hilfe eines LGS oder Graphen}}

'''a)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = 2x</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 3 - 1 = 2</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = 2</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 2 = 2 \cdot 1 + n \Leftrightarrow 2 = 2 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 6 = 2 \cdot 3 + n \Leftrightarrow 6 = 6 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>2 = m \cdot 1 + n</math> und <math>6 = m \cdot 3 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = 2</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 0</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4a).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(2/1)</math> und <math>Q(6/-5)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -1,5x + 4</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -5 - 1 = -6</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2} = -1,5</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -1,5</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 1 = -1,5 \cdot 2 + n \Leftrightarrow 1 = -3 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -5 = -1,5 \cdot 6 + n \Leftrightarrow -5 = -9 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>1 = m \cdot 2 + n</math> und <math>-5 = m \cdot 6 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -1,5</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 4</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4b).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math>. 

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -\frac{7}{18}x + \frac{23}{18}</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -3 - 4 = -7</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 11 - (-7) = 11 + 7 = 18</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-7}{18} = -\frac{7}{18}</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -\frac{7}{18}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 4 = -\frac{7}{18} \cdot -7 + n \Leftrightarrow \frac{72}{18} = \frac{49}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -3 = -\frac{7}{18} \cdot 11 + n \Leftrightarrow -\frac{90}{18} = -\frac{77}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>4 = m \cdot -7 + n</math> und <math>-3 = m \cdot 11 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -\frac{7}{18}</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = \frac{23}{18}</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4c).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

|3=Arbeitsmethode}}

===Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen===
{{Box |1= Aufgabe 5: Punkte auf dem Graphen|2=Prüfe für die angegebenen linearen Funktionen, welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen. Arbeite zunächst im Heft und ordne dann jeder Funktion die Punkte zu, die auf ihrem Graphen liegen. Klicke dabei immer zunächst auf die Funktion und anschließend auf die zugehörigen Punkte. Je mehr Punkte du ihren Funktionen richtig zuweist, desto mehr wird sich ein Bild im Hintergrund aufdecken! 
Hinweis: Einer Funktion können mehrere Punkte zugeordnet sein, aber jedem Punkt ist nur genau eine Funktion zugeordnet.

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=p446x08nn19}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze die x-Koordinaten der Punkte in die Funktionen ein und vergleiche den Funktionswert mit den y-Koordinaten der Punkte|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 =
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> liegen die Punkte: <math>(-1|1)</math>, <math>(0|3)</math>, <math>(2|7)</math>, <math>(1|5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -x + 12</math> liegen die Punkte: <math>(2|10)</math>, <math>(12|0)</math>, <math>(\frac{7}{2}|\frac{17}{2})</math>, <math>(9|3)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}</math> liegen die Punkte: <math>(-1|-1)</math>, <math>(5|-5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = \frac{3}{8}</math> liegen die Punkte: <math>(4|\frac{3}{8})</math>, <math>(9|\frac{9}{24})</math>.

Beispielhafter Lösungsweg:
* Wir setzen die x-Koordinate des Punktes <math>(-1|1)</math> in die Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> ein und berechnen den Funktionswert:
** <math>f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1</math>.
** Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
* Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den x-Wert des Punktes <math>(2|10)</math> ein und berechnen wieder den Funktionswert:
** <math>f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7</math>.
** Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7.
** Der Punkt <math>(2|10)</math> liegt also nicht auf dem Graphen.
|2 = Lösung|3 = Lösung}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Eine lineare Gleichung einer Geraden zuordnen===

{{Box |1= Aufgabe 6a: Funktionen zeichnen |2=Zeichne die folgenden drei Funktionen alle in ein Koordinatensystem. Überlege dir vorher, wie groß das Koordinatensystem für diese Funktionen sein muss, damit man jeden Schnitt zwischen jeweils zwei Geraden erkennt.

a) <math>f(x) = 4x + 1</math>

b) <math>g(x) = 0,5x - 2,5</math>

c) <math>h(x) = -3x + 1</math>

{{Lösung versteckt|1 = Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung.|2=Tipp|3=Tipp 1}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 6b: Finde Paare|2=Ordne den gegebenen linearen Gleichungen die zugehörige Gerade zu. Beachte: Nicht zu jeder Gleichung ist eine Gerade gegeben.

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pdwa2pz1k19}}

{{Lösung versteckt|1 = Nicht vergessen: Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung. Vielleicht erkennst du alleine anhand des <math>y</math>-Achsenabschnitts schon einige der Funktionen?|2=Tipp|3=Tipp 1}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen===

{{Box|1= Aufgabe 7: Bestimme den Schnittpunkt|2= Zeichne zunächst beide Graphen in ein Koordinatensystem in dein Heft. Bestimme anschließend den x-Wert des Schnittpunktes der beiden Geraden.

{{Lösung versteckt|1 = Um die Geraden zu zeichnen, betrachte zunächst den y-Achsenabschnitt. Falls du dir unsicher bist, was der y-Achsenabschnitt ist, scrolle hoch zum Lückentext in Aufgabe 1.

Anschließend betrachte die Steigung der Geraden. Zeichne ein Steigungsdreieck (Hilfe im Lückentext in Aufgabe 1) und zeichne die Gerade mit Hilfe der Steigung und des y-Achsenabschnitts. |2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1 = Um die Koordinaten des Schnittpunktes zu bestimmten, setzte die beiden Geraden gleich und löse dann nach x auf.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}

'''a)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=2x+4</math> und <math>g(x)=3x</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 4 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''b)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=4x-5</math> und <math>g(x)=-3x+9</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 2 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''c)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)= \frac{3}{2}x-3</math> und <math>g(x)= \frac{1}{2}x+17</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 20 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

|3= Arbeitsmethode}}
===Textaufgabe: Der Freundinnendienst===
{{Box|1=Aufgabe 8: Was man nicht alles für Freundinnen tut.|2= Susanne ist 13 Jahre alt und geht in die 7. Klasse. Heute ist sie um 13.45 Uhr von der Schule nach Hause gekommen. Beim Mittagessen erzählt sie für 30min von ihrem Schultag. Bevor sie zum Sport geht, soll sie noch ihre Hausaufgaben erledigen. Jedoch fängt sie nicht sofort an, sondern daddelt erst noch 60min. Dann beginnt sie jedoch mit ihren Hausaufgaben. Nach 30min hat sie ihre Mathehausaufgaben fertig und muss nun nur noch Deutsch machen. 
Dafür muss sie noch ein 15-seitiges Kapitel in einem Roman lesen. Als sie nach 5 Minuten die dritte Seite fertig gelesen hat, schaut sie auf ihr Handy. Sie hat nur noch 20min bis sie sich für ihr Fußball-Training fertig machen muss. Gleichzeitig sieht sie eine Whats-App Nachricht von ihrer Freundin Marie, die schreibt: "Hey, hast du Deutsch schon fertig? Hab das Kapitel nicht gerafft. Kannst du mir das beim Sport zusammenfassen?" 
Kann Susanne ihrer Freundin, Marie, versprechen ihr das Kapitel beim Fußball zu erklären?
{{Lösung versteckt|1= 1. Tipp: Überlege welche Zeitangaben für die Lösung der Aufgabe notwendig sind. 
2. Tipp: Trage die relvanten Informationen als Punkte in ein Koordinatensystem. 
3. Tipp: Mit welcher Geschwindigkeit liest Susanne Seiten pro Minute? Welche Gleichung kennst du, mit der du ihre Lesegeschwindigkeit modellieren kannst? |2= Tipp |3=Tipp}}
{{Lösung versteckt|1= Es gibt verschiedene Lösungsideen. Zwei Beispiele sind eine grafische Lösung mit Hilfe eines Koordinatensystems oder eine algebraische Lösung mit Hilfe einer linearen Funktion. Eine algebraische Lösung könnte wie folgt aussehen: 
Die Zeitangaben für die Bearbeitung der Deutschaufgabe reichen aus, um die Aufgabe zu lösen. Alle anderen Zeitangaben helfen uns nicht. Als Marie die Nachricht liest, hat sie bereits 3 Seiten gelesen. Sie ließt mit einer Geschwindigkeit von 3 Seiten pro 5 Minuten. Wir können also jedem Zeitpunkt eine Anzahl von gelesenen Seiten zuordnen. Wir setzen den Startzeitpunkt auf den Moment, in dem sie die Nachricht bekommt. Und setzen, dass <math>x</math> die Einheit <math>\frac{Seiten}{5 Minuten}</math> hat. 
Also lautet unsere Gleichung: 
<math>f(x)=3+3x</math> 
Wir wollen wissen, wann Susanne 15 Seiten gelesen hat, also setzen wir für <math>f(x)=15</math> (Seiten) ein. 
<math>15=3+3x |-3 </math> 
<math><=> 12=3x | :3 </math> 
<math><=> x=4 </math>. 
Also braucht Susanne noch <math>4</math> mal <math>5</math> Minuten, also insgesamt 20min. Wenn sie sich beeilt, kann sie es also noch schaffen.|2= Lösung |3=Lösung}}
|3=Merke}}

===Textaufgabe: Katzendurst===
{{Box |1=Aufgabe 9: Wasser für die Katze|2= Marc und Claudia freuen sich schon auf ihren 1 wöchigen Urlaub. Leider dürfen ihre Katzen, Findus und Sabbel, jedoch nicht mit. Das Trockenfutter ist zwar ausreichend lang haltbar, aber damit die Katzen im heißen Sommer auch immer Wasser finden können, wollen die Beiden einen Wasserspender kaufen. Im Geschäft sehen sie zwei verschiedene Typen von Wasserspendern, die unterschiedlich teuer sind. In den einen Wasserspender für 10€ (Wasserspender A) passen <math>8l</math> Wasser und er ist nach <math>30</math> Tagen leer. In den anderen Wasserspender für 25€ (Wasserspender B) passen <math>6l</math> und er ist schon nach <math>10</math> Tagen leer. Der Wassertrog der Katzen hat ein Fassungsvermögen von <math>500ml</math>. Überlaufendes Wasser fließt in Marcs und Claudias Garage in einen Gulli. Welche Wasserspender sollten Marc und Claudia für ihre Katzen kaufen?

{{Lösung versteckt|1 = Als erstes könntest du versuchen je eine Funktionsvorschrift für die Wasserspender zu suchen. Kannst du an diesen Ablesen wie viel Wasser Sie jeden Tag zur Verfügung stellen? Im nächsten Schritt müsstest du herausfinden, wie viel Wasser jeden Tag benötigt wird. Hast du schon dafür alle notwendigen Infos gegeben? 
Nun kannst du den Verbrauch und das bereitgestellte Wasser in Beziehung zueinander stellen. Welchen Wasserspender sollten die Beiden kaufen? Reichen die Wasserspender für den ganzen Urlaub?| 2= Ein mögliches Vorgehen | 3= Ein mögliches Vorgehen}}

{{Lösung versteckt|1 = Mit zwei Punkten kannst du bereits eine lineare Funktion aufstellen. Suche diese beiden Punkte im Text für die jeweiligen Behälter. Falls du die Punkte findest, aber Schwierigkeiten bei dem Aufstellen der Gleichung hast, schaue dir Aufgabe 4 an. 
Welche Bedeutung haben das m und das n der allgemeinen Form einer linearen Gleichung? 
Was könnte für Marc und Claudia neben der angemessen Wasserversorgung ihrer Katzen noch von Bedeutung sein?| 2=Tipps |3=Tipps }}

{{Lösung versteckt|1 = Die Punkte für den Wasserspender A sind <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math>. Die Punkte für den Wasserspender B sind <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math>. Setze für jeden Wasserspender die jeweiligen beiden Punkte in die allgemeine Form der linearen Funktion ein. |2=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte|3=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte}}

{{Lösung versteckt|1=
Durch eine Internetrecherche können wir herausfinden, dass Katzen 200-250ml Wasser am Tag zu sich nehmen sollten. Um auf Nummer sicher zu gehen gehen wir also davon aus, dass Findus und Sabbel zusammen <math>500ml=0,5l</math> benötigen. 
'''Wasserspender A: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> f(x) = m\cdot x+b</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|8)</math>:''' <math> f(0) = m\cdot 0+b = 8</math>, wodurch <math>b=8</math> folgt.

'''<math>(30|0)</math>:''' <math>f(30) = m\cdot 30+b=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>b=8</math> ist, folgt hieraus, dass <math>m=-\frac{8}{30}=-\frac{4}{15}</math> ist.

Setzt man nun <math>m</math> und <math>b</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> f(x) = -\frac{4}{15} \cdot x + 8</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender A ist also <math>m=-\frac{4}{15}=</math>. Wasserspender A gibt also jeden Tag etwas mehr Wasser als 250ml und somit lediglich ausreichend viel Wasser für eine Katze ab.
Außerdem ist Wasserspender A nach 7 Tagen noch nicht leer: 
<math>f(7)= -\frac{4}{15} \cdot 7 + 8 = \frac{92}{15}=6 \frac{2}{15} > 0</math> 

'''Wasserspender B: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> g(x) = n\cdot x+a</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|6)</math>: ''' <math> g(0) = n\cdot 0+a = 6</math>, wodurch <math>a=6</math> folgt.

'''<math>(10|0)</math>:''' <math>g(10) = n\cdot 10+a=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>a=6</math> ist, folgt hieraus, dass <math>n=-\frac{3}{5}</math> ist.

Setzt man nun <math>n</math> und <math>a</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> g(x) = -\frac{3}{5} \cdot x + 6</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender B ist <math>n=-\frac{3}{5}</math>. Wasserspender B gibt also jeden Tag <math>600ml</math> und somit ausreichend viel Wasser für beide Katzen ab. 

Außerdem ist auch Wasserspender B nach 7 Tagen noch nicht leer: 

<math>g(7) = -\frac{3}{5} \cdot 7 + 6 = \frac{9}{5}=1 \frac{4}{5} > 0 </math> 

Nun können wir nachvollziehbarerweise annehmen, dass Claudia und Marc möglichst wenig Geld ausgeben wollen. Zwei Wasserbehälter A kosten <math>2 \cdot 10€</math> also <math>5€</math> weniger als ein Wasserspender B (<math>25€</math>.

'''Abschließende Antwort''' 
Zwar könnte ein Wasserspender der Sorte B für die beiden Katzen 1 Woche genug Wasser bereitstellen, aber zwei Wasserspender der Sorte A sind zusammen immer noch preisweiter und können gemeinsam immer noch genügend Wasser für die beiden Katzen bereitstellen. Claudia und Marc sollten also zwei Wasserspender des Typs A kaufen.

|2=Lösungsvorschlag|3=Lösungsvorschlag}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Textaufgabe: Schulbus===
{{Box|1=Aufgabe 10: Schulbus|2=Nach der Schule verpasst Isolde den Bus und müsste nun den Weg von 11km nach Hause laufen. Sie ruft ihre Mutter an und bittet sie, sie abzuholen. Ihre Mutter fährt ihr auf der Landstraße mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 72 km/h entgegen. Isolde geht ihrer Mutter entgegen und geht dabei durchschnittlich 75m pro Minute. Beide machen sich gleichzeitig nach dem Telefonat auf den Weg.

'''a)''' Stelle eine Funktionsvorschrift für Isoldes Entfernung von zu Hause und eine Funktionsvorschrift für die Entfernung der Mutter von zu Hause in Abhängigkeit von der Zeit auf.

{{Lösung versteckt|1 = Lineare Funktionen haben immer die Form <math>f(x)= mx + n </math>. Hierbei ist <math> m </math> die Steigung und <math> n </math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt. Welche Informationen aus der Aufgabe entsprechen welchen Eigenschaften der gesuchten Funktionen?

Achte auch darauf, dass die Funktionen die Entfernung in der gleichen Einheit angeben und auch für die Zeit beide die gleiche Einheit verwenden sollten. Das erleichtert das spätere Rechnen mit den Funktionen.|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Wir geben die Zeit in Minuten und die Entfernung in Metern an. Die Funktion <math>f(x)=ax+b</math> soll Isoldes Entfernung von zu Hause und die Funktion <math>g(x)=cx+d</math> die Entfernung der Mutter von zu Hause beschreiben. Isolde ist zu Beginn 11km, also 11000m von zu Hause entfernt. Der y-Achsenabschnitt von f ist demnach a=11000. Isolde legt pro Minute 75m zurück. Dabei entfernt sie sich nicht von zu Hause, sondern nähert sich. Die Steigung b ist deshalb negativ und beträgt -75. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>f(x)=-75x+11000</math>. Die Mutter startet zu Hause, der y-Achsenabschnitt d von g(x) ist also gleich 0. Sie fährt mit einer Geschwindigkeit von 72km/h, was 1200m pro Minute entspricht. Damit entfernt sie sich von zu Hause, die Steigung d ist deshalb positiv und beträgt 1200. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>g(x)=1200x</math>. |2=Lösung|3=Lösung}}

'''b)''' Berechne, wie lange es dauert, bis die beiden sich treffen.

{{Lösung versteckt|1 = Welchem Punkt der Funktionsgraphen von f und g entspricht dem Treffpunkt der beiden Funktionen? Wie berechnet man diesen Punkt?|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Erinnere dich daran, dass die x-Achse die Zeit angibt, die verstrichen ist, seitdem Isolde losgegangen ist. Die y-Achse gibt den Abstand an, den die Mutter ihrer Tochter bereits entgegen gefahren ist. Dieser Abstand verringert sich dadurch, dass Isolde ihrer Mutter entgegengeht, somit hat die Funktion von Isolde eine negative Steigung. Der Schnittpunkt beider Funktionsgraphen gibt auf dem x-Wert an, wann sich die beiden treffen. Wir setzen die Funktionsvorschriften gleich, um den x-Wert des Schnittpunktes zu bestimmen. <math>\begin{align} -75x+11000 & = 1200x \quad | +75x \\
11000 & = 1275x \quad | : 1275 \\
\frac{440}{51} & = x \approx 8,6\end{align}</math>. 
Es dauert ungefähr 9 Minuten, bis die beiden sich treffen.|2=Lösung|3=Lösung}}|3=Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen

2019-11-11T16:41:26Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen */

{{Box
|Info
|In diesem Lernpfad kannst du dein Wissen über lineare Funktionen anwenden und erweitern und dein Verständnis vertiefen. Das Kapitel behandelt die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, ihren Funktionsgleichungen, ihren Funktionsgraphen und darauf liegenden Punkten.

In Aufgaben, die ''gelb'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind'' Forderaufgaben''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind besonders anspruchsvolle ''Knobelaufgaben''.

Das Kapitel beginnt mit einem kurzen Lückentext zur Wiederholung und endet mit drei Anwendungsaufgaben.
| Kurzinfo
}}

===Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung===

{{Box|1= Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|2= Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

{{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=pzotbf9h519}}

<ggb_applet id="hafd2mmt" width="700" height="500" border="888888" />|3= Arbeitsmethode}}

===Lineare Funktionen erkennen===
{{Box|1=Aufgabe 2: Welche Art von Funktion ist es?|2=Sieh dir den jeweiligen Graphen oder die jeweilige Funktionsvorschrift (bzw. Gleichung) an. Stellt der Graph oder die Funktionsvorschrift eine lineare, eine andere Funktion oder gar keine Funktion dar?
{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=px8y1m7tj19}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Funktionen muss welcher Variablen auf welcher Achse genau 1 Wert auf der anderen Achse zugeordnet werden? Schau dir den Lückentext in Aufgabe 1 noch einmal an. Wie sieht der Graph einer jeden linearen Funktion aus? Wie ist die allgemeine Form von lineren Funktionen? |2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1='''Keine Funktion:'''
Der Kreis und die zur <math>y</math>-Achse parallelen Gerade sind keine Funktionen. Funktionen ordnen jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Bei Kreisen werden jedem x-Wert genau 2 y-Werte zugeordnet. Bei Geraden parallel zur y-Achse werden einem x-Wert sogar alle y-Werte zugeordnet. Also sind Kreise und Geraden parallel zur y-Achse keine Funktionen.

'''Lineare Funktionen:'''
Alle Geraden, die nicht parallel zur <math>y</math>-Achse verlaufen (also nicht senkrecht sind) und alle Funktionen, bei denen die Variabel den Exponent <math>0</math> oder <math>1</math> hat, sind lineare Funktionen. Die allgemeine Zuordnungsvorschrift für lineare Funktionen lautet: <math>=f(x)=mx+n</math>.

'''Andere Funktionen:''' Alle Funktionen, die keine linearen Funktionen sind, sind andere Funktionen.
|2 = Lösung|3= Lösung}}
|3=Merke}}

===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen===

{{Box|1 = Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen|2 =
Gegeben seien stets die Steigung der Geraden und ein Punkt, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

'''a)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = -4</math> und der Punkt <math>P(-7/-1)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = # Setze zunächst für die Steigung <math>m = -4</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = -4x + n</math> entsteht.
# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-7/-1)</math>, sodass du mit <math>x = -7</math> und <math>f(x) = -1</math> die Gleichung <math>-1 = -4\cdot(-7) + n</math> erhältst.
# Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -29</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = -4x - 29</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = 3,5</math> und der Punkt <math>P(2/5)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = 3,5</math> ein, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = 3,5\cdot x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(2/5)</math>, sodass du mit <math>x = 2</math> und <math>f(x) = 5</math> die Gleichung <math>5 = 3,5\cdot2 + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -2</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = 3,5\cdot x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math> und der Punkt <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = \frac{5}{8}x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>, sodass du mit <math>x = -\frac{2}{7}</math> und <math>f(x) = \frac{3}{4})</math> die Gleichung <math>\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Das Steigungsdreieck|
2=Die Steigung einer linearen Funktion bestimmt man in der Regel mit folgenden Schritten:
# Zunächst benötigt man zwei beliebige Punkte <math>P(x_P|y_P)</math> und <math>Q(x_Q|y_Q)</math>.
# Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P</math>
# Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P</math>
# Für die Steigung <math>m</math> der Geraden gilt: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}</math>
<ggb_applet id="jbd6xgfh" width="750" height="500" border="888888" />
|3=Merksatz}}

{{Box|1=Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen|2= Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

{{Lösung versteckt|1=
# Berechne zunächst die Steigung <math>m</math>, indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst.
# Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt <math>n</math>, indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
|2=Tipp: Allgemeines Vorgehen|3=Tipp: Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen}}

{{Lösung versteckt|1=
Du kannst die Geradengleichung auch auf anderen Wegen erhalten:
* Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems:
** Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>x</math> und die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>f(x)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
** Beide Gleichungen ergeben ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> zu bestimmen.
** Die bestimmten Unbekannten setzt du anschließend in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
* Lösung mit Hilfe eines Graphen:
** Zeichne die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> in ein Koordinatensystem ein.
** Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> verläuft.
** Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung <math>m</math>.
** Lies den y-Achsenabschnitt <math>n</math> am Graphen ab.
** Setze alles in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Tipp: Alternative Vorgehen|3=Tipp: Bestimmung mit Hilfe eines LGS oder Graphen}}

'''a)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = 2x</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 3 - 1 = 2</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = 2</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 2 = 2 \cdot 1 + n \Leftrightarrow 2 = 2 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 6 = 2 \cdot 3 + n \Leftrightarrow 6 = 6 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>2 = m \cdot 1 + n</math> und <math>6 = m \cdot 3 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = 2</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 0</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4a).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(2/1)</math> und <math>Q(6/-5)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -1,5x + 4</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -5 - 1 = -6</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2} = -1,5</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -1,5</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 1 = -1,5 \cdot 2 + n \Leftrightarrow 1 = -3 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -5 = -1,5 \cdot 6 + n \Leftrightarrow -5 = -9 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>1 = m \cdot 2 + n</math> und <math>-5 = m \cdot 6 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -1,5</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 4</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4b).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math>. 

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -\frac{7}{18}x + \frac{23}{18}</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -3 - 4 = -7</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 11 - (-7) = 11 + 7 = 18</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-7}{18} = -\frac{7}{18}</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -\frac{7}{18}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 4 = -\frac{7}{18} \cdot -7 + n \Leftrightarrow \frac{72}{18} = \frac{49}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -3 = -\frac{7}{18} \cdot 11 + n \Leftrightarrow -\frac{90}{18} = -\frac{77}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>4 = m \cdot -7 + n</math> und <math>-3 = m \cdot 11 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -\frac{7}{18}</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = \frac{23}{18}</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4c).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

|3=Arbeitsmethode}}

===Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen===
{{Box |1= Aufgabe 5: Punkte auf dem Graphen|2=Prüfe für die angegebenen linearen Funktionen, welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen. Arbeite zunächst im Heft und ordne dann jeder Funktion die Punkte zu, die auf ihrem Graphen liegen. Klicke dabei immer zunächst auf die Funktion und anschließend auf die zugehörigen Punkte. Je mehr Punkte du ihren Funktionen richtig zuweist, desto mehr wird sich ein Bild im Hintergrund aufdecken! 
Hinweis: Einer Funktion können mehrere Punkte zugeordnet sein, aber jedem Punkt ist nur genau eine Funktion zugeordnet.

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=p446x08nn19}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze die x-Koordinaten der Punkte in die Funktionen ein und vergleiche den Funktionswert mit den y-Koordinaten der Punkte|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 =
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> liegen die Punkte: <math>(-1|1)</math>, <math>(0|3)</math>, <math>(2|7)</math>, <math>(1|5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -x + 12</math> liegen die Punkte: <math>(2|10)</math>, <math>(12|0)</math>, <math>(\frac{7}{2}|\frac{17}{2})</math>, <math>(9|3)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}</math> liegen die Punkte: <math>(-1|-1)</math>, <math>(5|-5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = \frac{3}{8}</math> liegen die Punkte: <math>(4|\frac{3}{8})</math>, <math>(9|\frac{9}{24})</math>.

Beispielhafter Lösungsweg:
* Wir setzen die x-Koordinate des Punktes <math>(-1|1)</math> in die Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> ein und berechnen den Funktionswert:
** <math>f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1</math>.
** Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
* Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den x-Wert des Punktes <math>(2|10)</math> ein und berechnen wieder den Funktionswert:
** <math>f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7</math>.
** Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7.
** Der Punkt <math>(2|10)</math> liegt also nicht auf dem Graphen.
|2 = Lösung|3 = Lösung}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Eine lineare Gleichung einer Geraden zuordnen===

{{Box |1= Aufgabe 6a: Funktionen zeichnen |2=Zeichne die folgenden drei Funktionen alle in ein Koordinatensystem. Überlege dir vorher, wie groß das Koordinatensystem für diese Funktionen sein muss, damit man jeden Schnitt zwischen jeweils zwei Geraden erkennt.

a) <math>f(x) = 4x + 1</math>

b) <math>g(x) = 0,5x - 2,5</math>

c) <math>h(x) = -3x + 1</math>

{{Lösung versteckt|1 = Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung.|2=Tipp|3=Tipp 1}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 6b: Finde Paare|2=Ordne den gegebenen linearen Gleichungen die zugehörige Gerade zu. Beachte: Nicht zu jeder Gleichung ist eine Gerade gegeben.

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pdwa2pz1k19}}

{{Lösung versteckt|1 = Nicht vergessen: Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung. Vielleicht erkennst du alleine anhand des <math>y</math>-Achsenabschnitts schon einige der Funktionen?|2=Tipp|3=Tipp 1}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen===

{{Box|1= Aufgabe 7: Bestimme den Schnittpunkt|2= Zeichne zunächst beide Graphen in ein Koordinatensystem in dein Heft. Bestimme anschließend den x-Wert des Schnittpunktes der beiden Geraden.

{{Lösung versteckt|1 = Um die Geraden zu zeichnen, betrachte zunächst den y-Achsenabschnitt. Falls du dir unsicher bist, was der y-Achsenabschnitt ist, scrolle hoch zum Lückentext in Aufgabe 1.

Anschließend betrachte die Steigung der Geraden. Zeichne ein Steigungsdreieck (Hilfe im Lückentext in Aufgabe 1) und zeichne die Gerade mit Hilfe der Steigung und des y-Achsenabschnitts. |2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1 = Um die Koordinaten des Schnittpunktes zu bestimmten, setzte die beiden Geraden gleich und löse dann nach x auf.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}

'''a)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=2x+4</math> und <math>g(x)=3x</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 4 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''b)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=4x-5</math> und <math>g(x)=-3x+9</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 2 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''c)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)= \frac{3}{2}x-3</math> und <math>g(x)= \frac{1}{2}x+17</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 20 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

|3= Arbeitsmethode}}
===Textaufgabe: Der Freundinnendienst===
{{Box|1=Aufgabe 8: Was man nicht alles für Freundinnen tut.|2= Susanne ist 13 Jahre alt und geht in die 7. Klasse. Heute ist sie um 13.45 Uhr von der Schule nach Hause gekommen. Beim Mittagessen erzählt sie für 30min von ihrem Schultag. Bevor sie zum Sport geht, soll sie noch ihre Hausaufgaben erledigen. Jedoch fängt sie nicht sofort an, sondern daddelt erst noch 60min. Dann beginnt sie jedoch mit ihren Hausaufgaben. Nach 30min hat sie ihre Mathehausaufgaben fertig und muss nun nur noch Deutsch machen. 
Dafür muss sie noch ein 15-seitiges Kapitel in einem Roman lesen. Als sie nach 5 Minuten die dritte Seite fertig gelesen hat, schaut sie auf ihr Handy. Sie hat nur noch 20min bis sie sich für ihr Fußball-Training fertig machen muss. Gleichzeitig sieht sie eine Whats-App Nachricht von ihrer Freundin Marie, die schreibt: "Hey, hast du Deutsch schon fertig? Hab das Kapitel nicht gerafft. Kannst du mir das beim Sport zusammenfassen?" 
Kann Susanne ihrer Freundin, Marie, versprechen ihr das Kapitel beim Fußball zu erklären?
{{Lösung versteckt|1= 1. Tipp: Überlege welche Zeitangaben für die Lösung der Aufgabe notwendig sind. 
2. Tipp: Trage die relvanten Informationen als Punkte in ein Koordinatensystem. 
3. Tipp: Mit welcher Geschwindigkeit liest Susanne Seiten pro Minute? Welche Gleichung kennst du, mit der du ihre Lesegeschwindigkeit modellieren kannst? |2= Tipp |3=Tipp}}
{{Lösung versteckt|1= Es gibt verschiedene Lösungsideen. Zwei Beispiele sind eine grafische Lösung mit Hilfe eines Koordinatensystems oder eine algebraische Lösung mit Hilfe einer linearen Funktion. Eine algebraische Lösung könnte wie folgt aussehen: 
Die Zeitangaben für die Bearbeitung der Deutschaufgabe reichen aus, um die Aufgabe zu lösen. Alle anderen Zeitangaben helfen uns nicht. Als Marie die Nachricht liest, hat sie bereits 3 Seiten gelesen. Sie ließt mit einer Geschwindigkeit von 3 Seiten pro 5 Minuten. Wir können also jedem Zeitpunkt eine Anzahl von gelesenen Seiten zuordnen. Wir setzen den Startzeitpunkt auf den Moment, in dem sie die Nachricht bekommt. Und setzen, dass <math>x</math> die Einheit <math>\frac{Seiten}{5 Minuten}</math> hat. 
Also lautet unsere Gleichung: 
<math>f(x)=3+3x</math> 
Wir wollen wissen, wann Susanne 15 Seiten gelesen hat, also setzen wir für <math>f(x)=15</math> (Seiten) ein. 
<math>15=3+3x |-3 </math> 
<math><=> 12=3x | :3 </math> 
<math><=> x=4 </math>. 
Also braucht Susanne noch <math>4</math> mal <math>5</math> Minuten, also insgesamt 20min. Wenn sie sich beeilt, kann sie es also noch schaffen.|2= Lösung |3=Lösung}}
|3=Merke}}

===Textaufgabe: Katzendurst===
{{Box |1=Aufgabe 9: Wasser für die Katze|2= Marc und Claudia freuen sich schon auf ihren 1 wöchigen Urlaub. Leider dürfen ihre Katzen, Findus und Sabbel, jedoch nicht mit. Das Trockenfutter ist zwar ausreichend lang haltbar, aber damit die Katzen im heißen Sommer auch immer Wasser finden können, wollen die Beiden einen Wasserspender kaufen. Im Geschäft sehen sie zwei verschiedene Typen von Wasserspendern, die unterschiedlich teuer sind. In den einen Wasserspender für 10€ (Wasserspender A) passen <math>8l</math> Wasser und er ist nach <math>30</math> Tagen leer. In den anderen Wasserspender für 25€ (Wasserspender B) passen <math>6l</math> und er ist schon nach <math>10</math> Tagen leer. Der Wassertrog der Katzen hat ein Fassungsvermögen von <math>500ml</math>. Überlaufendes Wasser fließt in Marcs und Claudias Garage in einen Gulli. Welche Wasserspender sollten Marc und Claudia für ihre Katzen kaufen?

{{Lösung versteckt|1 = Als erstes könntest du versuchen je eine Funktionsvorschrift für die Wasserspender zu suchen. Kannst du an diesen Ablesen wie viel Wasser Sie jeden Tag zur Verfügung stellen? Im nächsten Schritt müsstest du herausfinden, wie viel Wasser jeden Tag benötigt wird. Hast du schon dafür alle notwendigen Infos gegeben? 
Nun kannst du den Verbrauch und das bereitgestellte Wasser in Beziehung zueinander stellen. Welchen Wasserspender sollten die Beiden kaufen? Reichen die Wasserspender für den ganzen Urlaub?| 2= Ein mögliches Vorgehen | 3= Ein mögliches Vorgehen}}

{{Lösung versteckt|1 = Mit zwei Punkten kannst du bereits eine lineare Funktion aufstellen. Suche diese beiden Punkte im Text für die jeweiligen Behälter. Falls du die Punkte findest, aber Schwierigkeiten bei dem Aufstellen der Gleichung hast, schaue dir Aufgabe 4 an. 
Welche Bedeutung haben das m und das n der allgemeinen Form einer linearen Gleichung? 
Was könnte für Marc und Claudia neben der angemessen Wasserversorgung ihrer Katzen noch von Bedeutung sein?| 2=Tipps |3=Tipps }}

{{Lösung versteckt|1 = Die Punkte für den Wasserspender A sind <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math>. Die Punkte für den Wasserspender B sind <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math>. Setze für jeden Wasserspender die jeweiligen beiden Punkte in die allgemeine Form der linearen Funktion ein. |2=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte|3=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte}}

{{Lösung versteckt|1=
Durch eine Internetrecherche können wir herausfinden, dass Katzen 200-250ml Wasser am Tag zu sich nehmen sollten. Um auf Nummer sicher zu gehen gehen wir also davon aus, dass Findus und Sabbel zusammen <math>500ml=0,5l</math> benötigen. 
'''Wasserspender A: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> f(x) = m\cdot x+b</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|8)</math>:''' <math> f(0) = m\cdot 0+b = 8</math>, wodurch <math>b=8</math> folgt.

'''<math>(30|0)</math>:''' <math>f(30) = m\cdot 30+b=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>b=8</math> ist, folgt hieraus, dass <math>m=-\frac{8}{30}=-\frac{4}{15}</math> ist.

Setzt man nun <math>m</math> und <math>b</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> f(x) = -\frac{4}{15} \cdot x + 8</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender A ist also <math>m=-\frac{4}{15}=</math>. Wasserspender A gibt also jeden Tag etwas mehr Wasser als 250ml und somit lediglich ausreichend viel Wasser für eine Katze ab.
Außerdem ist Wasserspender A nach 7 Tagen noch nicht leer: 
<math>f(7)= -\frac{4}{15} \cdot 7 + 8 = \frac{92}{15}=6 \frac{2}{15} > 0</math> 

'''Wasserspender B: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> g(x) = n\cdot x+a</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|6)</math>: ''' <math> g(0) = n\cdot 0+a = 6</math>, wodurch <math>a=6</math> folgt.

'''<math>(10|0)</math>:''' <math>g(10) = n\cdot 10+a=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>a=6</math> ist, folgt hieraus, dass <math>n=-\frac{3}{5}</math> ist.

Setzt man nun <math>n</math> und <math>a</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> g(x) = -\frac{3}{5} \cdot x + 6</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender B ist <math>n=-\frac{3}{5}</math>. Wasserspender B gibt also jeden Tag <math>600ml</math> und somit ausreichend viel Wasser für beide Katzen ab. 

Außerdem ist auch Wasserspender B nach 7 Tagen noch nicht leer: 

<math>g(7) = -\frac{3}{5} \cdot 7 + 6 = \frac{9}{5}=1 \frac{4}{5} > 0 </math> 

Nun können wir nachvollziehbarerweise annehmen, dass Claudia und Marc möglichst wenig Geld ausgeben wollen. Zwei Wasserbehälter A kosten <math>2 \cdot 10€</math> also <math>5€</math> weniger als ein Wasserspender B (<math>25€</math>.

'''Abschließende Antwort''' 
Zwar könnte ein Wasserspender der Sorte B für die beiden Katzen 1 Woche genug Wasser bereitstellen, aber zwei Wasserspender der Sorte A sind zusammen immer noch preisweiter und können gemeinsam immer noch genügend Wasser für die beiden Katzen bereitstellen. Claudia und Marc sollten also zwei Wasserspender des Typs A kaufen.

|2=Lösungsvorschlag|3=Lösungsvorschlag}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Textaufgabe: Schulbus===
{{Box|1=Aufgabe 10: Schulbus|2=Nach der Schule verpasst Isolde den Bus und müsste nun den Weg von 11km nach Hause laufen. Sie ruft ihre Mutter an und bittet sie, sie abzuholen. Ihre Mutter fährt ihr auf der Landstraße mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 72 km/h entgegen. Isolde geht ihrer Mutter entgegen und geht dabei durchschnittlich 75m pro Minute. Beide machen sich gleichzeitig nach dem Telefonat auf den Weg.

'''a)''' Stelle eine Funktionsvorschrift für Isoldes Entfernung von zu Hause und eine Funktionsvorschrift für die Entfernung der Mutter von zu Hause in Abhängigkeit von der Zeit auf.

{{Lösung versteckt|1 = Lineare Funktionen haben immer die Form <math>f(x)= mx + n </math>. Hierbei ist <math> m </math> die Steigung und <math> n </math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt. Welche Informationen aus der Aufgabe entsprechen welchen Eigenschaften der gesuchten Funktionen?

Achte auch darauf, dass die Funktionen die Entfernung in der gleichen Einheit angeben und auch für die Zeit beide die gleiche Einheit verwenden sollten. Das erleichtert das spätere Rechnen mit den Funktionen.|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Wir geben die Zeit in Minuten und die Entfernung in Metern an. Die Funktion <math>f(x)=ax+b</math> soll Isoldes Entfernung von zu Hause und die Funktion <math>g(x)=cx+d</math> die Entfernung der Mutter von zu Hause beschreiben. Isolde ist zu Beginn 11km, also 11000m von zu Hause entfernt. Der y-Achsenabschnitt von f ist demnach a=11000. Isolde legt pro Minute 75m zurück. Dabei entfernt sie sich nicht von zu Hause, sondern nähert sich. Die Steigung b ist deshalb negativ und beträgt -75. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>f(x)=-75x+11000</math>. Die Mutter startet zu Hause, der y-Achsenabschnitt d von g(x) ist also gleich 0. Sie fährt mit einer Geschwindigkeit von 72km/h, was 1200m pro Minute entspricht. Damit entfernt sie sich von zu Hause, die Steigung d ist deshalb positiv und beträgt 1200. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>g(x)=1200x</math>. |2=Lösung|3=Lösung}}

'''b)''' Berechne, wie lange es dauert, bis die beiden sich treffen.

{{Lösung versteckt|1 = Welchem Punkt der Funktionsgraphen von f und g entspricht dem Treffpunkt der beiden Funktionen? Wie berechnet man diesen Punkt?|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Erinnere dich daran, dass die x-Achse die Zeit angibt, die verstrichen ist, seitdem Isolde losgegangen ist. Die y-Achse gibt den Abstand an, den die Mutter ihrer Tochter bereits entgegen gefahren ist. Dieser Abstand verringert sich dadurch, dass Isolde ihrer Mutter entgegengeht, somit hat die Funktion von Isolde eine negative Steigung. Der Schnittpunkt beider Funktionsgraphen gibt auf dem x-Wert an, wann sich die beiden treffen. Wir setzen die Funktionsvorschriften gleich, um den x-Wert des Schnittpunktes zu bestimmen. <math>\begin{align} -75x+11000 & = 1200x \quad | +75x \\
11000 & = 1275x \quad | : 1275 \\
\frac{440}{51} & = x \approx 8,6\end{align}</math>. 
Es dauert ungefähr 9 Minuten, bis die beiden sich treffen.|2=Lösung|3=Lösung}}|3=Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen

2019-11-11T16:40:44Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen */

{{Box
|Info
|In diesem Lernpfad kannst du dein Wissen über lineare Funktionen anwenden und erweitern und dein Verständnis vertiefen. Das Kapitel behandelt die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, ihren Funktionsgleichungen, ihren Funktionsgraphen und darauf liegenden Punkten.

In Aufgaben, die ''gelb'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind'' Forderaufgaben''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind besonders anspruchsvolle ''Knobelaufgaben''.

Das Kapitel beginnt mit einem kurzen Lückentext zur Wiederholung und endet mit drei Anwendungsaufgaben.
| Kurzinfo
}}

===Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung===

{{Box|1= Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|2= Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

{{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=pzotbf9h519}}

<ggb_applet id="hafd2mmt" width="700" height="500" border="888888" />|3= Arbeitsmethode}}

===Lineare Funktionen erkennen===
{{Box|1=Aufgabe 2: Welche Art von Funktion ist es?|2=Sieh dir den jeweiligen Graphen oder die jeweilige Funktionsvorschrift (bzw. Gleichung) an. Stellt der Graph oder die Funktionsvorschrift eine lineare, eine andere Funktion oder gar keine Funktion dar?
{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=px8y1m7tj19}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Funktionen muss welcher Variablen auf welcher Achse genau 1 Wert auf der anderen Achse zugeordnet werden? Schau dir den Lückentext in Aufgabe 1 noch einmal an. Wie sieht der Graph einer jeden linearen Funktion aus? Wie ist die allgemeine Form von lineren Funktionen? |2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1='''Keine Funktion:'''
Der Kreis und die zur <math>y</math>-Achse parallelen Gerade sind keine Funktionen. Funktionen ordnen jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Bei Kreisen werden jedem x-Wert genau 2 y-Werte zugeordnet. Bei Geraden parallel zur y-Achse werden einem x-Wert sogar alle y-Werte zugeordnet. Also sind Kreise und Geraden parallel zur y-Achse keine Funktionen.

'''Lineare Funktionen:'''
Alle Geraden, die nicht parallel zur <math>y</math>-Achse verlaufen (also nicht senkrecht sind) und alle Funktionen, bei denen die Variabel den Exponent <math>0</math> oder <math>1</math> hat, sind lineare Funktionen. Die allgemeine Zuordnungsvorschrift für lineare Funktionen lautet: <math>=f(x)=mx+n</math>.

'''Andere Funktionen:''' Alle Funktionen, die keine linearen Funktionen sind, sind andere Funktionen.
|2 = Lösung|3= Lösung}}
|3=Merke}}

===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen===

{{Box|1 = Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen|2 =
Gegeben seien stets die Steigung der Geraden und ein Punkt, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

'''a)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = -4</math> und der Punkt <math>P(-7/-1)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = # Setze zunächst für die Steigung <math>m = -4</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = -4x + n</math> entsteht.

## Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-7/-1)</math>, sodass du mit <math>x = -7</math> und <math>f(x) = -1</math> die Gleichung <math>-1 = -4\cdot(-7) + n</math> erhältst.

### Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -29</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = -4x - 29</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = 3,5</math> und der Punkt <math>P(2/5)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = 3,5</math> ein, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = 3,5\cdot x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(2/5)</math>, sodass du mit <math>x = 2</math> und <math>f(x) = 5</math> die Gleichung <math>5 = 3,5\cdot2 + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -2</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = 3,5\cdot x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math> und der Punkt <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = \frac{5}{8}x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>, sodass du mit <math>x = -\frac{2}{7}</math> und <math>f(x) = \frac{3}{4})</math> die Gleichung <math>\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Das Steigungsdreieck|
2=Die Steigung einer linearen Funktion bestimmt man in der Regel mit folgenden Schritten:
# Zunächst benötigt man zwei beliebige Punkte <math>P(x_P|y_P)</math> und <math>Q(x_Q|y_Q)</math>.
# Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P</math>
# Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P</math>
# Für die Steigung <math>m</math> der Geraden gilt: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}</math>
<ggb_applet id="jbd6xgfh" width="750" height="500" border="888888" />
|3=Merksatz}}

{{Box|1=Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen|2= Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

{{Lösung versteckt|1=
# Berechne zunächst die Steigung <math>m</math>, indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst.
# Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt <math>n</math>, indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
|2=Tipp: Allgemeines Vorgehen|3=Tipp: Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen}}

{{Lösung versteckt|1=
Du kannst die Geradengleichung auch auf anderen Wegen erhalten:
* Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems:
** Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>x</math> und die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>f(x)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
** Beide Gleichungen ergeben ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> zu bestimmen.
** Die bestimmten Unbekannten setzt du anschließend in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
* Lösung mit Hilfe eines Graphen:
** Zeichne die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> in ein Koordinatensystem ein.
** Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> verläuft.
** Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung <math>m</math>.
** Lies den y-Achsenabschnitt <math>n</math> am Graphen ab.
** Setze alles in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Tipp: Alternative Vorgehen|3=Tipp: Bestimmung mit Hilfe eines LGS oder Graphen}}

'''a)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = 2x</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 3 - 1 = 2</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = 2</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 2 = 2 \cdot 1 + n \Leftrightarrow 2 = 2 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 6 = 2 \cdot 3 + n \Leftrightarrow 6 = 6 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>2 = m \cdot 1 + n</math> und <math>6 = m \cdot 3 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = 2</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 0</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4a).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(2/1)</math> und <math>Q(6/-5)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -1,5x + 4</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -5 - 1 = -6</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2} = -1,5</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -1,5</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 1 = -1,5 \cdot 2 + n \Leftrightarrow 1 = -3 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -5 = -1,5 \cdot 6 + n \Leftrightarrow -5 = -9 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>1 = m \cdot 2 + n</math> und <math>-5 = m \cdot 6 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -1,5</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 4</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4b).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math>. 

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -\frac{7}{18}x + \frac{23}{18}</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -3 - 4 = -7</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 11 - (-7) = 11 + 7 = 18</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-7}{18} = -\frac{7}{18}</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -\frac{7}{18}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 4 = -\frac{7}{18} \cdot -7 + n \Leftrightarrow \frac{72}{18} = \frac{49}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -3 = -\frac{7}{18} \cdot 11 + n \Leftrightarrow -\frac{90}{18} = -\frac{77}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>4 = m \cdot -7 + n</math> und <math>-3 = m \cdot 11 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -\frac{7}{18}</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = \frac{23}{18}</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4c).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

|3=Arbeitsmethode}}

===Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen===
{{Box |1= Aufgabe 5: Punkte auf dem Graphen|2=Prüfe für die angegebenen linearen Funktionen, welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen. Arbeite zunächst im Heft und ordne dann jeder Funktion die Punkte zu, die auf ihrem Graphen liegen. Klicke dabei immer zunächst auf die Funktion und anschließend auf die zugehörigen Punkte. Je mehr Punkte du ihren Funktionen richtig zuweist, desto mehr wird sich ein Bild im Hintergrund aufdecken! 
Hinweis: Einer Funktion können mehrere Punkte zugeordnet sein, aber jedem Punkt ist nur genau eine Funktion zugeordnet.

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=p446x08nn19}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze die x-Koordinaten der Punkte in die Funktionen ein und vergleiche den Funktionswert mit den y-Koordinaten der Punkte|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 =
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> liegen die Punkte: <math>(-1|1)</math>, <math>(0|3)</math>, <math>(2|7)</math>, <math>(1|5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -x + 12</math> liegen die Punkte: <math>(2|10)</math>, <math>(12|0)</math>, <math>(\frac{7}{2}|\frac{17}{2})</math>, <math>(9|3)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}</math> liegen die Punkte: <math>(-1|-1)</math>, <math>(5|-5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = \frac{3}{8}</math> liegen die Punkte: <math>(4|\frac{3}{8})</math>, <math>(9|\frac{9}{24})</math>.

Beispielhafter Lösungsweg:
* Wir setzen die x-Koordinate des Punktes <math>(-1|1)</math> in die Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> ein und berechnen den Funktionswert:
** <math>f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1</math>.
** Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
* Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den x-Wert des Punktes <math>(2|10)</math> ein und berechnen wieder den Funktionswert:
** <math>f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7</math>.
** Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7.
** Der Punkt <math>(2|10)</math> liegt also nicht auf dem Graphen.
|2 = Lösung|3 = Lösung}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Eine lineare Gleichung einer Geraden zuordnen===

{{Box |1= Aufgabe 6a: Funktionen zeichnen |2=Zeichne die folgenden drei Funktionen alle in ein Koordinatensystem. Überlege dir vorher, wie groß das Koordinatensystem für diese Funktionen sein muss, damit man jeden Schnitt zwischen jeweils zwei Geraden erkennt.

a) <math>f(x) = 4x + 1</math>

b) <math>g(x) = 0,5x - 2,5</math>

c) <math>h(x) = -3x + 1</math>

{{Lösung versteckt|1 = Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung.|2=Tipp|3=Tipp 1}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 6b: Finde Paare|2=Ordne den gegebenen linearen Gleichungen die zugehörige Gerade zu. Beachte: Nicht zu jeder Gleichung ist eine Gerade gegeben.

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pdwa2pz1k19}}

{{Lösung versteckt|1 = Nicht vergessen: Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung. Vielleicht erkennst du alleine anhand des <math>y</math>-Achsenabschnitts schon einige der Funktionen?|2=Tipp|3=Tipp 1}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen===

{{Box|1= Aufgabe 7: Bestimme den Schnittpunkt|2= Zeichne zunächst beide Graphen in ein Koordinatensystem in dein Heft. Bestimme anschließend den x-Wert des Schnittpunktes der beiden Geraden.

{{Lösung versteckt|1 = Um die Geraden zu zeichnen, betrachte zunächst den y-Achsenabschnitt. Falls du dir unsicher bist, was der y-Achsenabschnitt ist, scrolle hoch zum Lückentext in Aufgabe 1.

Anschließend betrachte die Steigung der Geraden. Zeichne ein Steigungsdreieck (Hilfe im Lückentext in Aufgabe 1) und zeichne die Gerade mit Hilfe der Steigung und des y-Achsenabschnitts. |2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1 = Um die Koordinaten des Schnittpunktes zu bestimmten, setzte die beiden Geraden gleich und löse dann nach x auf.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}

'''a)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=2x+4</math> und <math>g(x)=3x</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 4 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''b)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=4x-5</math> und <math>g(x)=-3x+9</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 2 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''c)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)= \frac{3}{2}x-3</math> und <math>g(x)= \frac{1}{2}x+17</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 20 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

|3= Arbeitsmethode}}
===Textaufgabe: Der Freundinnendienst===
{{Box|1=Aufgabe 8: Was man nicht alles für Freundinnen tut.|2= Susanne ist 13 Jahre alt und geht in die 7. Klasse. Heute ist sie um 13.45 Uhr von der Schule nach Hause gekommen. Beim Mittagessen erzählt sie für 30min von ihrem Schultag. Bevor sie zum Sport geht, soll sie noch ihre Hausaufgaben erledigen. Jedoch fängt sie nicht sofort an, sondern daddelt erst noch 60min. Dann beginnt sie jedoch mit ihren Hausaufgaben. Nach 30min hat sie ihre Mathehausaufgaben fertig und muss nun nur noch Deutsch machen. 
Dafür muss sie noch ein 15-seitiges Kapitel in einem Roman lesen. Als sie nach 5 Minuten die dritte Seite fertig gelesen hat, schaut sie auf ihr Handy. Sie hat nur noch 20min bis sie sich für ihr Fußball-Training fertig machen muss. Gleichzeitig sieht sie eine Whats-App Nachricht von ihrer Freundin Marie, die schreibt: "Hey, hast du Deutsch schon fertig? Hab das Kapitel nicht gerafft. Kannst du mir das beim Sport zusammenfassen?" 
Kann Susanne ihrer Freundin, Marie, versprechen ihr das Kapitel beim Fußball zu erklären?
{{Lösung versteckt|1= 1. Tipp: Überlege welche Zeitangaben für die Lösung der Aufgabe notwendig sind. 
2. Tipp: Trage die relvanten Informationen als Punkte in ein Koordinatensystem. 
3. Tipp: Mit welcher Geschwindigkeit liest Susanne Seiten pro Minute? Welche Gleichung kennst du, mit der du ihre Lesegeschwindigkeit modellieren kannst? |2= Tipp |3=Tipp}}
{{Lösung versteckt|1= Es gibt verschiedene Lösungsideen. Zwei Beispiele sind eine grafische Lösung mit Hilfe eines Koordinatensystems oder eine algebraische Lösung mit Hilfe einer linearen Funktion. Eine algebraische Lösung könnte wie folgt aussehen: 
Die Zeitangaben für die Bearbeitung der Deutschaufgabe reichen aus, um die Aufgabe zu lösen. Alle anderen Zeitangaben helfen uns nicht. Als Marie die Nachricht liest, hat sie bereits 3 Seiten gelesen. Sie ließt mit einer Geschwindigkeit von 3 Seiten pro 5 Minuten. Wir können also jedem Zeitpunkt eine Anzahl von gelesenen Seiten zuordnen. Wir setzen den Startzeitpunkt auf den Moment, in dem sie die Nachricht bekommt. Und setzen, dass <math>x</math> die Einheit <math>\frac{Seiten}{5 Minuten}</math> hat. 
Also lautet unsere Gleichung: 
<math>f(x)=3+3x</math> 
Wir wollen wissen, wann Susanne 15 Seiten gelesen hat, also setzen wir für <math>f(x)=15</math> (Seiten) ein. 
<math>15=3+3x |-3 </math> 
<math><=> 12=3x | :3 </math> 
<math><=> x=4 </math>. 
Also braucht Susanne noch <math>4</math> mal <math>5</math> Minuten, also insgesamt 20min. Wenn sie sich beeilt, kann sie es also noch schaffen.|2= Lösung |3=Lösung}}
|3=Merke}}

===Textaufgabe: Katzendurst===
{{Box |1=Aufgabe 9: Wasser für die Katze|2= Marc und Claudia freuen sich schon auf ihren 1 wöchigen Urlaub. Leider dürfen ihre Katzen, Findus und Sabbel, jedoch nicht mit. Das Trockenfutter ist zwar ausreichend lang haltbar, aber damit die Katzen im heißen Sommer auch immer Wasser finden können, wollen die Beiden einen Wasserspender kaufen. Im Geschäft sehen sie zwei verschiedene Typen von Wasserspendern, die unterschiedlich teuer sind. In den einen Wasserspender für 10€ (Wasserspender A) passen <math>8l</math> Wasser und er ist nach <math>30</math> Tagen leer. In den anderen Wasserspender für 25€ (Wasserspender B) passen <math>6l</math> und er ist schon nach <math>10</math> Tagen leer. Der Wassertrog der Katzen hat ein Fassungsvermögen von <math>500ml</math>. Überlaufendes Wasser fließt in Marcs und Claudias Garage in einen Gulli. Welche Wasserspender sollten Marc und Claudia für ihre Katzen kaufen?

{{Lösung versteckt|1 = Als erstes könntest du versuchen je eine Funktionsvorschrift für die Wasserspender zu suchen. Kannst du an diesen Ablesen wie viel Wasser Sie jeden Tag zur Verfügung stellen? Im nächsten Schritt müsstest du herausfinden, wie viel Wasser jeden Tag benötigt wird. Hast du schon dafür alle notwendigen Infos gegeben? 
Nun kannst du den Verbrauch und das bereitgestellte Wasser in Beziehung zueinander stellen. Welchen Wasserspender sollten die Beiden kaufen? Reichen die Wasserspender für den ganzen Urlaub?| 2= Ein mögliches Vorgehen | 3= Ein mögliches Vorgehen}}

{{Lösung versteckt|1 = Mit zwei Punkten kannst du bereits eine lineare Funktion aufstellen. Suche diese beiden Punkte im Text für die jeweiligen Behälter. Falls du die Punkte findest, aber Schwierigkeiten bei dem Aufstellen der Gleichung hast, schaue dir Aufgabe 4 an. 
Welche Bedeutung haben das m und das n der allgemeinen Form einer linearen Gleichung? 
Was könnte für Marc und Claudia neben der angemessen Wasserversorgung ihrer Katzen noch von Bedeutung sein?| 2=Tipps |3=Tipps }}

{{Lösung versteckt|1 = Die Punkte für den Wasserspender A sind <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math>. Die Punkte für den Wasserspender B sind <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math>. Setze für jeden Wasserspender die jeweiligen beiden Punkte in die allgemeine Form der linearen Funktion ein. |2=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte|3=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte}}

{{Lösung versteckt|1=
Durch eine Internetrecherche können wir herausfinden, dass Katzen 200-250ml Wasser am Tag zu sich nehmen sollten. Um auf Nummer sicher zu gehen gehen wir also davon aus, dass Findus und Sabbel zusammen <math>500ml=0,5l</math> benötigen. 
'''Wasserspender A: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> f(x) = m\cdot x+b</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|8)</math>:''' <math> f(0) = m\cdot 0+b = 8</math>, wodurch <math>b=8</math> folgt.

'''<math>(30|0)</math>:''' <math>f(30) = m\cdot 30+b=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>b=8</math> ist, folgt hieraus, dass <math>m=-\frac{8}{30}=-\frac{4}{15}</math> ist.

Setzt man nun <math>m</math> und <math>b</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> f(x) = -\frac{4}{15} \cdot x + 8</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender A ist also <math>m=-\frac{4}{15}=</math>. Wasserspender A gibt also jeden Tag etwas mehr Wasser als 250ml und somit lediglich ausreichend viel Wasser für eine Katze ab.
Außerdem ist Wasserspender A nach 7 Tagen noch nicht leer: 
<math>f(7)= -\frac{4}{15} \cdot 7 + 8 = \frac{92}{15}=6 \frac{2}{15} > 0</math> 

'''Wasserspender B: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> g(x) = n\cdot x+a</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|6)</math>: ''' <math> g(0) = n\cdot 0+a = 6</math>, wodurch <math>a=6</math> folgt.

'''<math>(10|0)</math>:''' <math>g(10) = n\cdot 10+a=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>a=6</math> ist, folgt hieraus, dass <math>n=-\frac{3}{5}</math> ist.

Setzt man nun <math>n</math> und <math>a</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> g(x) = -\frac{3}{5} \cdot x + 6</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender B ist <math>n=-\frac{3}{5}</math>. Wasserspender B gibt also jeden Tag <math>600ml</math> und somit ausreichend viel Wasser für beide Katzen ab. 

Außerdem ist auch Wasserspender B nach 7 Tagen noch nicht leer: 

<math>g(7) = -\frac{3}{5} \cdot 7 + 6 = \frac{9}{5}=1 \frac{4}{5} > 0 </math> 

Nun können wir nachvollziehbarerweise annehmen, dass Claudia und Marc möglichst wenig Geld ausgeben wollen. Zwei Wasserbehälter A kosten <math>2 \cdot 10€</math> also <math>5€</math> weniger als ein Wasserspender B (<math>25€</math>.

'''Abschließende Antwort''' 
Zwar könnte ein Wasserspender der Sorte B für die beiden Katzen 1 Woche genug Wasser bereitstellen, aber zwei Wasserspender der Sorte A sind zusammen immer noch preisweiter und können gemeinsam immer noch genügend Wasser für die beiden Katzen bereitstellen. Claudia und Marc sollten also zwei Wasserspender des Typs A kaufen.

|2=Lösungsvorschlag|3=Lösungsvorschlag}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Textaufgabe: Schulbus===
{{Box|1=Aufgabe 10: Schulbus|2=Nach der Schule verpasst Isolde den Bus und müsste nun den Weg von 11km nach Hause laufen. Sie ruft ihre Mutter an und bittet sie, sie abzuholen. Ihre Mutter fährt ihr auf der Landstraße mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 72 km/h entgegen. Isolde geht ihrer Mutter entgegen und geht dabei durchschnittlich 75m pro Minute. Beide machen sich gleichzeitig nach dem Telefonat auf den Weg.

'''a)''' Stelle eine Funktionsvorschrift für Isoldes Entfernung von zu Hause und eine Funktionsvorschrift für die Entfernung der Mutter von zu Hause in Abhängigkeit von der Zeit auf.

{{Lösung versteckt|1 = Lineare Funktionen haben immer die Form <math>f(x)= mx + n </math>. Hierbei ist <math> m </math> die Steigung und <math> n </math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt. Welche Informationen aus der Aufgabe entsprechen welchen Eigenschaften der gesuchten Funktionen?

Achte auch darauf, dass die Funktionen die Entfernung in der gleichen Einheit angeben und auch für die Zeit beide die gleiche Einheit verwenden sollten. Das erleichtert das spätere Rechnen mit den Funktionen.|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Wir geben die Zeit in Minuten und die Entfernung in Metern an. Die Funktion <math>f(x)=ax+b</math> soll Isoldes Entfernung von zu Hause und die Funktion <math>g(x)=cx+d</math> die Entfernung der Mutter von zu Hause beschreiben. Isolde ist zu Beginn 11km, also 11000m von zu Hause entfernt. Der y-Achsenabschnitt von f ist demnach a=11000. Isolde legt pro Minute 75m zurück. Dabei entfernt sie sich nicht von zu Hause, sondern nähert sich. Die Steigung b ist deshalb negativ und beträgt -75. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>f(x)=-75x+11000</math>. Die Mutter startet zu Hause, der y-Achsenabschnitt d von g(x) ist also gleich 0. Sie fährt mit einer Geschwindigkeit von 72km/h, was 1200m pro Minute entspricht. Damit entfernt sie sich von zu Hause, die Steigung d ist deshalb positiv und beträgt 1200. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>g(x)=1200x</math>. |2=Lösung|3=Lösung}}

'''b)''' Berechne, wie lange es dauert, bis die beiden sich treffen.

{{Lösung versteckt|1 = Welchem Punkt der Funktionsgraphen von f und g entspricht dem Treffpunkt der beiden Funktionen? Wie berechnet man diesen Punkt?|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Erinnere dich daran, dass die x-Achse die Zeit angibt, die verstrichen ist, seitdem Isolde losgegangen ist. Die y-Achse gibt den Abstand an, den die Mutter ihrer Tochter bereits entgegen gefahren ist. Dieser Abstand verringert sich dadurch, dass Isolde ihrer Mutter entgegengeht, somit hat die Funktion von Isolde eine negative Steigung. Der Schnittpunkt beider Funktionsgraphen gibt auf dem x-Wert an, wann sich die beiden treffen. Wir setzen die Funktionsvorschriften gleich, um den x-Wert des Schnittpunktes zu bestimmen. <math>\begin{align} -75x+11000 & = 1200x \quad | +75x \\
11000 & = 1275x \quad | : 1275 \\
\frac{440}{51} & = x \approx 8,6\end{align}</math>. 
Es dauert ungefähr 9 Minuten, bis die beiden sich treffen.|2=Lösung|3=Lösung}}|3=Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen

2019-11-11T16:40:01Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen */

{{Box
|Info
|In diesem Lernpfad kannst du dein Wissen über lineare Funktionen anwenden und erweitern und dein Verständnis vertiefen. Das Kapitel behandelt die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, ihren Funktionsgleichungen, ihren Funktionsgraphen und darauf liegenden Punkten.

In Aufgaben, die ''gelb'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind'' Forderaufgaben''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind besonders anspruchsvolle ''Knobelaufgaben''.

Das Kapitel beginnt mit einem kurzen Lückentext zur Wiederholung und endet mit drei Anwendungsaufgaben.
| Kurzinfo
}}

===Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung===

{{Box|1= Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|2= Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

{{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=pzotbf9h519}}

<ggb_applet id="hafd2mmt" width="700" height="500" border="888888" />|3= Arbeitsmethode}}

===Lineare Funktionen erkennen===
{{Box|1=Aufgabe 2: Welche Art von Funktion ist es?|2=Sieh dir den jeweiligen Graphen oder die jeweilige Funktionsvorschrift (bzw. Gleichung) an. Stellt der Graph oder die Funktionsvorschrift eine lineare, eine andere Funktion oder gar keine Funktion dar?
{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=px8y1m7tj19}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Funktionen muss welcher Variablen auf welcher Achse genau 1 Wert auf der anderen Achse zugeordnet werden? Schau dir den Lückentext in Aufgabe 1 noch einmal an. Wie sieht der Graph einer jeden linearen Funktion aus? Wie ist die allgemeine Form von lineren Funktionen? |2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1='''Keine Funktion:'''
Der Kreis und die zur <math>y</math>-Achse parallelen Gerade sind keine Funktionen. Funktionen ordnen jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Bei Kreisen werden jedem x-Wert genau 2 y-Werte zugeordnet. Bei Geraden parallel zur y-Achse werden einem x-Wert sogar alle y-Werte zugeordnet. Also sind Kreise und Geraden parallel zur y-Achse keine Funktionen.

'''Lineare Funktionen:'''
Alle Geraden, die nicht parallel zur <math>y</math>-Achse verlaufen (also nicht senkrecht sind) und alle Funktionen, bei denen die Variabel den Exponent <math>0</math> oder <math>1</math> hat, sind lineare Funktionen. Die allgemeine Zuordnungsvorschrift für lineare Funktionen lautet: <math>=f(x)=mx+n</math>.

'''Andere Funktionen:''' Alle Funktionen, die keine linearen Funktionen sind, sind andere Funktionen.
|2 = Lösung|3= Lösung}}
|3=Merke}}

===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen===

{{Box|1 = Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen|2 =
Gegeben seien stets die Steigung der Geraden und ein Punkt, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

'''a)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = -4</math> und der Punkt <math>P(-7/-1)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = # Setze zunächst für die Steigung <math>m = -4</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = -4x + n</math> entsteht.## Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-7/-1)</math>, sodass du mit <math>x = -7</math> und <math>f(x) = -1</math> die Gleichung <math>-1 = -4\cdot(-7) + n</math> erhältst.### Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -29</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = -4x - 29</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = 3,5</math> und der Punkt <math>P(2/5)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = 3,5</math> ein, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = 3,5\cdot x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(2/5)</math>, sodass du mit <math>x = 2</math> und <math>f(x) = 5</math> die Gleichung <math>5 = 3,5\cdot2 + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -2</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = 3,5\cdot x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math> und der Punkt <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = \frac{5}{8}x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>, sodass du mit <math>x = -\frac{2}{7}</math> und <math>f(x) = \frac{3}{4})</math> die Gleichung <math>\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Das Steigungsdreieck|
2=Die Steigung einer linearen Funktion bestimmt man in der Regel mit folgenden Schritten:
# Zunächst benötigt man zwei beliebige Punkte <math>P(x_P|y_P)</math> und <math>Q(x_Q|y_Q)</math>.
# Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P</math>
# Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P</math>
# Für die Steigung <math>m</math> der Geraden gilt: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}</math>
<ggb_applet id="jbd6xgfh" width="750" height="500" border="888888" />
|3=Merksatz}}

{{Box|1=Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen|2= Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

{{Lösung versteckt|1=
# Berechne zunächst die Steigung <math>m</math>, indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst.
# Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt <math>n</math>, indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
|2=Tipp: Allgemeines Vorgehen|3=Tipp: Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen}}

{{Lösung versteckt|1=
Du kannst die Geradengleichung auch auf anderen Wegen erhalten:
* Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems:
** Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>x</math> und die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>f(x)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
** Beide Gleichungen ergeben ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> zu bestimmen.
** Die bestimmten Unbekannten setzt du anschließend in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
* Lösung mit Hilfe eines Graphen:
** Zeichne die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> in ein Koordinatensystem ein.
** Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> verläuft.
** Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung <math>m</math>.
** Lies den y-Achsenabschnitt <math>n</math> am Graphen ab.
** Setze alles in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Tipp: Alternative Vorgehen|3=Tipp: Bestimmung mit Hilfe eines LGS oder Graphen}}

'''a)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = 2x</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 3 - 1 = 2</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = 2</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 2 = 2 \cdot 1 + n \Leftrightarrow 2 = 2 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 6 = 2 \cdot 3 + n \Leftrightarrow 6 = 6 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>2 = m \cdot 1 + n</math> und <math>6 = m \cdot 3 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = 2</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 0</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4a).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(2/1)</math> und <math>Q(6/-5)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -1,5x + 4</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -5 - 1 = -6</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2} = -1,5</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -1,5</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 1 = -1,5 \cdot 2 + n \Leftrightarrow 1 = -3 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -5 = -1,5 \cdot 6 + n \Leftrightarrow -5 = -9 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>1 = m \cdot 2 + n</math> und <math>-5 = m \cdot 6 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -1,5</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 4</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4b).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math>. 

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -\frac{7}{18}x + \frac{23}{18}</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -3 - 4 = -7</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 11 - (-7) = 11 + 7 = 18</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-7}{18} = -\frac{7}{18}</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -\frac{7}{18}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 4 = -\frac{7}{18} \cdot -7 + n \Leftrightarrow \frac{72}{18} = \frac{49}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -3 = -\frac{7}{18} \cdot 11 + n \Leftrightarrow -\frac{90}{18} = -\frac{77}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>4 = m \cdot -7 + n</math> und <math>-3 = m \cdot 11 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -\frac{7}{18}</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = \frac{23}{18}</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4c).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

|3=Arbeitsmethode}}

===Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen===
{{Box |1= Aufgabe 5: Punkte auf dem Graphen|2=Prüfe für die angegebenen linearen Funktionen, welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen. Arbeite zunächst im Heft und ordne dann jeder Funktion die Punkte zu, die auf ihrem Graphen liegen. Klicke dabei immer zunächst auf die Funktion und anschließend auf die zugehörigen Punkte. Je mehr Punkte du ihren Funktionen richtig zuweist, desto mehr wird sich ein Bild im Hintergrund aufdecken! 
Hinweis: Einer Funktion können mehrere Punkte zugeordnet sein, aber jedem Punkt ist nur genau eine Funktion zugeordnet.

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=p446x08nn19}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze die x-Koordinaten der Punkte in die Funktionen ein und vergleiche den Funktionswert mit den y-Koordinaten der Punkte|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 =
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> liegen die Punkte: <math>(-1|1)</math>, <math>(0|3)</math>, <math>(2|7)</math>, <math>(1|5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -x + 12</math> liegen die Punkte: <math>(2|10)</math>, <math>(12|0)</math>, <math>(\frac{7}{2}|\frac{17}{2})</math>, <math>(9|3)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}</math> liegen die Punkte: <math>(-1|-1)</math>, <math>(5|-5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = \frac{3}{8}</math> liegen die Punkte: <math>(4|\frac{3}{8})</math>, <math>(9|\frac{9}{24})</math>.

Beispielhafter Lösungsweg:
* Wir setzen die x-Koordinate des Punktes <math>(-1|1)</math> in die Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> ein und berechnen den Funktionswert:
** <math>f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1</math>.
** Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
* Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den x-Wert des Punktes <math>(2|10)</math> ein und berechnen wieder den Funktionswert:
** <math>f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7</math>.
** Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7.
** Der Punkt <math>(2|10)</math> liegt also nicht auf dem Graphen.
|2 = Lösung|3 = Lösung}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Eine lineare Gleichung einer Geraden zuordnen===

{{Box |1= Aufgabe 6a: Funktionen zeichnen |2=Zeichne die folgenden drei Funktionen alle in ein Koordinatensystem. Überlege dir vorher, wie groß das Koordinatensystem für diese Funktionen sein muss, damit man jeden Schnitt zwischen jeweils zwei Geraden erkennt.

a) <math>f(x) = 4x + 1</math>

b) <math>g(x) = 0,5x - 2,5</math>

c) <math>h(x) = -3x + 1</math>

{{Lösung versteckt|1 = Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung.|2=Tipp|3=Tipp 1}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 6b: Finde Paare|2=Ordne den gegebenen linearen Gleichungen die zugehörige Gerade zu. Beachte: Nicht zu jeder Gleichung ist eine Gerade gegeben.

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pdwa2pz1k19}}

{{Lösung versteckt|1 = Nicht vergessen: Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung. Vielleicht erkennst du alleine anhand des <math>y</math>-Achsenabschnitts schon einige der Funktionen?|2=Tipp|3=Tipp 1}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen===

{{Box|1= Aufgabe 7: Bestimme den Schnittpunkt|2= Zeichne zunächst beide Graphen in ein Koordinatensystem in dein Heft. Bestimme anschließend den x-Wert des Schnittpunktes der beiden Geraden.

{{Lösung versteckt|1 = Um die Geraden zu zeichnen, betrachte zunächst den y-Achsenabschnitt. Falls du dir unsicher bist, was der y-Achsenabschnitt ist, scrolle hoch zum Lückentext in Aufgabe 1.

Anschließend betrachte die Steigung der Geraden. Zeichne ein Steigungsdreieck (Hilfe im Lückentext in Aufgabe 1) und zeichne die Gerade mit Hilfe der Steigung und des y-Achsenabschnitts. |2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1 = Um die Koordinaten des Schnittpunktes zu bestimmten, setzte die beiden Geraden gleich und löse dann nach x auf.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}

'''a)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=2x+4</math> und <math>g(x)=3x</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 4 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''b)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=4x-5</math> und <math>g(x)=-3x+9</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 2 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''c)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)= \frac{3}{2}x-3</math> und <math>g(x)= \frac{1}{2}x+17</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 20 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

|3= Arbeitsmethode}}
===Textaufgabe: Der Freundinnendienst===
{{Box|1=Aufgabe 8: Was man nicht alles für Freundinnen tut.|2= Susanne ist 13 Jahre alt und geht in die 7. Klasse. Heute ist sie um 13.45 Uhr von der Schule nach Hause gekommen. Beim Mittagessen erzählt sie für 30min von ihrem Schultag. Bevor sie zum Sport geht, soll sie noch ihre Hausaufgaben erledigen. Jedoch fängt sie nicht sofort an, sondern daddelt erst noch 60min. Dann beginnt sie jedoch mit ihren Hausaufgaben. Nach 30min hat sie ihre Mathehausaufgaben fertig und muss nun nur noch Deutsch machen. 
Dafür muss sie noch ein 15-seitiges Kapitel in einem Roman lesen. Als sie nach 5 Minuten die dritte Seite fertig gelesen hat, schaut sie auf ihr Handy. Sie hat nur noch 20min bis sie sich für ihr Fußball-Training fertig machen muss. Gleichzeitig sieht sie eine Whats-App Nachricht von ihrer Freundin Marie, die schreibt: "Hey, hast du Deutsch schon fertig? Hab das Kapitel nicht gerafft. Kannst du mir das beim Sport zusammenfassen?" 
Kann Susanne ihrer Freundin, Marie, versprechen ihr das Kapitel beim Fußball zu erklären?
{{Lösung versteckt|1= 1. Tipp: Überlege welche Zeitangaben für die Lösung der Aufgabe notwendig sind. 
2. Tipp: Trage die relvanten Informationen als Punkte in ein Koordinatensystem. 
3. Tipp: Mit welcher Geschwindigkeit liest Susanne Seiten pro Minute? Welche Gleichung kennst du, mit der du ihre Lesegeschwindigkeit modellieren kannst? |2= Tipp |3=Tipp}}
{{Lösung versteckt|1= Es gibt verschiedene Lösungsideen. Zwei Beispiele sind eine grafische Lösung mit Hilfe eines Koordinatensystems oder eine algebraische Lösung mit Hilfe einer linearen Funktion. Eine algebraische Lösung könnte wie folgt aussehen: 
Die Zeitangaben für die Bearbeitung der Deutschaufgabe reichen aus, um die Aufgabe zu lösen. Alle anderen Zeitangaben helfen uns nicht. Als Marie die Nachricht liest, hat sie bereits 3 Seiten gelesen. Sie ließt mit einer Geschwindigkeit von 3 Seiten pro 5 Minuten. Wir können also jedem Zeitpunkt eine Anzahl von gelesenen Seiten zuordnen. Wir setzen den Startzeitpunkt auf den Moment, in dem sie die Nachricht bekommt. Und setzen, dass <math>x</math> die Einheit <math>\frac{Seiten}{5 Minuten}</math> hat. 
Also lautet unsere Gleichung: 
<math>f(x)=3+3x</math> 
Wir wollen wissen, wann Susanne 15 Seiten gelesen hat, also setzen wir für <math>f(x)=15</math> (Seiten) ein. 
<math>15=3+3x |-3 </math> 
<math><=> 12=3x | :3 </math> 
<math><=> x=4 </math>. 
Also braucht Susanne noch <math>4</math> mal <math>5</math> Minuten, also insgesamt 20min. Wenn sie sich beeilt, kann sie es also noch schaffen.|2= Lösung |3=Lösung}}
|3=Merke}}

===Textaufgabe: Katzendurst===
{{Box |1=Aufgabe 9: Wasser für die Katze|2= Marc und Claudia freuen sich schon auf ihren 1 wöchigen Urlaub. Leider dürfen ihre Katzen, Findus und Sabbel, jedoch nicht mit. Das Trockenfutter ist zwar ausreichend lang haltbar, aber damit die Katzen im heißen Sommer auch immer Wasser finden können, wollen die Beiden einen Wasserspender kaufen. Im Geschäft sehen sie zwei verschiedene Typen von Wasserspendern, die unterschiedlich teuer sind. In den einen Wasserspender für 10€ (Wasserspender A) passen <math>8l</math> Wasser und er ist nach <math>30</math> Tagen leer. In den anderen Wasserspender für 25€ (Wasserspender B) passen <math>6l</math> und er ist schon nach <math>10</math> Tagen leer. Der Wassertrog der Katzen hat ein Fassungsvermögen von <math>500ml</math>. Überlaufendes Wasser fließt in Marcs und Claudias Garage in einen Gulli. Welche Wasserspender sollten Marc und Claudia für ihre Katzen kaufen?

{{Lösung versteckt|1 = Als erstes könntest du versuchen je eine Funktionsvorschrift für die Wasserspender zu suchen. Kannst du an diesen Ablesen wie viel Wasser Sie jeden Tag zur Verfügung stellen? Im nächsten Schritt müsstest du herausfinden, wie viel Wasser jeden Tag benötigt wird. Hast du schon dafür alle notwendigen Infos gegeben? 
Nun kannst du den Verbrauch und das bereitgestellte Wasser in Beziehung zueinander stellen. Welchen Wasserspender sollten die Beiden kaufen? Reichen die Wasserspender für den ganzen Urlaub?| 2= Ein mögliches Vorgehen | 3= Ein mögliches Vorgehen}}

{{Lösung versteckt|1 = Mit zwei Punkten kannst du bereits eine lineare Funktion aufstellen. Suche diese beiden Punkte im Text für die jeweiligen Behälter. Falls du die Punkte findest, aber Schwierigkeiten bei dem Aufstellen der Gleichung hast, schaue dir Aufgabe 4 an. 
Welche Bedeutung haben das m und das n der allgemeinen Form einer linearen Gleichung? 
Was könnte für Marc und Claudia neben der angemessen Wasserversorgung ihrer Katzen noch von Bedeutung sein?| 2=Tipps |3=Tipps }}

{{Lösung versteckt|1 = Die Punkte für den Wasserspender A sind <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math>. Die Punkte für den Wasserspender B sind <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math>. Setze für jeden Wasserspender die jeweiligen beiden Punkte in die allgemeine Form der linearen Funktion ein. |2=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte|3=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte}}

{{Lösung versteckt|1=
Durch eine Internetrecherche können wir herausfinden, dass Katzen 200-250ml Wasser am Tag zu sich nehmen sollten. Um auf Nummer sicher zu gehen gehen wir also davon aus, dass Findus und Sabbel zusammen <math>500ml=0,5l</math> benötigen. 
'''Wasserspender A: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> f(x) = m\cdot x+b</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|8)</math>:''' <math> f(0) = m\cdot 0+b = 8</math>, wodurch <math>b=8</math> folgt.

'''<math>(30|0)</math>:''' <math>f(30) = m\cdot 30+b=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>b=8</math> ist, folgt hieraus, dass <math>m=-\frac{8}{30}=-\frac{4}{15}</math> ist.

Setzt man nun <math>m</math> und <math>b</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> f(x) = -\frac{4}{15} \cdot x + 8</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender A ist also <math>m=-\frac{4}{15}=</math>. Wasserspender A gibt also jeden Tag etwas mehr Wasser als 250ml und somit lediglich ausreichend viel Wasser für eine Katze ab.
Außerdem ist Wasserspender A nach 7 Tagen noch nicht leer: 
<math>f(7)= -\frac{4}{15} \cdot 7 + 8 = \frac{92}{15}=6 \frac{2}{15} > 0</math> 

'''Wasserspender B: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> g(x) = n\cdot x+a</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|6)</math>: ''' <math> g(0) = n\cdot 0+a = 6</math>, wodurch <math>a=6</math> folgt.

'''<math>(10|0)</math>:''' <math>g(10) = n\cdot 10+a=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>a=6</math> ist, folgt hieraus, dass <math>n=-\frac{3}{5}</math> ist.

Setzt man nun <math>n</math> und <math>a</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> g(x) = -\frac{3}{5} \cdot x + 6</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender B ist <math>n=-\frac{3}{5}</math>. Wasserspender B gibt also jeden Tag <math>600ml</math> und somit ausreichend viel Wasser für beide Katzen ab. 

Außerdem ist auch Wasserspender B nach 7 Tagen noch nicht leer: 

<math>g(7) = -\frac{3}{5} \cdot 7 + 6 = \frac{9}{5}=1 \frac{4}{5} > 0 </math> 

Nun können wir nachvollziehbarerweise annehmen, dass Claudia und Marc möglichst wenig Geld ausgeben wollen. Zwei Wasserbehälter A kosten <math>2 \cdot 10€</math> also <math>5€</math> weniger als ein Wasserspender B (<math>25€</math>.

'''Abschließende Antwort''' 
Zwar könnte ein Wasserspender der Sorte B für die beiden Katzen 1 Woche genug Wasser bereitstellen, aber zwei Wasserspender der Sorte A sind zusammen immer noch preisweiter und können gemeinsam immer noch genügend Wasser für die beiden Katzen bereitstellen. Claudia und Marc sollten also zwei Wasserspender des Typs A kaufen.

|2=Lösungsvorschlag|3=Lösungsvorschlag}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Textaufgabe: Schulbus===
{{Box|1=Aufgabe 10: Schulbus|2=Nach der Schule verpasst Isolde den Bus und müsste nun den Weg von 11km nach Hause laufen. Sie ruft ihre Mutter an und bittet sie, sie abzuholen. Ihre Mutter fährt ihr auf der Landstraße mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 72 km/h entgegen. Isolde geht ihrer Mutter entgegen und geht dabei durchschnittlich 75m pro Minute. Beide machen sich gleichzeitig nach dem Telefonat auf den Weg.

'''a)''' Stelle eine Funktionsvorschrift für Isoldes Entfernung von zu Hause und eine Funktionsvorschrift für die Entfernung der Mutter von zu Hause in Abhängigkeit von der Zeit auf.

{{Lösung versteckt|1 = Lineare Funktionen haben immer die Form <math>f(x)= mx + n </math>. Hierbei ist <math> m </math> die Steigung und <math> n </math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt. Welche Informationen aus der Aufgabe entsprechen welchen Eigenschaften der gesuchten Funktionen?

Achte auch darauf, dass die Funktionen die Entfernung in der gleichen Einheit angeben und auch für die Zeit beide die gleiche Einheit verwenden sollten. Das erleichtert das spätere Rechnen mit den Funktionen.|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Wir geben die Zeit in Minuten und die Entfernung in Metern an. Die Funktion <math>f(x)=ax+b</math> soll Isoldes Entfernung von zu Hause und die Funktion <math>g(x)=cx+d</math> die Entfernung der Mutter von zu Hause beschreiben. Isolde ist zu Beginn 11km, also 11000m von zu Hause entfernt. Der y-Achsenabschnitt von f ist demnach a=11000. Isolde legt pro Minute 75m zurück. Dabei entfernt sie sich nicht von zu Hause, sondern nähert sich. Die Steigung b ist deshalb negativ und beträgt -75. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>f(x)=-75x+11000</math>. Die Mutter startet zu Hause, der y-Achsenabschnitt d von g(x) ist also gleich 0. Sie fährt mit einer Geschwindigkeit von 72km/h, was 1200m pro Minute entspricht. Damit entfernt sie sich von zu Hause, die Steigung d ist deshalb positiv und beträgt 1200. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>g(x)=1200x</math>. |2=Lösung|3=Lösung}}

'''b)''' Berechne, wie lange es dauert, bis die beiden sich treffen.

{{Lösung versteckt|1 = Welchem Punkt der Funktionsgraphen von f und g entspricht dem Treffpunkt der beiden Funktionen? Wie berechnet man diesen Punkt?|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Erinnere dich daran, dass die x-Achse die Zeit angibt, die verstrichen ist, seitdem Isolde losgegangen ist. Die y-Achse gibt den Abstand an, den die Mutter ihrer Tochter bereits entgegen gefahren ist. Dieser Abstand verringert sich dadurch, dass Isolde ihrer Mutter entgegengeht, somit hat die Funktion von Isolde eine negative Steigung. Der Schnittpunkt beider Funktionsgraphen gibt auf dem x-Wert an, wann sich die beiden treffen. Wir setzen die Funktionsvorschriften gleich, um den x-Wert des Schnittpunktes zu bestimmen. <math>\begin{align} -75x+11000 & = 1200x \quad | +75x \\
11000 & = 1275x \quad | : 1275 \\
\frac{440}{51} & = x \approx 8,6\end{align}</math>. 
Es dauert ungefähr 9 Minuten, bis die beiden sich treffen.|2=Lösung|3=Lösung}}|3=Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen

2019-11-11T16:39:19Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen */

{{Box
|Info
|In diesem Lernpfad kannst du dein Wissen über lineare Funktionen anwenden und erweitern und dein Verständnis vertiefen. Das Kapitel behandelt die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, ihren Funktionsgleichungen, ihren Funktionsgraphen und darauf liegenden Punkten.

In Aufgaben, die ''gelb'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind'' Forderaufgaben''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind besonders anspruchsvolle ''Knobelaufgaben''.

Das Kapitel beginnt mit einem kurzen Lückentext zur Wiederholung und endet mit drei Anwendungsaufgaben.
| Kurzinfo
}}

===Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung===

{{Box|1= Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|2= Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

{{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=pzotbf9h519}}

<ggb_applet id="hafd2mmt" width="700" height="500" border="888888" />|3= Arbeitsmethode}}

===Lineare Funktionen erkennen===
{{Box|1=Aufgabe 2: Welche Art von Funktion ist es?|2=Sieh dir den jeweiligen Graphen oder die jeweilige Funktionsvorschrift (bzw. Gleichung) an. Stellt der Graph oder die Funktionsvorschrift eine lineare, eine andere Funktion oder gar keine Funktion dar?
{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=px8y1m7tj19}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Funktionen muss welcher Variablen auf welcher Achse genau 1 Wert auf der anderen Achse zugeordnet werden? Schau dir den Lückentext in Aufgabe 1 noch einmal an. Wie sieht der Graph einer jeden linearen Funktion aus? Wie ist die allgemeine Form von lineren Funktionen? |2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1='''Keine Funktion:'''
Der Kreis und die zur <math>y</math>-Achse parallelen Gerade sind keine Funktionen. Funktionen ordnen jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Bei Kreisen werden jedem x-Wert genau 2 y-Werte zugeordnet. Bei Geraden parallel zur y-Achse werden einem x-Wert sogar alle y-Werte zugeordnet. Also sind Kreise und Geraden parallel zur y-Achse keine Funktionen.

'''Lineare Funktionen:'''
Alle Geraden, die nicht parallel zur <math>y</math>-Achse verlaufen (also nicht senkrecht sind) und alle Funktionen, bei denen die Variabel den Exponent <math>0</math> oder <math>1</math> hat, sind lineare Funktionen. Die allgemeine Zuordnungsvorschrift für lineare Funktionen lautet: <math>=f(x)=mx+n</math>.

'''Andere Funktionen:''' Alle Funktionen, die keine linearen Funktionen sind, sind andere Funktionen.
|2 = Lösung|3= Lösung}}
|3=Merke}}

===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen===

{{Box|1 = Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen|2 =
Gegeben seien stets die Steigung der Geraden und ein Punkt, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

'''a)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = -4</math> und der Punkt <math>P(-7/-1)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = # Setze zunächst für die Steigung <math>m = -4</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = -4x + n</math> entsteht. ## Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-7/-1)</math>, sodass du mit <math>x = -7</math> und <math>f(x) = -1</math> die Gleichung <math>-1 = -4\cdot(-7) + n</math> erhältst. ### Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -29</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = -4x - 29</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = 3,5</math> und der Punkt <math>P(2/5)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = 3,5</math> ein, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = 3,5\cdot x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(2/5)</math>, sodass du mit <math>x = 2</math> und <math>f(x) = 5</math> die Gleichung <math>5 = 3,5\cdot2 + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -2</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = 3,5\cdot x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math> und der Punkt <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = \frac{5}{8}x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>, sodass du mit <math>x = -\frac{2}{7}</math> und <math>f(x) = \frac{3}{4})</math> die Gleichung <math>\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Das Steigungsdreieck|
2=Die Steigung einer linearen Funktion bestimmt man in der Regel mit folgenden Schritten:
# Zunächst benötigt man zwei beliebige Punkte <math>P(x_P|y_P)</math> und <math>Q(x_Q|y_Q)</math>.
# Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P</math>
# Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P</math>
# Für die Steigung <math>m</math> der Geraden gilt: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}</math>
<ggb_applet id="jbd6xgfh" width="750" height="500" border="888888" />
|3=Merksatz}}

{{Box|1=Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen|2= Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

{{Lösung versteckt|1=
# Berechne zunächst die Steigung <math>m</math>, indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst.
# Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt <math>n</math>, indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
|2=Tipp: Allgemeines Vorgehen|3=Tipp: Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen}}

{{Lösung versteckt|1=
Du kannst die Geradengleichung auch auf anderen Wegen erhalten:
* Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems:
** Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>x</math> und die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>f(x)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
** Beide Gleichungen ergeben ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> zu bestimmen.
** Die bestimmten Unbekannten setzt du anschließend in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
* Lösung mit Hilfe eines Graphen:
** Zeichne die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> in ein Koordinatensystem ein.
** Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> verläuft.
** Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung <math>m</math>.
** Lies den y-Achsenabschnitt <math>n</math> am Graphen ab.
** Setze alles in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Tipp: Alternative Vorgehen|3=Tipp: Bestimmung mit Hilfe eines LGS oder Graphen}}

'''a)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = 2x</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 3 - 1 = 2</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = 2</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 2 = 2 \cdot 1 + n \Leftrightarrow 2 = 2 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 6 = 2 \cdot 3 + n \Leftrightarrow 6 = 6 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>2 = m \cdot 1 + n</math> und <math>6 = m \cdot 3 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = 2</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 0</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4a).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(2/1)</math> und <math>Q(6/-5)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -1,5x + 4</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -5 - 1 = -6</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2} = -1,5</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -1,5</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 1 = -1,5 \cdot 2 + n \Leftrightarrow 1 = -3 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -5 = -1,5 \cdot 6 + n \Leftrightarrow -5 = -9 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>1 = m \cdot 2 + n</math> und <math>-5 = m \cdot 6 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -1,5</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 4</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4b).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math>. 

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -\frac{7}{18}x + \frac{23}{18}</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -3 - 4 = -7</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 11 - (-7) = 11 + 7 = 18</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-7}{18} = -\frac{7}{18}</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -\frac{7}{18}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 4 = -\frac{7}{18} \cdot -7 + n \Leftrightarrow \frac{72}{18} = \frac{49}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -3 = -\frac{7}{18} \cdot 11 + n \Leftrightarrow -\frac{90}{18} = -\frac{77}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>4 = m \cdot -7 + n</math> und <math>-3 = m \cdot 11 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -\frac{7}{18}</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = \frac{23}{18}</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4c).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

|3=Arbeitsmethode}}

===Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen===
{{Box |1= Aufgabe 5: Punkte auf dem Graphen|2=Prüfe für die angegebenen linearen Funktionen, welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen. Arbeite zunächst im Heft und ordne dann jeder Funktion die Punkte zu, die auf ihrem Graphen liegen. Klicke dabei immer zunächst auf die Funktion und anschließend auf die zugehörigen Punkte. Je mehr Punkte du ihren Funktionen richtig zuweist, desto mehr wird sich ein Bild im Hintergrund aufdecken! 
Hinweis: Einer Funktion können mehrere Punkte zugeordnet sein, aber jedem Punkt ist nur genau eine Funktion zugeordnet.

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=p446x08nn19}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze die x-Koordinaten der Punkte in die Funktionen ein und vergleiche den Funktionswert mit den y-Koordinaten der Punkte|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 =
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> liegen die Punkte: <math>(-1|1)</math>, <math>(0|3)</math>, <math>(2|7)</math>, <math>(1|5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -x + 12</math> liegen die Punkte: <math>(2|10)</math>, <math>(12|0)</math>, <math>(\frac{7}{2}|\frac{17}{2})</math>, <math>(9|3)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}</math> liegen die Punkte: <math>(-1|-1)</math>, <math>(5|-5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = \frac{3}{8}</math> liegen die Punkte: <math>(4|\frac{3}{8})</math>, <math>(9|\frac{9}{24})</math>.

Beispielhafter Lösungsweg:
* Wir setzen die x-Koordinate des Punktes <math>(-1|1)</math> in die Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> ein und berechnen den Funktionswert:
** <math>f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1</math>.
** Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
* Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den x-Wert des Punktes <math>(2|10)</math> ein und berechnen wieder den Funktionswert:
** <math>f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7</math>.
** Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7.
** Der Punkt <math>(2|10)</math> liegt also nicht auf dem Graphen.
|2 = Lösung|3 = Lösung}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Eine lineare Gleichung einer Geraden zuordnen===

{{Box |1= Aufgabe 6a: Funktionen zeichnen |2=Zeichne die folgenden drei Funktionen alle in ein Koordinatensystem. Überlege dir vorher, wie groß das Koordinatensystem für diese Funktionen sein muss, damit man jeden Schnitt zwischen jeweils zwei Geraden erkennt.

a) <math>f(x) = 4x + 1</math>

b) <math>g(x) = 0,5x - 2,5</math>

c) <math>h(x) = -3x + 1</math>

{{Lösung versteckt|1 = Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung.|2=Tipp|3=Tipp 1}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 6b: Finde Paare|2=Ordne den gegebenen linearen Gleichungen die zugehörige Gerade zu. Beachte: Nicht zu jeder Gleichung ist eine Gerade gegeben.

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pdwa2pz1k19}}

{{Lösung versteckt|1 = Nicht vergessen: Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung. Vielleicht erkennst du alleine anhand des <math>y</math>-Achsenabschnitts schon einige der Funktionen?|2=Tipp|3=Tipp 1}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen===

{{Box|1= Aufgabe 7: Bestimme den Schnittpunkt|2= Zeichne zunächst beide Graphen in ein Koordinatensystem in dein Heft. Bestimme anschließend den x-Wert des Schnittpunktes der beiden Geraden.

{{Lösung versteckt|1 = Um die Geraden zu zeichnen, betrachte zunächst den y-Achsenabschnitt. Falls du dir unsicher bist, was der y-Achsenabschnitt ist, scrolle hoch zum Lückentext in Aufgabe 1.

Anschließend betrachte die Steigung der Geraden. Zeichne ein Steigungsdreieck (Hilfe im Lückentext in Aufgabe 1) und zeichne die Gerade mit Hilfe der Steigung und des y-Achsenabschnitts. |2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1 = Um die Koordinaten des Schnittpunktes zu bestimmten, setzte die beiden Geraden gleich und löse dann nach x auf.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}

'''a)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=2x+4</math> und <math>g(x)=3x</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 4 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''b)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=4x-5</math> und <math>g(x)=-3x+9</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 2 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''c)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)= \frac{3}{2}x-3</math> und <math>g(x)= \frac{1}{2}x+17</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 20 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

|3= Arbeitsmethode}}
===Textaufgabe: Der Freundinnendienst===
{{Box|1=Aufgabe 8: Was man nicht alles für Freundinnen tut.|2= Susanne ist 13 Jahre alt und geht in die 7. Klasse. Heute ist sie um 13.45 Uhr von der Schule nach Hause gekommen. Beim Mittagessen erzählt sie für 30min von ihrem Schultag. Bevor sie zum Sport geht, soll sie noch ihre Hausaufgaben erledigen. Jedoch fängt sie nicht sofort an, sondern daddelt erst noch 60min. Dann beginnt sie jedoch mit ihren Hausaufgaben. Nach 30min hat sie ihre Mathehausaufgaben fertig und muss nun nur noch Deutsch machen. 
Dafür muss sie noch ein 15-seitiges Kapitel in einem Roman lesen. Als sie nach 5 Minuten die dritte Seite fertig gelesen hat, schaut sie auf ihr Handy. Sie hat nur noch 20min bis sie sich für ihr Fußball-Training fertig machen muss. Gleichzeitig sieht sie eine Whats-App Nachricht von ihrer Freundin Marie, die schreibt: "Hey, hast du Deutsch schon fertig? Hab das Kapitel nicht gerafft. Kannst du mir das beim Sport zusammenfassen?" 
Kann Susanne ihrer Freundin, Marie, versprechen ihr das Kapitel beim Fußball zu erklären?
{{Lösung versteckt|1= 1. Tipp: Überlege welche Zeitangaben für die Lösung der Aufgabe notwendig sind. 
2. Tipp: Trage die relvanten Informationen als Punkte in ein Koordinatensystem. 
3. Tipp: Mit welcher Geschwindigkeit liest Susanne Seiten pro Minute? Welche Gleichung kennst du, mit der du ihre Lesegeschwindigkeit modellieren kannst? |2= Tipp |3=Tipp}}
{{Lösung versteckt|1= Es gibt verschiedene Lösungsideen. Zwei Beispiele sind eine grafische Lösung mit Hilfe eines Koordinatensystems oder eine algebraische Lösung mit Hilfe einer linearen Funktion. Eine algebraische Lösung könnte wie folgt aussehen: 
Die Zeitangaben für die Bearbeitung der Deutschaufgabe reichen aus, um die Aufgabe zu lösen. Alle anderen Zeitangaben helfen uns nicht. Als Marie die Nachricht liest, hat sie bereits 3 Seiten gelesen. Sie ließt mit einer Geschwindigkeit von 3 Seiten pro 5 Minuten. Wir können also jedem Zeitpunkt eine Anzahl von gelesenen Seiten zuordnen. Wir setzen den Startzeitpunkt auf den Moment, in dem sie die Nachricht bekommt. Und setzen, dass <math>x</math> die Einheit <math>\frac{Seiten}{5 Minuten}</math> hat. 
Also lautet unsere Gleichung: 
<math>f(x)=3+3x</math> 
Wir wollen wissen, wann Susanne 15 Seiten gelesen hat, also setzen wir für <math>f(x)=15</math> (Seiten) ein. 
<math>15=3+3x |-3 </math> 
<math><=> 12=3x | :3 </math> 
<math><=> x=4 </math>. 
Also braucht Susanne noch <math>4</math> mal <math>5</math> Minuten, also insgesamt 20min. Wenn sie sich beeilt, kann sie es also noch schaffen.|2= Lösung |3=Lösung}}
|3=Merke}}

===Textaufgabe: Katzendurst===
{{Box |1=Aufgabe 9: Wasser für die Katze|2= Marc und Claudia freuen sich schon auf ihren 1 wöchigen Urlaub. Leider dürfen ihre Katzen, Findus und Sabbel, jedoch nicht mit. Das Trockenfutter ist zwar ausreichend lang haltbar, aber damit die Katzen im heißen Sommer auch immer Wasser finden können, wollen die Beiden einen Wasserspender kaufen. Im Geschäft sehen sie zwei verschiedene Typen von Wasserspendern, die unterschiedlich teuer sind. In den einen Wasserspender für 10€ (Wasserspender A) passen <math>8l</math> Wasser und er ist nach <math>30</math> Tagen leer. In den anderen Wasserspender für 25€ (Wasserspender B) passen <math>6l</math> und er ist schon nach <math>10</math> Tagen leer. Der Wassertrog der Katzen hat ein Fassungsvermögen von <math>500ml</math>. Überlaufendes Wasser fließt in Marcs und Claudias Garage in einen Gulli. Welche Wasserspender sollten Marc und Claudia für ihre Katzen kaufen?

{{Lösung versteckt|1 = Als erstes könntest du versuchen je eine Funktionsvorschrift für die Wasserspender zu suchen. Kannst du an diesen Ablesen wie viel Wasser Sie jeden Tag zur Verfügung stellen? Im nächsten Schritt müsstest du herausfinden, wie viel Wasser jeden Tag benötigt wird. Hast du schon dafür alle notwendigen Infos gegeben? 
Nun kannst du den Verbrauch und das bereitgestellte Wasser in Beziehung zueinander stellen. Welchen Wasserspender sollten die Beiden kaufen? Reichen die Wasserspender für den ganzen Urlaub?| 2= Ein mögliches Vorgehen | 3= Ein mögliches Vorgehen}}

{{Lösung versteckt|1 = Mit zwei Punkten kannst du bereits eine lineare Funktion aufstellen. Suche diese beiden Punkte im Text für die jeweiligen Behälter. Falls du die Punkte findest, aber Schwierigkeiten bei dem Aufstellen der Gleichung hast, schaue dir Aufgabe 4 an. 
Welche Bedeutung haben das m und das n der allgemeinen Form einer linearen Gleichung? 
Was könnte für Marc und Claudia neben der angemessen Wasserversorgung ihrer Katzen noch von Bedeutung sein?| 2=Tipps |3=Tipps }}

{{Lösung versteckt|1 = Die Punkte für den Wasserspender A sind <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math>. Die Punkte für den Wasserspender B sind <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math>. Setze für jeden Wasserspender die jeweiligen beiden Punkte in die allgemeine Form der linearen Funktion ein. |2=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte|3=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte}}

{{Lösung versteckt|1=
Durch eine Internetrecherche können wir herausfinden, dass Katzen 200-250ml Wasser am Tag zu sich nehmen sollten. Um auf Nummer sicher zu gehen gehen wir also davon aus, dass Findus und Sabbel zusammen <math>500ml=0,5l</math> benötigen. 
'''Wasserspender A: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> f(x) = m\cdot x+b</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|8)</math>:''' <math> f(0) = m\cdot 0+b = 8</math>, wodurch <math>b=8</math> folgt.

'''<math>(30|0)</math>:''' <math>f(30) = m\cdot 30+b=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>b=8</math> ist, folgt hieraus, dass <math>m=-\frac{8}{30}=-\frac{4}{15}</math> ist.

Setzt man nun <math>m</math> und <math>b</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> f(x) = -\frac{4}{15} \cdot x + 8</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender A ist also <math>m=-\frac{4}{15}=</math>. Wasserspender A gibt also jeden Tag etwas mehr Wasser als 250ml und somit lediglich ausreichend viel Wasser für eine Katze ab.
Außerdem ist Wasserspender A nach 7 Tagen noch nicht leer: 
<math>f(7)= -\frac{4}{15} \cdot 7 + 8 = \frac{92}{15}=6 \frac{2}{15} > 0</math> 

'''Wasserspender B: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> g(x) = n\cdot x+a</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|6)</math>: ''' <math> g(0) = n\cdot 0+a = 6</math>, wodurch <math>a=6</math> folgt.

'''<math>(10|0)</math>:''' <math>g(10) = n\cdot 10+a=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>a=6</math> ist, folgt hieraus, dass <math>n=-\frac{3}{5}</math> ist.

Setzt man nun <math>n</math> und <math>a</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> g(x) = -\frac{3}{5} \cdot x + 6</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender B ist <math>n=-\frac{3}{5}</math>. Wasserspender B gibt also jeden Tag <math>600ml</math> und somit ausreichend viel Wasser für beide Katzen ab. 

Außerdem ist auch Wasserspender B nach 7 Tagen noch nicht leer: 

<math>g(7) = -\frac{3}{5} \cdot 7 + 6 = \frac{9}{5}=1 \frac{4}{5} > 0 </math> 

Nun können wir nachvollziehbarerweise annehmen, dass Claudia und Marc möglichst wenig Geld ausgeben wollen. Zwei Wasserbehälter A kosten <math>2 \cdot 10€</math> also <math>5€</math> weniger als ein Wasserspender B (<math>25€</math>.

'''Abschließende Antwort''' 
Zwar könnte ein Wasserspender der Sorte B für die beiden Katzen 1 Woche genug Wasser bereitstellen, aber zwei Wasserspender der Sorte A sind zusammen immer noch preisweiter und können gemeinsam immer noch genügend Wasser für die beiden Katzen bereitstellen. Claudia und Marc sollten also zwei Wasserspender des Typs A kaufen.

|2=Lösungsvorschlag|3=Lösungsvorschlag}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Textaufgabe: Schulbus===
{{Box|1=Aufgabe 10: Schulbus|2=Nach der Schule verpasst Isolde den Bus und müsste nun den Weg von 11km nach Hause laufen. Sie ruft ihre Mutter an und bittet sie, sie abzuholen. Ihre Mutter fährt ihr auf der Landstraße mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 72 km/h entgegen. Isolde geht ihrer Mutter entgegen und geht dabei durchschnittlich 75m pro Minute. Beide machen sich gleichzeitig nach dem Telefonat auf den Weg.

'''a)''' Stelle eine Funktionsvorschrift für Isoldes Entfernung von zu Hause und eine Funktionsvorschrift für die Entfernung der Mutter von zu Hause in Abhängigkeit von der Zeit auf.

{{Lösung versteckt|1 = Lineare Funktionen haben immer die Form <math>f(x)= mx + n </math>. Hierbei ist <math> m </math> die Steigung und <math> n </math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt. Welche Informationen aus der Aufgabe entsprechen welchen Eigenschaften der gesuchten Funktionen?

Achte auch darauf, dass die Funktionen die Entfernung in der gleichen Einheit angeben und auch für die Zeit beide die gleiche Einheit verwenden sollten. Das erleichtert das spätere Rechnen mit den Funktionen.|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Wir geben die Zeit in Minuten und die Entfernung in Metern an. Die Funktion <math>f(x)=ax+b</math> soll Isoldes Entfernung von zu Hause und die Funktion <math>g(x)=cx+d</math> die Entfernung der Mutter von zu Hause beschreiben. Isolde ist zu Beginn 11km, also 11000m von zu Hause entfernt. Der y-Achsenabschnitt von f ist demnach a=11000. Isolde legt pro Minute 75m zurück. Dabei entfernt sie sich nicht von zu Hause, sondern nähert sich. Die Steigung b ist deshalb negativ und beträgt -75. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>f(x)=-75x+11000</math>. Die Mutter startet zu Hause, der y-Achsenabschnitt d von g(x) ist also gleich 0. Sie fährt mit einer Geschwindigkeit von 72km/h, was 1200m pro Minute entspricht. Damit entfernt sie sich von zu Hause, die Steigung d ist deshalb positiv und beträgt 1200. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>g(x)=1200x</math>. |2=Lösung|3=Lösung}}

'''b)''' Berechne, wie lange es dauert, bis die beiden sich treffen.

{{Lösung versteckt|1 = Welchem Punkt der Funktionsgraphen von f und g entspricht dem Treffpunkt der beiden Funktionen? Wie berechnet man diesen Punkt?|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Erinnere dich daran, dass die x-Achse die Zeit angibt, die verstrichen ist, seitdem Isolde losgegangen ist. Die y-Achse gibt den Abstand an, den die Mutter ihrer Tochter bereits entgegen gefahren ist. Dieser Abstand verringert sich dadurch, dass Isolde ihrer Mutter entgegengeht, somit hat die Funktion von Isolde eine negative Steigung. Der Schnittpunkt beider Funktionsgraphen gibt auf dem x-Wert an, wann sich die beiden treffen. Wir setzen die Funktionsvorschriften gleich, um den x-Wert des Schnittpunktes zu bestimmen. <math>\begin{align} -75x+11000 & = 1200x \quad | +75x \\
11000 & = 1275x \quad | : 1275 \\
\frac{440}{51} & = x \approx 8,6\end{align}</math>. 
Es dauert ungefähr 9 Minuten, bis die beiden sich treffen.|2=Lösung|3=Lösung}}|3=Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen

2019-11-11T16:38:43Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen */

{{Box
|Info
|In diesem Lernpfad kannst du dein Wissen über lineare Funktionen anwenden und erweitern und dein Verständnis vertiefen. Das Kapitel behandelt die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, ihren Funktionsgleichungen, ihren Funktionsgraphen und darauf liegenden Punkten.

In Aufgaben, die ''gelb'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind'' Forderaufgaben''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind besonders anspruchsvolle ''Knobelaufgaben''.

Das Kapitel beginnt mit einem kurzen Lückentext zur Wiederholung und endet mit drei Anwendungsaufgaben.
| Kurzinfo
}}

===Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung===

{{Box|1= Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|2= Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

{{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=pzotbf9h519}}

<ggb_applet id="hafd2mmt" width="700" height="500" border="888888" />|3= Arbeitsmethode}}

===Lineare Funktionen erkennen===
{{Box|1=Aufgabe 2: Welche Art von Funktion ist es?|2=Sieh dir den jeweiligen Graphen oder die jeweilige Funktionsvorschrift (bzw. Gleichung) an. Stellt der Graph oder die Funktionsvorschrift eine lineare, eine andere Funktion oder gar keine Funktion dar?
{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=px8y1m7tj19}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Funktionen muss welcher Variablen auf welcher Achse genau 1 Wert auf der anderen Achse zugeordnet werden? Schau dir den Lückentext in Aufgabe 1 noch einmal an. Wie sieht der Graph einer jeden linearen Funktion aus? Wie ist die allgemeine Form von lineren Funktionen? |2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1='''Keine Funktion:'''
Der Kreis und die zur <math>y</math>-Achse parallelen Gerade sind keine Funktionen. Funktionen ordnen jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Bei Kreisen werden jedem x-Wert genau 2 y-Werte zugeordnet. Bei Geraden parallel zur y-Achse werden einem x-Wert sogar alle y-Werte zugeordnet. Also sind Kreise und Geraden parallel zur y-Achse keine Funktionen.

'''Lineare Funktionen:'''
Alle Geraden, die nicht parallel zur <math>y</math>-Achse verlaufen (also nicht senkrecht sind) und alle Funktionen, bei denen die Variabel den Exponent <math>0</math> oder <math>1</math> hat, sind lineare Funktionen. Die allgemeine Zuordnungsvorschrift für lineare Funktionen lautet: <math>=f(x)=mx+n</math>.

'''Andere Funktionen:''' Alle Funktionen, die keine linearen Funktionen sind, sind andere Funktionen.
|2 = Lösung|3= Lösung}}
|3=Merke}}

===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen===

{{Box|1 = Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen|2 =
Gegeben seien stets die Steigung der Geraden und ein Punkt, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

'''a)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = -4</math> und der Punkt <math>P(-7/-1)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = # Setze zunächst für die Steigung <math>m = -4</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = -4x + n</math> entsteht.
## Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-7/-1)</math>, sodass du mit <math>x = -7</math> und <math>f(x) = -1</math> die Gleichung <math>-1 = -4\cdot(-7) + n</math> erhältst.
### Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -29</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = -4x - 29</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = 3,5</math> und der Punkt <math>P(2/5)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = 3,5</math> ein, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = 3,5\cdot x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(2/5)</math>, sodass du mit <math>x = 2</math> und <math>f(x) = 5</math> die Gleichung <math>5 = 3,5\cdot2 + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -2</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = 3,5\cdot x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math> und der Punkt <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = \frac{5}{8}x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>, sodass du mit <math>x = -\frac{2}{7}</math> und <math>f(x) = \frac{3}{4})</math> die Gleichung <math>\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Das Steigungsdreieck|
2=Die Steigung einer linearen Funktion bestimmt man in der Regel mit folgenden Schritten:
# Zunächst benötigt man zwei beliebige Punkte <math>P(x_P|y_P)</math> und <math>Q(x_Q|y_Q)</math>.
# Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P</math>
# Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P</math>
# Für die Steigung <math>m</math> der Geraden gilt: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}</math>
<ggb_applet id="jbd6xgfh" width="750" height="500" border="888888" />
|3=Merksatz}}

{{Box|1=Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen|2= Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

{{Lösung versteckt|1=
# Berechne zunächst die Steigung <math>m</math>, indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst.
# Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt <math>n</math>, indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
|2=Tipp: Allgemeines Vorgehen|3=Tipp: Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen}}

{{Lösung versteckt|1=
Du kannst die Geradengleichung auch auf anderen Wegen erhalten:
* Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems:
** Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>x</math> und die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>f(x)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
** Beide Gleichungen ergeben ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> zu bestimmen.
** Die bestimmten Unbekannten setzt du anschließend in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
* Lösung mit Hilfe eines Graphen:
** Zeichne die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> in ein Koordinatensystem ein.
** Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> verläuft.
** Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung <math>m</math>.
** Lies den y-Achsenabschnitt <math>n</math> am Graphen ab.
** Setze alles in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Tipp: Alternative Vorgehen|3=Tipp: Bestimmung mit Hilfe eines LGS oder Graphen}}

'''a)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = 2x</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 3 - 1 = 2</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = 2</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 2 = 2 \cdot 1 + n \Leftrightarrow 2 = 2 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 6 = 2 \cdot 3 + n \Leftrightarrow 6 = 6 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>2 = m \cdot 1 + n</math> und <math>6 = m \cdot 3 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = 2</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 0</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4a).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(2/1)</math> und <math>Q(6/-5)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -1,5x + 4</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -5 - 1 = -6</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2} = -1,5</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -1,5</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 1 = -1,5 \cdot 2 + n \Leftrightarrow 1 = -3 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -5 = -1,5 \cdot 6 + n \Leftrightarrow -5 = -9 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>1 = m \cdot 2 + n</math> und <math>-5 = m \cdot 6 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -1,5</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 4</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4b).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math>. 

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -\frac{7}{18}x + \frac{23}{18}</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -3 - 4 = -7</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 11 - (-7) = 11 + 7 = 18</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-7}{18} = -\frac{7}{18}</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -\frac{7}{18}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 4 = -\frac{7}{18} \cdot -7 + n \Leftrightarrow \frac{72}{18} = \frac{49}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -3 = -\frac{7}{18} \cdot 11 + n \Leftrightarrow -\frac{90}{18} = -\frac{77}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>4 = m \cdot -7 + n</math> und <math>-3 = m \cdot 11 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -\frac{7}{18}</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = \frac{23}{18}</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4c).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

|3=Arbeitsmethode}}

===Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen===
{{Box |1= Aufgabe 5: Punkte auf dem Graphen|2=Prüfe für die angegebenen linearen Funktionen, welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen. Arbeite zunächst im Heft und ordne dann jeder Funktion die Punkte zu, die auf ihrem Graphen liegen. Klicke dabei immer zunächst auf die Funktion und anschließend auf die zugehörigen Punkte. Je mehr Punkte du ihren Funktionen richtig zuweist, desto mehr wird sich ein Bild im Hintergrund aufdecken! 
Hinweis: Einer Funktion können mehrere Punkte zugeordnet sein, aber jedem Punkt ist nur genau eine Funktion zugeordnet.

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=p446x08nn19}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze die x-Koordinaten der Punkte in die Funktionen ein und vergleiche den Funktionswert mit den y-Koordinaten der Punkte|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 =
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> liegen die Punkte: <math>(-1|1)</math>, <math>(0|3)</math>, <math>(2|7)</math>, <math>(1|5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -x + 12</math> liegen die Punkte: <math>(2|10)</math>, <math>(12|0)</math>, <math>(\frac{7}{2}|\frac{17}{2})</math>, <math>(9|3)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}</math> liegen die Punkte: <math>(-1|-1)</math>, <math>(5|-5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = \frac{3}{8}</math> liegen die Punkte: <math>(4|\frac{3}{8})</math>, <math>(9|\frac{9}{24})</math>.

Beispielhafter Lösungsweg:
* Wir setzen die x-Koordinate des Punktes <math>(-1|1)</math> in die Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> ein und berechnen den Funktionswert:
** <math>f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1</math>.
** Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
* Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den x-Wert des Punktes <math>(2|10)</math> ein und berechnen wieder den Funktionswert:
** <math>f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7</math>.
** Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7.
** Der Punkt <math>(2|10)</math> liegt also nicht auf dem Graphen.
|2 = Lösung|3 = Lösung}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Eine lineare Gleichung einer Geraden zuordnen===

{{Box |1= Aufgabe 6a: Funktionen zeichnen |2=Zeichne die folgenden drei Funktionen alle in ein Koordinatensystem. Überlege dir vorher, wie groß das Koordinatensystem für diese Funktionen sein muss, damit man jeden Schnitt zwischen jeweils zwei Geraden erkennt.

a) <math>f(x) = 4x + 1</math>

b) <math>g(x) = 0,5x - 2,5</math>

c) <math>h(x) = -3x + 1</math>

{{Lösung versteckt|1 = Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung.|2=Tipp|3=Tipp 1}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 6b: Finde Paare|2=Ordne den gegebenen linearen Gleichungen die zugehörige Gerade zu. Beachte: Nicht zu jeder Gleichung ist eine Gerade gegeben.

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pdwa2pz1k19}}

{{Lösung versteckt|1 = Nicht vergessen: Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung. Vielleicht erkennst du alleine anhand des <math>y</math>-Achsenabschnitts schon einige der Funktionen?|2=Tipp|3=Tipp 1}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen===

{{Box|1= Aufgabe 7: Bestimme den Schnittpunkt|2= Zeichne zunächst beide Graphen in ein Koordinatensystem in dein Heft. Bestimme anschließend den x-Wert des Schnittpunktes der beiden Geraden.

{{Lösung versteckt|1 = Um die Geraden zu zeichnen, betrachte zunächst den y-Achsenabschnitt. Falls du dir unsicher bist, was der y-Achsenabschnitt ist, scrolle hoch zum Lückentext in Aufgabe 1.

Anschließend betrachte die Steigung der Geraden. Zeichne ein Steigungsdreieck (Hilfe im Lückentext in Aufgabe 1) und zeichne die Gerade mit Hilfe der Steigung und des y-Achsenabschnitts. |2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1 = Um die Koordinaten des Schnittpunktes zu bestimmten, setzte die beiden Geraden gleich und löse dann nach x auf.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}

'''a)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=2x+4</math> und <math>g(x)=3x</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 4 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''b)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=4x-5</math> und <math>g(x)=-3x+9</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 2 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''c)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)= \frac{3}{2}x-3</math> und <math>g(x)= \frac{1}{2}x+17</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 20 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

|3= Arbeitsmethode}}
===Textaufgabe: Der Freundinnendienst===
{{Box|1=Aufgabe 8: Was man nicht alles für Freundinnen tut.|2= Susanne ist 13 Jahre alt und geht in die 7. Klasse. Heute ist sie um 13.45 Uhr von der Schule nach Hause gekommen. Beim Mittagessen erzählt sie für 30min von ihrem Schultag. Bevor sie zum Sport geht, soll sie noch ihre Hausaufgaben erledigen. Jedoch fängt sie nicht sofort an, sondern daddelt erst noch 60min. Dann beginnt sie jedoch mit ihren Hausaufgaben. Nach 30min hat sie ihre Mathehausaufgaben fertig und muss nun nur noch Deutsch machen. 
Dafür muss sie noch ein 15-seitiges Kapitel in einem Roman lesen. Als sie nach 5 Minuten die dritte Seite fertig gelesen hat, schaut sie auf ihr Handy. Sie hat nur noch 20min bis sie sich für ihr Fußball-Training fertig machen muss. Gleichzeitig sieht sie eine Whats-App Nachricht von ihrer Freundin Marie, die schreibt: "Hey, hast du Deutsch schon fertig? Hab das Kapitel nicht gerafft. Kannst du mir das beim Sport zusammenfassen?" 
Kann Susanne ihrer Freundin, Marie, versprechen ihr das Kapitel beim Fußball zu erklären?
{{Lösung versteckt|1= 1. Tipp: Überlege welche Zeitangaben für die Lösung der Aufgabe notwendig sind. 
2. Tipp: Trage die relvanten Informationen als Punkte in ein Koordinatensystem. 
3. Tipp: Mit welcher Geschwindigkeit liest Susanne Seiten pro Minute? Welche Gleichung kennst du, mit der du ihre Lesegeschwindigkeit modellieren kannst? |2= Tipp |3=Tipp}}
{{Lösung versteckt|1= Es gibt verschiedene Lösungsideen. Zwei Beispiele sind eine grafische Lösung mit Hilfe eines Koordinatensystems oder eine algebraische Lösung mit Hilfe einer linearen Funktion. Eine algebraische Lösung könnte wie folgt aussehen: 
Die Zeitangaben für die Bearbeitung der Deutschaufgabe reichen aus, um die Aufgabe zu lösen. Alle anderen Zeitangaben helfen uns nicht. Als Marie die Nachricht liest, hat sie bereits 3 Seiten gelesen. Sie ließt mit einer Geschwindigkeit von 3 Seiten pro 5 Minuten. Wir können also jedem Zeitpunkt eine Anzahl von gelesenen Seiten zuordnen. Wir setzen den Startzeitpunkt auf den Moment, in dem sie die Nachricht bekommt. Und setzen, dass <math>x</math> die Einheit <math>\frac{Seiten}{5 Minuten}</math> hat. 
Also lautet unsere Gleichung: 
<math>f(x)=3+3x</math> 
Wir wollen wissen, wann Susanne 15 Seiten gelesen hat, also setzen wir für <math>f(x)=15</math> (Seiten) ein. 
<math>15=3+3x |-3 </math> 
<math><=> 12=3x | :3 </math> 
<math><=> x=4 </math>. 
Also braucht Susanne noch <math>4</math> mal <math>5</math> Minuten, also insgesamt 20min. Wenn sie sich beeilt, kann sie es also noch schaffen.|2= Lösung |3=Lösung}}
|3=Merke}}

===Textaufgabe: Katzendurst===
{{Box |1=Aufgabe 9: Wasser für die Katze|2= Marc und Claudia freuen sich schon auf ihren 1 wöchigen Urlaub. Leider dürfen ihre Katzen, Findus und Sabbel, jedoch nicht mit. Das Trockenfutter ist zwar ausreichend lang haltbar, aber damit die Katzen im heißen Sommer auch immer Wasser finden können, wollen die Beiden einen Wasserspender kaufen. Im Geschäft sehen sie zwei verschiedene Typen von Wasserspendern, die unterschiedlich teuer sind. In den einen Wasserspender für 10€ (Wasserspender A) passen <math>8l</math> Wasser und er ist nach <math>30</math> Tagen leer. In den anderen Wasserspender für 25€ (Wasserspender B) passen <math>6l</math> und er ist schon nach <math>10</math> Tagen leer. Der Wassertrog der Katzen hat ein Fassungsvermögen von <math>500ml</math>. Überlaufendes Wasser fließt in Marcs und Claudias Garage in einen Gulli. Welche Wasserspender sollten Marc und Claudia für ihre Katzen kaufen?

{{Lösung versteckt|1 = Als erstes könntest du versuchen je eine Funktionsvorschrift für die Wasserspender zu suchen. Kannst du an diesen Ablesen wie viel Wasser Sie jeden Tag zur Verfügung stellen? Im nächsten Schritt müsstest du herausfinden, wie viel Wasser jeden Tag benötigt wird. Hast du schon dafür alle notwendigen Infos gegeben? 
Nun kannst du den Verbrauch und das bereitgestellte Wasser in Beziehung zueinander stellen. Welchen Wasserspender sollten die Beiden kaufen? Reichen die Wasserspender für den ganzen Urlaub?| 2= Ein mögliches Vorgehen | 3= Ein mögliches Vorgehen}}

{{Lösung versteckt|1 = Mit zwei Punkten kannst du bereits eine lineare Funktion aufstellen. Suche diese beiden Punkte im Text für die jeweiligen Behälter. Falls du die Punkte findest, aber Schwierigkeiten bei dem Aufstellen der Gleichung hast, schaue dir Aufgabe 4 an. 
Welche Bedeutung haben das m und das n der allgemeinen Form einer linearen Gleichung? 
Was könnte für Marc und Claudia neben der angemessen Wasserversorgung ihrer Katzen noch von Bedeutung sein?| 2=Tipps |3=Tipps }}

{{Lösung versteckt|1 = Die Punkte für den Wasserspender A sind <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math>. Die Punkte für den Wasserspender B sind <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math>. Setze für jeden Wasserspender die jeweiligen beiden Punkte in die allgemeine Form der linearen Funktion ein. |2=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte|3=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte}}

{{Lösung versteckt|1=
Durch eine Internetrecherche können wir herausfinden, dass Katzen 200-250ml Wasser am Tag zu sich nehmen sollten. Um auf Nummer sicher zu gehen gehen wir also davon aus, dass Findus und Sabbel zusammen <math>500ml=0,5l</math> benötigen. 
'''Wasserspender A: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> f(x) = m\cdot x+b</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|8)</math>:''' <math> f(0) = m\cdot 0+b = 8</math>, wodurch <math>b=8</math> folgt.

'''<math>(30|0)</math>:''' <math>f(30) = m\cdot 30+b=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>b=8</math> ist, folgt hieraus, dass <math>m=-\frac{8}{30}=-\frac{4}{15}</math> ist.

Setzt man nun <math>m</math> und <math>b</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> f(x) = -\frac{4}{15} \cdot x + 8</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender A ist also <math>m=-\frac{4}{15}=</math>. Wasserspender A gibt also jeden Tag etwas mehr Wasser als 250ml und somit lediglich ausreichend viel Wasser für eine Katze ab.
Außerdem ist Wasserspender A nach 7 Tagen noch nicht leer: 
<math>f(7)= -\frac{4}{15} \cdot 7 + 8 = \frac{92}{15}=6 \frac{2}{15} > 0</math> 

'''Wasserspender B: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> g(x) = n\cdot x+a</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|6)</math>: ''' <math> g(0) = n\cdot 0+a = 6</math>, wodurch <math>a=6</math> folgt.

'''<math>(10|0)</math>:''' <math>g(10) = n\cdot 10+a=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>a=6</math> ist, folgt hieraus, dass <math>n=-\frac{3}{5}</math> ist.

Setzt man nun <math>n</math> und <math>a</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> g(x) = -\frac{3}{5} \cdot x + 6</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender B ist <math>n=-\frac{3}{5}</math>. Wasserspender B gibt also jeden Tag <math>600ml</math> und somit ausreichend viel Wasser für beide Katzen ab. 

Außerdem ist auch Wasserspender B nach 7 Tagen noch nicht leer: 

<math>g(7) = -\frac{3}{5} \cdot 7 + 6 = \frac{9}{5}=1 \frac{4}{5} > 0 </math> 

Nun können wir nachvollziehbarerweise annehmen, dass Claudia und Marc möglichst wenig Geld ausgeben wollen. Zwei Wasserbehälter A kosten <math>2 \cdot 10€</math> also <math>5€</math> weniger als ein Wasserspender B (<math>25€</math>.

'''Abschließende Antwort''' 
Zwar könnte ein Wasserspender der Sorte B für die beiden Katzen 1 Woche genug Wasser bereitstellen, aber zwei Wasserspender der Sorte A sind zusammen immer noch preisweiter und können gemeinsam immer noch genügend Wasser für die beiden Katzen bereitstellen. Claudia und Marc sollten also zwei Wasserspender des Typs A kaufen.

|2=Lösungsvorschlag|3=Lösungsvorschlag}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Textaufgabe: Schulbus===
{{Box|1=Aufgabe 10: Schulbus|2=Nach der Schule verpasst Isolde den Bus und müsste nun den Weg von 11km nach Hause laufen. Sie ruft ihre Mutter an und bittet sie, sie abzuholen. Ihre Mutter fährt ihr auf der Landstraße mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 72 km/h entgegen. Isolde geht ihrer Mutter entgegen und geht dabei durchschnittlich 75m pro Minute. Beide machen sich gleichzeitig nach dem Telefonat auf den Weg.

'''a)''' Stelle eine Funktionsvorschrift für Isoldes Entfernung von zu Hause und eine Funktionsvorschrift für die Entfernung der Mutter von zu Hause in Abhängigkeit von der Zeit auf.

{{Lösung versteckt|1 = Lineare Funktionen haben immer die Form <math>f(x)= mx + n </math>. Hierbei ist <math> m </math> die Steigung und <math> n </math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt. Welche Informationen aus der Aufgabe entsprechen welchen Eigenschaften der gesuchten Funktionen?

Achte auch darauf, dass die Funktionen die Entfernung in der gleichen Einheit angeben und auch für die Zeit beide die gleiche Einheit verwenden sollten. Das erleichtert das spätere Rechnen mit den Funktionen.|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Wir geben die Zeit in Minuten und die Entfernung in Metern an. Die Funktion <math>f(x)=ax+b</math> soll Isoldes Entfernung von zu Hause und die Funktion <math>g(x)=cx+d</math> die Entfernung der Mutter von zu Hause beschreiben. Isolde ist zu Beginn 11km, also 11000m von zu Hause entfernt. Der y-Achsenabschnitt von f ist demnach a=11000. Isolde legt pro Minute 75m zurück. Dabei entfernt sie sich nicht von zu Hause, sondern nähert sich. Die Steigung b ist deshalb negativ und beträgt -75. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>f(x)=-75x+11000</math>. Die Mutter startet zu Hause, der y-Achsenabschnitt d von g(x) ist also gleich 0. Sie fährt mit einer Geschwindigkeit von 72km/h, was 1200m pro Minute entspricht. Damit entfernt sie sich von zu Hause, die Steigung d ist deshalb positiv und beträgt 1200. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>g(x)=1200x</math>. |2=Lösung|3=Lösung}}

'''b)''' Berechne, wie lange es dauert, bis die beiden sich treffen.

{{Lösung versteckt|1 = Welchem Punkt der Funktionsgraphen von f und g entspricht dem Treffpunkt der beiden Funktionen? Wie berechnet man diesen Punkt?|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Erinnere dich daran, dass die x-Achse die Zeit angibt, die verstrichen ist, seitdem Isolde losgegangen ist. Die y-Achse gibt den Abstand an, den die Mutter ihrer Tochter bereits entgegen gefahren ist. Dieser Abstand verringert sich dadurch, dass Isolde ihrer Mutter entgegengeht, somit hat die Funktion von Isolde eine negative Steigung. Der Schnittpunkt beider Funktionsgraphen gibt auf dem x-Wert an, wann sich die beiden treffen. Wir setzen die Funktionsvorschriften gleich, um den x-Wert des Schnittpunktes zu bestimmen. <math>\begin{align} -75x+11000 & = 1200x \quad | +75x \\
11000 & = 1275x \quad | : 1275 \\
\frac{440}{51} & = x \approx 8,6\end{align}</math>. 
Es dauert ungefähr 9 Minuten, bis die beiden sich treffen.|2=Lösung|3=Lösung}}|3=Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen

2019-11-11T16:38:12Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen */

{{Box
|Info
|In diesem Lernpfad kannst du dein Wissen über lineare Funktionen anwenden und erweitern und dein Verständnis vertiefen. Das Kapitel behandelt die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, ihren Funktionsgleichungen, ihren Funktionsgraphen und darauf liegenden Punkten.

In Aufgaben, die ''gelb'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind'' Forderaufgaben''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind besonders anspruchsvolle ''Knobelaufgaben''.

Das Kapitel beginnt mit einem kurzen Lückentext zur Wiederholung und endet mit drei Anwendungsaufgaben.
| Kurzinfo
}}

===Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung===

{{Box|1= Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|2= Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

{{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=pzotbf9h519}}

<ggb_applet id="hafd2mmt" width="700" height="500" border="888888" />|3= Arbeitsmethode}}

===Lineare Funktionen erkennen===
{{Box|1=Aufgabe 2: Welche Art von Funktion ist es?|2=Sieh dir den jeweiligen Graphen oder die jeweilige Funktionsvorschrift (bzw. Gleichung) an. Stellt der Graph oder die Funktionsvorschrift eine lineare, eine andere Funktion oder gar keine Funktion dar?
{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=px8y1m7tj19}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Funktionen muss welcher Variablen auf welcher Achse genau 1 Wert auf der anderen Achse zugeordnet werden? Schau dir den Lückentext in Aufgabe 1 noch einmal an. Wie sieht der Graph einer jeden linearen Funktion aus? Wie ist die allgemeine Form von lineren Funktionen? |2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1='''Keine Funktion:'''
Der Kreis und die zur <math>y</math>-Achse parallelen Gerade sind keine Funktionen. Funktionen ordnen jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Bei Kreisen werden jedem x-Wert genau 2 y-Werte zugeordnet. Bei Geraden parallel zur y-Achse werden einem x-Wert sogar alle y-Werte zugeordnet. Also sind Kreise und Geraden parallel zur y-Achse keine Funktionen.

'''Lineare Funktionen:'''
Alle Geraden, die nicht parallel zur <math>y</math>-Achse verlaufen (also nicht senkrecht sind) und alle Funktionen, bei denen die Variabel den Exponent <math>0</math> oder <math>1</math> hat, sind lineare Funktionen. Die allgemeine Zuordnungsvorschrift für lineare Funktionen lautet: <math>=f(x)=mx+n</math>.

'''Andere Funktionen:''' Alle Funktionen, die keine linearen Funktionen sind, sind andere Funktionen.
|2 = Lösung|3= Lösung}}
|3=Merke}}

===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen===

{{Box|1 = Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen|2 =
Gegeben seien stets die Steigung der Geraden und ein Punkt, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

'''a)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = -4</math> und der Punkt <math>P(-7/-1)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = # Setze zunächst für die Steigung <math>m = -4</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = -4x + n</math> entsteht.

## Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-7/-1)</math>, sodass du mit <math>x = -7</math> und <math>f(x) = -1</math> die Gleichung <math>-1 = -4\cdot(-7) + n</math> erhältst.

### Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -29</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = -4x - 29</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = 3,5</math> und der Punkt <math>P(2/5)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = 3,5</math> ein, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = 3,5\cdot x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(2/5)</math>, sodass du mit <math>x = 2</math> und <math>f(x) = 5</math> die Gleichung <math>5 = 3,5\cdot2 + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -2</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = 3,5\cdot x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math> und der Punkt <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = \frac{5}{8}x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>, sodass du mit <math>x = -\frac{2}{7}</math> und <math>f(x) = \frac{3}{4})</math> die Gleichung <math>\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Das Steigungsdreieck|
2=Die Steigung einer linearen Funktion bestimmt man in der Regel mit folgenden Schritten:
# Zunächst benötigt man zwei beliebige Punkte <math>P(x_P|y_P)</math> und <math>Q(x_Q|y_Q)</math>.
# Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P</math>
# Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P</math>
# Für die Steigung <math>m</math> der Geraden gilt: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}</math>
<ggb_applet id="jbd6xgfh" width="750" height="500" border="888888" />
|3=Merksatz}}

{{Box|1=Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen|2= Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

{{Lösung versteckt|1=
# Berechne zunächst die Steigung <math>m</math>, indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst.
# Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt <math>n</math>, indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
|2=Tipp: Allgemeines Vorgehen|3=Tipp: Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen}}

{{Lösung versteckt|1=
Du kannst die Geradengleichung auch auf anderen Wegen erhalten:
* Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems:
** Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>x</math> und die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>f(x)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
** Beide Gleichungen ergeben ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> zu bestimmen.
** Die bestimmten Unbekannten setzt du anschließend in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
* Lösung mit Hilfe eines Graphen:
** Zeichne die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> in ein Koordinatensystem ein.
** Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> verläuft.
** Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung <math>m</math>.
** Lies den y-Achsenabschnitt <math>n</math> am Graphen ab.
** Setze alles in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Tipp: Alternative Vorgehen|3=Tipp: Bestimmung mit Hilfe eines LGS oder Graphen}}

'''a)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = 2x</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 3 - 1 = 2</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = 2</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 2 = 2 \cdot 1 + n \Leftrightarrow 2 = 2 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 6 = 2 \cdot 3 + n \Leftrightarrow 6 = 6 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>2 = m \cdot 1 + n</math> und <math>6 = m \cdot 3 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = 2</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 0</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4a).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(2/1)</math> und <math>Q(6/-5)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -1,5x + 4</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -5 - 1 = -6</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2} = -1,5</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -1,5</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 1 = -1,5 \cdot 2 + n \Leftrightarrow 1 = -3 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -5 = -1,5 \cdot 6 + n \Leftrightarrow -5 = -9 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>1 = m \cdot 2 + n</math> und <math>-5 = m \cdot 6 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -1,5</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 4</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4b).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math>. 

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -\frac{7}{18}x + \frac{23}{18}</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -3 - 4 = -7</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 11 - (-7) = 11 + 7 = 18</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-7}{18} = -\frac{7}{18}</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -\frac{7}{18}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 4 = -\frac{7}{18} \cdot -7 + n \Leftrightarrow \frac{72}{18} = \frac{49}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -3 = -\frac{7}{18} \cdot 11 + n \Leftrightarrow -\frac{90}{18} = -\frac{77}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>4 = m \cdot -7 + n</math> und <math>-3 = m \cdot 11 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -\frac{7}{18}</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = \frac{23}{18}</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4c).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

|3=Arbeitsmethode}}

===Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen===
{{Box |1= Aufgabe 5: Punkte auf dem Graphen|2=Prüfe für die angegebenen linearen Funktionen, welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen. Arbeite zunächst im Heft und ordne dann jeder Funktion die Punkte zu, die auf ihrem Graphen liegen. Klicke dabei immer zunächst auf die Funktion und anschließend auf die zugehörigen Punkte. Je mehr Punkte du ihren Funktionen richtig zuweist, desto mehr wird sich ein Bild im Hintergrund aufdecken! 
Hinweis: Einer Funktion können mehrere Punkte zugeordnet sein, aber jedem Punkt ist nur genau eine Funktion zugeordnet.

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=p446x08nn19}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze die x-Koordinaten der Punkte in die Funktionen ein und vergleiche den Funktionswert mit den y-Koordinaten der Punkte|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 =
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> liegen die Punkte: <math>(-1|1)</math>, <math>(0|3)</math>, <math>(2|7)</math>, <math>(1|5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -x + 12</math> liegen die Punkte: <math>(2|10)</math>, <math>(12|0)</math>, <math>(\frac{7}{2}|\frac{17}{2})</math>, <math>(9|3)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}</math> liegen die Punkte: <math>(-1|-1)</math>, <math>(5|-5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = \frac{3}{8}</math> liegen die Punkte: <math>(4|\frac{3}{8})</math>, <math>(9|\frac{9}{24})</math>.

Beispielhafter Lösungsweg:
* Wir setzen die x-Koordinate des Punktes <math>(-1|1)</math> in die Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> ein und berechnen den Funktionswert:
** <math>f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1</math>.
** Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
* Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den x-Wert des Punktes <math>(2|10)</math> ein und berechnen wieder den Funktionswert:
** <math>f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7</math>.
** Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7.
** Der Punkt <math>(2|10)</math> liegt also nicht auf dem Graphen.
|2 = Lösung|3 = Lösung}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Eine lineare Gleichung einer Geraden zuordnen===

{{Box |1= Aufgabe 6a: Funktionen zeichnen |2=Zeichne die folgenden drei Funktionen alle in ein Koordinatensystem. Überlege dir vorher, wie groß das Koordinatensystem für diese Funktionen sein muss, damit man jeden Schnitt zwischen jeweils zwei Geraden erkennt.

a) <math>f(x) = 4x + 1</math>

b) <math>g(x) = 0,5x - 2,5</math>

c) <math>h(x) = -3x + 1</math>

{{Lösung versteckt|1 = Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung.|2=Tipp|3=Tipp 1}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 6b: Finde Paare|2=Ordne den gegebenen linearen Gleichungen die zugehörige Gerade zu. Beachte: Nicht zu jeder Gleichung ist eine Gerade gegeben.

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pdwa2pz1k19}}

{{Lösung versteckt|1 = Nicht vergessen: Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung. Vielleicht erkennst du alleine anhand des <math>y</math>-Achsenabschnitts schon einige der Funktionen?|2=Tipp|3=Tipp 1}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen===

{{Box|1= Aufgabe 7: Bestimme den Schnittpunkt|2= Zeichne zunächst beide Graphen in ein Koordinatensystem in dein Heft. Bestimme anschließend den x-Wert des Schnittpunktes der beiden Geraden.

{{Lösung versteckt|1 = Um die Geraden zu zeichnen, betrachte zunächst den y-Achsenabschnitt. Falls du dir unsicher bist, was der y-Achsenabschnitt ist, scrolle hoch zum Lückentext in Aufgabe 1.

Anschließend betrachte die Steigung der Geraden. Zeichne ein Steigungsdreieck (Hilfe im Lückentext in Aufgabe 1) und zeichne die Gerade mit Hilfe der Steigung und des y-Achsenabschnitts. |2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1 = Um die Koordinaten des Schnittpunktes zu bestimmten, setzte die beiden Geraden gleich und löse dann nach x auf.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}

'''a)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=2x+4</math> und <math>g(x)=3x</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 4 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''b)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=4x-5</math> und <math>g(x)=-3x+9</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 2 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''c)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)= \frac{3}{2}x-3</math> und <math>g(x)= \frac{1}{2}x+17</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 20 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

|3= Arbeitsmethode}}
===Textaufgabe: Der Freundinnendienst===
{{Box|1=Aufgabe 8: Was man nicht alles für Freundinnen tut.|2= Susanne ist 13 Jahre alt und geht in die 7. Klasse. Heute ist sie um 13.45 Uhr von der Schule nach Hause gekommen. Beim Mittagessen erzählt sie für 30min von ihrem Schultag. Bevor sie zum Sport geht, soll sie noch ihre Hausaufgaben erledigen. Jedoch fängt sie nicht sofort an, sondern daddelt erst noch 60min. Dann beginnt sie jedoch mit ihren Hausaufgaben. Nach 30min hat sie ihre Mathehausaufgaben fertig und muss nun nur noch Deutsch machen. 
Dafür muss sie noch ein 15-seitiges Kapitel in einem Roman lesen. Als sie nach 5 Minuten die dritte Seite fertig gelesen hat, schaut sie auf ihr Handy. Sie hat nur noch 20min bis sie sich für ihr Fußball-Training fertig machen muss. Gleichzeitig sieht sie eine Whats-App Nachricht von ihrer Freundin Marie, die schreibt: "Hey, hast du Deutsch schon fertig? Hab das Kapitel nicht gerafft. Kannst du mir das beim Sport zusammenfassen?" 
Kann Susanne ihrer Freundin, Marie, versprechen ihr das Kapitel beim Fußball zu erklären?
{{Lösung versteckt|1= 1. Tipp: Überlege welche Zeitangaben für die Lösung der Aufgabe notwendig sind. 
2. Tipp: Trage die relvanten Informationen als Punkte in ein Koordinatensystem. 
3. Tipp: Mit welcher Geschwindigkeit liest Susanne Seiten pro Minute? Welche Gleichung kennst du, mit der du ihre Lesegeschwindigkeit modellieren kannst? |2= Tipp |3=Tipp}}
{{Lösung versteckt|1= Es gibt verschiedene Lösungsideen. Zwei Beispiele sind eine grafische Lösung mit Hilfe eines Koordinatensystems oder eine algebraische Lösung mit Hilfe einer linearen Funktion. Eine algebraische Lösung könnte wie folgt aussehen: 
Die Zeitangaben für die Bearbeitung der Deutschaufgabe reichen aus, um die Aufgabe zu lösen. Alle anderen Zeitangaben helfen uns nicht. Als Marie die Nachricht liest, hat sie bereits 3 Seiten gelesen. Sie ließt mit einer Geschwindigkeit von 3 Seiten pro 5 Minuten. Wir können also jedem Zeitpunkt eine Anzahl von gelesenen Seiten zuordnen. Wir setzen den Startzeitpunkt auf den Moment, in dem sie die Nachricht bekommt. Und setzen, dass <math>x</math> die Einheit <math>\frac{Seiten}{5 Minuten}</math> hat. 
Also lautet unsere Gleichung: 
<math>f(x)=3+3x</math> 
Wir wollen wissen, wann Susanne 15 Seiten gelesen hat, also setzen wir für <math>f(x)=15</math> (Seiten) ein. 
<math>15=3+3x |-3 </math> 
<math><=> 12=3x | :3 </math> 
<math><=> x=4 </math>. 
Also braucht Susanne noch <math>4</math> mal <math>5</math> Minuten, also insgesamt 20min. Wenn sie sich beeilt, kann sie es also noch schaffen.|2= Lösung |3=Lösung}}
|3=Merke}}

===Textaufgabe: Katzendurst===
{{Box |1=Aufgabe 9: Wasser für die Katze|2= Marc und Claudia freuen sich schon auf ihren 1 wöchigen Urlaub. Leider dürfen ihre Katzen, Findus und Sabbel, jedoch nicht mit. Das Trockenfutter ist zwar ausreichend lang haltbar, aber damit die Katzen im heißen Sommer auch immer Wasser finden können, wollen die Beiden einen Wasserspender kaufen. Im Geschäft sehen sie zwei verschiedene Typen von Wasserspendern, die unterschiedlich teuer sind. In den einen Wasserspender für 10€ (Wasserspender A) passen <math>8l</math> Wasser und er ist nach <math>30</math> Tagen leer. In den anderen Wasserspender für 25€ (Wasserspender B) passen <math>6l</math> und er ist schon nach <math>10</math> Tagen leer. Der Wassertrog der Katzen hat ein Fassungsvermögen von <math>500ml</math>. Überlaufendes Wasser fließt in Marcs und Claudias Garage in einen Gulli. Welche Wasserspender sollten Marc und Claudia für ihre Katzen kaufen?

{{Lösung versteckt|1 = Als erstes könntest du versuchen je eine Funktionsvorschrift für die Wasserspender zu suchen. Kannst du an diesen Ablesen wie viel Wasser Sie jeden Tag zur Verfügung stellen? Im nächsten Schritt müsstest du herausfinden, wie viel Wasser jeden Tag benötigt wird. Hast du schon dafür alle notwendigen Infos gegeben? 
Nun kannst du den Verbrauch und das bereitgestellte Wasser in Beziehung zueinander stellen. Welchen Wasserspender sollten die Beiden kaufen? Reichen die Wasserspender für den ganzen Urlaub?| 2= Ein mögliches Vorgehen | 3= Ein mögliches Vorgehen}}

{{Lösung versteckt|1 = Mit zwei Punkten kannst du bereits eine lineare Funktion aufstellen. Suche diese beiden Punkte im Text für die jeweiligen Behälter. Falls du die Punkte findest, aber Schwierigkeiten bei dem Aufstellen der Gleichung hast, schaue dir Aufgabe 4 an. 
Welche Bedeutung haben das m und das n der allgemeinen Form einer linearen Gleichung? 
Was könnte für Marc und Claudia neben der angemessen Wasserversorgung ihrer Katzen noch von Bedeutung sein?| 2=Tipps |3=Tipps }}

{{Lösung versteckt|1 = Die Punkte für den Wasserspender A sind <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math>. Die Punkte für den Wasserspender B sind <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math>. Setze für jeden Wasserspender die jeweiligen beiden Punkte in die allgemeine Form der linearen Funktion ein. |2=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte|3=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte}}

{{Lösung versteckt|1=
Durch eine Internetrecherche können wir herausfinden, dass Katzen 200-250ml Wasser am Tag zu sich nehmen sollten. Um auf Nummer sicher zu gehen gehen wir also davon aus, dass Findus und Sabbel zusammen <math>500ml=0,5l</math> benötigen. 
'''Wasserspender A: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> f(x) = m\cdot x+b</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|8)</math>:''' <math> f(0) = m\cdot 0+b = 8</math>, wodurch <math>b=8</math> folgt.

'''<math>(30|0)</math>:''' <math>f(30) = m\cdot 30+b=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>b=8</math> ist, folgt hieraus, dass <math>m=-\frac{8}{30}=-\frac{4}{15}</math> ist.

Setzt man nun <math>m</math> und <math>b</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> f(x) = -\frac{4}{15} \cdot x + 8</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender A ist also <math>m=-\frac{4}{15}=</math>. Wasserspender A gibt also jeden Tag etwas mehr Wasser als 250ml und somit lediglich ausreichend viel Wasser für eine Katze ab.
Außerdem ist Wasserspender A nach 7 Tagen noch nicht leer: 
<math>f(7)= -\frac{4}{15} \cdot 7 + 8 = \frac{92}{15}=6 \frac{2}{15} > 0</math> 

'''Wasserspender B: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> g(x) = n\cdot x+a</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|6)</math>: ''' <math> g(0) = n\cdot 0+a = 6</math>, wodurch <math>a=6</math> folgt.

'''<math>(10|0)</math>:''' <math>g(10) = n\cdot 10+a=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>a=6</math> ist, folgt hieraus, dass <math>n=-\frac{3}{5}</math> ist.

Setzt man nun <math>n</math> und <math>a</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> g(x) = -\frac{3}{5} \cdot x + 6</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender B ist <math>n=-\frac{3}{5}</math>. Wasserspender B gibt also jeden Tag <math>600ml</math> und somit ausreichend viel Wasser für beide Katzen ab. 

Außerdem ist auch Wasserspender B nach 7 Tagen noch nicht leer: 

<math>g(7) = -\frac{3}{5} \cdot 7 + 6 = \frac{9}{5}=1 \frac{4}{5} > 0 </math> 

Nun können wir nachvollziehbarerweise annehmen, dass Claudia und Marc möglichst wenig Geld ausgeben wollen. Zwei Wasserbehälter A kosten <math>2 \cdot 10€</math> also <math>5€</math> weniger als ein Wasserspender B (<math>25€</math>.

'''Abschließende Antwort''' 
Zwar könnte ein Wasserspender der Sorte B für die beiden Katzen 1 Woche genug Wasser bereitstellen, aber zwei Wasserspender der Sorte A sind zusammen immer noch preisweiter und können gemeinsam immer noch genügend Wasser für die beiden Katzen bereitstellen. Claudia und Marc sollten also zwei Wasserspender des Typs A kaufen.

|2=Lösungsvorschlag|3=Lösungsvorschlag}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Textaufgabe: Schulbus===
{{Box|1=Aufgabe 10: Schulbus|2=Nach der Schule verpasst Isolde den Bus und müsste nun den Weg von 11km nach Hause laufen. Sie ruft ihre Mutter an und bittet sie, sie abzuholen. Ihre Mutter fährt ihr auf der Landstraße mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 72 km/h entgegen. Isolde geht ihrer Mutter entgegen und geht dabei durchschnittlich 75m pro Minute. Beide machen sich gleichzeitig nach dem Telefonat auf den Weg.

'''a)''' Stelle eine Funktionsvorschrift für Isoldes Entfernung von zu Hause und eine Funktionsvorschrift für die Entfernung der Mutter von zu Hause in Abhängigkeit von der Zeit auf.

{{Lösung versteckt|1 = Lineare Funktionen haben immer die Form <math>f(x)= mx + n </math>. Hierbei ist <math> m </math> die Steigung und <math> n </math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt. Welche Informationen aus der Aufgabe entsprechen welchen Eigenschaften der gesuchten Funktionen?

Achte auch darauf, dass die Funktionen die Entfernung in der gleichen Einheit angeben und auch für die Zeit beide die gleiche Einheit verwenden sollten. Das erleichtert das spätere Rechnen mit den Funktionen.|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Wir geben die Zeit in Minuten und die Entfernung in Metern an. Die Funktion <math>f(x)=ax+b</math> soll Isoldes Entfernung von zu Hause und die Funktion <math>g(x)=cx+d</math> die Entfernung der Mutter von zu Hause beschreiben. Isolde ist zu Beginn 11km, also 11000m von zu Hause entfernt. Der y-Achsenabschnitt von f ist demnach a=11000. Isolde legt pro Minute 75m zurück. Dabei entfernt sie sich nicht von zu Hause, sondern nähert sich. Die Steigung b ist deshalb negativ und beträgt -75. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>f(x)=-75x+11000</math>. Die Mutter startet zu Hause, der y-Achsenabschnitt d von g(x) ist also gleich 0. Sie fährt mit einer Geschwindigkeit von 72km/h, was 1200m pro Minute entspricht. Damit entfernt sie sich von zu Hause, die Steigung d ist deshalb positiv und beträgt 1200. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>g(x)=1200x</math>. |2=Lösung|3=Lösung}}

'''b)''' Berechne, wie lange es dauert, bis die beiden sich treffen.

{{Lösung versteckt|1 = Welchem Punkt der Funktionsgraphen von f und g entspricht dem Treffpunkt der beiden Funktionen? Wie berechnet man diesen Punkt?|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Erinnere dich daran, dass die x-Achse die Zeit angibt, die verstrichen ist, seitdem Isolde losgegangen ist. Die y-Achse gibt den Abstand an, den die Mutter ihrer Tochter bereits entgegen gefahren ist. Dieser Abstand verringert sich dadurch, dass Isolde ihrer Mutter entgegengeht, somit hat die Funktion von Isolde eine negative Steigung. Der Schnittpunkt beider Funktionsgraphen gibt auf dem x-Wert an, wann sich die beiden treffen. Wir setzen die Funktionsvorschriften gleich, um den x-Wert des Schnittpunktes zu bestimmen. <math>\begin{align} -75x+11000 & = 1200x \quad | +75x \\
11000 & = 1275x \quad | : 1275 \\
\frac{440}{51} & = x \approx 8,6\end{align}</math>. 
Es dauert ungefähr 9 Minuten, bis die beiden sich treffen.|2=Lösung|3=Lösung}}|3=Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen

2019-11-11T16:37:46Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen */

{{Box
|Info
|In diesem Lernpfad kannst du dein Wissen über lineare Funktionen anwenden und erweitern und dein Verständnis vertiefen. Das Kapitel behandelt die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, ihren Funktionsgleichungen, ihren Funktionsgraphen und darauf liegenden Punkten.

In Aufgaben, die ''gelb'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind'' Forderaufgaben''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind besonders anspruchsvolle ''Knobelaufgaben''.

Das Kapitel beginnt mit einem kurzen Lückentext zur Wiederholung und endet mit drei Anwendungsaufgaben.
| Kurzinfo
}}

===Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung===

{{Box|1= Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|2= Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

{{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=pzotbf9h519}}

<ggb_applet id="hafd2mmt" width="700" height="500" border="888888" />|3= Arbeitsmethode}}

===Lineare Funktionen erkennen===
{{Box|1=Aufgabe 2: Welche Art von Funktion ist es?|2=Sieh dir den jeweiligen Graphen oder die jeweilige Funktionsvorschrift (bzw. Gleichung) an. Stellt der Graph oder die Funktionsvorschrift eine lineare, eine andere Funktion oder gar keine Funktion dar?
{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=px8y1m7tj19}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Funktionen muss welcher Variablen auf welcher Achse genau 1 Wert auf der anderen Achse zugeordnet werden? Schau dir den Lückentext in Aufgabe 1 noch einmal an. Wie sieht der Graph einer jeden linearen Funktion aus? Wie ist die allgemeine Form von lineren Funktionen? |2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1='''Keine Funktion:'''
Der Kreis und die zur <math>y</math>-Achse parallelen Gerade sind keine Funktionen. Funktionen ordnen jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Bei Kreisen werden jedem x-Wert genau 2 y-Werte zugeordnet. Bei Geraden parallel zur y-Achse werden einem x-Wert sogar alle y-Werte zugeordnet. Also sind Kreise und Geraden parallel zur y-Achse keine Funktionen.

'''Lineare Funktionen:'''
Alle Geraden, die nicht parallel zur <math>y</math>-Achse verlaufen (also nicht senkrecht sind) und alle Funktionen, bei denen die Variabel den Exponent <math>0</math> oder <math>1</math> hat, sind lineare Funktionen. Die allgemeine Zuordnungsvorschrift für lineare Funktionen lautet: <math>=f(x)=mx+n</math>.

'''Andere Funktionen:''' Alle Funktionen, die keine linearen Funktionen sind, sind andere Funktionen.
|2 = Lösung|3= Lösung}}
|3=Merke}}

===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen===

{{Box|1 = Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen|2 =
Gegeben seien stets die Steigung der Geraden und ein Punkt, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

'''a)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = -4</math> und der Punkt <math>P(-7/-1)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = # Setze zunächst für die Steigung <math>m = -4</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = -4x + n</math> entsteht.

# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-7/-1)</math>, sodass du mit <math>x = -7</math> und <math>f(x) = -1</math> die Gleichung <math>-1 = -4\cdot(-7) + n</math> erhältst.

# Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -29</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = -4x - 29</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = 3,5</math> und der Punkt <math>P(2/5)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = 3,5</math> ein, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = 3,5\cdot x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(2/5)</math>, sodass du mit <math>x = 2</math> und <math>f(x) = 5</math> die Gleichung <math>5 = 3,5\cdot2 + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -2</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = 3,5\cdot x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math> und der Punkt <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = \frac{5}{8}x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>, sodass du mit <math>x = -\frac{2}{7}</math> und <math>f(x) = \frac{3}{4})</math> die Gleichung <math>\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Das Steigungsdreieck|
2=Die Steigung einer linearen Funktion bestimmt man in der Regel mit folgenden Schritten:
# Zunächst benötigt man zwei beliebige Punkte <math>P(x_P|y_P)</math> und <math>Q(x_Q|y_Q)</math>.
# Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P</math>
# Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P</math>
# Für die Steigung <math>m</math> der Geraden gilt: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}</math>
<ggb_applet id="jbd6xgfh" width="750" height="500" border="888888" />
|3=Merksatz}}

{{Box|1=Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen|2= Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

{{Lösung versteckt|1=
# Berechne zunächst die Steigung <math>m</math>, indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst.
# Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt <math>n</math>, indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
|2=Tipp: Allgemeines Vorgehen|3=Tipp: Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen}}

{{Lösung versteckt|1=
Du kannst die Geradengleichung auch auf anderen Wegen erhalten:
* Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems:
** Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>x</math> und die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>f(x)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
** Beide Gleichungen ergeben ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> zu bestimmen.
** Die bestimmten Unbekannten setzt du anschließend in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
* Lösung mit Hilfe eines Graphen:
** Zeichne die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> in ein Koordinatensystem ein.
** Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> verläuft.
** Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung <math>m</math>.
** Lies den y-Achsenabschnitt <math>n</math> am Graphen ab.
** Setze alles in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Tipp: Alternative Vorgehen|3=Tipp: Bestimmung mit Hilfe eines LGS oder Graphen}}

'''a)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = 2x</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 3 - 1 = 2</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = 2</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 2 = 2 \cdot 1 + n \Leftrightarrow 2 = 2 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 6 = 2 \cdot 3 + n \Leftrightarrow 6 = 6 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>2 = m \cdot 1 + n</math> und <math>6 = m \cdot 3 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = 2</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 0</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4a).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(2/1)</math> und <math>Q(6/-5)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -1,5x + 4</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -5 - 1 = -6</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2} = -1,5</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -1,5</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 1 = -1,5 \cdot 2 + n \Leftrightarrow 1 = -3 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -5 = -1,5 \cdot 6 + n \Leftrightarrow -5 = -9 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>1 = m \cdot 2 + n</math> und <math>-5 = m \cdot 6 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -1,5</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 4</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4b).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math>. 

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -\frac{7}{18}x + \frac{23}{18}</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -3 - 4 = -7</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 11 - (-7) = 11 + 7 = 18</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-7}{18} = -\frac{7}{18}</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -\frac{7}{18}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 4 = -\frac{7}{18} \cdot -7 + n \Leftrightarrow \frac{72}{18} = \frac{49}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -3 = -\frac{7}{18} \cdot 11 + n \Leftrightarrow -\frac{90}{18} = -\frac{77}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>4 = m \cdot -7 + n</math> und <math>-3 = m \cdot 11 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -\frac{7}{18}</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = \frac{23}{18}</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4c).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

|3=Arbeitsmethode}}

===Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen===
{{Box |1= Aufgabe 5: Punkte auf dem Graphen|2=Prüfe für die angegebenen linearen Funktionen, welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen. Arbeite zunächst im Heft und ordne dann jeder Funktion die Punkte zu, die auf ihrem Graphen liegen. Klicke dabei immer zunächst auf die Funktion und anschließend auf die zugehörigen Punkte. Je mehr Punkte du ihren Funktionen richtig zuweist, desto mehr wird sich ein Bild im Hintergrund aufdecken! 
Hinweis: Einer Funktion können mehrere Punkte zugeordnet sein, aber jedem Punkt ist nur genau eine Funktion zugeordnet.

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=p446x08nn19}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze die x-Koordinaten der Punkte in die Funktionen ein und vergleiche den Funktionswert mit den y-Koordinaten der Punkte|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 =
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> liegen die Punkte: <math>(-1|1)</math>, <math>(0|3)</math>, <math>(2|7)</math>, <math>(1|5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -x + 12</math> liegen die Punkte: <math>(2|10)</math>, <math>(12|0)</math>, <math>(\frac{7}{2}|\frac{17}{2})</math>, <math>(9|3)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}</math> liegen die Punkte: <math>(-1|-1)</math>, <math>(5|-5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = \frac{3}{8}</math> liegen die Punkte: <math>(4|\frac{3}{8})</math>, <math>(9|\frac{9}{24})</math>.

Beispielhafter Lösungsweg:
* Wir setzen die x-Koordinate des Punktes <math>(-1|1)</math> in die Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> ein und berechnen den Funktionswert:
** <math>f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1</math>.
** Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
* Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den x-Wert des Punktes <math>(2|10)</math> ein und berechnen wieder den Funktionswert:
** <math>f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7</math>.
** Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7.
** Der Punkt <math>(2|10)</math> liegt also nicht auf dem Graphen.
|2 = Lösung|3 = Lösung}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Eine lineare Gleichung einer Geraden zuordnen===

{{Box |1= Aufgabe 6a: Funktionen zeichnen |2=Zeichne die folgenden drei Funktionen alle in ein Koordinatensystem. Überlege dir vorher, wie groß das Koordinatensystem für diese Funktionen sein muss, damit man jeden Schnitt zwischen jeweils zwei Geraden erkennt.

a) <math>f(x) = 4x + 1</math>

b) <math>g(x) = 0,5x - 2,5</math>

c) <math>h(x) = -3x + 1</math>

{{Lösung versteckt|1 = Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung.|2=Tipp|3=Tipp 1}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 6b: Finde Paare|2=Ordne den gegebenen linearen Gleichungen die zugehörige Gerade zu. Beachte: Nicht zu jeder Gleichung ist eine Gerade gegeben.

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pdwa2pz1k19}}

{{Lösung versteckt|1 = Nicht vergessen: Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung. Vielleicht erkennst du alleine anhand des <math>y</math>-Achsenabschnitts schon einige der Funktionen?|2=Tipp|3=Tipp 1}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen===

{{Box|1= Aufgabe 7: Bestimme den Schnittpunkt|2= Zeichne zunächst beide Graphen in ein Koordinatensystem in dein Heft. Bestimme anschließend den x-Wert des Schnittpunktes der beiden Geraden.

{{Lösung versteckt|1 = Um die Geraden zu zeichnen, betrachte zunächst den y-Achsenabschnitt. Falls du dir unsicher bist, was der y-Achsenabschnitt ist, scrolle hoch zum Lückentext in Aufgabe 1.

Anschließend betrachte die Steigung der Geraden. Zeichne ein Steigungsdreieck (Hilfe im Lückentext in Aufgabe 1) und zeichne die Gerade mit Hilfe der Steigung und des y-Achsenabschnitts. |2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1 = Um die Koordinaten des Schnittpunktes zu bestimmten, setzte die beiden Geraden gleich und löse dann nach x auf.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}

'''a)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=2x+4</math> und <math>g(x)=3x</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 4 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''b)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=4x-5</math> und <math>g(x)=-3x+9</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 2 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''c)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)= \frac{3}{2}x-3</math> und <math>g(x)= \frac{1}{2}x+17</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 20 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

|3= Arbeitsmethode}}
===Textaufgabe: Der Freundinnendienst===
{{Box|1=Aufgabe 8: Was man nicht alles für Freundinnen tut.|2= Susanne ist 13 Jahre alt und geht in die 7. Klasse. Heute ist sie um 13.45 Uhr von der Schule nach Hause gekommen. Beim Mittagessen erzählt sie für 30min von ihrem Schultag. Bevor sie zum Sport geht, soll sie noch ihre Hausaufgaben erledigen. Jedoch fängt sie nicht sofort an, sondern daddelt erst noch 60min. Dann beginnt sie jedoch mit ihren Hausaufgaben. Nach 30min hat sie ihre Mathehausaufgaben fertig und muss nun nur noch Deutsch machen. 
Dafür muss sie noch ein 15-seitiges Kapitel in einem Roman lesen. Als sie nach 5 Minuten die dritte Seite fertig gelesen hat, schaut sie auf ihr Handy. Sie hat nur noch 20min bis sie sich für ihr Fußball-Training fertig machen muss. Gleichzeitig sieht sie eine Whats-App Nachricht von ihrer Freundin Marie, die schreibt: "Hey, hast du Deutsch schon fertig? Hab das Kapitel nicht gerafft. Kannst du mir das beim Sport zusammenfassen?" 
Kann Susanne ihrer Freundin, Marie, versprechen ihr das Kapitel beim Fußball zu erklären?
{{Lösung versteckt|1= 1. Tipp: Überlege welche Zeitangaben für die Lösung der Aufgabe notwendig sind. 
2. Tipp: Trage die relvanten Informationen als Punkte in ein Koordinatensystem. 
3. Tipp: Mit welcher Geschwindigkeit liest Susanne Seiten pro Minute? Welche Gleichung kennst du, mit der du ihre Lesegeschwindigkeit modellieren kannst? |2= Tipp |3=Tipp}}
{{Lösung versteckt|1= Es gibt verschiedene Lösungsideen. Zwei Beispiele sind eine grafische Lösung mit Hilfe eines Koordinatensystems oder eine algebraische Lösung mit Hilfe einer linearen Funktion. Eine algebraische Lösung könnte wie folgt aussehen: 
Die Zeitangaben für die Bearbeitung der Deutschaufgabe reichen aus, um die Aufgabe zu lösen. Alle anderen Zeitangaben helfen uns nicht. Als Marie die Nachricht liest, hat sie bereits 3 Seiten gelesen. Sie ließt mit einer Geschwindigkeit von 3 Seiten pro 5 Minuten. Wir können also jedem Zeitpunkt eine Anzahl von gelesenen Seiten zuordnen. Wir setzen den Startzeitpunkt auf den Moment, in dem sie die Nachricht bekommt. Und setzen, dass <math>x</math> die Einheit <math>\frac{Seiten}{5 Minuten}</math> hat. 
Also lautet unsere Gleichung: 
<math>f(x)=3+3x</math> 
Wir wollen wissen, wann Susanne 15 Seiten gelesen hat, also setzen wir für <math>f(x)=15</math> (Seiten) ein. 
<math>15=3+3x |-3 </math> 
<math><=> 12=3x | :3 </math> 
<math><=> x=4 </math>. 
Also braucht Susanne noch <math>4</math> mal <math>5</math> Minuten, also insgesamt 20min. Wenn sie sich beeilt, kann sie es also noch schaffen.|2= Lösung |3=Lösung}}
|3=Merke}}

===Textaufgabe: Katzendurst===
{{Box |1=Aufgabe 9: Wasser für die Katze|2= Marc und Claudia freuen sich schon auf ihren 1 wöchigen Urlaub. Leider dürfen ihre Katzen, Findus und Sabbel, jedoch nicht mit. Das Trockenfutter ist zwar ausreichend lang haltbar, aber damit die Katzen im heißen Sommer auch immer Wasser finden können, wollen die Beiden einen Wasserspender kaufen. Im Geschäft sehen sie zwei verschiedene Typen von Wasserspendern, die unterschiedlich teuer sind. In den einen Wasserspender für 10€ (Wasserspender A) passen <math>8l</math> Wasser und er ist nach <math>30</math> Tagen leer. In den anderen Wasserspender für 25€ (Wasserspender B) passen <math>6l</math> und er ist schon nach <math>10</math> Tagen leer. Der Wassertrog der Katzen hat ein Fassungsvermögen von <math>500ml</math>. Überlaufendes Wasser fließt in Marcs und Claudias Garage in einen Gulli. Welche Wasserspender sollten Marc und Claudia für ihre Katzen kaufen?

{{Lösung versteckt|1 = Als erstes könntest du versuchen je eine Funktionsvorschrift für die Wasserspender zu suchen. Kannst du an diesen Ablesen wie viel Wasser Sie jeden Tag zur Verfügung stellen? Im nächsten Schritt müsstest du herausfinden, wie viel Wasser jeden Tag benötigt wird. Hast du schon dafür alle notwendigen Infos gegeben? 
Nun kannst du den Verbrauch und das bereitgestellte Wasser in Beziehung zueinander stellen. Welchen Wasserspender sollten die Beiden kaufen? Reichen die Wasserspender für den ganzen Urlaub?| 2= Ein mögliches Vorgehen | 3= Ein mögliches Vorgehen}}

{{Lösung versteckt|1 = Mit zwei Punkten kannst du bereits eine lineare Funktion aufstellen. Suche diese beiden Punkte im Text für die jeweiligen Behälter. Falls du die Punkte findest, aber Schwierigkeiten bei dem Aufstellen der Gleichung hast, schaue dir Aufgabe 4 an. 
Welche Bedeutung haben das m und das n der allgemeinen Form einer linearen Gleichung? 
Was könnte für Marc und Claudia neben der angemessen Wasserversorgung ihrer Katzen noch von Bedeutung sein?| 2=Tipps |3=Tipps }}

{{Lösung versteckt|1 = Die Punkte für den Wasserspender A sind <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math>. Die Punkte für den Wasserspender B sind <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math>. Setze für jeden Wasserspender die jeweiligen beiden Punkte in die allgemeine Form der linearen Funktion ein. |2=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte|3=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte}}

{{Lösung versteckt|1=
Durch eine Internetrecherche können wir herausfinden, dass Katzen 200-250ml Wasser am Tag zu sich nehmen sollten. Um auf Nummer sicher zu gehen gehen wir also davon aus, dass Findus und Sabbel zusammen <math>500ml=0,5l</math> benötigen. 
'''Wasserspender A: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> f(x) = m\cdot x+b</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|8)</math>:''' <math> f(0) = m\cdot 0+b = 8</math>, wodurch <math>b=8</math> folgt.

'''<math>(30|0)</math>:''' <math>f(30) = m\cdot 30+b=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>b=8</math> ist, folgt hieraus, dass <math>m=-\frac{8}{30}=-\frac{4}{15}</math> ist.

Setzt man nun <math>m</math> und <math>b</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> f(x) = -\frac{4}{15} \cdot x + 8</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender A ist also <math>m=-\frac{4}{15}=</math>. Wasserspender A gibt also jeden Tag etwas mehr Wasser als 250ml und somit lediglich ausreichend viel Wasser für eine Katze ab.
Außerdem ist Wasserspender A nach 7 Tagen noch nicht leer: 
<math>f(7)= -\frac{4}{15} \cdot 7 + 8 = \frac{92}{15}=6 \frac{2}{15} > 0</math> 

'''Wasserspender B: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> g(x) = n\cdot x+a</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|6)</math>: ''' <math> g(0) = n\cdot 0+a = 6</math>, wodurch <math>a=6</math> folgt.

'''<math>(10|0)</math>:''' <math>g(10) = n\cdot 10+a=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>a=6</math> ist, folgt hieraus, dass <math>n=-\frac{3}{5}</math> ist.

Setzt man nun <math>n</math> und <math>a</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> g(x) = -\frac{3}{5} \cdot x + 6</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender B ist <math>n=-\frac{3}{5}</math>. Wasserspender B gibt also jeden Tag <math>600ml</math> und somit ausreichend viel Wasser für beide Katzen ab. 

Außerdem ist auch Wasserspender B nach 7 Tagen noch nicht leer: 

<math>g(7) = -\frac{3}{5} \cdot 7 + 6 = \frac{9}{5}=1 \frac{4}{5} > 0 </math> 

Nun können wir nachvollziehbarerweise annehmen, dass Claudia und Marc möglichst wenig Geld ausgeben wollen. Zwei Wasserbehälter A kosten <math>2 \cdot 10€</math> also <math>5€</math> weniger als ein Wasserspender B (<math>25€</math>.

'''Abschließende Antwort''' 
Zwar könnte ein Wasserspender der Sorte B für die beiden Katzen 1 Woche genug Wasser bereitstellen, aber zwei Wasserspender der Sorte A sind zusammen immer noch preisweiter und können gemeinsam immer noch genügend Wasser für die beiden Katzen bereitstellen. Claudia und Marc sollten also zwei Wasserspender des Typs A kaufen.

|2=Lösungsvorschlag|3=Lösungsvorschlag}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Textaufgabe: Schulbus===
{{Box|1=Aufgabe 10: Schulbus|2=Nach der Schule verpasst Isolde den Bus und müsste nun den Weg von 11km nach Hause laufen. Sie ruft ihre Mutter an und bittet sie, sie abzuholen. Ihre Mutter fährt ihr auf der Landstraße mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 72 km/h entgegen. Isolde geht ihrer Mutter entgegen und geht dabei durchschnittlich 75m pro Minute. Beide machen sich gleichzeitig nach dem Telefonat auf den Weg.

'''a)''' Stelle eine Funktionsvorschrift für Isoldes Entfernung von zu Hause und eine Funktionsvorschrift für die Entfernung der Mutter von zu Hause in Abhängigkeit von der Zeit auf.

{{Lösung versteckt|1 = Lineare Funktionen haben immer die Form <math>f(x)= mx + n </math>. Hierbei ist <math> m </math> die Steigung und <math> n </math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt. Welche Informationen aus der Aufgabe entsprechen welchen Eigenschaften der gesuchten Funktionen?

Achte auch darauf, dass die Funktionen die Entfernung in der gleichen Einheit angeben und auch für die Zeit beide die gleiche Einheit verwenden sollten. Das erleichtert das spätere Rechnen mit den Funktionen.|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Wir geben die Zeit in Minuten und die Entfernung in Metern an. Die Funktion <math>f(x)=ax+b</math> soll Isoldes Entfernung von zu Hause und die Funktion <math>g(x)=cx+d</math> die Entfernung der Mutter von zu Hause beschreiben. Isolde ist zu Beginn 11km, also 11000m von zu Hause entfernt. Der y-Achsenabschnitt von f ist demnach a=11000. Isolde legt pro Minute 75m zurück. Dabei entfernt sie sich nicht von zu Hause, sondern nähert sich. Die Steigung b ist deshalb negativ und beträgt -75. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>f(x)=-75x+11000</math>. Die Mutter startet zu Hause, der y-Achsenabschnitt d von g(x) ist also gleich 0. Sie fährt mit einer Geschwindigkeit von 72km/h, was 1200m pro Minute entspricht. Damit entfernt sie sich von zu Hause, die Steigung d ist deshalb positiv und beträgt 1200. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>g(x)=1200x</math>. |2=Lösung|3=Lösung}}

'''b)''' Berechne, wie lange es dauert, bis die beiden sich treffen.

{{Lösung versteckt|1 = Welchem Punkt der Funktionsgraphen von f und g entspricht dem Treffpunkt der beiden Funktionen? Wie berechnet man diesen Punkt?|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Erinnere dich daran, dass die x-Achse die Zeit angibt, die verstrichen ist, seitdem Isolde losgegangen ist. Die y-Achse gibt den Abstand an, den die Mutter ihrer Tochter bereits entgegen gefahren ist. Dieser Abstand verringert sich dadurch, dass Isolde ihrer Mutter entgegengeht, somit hat die Funktion von Isolde eine negative Steigung. Der Schnittpunkt beider Funktionsgraphen gibt auf dem x-Wert an, wann sich die beiden treffen. Wir setzen die Funktionsvorschriften gleich, um den x-Wert des Schnittpunktes zu bestimmen. <math>\begin{align} -75x+11000 & = 1200x \quad | +75x \\
11000 & = 1275x \quad | : 1275 \\
\frac{440}{51} & = x \approx 8,6\end{align}</math>. 
Es dauert ungefähr 9 Minuten, bis die beiden sich treffen.|2=Lösung|3=Lösung}}|3=Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen

2019-11-10T15:33:54Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen */

{{Box
|Info
|In diesem Lernpfad kannst du dein Wissen über lineare Funktionen anwenden und erweitern und dein Verständnis vertiefen. Das Kapitel behandelt die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, ihren Funktionsgleichungen, ihren Funktionsgraphen und darauf liegenden Punkten.

In Aufgaben, die ''gelb'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind'' Forderaufgaben''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind besonders anspruchsvolle ''Knobelaufgaben''.

Das Kapitel beginnt mit einem kurzen Lückentext zur Wiederholung und endet mit drei Anwendungsaufgaben.
| Kurzinfo
}}

===Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung===

{{Box|1= Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|2= Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

{{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=pzotbf9h519}}

<ggb_applet id="hafd2mmt" width="700" height="500" border="888888" />|3= Arbeitsmethode}}

===Lineare Funktionen erkennen===
{{Box|1=Aufgabe 2: Welche Art von Funktion ist es?|2=Sieh dir den jeweiligen Graphen oder die jeweilige Funktionsvorschrift (bzw. Gleichung) an. Stellt der Graph oder die Funktionsvorschrift eine lineare, eine andere Funktion oder gar keine Funktion dar?
{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=px8y1m7tj19}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Funktionen muss welcher Variablen auf welcher Achse genau 1 Wert auf der anderen Achse zugeordnet werden? Schau dir den Lückentext in Aufgabe 1 noch einmal an. Wie sieht der Graph einer jeden linearen Funktion aus? Wie ist die allgemeine Form von lineren Funktionen? |2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1='''Keine Funktion:'''
Der Kreis und die zur <math>y</math>-Achse parallelen Gerade sind keine Funktionen. Funktionen ordnen jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Bei Kreisen werden jedem x-Wert genau 2 y-Werte zugeordnet. Bei Geraden parallel zur y-Achse werden einem x-Wert sogar alle y-Werte zugeordnet. Also sind Kreise und Geraden parallel zur y-Achse keine Funktionen.

'''Lineare Funktionen:'''
Alle Geraden, die nicht parallel zur <math>y</math>-Achse verlaufen (also nicht senkrecht sind) und alle Funktionen, bei denen die Variabel den Exponent <math>0</math> oder <math>1</math> hat, sind lineare Funktionen. Die allgemeine Zuordnungsvorschrift für lineare Funktionen lautet: <math>=f(x)=mx+n</math>.

'''Andere Funktionen:''' Alle Funktionen, die keine linearen Funktionen sind, sind andere Funktionen.
|2 = Lösung|3= Lösung}}
|3=Merke}}

===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen===

{{Box|1 = Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen|2 =
Gegeben seien stets die Steigung der Geraden und ein Punkt, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

'''a)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = -4</math> und der Punkt <math>P(-7/-1)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = # Setze zunächst für die Steigung <math>m = -4</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = -4x + n</math> entsteht.

## Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-7/-1)</math>, sodass du mit <math>x = -7</math> und <math>f(x) = -1</math> die Gleichung <math>-1 = -4\cdot(-7) + n</math> erhältst.

### Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -29</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = -4x - 29</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = 3,5</math> und der Punkt <math>P(2/5)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = 3,5</math> ein, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = 3,5\cdot x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(2/5)</math>, sodass du mit <math>x = 2</math> und <math>f(x) = 5</math> die Gleichung <math>5 = 3,5\cdot2 + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -2</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = 3,5\cdot x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math> und der Punkt <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = \frac{5}{8}x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>, sodass du mit <math>x = -\frac{2}{7}</math> und <math>f(x) = \frac{3}{4})</math> die Gleichung <math>\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Das Steigungsdreieck|
2=Die Steigung einer linearen Funktion bestimmt man in der Regel mit folgenden Schritten:
# Zunächst benötigt man zwei beliebige Punkte <math>P(x_P|y_P)</math> und <math>Q(x_Q|y_Q)</math>.
# Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P</math>
# Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P</math>
# Für die Steigung <math>m</math> der Geraden gilt: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}</math>
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|3=Merksatz}}

{{Box|1=Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen|2= Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

{{Lösung versteckt|1=
# Berechne zunächst die Steigung <math>m</math>, indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst.
# Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt <math>n</math>, indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
|2=Tipp: Allgemeines Vorgehen|3=Tipp: Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen}}

{{Lösung versteckt|1=
Du kannst die Geradengleichung auch auf anderen Wegen erhalten:
* Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems:
** Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>x</math> und die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>f(x)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
** Beide Gleichungen ergeben ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> zu bestimmen.
** Die bestimmten Unbekannten setzt du anschließend in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
* Lösung mit Hilfe eines Graphen:
** Zeichne die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> in ein Koordinatensystem ein.
** Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> verläuft.
** Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung <math>m</math>.
** Lies den y-Achsenabschnitt <math>n</math> am Graphen ab.
** Setze alles in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Tipp: Alternative Vorgehen|3=Tipp: Bestimmung mit Hilfe eines LGS oder Graphen}}

'''a)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = 2x</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 3 - 1 = 2</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = 2</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 2 = 2 \cdot 1 + n \Leftrightarrow 2 = 2 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 6 = 2 \cdot 3 + n \Leftrightarrow 6 = 6 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>2 = m \cdot 1 + n</math> und <math>6 = m \cdot 3 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = 2</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 0</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4a).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(2/1)</math> und <math>Q(6/-5)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -1,5x + 4</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -5 - 1 = -6</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2} = -1,5</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -1,5</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 1 = -1,5 \cdot 2 + n \Leftrightarrow 1 = -3 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -5 = -1,5 \cdot 6 + n \Leftrightarrow -5 = -9 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>1 = m \cdot 2 + n</math> und <math>-5 = m \cdot 6 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -1,5</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 4</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4b).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math>. 

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -\frac{7}{18}x + \frac{23}{18}</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -3 - 4 = -7</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 11 - (-7) = 11 + 7 = 18</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-7}{18} = -\frac{7}{18}</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -\frac{7}{18}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 4 = -\frac{7}{18} \cdot -7 + n \Leftrightarrow \frac{72}{18} = \frac{49}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -3 = -\frac{7}{18} \cdot 11 + n \Leftrightarrow -\frac{90}{18} = -\frac{77}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>4 = m \cdot -7 + n</math> und <math>-3 = m \cdot 11 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -\frac{7}{18}</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = \frac{23}{18}</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4c).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

|3=Arbeitsmethode}}

===Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen===
{{Box |1= Aufgabe 5: Punkte auf dem Graphen|2=Prüfe für die angegebenen linearen Funktionen, welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen. Arbeite zunächst im Heft und ordne dann jeder Funktion die Punkte zu, die auf ihrem Graphen liegen. Klicke dabei immer zunächst auf die Funktion und anschließend auf die zugehörigen Punkte. Je mehr Punkte du ihren Funktionen richtig zuweist, desto mehr wird sich ein Bild im Hintergrund aufdecken! 
Hinweis: Einer Funktion können mehrere Punkte zugeordnet sein, aber jedem Punkt ist nur genau eine Funktion zugeordnet.

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=p446x08nn19}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze die x-Koordinaten der Punkte in die Funktionen ein und vergleiche den Funktionswert mit den y-Koordinaten der Punkte|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 =
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> liegen die Punkte: <math>(-1|1)</math>, <math>(0|3)</math>, <math>(2|7)</math>, <math>(1|5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -x + 12</math> liegen die Punkte: <math>(2|10)</math>, <math>(12|0)</math>, <math>(\frac{7}{2}|\frac{17}{2})</math>, <math>(9|3)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}</math> liegen die Punkte: <math>(-1|-1)</math>, <math>(5|-5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = \frac{3}{8}</math> liegen die Punkte: <math>(4|\frac{3}{8})</math>, <math>(9|\frac{9}{24})</math>.

Beispielhafter Lösungsweg:
* Wir setzen die x-Koordinate des Punktes <math>(-1|1)</math> in die Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> ein und berechnen den Funktionswert:
** <math>f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1</math>.
** Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
* Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den x-Wert des Punktes <math>(2|10)</math> ein und berechnen wieder den Funktionswert:
** <math>f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7</math>.
** Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7.
** Der Punkt <math>(2|10)</math> liegt also nicht auf dem Graphen.
|2 = Lösung|3 = Lösung}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Eine lineare Gleichung einer Geraden zuordnen===

{{Box |1= Aufgabe 6a: Funktionen zeichnen |2=Zeichne die folgenden drei Funktionen alle in ein Koordinatensystem. Überlege dir vorher, wie groß das Koordinatensystem für diese Funktionen sein muss, damit man jeden Schnitt zwischen jeweils zwei Geraden erkennt.

a) <math>f(x) = 4x + 1</math>

b) <math>g(x) = 0,5x - 2,5</math>

c) <math>h(x) = -3x + 1</math>

{{Lösung versteckt|1 = Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung.|2=Tipp|3=Tipp 1}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 6b: Finde Paare|2=Ordne den gegebenen linearen Gleichungen die zugehörige Gerade zu. Beachte: Nicht zu jeder Gleichung ist eine Gerade gegeben.

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pdwa2pz1k19}}

{{Lösung versteckt|1 = Nicht vergessen: Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung. Vielleicht erkennst du alleine anhand des <math>y</math>-Achsenabschnitts schon einige der Funktionen?|2=Tipp|3=Tipp 1}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen===

{{Box|1= Aufgabe 7: Bestimme den Schnittpunkt|2= Zeichne zunächst beide Graphen in ein Koordinatensystem in dein Heft. Bestimme anschließend den x-Wert des Schnittpunktes der beiden Geraden.

{{Lösung versteckt|1 = Um die Geraden zu zeichnen, betrachte zunächst den y-Achsenabschnitt. Falls du dir unsicher bist, was der y-Achsenabschnitt ist, scrolle hoch zum Lückentext in Aufgabe 1.

Anschließend betrachte die Steigung der Geraden. Zeichne ein Steigungsdreieck (Hilfe im Lückentext in Aufgabe 1) und zeichne die Gerade mit Hilfe der Steigung und des y-Achsenabschnitts. |2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1 = Um die Koordinaten des Schnittpunktes zu bestimmten, setzte die beiden Geraden gleich und löse dann nach x auf.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}

'''a)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=2x+4</math> und <math>g(x)=3x</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 4 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''b)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=4x-5</math> und <math>g(x)=-3x+9</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 2 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''c)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)= \frac{3}{2}x-3</math> und <math>g(x)= \frac{1}{2}x+17</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 20 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

|3= Arbeitsmethode}}
===Textaufgabe: Der Freundinnendienst===
{{Box|1=Aufgabe 8: Was man nicht alles für Freundinnen tut.|2= Susanne ist 13 Jahre alt und geht in die 7. Klasse. Heute ist sie um 13.45 Uhr von der Schule nach Hause gekommen. Beim Mittagessen erzählt sie für 30min von ihrem Schultag. Bevor sie zum Sport geht, soll sie noch ihre Hausaufgaben erledigen. Jedoch fängt sie nicht sofort an, sondern daddelt erst noch 60min. Dann beginnt sie jedoch mit ihren Hausaufgaben. Nach 30min hat sie ihre Mathehausaufgaben fertig und muss nun nur noch Deutsch machen. 
Dafür muss sie noch ein 15-seitiges Kapitel in einem Roman lesen. Als sie nach 5 Minuten die dritte Seite fertig gelesen hat, schaut sie auf ihr Handy. Sie hat nur noch 20min bis sie sich für ihr Fußball-Training fertig machen muss. Gleichzeitig sieht sie eine Whats-App Nachricht von ihrer Freundin Marie, die schreibt: "Hey, hast du Deutsch schon fertig? Hab das Kapitel nicht gerafft. Kannst du mir das beim Sport zusammenfassen?" 
Kann Susanne ihrer Freundin, Marie, versprechen ihr das Kapitel beim Fußball zu erklären?
{{Lösung versteckt|1= 1. Tipp: Überlege welche Zeitangaben für die Lösung der Aufgabe notwendig sind. 
2. Tipp: Trage die relvanten Informationen als Punkte in ein Koordinatensystem. 
3. Tipp: Mit welcher Geschwindigkeit liest Susanne Seiten pro Minute? Welche Gleichung kennst du, mit der du ihre Lesegeschwindigkeit modellieren kannst? |2= Tipp |3=Tipp}}
{{Lösung versteckt|1= Es gibt verschiedene Lösungsideen. Zwei Beispiele sind eine grafische Lösung mit Hilfe eines Koordinatensystems oder eine algebraische Lösung mit Hilfe einer linearen Funktion. Eine algebraische Lösung könnte wie folgt aussehen: 
Die Zeitangaben für die Bearbeitung der Deutschaufgabe reichen aus, um die Aufgabe zu lösen. Alle anderen Zeitangaben helfen uns nicht. Als Marie die Nachricht liest, hat sie bereits 3 Seiten gelesen. Sie ließt mit einer Geschwindigkeit von 3 Seiten pro 5 Minuten. Wir können also jedem Zeitpunkt eine Anzahl von gelesenen Seiten zuordnen. Wir setzen den Startzeitpunkt auf den Moment, in dem sie die Nachricht bekommt. Und setzen, dass <math>x</math> die Einheit <math>\frac{Seiten}{5 Minuten}</math> hat. 
Also lautet unsere Gleichung: 
<math>f(x)=3+3x</math> 
Wir wollen wissen, wann Susanne 15 Seiten gelesen hat, also setzen wir für <math>f(x)=15</math> (Seiten) ein. 
<math>15=3+3x |-3 </math> 
<math><=> 12=3x | :3 </math> 
<math><=> x=4 </math>. 
Also braucht Susanne noch <math>4</math> mal <math>5</math> Minuten, also insgesamt 20min. Wenn sie sich beeilt, kann sie es also noch schaffen.|2= Lösung |3=Lösung}}
|3=Merke}}

===Textaufgabe: Katzendurst===
{{Box |1=Aufgabe 9: Wasser für die Katze|2= Marc und Claudia freuen sich schon auf ihren 1 wöchigen Urlaub. Leider dürfen ihre Katzen, Findus und Sabbel, jedoch nicht mit. Das Trockenfutter ist zwar ausreichend lang haltbar, aber damit die Katzen im heißen Sommer auch immer Wasser finden können, wollen die Beiden einen Wasserspender kaufen. Im Geschäft sehen sie zwei verschiedene Typen von Wasserspendern, die unterschiedlich teuer sind. In den einen Wasserspender für 10€ (Wasserspender A) passen <math>8l</math> Wasser und er ist nach <math>30</math> Tagen leer. In den anderen Wasserspender für 25€ (Wasserspender B) passen <math>6l</math> und er ist schon nach <math>10</math> Tagen leer. Der Wassertrog der Katzen hat ein Fassungsvermögen von <math>500ml</math>. Überlaufendes Wasser fließt in Marcs und Claudias Garage in einen Gulli. Welche Wasserspender sollten Marc und Claudia für ihre Katzen kaufen?

{{Lösung versteckt|1 = Als erstes könntest du versuchen je eine Funktionsvorschrift für die Wasserspender zu suchen. Kannst du an diesen Ablesen wie viel Wasser Sie jeden Tag zur Verfügung stellen? Im nächsten Schritt müsstest du herausfinden, wie viel Wasser jeden Tag benötigt wird. Hast du schon dafür alle notwendigen Infos gegeben? 
Nun kannst du den Verbrauch und das bereitgestellte Wasser in Beziehung zueinander stellen. Welchen Wasserspender sollten die Beiden kaufen? Reichen die Wasserspender für den ganzen Urlaub?| 2= Ein mögliches Vorgehen | 3= Ein mögliches Vorgehen}}

{{Lösung versteckt|1 = Mit zwei Punkten kannst du bereits eine lineare Funktion aufstellen. Suche diese beiden Punkte im Text für die jeweiligen Behälter. Falls du die Punkte findest, aber Schwierigkeiten bei dem Aufstellen der Gleichung hast, schaue dir Aufgabe 4 an. 
Welche Bedeutung haben das m und das n der allgemeinen Form einer linearen Gleichung? 
Was könnte für Marc und Claudia neben der angemessen Wasserversorgung ihrer Katzen noch von Bedeutung sein?| 2=Tipps |3=Tipps }}

{{Lösung versteckt|1 = Die Punkte für den Wasserspender A sind <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math>. Die Punkte für den Wasserspender B sind <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math>. Setze für jeden Wasserspender die jeweiligen beiden Punkte in die allgemeine Form der linearen Funktion ein. |2=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte|3=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte}}

{{Lösung versteckt|1=
Durch eine Internetrecherche können wir herausfinden, dass Katzen 200-250ml Wasser am Tag zu sich nehmen sollten. Um auf Nummer sicher zu gehen gehen wir also davon aus, dass Findus und Sabbel zusammen <math>500ml=0,5l</math> benötigen. 
'''Wasserspender A: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> f(x) = m\cdot x+b</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|8)</math>:''' <math> f(0) = m\cdot 0+b = 8</math>, wodurch <math>b=8</math> folgt.

'''<math>(30|0)</math>:''' <math>f(30) = m\cdot 30+b=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>b=8</math> ist, folgt hieraus, dass <math>m=-\frac{8}{30}=-\frac{4}{15}</math> ist.

Setzt man nun <math>m</math> und <math>b</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> f(x) = -\frac{4}{15} \cdot x + 8</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender A ist also <math>m=-\frac{4}{15}=</math>. Wasserspender A gibt also jeden Tag etwas mehr Wasser als 250ml und somit lediglich ausreichend viel Wasser für eine Katze ab.
Außerdem ist Wasserspender A nach 7 Tagen noch nicht leer: 
<math>f(7)= -\frac{4}{15} \cdot 7 + 8 = \frac{92}{15}=6 \frac{2}{15} > 0</math> 

'''Wasserspender B: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> g(x) = n\cdot x+a</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|6)</math>: ''' <math> g(0) = n\cdot 0+a = 6</math>, wodurch <math>a=6</math> folgt.

'''<math>(10|0)</math>:''' <math>g(10) = n\cdot 10+a=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>a=6</math> ist, folgt hieraus, dass <math>n=-\frac{3}{5}</math> ist.

Setzt man nun <math>n</math> und <math>a</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> g(x) = -\frac{3}{5} \cdot x + 6</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender B ist <math>n=-\frac{3}{5}</math>. Wasserspender B gibt also jeden Tag <math>600ml</math> und somit ausreichend viel Wasser für beide Katzen ab. 

Außerdem ist auch Wasserspender B nach 7 Tagen noch nicht leer: 

<math>g(7) = -\frac{3}{5} \cdot 7 + 6 = \frac{9}{5}=1 \frac{4}{5} > 0 </math> 

Nun können wir nachvollziehbarerweise annehmen, dass Claudia und Marc möglichst wenig Geld ausgeben wollen. Zwei Wasserbehälter A kosten <math>2 \cdot 10€</math> also <math>5€</math> weniger als ein Wasserspender B (<math>25€</math>.

'''Abschließende Antwort''' 
Zwar könnte ein Wasserspender der Sorte B für die beiden Katzen 1 Woche genug Wasser bereitstellen, aber zwei Wasserspender der Sorte A sind zusammen immer noch preisweiter und können gemeinsam immer noch genügend Wasser für die beiden Katzen bereitstellen. Claudia und Marc sollten also zwei Wasserspender des Typs A kaufen.

|2=Lösungsvorschlag|3=Lösungsvorschlag}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Textaufgabe: Schulbus===
{{Box|1=Aufgabe 10: Schulbus|2=Nach der Schule verpasst Isolde den Bus und müsste nun den Weg von 11km nach Hause laufen. Sie ruft ihre Mutter an und bittet sie, sie abzuholen. Ihre Mutter fährt ihr auf der Landstraße mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 72 km/h entgegen. Isolde geht ihrer Mutter entgegen und geht dabei durchschnittlich 75m pro Minute. Beide machen sich gleichzeitig nach dem Telefonat auf den Weg.

'''a)''' Stelle eine Funktionsvorschrift für Isoldes Entfernung von zu Hause und eine Funktionsvorschrift für die Entfernung der Mutter von zu Hause in Abhängigkeit von der Zeit auf.

{{Lösung versteckt|1 = Lineare Funktionen haben immer die Form <math>f(x)= mx + n </math>. Hierbei ist <math> m </math> die Steigung und <math> n </math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt. Welche Informationen aus der Aufgabe entsprechen welchen Eigenschaften der gesuchten Funktionen?

Achte auch darauf, dass die Funktionen die Entfernung in der gleichen Einheit angeben und auch für die Zeit beide die gleiche Einheit verwenden sollten. Das erleichtert das spätere Rechnen mit den Funktionen.|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Wir geben die Zeit in Minuten und die Entfernung in Metern an. Die Funktion <math>f(x)=ax+b</math> soll Isoldes Entfernung von zu Hause und die Funktion <math>g(x)=cx+d</math> die Entfernung der Mutter von zu Hause beschreiben. Isolde ist zu Beginn 11km, also 11000m von zu Hause entfernt. Der y-Achsenabschnitt von f ist demnach a=11000. Isolde legt pro Minute 75m zurück. Dabei entfernt sie sich nicht von zu Hause, sondern nähert sich. Die Steigung b ist deshalb negativ und beträgt -75. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>f(x)=-75x+11000</math>. Die Mutter startet zu Hause, der y-Achsenabschnitt d von g(x) ist also gleich 0. Sie fährt mit einer Geschwindigkeit von 72km/h, was 1200m pro Minute entspricht. Damit entfernt sie sich von zu Hause, die Steigung d ist deshalb positiv und beträgt 1200. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>g(x)=1200x</math>. |2=Lösung|3=Lösung}}

'''b)''' Berechne, wie lange es dauert, bis die beiden sich treffen.

{{Lösung versteckt|1 = Welchem Punkt der Funktionsgraphen von f und g entspricht dem Treffpunkt der beiden Funktionen? Wie berechnet man diesen Punkt?|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Erinnere dich daran, dass die x-Achse die Zeit angibt, die verstrichen ist, seitdem Isolde losgegangen ist. Die y-Achse gibt den Abstand an, den die Mutter ihrer Tochter bereits entgegen gefahren ist. Dieser Abstand verringert sich dadurch, dass Isolde ihrer Mutter entgegengeht, somit hat die Funktion von Isolde eine negative Steigung. Der Schnittpunkt beider Funktionsgraphen gibt auf dem x-Wert an, wann sich die beiden treffen. Wir setzen die Funktionsvorschriften gleich, um den x-Wert des Schnittpunktes zu bestimmen. <math>\begin{align} -75x+11000 & = 1200x \quad | +75x \\
11000 & = 1275x \quad | : 1275 \\
\frac{440}{51} & = x \approx 8,6\end{align}</math>. 
Es dauert ungefähr 9 Minuten, bis die beiden sich treffen.|2=Lösung|3=Lösung}}|3=Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen

2019-11-10T15:30:12Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung */

{{Box
|Info
|In diesem Lernpfad kannst du dein Wissen über lineare Funktionen anwenden und erweitern und dein Verständnis vertiefen. Das Kapitel behandelt die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, ihren Funktionsgleichungen, ihren Funktionsgraphen und darauf liegenden Punkten.

In Aufgaben, die ''gelb'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind'' Forderaufgaben''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind besonders anspruchsvolle ''Knobelaufgaben''.

Das Kapitel beginnt mit einem kurzen Lückentext zur Wiederholung und endet mit drei Anwendungsaufgaben.
| Kurzinfo
}}

===Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung===

{{Box|1= Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|2= Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

{{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=pzotbf9h519}}

<ggb_applet id="hafd2mmt" width="700" height="500" border="888888" />|3= Arbeitsmethode}}

===Lineare Funktionen erkennen===
{{Box|1=Aufgabe 2: Welche Art von Funktion ist es?|2=Sieh dir den jeweiligen Graphen oder die jeweilige Funktionsvorschrift (bzw. Gleichung) an. Stellt der Graph oder die Funktionsvorschrift eine lineare, eine andere Funktion oder gar keine Funktion dar?
{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=px8y1m7tj19}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Funktionen muss welcher Variablen auf welcher Achse genau 1 Wert auf der anderen Achse zugeordnet werden? Schau dir den Lückentext in Aufgabe 1 noch einmal an. Wie sieht der Graph einer jeden linearen Funktion aus? Wie ist die allgemeine Form von lineren Funktionen? |2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1='''Keine Funktion:'''
Der Kreis und die zur <math>y</math>-Achse parallelen Gerade sind keine Funktionen. Funktionen ordnen jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Bei Kreisen werden jedem x-Wert genau 2 y-Werte zugeordnet. Bei Geraden parallel zur y-Achse werden einem x-Wert sogar alle y-Werte zugeordnet. Also sind Kreise und Geraden parallel zur y-Achse keine Funktionen.

'''Lineare Funktionen:'''
Alle Geraden, die nicht parallel zur <math>y</math>-Achse verlaufen (also nicht senkrecht sind) und alle Funktionen, bei denen die Variabel den Exponent <math>0</math> oder <math>1</math> hat, sind lineare Funktionen. Die allgemeine Zuordnungsvorschrift für lineare Funktionen lautet: <math>=f(x)=mx+n</math>.

'''Andere Funktionen:''' Alle Funktionen, die keine linearen Funktionen sind, sind andere Funktionen.
|2 = Lösung|3= Lösung}}
|3=Merke}}

===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen===

{{Box|1 = Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen|2 =
Gegeben seien stets die Steigung der Geraden und ein Punkt, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

'''a)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = -4</math> und der Punkt <math>P(-7/-1)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = -4</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = -4x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-7/-1)</math>, sodass du mit <math>x = -7</math> und <math>f(x) = -1</math> die Gleichung <math>-1 = -4\cdot(-7) + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -29</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = -4x - 29</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = 3,5</math> und der Punkt <math>P(2/5)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = 3,5</math> ein, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = 3,5\cdot x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(2/5)</math>, sodass du mit <math>x = 2</math> und <math>f(x) = 5</math> die Gleichung <math>5 = 3,5\cdot2 + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -2</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = 3,5\cdot x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math> und der Punkt <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = \frac{5}{8}x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>, sodass du mit <math>x = -\frac{2}{7}</math> und <math>f(x) = \frac{3}{4})</math> die Gleichung <math>\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Das Steigungsdreieck|
Die Steigung einer linearen Funktion bestimmt man in der Regel mit folgenden Schritten:
# Zunächst benötigt man zwei beliebige Punkte <math>P(x_P|y_P)</math> und <math>Q(x_Q|y_Q)</math>.
# Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P</math>
# Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P</math>
# Für die Steigung <math>m</math> der Geraden gilt: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}</math>
<ggb_applet id="jbd6xgfh" width="750" height="500" border="888888" />
|Merke}}

{{Box|1=Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen|2= Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

{{Lösung versteckt|1=
# Berechne zunächst die Steigung <math>m</math>, indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst.
# Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt <math>n</math>, indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
|2=Tipp: Allgemeines Vorgehen|3=Tipp: Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen}}

{{Lösung versteckt|1=
Du kannst die Geradengleichung auch auf anderen Wegen erhalten:
* Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems:
** Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>x</math> und die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>f(x)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
** Beide Gleichungen ergeben ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> zu bestimmen.
** Die bestimmten Unbekannten setzt du anschließend in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
* Lösung mit Hilfe eines Graphen:
** Zeichne die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> in ein Koordinatensystem ein.
** Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> verläuft.
** Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung <math>m</math>.
** Lies den y-Achsenabschnitt <math>n</math> am Graphen ab.
** Setze alles in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Tipp: Alternative Vorgehen|3=Tipp: Bestimmung mit Hilfe eines LGS oder Graphen}}

'''a)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = 2x</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 3 - 1 = 2</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = 2</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 2 = 2 \cdot 1 + n \Leftrightarrow 2 = 2 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 6 = 2 \cdot 3 + n \Leftrightarrow 6 = 6 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>2 = m \cdot 1 + n</math> und <math>6 = m \cdot 3 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = 2</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 0</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4a).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(2/1)</math> und <math>Q(6/-5)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -1,5x + 4</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -5 - 1 = -6</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2} = -1,5</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -1,5</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 1 = -1,5 \cdot 2 + n \Leftrightarrow 1 = -3 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -5 = -1,5 \cdot 6 + n \Leftrightarrow -5 = -9 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>1 = m \cdot 2 + n</math> und <math>-5 = m \cdot 6 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -1,5</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 4</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4b).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math>. 

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -\frac{7}{18}x + \frac{23}{18}</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -3 - 4 = -7</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 11 - (-7) = 11 + 7 = 18</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-7}{18} = -\frac{7}{18}</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -\frac{7}{18}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 4 = -\frac{7}{18} \cdot -7 + n \Leftrightarrow \frac{72}{18} = \frac{49}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -3 = -\frac{7}{18} \cdot 11 + n \Leftrightarrow -\frac{90}{18} = -\frac{77}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>4 = m \cdot -7 + n</math> und <math>-3 = m \cdot 11 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -\frac{7}{18}</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = \frac{23}{18}</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4c).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

|3=Arbeitsmethode}}

===Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen===
{{Box |1= Aufgabe 5: Punkte auf dem Graphen|2=Prüfe für die angegebenen linearen Funktionen, welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen. Arbeite zunächst im Heft und ordne dann jeder Funktion die Punkte zu, die auf ihrem Graphen liegen. Klicke dabei immer zunächst auf die Funktion und anschließend auf die zugehörigen Punkte. Je mehr Punkte du ihren Funktionen richtig zuweist, desto mehr wird sich ein Bild im Hintergrund aufdecken! 
Hinweis: Einer Funktion können mehrere Punkte zugeordnet sein, aber jedem Punkt ist nur genau eine Funktion zugeordnet.

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=p446x08nn19}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze die x-Koordinaten der Punkte in die Funktionen ein und vergleiche den Funktionswert mit den y-Koordinaten der Punkte|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 =
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> liegen die Punkte: <math>(-1|1)</math>, <math>(0|3)</math>, <math>(2|7)</math>, <math>(1|5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -x + 12</math> liegen die Punkte: <math>(2|10)</math>, <math>(12|0)</math>, <math>(\frac{7}{2}|\frac{17}{2})</math>, <math>(9|3)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}</math> liegen die Punkte: <math>(-1|-1)</math>, <math>(5|-5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = \frac{3}{8}</math> liegen die Punkte: <math>(4|\frac{3}{8})</math>, <math>(9|\frac{9}{24})</math>.

Beispielhafter Lösungsweg:
* Wir setzen die x-Koordinate des Punktes <math>(-1|1)</math> in die Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> ein und berechnen den Funktionswert:
** <math>f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1</math>.
** Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
* Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den x-Wert des Punktes <math>(2|10)</math> ein und berechnen wieder den Funktionswert:
** <math>f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7</math>.
** Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7.
** Der Punkt <math>(2|10)</math> liegt also nicht auf dem Graphen.
|2 = Lösung|3 = Lösung}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Eine lineare Gleichung einer Geraden zuordnen===

{{Box |1= Aufgabe 6a: Funktionen zeichnen |2=Zeichne die folgenden drei Funktionen alle in ein Koordinatensystem. Überlege dir vorher, wie groß das Koordinatensystem für diese Funktionen sein muss, damit man jeden Schnitt zwischen jeweils zwei Geraden erkennt.

a) <math>f(x) = 4x + 1</math>

b) <math>g(x) = 0,5x - 2,5</math>

c) <math>h(x) = -3x + 1</math>

{{Lösung versteckt|1 = Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung.|2=Tipp|3=Tipp 1}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 6b: Finde Paare|2=Ordne den gegebenen linearen Gleichungen die zugehörige Gerade zu. Beachte: Nicht zu jeder Gleichung ist eine Gerade gegeben.

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pdwa2pz1k19}}

{{Lösung versteckt|1 = Nicht vergessen: Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung. Vielleicht erkennst du alleine anhand des <math>y</math>-Achsenabschnitts schon einige der Funktionen?|2=Tipp|3=Tipp 1}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen===

{{Box|1= Aufgabe 7: Bestimme den Schnittpunkt|2= Zeichne zunächst beide Graphen in ein Koordinatensystem in dein Heft. Bestimme anschließend den x-Wert des Schnittpunktes der beiden Geraden.

{{Lösung versteckt|1 = Um die Geraden zu zeichnen, betrachte zunächst den y-Achsenabschnitt. Falls du dir unsicher bist, was der y-Achsenabschnitt ist, scrolle hoch zum Lückentext in Aufgabe 1.

Anschließend betrachte die Steigung der Geraden. Zeichne ein Steigungsdreieck (Hilfe im Lückentext in Aufgabe 1) und zeichne die Gerade mit Hilfe der Steigung und des y-Achsenabschnitts. |2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1 = Um die Koordinaten des Schnittpunktes zu bestimmten, setzte die beiden Geraden gleich und löse dann nach x auf.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}

'''a)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=2x+4</math> und <math>g(x)=3x</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 4 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''b)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=4x-5</math> und <math>g(x)=-3x+9</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 2 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''c)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)= \frac{3}{2}x-3</math> und <math>g(x)= \frac{1}{2}x+17</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 20 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

|3= Arbeitsmethode}}
===Textaufgabe: Der Freundinnendienst===
{{Box|1=Aufgabe 8: Was man nicht alles für Freundinnen tut.|2= Susanne ist 13 Jahre alt und geht in die 7. Klasse. Heute ist sie um 13.45 Uhr von der Schule nach Hause gekommen. Beim Mittagessen erzählt sie für 30min von ihrem Schultag. Bevor sie zum Sport geht, soll sie noch ihre Hausaufgaben erledigen. Jedoch fängt sie nicht sofort an, sondern daddelt erst noch 60min. Dann beginnt sie jedoch mit ihren Hausaufgaben. Nach 30min hat sie ihre Mathehausaufgaben fertig und muss nun nur noch Deutsch machen. 
Dafür muss sie noch ein 15-seitiges Kapitel in einem Roman lesen. Als sie nach 5 Minuten die dritte Seite fertig gelesen hat, schaut sie auf ihr Handy. Sie hat nur noch 20min bis sie sich für ihr Fußball-Training fertig machen muss. Gleichzeitig sieht sie eine Whats-App Nachricht von ihrer Freundin Marie, die schreibt: "Hey, hast du Deutsch schon fertig? Hab das Kapitel nicht gerafft. Kannst du mir das beim Sport zusammenfassen?" 
Kann Susanne ihrer Freundin, Marie, versprechen ihr das Kapitel beim Fußball zu erklären?
{{Lösung versteckt|1= 1. Tipp: Überlege welche Zeitangaben für die Lösung der Aufgabe notwendig sind. 
2. Tipp: Trage die relvanten Informationen als Punkte in ein Koordinatensystem. 
3. Tipp: Mit welcher Geschwindigkeit liest Susanne Seiten pro Minute? Welche Gleichung kennst du, mit der du ihre Lesegeschwindigkeit modellieren kannst? |2= Tipp |3=Tipp}}
{{Lösung versteckt|1= Es gibt verschiedene Lösungsideen. Zwei Beispiele sind eine grafische Lösung mit Hilfe eines Koordinatensystems oder eine algebraische Lösung mit Hilfe einer linearen Funktion. Eine algebraische Lösung könnte wie folgt aussehen: 
Die Zeitangaben für die Bearbeitung der Deutschaufgabe reichen aus, um die Aufgabe zu lösen. Alle anderen Zeitangaben helfen uns nicht. Als Marie die Nachricht liest, hat sie bereits 3 Seiten gelesen. Sie ließt mit einer Geschwindigkeit von 3 Seiten pro 5 Minuten. Wir können also jedem Zeitpunkt eine Anzahl von gelesenen Seiten zuordnen. Wir setzen den Startzeitpunkt auf den Moment, in dem sie die Nachricht bekommt. Und setzen, dass <math>x</math> die Einheit <math>\frac{Seiten}{5 Minuten}</math> hat. 
Also lautet unsere Gleichung: 
<math>f(x)=3+3x</math> 
Wir wollen wissen, wann Susanne 15 Seiten gelesen hat, also setzen wir für <math>f(x)=15</math> (Seiten) ein. 
<math>15=3+3x |-3 </math> 
<math><=> 12=3x | :3 </math> 
<math><=> x=4 </math>. 
Also braucht Susanne noch <math>4</math> mal <math>5</math> Minuten, also insgesamt 20min. Wenn sie sich beeilt, kann sie es also noch schaffen.|2= Lösung |3=Lösung}}
|3=Merke}}

===Textaufgabe: Katzendurst===
{{Box |1=Aufgabe 9: Wasser für die Katze|2= Marc und Claudia freuen sich schon auf ihren 1 wöchigen Urlaub. Leider dürfen ihre Katzen, Findus und Sabbel, jedoch nicht mit. Das Trockenfutter ist zwar ausreichend lang haltbar, aber damit die Katzen im heißen Sommer auch immer Wasser finden können, wollen die Beiden einen Wasserspender kaufen. Im Geschäft sehen sie zwei verschiedene Typen von Wasserspendern, die unterschiedlich teuer sind. In den einen Wasserspender für 10€ (Wasserspender A) passen <math>8l</math> Wasser und er ist nach <math>30</math> Tagen leer. In den anderen Wasserspender für 25€ (Wasserspender B) passen <math>6l</math> und er ist schon nach <math>10</math> Tagen leer. Der Wassertrog der Katzen hat ein Fassungsvermögen von <math>500ml</math>. Überlaufendes Wasser fließt in Marcs und Claudias Garage in einen Gulli. Welche Wasserspender sollten Marc und Claudia für ihre Katzen kaufen?

{{Lösung versteckt|1 = Als erstes könntest du versuchen je eine Funktionsvorschrift für die Wasserspender zu suchen. Kannst du an diesen Ablesen wie viel Wasser Sie jeden Tag zur Verfügung stellen? Im nächsten Schritt müsstest du herausfinden, wie viel Wasser jeden Tag benötigt wird. Hast du schon dafür alle notwendigen Infos gegeben? 
Nun kannst du den Verbrauch und das bereitgestellte Wasser in Beziehung zueinander stellen. Welchen Wasserspender sollten die Beiden kaufen? Reichen die Wasserspender für den ganzen Urlaub?| 2= Ein mögliches Vorgehen | 3= Ein mögliches Vorgehen}}

{{Lösung versteckt|1 = Mit zwei Punkten kannst du bereits eine lineare Funktion aufstellen. Suche diese beiden Punkte im Text für die jeweiligen Behälter. Falls du die Punkte findest, aber Schwierigkeiten bei dem Aufstellen der Gleichung hast, schaue dir Aufgabe 4 an. 
Welche Bedeutung haben das m und das n der allgemeinen Form einer linearen Gleichung? 
Was könnte für Marc und Claudia neben der angemessen Wasserversorgung ihrer Katzen noch von Bedeutung sein?| 2=Tipps |3=Tipps }}

{{Lösung versteckt|1 = Die Punkte für den Wasserspender A sind <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math>. Die Punkte für den Wasserspender B sind <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math>. Setze für jeden Wasserspender die jeweiligen beiden Punkte in die allgemeine Form der linearen Funktion ein. |2=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte|3=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte}}

{{Lösung versteckt|1=
Durch eine Internetrecherche können wir herausfinden, dass Katzen 200-250ml Wasser am Tag zu sich nehmen sollten. Um auf Nummer sicher zu gehen gehen wir also davon aus, dass Findus und Sabbel zusammen <math>500ml=0,5l</math> benötigen. 
'''Wasserspender A: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> f(x) = m\cdot x+b</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|8)</math>:''' <math> f(0) = m\cdot 0+b = 8</math>, wodurch <math>b=8</math> folgt.

'''<math>(30|0)</math>:''' <math>f(30) = m\cdot 30+b=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>b=8</math> ist, folgt hieraus, dass <math>m=-\frac{8}{30}=-\frac{4}{15}</math> ist.

Setzt man nun <math>m</math> und <math>b</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> f(x) = -\frac{4}{15} \cdot x + 8</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender A ist also <math>m=-\frac{4}{15}=</math>. Wasserspender A gibt also jeden Tag etwas mehr Wasser als 250ml und somit lediglich ausreichend viel Wasser für eine Katze ab.
Außerdem ist Wasserspender A nach 7 Tagen noch nicht leer: 
<math>f(7)= -\frac{4}{15} \cdot 7 + 8 = \frac{92}{15}=6 \frac{2}{15} > 0</math> 

'''Wasserspender B: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> g(x) = n\cdot x+a</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|6)</math>: ''' <math> g(0) = n\cdot 0+a = 6</math>, wodurch <math>a=6</math> folgt.

'''<math>(10|0)</math>:''' <math>g(10) = n\cdot 10+a=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>a=6</math> ist, folgt hieraus, dass <math>n=-\frac{3}{5}</math> ist.

Setzt man nun <math>n</math> und <math>a</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> g(x) = -\frac{3}{5} \cdot x + 6</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender B ist <math>n=-\frac{3}{5}</math>. Wasserspender B gibt also jeden Tag <math>600ml</math> und somit ausreichend viel Wasser für beide Katzen ab. 

Außerdem ist auch Wasserspender B nach 7 Tagen noch nicht leer: 

<math>g(7) = -\frac{3}{5} \cdot 7 + 6 = \frac{9}{5}=1 \frac{4}{5} > 0 </math> 

Nun können wir nachvollziehbarerweise annehmen, dass Claudia und Marc möglichst wenig Geld ausgeben wollen. Zwei Wasserbehälter A kosten <math>2 \cdot 10€</math> also <math>5€</math> weniger als ein Wasserspender B (<math>25€</math>.

'''Abschließende Antwort''' 
Zwar könnte ein Wasserspender der Sorte B für die beiden Katzen 1 Woche genug Wasser bereitstellen, aber zwei Wasserspender der Sorte A sind zusammen immer noch preisweiter und können gemeinsam immer noch genügend Wasser für die beiden Katzen bereitstellen. Claudia und Marc sollten also zwei Wasserspender des Typs A kaufen.

|2=Lösungsvorschlag|3=Lösungsvorschlag}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Textaufgabe: Schulbus===
{{Box|1=Aufgabe 10: Schulbus|2=Nach der Schule verpasst Isolde den Bus und müsste nun den Weg von 11km nach Hause laufen. Sie ruft ihre Mutter an und bittet sie, sie abzuholen. Ihre Mutter fährt ihr auf der Landstraße mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 72 km/h entgegen. Isolde geht ihrer Mutter entgegen und geht dabei durchschnittlich 75m pro Minute. Beide machen sich gleichzeitig nach dem Telefonat auf den Weg.

'''a)''' Stelle eine Funktionsvorschrift für Isoldes Entfernung von zu Hause und eine Funktionsvorschrift für die Entfernung der Mutter von zu Hause in Abhängigkeit von der Zeit auf.

{{Lösung versteckt|1 = Lineare Funktionen haben immer die Form <math>f(x)= mx + n </math>. Hierbei ist <math> m </math> die Steigung und <math> n </math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt. Welche Informationen aus der Aufgabe entsprechen welchen Eigenschaften der gesuchten Funktionen?

Achte auch darauf, dass die Funktionen die Entfernung in der gleichen Einheit angeben und auch für die Zeit beide die gleiche Einheit verwenden sollten. Das erleichtert das spätere Rechnen mit den Funktionen.|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Wir geben die Zeit in Minuten und die Entfernung in Metern an. Die Funktion <math>f(x)=ax+b</math> soll Isoldes Entfernung von zu Hause und die Funktion <math>g(x)=cx+d</math> die Entfernung der Mutter von zu Hause beschreiben. Isolde ist zu Beginn 11km, also 11000m von zu Hause entfernt. Der y-Achsenabschnitt von f ist demnach a=11000. Isolde legt pro Minute 75m zurück. Dabei entfernt sie sich nicht von zu Hause, sondern nähert sich. Die Steigung b ist deshalb negativ und beträgt -75. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>f(x)=-75x+11000</math>. Die Mutter startet zu Hause, der y-Achsenabschnitt d von g(x) ist also gleich 0. Sie fährt mit einer Geschwindigkeit von 72km/h, was 1200m pro Minute entspricht. Damit entfernt sie sich von zu Hause, die Steigung d ist deshalb positiv und beträgt 1200. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>g(x)=1200x</math>. |2=Lösung|3=Lösung}}

'''b)''' Berechne, wie lange es dauert, bis die beiden sich treffen.

{{Lösung versteckt|1 = Welchem Punkt der Funktionsgraphen von f und g entspricht dem Treffpunkt der beiden Funktionen? Wie berechnet man diesen Punkt?|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Erinnere dich daran, dass die x-Achse die Zeit angibt, die verstrichen ist, seitdem Isolde losgegangen ist. Die y-Achse gibt den Abstand an, den die Mutter ihrer Tochter bereits entgegen gefahren ist. Dieser Abstand verringert sich dadurch, dass Isolde ihrer Mutter entgegengeht, somit hat die Funktion von Isolde eine negative Steigung. Der Schnittpunkt beider Funktionsgraphen gibt auf dem x-Wert an, wann sich die beiden treffen. Wir setzen die Funktionsvorschriften gleich, um den x-Wert des Schnittpunktes zu bestimmen. <math>\begin{align} -75x+11000 & = 1200x \quad | +75x \\
11000 & = 1275x \quad | : 1275 \\
\frac{440}{51} & = x \approx 8,6\end{align}</math>. 
Es dauert ungefähr 9 Minuten, bis die beiden sich treffen.|2=Lösung|3=Lösung}}|3=Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen

2019-11-10T15:17:33Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung */

{{Box
|Info
|In diesem Lernpfad kannst du dein Wissen über lineare Funktionen anwenden und erweitern und dein Verständnis vertiefen. Das Kapitel behandelt die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, ihren Funktionsgleichungen, ihren Funktionsgraphen und darauf liegenden Punkten.

In Aufgaben, die ''gelb'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind'' Forderaufgaben''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind besonders anspruchsvolle ''Knobelaufgaben''.

Das Kapitel beginnt mit einem kurzen Lückentext zur Wiederholung und endet mit drei Anwendungsaufgaben.
| Kurzinfo
}}

===Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung===

{{Box|1= Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|2= Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

{{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=pzotbf9h519}}

<ggb_applet id="hafd2mmt" width="700" height="500" border="888888" />

3= Arbeitsmethode}}

===Lineare Funktionen erkennen===
{{Box|1=Aufgabe 2: Welche Art von Funktion ist es?|2=Sieh dir den jeweiligen Graphen oder die jeweilige Funktionsvorschrift (bzw. Gleichung) an. Stellt der Graph oder die Funktionsvorschrift eine lineare, eine andere Funktion oder gar keine Funktion dar?
{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=px8y1m7tj19}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Funktionen muss welcher Variablen auf welcher Achse genau 1 Wert auf der anderen Achse zugeordnet werden? Schau dir den Lückentext in Aufgabe 1 noch einmal an. Wie sieht der Graph einer jeden linearen Funktion aus? Wie ist die allgemeine Form von lineren Funktionen? |2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1='''Keine Funktion:'''
Der Kreis und die zur <math>y</math>-Achse parallelen Gerade sind keine Funktionen. Funktionen ordnen jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Bei Kreisen werden jedem x-Wert genau 2 y-Werte zugeordnet. Bei Geraden parallel zur y-Achse werden einem x-Wert sogar alle y-Werte zugeordnet. Also sind Kreise und Geraden parallel zur y-Achse keine Funktionen.

'''Lineare Funktionen:'''
Alle Geraden, die nicht parallel zur <math>y</math>-Achse verlaufen (also nicht senkrecht sind) und alle Funktionen, bei denen die Variabel den Exponent <math>0</math> oder <math>1</math> hat, sind lineare Funktionen. Die allgemeine Zuordnungsvorschrift für lineare Funktionen lautet: <math>=f(x)=mx+n</math>.

'''Andere Funktionen:''' Alle Funktionen, die keine linearen Funktionen sind, sind andere Funktionen.
|2 = Lösung|3= Lösung}}
|3=Merke}}

===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen===

{{Box|1 = Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen|2 =
Gegeben seien stets die Steigung der Geraden und ein Punkt, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

'''a)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = -4</math> und der Punkt <math>P(-7/-1)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = -4</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = -4x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-7/-1)</math>, sodass du mit <math>x = -7</math> und <math>f(x) = -1</math> die Gleichung <math>-1 = -4\cdot(-7) + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -29</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = -4x - 29</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = 3,5</math> und der Punkt <math>P(2/5)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = 3,5</math> ein, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = 3,5\cdot x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(2/5)</math>, sodass du mit <math>x = 2</math> und <math>f(x) = 5</math> die Gleichung <math>5 = 3,5\cdot2 + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -2</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = 3,5\cdot x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math> und der Punkt <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = \frac{5}{8}x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>, sodass du mit <math>x = -\frac{2}{7}</math> und <math>f(x) = \frac{3}{4})</math> die Gleichung <math>\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Das Steigungsdreieck|
Die Steigung einer linearen Funktion bestimmt man in der Regel mit folgenden Schritten:
# Zunächst benötigt man zwei beliebige Punkte <math>P(x_P|y_P)</math> und <math>Q(x_Q|y_Q)</math>.
# Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P</math>
# Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P</math>
# Für die Steigung <math>m</math> der Geraden gilt: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}</math>
<ggb_applet id="jbd6xgfh" width="750" height="500" border="888888" />
|Merke}}

{{Box|1=Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen|2= Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

{{Lösung versteckt|1=
# Berechne zunächst die Steigung <math>m</math>, indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst.
# Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt <math>n</math>, indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
|2=Tipp: Allgemeines Vorgehen|3=Tipp: Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen}}

{{Lösung versteckt|1=
Du kannst die Geradengleichung auch auf anderen Wegen erhalten:
* Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems:
** Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>x</math> und die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>f(x)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
** Beide Gleichungen ergeben ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> zu bestimmen.
** Die bestimmten Unbekannten setzt du anschließend in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
* Lösung mit Hilfe eines Graphen:
** Zeichne die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> in ein Koordinatensystem ein.
** Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> verläuft.
** Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung <math>m</math>.
** Lies den y-Achsenabschnitt <math>n</math> am Graphen ab.
** Setze alles in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Tipp: Alternative Vorgehen|3=Tipp: Bestimmung mit Hilfe eines LGS oder Graphen}}

'''a)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = 2x</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 3 - 1 = 2</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = 2</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 2 = 2 \cdot 1 + n \Leftrightarrow 2 = 2 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 6 = 2 \cdot 3 + n \Leftrightarrow 6 = 6 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>2 = m \cdot 1 + n</math> und <math>6 = m \cdot 3 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = 2</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 0</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4a).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(2/1)</math> und <math>Q(6/-5)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -1,5x + 4</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -5 - 1 = -6</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2} = -1,5</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -1,5</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 1 = -1,5 \cdot 2 + n \Leftrightarrow 1 = -3 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -5 = -1,5 \cdot 6 + n \Leftrightarrow -5 = -9 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>1 = m \cdot 2 + n</math> und <math>-5 = m \cdot 6 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -1,5</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 4</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4b).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math>. 

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -\frac{7}{18}x + \frac{23}{18}</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -3 - 4 = -7</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 11 - (-7) = 11 + 7 = 18</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-7}{18} = -\frac{7}{18}</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -\frac{7}{18}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 4 = -\frac{7}{18} \cdot -7 + n \Leftrightarrow \frac{72}{18} = \frac{49}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -3 = -\frac{7}{18} \cdot 11 + n \Leftrightarrow -\frac{90}{18} = -\frac{77}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>4 = m \cdot -7 + n</math> und <math>-3 = m \cdot 11 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -\frac{7}{18}</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = \frac{23}{18}</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4c).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

|3=Arbeitsmethode}}

===Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen===
{{Box |1= Aufgabe 5: Punkte auf dem Graphen|2=Prüfe für die angegebenen linearen Funktionen, welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen. Arbeite zunächst im Heft und ordne dann jeder Funktion die Punkte zu, die auf ihrem Graphen liegen. Klicke dabei immer zunächst auf die Funktion und anschließend auf die zugehörigen Punkte. Je mehr Punkte du ihren Funktionen richtig zuweist, desto mehr wird sich ein Bild im Hintergrund aufdecken! 
Hinweis: Einer Funktion können mehrere Punkte zugeordnet sein, aber jedem Punkt ist nur genau eine Funktion zugeordnet.

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=p446x08nn19}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze die x-Koordinaten der Punkte in die Funktionen ein und vergleiche den Funktionswert mit den y-Koordinaten der Punkte|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 =
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> liegen die Punkte: <math>(-1|1)</math>, <math>(0|3)</math>, <math>(2|7)</math>, <math>(1|5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -x + 12</math> liegen die Punkte: <math>(2|10)</math>, <math>(12|0)</math>, <math>(\frac{7}{2}|\frac{17}{2})</math>, <math>(9|3)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}</math> liegen die Punkte: <math>(-1|-1)</math>, <math>(5|-5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = \frac{3}{8}</math> liegen die Punkte: <math>(4|\frac{3}{8})</math>, <math>(9|\frac{9}{24})</math>.

Beispielhafter Lösungsweg:
* Wir setzen die x-Koordinate des Punktes <math>(-1|1)</math> in die Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> ein und berechnen den Funktionswert:
** <math>f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1</math>.
** Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
* Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den x-Wert des Punktes <math>(2|10)</math> ein und berechnen wieder den Funktionswert:
** <math>f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7</math>.
** Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7.
** Der Punkt <math>(2|10)</math> liegt also nicht auf dem Graphen.
|2 = Lösung|3 = Lösung}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Eine lineare Gleichung einer Geraden zuordnen===

{{Box |1= Aufgabe 6a: Funktionen zeichnen |2=Zeichne die folgenden drei Funktionen alle in ein Koordinatensystem. Überlege dir vorher, wie groß das Koordinatensystem für diese Funktionen sein muss, damit man jeden Schnitt zwischen jeweils zwei Geraden erkennt.

a) <math>f(x) = 4x + 1</math>

b) <math>g(x) = 0,5x - 2,5</math>

c) <math>h(x) = -3x + 1</math>

{{Lösung versteckt|1 = Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung.|2=Tipp|3=Tipp 1}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 6b: Finde Paare|2=Ordne den gegebenen linearen Gleichungen die zugehörige Gerade zu. Beachte: Nicht zu jeder Gleichung ist eine Gerade gegeben.

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pdwa2pz1k19}}

{{Lösung versteckt|1 = Nicht vergessen: Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung. Vielleicht erkennst du alleine anhand des <math>y</math>-Achsenabschnitts schon einige der Funktionen?|2=Tipp|3=Tipp 1}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen===

{{Box|1= Aufgabe 7: Bestimme den Schnittpunkt|2= Zeichne zunächst beide Graphen in ein Koordinatensystem in dein Heft. Bestimme anschließend den x-Wert des Schnittpunktes der beiden Geraden.

{{Lösung versteckt|1 = Um die Geraden zu zeichnen, betrachte zunächst den y-Achsenabschnitt. Falls du dir unsicher bist, was der y-Achsenabschnitt ist, scrolle hoch zum Lückentext in Aufgabe 1.

Anschließend betrachte die Steigung der Geraden. Zeichne ein Steigungsdreieck (Hilfe im Lückentext in Aufgabe 1) und zeichne die Gerade mit Hilfe der Steigung und des y-Achsenabschnitts. |2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1 = Um die Koordinaten des Schnittpunktes zu bestimmten, setzte die beiden Geraden gleich und löse dann nach x auf.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}

'''a)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=2x+4</math> und <math>g(x)=3x</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 4 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''b)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=4x-5</math> und <math>g(x)=-3x+9</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 2 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''c)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)= \frac{3}{2}x-3</math> und <math>g(x)= \frac{1}{2}x+17</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 20 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

|3= Arbeitsmethode}}
===Textaufgabe: Der Freundinnendienst===
{{Box|1=Aufgabe 8: Was man nicht alles für Freundinnen tut.|2= Susanne ist 13 Jahre alt und geht in die 7. Klasse. Heute ist sie um 13.45 Uhr von der Schule nach Hause gekommen. Beim Mittagessen erzählt sie für 30min von ihrem Schultag. Bevor sie zum Sport geht, soll sie noch ihre Hausaufgaben erledigen. Jedoch fängt sie nicht sofort an, sondern daddelt erst noch 60min. Dann beginnt sie jedoch mit ihren Hausaufgaben. Nach 30min hat sie ihre Mathehausaufgaben fertig und muss nun nur noch Deutsch machen. 
Dafür muss sie noch ein 15-seitiges Kapitel in einem Roman lesen. Als sie nach 5 Minuten die dritte Seite fertig gelesen hat, schaut sie auf ihr Handy. Sie hat nur noch 20min bis sie sich für ihr Fußball-Training fertig machen muss. Gleichzeitig sieht sie eine Whats-App Nachricht von ihrer Freundin Marie, die schreibt: "Hey, hast du Deutsch schon fertig? Hab das Kapitel nicht gerafft. Kannst du mir das beim Sport zusammenfassen?" 
Kann Susanne ihrer Freundin, Marie, versprechen ihr das Kapitel beim Fußball zu erklären?
{{Lösung versteckt|1= 1. Tipp: Überlege welche Zeitangaben für die Lösung der Aufgabe notwendig sind. 
2. Tipp: Trage die relvanten Informationen als Punkte in ein Koordinatensystem. 
3. Tipp: Mit welcher Geschwindigkeit liest Susanne Seiten pro Minute? Welche Gleichung kennst du, mit der du ihre Lesegeschwindigkeit modellieren kannst? |2= Tipp |3=Tipp}}
{{Lösung versteckt|1= Es gibt verschiedene Lösungsideen. Zwei Beispiele sind eine grafische Lösung mit Hilfe eines Koordinatensystems oder eine algebraische Lösung mit Hilfe einer linearen Funktion. Eine algebraische Lösung könnte wie folgt aussehen: 
Die Zeitangaben für die Bearbeitung der Deutschaufgabe reichen aus, um die Aufgabe zu lösen. Alle anderen Zeitangaben helfen uns nicht. Als Marie die Nachricht liest, hat sie bereits 3 Seiten gelesen. Sie ließt mit einer Geschwindigkeit von 3 Seiten pro 5 Minuten. Wir können also jedem Zeitpunkt eine Anzahl von gelesenen Seiten zuordnen. Wir setzen den Startzeitpunkt auf den Moment, in dem sie die Nachricht bekommt. Und setzen, dass <math>x</math> die Einheit <math>\frac{Seiten}{5 Minuten}</math> hat. 
Also lautet unsere Gleichung: 
<math>f(x)=3+3x</math> 
Wir wollen wissen, wann Susanne 15 Seiten gelesen hat, also setzen wir für <math>f(x)=15</math> (Seiten) ein. 
<math>15=3+3x |-3 </math> 
<math><=> 12=3x | :3 </math> 
<math><=> x=4 </math>. 
Also braucht Susanne noch <math>4</math> mal <math>5</math> Minuten, also insgesamt 20min. Wenn sie sich beeilt, kann sie es also noch schaffen.|2= Lösung |3=Lösung}}
|3=Merke}}

===Textaufgabe: Katzendurst===
{{Box |1=Aufgabe 9: Wasser für die Katze|2= Marc und Claudia freuen sich schon auf ihren 1 wöchigen Urlaub. Leider dürfen ihre Katzen, Findus und Sabbel, jedoch nicht mit. Das Trockenfutter ist zwar ausreichend lang haltbar, aber damit die Katzen im heißen Sommer auch immer Wasser finden können, wollen die Beiden einen Wasserspender kaufen. Im Geschäft sehen sie zwei verschiedene Typen von Wasserspendern, die unterschiedlich teuer sind. In den einen Wasserspender für 10€ (Wasserspender A) passen <math>8l</math> Wasser und er ist nach <math>30</math> Tagen leer. In den anderen Wasserspender für 25€ (Wasserspender B) passen <math>6l</math> und er ist schon nach <math>10</math> Tagen leer. Der Wassertrog der Katzen hat ein Fassungsvermögen von <math>500ml</math>. Überlaufendes Wasser fließt in Marcs und Claudias Garage in einen Gulli. Welche Wasserspender sollten Marc und Claudia für ihre Katzen kaufen?

{{Lösung versteckt|1 = Als erstes könntest du versuchen je eine Funktionsvorschrift für die Wasserspender zu suchen. Kannst du an diesen Ablesen wie viel Wasser Sie jeden Tag zur Verfügung stellen? Im nächsten Schritt müsstest du herausfinden, wie viel Wasser jeden Tag benötigt wird. Hast du schon dafür alle notwendigen Infos gegeben? 
Nun kannst du den Verbrauch und das bereitgestellte Wasser in Beziehung zueinander stellen. Welchen Wasserspender sollten die Beiden kaufen? Reichen die Wasserspender für den ganzen Urlaub?| 2= Ein mögliches Vorgehen | 3= Ein mögliches Vorgehen}}

{{Lösung versteckt|1 = Mit zwei Punkten kannst du bereits eine lineare Funktion aufstellen. Suche diese beiden Punkte im Text für die jeweiligen Behälter. Falls du die Punkte findest, aber Schwierigkeiten bei dem Aufstellen der Gleichung hast, schaue dir Aufgabe 4 an. 
Welche Bedeutung haben das m und das n der allgemeinen Form einer linearen Gleichung? 
Was könnte für Marc und Claudia neben der angemessen Wasserversorgung ihrer Katzen noch von Bedeutung sein?| 2=Tipps |3=Tipps }}

{{Lösung versteckt|1 = Die Punkte für den Wasserspender A sind <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math>. Die Punkte für den Wasserspender B sind <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math>. Setze für jeden Wasserspender die jeweiligen beiden Punkte in die allgemeine Form der linearen Funktion ein. |2=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte|3=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte}}

{{Lösung versteckt|1=
Durch eine Internetrecherche können wir herausfinden, dass Katzen 200-250ml Wasser am Tag zu sich nehmen sollten. Um auf Nummer sicher zu gehen gehen wir also davon aus, dass Findus und Sabbel zusammen <math>500ml=0,5l</math> benötigen. 
'''Wasserspender A: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> f(x) = m\cdot x+b</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|8)</math>:''' <math> f(0) = m\cdot 0+b = 8</math>, wodurch <math>b=8</math> folgt.

'''<math>(30|0)</math>:''' <math>f(30) = m\cdot 30+b=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>b=8</math> ist, folgt hieraus, dass <math>m=-\frac{8}{30}=-\frac{4}{15}</math> ist.

Setzt man nun <math>m</math> und <math>b</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> f(x) = -\frac{4}{15} \cdot x + 8</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender A ist also <math>m=-\frac{4}{15}=</math>. Wasserspender A gibt also jeden Tag etwas mehr Wasser als 250ml und somit lediglich ausreichend viel Wasser für eine Katze ab.
Außerdem ist Wasserspender A nach 7 Tagen noch nicht leer: 
<math>f(7)= -\frac{4}{15} \cdot 7 + 8 = \frac{92}{15}=6 \frac{2}{15} > 0</math> 

'''Wasserspender B: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> g(x) = n\cdot x+a</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|6)</math>: ''' <math> g(0) = n\cdot 0+a = 6</math>, wodurch <math>a=6</math> folgt.

'''<math>(10|0)</math>:''' <math>g(10) = n\cdot 10+a=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>a=6</math> ist, folgt hieraus, dass <math>n=-\frac{3}{5}</math> ist.

Setzt man nun <math>n</math> und <math>a</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> g(x) = -\frac{3}{5} \cdot x + 6</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender B ist <math>n=-\frac{3}{5}</math>. Wasserspender B gibt also jeden Tag <math>600ml</math> und somit ausreichend viel Wasser für beide Katzen ab. 

Außerdem ist auch Wasserspender B nach 7 Tagen noch nicht leer: 

<math>g(7) = -\frac{3}{5} \cdot 7 + 6 = \frac{9}{5}=1 \frac{4}{5} > 0 </math> 

Nun können wir nachvollziehbarerweise annehmen, dass Claudia und Marc möglichst wenig Geld ausgeben wollen. Zwei Wasserbehälter A kosten <math>2 \cdot 10€</math> also <math>5€</math> weniger als ein Wasserspender B (<math>25€</math>.

'''Abschließende Antwort''' 
Zwar könnte ein Wasserspender der Sorte B für die beiden Katzen 1 Woche genug Wasser bereitstellen, aber zwei Wasserspender der Sorte A sind zusammen immer noch preisweiter und können gemeinsam immer noch genügend Wasser für die beiden Katzen bereitstellen. Claudia und Marc sollten also zwei Wasserspender des Typs A kaufen.

|2=Lösungsvorschlag|3=Lösungsvorschlag}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Textaufgabe: Schulbus===
{{Box|1=Aufgabe 10: Schulbus|2=Nach der Schule verpasst Isolde den Bus und müsste nun den Weg von 11km nach Hause laufen. Sie ruft ihre Mutter an und bittet sie, sie abzuholen. Ihre Mutter fährt ihr auf der Landstraße mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 72 km/h entgegen. Isolde geht ihrer Mutter entgegen und geht dabei durchschnittlich 75m pro Minute. Beide machen sich gleichzeitig nach dem Telefonat auf den Weg.

'''a)''' Stelle eine Funktionsvorschrift für Isoldes Entfernung von zu Hause und eine Funktionsvorschrift für die Entfernung der Mutter von zu Hause in Abhängigkeit von der Zeit auf.

{{Lösung versteckt|1 = Lineare Funktionen haben immer die Form <math>f(x)= mx + n </math>. Hierbei ist <math> m </math> die Steigung und <math> n </math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt. Welche Informationen aus der Aufgabe entsprechen welchen Eigenschaften der gesuchten Funktionen?

Achte auch darauf, dass die Funktionen die Entfernung in der gleichen Einheit angeben und auch für die Zeit beide die gleiche Einheit verwenden sollten. Das erleichtert das spätere Rechnen mit den Funktionen.|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Wir geben die Zeit in Minuten und die Entfernung in Metern an. Die Funktion <math>f(x)=ax+b</math> soll Isoldes Entfernung von zu Hause und die Funktion <math>g(x)=cx+d</math> die Entfernung der Mutter von zu Hause beschreiben. Isolde ist zu Beginn 11km, also 11000m von zu Hause entfernt. Der y-Achsenabschnitt von f ist demnach a=11000. Isolde legt pro Minute 75m zurück. Dabei entfernt sie sich nicht von zu Hause, sondern nähert sich. Die Steigung b ist deshalb negativ und beträgt -75. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>f(x)=-75x+11000</math>. Die Mutter startet zu Hause, der y-Achsenabschnitt d von g(x) ist also gleich 0. Sie fährt mit einer Geschwindigkeit von 72km/h, was 1200m pro Minute entspricht. Damit entfernt sie sich von zu Hause, die Steigung d ist deshalb positiv und beträgt 1200. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>g(x)=1200x</math>. |2=Lösung|3=Lösung}}

'''b)''' Berechne, wie lange es dauert, bis die beiden sich treffen.

{{Lösung versteckt|1 = Welchem Punkt der Funktionsgraphen von f und g entspricht dem Treffpunkt der beiden Funktionen? Wie berechnet man diesen Punkt?|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Erinnere dich daran, dass die x-Achse die Zeit angibt, die verstrichen ist, seitdem Isolde losgegangen ist. Die y-Achse gibt den Abstand an, den die Mutter ihrer Tochter bereits entgegen gefahren ist. Dieser Abstand verringert sich dadurch, dass Isolde ihrer Mutter entgegengeht, somit hat die Funktion von Isolde eine negative Steigung. Der Schnittpunkt beider Funktionsgraphen gibt auf dem x-Wert an, wann sich die beiden treffen. Wir setzen die Funktionsvorschriften gleich, um den x-Wert des Schnittpunktes zu bestimmen. <math>\begin{align} -75x+11000 & = 1200x \quad | +75x \\
11000 & = 1275x \quad | : 1275 \\
\frac{440}{51} & = x \approx 8,6\end{align}</math>. 
Es dauert ungefähr 9 Minuten, bis die beiden sich treffen.|2=Lösung|3=Lösung}}|3=Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen

2019-11-07T16:03:47Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen */

{{Box
|Info
|In diesem Lernpfad kannst du dein Wissen über lineare Funktionen anwenden und erweitern und dein Verständnis vertiefen. Das Kapitel behandelt die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, ihren Funktionsgleichungen, ihren Funktionsgraphen und darauf liegenden Punkten.

In Aufgaben, die ''gelb'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind'' Forderaufgaben''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind besonders anspruchsvolle ''Knobelaufgaben''.

Das Kapitel beginnt mit einem kurzen Lückentext zur Wiederholung und endet mit drei Anwendungsaufgaben.
| Kurzinfo
}}

===Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung===

{{Box|1= Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|2= Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

{{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=pzotbf9h519}}

<ggb_applet id="hafd2mmt" width="700" height="500" border="888888" />

}}
===Lineare Funktionen erkennen===
{{Box|1=Aufgabe 2: Welche Art von Funktion ist es?|2=Sieh dir den jeweiligen Graphen oder die jeweilige Funktionsvorschrift (bzw. Gleichung) an. Stellt der Graph oder die Funktionsvorschrift eine lineare, eine andere Funktion oder gar keine Funktion dar?
{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=px8y1m7tj19}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Funktionen muss welcher Variablen auf welcher Achse genau 1 Wert auf der anderen Achse zugeordnet werden? Schau dir den Lückentext in Aufgabe 1 noch einmal an. Wie sieht der Graph einer jeden linearen Funktion aus? Wie ist die allgemeine Form von lineren Funktionen? |2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1='''Keine Funktion:'''
Der Kreis und die zur <math>y</math>-Achse parallelen Gerade sind keine Funktionen. Funktionen ordnen jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Bei Kreisen werden jedem x-Wert genau 2 y-Werte zugeordnet. Bei Geraden parallel zur y-Achse werden einem x-Wert sogar alle y-Werte zugeordnet. Also sind Kreise und Geraden parallel zur y-Achse keine Funktionen.

'''Lineare Funktionen:'''
Alle Geraden, die nicht parallel zur <math>y</math>-Achse verlaufen (also nicht senkrecht sind) und alle Funktionen, bei denen die Variabel den Exponent <math>0</math> oder <math>1</math> hat, sind lineare Funktionen. Die allgemeine Zuordnungsvorschrift für lineare Funktionen lautet: <math>=f(x)=mx+n</math>.

'''Andere Funktionen:''' Alle Funktionen, die keine linearen Funktionen sind, sind andere Funktionen.
|2 = Lösung|3= Lösung}}
|3=Merke}}

===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen===

{{Box|1 = Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen|2 =
Gegeben seien stets die Steigung der Geraden und ein Punkt, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

'''a)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = -4</math> und der Punkt <math>P(-7/-1)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = -4</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = -4x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-7/-1)</math>, sodass du mit <math>x = -7</math> und <math>f(x) = -1</math> die Gleichung <math>-1 = -4\cdot(-7) + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -29</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = -4x - 29</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = 3,5</math> und der Punkt <math>P(2/5)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = 3,5</math> ein, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = 3,5\cdot x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(2/5)</math>, sodass du mit <math>x = 2</math> und <math>f(x) = 5</math> die Gleichung <math>5 = 3,5\cdot2 + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -2</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = 3,5\cdot x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math> und der Punkt <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = \frac{5}{8}x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>, sodass du mit <math>x = -\frac{2}{7}</math> und <math>f(x) = \frac{3}{4})</math> die Gleichung <math>\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Das Steigungsdreieck|
Die Steigung einer linearen Funktion bestimmt man in der Regel mit folgenden Schritten:
# Zunächst benötigt man zwei beliebige Punkte <math>P(x_P|y_P)</math> und <math>Q(x_Q|y_Q)</math>.
# Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P</math>
# Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P</math>
# Für die Steigung <math>m</math> der Geraden gilt: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}</math>
<ggb_applet id="jbd6xgfh" width="750" height="500" border="888888" />
|Merke}}

{{Box|1=Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen|2= Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

{{Lösung versteckt|1=
# Berechne zunächst die Steigung <math>m</math>, indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst.
# Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt <math>n</math>, indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
|2=Tipp: Allgemeines Vorgehen|3=Tipp: Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen}}

{{Lösung versteckt|1=
Du kannst die Geradengleichung auch auf anderen Wegen erhalten:
* Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems:
** Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>x</math> und die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>f(x)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
** Beide Gleichungen ergeben ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> zu bestimmen.
** Die bestimmten Unbekannten setzt du anschließend in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
* Lösung mit Hilfe eines Graphen:
** Zeichne die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> in ein Koordinatensystem ein.
** Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> verläuft.
** Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung <math>m</math>.
** Lies den y-Achsenabschnitt <math>n</math> am Graphen ab.
** Setze alles in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Tipp: Alternative Vorgehen|3=Tipp: Bestimmung mit Hilfe eines LGS oder Graphen}}

'''a)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = 2x</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 3 - 1 = 2</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = 2</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 2 = 2 \cdot 1 + n \Leftrightarrow 2 = 2 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 6 = 2 \cdot 3 + n \Leftrightarrow 6 = 6 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>2 = m \cdot 1 + n</math> und <math>6 = m \cdot 3 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = 2</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 0</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4a).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(2/1)</math> und <math>Q(6/-5)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -1,5x + 4</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -5 - 1 = -6</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2} = -1,5</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -1,5</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 1 = -1,5 \cdot 2 + n \Leftrightarrow 1 = -3 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -5 = -1,5 \cdot 6 + n \Leftrightarrow -5 = -9 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>1 = m \cdot 2 + n</math> und <math>-5 = m \cdot 6 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -1,5</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 4</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4b).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math>. 

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -\frac{7}{18}x + \frac{23}{18}</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -3 - 4 = -7</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 11 - (-7) = 11 + 7 = 18</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-7}{18} = -\frac{7}{18}</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -\frac{7}{18}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 4 = -\frac{7}{18} \cdot -7 + n \Leftrightarrow \frac{72}{18} = \frac{49}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -3 = -\frac{7}{18} \cdot 11 + n \Leftrightarrow -\frac{90}{18} = -\frac{77}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>4 = m \cdot -7 + n</math> und <math>-3 = m \cdot 11 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -\frac{7}{18}</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = \frac{23}{18}</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4c).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

|3=Arbeitsmethode}}

===Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen===
{{Box |1= Aufgabe 5: Punkte auf dem Graphen|2=Prüfe für die angegebenen linearen Funktionen, welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen. Arbeite zunächst im Heft und ordne dann jeder Funktion die Punkte zu, die auf ihrem Graphen liegen. Klicke dabei immer zunächst auf die Funktion und anschließend auf die zugehörigen Punkte. Je mehr Punkte du ihren Funktionen richtig zuweist, desto mehr wird sich ein Bild im Hintergrund aufdecken! 
Hinweis: Einer Funktion können mehrere Punkte zugeordnet sein, aber jedem Punkt ist nur genau eine Funktion zugeordnet.

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=p446x08nn19}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze die x-Koordinaten der Punkte in die Funktionen ein und vergleiche den Funktionswert mit den y-Koordinaten der Punkte|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 =
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> liegen die Punkte: <math>(-1|1)</math>, <math>(0|3)</math>, <math>(2|7)</math>, <math>(1|5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -x + 12</math> liegen die Punkte: <math>(2|10)</math>, <math>(12|0)</math>, <math>(\frac{7}{2}|\frac{17}{2})</math>, <math>(9|3)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}</math> liegen die Punkte: <math>(-1|-1)</math>, <math>(5|-5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = \frac{3}{8}</math> liegen die Punkte: <math>(4|\frac{3}{8})</math>, <math>(9|\frac{9}{24})</math>.

Beispielhafter Lösungsweg:
* Wir setzen die x-Koordinate des Punktes <math>(-1|1)</math> in die Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> ein und berechnen den Funktionswert:
** <math>f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1</math>.
** Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
* Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den x-Wert des Punktes <math>(2|10)</math> ein und berechnen wieder den Funktionswert:
** <math>f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7</math>.
** Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7.
** Der Punkt <math>(2|10)</math> liegt also nicht auf dem Graphen.
|2 = Lösung|3 = Lösung}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Eine lineare Gleichung einer Geraden zuordnen===

{{Box |1= Aufgabe 6a: Funktionen zeichnen |2=Zeichne die folgenden drei Funktionen alle in ein Koordinatensystem. Überlege dir vorher, wie groß das Koordinatensystem für diese Funktionen sein muss, damit man jeden Schnitt zwischen jeweils zwei Geraden erkennt.

a) <math>f(x) = 4x + 1</math>

b) <math>g(x) = 0,5x - 2,5</math>

c) <math>h(x) = -3x + 1</math>

{{Lösung versteckt|1 = Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung.|2=Tipp|3=Tipp 1}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 6b: Finde Paare|2=Ordne den gegebenen linearen Gleichungen die zugehörige Gerade zu. Beachte: Nicht zu jeder Gleichung ist eine Gerade gegeben.

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pdwa2pz1k19}}

{{Lösung versteckt|1 = Nicht vergessen: Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung. Vielleicht erkennst du alleine anhand des <math>y</math>-Achsenabschnitts schon einige der Funktionen?|2=Tipp|3=Tipp 1}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen===

{{Box|1= Aufgabe 7: Bestimme den Schnittpunkt|2= Zeichne zunächst beide Graphen in ein Koordinatensystem in dein Heft. Bestimme anschließend den x-Wert des Schnittpunktes der beiden Geraden.

{{Lösung versteckt|1 = Um die Geraden zu zeichnen, betrachte zunächst den y-Achsenabschnitt. Falls du dir unsicher bist, was der y-Achsenabschnitt ist, scrolle hoch zum Lückentext in Aufgabe 1.

Anschließend betrachte die Steigung der Geraden. Zeichne ein Steigungsdreieck (Hilfe im Lückentext in Aufgabe 1) und zeichne die Gerade mit Hilfe der Steigung und des y-Achsenabschnitts. |2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1 = Um die Koordinaten des Schnittpunktes zu bestimmten, setzte die beiden Geraden gleich und löse dann nach x auf.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}

'''a)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=2x+4</math> und <math>g(x)=3x</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 4 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''b)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=4x-5</math> und <math>g(x)=-3x+9</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 2 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''c)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)= \frac{3}{2}x-3</math> und <math>g(x)= \frac{1}{2}x+17</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 20 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

|3= Arbeitsmethode}}
===Textaufgabe: Der Freundinnendienst===
{{Box|1=Aufgabe 8: Was man nicht alles für Freundinnen tut.|2= Susanne ist 13 Jahre alt und geht in die 7. Klasse. Heute ist sie um 13.45 Uhr von der Schule nach Hause gekommen. Beim Mittagessen erzählt sie für 30min von ihrem Schultag. Bevor sie zum Sport geht, soll sie noch ihre Hausaufgaben erledigen. Jedoch fängt sie nicht sofort an, sondern daddelt erst noch 60min. Dann beginnt sie jedoch mit ihren Hausaufgaben. Nach 30min hat sie ihre Mathehausaufgaben fertig und muss nun nur noch Deutsch machen. 
Dafür muss sie noch ein 15-seitiges Kapitel in einem Roman lesen. Als sie nach 5 Minuten die dritte Seite fertig gelesen hat, schaut sie auf ihr Handy. Sie hat nur noch 20min bis sie sich für ihr Fußball-Training fertig machen muss. Gleichzeitig sieht sie eine Whats-App Nachricht von ihrer Freundin Marie, die schreibt: "Hey, hast du Deutsch schon fertig? Hab das Kapitel nicht gerafft. Kannst du mir das beim Sport zusammenfassen?" 
Kann Susanne ihrer Freundin, Marie, versprechen ihr das Kapitel beim Fußball zu erklären?
{{Lösung versteckt|1= 1. Tipp: Überlege welche Zeitangaben für die Lösung der Aufgabe notwendig sind. 
2. Tipp: Trage die relvanten Informationen als Punkte in ein Koordinatensystem. 
3. Tipp: Mit welcher Geschwindigkeit liest Susanne Seiten pro Minute? Welche Gleichung kennst du, mit der du ihre Lesegeschwindigkeit modellieren kannst? |2= Tipp |3=Tipp}}
{{Lösung versteckt|1= Es gibt verschiedene Lösungsideen. Zwei Beispiele sind eine grafische Lösung mit Hilfe eines Koordinatensystems oder eine algebraische Lösung mit Hilfe einer linearen Funktion. Eine algebraische Lösung könnte wie folgt aussehen: 
Die Zeitangaben für die Bearbeitung der Deutschaufgabe reichen aus, um die Aufgabe zu lösen. Alle anderen Zeitangaben helfen uns nicht. Als Marie die Nachricht liest, hat sie bereits 3 Seiten gelesen. Sie ließt mit einer Geschwindigkeit von 3 Seiten pro 5 Minuten. Wir können also jedem Zeitpunkt eine Anzahl von gelesenen Seiten zuordnen. Wir setzen den Startzeitpunkt auf den Moment, in dem sie die Nachricht bekommt. Und setzen, dass <math>x</math> die Einheit <math>\frac{Seiten}{5 Minuten}</math> hat. 
Also lautet unsere Gleichung: 
<math>f(x)=3+3x</math> 
Wir wollen wissen, wann Susanne 15 Seiten gelesen hat, also setzen wir für <math>f(x)=15</math> (Seiten) ein. 
<math>15=3+3x |-3 </math> 
<math><=> 12=3x | :3 </math> 
<math><=> x=4 </math>. 
Also braucht Susanne noch <math>4</math> mal <math>5</math> Minuten, also insgesamt 20min. Wenn sie sich beeilt, kann sie es also noch schaffen.|2= Lösung |3=Lösung}}
|3=Merke}}

===Textaufgabe: Katzendurst===
{{Box |1=Aufgabe 9: Wasser für die Katze|2= Marc und Claudia freuen sich schon auf ihren Urlaub 1 wöchigen Urlaub. Leider dürfen ihre Katzen, Findus und Sabbel, jedoch nicht mit. Das Trockenfutter ist zwar ausreichend lang haltbar, aber damit die Katzen im heißen Sommer auch immer Wasser finden können, wollen die Beiden einen Wasserspender kaufen. Im Geschäft sehen sie zwei verschiedene Typen von Wasserspendern, die unterschiedlich teuer sind. In den einen Wasserspender für 10€ (Wasserspender A) passen <math>8l</math> Wasser und er ist nach <math>30</math> Tagen leer. In den anderen Wasserspender für 25€ (Wasserspender B) passen <math>6l</math> und er ist schon nach <math>10</math> Tagen leer. Der Wassertrog der Katzen hat ein Fassungsvermögen von <math>500ml</math>. Überlaufendes Wasser fließt in Marcs und Claudias Garage in einen Gulli. Welche Wasserspender sollten Marc und Claudia für ihre Katzen kaufen?

{{Lösung versteckt|1 = Als erstes könntest du versuchen je eine Funktionsvorschrift für die Wasserspender zu suchen. Kannst du an diesen Ablesen wie viel Wasser Sie jeden Tag zur Verfügung stellen? Im nächsten Schritt müsstest du herausfinden, wie viel Wasser jeden Tag benötigt wird. Hast du schon dafür alle notwendigen Infos gegeben? 
Nun kannst du den Verbrauch und das bereitgestellte Wasser in Beziehung zueinander stellen. Welchen Wasserspender sollten die Beiden kaufen? Reichen die Wasserspender für den ganzen Urlaub?| 2= Ein mögliches Vorgehen | 3= Ein mögliches Vorgehen}}

{{Lösung versteckt|1 = Mit zwei Punkten kannst du bereits eine lineare Funktion aufstellen. Suche diese beiden Punkte im Text für die jeweiligen Behälter. Falls du die Punkte findest, aber Schwierigkeiten bei dem Aufstellen der Gleichung hast, schaue dir Aufgabe 4 an. 
Welche Bedeutung haben das m und das n der allgemeinen Form einer linearen Gleichung? 
Was könnte für Marc und Claudia neben der angemessen Wasserversorgung ihrer Katzen noch von Bedeutung sein?| 2=Tipps |3=Tipps }}

{{Lösung versteckt|1 = Die Punkte für den Wasserspender A sind <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math>. Die Punkte für den Wasserspender B sind <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math>. Setze für jeden Wasserspender die jeweiligen beiden Punkte in die allgemeine Form der linearen Funktion ein. |2=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte|3=Zwischenergebnis für das Finden der Punkte}}

{{Lösung versteckt|1=
Durch eine Internetrecherche können wir herausfinden, dass Katzen 200-250ml Wasser am Tag zu sich nehmen sollten. Um auf Nummer sicher zu gehen gehen wir also davon aus, dass Findus und Sabbel zusammen <math>500ml=0,5l</math> benötigen. 
'''Wasserspender A: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|8)</math> und <math>(30|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> f(x) = m\cdot x+b</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|8)</math>:''' <math> f(0) = m\cdot 0+b = 8</math>, wodurch <math>b=8</math> folgt.

'''<math>(30|0)</math>:''' <math>f(30) = m\cdot 30+b=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>b=8</math> ist, folgt hieraus, dass <math>m=-\frac{8}{30}=-\frac{4}{15}</math> ist.

Setzt man nun <math>m</math> und <math>b</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> f(x) = -\frac{4}{15} \cdot x + 8</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender A ist also <math>m=-\frac{4}{15}=</math>. Wasserspender A gibt also jeden Tag etwas mehr Wasser als 250ml und somit lediglich ausreichend viel Wasser für eine Katze ab.
Außerdem ist Wasserspender A nach 7 Tagen noch nicht leer: 
<math>f(7)= -\frac{4}{15} \cdot 7 + 8 = \frac{92}{15}=6 \frac{2}{15} > 0</math> 

'''Wasserspender B: '''

Wir haben die Punkte <math> (0|6)</math> und <math>(10|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> g(x) = n\cdot x+a</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

'''<math> (0|6)</math>: ''' <math> g(0) = n\cdot 0+a = 6</math>, wodurch <math>a=6</math> folgt.

'''<math>(10|0)</math>:''' <math>g(10) = n\cdot 10+a=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>a=6</math> ist, folgt hieraus, dass <math>n=-\frac{3}{5}</math> ist.

Setzt man nun <math>n</math> und <math>a</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> g(x) = -\frac{3}{5} \cdot x + 6</math> 

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender B ist <math>n=-\frac{3}{5}</math>. Wasserspender B gibt also jeden Tag <math>600ml</math> und somit ausreichend viel Wasser für beide Katzen ab. 

Außerdem ist auch Wasserspender B nach 7 Tagen noch nicht leer: 

<math>g(7) = -\frac{3}{5} \cdot 7 + 6 = \frac{9}{5}=1 \frac{4}{5} > 0 </math> 

Nun können wir nachvollziehbarerweise annehmen, dass Claudia und Marc möglichst wenig Geld ausgeben wollen. Zwei Wasserbehälter A kosten <math>2 \cdot 10€</math> also <math>5€</math> weniger als ein Wasserspender B (<math>25€</math>.

'''Abschließende Antwort''' 
Zwar könnte ein Wasserspender der Sorte B für die beiden Katzen 1 Woche genug Wasser bereitstellen, aber zwei Wasserspender der Sorte A sind zusammen immer noch preisweiter und können gemeinsam immer noch genügend Wasser für die beiden Katzen bereitstellen. Claudia und Marc sollten also zwei Wasserspender des Typs A kaufen.

|2=Lösungsvorschlag|3=Lösungsvorschlag}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Textaufgabe: Schulbus===
{{Box|1=Aufgabe 10: Schulbus|2=Nach der Schule verpasst Isolde den Bus und müsste nun den Weg von 11km nach Hause laufen. Sie ruft ihre Mutter an und bittet sie, sie abzuholen. Ihre Mutter fährt ihr auf der Landstraße mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 72 km/h entgegen. Isolde geht ihrer Mutter entgegen und geht dabei durchschnittlich 75m pro Minute. Beide machen sich gleichzeitig nach dem Telefonat auf den Weg.

'''a)''' Stelle eine Funktionsvorschrift für Isoldes Entfernung von zu Hause und eine Funktionsvorschrift für die Entfernung der Mutter von zu Hause in Abhängigkeit von der Zeit auf.

{{Lösung versteckt|1 = Lineare Funktionen haben immer die Form <math>f(x)= mx + n </math>. Hierbei ist <math> m </math> die Steigung und <math> n </math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt. Welche Informationen aus der Aufgabe entsprechen welchen Eigenschaften der gesuchten Funktionen?

Achte auch darauf, dass die Funktionen die Entfernung in der gleichen Einheit angeben und auch für die Zeit beide die gleiche Einheit verwenden sollten. Das erleichtert das spätere Rechnen mit den Funktionen.|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Wir geben die Zeit in Minuten und die Entfernung in Metern an. Die Funktion <math>f(x)=ax+b</math> soll Isoldes Entfernung von zu Hause und die Funktion <math>g(x)=cx+d</math> die Entfernung der Mutter von zu Hause beschreiben. Isolde ist zu Beginn 11km, also 11000m von zu Hause entfernt. Der y-Achsenabschnitt von f ist demnach a=11000. Isolde legt pro Minute 75m zurück. Dabei entfernt sie sich nicht von zu Hause, sondern nähert sich. Die Steigung b ist deshalb negativ und beträgt -75. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>f(x)=-75x+11000</math>. Die Mutter startet zu Hause, der y-Achsenabschnitt d von g(x) ist also gleich 0. Sie fährt mit einer Geschwindigkeit von 72km/h, was 1200m pro Minute entspricht. Damit entfernt sie sich von zu Hause, die Steigung d ist deshalb positiv und beträgt 1200. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>g(x)=1200x</math>. |2=Lösung|3=Lösung}}

'''b)''' Berechne, wie lange es dauert, bis die beiden sich treffen.

{{Lösung versteckt|1 = Welchem Punkt der Funktionsgraphen von f und g entspricht dem Treffpunkt der beiden Funktionen? Wie berechnet man diesen Punkt?|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Erinnere dich daran, dass die x-Achse die Zeit angibt, die verstrichen ist, seitdem Isolde losgegangen ist. Die y-Achse gibt den Abstand an, den die Mutter ihrer Tochter bereits entgegen gefahren ist. Dieser Abstand verringert sich dadurch, dass Isolde ihrer Mutter entgegengeht, somit hat die Funktion von Isolde eine negative Steigung. Der Schnittpunkt beider Funktionsgraphen gibt auf dem x-Wert an, wann sich die beiden treffen. Wir setzen die Funktionsvorschriften gleich, um den x-Wert des Schnittpunktes zu bestimmen. <math>\begin{align} -75x+11000 & = 1200x \quad | +75x \\
11000 & = 1275x \quad | : 1275 \\
\frac{440}{51} & = x \approx 8,6\end{align}</math>. 
Es dauert ungefähr 9 Minuten, bis die beiden sich treffen.|2=Lösung|3=Lösung}}|3=Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen

2019-10-29T17:56:36Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung */

{{Box
|Info
|In diesem Lernpfad kannst du dein Wissen über lineare Funktionen anwenden und erweitern und dein Verständnis vertiefen. Das Kapitel behandelt die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, ihren Funktionsgleichungen, ihren Funktionsgraphen und darauf liegenden Punkten.

In Aufgaben, die ''gelb'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind'' Forderaufgaben''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind besonders anspruchsvolle ''Knobelaufgaben''.

Das Kapitel beginnt mit einem kurzen Lückentext zur Wiederholung und endet mit drei Anwendungsaufgaben.
| Kurzinfo
}}

===Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung===

{{Box|1= Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|2= Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

{{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=pzotbf9h519}}

<ggb_applet id="hafd2mmt" width="700" height="500" border="888888" />

}}

===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen===

{{Box|1 = Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen*|2 =
Gegeben seien stets die Steigung der Geraden und ein Punkt, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

'''a)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = -4</math> und der Punkt <math>P(-7/-1)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = -4</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = -4x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-7/-1)</math>, sodass du mit <math>x = -7</math> und <math>f(x) = -1</math> die Gleichung <math>-1 = -4\cdot(-7) + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -29</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = -4x - 29</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = 3,5</math> und der Punkt <math>P(2/5)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = 3,5</math> ein, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = 3,5\cdot x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(2/5)</math>, sodass du mit <math>x = 2</math> und <math>f(x) = 5</math> die Gleichung <math>5 = 3,5\cdot2 + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -2</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = 3,5\cdot x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math> und der Punkt <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = \frac{5}{8}x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>, sodass du mit <math>x = -\frac{2}{7}</math> und <math>f(x) = \frac{3}{4})</math> die Gleichung <math>\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Das Steigungsdreieck|
Die Steigung einer linearen Funktion bestimmt man in der Regel mit folgenden Schritten:
# Zunächst benötigt man zwei beliebige Punkte <math>P(x_P|y_P)</math> und <math>Q(x_Q|y_Q)</math>.
# Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P</math>
# Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P</math>
# Für die Steigung <math>m</math> der Geraden gilt: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}</math>
<ggb_applet id="jbd6xgfh" width="750" height="500" border="888888" />
|Merke}}

{{Box|1=Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen|2= Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

{{Lösung versteckt|1=
# Berechne zunächst die Steigung <math>m</math>, indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst.
# Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt <math>n</math>, indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
|2=Tipp: Allgemeines Vorgehen|3=Tipp: Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen}}

{{Lösung versteckt|1=
Du kannst die Geradengleichung auch auf anderen Wegen erhalten:
* Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems:
** Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>x</math> und die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>f(x)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
** Beide Gleichungen ergeben ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> zu bestimmen.
** Die bestimmten Unbekannten setzt du anschließend in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
* Lösung mit Hilfe eines Graphen:
** Zeichne die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> in ein Koordinatensystem ein.
** Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> verläuft.
** Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung <math>m</math>.
** Lies den y-Achsenabschnitt <math>n</math> am Graphen ab.
** Setze alles in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Tipp: Alternative Vorgehen|3=Tipp: Bestimmung mit Hilfe eines LGS oder Graphen}}

'''a)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = 2x</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 3 - 1 = 2</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = 2</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 2 = 2 \cdot 1 + n \Leftrightarrow 2 = 2 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 6 = 2 \cdot 3 + n \Leftrightarrow 6 = 6 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>2 = m \cdot 1 + n</math> und <math>6 = m \cdot 3 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = 2</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 0</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4a).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(2/1)</math> und <math>Q(6/-5)</math>.

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -1,5x + 4</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -5 - 1 = -6</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2} = -1,5</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -1,5</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 1 = -1,5 \cdot 2 + n \Leftrightarrow 1 = -3 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -5 = -1,5 \cdot 6 + n \Leftrightarrow -5 = -9 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>1 = m \cdot 2 + n</math> und <math>-5 = m \cdot 6 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -1,5</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 4</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4b).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math>. 

{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -\frac{7}{18}x + \frac{23}{18}</math> 

{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -3 - 4 = -7</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 11 - (-7) = 11 + 7 = 18</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-7}{18} = -\frac{7}{18}</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -\frac{7}{18}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 4 = -\frac{7}{18} \cdot -7 + n \Leftrightarrow \frac{72}{18} = \frac{49}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -3 = -\frac{7}{18} \cdot 11 + n \Leftrightarrow -\frac{90}{18} = -\frac{77}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}

{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>4 = m \cdot -7 + n</math> und <math>-3 = m \cdot 11 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -\frac{7}{18}</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = \frac{23}{18}</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4c).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

|3=Arbeitsmethode}}

===Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen===
{{Box |1= Aufgabe 5: Punkte auf dem Graphen|2=Prüfe für die angegebenen linearen Funktionen, welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen. Arbeite zunächst im Heft und ordne dann jeder Funktion die Punkte zu, die auf ihrem Graphen liegen. Klicke dabei immer zunächst auf die Funktion und anschließend auf die zugehörigen Punkte. Je mehr Punkte du ihren Funktionen richtig zuweist, desto mehr wird sich ein Bild im Hintergrund aufdecken! 
Hinweis: Einer Funktion können mehrere Punkte zugeordnet sein, aber jedem Punkt ist nur genau eine Funktion zugeordnet.

{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=p446x08nn19}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze die x-Koordinaten der Punkte in die Funktionen ein und vergleiche den Funktionswert mit den y-Koordinaten der Punkte|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 =
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> liegen die Punkte: <math>(-1|1)</math>, <math>(0|3)</math>, <math>(2|7)</math>, <math>(1|5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -x + 12</math> liegen die Punkte: <math>(2|10)</math>, <math>(12|0)</math>, <math>(\frac{7}{2}|\frac{17}{2})</math>, <math>(9|3)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}</math> liegen die Punkte: <math>(-1|-1)</math>, <math>(5|-5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = \frac{3}{8}</math> liegen die Punkte: <math>(4|\frac{3}{8})</math>, <math>(9|\frac{9}{24})</math>.

Beispielhafter Lösungsweg:
* Wir setzen die x-Koordinate des Punktes <math>(-1|1)</math> in die Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> ein und berechnen den Funktionswert:
** <math>f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1</math>.
** Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
* Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den x-Wert des Punktes <math>(2|10)</math> ein und berechnen wieder den Funktionswert:
** <math>f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7</math>.
** Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7.
** Der Punkt <math>(2|10)</math> liegt also nicht auf dem Graphen.
|2 = Lösung|3 = Lösung}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Eine lineare Gleichung einer Geraden zuordnen===

{{Box |1= Aufgabe 6a: Funktionen zeichnen |2=Zeichne die folgenden drei Funktionen alle in ein Koordinatensystem. Überlege dir vorher, wie groß das Koordinatensystem für diese Funktionen sein muss, damit man jeden Schnitt zwischen jeweils zwei Geraden erkennt.

a) <math>f(x) = 4x + 1</math>

b) <math>g(x) = 0,5x - 2,5</math>

c) <math>h(x) = -3x + 1</math>

{{Lösung versteckt|1 = Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung.|2=Tipp|3=Tipp 1}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1=Aufgabe 6b: Finde Paare|2=Ordne den gegebenen linearen Gleichungen die zugehörige Gerade zu. Beachte: Nicht zu jeder Gleichung ist eine Gerade gegeben.

{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pdwa2pz1k19}}

{{Lösung versteckt|1 = Nicht vergessen: Für <math>f(x) = mx + n</math> ist <math>n</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt und <math>m</math> die Steigung. Vielleicht erkennst du alleine anhand des <math>y</math>-Achsenabschnitts schon einige der Funktionen?|2=Tipp|3=Tipp 1}}
|3=Arbeitsmethode}}

===Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen===

{{Box|1= Aufgabe 7: Bestimme den Schnittpunkt|2= Zeichne zunächst beide Graphen in ein Koordinatensystem in dein Heft. Bestimme anschließend den x-Wert des Schnittpunktes der beiden Geraden.

{{Lösung versteckt|1 = Um die Geraden zu zeichnen, betrachte zunächst den y-Achsenabschnitt. Falls du dir unsicher bist, was der y-Achsenabschnitt ist, scrolle hoch zum Lückentext in Aufgabe 1.

Anschließend betrachte die Steigung der Geraden. Zeichne ein Steigungsdreieck (Hilfe im Lückentext in Aufgabe 1) und zeichne die Gerade mit Hilfe der Steigung und des y-Achsenabschnitts. |2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1 = Um die Koordinaten des Schnittpunktes zu bestimmten, setzte die beiden Geraden gleich und löse dann nach x auf.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}

'''a)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=2x+4</math> und <math>g(x)=3x</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 4 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''b)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)=4x-5</math> und <math>g(x)=-3x+9</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 2 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

'''c)''' Gegeben sind die beiden Geraden <math>f(x)= \frac{3}{2}x-3</math> und <math>g(x)= \frac{1}{2}x+17</math>.
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt liegt bei x= 20 |2=Lösung|3=Tipp 2}}

|3= Arbeitsmethode}}

===Textaufgabe: Schulbus===
{{Box|1=Aufgabe 10: Schulbus|2=Nach der Schule verpasst Isolde den Bus und müsste nun den Weg von 11km nach Hause laufen. Sie ruft ihre Mutter an und bittet sie, sie abzuholen. Ihre Mutter fährt ihr auf der Landstraße mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 72 km/h entgegen. Isolde geht ihrer Mutter entgegen und geht dabei durchschnittlich 75m pro Minute. Beide machen sich gleichzeitig nach dem Telefonat auf den Weg.

'''a)''' Stelle eine Funktionsvorschrift für Isoldes Entfernung von zu Hause und eine Funktionsvorschrift für die Entfernung der Mutter von zu Hause in Abhängigkeit von der Zeit auf.

{{Lösung versteckt|1 = Lineare Funktionen haben immer die Form <math>f(x)= mx + n </math>. Hierbei ist <math> m </math> die Steigung und <math> n </math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt. Welche Informationen aus der Aufgabe entsprechen welchen Eigenschaften der gesuchten Funktionen?

Achte auch darauf, dass die Funktionen die Entfernung in der gleichen Einheit angeben und auch für die Zeit beide die gleiche Einheit verwenden sollten. Das erleichtert das spätere Rechnen mit den Funktionen.|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Wir geben die Zeit in Minuten und die Entfernung in Metern an. Die Funktion <math>f(x)=ax+b</math> soll Isoldes Entfernung von zu Hause und die Funktion <math>g(x)=cx+d</math> die Entfernung der Mutter von zu Hause beschreiben. Isolde ist zu Beginn 11km, also 11000m von zu Hause entfernt. Der y-Achsenabschnitt von f ist demnach a=11000. Isolde legt pro Minute 75m zurück. Dabei entfernt sie sich nicht von zu Hause, sondern nähert sich. Die Steigung b ist deshalb negativ und beträgt -75. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>f(x)=-75x+11000</math>. Die Mutter startet zu Hause, der y-Achsenabschnitt d von g(x) ist also gleich 0. Sie fährt mit einer Geschwindigkeit von 72km/h, was 1200m pro Minute entspricht. Damit entfernt sie sich von zu Hause, die Steigung d ist deshalb positiv und beträgt 1200. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift <math>g(x)=1200x</math>. |2=Lösung|3=Lösung}}

'''b)''' Berechne, wie lange es dauert, bis die beiden sich treffen.

{{Lösung versteckt|1 = Welchem Punkt der Funktionsgraphen von f und g entspricht dem Treffpunkt der beiden Funktionen? Wie berechnet man diesen Punkt?|2=Tipp|3=Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Erinnere dich daran, dass die x-Achse die Zeit angibt, die verstrichen ist, seitdem Isolde losgegangen ist. Die y-Achse gibt den Abstand an, den die Mutter ihrer Tochter bereits entgegen gefahren ist. Dieser Abstand verringert sich dadurch, dass Isolde ihrer Mutter entgegengeht, somit hat die Funktion von Isolde eine negative Steigung. Der Schnittpunkt beider Funktionsgraphen gibt auf dem x-Wert an, wann sich die beiden treffen. Wir setzen die Funktionsvorschriften gleich, um den x-Wert des Schnittpunktes zu bestimmen. <math>\begin{align} -75x+11000 & = 1200x \quad | +75x \\
11000 & = 1275x \quad | : 1275 \\
\frac{440}{51} & = x \approx 8,6\end{align}</math>. 
Es dauert ungefähr 9 Minuten, bis die beiden sich treffen.|2=Lösung|3=Lösung}}|3=Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen

2019-10-27T09:28:04Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen */

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen

2019-10-27T09:27:21Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen */

Benutzer:Svea WWU-5/Testseite2

2019-10-27T09:24:45Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung */

==Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung==

{{Box|1=Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|2=Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

{{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=pzotbf9h519}}

<ggb_applet id="hafd2mmt" width="700" height="500" border="888888" />

}}

===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen===

{{Box|1 = Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen*|2 =
Gegeben seien stets die Steigung der Geraden und ein Punkt, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

'''a)''' Gegeben sei die Steigung <math>m = -4</math> und der Punkt <math>P(-7/-1)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = -4</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = -4x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-7/-1)</math>, sodass du mit <math>x = -7</math> und <math>f(x) = -1</math> die Gleichung <math>-1 = -4\cdot(-7) + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -29</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = -4x - 29</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben sei die Steigung <math>m = 3,5</math> und der Punkt <math>P(2/5)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = 3,5</math> ein, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = 3,5\cdot x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(2/5)</math>, sodass du mit <math>x = 2</math> und <math>f(x) = 5</math> die Gleichung <math>5 = 3,5\cdot2 + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -2</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = 3,5\cdot x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben sei die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math> und der Punkt <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = \frac{5}{8}x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>, sodass du mit <math>x = -\frac{2}{7}</math> und <math>f(x) = \frac{3}{4})</math> die Gleichung <math>\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}

Benutzer:Svea WWU-5/Testseite2

2019-10-27T09:22:01Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen */

==Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung==

{{Box|1=Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|2=Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

{{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=pzotbf9h519}}

<ggb_applet id="hafd2mmt" width="700" height="500" border="888888" />

}}

===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen===

{{Box|1 = Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen*|2 =
Gegeben seien stets die Steigung der Geraden und ein Punkt, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

'''a)''' Rechnen mit ganzen Zahlen

Gegeben sei die Steigung <math>m = -4</math> und der Punkt <math>P(-7/-1)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = -4</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = -4x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-7/-1)</math>, sodass du mit <math>x = -7</math> und <math>f(x) = -1</math> die Gleichung <math>-1 = -4\cdot(-7) + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -29</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = -4x - 29</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Rechnen mit Dezimalbrüchen

Gegeben sei die Steigung <math>m = 3,5</math> und der Punkt <math>P(2/5)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = 3,5</math> ein, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = 3,5\cdot x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(2/5)</math>, sodass du mit <math>x = 2</math> und <math>f(x) = 5</math> die Gleichung <math>5 = 3,5\cdot2 + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -2</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = 3,5\cdot x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben sei die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math> und der Punkt <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = \frac{5}{8}x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>, sodass du mit <math>x = -\frac{2}{7}</math> und <math>f(x) = \frac{3}{4})</math> die Gleichung <math>\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}

Benutzer:Svea WWU-5/Testseite2

2019-10-27T09:20:48Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen */

==Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung==

{{Box|1=Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|2=Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

{{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=pzotbf9h519}}

<ggb_applet id="hafd2mmt" width="700" height="500" border="888888" />

}}

===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen===

{{Box|1 = Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen*|2 =
Gegeben seien stets die Steigung der Geraden und ein Punkt, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

'''a)''' Rechnen mit ganzen Zahlen

Gegeben sei die Steigung <math>m = -4</math> und der Punkt <math>P(-7/-1)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = -4</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = -4x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-7/-1)</math>, sodass du mit <math>x = -7</math> und <math>f(x) = -1</math> die Gleichung <math>-1 = -4\cdot(-7) + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -29</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = -4x - 29</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Rechnen mit Dezimalbrüchen

Gegeben sei die Steigung <math>m = 3,5</math> und der Punkt <math>P(2/5)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = 3,5</math> ein, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = 3,5\cdot x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(2/5)</math>, sodass du mit <math>x = 2</math> und <math>f(x) = 5</math> die Gleichung <math>5 = 3,5\cdot2 + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -2</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = 3,5\cdot x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben sei die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math> und der Punkt <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = \frac{5}{8}x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>, sodass du mit <math>x = -\frac{2}{7}</math> und <math>f(x) = \frac{3}{4})</math> die Gleichung <math>\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}

Benutzer:Svea WWU-5/Testseite2

2019-10-27T09:15:56Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen */

==Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung==

{{Box|1=Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|2=Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

{{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=pzotbf9h519}}

<ggb_applet id="hafd2mmt" width="700" height="500" border="888888" />

}}

===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen===

{{Box|1 = Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen*|2 =
Gegeben seien stets die Steigung der Geraden und ein Punkt, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

'''a)''' Gegeben sei die Steigung <math>m = 3,5</math> und der Punkt <math>P(2/5)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = 3,5</math> ein, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = 3,5\cdot x + n</math> entsteht.

2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(2/5)</math>, sodass du mit <math>x = 2</math> und <math>f(x) = 5</math> die Gleichung <math>5 = 3,5\cdot2 + n</math> erhältst.

3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -2</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = 3,5\cdot x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben sei die Steigung <math>m = -4</math> und der Punkt <math>P(-7/-1)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + b</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze zunächst für die Steigung <math>m = -4</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = -4x + b</math> entsteht. Nutze in einem zweiten Schritt die Angabe des Punktes <math>P(-7/-1)</math>, sodass du mit <math>x = -7</math> und <math>f(x) = -1</math> die Gleichung <math>-1 = -4\cdot(-7) + b</math> erhältst. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b = -29</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = -4x - 29</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben sei die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math> und der Punkt <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + b</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze zunächst für die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = \frac{5}{8}x + b</math> entsteht. Nutze in einem zweiten Schritt die Angabe des Punktes <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>, sodass du mit <math>x = -\frac{2}{7}</math> und <math>f(x) = \frac{3}{4})</math> die Gleichung <math>\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + b</math> erhältst. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}

Benutzer:Svea WWU-5/Testseite2

2019-10-27T09:14:30Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen */

==Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung==

{{Box|1=Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|2=Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

{{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=pzotbf9h519}}

<ggb_applet id="hafd2mmt" width="700" height="500" border="888888" />

}}

===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen===

{{Box|1 = Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen*|2 =
Gegeben seien stets die Steigung der Geraden und ein Punkt, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

'''a)''' Gegeben sei die Steigung <math>m = 3,5</math> und der Punkt <math>P(2/5)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = 3,5</math> ein, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = 3,5\cdot x + n</math> entsteht.\\
2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(2/5)</math>, sodass du mit <math>x = 2</math> und <math>f(x) = 5</math> die Gleichung <math>5 = 3,5\cdot2 + n</math> erhältst. \\
3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -2</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = 3,5\cdot x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben sei die Steigung <math>m = -4</math> und der Punkt <math>P(-7/-1)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + b</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze zunächst für die Steigung <math>m = -4</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = -4x + b</math> entsteht. Nutze in einem zweiten Schritt die Angabe des Punktes <math>P(-7/-1)</math>, sodass du mit <math>x = -7</math> und <math>f(x) = -1</math> die Gleichung <math>-1 = -4\cdot(-7) + b</math> erhältst. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b = -29</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = -4x - 29</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben sei die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math> und der Punkt <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + b</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze zunächst für die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = \frac{5}{8}x + b</math> entsteht. Nutze in einem zweiten Schritt die Angabe des Punktes <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>, sodass du mit <math>x = -\frac{2}{7}</math> und <math>f(x) = \frac{3}{4})</math> die Gleichung <math>\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + b</math> erhältst. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}

Benutzer:Svea WWU-5/Testseite2

2019-10-27T09:14:12Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen */

==Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung==

{{Box|1=Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|2=Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

{{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=pzotbf9h519}}

<ggb_applet id="hafd2mmt" width="700" height="500" border="888888" />

}}

===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen===

{{Box|1 = Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen*|2 =
Gegeben seien stets die Steigung der Geraden und ein Punkt, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

'''a)''' Gegeben sei die Steigung <math>m = 3,5</math> und der Punkt <math>P(2/5)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = 3,5</math> ein, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = 3,5\cdot x + n</math> entsteht. \\
2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(2/5)</math>, sodass du mit <math>x = 2</math> und <math>f(x) = 5</math> die Gleichung <math>5 = 3,5\cdot2 + n</math> erhältst. \\
3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -2</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = 3,5\cdot x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben sei die Steigung <math>m = -4</math> und der Punkt <math>P(-7/-1)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + b</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze zunächst für die Steigung <math>m = -4</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = -4x + b</math> entsteht. Nutze in einem zweiten Schritt die Angabe des Punktes <math>P(-7/-1)</math>, sodass du mit <math>x = -7</math> und <math>f(x) = -1</math> die Gleichung <math>-1 = -4\cdot(-7) + b</math> erhältst. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b = -29</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = -4x - 29</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben sei die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math> und der Punkt <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + b</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze zunächst für die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = \frac{5}{8}x + b</math> entsteht. Nutze in einem zweiten Schritt die Angabe des Punktes <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>, sodass du mit <math>x = -\frac{2}{7}</math> und <math>f(x) = \frac{3}{4})</math> die Gleichung <math>\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + b</math> erhältst. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}

Benutzer:Svea WWU-5/Testseite2

2019-10-27T09:13:47Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen */

==Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung==

{{Box|1=Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|2=Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

{{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=pzotbf9h519}}

<ggb_applet id="hafd2mmt" width="700" height="500" border="888888" />

}}

===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen===

{{Box|1 = Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen*|2 =
Gegeben seien stets die Steigung der Geraden und ein Punkt, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

'''a)''' Gegeben sei die Steigung <math>m = 3,5</math> und der Punkt <math>P(2/5)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = 1. Setze zunächst für die Steigung <math>m = 3,5</math> ein, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = 3,5\cdot x + n</math> entsteht. //
2. Nutze die Angabe des Punktes <math>P(2/5)</math>, sodass du mit <math>x = 2</math> und <math>f(x) = 5</math> die Gleichung <math>5 = 3,5\cdot2 + n</math> erhältst. //
3. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -2</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = 3,5\cdot x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben sei die Steigung <math>m = -4</math> und der Punkt <math>P(-7/-1)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + b</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze zunächst für die Steigung <math>m = -4</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = -4x + b</math> entsteht. Nutze in einem zweiten Schritt die Angabe des Punktes <math>P(-7/-1)</math>, sodass du mit <math>x = -7</math> und <math>f(x) = -1</math> die Gleichung <math>-1 = -4\cdot(-7) + b</math> erhältst. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b = -29</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = -4x - 29</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben sei die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math> und der Punkt <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + b</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze zunächst für die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = \frac{5}{8}x + b</math> entsteht. Nutze in einem zweiten Schritt die Angabe des Punktes <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>, sodass du mit <math>x = -\frac{2}{7}</math> und <math>f(x) = \frac{3}{4})</math> die Gleichung <math>\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + b</math> erhältst. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}

Benutzer:Svea WWU-5/Testseite2

2019-10-27T09:12:46Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen */

==Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung==

{{Box|1=Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|2=Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

{{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=pzotbf9h519}}

<ggb_applet id="hafd2mmt" width="700" height="500" border="888888" />

}}

===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen===

{{Box|1 = Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen*|2 =
Gegeben seien stets die Steigung der Geraden und ein Punkt, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

'''a)''' Gegeben sei die Steigung <math>m = 3,5</math> und der Punkt <math>P(2/5)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze zunächst für die Steigung <math>m = 3,5</math> ein, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = 3,5\cdot x + n</math> entsteht.
Nutze in einem zweiten Schritt die Angabe des Punktes <math>P(2/5)</math>, sodass du mit <math>x = 2</math> und <math>f(x) = 5</math> die Gleichung <math>5 = 3,5\cdot2 + n</math> erhältst.
Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -2</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = 3,5\cdot x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben sei die Steigung <math>m = -4</math> und der Punkt <math>P(-7/-1)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + b</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze zunächst für die Steigung <math>m = -4</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = -4x + b</math> entsteht. Nutze in einem zweiten Schritt die Angabe des Punktes <math>P(-7/-1)</math>, sodass du mit <math>x = -7</math> und <math>f(x) = -1</math> die Gleichung <math>-1 = -4\cdot(-7) + b</math> erhältst. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b = -29</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = -4x - 29</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben sei die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math> und der Punkt <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + b</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze zunächst für die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = \frac{5}{8}x + b</math> entsteht. Nutze in einem zweiten Schritt die Angabe des Punktes <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>, sodass du mit <math>x = -\frac{2}{7}</math> und <math>f(x) = \frac{3}{4})</math> die Gleichung <math>\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + b</math> erhältst. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}|3=Arbeitsmethode}}

Benutzer:Svea WWU-5/Testseite2

2019-10-27T09:12:12Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung */

==Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung==

{{Box|1=Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|2=Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

{{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=pzotbf9h519}}

<ggb_applet id="hafd2mmt" width="700" height="500" border="888888" />

}}

===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen===

{{Box|1 = Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen*|2 =
Gegeben seien stets die Steigung der Geraden und ein Punkt, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.

'''a)''' Gegeben sei die Steigung <math>m = 3,5</math> und der Punkt <math>P(2/5)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze zunächst für die Steigung <math>m = 3,5</math> ein, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = 3,5\cdotx + n</math> entsteht.
Nutze in einem zweiten Schritt die Angabe des Punktes <math>P(2/5)</math>, sodass du mit <math>x = 2</math> und <math>f(x) = 5</math> die Gleichung <math>5 = 3,5\cdot2 + n</math> erhältst.
Bestimme nun mit Auflösung nach <math>n</math> den Wert <math>n = -2</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = 3,5\cdotx - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''b)''' Gegeben sei die Steigung <math>m = -4</math> und der Punkt <math>P(-7/-1)</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + b</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1 = Setze zunächst für die Steigung <math>m = -4</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = -4x + b</math> entsteht. Nutze in einem zweiten Schritt die Angabe des Punktes <math>P(-7/-1)</math>, sodass du mit <math>x = -7</math> und <math>f(x) = -1</math> die Gleichung <math>-1 = -4\cdot(-7) + b</math> erhältst. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b = -29</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = -4x - 29</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}

'''c)''' Gegeben sei die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math> und der Punkt <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>.

{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + b</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}}

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Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen

2019-10-27T09:04:31Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung */

Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen

2019-10-27T09:04:07Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung */

Benutzer:Svea WWU-5/Testseite2

2019-10-27T08:39:54Z

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2019-10-27T08:38:47Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung */

==Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung==

{{Box|1= Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen |Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

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Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen

2019-10-25T16:06:31Z

Svea WWU-5:

Benutzer:Svea WWU-5/Testseite2

2019-10-25T09:59:41Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung */

==Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung==

{{Box|Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

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2019-10-25T09:58:48Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung */

==Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung==

{{Box|Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Wert <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

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2019-10-25T09:58:01Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung */

==Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung==

{{Box|Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Wert <math>m</math> und <math>n</math> verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise <math>m=0</math> und variiere <math>n</math>.

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2019-10-25T09:52:39Z

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==Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung==

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2019-10-25T09:49:53Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung */

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2019-10-25T09:33:17Z

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2019-10-25T09:32:56Z

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2019-10-25T09:32:00Z

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2019-10-25T09:31:41Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung */

==Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung==

{{Box|Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen|<div style="background:blue">Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort.</div>

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2019-10-25T09:31:24Z

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==Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung==

{{Box|Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen| <div style="background:blue">Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort.</div>

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2019-10-25T09:30:00Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung */

==Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung==

{{Box|Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen| <div style="font-size: 14pt; background-color: #00BB44; text-align: center; color: blue; padding: 5px 100px 5px 100px; margin-top: 5px;"> Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort.</div>

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2019-10-25T09:27:58Z

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==Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung==

{{Box|Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen| <div style="color:blue"> Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort.</div>

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2019-10-25T09:27:48Z

Svea WWU-5: /* Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung */

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2019-10-25T09:27:32Z

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2019-10-25T09:27:15Z

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2019-10-25T09:26:39Z

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